Advanced Theory of Structures

ทฤษฎโครงสรางชนสงADVANCED THEORY OF STRUCTURES

เรยบเรยงโดยผศ.ดร. สทธชย แสงอาทตยสาขาวชาวศวกรรมโยธาส านกวชาวศวกรรมศาสตร

มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนารพ.ค. 2545

i

ค าน า

วชาทฤษฎโครงสรางชนสง (Advanced Theory of Structures) เปนหนงในแปดของวชาบงคบในหลกสตรวศวกรรมศาสตรมหาบณฑต แขนงวชาวศวกรรมโครงสราง ของสาขาวชาวศวกรรมโยธา ส านกวชาวศวกรรมศาสตร มหาวทยาลยเทคโนโลยสรนาร เนอหาของวชานจะตอเนองมาจากวชาวเคราะหโครงสราง (Structural Analysis) โดยจะมเนอหาทลกซงมากขนดงตอไปน

บทท 1 และ บทท 2 กลาวถงการทบทวนการวเคราะหโครงสรางทมพฤตกรรมแบบยดหยนเชงเสน (linear elastic) โดยวธเมตรก ทเรยนมาแลวในวชา Structural Analysis

บทท 3 และบทท 4 กลาวถงการใชหลกการงานสมมต (principle of virtual work) ในการหาความสมพนธตางๆ ทจะใชในการวเคราะหโครงสรางโดยวธเมตรก เพอเปนพนฐานในการวเคราะหโครงสรางหรอชนสวนของโครงสรางทมความซบซอนมากขน เชน tapered beam และโครงสรางทมพฤตกรรมแบบไมเชงเสน (nonlinear structures) เปนตน

บทท 5 แนะน าการวเคราะหโครงสรางทมพฤตกรรมแบบไมเชงเสนบทท 6 กลาวถงการวเคราะหโครงสรางแบบ geometric nonlinearity และการหาแรงวกฤตยดหยน (elastic

critical loads)บทท 7 กลาวถง การวเคราะหโครงสรางแบบ material nonlinearity และการหาแรงวกฤตไมยดหยน (inelastic

critical loads) และสดทายบทท 8 กลาวถงการแกปญหาแบบไมเชงเสน (nonlinear problems)จดประสงคของการเรยบเรยงเอกสารค าสอนเลมนคอ เพอทจะชวยใหนกศกษาทมพนความรภาษาองกฤษทไมด

ใชเปนเอกสารในการศกษาวชาทฤษฎโครงสรางชนสงควบคไปกบ textbook ตางๆ ทเกยวของ นอกจากนนแลว เพอทจะไดชวยใหนกศกษาทไมสามารถจดค าบรรยายไดทน เนองจากการบรรยายเนอหาวชาทมากและเรวเกนไป ไดมเอกสารทจะใชทบทวนหลงจากการบรรยาย ซงผเรยบเรยงหวงเปนอยางยงวาเอกสารค าสอนเลมนจะชวยใหนกศกษาทนเวลาในการอานและท าความเขาใจในเนอหาของวชาไดเปนอยางด และจะท าใหการเรยนการสอนวชานเปนไปอยางมประสทธภาพและประสทธผลสงสด

ผศ.ดร. สทธชย แสงอาทตยสาขาวชาวศวกรรมโยธาส านกวชาวศวกรรมศาสตรมหาวทยาลยเทคโนโลยสรนารพฤษภาคม 2545Revision 2

iii

สารบญ

บทท 1 การวเคราะหโครงสรางโดย Direct Stiffness Method - I 1.1 ความสมพนธระหวางหนวยแรงและความเครยด .................................................................................... 1-1 1.2 งานและพลงงาน ................................................................................................................................. 1-2 1.3 Reciprocity ........................................................................................................................................ 1-6 1.4 การเปลยนรประหวาง stiffness matrix และ flexibility matrix ................................................................ 1-7 1.5 Stiffness matrix ของชนสวนของโครงสราง ........................................................................................... 1-12

1.6 ขอสงเกตทเกยวกบตวแปรแสดงการเปลยนแปลงรปรางและการเปลยนตาแหนง ..................................... 1-20

แบบฝกหดทายบทท 1 ......................................................................................................................... 1-39

บทท 2 การวเคราะหโครงสรางโดยวธ Direct Stiffness Method - II 2.1 การเปลยนรปของพกด (Coordinate transformations) .......................................................................... 2-1 2.2 นาหนกบรรทกทอยระหวาง nodal points ............................................................................................. 2-12 แบบฝกหดทายบทท 2 ......................................................................................................................... 2-21

บทท 3 Principles of Virtual Work 3.1 Principle of virtual displacement ในการวเคราะหวตถแกรง ................................................................. 3-1 3.2 Principle of virtual displacement ในการวเคราะหวตถทเปลยนแปลงรปรางได ..................................... 3-5 3.3 ขนตอนการวเคราะหโครงสรางโดยใช principle of virtual displacement................................................ 3-6 3.4 คาตอบเชงวเคราะหโดย principle of virtual displacement .................................................................. 3-13 3.5 Principle of virtual force ..................................................................................................................... 3-24 แบบฝกหดทายบทท 3 ......................................................................................................................... 3-36

บทท 4 การวเคราะหโครงสรางโดยใช Principles of Virtual Work 4.1 สมการการเปลยนตาแหนงของชนสวนโครงสราง .................................................................................... 4-1 4.2 การใช principle of virtual displacement ในการหาสมการความแกรงของชนสวนโครงสราง ................... 4-9 4.3 ชนสวนโครงสรางทมหนาตดไมคงท (Nonuniform elements) ................................................................. 4-13 4.4 การบดทไมสมาเสมอ (Nonuniform torsion) .......................................................................................... 4-17 4.5 นาหนกบรรทกทอยระหวาง nodal points และผลของความเครยดเรมตน - general approach ................. 4-26 4.6 การใช principle of virtual force ในการหาสมการของแรงและการเปลยนตาแหนงของชนสวนโครงสราง ... 4-32 แบบฝกหดทายบทท 4 ......................................................................................................................... 4-45

บทท 5 การวเคราะหโครงสรางแบบไมเชงเสนเบองตน 5.1 พฤตกรรมแบบไมเชงเสนของโครงสราง ................................................................................................. 5-1 5.2 วธเมตรกซในการวเคราะหโครงสรางทมพฤตกรรมแบบไมเชงเสน ........................................................... 5-25 5.3 สมการทใชในการวเคราะหและคาตอบทได ........................................................................................... 5-26

iv

แบบฝกหดทายบทท 5 ........................................................................................................................ 5-27

บทท 6 Geometric Nonlinear Analysis และ Elastic Critical Load Analysis 6.1 Geometric stiffness matrix ของชนสวนโครงสราง ............................................................................... 6-1 6.2 แรงบดและแรงในแนวแกนกระทารวม ................................................................................................... 6-18 แบบฝกหดทายบทท 6 ........................................................................................................................ 6-21

บทท 7 Material Nonlinear Analysis 7.1 พฤตกรรมแบบไมเชงเสนของวสด ......................................................................................................... 7-1 7.2 การใชวธ plastic hinge ในการวเคราะหโครงสรางททาดวยวสดเหนยว ................................................... 7-5 7.3 ทฤษฎนาหนกวกฤตแบบไมยดหยน ...................................................................................................... 7-9 7.4 Yield surface concept ....................................................................................................................... 7-26 แบบฝกหดทายบทท 7 ........................................................................................................................ 7-31

บทท 8 การหาคาตอบของสมการสมดลแบบไมเชงเสน 8.1 Incremental analysis ......................................................................................................................... 8-1 8.2 Incremental single-step methods ..................................................................................................... 8-1 8.3 Incremental-iterative methods .......................................................................................................... 8-9 8.4 Automatic load incrementation ......................................................................................................... 8-14 8.5 การคานวณหาผลลพธทเกดขนในชนสวนของโครงสราง ......................................................................... 8-15 8.6 การยดรง plastic hinge ....................................................................................................................... 8-20 8.7 การวเคราะหหา limit point และ post-limit point .................................................................................. 8-24 8.8 การวเคราะหหานาหนกบรรทกวกฤต (critical load) ............................................................................... 8-25 แบบฝกหดทายบทท 8 ........................................................................................................................ 8-43

หนงสออางอง

Advanced Theory of Structures by Dr. Sittichai Seangatith 1-1

บทท 1การวเคราะหโครงสรางโดยวธ Direct Stiffness - I

ในบทนจะกลาวถงการพฒนา stiffness matrix ของชนสวนของโครงสรางทมหนาตดคงท (prismatic) มความสมมาตรรอบแกนหลกและแกนรอง (bisymmetric) ม degree of freedom เทากบ 12 โดยใชหลกการงานแลพลงงาน และ reciprocal theorem ซง stiffness matrix ทไดจะอยในระบบพกด local coordinate โดยทเนอหาของการแปลงรปพกด (coordinate transformation) และผลของแรงกระท าอยระหวาง node ของชนสวนของโครงสรางจะถกกลาวถงในบทถดไป สดทาย stiffness matrix ของชนสวนของโครงสรางทไดจะถกน าไปใชในการวเคราะหโครงสรางแบบตางๆ ทถกแรงกระท าท node1.1 ความสมพนธระหวางหนวยแรงและความเครยด

ทฤษฎทใชในการวเคราะหหาการตอบสนองของโครงสรางตอแรงกระท าขนอยกบความสมพนธของหนวยแรง (stress) และความเครยด (strain) ทเกดขนในวสดภายใตการกระท าของแรง ในบทน เราจะสนใจโครงสรางทท าดวยวสดทมพฤตกรรมเหมอนกนทกทศทาง (isotropic) มเนอเดยวกน (homogeneous) และมพฤตกรรมแบบยดหยนเชงเสนตรง (linearly elastic) ซงคณสมบตทางกลของวสดดงกลาวทเราสนใจประกอบดวยโมดลสความยดหยน (modulus of elasticity) E , โมดลสความแกรงหรอโมดลสแรงเฉอน (modulus of rigidity หรอ shear modulus) G , และอตราสวนปวซอง (Poisson's ratio) ν

รปท 1.1 แสดงชนสวนโครงสรางขนาดเลกทมความยาว ความกวาง และความหนาเทากบหนงหนวยและถกกระท าโดยหนวยแรงดงในแนวแกน σ ดงทแสดงในรปท 1.1a และหนวยแรงเฉอน τ ดงทแสดงในรปท 1.1b ซงภายใตขอก าหนดขางตน ความสมพนธของหนวยแรงและความเครยดของชนสวนโครงสรางดงกลาวจะอยในรป

E

e σ= (1.1a)

E

eelνσν −=−= (1.1b)

Gτγ = (1.1c)

)1(2 ν+

=EG (1.2)

เครองหมายลบของความเครยดทางขวาง (lateral strain) le แสดงการหดตวทางขวางของชนสวนโครงสรางภายใตแรงดง

รปท 1.1


เหลก (steel) และคอนกรต (concrete) เปนวสดทถกน ามาใชมากในงานวศวกรรมโยธา วสดดงกลาวมแผนภาพหนวยแรง-ความเครยด (stress-strain diagram) ดงทแสดงในรปท 1.2

โดยทวไปแลว หนวยแรงคลาก (yielding stress) yσ ของเหลกจะมคาอยในชวง 250 MPa ส าหรบเหลกเหนยว (mild steel) ถง 700 MPa ส าหรบเหลกก าลงสง (high strength steel) เหลกเหนยวจะเปนเหลกทมจด yielding ทชดเจน แตเหลกก าลงสงจะมจด yielding ทจะไมชดเจน โดยทวไปแลว เราจะหาจด yielding ของเหลกก าลงสงไดโดยใชวธ 0.2% offset เมอหนวยแรงทเกดขนในเหลกมคานอยกวา yielding stress แลว เรามกจะสมมตใหเหลกมพฤตกรรมแบบ linearly elastic เหลกมคา modulus of elasticity E ประมาณ 200 GPa และ Poisson's ratio ν ประมาณ 0.3

รปท 1.2

ก าลงอดประลย (ultimate compressive strength) cu f ′=σ ของคอนกรตจะอยในชวง 21 MPa ถง 55 MPa คณสมบตทางกลของคอนกรตมความไมแนนอนมากกวาคณสมบตทางกลของเหลก โดยมกจะมพฤตกรรมแบบ linear เมอหนวยแรงทเกดขนในคอนกรตมคานอยกวา 2/cf ′ คอนกรตมคา modulus of elasticity cE และ Poisson's ratio ν ในชวงดงกลาวประมาณ cc fE ′= 4700 MPa และ 0.15 ตามล าดบ คอนกรตมกจะเกดการคบ (creep)เมอถกกระท าโดยหนวยแรงกดอด (compressive stress) เปนระยะเวลานานๆ1.2 งานและพลงงาน

งาน (work) ทเกดจากแรง F ซงท าใหวตถเกดการเปลยนต าแหนง ∆d ในทศทางของแรงจะมคาเทากบ ∆Fdเมอการเปลยนต าแหนงทงหมดมคาเทากบ 1∆ แลว งานทงหมดทกระท าจะหาไดจากสมการ

∫∆

∆=1

0

FdW

ดงทแสดงโดยพนทสเทาในรปท 1.3aก าหนดใหแรงกระท าตอโครงสรางมลกษณะทคอยๆ เพมขนและแรงเฉอย (inertia force) ไมมผลตอพฤตกรรม

ของโครงสราง เนองจากเราสนใจพฤตกรรมแบบ linear ของโครงสราง ดงนน จากรปท 1.3b เราจะไดวา∆= kF

เมอ k เปนคาคงท และงานทใชในการเปลยนต าแหนงวตถไปเปนระยะ 1∆ จะมคาเทากบ21

0 211

∆=∆∆= ∫∆

kdkW

ถาเราก าหนดให 11 /∆= Fk แลว

1121

∆= FW

เมอแรงกระท าและการเปลยนต าแหนงอยในรป vector F และ ∆ แลว เราจะเขยนสมการของงานไดในรป


∆F ⋅=21W (1.3)

รปท 1.3

เมอแรงกระท าและการเปลยนต าแหนงอยในรป matrix เราจะเขยนสมการของงานไดในรป

∆F TW21

=

จากรปท 1.3c เมอแรง 0=yF แลว

[ ] uFvu

FW xx 210

21

=

=

หลกการของงานขางตนสามารถขยายไปใชกบระบบของแรงทกระท าอยบนโครงสรางได ซงในกรณน vector ของแรงและ vector ของการเปลยนต าแหนงจะอยในรป

[ ]znxzyxT PPPPP L2111=P

=

nw

uwvu

M2

1

1

1

∆

ดงนน สมการท 1.3 จะเขยนใหอยในรป stiffness matrix [ ]k และ flexibility matrix [ ]d ไดในรป

[ ] UW T == ∆k∆21 (1.4a)

[ ] **

21 UW f

Tf == FdF (1.4b)

เมอ fF เปน vector ของแรงทไมเกยวของกบการรองรบชนสวนของโครงสราง


ในสมการท 1.4 เทอม U เปนพลงงานความเครยด (strain energy) ทเกดจากการเปลยนแปลงรปรางเนองจากงาน W และเทอม *U เปนพลงงานความเครยดประกอบ (complementary strain energy) ของการเปลยนแปลงรปรางทสอดคลองกบงานประกอบ (complementary work done) *W ในกรณทโครงสรางมพฤตกรรมแบบ linear elastic และไมมความเครยดเรมตน (initial strain) แลว งาน W จะเทากบงาน *W ดงนน *UU =

ในโครงสรางทมพฤตกรรมแบบไมเชงเสนตรง (nonlinear) ดงทแสดงในรปท 1.3d เราจะเหนไดวา งาน W จะมคาไมเทากบงาน *W ดงนน strain energy U จะมคาไมเทากบ complementary strain energy *U

เราควรทราบดวยวา complementary energy ไมมความหมายทางกายภาพโดยตรง แตเปนพนฐานของหลกการงานสมมต (principle of virtual forces) ทใชในการวเคราะหโครงสราง


ตวอยางท 1.1จงหางานทเกดขนในโครงขอหมน (truss) ดงทแสดงในรป โดยใชสมการท 1.3 และสมการ strain energy เมอ

การเปลยนต าแหนงในแนวของแรง 383.0 kN และแรง 321.4 kN มคาเทากบ 0.871 mm และ 1.244 mm ตามล าดบ และการเปลยนต าแหนงในแนวนอนทจด b มคาเทากบ -0.193 mm และ =E 200 GPa

จากรป เราจะเขยน vector ของแรงและ vector ของการเปลยนต าแหนงไดในรป [ ] P 04.3210.383=T kN

∆

−=

193.0244.1871.0

mm

โดยใชสมการท 1.3 งานเนองจากแรงกระท าจะมคาเทากบ

[ ] ∆F 0.367193.0

244.1871.0

04.3210.38321

21

=

−== TW J

โดยใชสมการของ strain energy ของทรบแรงในแนวแกน (axial force member) เราจะได

J 0.3670.375

2.51643.329

)6.63(11.707

0.9021

2

2222

=

+

−+== ∑ EA

LFU

ซงเราจะเหนไดวา งานทเกดขนเนองจากแรงกระท ามคาเทากบ strain energy ทเกดขนในชนสวนตางๆ ของโครงขอหมน


1.3 Reciprocityพจารณางานทเกดขนบนโครงสรางทมพฤตกรรมแบบ linear elastic ดงทแสดงในรปท 1.4 งานทงหมดเนองจาก

แรง 1F ทมขนาดเพมขนอยางชาๆ จากศนย ดงทแสดงในรปท 1.4a จะอยในรป

1111111 )(21)(

21

1FFdFWI =∆= (1.5)

เมอ 11111 /)( Fd ∆= เปน flexibility ของโครงสรางทมการเปลยนต าแหนง 11 )(∆ เนองจากแรง 1Fเมอใหแรง 2F กระท าตอโครงสราง โดยมขนาดเพมขนอยางชาๆ จากศนยและก าหนดใหแรง 1F มคาคงท ดงท

แสดงในรปท 1.4b แลว งานทเพมขนเนองจากแรง 2F จะอยในรป

12122222

121222

)()(21

)()(21

2

FFdFFd

FFWI

+=

∆+∆= (1.6)

เมอ 22112 /)( Fd ∆= เปน flexibility ของโครงสรางทมการเปลยนต าแหนง 21 )(∆ เนองจากแรง 2F และ22222 /)( Fd ∆= เปน flexibility ของโครงสรางทมการเปลยนต าแหนง 22 )(∆ เนองจากแรง 2F ดงนน งานทงหมดท

เกดขนบนโครงสรางเนองจากแรงกระท าในทงสองกรณจะอยในรป

12122

2222

111 21

21

21FFdFdFdWWW III ++=+= (1.7)

รปท 1.4

ท าการกลบล าดบการใหแรงกระท าตอโครงสราง เมอแรง 2F มขนาดเพมขนอยางชาๆ จากศนยแลว งานทเกดขนจะอยในรป

2222222 2

1)(21

2FdFWII =∆= (1.5a)

และเมอใหแรง 1F กระท าตอโครงสราง โดยมขนาดเพมขนอยางชาๆ จากศนยและก าหนดใหแรง 2F มคาคงทแลว งานทเพมขนเนองจากแรง 1F จะอยในรป

2121

2111

212111

21

)()(21

1

FFdFd

FFWII

+=

∆+∆= (1.6a)

ดงนน งานทงหมดทเกดขนบนโครงสรางเนองจากแรงกระท าในกรณทสองจะอยในรป

21212

1112

222 21

21

21FFdFdFdWWW IIIIII ++=+= (1.7a)


ส าหรบโครงสรางทมพฤตกรรมแบบ linear elastic งานเนองจากแรงกระท าจะเปนอสระจากล าดบการกระท าของแรง ดงนน III WW = ซงเราจะไดวา

2112 dd =ในกรณทวไปแลว เราจะกลาวไดวา

jiij dd = (1.8)สมการท 1.8 นเปนสมการของ Maxwell's reciprocal theorem ซงแสดงใหเหนวา flexibility matrix ของโครง

สรางเปน matrix ทสมมาตร (symmetric matrix)เนองจาก stiffness matrix ของโครงสรางเปน inverse ของ flexibility matrix และเมอเราท าการ inverse matrix

ทสมมาตร เราจะได matrix ทสมมาตร ดงนน stiffness matrix จงเปน matrix ทสมมาตรหรอ jiij kk = (1.9)

Maxwell's reciprocal theorem ดงกลาวเปนกรณพเศษของ Betti's law ซงกลาววา งานทท าโดยระบบแรง 1P กระท าผานการเปลยนต าแหนง 21∆ ซงเกดจากระบบแรง 2P จะเทากบงานทท าโดยระบบแรง 2P กระท าผานการเปลยนต าแหนง 12∆ ซงเกดจากระบบแรง 1P หรอ

T21∆ 1P = T12∆ 2P (1.10)1.4 การแปลงรประหวาง stiffness matrix และ flexibility matrix

ถาเราทราบความสมพนธของแรงและการเปลยนต าแหนงแลว เราจะหาความสมพนธของการเปลยนต าแหนงและแรงไดโดยการแปลงรป (transformation)1.4.1 การแปลงรปจาก stiffness matrix เปน flexibility matrix

เพอเปนตวอยางในการแปลงรปจาก stiffness matrix ไปเปน flexibility matrix ใหเราพจารณาโครงสราง ดงทแสดงในรปท 1.5a

ก าหนดใหโครงสรางมเสถยรภาพ (stability) และเปนโครงสรางแบบ statically determinate โดยถกยดรง ดงทแสดงในรปท 1.5b ในทน เราก าหนดใหโครงสรางมเสถยรภาพเพอปองกนการเคลอนทแบบวตถแกรง (rigid body motion)ของโครงสรางภายใตแรงกระท า และเราก าหนดใหโครงสรางมจ านวนตวแปรทไมทราบคาเทากบจ านวนสมการความสมดล (determinacy) เพอท าให complementary strain energy เปนอสระจากการรองรบของโครงสราง ถาการรองรบของโครงสรางเปนแบบ statically indeterminate แลว complementary strain energy จะมคาแตกตางกนตามลกษณะการรองรบของโครงสราง

รปท 1.5


ก าหนดให degree of freedom ของจดรองรบ (support) ม subscript เปน s และ degree of freedom ทเปนอสระ (free) ม subscript เปน f ดงนน element stiffness matrix ของโครงสรางจะถกท า partition ไดเปน

=

s

f

sssf

fsff

s

f

∆∆

kkkk

FF

(1.11)

ซงจากโครงสรางในรปท 1.5b submatrix แตละตวจะมขนาด 33× และ

=

2

1

1

x

y

x

f

F

FF

F

=

3

3

2

y

x

y

s

FF

F

F

(1.12)

=

2

1

1

uvu

f∆

=

3

3

2

vuv

s∆

เนองจากโครงสรางไมมการทรดตวทจดรองรบ 0∆ =s ดงนน

fsf

ff

s

f ∆kk

FF

=

(1.13)

submatrix ทอยเหนอเสน partition ของ stiffness matrix แสดงความสมพนธของแรงกระท าภายนอก fFและการเปลยนต าแหนงท node f∆ ซงเราจะหาคาการเปลยนต าแหนงดงกลาวไดจาก

[ ] ff Fd∆ = (1.14)เมอ

[ ] [ ] 1−= ffkd (1.15)1.4.2 การแปลงรปจาก flexibility matrix เปน stiffness matrix

ในการหา stiffness matrix จาก flexibility matrix เราจะเรมจากการ inverse flexibility matrix จากนน ท าการเพมเทอมบางเทอมเขาไปในผลลพธทได ทงนเนองจากวา การ inverse flexibility matrix ไมไดท าใหเกดเทอมทสอดคลองกบ degree of freedom ทเทากบศนยเนองจากการรองรบโครงสราง

เมอเราท าการ inverse flexibility matrix เราจะไดวา [ ] [ ] fffff ∆k∆dF == −1 (1.16)

หรอ [ ] [ ] 1−= dk ff (1.17)

เราทราบมาแลววา แตละ column ของ stiffness matrix จะแทนระบบของแรงทอยในสภาวะสมดล (ผลรวมของสมประสทธทอยใน column ใดๆ ของ stiffness matrix มคาเทากบศนย) นอกจากนนแลว แรงในแตละ column ทม sเปน subscript จะเปนแรงปฏกรยาทจดรองรบของโครงสราง ดงนน เราจะเขยนความสมพนธของแรงปฏกรยาทจดรองรบและแรงกระท าไดโดยใชสมการความสมดล ซงจะอยในรป

[ ] jfjs FΦF = (1.18)

เมอ subscript j แทน column ของ stiffness matrix ทเกยวของกบแรงปฏกรยาทจดรองรบของโครงสราง และ [ ]Φเปน equilibrium matrix หรอเปน matrix ของสมประสทธของสมการความสมดล


เนองจากแรง fF เกยวโยงกบแรง sF ใน partition สวนลางของ element stiffness matrix ในรปของสมการดงกลาวขางตน ดงนน

[ ] fs FΦF = (1.19)โดยการแทนสมการท 1.16 ลงในสมการท 1.19 เราจะไดวา

[ ][ ] fs ∆dΦF 1−= (1.20)จากสมการท 1.13

[ ] fsfs ∆kF = (1.21)ดงนน

[ ][ ] 1−= dΦk sf (1.22)สมการท 1.17 และสมการท 1.22 เปน submatrix ใน element stiffness matrix ของโครงสรางทคณกบ

submatrix f∆ ในสมการท 1.11ในขนตอนตอไป เราตองการหาเทอมใน element stiffness matrix ของโครงสรางทคณกบ submatrix s∆ ใน

สมการท 1.11 หรอ submatrix [ ]fsk และ [ ]sskในการหา submatrix [ ]fsk เราจะใช reciprocal theorem ซงเราจะไดวา

[ ] [ ] [ ] [ ]TTsffs Φdkk 1−== (1.23)

ในการหา submatrix [ ]ssk นน เราทราบจากสมการท 1.18 และสมการท 1.19 มาแลววา เทอมตางๆ ดงกลาวไดมาจากการคณสวนบนของ element stiffness matrix ดวย equilibrium matrix [ ]Φ ดงนน

[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ]Tfsss ΦdΦkΦk 1−== (1.24)ดงนน จากสมการท 1.11, 1.17, 1.22, 1.23, และ 1.24 เราจะได element stiffness matrix ของโครงสรางในรป

[ ] [ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ][ ] [ ]

= −−

−−

T

T

ΦdΦdΦΦddk 11

11

(1.25)


ตวอยางท 1.2จงใชสมการท 1.25 หา stiffness matrix ของชนสวนโครงสรางทรบแรงในแนวแกน (axial force member) ดงท

แสดงในรป เมอ E , A , และ L มคาคงท

ท าการรองรบชนสวนโครงสรางใหเปนแบบ statically determinate ดงทแสดงในรป

จากนน ท าการเขยน equilibrium matrix [ ]Φ และ flexibility matrix [ ]d โดยท

2xf FF =

=

2

1

1

y

y

x

s

F

FF

F

2u∆ =f

=

2

1

1

vvu

s∆

จากสมการความสมดล เราจะไดความสมพนธของแรงปฏกรยาและแรงกระท าหรอ [ ] fs FΦF = ในรป

2

2

1

1

tantan

1

x

y

y

x

F

F

FF

−−

=

φφ


ก าหนดใหแรง 2xF กระท าทปลายหมายเลข 2 ซงจะท าใหเกดการเปลยนต าแหนงทปลายดงกลาวเทากบ 2uแลว เราจะไดวา

22

2 cos uLEAFx ⋅= φ

ดงนน element flexibility matrix ของชนสวนโครงสรางจะอยในรป

[ ]

= φ2secEALd

จากสมการท 1.17, 1.23, และ 1.24 เราจะได[ ] [ ]

[ ]φ2

1

cosLEA

ff

=

= −

dk

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ]φφφφφ cossincossincos2

1

−−=

=

=−

LEA

T

Tsffs

Φd

kk

[ ] [ ][ ][ ][ ] [ ]

−−−

−=

=

=−

φφφφφφφφφφφφφ

22

22

2

1

sinsincossinsinsincossin

cossincossincos

LEA

T

fsss

ΦdΦ

kΦk

ท าการจดเทอมตางๆ ใหอยในรปของสมการท 1.11 เราจะได

−−−−

−−−−

=

2

1

1

2

22

22

22

22

2

1

1

2

sinsincossincossinsinsincossincossin

cossincossincoscoscossincossincoscos

vvuu

LEA

F

FFF

y

y

x

x

φφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ

หลงจากท าการจดแถวและ column ของ matrix ขางตนใหมโดยใหล าดบของแรงและการเปลยนต าแหนงเรยงจาก node หมายเลข 1 ไปยง node หมายเลข 2 เราจะได stiffness matrix ของชนสวนโครงสรางทรบแรงในแนวแกนในรป

−−−

−−−−

=

2

2

1

1

22

22

22

22

2

2

1

1

sincossinsincossincossincoscossincos


vuvu

LEA

FF

FF

y

x

y

x



1.5 Stiffness matrix ของชนสวนโครงสรางพจารณาชนสวนของโครงสรางทม 12 degrees of freedom ดงทแสดงในรปท 1.6 ก าหนดใหชนสวนของโครง

สรางมลกษณะทตรงยาว มหนาตดทคงท และสมมาตรรอบแกนหลกและแกนรองของหนาตด (bisymmetrical) ซงจะท าใหจดศนยกลางแรงเฉอน (shear center) อยทจด centroid ของหนาตด และก าหนดให degree of freedom ทมทศทางไปทางเดยวกบแกนทเปนบวกของ local coordinate system มคาเปนบวก

ในทน เราจะพจารณาการเปลยนต าแหนงของชนสวนของโครงสรางทเกดจากการเปลยนรปรางในแนวแกนทสม าเสมอ การเปลยนรปรางเนองจากการดด และการเปลยนรปรางเนองจากการบด เทานน โดยเราจะไมพจารณาการเปลยนต าแหนงของชนสวนของโครงสรางทเกดจากการเปลยนรปรางเนองจากแรงเฉอน (transverse shear deformation) และการบดเบยวออกจากระนาบ (out-of-plane warping) ของหนาตดเนองจากแรงบด

รปท 1.6

จากสมมตฐานขางตน การเปลยนต าแหนงตางๆ ของชนสวนของโครงสรางจะไมเกดการคควบ (couple) ซงกนและกน เชน แรงในแนวแกน 1xF และ 2xF จะท าใหเกดการเปลยนรปรางในแนวแกน 1u และ 2u เทานน และแรงบด

1xM และ 2xM จะท าใหเกดการเปลยนมมบด 1xθ และ 2xθ เทานน เปนตน ซงการเปลยนต าแหนงทไมคควบกนดงกลาวจะท าใหสมประสทธบางสวนของ element stiffness matrix มคาเปนศนย และจะท าใหการหา element stiffness matrix ของชนสวนของโครงสรางมความงายขนมาก โดยเราจะแบงการหา element stiffness matrix ของชนสวนของโครงสรางออกเปน 4 กรณคอ

1. ชนสวนรบแรงในแนวแกน (axial force member)2. ชนสวนรบแรงบด (pure torsional member)3. ชนสวนทถกดดรอบแกนหลก z4. ชนสวนทถกดดรอบแกนรอง y

1.5.1 ชนสวนรบแรงในแนวแกน (axial force member)พจารณาชนสวนรบแรงในแนวแกน ดงทแสดงในรปท 1.7 ซงอยในสภาวะสมดลและมเสถยรภาพแบบ statically

determinate การเปลยนต าแหนงทปลายหมายเลข 2 เนองจากแรงกระท า 2xf F=F จะอยในรป

EALF

dxEAF

dxE

edxu xL

xLL

2

0

2

002 ==== ∫∫∫

σ

ดงนน[ ] EAL /=d


รปท 1.7

จากสมการท 1.17

[ ]LEA

ff =k

จากสมการความสมดล เราจะไดแรงปฏกรยา 21 xxs FF −==F

และจากสมการท 1.18 เราจะได[ ] 1−=Φ

ดงนน จากสมการท 1.25 เมอชนสวนของโครงสรางอยในสมดล

[ ]

−

−=

1111

LEAk (1.26a)

และ

−

−=

2

1

2

1

1111uu

LEA

FF

x

x (1.26b)

1.5.2 ชนสวนรบแรงบด (torsional member)พจารณาชนสวนรบแรงบด ดงทแสดงในรปท 1.8 ซงอยในสภาวะสมดลและมเสถยรภาพแบบ statically

determinate เราจะเหนไดวา แรงบด 2xM ท าใหชนสวนของโครงสรางมมมบดตอหนงหนวยความยาวหรออตราการบด (rate of twist)

GJM x2=β

เมอ G เปน shear modulus of elasticity และ J เปนคาคงทของการบด ซงเปนคณสมบตทขนอยกบรปรางและขนาดของหนาตดของชนสวนของโครงสราง ถาหนาตดเปนทรงกลมแลว J จะเปน polar moment of inertia ของหนาตดของชนสวนของโครงสราง

รปท 1.8

อตราการบดใชในการวดคาความเครยดทเกดจากการบด (torsional strain) ถาเราท าการ integrate ตลอดความยาวของชนสวนของโครงสรางแลว เราจะไดมมบดทงหมดทเกดขนทปลายหมายเลข 2 ในรป


GJLM

dxGJM

dx xL

xL

x2

0

2

02 === ∫∫ βθ

ดงนน โดยการเปรยบเทยบกบในกรณของชนสวนทรบแรงในแนวแกนแลว [ ] GJL /=d และ [ ] 1−=Φ เราจะไดวา

[ ]

−

−=

1111

LGJk (1.27a)

และ

−

−=

2

1

2

1

1111

x

x

x

x

LGJ

MM

θθ (1.27b)

1.5.3 ชนสวนทถกดดรอบแกนหลก zหนวยแรงและความเครยดทเกดขนทหนาตดใดๆ ของชนสวนของโครงสรางเนองจากการดดรอบแกน z จะมทศ

ทางไปตามแกน x โดยจะมการแปรผนเปนแบบเสนตรงตามแกน y และมคาคงทตามแนวแกน z ส าหรบคา y คาหนงๆ จากวชากลศาสตรวสด เราจะไดวา

2

2

dxvdyyex −=−=

ρ (1.28)

เมอ ρ เปนรศมความโคง (radius of curvature) และจาก Hooke’s law, xx Ee=σ , ดงนน

2

2

dxvdEyx −=σ (1.29)

จากสภาวะความสมดลทหนาตด เราจะไดวา ผลรวมของแรงลพธเนองจากหนวยแรง xσ ทหนาตดใดๆ ของชนสวนของโครงสรางจะตองมคาเทากบศนย และโมเมนตลพธรอบแกน z เนองจากหนวยแรง xσ จะมคาเทากบโมเมนต

zM โดยท ∫−=

Axz ydAM σ (1.30)

แทนสมการท 1.29 ลงในสมการท 1.30 เราจะไดวา

∫=A

z dAydxvdEM 22

2

(1.31a)

เนองจาก E มคาคงทและเทอม 22 / dxvd เปนอสระจากพกด y ดงนน

2

22

2

2

dxvdEIdAy

dxvdEM zA

z == ∫ (1.31b)

เมอ ∫=A

z dAyI 2 เปน moment of inertia ของหนาตดรอบแกน z

ถาเราพจารณาให zM ในสมการท 1.31b เปน “หนวยแรง” เนองจากการดดแลว เทอม 22 / dxvd จะถกพจารณาเปน “ความเครยด” เนองจากการดด ดงนน elastic coefficient ทเชอมความสมพนธของ “หนวยแรง” และ “ความเครยด” ดงกลาวจะเปลยนจาก E เปน zEI

การหา element stiffness matrix ในกรณของชนสวนของโครงสรางทถกดดจะยงกวาในกรณของชนสวนทรบแรงในแนวแกนและชนสวนทรบแรงบด เนองจากความสมพนธของหนวยแรงและความเครยดอยในรปของสมการอนพนธสองชน (second-order differentiation equation) เมอเราท าการ integrate สมการดงกลาวแลว เราจะไดคาคงทของการ integrate สองตว ซงจะตองสอดคลองกบลกษณะการรองรบของชนสวนของโครงสราง แตเนองจากการรองรบทท าใหชนสวนของโครงสรางอยในสภาวะ statically determinate และมเสถยรภาพเปนไปไดหลายแบบ ดงนน เราจะได flexibility


matrix ของคานหลายชด แตอยางไรกตาม element stiffness matrix ทหาไดจาก flexibility matrix ดงกลาวจะตองเหมอนกน โดยทวไปแลว เราจะสนใจกรณของคานทรองรบอยางงายและคานยน (cantilevered beam) ในทน เราจะพจารณากรณของคานยน ดงทแสดงในรปท 1.9

รปท 1.9

Flexibility matrix ของคานยนดงกลาวจะตองสอดคลองกบสมการท 1.14 โดยจะอยในรป

[ ]

=

2

2

2

2

z

y

z MFv

dθ

โดยทการหาเทอม [ ]d จะกลาวถงในตวอยางท 1.3 ซงเราจะได

[ ]

=1

2

23

2

L

LL

EIL

z

d

สวนขนตอนการหา [ ]k ทเหลอไดแสดงไวในตวอยางท 1.4 ซงเมอเราท าการจด row และ column ของ matrix ดงกลาวแลว เราจะได

−

−−−

−

−

=

2

2

1

1

22

22

2

2

1

1

4626

612612

2646

612612

z

zz

z

y

z

y

v

v

LL

LLLL

LL

LLLL

LEI

M

FMF

θ

θ (1.32)


ตวอยางท 1.3จงหา flexibility matrix ของคานยน (cantilevered beam) ทมหนาตดคงท ดงทแสดงในรป

จากสมการอนพนธของคาน (สมการท 1.31b) เราจะไดวา

[ ]22

2

2

)(1zy

z

z

z

MxLFEI

EIM

dxvd

+−=

=

เมอท าการ integrate สมการขางตนหนงครง เราจะไดความแอน (slope) ของคานอยในรป

12

2

2 )2

(1 CxMxLxFEIdx

dvzy

z

+

+−=

และเมอท าการ integrate สมการ slope ของคานอกหนงครง เราจะไดสมการการโกงตวของคานอยในรป

21

22

32

2 2621 CxCxMxLxFEI

v zy

z

++

+

−=

จาก boundary condition ของคาน เราจะได

00

==xdx

dv 01 =C

และ0

0=

=xv 02 =C

ดงนน เราจะไดสมการการโกงตวและสมการ slope ของคานอยในรป

z

z

z

y

EIxMxL

EIxF

v232

22

22 +

−=

z

z

z

y

EIxMxL

EIxF

dxdv 22

2+

−=

และเราจะหาสมประสทธของ flexibility matrix ของคานไดในรป


z

z

z

yLx EI

LMEILF

vv23

22

32

2 +===

z

z

z

y

Lxz EI

LMEILF

dxdv 2

22

2 2+==

=

θ

และเราจะได flexibility matrix ของคานยนดงกลาวอยในรป

=

2

2

2

2

2

12

23z

y

zz MF

L

LL

EILv

θ


ตวอยางท 1.4จงใชสมการท 1.25 และ flexibility matrix ของคานยนทหามาไดในตวอยางท 1.3 หา stiffness matrix ของคาน

ดงทแสดงในรป

ท าการเขยน equilibrium matrix [ ]Φ และ inverse ของ flexibility matrix [ ] 1−d ของคานจากสมการความสมดลของคาน เราจะไดวา

−−

−=

2

2

1

1

101

z

y

z

y

MF

LMF

ดงนน

[ ]

−=

101

LΦ

และ

[ ]

−

−=

=

−

−

46

612

12

23 2

12

1

L

LLLEI

L

LL

LEI zzd


[ ] [ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ][ ] [ ]

= −−

−−

T

T

ΦdΦdΦΦddk 11

11

เราจะไดวา

[ ] [ ]

−−=

−−−

−

−=−

26

612

101

46

612

2

21

L

LLLEI

L

L

LLLEI

z

zT

Φd

[ ][ ] [ ]

=

−−

−−

−=−

46

612

26

612

101 221

L

LLLEI

L

LLLL

EI zzT ΦdΦ

เมอท าการรวมเทอมทงหมดเขาดวยกน เราจะได stiffness matrix ของคานอยในรป


2v 2zθ 1v 1zθ

[ ]

−

−

−

−−−

=

4626

612612

2646

612612

22

22

LL

LLLL

LL

LLLL

LEI zk


1.5.4 ชนสวนทถกดดรอบแกนรอง yการหา element stiffness matrix ของชนสวนโครงสรางทถกดดรอบแกนรอง y มลกษณะเชนเดยวกบการหา

element stiffness matrix ของชนสวนโครงสรางทถกดดรอบแกนหลก z อยางไรกตาม การหา element stiffness matrix ในกรณนจะมปญหาเรองเครองหมายของ degree of freedom ดงทจะเหนความแตกตางไดจากรปท 1.10 และรปท 1.9b โดยเฉพาะ degree of freedom ของแรงและการเปลยนต าแหนงในแนวดง ซงถกก าหนดใหพงขนเปนบวก ในกรณของชนสวนโครงสรางในรปท 1.9b แตถกก าหนดใหพงลงเปนบวก ในกรณของชนสวนโครงสรางในรปท 1.10 ดงนน ในการเปลยน flexibility matrix ไปเปน stiffness matrix นน เราจะตองท าการเปลยนเครองหมายของสมประสทธทสมพนธแรงเขากบการหมน และทสมพนธโมเมนตเขากบการเปลยนต าแหนงในแนวดง ซงจะท าใหเราได

−

−

−

−−−

=

2

2

1

1

22

22

2

2

1

1

4626

612612

2646

612612

y

yy

y

z

y

z

w

w

LL

LLLL

LL

LLLL

LEI

MFMF

θ

θ (1.33)

รปท 1.101.5.5 Element Stiffness Matrix ของชนสวนของโครงสราง

Element stiffness matrix ของชนสวนของโครงสรางทม 12 degree of freedom ดงทแสดงในรปท 1.6 จะหามาไดโดยการน า element stiffness matrix ของชนสวนของโครงสรางในกรณตางๆ ทง 4 กรณขางตนมาประกอบเขาดวยกน ดงนน จากสมการท 1.26b, 1.27b, 1.32, และ 1.33 เมอเราท าการจดเรยงแถวและ column ตางๆ ของ matrix ใหเหมาะสมและให )1(2/ ν+= EG แลว เราจะไดสมการท 1.341.6 ขอสงเกตทเกยวกบตวแปรแสดงการเปลยนแปลงรปรางและการเปลยนต าแหนง1.6.1 การเปลยนแปลงรปรางทไมน ามาพจารณา

ตามทไดกลาวไปแลวในตอนตนของ section ท 1.5 วา ในการหาสมการท 1.34 เราจะไมพจารณาการเปลยนแปลงรปรางของชนสวนของโครงสรางเนองจากการเปลยนรปรางเนองจากแรงเฉอน (transverse shear deformation) และการบดเบยวออกจากระนาบ (out-of-plane warping) ของหนาตดเนองจากแรงบด ดงทแสดงในรปท 1.11 และรปท 1.12 ตามล าดบ

เมอชนสวนของโครงสราง ดงทแสดงในรปท 1.11a ถกดดแลว แรงเฉอนทเกดขนในเอว (web) ของหนาตดของชนสวนของโครงสรางจะท าใหหนาตดดงกลาวเกดการบดเบยว (warp) ตามแนวแกนของชนสวนของโครงสราง ดงทแสดงในรปท 1.11b ซงในการหาสมการท 1.34 เราสมมตใหระนาบของหนาตดของชนสวนของโครงสรางยงคงตงฉากกบแนวแกนของชนสวนของโครงสรางเหมอนกอนทชนสวนของโครงสรางจะถกดด ดงนน สมการท 1.34 จงไมเหมาะสมทจะใชกบชน


สวนของโครงสรางทมอตราสวนของ span ตอความลกต าๆ และในสวนของชนสวนของโครงสรางทมอตราสวนของแรงเฉอนตอโมเมนตสงๆ

−

−

++−

−

−−−

−

−

−

+−

+

−−−

−

−

=

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

22

22

2323

2323

22

22

2323

2323

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

400060200060

04

06

0002

06

00

00)1(2

00000)1(2

000

06

012

0006

012

00

60001206000120

0000000000

200060400060

02

06

0004

06

00

00)1(2

00000)1(2

000

06

012

0006

012

00

60001206000120

0000000000

z

y

x

z

y

x

zzzz

yyyy

yyyy

zzzz

zzzz

yyyy

yyyy

zzzz

z

y

x

z

y

x

z

y

x

z

y

x

wvu

wvu

LI

LI

LI

LI

LI

L

ILI

L

IL

JL

JL

I

L

I

L

I

L

ILI

LI

LI

LI

LA

LA

LI

LI

LI

LI

LI

L

ILI

L

IL

JL

JL

I

L

I

L

I

L

ILI

LI

LI

LI

LA

LA

E

M

MMF

FFM

MMF

FF

θ

θθ

θ

θθ

νν

νν

(1.34)

รปท 1.11

ในท านองเดยวกน เมอชนสวนของโครงสรางทมหนาตดทไมเปนรปทรงกลม ดงทแสดงในรปท 1.12a ถกบดแลว หนาตดของชนสวนของโครงสรางดงกลาวจะเกดการบดเบยว (warping) ตามแนวแกนของชนสวนของโครงสราง ดงทแสดงในรปท 1.12b ส าหรบชนสวนของโครงสรางทมหนาตดปด (closed cross section) เชน เพลากลมกลวง เพลาทอกลวง และหนาตดของคานคอนกรตเสรมเหลกแบบสเหลยมผนผา เปนตน การบดเบยวตามแนวแกนดงกลาวจะมคาทนอยมากๆ จนไมตองน ามาพจารณา แตในชนสวนของโครงสรางทมหนาตดเปด (open cross section) เชน เหลกหนาตดรป wide-flange และ C เปนตน ความตานทานตอการบดเบยวดงกลาวจะขนอยกบการยดชนสวนของโครงสรางและตวแปรอนๆ ซงอาจจะเปนผลท าใหการตอบสนองของชนสวนของโครงสรางหรอโครงสรางโดยรวมเปลยนแปลงอยางมาก อยางไรกตาม เมอการบดมคานอยๆ ดงทมกเกดขนในโครงสรางทางวศวกรรมโยธา ขอสมมตฐานทเราใชในการหาสมการท 1.27 ทวา อตราการบดมคาคงทตลอดความยาวของชนสวนของโครงสรางนนมความถกตองพอเพยงแลว


รปท 1.121.6.2 ตวแปรแสดงการเปลยนต าแหนง

ในรปท 1.6 และใน section ท 1.5 degree of freedom ทแสดงการหมนไดถกพจารณาใหเปนมมทโครงสรางหมนไป แตในการหาความสมพนธของความแกรงตอการดดของชนสวนของโครงสราง เราใช derivative ของการเปลยนต าแหนงทางดานขาง (lateral displacement) แทนมมดงกลาว มเพยงแคในการวเคราะหการบดเทานนทมมถกใชเปนหนวยวด (ในรปของ rate of twist)

ความสมพนธระหวางมมทโครงสรางหมนไปและ derivative ของการเปลยนต าแหนงทางดานขาง เชน ในกรณของ node หมายเลข 2 ในรปท 1.6 เปนตน จะอยในรป

22 y

wx ∂

∂=θ

22 x

wy ∂

∂−=θ

22 x

vz ∂

∂=θ

ซงความสมพนธดงกลาวขนอยกบสมมตฐานทเราใชในการวเคราะหโครงสรางทวา ระนาบของหนาตดของชนสวนของโครงสรางทตงฉากกบแนวแกนทผานจด centroid ของหนาตดของชนสวนของโครงสรางจะยงคงตงฉากอยเหมอนเดม เมอชนสวนของโครงสรางเกดการเปลยนแปลงรปราง

นอกจากการเปลยนต าแหนงทางดานขางและ derivative ของการเปลยนต าแหนงทางดานขางดงกลาวจะเปนหวใจส าคญใน elastic beam theory แลว การเปลยนต าแหนงทงสองยงเปนสวนส าคญในการเขยน shape function ตดของชนสวนของโครงสรางในการวเคราะหโครงสรางโดยวธ finite element analysis ดวย

ในขณะทโครงสรางมการเปลยนแปลงรปราง ชนสวนของโครงสรางจะมความเครยดเกดขนและมการเปลยนต าแหนงทงเชงเสนและการหมน ในกรณทความเครยดมคาทนอยมากๆ แลว เราจะไดวา

xuex ∂∂

=yvey ∂∂

=zwez ∂∂

=

xv

yu

xy ∂∂

+∂∂

=γxw

zu

xz ∂∂

+∂∂

=γyw

zv

yz ∂∂

+∂∂

=γ (1.35a)

และองคประกอบของการหมนรอบแกนหลกของความเครยดจะอยในรป

∂∂

−∂∂

=zv

yw

x 21θ

∂∂

−∂∂

=xw

zu

y 21θ

∂∂

−∂∂

=yu

xv

z 21θ (1.35b)

โดยนยามของระนาบหลก (principal planes) เราทราบมาแลววา ความเครยดเฉอนบนระนาบดงกลาวจะมคาเปนศนย ซงจากสมการท 1.35a เราจะไดวา


xv

yu

∂∂

−=∂∂

xw

zu

∂∂

−=∂∂

yw

zv

∂∂

−=∂∂

และจากสมการท 1.35b เราจะไดวา

zv

yw

x ∂∂

−=∂∂

=θxw

zu

y ∂∂

−=∂∂

=θyu

xv

z ∂∂

−=∂∂

=θ (1.35c)

ดงนน เราจะเหนไดวา การใช derivative ของการเปลยนต าแหนงทางดานขางแทนมมนนจะใชไดในกรณทการเปลยนต าแหนงของโครงสรางมคานอยมากๆ เทานน ซงโดยทวไปแลว การเปลยนต าแหนงคานอยมากๆ ดงกลาวจะเกดขนในโครงสรางภายใต service load แตเมอความเครยดทเกดขนมคาทคอนขางสง เชน 10,000 µε เปนตน แลว เรามกจะตองท าการวเคราะหโครงสรางแบบไมเชงเสนตรง (nonlinear analysis) ซงจะเปนการวเคราะหโครงสรางทพจารณาถงเทอมของความเครยดทม order สงๆ ดวย


ตวอยางท 1.5จงหา flexibility matrix ของคานอยางงาย (simple beam) ทมหนาตดทคงท ดงทแสดงในรป โดยใชวธ

conjugate beam

เราจะหาสมประสทธของ flexibility matrix ของคานเนองจากโมเมนต 1zM และ 2zM ไดโดยใชวธ conjugate beam ดงทแสดงในรป

ก าหนดใหคานถกกระท าโดยโมเมนต 1zM เทานน จากวธ conjugate beam เราจะไดวา

z

zz EI

LM3

11 =θ

z

zz EI

LM6

12 −=θ

ก าหนดใหคานถกกระท าโดยโมเมนต 2zM เทานน จากวธ conjugate beam เราจะไดวา

z

zz EI

LM6

21 −=θ

z

zz EI

LM3

22 =θ

เมอท าการรวมสมการของการหมนเขาดวยกน จากนน จดใหอยในรปของ matrix เราจะได flexibility matrix ของคานดงกลาวอยในรป

−

−=

2

1

2

1

2112

6 z

z

zz

z

MM

EIL

θθ


ตวอยางท 1.6จงแสดงใหเหนวา flexibility matrix ของคานในตวอยางท 1.3 และในตวอยางท 1.5 ใหคา complementary

energy ทเทากนจากตวอยางท 1.3 และสมการท 1.4b เราจะได complementary energy ของคานอยในรป

[ ] [ ]

==

2

2

2

22*1

12

2321

21

z

y

zzyf

Tf M

FL

LL

EILMFU FdF

++=

32

22

2

2222

*1

yyzz

z

FLFLMM

EILU (a)

จากตวอยางท 1.5 เราจะได complementary energy ของคานอยในรป

[ ] [ ]

−

−

==

2

121

*2 21

1262

121

z

z

zzzf

Tf M

MEILMMU FdF

( )2221

21

*2 6 zzzz

z

MMMMEILU +−= (b)

โดยพจารณาความสมดลของโมเมนตของคานรอบ node หมายเลข 1 ดงทแสดงในรป เราจะได)( 221 LFMM yzz +−= (c)

จากนน แทนสมการ (c) ลงในสมการ (b) เราจะได

*1

22

2

2222

*2 32

UFL

FLMMEILU y

yzzz

=

++=


ตวอยางท 1.7จงใชสมการมมลาด-การแอน (slope-deflection) ในการเขยน stiffness matrix ของชนสวนของคานทมหนาตดท

คงท ดงทแสดงในรป

ก าหนดใหชนสวนของคาน 1-2 เกดการเปลยนต าแหนงและรปรางเนองจากแรงกระท าทปลายของชนสวนของคาน ดงทแสดงในรป

จากสมการ slope-deflection เราจะได

−+=

LLEI

M zzz

zδθθ 624 211

−+=

LLEI

M zzz

zδθθ 642 212

ก าหนดใหการเปลยนต าแหนงสมพทธ 12 vv −=δ ดงนน

−++=

Lv

Lv

LEIM zz

zz

21211

6624 θθ

−++=

Lv

Lv

LEIM zz

zz

21212

6642 θθ

โดยพจารณาความสมดลของโมเมนตของคานรอบ node หมายเลข 2 และ node หมายเลข 1 ดงทแสดงในรป ตามล าดบ เราจะไดวา

−++=

+= 2

22

121211

121266Lv

Lv

LLLEI

LMMF zzzzz

yθθ

+−−−=

+

−= 22

212121

2121266Lv

Lv

LLLEI

LMMF zzzzz

yθθ

เมอท าการรวมสมการของโมเมนตและแรงเขาดวยกน จากนน จดใหอยในรปของ matrix เราจะได

−

−−−

−

−

=

2

2

1

1

22

22

2

2

1

1

4626

612612

2646

612612

z

zz

z

y

z

y

v

v

LL

LLLL

LL

LLLL

LEI

M

FM

F

θ

θ

ซงจะอยในรปเดยวกนกบสมการท 1.32


ตวอยางท 1.8ก าหนดใหชนสวนของโครงสรางมลกษณะและคณสมบตของหนาตด ดงทแสดงในรป1.) จงเขยน element stiffness matrix โดยสมมตใหไมมการดดในแนวตงฉากกบระนาบของแผนกระดาษ2.) ท าการหา global stiffness matrix ของชนสวนของโครงสราง

โดยท GPa 200=E และ 3.0=ν

ก าหนดใหพกด (coordinate) degree of freedom และแรงกระท าภายนอกของชนสวนของโครงสรางมลกษณะดงทแสดงในรป

1.) element stiffness matrixท าการตด degree of freedom ทเกยวของกบ out-of-plane shear และการดด 1w , 1yθ , 2w , และ 2yθ ออก

จากสมการท 1.34 แลว เราจะได element stiffness matrix ของชนสวนของโครงสรางดงนชนสวน ab

−

−−

−−

=

zb

xb

b

b

za

xa

a

a

abzb

abxb

abyb

abxb

abza

abxa

abya

abxa

vu

vu

M

M

F

F

M

M

F

F

θθ

θθ

5

45

100423.14Sym750.18000469.0

000750.0)10(50750.18010

0423.14000423.14750.18000469.00750.18000469.0000750.0000750.0

200

ชนสวน bc

−

−−

−−

=

zc

xc

c

c

zb

xb

b

b

bczc

bcxc

bcyc

bcxc

bczb

bcxb

bcyb

bcxb

vu

vu

M

M

F

F

M

M

F

F

θθ

θθ

)10(40692.7Sym000.12000480.0

000800.0)10(20000.120)10(4

0692.7000692.7000.12000480.00000.12000480.0000800.0000800.0

200

4

44


2.) global stiffness matrixท าการรวม element stiffness matrix ของแตละชนสวนของคานเขาดวยกน โดยใหหมายเลขของ degree of

freedom ใน element stiffness matrix ตรงกบหมายเลขของ degree of freedom ของ global stiffness matrix เราจะได

−

−−

−−−

−−

−−

=

zc

xc

c

c

zb

xb

b

b

za

xa

a

a

mzc

mxc

yc

xc

mzb

mxb

yb

xb

mza

mxa

ya

xa

vu

vu

vu

PP

PPPP

PPPP

PP

θθ

θθ

θθ

)10(40692.7000.12000480.0

000800.0Sym)10(20000.120)10(4.1

0692.7000115.22000.12000480.00750.6000949.0000800.0000550.10000)10(50750.1801000000423.14000423.140000750.18000469.00750.18000469.00000000750.0000750.0

200

4

45

45


ตวอยางท 1.9พจารณาคานในตวอยางท 1.8 ซงถกรองรบและถกกระท าโดยแรง ดงทแสดงในรป จงหาคาการเปลยนต าแหนงท

จด b และจด c จากนน จงค านวณหาคาแรงปฏกรยา

จาก boundary condition ของคาน เราจะไดวา0===== bzaxaaa vvu θθ

นอกจากนนแลว เนองจากคานไมถกกระท าโดยแรงบด ดงนน0== xcxb θθ

ท าการเอา rows และ columns ทสอดคลองกบ degree of freedom au , av , xaθ , zaθ , bv , xbθ , และ xcθ

ออกจาก stiffness equation ของคานในตวอยางท 1.8 เราจะได

−

−−

=

−

=

zc

c

c

zb

b

mzc

yc

xc

mzb

xb

vu

u

P

PPPP

θ

θ

)10(4000.1200480.0Sym

00800.0)10(2000.120)10(4.1

00800.00550.1

200

02/5

2/5

00

4

45

ท าการ partition matrix แลวท าการจดเรยง matrix ใหสอดคลอง เราจะได

−−

−−−

−

=

−=

zc

zb

c

c

b

mzc

mzb

yc

xc

xb

vuu

PP

PPP

θθ

)10(4)10(2000.1200)10(2)10(4.1000.1200

000.12000.1200480.000000800.0800.0000800.0550.1

200

00

2/5

2/5

0

44

45

ท าการแกสมการหา bu และ cu จาก partition บนสด

mm 046.0024.0

2/5

0550.1800.0800.0800.0

)10(33.8 3

=

=

−

c

b

uu

ท าการแกสมการหา zbθ และ zcθ ในเทอมของ cv จาก partition ลางสด

cczc

zb vv

=

−

−=

−−

2.12.0

)10(077.23000.12000.12

4.12.02.04.0

)10(923.1 55

θθ


จาก partition กลางและสมการของ zbθ และ zcθ เราจะได

[ ]

−=− −cc vv

2.12.0

000.12000.12)10(077.2300480.02002

5 5

mm 15.19−=cvแทนคา cv ลงในสมการของ zbθ และ zcθ เราจะได

radian 00530.000088.0

−−

=

zc

zb

θθ

ท าการหาคาแรงปฏกรยาจากสวนของ global stiffness matrix ทเหลอ โดยเราจะไดวา

=

−=−=−=

==

−−

=

kN 6.85m-kN 8.80-

kN 3.30-kN 3.60-

00530.000088.015.19

046.0024.0

000.12750.600480.0000)10(50000750.1800000000.750-

200 4

zc

xb

c

c

b

yb

mza

ya

xa

vuu

RR

RR

θθ

สดทาย เราจะเขยนแผนภาพ moment diagram และ elastic curve ของคานได ดงทแสดงในรปMoment diagram

Elastic curve


ตวอยางท 1.10ก าหนดใหคานในตวอยางท 1.8 ซงถกรองรบและถกกระท าโดยแรง ดงทแสดงในรป จงหาคาความลาด (slope)

ทจด b จากนน จงค านวณหาคาแรงปฏกรยาและโมเมนตดดภายใน

จาก boundary condition ของคาน เราจะไดวา0========= zcxcccbzaxaaa vuvvu θθθθ

เนองจากคานไมถกกระท าโดยแรงในแนวแกนและแรงบด ดงนน0== xbbu θ

ท าการเอา rows และ columns ทสอดคลองกบ degree of freedom ตางๆ ออกจาก stiffness equation ของคานในตวอยางท 1.8 ยกเวน zbθ ดงนน

[ ] zbmzbP θ)10(4.1200)10(50 53 ==

rad. 001786.0=zbθท าการหาคาแรงปฏกรยาจากสวนของ global stiffness matrix ทเหลอ โดยเราจะไดวา

=

m-kN 7.14kN 4.29-kN 2.41-

m-kN 17.86kN 6.70

mzc

yc

yb

mza

ya

R

R

RRR

โมเมนตดดภายใน abzbM และ bc

zcM ทเกดขนในชนสวน ab และ bc ของคานจะหาไดจาก element stiffness equation ของชนสวน ab และ bc ของคาน ตามล าดบ โดยท

[ ]m-kN 72.35

10200 5

== zb

abzbM θ

[ ]m-kN 14.28 )10(4200 4

== zb

bczcM θ

สดทาย เราจะเขยนแผนภาพ moment diagram และ elastic curve ของคานได ดงทแสดงในรป


Moment diagram

Elastic curve


ตวอยางท 1.11ก าหนดใหคานในตวอยางท 1.8 ซงถกรองรบ ดงทแสดงในรป เกดการทรดตวทจดรองรบ b เทากบ mm 20 จง

หาคา rotation ทจด b จากนน จงค านวณหาคาของแรงปฏกรยาและ bending moment

จาก boundary condition ของคาน เราจะไดวา0======== zcxccczaxaaa vuvu θθθθ

นอกจากนนแลว เนองจากคานไมถกกระท าโดยแรงในแนวแกนและแรงบด ดงนน0== xbbu θ

ท าการเอา rows และ columns ทสอดคลองกบ degree of freedom ตางๆ ออกจาก stiffness equation ของคานในตวอยางท 1.8 ยกเวน bv และ zbθ ดงนน

−

−

−=

=

zb

yb

mzb

yb RPR

θ20

)10(4.1750.6750.600949.0

2000 5

rad. 0009643.0−=zbθท าการหาคาแรงปฏกรยาจากสวนของ global stiffness matrix ทเหลอ โดยเราจะไดวา

=

−=−=

−−−

−−

=

m-kN 51.86-kN 21.51

kN 36.66-m-kN 65.36

kN 15.14

0009643.00.20

)10(2000.12000.1200480.0750.600949.0

)10(5750.18750.1800469.0

200

4

4

zb

b

mzc

yc

yb

mza

ya

v

RR

RRR

θ

และเราจะหา moment abzbM และ bc

zcM จาก member stiffness equation ได โดยท[ ]

m-kN 71.55 10750.18200 5

=+−= zbb

abzb vM θ

[ ]m-kN -55.71

)10(400.12200 4

=+= zbb

bczc vM θ



Moment diagram

Elastic curve


ตวอยางท 1.12ก าหนดใหคานในตวอยางท 1.8 ซงถกรองรบ ดงทแสดงในรป และถกกระท าโดยแรงขนาด kN 1 ท rigid

bracket จงหาคาการเปลยนต าแหนงทจด b จากนน จงค านวณหาคาของแรงปฏกรยา แรงบด และ bending moment

จาก boundary condition ของคาน เราจะไดวา0======== zcxccczaxaaa vuvu θθθθ

นอกจากนนแลว เนองจากคานไมถกกระท าโดยแรงในแนวแกน ดงนน0=bu

ท าการเอา rows และ columns ทสอดคลองกบ degree of freedom ตางๆ ออกจาก stiffness equation ของคานในตวอยางท 1.8 ยกเวน bv , xbθ , และ zbθ

−=

−=

zb

xb

b

mzb

mxb

yb v

PPP

θθ

)10(4.1Sym.0115.22750.6000949.0

200040

1

5

ท าการแกสมการท 2 เราจะไดrad. 009044.0−=xbθ

ท าการแกสมการท 1 และสมการท 3 เราจะได

−

=

−

=

−

rad. 0.0000263-mm 545.0

01

00949.0750.6750.6)10(4.1

)10(897.35

6

zb

bvθ

ท าการหาคาแรงปฏกรยาจากสวนของ global stiffness matrix ทเหลอ โดยเราจะไดวา

=

−==−=

−−−

=

m-kN 1.413-mm-kN 13.9-

kN 0.586m-kN 1.781mm-kN 26.1-

kN 0.423

0000263.0009044.0545.0

)10(20000.120692.70000.12000480.0

)5(10018.750-014.423-0

18.75000.00469-

200

4

4

zb

xb

b

mzc

mxc

yc

mza

mxa

ya

v

RR

RRR

R

θθ


สดทาย เราจะเขยนแผนภาพ torque diagram, moment diagram, และ elastic curve ของคานได ดงทแสดงในรปTorque diagram และ moment diagram

Elastic curve


ตวอยางท 1.13ก าหนดให rigid frame ประกอบขนจากชนสวนของโครงสรางในตวอยางท 1.81.) จงใชสมประสทธของ stiffness matrix ทหาไดจากตวอยางท 1.8 มาประกอบกนเปน stiffness equation ท

แสดงความสมพนธของแรงกระท าท joint b และ degree of freedom ท joint ดงกลาว2.) จงหาคาการเปลยนต าแหนงทจด b

จาก boundary condition ของ rigid frame เราจะไดวา0====== zccczaaa vuvu θθ

ดงนน เราจะม nonzero degree of freedom เปนbu , bv , และ zbθ

1.) หา stiffness equationท าการเลอก influence coefficient ทจะใชจากตวอยางท 1.8 โดยใชพนฐานของพฤตกรรมของ rigid frameก าหนดให rigid frame เกดการเปลยนต าแหนงในแนวนอน bu เพยงอยางเดยว

bbxb uuP 7548.0200]00480.0750.0[200 ×=+=0]00[200 =+= byb uP

bbmzb uuP 000.12200]000.120[200 ×=+=


ก าหนดให rigid frame เกดการเปลยนต าแหนงในแนวดง bv เพยงอยางเดยว

0]00[200 =+= bxb vP

bbyb vvP 80469.0200]800.000469.0[200 ×=+=

bbmzb vvP 750.18200]0750.18[200 ×−=+−=

ก าหนดให rigid frame เกดการหมน zbθ เพยงอยางเดยว

zbzbxbP θθ 000.12200]000.120[200 ×=+=

zbzbybP θθ 750.18200]0750.18[200 ×−=+−=

zbzbmzbP θθ )10(4.1200)]10(4.0)10(0.1[200 555 ×=+=

เมอท าการรวมสมการตางๆ เขาดวยกนและประกอบใหอยในรปของ matrix จากนน ให แรงกระท าตอ rigid frame เราจะได

−=

−=

zb

b

b

mzb

yb

xb

vu

PPP

θ)10(4.1Sym.750.188047.0

000.1207548.0200

)10(502/100

2/100

53

2.) หาการเปลยนต าแหนงโดยการแกสมการ stiffness equation

=

rad. 0.00169mm 0.3998-

mm 0.4414

zb

b

b

vu

θ


แบบฝกหดทายบทท 11.1 จงเขยน global stiffness matrix ของคาน ดงทแสดงในรป (a) โดยไมพจารณาการเปลยนแปลงรปรางในแนวแกน

จากนน จงหาคาการเปลยนต าแหนง แรงปฏกรยา shear diagram และ moment diagram ของคานทถกกระท าโดยน าหนกบรรทก ดงทแสดงในรป (b) ถง (e)

1.2 จงหาคาการเปลยนต าแหนง แรงปฏกรยา shear diagram และ moment diagram ของคาน ดงทแสดงในรป ก าหนดใหคานมคา EI คงทตลอดความยาวคาน

1.3 จงหาคาการเปลยนต าแหนง แรงปฏกรยา และแรงภายในชนสวนตางๆ ของโครงสราง ดงทแสดงในรป ก าหนดให MPa 000,200=E


1.4 จงหาคาการเปลยนต าแหนง แรงปฏกรยา และแรงภายในชนสวนตางๆ ของระบบโครงสราง ดงทแสดงในรป ก าหนดให MPa 000,200=E

1.5 จงหาคาการเปลยนต าแหนง แรงปฏกรยา และแรงภายในชนสวนตางๆ ของระบบโครงสราง ดงทแสดงในรป ก าหนดให MPa 000,200=E


บทท 2การวเคราะหโครงสรางโดยวธ Direct Stiffness Method - II

บทนจะกลาวถงวธการแปลงรปพกด (coordinate transformation) ของ degree of freedom ของแรง และของความสมพนธของแรงและการแปลงต าแหนงจากระบบพกดหนงไปยงระบบพกดอกรปแบบหนง และวธการวเคราะหโครงสรางทถกแรงกระท าอยระหวาง node ของชนสวนของโครงสราง ซงจะท าใหเราสามารถท าการวเคราะหโครงสรางทมพฤตกรรมแบบยดหยนเชงเสนตรง (linear elastic) ไดกวางมากขน อยางไรกตาม วธการวเคราะหโครงสรางทถกกระท าโดยการเปลยนแปลงอณหภมและมความเครยดเรมตน (initial strain) จะถกกลาวถงในบทท 42.1 การแปลงรปพกด (Coordinate transformations)

พจารณาโครงรบแรงในสามมต (space frame) ซงถกรองรบแบบยดแนนและมจดเชอมตอแบบแกรงท a ดงทแสดงในรปท 2.1a ก าหนดใหพกดอางองหลก (global coordinate) ของโครงสรางคอระบบแกนตงฉาก x , y , และ zโดยมจดเรมตนของระบบแกนอยทจดรองรบ b ภายใตแรงกระท าภายนอก ชนสวน ab ของโครงสรางเกดแรงภายในและเกดการเปลยนแปลงรปรางโดยทจด a เคลอนทไปยงจด q ดงทแสดงในรปท 2.1b ในทน เราจะเขยน vector ของแรงและการเปลยนแปลงรปรางดงกลาวไดหลายรปแบบ

รปท 2.1


ในรปแบบแรก vector ของการเปลยนแปลงรปรางจะถกเขยนไดโดยใชขนาดของการเปลยนต าแหนง ρ มม αและมม β ในท านองเดยวกน vector ของแรงจะถกเขยนไดโดยใชขนาดของแรง มม γ และมม δ การเขยน vector ของแรงและการเปลยนต าแหนงในลกษณะนจะใชไดดในกรณทชนสวน ab ของโครงสรางไมไดยดตดกบชนสวนอนๆ ของโครงสรางและแรง abF กระท าอยทจดทไมเกดการเปลยนต าแหนงเทานน แตจะท าใหการเขยน element stiffness ของชนสวนของโครงสรางมความไมชดเจน

ในรปแบบทสอง เราจะเขยน vector ของแรงและโมเมนตโดยใชระบบพกดอางองรอง (local coordinate) ดงทแสดงในรปท 2.1c โดยทองคประกอบของ vector ของแรงและโมเมนต axF ′ , ayF ′ , azF ′ , axM ′ , ayM ′ , และ azM ′

จะถกก าหนดใหมทศทางขนานไปกบแกนตางๆ ในระบบแกน x′ , y′ , และ z′ ในรป [ ]Tazayaxazayax MMMFFF ′′′′′′=′F

ในแบบทสาม เราจะเขยน vector ของแรงและโมเมนตโดยใชระบบพกดอางองหลก (global coordinate) ดงทแสดงในรปท 2.1d โดยทองคประกอบของ vector ของแรง และโมเมนต xaF , yaF , zaF , xaM , yaM , และ azM ′ จะถกก าหนดใหมทศทางขนานไปกบแกนตางๆ ในระบบแกน x , y , และ z ในรป

[ ]Tzayaxazayaxa MMMFFF=Fเมอเราทราบ vector ของแรงและโมเมนตแบบทสองแลว เราจะสามารถหา vector ของแรงและโมเมนตแบบสาม

ไดโดยท าการแปลงรป (transformation) และในทางกลบกน เมอเราทราบ vector ของแรงและโมเมนตแบบทสามแลว เราจะสามารถหา vector ของแรงและโมเมนตแบบสองไดโดยการท า transformation โดยทแรงลพธทเกดจากองคประกอบของแรงและโมเมนตในแบบทสองจะเทากบแรงลพธทเกดจากองคประกอบของแรงและโมเมนตในแบบทสาม2.1.1 เมตรกซของการแปลงรป (Transformation Matrices)

เราทราบมาแลววา เราสามารถเขยนการเปลยนต าแหนงทงการเลอนและการหมน (translation และ rotation) และแรงและโมเมนตใหอยในรปของ vector ได ซงกฎการแปลงรป (transformation rule) ของการเปลยนต าแหนงและแรงจะมลกษณะทเหมอนกน

พจารณาแรงลพธ S ดงทแสดงในรปท 2.2 ซงเราจะเขยนองคประกอบของแรงลพธดงกลาวใหอยในระบบพกดlocal coordinate และระบบพกด global coordinate ได ดงทแสดงในรปท 2.2a และ 2.2b ตามล าดบ โดยทองคประกอบของแรงในระบบพกดทงสองจะถกเขยนใหสมพนธกนไดโดยใช direction cosines ดงทแสดงในรปท 2.3 ดงนน เราจะไดวา

xzaxyaxxaax FFFF ′′′′ ++= δβα coscoscos

yzayyayxaay FFFF ′′′′ ++= δβα coscoscos

zzazyazxaaz FFFF ′′′′ ++= δβα coscoscosโดยการใชสญลกษณ l แทน αcos , m แทน βcos , และ n แทน δcos และใช subscripts ทสอดคลองกบ

αcos , βcos , และ δcos แลว เราจะเขยนสมการขางตนไดใหมในรปzaxyaxxaxax FnFmFlF ′′′′ ++=

zayyayxayay FnFmFlF ′′′′ ++= (2.1)zazyazxazaz FnFmFlF ′′′′ ++=

ซงจะเขยนใหอยในรปของ matrix ไดเปน


=

′′′

′′′

′′′

′

′

′

za

ya

xa

zzz

yyy

xxx

az

ay

ax

F

FF

nmlnmlnml

F

FF

(2.2)

หรอ [ ] FF FγF =′ (2.3)

โดยท matrix [ ]γ จะถกเรยกวา rotation matrix ซงแสดงความสมพนธระหวางระบบพกด local coordinate และระบบพกด global coordinate

รปท 2.2

รปท 2.3

คณสมบตของ direction cosines ทเราควรทราบคอ ผลรวมของคายกก าลงสองขององคประกอบของ direction cosines ของแกนๆ หนงจะมคาเทากบหนง

1222 =++ ′′′ xxx nml1222 =++ ′′′ yyy nml (2.4)1222 =++ ′′′ zzz nml

และส าหรบแกนสองแกนใดๆ ทตงฉากตอกน ผลรวมของผลคณของ direction cosines ของแกนทงสองดงกลาว (scalar product) จะมคาเทากบศนย


0=++ ′′′′′′ yxyxyx nnmmll 0=++ ′′′′′′ zyzyzy nnmmll (2.5) 0=++ ′′′′′′ xzxzxz nnmmll

สมการท 2.4 และสมการท 2.5 แสดงใหเหนวา matrix [ ]γ เปน orthogonal matrix ซงเราจะไดวา [ ] [ ]Tγγ =−1 (2.6)

ซงจะพสจนไดโดยใช identity [ ][ ] [ ][ ]TγγIγγ ==−1

เนองจากแรงและโมเมนตมการ transformation ทเปนอสระตอกน ดงนน จากรปท 1.6 ซงแสดงชนสวนของโครงสรางทม 12 degree of freedom เราจะหาแรงและโมเมนตทอยในระบบพกด local coordinate ไดโดยใชสมการ

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

=

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

z

y

x

z

y

x

z

y

x

z

y

x

z

y

x

z

y

x

z

y

x

z

y

x

MMMF

FFMMMF

FF

MMMF

FFMMMF

FF

γ000

0γ00

00γ0

000γ

(2.7)

หรอ [ ] FΓF =′ (2.8)

[ ]

[ ][ ]

[ ][ ]

=

γγ

γγ

Γ (2.9)

โดยท [ ]Γ เปน orthogonal matrix เชนเดยวกบ [ ]γ หรอ [ ] [ ]TΓΓ =−1 (2.10)

นอกจากนนแลว เนองจาก transformation ของการเปลยนต าแหนงและแรงและโมเมนตมกฎทเหมอนกน ดงนน เราจะไดวา

[ ] ∆Γ∆ =′ (2.11)2.1.2 การแปลงรปของ Degrees of Freedom (Transformation of Degrees of Freedom)

เมอเราทราบ transformation matrix แลว เราจะท าการแปลงรป stiffness matrix จากระบบพกดอางองหนงไปยงระบบพกดอางองอกพกดหนงได

ถาเราม stiffness matrix ของชนสวนของโครงสรางในระบบพกด local coordinate ในรป [ ] ∆kF ′′=′ (2.12)


จากสมการท 2.11 เราจะไดวา [ ][ ] ∆ΓkF ′=′ (2.13a)

และจากสมการท 2.8 [ ] [ ][ ] ∆ΓkFΓ ′= (2.13b)

หรอ [ ] [ ][ ] ∆ΓkΓF ′= −1 (2.13c)

โดยการใชคณสมบต orthogonal ดงทแสดงในสมการท 2.10 เราจะได [ ] [ ][ ] ∆ΓkΓF ′= T (2.14)

เนองจาก [ ] ∆kF = (2.15)ดงนน

[ ] [ ] [ ][ ]ΓkΓk ′= T (2.16)ซงเปน matrix ของ stiffness matrix ของชนสวนของโครงสรางในระบบพกด global coordinate2.1.3 การแปลงรปและพลงงาน (Transformation and Energy)

การแปลงรปของ element stiffness matrix สามารถท าไดอกทางหนงโดยการใชพลงงานความเครยด (strain energy) และงานภายนอก (external work) ทกลาวถงไปแลวใน section ท 1.2 เนองจากงานเปนปรมาณ scalar ดงนน งานจะไมเปลยนแปลงไปตามระบบพกดอางองทใช

เมอแทนสมการท 2.11 ลงในสมการท 1.3 เราจะได

[ ] F∆FΓ∆F∆ TTTTW21

21

21

=′=′′= (2.17)

เมอแทนสมการท 2.11 ลงในสมการท 1.4a เราจะได

[ ] [ ] ∆k∆∆ΓkΓ∆∆k∆ TTTTW21

21

21

=′=′′′= (2.18)

ดงนน จากสมการท 2.17 และ 2.18 เราจะได element stiffness transformation อยในรป[ ] [ ] [ ][ ]ΓkΓk ′= T

ซงเหมอนกบสมการท 2.16


ตวอยางท 2.1จงหา stiffness matrix ของชนสวนของโครงสรางทรบแรงในแนวแกนทไดในตวอยางท 1.2 โดยใชสมการท

1.26a และ transformation matrix (สมการท 2.7 และ 2.16)

ในการหาสมการท 1.26a เราก าหนดใหแรงและการเปลยนต าแหนงอยในระบบพกด local coordinate ในลกษณะดงทแสดงในรป a ซงเราจะเขยนสมการดงกลาวไดใหมในรป

[ ] ∆kF ′′=′ซงในกรณน [ ]k ′ เปน matrix 2×2

stiffness matrix ของชนสวนของโครงสรางทไดในตวอยางท 1.2 ถกหามาโดยก าหนดใหแรงและการเปลยนต าแหนงอยในระบบพกด global coordinate ในลกษณะดงทแสดงในรป b ซงเราจะเขยนสมการดงกลาวไดใหมในรป

[ ] ∆kF =ซงในกรณน [ ]k เปน matrix 4×4

จากสมการท 2.16[ ] [ ] [ ][ ]ΓkΓk ′= T

โดยทเมอเราท าการตดเทอมทไมเกยวของออกจากสมการท 2.7 เราจะได

=

′′

′′

′

′

2

2

1

1

2

1

0000

y

x

y

x

xx

xx

x

x

FF

FF

mlml

FF

ดงนน transformation matrix จะอยในรป

[ ]

=

′′

′′

xx

xx

mlml00

00Γ

และจากสมการท 2.16 เราจะหา stiffness matrix ของชนสวนของโครงสรางไดในรป

[ ]

−

−

=φφ

φφ

φφ

φφ

sincos0000sincos

1111

sin0cos0

0sin0cos

LEAk

ดงนน


−−−

−−−−

=

2

2

1

1

22

22

22

22

2

2

1

1



vuvu

LEA

FFFF

y

x

y

x


ซงเปน stiffness matrix ของชนสวนของโครงสรางทรบแรงในแนวแกนดงทไดในตวอยางท 1.2


ตวอยางท 2.2ก าหนดใหชนสวนของโครงรบแรง (frame) อยในระนาบ yx − ดงทแสดงในรป จงท าการลดรป transformation

matrix ในสมการท 2.7 เพอใชในชนสวนของโครงรบแรงดงกลาว

ก าหนดใหระบบพกด local coordinate, global coordinate, degree of freedom, และแรงกระท าตอชนสวนของโครงรบแรงมลกษณะดงทแสดงในรป

เมอเราท าการตดเทอมทไมเกยวของออกจากสมการท 2.7 เราจะได

=

′′

′′

′′

′′

′

′

′

′

′

′

2

2

2

1

1

1

2

2

2

1

1

1

1000000000000000010000000000

z

y

x

z

y

x

yy

xx

yy

xx

z

y

x

z

y

x

MFFM

FF

mlml

mlml

MFFM

FF

ดงนน transformation matrix ของโครงรบแรงจะอยในรป

[ ]

−

−

=

1000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos

φφφφ

φφφφ

Γ


ตวอยางท 2.3ก าหนดใหโครงรบแรงแบบแกรง (rigid frame) ดงทแสดงในรป ม MPa 000,200=E และมคณสมบตของ

ชนสวนดงนชนสวน ab , cd , ed , ม 23 mm)10(4=A , และ 46 mm)10(50=I

ชนสวน bc , ม 23 mm)10(6=A , และ 46 mm)10(200=Iจงใชผลลพธทไดในตวอยางท 1.8 และ transformation matrix สมการท 2.2 หา global stiffness matrix ของ rigid frame

ชนสวน abก าหนดใหระบบพกด local coordinate, global coordinate, degree of freedom, และแรงกระท าตอชนสวน

ab มลกษณะดงทแสดงในรป ดงนน เราจะเขยน element stiffness matrix ของชนสวน ab ไดในรป

au′ av′ az′θ bu′ bv′ bz′θ

[ ]

−−−

−−

−

=′

)10(400)10(200.12000048.0000.120048.0000800.000800.0

)10(200.120)10(400.12000.120048.0000.120048.00

00800.000800.0

200

44

44

abk

เนองจากชนสวน ab ม transformation matrix อยในรป


[ ]

−

−

=

−

−

=

100000001000010000000100000001000010

100000090cos90sin000090sin90cos000000100000090cos90sin000090sin90cos

oo

oo

oo

oo

Γ

ดงนน จากสมการท 2.16 เราจะได element stiffness matrix ของชนสวน ab ในระบบพกด global coordinate อยในรป

au av zaθ bu bv zbθ

[ ]

−−

−−

−−−−

=

)10(4000.12)10(2000.120800.000800.0000.1200048.000.1200048.0

)10(2000.12)10(4000.120800.000800.00

00.1200048.000.1200048.0

200

44

44

abk

ชนสวน bcก าหนดใหระบบพกด local coordinate, global coordinate, degree of freedom, และแรงกระท าของชนสวน

bc มลกษณะดงทแสดงในรป เราจะได element stiffness matrix ของชนสวน bc ในระบบพกด global coordinate อยในรป

bu bv zbθ cu cv zcθ

[ ]

−−−−−−

−−−−−−

−−−−

=

)10(10381.170313.7)10(5.0381.170313.7381.171095.02591.0381.171095.02591.0

0313.72591.06452.00313.72591.06452.0)10(5381.170313.7)10(10381.170313.7

381.171095.02591.0381.171095.02591.00313.72591.06452.00313.72591.06452.0

200

44

44

bck

ชนสวน cd cu cv zcθ du dv zdθ

[ ]

−−−−−−−−−−

−−−−

−−

=

)10(4600.9200.7)10(2600.9200.7600.92911.03817.0600.92911.03817.0200.73817.05137.0200.73817.05137.0

)10(2600.9200.7)10(4600.9200.7600.92911.03817.0600.92911.03817.0200.73817.05137.0200.73817.05137.0

200

44

44

cdk


ชนสวน ed eu ev zeθ du dv zdθ

[ ]

−−

−−

−−−−

=

)10(4000.12)10(2000.120800.000800.0000.1200048.000.1200048.0

)10(2000.12)10(4000.120800.000800.00

00.1200048.000.1200048.0

200

44

44

edk

เมอน า element stiffness matrix ของแตละชนสวนของโครงสรางมาประกอบเขาดวยกน โดยใหหมายเลขของ degree of freedom ใน element stiffness matrix ตรงกบหมายเลขของ degree of freedom ของ global stiffness matrix ของโครงสราง เราจะได

−−

−−−−

−−−−

−−−−−

−−−

−−−−

=

ze

e

e

zd

d

d

zc

c

c

zb

b

b

za

a

a

mze

ye

xe

mzd

yd

xd

mzc

yc

xc

mzb

yb

xb

mza

ya

xa

vu

vu

vu

vu

vu

P

PPP

PPP

PPP

PPP

PP

θ

θ

θ

θ

θ

)10(40800.0

00.1200048.0)10(2000.12)10(8

0800.0060.90911.1Sym00.1200048.0800.43817.05185.0

)10(2600.9200.7)10(14600.92911.03817.0781.74006.0200.73817.05137.0231.141226.01589.1

)10(5381.170313.7)10(14381.171095.02591.0381.179095.00313.72591.06452.0969.42591.06500.0

)10(2000.12)10(40800.000800.0

00.1200048.000.1200048.0

200

4

44

44

44

44

0

00

000


2.2 น าหนกบรรทกอยระหวาง nodal pointsโดยทวไปแลว โครงสรางจะถกกระท าโดยแรงกระท าระหวางจดตอ (nodal points) ของโครงสราง ดงทแสดงใน

รปท 2.4

รปท 2.4

ในกรณทโครงสรางถกกระท าโดยแรงกระท าเปนจด (concentrated load) เราจะท าการวเคราะหโครงสรางดงกลาวไดโดยการก าหนดใหจดทแรงดงกลาวกระท าเปน node ดงทแสดงโดยจด p และ q ในรปท 2.4a จากนน ท าการวเคราะหโครงสรางตามวธทกลาวไปแลว แตการเพม node ทจดทแรงกระท าจะท าใหจ านวน degree of freedom ของโครงสรางมมากขน ซงจะท าใหการวเคราะหโครงสรางใชเวลานานมากขน นอกจากนนแลว วธการดงกลาวยงไมเหมาะสมทจะใชในการวเคราะหโครงสรางทถกกระท าโดยแรงกระจาย (distributed loads) ดงทแสดงในรปท 2.4b และ 2.4c ดงนน โดยทวไปแลว การวเคราะหโครงสรางดงกลาวจะท าไดโดยใชการยดรงของจดตอสมมต (fictitious joint restraint) แรงทปลายยดแนน (fixed end force) และน าหนกบรรทกสมมลทจดตอ (equivalent nodal loads)

พจารณาคานตอเนอง (continuous beam) ซงถกกระท าโดยแรงกระท าเปนจด ดงทแสดงในรปท 2.5 การวเคราะหคานดงกลาว เราจะเรมจากการเขยนความสมพนธระหวางแรงกระท าและการเปลยนต าแหนง

[ ] ∆KP =

รปท 2.5


เมอเราท าการจดกลม degree of freedom ทสอดคลองกบการรองรบและทเปนอสระใหอยดวยกนและท า partition ความสมพนธระหวางแรงกระท าและการเปลยนต าแหนงแลว เราจะไดวา

=

s

f

sssf

fsff

s

f

∆∆

KKKK

PP

ส าหรบในกรณของคานซงม free body diagram ดงทแสดงในรปท 2.5b เราจะไดวา

=

−

0000

000

c

b

a

a

sssf

fsff

md

yd

yc

yb

v

R

RR

R

P

θθθ

KKKK (2.19)

จากนน เราจะท าการหาคาการเปลยนต าแหนงทไมทราบคาและคาแรงปฏกรยา สดทาย ท าการหาแรงภายใน (internal forces) และท าการเขยนแผนภาพ moment diagram และ elastic curve ดงทแสดงในรปท 2.5c และ 2.5d

พจารณาคานตอเนองอกครง แตในทนถกกระท าโดยแรงกระจาย q ดงทแสดงในรปท 2.6 ซงแรงดงกลาว (ซงอยระหวาง nodal points ของคาน) จะถกพจารณาแบงออกเปนสองสวนและผลทเกดจากแตละสวนจะถกน ามารวมกนในภายหลง ดงทแสดงโดยรปท 2.6a ถง 2.6c

รปท 2.6


ขนตอนทหนง เราจะสมมตใหแตละชวงของคานถกยดรงแบบยดแนน ดงทแสดงในรปท 2.6a เพอลดจ านวน degree of freedom ท node ใหเทากบศนย ในทน แรงทเกดขนจากการยดแนนดงกลาวจะประกอบดวยแรงเฉอนสองคาและ moment สองคากระท าท node b และ node c ของคาน เราควรทราบดวยวา โมเมนตทปลายยดแนน (fixed-end moment) F

mcP ดงทแสดงในรป จะมคาเปนลบ เพอทจะยดรงการหมนทจด c ไมใหเกดขน และแรงและโมเมนตทปลายยดแนนดงกลาวจะเปนอสระจากระบบคานทเราพจารณาและไมขนอยกบการรองรบ จากวชาการวเคราะหโครงสราง เราจะไดวา แรงเฉอนทปลายยดแนน (fixed-end shear) จะอยในรป 2/qL และ fixed-end moment จะอยในรป 2/2qLจากนน เราจะหาคาแรงภายในและการเปลยนแปลงรปรางของคานเนองจากการยดรงทเราสมมตดงกลาวได ดงทแสดงโดยแผนภาพ moment diagram และ elastic curve ดงทแสดงในรปท 2.6a

ตารางท 2.1 แสดงคา fixed-end shear และ fixed-end moment ในกรณตางๆ

ตารางท 2.1

ขนตอนทสอง เราจะเอาการยดรงทเราสมมตในขนตอนแรกออกและให fixed-end shear และ fixed-end moment ทมทศทางตรงกนขามกบ fixed-end shear และ fixed-end moment ทเราหาไดในขนตอนแรกกระท าตอคาน ซงเราจะเรยก fixed-end shear และ fixed-end moment ดงกลาววา น าหนกบรรทกสมมลทจดตอ (equivalent nodal loads) ดงทแสดงโดยสญลกษณ EP ในรปท 2.6b จากนน เราจะหาคาแรงภายในและการเปลยนแปลงรปรางของคานเนองจาก equivalent nodal loads ได ดงทแสดงโดยแผนภาพ moment diagram และ elastic curve ดงทแสดงในรปท 2.6b

สดทาย ท าการรวมผลทไดจากการวเคราะหทงสองกรณเขาดวยกน ซงเราจะไดแผนภาพ free body diagram, แผนภาพ moment diagram, และ elastic curve ดงทแสดงในรปท 2.6c ซงเปนการตอบสนองจรงของคานดงกลาวเนองจากแรงกระจาย q

ในการค านวณ เราจะท าการบวก fixed-end shear และ fixed-end moment ในขนตอนทหนงเขากบความสมพนธระหวางแรงกระท าและการเปลยนต าแหนงในรป


[ ] FP∆KP +=ในทางกายภาพ เราจะเหนไดวา ถาการเปลยนต าแหนงท node มคาเทากบศนย 0=∆ แลว FPP =

และเมอเราท าการจดกลม degree of freedom ทสอดคลองกบการรองรบและทเปนอสระใหอยดวยกนและท า partition ความสมพนธระหวางแรงกระท าและการเปลยนต าแหนงดงกลาวแลว เราจะไดวา

+

=

Fs

Ff

s

f

sssf

fsff

s

f

P

P∆∆

KKKK

PP

ดงนน จากตวอยางในรปท 2.6 เราจะได

−+

=

00

2/2/12/

12/00

0000

0000

2

2

qLqLqLqL

v

R

R

RR

c

b

a

a

sssf

fsff

md

yd

yc

yb

θθθ

KKKK (2.20)

เมอเราท าการยายแรง FP ไปอยทางดานซายมอของเครองหมายเทากบ (=) แลว เราจะไดวา แรงดงกลาวจะเปรยบเสมอนแรงและโมเมนตทมทศทางตรงกนขาม fixed-end shear และ fixed-end moment ดงทไดกลาวไปแลวในขนตอนทสอง ดงนน

[ ] ∆KPPPP =+=− EF (2.21)เมอแรง EP เปน equivalent nodal loads และจากตวอยางในรปท 2.6 เราจะไดวา

=

−

−

+

−

0000

2/

2/12/

12/000

2

2c

b

a

a

sssf

fsff

md

yd

yc

yb

v

R

qLR

qLRqLR

qL θθθ

KKKK

(2.22)

จากนน ท าการหาคาการเปลยนต าแหนงทไมทราบคา แรงปฏกรยา ( ybR , ycR , ydR , และ mdR ) และแรง (โมเมนต) ภายในเหมอนตามปกต

จากสมการท 2.22 เมอไมมการทรดตวเกดขนทจดรองรบ 0=s∆ แลว คาการเปลยนต าแหนงทไมทราบคาจะหาไดจาก

[ ] Ffffff PPK∆ −= −1

และแรงปฏกรยาจะหาไดจาก [ ] Fsfsfs P∆ KP +=


ในการหาแรงทเกดขนภายในชนสวนของโครงสราง เราจะน าคาเปลยนต าแหนงทหาไดคณกบ element stiffness matrix ของชนสวนของโครงสรางแลวรวมเขากบคา fixed-end shear และ fixed-end moment ทหาไดในขตอนทหนง ซงเราจะเขยนใหอยในรปของสมการไดเปน

[ ] FF∆ kF +=


ตวอยางท 2.4ก าหนดใหคาน ดงทแสดงในตวอยางท 1.8 ถกรองรบและถกกระท าโดยน าหนกบรรทก ดงทแสดงในรป จงหาคา

การเปลยนต าแหนงทจด a และจด b จากนน จงค านวณหาคาแรงปฏกรยาและโมเมนตดด

จากโจทยเราจะเขยนแผนภาพ free body diagram ของคานได ดงทแสดงในรป

และเราจะหาคา fixed-end shear และ fixed-end moment ไดดงน

จากสมการความสมพนธระหวางแรงกระท าและการเปลยนต าแหนงและ stiffness equation ของคานในตวอยางท 1.8 เราจะได

−

+

−−−−

−−

=

)10(60.9

04.7)10(73.3

96.20)10(67.10

00.8

)10(400.1200480.0Sym.

)10(200.12)10(4.100.1200480.075.600949.0

00)10(575.18100075.1800469.075.1800469.0

200

3

3

3

4

45

45

zc

c

zb

b

za

a

mzc

yc

mzb

yb

mza

ya

v

v

v

R

RP

RP

R

θ

θ

θ

เนองจาก 0== mzbmza PP และ 0==== zccba vvv θ ดงนน เมอเราท าการเรยงล าดบของ matrix และท า partition เราจะได


zaθ zbθ av bv cv zcθ

−

+

−−

−−−

−

=

)10(60.9

04.796.20

00.8)10(73.3

)10(67.10

0000

)10(400.1200480.0Sym.

00.1200480.000949.00000469.000469.0

)10(200.1275.675.18)10(4.10075.1875.18)10(510

200

00

3

3

3

4

45

45

zb

za

mzc

yc

yb

ya

R

R

R

Rθθ

ดงนน เราจะหาคาการเปลยนต าแหนงทจด a และจด b ไดจาก

−

=

−−

=

−

−−−

)10(698.0)10(684.5

73.367.10

4.15.05.01

20010

4

412

zb

za

θθ

rad

คาของแรงปฏกรยาจะหาไดจาก zaθ zbθ

−

=

−

+

−

−−−

=

−

)10(32.987.6

00.2313.6

)10(60.904.796.20

00.8

698.0684.5

)10(2000.12075.675.1875.1875.18

)10(2

334

2

mzc

yc

yb

ya

R

R

RR

mm-kNkNkNkN

และโมเมนตภายในจะหาไดจาก zaθ zbθ

−=

−+

−

=

−

)10(96.14)10(96.14

0

)10(40.14)10(67.10

)10(67.10

698.0684.5

)10(4010)10(5

)10(510)10(2

3

3

3

3

3

4

54

45

2

bczb

abzb

abza

M

M

M

mm-kN



ตวอยางท 2.5ก าหนดให rigid frame ดงทแสดงในรปม GPa 200=E และมคณสมบตของชนสวนตางๆ ดงนชนสวน ab และชนสวน cd ม 23 mm )10(4=A และ 46 mm )10(50=I

ชนสวน bc ม 23 mm )10(6=A และ 46 mm )10(200=Iถาไมน าการเปลยนรปรางในแนวแกน (axial deformation) มาพจารณา

1.) จงค านวณหาการเปลยนต าแหนงทเกดขนเนองจากแรงกระจายแบบสม าเสมอขนาด kN/m 2 ตลอดความยาวของ span bc

2.) จงค านวณหาการเปลยนต าแหนงทเกดขนเนองจากแรงในแนวนอนกระท าขนาด kN 5.2 ทจดเชอมตอ bและ c

เมอไมน าการเปลยนรปรางในแนวแกนมาพจารณา เราจะไดวา 0== cb vv ดงนน global stiffness matrix ทพจารณาเฉพาะ degree of freedom ทไมเทากบศนยจะอยในรป

+

=

Fmc

Fxc

Fmb

Fxb

c

c

b

b

mc

xc

mb

xb

P

P

P

P

u

u

PPPP

θ

θ

)10(4.1Sym.000.1200480.0

)10(50)10(4.100000.1200480.0

200

5

45

1.) เมอ rigid frame ถกกระท าโดยแรงกระจายแบบสม าเสมอขนาด kN/m 2 ตลอดความยาวของ span bcแลว rigid frame จะเกดการเปลยนแปลงรปรางอยางสมมาตร ดงทแสดงในรป และเนองจากเราไมน าการเปลยนรปรางในแนวแกนมาพจารณา เราจะไดวา

0=−= bc uu และ bc θθ −=

ดงนน


−

+

−

=

)10(67.100

)10(67.100

0

0

)10(4.1Sym.000.1200480.0

)10(50)10(4.100000.1200480.0

200

0000

3

3

5

45

b

b

θ

θmm-kN

จากสมการทสอง เราจะได)10(67.1010)5.04.1(2000 35 +−= bθ

rad 000593.0−=bθ2.) เมอ rigid frame ถกกระท าโดยแรงในแนวนอนทจดเชอมตอ b และ c แลว rigid frame จะเกดการเปลยน

แปลงรปรางแบบ antisymmetry ดงทแสดงในรป ซงเราจะไดวา cb θθ = และเนองจากเราไมน าการเปลยนรปรางในแนวแกนมาพจารณา cb uu = ดงนน

=

=

b

b

b

b

mc

xc

mb

xb

u

u

PPPP

θ

θ

)10(4.1Sym.000.1200480.0

)10(50)10(4.100000.1200480.0

200

05.2

05.2

5

45

หลงจากทเราท าการแกสมการโดยใชสองสมการแรก เราจะได

=

b

buθ)10(9.1000.12

000.1200480.0200

05.2

5

−

=

rad 000195.0mm 09.3

b

buθ


แบบฝกหดทายบทท 22.1 จงหาคาการเปลยนต าแหนง แรงปฏกรยา shear diagram และ moment diagram ของคาน ดงทแสดงในรป ก าหนด

ใหคานมคา E คงทตลอดความยาวคาน

2.2 ก าหนดใหชนสวนตางๆ ของโครงสราง ดงทแสดงในรป มคา E คงทและ 0=A จงหาคาการเปลยนต าแหนง u , v , และ θ ทเกดขนท joint a shear diagram และ moment diagram ของชนสวนตางๆ ของโครงสราง จากนน จงตอบค าถามตอไปนa.) ท าไมค าตอบทไดจงไมนาสอดคลองกบความเปนจรง อะไรคอขอบกพรองของค าตอบ และเราจะปรบแกใหถก

ตองไดอยางไรb.) จงท าการวเคราะหโครงสรางดงกลาวโดยใชวธ moment distribution และเปรยบเทยบผลลพธทไดกบผลลพธท

ไดกอนหนาน

2.3 ก าหนดใหชนสวนตางๆ ของโครงสราง ดงทแสดงในรป มคา E คงทและ 0=A จงท าการประกอบ stiffness equation ของชนสวนของโครงสรางเพอหาหาคาการเปลยนต าแหนง u , v , และ θ ทเกดขนท joint b และ c จงแสดงใหเหนวาเราไมสามารถหาค าตอบไดในกรณน ท าไมจงเปนเชนนน และเราจะจะปรบแกใหถกตองไดอยางไร


2.4 จงหาคาการเปลยนต าแหนง แรงปฏกรยา shear diagram และ moment diagram ของโครงสราง ดงทแสดงในรปก าหนดให MPa 000,200=E

2.5 โครงขอแขง ดงทแสดงในรป เปนโครงขอแขงเดยวกนกบโครงขอแขงในตวอยางท 2.3 จงใชโปรแกรมคอมพวเตอรค านวณหาคาการเปลยนต าแหนง แรงปฏกรยา shear diagram และ moment diagram ของโครงขอแขง ดงทแสดงในรป โดยท a.) พจารณาการเปลยนต าแหนงในแนวแกนในการค านวณ b.) ไมพจารณาการเปลยนต าแหนงในแนวแกนในการค านวณ และจงเปรยบเทยบค าตอบทได จากนน ก าหนดใหคา moment of inertia ของเสาเพมขนสองเทา จงท าการค านวณและเปรยบเทยบค าตอบทได สดทาย ก าหนดใหคา moment of inertia ของคานเพมขนสองเทา จงท าการค านวณและเปรยบเทยบค าตอบทได


บทท 3Principles of Virtual Work

ในการศกษาการวเคราะหโครงสรางทผานมา เราใชเงอนไขความสมดล (equilibrium condition) ของโครงสรางและเงอนไขความตอเนอง (continuity condition) ของโครงสรางเปนพนฐานในการวเคราะหโครงสราง ซงวธการดงกลาวเปนวธการทงายและตรงไปตรงมา อยางไรกตาม ยงมหลกการอกหลกการหนงทชวยใหเราท าการวเคราะหโครงสรางไดอยางมประสทธภาพ โดยเฉพาะเมอการใชเงอนไขพนฐานขางตนไมสามารถใหค าตอบกบเราได หลกการดงกลาวคอ หลกการงานสมมต (principle of virtual work )

principle of virtual work สามารถแบงออกไดเปนสองหลกการยอยคอ หลกการการเปลยนต าแหนงสมมต(principle of virtual displacements) และหลกการแรงสมมต (principle of virtual forces)3.1 Principle of virtual displacement ในการวเคราะหวตถแกรง

งาน (work) เนองจากแรง F ทใชในการเคลอนวตถไปเปนระยะ o∆ จะหาไดจากสมการ

∫∆

∆=o

FdW0

(3.1)

เมอ ∆ เปนระยะการเปลยนต าแหนง (displacement) ของจดทแรงกระท าในทศทางของแรงกระท า ซงมคาเพมขนอยางชาๆ จากศนยจนถง o∆ เมอแรง F มคาเพมขนอยางชาๆ จากศนยจนถง oF

รปท 3.1 แสดงความสมพนธเชงเสนตรงของแรงและการเปลยนต าแหนงของวตถ เราจะเหนไดวา งาน oW เนองจากแรงมคาเพมขนจากศนยถง oF คอ พนทใตเสนตรงทระบายสทบ ดงทแสดงในรปท 3.1a ถาวตถมการเปลยนต าแหนงเพมขนอกเลกนอย ∆d เนองจากแรงมขนาดเพมขนเลกนอย dF แลว การเปลยนแปลงของงานมคาเทากบพนทสขาวใตเสนตรง ซงจะหาไดจากสมการ

)(21)( ∆+∆= ddFdFdW oo (3.2)

ถาเราท าการตดเทอมทสองของสมการท 3.2 (ซงม order สง) ออก เราจะไดวา การเปลยนแปลงของงานอยในรป )( ∆= dFdW oo (3.2a)

รปท 3.1

สมการท 3.2a นจะหามาไดอกทางหนงโดยการพจารณาพนทสเหลยมสขาว ดงทแสดงในรปท 3.1b ซงในกรณน เราสมมตใหวตถมการเปลยนต าแหนงเพมขนเลกนอย ∆δ โดยทแรงมคาคงท oF การเปลยนต าแหนงดงกลาวจะถกเรยกวาการเปลยนต าแหนงสมมต (virtual displacement) และการเปลยนแปลงของงานเนองจาก virtual displacement จะถกเรยกวางานสมมต (virtual work), oWδ , ซงจะหาไดจากสมการ


)( ∆= δδ oo FWพจารณาอนภาคๆ หนง ซงถกกระท าโดยระบบของแรง 1F , K , iF , K , nF และอยในสภาวะสมดล ก าหนด

ให direction cosine ระหวางแกนอางองใดๆ กบแรงตางๆ ดงกลาวอยในรป 1λ , K , iλ , K , nλ ตามล าดบ ดงนน เงอนไขความสมดลของอนภาคจะเขยนไดในรป

∑=

=n

iiiF

10λ

สมมตใหอนภาคดงกลาวม virtual displacement ∆δ เกดขน ดงนน virtual work จะหาไดจากสมการ

∑=

∆⋅=n

iiFW

1)(δδ (3.3)

เมอเครองหมาย . แทน dot product จากนน ท าการคณแรงตางๆ ดวย direction cosine เพอหาองคประกอบของแรงดงกลาวในทศทางของ virtual displacement ∆δ เราจะเขยนสมการท 3.3 ใหมไดในรป

)(

)()()(

1

11

∆

=

∆++∆++∆=

∑=

δλ

δλδλδλδn

iii

nnii

F

FFFW KK

(3.3a)

จากเงอนไขความสมดลของอนภาค เทอมในวงเลบทคณกบ ∆δ จะตองมคาเทากบศนย ดงนน เราจะไดวา virtual work 0=Wδ ซงคอ principle of virtual displacement และจะกลาวเปนค าพดไดวา

"เมออนภาคอนหนงถกกระท าโดยระบบของแรงและอย ในสภาวะทสมดลแลว งานเนองจาก virtual displacement จะมคาเทากบศนย"

นอกจากนนแลว สวนกลบของ principle of virtual displacement กเปนจรงดวย"อนภาคอนหนงจะอยในสภาวะทสมดลภายใตการกระท าโดยระบบของแรง ถา virtual work ของอนภาคดง

กลาวมคาเทากบศนยส าหรบทกๆ คาของ virtual displacement ทเปนอสระตอกน"principle of virtual displacement นอกจากจะใชไดกบอนภาค (particle) แลว ยงสามารถใชไดกบวตถ (body)

หรอโครงสราง (ซงประกอบดวยอนภาคจ านวนมาก) ดวยพจารณาคานแกรง (rigid beam) ถกรองรบแบบ statically determinate และถกกระท าโดยแรง 3yP ดงทแสดง

ในรปท 3.2a จากรป เราจะเหนไดวา เราไมสามารถใช principle of virtual displacement ในการวเคราะหคานนได เนองจากคานดงกลาวจะไมมการเปลยนต าแหนงเกดขนภายใตแรงกระท า แตถาเราเอาจดรองรบของคานออก แลวแทนดวยแรงปฏกรยา ดงทแสดงในรปท 3.2b และให virtual displacement เกดขนกบคานในรป

211 vLxv

Lxv δδδ +

−= (3.4)

จาก principle of virtual displacement เราจะได0332211 =−+= vPvFvFW yyy δδδδ (3.5)

เมอ 3xx =

01

1

23

3213

31

23

313

32211

=

−+

−−=

−

−−+=

vLx

PFvLx

PF

vLx

PvLx

PvFvFW

yyyy

yyyy

δδ

δδδδδ (3.5a)


เนองจาก virtual displacement มคาใดๆ กได ดงนน ตวคณของ 1vδ และ 2vδ ในสมการท 3.5a จะตองมคาเทากบศนย ซงเราจะไดวา

−=

Lx

PF yy3

31 1

และ

Lx

PF yy3

32 =

สมการของแรงปฏกรยาทงสองทหาไดจะเหมอนกบสมการของแรงปฏกรยาทหามาโดยใชสมการความสมดล

รปท 3.2


ตวอยางท 3.1จงค านวณหาแรงทเกดขนในชนสวน 3-6 ของโครงขอหมน (truss) แบบ statically determinate ดงทแสดงในรป

โดยใช principle of virtual work

ท าการเอาชนสวน 3-6 ของโครงขอหมนออก จากนน ใหแรงในแนวแกนของชนสวน 3-6 หรอ 63−F กระท าตอจดเชอมตอของโครงขอหมน จากนน ก าหนดใหม virtual displacement 5uδ เกดขนบนโครงขอหมน ซงจะท าใหโครงขอหมนเกดการเปลยนแปลงรปราง ดงทแสดงโดยเสนประ

โดยใช principle of virtual displacement เราจะไดวา

0)(25.35.1)()(2 56355 =

−+ − uFuPuP δδδ

PF 25.3263 =−


3.2 Principle of virtual displacement ในการวเคราะหวตถทเปลยนแปลงรปรางไดในการใช principle of virtual displacement ในการวเคราะหวตถทสามารถเปลยนแปลงรปรางไดนน เราจะตอง

พจารณาถง virtual work ทงหมดทเกดขนในวตถ

รปท 3.3

พจารณาโครงสรางรบแรงในแนวแกน ซงถกแยกพจารณาออกเปนสองชนสวน ดงทแสดงในรปท 3.3a เราจะเขยนแผนภาพ free-body diagram ของโครงสรางดงกลาวได ดงทแสดงในรปท 3.3b จากกฎขอทสามของ Newton แรงทเกดขนทจดตอและชนสวนของโครงสรางทหนาตดเดยวกนจะมคาเทากน แตมทศทางตรงกนขาม ดงนน

2323

2121

1212

FFFFFF

′−=

′−=

′−=(3.6)

นอกจากนนแลว จากเงอนไขความสมดลของชนสวนหมายเลข 1 02112 =+ FF (3.7)

และจากสมการท 3.6 2112 FF ′−=′ (3.7a)

จากเงอนไขความสมดลของจดตอหมายเลข 1 และ 2 0121 =′+ FP (3.8a)

023212 =′+′+ FFP (3.8b)ก าหนดใหจดตอหมายเลข 1 และ 2 เกด virtual displacement 1uδ และ 2uδ ตามล าดบ ดงนน virtual work

ทงหมดของโครงสรางจะมคาเทากบ

)()(

)()(

2232211122211

2232121121

uFuFuFuPuPuFFPuFPW

δδδδδδδδ

′+′+′++=

′+′++′+= (3.9)

เทอมแรกทางดานขวามอของสมการท 3.9 เปนงานสมมตของแรงกระท าภายนอก (external virtual work) และใหสญลกษณเปน extWδ ดงนน

)( 2211ext uPuPW δδδ += (3.10)เทอมทสองทางดานขวามอของสมการท 3.9 เปนงานสมมตของแรงภายใน (internal virtual work) ทกระท าทจด

ตอ โดยใชสมการท 3.6 เราจะสามารถแปลงรปของเทอมดงกลาวใหอยในรปของแรงภายในทกระท าตอชนสวนของโครงสรางไดในรป

)()( 223221112223221112 uFuFuFuFuFuF δδδδδδ ++−=′+′+′ (3.11)


ดงนน เทอมทอยในวงเลบทางดานขวามอของสมการท 3.11 จะเปน internal virtual work ทกระท าตอชนสวนของโครงสรางและใหสญลกษณเปน intWδ

)( 223221112int uFuFuFW δδδδ ++= (3.12)ดงนน งานสมมตทงหมด (total virtual work) ของโครงสรางจะเขยนไดในรป

intext WWW δδδ −=

ท าการเขยนสมการท 3.8 ใหอยในรป 112 PF −=′ และ 22321 PFF −=′+′ และแทนสมการทไดลงในสมการท 3.9 เราจะไดวา

0)()( 22112211 =−−++= uPuPuPuPW δδδδδหรอ

0intext =−= WWW δδδ (3.13)สมการท 3.13 นเปนสมการของ principle of virtual displacements ทใชในการวเคราะหโครงสรางทสามารถ

เปลยนแปลงรปรางได โดยจะกลาวเปนค าพดไดวา"ส าหรบโครงสรางทสามารถเปลยนแปลงรปรางไดและอยในสภาวะทสมดล ภายใตการกระท าของแรงภายนอก

external virtual work เนองจากการเปลยนต าแหนงเสมอนทยอมรบได (admissible virtual displacement) จะมคาเทากบ internal virtual work เนองจากการเปลยนต าแหนงเสมอนดงกลาว"

ค าวา “ทยอมให” หรอ “admissible” บงบอกวา virtual displacement จะตองสอดคลองกบเงอนไขความตอเนอง (continuity condition) ของโครงสราง3.3 ขนตอนการวเคราะหโครงสรางโดยใช principle of virtual displacement3.3.1 ขนตอนการวเคราะห

จาก section ท 3.2 เราจะเหนไดวา internal virtual work เปนฟงกชนของแรงและ virtual displacement ซงเราสามารถท าการเปลยนรปสมการดงกลาวใหเปนฟงกชนของ real displacement และ virtual displacement ไดโดยใชสมการความแกรงของชนสวนของโครงสราง

พจารณาโครงสราง ดงทแสดงในรปท 3.3a อกครง เราจะเขยนความสมพนธของแรงและการเปลยนต าแหนงของโครงสรางดงกลาวไดในรป

)( 21112 uukF −=

3223 ukF =

จากนน แทนสมการของแรงทไดลงในสมการท 3.12 เราจะไดวา22222111211int )()( uukuuukuuukW δδδδ +−−−=

สมการ internal virtual work ทไดนอยในรปของ real displacement ) ,( 21 uu และ virtual displacement) ,( 21 uu δδ โดยทการเปลยนต าแหนงทงสองแบบจะตองสอดคลองกบเงอนไขความตอเนองของโครงสราง

โดยสรปแลว การวเคราะหโครงสรางโดยใช principle of virtual displacement มขนตอนอยางคราวๆ ดงน1. หาสมการ real displacement ของโครงสรางทสอดคลองกบเงอนไขความตอเนองของโครงสรางในรปของ

admissible function ทคณกบตวคณทไมทราบคา2. หาสมการ virtual displacement ซงอยในรปแบบเดยวกบสมการ real displacement เชน 21 , uu δδ

เปนตน แตถกคณดวยตวคณใดๆ


3. น าสมการ real displacement และ virtual displacement ทไดจากขอท 1 และ 2 มาเขยนสมการ externalvirtual work, extWδ , และสมการ internal virtual work, intWδ

4. แทนสมการ virtual work ทงสองทไดลงในสมการท 3.13 แลวแกสมการดงกลาวเพอหาตวคณของadmissible function ทกลาวถงในขอท 1

3.3.2 งานสมมตภายใน (Internal Virtual Work)ในทน เราจะท าการหา internal virtual work ของชนสวนของโครงสรางทตอบสนองตอแรงในแนวแกน (axial

force) แรงบด (torsional force) และโมเมนตดด (bending moment)

รปท 3.4

พจารณา free body diagram ของชนสวนเลกๆ ของโครงสรางทถกกระท าโดยแรงในแนวแกน xF ดงทแสดงในรปท 3.4a ซงแรงดงกลาวจะท าใหเกดหนวยแรงในแนวแกน xσ ก าหนดให virtual displacement ทเกดขนทปลายดาน

ซายมอชนสวนเลกๆ เปน uδ และทเกดขนทปลายดานขวามอเปน dxdxudu

+δδ ซงการเปลยนต าแหนงดงกลาวจะ

ท าให virtual work ทเกดขนทปลายดานซายมออยในรป uFxδ− (เครองหมายเปนลบเนองจาก xF มทศตรงกนขามกบ

uδ ) และทเกดขนทปลายดานขวามออยในรป

+ dxdxuduFxδδ ดงนน เราจะไดวา

dxFdxud

dxdxuduFuFW

x

xx

=

++−=

δ

δδδδ

ext

จากสมการท 3.13, intext WW δδ = , ดงนน

dxdxudFW x

=δδ int (3.14a)


จากนยามของความเครยดในแนวแกน (axial strain) เราไดวา dxduex /= ดงนน ความเครยดในแนวแกน สมมต (virtual axial strain) xeδ เนองจาก virtual displacement uδ จะอยในรป dxudex /)(δδ = และเนองจาก

AF xx σ= ดงนน เราจะเขยนสมการท 3.14a ไดใหมเปนAdxeW xxσδδ =int (3.14b)

ถาเราพจารณาตลอดความยาว L ของโครงสราง เราจะไดวา

∫=L

xx AdxeW0

int σδδ (3.15a)

จากกฏของฮค (Hooke's law), xx Ee=σ ,

∫=L

xx dxEAeeW0

int δδ (3.15b)

เนองจากความเครยดจรง (real strain) และความเครยดสมมต (virtual strain) เปน derivative ของ real displacement และ virtual displacement ตามล าดบ ดงนน

∫=L

dxdxduEA

dxudW

0int

)(δδ (3.15c)

จากสมการท 3.15c เราจะหา internal virtual work ไดถาเราทราบสมการ real displacement และสมการvirtual displacement

ในกรณของการบด พจารณา free body diagram ของชนสวนเลกๆ ของโครงสรางทมความยาว dx ซงถกกระท าโดยแรงบด xM ดงทแสดงในรปท 3.4b ถาก าหนดใหปลายทางดานซายมอชนสวนเลกๆ เกดการบด xθ และ

ปลายทางดานขวามอเกดการบด dxdxd x

x

+θ

θ แลว อตราการเปลยนแปลงของการบดของหนาตดรอบแนวแกนของ

ชนสวนดงกลาวหรอความเครยดเนองจากการบด (torsional strain) จะอยในรป

dxd

dxdxd

dxx

xx

xθ

θθ

θβ =

−

+=

1 (3.16)

ในท านองเดยวกน virtual torsional strain เนองจาก virtual displacement เนองจากการบดจะอยในรป

dxd xδθ

δβ = (3.17)

คาการเปลยนแปลงของ internal virtual work เนองจาก virtual displacement เนองจากการบด ซงเกดขนตลอดความยาวของโครงสราง L ทถกกระท าโดยแรงบด xM จะอยในรป

∫∫ ==L

xx

L

x dxMdx

ddxMW

00int

)()(

δθδβδ (3.18)

เนองจาก )/( dxdGJM xx θ= ดงนน

∫=L

xx dxdxd

GJdx

dW

0int

)( θδθδ (3.18a)

ในกรณของการดด พจารณา free body diagram ของชนสวนเลกๆ ของโครงสรางทมความยาว dx ซงถกกระท าโดยโมเมนตดด zM ดงทแสดงในรปท 3.4c ก าหนดใหหนาตดของชนสวนดงกลาวสมมาตรรอบแกน y ดงนน จาก elastic beam theory เราทราบมาแลววา ความโคง (curvature) ของคานเนองจากโมเมนตดด zM อยในรป


22 / dxvdz =κ ซงจะถกพจารณาเปนความเครยดเนองจากการดด (bending strain) และจะหาไดในรปของอตราการเปลยนแปลงของมมดด dxdvz /=θ ทเกดขนทปลายทางดานซายและปลายทางดานขวาของชนสวนของโครงสรางดงกลาว ดงนน

zzz

z dxvd

dxdvdx

dxvd

dxdv

dxdx

dxd

dxκθ

θθ ==

−

+=

−

+ 2

2

2

211 (3.19)

ในท านองเดยวกน virtual bending strain เนองจาก virtual transverse displacement vδ จะอยในรป

2

2 )(dxvd

zδδκ = (3.20)

คาการเปลยนแปลงของ internal virtual work เนองจาก virtual transverse displacement ซงเกดขนตลอดความยาวของโครงสราง L ทถกกระท าโดยแรงดด zM จะอยในรป

∫∫ ==L

z

L

zz dxMdxvddxMW

02

2

0int

)()( δδκδ (3.21)

เนองจาก )/( 22 dxvdEIM zx = ดงนน

∫=L

z dxdxvdEI

dxvdW

02

2

2

2

int)(δδ (3.21a)

ในกรณของการดดน นอกจากการเปลยนต าแหนงตามขวาง v และ vδ จะตองเปนฟงกชนทตอเนองแลว derivative แรกของการเปลยนต าแหนงดงกลาวจะตองเปนฟงกชนทตอเนองดวย ทงนเนองมาจากวาการเปลยนแปลงรปรางเนองจากการดดไมไดขนอยกบการเปลยนต าแหนงตามขวาง v และ vδ เทานน แตยงขนอยกบมมลาด (slope) ซงเปน derivative แรกของการเปลยนต าแหนงดงกลาวดวย

ในกรณทสภาวะของหนวยแรงและความเครยดทเกดขนในชนสวนเลกๆ ของโครงสรางอยในรปสามมต สภาวะของหนวยแรงดงกลาวจะถกเขยนไดในรปของ column matrix ไดในรป

=

zx

yz

xy

z

y

x

τ

τ

τσ

σσ

σ

และ virtual strain จะถกเขยนไดในรปของ row matrix ไดในรป [ ]zxyzxyzyx

T eee δγδγδγδδδδ =eดงนน internal virtual work ตอหนงหนวยปรมาตรเนองจากสภาวะของหนวยแรงในสามแกนจะอยในรป

K++ yyxx ee σδσδ ..

ซงจะเขยนใหอยในรปของ matrix ไดเปน σe Tδ และถาเราตองการหา internal virtual work ตอหนงหนวยปรมาตรของทงโครงสราง เราจะไดวา

)vol(vol

int dWTσδe∫=δ (3.22)


สญลกษณทใชในสมการท 3.22 นสอดคลองกบกรณตางๆ ทเราไดศกษาผานมาแลว เชน ในกรณของชนสวนของโครงสรางทถกกระท าโดยแรงในแนวแกน เราจะไดวา x

T eδδ =e , xσ=σ , และ Adxd =)vol(ในการวเคราะหโครงสรางโดย principle of virtual displacement เราจะหา element stiffness equation ของ

โครงสรางไดโดยการเขยน internal virtual work ใหเปนฟงกชนของความเครยด ดงนน จาก Hooke's law [ ] eEσ =

และสมการท 3.22 เราจะไดวา [ ] )vol(

volint dδW

TeEe∫=δ (3.23)

เมอ [ ]E เปน matrix ของ elastic constant ของวสดทใชท าโครงสราง3.3.3 งานสมมตภายนอก (External Virtual Work)

ในกรณของแรงกระท าเปนจด (concentrated load) เราจะไดวา external virtual work ของโครงสรางอยในรป

∑=

∆=n

iii PW

1ext )(δδ

เมอ i∆δ เปนการเปลยนต าแหนงสมมต (virtual displacement) ท thi degree of freedom, iP เปนแรงกระท าท degree of freedom ท i , และ n เปนจ านวนทงหมดของ degree of freedom ของโครงสราง

ในกรณของโมเมนตรอบแกนใดๆ เชน แกน x เปนตน external virtual work ของโครงสรางจะอยในรป

∑=

=n

ixixix MW

1ext, )(δθδ

เมอ xiδθ เปนการเปลยนต าแหนงเชงมมสมมต (virtual rotation displacement) รอบแกน x ท thi degree of freedom, xiM เปนโมเมนตรอบแกน x ทกระท าท degree of freedom ท i , และ n เปนจ านวนทงหมดของ degree of freedom ของโครงสราง

ในกรณของแรงกระท าแบบกระจาย (distributed load), q ,เราจะไดวา

∫ ∆= qdxW .ext δδ (3.24)โดยท integration จะกระท าในสวนของโครงสรางทถกกระท าโดยแรงกระจาย q


ตวอยางท 3.2ก าหนดใหชนสวนโครงสรางทมหนาตดคงท (prismatic member) ดงทแสดงในรป ถกยดอยางแนนหนาทปลาย

หมายเลข 1 และถกกระท าโดยแรงในแนวแกน 2xF โมเมนตบด 2xM แรงเฉอน 2yF และ 2zF และโมเมนตดด 2yMและ 2zM ทปลายหมายเลข 2 จงหาสมการ internal virtual work เนองจากแรงกระท าตางๆ เมอก าหนดใหชนสวนดงกลาวมคณสมบตของหนาตด A , J , yI , และ zI และสมการการเปลยนแปลงรปรางของชนสวนโครงสรางดงกลาวอยในรป (ด section ท 4.1)

2uLxu = 2xx L

x θθ =

2

2

2

32

23 zLx

Lxxv

Lx

Lxv θ

−

+

−

=

2

2

2

32

23 yLx

Lxxw

Lx

Lxw θ

−

−

−

=

ท าการเขยน virtual displacement ใหอยในรปเดยวกบสมการของการเปลยนแปลงรปรางของชนสวนทก าหนด ดงนน

2uLxu δδ = 2xx L

x δθδθ =

2

2

2

32

23 zLx

Lxxv

Lx

Lxv δθδδ

−

+

−

=

2

2

2

32

23 yLx

Lxxw

Lx

Lxw δθδδ

−

−

−

=

เนองจากงานเปนปรมาณ scalar ดงนน สมการ internal virtual work ทเกดขนเนองจากแรงกระท าตางๆ จะหาไดโดยการรวมสมการท 3.15c สมการท 3.18a สมการท 3.21a และสมการท 3.21a ส าหรบการดดรอบแกน y เขาดวยกน ซงเราจะไดวา

∫∫

∫∫

++

+=

L

y

L

z

Lxx

L

dxdxwdEI

dxwddx

dxvdEI

dxvd

dxdxd

GJdx

ddx

dxduEA

dxudW

02

2

2

2

02

2

2

2

00int

)()(

)()(

δδ

θδθδδ


หลงจากท า differentiation เทอมตางๆ ของ virtual displacement ของชนสวนของโครงสรางดงกลาว จากนน แทนกลบไปในสมการของ intWδ แลวท าการ integration เราจะได

22222

22223222222

2222322222int

64

61246

612

wLEI

LEI

LEIww

LEI

wLEIv

LEI

LEIvv

LEIv

LGJu

LEAuW

yyy

yy

yzy

zz

zz

z

zzz

xx

+

+

+

+

+

−

−

+

+

=

δθθδθ

θδδθδθδθ

θδδθδθδδ


3.4 ค าตอบเชงวเคราะหโดย principle of virtual displacement3.4.1 ค าตอบทแทจรง (Exact Solutions)

ใน section น เราจะใช principle of virtual displacement ท าการวเคราะหโครงสรางเพอหาค าตอบเชงวเคราะห (analytical solutions) ซงจะชวยใหเราเหนจดส าคญของ principle of virtual displacement

การประยกตใช principle of virtual displacement จะท าใหเราไดสมการแสดงความสมพนธของแรงกระท าในเทอมของการเปลยนต าแหนงหรอสมการความแกรง (stiffness equation) จากนน เราจะท าการแกสมการดงกลาวเพอหาสมการการเปลยนต าแหนงของโครงสราง

พจารณาชนสวนของโครงสรางทมหนาตดคงท ถกยดโดยหมดทปลายหมายเลข 1 และถกกระท าโดยแรงในแนวแกน 2xF ทปลายหมายเลข 2 ดงทแสดงในรปท 3.5a แรงดงกลาวจะท าใหเกดการเปลยนต าแหนงเทากบศนยทปลายหมายเลข 1 และเพมมากขนแบบเชงเสนตรงจนถง 2u ทปลายหมายเลข 2 ดงนน สมการทเหมาะสมกบ real displacement ของโครงสรางดงกลาวจะอยในรป

2uLxu =

และสมการของความเครยดทเกดขนจะอยในรป

Lu

dxduex 2==

รปท 3.5

สมการ virtual displacement และ virtual strain ทสอดคลองกบ real displacement และ boundary conditionของชนสวนของโครงสรางจะอยในรป

2uLxu δδ =

Lu

dxudex 2δδδ ==

จากนน เราจะเขยนสมการ internal virtual work เนองจาก virtual displacement ไดในรป

dxLuEA

Lu

dxdxduEA

dxudW

L

L

∫

∫

=

=

0

22

0int

)(

δ

δδ

เนองจาก 2uδ , 2u , A , E , และ L มคาคงทตลอดความยาวของชนสวนของโครงสราง ดงนน


== ∫ L

EAuudxLuEA

LuW

L

220

22int )(δ

δδ

และสมการ external virtual work เนองจาก virtual displacement จะอยในรป22ext )( xFuW δδ =

จากสมการท 3.13 เราจะไดวา

2222 )()( xFuLEAuu δδ =

เนองจาก 2uδ มคาใดๆ กได ดงนน

22 xFLEAu =

ซงเปน stiffness equation ของชนสวนของโครงสรางดงกลาว และเราจะเขยนสมการการเปลยนต าแหนงของโครงสรางในเทอมของแรงกระท าไดในรป

22 xFEALu =

ซงเปน exact solution ของการเปลยนต าแหนงของโครงสรางดงกลาวในกรณทสอง ก าหนดใหสมการ virtual displacement อยในรป

211 uLxu

Lxu δδδ +

−=

ซงเปนสมการทไมสอดคลองกบ boundary condition ของชนสวนของโครงสราง แตยงคงเปนสมการเชงเสนตรง โดยทตวคณของ virtual displacement 1uδ จะท าใหชนสวนของโครงสรางเกดการเปลยนต าแหนงสมมตแบบวตถแกรง (rigid body virtual displacement)

จาก section ท 3.1 เราทราบมาแลววา เมอม virtual displacement 1uδ เกดขนทจดรองรบดงกลาว เราจะตองเอาจดรองรบออกแลวใสแรงปฏกรยาทจดรองรบ 1xF เขาแทนท ดงทแสดงในรปท 3.5b ซงเราจะได external virtual work เนองจาก virtual displacement อยในรป

2211ext )()( xx FuFuW δδδ +=

จากสมการ virtual displacement เราจะได virtual strain อยในรป

Lu

Lu

dx

uLxu

Lxd

ex

21

21

1

δδ

δδδ

+−=

+

−

=

และสมการ internal virtual work เนองจาก virtual displacement จะอยในรป

LEAuu

LEAuu

dxLu

EALu

Lu

WL

2221

0

221int

)()( δδ

δδδ

+−=

+−= ∫



LEAuu

LEAuuFuFu xx 22212211 )()()()( δδδδ +−=+

และเนองจาก 1uδ และ 2uδ มคาใดๆ กได ดงนน

LEAuFx 22 =

ซงสอดคลองกบค าตอบทไดในกรณแรกและ

221 xx FLEAuF −=−=

ซงสมการทสองนเปนสมการความสมดลของแรงของชนสวนของโครงสรางในแนวแกน xจากตวอยางขางตน เราจะเหนไดวา สมการ virtual displacement ไมจ าเปนทจะตองสอดคลองกบ boundary

condition เหมอนกบสมการ real displacement และถาเปนเชนนนแลว สมการ external virtual work จะตองมเทอมของแรงปฏกรยาทจดรองรบปรากฏอยดวย

ในกรณถดไป ขอใหเราพจารณาสมการ virtual displacement ทสอดคลองกบ boundary condition ของชนสวนของโครงสราง แตอยในรปของสมการ quadratic

2

2

uLxu δδ

=

ซง virtual strain จะอยในรป

22

2)( uLx

dxud δδ

=


=

=

=

∫

∫

LEAuu

xdxuuLEA

dxLuEAu

LxW

L

L

22

0223

0

222int

)(

)(2

)(2

δ

δ

δδ

ซงเหมอนกบสมการ internal virtual work เนองจาก virtual displacement ทเราไดในกรณแรกสดทาย ขอใหเราพจารณาสมการ virtual displacement ทสอดคลองกบ boundary condition ของชนสวนของ

โครงสรางโดยอยในรปสมการ trigonometric

Lxuu

2sin)( 2

πδδ =

ซง virtual strain จะอยในรป

Lxu

Ldxud

2cos)(

2)(

2πδπδ

=



=

=

=

∫

∫

LEAuu

dxLx

LLuEAu

dxLuEA

Lxu

LW

L

L

22

0

22

0

22int

)(

2cos

2)(

)(2

cos)(2

δ

ππδ

πδπδ

ซงเหมอนกบสมการ internal virtual work เนองจาก virtual displacement ทเราไดในกรณแรกอกเชนกนสมการ virtual displacement สองรปแบบสดทายทเราพจารณาสามารถน ามาประยกตใชกบสมการ real

displacement แลวจะน าไปสค าตอบแบบ exact ได โดยทไมเพยงแตการเปลยนต าแหนงทไดจะเปนฟงกชนทตอเนองเทานน สมการของหนวยแรงทไดจากสมการการเปลยนต าแหนงดงกลาวยงสอดคลองกบเงอนไขความสมดลดวย

ในมมมองทกลบดานอกมมมองหนงของ principle of virtual displacement คอ ถาเราท าการเลอกสมการ real displacement ทสอดคลองกบสมการหนวยแรงทสอดคลองกบเงอนไขความสมดลแลว เราจะไดวา virtual displacement ทสอดคลองกบเงอนไขความตอเนองของโครงสราง (admissible virtual displacement) จะใหค าตอบแบบ exact ดวย3.4.2 ค าตอบแบบประมาณและความส าคญในการเลอกใชสมการการเปลยนต าแหนงสมมต

โดยทวไปแลว เมอเราก าหนดใหสมการการเปลยนต าแหนงทแทจรง (real displacement) เปนสมการประมาณ (approximate equation) ของการเปลยนต าแหนงทแทจรง (exact displacement) ของโครงสราง และเมอการเปลยนต าแหนงเสมอนทยอมรบได (admissible virtual displacement) มรปแบบทแตกตางจาก real displacement แลว ค าตอบทไดจากการวเคราะหจะแตกตางไปจาก exact displacement ทเกดขนในโครงสราง โดยความแตกตางจะขนอยกบวาสมการประมาณมความแตกตางจากสมการ exact displacement มากหรอนอยเทาไร ความจรงขอนมความส าคญมากในการวเคราะหโครงสรางทมความสลบซบซอนมากขน เนองจากวาสมการ real displacement ทใชในการวเคราะหมกจะอยในรปของสมการประมาณของ exact displacement

พจารณาการหาคาการเปลยนต าแหนง 2u ทปลายหมายเลข 2 ของชนสวนของโครงสรางทรบแรงในแนวแกนหนาตดสอบ (tapered axial force member) ทมหนาตดทเปลยนแปลงตลอดความยาว ดงทแสดงในรปท 3.6 เนองจากหนวยแรงและความเครยดทเกดขนในชนสวนของโครงสรางนมการเปลยนแปลงไมเปนเสนตรง ดงนน การเปลยนต าแหนงทอยในรปของสมการเชงเสนตรง Lxuu /2= ตามทเราพจารณาผานมาแลวนนจะไมสามารถน ามาใชได เนองจากวาสมการดงกลาวจะใหหนวยแรง )/( dxduEx =σ 2)/( uLE= ทเปนคาคงท ซงจะละเมดตอเงอนไขความสมดล

02

21

1

1

≠−=

−

=

LAdx

LxAd

dxdF

x

xx

σ

σ

รปท 3.6


อยางไรกตาม เพอแสดงใหเหนความส าคญของการใชสมการประมาณของ real displacement ใน principle of virtual displacement เราจะก าหนดใหการเปลยนต าแหนงของชนสวนของโครงสรางอยในรปของสมการเสนตรง

Lxuu /2= และก าหนดให virtual displacement มรปแบบเชนเดยวกบ real displacement ดงกลาว ดงนน

2uLxu δδ =

ซงจะท าให virtual strain เนองจาก virtual displacement อยในรป

Lu

dxudex 2δδδ ==

ดงนน สมการ internal virtual work จะอยในรป

LEAuu

dxLxA

LuE

Lu

dxdxduEA

dxudW

L

L

43))((

21

)(

122

01

22

0int

δ

δ

δδ

=

−

=

=

∫

∫

เนองจาก external virtual work เนองจาก virtual displacement ยงคงอยในรปเดมคอ 22ext )( xFuW δδ =

ดงนน จาก principle of virtual displacement (สมการท 3.13) เราจะไดวา

212

43

xFLEAu

=

พจารณาอกกรณหนงเมอสมการ virtual displacement อยในรปสมการ quadratic 2

2

uLxu δδ

= แตสม

การ real displacement อยในรปสมการเชงเสนตรง Lxuu /2= เชนเดม ในกรณน เราจะไดวา

LEAuuW3

))((2 122int δδ =

และ22ext )( xFuW δδ =

ดงนน

212

32

xFLEAu

=

สดทาย พจารณากรณทสมการ virtual displacement อยในรปสมการ trigonometric Lxuu

2sin)( 2

πδδ =

แตสมการ real displacement อยในรปสมการเชงเสนตรง Lxuu /2= เชนเดม เราจะไดวา

LEAuuW 1

22int ))((11 δπ

δ

−=

และ22ext )( xFuW δδ =

ดงนน

2126817.0

xFLEAu

=


จากทงสามกรณทพจารณาผานมา เราจะเหนไดวา สมการของแรง 2xF ทไดจะขนอยกบรปแบบของสมการ virtual displacement ทเราใช จาก section ท 4.3 exact solution ของแรง 2xF จะอยในรป

212721.0

xFLEAu

=

ซงไมมสมการของแรง 2xF ทไดจากทงสามกรณตรงกบ exact solution ดงกลาวเลย แตสมการของแรง 2xF ทไดจะเปนค าตอบโดยประมาณ (approximate solution) ของชนสวนโครงสรางดงกลาว ซงสาเหตทเปนเชนนกเพราะวา intWδ และ

extWδ ถกค านวณมาจากสมการ real displacement ทอยในรปของการประมาณ ดงนน principle of virtual displacement extint WW δδ = จงใหคาโดยประมาณของแรง 2xF ซงไมสอดคลองกบเงอนไขความสมดลททกๆ จดบนโครงสราง แตจะสอดคลองกบเงอนไขความสมดลโดยเฉลยของทงโครงสราง และถาสมการ real displacement มเทอมตางๆ ทชวยท าใหการเปลยนต าแหนงดงกลาวใกลเคยงกบ exact displacement ของชนสวนของโครงสรางมากขนแลว ความสอดคลองโดยเฉลยดงกลาวกจะใกลเคยงกบ exact solution มากขนตามไปดวย

เนองจากค าตอบทไดจาก principle of virtual displacement ขนอยกบสมการ virtual displacement ดงนน ในทางปฏบตและเพอความสะดวกในการ integrate หา intWδ เราจะให virtual displacement มรปแบบเดยวกนกบ real displacement ซงจะท าใหไดสมการความแกรง (stiffness equation) ทสมมาตรและสอดคลองกบ reciprocal theorem ของ Maxwell ดวย


ตวอยางท 3.3จงเขยนความสมพนธของแรงและการเปลยนต าแหนงทเกดขนทปลายหมายเลข 2 ของคานยน ดงทแสดงในตว

อยางท 3.2 โดยใช principle of virtual displacementในการทจะเขยนสมการการเปลยนต าแหนงทเกดขนทปลายหมายเลข 2 ของคานยน (cantilevered beam) เรา

จะตองเขยนสมการของ intWδ และ extWδ โดยทสมการของ intWδ ไดหาไปแลวในตวอยางท 3.2เนองจากงานเปนปรมาณ scalar ดงนน สมการของ extWδ จะอยในรป

222222222222ext )()()()()()( zzyyxxzyx MMMFwFvFuW δθδθδθδδδδ +++++=

จาก principle of virtual displacement, extint WW δδ = , เราจะไดความสมพนธของแรงและการเปลยนต าแหนงทเกดขนทปลายหมายเลข 2 ของคานยนดงตอไปน

ส าหรบ 2uδ เมอ 022222 ===== zyxwv δθδθδθδδ

22 uLEAFx =

ส าหรบ 2vδ เมอ 022222 ===== zyxwu δθδθδθδδ

22232612

zzz

y LEIv

LEIF θ−=

ส าหรบ 2wδ เมอ 022222 ===== zyxvu δθδθδθδδ

22232

612y

yyz L

EIw

LEI

F θ+=

ส าหรบ 2xδθ เมอ 022222 ===== zywvu δθδθδδδ

22 xx LGJM θ=

ส าหรบ 2yδθ เมอ 022222 ===== zxwvu δθδθδδδ

2222

46y

yyy L

EIw

LEI

M θ+=

ส าหรบ 2zδθ เมอ 022222 ===== yxwvu δθδθδδδ

222246

zzz

z LEIv

LEIM θ+−=


ตวอยางท 3.4จงหาคาการเปลยนต าแหนงทเกดขนท point 4 และแรงทเกดขนในชนสวนตางๆ ของโครงขอหมน ดงทแสดงใน

รป โดยใช principle of virtual displacements เมอ GPa 200=E และ 23 mm )10(150=A

จากรป เราจะเหนไดวา โครงขอหมนม degree of indeterminacy เทากบหนงในการใช principle of virtual displacements เราจะตองหาคา internal virtual work เนองจาก real

displacement 4u และ 4v และ internal virtual work เนองจาก virtual displacement 4uδ และ 4vδเรมตน หาสมการการยดตวหรอหดตวของชนสวน A , B , และ C ของโครงขอหมนเนองจาก real

displacement 4u และ 4v ซงจะท าใหเราหาสมการ real strain ทสอดคลองกบคาการเปลยนต าแหนงดงกลาวได จากนน ก าหนดใหสมการ virtual strain มรปเดยวกนกบสมการ real strain และสดทาย แทนสมการ real strain และสมการ virtual strain ลงในสมการ internal virtual workส าหรบชนสวน A จากรป เราจะไดวา

A

AA

AA

AA

AA

A

Lv

Lue

Lv

Lue

αδ

αδ

δ

αα

sincos

sincos

44

44

+=

+=(a)

ส าหรบชนสวน B เราจะไดวา

BB

BB

Lve

Lve

4

4

δδ =

=(b)


ส าหรบชนสวน C เราจะไดวา

C

CC

Cc

CC

CC

c

Lv

Lu

e

Lv

Lue

αδ

αδ

δ

αα

sincos

sincos

44

44

+=

+=

(c)

ดงนน เราจะได internal virtual work อยในรป

CCCBBBAAA EALeeEALeeEALeee

deW

δδδ

σδ

σδδ

++=

=

=

∑∑∫

)vol...(

)vol.().(int

CCC

CCC

CC

CCB

AAA

AAA

AA

AA

LEAuv

LEAvu

LEAvv

LEAuu

LEAvv

LEAuv

LEAvu

LEAvv

LEAuuW

ααδααδαδ

αδδααδ

ααδαδαδδ

cossincossinsin

coscossin

cossinsincos

44442

44

2444444

442

442

44int

+++

+++

++=

เนองจาก m 626.22=AL , m 0.16=BL , และ m 0.20=CL , และ707.0sincos == AA αα

6.0cos −=Cα

8.0sin =Cαเราจะไดวา

EAuvvuvv

EAvuvuuW

−++++

−++=

444

444

44444int

2048.0

2064.0

16626.225.0

626.225.0

2048.0

2036.0

626.225.0

626.225.0

δ

δδ

external virtual work เนองจากแรงกระท าภายนอกจะเขยนไดในรป)240()320( 44ext vuW δδδ +=

จาก principle of virtual displacement, extint WW δδ = , เราจะไดวา320571203 44 =− vu240349857 44 =+− vu

ท าการแกสมการสองชน เราจะไดคาการเปลยนต าแหนงทเกดขนท point 4 เทากบmm 2695.04 =umm 0730.04 =v

แรงทเกดขนในชนสวนตางๆ ของโครงขอหมนจะหาไดจากการแทนคาการเปลยนต าแหนง 4u และ 4v ลงในสมการ a, b, และ c เพอหาคาความเครยดทเกดขนในชนสวนตางๆ สดทาย ท าการคณคาความเครยดทไดดวย EA เราจะได

kN 321=AFkN 9.136=BFkN 155−=CF


ตวอยางท 3.5จงหาสมการการเปลยนต าแหนงทเกดขนท joint 2 และ joint 3 ของคาน ดงทแสดงในรป โดยใช principle of

virtual displacements เมอก าหนดให zEI มคาคงทตลอดความยาวคานและ real displacement และ virtual displacement ของคานอยในรป trigonometric function ทสอดคลองกบ boundary conditions ของคาน

Lxa

Lxav ππ 2sinsin 21 +=

Lx

La

Lx

La

dxvd

zππππκ 2sin4sin

2

2

2

12

2

−

−==

Lxa

Lxav πδπδδ 2sinsin 21 +=

Lx

La

Lx

La

dxvd

zππδππδδδκ 2sin4sin

2

2

2

12

2

−

−==

จากนน จงเปรยบเทยบสมการการเปลยนต าแหนงทไดกบ exact solution

จากสมการ real displacement และ virtual displacement เราจะได internal virtual work ของคานอยในรป

∫

∫

−

−

−

−=

=

L

z

L

zzz

dxEILx

La

Lx

La

Lx

La

Lx

La

dxEIW

0

2

2

2

1

2

2

2

1

0int

2sin4sin2sin4sin ππππππδππδ

κδκδ

∫

+++=

Lz dx

Lx

Lxaaaa

Lxaa

Lxaa

LEIW

01221

222

2114

4

int2sinsin)..(42sin.16sin. ππδδπδπδ

πδ

และเนองจาก

02sinsin0

=∫L

dxLx

Lx ππ

และ

22sinsin

0

2

0

2 LdxLxdx

Lx LL

== ∫∫ππ

ดงนน

223

4

113

4

int8

2aa

LEIaa

LEIW zz δ

πδ

πδ +=

external virtual work เนองจากแรงกระท าภายนอก


)5.0()966.0707.0( 6

7sin127sin

2sin

4sin

322321

213212ext

PPaPPa

aaPaaPW

−++=

++

+=

δδ

πδπδπδπδδ

จาก principle of virtual displacement, extint WW δδ = , เราจะไดวา

)5.0()966.0707.0(82 322321223

4

113

4

PPaPPaaaLEIaa

LEI zz −++=+ δδδ

πδ

π

และเนองจาก 1aδ และ 2aδ เปนอสระตอกน ดงนน เราจะไดวา

)966.0707.0(2324

3

1 PPEILaz

+=π

)5.0(8 324

3

2 PPEILaz

−=π

ดงนน สมการการโกงตวของคานจะอยในรป

−++=

LxPP

LxPP

EILvz

πππ

2sin)0625.0125.0(sin)932.1414.1( 32324

3

เมอแทนคา 4/Lx = ลงในสมการการโกงตวของคาน เราจะได สมการการเปลยนต าแหนงทเกดขนท joint 2 อยในรป

)0134.00116.0(

)303.1125.1(

32

3

324

3

2

PPEIL

PPEILv

z

z

+=

+=

π

โดยท exact solution ของสมการการเปลยนต าแหนงทเกดขนท joint 2 ของคานอยในรป

)0133.00117.0( 32

3

2 PPEILvz

+=

และเมอแทนคา 12/7Lx = ลงในสมการการโกงตวของคาน เราจะได สมการการเปลยนต าแหนงทเกดขนท joint 3 อยในรป

)0195.00134.0(

)898.1303.1(

32

3

324

3

3

PPEIL

PPEILv

z

z

+=

+=

π

โดยท exact solution ของสมการการเปลยนต าแหนงทเกดขนท joint 3 ของคานอยในรป

)0197.00133.0( 32

3

3 PPEILvz

+=

จากผลการค านวณ จะเหนไดวา คาการเปลยนต าแหนงทไดมคาใกลเคยงกบ exact solution อยางไรกตาม ขอใหทราบดวยวา สมการการเปลยนต าแหนงทสมมตดงกลาวละเมดตอเงอนไขความสมดลของคาน การวเคราะหคานในลกษณะนมกถกเรยกวา Rayleigh-Ritz method ซงสมการ real displacement และ virtual displacement ของคานไดถกสมมตขนใหสอดคลองกบ boundary conditions ของคาน


3.5 Principle of virtual force3.5.1 สมการความสมดล (Equations of equilibrium)

ในการวเคราะหโครงสราง หนวยแรง (stress) และความเครยด (strain) ทเกดขนในโครงสรางจะสมพนธกนโดย คณสมบตทางกลของวสดทใชท าโครงสราง ใน principle of virtual displacement นน internal virtual work จะหามาจากความเครยดสมมต (virtual strain) และหนวยแรงทเกดขนจรง (real stress) ในโครงสราง แตใน principle of virtualforces นน internal virtual work จะหามาจากหนวยแรงสมมต (virtual stress) และความเครยดทเกดขนจรง (real strain) ในโครงสราง ดงนน การใช principle of virtual displacement จะท าใหเราไดสมการของแรงกระท าในเทอมของการเปลยนต าแหนงหรอ stiffness equation ในทางตรงกนขาม การใช principle of virtual forces จะท าใหเราไดสมการของการเปลยนต าแหนงในเทอมของแรงกระท าหรอ flexibility equations

ในการวเคราะหโครงสรางโดยใช principle of virtual displacement เงอนไขของสภาวะของการเปลยนต าแหนงคอ การเปลยนต าแหนงสมมต (virtual displacement) จะตองสอดคลองกบเงอนไขความตอเนอง (continuity condition) ซงขนอยกบลกษณะการรองรบของโครงสราง แตในการวเคราะหโครงสรางโดยใช principle of virtual forces เงอนไขของสภาวะของหนวยแรงจะตองสอดคลองกบเงอนไขความสมดลของโครงสราง ในทน เราจะหาความสมพนธของแรงลพธกบพฤตกรรมการรบแรงในแนวแกน (axial force) แรงบด (torsion) และโมเมนตดด (bending moment) ของชนสวนของโครงสราง

พจารณาชนสวนเลกๆ (differential element) ของชนสวนของโครงสรางทรบแรงในแนวแกน q ตอหนงหนวยความยาว และมหนาตดทเปลยนแปลงตามความยาวอยางสม าเสมอ ดงทแสดงในรปท 3.7a

รปท 3.7


ก าหนดใหแรงภายใน (internal force) ทเกดขนทปลายดานซายมอของชนสวนดงกลาวคอ xF ซงมคาเปนบวกเนองจากเปนแรงดง และเนองจากแรงในแนวแกน q มการกระจายไปตามความยาว ดงนน แรงภายในทเกดขนทปลาย

ดานขวามอจะอยในรป dxdxdF

F xx

+

จากเงอนไขความสมดลของแรงในแนวแกน x เราจะไดวา

0=+−

+=∑ qdxFdxdxdF

FF xx

xx

หรอ

0=+ qdxdFx (3.25)

สมการนจะถกเขยนใหอยในรปของหนวยแรงตงฉากไดโดยใชความสมพนธ AF xx σ=

ในกรณของชนสวนของโครงสรางทถกกระท าโดยแรงบด xm ตอหนงหนวยความยาว ดงทแสดงในรปท 3.7bจากเงอนไขความสมดลของโมเมนตในแนวแกน x เราจะไดวา

0=+−

+=∑ dxmMdxdxdM

MM xxx

xx

หรอ

0=+ xx m

dxdM (3.26)

สมการนจะถกเขยนใหอยในรปของหนวยแรงเฉอนไดโดยใชความสมพนธ JrM x /=τ

ในกรณของชนสวนของโครงสรางทถกกระท าโดยโมเมนตดด พจารณาชนสวนเลกๆ ของชนสวนของโครงสรางทมหนาตดทสมมาตรรอบแกน y และถกกระท าโดยแรงกระจาย q ตอหนงหนวยความยาว ดงทแสดงในรปท 3.7c ก าหนดใหโมเมนตและแรงเฉอนภายในทเกดขนทปลายดานซายมอของชนสวนเลกๆ ดงกลาวคอ zM และ yF ตามล าดบ เนองจากแรง q มการกระจายไปตามความยาว ดงนน แรงเฉอนและโมเมนตภายในทเกดขนทปลายดานขวามอจะอยในรป

dxdxdF

F yy

+ และ dx

dxdMM z

z

+ ตามล าดบ

จากเงอนไขความสมดลของแรงในแนวแกน y เราจะไดวา

0=−−

+=∑ qdxFdx

dxdF

FF yy

yy

หรอ

0=− qdxdFy (3.27)

และจากเงอนไขความสมดลของโมเมนตในแนวแกน z รอบปลายดานขวามอของชนสวนเลกๆ ของชนสวนของโครงสราง เราจะไดวา

0)(2

2 =−−−

+=∑ dxqdxFMdxdxdMMM yz

zzz

เนองจากเทอมของโมเมนตเนองจากแรง q มคานอยมาก ดงนน


yz F

dxdM

= (3.28)

จากนน เมอแทนสมการท 3.28 ลงในสมการท 3.27 เราจะไดวา

qdxMd z =2

2

(3.28)

สมการนจะถกเขยนใหอยในรปของหนวยแรงไดโดยใชความสมพนธ zzx IyM /=σ และ )/( bIQF zzy=τ3.5.2 ลกษณะพเศษของระบบแรงสมมต

ใน section น เราจะกลาวถงลกษณะพเศษของระบบแรงสมมต (virtual force system)ระบบแรงใดๆ จะเปน virtual force system ไดนน ระบบแรงดงกลาวจะตองสอดคลองกบเงอนไขความสมดลทง

ภายนอก เชน ∑ = 0xF เปนตน และภายใน เชน สมการท 3.25 และสมการท 3.26 เปนตน ของโครงสราง

รปท 3.8

พจารณาคานยน ซงถกกระท าโดย virtual force 1yFδ ดงทแสดงในรปท 3.8a virtual force system ทอยในเทอมของแรงเฉอนภายในและโมเมนตดดภายในทเหมาะสมกบคานดงกลาวจะมลกษณะดงทแสดงในรปท 3.8b และ 3.8c ตามล าดบ โดยทการกระจายของแรงเฉอนสมมต (virtual shear) จะอยในรป 1yy FF δδ = และการกระจายของโมเมนตสมมต (virtual moment) จะอยในรป )( 1yz FxM δδ = อยางไรกตาม ถาเราสมมตใหการกระจายของ virtual moment ไมอยในรปดงกลาว แตอยในรป

)( 1

2

yz FLxM δδ =

จากเงอนไขความสมดล (สมการท 3.28) เราจะได virtual shear อยในรป

12)(

yz

y FLx

dxMdF δδ

δ ==

ซงจะแตกตางจาก virtual shear ทถกตอง 1yy FF δδ = ดงนน virtual force system ทถกสมมตขนมาจะเปนระบบทยอมรบไมได

โดยทวไปแลว ในกรณของโครงสรางแบบ statically indeterminate เราจะมทางเลอกส าหรบ virtual force system มากกวาหนงทางเลอก รปท 3.9 แสดงตวอยางหนงของโครงสรางในลกษณะดงกลาว


พจารณาคานทปลายยดแนน (fixed end beam) ภายใตการกระท าของแรง 3yP ดงทแสดงในรปท 3.9a จากหลกการสถตยศาสตร เราจะไดวา เมอจดรองรบของคานถกเปลยนจากแบบยดแนน (fixed end) เปนแบบรองรบอยางงาย (simple support), เปนแบบรองรบแบบยน (cantilever support), และเปนแบบยดแนนทปลายทางดานซายมอและหมด (pin) ทปลายทางดานขวามอ ตามล าดบ แลว คานดงกลาวจะมแผนภาพ moment diagram ดงทแสดงในรปท 3.9b ถง 3.9d ตามล าดบ จากสมการความสมดล (สมการท 3.27 และสมการท 3.28) เราจะพสจนไดวา แตละระบบการรองรบคานดงกลาวจะใหคาความสมพนธของการกระจายแรงของคานทสอดคลองกนทางสถตยศาสตร ดงนน เราจะไดวา แผนภาพ moment diagram ของคาน ดงทแสดงในรปท 3.9b ถง 3.9d จงเปนระบบแรงสมมตทยอมรบได (acceptable virtual force system) ส าหรบ virtual force 3yPδ

รปท 3.9

อยางไรกตาม ในทางปฏบต acceptable virtual force system ของโครงสรางแบบ statically indeterminate มกจะถกหามาจากโครงสรางดงกลาวทถกรองรบแบบ statically determinate เชน moment diagram ของคานแบบ statically determinate ดงทแสดงในรปท 3.9b มกจะถกใชเปน virtual force system ของคาน ดงทแสดงในรปท 3.9aเปนตน เนองจากการหา acceptable virtual force system ของโครงสรางดงกลาวทถกรองรบแบบ statically indeterminate จะกระท าไดยาก3.5.3 สมการหลกการแรงสมมต

เราไดทราบไปแลวในตอนตนวา principle of virtual force มหลกการพนฐานมาจากการตรวจสอบการเปลยนแปลงของงาน (work) ซงเกดขนเนองจากการให virtual force system กระท ากบโครงสรางทถกกระท าโดยระบบของแรงกระท าจรง โดยท virtual force system ดงกลาวจะท าใหเกดพลงงานสมมตประกอบภายนอก (external complementary


virtual energy), *extWδ , และพลงงานสมมตประกอบภายใน (internal complementary virtual energy), *

intWδ ขนในโครงสราง

เราจะอธบายเทอม complementary ไดจากการพจารณารปท 3.10 ซงแสดง external complementary virtual energy และ internal complementary virtual energy ของโครงสรางทมพฤตกรรมแบบ linear elastic และจาก section ท 3.1 และรปท 3.1 เราทราบมาแลววา พนทใตเสนความสมพนธ ∆−F คอ งานภายนอก (external work) ดงนน พนทเหนอเสนความสมพนธ ∆−F ดงทแสดงโดยพนทซงระบายสทบจะเปน complementary ของ external work ซงมกจะถกเรยกวา งานประกอบภายนอก (external complementary work)

รปท 3.10

ถาแรงกระท าตอระบบมคาเพมขนเทากบ virtual force Fδ แลว สมการ external complementary virtual energy จะอยในรป

=*extWδ )( oF ∆δ

เมอ o∆ คอคาการเปลยนต าแหนงในแนวของแรงกระท า เมอแรงกระท าตอระบบมคา oF

ในการหาสมการ internal complementary virtual energy, *intWδ , ใหเราพจารณารปท 3.10b ซงแสดงความ

สมพนธของหนวยแรงและความเครยดทจดๆ หนงในโครงสราง ในท านองทคลายๆ กบการพจารณาความสมพนธของ external virtual load และ real displacement ขางตน เราจะไดวา การกระท าของหนวยแรงสมมต (virtual stress) oδσ

(เนองจาก external virtual load) ตอ real strain oe จะท าใหเกด complementary virtual strain energy ตอหนงหนวยปรมาตรเทากบ oT

o eδσ ดงนน internal complementary virtual energy ของทงโครงสรางจะอยในรป ∫=

vol

*int )vol(dW o

To eσδδ (3.30)

จากความสมพนธของหนวยแรงและความเครยด [ ] oo eEσ = เราจะไดวา [ ] oo σEe 1−= เมอแทนกลบลงในสมการท 3.30 เราจะได

[ ] ∫ −=vol

1*int )vol(dW o

To σEσδδ (3.31)

จาก principle of virtual force เราจะไดวา"ภายใต virtual force system ทกระท าตอโครงสราง external complementary virtual energy จะตองเทากบ

internal complementary virtual energy"หรอ

*int

*ext WW δδ = (3.32)


โดยททง real force และ virtual force จะตองสอดคลองกบเงอนไขความสมดล และเนองจากสมการท 3.32 แสดงถงเงอนไขความสอดคลอง (compatibility condition) ของโครงสราง ดงนน เมอสภาวะของ real force สอดคลองกบสภาวะของ ความเครยดทสอดคลองกบเงอนไขความสอดคลองแลว เราจะไดค าตอบทแทจรง (exact ) จาก principle of virtual force

ถาสภาวะของ real force ไมสอดคลองกบสภาวะของความเครยดทเกดขนในโครงสรางแลว สมการท 3.32 จะใหค าตอบทสอดคลองกบเงอนไขความสอดคลองโดยประมาณเทานน ซงคลายๆ กบในกรณของ principle of virtual displacement เมอ real displacement สอดคลองสภาวะของหนวยแรงทไมเปนไปตามเงอนไขความสมดลแลว principle of virtual displacement (สมการท 3.13) จะใหค าตอบทสอดคลองกบเงอนไขความสมดลโดยประมาณเทานน

ในการน า principle of virtual force ไปใชงาน เราจะตองทราบสมการ internal complementary virtual energyของชนสวนของโครงสราง ซงเราจะหาไดโดยการเอา subscript o ออกจากเทอมตางๆ ของสมการและแทนเทอมของหนวยแรงของชนสวนของโครงสรางดวยเทอมของหนวยแรงลพธจรง (real resultant stress) ของแตละกรณ

ส าหรบชนสวนทรบแรงในแนวแกน ดงทแสดงในรปท 3.7a เทอม real resultant stress จะอยในรป AFx /=σ , เทอมหนวยแรงสมมต (virtual stress) จะอยในรป AFx

T /δδ =σ , [ ] E/11 =−E , และ Adxd =)vol( ดงนน เราจะเขยนสมการท 3.31 ไดในรป

∫=L

xx dxEAF

FW0

*int ..δδ (3.33)

ส าหรบชนสวนทรบแรงดด (flexural member) ดงทแสดงในรปท 3.7c เทอม real resultant stress จะอยในรปzzx IyM /== σσ , เทอม virtual stress จะอยในรป == x

T δσδσ zz IyM /δ และ [ ] E/11 =−E ดงนน สมการท 3.31 จะอยในรป

∫

∫∫

∫

=

=

=

L

z

zz

y

L

z

z

z

z

zz

zz

dxEIM

M

dxdAyIM

IM

E

Ed

IyM

IyMW

0

2

0

vol

*int

1

)vol(

δ

δ

δδ

(3.34)

ส าหรบชนสวนทรบแรงบด (torsion member) ดงทแสดงในรปท 3.7b

∫=L

xx dxGJM

MW0

*int ..δδ (3.35)

3.5.4 ค าตอบเชงวเคราะหโดย principle of virtual forceในการน า principle of virtual force ไปใชงาน เราจะตองเขยนสมการของระบบแรงภายในทเกดขนจรง (real

internal force systems) และระบบแรงภายในสมมต (virtual internal force systems) โดยท real internal force systems จะเกดจากแรงทกระท ากบโครงสราง และ virtual internal force systems จะเกดจาก virtual load ทสอดคลองกบคาการเปลยนต าแหนงทตองการหา

พจารณาชนสวนรบแรงในแนวแกนทมหนาตดคงท ดงทแสดงในรปท 3.5a ซงเราตองการหาคาการเปลยนต าแหนง 2u เนองจากแรง 2xF จากวชาสถตยศาสตร (Statics) เราจะไดวา real internal force จะอยในรป 2xx FF =

และ virtual internal force จะอยในรป 2xx FF δδ = ดงนน จากสมการท 3.33 เราจะไดวา


EALFF

dxEAF

FW

xx

Lx

x

22

0

22

*int

.

..

δ

δδ

=

= ∫

และเนองจาก external complementary virtual energy ของชนสวนของโครงสรางดงกลาวอยในรป=*

extWδ )( 22 uFxδดงนน จาก principle of virtual force เราจะไดวา

EALFFuF xxx 2222 .)( δδ =

EALFu x22 =

ซงเปนค าตอบเดยวกนกบทเราหาไดโดยใช principle of virtual displacementพจารณาคานรองรบอยางงาย ดงทแสดงในรปท 3.11 ซงเราตองการหาคาการเปลยนต าแหนง cv เนองจากการ

กระท าของแรง cP− และ virtual force cPδ− จากแผนภาพ free body diagram ของชนสวนของคานทมความยาว xจากจดอางองหมายเลข 1 เราจะได internal force system ของคานอยในรป

2xPM cz =

เมอ 2/0 Lx ≤≤ และเราจะใช virtual internal force system ใหอยในรปเดยวกนกบ internal force system ดงนน

2xPM cz δδ =

เมอ 2/0 Lx ≤≤

รปท 3.11

จากสมการท 3.34 และเนองจากโครงสรางมความสมมาตรรอบจด c ดงนน

zcc

L

ccz EI

LPPdxxPxPEI

W48

..2

.2

2 32/

0

*int δδδ =

= ∫


และเนองจาก external complementary virtual energy ของชนสวนของโครงสรางดงกลาวอยในรป=*

extWδ )( cc vPδ−ดงนน จาก principle of virtual force เราจะไดวา

zcccc EILPPvP

48.)(

3

δδ =−

z

cc EI

LPv

48

3

−=

จากตวอยางขางตน เราจะเหนไดวา virtual external load iPδ ไดถกจดวางไวทจดทเราตองการหาคาการเปลยนต าแหนง (ในกรณทตองการหาคา slope นน virtual force จะเปนโมเมนต) เนองจาก virtual force ถกตดออกจากทงสองขางของสมการ =*

extWδ *intWδ ดงนน virtual force จะมคาเทาใดกได ในทางปฏบตแลว เราจะก าหนดใหมคา

เทากบหนงหนวย และวธการนจะถกเรยกวา unit load method


ตวอยางท 3.6จงใช principle of virtual forces หาสมการการเปลยนต าแหนงทเกดขนทจดหมายเลข 2 และจดหมายเลข 3

ของคาน ในตวอยางท 3.5

โมเมนตภายในเนองจากแรงกระท าทต าแหนง x ของคานจะเขยนไดในรป

)59(12 32 PPxM z +=

≤≤

40 Lx

xPxLPM z 32

125)(

4+−=

≤≤

127

4LxL

)(127)(

4 32 xLPxLPM z −+−=

≤≤ LxL

127

ในการหาสมการการเปลยนต าแหนง 2v และ 3v เราจะพจารณาระบบของ virtual force สองระบบคอ1.) ส าหรบการเปลยนต าแหนง 2v เราจะวาง virtual external force 12 −=Pδ ใหกระท าทจดหมายเลข 2 ซง

เราจะได virtual moment ในรป

43xM z =δ

≤≤

40 Lx

4xLM z

−=δ

≤≤ LxL

4ซงเราจะได internal complementary virtual work อยในรป

)0133.00117.0(

37

44

35)(

41

4 )59(

12431

32

3

12/732

12/7

4/32

4/

032

*int

PPEIL

dxPPxLxL

dxxPPxLxLdxPPxxEI

W

z

L

L

L

L

L

z

+=

+

−

−

+

+−

−

+

+

=

∫

∫∫δ

และ external complementary virtual work จะอยในรป222

*ext )( vvPW −== δδ

จาก principle of virtual force เราจะไดวา

)0133.00117.0( 32

3

2 PPEILvz

+−=

2.) ในการหาการเปลยนต าแหนง 3v เราจะวาง virtual external force 13 −=Pδ ใหกระท าทจดหมายเลข 3 และท าการค านวณในขนตอนตางๆ เหมอนเดม เราจะได

)0197.00133.0( 32

3

3 PPEILvz

+−=


ตวอยางท 3.7จงใช principle of virtual forces หาสมการการเปลยนต าแหนงทเกดขนทจด c ของคาน ดงทแสดงในรป

เนองจากคานดงกลาวเปนโครงสรางแบบ statically indeterminate ดงนน จากวชา structural analysis เราจะหาสมการของโมเมนตภายในไดในรป

)5(274

3 LxPM z −=

≤≤

30 Lx

)75(27

3 xLP

M z −=

≤≤ LxL

3ในการหาสมการการเปลยนต าแหนงทเกดขนทจด c ของคาน เราจะให virtual force 1−=cPδ กระท าทจด

c และเนองจาก virtual internal moment ทเกดขนเนองจากแรงดงกลาวจะตองสอดคลองกบเงอนไขของความสมดลเทานน ดงนน เราจะหาสมการของโมเมนตดงกลาวในกรณทคานถกรองรบอยางงาย ซงเราจะไดวา

2xM z =δ

≤≤

20 Lx

2xLM z

−=δ

≤≤ LxL

2ซงเราจะได internal complementary virtual work อยในรป

z

L

L

L

L

L

z

EILP

dxP

xLxL

dxP

xLxdxP

LxxEI

W

12965

27)75(

2

27)75(

2

274

)5(2

1

33

2/

3

2/

3/

33/

0

3*int

=

−

−

+

−

+

−

=

∫

∫∫δ

และ external complementary virtual work จะอยในรปcvW −=*

extδจาก principle of virtual force เราจะไดวา

zc EI

LPv

12965 3

3−=


ตวอยางท 3.8จงใช principle of virtual forces หาสมการการเปลยนต าแหนงทเกดขนทจด c ของคาน ดงทแสดงในรป โดยใช

ระบบของ virtual forces ดงน1.) ระบบทมพนฐานมาจากการรองรบจรงของคาน2.) ระบบทมพนฐานมาจากคานรองรบอยางงาย

รป b แสดงแผนภาพโมเมนต zM ทเกดขนจรงในคานโดยใชระบบของ virtual force ท 1 เราจะท าการวางแรงขนาด 1 หนวยทจด c และเราจะไดแผนภาพของ virtual

internal force ดงทแสดงในรป c ดงนน internal complementary virtual work ของคานจะอยในรป

z

L

Lz EILPdxxPLx

EIW

485)(

21 3

1

2/1

*int =

−= ∫δ

และ external complementary virtual workcvW =*

extδจาก principle of virtual force เราจะไดวา

zc EI

LPv485 3

1=

โดยใชระบบของ virtual force ท 2 เราจะไดแผนภาพของ virtual internal force ดงทแสดงในรป d ดงนน internal complementary virtual work ของคานจะอยในรป


z

L

L

L

z

EILP

dxxPxLdxxPxEI

W

16

)(2

)(2

1

31

2/1

2/

01

*int

=

−

+

= ∫∫δ

และ external complementary virtual work จะอยในรป

cvvW −= 1*

ext 21δ

จาก principle of virtual force เราจะไดวา

zc EI

LPvv162

311 =−

จากผลการค านวณ พบวา เมอเราใช virtual forces ทมพนฐานมาจากการรองรบจรงของคาน เราจะได exact solution แตเมอเราใช virtual forces ทมพนฐานมาจากคานรองรบอยางงายแลว ค าตอบทไดอยในรปทไมสามารถน าไปใชไดทนท แตเปนค าตอบทถกตองเชนเดยวกน


แบบฝกหดทายบทท 33.1 จงหาคาแรงทเกดขนในชนสวน 4-6 ของโครงขอหมน ดงทแสดงในรป โดยใช principle of virtual work

3.2 จงหาคาแรงปฏกรยาทเกดขนทจดรองรบหมายเลข 1, 2, และ 5 ของคาน ดงทแสดงในรป โดยใช principle of virtual work [6.2]

3.3 จงเขยนสมการ internal virtual work ของชนสวนโครงสรางรบแรงในแนวแกนทมความสมพนธของหนวยแรงและความเครยดแบบไมเชงเสนตรงของวสดอยในรป )100( 2εεσ += oE เมอ oE เปน modulus of elasticity ของวสดท 0=ε

3.4 จงหาคาเปลยนต าแหนงทจด A ของคาน ดงทแสดงในรป โดยใช principle of virtual displacement ก าหนดให Lxvv A /sinπ= และสมการ vδ อยในรปเดยวกนกบ v

3.5 จงหาคาเปลยนต าแหนงทจด A ของคาน ดงทแสดงในขอท 3.3 โดยใช principle of virtual displacement ก าหนดให LxaLxav /3sin/sin 21 ππ += และสมการ 1vδ อยในรปเดยวกนกบ v

3.6 จงหาคาเปลยนต าแหนงทจด A ของคาน ดงทแสดงในรป โดยใช principle of virtual displacement ก าหนดให 2

21 )()( aLxxaLxxv −+−= และสมการ vδ อยในรปเดยวกนกบ v


3.7 จงใช principle of virtual displacement หาคาเปลยนต าแหนง 1v และ 1zθ และแรงปฏกรยาทจดรองรบ 2yF และ 2zM ของคานยน ดงทแสดงในรป ก าหนดให

1cos1 vLxv

+=

π1cos1 v

Lxv δπδ

+=

3.8 จงใช principle of virtual forces หาคาเปลยนต าแหนงทปลายหมายเลข 3 ของคาน ดงทแสดงในรป ก าหนดให MPa 000,200=E และสมการของโมเมนตดดภายในเนองจากแรงกระท าอยในรป

xM z 5.2245 +−= ( 60 ≤≤ x )xM z 30270 −= ( 96 ≤≤ x )


บทท 4การวเคราะหโครงสรางโดยใช Principles of Virtual Work

ในบทน เราจะใชหลกการงานสมมต (principle of virtual work) ในการหาความสมพนธตางๆ ทเราจะใชในการวเคราะหโครงสรางโดยวธ matrix ซงเราจะเหนไดวา ความสมพนธทไดเหมอนกบทเราไดศกษาไปแลวในบทท 1 และ 2 อยางไรกตาม การใช principle of virtual work ดงกลาวจะถกน าไปใชในการวเคราะหโครงสรางไดกวางกวาวธ direct stiffness method มาก เชน โครงสรางทมชนสวนโครงสรางทมหนาตดสอบ (tapered member) และโครงสรางทชนสวนโครงสรางมการเปลยนแปลงรปรางโดยแรงเฉอน เปนตน นอกจากนนแลว การใช principle of virtual work ยงสามารถใชในการพฒนาสมการทใชในการวเคราะหโครงสรางทมพฤตกรรมแบบไมเชงเสนตรงทางเรขาคณต (geometric nonlinear)และใชในการวเคราะหหาแรงวกฤตแบบยดหยน (elastic critical load) ของโครงสรางไดอกดวย ซงจะกลาวถงตอไปในบทท 64.1 สมการแสดงสภาวะการเปลยนต าแหนงของชนสวนโครงสราง4.1.1 นยามของ shape function

ในการหาสมการความแกรงของชนสวนของโครงสราง (element stiffness equation) แบบยดหยนเชงเสนตรง (linear elastic) โดยใช principle of virtual displacements นน เราจะพจารณาถงปจจยหลกสามปจจยคอ

1. คณสมบตของวสด ซงหาไดจากความสมพนธของหนวยแรง (stress) และความเครยด (strain) ของวสด2. การก าหนดสภาวะการเปลยนต าแหนงจรง (real displacement) และสภาวะการเปลยนต าแหนงสมมต

(virtual displacement) ของชนสวนของโครงสราง3. สมการอนพนธ (differential equation) ระหวางความเครยดและการเปลยนต าแหนง

โดยทคณสมบตของวสดจะหามาไดจากการทดสอบวสดและสมการอนพนธระหวางความเครยดและการเปลยนต าแหนงเปนความสมพนธพนฐานทางกลศาสตรโครงสราง จาก section ท 3.4 เราทราบมาแลววา การเปลยนต าแหนงสมมต (virtual displacement) ของชนสวนของโครงสรางจะมลกษณะเชนเดยวกนกบ real displacement ดงนน ถาเราสามารถก าหนด real displacement ไดแลว เราจะหา element stiffness equation ของชนสวนของโครงสรางได

สมการ real displacement ของชนสวนของโครงสรางจะหามาไดโดยการแกสมการอนพนธ ซงก าหนดพฤตกรรมของชนสวนของโครงสราง (governing equation) เชน สมการ )/( 22 dxvdEIM zz = ในกรณของชนสวนของโครงสรางทเกดการดด เปนตน อยางไรกตาม ถาการแกสมการอนพนธดงกลาวมความยงยากมากแลว เราจะท าการสมมตสมการ real displacement ทสอดคลองกบ actual displacement ของชนสวนของโครงสรางขนมา แลวท าการวเคราะหโครงสรางโดยใช principle of virtual displacements ตอไป ซงจะท าใหการค านวณมความงายขนมาก โดยทวไปแลว สมการ real displacement ดงกลาวมกจะอยในรปของการเปลยนต าแหนงทจดตอ (nodal point) และมกจะถกเขยนใหอยในรปสมการพชคณตในรป

∆N Tn

iii

nnii

N

NNNN

=∆=

∆++∆++∆+∆=∆

∑=1

2211 KK

(4.1)

เมอ ∆ เปนคาการเปลยนต าแหนงทจด x บนชนสวนของโครงสราง เชน u ในกรณของชนสวนรบแรงในแนวแกนและ vในกรณของชนสวนรบแรงดด เปนตน i∆ เปน degree of freedom ท thi ของชนสวนของโครงสราง iN เปน shape function ทสอดคลองกบ degree of freedom i∆ , และ n เปนจ านวน degree of freedom ทงหมดท nodal point ของชนสวนของโครงสราง


4.1.2 การหา Shape Functionsพจารณาชนสวนโครงสรางรบแรงในแนวแกน ดงทแสดงในรปท 4.1 ซงมการเปลยนต าแหนงเกดขนท node

หมายเลข 1 และ 2 เปน 11 u=∆ , และ 22 u=∆ เราจะเขยนสมการการเปลยนต าแหนงทจด x ของชนสวนของโครงสรางดงกลาวไดในรป

2211 uNuNu += (4.2)ส าหรบชนสวนโครงสรางรบแรงบด ดงทแสดงในรปท 4.2 ซงมมมบดเกดขนท node หมายเลข 1 และ 2 เปน

1xθ และ 2xθ เราจะเขยนสมการมมบดทจด x ของชนสวนของโครงสรางดงกลาวไดในรป 2211 xxx NN θθθ += (4.3)

รปท 4.1

รปท 4.2

ส าหรบชนสวนโครงสรางรบแรงดด ดงทแสดงในรปท 4.3 ซงมการเปลยนต าแหนงเกดขนท node หมายเลข 1 และ 2 เปน 11 v=∆ , 22 v=∆ , 13 zθ=∆ , และ 24 zθ=∆ เราจะเขยนสมการของการเปลยนต าแหนงทจด x ของชนสวนของโครงสรางดงกลาวไดในรป

24132211 zz NNvNvNv θθ +++= (4.4)

รปท 4.3

ในทน เราจะท าการหา shape function iN ทสอดคลองกบการเปลยนต าแหนงในกรณตางๆ ขางตนในกรณของชนสวนโครงสรางรบแรงในแนวแกนทมหนาตดทคงท A เราทราบมาแลววา ความเครยดทเกดขนใน

แนวแกนของชนสวนของโครงสรางดงกลาวจะมคาคงทตลอดความยาว หรอ== dxduex / คาคงท

ดงนน การเปลยนต าแหนงในแนวแกน u จะเปนสมการเสนตรงของ x โดยท xaau 21 += (4.5)

โดยทเทอม 1a และ 2a จะเปนคาคงทและจะตองสอดคลองกบการเปลยนต าแหนง 1u และ 2u ท nodal point ของชนสวนของโครงสราง

ท nodal point 1, 0=x , จากสมการท 4.5

11 auu ==


ท nodal point 2, Lx = , จากสมการท 4.5Lauu 212 +=

ซงเราจะไดวา

Luua 12

2−

=

เมอแทนสมการของ 1a และ 2a ลงในสมการท 4.5 แลวท าการจดเทอมตางๆ ใหมใหอยในรปของการเปลยนต าแหนง 1u และ 2u เราจะไดวา

211 uLxu

Lxu +

−= (4.6)

หลงจากท าการเปรยบเทยบสมการท 4.2 และ 4.6 เราจะไดวา

LxN −=11

LxN =2

ซง shape function ขางตนมลกษณะดงน1. ไมมหนวย2. มคาเปนหนงหนวยท nodal point ทอางถงและมคาเทากบศนยท nodal point ทเหลอ หรอท nodal point 1

( 0=x ) 1uu = และท nodal point 2 ( Lx = ) 2uu =รปท 4.4 แสดงความสมพนธระหวาง shape function 1N และ 2N และพกด x ตามล าดบ

รปท 4.4

การหา shape function ของชนสวนโครงสรางรบแรงบดมลกษณะทคลายกนกบการหา shape function ของชนสวนโครงสรางรบแรงในแนวแกนโดยท อตราการบดทเกดขนในชนสวนของโครงสรางดงกลาวจะมคาคงทตลอดความยาวหรอ

=dxd x /θ คาคงทดงนน มมบด xθ จะเปนสมการเสนตรงของ x และอยในรป

xaax 21 +=θดงนน หลงจากทเราหาสมการของ 1a และ 2a แลว เราจะไดวา

211 xxx Lx

Lx θθθ +

−= (4.7)

และLxN −=11 และ

LxN =2 จะมลกษณะเชนเดยวกบในกรณของชนสวนโครงสรางรบแรงในแนวแกน


การเปลยนต าแหนงของชนสวนโครงสรางรบแรงดดถกก าหนดโดยการเปลยนต าแหนงสคาคอ 1v , 2v , 1zθ ,

2zθ โดยทมมดด (angular displacement) 1

1 dxdv

z =θ และ 2

2 dxdv

z =θ ดงนน จาก governing differential

equation ของคาน 02

2

2

2

=

dxvdEI

dxd เราจะไดวา รปแบบทงายทสดของการเปลยนต าแหนงของชนสวนโครงสราง

รบแรงดดจะอยในรปของสมการ polynomial ก าลงสามในรป 3

42

321 xaxaxaav +++= (4.8)และมมดดของการเปลยนต าแหนงดงกลาวจะอยในรป

2432 32 xaxaa

dxdv

z ++==θ

ท nodal point 1, 0=x ,

11 av =

21 az =θท nodal point 2, Lx = ,

34

23212 LaLaLaav +++=

24322 32 LaLaaz ++=θ

ท าการแกสมการทงส เราจะได

11 va = 12 za θ=

)233(1212123 LLvv

La zz θθ −−+−=

)22(1212134 LLvv

La zz θθ ++−=

แทนคาคงททงสลงในสมการท 4.8 แลวท าการจดเทอมใหมใหอยในรปของการเปลยนต าแหนง 1v , 2v , 1zθ , และ 2zθ ซงเราจะได

2

2

1

2

2

32

1

32

123231 zz Lx

Lxx

Lxxv

Lx

Lxv

Lx

Lxv θθ

−

+

−+

−

+

+

−= (4.9)

หลงจากท าการเปรยบเทยบสมการท 4.4 และ 4.9 เราจะไดวา

+

−=

32

1 231Lx

LxN

−

=

32

2 23Lx

LxN

2

3 1

−=

LxxN

−

=

Lx

LxxN

2

4

รปท 4.5 แสดงคาของ shape function และพกด x


รปท 4.5


ตวอยางท 4.1จงหา shape function ของชนสวนโครงสรางรบแรงในแนวแกนทม 3 nodes ดงทแสดงในรป โดยใช principle of

virtual displacement

เนองจาก shape function ของชนสวนโครงสรางจะเปนสมการของการเปลยนต าแหนงท node คอ 1u , 2u , และ 3u ดงนน เราจะใหสมการการเปลยนต าแหนงจะอยในรปสมการโพลโนเมยลก าลงสอง

2321 xaxaau ++=

เมอเราแทนคา 0=x , Lx = , และ Lx 2= ลงในสมการการเปลยนต าแหนงขางตนแลว เราจะไดวา คาการเปลยนต าแหนงท node 1, 2, และ 3 ในรป

11 au =2

3212 LaLaau ++=2

3213 42 LaLaau ++=

ท าการแกสมการทงสาม เราจะได

11 ua =

)43(21

3212 uuuL

a −+−=

)2(21

32123 uuuL

a +−=

แทน 1a , 2a , และ 3a กลบลงในสมการการเปลยนต าแหนง ซงเราจะได

32

2

22

2

12

2

222

2231 u

Lx

Lxu

Lx

Lxu

Lx

Lxu

−−

−+

+−=

โดยการน าสมการของการเปลยนต าแหนง u มา plot เทยบกบ x เราจะเหนไดวา 1=iN ท ix และ 0=iN ทจดอนๆ ทไมใช ix


ตวอยางท 4.2คานหนาตดสอบ (tapered beamX ดงทแสดงในรป มหนาตดรปสเหลยมผนผา มความกวาง b และมความลก

)/1(1 Lxh + จงหาสมการการเปลยนต าแหนงทสอดคลองกบ governing differential equation ของคานในรป

02

2

2

2

=

dxvdEI

dxd

สมการ moment of inertia ของหนาตดของคานจะอยในรป33

1 112

+=

Lxbh

I

ดงนน จาก governing differential equation ของคาน เราจะได

0112 2

23

2

231 =

+

dxvd

Lx

dxdEbh

01 2

23

2

2

=

+

dxvd

Lx

dxd

เมอท าการ integration สมการดงกลาวสองครง เราจะได

212

23

1 CxCdxvd

Lx

+=

+

โดยท 1C และ 2C เปนคาคงททไดจากการ integrationเมอท าการจดเทอมของสมการขางตนใหม เราจะได

32

31

2

2

11

+

+

+

=

Lx

C

LxxC

dxvd

ท าการ integration สมการขางตนอกหนงครง เราจะไดสมการของ slope ของคานอยในรป

322

2

21

1

1

1

12

12

CC

Lx

Lx

L

LxCL

dxdv

+

+

−

+

+

+

−=

ท าการ integration สมการขางตนอกหนงครง เราจะได สมการของการโกงตวของคานอยในรป

43231

2

1ln12

1

12CxCC

Lx

Lx

L

Lx

CLv ++

++

+

−

+

=

จากนน เราจะหาคาคงท 1C , 2C , 3C , และ 4C ไดโดยการใช boundary conditions ของคานดงน


ท 0=x

vv =1 และ 1zdxdv θ=

ท Lx =

vv =2 และ 2zdxdv θ=

สดทาย สมการของการเปลยนต าแหนงของคานจะหาไดโดยการแทนคาคงททไดจากการ integration ทงสลงในสมการของ v แลวท าการจดเทอมใหมใหอยในรปของ shape function


4.1.3 ขอสงเกตทส าคญของ shape functionตอไปนเปนขอสงเกตทส าคญของ shape function1. จาก section ทผานมา เราจะเหนไดวา สมการ polynomial จะเหมาะสมเปน shape function ของชนสวน

โครงสรางทรบแรงในแนวแกนและชนสวนโครงสรางทรบแรงดด (สมการท 4.5 และ 4.8 และตวอยางท 4.1)และสมการ logarithmic จะเหมาะสมเปน shape function ของคานหนาตดสอบ (tapered beam) แตอยางไรกตาม สมการ polynomial มกจะถกใชในการประมาณ shape function ของโครงสรางมากทสด ดงตวอยางทแสดงใน section ท 4.3 เนองจากเปนรปแบบของสมการทแกไดงายทสด

2. shape function (สมการท 4.6 และ 4.7 และตวอยางท 4.1 และ 4.2) ประกอบดวยเทอมทแสดงถงการเคลอนทแบบวตถแกรง (rigid body motion) และพฤตกรรมการเปลยนแปลงรปรางแบยดหยน เชน ในกรณของชนสวนโครงสรางทรบแรงในแนวแกน (สมการท 4.5) เทอม 1a แสดงถง rigid body motion และเทอม xa2 แสดงถงความเครยด และในกรณของชนสวนโครงสรางทรบแรงดด (สมการท 4.8) เทอม 1a และxa2 แสดงถง rigid body motion และเทอม 2

3xa และ 34xa แสดงถงความโคง (curvature) ของชน

สวนโครงสราง3. เนองจาก shape function เปนตวคณทไมมมตของการเปลยนต าแหนงทจดเชอมตอ (node) ดงนน เพอ

ความสะดวกในการใชงาน เราอาจจะเขยน shape function ในเทอมของพกดทไมมมตได เชน ในกรณของ ชนสวนโครงสรางทรบแรงในแนวแกน เราสามารถใชพกด Lx /=ξ (ซงมคาเปนศนยทปลายดานหนงของ ชนสวนโครงสรางและมคาเทากบหนงทปลายอกดานหนง) เปนพกดของ shape function ของชนสวนโครงสรางทรบแรงในแนวแกนได ซงจะท าใหสมการท 4.6 อยในรป

21)1( uuu ξξ +−=การเปลยนต าแหนงของชนสวนโครงสรางท รบแรงดดจะประกอบดวยการเปลยนต าแหนงเชงเสน (translational displacement) และการเปลยนต าแหนงเชงมม (angular displacement) (สมการท 4.9) ซงเราจะเหนไดวา ตวคณของการเปลยนต าแหนงเชงมมจะมหนวยเปนความยาว ดงนน เราจะเขยนสมการของ 3N ใหมไดในรป 22 )1()/1( ξ−=− xLxx ซงมทงพกด x และ ξ ซงไมเหมาะสมในการน ามาใชงาน ดงนน เรามกจะเขยนการเปลยนต าแหนงเชงมมใหมใหอยในรป L1θ และ L2θ ซงเราจะท าใหสมการของ 3N อยในพกด ξ เทานน และอยในรป

223 )1()/1)(/( ξξ −=−= LxLxN

4.2 การใช principle of virtual displacement ในการหาสมการความแกรงของชนสวนโครงสราง4.2.1 สมการของการเปลยนต าแหนงจรงและการเปลยนต าแหนงสมมต

ใน section น เราจะน าสมการของการเปลยนต าแหนงทหาไดขางตนมาประยกตใชกบ principle of virtual displacement เพอหาสมการความแกรงของชนสวนโครงสราง (element stiffness equations)

เนองจากงานภายใน (internal work) ถกเขยนในเทอมของความเครยด และจาก section ท 3.3.2 เราไดสมการของความเครยดและการเปลยนต าแหนงของชนสวนของโครงสรางรปแบบตางๆ ดงตอไปน

ชนสวนโครงสรางทรบแรงในแนวแกน:dxduex =

ชนสวนโครงสรางทรบแรงบด:dxd xθβ =


ชนสวนโครงสรางทรบแรงดด: 2

2

dxvd

z =κ

และโดยทวไปแลว เราจะหาสมการของความเครยดไดจากการท า differentiation สมการการเปลยนต าแหนงท nodal point ของชนสวนของโครงสราง ซงจากสมการท 4.1 เราจะไดวา

∆N Te ′=∆′= (4.10)เครองหมาย prime แสดงถง differentiation เทยบกบพกดทใช และจากสมการท 4.6 ถง 4.9 เราจะเหนไดวา มเฉพาะเทอม shape function TN เทานนทเปนฟงกชนกบพกด ดงนน shape function ดงกลาวจงเปนเทอมๆ เดยวเทานนในสมการของการเปลยนต าแหนงทจะถกท า differentiation

พจารณาชนสวนโครงสรางทรบแรงในแนวแกน เราจะเขยนสมการท 4.6 ใหอยในรปของ matrix ไดเปน

−=

2

11uu

Lx

Lxu

ดงนน เราจะไดสมการของความเครยดทเกดขนในชนสวนโครงสรางดงกลาวจะอยในรป

−==

2

111uu

LLdxduex (4.11a)

ในท านองเดยวกน ในกรณของชนสวนโครงสรางทรบแรงบด เราจะไดสมการของอตราการบด (rate of twist) ทเกดขนในชนสวนโครงสรางดงกลาวอยในรป

−==

2

111x

xx

LLdxd

θθθ

β (4.12a)

ในกรณของชนสวนโครงสรางทรบแรงดด จากสมการท 4.9 เราจะไดสมการของความโคง (curvature) ทเกดขนในชนสวนโครงสรางดงกลาวอยในรป

−

−

−

−==

1

1

2

2

222

2

232126132216

z

zz v

v

Lx

LLx

LLx

LLx

Ldxvd

θ

θκ (4.13a)

นอกจากนนแลว เราจะเขยนสมการ virtual displacement และ virtual strain ใหอยในรปของ matrix ไดเปน ∆N δδ T=∆ (4.14) ∆N δδ Te ′= (4.15)

ในท านองเดยวกน เราจะได virtual strain ของชนสวนโครงสรางทรบแรงในแนวแกน ชนสวนโครงสรางทรบแรงบด และชนสวนโครงสรางทรบแรงดดอยในรป

−=

2

111uu

LLex δ

δδ (4.11b)

−=

2

111x

x

LL δθδθ

δβ (4.12b)


−

−

−

−==

1

1

2

2

222

2

232126132216

z

zz v

v

Lx

LLx

LLx

LLx

Ldxvd

δθδδθδ

δδκ (4.13b)

4.2.2 การหา stiffness matrix ของชนสวนของโครงสรางโดยใช principle of virtual displacementจาก principle of virtual displacement ใน section ท 3.2

0intext =−= WWW δδδ (3.13)และจาก section ท 3.3

[ ] ∫=vol

int )vol(dW T eEeδδ (3.23)

เมอ e และ Te เปน real strain และ virtual strain และ [ ]E เปน elastic constantก าหนดใหชนสวนของโครงสรางถกกระท าโดยแรกระท าเปนจดท node 1 ถง node n เปน KK ,,,, 21 iFFF

nF, ดงนน external virtual work เนองจากแรงกระท าดงกลาวจะอยในรป

∑=

∆=n

iii FW

1ext δδ

และจาก principle of virtual displacement เราจะไดวา

[ ] F∆eEe Tn

iii

T Fd δδδ =∆= ∑∫=1vol

)vol(

โดยการแทนสมการท 4.10 และ 4.15 ลงในความสมพนธทได เราจะไดวา

[ ] F∆∆NEN TTT d δδ =

′′∆ ∫

vol

)vol( (4.16a)

หรอ [ ] F∆∆k∆ TT δδ = (4.16b)

เมอ

[ ] [ ]

′′= ∫

vol

)vol(dTNENk (4.17)

จากเงอนไขทวา virtual displacement จะมคาเทาใดกได เราจะไดวา [ ] F∆k = (4.18)

สมการท 4.17 เปน element stiffness matrix ซงไดมาจาก principle of virtual displacement และสมการท 4.18 เปนสมการทแสดงความสมพนธของแรงและการเปลยนต าแหนงทเกดขนบนชนสวนของโครงสราง4.2.3 stiffness matrix ของชนสวนโครงสรางรบแรงในแนวแกน แรงบด และแรงดด

พจารณาชนสวนโครงสรางรบแรงในแนวแกนทมหนาตดทคงท ดงทแสดงในรปท 4.1 ก าหนดใหชนสวนโครงสรางดงกลาวม [ ] E=E ม Adxd =)vol( และม real strain และ virtual strain ดงทแสดงในสมการท 4.11a และ 4.11bดงนน จากสมการท 4.17 เราจะไดวา


[ ] =k

−

−=

−

−

∫ 111111

1

1

0 LEAAdx

LLE

L

LL

ส าหรบชนสวนโครงสรางรบแรงบดทมหนาตดทคงท ดงทแสดงในรปท 4.2 ก าหนดใหชนสวนโครงสรางดงกลาวม [ ] G=E ม shear strain เนองจากการบด )/( dxd xθργ = และม dAdxd =)vol( จากสมการท 3.23 เราจะไดวา

[ ] ∫∫ ∫

=

=

Lx

Tx

Lx

Tx dx

dxd

GJdx

dxdAdxd

Gdx

W00

2int

θδθρ

θδθδ

จากสมการ real rate of twist และ virtual rate of twist ดงทแสดงในสมการท 4.12a และ 4.12b และจากprinciple of virtual displacement เราจะไดวา

[ ] =k

−

−=

−

−

∫ 111111

1

1

0 LGJJdx

LLG

L

LL

ส าหรบชนสวนโครงสรางรบแรงดดทมหนาตดทคงท ดงทแสดงในรปท 4.3 ก าหนดใหชนสวนโครงสรางดงกลาวม [ ] E=E ม real strain เนองจากการดด ye κ= และม dAdxd =)vol( จากสมการท 3.23 เราจะไดวา

[ ] ∫∫ ∫ ==L

zzTz

L

zTz dxEIdxdAyEW

00

2int κδκκδκδ

จากสมการ real strain และ virtual strain ดงทแสดงในสมการท 4.13a และ 4.13b และจาก principle of virtual displacement เราจะไดวา

[ ]

−

−

−

−

−

−

−

−

= ∫L

z dxLx

LLx

LLx

LLx

LEI

Lx

L

Lx

L

Lx

L

Lx

L

022

2

2

232126132216

232

126

132

216

k

2v 2zθ 1v 1zθ

[ ]

−

−

−

−−−

=

4626

612612

2646

612612

22

22

LL

LLLL

LL

LLLL

LEI zk

นอกจากนนแลว เราจะไดวา external virtual work ของคานอยในรป


[ ]

1

1

2

2

1122

z

y

z

y

zz

M

FMF

vv δθδδθδ

4.3 ชนสวนโครงสรางทมหนาตดไมคงท (Nonuniform Elements)ชนสวนโครงสรางอาจจะมหนาตดทเปลยนแปลงไปตามความยาว ดงทแสดงในรปท 4.6a ซงในการวเคราะหชน

สวนโครงสรางดงกลาว เราอาจจะท าการจ าลองชนสวนโครงสรางใหมลกษณะดงทแสดงในรปท 4.6b แตปญหาทตามมากคอ การจ าลองดงกลาวจะท าใหโครงสรางมจ านวนของการเปลยนต าแหนงทไมทราบคาจ านวนมาก ซงจะท าใหตองใชเวลามากและยงยากในการวเคราะห วธการหนงทจะชวยท าใหการวเคราะหชนสวนโครงสรางในลกษณะนมประสทธภาพมากขนคอ การใช stiffness equation ของชนสวนโครงสรางดงกลาวโดยตรง แตจากตวอยางท 4.2 และ 4.9 เราจะเหนไดวา การหา stiffness equation ดงกลาวมกจะมความซบซอนมาก ซงจะแกไขไดโดยการใช principle of virtual displacement

สมการท 4.17 (ซงเปนสมการของ element stiffness matrix ทหามาไดโดยใช principle of virtual displacement) ตองการ derivatives ของ shape function TN ′ และ )vol(d ซงทงสองตวแปรอาจจะอยในรปท exact หรอ approximate กได (ด section ท 3.4 ส าหรบ requirement ส าหรบ exact solution)

รปท 4.6

พจารณาชนสวนโครงสรางรบแรงในแนวแกนทมหนาตดสอบเชงเสนตรง (linearly tapered axial member) ซงพนทหนาตดอยในรปของสมการ

−=

LrxAA 11

เมอ 1A เปนพนทหนาตดของชนสวนโครงสรางท node หมายเลข 1 และ r เปนตวแปรทใชในการปรบพนทหนาตด สมการนจะเปนสมการเดยวกนกบสมการพนทหนาตดของชนสวนโครงสรางรบแรงในแนวแกน ดงทแสดงในรปท 3.6 เมอ

2/1=rโดยการใช shape function ของชนสวนโครงสรางรบแรงในแนวแกนทมหนาตดคงทในรป

LxN −= 11 และ

LxN =2

เราจะได สมการ stiffness matrix ของชนสวนโครงสรางแบบประมาณอยในรป


[ ]

−

−

−= ∫ dx

LrxA

LLE

L

LL

1111

1

10

k

[ ]

−

−

−=

1111

211 r

LEAk

ซงจะอยในรปแบบเดยวกนกบสมการ stiffness matrix ของชนสวนโครงสรางรบแรงในแนวแกนทมหนาตดคงท ซงมพนทหนาตดประสทธผล

−=

211rAA

การเปลยนต าแหนงทแทจรง (exact) ของชนสวนโครงสรางรบแรงในแนวแกนทมหนาตดคงทดงกลาวจะหามาไดโดยใช differential equation ของชนสวนโครงสรางรบแรงในแนวแกน จาก section ท 3.5 โดยทเงอนไขของความสมดลส าหรบชนสวนเลกๆ ของชนสวนโครงสรางรบแรงในแนวแกน

0)(=

dxAd xσ

จาก Hooke's law, xx Ee=σ และจากสมการ dxduex /= เราจะไดเงอนไขของความสมดลอยในรป

0=

dxduEA

dxd (4.19)

เนองจาก

−=

LrxAA 11 ดงนน

011 =

−

dxdu

LrxEA

dxd

ท าการ integration สมการขางตนหนงครงแลวจดเทอมใหม เราจะได

Lrxdxdu

CEA

/11

1

1

−=

ท าการ integration สมการขางตนอกหนงครงแลวจดเทอมใหม เราจะได

21

1 1ln CLrx

rLu

CEA

+

−−=

จาก boundary condition ของชนสวนของโครงสราง ท 0=x , 1uu = และท Lx = , 2uu = เราจะหาคาคงทของการ integration 1C และ 2C ได และเราจะได สมการของการเปลยนต าแหนงอยในรป

21 )1ln(

)1ln(

)1ln(

)1ln(1 u

rLrx

urLrx

u

−

−+

−

−−=

แทนสมการของการเปลยนต าแหนง u ทไดลงใน stiffness matrix (สมการท 4.17) เราจะได

[ ]

−

−

−

−=1111

)1ln(1

rr

LEAk

เมอ 2/1=r เราจะได


[ ]

−

−=

1111

7213.0 1

LEAk

ซงตางจากค าตอบแบบประมาณทเราทราบมาแลวคอ

[ ]

−

−=

−

−

−=

1111

75.01111

21 11

LEAr

LEAk

ขอใหสงเกตดวยวา stiffness matrix ทหาไดจากวธการทสองมคาแตกตางกนเพยงแค 4% เทานน


ตวอยางท 4.3จงหาสมการของการโกงตว v ทปลายหมายเลข 1 ของคาน ดงทแสดงในตวอยางท 4.2 เนองจากแรง 1yF เมอ

ปลายหมายเลข 2 ถกยดแนน โดยใช shape function ของคานทมหนาตดคงท (สมการท 4.9)เนองจาก 022 == zv θ ดงนน stiffness equation ของคานจะอยในรป

=

1

1

2221

12111

0 z

y vkkkkF

θและสมการ moment of inertia ของหนาตดของคานจะอยในรป

331 1

12

+=

Lxbh

I

จากสมการท 4.13a เราจะได

331

0

331

2

211

2081

112

126

LbEh

dxLxEbh

Lx

Lk

L

=

+

−= ∫

231

0

331

22112

2029

112

232126

LbEh

dxLxEbh

Lx

LLx

Lkk

L

=

+

−

−== ∫

LbEh

dxLxEbh

Lx

Lk

L

31

0

331

2

22

43

112

232

=

+

−= ∫

เมอท าการจดเทอมตางๆ ของ stiffness matrix ใหม เราจะได

=

1

123

311

15292981

200 z

y vLLL

LbEhF

θ

ซงสมการการโกงตวทปลายหมายเลข 1 ของคานจะอยในรป

1

31

1 06684.0EILF

v y=

และเมอเปรยบเทยบสมการการโกงตวทไดกบ exact solution 1

31

1 06815.0EILF

v y= ทไดจากตวอยางท 4.9 เราจะพบ

วา สมการของการโกงตวทไดม error จาก exact solution เพยง 1.92% เทานน


4.4 การบดทไมสม าเสมอ (Nonuniform torsion)เราไดหา element stiffness matrix ในกรณของชนสวนโครงสรางรบแรงบดทมหนาตดคงทไปแลวใน section ท

4.2.3 ซง stiffness matrix ดงกลาวเหมาะทจะน าไปใชในชนสวนของโครงสรางทถกบดเปนมมนอยๆ โดยไมพจารณาถงการบดเบยวออกจากระนาบ (out-of-plane warping) ของหนาตด โดยทวไปแลว ความตานทานตอการ warping ของหนาตดของชนสวนของโครงสรางมความส าคญในการวเคราะหชนสวนของโครงสรางทมหนาตดแบบเปด เชน หนาตดแบบ wide-flange เปนตน เปนอยางมาก เนองจากความตานทานตอการ warping ดงกลาวอาจจะเปนตวแปรหลกทควบคมพฤตกรรมของชนสวนของโครงสรางในการตานทานตอแรงบด4.4.1 Stiffness matrix ของชนสวนของโครงสรางทมการบดทไมสม าเสมอ

ในทน เราจะใช principle of virtual displacement ในการหา element stiffness matrix ของชนสวนของโครงสรางหนาตด wide-flange ซงถกกระท าโดยแรงดด เราจะเหนไดวา ถงแมนวา ผลการวเคราะหทไดจะเปน ผลการวเคราะหแบบประมาณเทานน แตกมความใกลเคยงกบพฤตกรรมทเกดขนในชนสวนของโครงสรางเปนอยางมาก

พจารณาชนสวนของโครงสรางหนาตด wide-flange ซงถกกระท าโดยแรงบดทปลายทางดานขวามอ ดงทแสดงในรปท 4.7 ในกรณทการเปลยนต าแหนงในแนวแกนเกดขนไดอยางอสระทวทงหนาตดของชนสวนของโครงสรางนน อตราการบด (rate of twist) ทเกดขนทหนาตดใดๆ ของชนสวนของโครงสรางจะมคาคงท ซงท าใหหนาตดดงกลาวอยในสภาวะ pure shear และเราสามารถใช element stiffness matrix ทไดใน section ท 4.2.3 ในการวเคราะหชนสวนของโครงสรางดงกลาวได แตเมอการบดถกปองกนไมใหเกด แตการ warping สามารถเกดไดอยางอสระอยางสม าเสมอจากปลายดานซายมอถงปลายทางดานขวามอแลว ปก (flange) ของหนาตดของชนสวนของโครงสรางจะเกดการเปลยนต าแหนงทางดานขาง ดงทแสดงในรปท 4.7a

รปท 4.7

ถาการเปลยนต าแหนงในแนวแกนถกยดรงไมใหเกดขนไดแลว อตราการบดทเกดขนทหนาตดของชนสวนของโครงสรางจะมคาไมคงท ซงจะท าใหเกดการบดเบยวออกจากระนาบของหนาตดและจะมคาเปลยนแปลงไปตามความยาวของชนสวนของโครงสราง และปกของหนาตดจะเกดการดดรวมกบการเปลยนต าแหนงทางดานขาง ดงทแสดงในรปท 4.7b พฤตกรรมการบดในลกษณะนจะถกเรยกวา nonuniform torsion ซงจะถกวเคราะหไดโดยการเพมจ านวน degree of freedom ของชนสวนของโครงสรางในรปของอตราการบด (rate of twist) xθ ′ และ bimoment B


ชนสวนของโครงสรางทมหนาตดแบบ wide-flange จะตานทานตอแรงบดโดยใช shear flow บนหนาตดและความตานทานตอการดดทางดานขางของปก (flange) ดงทแสดงในรปท 4.8 shear flow บนหนาตดดงกลาวมกจะถกเรยกวา Saint Venant torque และความตานทานตอการดดทางดานขางของปก (flange) มกจะถกเรยกวา warping restraint torque หรอ warping torque

รปท 4.8

หนวยแรงตงฉากทเกดจากการดดทางดานขางของปก (flange) จะอยสมดลโดยตวมนเอง แตจากรปท 4.8b ผลคณของแรงเฉอนทปกทเกดจากการดดทางดานขวางกบความลกของหนาตดจะท าใหเกดแรงคควบขน เมอมมบดมคานอยมากๆ แลว อตราการบด (rate of twist) xθβ ′= และ Saint Venant torque จะอยในรป

xsv GJT θ ′= (4.20)ในการหาแรงบดทตานทานการบดเบยวออกจากระนาบของหนาตด (warping restraint torque) เราจะเขยนการ

ดดของปกของ wide-flange ใหอยในรปความสมพนธของโมเมนตและความโคง โดยท moment of inertia ของปกจะมคาโดยประมาณเทากบครงหนงของ moment of inertia ของทงหนาตด และจากรปท 4.8c ก าหนดให 2/hw xf θ= และ

2/yf II ≅ ดงนน

=

=

2

22

2

2

4 dxdhEI

hdxwd

EIhM

xy

fff

θ

ก าหนดให bimoment hMB f= และใหคา 4/2hI y ของหนาตด wide-flange เปน warping constant wC ดงนน เราจะไดวา

xwECB θ ′′= (4.21)


เนองจาก warping restraint torque dxdBhdxdMHhT fwr /)/( −=−== เราจะไดวา xwwr ECT θ ′′′−= (4.22)

ดงนน จากสมการท 4.20 (Saint Venant torque) และสมการท 4.22 (warping restraint torque) เราจะไดความตานทานตอแรงบดของหนาตดทงหมดอยในรป

xwxx ECGJM θθ ′′′−′= (4.23)ในการใช principle of virtual displacements หา element stiffness equation ส าหรบชนสวนของโครงสรางใน

กรณน เราอาจจะใชสมการของ internal virtual work และ external virtual work ทไดใน section ท 3.3 รวมกบ Saint Venant torsion สวนในกรณของ warping restraint torque ทเราพจารณาอย จากรปท 4.7b และ 4.8 และจากสมการขางตน เราจะได external virtual work ของชนสวนของโครงสรางอยในรป

110

1ext 2 xx

ff B

dxdw

MW θδδδ ′=

=

=

(4.24)

โดยท 1fM เปนโมเมนตทปกทปลายหมายเลข 1 และ internal virtual work ของชนสวนของโครงสรางจะอยในรป

dxhEC

dxwd

dxMW

L

xwf

L

ff

∫

∫

′′

=

=

02

2

0int

2

2

θδ

δκδ

ซงจะถกลดรปไดเปน

dxECWL

xwx∫ ′′′′=0

int θθδδ (4.25)

ส าหรบชนสวนโครงสรางรบแรงบดทถกยดรงไมใหเกด warping ทปลายทงสองดาน เราจะได external virtualwork อยในรป

[ ]

′′=

2

1

2

1

2121ext

BBMM

W x

x

xxxx θδθδδθδθδ

จากสมการท 4.17 และสมการ internal virtual work ของ Saint Venant torsion และ warping restraint torsion เราจะได stiffness matrix ของ element ดงกลาวในรป

[ ]

′′′′+′′= ∫∫ dxCEJdxG

L

wT

LT

00

NNNNk (4.26)

ส าหรบชนสวนโครงสรางรบแรงบดท warping เกดไดอยางอสระ อตราการบดทเกดขนจะมคาคงท ดงนน เราจะใชสมการท 4.7 เปน shape function แตในกรณของการบดทเกดขนเปนแบบไมสม าเสมอนน เราจะประมาณสมการ real angle of twist และ virtual angle of twist ในรปของสมการ polynomial ก าลงสามในรป

2

432

34

2321

xaxaa

xaxaxaa

x

x

++=′

+++=

θ

θ (4.27)

เมอเปรยบเทยบเทอมตางๆ ของสมการขางตนกบสมการท 4.8 ของชนสวนโครงสรางรบแรงดด เราจะเหนไดวา [ ]4321 NNNNT =N


ซงจะเปน shape function ทอยในรปเดยวกนกบ shape function ในสมการท 4.9ท าการแทน derivatives ของ shape function ดงกลาวลงในสมการท 4.26 จากนน ท าการ integrate เราจะได

วา1xθ 2xθ 1xθ ′ 2xθ ′ 1xθ 2xθ 1xθ ′ 2xθ ′

[ ]

−−

−

+

−

−−

−

=

424

6612

661212

1523015

2101

101

56

101

101

56

56

2

22

SymSym

kLLL

LLLL

JEC

L

LLL

LL

GJ w (4.28)

สมการท 4.28 นจะใชในการวเคราะหโครงสรางทมพฤตกรรมแบบยดหยนเชงเสนตรง (linear elastic) ทถกกระท าโดยแรงบดเทานน โดยทวไปแลว เพอใหการเปรยบเทยบผลของ Saint Venant torsion และ warping restraint torsion มความชดเจนมากขน เราจะท าการเขยน [ ]k ใหมโดยก าหนดให

α=2GJLECw (4.29)

ดงนน ความสมพนธของแรงและการเปลยนต าแหนงของชนสวนโครงสรางรบแรงบดในกรณนจะอยในรป

′′

+

+−

+

+−

+−

+

+

+

+−

+

=

2

1

2

1

2

22

2

1

2

1

4152Sym

43014

152

61016

10112

56

61016

10112

5612

56

x

x

x

x

x

x

L

LL

LL

LL

LGJ

BBMM

θθθθ

α

αα

ααα

αααα

(4.30)

4.4.2 ขอสงเกตในการวเคราะหโครงสรางซงถกกระท าโดยแรงบดในการวเคราะหโครงสรางซงถกกระท าโดยแรงบด เราจะตองพจารณาปจจยตอไปน1. ขนาดสมพทธของผลของ Saint Venant และ warping restraint

เมอพจารณา parameter α ในสมการท 4.29 และ 4.30 เราจะเหนไดวา ส าหรบชนสวนของโครงสรางทท าจากวสดชนดหนงๆ คา warping restraint จะเพมขนเมออตราสวน 2/ JLCw มคาเพมขน และส าหรบชนสวนของโครงสรางทมรปรางหนาตดขนาดหนงๆ แลว warping torsion จะมคาลดลงเมอชนสวนของโครงสรางมความยาวเพมขน นอกจากนนแลว เนองจาก bimoment เปนโมเมนตทสมดลโดยตวเอง ดงนน ผลของการยดรงตอการ warping จะเกดเฉพาะทเทานน ส าหรบหนาตด wide-flange ทคอนขางบางแตลก คาwarping constant ของหนาตดดงกลาวจะมคามากกวาคา torsional constant ทปองกนการเกด warping ดงนน การยดรงปกทปลายของชนสวนของโครงสรางรบแรงบดหนาตด wide-flange ดงกลาวอยางแนนหนาจะท าใหชนสวนของโครงสรางดงกลาวมความตานทานตอการบดสงขน แตในกรณทชนสวนของโครงสรางรบแรงบดทมหนาตดปด เชน หนาตดแบบทอสเหลยม เปนตน การยดรงดงกลาวจะไมสงผลใหการตอบสนองตอแรงบดของชนสวนโครงสรางเปลยนไปมากนก นอกจากนนแลว ความตานทานตอการ


warping ของชนสวนของโครงสรางรบแรงบดทมหนาตดเปดและมองคประกอบของหนาตดเชอมตอกนทจดๆ เดยว เชน หนาตดรปตว L และหนาตดรป + (cruciform) เปนตน จะมคาทนอยมาก

2. Boundary conditionsโดยทวไปแลว การรองรบตอการบดและการรองรบตอการดดจะเปนอสระจากกน แตจะกอใหเกดการยดรงทควบกน เชน จดรองรบตอการบดแบบงาย ดงทแสดงในรปท 4.7a จะท าใหเกดการยดรงแบบยดแนนตอการดดรอบแกนหลก (แกน z ) ในดานตรงกนขาม จดรองรบตอการบดแบบยดแนน ดงทแสดงในรปท 4.7b จะเปนจดรองรบทมความตานทานตอการดดรอบแกนหลกและแกนรอง (แกน y )

3. ความถกตองของค าตอบทไดขอมตฐานทใชมผลตอความถกตองของค าตอบทไดอยางมาก โดยเฉพาะการก าหนดใหสมการของมมบด(angle of twist) อยในรปของสมการ polynomial ก าลงสามนน จะท าใหเกดความไมสอดคลองของความสมดลภายในชนสวนของโครงสราง เชน จากกรณทเราพจารณาทผานไปแลวนน เนองจากชนสวนของโครงสรางไมไดถกกระท าโดยแรงระหวาง nodal point ดงนน 0/ =dxdM x แตเมอเราแทน derivatives ของสมการท 4.27 ลงในสมการท 4.23 เราจะเหนไดวา 0/ ≠dxdM x เปนตน นอกจากนนแลว สมการท 4.30 จะใหค าตอบทมความถกตองลดลง เมอจ านวน derivative ทเกยวของมคาเพมมากขน ดงนน การกระจายของ bimoment และ warping torque ทค านวณได อาจจะไมนาเชอถอเทากบ nodal forces มมบด และ Saint Venant torque อยางไรกตาม สมการท 4.30 มกจะใหค าตอบทคอนขางใกลเคยงกบ analytical solution และการใชสมการของมมบดทม degree ของสมการ polynomial สงขนอาจจะท าใหเกดความผดพลาดของผลการค านวณมากขน ดงนน สมการ polynomial ก าลงสามมกจะถกใชในการค านวณดงกลาว


ตวอยางท 4.4ชนสวนของโครงสราง ดงทแสดงในรป ถกยดแนนเพอปองกน warping และการบดไมใหเกดขนทปลายทางดาน

ดานซายมอ และถกปลอยใหเปนอสระทปลายทางดานขวามอ จงหาแรงปฏกรยาทเกดขนและจงเขยนแผนภาพของมมบดและแรงบดเนองจาก Saint Venant และ warping restraint

ท าการหาคณสมบตของหนาตดของชนสวนของโครงสราง2in 02.3=J , 6in 5380=wC , ksi 000,29=E , 3.0=ν

25.0)136(02.3)5380(6.2

2 ==α

จากสมการท 4.30 เราจะไดวา ความสมพนธระหวางแรงและการเปลยนต าแหนงของชนสวนของโครงสรางอยในรป

′

−

−=

2

22133.1600.1

600.1200.40 x

x

LLL

LGJT

θθ

ดงนน เราจะได มมบดและอตราการบดทเกดขนท node หมายเลข 2 อยในรป

GJTL

x 515.02 =θ

GJT

x 727.02 =′θ

จากนน เราจะหาแรงปฏกรยาทเกดขนท node หมายเลข 1 ไดจากความสมพนธ

−

−=

−−

=

TLT

LLLL

TBM x

484.0

727.0515.0

467.0600.1600.1200.4

21

1

และแรงปฏกรยาทเกดขนจะมทศทาง ดงทแสดงในรป

จากสมการท 4.9 เราจะได สมการของการบดของชนสวนของโครงสรางอยในรป


2

23

2

32

23 xxx LLx

Lx

Lx

Lx θθθ ′

−

+

−

=

2

22

2

2366 xx

x Lx

Lx

LLx

Lx θ

θθ ′

−

+

−

=′

ซงเราจะได แผนภาพมมบดเนองจาก Saint Venant และ warping restraint ดงทแสดงในรป

จากสมการท 4.20 เราจะหาคา warping torque wrT ไดโดยการน าคา Saint Venant torque ลบออกจากแรงบดทกระท าตอชนสวนโครงสราง ซงเราจะได แผนภาพแรงบดเนองจาก Saint Venant และ warping restraint ดงทแสดงในรป


ตวอยางท 4.5จงท าการเปรยบเทยบการตอบสนองตอการบดของเพลาเหลก ( ksi 000,29=E และ 3.0=ν ) ทมน าหนก

เทากนสามขนาด คอ 67W8× , 68W14× , 68W24× ซงมคณสมบตของหนาตดดงตอไปน

67W8× 68W14× 68W24×

J 4in 06.5 4in 02.3 4in 87.1wC 6in 1440 6in 5380 6in 9430α 040.0 250.0 709.0

โดยใชสมการท 4.30 และท าการซอยเพลาออกเปน 4 ชนสวน แลวท าการวเคราะหเพลา เราจะไดแผนภาพของมมบดและแรงบดเนองจาก Saint Venant และ warping restraint ดงทแสดงในรป

จากแผนภาพของมมบดและแรงบด เราจะเหนไดวา ในกรณทชนสวนของโครงสรางทงสามถกยดรงไมใหเกดการ warping แลว มมบดทเกดขนมคาทใกลเคยงกนมาก แตในกรณทไมมการยดรงหรอใหเกดการ warping บนหนาตดของคานไดอยางอสระแลว มมบดทเกดขนจะมคาแตกตางกนมาก โดยหนาตดทมความลกสงสดจะมมมบดเกดขนสงสด และลดลงตามคาความลกของหนาตด แตเมอเปรยบเทยบแรงบดของทงสองกรณแลว เราจะพบวา คานทมความลกนอยจะม Saint Venant torque เกดขนสงมาก และจะลดลงเมอหนาตดมความลกสงขน


ตวอยางท 4.6ก าหนดใหแรงบด T กระท าตอชนสวนของโครงสราง ดงทแสดงในรป จงท าการเปรยบเทยบการตอบสนองตอ

การบดของชนสวนของโครงสราง ในกรณทการ warping ทปลายทงสองของชนสวนของโครงสรางเกดไดอยางอสระและในกรณทการ warping ทปลายทงสองของชนสวนของโครงสรางถกยดแนน เมอ ksi 000,29=E และ 3.0=ν

โดยใชสมการท 4.30 และท าการซอยเพลาออกเปน 4 ชนสวน แลวท าการวเคราะหเพลา เราจะไดแผนภาพของมมบดและแรงบดเนองจาก Saint Venant และ warping restraint ดงทแสดงในรป

จากแผนภาพของมมบดและแรงบด เราจะเหนไดวา ในกรณทชนสวนของโครงสรางถกยดรงไมใหเกดการ warping แลว มมบดและแรงบดทเกดขนบนหนาตดตางๆ ของชนสวนของโครงสรางจะมนอยกวาในกรณทใหชนสวนของโครงสรางเกดการ warping บนหนาตดของคานไดอยางอสระ


4.5 น าหนกบรรทกทอยระหวาง nodal points และผลของความเครยดเรมตน - general approachเมอชนสวนของโครงสรางถกกระท าโดยแรงกระท าทอยระหวาง nodal point และเมอชนสวนของโครงสรางม

ความเครยดเรมตน (initial strain) เราจะท าการเปลยนรป (transformation) คาแรงกระท าและความเครยดเรมตนดงกลาวใหเปนแรงทกระท าท node ของชนสวนของโครงสรางไดโดยใช principle of virtual work

พจารณาชนสวนของโครงสรางซงถกกระท าโดยแรงกระท าแผกระจาย (distributed load) q ซงมทศทางใดๆ เทยบกบแกนอางอง x , y , และ z และพจารณาสภาวะของ virtual displacement ของชนสวนของโครงสราง ∆δ ดงนน จากสมการท 3.24 external virtual work ของ load q ทกระท าอยบน differential length dx ของ ชนสวนของโครงสรางดงกลาวจะอยในรปของ dot product )( dxq∆ ⋅δ และเมอเราพจารณาตลอดความยาวของชนสวนของโครงสรางแลว

∫ ⋅=L

dxW0

ext q∆δδ (4.31)

แทนสมการท 4.14 ซงเปนสมการของ virtual displacement ลงในสมการท 4.31 เราจะไดวา

ETL

T dxW F∆qN∆ δδδ =

⋅= ∫0

ext (4.31a)

โดยท

EL

dx F.qN =

∫0

(4.32)

สมการท 4.32 เปนสมการทใชหา effective nodal load EF ซงจะท าใหเกด virtual work เทากบ virtual work ทเกดจากแรงกระท าแผกระจาย ดงนน effective nodal load ดงกลาวมกจะถกเรยกอกชอหนงวา "work-equivalent" load

ส าหรบชนสวนโครงสรางรบแรงในแนวแกน ซงถกกระท าโดยแรงในแนวแกนทแผกระจายแบบสม าเสมอ xq=qและม shape function เปน

−=

LxLx1

N


=

−= ∫ 1

12

.1

0

Lqdxq

LxLx

xL

xEF

ซงในกรณน เราจะเหนไดวา equivalent nodal load เปนแรงกระท าทไดจากการแบงแรงกระท าทงหมดออกเปนสองสวนทเทากน และใหแตละสวนกระท าทปลายของชนสวนโครงสราง

ในกรณของชนสวนโครงสรางรบแรงดด ดงทแสดงในรปท 4.9 เมอ vδδ =∆ และแรงกระท าประกอบดวยแรงกระท าแผกระจาย yq=q และแรงกระท าเปนจด ri PPP ,,,,3 KK แลว จากสมการท 4.31 เราจะได external virtual work อยในรป

∑∫=

+=r

iii

L

y PvdxqvW30

ext .).( δδδ


เมอ vδ เปน virtual transverse displacement ตลอดความยาวของคาน และ ivδ เปน virtual transverse displacement ทจดทแรง iP กระท า

รปท 4.9

ก าหนดให virtual displacement ของชนสวนโครงสรางถกก าหนดโดยการเปลยนต าแหนงท node 2v , 2zθ , 1v , และ 1zθ ตามล าดบ ดงทแสดงในรปท 4.13b เราจะไดวา

[ ]

+

=

∑∑∑∑

∫∫∫∫

iii

ii

ii

i

y

y

y

y

zz

PNPNPNPN

dxqN

dxqN

dxqN

dxqN

vvW

4

3

2

1

4

3

2

1

2121ext δθδθδδδ (4.33)

เมอ i มคาตงแต 3 จนถง r และ ii NN 41 ,K เปน shape function ทถกพจารณาทจด iสมการท 4.33 จะถกเขยนใหสนลงไดเปน

ETcdTW F∆FF∆ δδδ =+=ext (4.33a)เมอ EF เปน effective nodal load ทสอดคลองกบแรงกระท าแผกระจาย yq และแรงกระท าเปนจด iP ดงนน

cdE FFF += (4.34)และ

=

∫∫∫∫

dxqN

dxqN

dxqN

dxqN

y

y

y

y

d

4

3

2

1

F (4.34a)

=

∑∑∑∑

iii

ii

ii

i

c

PNPNPNPN

4

3

2

1

F (4.34b)

เมอสมการท 4.33a ถกน ามาใชใน principle of virtual work (สมการท 3.13) แลว สมการ element stiffness (สมการท 4.18) จะเปลยนรปเปน

[ ] EFF∆k += (4.18a)ในกรณของทชนสวนของโครงสรางมความเครยดเรมตน เราจะหา work-equivalent load ไดในลกษณะเชนเดยว

กบในกรณของแรงกระท าแผกระจาย โดยการแปลงความเครยดเรมตนดงกลาวใหเปน equivalent nodal forces แตแรงดงกลาวจะถกหามาโดยใช internal virtual work


พจารณาชนสวนของโครงสรางทถกกระท าโดยแรงในแนวแกนทกอใหเกดความเครยดในแนวแกน x เทากบ Ex /σ และมความเครยดเรมตน i

xe ดงนน ความเครยดในแนวแกนทงหมดทเกดขนในชนสวนของโครงสรางดงกลาวจะอยในรป

ix

xx e

Ee +=

σ

และสมการของหนวยแรงทเกดขนในชนสวนของโครงสรางดงกลาวจะอยในรป i

xxx EeEe −=σ (4.35)โดยทวไปแลว เรามกจะเขยนสมการท 4.35 ในรป

[ ] [ ] ieEeE −=σ (4.35a)ดงนน จากสมการท 3.22 เราจะเขยนสมการ internal virtual work ไดในรป

[ ] [ ] ( )

[ ] [ ] ∫∫

∫

∫

−=

−=

=

volvol

vol

volint

volvol

vol

vol

)(eEe)(eEe

)(eEeEe

)(σe

dd

d

dW

iTT

iT

T

δδ

δ

δδ

(3.23a)

จากสมการท 3.23a integral เทอมแรกทางดานขวามอเปนเทอมเดยวกบทเราไดศกษามาแลวใน section ท 3.3 (สมการท 3.23) สวน integral เทอมทสองจะท าใหเราได "initial force" iF เนองจากความเครยดเรมตน ซงเมอเราท าการแทนสมการท 4.15 ซงเปนสมการของความเครยดเรมตนทอยในรปของการเปลยนต าแหนงท node ลงในเทอมดงกลาวแลว เราจะไดวา

[ ] [ ] iTiTiT dd F∆)(eEN∆)(eEe δδδ =′= ∫∫volvol

volvol (4.36)

เมอ [ ] ∫ ′=

vol

vol)(eENF dii (4.37)

ท าการแทนสมการท 4.37 ลงในสมการท 3.23a และจาก principle of virtual displacement เราจะไดวา [ ] iF∆kF −= (4.18b)

ในกรณของชนสวนโครงสรางรบแรงในแนวแกน [ ] E=E และ

−

=′111

LN และเมอความเครยดเรมตน

เกดจากการเปลยนแปลงอณหภมอยางสม าเสมอ T แลว เราจะไดความเครยดเรมตน Ti α=e และ initial force อยในรป

−

=

−

= ∫

11

111

0

TEA

dxTAEL

Li

α

α

F

ในกรณของชนสวนโครงสรางรบแรงดดทมความเครยดเรมตนกระจายแบบเชงเสนตรงตามความลก h โดยทมคา ความเครยดเรมตนทแกนสะเทน (neutral axis) เปนศนยและทผวบนสดและผวลางสดเปน 2/ie∆ ความโคง (curvature) ของชนสวนของโครงสรางดงกลาวจะหาไดจากสมการ


heii =κ

และจากสมการท 4.35 เราจะได initial force เนองจากความเครยดเรมตนในรป

∫ ′=L

ii dxEI0

NF κ (4.38)

เมอ N′ เปน second derivative ของ shape function ของชนสวนโครงสรางรบแรงดด เชน สมการท 4.13a เปนตน


ตวอยางท 4.7จงท าการหาสมการของ effective nodal load EF ของชนสวนโครงสรางรบแรงดด เนองจากการกระท าของ

แรง ดงทแสดงในรป โดยใช principle of virtual work

เราจะหาสมการของ effective nodal load EF ของชนสวนโครงสรางรบแรงดดไดโดยใช shape function สมการท 4.9 ซงเราจะไดวา

ในกรณ a

=

−

+

+

=

−

−

−

+

−

=

=

=

=

=

Ez

Ez

Ey

Ey

ax

ax

ax

ax

E

M

M

F

F

PLba

PLab

PbaLa

PbaLb

PLx

Lxx

PLxx

PLx

Lx

PLx

Lx

2

1

2

1

2

2

2

2

3

2

3

2

2

2

32

32

)3(

)3(

1

23

231

F

ในกรณ b

=

−

=

−

−

−

+

−

=

∫

∫

∫

∫

Ez

Ez

Ey

Ey

L

L

L

L

E

M

M

F

F

qL

qL

qL

qL

qdxLx

Lxx

qdxLxx

qdxLx

Lx

qdxLx

Lx

2

1

2

1

2

2

0

2

0

2

0

32

0

32

12

12

2

2

1

23

231

F

จากทงสองกรณ เราจะเหนไดวา effective nodal load มคาเทากบ fixed-end moment ทไดกลาวถงไปแลวในบทท 2แตจะมทศทางตรงกนขาม


ตวอยางท 4.8จงหา vector ของ initial force เนองจากการเปลยนแปลงอณหภมตามความลก h ของชนสวนโครงสรางรบแรง

ดดดงทแสดงในรปท 4.3 เมอ 21 )/()/1( TLxTLxT ∆+∆−=∆

เมอชนสวนของโครงสรางความยาว dx มการเปลยนแปลงอณหภม T∆ แลว ชนสวนของโครงสรางดงกลาวจะเกดการยดตว Tdxd ∆=αδ ซงจะท าใหเกดความเครยด Te ∆=α และเนองจากความเครยดทเกดขนบนชนสวนโครงสรางรบแรงดดมความสมพนธกบ curvature ในรป ye κ= ดงนน เราจะได initial curvature ในกรณนอยในรป

hTi /∆=ακจากสมการท 4.38 และสมการท 4.13a เราจะได

=

∆∆−

∆−∆∆−∆

=

∆

+∆

−

−

∆

+∆

−

−

∆

+∆

−

−−

∆

+∆

−

−

=

∫

∫

∫

∫

Ez

Ez

Ey

Ey

L

L

L

L

i

MM

F

F

LTLTTTTT

hLEI

dxTLxT

Lx

Lx

L

dxTLxT

Lx

Lx

L

dxTLxT

Lx

Lx

L

dxTLxT

Lx

Lx

L

hEI

2

1

2

1

2

1

12

12

021

021

0212

0212

)()(

)()(1232

)()(1232

)()(1126

)()(1126

F

α

α


4.6 การใช principle of virtual force ในการหาสมการของแรงและการเปลยนต าแหนงของชนสวนโครงสราง4.6.1 การหา element flexibility equations โดยใช principle of virtual force

Principle of virtual displacement ไดถกใชในการหา element stiffness equations ใน section ทผานมา ใน section นเราจะใช principle of virtual forces ในการหา element flexibility equations

Element flexibility equation มประโยชนเปนอยางมากในกรณทเราสามารถหา element flexibility equationของชนสวนของโครงสรางไดงายกวาการหา element stiffness equation เชน ในกรณของคานทถกกระท าโดยแรงเฉอนและการดดรวมกน ในกรณของชนสวนโครงสรางทมหนาตดสอบ (tapered member) และในกรณของชนสวนโครงสรางทมลกษณะโคง เปนตน จากนน เราจะหา element stiffness equation ของชนสวนโครงสรางดงกลาวไดโดยการ inverseสมการ element flexibility equation

จาก section ท 1.5 principle of virtual forces อยในรป *

int*

ext WW δδ = (3.32)โดยท internal complementary virtual energy ของชนสวนของโครงสรางอยในรป

[ ] ∫ −=vol

1in )vol(dW T σEσ*

t δδ (3.31)

โดยททง real stress (σ ) และ virtual stress ( σδ ) จะตองสอดคลองกบสภาวะของหนวยแรงทเกดขนในชนสวนของโครงสราง เชน หนวยแรงในแนวแกนในกรณของชนสวนโครงสรางรบแรงในแนวแกนและชนสวนโครงสรางรบแรงดด และหนวยแรงเฉอนในชนสวนโครงสรางรบแรงบด เปนตน ในกรณทการเปลยนต าแหนงท node อยในรป fi ∆∆∆ ,, ,,1 KK และ virtual nodal forces อยในรป

,,1 KFδ ,iFδ fFδ,K แลว เราจะไดวา external complementary virtual energy อยในรป

=*extWδ ∆F T

f

f

iiiF δδ =∆∑

=1)( (4.39)

ในสมการท 4.39 เราไดเปลยนสญลกษณของแรงภายนอกจาก fP เปน fF เนองจากวา fF จะถกใชเปนเทอมของแรงทกระท าท node ของชนสวนของโครงสรางและ subscript f ถกใชเพอระบวาเปน virtual nodal forces และ virtual nodal displacement ทกระท าอยบน node ของชนสวนของโครงสรางทสามารถเกดการเปลยนต าแหนงไดอยางอสระ โดยทชนสวนของโครงสรางดงกลาวถกรองรบแบบ stable และ statically determinate ดงนน จ านวนของ node point f จะนอยกวาจ านวนของ rigid body motion ของ element stiffness equations อยเทากบ s

ในกรณของการดด การเปลยนต าแหนงดงกลาวจะรวมถงการเปลยนต าแหนงเชงมม iθ ซงม virtual force ทสอดคลองกนคอ โมเมนต iMδ

ในการหา element flexibility equations เราจะพจารณา internal complementary virtual energy *intWδ ท

เกดขนในชนสวนของโครงสรางเพอหา flexibility coefficient ijfส าหรบชนสวนโครงสรางรบแรงในแนวแกน ดงทแสดงในรปท 4.10a

∫

=

Lx

xa dxEAF

FW0

*int δδ (3.33)

เมอ xFδ และ xF เปน virtual และ real internal axial forceส าหรบชนสวนโครงสรางรบแรงบด ดงทแสดงในรปท 4.10b


∫

=

Lx

xt dxGJM

MW0

*int .δδ (3.35)

เมอ xMδ และ xM เปน virtual และ real internal torsional moment รอบแกน xส าหรบชนสวนโครงสรางรบแรงดด ดงทแสดงในรปท 4.10c

∫

=L

z

zz dxEIMMW

0

*int δδ (3.34)

เมอ zMδ และ zM เปน virtual และ real internal moments ทจดใดๆ ภายในชนสวนโครงสราง

รปท 4.10

ใน principle of virtual displacement การเปลยนต าแหนงทจดใดๆ ภายในชนสวนโครงสรางจะถกเชอมโยงเขากบการเปลยนต าแหนงท node โดยการใช shape function ซงในท านองเดยวกน ใน principle of virtual forces เราจะใชฟงกชนทมลกษณะทใกลเคยงกบ shape function ดงกลาว (แตอยในรปของการกระจายของแรง) ในการเชอมโยง แรงภายในเขากบแรงกระท าท node ในรป

xF (หรอ xM หรอ zM ) fT FQ= (4.40)โดยท TQ เปน vector ของฟงกชนของการกระจายของแรงภายในทเกดขนในชนสวนของโครงสราง ซงจะตองสอดคลองกบเงอนไขความสมดล (equilibrium condition) ตามทไดกลาวถงใน section ท 3.5

ในทน เราจะก าหนดใหสมการของ virtual และ real force อยในรปทเหมอนกน ซงจะชวยใหเรา1. หาเงอนไขความสมดลทกลาวถงขางตนเพยงครงเดยว2. ท าการ integrate สมการ *

intWδ ไดงายขน3. ท าให element flexibility matrix มความสมมาตร

ดงนน virtual internal forces จะถกเขยนไดในรป


xFδ (หรอ xMδ หรอ zMδ ) fT FQ δ= (4.41)แทนสมการท 4.40 และ 4.41 ลงในสมการของ *

intWδ เราจะไดวา [ ] fT

fW FdF*int δδ = (4.42)

โดยทส าหรบชนสวนโครงสรางรบแรงในแนวแกน ดงทแสดงในรปท 4.10a เราจะได element flexibility matrix อยใน

รป

[ ] ∫=L

T dxEA0

1 QQd (4.43a)

โดยท 2xf F=F 2xf Fδδ =F (4.43b,c)

ส าหรบชนสวนโครงสรางรบแรงบด ดงทแสดงในรปท 4.10b เราจะได element flexibility matrix อยในรป

[ ] ∫=L

T dxGJ0

1 QQd (4.44a)

โดยท 2xf M=F 2xf Mδδ =F (4.44b,c)

ส าหรบชนสวนโครงสรางรบแรงดด ดงทแสดงในรปท 4.10c เราจะได element flexibility matrix อยในรป

[ ] ∫=L

T dxEI0

1 QQd (4.45a)

โดยท

=2

2

z

yf M

FF

=2

2

z

yf M

F

δ

δδF (4.45b,c)

ขอใหสงเกตดวยวา ชนสวนโครงสรางตางๆ ดงกลาวถกรองรบอยางแตกตางกน ดงนน รปแบบของ fF และ fFδ ทไดจงแตกตางกน นอกจากนนแลว สมการดงกลาวสามารถใชในการวเคราะหชนสวนของโครงสรางทมหนาตดทไมคงทได ซงเปนลกษณะพเศษประการหนงของ principle of virtual forces

พจารณาชนสวนโครงสรางรบแรงในแนวแกนทมหนาตดสอบ ดงทแสดงในรปท 3.6 โดยก าหนดใหพนทหนาตดของชนสวนโครงสรางอยในรป )/1(1 LrxAA −= และความสมพนธระหวางแรงกระท าท node และแรงภายในอยในรป 2xx FF = ดงนน TQ ในกรณนมคาเทากบหนง ซงจะท าให flexibility matrix ของชนสวนของโครงสรางดงกลาวมเทอมเพยงแคเทอมเดยว และเราจะหามาไดโดยการแทนสมการตางๆ ดงกลาวลงในสมการท 4.43a ซงเราจะได

[ ]

)1ln(

)/1(1

1

0122

rrEA

LLrx

dxEA

dL

−−=

−== ∫

d

ซงเปน exact solution ของ flexibility coefficient ดงกลาวในการหา element stiffness matrix ของชนสวนของโครงสรางดงกลาว เราจะใชความสมพนธของ flexibility-

stiffness transformation (สมการท 1.25 ใน section ท 1.4) จากสมการความสมดล [ ] 21 xxs FF −==F ซงเราจะไดวา equilibrium matrix [ ] 1−=Φ ดงนน จากสมการท 1.25 เราจะไดวา


[ ]

−

−−

−=

−−

=−−

−−

1111

)1ln(1

122

122

122

122

rr

LEA

dddd

k

ซงเปน element stiffness matrix ทเหมอนกบทหามาไดใน section ท 4.3เราควรทจะสงเกตดวยวา ในการใช principle of virtual forces เราจะหา element stiffness matrix ของชนสวน

โครงสรางรบแรงในแนวแกนทมหนาตดสอบไดคอนขางงายมาก เมอเปรยบเทยบกบการใช principle of virtual displacement ดงทแสดงใน section ท 3.4 ซงการทเปนเชนนกเนองมาจากวา virtual force และ real force ทใชใน principle of virtual force นนไดมาจากสมการความสมดล ซงเปนอสระจากขนาดและรปรางของหนาตดและวสดทใชท าชนสวนของโครงสราง ( A , zI , E เปนตน)

ส าหรบชนสวนโครงสรางรบแรงดดทมหนาตดทคงท ดงทแสดงในรปท 4.10c จากสมการความสมดลของโมเมนตของชนสวนของโครงสรางทระยะ x จากจดก าเนด เราจะไดวา

[ ]

−=2

21)(z

yz M

FxLM

ดงนน [ ]1)( xLT −=Q และเราจะไดวา

[ ]

−=2

21)(z

yz M

FxLM

δ

δδ

จากสมการท 4.45a เราจะไดวา

[ ] [ ]

=

−

−

= ∫

12

23

1)(1

)(1

2

0

L

LL

EIL

dxxLxL

EI

z

L

z

d

(4.46)


ตวอยางท 4.9จงหา flexibility matrix ของคานยนหนาตดสอบในตวอยางท 4.2 โดยใช principle of virtual forces จากนน จง

หาสมการของการเปลยนต าแหนง 1v เนองจากแรง 1yF และเปรยบเทยบกบคาการเปลยนต าแหนง 1v ทไดในตวอยางท 4.3

ในกรณน เราจะหาความสมพนธระหวาง internal real moment กบ nodal real moment และ internal virtual moment กบ nodal virtual moment ไดอยในรป

[ ]

−=1

11z

yz M

FxM

[ ]

−=1

11z

yz M

FxM

δ

δδ

ดงนน เราจะได [ ]1−= xTQจากสมการท 4.45a เราจะได

[ ] [ ]

−=

+

−

−

= ∫

4/18/8/)8/52(ln12

1

1211

2

31

03

31

LLL

bEhL

dx

LxEbh

xxL

d

เมอ 01 =zM เราจะไดสมการของการเปลยนต าแหนง 1v เนองจากแรง 1yF อยในรป

1

31

1 06815.0EILF

v y=

ซงเปน exact solution ของคานดงกลาวจากตวอยางท 4.3 เราได approximate solution ของคานอยในรป

1

31

1 06684.0EILF

v y=

ซงแตกตางจาก exact solution 1.92% เทานน


4.6.2 การวเคราะหชนสวนโครงสรางทมการเปลยนแปลงรปรางเนองจากแรงเฉอนและชนสวนโครงสรางโคงโดยใช principle of virtual force

Principle of virtual force มขอไดเปรยบทส าคญคอ สามารถใชในการวเคราะหชนสวนโครงสรางทมพฤตกรรมทซบซอนไดดและสามารถใชในการวเคราะหชนสวนโครงสรางแบบ line element อยางมประสทธภาพ ตวอยางของชนสวนโครงสรางทมพฤตกรรมทซบซอนดงกลาวไดแก ชนสวนโครงสรางทมการเปลยนแปลงรปรางเนองจากโมเมนตดดและแรงเฉอนรวมกน หรอชนสวนโครงสรางทมการเปลยนแปลงรปรางเนองจากแรงในแนวแกน แรงบด และโมเมนตดดรวมกน เปนตน ซงในแตละกรณดงกลาว การตอบสนองของโครงสรางจะท าใหเกดการเปลยนแปลงใน complementary virtual work *

intWδ ดงนน ส าหรบชนสวนโครงสรางทมหนาตดทสมมาตรสองแกน มความยาว L และมการเปลยนแปลงรปรางเนองจากแรงในแนวแกน แรงบด และโมเมนตดดรวมกน เราจะไดวา

dxEIM

MdxGJMMdx

EIMMdx

EAFFW

y

yL

yx

L

xz

zL

z

Lx

x

+

+

+

= ∫∫∫∫

δδ

δδδδ

δδδ

0000

*int

ในกรณของ line element ดงตวอยางของโครงสรางดงทแสดงในรปท 4.11 เราจ าเปนทจะตองยดปลายดานหนงของโครงสรางใหแนน (ในกรณน เราท าการยดปลายหมายเลข 2) จากนน เราจะเขยนสมการ real stresses และ virtual stresses ทเกดขนทจดใดๆ บนโครงสรางเนองจากการกระท าของ real force และ virtual force ทปลายอสระ (แรงทปลายหมายเลข 1) โดยใชสมการความสมดลของโครงสราง ซงสมการดงกลาวจะอยในรปแบบของสมการท 4.40 และ 4.41 เมอ fF และ fFδ เปน real force และ virtual force ทปลายอสระหมายเลข 1

รปท 4.114.6.2.1 การเปลยนแปลงรปรางเนองจากแรงเฉอนของคาน (Shearing deformation of a beam)

พจารณาชนสวนโครงสรางรบแรงดด ดงทแสดงในรปท 4.3 โดยก าหนดใหชนสวนโครงสรางดงกลาวถกรองรบแบบ statically determinate และมเสถยรภาพ (โดยการรองรบปลายหมายเลข 1 ทางดานซายมออยางยดแนน)

เนองจากชนสวนโครงสรางดงกลาวมการเปลยนแปลงรปรางเนองจากแรงเฉอนและโมเมนตดด ดงนน เราจะก าหนดตวแปรขนมาใหมอกหนงตวคอ equivalent shear area sA ซงเมอเราน าพนทดงกลาวมาถกคณดวยหนวยแรงเฉอน (shear stress) naτ ทแกนสะเทน (neutral axis) ของหนาตดแลว เราจะไดแรงเฉอนทงหมดทกระท าอยบนหนาตดของชนสวนของโครงสราง ดงนน เราจะสมมตใหหนวยแรงเฉอนมคาคงทตลอดความลกของหนาตด โดยท

syna AF /2=τ และความเครยดเฉอนทแกนสะเทนจะอยในรป )/(2 GAF sy=γ นอกจากนนแลว เราจะไดวา เทอมตางๆ ของ complementary internal virtual work *

s intWδ เนองจากแรงเฉอนจะอยในรป dxAd s=)vol( , naτσ = , naδτδσ = , G/11 =−E , 2yf F=F , 2yf Fδδ =F , และ 1=TQ ดงนน


GALFF

dxAAF

GAF

W

s

yy

ss

yL

s

y

)(

1

22

2

0

2*s int

δ

δδδ

=

= ∫

เราทราบมาแลววา สมการท 4.46 เปนสมการของ complementary internal virtual work เนองจากโมเมนตดด*

int bWδ ดงนน complementary internal virtual work ทงหมดของชนสวนของโครงสรางในกรณนจะอยในรป

[ ]

+

=

+=

2

22

23

22

* int

* int

*int

2

23 z

y

zz

zszzy

sb

M

F

EIL

EIL

EIL

GAL

EIL

MF

WWW

δδ

δδδ

(4.47)

โดยท

[ ]

+

=

zz

zsz

EIL

EIL

EIL

GAL

EIL

2

232

23

d

เนองจาก equilibrium matrix [ ]Φ เปนอสระจากการเปลยนแปลงรปรางเนองจากแรงเฉอน ดงนน

−−

−=

2

2

1

1

101

z

y

z

y

MF

LMF

[ ]

−−

−=

101

LΦ

แทน matrix [ ]d และ [ ]Φ ลงในสมการท 1.25 เราจะได

+

−

+

−−−

+

=

1

1

2

2

2

22

2

1

1

2

2

3sym.

21

623

21

21

12 z

zz

z

y

z

y

v

v

L

L

LLL

LL

LL

EI

M

FMF

θ

θ

η

ηη

η (4.48)

รปท 4.12


Equivalent shear area sA ของพนทหนาตดรปสเหลยมผนผา ดงทแสดงในรปท 4.12a อาจจะมคาเทากบ 3/2bd หรอ 6/5bd ขนอยกบวาความตานทานตอการการบอเบยว (warping) ของหนาตดเนองจากแรงเฉอน ส าหรบ

หนาตดแบบ wide-flange ซงถกดดรอบแกนในแนวนอน ดงทแสดงในรปท 4.12b นน ความแตกตางจากทงสองกรณมคานอยมาก ดงนน equivalent shear area sA ของหนาตดแบบ wide-flange จะอยในรป

)(8

12

12

1

bbdbdIbA z

s −−= (4.49)


ตวอยางท 4.10ก าหนดใหคานยน ดงทแสดงในรป มหนาตดรปสเหลยมผนผา จงแสดงใหเหนถงผลของอตราสวนของความลก

ของคานตอ span ตอขนาดสมพทธของการเปลยนแปลงรปรางเนองจากโมเมนตดดและการเปลยนแปลงรปรางเนองจากแรงเฉอน

จากสมการท 4.47 เราจะได

+=

sb AGL

EIEIPLv 2

3 313

เมอ 12

3bhI = , bdAs 32

= , และ 3.0=ν เราจะได

EIPL

Ld

EIPLvb 3

975.013

323

γ=

+=

ดงนนส าหรบ 5/1/ =Ld ,

039.1=γส าหรบ 10/1/ =Ld ,

010.1=γซงเราจะเหนไดวา คานยนทมหนาตดรปสเหลยมผนผาในกรณนมการเปลยนแปลงรปรางเนองจากแรงเฉอนเกดขนคอนขางนอยมาก ถงแมนวาคานดงกลาวจะมอตราสวนของความลกตอความยาวเทากบ 5 (deep beam)


ตวอยางท 4.11จงหา sA ของหนาตด wide-flange 102W27× และ 100W10× ดงทแสดงในรป โดยใชสมการท 4.49

และท าการเปรยบเทยบคาทไดกบพนทของเอว (web) ของหนาตดดงกลาว ตามล าดบ

102W27×

[ ]2

22 in 37.12)515.0015.10()43.25()09.27)(015.10(

)3620)(515.0(8=

−−=sA

2in 10.13)43.25(515.0 ==webA

100W10×

[ ]2

22 in 57.6)680.034.10()86.8()10.11)(34.10(

)623)(680.0(8=

−−=sA

2in 02.6)86.8(680.0 ==webAจากผลการค านวณพบวา หนาตด wide-flange มคา equivalent shear area sA ทใกลเคยงกบพนทของ web

ของหนาตดดงกลาว โดยท ถาหนาตดมความลกมากแลว webs AA < แตถาหนาตดมความลกนอยแลว webs AA >

ดงนน เราอาจจะใชพนทของ web แทน sA ได


4.6.2.2 Circular Ring Beamพจารณาชนสวนของ circular ring beam ดงทแสดงในรปท 4.13 ในทน เราจะสนใจเฉพาะพฤตกรรมของชน

สวนของโครงสรางดงกลาวเนองจากการดดเทานนและเราจะก าหนดใหชนสวนของโครงสรางถกรองรบแบบ statically determinate แบบยดแนนทปลายหมายเลข 2 ซงจากสมการท 3.34 เราจะไดสมการ internal virtual work ของชนสวนของโครงสรางดงกลาวอยในรป

dsEIMM

z

zz

∫ψ

δ0

เมอ φRdds =

รปท 4.13

จากสมการความสมดลของโมเมนต โมเมนตดดทเกดขนใน circular ring beam จะอยในรป111 )cos1(sin zyxz MRFRFM −−+−= φφ

ซงจะถกเขยนใหอยในรปของ matrix ไดเปน

[ ] fT

z

y

x

z

M

RFRF

M FQ=

−−−=

1

1

1

)()(

1)cos1(sin φφ

ท าการเลอก virtual forces ใหอยในรปแบบเดยวกนกบ real force ดงนน

[ ] fT

z

y

x

z

M

RFRF

M FQ δδδ

φφδ =

−−−=

1

1

1

)()(

1)cos1(sin

ซงเราจะไดวา

[ ] [ ]

−−−

−−−

=

=

∫

∫

1

1

1

0111

0

*int

)()(

1)cos1(sin1

)cos1(sin

)()(

z

y

x

zyxz

z

zz

M

RFRF

dMRFRFEIR

RdEIMMW

ψ

ψ

φφφφφ

δδδ

φδδ

เมอท าการ integrate สมการดงกลาว เราจะได [ ] ffW FdFδδ =*int โดยทเราจะได flexibility matrix ใน

รป


[ ]

−+−

−−−−

=

ψ

ψψψψψ

ψψψψψ

.

sin2sin41sin2

23

cos12cos41

43cos2sin

41

2

sym

dzEIR (4.50)

ในทน เพอความสะดวก เราจะเขยนแรงกระท าตอ circular ring beam ดงกลาวใหอยในรป )(1 RFx และ )(2 RFx แทน 1xF และ 2xF ซงจะท าให vector ของการเปลยนต าแหนงของ circular ring beam อยในรป

[ ]111 // zRvRu θในการหา element stiffness matrix นอกจากเราจะตองท าการ inverse matrix [ ]d แลว เราจะตองหา

equilibrium matrix [ ]Φ ดวย จาก free body diagram ของชนสวนของ circular ring beam เราจะไดวา

−−−−

−=

1

1

1

2

2

2

)()(

1cos1sin010001

)()(

z

y

x

z

y

x

M

RFRF

M

RFRF

ψψ (4.51)

และ

[ ]

−−−−

−=

1cos1sin010001

ψψΦ

ตวอยางท 4.12 แสดงการใชสมการท 4.50 และ 4.51


ตวอยางท 4.12ก าหนดให circular arch ดงทแสดงในรป ม GPa 200=E และ 46 mm )10(150=I จงหา element

stiffness matrix จากนน จงท าการวเคราะหโครงสรางดงกลาว

จากสมการท 4.50 และสมการท 4.51 และส าหรบ 2/πψ = เราจะไดวา

[ ]

−−−−

−=

ππππ

π

2)24(4)24()83(2

42

4EIRd

[ ]

−−−

−=

111010001

Φ


[ ]

−−−

−−−−−−

=

365.1247.3719.10.371.2843.9719.10429.0371.2247.3365.1

247.3719.10843.9371.2719.10371.2843.9719.10247.3843.9719.10

107

Sym

k

เนองจากโครงสรางมความสมมาตร ดงนน คาการเปลยนต าแหนงทเราตองการหาจงเหลอเพยง cv เทานน ดงนน เราจะพจารณาโครงสรางเพยงครงเดยว และคาการเปลยนต าแหนง cv จะหาไดจาก

[ ] ffff Pk∆ 1−=

)25()10(719.10

17 R

Rvc −=

mm 59.33−=cvจากนน เราจะหาคาแรงปฏกรยาทเกดขนทจดรองรบไดจาก

[ ] fsfs ∆kP =

โดยทkN 96.22=xaR

kN 0.25=yaR

m-kN 4.66−=zaMสดทาย ท าการเขยนแผนภาพ moment diagram ของ circular arch


แบบฝกหดทายบทท 44.1 จงเขยน shape function ของ flexural element ดงทแสดงในรป โดยใชสมการ 3

42

321 xaxaxaav +++=4

5xa+

4.2 จงเขยน stiffness matrix ของ flexural element ดงทแสดงในรปในขอ 4.14.3 จงเขยน shape function ของ four-jointed axial member ดงทแสดงในรป โดยใชสมการ 2

321 xaxaau ++=3

4xa+

4.4 จงเขยน shape function ของ flexural element ดงทแสดงในรป โดยใชสมการ

Lxa

Lxaxaav

23sin

2sin 4321

ππ+++=

4.5 จงเขยนสมการการเปลยนต าแหนงและ shape function ของ tapered axial force member ดงทแสดงในรป จากนน จงเขยน stiffness matrix ของชนสวนของโครงสราง

4.6 จงเขยน stiffness matrix ของ tapered axial force member ดงทแสดงในรปในขอท 4.5 โดยใชสมการท 4.6 ซงอย

ในรป 211 uLxu

Lxu +

−=

4.7 จงหาอตราสวน hL / ของคาน ดงทแสดงในรป ทท าใหคาการโกงตวเนองจากแรงเฉอน (shear deformation) ทจดกงกลางของคานมคาเทากบ 20% ของคาการโกงตวดงกลาวเนองจากโมเมนตดด


4.8 จงท าการค านวณปญหาขอ 4.7 อกครง ก าหนดใหน าหนกบรรทกเปนแบบ uniformly distributed load q ตลอดความยาวของคาน

4.9 จงหาคาการเปลยนต าแหนงทจด A ของ continuous circular arch ดงทแสดงในรป


บทท 5การวเคราะหโครงสรางแบบไมเชงเสนตรงเบองตน

บทนจะกลาวถงพฤตกรรมแบบไมเชงเสนตรงของโครงสราง สาเหตทท าใหโครงสรางมพฤตกรรมดงกลาว รปแบบของการวเคราะห และตวอยางซงจะท าการวเคราะหโดยวธคลาสคตางๆ เพอใชเปนพนฐานในการเปรยบเทยบผลการวเคราะหทไดกบเทยบผลการวเคราะหโดยวธเมตรกซแบบ direct stiffness method ในการวเคราะหโครงสรางทมพฤตกรรมแบบไมเชงเสนตรง ซงจะกลาวถงในบทตอไป สดทาย เกรนน าการใชวธ direct stiffness method ดงกลาว พรอมทงการหาค าตอบของสมการหลายชนแบบไมเชงเสนตรง (simultaneous nonlinear equation)5.1 พฤตกรรมแบบไมเชงเสนตรงของโครงสราง

โครงสรางในงานวศวกรรมโยธาโดยสวนใหญมพฤตกรรมแบบยดหยนเชงเสนตรง (linear elastic) ภายใตการกระท าของน าหนกบรรทกบรการ (service load) ยกเวนโครงสรางทมความชลดมากๆ เชน โคงตง (arch) อาคารสง และโครงสรางทมการคลากเปนจด (localized yielding) และมการแตกราวเปนจด (localized cracking) เปนตน อยางไรกตาม โครงสรางเกอบทกประเภทจะมการตอบสนองตอแรงกระท าแบบไมเชงเสนตรง (nonlinear) กอนทโครงสรางจะเกดการวบต ในการออกแบบโครงสราง เราจะน าพฤตกรรมดงกลาวของโครงสรางมาพจารณาไดโดย

1. ใชประสบการณและวจารณญาณ2. ใชสมการออกแบบทองการวเคราะหโครงสรางแบบ linear elastic โดยพจารณาผลของ nonlinear ในรป

ของสมการทไดจากการทดลอง (empirical formula)3. ใชทฤษฎ nonlinear และท าการทดสอบเพมเตมจากการศกษาการวเคราะหโครงสรางแบบ linear elastic ทผานมานน โครงสรางไดถกจ าลองใหเปนเสน (line) ท

มการรองรบและมคณสมบตของชนสวนของโครงสรางทเหมาะสม เมอเราท าการวเคราะหโครงสรางดงกลาวใหสอดคลองกบเงอนไขความสอดคลอง (compatibility conditions) และเงอนไขความสมดล (equilibrium conditions) ของโครงสรางทยงไมมการเปลยนแปลงรปรางแลว ผลการวเคราะหโครงสรางทไดจะมหนงเดยว ซงมกจะถกเรยกวา ค าตอบทแนนอน (exact solution)

การวเคราะหโครงสรางแบบ nonlinear จะใหผลของการวเคราะหโครงสรางใกลเคยงกบพฤตกรรมจรงของโครงสรางมากขน แตการจ าลองโครงสรางและการค านวณกจะมมากขนและซบซอนขนตามไปดวย โดยทผท าการวเคราะหจะตองทราบวาสาเหตหลกของพฤตกรรมแบบ nonlinear ของโครงสรางคออะไร และจะแสดงพฤตกรรมดงกลาวในรปของสมการไดอยางไร นอกจากนนแลว ในการค านวณ ผท าการวเคราะหจะตองเลอกวธการแกสมการแบบไมเชงเสนตรงใหเหมาะสม เพอทจะไดผลการค านวณทถกตองและระยะเวลาการค านวณทไมนานจนเกนไป5.1.1 สาเหตของพฤตกรรมแบบไมเชงเสนตรง

ในการวเคราะหโครงสรางแบบ linear elastic เราสมมตใหวสดของโครงสรางไมมการคลาก (yielding) และไมมการเปลยนแปลงคณสมบตภายใตแรงกระท า ดงนน สมการความสมดลของโครงสรางจะถกพจารณาจากรปรางของโครงสรางทยงไมถกกระท าโดยแรงภายนอก และการเปลยนแปลงรปรางเนองจากแรงกระท ามคานอยมาก จนกระทงไมมผลกระทบตอพฤตกรรมของโครงสราง

การวเคราะหโครงสรางแบบ nonlinear จะลดขอจ ากดเนองจากสมมตฐานทใชในการวเคราะหโครงสรางแบบ linear elastic ลง โดยเราจะท าการวเคราะหโครงสรางแบบ nonlinear ได 3 แบบคอ


1. พจารณาพฤตกรรมของวสดเปนแบบยดหยน (elastic) และผลของการเปลยนแปลงรปรางในสมการความสมดล ซงเรยกวา geometric nonlinearity analysis โครงสรางทจะถกวเคราะหในลกษณะนจะเปนโครงสรางซง1.a มความไมสมบรณกอนถกแรงกระท า เชน โครงสรางทถกดดขนเผอการแอนตว (camber) เปนตน1.b ไวตอ ∆−P effect ซงเปนโมเมนตทท าใหโครงสรางเสยเสถยรภาพ (ขอใหทราบดวยวา โดยทวไปแลว

∆−P effect จะถกใชเมอแรงกระท า P มการเปลยนต าแหนงทางดานขางได แต δ−P effect จะถกใชเมอแรงกระท า P ถกปองกนไมใหมการเปลยนต าแหนงทางดานขาง)

1.c มชนสวนของโครงสรางทไวตอ δ−P effect ซงจะท าใหชนสวนของโครงสรางเสยเสถยรภาพ2. พจารณาเฉพาะผลของการเปลยนแปลงคณสมบตของวสดภายใตแรงกระท า แตไมพจารณาผลของการ

เปลยนแปลงรปรางในสมการความสมดล ซงเรยกวา material nonlinearity analysis และโครงสรางทจะถกวเคราะหในลกษณะนจะเปนโครงสรางซง2.a มการเปลยนแปลงรปรางแบบพลาสตก (plastic deformation) เกดขนได เชน โครงสรางเหลก เปนตน2.b มการแตกหรอการคบ (creep) เกดขนได เชน โครงสรางคอนกรตเสรมเหลก เปนตน2.c ม inelastic interaction ของแรงในแนวแกน แรงดด แรงเฉอน และแรงบด

3. พจารณาทงผลของการเปลยนแปลงคณสมบตของวสดและผลของการเปลยนแปลงรปรางพรอมกน ซงถกเรยกวา geometric and material nonlinearity analysis และโครงสรางทจะถกวเคราะหในลกษณะนจะเปนโครงสรางซง3.a มการเปลยนแปลงรปรางแบบพลาสตกเกดขนรวมกบ ∆−P effect และ δ−P effect3.b มการเปลยนแปลงรปรางของจดเชอมตอ3.c ม panel zone deformation3.d มโครงสรางรองทมผลตอก าลงและความแกรงของโครงสรางโดยรวม

5.1.2 รปแบบของการวเคราะหพจารณาโครงสราง ซงถกกระท าโดยแรงกระท าในแนวดง P และแรงกระท าในแนวนอน PH α= ดงทแสดง

ในรปท 5.1 ภายใตแรงกระท าดงกลาว โครงสรางจะมการตอยสนองตอแรงกระท าดงกลาวไดหลายรปแบบ ดงทแสดงในรป และมรายละเอยดดงตอไปน

First-order (linear) elastic analysis จะไมพจารณาผลของ nonlinearity และจะแสดงการตอบสนองของโครงสรางในการรบ service load ไดเปนอยางด

Second-order elastic analysis จะพจารณาผลของการเปลยนแปลงรปรางและการเปลยนต าแหนงในการเขยนสมการความสมดลของโครงสราง ซงจะเปนการวเคราะหหาการเสยเสถยรภาพของโครงสรางเนองจาก ∆−P effectและ δ−P effect แตการวเคราะหนจะไมไดบงบอกถงผลของพฤตกรรมแบบไมเชงเสนตรงของวสด (material nonlinearity) รปท 5.1 แสดงตวอยางของพฤตกรรมแบบไมเชงเสนตรงยดหยน (nonlinear elastic) ของโครงสรางทไดจากsecond-order elastic analysis โดยทถาโครงสรางถกกระท าโดยแรงกระท าจนถงจด bifurcation แลว โครงสรางจะมการตอบสนองตอแรงกระท ามความเปนไปไดสองรปแบบคอ มความแกรงเพมขนหรอมความแกรงลดลง ซงสภาวะดงกลาวถกเรยกวา สภาวะหลงวกฤต (post-critical state)

1. ถาโครงสรางมความแกรงเพมขนอยางเปนล าดบจากจด bifurcation โครงสรางจะเสยเสถยรภาพแบบ elastic ทจด elastic critical load


2. ถาโครงสรางมความแกรงเพมขนจากจด bifurcation และมการออนตวลงในภายหลง โครงสรางทมพฤตกรรมเชนนจะเกดการวบตทจด elastic stability limit

3. ถาโครงสรางมความแกรงลดลงแลว จด bifurcation จะเปนจดทโครงสรางเกดการวบต

รปท 5.1

ใน first-order inelastic analysis สมการความสมดลของโครงสรางจะถกเขยนโดยใชรปรางของโครงสรางทยงไมมการเปลยนแปลงรปราง การวเคราะหนจะชวยใหเราเหนพฤตกรรมแบบ elastic-plastic ของโครงสราง เมอโครงสรางไมมการเสยเสถยรภาพเนองจากการเปลยนแปลงรปราง โดยการวบตจะเกดขนทน าหนกบรรทกพลาสตก (plastic limit load)ดงทแสดงในรปท 5.1 แตถาโครงสรางมการเสยเสถยรภาพเนองจากการเปลยนแปลงรปรางขณะทวสดทใชท าโครงสรางมพฤตกรรมแบบ elastic-plastic แลว เราจะตองท าการวเคราะหหา Inelastic critical load

ใน second-order inelastic analysis สมการความสมดลของโครงสรางจะถกเขยนโดยใชรปรางของโครงสรางทมการเปลยนแปลงรปรางแลว การวเคราะหแบบนจะพจารณาทงผลของ geometric nonlinearity และผลของ material nonlinearity ทมตอการตอบสนองของโครงสราง ดงนน วธการนมกจะใหผลลพธทใกลเคยงกบพฤตกรรมจรงของโครงสราง โดยโครงสรางจะเสยเสถยรภาพทจด inelastic stability limit ดงทแสดงในรปท 5.1

การวบตโดยการเสยเสถยรภาพของโครงสรางทเกดจากการตอบสนองแบบ nonlinear ทงแบบ elastic และแบบ inelastic มกจะพบในโครงสรางทางวศวกรรมโยธา ดงนน ในบทน เราจะศกษาวธการหาจดทเกดการวบตดงกลาว5.1.3 ตวอยางการวเคราะหโครงสรางแบบไมเชงเสนตรง

พนฐานของการวเคราะหโครงสรางแบบไมเชงเสนตรง (nonlinear) ไดถกคดคนขนมานานพอสมควรแลว ใน section น เราจะพจารณาตวอยางของโครงสรางงายๆ เพอทจะไดเหนถงพฤตกรรมแบบตางๆ ของโครงสรางและ concept และเทคนคตางๆ ทใชในการวเคราะหโครงสรางดงกลาว แตกอนอนขอใหเขาใจความหมายของค าสองค าคอ moderately large displacement และ small strain โครงสรางในทางวศวกรรมโยธามกจะไมไดรบการออกแบบใหตานทานตอการเปลยนต าแหนงและคา strain มากกวาคาดงกลาว แตเนองจากค าทงสองมความหมายในเชงคณภาพ ดงนน ในทนจง


นยาม moderately large displacement วาเปนคาการเปลยนต าแหนงซงอยในชวง 1/100 ถง 1/10 ของ span หรอของความสงของโครงสราง และ small strain วาเปนคาทนอยมากๆ จนถงคาเปน 10 เทาของจด proportional limit ของวสด


ตวอยางท 5.1ก าหนดใหชนสวน ab มความแกรงในแนวแกนทสงมากและชนสวน bc มความแกรงในแนวแกน k จง

วเคราะหพฤตกรรมของระบบโครงสรางเมอ1.) 0=α

2.) 0≠α

1.) เมอ 0=α แลว แรงในแนวนอนทกระท าตอระบบโครงสรางมคาเทากบศนย สมมตใหระบบเกดการเปลยนต าแหนงแบบ large displacement ดงทแสดงในรป

จากสมการความสมดลของโมเมนตของชนสวน ba ′ ทเปลยนต าแหนงจากแนว ab รอบจด a เราจะไดวา0cos =∆−∆ θLkP0)cos( =−∆ θkLP

ดงนน ในกรณท 0=θ ระบบโครงสรางจะอยในสภาวะสมดลได 2 แบบคอ1. เมอ 0=∆ ระบบโครงสรางจะอยในสภาวะสมดลโดยไมมการเปลยนแปลงรปรางเกดขนไมวาแรง P จะม

คาเทาใด2. เมอ 0≠∆ และ kLP = ระบบโครงสรางจะอยในสภาวะสมดลแบบวกฤต (critical condition) ดงนน

kLP = เปน critical loadเมอ θ มคาใดๆ และ 0≠∆ แลว ระบบจะอยในสมดลเมอ

crPkLP <= θcos2.) เมอ 0≠α แลว แรงในแนวนอนจะท าใหระบบโครงสรางเกดการเปลยนต าแหนงในแนวนอน ∆ ซงการ

เปลยนต าแหนงดงกลาวและแรงกดอดในแนวแกน P จะท าใหเกด ∆−P effect กบระบบโครงสรางจากสมดลของโมเมนตของชนสวน ba ′ รอบจด a เราจะไดวา

0coscos =∆−+∆ θθα LkPLPเนองจาก θsinL=∆ เราจะได


θαθ

cot1cos

+=kLP

ท าการ differentiation สมการของกดอดในแนวแกน P เพอหาคาต าสดของ P หรอ 0)/(=

θdkLPd แลว

เราจะไดวา คาต าสดของ P จะเกดขนเมอ31tan αθ −=

สดทาย เราจะเขยน equilibrium path ของระบบโครงสรางไดดงทแสดงในรป

จากรป เราจะเหนไดวา ∆−P effect ท าใหระบบมพฤตกรรมตอบสนองตอแรงกระท าเปนแบบ nonlinear และ เราจะหาคา stability limit ของระบบได โดยทคา stability limit ของระบบจะขนอยกบคาของ α โดยทเมอ α มคาเพมขนหรอแรงในแนวนอนมคาเพมขนแลว critical load ของระบบกจะมคาลดลงตามเสน limit point trace


ตวอยางท 5.2พจารณา three-hinged arch ซงประกอบดวยชนสวนรบแรงในแนวแกน 2 ชนสวนมาเชอมตอกนโดยหมดทจด

b ดงทแสดงในรป ก าหนดใหชนสวน ab และ bc มความแกรงในแนวแกนเทากบ k จงวเคราะหพฤตกรรมของโครงสรางดงกลาว

พจารณา three-hinged arch ทมการเปลยนแปลงรปรางอยางสมมาตรและอยในสภาวะสมดลภายใตแรง Pดงทแสดงในรป

จากรป เราจะไดสมการการเปลยนต าแหนงในแนวดงทจด b อยในรป

[ ])sec(sin θαθ −=∆ Lb (a)และชนสวน ab ของ three-hinged arch จะเกดการหดตวในแนวแกนเทากบ

[ ])sec(cos1 θαα −−=∆ LLab (b)จากเงอนไขของความสมดลของแรงในแนวดงทจด b′

)sin(2 θα −= abFP

ก าหนดใหแรงในแนวแกนของชนสวน ab อยในรป abab LkF ∆= เราจะได [ ])tan(cos)sin(2 θααθα −−−= kLP (c)

ท าการหาคาแรง P สงสดหรอต าสดจากสมการ

0)(=

−θαddP

ซงเราจะไดวา แรง P สงสดหรอต าสดจะเกดขนเมอ αθα cos)(cos3 =− (d)

จากสมการ (a) และ (c) เราจะไดแผนภาพแสดงความสมพนธของแรงและการเปลยนต าแหนงของ three-hinged arch เมอก าหนดให α , L , และ k มคาเฉพาะคงท ดงทแสดงในรป


นอกจากนนแลว การเปลยนแปลงรปรางของ three-hinged arch ทสภาวะ 0, 1, 2, 3, 4, และ 5 จะมลกษณะดงทแสดงในรป

ในการวเคราะห three-hinged arch ขางตน เราไดพจารณาสภาวะความสมดลของโครงสรางทมการเปลยน

แปลงรปรางแลว โดยไมไดจ ากดขนาดของการเปลยนแปลงรปรางทเกดขน ซงการตอบสนองของ three-hinged arch มลกษณะเปนแบบไมเชงเสนตรง (nonlinear) ดงทแสดงในแผนภาพแสดงความสมพนธของแรงและการเปลยนต าแหนง จากรป เราจะเหนไดวา ความตานทานตอแรงกระท าของโครงสรางมคาลดลงเรอยๆ จากสภาวะ 0 (สภาวะทไมมแรงกระท า) ถงสภาวะ 1 ทจด elastic stability limit จากนน โครงสรางยงคงมการเปลยนแปลงรปรางอยางตอเนอง โดยทแรงกระท ามคาลดลงเรอยๆ จนกระทงถงสภาวะ 2 ซงโครงสรางอยในแนวนอนและไมถกกระท าโดยแรงภายนอก แตอยในสภาวะกดอดตวเอง (self-compressed) จากสภาวะนจนถงสภาวะ 4 การเปลยนแปลงรปรางจะเกดขนไดอยางชาๆ เมอแรงกระท ามทศพงขน เพอทจะใชตานแรงกดอดทอยในชนสวนของโครงสราง โดยแรงกระท าดงกลาวจะมคาสงสดทสภาวะ 3 ทสภาวะท 4 โครงสรางอยในสภาวะทไมมแรงกระท าและไมมหนวยแรงภายใน และโครงสรางจะมการเปลยนแปลงรปรางเพมขนไดโดยการก าหนดใหแรงกระท าตอโครงสรางมทศทางพงลงและมคาเพมมากขนเรอยๆ ดงทแสดงโดยเสนกราฟจากสภาวะ 4 ถงสภาวะ 5 และตอๆ ไป ซงโครงสรางในชวงนจะท าหนาทเปน suspension system

สภาวะของระบบทเปลยนแปลงจากสภาวะ 1 ถงสภาวะ 5 เรยกวา snap-through


ตวอยางท 5.3ก าหนดใหเสา ab มลกษณะดงทแสดงในรป จงวเคราะหพฤตกรรมการดดของเสาดงกลาวภายใต small

displacement theory เมอ1.) 0=oM2.) PLMo α=

1.) ในกรณ 0=α

สมมตใหเสาเกดการดดภายใตแรงกดอด P ดงทแสดงในรป ซงเราจะไดสมการโมเมนตดดภายในทเกดขนทระยะ x อยในรป

PvM −=จาก small displacement theory เราจะได

02

2

=+EIPv

dxvd (a)

ซงจะม general solution ในรป

xEIPCx

EIPCv cossin 21 += (b)

โดยใช boundary condition 0=x , 0=v เราจะได02 =C

และ Lx = , 0=v เราจะได

0sin1 =LEIPC

ดงนน แรงกดอดทนอยทสดทจะท าใหเสาเกดการโกงเดาะ ( 01 ≠C ) หรอ elastic critical load คอ

2

2

LEIPcre

π= (c)

จากสมการ (b) เราจะไดสมการของการโกงตว (deflected curve) ของเสาอยในรป

LxCv πsin1= (d)

2.) ในกรณท 0≠α

สมมตใหเสาเกดการดด ดงทแสดงในรป สมการโมเมนตดดภายในทเกดขนทระยะ x จะอยในรปPLPvM α−−=


จาก small displacement theory เราจะได

EIPL

EIPv

dxvd α

−=+2

2

(e)


LxEIPCx

EIPCv α−+= cossin 21

โดยใช boundary condition 0=x , 0=v และ 2/Lx = , 0/ =dxdv และจากเงอนไขของความสมมาตร ทวา δ==

= 2/max Lxvv เราจะไดสมการคาการโกงตวทางดานขางของเสาทต าแหนง 2/Lx = หรอทกง

กลางความยาวของเสาอยในรป

−= 1

2sec L

EIPLαδ (f)

จากค าตอบทไดจากทงสองกรณ เราจะเขยนกราฟแสดงความสมพนธระหวางแรง P และการโกงเดาะทางดานขาง δ ได ดงทแสดงในรป

ในกรณท 1 เราไดสมมตใหการเปลยนต าแหนงทางดานขางทเกดขนบนเสามคานอยมากๆ (classical small displacement theory) ซงแตกตางจากทเราสมมตในกรณท 1 ของตวอยางท 5.1 สมการ elastic critical load ดงกลาวไดถกคนพบโดย Euler และสมการ c เปนสมการการโกงตวของเสาทสภาวะ neutral equilibrium โดยท v จะตองมคานอยมากๆ ตามสมมตฐานทใช

ในกรณท 2 เราไดสมมตใหการเปลยนต าแหนงทางดานขางมคานอยมากๆ ซงแตกตางจากทเราสมมตในกรณท 2 ของตวอยางท 5.1 ดงนน เสนกราฟแสดงความสมพนธระหวางแรงและการเปลยนต าแหนงของเสาจงลเขาหา critical load เมอการเปลยนต าแหนงทางดานขางมคาสงขนเรอยๆ โดยไมม limit point เกดขน อยางไรกตาม โครงสรางทางวศวกรรมโยธามกจะยอมใหมการเปลยนโครงสรางไดนอยมากๆ อยแลว การตอบสนองของเสาดงกลาวจงสามารถน ามาใชงานไดเปนอยางด


ตวอยางท 5.4ก าหนดใหเสา ab ดงทแสดงในรป มพฤตกรรมแบบยดหยน จงวเคราะหพฤตกรรมการดดของเสาดงกลาว ภาย

ใต small displacement theory เมอ1.) 0=α

2.) 0≠α3.) 0≠α และแรง P มทศทางพงขน

1.) ในกรณ 0=α

โดยใช differential equation เชนเดยวกบในตวอยางท 5.3 และใช boundary condition: 0=x , 0=v และ Lx = , 0/ =dxdv เราจะไดสมการ critical load ของเสาอยในรป

2

2

4LEIPcre

π= (a)

และสมการการโกงตวของเสาอยในรป

LxCv

2sin1

π= (b)

2.) ในกรณ 0≠α

จาก small displacement theory เราจะได

EIPx

EIPv

dxvd α

−=+2

2

(c)


xxEIPCx

EIPCv α−+= cossin 21 (d)



และ Lx = , 0/ =dxdv เราจะได

LEIP

EIP

Ccos

1α

=

จากสมการ (d) เราจะไดสมการของการเปลยนต าแหนงทางดานขางทต าแหนง Lx = หรอทปลายบนสดของเสาอยในรป

−==∆=

1tan

LEIP

LEIP

LvLx

α (e)

3.) ในกรณ 0≠α และแรง P มทศทางพงขนสมการโมเมนตดดภายในทเกดขนทระยะ x จะอยในรป

PxPvM α−=ซงม general solution ในรป

xxEIPCx

EIPCv α++= coshsinh 21 (f)

โดยใช boundary condition เราจะไดสมการของการเปลยนต าแหนงทางดานขางทต าแหนง Lx = อยในรป

−==∆=

LEIP

LEIP

LvLx

tanh1α (g)

จากค าตอบทไดจากทงสามกรณ เราจะเขยนกราฟแสดงความสมพนธระหวางแรงกดอดในแนวแกน P และการโกงเดาะทางดานขาง ∆ ได ดงทแสดงในรป

การวเคราะหเสาในกรณท 1 และ 2 ในตวอยางนมลกษณะเชนเดยวกบในตวอยางท 5.3 แตใช boundary conditions ทแตกตางกน ขอใหสงเกตวา ถาก าหนดใหความยาวและความแกรงตอการดดของเสาในกรณท 2 ของตวอยางนกบของเสาในกรณท 2 ของตวอยางท 5.3 มคาเทากนแลว คาการโกงตวทางดานขางของเสาในตวอยางนจะมคามากกวาในตวอยางท 5.3

ในกรณท 3 แรงในแนวแกนพงขนจะท าใหเสามเสถยรภาพมากขน ดงนน การตอบสนองของเสาลเขาหาคาการเปลยนต าแหนงทหาไดจากกรณทเสาเปนชนสวนโครงสรางรบแรงดง เมอแรงในแนวแกนดงกลาวมคาสงขน


ตวอยางท 5.51.) จงหาความสมพนธระหวางแรงและการโกงตวของคาน ดงทแสดงในรป เมอวสดมพฤตกรรมแบบ elastic-

perfectly plastic และพจารณา partial plasticfication2.) ก าหนดให ft 8=L , in. 2=b , in. 25.8=d , ksi 36=yσ , ksi 000,29=E จงหาคาแรงภาย

ในและคาการโกงตวสงสดทเกดขน

1.) ในหาความสมพนธระหวางแรงและการโกงตวของคาน เราจะตดตามการขยายตวของบรเวณทเกดพลาสตกของคานไดโดยใชสมการทสอดคลองกบเงอนไขของความสมดลของคานทยงไมมการเปลยนแปลงรปราง โดยทคาการเปลยนต าแหนงทปลายคานมคาเทากบคาการเปลยนต าแหนงของคานในชวงทมพฤตกรรมแบบ plastic (ชวง ac ) บวกกบคาการเปลยนต าแหนงของคานในชวงทมพฤตกรรมแบบ elastic (ชวง cb ) โดยใช moment-area method เราจะไดวา

EIVLdx

EIMx e

L

L effcbac

e3

3

+=∆+∆=∆ ∫ (a)

เมอ

e

y

e

y

Lbd

LM

V6

2σ== (b)

ทหนาตด DD −

ybydVxM σ

−==

34

22

จากสมการ (b) เราจะไดวา

2/1

321

23

−=

eLxdy (c)


นอกจากนนแลว 3

2 3byIeff = (d)

จากสมการ (a) ถง (d) เราจะไดวา

+

−

=∆ ∫ 32/3

3

2

321

31

32

e

L

Le

y Ldx

Lx

xEdL

e

σ (e)

ซงเมอท าการ integration เราจะได สมการของการเปลยนต าแหนงของคานอยในรป

+

−

−−=∆

222

10

3213

1)/(6)/(183

2LL

LL

LLLLEdL e

e

eeyσ (f)

2.) จากขอมลทก าหนดมาให เราจะได3in 69.22=S 3in 03.34=Z

คา yielding moment เปนคาโมเมนตสงสดทท าใหวสดบนผวทหางจากแกนสะเทนสงสดบนหนาตดของคานถงจด yielding โดยจะหาไดจากผลคณของ yielding stress yσ กบ section modulus S ในกรณน คาโมเมนตสงสดดงกลาวจะเกดขนทจดรองรบ ซงเราจะไดวา in. 96=eL ดงนน

kips-in. 8.816=yMkips 51.8=yV

in. 925.0=∆ y

คา plastic moment pM จะเกดขนเมอวสดบนหนาตดของคานมพฤตกรรมอยในชวง plastic ทงหนาตด หรอทมกเรยกวา ขอหมนพลาสตก (plastic hinge) โดยจะหาไดจากผลคณของ yielding stress yσ และ plastic section modulus Z ในทางทฤษฎแลว เสนกราฟของแรงกระท า V และคาการเปลยนต าแหนงทปลายคาน ∆ จะคอยๆ เขาสคาplastic moment แตในทางปฏบตแลว คา plastic moment จะเปนคาโมเมนตเมอการเปลยนต าแหนงทปลายคานมคาอยางนอยเทากบ 1/10 ของความยาวคาน เนองจากเมอการเปลยนต าแหนงทปลายคานมคามากกวานแลว โมเมนตดง

กลาวจะมคาเพมขนนอยมาก ในกรณน คาการเปลยนต าแหนงทปลายคานจะมคาสงมากเมอ เทอม

−

eLL

3213 ของ

สมการ f มคาเขาไกลศนย ซงเราจะไดวา in. 64=eL ดงนนkips-in. 3.1225=pM

kips 76.12=pV

.α→∆กราฟ ดงทแสดงในรป แสดงความสมพนธระหวางแรงกระท า V และคาการเปลยนต าแหนงทปลายคาน ∆


ตวอยางท 5.6ก าหนดให beam-column มลกษณะดงทแสดงในรป จงหา plastic limit ของ beam-column โดยใช plastic

analys is และสมการท 7.5 เมอ beam-column ม 2in 1.19=A , 4in 533=I , 3in 8.96=Z , ksi 000,29=E , และ ksi 50=yσ

ในทน เราจะสมมตให plastic zone ทเกดขนบน beam-column มคานอยมากๆ และหนาตดของ beam-column จะมพฤตกรรมไมเปนแบบ elastic กจะเปนแบบ plastic อยางใดอยางหนง

จาก elastic moment diagram เราจะเหนไดวา ขอหมนพลาสตก (plastic hinge) ตวแรกจะเกดขนท a เนองจากเปนจดทม moment สงสดเกดขนภายใตแรงกระท า ดงนน

kips 955)50(1.19 ==yPkips-in. 4840)50(8.96 ==pM

เนองจาก beam-column ถกกระท าโดยแรงในแนวแกนและแรงในแนวดง ดงนน จากสมการท 7.5 ซงเปนสมการ interaction ของ beam-column ของคานเหลกหนาตดแบบ wide flange เราจะไดวา

1484085.0

955=+ aMP

ดงนนkips 3.259=P

kips-in 4148=aMkips-in 2212=bM

จาก elastic moment diagram เราจะเหนไดวา plastic hinge ตวทสองจะเกดขนท b เนองจากเปนจดทมคาโมเมนตสงสดรองลงมาจากจด a เกดขนภายใตแรงกระท า ซงการเกด plastic hinge ทจดนจะน าไปส plastic mechanism

โดยเงอนไขของความสมดล เราจะได


∑ :brM 192

bc

MR =

∑ :blM 96)3.0( cba RPMM −=+

เมอ plastic hinge เกดขนทจด a และจด b แลว ba MM = ซงเราจะไดPMa 52.11=

ดงนน จากสมการท 7.5 เราจะไดkips 7.325=P

kips-in 3752== ba MMจากผลการค านวณ เราจะเขยนแผนภาพแสดง plastic mechanism ของชนสวนของโครงสรางได ดงทแสดงใน

รป จากรป เราจะเหนไดวา เมอ plastic hinge ตวแรกเกดขนแลว beam-column จะมการกระจายโมเมนตภายในคานใหม จากกราฟเสนประและกราฟเสนทบ

เนองจากในการวเคราะห beam-column ขางตน เราเขยนสมการความสมดลของ beam-column โดยใชรปรางของ beam-column ทยงไมมการเปลยนแปลงรปรางและเราสมมตใหคานมพฤตกรรมแบบ elastic ในชวงระหวางทเกด plastic hinge ตวท 1 แลว และก าลงจะเกด plastic hinge ตวท 2 ดงนน เสนกราฟแสดงความสมพนธของ P และ b∆

ในชวงดงกลาวจงเปนเสนตรง


ตวอยางท 5.7ชนสวนของโครงสราง ab เปน elastic bar ซงถกเชอมตอเขากบ nonlinear rotational spring ทจดรองรบ ดงท

แสดงในรป ก าหนดให rotational spring ดงกลาวมความสมพนธระหวางโมเมนตและการหมน ดงทแสดงในรป จงท าการวเคราะหชนสวนของโครงสรางดงกลาว

ในตวอยางน เราพจารณาพฤตกรรมแบบ geometric nonlinear ของชนสวนของโครงสรางรวมกบพฤตกรรมแบบ material nonlinear ของจดเชอมตอ

จากการพจารณาสมดลของโครงสรางทมการเปลยนแปลงรปรางแลวและใช classical small deflection elastic theory เราจะไดสมการการโกงตวของชนสวนของโครงสราง ab ดงทแสดงในสมการ (d) ของตวอยางท 5.4 และ เมอ

PH /=α เราจะไดวา

xPHx

EIPCx

EIPCv −+= cossin 21


และ Lx = , adxdv θ=/ เราจะได

LEIP

EIPPHC a

cos

/1

θ+=

ดงนน สมการการโกงตวของ elastic bar ทระยะ x ใดๆ จะอยในรป

PHx

LEIP

EIP

xEIPPH

va

−+

=cos

sin)/( θ


ท Lx = , ∆=v เราจะได

EIP

LEIPL

EIPL

EIPPH a tantan)/( θ+

−

=∆ (a)

นอกจากนนแลว เนองจาก ∆+= PHLMa ดงนน

PHLa −=∆

θβ (b)

จากสมการ (a) และ (b) เราจะไดสมการการโกงตวของ elastic bar ท Lx = อยในรป

−±

+

−

=∆L

EIPHEI

LEIPHEI

LEIPL

EIP

EIPEI

H

tan4

)tan(411

tan

2

2

2

2

2/3

ββ

(c)

จากสมการ (c) เมอชนสวนของโครงสรางม ft 21=L , 4in 6.88=I , ksi 000,29=E , kips 10=H ,และ kips/rad-in )10(100 3=β เราจะไดแผนภาพแสดงการตอบสนองของ elastic bar ตอแรงกระท า ดงทแสดงในรป

ขอใหสงเกตดวยวา ถาจดรองรบเปนแบบยดแนนแลว

kips 7.305)144(4

6.88)000,29(2

2

==π

creP

ดงนน critical load ของชนสวนของโครงสราง ab ในตวอยางนมคานอยกวา critical load ของชนสวนของโครงสราง abรองรบเปนแบบยดแนนถง 37%


5.1.4 ขอสงเกตทเกยวกบเสถยรภาพเสถยรภาพของความสมดล (stability of equilibrium) ของโครงสรางจะถกนยามโดยการพจารณาสภาวะของลก

บอลบนพนผวสามแบบ ดงทแสดงในรปท 5.21. ถาลกบอลวางอยบนพนผวโคงหงาย ดงทแสดงในรปท 5.2a แลว การเปลยนต าแหนงของลกบอลจากจดดง

กลาวจะเกดขนไดกตอเมอมงานเกดขนในระบบ ซงจะท าให potential energy ของระบบมคาเพมขน ระบบนจะอยในสภาวะทเรยกวา สมดลแบบมเสถยรภาพ (stable equilibrium)

2. ถาลกบอลถกวางอยบนพนผวเรยบ ดงทแสดงในรปท 5.2b แลว ลกบอลจะถกท าใหเปลยนต าแหนงไดโดยใชงาน แต potential energy ของระบบจะไมมการเปลยนแปลง ระบบนจะอยในสภาวะทเรยกวา สมดลแบบเปนกลาง (neutral equilibrium)

3. ถาลกบอลถกวางอยบนพนผวโคงคว า ดงทแสดงในรปท 5.2c แลว การเปลยนต าแหนงของลกบอลจะท าให potential energy ของระบบมคาลดลง ระบบนจะอยในสภาวะทเรยกวา สมดลแบบไมมเสถยรภาพ (unstable equilibrium)

รปท 5.2

เสถยรภาพของวตถแกรง (rigid body) ดงกลาวจะน าไปพจารณาวตถทเปลยนแปลงรปรางได (deformable body) โดยการพจารณา total potential energy ของระบบ โดยท

Ω+=UVเมอ V เปน total potential energy ของระบบ U เปน strain energy ของระบบ และ Ω เปน external potential energy เนองจากแรงกระท า

จาก principle of virtual work เราจะไดวา "วตถทเปลยนแปลงรปรางไดจะอยในสภาวะทสมดลภายใตการกระท าของแรง เมอ external virtual work เนองจาก admissible virtual displacement มคาเทากบ internal virtual work เนองจากการเปลยนต าแหนงดงกลาว" ดงนน

0extint =−= WWW δδδจากสมการขางตน เมอท าการเปรยบเทยบ Wδ และ Vδ เนองจาก virtual displacement เพยงเลกนอยแลว เราจะไดวา ในสภาวะทระบบอยในสมดลภายใตการกระท าของแรง variation ของ total potential energy จะตองมคาเทากบศนย หรอ 0=Vδ

เงอนไขนเปนเงอนไขทจ าเปนในการทระบบจะอยในสมดลทางสถตย (static equilibrium) แตไมไดบงบอกถงสภาวะของเสถยรภาพของระบบวาเปนแบบ stable หรอแบบ neutral หรอแบบ unstable สภาวะของเสถยรภาพของระบบดงกลาวจะเกดขนเมอ total potential energy ของระบบจะตองมคาต าสด หรอเปนกลาง (neutral) หรอสงสด ตามล าดบ โดยเราจะพจารณาเสถยรภาพของระบบจาก second variation หรอ variation ทมล าดบสงกวานนของ total potential energy ซงถามคามากกวาศนยแลว ระบบจะอยในสภาวะสมดลแบบมเสถยรภาพ (stable equilibrium) ถามคาเทากบ


ศนยแลว ระบบจะอยในสภาวะสมดลแบบเปนกลาง (neutral equilibrium) และถามคานอยกวาศนยแลว ระบบจะอยในสภาวะสมดลแบบไมมเสถยรภาพ (unstable equilibrium)


ตวอยางท 5.8พจารณาโครงสราง ดงทแสดงในตวอยางท 5.2 จงใช principle of potential energy หา1.) สมการความสมดลของโครงสราง2.) วเคราะหเสถยรภาพของโครงสราง1.) ก าหนดให θ ดงทแสดงในรปในตวอยางท 5.2 เปน displacement variable ดงนน total potential energy

ของโครงสราง เมอโครงสรางมการเปลยนแปลงรปรางเนองจากแรงกระท าจะอยในรป

[ ] [ ])sec(sin)sec(cos1

)(212

22

2

θαθθαα −−−−=

∆−

∆=Ω+=

PLkL

PLkUV bab (a)

[ ][ ])(cos

cos)(cos

)tan(coscos)cos(2 222

θαα

θαθαααθα

θδ

−−

−−−−

==PLkL

ddVV (b)

ก าหนดให 0=Vδ จากนน แกสมการหา P เราจะได[ ])tan(cos)sin(2 θααθα −−−= kLP (c)

ซงเปนสมการเดยวกนกบทไดในตวอยางท 5.22.) จากสมการ (b) เราจะได second variation ของ total potential energy อยในรป

[ ]

−−+

−−−

−−−+

−=

)sin()cos(2 )(sin)cos(2

)(cos)(sincos2cos2

)(coscos 2

322

42

2

θαθαθαθα

θαθααα

θαα

θPL

kLdVd (d)

แทนสมการ (c) ลงในสมการ (d) เราจะได

[ ])(cos

)(coscos24

32

2

2

θαθαα

θ −−−

=kL

dVd (e)

จากสมการ (e) เราจะเหนไดวา เสถยรภาพของโครงสรางจะขนอยกบเครองหมายของเทอม)(coscos 3 θαα −−

เมอ 2/πθα <− เราจะไดวา

02

2

>θdVd เมอ )(coscos 3 θαα −> ซงโครงสรางอยในสภาวะ stable equilibrium

02

2

=θdVd เมอ )(coscos 3 θαα −= ซงโครงสรางอยในสภาวะ neutral equilibrium ซงแสดงโดย limit

point 1 และ 3 ในตวอยางท 5.2

02

2

<θdVd เมอ )(coscos 3 θαα −< ซงโครงสรางอยในสภาวะ unstable equilibrium ซงแสดงโดย

สภาวะของโครงสรางทอยระหวาง limit point 1 และ 3 ในตวอยางท 5.2 ซงเปนชวงท total potential energy มคาถงขดสงสด


ตวอยางท 5.9จงใช principle of potential energy วเคราะหเสถยรภาพของเสา ดงทแสดงในตวอยางท 5.4

จากตวอยางท 5.4 ก าหนดให ∆ เปน displacement variable ซงเราจะไดสมการการโกงตวของเสาอยในรป

−∆=

Lxv

2cos1 π

จากแผนภาพ free body diagram, ของชนสวนของเสา เราจะไดโมเมนตดดทระยะ x จากปลายของเสาอยในรป

LxPvPM

2cos)( π

∆=−∆=

ซงเราจะได strain energy ของเสาเนองจากการดดอยในรป

∫∆

==L

EILPdx

EIMU

0

222

42ส าหรบในกรณ small displacement

Ldx

dxdvu

L

b 1621 22

0

2 π∆=

= ∫

ซงเราจะได external potential energy เนองจากแรงกระท าอยในรป

LPPub 16

22π∆−=−=Ω

ดงนน เราจะไดสมการ total potential energy ของเสาอยในรป

L

PEILPV

164

2222 π∆−

∆= (a)

L

PEILP

ddV

82

22 π∆−

∆=

∆(b)

L

PEILP

dVd

82

22

2

2 π−=

∆(c)

เมอก าหนดให 0/ =∆ddV เราจะไดวา ในกรณท 0≠∆

2

2

4LEIPcre

π=


ซงเปน elastic critical load ของเสาตามทเราหาไดในตวอยางท 5.4 เมอแทน creP ลงในสมการ (c) เราจะไดวา ในกรณท

0≠∆ นน 02

2

=∆dVd ซงแสดงวาเสาดงกลาวอยในสภาวะ neutral equilibrium ท critical load


5.2 วธเมตรกซในการวเคราะหโครงสรางทมพฤตกรรมแบบไมเชงเสนตรงในการวเคราะหโครงสรางแบบยดหยนเชงเสนตรง (linear elastic) ถาเราก าหนดให linear elastic global

stiffness matrix อยในรป [ ]eK แลว เราจะไดวา [ ] P∆ K =e (5.1)

ในการวเคราะหโครงสรางแบบ nonlinear เนองจากความยากในการแกสมการหลายชนแบบไมเชงเสนตรง (simultaneous nonlinear equation) เราจะท าการซอยยอยสมการความสมดลของโครงสรางลงเปนสวนเลกๆ เพอทเราจะสามารถท าการประมาณสวนเลกๆ ของสมการดงกลาวเปนสมการแบบเสนตรง ซงจะชวยใหเราแกสมการดงกลาวไดงายขน โดย global stiffness matrix ของสวนเลกๆ ของสมการดงกลาวจะถกเขยนไดในรป

[ ] P∆ K ddt = (5.2)เมอ [ ]tK เปน tangent stiffness matrix ∆d เปน vector ของการเปลยนต าแหนงท node ทเปลยนแปลงตามขนตอนการวเคราะหและ Pd เปน vector ของแรงกระท าและแรงปฏกรยาทกระท าท node ทเปลยนแปลงตามขนตอนการวเคราะห

โดยทวไปแลว [ ]tK จะประกอบดวยสวนทเปนแบบ linear elastic และสวนทเปนฟงกชนกบแรงกระท าหรอ การเปลยนต าแหนงทจดทเราเรมท าการวเคราะหในแตละขน ดงนน สมการท 5.2 จะอยในรป

[ ] P∆ KK ddge =+ (5.3)เมอ [ ]gK เปน geometric stiffness matrix ซงแสดงการเปลยนแปลงของความแกรงของโครงสรางเนองจากการเปลยนแปลงรปรางและการเปลยนต าแหนง

ในการท า first-order inelastic analysis เราจะเขยนสมการความสมดลจากโครงสรางทยงไมมการเปลยนแปลงรปราง ดงนน สมการท 5.2 จะอยในรป

[ ] P∆ KK ddme =+ (5.4)เมอ [ ]mK เปน plastic reduction matrix ซงแสดงการเปลยนแปลงของความแกรงของโครงสรางเนองจากพฤตกรรมแบบ inelastic ของโครงสราง

ในการท า second-order inelastic analysis เราจะพจารณาทง geometric nonlinearity และ material nonlinearity โดยสมการความสมดลจะถกเขยนจากโครงสรางทมการเปลยนแปลงรปรางไปแลว ดงนน สมการท 5.2 จะอยในรป

[ ] P∆ KKK ddmge =++ (5.5)ในการค านวณหา elastic critical load ของโครงสราง สมการ global stiffness equation จะถกจดใหอยในรป

eigenvalue problem โดยทสมการความสมดลทจดวกฤตจะอยในรป [ ] 0ˆ =+ ∆ KK ge λ (5.6)

เมอ [ ]gK เปน geometric stiffness matrix ซงหามาจาก reference load refP , eigenvalue λ เปน load factor ของ refP และ eigenvalue ∆ เปนรปรางทเกดการโกงเดาะ

คา elastic critical load จะเทากบคาต าสดของ λ ทสอดคลองกบสมการท 5.6 ในกรณท 0≠∆ คณกบ refP หรอ refPλ และคา ∆ ทสอดคลองกบ refPλ จะเปนรปรางของโกงเดาะของโครงสราง

โดยการปรบเปลยนคา material constants ใน [ ]eK เราสามารถใชสมการท 5.6 ในการหา inelastic critical load ไดโดยการลดรปสมการท 5.6 ใหอยในรป


[ ] [ ] fgfeff ∆KK∆ ˆ1 1−−=λ

(5.7)

โดยท subscript, f , แทน matrix ทสมพนธกบ degree of freedom ทเปนอสระ เนองจาก matrix [ ]efK จะตองถก inverse ดงนน matrix นจะตองเปน nonsingular matrix แตโดยทวไปแลว ผลคณของ [ ] [ ]gfef KK ˆ1− จะไมสมมาตร (unsymmetric matrix) ดงนน เพอความสะดวกในการแกสมการท 5.7 เราจะท าการเปลยนรปสมการดงกลาวตามขนตอนทจะกลาวถงใน section ท 8.85.3 สมการทใชในการวเคราะหและค าตอบทได

ในการวเคราะหโครงสรางแบบ linear elastic นน เราจะหาการตอบสนองของโครงสรางไดโดยตรง โดยการแกสมการความสมพนธเชงเสนระหวางแรงกระท าและการเปลยนต าแหนงของโครงสราง แตในการวเคราะหโครงสรางแบบ nonlinear การตอบสนองของโครงสรางจะเปนฟงกชนกบแรงกระท า ซงเราจะไมสามารถแกสมการหลายชนแบบไมเชงเสนตรงไดโดยงาย ดงนน โดยทวไปแลว เราจะตองท าการวเคราะหโครงสรางตามขนตอนตอไปน

1. ท าการแกสมการอนพนธของชนสวนตางๆ ของโครงสราง และท าการตดเทอมทม order สงๆ ทไมมความส าคญออก เพอลดระดบความเปน nonlinear ของสมการลง

2. ท าการสมมต shape function ซงเปนความสมพนธเชงเสนตรงระหวางแรงกระท าและการเปลยนต าแหนงทปลายของชนสวนของโครงสรางใหเหมาะสมกบโครงสรางทก าลงพจารณาอย

3. ท าการรวมสมการ linear global stiffness matrix เขาดวยกน4. ท าการหาค าตอบของสมการ

5.3.1 การหาค าตอบของสมการ simultaneous nonlinear equationการหาค าตอบของ simultaneous nonlinear equation ในขนตอนท 4 ท าไดหลายวธ ดงทแสดงในรปท 5.3 วธ

การทงายทสดคอ วธ Euler หรอวธ simple-step ดงทแสดงในรปท 5.3b มขนตอนการท าดงน1. ท าการหา tangent stiffness matrix โดยใชคาแรงกระท าทมคานอยๆ คาหนง2. ท าการก าหนด increment ของแรง (หรอการเปลยนต าแหนง) และท าการแกสมการทไดเพอหาคาตวแปรท

ไมทราบคา ในทนคอ คาการเปลยนต าแหนง (หรอคาแรง)3. น าคาการเปลยนต าแหนง (หรอคาแรง) ทไดแทนทกลบไปยง element stiffness equation เพอหาคาแรง

ภายใน4. ท าการหา tangent stiffness matrix ใหมจากคาแรงภายในและคาการเปลยนต าแหนงทได5. ขนตอนการวเคราะหจะถกกระท าซ าไปเรอยๆ จนถงคาแรง (หรอคาการเปลยนต าแหนง) ทก าหนด6. น าคาแรงกระท า คาแรงภายใน และคาการเปลยนต าแหนง ทจดสนสดของแตละ increment มารวมกนเพอ

หาคาแรงกระท า คาแรงภายใน และคาการเปลยนต าแหนงรวมเนองจากวธการนไมมการตรวจสอบความสมดลของแรงกระท าภายนอกและแรงทเกดขนภายใน ดงนน ในบาง

กรณ กราฟซงแสดงการตอบสนองของโครงสรางทไดจะแตกตางจากการตอบสนองจรงของโครงสรางอยางมาก อยางไรกตาม ถา increment ทใชมคาทนอยมากๆ และโครงสรางมพฤตกรรมแบบ nonlinear ทไมสงมากนก ดงเชนโครงสรางสวนใหญในงานวศวกรรมโยธาแลว การวเคราะหโครงสรางโดยวธการนจะใหค าตอบออกมาอยางถกตองเพยงพอ

วธการทมความสลบซบซอนในการค านวณมากขนคอ วธ incremental-iterative method ดงทแสดงในรปท 5.3cซงเปนวธการแบบท าซ า (iterative scheme) โดยมจดประสงคทจะท าใหเกดความสมดลของแรงทจดสนสดของแตละ increment ของแรงกระท า ซงท าไดโดยการวเคราะหหาความไมสมดลระหวางแรงกระท าทจดสนสดของแตละ increment


และแรงภายในทค านวณมาไดจากผลการค านวณในขนตอนการวเคราะหโครงสรางดงกลาว จากนน ท าการปรบความไมสมดลใหมคาลดลงอยในชวงทยอมได (tolerable limit) ในลกษณะการค านวณแบบท าซ า กอนทจะเรม increment ใหม ซงจะกลาวถงในรายละเอยดใน section ท 8.3

รปท 5.3

นอกจากการปรบแกความไมสมดลระหวางการค านวณในแตละ increment ดงทไดกลาวมาแลว เรายงสามารถท าการปรบแกความไมสมดลดงกลาวไดโดยใชวธ limit point determination ดงทแสดงในรปท 5.3d และวธ branching point ดงทแสดงในรปท 5.3e ซงจะกลาวถงในรายละเอยดในบทท 85.3.2 ปญหาพนฐานของการวเคราะหโครงสรางแบบ nonlinear

พจารณา gable frame ดงทแสดงในรปท 5.4a เราจะท าการวเคราะหหาการตอบสนองของ rafter ab ของ gable frame ไดตามขนตอนตอไปน

1. ก าหนดสภาวะของชนสวนของโครงสรางดงกลาวกอนทจะถกกระท าโดยแรงหรอ configuration 0 โดยใชระบบพกด global coordinate x , y

2. ท าการเขยน element stiffness matrix ของชนสวนของโครงสรางในระบบพกด local coordinate ซงแกน x′0 จะอยในแนวแกนของชนสวนของโครงสรางทลากผานจด 0a และจด 0b ดงทแสดงในรปท 5.4c

3. ท าการเปลยนรป (transformation) element stiffness matrix ทไดในขอ 2 จากระบบพกด local coordinate ไปยงระบบพกด global coordinate จากนน ท าการประกอบ element stiffness matrix ใหอยในรปของ global stiffness matrix

4. ท าการหาแกสมการเพอหาคาการเปลยนต าแหนงของชนสวนของโครงสรางหรอ configuration t โดยใชวธการใดวธการหนงตามทไดกลาวไปใน subsection ทแลว


5. ท าการเขยน element stiffness matrix ของชนสวนของโครงสรางท configuration t โดยใชระบบพกด local coordinate ทหามาไดใหม xt ′ , yt ′ ซงแกน xt ′ จะอยในแนวแกนของชนสวนของโครงสรางทเปลยนแปลงรปรางไปแลว ซงลากผานจด ta และจด tb

6. ท าการวเคราะหโครงสรางซ าจนกระทงครบทก increment ของแรงกระท า

รปท 5.4

จากขนตอนการวเคราะหหาการตอบสนองของ rafter ab ของ gable frame ขางตน พบวาในขนตอนท 5 เราจะเหนวา ชนสวนของโครงสรางไดมการเปลยนแปลงรปรางและขนาดไปจากสภาวะเรมตน

configuration 0 และ material point p ทจดใดๆ บนโครงสรางไดมการเปลยนต าแหนงจาก op ไปยง tp แลว ดงนน เราจะพบกบปญหาคอ เราตองการหาสมการความสมดลของโครงสรางจาก configuration tt ∆+ แตเราไมสามารถท าไดเพราะเรายงไมทราบ configuration ของโครงสรางดงกลาว เพอทจะแกปญหาดงกลาว เราจะก าหนดให configuration t เปน "reference configuration" โดยทหนวยแรง น าหนกบรรทก และการเปลยนต าแหนงของชนสวนของโครงสรางในขนตอนการวเคราะห tt ∆+ จะถกเขยนใหอยในระบบพกด local coordinate xt ′ , yt ′ ซงเมอเราน า element stiffness matrix ทเขยนขนโดยใช local reference configuration มาประกอบเขาดวยกนแลว เราจะได global tangent stiffness matrix และจะท าใหเราได global equilibrium equation ทเปนแบบประมาณ (approximate)

ถาเราหาค าตอบของ global equilibrium equation ดงกลาวโดยใชวธ simple step แลว เราจะไดวา configuration ใหมทเราหาไดจะถกใชเปน reference configuration อนใหมของโครงสราง จากนน เราจะด าเนนการวเคราะหตอไปท load increment อนถดไป แตถาหาค าตอบของ global equilibrium equation ดงกลาวโดยใชวธ iterative แลว configuration ใหมทเราหาไดครงแรกจะเปน "deformed configuration" ซงจะถกใชเปนพนฐานของการท าการวเคราะหตอไป


แบบฝกหดทายบทท 55.1 ระบบ ดงทแสดงในรป มการเปลยนต าแหนงเรมตน (initial displacement) ขนาดเลกเกดขน o∆ ก าหนดใหชนสวน

ab มความแกรงสงมากเมอเปรยบเทยบกบชนสวน bc ซงมความแกรงในแนวแกน k จงหาการตอบสนองของระบบภายใตแรง P จากนน จงเปรยบเทยบผลทไดกบค าตอบในตวอยางท 5.1

5.2 ก าหนดให elastic member ดงทแสดงในรป มความโคงเรมตน (initial curvature ขนาดเลก) จงใช small displacement theory หาการตอบสนองของระบบภายใตแรง P จากนน จงเปรยบเทยบผลทไดกบค าตอบในตวอยางท 5.4

5.3 จงใช small displacement theory หาการตอบสนองของเสาภายใตแรง P ดงทแสดงในรป จากนน จงเปรยบเทยบผลทไดกบค าตอบในตวอยางท 5.3

5.4 คาน ดงทแสดงในรป ท าดวยเหลกทสมมตใหมพฤตกรรมแบบ elastic-perfectly plastic โดยม yielding stressksi 36=yσ และม modulus of elasticity ksi 000,29=E จงใช elastic-plastic hinge method เขยนกราฟ

แสดงความสมพนธของแรง P และคาการโกงตวของคานหนาตด wide-flange ทจด b จากนน ท าการค านวณขางตนซ าส าหรบหนาตดคานสเหลยม


5.5 ท าการค านวณปญหาขอ 5.4 อกครง ก าหนดใหคานดงกลาวถกกระท าโดย uniformly distributed load q ตลอดความยาวของคาน


บทท 6Geometric Nonlinear Analysis และ Elastic Critical Load Analysis

ในบทน เราจะศกษาวธ matrix stiffness method เพอใชในการวเคราะหโครงสรางทมพฤตกรรมแบบไมเชงเสนตรงทางเรขาคณต (geometrical nonlinear) และหาน าหนกบรรทกวกฤตยดหยน (elastic critical loads) ของโครงสราง การวเคราะหโครงสรางดงกลาวมพนฐานมาจากสมการท 5.3 และ 5.6 ซงจากบทท 4 เราไดหา elastic stiffness matrix[ ]ek ของชนสวนโครงสรางแบบตางๆ ไปแลว ในบทนเราจะเนนการหา geometric stiffness matrix [ ]gk ของชนสวนโครงสรางดงกลาว6.1 Geometric stiffness matrix ของชนสวนโครงสราง

พจารณาชนสวนของโครงสราง ทมหนาตดสมมาตรรอบแกนสองแกนหลก (แกน y และแกน z ) ซงถกกระท าโดยแรงในแนวแกน (axial force) และโมเมนตดด (bending moment) รอบแกน z ดงทแสดงในรปท 6.1a ภายใตแรงกระท าดงกลาว ชนสวนของโครงสรางจะเกดการเปลยนต าแหนงและเกดการเปลยนแปลงรปรางดงน

1.) เกดการเปลยนต าแหนงเชงเสนและเกดการหมนแบบวตถแกรง (rigid body)2.) เกดการยดหรอหดตว3.) เกดการดด

ซงการเปลยนแปลงรปรางทงสามแบบจะเกดขนพรอมกนและอาจจะมอทธพลตอกนกได

รปท 6.1

ในทน เราจะพจารณาเฉพาะการเปลยนแปลงรปรางทส าคญสองรปแบบเทานนคอ1.) การยดตวและการเปลยนต าแหนงแบบ rigid body ของชนสวนของโครงสราง ดงทแสดงในรปท 6.1b2.) การดด ดงทแสดงในรปท 6.1c

และ geometrical stiffness matrix ทเราตองการหาจงเปน geometrical stiffness matrix ของชนสวนของโครงสรางซง1.) ถกกระท าโดยแรงในแนวแกน2.) ถกกระท าโดยแรงในแนวแกนและโมเมนตดดรวมกน


6.1.1 ชนสวนของโครงสรางรบแรงในแนวแกนในการวเคราะหโครงสรางแบบ linear elastic เราก าหนดใหความเครยด (strain) ทเกดขนในโครงสรางมคาทนอย

มากๆ (infinitesimal strains) แตในการวเคราะหโครงสรางแบบ nonlinear เราก าหนดใหความเครยดทเกดขนในโครงสรางมคาทนอยแตวดได (finite small strains)

รปท 6.1b แสดง differential element ของชนสวนของโครงสราง ab ซงมความยาว dx หลงจากทชนสวนของโครงสรางเกดการเปลยนต าแหนงแบบวตถแกรงและเกดความเครยดในแนวแกนแลว ความยาวของสวนเลกๆ ab จะเปลยนไปเปน

dxdxdv

dxdu

dxduba

2/122

21

+

++=′′

ก าหนดให adddxdv

dxdu

dxdu

=

+

+

22

2 ดงนน

[ ] dxdba ab2/11+=′′

โดยใช binomial theorem และการก าจดเทอมทม order สงๆ ออก เราจะได

+

++=

′′ 22

211

dxdv

dxdu

dxdu

dxba

จากนยามของความเครยดตงฉาก (normal strain) เราจะเขยน finite strain ไดในรป

+

+=

−′′=

22

fin 21

dxdv

dxdu

dxdu

dxabbae (6.1)

โดยใช principle of virtual displacement เราจะเขยนสมการ internal virtual work เนองจาก virtual displacement ของชนสวนของโครงสรางจาก reference configuration ไดในรป

(vol)vol

finint deW x∫= δσδ (6.2)

แทนสมการท 6.1 ลงในสมการท 6.2 แลวท าการ integration ตลอดความยาวของชนสวนของโครงสราง เราจะได

dxdxdv

dxduAdx

dxudAW

L

x

L

x 21

0

22

0int ∫∫

+

+

= δδσδσδ (6.3)

เนองจากเราก าหนดให dxuddxdu )()/( δδ = ใน integral เทอมแรกของสมการท 6.3 ดงนน สมการดงกลาวจะใชไดในกรณทโครงสรางมการเปลยนแปลงรปรางนอยมากๆ เทานน

เมอเราแทนความสมพนธของหนวยแรงและความเครยด )/( dxduEx =σ ลงใน integral แรกและก าหนดให Axσ ใน integral ทสองเทากบ 2xF เราจะไดวา

dxdxdv

dxduFdx

dxudEA

dxduW

L

x

L

21

0

22

20

int ∫∫

+

+

= δδδδ (6.4)

จากสมการท 6.4 เราจะไดวา integral เทอมแรกจะใหผลลพธเปน linear elastic stiffness matrix [ ]k ของชนสวนของโครงสรางทถกกระท าโดยแรงในแนวแกนในรป

[ ]

−

−=

1111

LEAk


และ integral เทอมทสองจะใหผลลพธเปน geometric stiffness matrix [ ]gkเนองจาก virtual operator จะถกพจารณาเปน differential operator เทยบกบตวแปร dxdu / และ dxdv /

ได ดงนน internal virtual work ของ integral เทอมทสองจะถกเขยนใหมไดในรป

dxdxdv

dxvd

dxdu

dxudFW

L

x 0

2gint, ∫

+

=

δδδ (6.5)

จาก section ท 4.2 ทกลาวถงการหา element stiffness matrix โดยใช principle of virtual displacement และ shape function เราจะไดวา

[ ] [ ]dxFL

Tvv

Tuuxg NNNNk ∫ ′′+′′=

02 (6.6)

เมอ TuN และ TvN เปน shape function ในกรณของชนสวนของโครงสรางรบแรงในแนวแกนของการเปลยนต าแหนง u และ v ตามล าดบ และ TuN′ และ TvN′ เปน derivatives ของ shape function ดงกลาว และจากสมการท 4.6 โดยท Lx /=ξ เราจะไดวา

21)1( uuu ξξ +−= และ 21)1( vvv ξξ +−= (6.7)ดงนน

−=′

LLT

u11N และ

−=′

LLT

v11N (6.8)

แทนสมการท 6.7 และ 6.8 ลงในสมการท 6.6 เราจะไดวา

2211 vuvu

[ ]

−−

−−

=

101001011010

0101

2

LFx

gk (6.9)

ดงนน เราจะเหนไดวา geometric stiffness matrix เปนฟงกชนกบแรงในแนวแกนทกระท าอยบนชนสวนของโครงสราง6.1.2 ชนสวนของโครงสรางทถกกระท าโดยแรงในแนวแกนและโมเมนตดดรวมกน

ผลของการดดจะถกน ามารวมกบ geometric stiffness matrix ไดโดยการน าความเครยดเนองจากการดดมารวมเขากบความเครยดเนองจากแรงในแนวแกน (สมการท 6.1 )

จาก elastic beam theory เราจะไดความเครยดเนองจากการดดอยในรป

2

2

dxvdyyebending −=−=

ρเมอน ามารวมกบสมการท 6.1 เราจะไดวา finite strain fine อยในรป

+

+−=

22

2

2

fin 21

dxdv

dxdu

dxvdy

dxdue (6.10)

แทนสมการของ fine ลงในสมการท 6.2 และให )/( zzx IMy−=σ โดยท ∫=A

z dAyI 2 จากนน ท าการ

integrate ตลอดความยาวของคานและให )/()/( 2222 dxvddxvd δδ = แลว เราจะไดสมการของ internal virtual work เนองจาก virtual displacement ของชนสวนของโครงสรางจาก reference configuration อยในรป


dxdxdv

dxduAdx

dxvdMdx

dxudAW

L

x

L

z

L

x 21

0

22

02

2

0int ∫∫∫

+

+

+

= δδσδδσδ (6.11)

แทนความสมพนธของหนวยแรงและความเครยด )/( dxduEx =σ ลงใน integral แรก จากนน แทนความสมพนธของโมเมนตดดและความโคง (curvature) )/( 22 dxvdEIM zz = ลงใน integral ทสอง สดทาย ก าหนดให Axσ ใน integral ทสามเทากบ 2xF เราจะไดวา

dx

dxdv

dxduF

dxdxvdEI

dxvddx

dxudEA

dxduW

L

x

L

z

L

21

0

22

2

02

2

2

2

0int

∫

∫∫

+

+

+

=

δδ

δδδ

(6.12)

จากสมการท 6.12 เราจะไดวา integral เทอมแรกใหผลลพธเปน linear elastic stiffness matrix ของชนสวนโครงสรางทถกกระท าโดยแรงในแนวแกนในรป

[ ]

−

−=

1111

LEAk

integral เทอมทสองใหผลลพธเปน linear elastic stiffness matrix ของชนสวนของโครงสรางทถกกระท าโดยโมเมนตดดในรป (สมการท 1.32)

[ ]

−

−−−

−

−

=

4626

612612

2646

612612

22

22

LL

LLLL

LL

LLLL

LEI zk

integral เทอมทสามจะหามาไดโดยใช shape function ของชนสวนโครงสรางรบแรงในแนวแกนและชนสวนโครงสรางรบแรงดดในรป

2

22

321

21

3221

)()23()21()231(

)1(

zz xvxvv

uuu

θξξξξθξξξξ

ξξ

−−−−++−++−=

+−= (6.13)

เมอ Lx /=ξ จากนน แทน derivatives ของ shape function ดงกลาวลงในสมการท 6.6 เราจะได 1u 1v 1zθ 2u 2v 2zθ

[ ]

−−

−−−

−

−−

−

−

=

152

100

30100

10560

10560

0010013010

0152

100

10560

10560

001001

22

22

2

LLLL

LL

LLLL

LL

LFx

gk (6.14)


ตวอยางท 6.1ก าหนดใหชนสวนของโครงสรางม 2mm 2=abA , 23 mm )10(5=bcA , และ GPa 200=E จงท าการ

วเคราะหหาการตอบสนองของโครงสรางเมอ1.) 0=α

2.) 05.0=α

1.) เมอ 0=α เราจะหา elastic (Euler) critical load ของโครงสรางโดยใชสมการท 5.7เนองจากชนสวนของโครงสรางทงสองเปนชนสวนของโครงสรางรบแรงในแนวแกนและม degree of freedom ท

เปนอสระทจดเชอมตอ b เทานนคอ bu และ bv ดงนน จากสมการ element stiffness matrix ของชนสวนของโครงสรางรบแรงในแนวแกน (สมการท 1.26a)

[ ]

−

−=

1111

LEAk

เราจะได elastic stiffness matrix ของโครงสรางอยในรป bu bv

[ ]

=

+

=

)10(5.2001

101

4000)10(50

00

00

04000

2200 3

3efK (a)

จากสมการท 6.9 เราจะได geometric stiffness matrix ของโครงสรางอยในรป bu bv

[ ]

−=

1001

4000ˆ refgf

PK (b)


=

−b

bref

b

b

vuP

vu

)10(4001

4001

4λ(c)

สมมตให 0=bv และ 0≠bu แลว elastic critical load ของชนสวนของโครงสรางจะมคาเทากบ

kN 400 =

= refcre PP λ (d)

จากตวอยางท 5.1 เราได

kN 400)200(2 === kLPcre

ซงเราจะเหนไดวา elastic critical load ของชนสวนของโครงสรางทหาไดจากทงสองวธมคาเทากน


2.) เมอ 05.0=α

จากสมการท 5.3 [ ] P∆ KK ddgfef =+ เราจะไดวา

=

+

+

105.0

1001

1001

)10(50

02

200 3 dPdvdu

LF

LF

L

L

b

b

ab

ab

bc

bc

bc

ab (e)

สดทาย ท าการแกสมการ (e) แบบ iterative โดยการเพมคาแรงกระท า dP อยางตอเนอง เราจะเขยนแผนภาพแสดงความสมพนธระหวางแรง P และการเปลยนต าแหนง bu ได ดงทแสดงในรป

จากรป เราจะเหนไดวา limit point ในกรณท 2 มคา 85% ของ critical load ทเราหาไดในกรณแรก


ตวอยางท 6.2ก าหนดใหชนสวนของโครงสราง ดงทแสดงในรป ม 2mm 1000== bcab AA , 0=bdA , 15 , 30 , และ2mm 45 , และ GPa 200=E จงท าวเคราะหหา large displacement response ของโครงสราง

โดยการใชความสมมาตรของโครงสรางและสมมตใหรปรางความยาวและแรงในชนสวนของโครงสรางถกปรบปรงตามล าดบการค านวณ ดงนน จากความสมดลของ reference configuration เราจะได elastic stiffness matrix และ geometric stiffness matrix ของโครงสรางในรป

[ ]

+−=

bd

bd

ab

abe L

EALEA

)(sin2 2 θαK

[ ]

+−=

bd

bd

ab

abg L

FLF

)(sin2 2 θαK


dPdvLFEA

LFEA

bbd

bdbd

ab

abab =

++−

+)(sin2 2 θα

สดทาย ท าการแกสมการขางตนแบบ iterative เราจะเขยนแผนภาพแสดงความสมพนธระหวางแรง P และการเปลยนต าแหนง bv ไดดงทแสดงในรป


จากรป เราจะเหนไดวา การตอบสนองของโครงสรางตอแรงกระท า เมอความแกรงของชนสวน bd มคาเทากบศนย ( 0=bdA ) จะเหมอนกบการตอบสนองของโครงสราง ดงทแสดงในตวอยางท 5.2 และเมอความแกรงของชนสวน bd มคาเพมมากขนแลว limit point ของโครงสรางจะมคาเพมขนเรอยๆ


ตวอยางท 6.3ก าหนดใหชนสวนของโครงสราง ab เปนเสาทม 23 mm )12.7(10=A , 46 mm )10(6.36=I , และ

GPa 200=E จงท าการวเคราะหหาการตอบสนองของชนสวนของโครงสรางเมอ1.) 0=α2.) )10(25.1 4−=α

ท าการจ าลองชนสวนของโครงสรางใหเปนสองชนสวน ดงทแสดงในรป1.) เมอ 0=α

จากตวอยางท 5.3 เราจะได elastic critical load ของชนสวนของโครงสราง

kN 11292

2

==LEIPcre

π

จากสมการท 5.7 เราจะได elastic critical load ของชนสวนของโครงสรางkN 1137=refPλ

ซงเราจะเหนไดวา elastic critical load ของชนสวนของโครงสรางทหาไดจากทงสองวธมคาใกลเคยงกนมาก2.) เมอ )10(25.1 4−=α เราจะเขยนแผนภาพแสดงความสมพนธระหวางแรง P และการเปลยนต าแหนง

2u ได ดงทแสดงในรป

จากรป พบวา โมเมนตภายนอกทกระท าตอชนสวนของโครงสราง ซงมคานอยมาก ท าใหการตอบสนองตอแรงกระท าของชนสวนของโครงสรางเปลยนแปลงไป ดงทแสดงในรป


ตวอยางท 6.4ชนสวนของโครงสราง ab เปน straight elastic bar ม 23 mm )12.7(10=A , 46 mm )10(6.36=I ,

และ GPa 200=E จงท าการวเคราะหหาการตอบสนองของชนสวนของโครงสรางเมอ1.) 0=α

2.) 005.0=α3.) 005.0=α และแรง P มทศพงขน

ท าการจ าลองชนสวนของโครงสรางใหเปนสองชนสวน ดงทแสดงในรป1.) เมอ 0=α

จากตวอยางท 5.4 เราจะได elastic critical load ของชนสวนของโครงสราง

kN 11294 2

2

==LEIPcre

π

จากสมการท 5.7 เราจะได elastic critical load ของชนสวนของโครงสรางkN 1129=refPλ

ซงเราจะเหนไดวา elastic critical load ของชนสวนของโครงสรางทหาไดจากทงสองวธมคาเทากน2.) และ 3.) เมอ 005.0=α

จากการวเคราะหแบบ nonlinear เราจะไดการตอบสนองของชนสวนของโครงสรางตอแรงกระท าทเหมอนกบทเราไดในตวอยางท 5.4 ดงทแสดงในรป ตามล าดบ


ตวอยางท 6.5ก าหนดใหชนสวนของโครงสราง ดงทแสดงในรป เปน straight elastic bar มส าหรบชนสวน ab และ bc : 23 mm )25(10=A , 46 mm )10(636=I

ส าหรบชนสวน bd และ ce : 22 mm )17.6(10=A , 46 mm )10(861=Iและ GPa 200=E จงท าการวเคราะหหาการตอบสนองของโครงสรางโดย first-order elastic analysis และ second- order elastic analysis เมอ

1.) 0=α จงค านวณหา elastic critical load refcre PP λ=

2.) 01.0=α และ crePP 6.0= จงท าการเปรยบเทยบผลทไดจากการท า first-order elastic analysis และsecond-order elastic analysis

ท าการจ าลองชนสวนของโครงสรางแตละชนสวนเปน element เดยว ดงทแสดงในรป1.) ในกรณ 0=α

จากสมการท 5.7 เราจะได elastic critical load ภายใตแรงในแนวแกนเทากบkN 6630== refcre PP λ

2.) ในกรณ 01.0=α และแรงในแนวแกน kN 39786.0 == crePPเมอเราท าการวเคราะหโครงสรางโดยใช first-order elastic analysis และ second-order elastic analysis เมอ

แรงกระท า P อยในชวง 0-60% ของ creP แลว เราจะเขยนแผนภาพ moment diagram และแผนภาพแสดงความสมพนธระหวางแรง P และการเปลยนต าแหนง cu ของโครงสรางได ดงทแสดงในรป


จากรป เราจะเหนผลของ ∆−P effect ทเกดขนในโครงสรางอยางชดเจน โดยทคาโมเมนตทเกดขนในโครงสรางทไดจาก second-order elastic analysis จะมคามากกวาคาโมเมนตทไดจาก first-order elastic analysis อยางมาก


ตวอยางท 6.6ก าหนดใหชนสวนของโครงสราง ดงทแสดงในรป มหนาตดเปนรป wide-flange โดยทส าหรบชนสวน ab และ de : 2in 13.3=A , 4in 248=I

ส าหรบชนสวน bc และ cd : 2in 24.8=A , 4in 2850=Iและ ksi 29000=E จงท าการวเคราะหหาการตอบสนองของโครงสรางโดย

1.) ค านวณหา elastic critical load refcre PP λ=

2.) ท าการเปรยบเทยบผลทไดจาก first-order elastic analysis และ second- order elastic analysis

ท าการจ าลองเสาของโครงสรางเปนสอง element และท าการจ าลองคานของโครงสรางเปน element เดยวจากสมการท 5.7 เมอ refP เทากบ vector ของแรงกระท า เราจะได

20.2=λจากนน ท าการวเคราะหโครงสรางโดยใช first-order elastic analysis และ second-order elastic analysis เมอแรงกระท า P อยในชวง 0-100% ของ creP แลว เราจะเขยนแผนภาพ moment diagram และเขยนแผนภาพแสดงความสมพนธระหวางแรง P และการเปลยนต าแหนง du ได ดงทแสดงในรป

เชนเดยวกบทเราพบในตวอยางท 6.5 ผลของ ∆−P effect ทไดจาก second-order elastic analysis มคาสงมาก โดยทโครงสรางมการกระจายโมเมนตใหมเกดขน เชน คา moment ทจด b ของโครงสรางมการกลบทศทาง และมการเปลยนต าแหนงทจดดดกลบบน girder cd เปนตน


ตวอยางท 6.7ก าหนดใหชนสวนของโครง truss ดงทแสดงในรป ม 2-2 in )9.3482(10=A , 44 in )10(9542.6 −=I

และ ksi 29000=E จงท าการวเคราะหหาการตอบสนองของโครง truss โดยค านวณหา refcre PP λ= ของชนสวนของโครง truss และท าการเปรยบเทยบผลทไดจาก first-order elastic analysis และ second- order elastic analysis

ท าการจ าลอง bottom chord ของโครง truss เปนสอง element และท าการจ าลองชนสวนอนๆ ของโครง trussเปน element เดยว

จากสมการท 5.7 เราจะได elastic critical load ภายใตแรงในแนวแกนมคาเทากบlbs 210=creP

จากสมการท 5.7 เราจะหารปรางการโกงเดาะ (buckled configuration) ของโครง truss และจากสมการท 5.3 เราจะหารปรางการโกงตว (deflected shape) ของโครง truss ท critical load lbs 210=creP ไดดงทแสดงในรป

จากนน ท าการวเคราะหโครงสรางโดยใช first-order elastic analysis และ second-order elastic analysis เราจะเขยนแผนภาพแสดงความสมพนธระหวางแรง P และการเปลยนต าแหนงท node หมายเลข 6 6v ได ดงทแสดงในรป


จากรป เราจะเหนไดวา การตอบสนองของโครง truss แบบ nonlinear จะเรมเกดขนทแรงกระท ามคานอยกวาครงหนงของ elastic critical load นอกจากนนแลว การเปลยนต าแหนง 6v มการเปลยนทศทางเกดขนและมคาเพมขนอยางรวดเรวเมอแรงกระท ามคาเขาใกล critical load ดงกลาว


ตวอยางท 6.8ชนสวน ac ดงทแสดงในรป ถกค ายนทกงกลางความสงโดย elastic strut bd เมอ ksi 29000=E

1.) สมมตใหชนสวน ac เปน elastic straight bar จงเขยนแผนภาพแสดงความสมพนธระหวางแรง creP และพนท brA ของ elastic strut bd

2.) สมมตใหชนสวน ac ม initial offset 500/2L ทจด b และก าหนดให elastic strut ม 2in 27.1=brAจงจะเขยนแผนภาพแสดงความสมพนธระหวางแรง P และแรง brF ในตวค ายน

1.) โดยทวไปแลว elastic critical load creP ของเสาเรยวตรง ดงเชนชนสวน ac จะเกดการโกงเดาะในรปของ two half wave เมอความแกรงของค ายนมคามากกวาหรอเทากบสองเทาของคา critical load ของเสาหารดวยความยาวของเสา LPk ebr /2≥ โดยท

2

2

LEIPe

π= และ

br

brbr L

EAk =

ดงนน คาต าสดของ brk จะมคาเทากบ

kips/in. 744.2 156

2.18)000,29(156

22

2

=

=

πbrk

หรอ

2in 01136.0 000,29

)120(744.2

=

=brA

ท าการ model ชนสวน ac เปนส element จากนน ใชสมการท 5.7 โดยก าหนดให brA มคาตางๆ แลวท าการค านวณหา creP ซงเราจะเขยนแผนภาพแสดงความสมพนธระหวางแรง creP และพนท brA ไดดงทแสดงในรป (a)

จากรป เราจะเหนไดวา ประสทธภาพในการค ายนของค ายนทางดานขางจะขนอยกบคาก าลงและความแกรงของตวค ายนเอง เมอ LPk ebr /2< แลว ชนสวน ac จะเกดการโกงเดาะในรปของ single half wave และเมอไมมการค ายนทางดานขาง ชนสวน ac จะเกดการโกงเดาะเมอ critical load ของเสามคาเทากบ 22 4/ LEIπ

2.) เมอชนสวน ac ม initial offset เทากบ 500/2L in. 624.0500/)156(2 == ทจด b และ2in 27.1=brA แลว จากสมการท 5.3 และ model ทเราใชในกรณท 1 พบวา แรงในแนวแกนทเกดขนในค ายนมคา

ประมาณ kips 4.2 เมอ critical load มคา kips 215 และเราจะเขยนแผนภาพแสดงความสมพนธระหวางแรง P และแรง brF ไดดงทแสดงในรป (b)


6.2 แรงบดและแรงในแนวแกนกระท ารวมกนใน section ท 6.1 เราไดท าการวเคราะหโครงสรางทมการตอบสนองตอแรงกระท าในระนาบเดยว จาก section ท

1.6 และ 4.4 เราพบวา การบดรอบแกนของชนสวนของโครงสรางจะหามาไดโดยการพจารณาการเปลยนต าแหนงใน 3 มต ในทน เราจะพจารณาเฉพาะอทธพลของแรงในแนวแกนทมผลตอการบดของชนสวนของโครงสราง ซงจะถกตานทานโดย Saint Venant torque

พจารณาชนสวนของโครงสรางหนาตดสเหลยมผนผากลวง ดงทแสดงในรปท 6.2 ซงถกกระท าโดยแรงในแนวแกน 2xF และแรงบด 2xM ก าหนดใหการบดและการเปลยนต าแหนงในแนวแกนทปลายทางดานซายมอของชนสวนของโครงสรางมคาเปนศนย หนาตดของชนสวนของโครงสรางทระยะ x จากปลายดงกลาวจะมการหมนรอบแกนทผานจด centroid เปนมม xθ และจด p ทอยบนผนงของหนาตดจะมการเลอนต าแหนง ดงทแสดงในรปท 6.2b เมอการหมนมคานอยมากๆ แลว องคประกอบของการเลอนต าแหนงในระนาบของหนาตดจะอยในรป

xzv θ−= และ xyw θ=

ดงนน

dxdz

dxdv xθ−= และ

dxdy

dxdw xθ= (6.15)

รปท 6.2

จากสมการท 6.1 เราจะเขยนสมการของ finite strain ของ fiber ในแนวแกนทผานจด p ไดใหมอยในรป

+

+

+=

222

fin 21

dxdw

dxdv

dxdu

dxdue (6.1a)

ท าการพจารณาเฉพาะ geometric effect ทเกดขนเทานน จากสมการท 6.15 เราจะได

2

222

22

2gfin )(

21

21

+=

+

=

dxd

yzdxd

ydxd

ze xxx θθθ


ซงเปนสมการ warping strain ดงนน จากสมการท 6.2 สมการ virtual work จะเขยนไดในรป

dAdxyzdxd

W xx∫ +

=

vol

222

gint )(21 θ

δσδ

ก าหนดให AFxx /2=σ จากนน ท าการ integrate สมการขางตนตลอดพนทหนาตด เราจะได

∫

=

Lxx dx

dxd

AIF

W0

22

gint 21 θ

δδ ρ (6.16)

เมอ ∫ =+A

IdAyz ρ)( 22 เปน polar moment of inertia ของหนาตด

จากสมการท 6.4 ถง 6.8 ถาเราสมมตให xθ ม shape function เปนสมการเสนตรงแลว สมการท 6.16 จะให stiffness matrix อยในรป

1xθ 2xθ

[ ]

−

−=

1111

k 2g AL

IFx ρ (6.17)

ตวอยางท 6.9 แสดงการใชสมการท 6.17 รวมกบสมการท 1.27a ในการหา torsional critical load ของเสา


ตวอยางท 6.9ชนสวนของโครงสราง ดงทแสดงในรป ท าดวยเหลกมหนาตดสมมาตรสองแกนแบบ cruciform ถกยดรงไมใหเกด

การบดทปลายบนและปลายลางของชนสวนของโครงสราง ก าหนดให2in 48=A , 4in 1152== zy II

4in 2304=ρI , 4in 16=J , ksi 000,29=E , 3.0=ν

จงหา torsional critical load ของชนสวนของโครงสราง จากนน เปรยบเทยบผลลพธทไดกบ flexural critical load

ท าการ model ชนสวนของโครงสรางเปนสอง element ดงทแสดงในรปจากสมการท 1.27a เราจะได

[ ]

=LGJ

feK


[ ]

−=ALIPref

fρ

gK


221

xref

x GJAIP

θθλ

ρ=

ดงนน torsional critical load ของชนสวนของโครงสรางจะมคาเทากบ

kips 3718)2304)(3.1(2

)48)(16)(000,29(crt ====

ρ

λIGJAPP ref

flexural critical load ของชนสวนของโครงสรางจะมคาเทากบ

kips 5724240

)1152)(000,29(2

2

2

2

cry ===ππ

LEI

P y

เราจะเหนไดวา ชนสวนของโครงสรางขางตนจะขาดเสถยรภาพเนองจากการบด (torsional buckling) กอนการขาดเสถยรภาพเนองจากการดด ทงนเนองจากวา cruciform section มอตราสวนของ torsional rigidity ตอ flexuralrigidity ทต ามาก อยาไรกตาม ขอใหทราบดวยวา หนาตดของชนสวนของโครงสรางโดยสวนใหญจะไมถกควบคมโดยtorsional buckling


แบบฝกหดทายบทท 66.1 จงหา critical load และ nonlinear response ของโครงขอหมน ดงทแสดงในรป เมอชนสวน ab เปน elastic

member และชนสวน bc เปน rigid member ใช 0=α ในการหา critical load และ 0025.0=α ในการหา nonlinear response

6.2 จงค านวณหา critical load factor ของโครงขอแขง ดงทแสดงในรป ส าหรบ reference load ดงตอไปนbP ( kN ) cP ( kN )

1 2000 02 1333 6673 1000 1000

ในการค านวณแตละกรณใหท าการแบงชนสวนของโครงขอแขงออกเปน element ในรปแบบตางๆ กน และท าการเปรยบเทยบความแตกตางของค าตอบทได

6.3 จงค านวณหา critical load และ buckled shape ของโครงขอแขง ดงทแสดงในรป จากนน จงเปรยบเทยบผลของการวเคราะหแบบ linear และแบบ nonlinear เมอ cre5.0 PP =


6.4 เสาตรงและยดหยน ab ถกรองรบโดยชนสวน bc ทมพฤตกรรมแบบ linear spring ทจด b ดงทแสดงในรป ก าหนดใหชนสวนทงสองม MPa 000,200=Ea.) จงหาพนทหนาตดทนอยทสดของชนสวน bc ทท าใหเสา ab สามารถรองรบ Euler load ไดb.) จงวเคราะหหาความตานทานของเสาเมอชนสวน bc มพนทหนาตดนอยกวาทหาไดในขอ a.)c.) จงวเคราะหหาความตานทานของเสาเมอชนสวน bc มพนทหนาตดมากกวาทหาไดในขอ a.)d.) จากทงสามกรณ คาของแรง P ทจดเรมตนของการโกงเดาะมคาเทากบเทาใด

6.5 ก าหนดใหเสา ดงทแสดงในรปในปญหาขอ 6.4 ม initial offset mm 15 ทจด b ตามแนวแกน x จงวเคราะหหาความตานทานของเสาเมอa.) ชนสวน bc มพนทหนาตดเทากบคาทหาไดในขอ 6.4.ab.) ชนสวน bc มพนทหนาตดเทากบ 1/10 เทาของคาทหาไดในขอ 6.4.ac.) ชนสวน bc มพนทหนาตดเทากบ 10 เทาของคาทหาไดในขอ 6.4.a


บทท 7Material Nonlinear Analysis

ในบทน เราจะศกษาวธ matrix stiffness method เพอใชในการวเคราะหโครงสรางทมพฤตกรรมของวสดแบบไมเชงเสนตรง (material nonlinear) โดยมพนฐานมาจากสมการท 5.4 ส าหรบการวเคราะหโครงสรางทมพฤตกรรมของวสดแบบไมเชงเสนตรงเทานน และสมการท 5.5 ส าหรบการวเคราะหโครงสรางทมพฤตกรรมของวสดแบบไมเชงเสนตรงและแบบไมเชงเสนตรงทางเรขาคณต (geometric nonlinear) รวมกน โครงสรางทศกษาในบทนจะเปนโครงสรางทท าดวยวสดเหนยว (ductile material) ซงสามารถเปลยนแปลงรปรางไดสงมากโดยไมมการแตกหกและไมเกดการเสยเสถยรภาพแบบเปนจด (localized unstable) วสดเหนยวจะถกสมมตใหมพฤตกรรมแบบ elastic-perfectly plastic อยางไรกตาม วธการวเคราะหโครงสรางทจะศกษาจะถกจ ากดทวธขอหมนพลาสตก (plastic hinge method) เทานน เนองจากเปนวธการทสามารถใชวเคราะหโครงสรางทางวศวกรรมโยธาไดเปนสวนใหญ7.1 พฤตกรรมแบบไมเชงเสนตรงของวสด (Material nonlinear behavior)

การตอบสนองของโครงสรางแบบ geometric nonlinear มพนฐานทมาทคอนขางคลายกน ดงนน geometric stiffness matrix ทกลาวถงในบททผานมาจงสามารถใชในการวเคราะหโครงสรางไดทงแบบไมเชงเสนตรงยดหยน (elastic nonlinear) และแบบไมเชงเสนตรงไมยดหยน (inelastic nonlinear) แตพฤตกรรมของวสดแบบไมเชงเสนตรง (material nonlinear) มพนฐานทมาทแตกตางกนมาก ขนอยกบวสดทใชท าโครงสราง เชน พฤตกรรมการคลาก (yielding) ของเหลกจะแตกตางอยางสนเชงกบพฤตกรรมการแตกราวของคอนกรต เปนตน นอกจากนนแลว ในพฤตกรรม material nonlinearแตละแบบ เราอาจจะใชวธในการวเคราะหทแตกตางกนไดหลายวธ เชน ในกรณของเหลก พฤตกรรมการ yielding อาจจะถกวเคราะหแบบงายๆ ในรปของการวเคราะหขอหมนพลาสตก (plastic hinge analysis) จนถงขนสงซงอยในรปของการวเคราะหโดยใชวธไฟไนตอลเมนต (finite element analysis) แบบสามมตทมพนฐานมาจากทฤษฎกลศาสตรความตอเนอง (continuum mechanics) และทฤษฎพลาสตก (plasticity theory) และในกรณของคอนกรต พฤตกรรมการแตกราวอาจจะถกพจารณาอยางละเอยดมากในระดบของการพจารณารอยแตกแตละรอยจนถงอยางงายโดยการท า “smearing” รอยแตกตางๆ เขาดวยกนแลวพจารณาผลทงหมดทเกดจากการแตกราว ในบทน เราจะสนใจเฉพาะพฤตกรรมของวสดแบบไมเชงเสนตรงของโครงสรางทท าดวยวสดเหนยว (ductile material) เทานน

ในทางวศวกรรมโครงสราง เราจะแบงการพจารณาพฤตกรรมของโครงสรางออกเปน 4 ระดบตามขนาดของโครงสรางทเราก าลงพจารณาคอ

1. ระดบเลกมากๆ เปนจดและพนทรอบๆ จดดงกลาว2. ระดบหนาตดของโครงสราง3. ระดบความยาวทงหมดของโครงสราง4. ระดบระบบของโครงสรางในการวเคราะหโครงสรางแบบ linear elastic เราจะไมพจารณาหาหนวยแรงทจดเลกๆ บนโครงสราง แตเราจะ

มงไปหาการกระจายของหนวยแรงลพธ (stress resultant) บนหนาตดของโครงสราง ซงจะถกใชในการหาสมการความแกรงของชนสวนของโครงสราง (element stiffness equation) หรอสมการความยดหยนของชนสวนของโครงสราง (element flexibility equation) ทน าไปสการวเคราะหโครงสรางทงระบบไดโดยตรง แตในกรณของการวเคราะหโครงสรางแบบ nonlinear นน ในแตละระดบของการพจารณา เรามทางเลอกทจะท าการจ าลองโครงสรางหลายแบบ เพอศกษาพฤต


กรรมบางแงมมของโครงสราง ดงนน การแปลความหมายทไดจากการวเคราะหจงตองใชความรเกยวกบการท าจ าลองโครงสรางดวย7.1.1 ทฤษฎพลาสตก (Plasticity theory)

พจารณาชนสวนของโครงสรางขนาดเลกๆ (differential element) ทจดใดๆ บนโครงสรางทท าดวยวสดทมพฤตกรรมแบบ elastic-perfectly plastic ซงถกกระท าโดยหนวยแรงตางๆ ก าหนดใหความสมพนธของหนวยแรงและความเครยดของวสดมลกษณะดงทแสดงในรปท 7.1a และสภาวะของหนวยแรงหลก (principal stresses) ทจดทพจารณามลกษณะดงทแสดงในรปท 7.1b

ในทฤษฎพลาสตกมเทอมสองเทอมทเราตองทราบคอ yield function และ flow rule ซง yield function และ flow rule ทใชกนมากทสดจะหามาโดยใช Von Mises criterion และ Normality criterion ตามล าดบ

Von Mises criterion กลาววา ชนสวนทมขนาดเลกๆ ของโครงสรางหรอของชนสวนของโครงสรางจะมพฤตกรรมแบบยดหยน เมอ yield function f มคานอยกวา 2 2

yσ โดยท 2

312

322

21 )()()( σσσσσσ −+−+−=f (7.1)นอกจากนนแลว การ yielding ของวสดจะเกดขนเมอ yield function f มคาเทากบ 2 2

yσ และส าหรบวสดทมพฤตกรรมแบบพลาสตกโดยสมบรณแลว yield function f จะมคามากกวา 2 2

yσ ไมไดการตอบสนองของชนสวนของโครงสรางทอยในสภาวะ yielding ขนอยกบล าดบการกระท าของแรง โดยถกแบง

ออกเปนสามแบบคอ1. การเครยดแบบพลาสตกอยางงาย (simple plastic straining)2. การเครยดแบบพลาสตกและการเครยดแบบยดหยน (elastic straining) รวมกน3. การเครยดแบบยดหยนอยางงาย (simple elastic straining) ซงเปนการกลบมาอยในสภาวะยดหยนอกครง

หลงจากผานสภาวะการเครยดแบบพลาสตก

รปท 7.1

พจารณาสภาวะหนวยแรงในระนาบ (plane stress) เมอ 03 =σ ซงเราจะเขยน yield function f ไดในรป

12

2221

21 =

+−

yσσσσσ (7.2)


สมการท 7.2 นเปนสมการรปวงร ดงทแสดงในรปท 7.1c ซงมกจะถกเรยกวา yield locus ส าหรบในกรณของสภาวะหนวยแรงในสองมตขางตน หรอ yield surface ส าหรบในกรณของสภาวะหนวยแรงอยในสามมต

Flow rule แสดงความสมพนธของ plastic strain ทเพมขนกบหนวยแรงคาหนงและหนวยแรงทเพมขน ซง flow rule เกดจากแนวคดทวา ความเครยดทเกดขนในเนอวสด ije จะเทากบผลรวมของความเครยดยดหยนทคนตวได e

ije

(recoverable elastic strain) กบความเครยดพลาสตกทคนตวไมได pije (irrecoverable plastic strain) ดงทแสดงในรปท

7.1d หรอ p

ijeijij eee += (7.3)

เมอหนวยแรงทกระท าตอเนอวสดอยบน Von Mises yield surface แลว Normality criterion กลาววา ถาม plastic strain เกดขนในเนอวสดดงกลาวแลว plastic strain ลพธจะตองตงฉากกบ Von Mises yield surface ทจดทเกด plastic strain ดงนน ในกรณของรปท 7.1c incremental component ของ plastic strain ลพธจะอยในรป

ij

ypij

fde

σλ∂

∂= (7.4)

โดยท λ จะมคาไดไมจ ากด (indefinite) ถา plastic flow ไมถกยดรงแลว λ จะขนอยกบความตานทานของเนอวสดรอบๆ จดทเราพจารณา ถา plastic flow ถกยดรงแลว จากสมการท 7.4 เราจะเหนไดวา ถาไมม plastic strain พงเขาแลว incremental elastic strain จะตองสมผส (tangent) กบ yield surface ทจดดงกลาว

ส าหรบวสดทไมมพฤตกรรมแบบพลาสตกโดยสมบรณในชวง yielding เชน วสดทมพฤตกรรมแบบ bilinear elasto-plastic ซงมแผนภาพหนวยแรง-ความเครยด ดงทแสดงในรปท 7.2a เปนตน เรายงคงสามารถใช flow rule ในการวเคราะหโครงสรางได แตตองเพม hardening rule เขาไปดวยเพอทจะระบวา yielding surface ควรทจะถกปรบแกอยางไรในชวงทเกด plastic flow ซง hardening rule ทมกจะถกน ามาใชคอ isotropic hardening rule ซงสมมตให yielding surface เกดการขยายตวอยางสม าเสมอและ kinetic hardening rule ซงสมมตให yielding surface เกดการเลอนได ดงทแสดงในรปท 7.2b

รปท 7.27.1.2 การวเคราะหโครงสรางแบบพลาสตก (Plastic Analysis)

ในทางวศวกรรมโครงสราง การวเคราะหโครงสรางแบบ plastic analysis ถกน ามาใชในการวเคราะหโครงสรางทท าดวยวสดทมพฤตกรรมแบบ elastic-plastic ดงทแสดงในรปท 7.1a โดยมแนวคดพนฐานในการวเคราะหคอ ขอหมนพลาสตก (plastic hinge) และ mechanism formation

Plastic hinge concept กลาววา หนาตดของชนสวนของโครงสราง เชน หนาตดคานเหลกทถกกระท าโดยแรงในแนวแกน (axial force) และโมเมนตดด (bending moment) ดงทแสดงในรปท 7.3a เปนตน จะมพฤตกรรมการตอบสนองตอแรงกระท าสองแบบ ดงทแสดงในรปท 7.1a คอ


1. แบบยดหยนอยางสมบรณ (completely elastic) ถาหนวยแรงสงสดทเกดขนบนหนาตดดงกลาวมคานอยกวาหรอเทากบหรอ yielding stress yσ

2. แบบพลาสตกทงหนาตด (fully plastic) โดยมหนวยแรงดงและหนวยแรงกดอดเทากบ yσ

รปท 7.3

พฤตกรรมการตอบสนองตอแรงกระท าแบบทสองนเปนรปแบบของพฤตกรรมแบบ plastic hinge ซงหนาตดของโครงสรางทมพฤตกรรมแบบนจะมความเครยดพลาสตก (plastic strain) เกดขนไดอยางไมจ ากด ถาหนาตดดงกลาวไมถกยดรงโดยสวนของชนสวนของโครงสรางทเหลออยแลว สมการ bilinear formula ทมกถกใชในการวเคราะหแบบพลาสตก (plastic analysis) ของคานหนาตด wide flange ทถกกดอดและถกดดรวมกนรอบแกนหลกจะอยในรป

ppy

MMPPM ≤

−= 118.1 (7.5)

เมอ yP เปน squash load ซงมคาเทากบพนทหนาตดคณดวย yσ และ pM เปนพลาสตกโมเมนต (plastic moment)ซงมคาเทากบ plastic section modulus Z คณดวย yσ รปท 7.3b แสดงแผนภาพของสมการท 7.5 ซงอยในรปของ interaction diagram และจะถกเรยกวา stress resultant yield surface

mechanism formation เปนการวเคราะหโครงสรางโดยสมมตใหวสดทใชท าโครงสรางมพฤตกรรมแบบแกรง-พลาสตก (rigid-plastic analysis) โดยจะเปนการวเคราะหหาคาแรงทนอยทสดทท าใหเกด plastic hinge mechanism ทเรยกวา plastic limit load และจะไมพจารณาถงการเปลยนแปลงรปรางแบบยดหยน (elastic) ของโครงสราง

ตวอยางท 5.6 ดงทแสดงอกครงในรปท 7.4a แสดงการใชสมการ yield surface (สมการท 7.5) ในการหา plastic limit load จากตวอยาง เราจะหาต าแหนงของ critical plastic hinge และสมการความสมดลของคานไดโดยงาย แตกรณเชนนมกจะไมพบในทางปฏบต ดงนน โดยทวไปแลว ในการวเคราะหโครงสรางแบบ plastic analysis เรามกจะท า first-order inelastic analysis ซงจะชวยใหเหนพฤตกรรมของโครงสรางไดละเอยดและใกลเคยงมากขนกวาพฤตกรรมของโครงสรางทไดจากการใชสมการ yield surface ดงทแสดงในรปท 7.4b

รปท 7.4


หลกการส าคญของ first-order inelastic analysis คอ การท าการวเคราะหโครงสรางแบบยดหยนเชงเสนตรงเปนล าดบขน (piecewise linear elastic analysis) โดยทวธการดงกลาวจะสามารถหาต าแหนงการเกด plastic hinge เมอแรงกระท ามคามากขนเรอยๆ จนกระทงโครงสรางเกด plastic hinge ได วธการนสามารถหาการกระจายกลบ (redistribution)ของความตานทานของหนาตดตอ plastic hinge ทถกก าหนดโดย yield surface ได นอกจากนนแลว วธการนยงสามารถหาความเปนไปไดของการคนตวกลบสสภาวะยดหยนจาก yield surface อกดวย7.1.3 ขอสงเกตเพมเตม

Plastic analysis ทกลาวถงไปแลวนนเหมาะสมทจะใชในทางปฏบต แตไมไดพจารณาถงการเกดขนอยางตอเนองของโซนทไมยดหยน (inelastic zone) (ดตวอยางท 5.5) และผลกระทบขางเคยงอนๆ ทน าไปสการขาดเสถยรภาพของโครงสราง (ดตวอยางท 5.7) ซงเราจะท าการวเคราะหโครงสรางทมพฤตกรรมดงกลาวไดโดยใชโปรแกรม finite element ทออกแบบมาเพอท าการวเคราะหโครงสรางทมพฤตกรรมแบบ geometric nonlinearity และ material nonlinearity รวมกน

ในการออกแบบโครงสรางโดยวธพลาสตก (plastic design) มาตรฐานการออกแบบไดชดเชยความไมสมบรณของ plastic analysis ขางตนไวในรปแบบตางๆ แลว เชน AISC Specification for Structural Steel Buildings ป 1989 ในสวนของ plastic design ก าหนดใหก าลงสงสดของโครงสรางเหลกชนเดยวหรอสองชนจะหาไดจาก plastic analysis โดยไมจ าเปนตองตรวจสอบเสถยรภาพของโครงสราง และในกรณของชนสวนของโครงสรางทถกกระท าโดยแรงในแนวแกนรวมกบโมเมนตดด เราควรออกแบบชนสวนของโครงสรางโดยใชสมการ interaction สองสมการตอไปน

0.11

≤

−

+

me

m

cr MPPMC

PP

ppy

MMMM

PP

≤≤+ 0.118.1

(7.6)

เมอ P และ M เปนแรงในแนวแกนและโมเมนตดดสงสดทเกดขนในชนสวนของโครงสราง โดยทสมการแรกเปนสมการ empirical ทใชในการควบคมเสถยรภาพของชนสวนของโครงสรางและสมการทสองควบคม plastic hinge ทเกดขนในชนสวนของโครงสราง7.2 การใชวธ plastic hinge ในการวเคราะหโครงสรางทท าดวยวสดเหนยว

พจารณาชนสวนของโครงสราง ดงทแสดงใน section ท 6.1 และสมมตใหชนสวนของโครงสรางดงกลาวท าดวยวสดเหนยว (ductile material) และมพฤตกรรมของวสดแบบ nonlinear ดงตอไปน

1. การเปลยนแปลงรปรางแบบพลาสตก (plastic deformation) ถกจ ากดใหมความยาวนอยมากและเกดขนเฉพาะทปลายของชนสวนของโครงสราง ดงทแสดงในรปท 7.5a

2. วสดทท าโครงสรางมพฤตกรรมแบบ linearly elastic-perfectly plastic โดยไมมพฤตกรรมแบบ strain-hardening เกดขน ดงทแสดงในรปท 7.5b

3. ไมพจารณาถงผลของหนวยแรงเฉอนและหนวยแรงซงตงฉากกบแกนของชนสวนของโครงสราง เมอชนสวนของโครงสรางมการเปลยนแปลงรปรางแบบพลาสตกเกดขน

4. ปลายของชนสวนของโครงสรางจะเปลยนพฤตกรรมจาก fully elastic เปน fully plastic อยางทนททนใด ดงนน แรงกระท ารวม (แรงในแนวแกนและโมเมนตดด) ทกอใหเกดการ yielding ทหนาตดจะถกสมมตใหเปน


แรงทท าใหหนาตดของชนสวนโครงสรางทงหนาตดมพฤตกรรมแบบพลาสตกทวทงหนาตดโดยพรอมกนดวย ดงทแสดงในรปท 7.5b

5. การเปลยนแปลงรปรางแบบพลาสตกเปนไปตาม normality criterion

รปท 7.57.2.1 Yield surface และ Plastic reduction matrix

ในทน เราตองการหา plastic reduction matrix [ ]mk ซงเราจะท าไดโดยใชวธการหา plastic reduction factor โดยใช plasticity theory และ plastic analysis ทกลาวไปแลวใน section ท 7.1 และ stress resultant yield surface concept ซงจะสมมตให yield surface ดงกลาวเปน continuous convex function ของแรงในแนวแกนและโมเมนตดดทเกดขนบนหนาตดของชนสวนของโครงสราง ดงทแสดงในรปท 7.6a ซงจะเขยนไดอยในรป

1),( =Φ mp (7.7)เมอ yx PFp /= เปนอตราสวนของแรงในแนวแกนตอ squash load ( yAσ ) และ pzz MMm /= เปนอตราสวนของโมเมนตดดตอ plastic moment ( yzZ σ )

รปท 7.6

ในทางปฏบตแลว ฟงกชน Φ จะหาไดจากการทดสอบหนาตดของชนสวนของโครงสราง โดยท


1. เมอพกด ( pm, ) อยภายใน yield surface แลว พฤตกรรมของหนาตดของชนสวนของโครงสรางดงกลาวจะเปนแบบ fully elastic

2. เมอพกด ( pm, ) อยท yield surface แลว พฤตกรรมของหนาตดของชนสวนของโครงสรางดงกลาวจะเปนแบบ fully plastic

3. พกด ( pm, ) จะอยนอก yield surface ไมได เนองจากขดแยงกบสมมตฐานทวา พฤตกรรมของวสดทท าโครงสรางเปนแบบ elastic-perfectly plastic

เพอเปนตวอยาง พจารณารปท 7.6a จากรป ก าหนดใหปลายหมายเลข 1 ของชนสวนของโครงสรางมพกด ( pm, ) อยท yield surface คอ ( 11, pm ) (ยงคงมพฤตกรรมแบบ fully plastic) และปลายหมายเลข 2 ของชนสวนของโครงสรางมพกด ( pm, ) อยดานในของ yield surface คอ ( 22 , pm ) (ยงคงมพฤตกรรมแบบ fully elastic) เมอแรงกระท าตอชนสวนของโครงสรางมคาเพมขนอกเลกนอยแลว พกด ( 22 , pm ) ทปลายหมายเลข 2 อาจจะยายต าแหนงไปในทศทางใดๆ กได แตพกด ( 11, pm ) ทปลายหมายเลข 1 จะยายต าแหนงไปไดในสองทศทางเทานน ซงขนอยกบการตอบสนองตอแรงกระท าของสวนของชนสวนของโครงสรางทเหลอ (ยงคงมพฤตกรรมแบบ fully elastic) โดยท

1. ปลายหมายเลข 1 ยงคงมพฤตกรรมเปนแบบ plastic โดยทพกด ( pm, ) เคลอนทไปตาม yield surface2. ปลายหมายเลข 1 เกดการ unload อยาง elastic โดยทพกด ( pm, ) จะเคลอนทไปอยภายในเสนกราฟพจารณากรณแรกซงพฤตกรรมทปลายหมายเลข 1 ยงคงเปนแบบ plastic โดยเราจะสมมตให resultant

incremental displacement ทปลายดงกลาวประกอบดวยสวนทเปน elastic และสวนทเปน plastic pe ddd ∆∆∆ += (7.8)

นอกจากนนแลว เราจะสมมตใหพฤตกรรมดงกลาวเปนไปตาม normality criterion ดงนน จากรปท 7.6b เราจะไดวา 111 G∆ λ=pd (7.9)

เมอ 1G เปน gradient ของพนผวทจดดงกลาว

∂Φ∂

∂Φ∂

=

1

11

z

x

M

FG (7.10)

และ 1λ เปนตวคณของการเปลยนรปรางแบบพลาสตก ซงจะมคาอนนตส าหรบปลายของชนสวนของโครงสรางทมการยดรงอยางแนนหนา เชน ปลายยดแนนของคานยน (cantilevered beam) เปนตน และจะหาไดจากสมการท 7.14 เมอปลายของชนสวนของโครงสรางถกยดรงโดยชนสวนของโครงสรางทอยตดกน

ในกรณทการเปลยนรปรางแบบพลาสตกเกดขนทปลายทงสองของชนสวนของโครงสราง เราจะไดวา

[ ] λGG

G∆∆

∆ =

=

=2

1

2

1

2

1

00

λλ

p

pp d

dd (7.11)

Matrix G นมความส าคญมากในการหา plastic reduction matrix องคประกอบทไมเปนศนยของ matrix G จะอยทปลายของชนสวนของโครงสรางทเกดการเปลยนรปรางแบบพลาสตกเพอลดความตานทานตอการยดหรอหดตวในแนวแกนและการหมน และเพอท าใหผลของการเปลยนแปลงรปรางแบบยดหยนตอการเปลยนแปลงรปรางทงหมดสมผส (tangent) กบ yield surface ทพกด ( mp, ) ดวยเหตผลดงกลาว การเปลยนแปลงทเกดขนใน vector ของแรงทจดดงกลาวจะมความสมพนธกนแบบยดหยนกบ vector ของการเปลยนต าแหนงหรอ

[ ] ee dd ∆kF = (7.12)


เมอ [ ]ek เปน elastic stiffness matrix ของชนสวนของโครงสราง ดงนน ส าหรบจดใดจดหนงบน yield surface แลว การเพมขนของแรงจะ tangent กบจดดงกลาว รปท 7.6c แสดงใหเหนถงกรณทการเพมขนของแรงละเมดขอก าหนดทวา แรงดงกลาวตองเคลอนทไปตาม yield surface ซงจะตองแกไขตามขนตอนทจะกลาวถงใน section ท 8.6

จากสมการท 7.11 และคณสมบต orthogonality ของการเปลยนรปรางแบบพลาสตกและ vector ของแรงทเพมขน (incremental force) ทค านวณได เราจะไดวา

[ ] 0== FGλF∆ ddd TTTp

และเนองจาก Tλ จะเปนคาใดๆ กได ดงนน [ ] 0=FG dT (7.13)

จากความสมพนธขางตน เราจะหาสมการทแสดงความสมพนธของการเปลยนรปรางแบบพลาสตกและ force increment ตอการเปลยนแปลงรปรางทเพมขนทงหมด ไดโดยใชสมการท 7.8, 7.11, 7.12, และ 7.13 และเมอเราท าการแกสมการหา λ เราจะไดวา

[ ] [ ][ ][ ] [ ] [ ] ∆kGGkGλ deT

eT 1−

= (7.14)ในท านองเดยวกน โดยใชสมการท 7.8, 7.11, 7.12, และ 7.14 และท าการแกสมการหา Fd เราจะไดวา

[ ] [ ][ ] ∆kkF dd me += (7.15)เมอ

[ ] [ ][ ][ ] [ ][ ][ ] [ ] [ ]eTe

Tem kGGkGGk k

1−−= (7.16)

ซงเปน element plastic reduction matrixถาการกระจายของแรงทเกดขนภายใตการเพมขนของแรงกระท าตอโครงสรางลดความตานทานของหนาตดตอ

แรงลง หลงจากทม plastic hinge เกดขนทหนาตดใดหนาตดหนงของโครงสรางแลว หนาตดดงกลาวอาจจะเกดการ unload อยาง elastic ซงจะเหนไดจากการท λ vector ทค านวณไดจากสมการท 7.14 มองคประกอบทเปนลบ และเราควรทจะเพมแรงกระท าดงกลาวตอโครงสรางอกครงและการวเคราะหควรทจะด าเนนตอไปจนกระทง surface gradient ทไดเปน null vector7.2.2 นยามของ yield surface

การทเราจะน าสมการท 7.16 ไปประยกตใชไดนน เราจะตองท าการก าหนดสมการของ stress resultant yield surface ซงมมตเทากบจ านวนของหนวยแรงลพธทถกพจารณาในการหาการเปลยนรปรางแบบพลาสตกทหนาตดของชนสวนของโครงสรางและจะมรปแบบเปนฟงกชนของรปรางของหนาตดของชนสวนของโครงสราง ในทางทฤษฏแลว stress resultant yield surface อาจจะเปน hypersurface ทมหกมตได แตในการท า plastic hinge analysis ของโครงสรางซงท าดวยวสดเหนยว โดยไมพจารณาผลของความเครยดเฉอนเนองจากการบดและแรงเฉอน จะท าให stress resultant yield surface มเพยงแคสามมตเทานนคอ แกนของแรงในแนวแกนหนงแกนและแกนของโมเมนตดดอกสองแกน ดงตวอยางทแสดงในรปท 7.7a และรปแบบของฟงกชนดงกลาวจะหามาไดโดยใชสมการของความสมดลของหนาตดสามสมการ โดยทส าหรบวสดทมพฤตกรรมแบบ elastic-perfectly plastic เราจะสมมตใหจดคลาก (yield point) ในกรณของแรงดงเทากบจดคลากในกรณของแรงกดอด และส าหรบหนาตดแบบ wide-flange ทมความสมมาตรสองแกนแลว stress resultant yield surface อาจจะแสดงไดโดยใช octant หนงของ three-dimensional surface ดงทแสดงในรปท 7.7a


รปท 7.7

เสนประ ดงทแสดงในรปท 7.7b แสดงถงเสนของ stress resultant yield surface ของหนาตด 30W12× ทถกดดรอบแกนหลกและรอบแกนรอง ซงไดมาจากการทดสอบโครงสราง เราจะเหนไดวา สมการท 7.5 ใหผลลพธทใกลเคยงกบเสนของ stress resultant yield surface ของหนาตดทถกดดรอบแกนหลก นอกจากนนแลว ในทางปฏบต เรามกจะก าหนดให สมการ bilinear formula ทใชในการท าวเคราะหโครงสรางแบบพลาสตกของคานหนาตด wide flange ทถกดดรอบแกนรองอยในรป

ppy

MMPPM ≤

−=

2

119.1 (7.17)

ซงเราจะเหนไดจากรปท 7.7c วา สมการท 7.17 ใหผลลพธทใกลเคยงกบเสนของ stress resultant yield surface ของหนาตดทถกดดรอบแกนรอง ซงไดมาจากการทดสอบโครงสราง

ในตวอยางการค านวณใน section ท 7.4 เราใช stress resultant yield surface ของหนาตดทถกดดรอบแกนหลกอยในรปของ continuous function

15.435.3),,( 222622422 =+++++=Φ yzyzyzzy mmmpmpmmpmmp (7.18)ซงสมการท 7.18 นกใหผลลพธทใกลเคยงกบผลทไดมาจากการทดสอบโครงสราง ดงทแสดงโดยเสนประในรปท 7.77.3 ทฤษฎน าหนกวกฤตแบบไมยดหยน

ส าหรบเสาทมลกษณะเปน Euler column เราทราบมาแลววา แรงวกฤต (critical load) ทท าใหเสาดงกลาวเกดการโกงเดาะ (buckling) จะอยในรป

2

2

LEIP Eulercr

π=

ถาเสาดงกลาวท าดวยวสดแบบ elastic-perfectly plastic ดงทแสดงในรปท 7.1 แลว ความตานทานของเสาดงกลาวจะมคานอยกวาของ Euler column ส าหรบเสายาว หรอนอยกวา squash load yy AP σ= ส าหรบเสาสน

ทฤษฏการโกงเดาะของเสาทท าดวยวสดแบบ elastic-perfectly plastic ทไดรบการยอมรบมากคอ tangent modulus theory ซงไดมาจากการสงเกตการทดสอบเสาทวา ความสมพนธระหวางแรงและการหดตวของเสาทท าดวยเหลกโครงสรางจะขนอยกบหนวยแรงคงคาง (residual stres)s ทเกดจากขบวนการผลตเหลก ซงท าใหแผนภาพหนวยแรง-ความเครยดของเหลกมลกษณะดงทแสดงในรปท 7.8b จดทอยต ากวาพกดปฏภาค (proportional limit) pσ จะมพฤต


กรรมแบบยดหยน จดทอยเหนอ proportional limit จะมพฤตกรรมแบบไมยดหยน ซงความชนของกราฟในชวงนจะถกเรยกวา tangent modulus tE

รปท 7.8

Tangent modulus theory กลาววา ส าหรบเสาตรงทมหนวยแรงวกฤตยดหยน (elastic critical stress) สงกวา pσ แลว เสาจะเกดการโกงเดาะทน าหนกบรรทกวกฤตเทากบ

2

2

LIE

P tcri

π= (7.19)

โดยท tangent modulus จะหาไดจากสมการ

−=

yyt EE

σσ

σσ 14 (7.20)


ตวอยางท 7.1พจารณาพฤตกรรมการโกงเดาะของเสารอบแกนรองของเสาเหลก ดงทแสดงในรป ก าหนดให 2in 13.9=A ,

4in 1.37=I , 3in 1.14=Z , in. 02.2=r , ksi 000,29=E , และ ksi 50=yσ

1.) เมอ ft 10=La.) จงหา elastic critical load และ inelastic critical load ของเสาb.) สมมตใหเสามการโกงตวเรมตนเปนแบบ parabolic มคาเทากบ 1000/L จงท าการวเคราะหเสาโดย

ใช second-order elastic analysis และ second-order inelastic analysis2.) จงใช second-order inelastic analysis ในการหาความตานทานของเสา เมอ slenderness ratio ของเสา

อยในชวง 200/0 ≤≤ rL จากนน ท าการเปรยบเทยบผลทไดกบสมการออกแบบเสาของ AISC LRFD

1.) เมอ ft 10=L แลว เสาดงกลาวจะเปน intermediate colunma.) Euler (elastic) buckling load ของเสาจะหาไดจากสมการ

kips 4.737120

1.37)000,29( 2

2

2

2

==

=

π

πLEIPcre

inelastic critical load ของเสาจะหาไดจากสมการท 7.19

)13.9(120)1.37(

2

2tcri

criE

AP π

σ == (1)

และจากสมการท 7.20

−=

501

50)000,29(4 cricri

tEσσ (2)

เมอแกสมการเชงซอนสมการ (1) และสมการ (2) แลว เราจะได tangential modulus มคาเทากบksi 200,15=tE

จากสมการ (1) เราจะได inelastic critical stress และ inelastic critical load มคาเทากบksi 26.42=criσ

kips 8.385=criPซงเราจะเหนไดวา elastic critical load ทค านวณไดมคามากกวา inelastic critical load ถง 1.91 เทา ซงแสดงใหเหนวาresidual stress ทเกดขนในเหลกท าให critical load ของเสาดงกลาวลดลงอยางมาก


b.) ท าการจ าลองเสาเปนส element ดงทแสดงในรป จากสมการท 5.3 ส าหรบ second-order elastic analysis และสมการท 5.5 ส าหรบ second-order inelastic analysis เราจะเขยนแผนภาพแสดงความสมพนธระหวางแรง P และระยะการโกงตว cu ได ดงทแสดงในรป ขอใหทราบดวยวา ในการท า second-order inelastic analysis นน คา effective modulus จะถกลดคาลงโดยใชสมการท 7.20

จากรป เราจะเหนไดวา elastic critical load และ inelastic critical load ทค านวณไดมคาใกลเคยงกบทหาไดในกรณ a.) (เสาเปนเสาทสมบรณ) เปนอยางมาก แตลกษณะการตอยสนองตอแรงกระท ามความแตกตางกน

2.) โดยการใช second-order inelastic analysis (สมการท 5.5) วเคราะหเสา เมอ slenderness ratio มอยในชวง 200/0 ≤≤ rL เราจะเขยนแผนภาพแสดงความสมพนธระหวางแรง P และคา slenderness ratio rL / ได ดงทแสดงในรป

สมการออกแบบเสาของ AISC LRFD อยในรป ycr σσ λ )658.0(

2

= เมอ 5.1≤λ


ycr σλ

σ

= 2

877.0 เมอ 5.1>λ

โดยท

ErKL yσπ

λ =

เมอแทนคาตางๆ ลงในสมการขางตน เราจะไดวา y

rLcr σσ )658.0(

2)/(000175.0= เมอ 5.1≤λ

ycr rLσσ

= 2)/(

2.5020 เมอ 5.1>λ

เมอน าสมการขางตนมาเขยนแผนภาพแสดงความสมพนธระหวางแรง P และคา slenderness ratio rL / เราจะไดเสนกราฟ ดงทแสดงในรป ซงใกลเคยงกบเสนกราฟทไดจากสมการท 5.5 โดยมความแตกตางสงสดประมาณ 14%เทานน


ตวอยางท 7.2ก าหนดใหเสาตอเนอง (continuous column) มลกษณะดงทแสดงในรป ท าดวยเหลกซงม ksi 000,29=E ,

และ ksi 33=yσ นอกจากนนแลว ก าหนดใหชนสวน bc ม 2in 13.9=A , 4in 1.37=I และชนสวน ab ม 2in 6.17=A , 4in 0.116=I

1.) จงหา critical load ของเสาและหนวยแรงทเกดขนในแตละชนสวนของเสา2.) ท าการเปรยบเทยบผลทไดจากขอ 1 กบคา critical load ของเสาทหามาไดจากการสมมตใหแตละชนสวนท

ถกรองรบโดยหมด

1.) จากสมการท 5.7 และท าการจ าลองชนสวนของเสาแตละสวนเปนส element เราจะไดkips 5.265=crP

ดงนน หนวยแรงทเกดขนในแตละชนสวนของเสาท critical load จะมคาเทากบชนสวน bc

ksi 1.2913.9

5.265==crσ

ชนสวน ab

ksi 1.156.175.265==crσ

ซงเราจะเหนไดวา ชนสวน bc มพฤตกรรมอยในชวง inelastic เนองจาก crσ ของชนสวน bc มคาสงใกลเคยงกบ yσ

จากสมการท 7.20 EEt 417.0= แตชนสวน ab มพฤตกรรมอยในชวง elastic เนองจาก crσ ของชนสวน ab มคาต ากวา yσ มาก จากสมการท 7.20 EEt 993.0=

ขอใหทราบดวยวา การค านวณหา critical load ขางตนเปนการพจารณาพฤตกรรมของเสาแบบ elastic รวมกบแบบ inelastic ซงท าไดโดยใช algorithm ทจะกลาวถงตอไปใน section ท 8.8

2.) สมมตใหแตละชนสวนของเสาถกรองรบโดยหมดชนสวน bcจากตวอยางท 7.1 เราจะไดวา ksi 500,14=tE , ksi 1.28=crσ , และ inelastic critical load มคาเทากบ

crcri PP kips 1.256144

)1.37)(500,14(2

2

<==π

ชนสวน ab จากสมการของ Euler เราจะไดวา elastic critical load มคาเทากบ

crcre PP kips 1.294336

)116)(000,29(2

2

>==π


ซงเราจะเหนไดวา การวเคราะหเสาโดยสมมตใหแตละชนสวนทถกรองรบโดยหมดจะใหคา critical load ของเสาทแตกตางไปจากการวเคราะหเสาโดยการพจารณาทงเสารวมกน โดยทคา inelastic critical load ทค านวณไดมคาต ากวาในกรณแรก ส าหรบชนสวน bc และคา elastic critical load ทค านวณไดมคาสงกวาในกรณแรก ส าหรบชนสวน ab


ตวอยางท 7.3จงหา critical load และรปรางการโกงเดาะของโครงสราง ดงทแสดงในรป เมอ ksi 000,29=E , และ

ksi 36=yσ โดยใชสมการท 5.7 และท าการจ าลองชนสวนของโครงสรางเปนสอง element

1.) พจารณากรณทการเซถกปองกนไมใหเกด (sidesway prevented) และกรณทการเซเกดขนไดอยางอสระ (sidesway permitted) จากการค านวณโดยใชโปรแกรม MASTAN2 เราจะได critical load และรปรางการโกงเดาะของโครงสรางในแตละกรณ ดงทแสดงในรป ตามล าดบ

จากผลการค านวณพบวา elastic critical load creP ของโครงสรางทไดมคาสงกวา elastic critical load criPของโครงสรางทงสองกรณ ซงแสดงใหเหนวา คา criP จะเปนตวก าหนดก าลงของโครงสราง และ critical load ของโครงสรางในกรณทการเซถกปองกนมคาสงกวา critical load ของโครงสราง ในกรณทการเซเกดขนไดอยางอสระมาก ทงนเนองจากวา เสาของโครงสรางในกรณทการเซถกปองกนมความยาวประสทธผล (effective length) ทคอนขางสน ท าใหก าลงของวสดเปนตวก าหนด critical load ของโครงสรางมากกวาวา เสาของโครงสรางในกรณการเซเกดขนไดอยางอสระ

2.) พจารณากรณทการเซของโครงสรางถกปองกนไมใหเกด (sidesway permitted) จากการค านวณโดยใชโปรแกรม MASTAN2 เราจะได elastic critical load kips 400,14=creP และ inelastic critical load

kips 346,1=criP และโครงสรางจะมรปรางการโกงเดาะในแตละกรณ ดงทแสดงในรป ตามล าดบ

จากการวเคราะหพบวา การตอบสนองของโครงสรางในกรณท 2 ตอแรงกระท าจะแตกตางกบการตอบสนองของโครงสรางในกรณท 1 ขางตน โดยทเสาตนนอกสองตนของโครงสรางจะท าหนาทค ายนตานทานตอการเกดการเซใหกบเสาตนกลางทถกกระท าโดยแรงกดอด โดยท inelastic critical load ของโครงสรางมคาต ากวา elastic critical load เปนอยางมาก ดงนน inelastic critical load ของเสาตนกลางจงเปนตวก าหนด critical load ของโครงสราง


ตวอยางท 7.4ก าหนดใหชนสวนของโครงสรางม 2in 1.19=A , 4in 533=I , 3in 8.96=Z , ksi 000,29=E , และ

ksi 50=yσ ดงตวอยางท 5.61.) จงเปรยบเทยบผลทไดจาก first-order inelastic analysis และ second-order inelastic analysis2.) จงหาความสมพนธระหวางการเปลยนแปลงรปรางแบบพลาสตกกบการแรงกระท าทเพมขน เมอชนสวนของ

โครงสรางม plastic hinge ตวแรกเกดขน โดยการท า first-order analysis

1.) ท าการจ าลองชนสวนของโครงสราง abc เปนสอง element คอ ab และ bc เนองจากจด a และจด bเปนจดทคาดวาจะเกด plastic hinge

จากตวอยางท 5.6 เราไดวา plastic hinge ตวแรกจะเกดขนท a โดยทkips 955)50(1.19 ==yP

kips-in. 4840)50(8.96 ==pMจากสมการท 7.18 yielding surface จะอยในรป

1)10(62.4

5.34840955

2

6

22

=

+

+

PMMP (a)

จากสมการท 5.4 และ 5.5 เราจะไดความสมพนธของแรงกระท าและคาการเปลยนต าแหนงในแนวดงทจด bของชนสวนของโครงสรางและความสมพนธของแรงกระท าและโมเนตดดดงตอไปน

จากรป เราจะเหนไดวา เนองจากเราใช yielding surface ทใกลเคยงกบ yielding surface ในตวอยางท 5.6 ดงนน ผลการวเคราะหโดย first-order inelastic analysis ทไดจงมคาใกลเคยงกบทไดในตวอยางท 5.6 มาก อยางไรกตาม ในการวเคราะหโดย second-order inelastic analysis คา limit point ทไดมคานอยกวา plastic limit load ทไดจากตวอยางท 5.6 ประมาณ 5%

2.) โดยใช first-order analysis เราไดวา plastic hinge ตวแรกจะเกดขนท a โดยทkips 3.259=P


kips-in 4148=aMดงนน 2719.0955/7.259 ==p และ 8507.04840/2.4151 ==m

002036.072 2

=+=∂Φ∂

yy Ppm

Pp

P

0004461.072 2

=+=∂Φ∂

pp Mmp

Mm

Mจากสมการท 7.9

==000446.0002036.0

aaapad λλ G∆


0000446.0002036.0

=

=

a

aT

a

aTa dM

dPdMdP

G

aa dPdM 564.4−=

จากตวอยางขางตน ขอใหเราทราบดวยวา ในการใชสมการท 5.4 และ 5.5 ในการหาความสมพนธของแรงกระท าและคาโกงตวชนสวนของโครงสรางและความสมพนธของแรงกระท าและโมเนตดดนน เรมตน [ ]mK matrix จะเปน null matrix และการวเคราะหจะเรมจากการวเคราะหแบบ first-order elastic analysis จากนน plastic hinge ตวแรกจะถกตรวจพบโดยใช algorithm ทมพนฐานมาจากการหาระยะทางจากสภาวะทก าลงถกค านวณถง yield surface รวมกบ iterative procedure ดงทแสดงใน section ท 8.6 จากนน ท าการหาความสมพนธระหวาง vector ของการเปลยนแปลงรปรางพลาสตกและ incremental force ท plastic hinge ดงกลาว โดยใชสมการท 7.9 และ 7.13 ตามล าดบ โดยทเรายงคงไมทราบขนาดขององคประกอบของของการเปลยนแปลงรปรางแบบพลาสตกและ incremental force จนกระทงเราท าการวเคราะหขนตอนถดไป ถงจดนแลว [ ]mK matrix ทไดจะไมเปน null matrix อกตอไป ซงเราจะท าการหา [ ]mK matrixไดโดยใชสมการท 7.16 จากนน แทน [ ]mK ลงในสมการท 7.6 เพอท า global analysis โดยทคาของแรงทจด a จะถกยดรงใหเคลอนทในแนว tangent กบ yield surface ทจดดงกลาว โดยมขนตอนการค านวณ ดงทแสดงใน section ท 8.6


ตวอยางท 7.5ชนสวนของโครงสราง ดงทแสดงในรป มหนาตด wide-flange โดยทส าหรบชนสวน ab และ de : 2in 13.3=A , 4in 248=I

ส าหรบชนสวน bc และ cd : 2in 24.8=A , 4in 2850=I ,ก าหนดให ksi 36=yσ และ ksi 29000=E (ตวอยางท 6.6) จงเปรยบเทยบผลทไดจาก first-order inelastic analysis และ second-order inelastic analysis โดยใช yield surface ดงทแสดงในสมการท 7.18

ท าการจ าลองเสาเปนสอง element และคานเปน element เดยว45W10×

kips 8.478)36(3.13 === yy AP σ

kips-in 1976)36(9.54 === yp ZM σ

48W27×kips 8.892)36(8.24 ==yP

kips-in 8784)36(0.244 ==pMจากสมการท 7.18

15.3222

=

+

+

pypy MPPM

MM

PP

จากสมการท 5.4 และ 5.5 เราจะได แผนภาพ limit moment diagram แผนภาพความสมพนธของ yPP / และ pMM / รปแสดง plastic hinge mechanism และแผนภาพความสมพนธของ load factor และคาการเปลยนต าแหนง

ในแนวดงทจด d ดงทแสดงในรปจากการวเคราะหโดยใช first-order inelastic analysis และ second-order inelastic analysis พบวา การวบต

โดย plastic hinges เกดขนทต าแหนงเดยวกนทงสองกรณ ดงทแสดงในรป plastic hinge mechanism อยางไรกตาม การวเคราะหโดย second-order inelastic analysis แสดงใหเหนวาก าลงของโครงสรางลดลง 12% เนองจาก ∆−P effect ดงทแสดงในกราฟแสดงความสมพนธระหวาง load factor และการเปลยนต าแหนงทจด d

จากรป plastic hinge mechanism พบวา plastic hinge ตวแรกเกดขนทปลายบนของเสา (ทจด d ) เนองจากโมเมนตดดและแรงในแนวแกนทจดดงกลาวมคาสงมาก ดงทแสดงโดยเสนกราฟของจด d ในแผนภาพความสมพนธของ

yPP / และ pMM / และ plastic hinge ตวทสองจะเกดขนในคาน ทจด c เนองจากโมเมนตดดเปนหลก เนองจากแรงในแนวแกนของคานมคานอยมาก ดงทแสดงโดยเสนกราฟของจด c ในแผนภาพความสมพนธของ yPP / และ

pMM / การเกด plastic hinge ตวทสองนจะท าใหคาโมเมนตดดทปลายบนของเสาจะมคาลดลงอยางมาก ขณะทแรงในแนวแกนมคาเพมขน ซงพฤตกรรมเชนนเกดขนเนองมาจากผลของ yield surface


ตวอยางท 7.6ชนสวนของโครงสราง ab , cd , และ ef มหนาตด 45W10× และชนสวนของโครงสราง bd และ df ม

หนาตด 48W27× ก าหนดให ksi 36=yσ และ ksi 29000=E จงเปรยบเทยบผลทไดจาก first-order inelastic analysis และ second-order inelastic analysis โดยใช yield surface ดงทแสดงในสมการท 7.18

ท าการจ าลองเสาเปนสอง element และคานเปน element เดยวจากสมการท 5.4 และ 5.5 เราจะไดแผนภาพ limiting moment diagram ของโครงสรางทไดจากการวเคราะห

โครงสรางในแตละกรณ ดงทแสดงในรป

นอกจากนนแลว เราจะไดรปแสดงล าดบการเกด plastic hinge formation ดงทแสดงในรป

และแผนภาพแสดงความสมพนธระหวางแรงกระท าและการเปลยนต าแหนงในแนวนอนทจด b ดงทแสดงในรป

จาก first-order inelastic analysis และ second-order inelastic analysis พบวา โครงสรางเกดการวบตโดยมล าดบการเกด plastic hinge formation ทแตกตางกน ในกรณแรก การวบตอยในรป simple story-wide panel


mechanism ในกรณทสอง โครงสรางถง stability limit กอนทจะเกด mechanism ดงกลาวจะเกดอยางครบถวน เนองจากโครงสรางมพฤตกรรมแบบ geometric nonlinear และ material nonlinear รวมกน


ตวอยางท 7.7ก าหนดใหหนาตดของชนสวนของโครงสราง ดงทแสดงในรป มคณสมบตดงน

ksi 000,29=E

18.5W5×2in 5.45=A , 4in 4.25=I , 3in 4.11=Z , ksi 2.56=yσ

25.4S10×2in 7.38=A , 4in 1.122=I , 3in 0.28=Z , ksi 6.38=yσ

และโครงสรางถกกระท าโดยล าดบของแรงกระท าดงตอไปน1.) ให kips 20=W กระท าตอคาน2.) ให kips 603 =W กระท าตอเสา3.) ใหแรงกระท าในแนวนอน H กระท าตอโครงสรางจนถงจดวบต

จงค านวณหาการตอบสนองของโครงสราง โดยใช second-order inelastic analysis

ท าการจ าลองเสาเปนสอง element และชนสวน be , ef , และ fc เปน element เดยวจากสมการท 5.5 และ yield surface สมการท 7.18 เราจะได แผนภาพ limiting moment diagram และแผน

ภาพแสดงล าดบการเกด plastic hinge ดงทแสดงในรป

นอกจากนนแลว เราจะไดความสมพนธระหวางแรงแรงกระท าในแนวนอน H กบการเปลยนต าแหนงในแนวนอนทจด cดงทแสดงในรป

เมอเปรยบเทยบผลการค านวณทไดกบผลการทดสอบโครงสรางทถกกระท าโดยล าดบการใหแรงกระท าดงกลาวโดย Arnold et al. (“Strength and Behavior of an Inelastic Hybrid Structures,” Journal of Structural Engineering, ASCE, Vol. 94, ST1, 1968) พบวา แรงกระท าทจดวบตของโครงสรางมคาทใกลเคยงกนมาก โดยทผลการทดสอบมคาสงกวาผลการค านวณประมาณ 7% ความแตกตางดงกลาวเกดจากขนาดทแทจรงของจดเชอมตอ ซงถกจ าลองใหเปนจดใน


การวเคราะหโครงสราง นอกจากนนแลว โครงสรางทใชทดสอบคอนขางทจะมความแกรงทนอยกวาแบบจ าลองทใชในการค านวณ เนองจากโครงสรางทใชในการทดสอบมการหมนเกดขนทปลายเสา


ตวอยางท 7.8ก าหนดใหทกชนสวนของโครงสรางมหนาตด 108W30× และมคณสมบตดงน

2in 31.7=A , 4in 4470=I , 3in 346=Z , ksi 50=yσ , และ ksi 000,29=Eจงเปรยบเทยบผลทไดจาก first-order inelastic analysis และ second-order inelastic analysis

เนองจากโครงสรางในตวอยางนถกกระท าโดยน าหนกบรรทกแบบกระจายสม าเสมอ และในการวเคราะหโครงสรางโดยใช first-order inelastic analysis และ second-order inelastic analysis นน plastic hinge จะเกดขนท nodal point เทานน ดงนน เราจะตองท าการก าหนด node ใหใกลเคยงกบต าแหนงทจะมโอกาสเกด plastic hinge ใหมากทสด ในกรณน เนองจาก plastic hinge นาจะเกดทจดเชอมตอของคานและเสา และในชวงของคาน ดงนน ท าการจ าลองเสาเปนสอง element และคานเปนส element นอกจากนนแลว ก าหนดใหน าหนกบรรทกแบบกระจายสม าเสมอใน local coordinate มลกษณะดงทแสดง

จากสมการท 5.4 และ 5.5 และใช yield surface ดงทแสดงในสมการท 7.18 เราจะไดล าดบการเกด plastic hinge และความสมพนธของ load factor และการเปลยนต าแหนงในแนวนอนทจด b ดงทแสดงในรป


7.4 Yield surface conceptconcept ของ stress resultant surface ไดถกน ามาใชในการวเคราะหโครงสรางทมพฤตกรรมแบบไมเชงเสน

ตรงของวสด (nonlinear material analysis) ในรปแบบตางๆ ดงน7.4.1 การกระจายของการเปนพลาสตก (plasticity)

บรเวณทเกด plasticity ขนอยางตอเนอง ดงทแสดงในตวอยางท 5.5 จะถกลดรปลงไดเปนกงขอหมนพลาสตก (quasi-plastic hinge) ดงทแสดงในรปท 7.9 โดยการท า numerical integration สมการความสมพนธของแรงและความเครยดแบบไมเชงเสนตรงของหนาตดทเกด plasticity บางสวนไปตามความยาวของชนสวนของโครงสรางเพอหา inelastic flexibility matrix ซงจะท าใหถกเปลยนรปเปน inelastic stiffness matrix ของชนสวนของโครงสราง

พจารณา beam-column ดงทแสดงในรปท 7.9a ซงปลายทงสองของชนสวนของโครงสรางมหนวยแรงสงสดเกดขนสงกวาพกดปฏภาค (proportional limit) ของวสด ดงทแสดงโดยพกด ),( PM ดงทแสดงในรปท 7.9b โดยพกดดงกลาวอยในชวง initial yield surface (yield surface ทลอมรอบพฤตกรรมแบบ elastic ของวสด) และ full plastification surface โดยท initial yield surface จะหาไดจากการสมการพนฐานทางวศวกรรมโดยพจารณาผลของหนวยแรงคงคาง (residual stress) ทเกดขนในวสด และ full plastification surface จะหามาไดโดยใชความสมพนธแบบ empirical ของแรง P และโมเมนตดด M ทเหมาะสม เชน สมการท 7.8 เปนตน

รปท 7.9

ส าหรบชนสวนของโครงสรางรบแรงในแนวแกน ความสมพนธระหวางโมเมนตและความโคงของวสดทถกพจารณาจะมลกษณะดงทแสดงในรปท 7.9c หลงจากทเราท าการหกความโคงแบบยดหยนออกจากความสมพนธดงกลาวแลว เราจะไดความสมพนธระหวางโมเมนตและความโคงของวสด ดงทแสดงในรปท 7.9d นอกจากนนแลว เราจะก าหนดใหความสมพนธระหวางแรงในแนวแกนและความเครยดของโมเมนตดดมลกษณะทคลายคลงกบความสมพนธระหวางโมเมนตและความโคงของวสดขางตน

จากงานวจยทผานมาพบวา ความสมพนธระหวางโมเมนตและความโคงแบบพลาสตกและความสมพนธระหวางแรงในแนวแกนและความเครยดแบบพลาสตกจะถกจ าลองไดในรป


n

pc

rc

rcpc

p

MMMM

MMc

dMd

−−

−=

φ (7.23a)

pn

p

r

rp

pp

PPPP

PPc

dPde

−−

−= (7.23b)

โดยท c และ n เปนฟงกชนของ pPP / และ pc และ pn เปนฟงกชนของ pcMM / ซงจะหาไดโดยการสอบเทยบ (calibration) ผลของการวเคราะหการกระจายของหนวยแรงบนหนาตดทเกด plasticity แบบบางสวนทไดมาจากการวเคราะหหนาตดโดยใช fiber element program (ซงเปน program ทท าการแบงหนาตดออกเปน element เลกๆ จ านวนมาก)

หลงจากทท าการรวมความสมพนธแบบไมยดหยน (สมการท 7.23) เขากบความสมพนธแบบยดหยนของหนาตดดงกลาวแลวท าการ integrate ตลอดความยาวของแตละสวน โดยก าหนดใหผลลพธทไดตองสอดคลองกบ compatibility condition และ boundary condition แลว เราจะไดสมการความสมพนธการยดตวและการหมนทปลายของชนสวนของโครงสราง ยกตวอยางเชน

)]()()([)()2(6 1223132

21211 MLIMIMI

LMMMM

EIL

−++

−−=θ (7.24)

เมอ

∫ −+

=M

Mrc

dmmFmMMMLMI )()(

)()( 2

21

2

2

∫ −+

=M

Mrc

dmmFmMMM

LMI )()()(2

)( 23

21

3

3

โดยท m เปน integration variable ของโมเมนต และn

pc

rc

rcpc mMMm

MMcmF

−−

−=)(

ดงนน สมการ incremental flexibility equation ของชนสวนของโครงสราง ดงทแสดงในรปท 7.9a (ซงจะหาไดโดยการ differentiation สมการท 7.24 และสมการของการเปลยนต าแหนง u และ 2θ ) จะอยในรป

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

2

1

2

2

1

22

2

2

1

11

21

2

1

dMdMdP

MMP

MMP

Mu

Mu

Pu

dddu

θθθ

θθθ

θθ (7.25)

เทอม P∂∂ /1θ , P∂∂ /2θ , 1/ Mu ∂∂ , และ 2/ Mu ∂∂ เปนเทอมทสมพนธกบพฤตกรรมแบบพลาสตกเทานน และเทอมทเหลอจะสมพนธกบพฤตกรรมทงแบบยดหยนและแบบพลาสตกรวมกน จากการศกษาพบวา การ interaction ของเทอมสเทอมแรกจะมผลนอยมากตอการตอบสนองในระนาบของโครงสราง ถาเราท าการตดเทอมตางๆ ดงกลาวออกและท าการเปลยนรป (transformation) flexibility matrix ใหเปน stiffness matrix แลว เราจะได element stiffness equation ในรป

[ ] P∆k ddem = (7.26)


เมอ [ ]emk เปน symmetric 6×6 elastic-plastic matrix ซงบรเวณทเกดการเปนพลาสตกจะถกเปลยนไปเปน plastic hinge สมการท 7.26 นใชไดในกรณ first-order inelastic analysis ในกรณของ second-order inelastic analysis สมการดงกลาวจะเปลยนไปอยในรป

[ ] P∆kk ddgem =+ (7.27)เมอ [ ]gk เปน geometric stiffness matrix7.4.2 Multiple yield surface

งานวจยเกยวกบการการจ าลองพฤตกรรมของวสดทมความสมพนธของหนวยแรงและความเครยดเปลยนแปลงไปตามคาแรงกระท าไดถกกระท าโดยใชพนฐานจากขอมลการทดลองและทฤษฏทกลาวถงการเปลยนแปลงของ yield surface ดงตวอยางของพฤตกรรมแบบ strain hardening เนองจาก isotropically หรอ kinetically hardening surfaces ดงทแสดงในรปท 7.2 ในทน เราจะกลาวถงทฤษฎ Mroz hardening theory ซงเปนทฤษฎหนงของ theory of plasticity ในการวเคราะหโครงสรางแบบ inelastic ซงทฤษฎนจะเปนทฤษฎทไดจากการรวม plastic hinge concept เขากบ multiple stress resultant yield surfaces

Mroz hardening theory มความซบซอนมากกวาทฤษฎทแสดงในรปท 7.2 ในแงทวา ทฤษฏนกลาวถง series ของ yield surfaces ซงมการแขงตวทคงทระหวางชดของมน แตมทศทางการเกดทเปนอสระจากกน ถาน าหลกการของทฤษฏดงกลาวมาขยายและใชในการวเคราะหชนสวนขนาดเลกๆ ของชนสวนของโครงสราง ดงทแสดงในรปท 7.10aซงถกกระท าโดยแรงในแนวแกนและโมเมนตดดแลว เราจะได differential hardening behavior ชนสวนของโครงสราง ดงทแสดงในรปท 7.10b

รปท 7.10

Powell และ Chen ไดใชแนวความคดดงกลาวในการวเคราะหชนสวนของโครงสรางโดยสมมตวา การคลาก (yielding) และ strain hardening ของชนสวนของโครงสรางมลกษณะเปนขอหมนพลาสตกทมความยาวเปนศนยและเกด


ขนทปลายของชนสวนของโครงสราง ดงทแสดงในรปท 7.10c (ซงในความเปนจรงจะเกดขนตามความยาวของชนสวนของโครงสราง) ดงนน การตอบสนองของชนสวนของโครงสรางจะเปนการตอบสนองรวมกนระหวางคานแบบยดหยนและขอหมนแบบไมยดหยน ดงทแสดงในรปท 7.10d หลงจากทเราท าการรวม plastic flexibility ของขอหมนเขาดวยกนและท าการ inverse สมการ flexibility equation แลว เราจะได stiffness equation ของชนสวนของโครงสรางดงกลาว7.4.3 ชนสวนโครงสรางคอนกรตเสรมเหลก

โดยทวไปแลว การวเคราะหโครงสรางทท าดวยวสดเหนยวแบบ inelastic ตามทกลาวถงไปแลวใน section ท 7.2 จะไมสามารถน ามาใชไดกบโครงสรางคอนกรตเสรมเหลก (reinforced concrete structures) ได แต concept ของ stress resultant failure surface ซงคลายกบ concept ของ yield surface จะสามารถน ามาใชในการวเคราะหโครงสรางคอนกรตเสรมเหลกได

พจารณาหนาตดของชนสวนโครงสรางคอนกรตเสรมเหลก ดงทแสดงในรปท 7.11a ซงถกกระท าโดยแรงในแนวแกนและโมเมนตดด ในการวเคราะหหนาตดของโครงสรางดงกลาวเราจะตงสมมตฐานดงน (ดรปท 7.11b)

1. ระนาบของหนาตดของชนสวนโครงสรางคอนกรตเสรมเหลกยงคงเปนระนาบเชนเดมหลงจากถกดด2. คอนกรตไมมความตานทานตอแรงดง3. ความตานทานตอแรงกดอดของคอนกรตจะอยในรปของ uniform stress block4. ก าลงสงสดของเหลกเสรมมคาเทากบ yielding strength ของเหลกเสรม

รปท 7.11

จากสมมตฐานดงกลาวและสมดลของแรงในแนวแกนและสมดลของโมเมนต เราจะสามารถเขยน failure surface ของหนาตดของโครงสรางคอนกรตเสรมเหลกได ดงทแสดงในรปท 7.11c ใน region ab ก าลงของหนาตดของโครงสรางคอนกรตเสรมเหลกจะถกก าหนดโดยก าลงรบแรงกดอดของคอนกรต และใน region bc ก าลงของหนาตดของโครงสรางคอนกรตเสรมเหลกจะถกก าหนดโดยก าลงรบแรงดงของเหลกรบแรงดง จด b เปนจดทแสดงถง balance failure point ซงการแตกหกของคอนกรตและการ yielding ของเหลกเสรมจะเกดขนพรอมกน


แบบฝกหดทายบทท 77.1 จงหา elastic critical load และ inelastic critical load ของโครงสราง ดงทแสดงในรป

7.2 จงหา elastic critical load และ inelastic critical load ของเสา ดงทแสดงในรป ก าหนดใหแรงในแนวแกนกระท าผานจด centroid ของหนาตดของเสา ksi 50=yσ xII = และ ksi 000,29=E

7.3 จงหา elastic critical load และ inelastic critical load ของเสา ดงทแสดงในรป ก าหนดใหแรงในแนวแกนกระท าผานจด centroid ของหนาตดของเสา ksi 50=yσ xII = และ ksi 000,29=E

7.4 จงหา second order inelastic response ของ beam-column ดงทแสดงในรป ก าหนดให ksi 50=yσ และ ksi 000,29=E


7.5 จงหา inelastic critical loads ทเกดขนในโครงขอแขง ดงทแสดงในรป เมอ MPa 250=yσ

7.6 ก าหนดให arch ดงทแสดงในรป ถกยดรงทางดานขางอยางพอเพยง จงเปรยบเทยบการตอบสนองของ arch ภายใตเงอนไขของแรงกระท าดงตอไปนa.) แรง P สามแรงกระท าพรอมกนb.) แรง P เพยงแรงเดยวกระท าทจด b

7.7 ก าหนดใหโครงขอแขง ดงทแสดงในรป ถกยดรงทางดานขางอยางพอเพยง จงท าการวเคราะหโครงขอแขงโดยใชsecond order inelastic method เมอ ksi 50=yσ และ ksi 000,29=E


บทท 8การหาค าตอบของสมการสมดลแบบไมเชงเสนตรง

ในบทท 5 เราไดศกษาวธการตางๆ ทสามารถใชในการหาค าตอบของสมการสมดลแบบไมเชงเสนตรง(nonlinear equilibrium equation) ไปบางแลว บทนจะกลาวถงรายละเอยดของวธการหาค าตอบดงกลาวใหมากขน เพอเปนพนฐานทพอเพยงในการท าการวเคราะหโครงสรางแบบไมเชงเสนตรง โดยวธการหาค าตอบดงกลาวไดถกแบงออกเปน 2 สวนคอ วธการทใชในการค านวณหาพฤตกรรมแบบไมเชงเสนตรงของโครงสราง ซงไดแกวธ incremental method ทงแบบ incremental single-step method และ incremental iterative method และวธการวเคราะหหาคาไอเกนน (eigenvalue analysis) เพอใชในการค านวณหา limit point หรอแรงวกฤต (critical load) ของโครงสราง8.1 Incremental analysis

เมอเราเขยนสมการความสมดลของโครงสรางโดยใชรปรางของโครงสรางทเปลยนแปลงไปหลงจากทถกแรงกระท าจะท าใหเราได nonlinear stiffness equation วธการหนงทเราใชในการแกสมการดงกลาวคอ การแบงพจารณาสมการไมเชงเสนตรง (nonlinear) ดงกลาวทละชวงเลกๆ แลวท าการวเคราะหแบบเชงเสนตรง (linear) ทละชวงตอเนองกนไป โดยทแรงกระท าจะถกซอยยอยใหอยในรป

∑=

==n

ii

1ref dPPP λ (8.1)

ดงทแสดงในรปท 8.1 เมอ P เปนน าหนกบรรทกทงหมดทกระท าตอโครงสราง λ เปนอตราสวนทใชในการซอยยอยน าหนกบรรทกหรอ load ratio refP เปนน าหนกบรรทกอางอง (reference load) idP เปนน าหนกบรรทกทเพมขน (load increment) และ n เปนจ านวนทงหมดของ load increment

รปท 8.1

ภายใตการกระท าของแรงในลกษณะดงกลาว โครงสรางจะมการตอบสนองในรป

∑=

=n

ii

1d∆∆ (8.2)

โดยท id∆ เปน vector ของการเปลยนต าแหนงทเกดจาก load increment ท thiความถกตองของการแกสมการดงกลาวจะเปนฟงกชนกบความถกตองของความสมพนธแบบ nonlinear ระหวาง

idP และ id∆ ทไดในแตละ load increment8.2 Incremental single-step methods

เทคนคแบบ single-step method มพนฐานมาจากการแกสมการอนพนธไมเชงเสนตรง (nonlinear differential equation) โดยวธ Runge-Kutta methods ซงอยในรป


iii d∆∆∆ += −1 (8.3)เมอ 1−i∆ เปนการเปลยนต าแหนงทงหมดทจดสนสดของ load increment ท thi )1( − และ id∆ เปน increment ของการเปลยนต าแหนงทไมทราบคา ซงจะหาไดโดยการแกสมการเชงเสนตรงในรป

[ ] iii dPd∆K = (8.4)เมอ load increment idP อยในรป

refPdP ii dλ= (8.4a)Load ratio ควรมคาอยระหวาง 10% ถง 20% ของคาน าหนกบรรทกสงสดทคาดวาจะกระท าตอโครงสราง อยาง

ไรกตาม section ท 8.4 จะเสนอวธการหาคา load ratio ทมประสทธภาพมากขนจากสมการท 8.4 เทอม [ ]iK เปนความแกรงของโครงสรางใน load increment ท thi ซงถาเขยนใหอยในรป

weighted average เราจะได

[ ] [ ]∑=

=m

jjji

1KK α (8.5)

เมอ jα เปน weighting coefficient ทสอดคลองกบความแกรง [ ]jK ซงถกหามาจากจดใดจดหนงในจดสม m ทอยในincrement และจดสมทใชในการค านวณ [ ]jK จะหามาไดโดยการใชบางสวนหรอทงหมดของ stiffness matrix ทสอดคลองกบจดสมท 1−j

เมอจ านวนของจดสม m มคามากขนแลว ความถกตองของความสมพนธแบบไมเชงเสนตรงระหวาง idPและ id∆ ทไดจะดขนตามไปดวย

โดยการปรบเปลยน weighting coefficient และจ านวนและต าแหนงของจดสม เราจะหาสมการท 8.5 ไดโดยใช Euler method และ midpoint Runge-Kutta method8.2.1 Euler method

Euler method หรอ simple step method เปนวธการ single-step ทงายทสด จากสมการท 8.5 เมอก าหนดให 1=m และ 11 =α แลว Euler method จะอยในรป single-order Runge-Kutta method

[ ] [ ]1.1 KK =i (8.6)ซง [ ]1K เปน tangent stiffness matrix ซงจะหาจากรปรางของโครงสรางทเปลยนแปลงรปรางไปแลวและแรงทเกดขนภายในชนสวนของโครงสราง (element force) ทจดเรมตนของ increment ดงนน การเปลยนต าแหนง id∆ ในแตละ load increment ในสมการท 8.3 จะหามาไดโดยการท าการวเคราะหเชงเสนตรงโดยใชสมการท 8.4

รปท 8.2 แสดงขนตอนของการค านวณโดยวธ Euler method

รปท 8.2


8.2.2 Second-Order Runge-Kutta MethodsSecond-order form ( 2=m ) ของสมการท 8.5 จะอยในรป

[ ] [ ] [ ]2211 KKK αα +=i (8.7)เมอ [ ]1K เปน tangent stiffness matrix ทจดเรมตนของ increment และ [ ]2K เปน tangent stiffness matrix ซงจะหาจากรปรางของโครงสรางทเปลยนแปลงรปรางไปแลวและ element force ทจดใดจดหนงภายใน increment

เนองจากเราไมทราบคาการเปลยนต าแหนงทจดสมท 2 ดงนน เราจะตองท าการวเคราะหโครงสรางกอนทเราจะสามารถใชสมการท 8.7 และสมการท 8.4 ได ซงจะท าโดยการแกสมการหา µd∆ จากสมการ

[ ] idPd∆K µµ =1 (8.8)เมอ load ratio µ แสดงต าแหนงของจดสมภายใน load increment และ 10 ≤< µ

คาการเปลยนต าแหนงทจดสมท 2 2∆ ซงจะใชในการเขยนสมการ [ ]2K จะหามาไดโดยการรวม µd∆เขากบคาการเปลยนต าแหนงทจดสนสดของ load increment กอนหนาน 1−i∆

µd∆∆∆ += −12 i (8.9)โดยใช [ ]1K และ [ ]2K ทหามาไดรวมกบ weighting coefficient 1α และ 2α เราจะหา stiffness matrix

[ ]iK ไดจากสมการท 8.7 จากนน คา incremental displacement id∆ ในสมการท 8.3 จะหาไดจากสมการท 8.4โดยทวไปแลว จดสมท 2 ทกลาวถงขางตนจะถกเลอกใหอยทจดกงกลางของ load increment หรอทจด 2/1=µ และ weighting coefficient จะถกเลอกใหมคาเปน 01 =α และ 12 =α ซงจะท าให second-order

Runge-Kutta method ถกเรยกวา midpoint Runge-Kutta method ซงการท าเชนน เราจะใช midincrement stiffness เปนตวแทนของ stiffness ของ load increment ทก าลงพจารณาอย

รปท 8.3 แสดงขนตอนของการค านวณโดยวธ midpoint Runge-Kutta method

รปท 8.3

นอกจาก midpoint Runge-Kutta method แลว เรายงม second-order Runge-Kutta method ในรปแบบอนๆ อกเชน Heun's method โดยท 1=µ และ 2/121 ==αα และ Ralston's method โดยท 4/3=µ , 3/11 =α , และ 3/22 =α เปนตน


ตวอยางท 8.1ก าหนดใหสปรงทมพฤตกรรมแบบไมเชงเสนตรง (nonlinear spring) ดงทแสดงในรป มความแกรงอยในรป

)1(2/1 += Pk จงใช 3 increments ของวธการเหลาน หาคาการยดตวของสปรง ∆ เมอสปรงถกกระท าโดยแรง 3=P

1.) Euler method2.) Mid-point Rouge-Kutta method3.) เปรยบเทยบค าตอบทงสองทไดกบ exact solution 1)1( 2 −+=∆ P

1. โดยใช Euler method ทม 3 increments เราจะได 3/1=idλ

Increment แรก: 00 =P 5.0)1(2

1

01 =

+=

Pk

0.111 == PddP λ 0.211

11 ==∆ − dPkd0.1101 =+= dPPP 0.2101 =∆+∆=∆ d

Increment ทสอง: 0.11 =P 25.0)1(2

1

12 =

+=

Pk

0.122 == PddP λ 0.421

22 ==∆ − dPkd0.2212 =+= dPPP 0.6212 =∆+∆=∆ d

Increment ทสาม 0.22 =P 1667.0)1(2

1

23 =

+=

Pk

0.133 == PddP λ 0.631

33 ==∆ − dPkd0.3323 =+= dPPP 0.12323 =∆+∆=∆ d

เมอ 3=P เราจะไดคาการยดตวของสปรง 0.12=∆

2. Mid-point Rouge-Kutta method ทม 3 increments เราจะได 3/1=idλ และ 2/1=µ ส าหรบ mid-point Rouge-Kutta method

Increment แรก:

Predictor step 00 =P 5.0)1(2

1

0

=+

=P

ks

5.011 == PddP λµµ 0.111 ==∆ − dPkd s µµ

5.010 =+= dPPPm µ 0.10 =∆+∆=∆ µdm

Corrector step 3333.0)1(2

1=

+=

mm Pk 3333.00.10.01 =+= ms kkk

0.111 == PddP λ 0.311

11 ==∆ − dPkd0.1101 =+= dPPP 0.3101 =∆+∆=∆ d

Increment ทสอง:


Predictor step 0.11 =P 25.0)1(2

1

1

=+

=P

ks

5.02 =dPµ 0.221 ==∆ − dPkd s µµ

5.121 =+= dPPPm µ 0.521 =∆+∆=∆ dm

Corrector step 2.0=mk 2.00.10.02 =+= ms kkk

0.12 =dP 0.521

22 ==∆ − dPkd0.2212 =+= dPPP 0.8212 =∆+∆=∆ d

Increment ทสามPredictor step 0.22 =P 1667.0=sk

5.03 =dPµ 0.331 ==∆ − dPkd s µµ

0.332 =+= dPPPm µ 0.112 =∆+∆=∆ µdm

Corrector step 1429.0=mk 1429.00.10.02 =+= ms kkk

0.13 =dP 0.731

33 ==∆ − dPkd0.2323 =+= dPPP 0.15323 =∆+∆=∆ d

เมอ 3=P เราจะไดคาการยดตวของสปรง 0.15=∆

3. เปรยบเทยบค าตอบทงสองทไดกบ exact solutionน าคาแรง P และคาการเปลยนต าแหนง ∆ ทค านวณไดในแตละ increment โดยวธ Euler method และวธ

mid-point Rouge-Kutta method มาเขยนแผนภาพเปรยบเทยบกบ exact solution ดงทแสดงในรป

จากรปและจากการค านวณขางตน เราจะเหนไดวา วธการค านวณทงสองวธ โดยเฉพาะอยางยงวธ Mid-point Rouge-Kutta method เปนวธทงายและมประสทธภาพ และเหมาะสมทจะใชในการวเคราะหโครงสรางทมพฤตกรรมแบบไมเชงเสนตรง (nonlinear) ขนาดปานกลาง โดยทวไปแลว เราจะท าการวเคราะหโครงสรางเพยงหนงหรอสองครงในแตละ increment แตขอเสยของวธการทงสองนคอ การสะสมของความผดพลาด (error) ทเกดขนเนองจากการใช stiffness ทเปนตวแทนของความแกรงของโครงสรางเพยง stiffness เดยวในแตละ load increment ดงนน แรงภายในทเกดในชนสวนของโครงสราง (ซงค านวณไดจากการเปลยนต าแหนงทผดพลาดเนองจากสาเหตขางตน) อาจจะไมอยในสมดลกบแรงกระท าภายนอก ความผดพลาดในการค านวณในลกษณะนมกถกเรยกวา drift-off error ถงแมนวา drift-off error จะถกท าใหลดลงไดโดยใช load ratio idλ ทมขนาดเลกลงได แตการ ลดลงของ load ratio จะท าใหจ านวน increment ในการ


วเคราะหระบบทมมพฤตกรรมแบบ nonlinear สงมจ านวนเพมขนอยางมากมายได ในกรณเชนน เราควรใช iterative method ซงจะกลาวถงใน section ถดไป


ตวอยางท 8.2จงท า second-order elastic analyses โครงเหลก ดงทแสดงในรป โดยใช1.) Euler method โดยท 5.0=λd2.) Euler method โดยท 25.0=λd3.) Euler method โดยท 1.0=λd4.) Work control method

ท าการจ าลองโครงเหลกโดยใหเสาถกแบงออกเปน 2 elements และคานถกแบงเปน 1 element แลวท าsecond-order elastic analyses เราจะไดผลลพธ ดงทแสดงในรป

จากรป พบวา วธ Euler method จะใหพฤตกรรมของโครงสรางใกลเคยงกบวธ work control method ซงจะกลาวถงใน section ถดไป มากขน เมอขนาดของ load ratio idλ มขนาดเลกลงเรอยๆ และการใช load ratio idλ ทมขนาดใหญจะท าใหการตอบสนองของโครงสรางมความแกรงมากกวาวธ work control method


ตวอยางท 8.3จงท า second-order elastic analyses โครงเหลก ดงทแสดงในตวอยางท 8.2 โดยใช1.) Euler method โดยท 25.0=λd2.) Mid-point Rouge-Kutta method โดยท 5.0=λd3.) Work control methodท าการจ าลองโครงเหลกโดยใหเสาถกแบงออกเปน 2 elements และคานถกแบงเปน 1 element แลวท า

second-order elastic analyses เราจะไดผลลพธ ดงทแสดงในรป

จากรป เราจะเหนไดวา วธ Euler method ทมขนาดของ load ratio idλ เลกลงเปนสองเทาของ load ratio idλในวธ Mid-point Rouge-Kutta method จะใหการตอบสนองของโครงสรางทแตกตางจากวธ Work control method มากกวา วธ Mid-point Rouge-Kutta method ซงแสดงวา ในกรณทโครงสรางทมพฤตกรรมแบบ nonlinear ขนาดปานกลางนน วธ Mid-point Rouge-Kutta method เปนวธทมประสทธภาพสงกวาวธ Euler method


8.3 Incremental-iterative methodsในทางตรงกนขามกบวธ incremental single-step methods ทกลาวถงไปแลว วธ incremental-iterative

methods ไมจ าเปนทจะตองใชตวแทนของ stiffness matrix ในแตละ load increment ในวธการน increments จะถกแบงออกเปน step ยอยๆ และในแตละ step ยอยจะมการค านวณซ า (iterative process) โดยมจดมงหมายทจะท าใหการตอบสนองของโครงสรางสอดคลองกบเงอนไขความสมดลภายในชวงทยอมให (tolerance limit) ดงนน สมการท 8.3 จะถกเขยนใหมในรป

∑=

− +=im

j

jiii

11 d∆∆∆ (8.10)

เมอ im เปนจ านวนของ step ทกระท าซ าใน load increment ท thi และในแตละ step ท thj คาการเปลยนต าแหนงทไมทราบคา jid∆ (ขอใหสงเกตดวยวา subscript ถกใชเพอระบ load increment และ superscript ถกใชเพอระบiterative step) จะหามาไดโดยการแกสมการเชงเสนตรงในรป

[ ] 11 −− += ji

ji

ji

ji RdPd∆K (8.11)

เมอ [ ]1−jiK เปน stiffness matrix ของโครงสรางทหามาจากรปรางของชนสวนของโครงสรางทเปลยนแปลงไปแลวและ

element force ทรวมกบ element force ใน iteration กอนหนานเขาดวยกน และ 1−jiR เปนความไมสมดลระหวางแรง

กระท าภายนอกและแรงภายในทเกดขน โดยท 111 −−− −= j

iji

ji FPR (8.12)

เมอ 1−jiP เปนแรงกระท าภายนอกและ 1−j

iF เปน vector ของแรงภายในทไดจากการรวม element end force ของแตละ global degree of freedom เขาดวยกน

ในท านองทคลายคลงกบสมการท 8.4a แรงทกระท าตอโครงสรางในแตละ step จะหาไดจากสมการ refPdP j

iji dλ= (8.13)

เมอ jidλ เปน load ratio ของ step ท thj ส าหรบ iteration ท thi ทก าลงพจารณาอย เราจะหา load ratio ในขนตอน

แรกของการวเคราะห 1=jidλ ไดโดยใชวธการทจะกลาวถงใน section ท 8.4

เพอทจะสรปวธ iterative method เราจะท าการเปลยนสมการท 8.11 ใหอยในรป [ ] ref

1 Pd∆K =− ji

ji (8.14a)

[ ] 11 −− =

j

iji

ji Rd∆K (8.14b)

จากสมการท 8.11, 8.13, 8.14a, และ 8.14b เราจะได vector ของการเปลยนต าแหนงในแตละ iteration ในรป

+= j

iji

ji

ji d d∆d∆d∆ λ (8.15)

การใชสมการท 8.12 ถง 8.15 ไดถกแสดงไวในรปท 8.4 โดยมขนตอนใน increment ท thi ดงน1. ค านวณหาการเปลยนต าแหนงส าหรบ iteration ท 1, 1

id∆ , เนองจากแรงกระท า ref1 Pidλ และ tangent

stiffness [ ]0iK จาก increment กอนหนาน thi )1( −

2. ท าการ update รปรางของชนสวนของโครงสรางและ element forces (ด section ท 8.5)3. เรม iteration ท 2 โดยการหา unbalance load 1

iR


4. ให unbalance load 1iR กระท าตอโครงสรางและค านวณหาคาการเปลยนต าแหนงทเกดขน

2

id∆

โดยใช updated tangent stiffness [ ]1iK

5. หา iterative load ratio 2idλ โดยใชวธการทจะกลาวถงใน subsection ตอไป (สมการท 8.16, 8.17, 8.19,

หรอ 8.21)6. ใช stiffness [ ]1

iK หาคาการเปลยนต าแหนง 22iid d∆λ ทเกดจากแรงกระท า ref

2 Pidλ

7. หาคาการเปลยนต าแหนงสทธของ iteration ท 2 2id∆ โดยการรวม

2

id∆ เขากบ 22iid d∆λ

8. ท าการตรวจสอบ convergence (ด section ท 8.3.6) ของผลลพธทไดในการท า iteration ท 29. ถาผลลพธทไดไม converge ท า iteration ล าดบถดไปตามขนตอนท 2 ถง 8 จนพบวา ผลลพธทได

converge ซงเราจะไดแรงกระท าทงหมดใน increment ท thi มคาเทากบ

ref1

PdP

= ∑

=

im

j

jii dλ

และการเปลยนต าแหนงทงหมดมคาเทากบ

∑=

=im

j

jii

1d∆d∆

รปท 8.4


8.3.1 Load control methodในวธ load control method หรอ Newton-Raphson method นน load increment ทใชจะมคาคงททก

increment ดงนน load ratio ในสมการท 8.15 จะอยในรป 0=jidλ ส าหรบ 2≥j (8.16)

วธ load control method ไดถกแสดงไวในรปท 8.5aเราจะเหนขอเสยทส าคญของวธการนไดอยางชดเจนเมอเราท าการวเคราะหโครงสรางทม limit point โดยท1. หลงจากทคา load increment ถกเลอกใชใน iteration แรกแลว เราจะไมสามารถปรบแก load vector ได

เมอม limit point เกดขนใน increment2. การใช load increment ทมคานอยๆ จะชวยใหค าตอบเขาส limit ดขน แตจะท าให trace หาการตอบสนอง

ของโครงสรางหลงจากทผาน limit point ไปแลวไดยาก เนองจาก stiffness matrix เปน singularity matrix

รปท 8.58.3.2 Displacement control method

ใน displacement control method นน load ratio ทใชใน step แรกจะถกเลอกใชเพอใหองคประกอบของการเปลยนต าแหนงทจดส าคญ ("key" displacement component) ของโครงสรางมคาๆ หนง และ load ratio ทใชใน stepอนๆ ถดมาจะถกยดรง (constraint) โดยไมท าให "key" displacement component ขางตนเปลยนแปลงไป ซงจะท าได


โดยการก าหนดใหสมการท 8.15 มคาเทากบศนยส าหรบ degree of freedom ทเปนอสระคาหนงๆ เชน du เปนตน ดงนน เราจะได iterative load ratio อยในรป

ji

jij

idu

dud −=λ ส าหรบ 2≥j (8.17)

เมอ jidu และ j

idu เปน single elements ใน solution vectors ของสมการท 8.14วธ displacement control method ไดถกแสดงไวในรปท 8.5b เราจะเหนไดวา ขอเสยของวธการนคอ เราจะตอง

ท าการเลอก "key" displacement component ของโครงสราง ซงโดยทวไปแลว เราจะใช degree of freedom ทมการเปลยนแปลงมากทสดใน iteration แรกของ increment เปน "key" displacement component8.3.3 Work control method

Work control method ใชทงแรงและการเปลยนต าแหนงเปนตวควบคม โดยมเงอนไขคอ increment ของงานเนองจากแรงภายนอก (external work) จะตองมคาเปนศนยในแตละ equilibrium iteration ดงนน

0== ji

Tji

jidW d∆dP ส าหรบ 2≥j (8.18)

ท าการแทนสมการท 8.13 และ 8.15 ลงในสมการท 8.18 เราจะได iterative load ratio ในรป

jiT

ji

T

jid

d∆P

d∆P

ref

ref

−

=λ ส าหรบ 2≥j (8.19)

วธการ work control method ไดถกแสดงไวในรปท 8.5c วธการนและวธ displacement control methodเหมาะสมทจะใชในการค านวณหา post-limit state response ของโครงสราง8.3.4 Constant arc length method

เชนเดยวกบวธ work control method วธ constant arc length method จะไมมการก าหนดแรงและ การเปลยนต าแหนงใหมคาคงทในแตละ iteration โดยวธการนเราจะก าหนด arc length ds ขนมาคาหนงในแตละ equilibrium iteration โดยท

0112 =+= jii

ji

Ti ddds λλd∆d∆ ส าหรบ 2≥j (8.20)

เมอเราแทนสมการท 8.15 ลงในสมการท 8.20 เราจะได orthogonality equation ทใชในการหา iterative load ratio ในรป

11

1

iji

Ti

ji

Ti

ji

dd

λλ

+

−

=d∆d∆

d∆d∆ส าหรบ 2≥j (8.21)

วธ constant arc length method ไดถกแสดงไวในรปท 8.5d ซงนอกจากจะสามารถใชในการค านวณหาการตอบสนองของโครงสรางในชวง post-limit state แลว วธการนยงสามารถใชในการค านวณหาการตอบสนองแบบ snapthrough และ snapback ของโครงสรางไดอกดวย8.3.5 Modified iterative technique

ในหลายกรณ ประสทธภาพของ iterative method จะเพมขนไดโดยการแทน stiffness matrix [ ]1−jiK ทใชใน

แตละ iteration (ดสมการท 8.11 และ 8.14) ดวย tangent stiffness matrix [ ]0iK ทใชใน step แรกของ increment นน

ถงแมนวาวธการนจะตองการขนตอนการค านวณทมากขนในแตละ load increment (ดรปท 8.6) แตการค านวณทงหมด


จะไมไดเพมขนมากเนองจากเราไมตองท าการรวม (assemble) และแตก (decompose) global stiffness matrix ตวใหมในแตละ iteration

วธการ modified iterative method จะไมมประสทธภาพในการวเคราะหโครงสรางซงมการเปลยนแปลงรปรางสงมากๆ หรอมพฤตกรรมทมความแกรงเพมสงขนเนองจากแรงดงภายในทเกดขน และวธการนมชออกชอหนงวา modified Newton-Raphson method

รปท 8.68.3.6 Convergence criteria

ในการค านวณ เราจะตองหาจ านวน iteration ทเหมาะสมทจะท าใหโครงสรางสอดคลองกบเงอนไขความสมดล ถาก าหนดใหการเปลยนแปลงรปรางในแตละ iteration เปนหวใจของเงอนไขความสมดลแลว เราจะใชคาการเปลยนแปลงรปรางเปนพนฐานของ convergence criteria โดยสามารถแบงออกไดเปน 3 norms คอ

Modified absolute norm:

∑=

=N

k

k

N 1 ref

1∆d∆

ε (8.22)

Modified Euclidean norm:

∑=

=

N

k

k

N 1

2

ref

1∆d∆

ε (8.23)

Maximum norm:

ref

1max

∆d∆ k

Nk≤≤=ε (8.24)


เมอ N เปนจ านวนทงหมดขององคประกอบของการเปลยนต าแหนงทไมทราบคา, kd∆ เปน incremental displacement vector ล าดบท thk ของ jid∆ , และ ref∆ เปนคาสงสดของการเปลยนต าแหนงใน total displacement vector i∆

จาก norms ทกลาวถงขางตน เราจะเขยน convergence criteria ไดในรป ςε ≤ (8.25)

โดยท acceptable tolerance ς จะมคาอยในชวง 210− ถง 610− ซงขนอยกบความถกตองในการค านวณทเราตองการนอกจากการใชคาการเปลยนแปลงรปรางเปนพนฐานของ convergence criteria แลว เรายงสามารถใช

unbalance load และ increment ของ internal work เปนพนฐานของ convergence criteria ไดดวย8.4 Automatic load incrementation

ขนาดของ load ratio ทใชในแตละ increment ของการวเคราะหโครงสรางจะมผลกระทบเปนอยางมากตอค าตอบทไดใน single-step method โดยท

1. การเลอกใชคา λd ทเหมาะสมเปนหนทางเดยวทจะควบคม drift-off error ใน iterative method2. การใชคา 1

idλ ทไมเหมาะสมจะท าใหค าตอบทไดไม converge ภายในจ านวน iteration ทเหมาะสม3. ถา load ratio มคาทนอยมากเกนไปแลว เราจะตองใชเวลาในการค านวณสงมากโดยทความถกตองของค า

ตอบไมไดเปลยนแปลงไปมากนกดงนน เราจงตองการเทคนคในการหาขนาดของ load ratio ทเหมาะสม ซงจะกลาวถงในทน 2 วธ โดยทวธการทหนงจะใชไดกบทง single-step method และ iterative method และวธการทสองจะใชไดกบ iterative method เทานน

ในวธทงสองน เราจะสมมตใหขนาดของ load ratio ส าหรบ increment แรก 1λd หรอใน iteration แรกของ increment แรกมคาประมาณ 10-20% ของแรงกระท าสงสดทเราคาดวาจะกระท าตอโครงสราง นอกจากนนแลว Section ท 8.6 จะกลาวถง load ratio constraint ส าหรบ material nonlinear analysis ทมพนฐานมาจาก plastic hinge method8.4.1 การเปลยนแปลงของความแกรง

Load ratio λd ทจดใดๆ ในการวเคราะหโครงสรางควรทจะสะทอนใหเหนถงความไมเปนเชงเสนตรงของพฤตกรรมของโครงสราง ซงจะวดไดโดยใช current stiffness parameter ในรป

ref

1

ref11

Pd∆

Pd∆T

i

T

iS = (8.26)

เนองจาก parameter iS จะมคาเรมตนเทากบหนงเสมอ ดงนน stiffening หรอ softening ของโครงสรางจะถกระบโดยคา parameter iS ทมากกวาหนงหรอนอยกวาหนง ตามล าดบ ยกเวนทจด bifurcation ซง parameter iS จะมคาเทากบศนย

โดยการใชสมการท 8.6 คา load ratio เรมตนของ single-step method หรอคา load ratio ท step แรกของiterative method จะหามาไดจากสมการ

γλλ ii Sdd 1

11 ±= (8.27)เมอ 1

1λd เปนคาของ load ratio ทจดเรมตนของการวเคราะหและ γ จะมคาอยระหวาง 0.5 และ 1 การหาเครองหมายในสมการท 8.27 จะกลาวถงใน section ท 8.7


8.4.2 จ านวน iterationsในวธ multistep method จ านวน iteration ในแตละ increment ทจะท าใหโครงสรางสอดคลองกบเงอนไขความ

สมดลมกจะแปรผนเปนสดสวนกบขนาดของ load ratio เรมตน 1idλ ดงนน ถาก าหนดให

1

1−

− =i

di N

Nψ (8.28)

เมอ dN เปนจ านวนของ iteration ทเราตองการเพอทจะท าใหเกด convergence ของค าตอบ และ 1−iN เปนจ านวนของ iteration ทตองการเพอทจะท าใหเกด convergence ใน thi )1( − increment แลว load ratio เรมตนจะหาไดจากสมการ

γψλλ 11

11

−−±= iii dd (8.29)โดยท γ จะมคาอยระหวาง 0.5 และ 1

เนองจากคา load ratio เรมตนทไดจากสมการท 8.26 และ 8.28 อาจจะมคามากกวา 1 มาก ดงนน โดยทวไปแลว เราจะตองก าหนดคา absolute maximum limit ของ load ratio เรมตนขนมาคาหนง8.5 การค านวณหาผลลพธทเกดขนในชนสวนของโครงสราง8.5.1 การ update รปรางของโครงสราง

ในการใชสมการของความแกรงในบทท 5 และ 6 กบขนตอนการวเคราะหแบบ incremental analysis ทกลาวถงใน section ท 8.1-8.3 นน รปรางของโครงสรางจะตองถกน าไปรวมกบการเปลยนแปลงรปรางสะสมทงหมดของโครงสราง โดยทวไปแลว เราจะหารปรางของโครงสรางไดโดยการท าการวเคราะหแตละ step ของ single-step method หรอ iterative method ใหเสรจสนดวยขบวนการ update คาพกดของโครงสราง ซงเปนขบวนการปรบแกพกดของแตละ node ของโครงสราง โดยการรวมองคประกอบของการเปลยนต าแหนงเชงเสนทเกดขนในแตละชวงของแตละ step เขาดวยกน8.5.2 Force Recovery

ในการวเคราะหเชงเสนตรง คาแรงทเกดขนภายในชนสวนของโครงสราง (element forces) จะหามาไดจากคาการเปลยนต าแหนงททราบคาโดยใชสมการ

[ ] ∆kF = (8.30)โดยทการเปลยนต าแหนง ∆ อาจจะอยในระบบพกด global coordinate หรอระบบพกด local coordinate ถาการเปลยนต าแหนง ∆ ทใชอยในระบบพกด global coordinate และความแกรงของชนสวนของโครงสราง [ ]k อยในระบบพกด global coordinate ดวยแลว แรง F ทค านวณไดจะอยในระบบพกด global coordinate และเราจะหาแรงในแนวแกน แรงเฉอนและโมเมนตทปลายของชนสวนของโครงสรางไดโดยการท าการแปลงรป (transformation) จากระบบพกด global coordinate ไปสระบบพกด local coordinate แตถา ∆ และ [ ]k ทใชอยในระบบพกด local coordinate แลว F ทค านวณไดจะเปนแรงในแนวแกน แรงเฉอนและโมเมนตทปลายของชนสวนของโครงสรางในระบบพกด local coordinate เลย

พจารณารปท 8.7 รปท 8.7a แสดงทศทางของชนสวนของโครงสรางและแรงกระท าใน step เรมตนในวธ single-step method หรอ iterative method รปท 8.7b แสดงทศทางของชนสวนของโครงสรางทจดสนสดของ step ดงกลาวและแรงกระท าทอยในระบบพกด local coordinate ใน step เรมตน รปท 8.7c แสดงทศทางของชนสวนของโครงสรางดงทแสดงในรปท 8.7b แตแรงกระท าไดถก transform มายงระบบพกด local coordinate อนใหม ซงในการวเคราะหชนสวนของโครงสรางดงกลาวเราจะใช vector ตางๆ ดงตอไปน

1. แรงกระท าทจดเรมตนของ step: [ ]Tbbbaaa MVFMVF 1111111 =F (8.31a)


2. Increment ของแรงกระท า: [ ]Tbbbaaa dMdVdFdMdVdF=dF (8.31b)

3. แรงทจดสนสดของ step ทอางองกบ configuration ทจดเรมตน: dFFF += 12

1 (8.31c)4. แรงและ configuration ทจดสนสดของ step ทอางอง:

[ ]Tbbbaaa MVFMVF 2222222 =F (8.31d)5. Displacement increment ทถก transform ไปยง configuration ทจดเรมตน:

[ ]Tbbbaaa vuvu θθ=d∆ (8.31e)

รปท 8.7


จากสมการท 5.2 เราทราบมาแลววา [ ] d∆kdF t=

เมอ [ ]tk เปน element tangent stiffness matrix ทจดเรมตนของ step ในระบบพกด local coordinate ดงนน ในการวเคราะหแบบไมเชงเสนตรง (nonlinear analysis) สมการท 8.31c จะอยในรป

[ ] d∆kkFF ge ++= 121

โดยท tangent stiffness matrix ไดถกแยกออกเปนสองสวนคอ elastic stiffness matrix และ geometric stiffness matrix ซง matrix ทงสองจะถกค านวณหาทจดเรมตนของ step และแรง F2 จะหาไดจากแรง F2

1 โดยการท าtransformation ในรป

[ ] FΓF 21

21

2 = (8.32)เมอ Γ2

1 เปน element transformation matrix จาก configuration ทจดเรมตนถง configuration ทจดสนสดของ step ทอางอง ซงจะหาไดยาก ดงนน โดยทวไปแลว เราจะหา matrix Γ2

1 จากผลคณของ transformation matrix จากระบบพกด global coordinate x ถง configuration ทจดเรมตนกบ transformation matrix จากระบบพกด global coordinate x ถง configuration ทจดสนสดของ step ทอางองหรอ

[ ] ΓΓΓ xx122

1 = (8.33)ตวอยางท 8.4 แสดงตวอยางการใชสมการท 8.32 และสมการท 8.33วธ force recovery เปนวธการทคอนขางตรงไปตรงมา อยางไรกตาม วธการนเปนวธแบบประมาณเทานน เนอง

จากวาวธการนไมไดแยกการเปลยนต าแหนงเนองจากการเปลยนต าแหนงแบบวตถแกรงออกจากการการเปลยนต าแหนงเนองจากการเปลยนแปลงรปราง ซงท าใหวธการนใชไดเฉพาะในกรณ elastic และ inelastic nonlinear analysis ทมความเครยดนอยๆ (small strain) และการเปลยนต าแหนงขนาดปานกลาง (moderate displacement) เกดขนเทานน


ตวอยางท 8.4ก าหนดใหชนสวนของโครงสรางมรปรางและถกกระท าโดยแรง ดงทแสดงในรป จงใชสมการท 8.32 ค านวณหา

element forces ทจดสนสดของ step ทก าลงค านวณเมอ

แรงทจดเรมตนของ step: [ ]T15002085002081 −−=F

Increment ของ element forces: [ ]Ti 4005210052 −−=dF

แรงทจดสนสดของ step เทยบกบ configuration สดทาย:

จากโจทย เราจะไดวา แรงทจดสนสดของ step ทอางองกบ configuration ทจดเรมตนอยในรป

[ ]T190025106002510

121

−−=

+=

dFFF

ทจดเรมตนของ step o151 =φ ดงนน

[ ]

−=

−=

1000966.0259.00259.0966.0

100015cos15sin015sin15cos

1

γ oo

oo

[ ] [ ][ ]

=

γγ

Γ 1

11

00

ทจดสนสดของ step o202 =φ เราจะไดวา

[ ]

−=

1000940.0342.00342.0940.0

2 γ


[ ] [ ][ ]

=

γγ

Γ2

22

00

จากสมการท 8.32 และ 8.33 เราจะได แรงทจดสนสดของ step เทยบกบ configuration สดทายมคาเทากบ

[ ] [ ][ ]

−−

=

−−

==

190003.2414.12

60003.2414.12

19002510

6002510

1221

21

2 TΓΓFΓF

จากการค านวณ พบวา วธ force recovery นเปนวธการทตรงไปตรงมา และเปนวธการทขยายออกมาจากขนตอนการวเคราะหแบบ linear elastic


8.6 การยดรง plastic hingeส าหรบการวเคราะหแบบไมเชงเสนตรงของวสด (material nonlinear analysis) ดงทไดกลาวถงไปแลวใน

section ท 7.2 นน load ratio ทใชในการวเคราะหจะตองมขนาดทเลกเพอปองกนไมใหขอหมนพลาสตก (plastic hinge) เกดขนภายในชวงของ load increment ซงเปนการปองกนไมใหเกดการเปลยนแปลงของความแกรงของโครงสรางอยางทนททนใด

ในการค านวณหาคา load ratio ทท าให plastic hinge เกดขนทจดสนสดของ increment นน เราจะตองท าการเปรยบเทยบแรงภายในชนสวนของโครงสรางกบ plastic hinge criteria (เชน yield surface ในสมการท 7.18) ถาไมม plastic hinge เกดขน การค านวณกจะด าเนนตอไปได

ในบางกรณ ดงทแสดงในรปท 8.8 แรงภายในชนสวนของโครงสรางบางชดจะฝาฝน yield surface และจะท าใหเกด plastic hinges ท fraction τ ของ load ratio ทใชอย ถาเหตการณเชนนเกดขนใน step แรกของ increment แลว เราควรจะลดขนาดของ load ratio ลงใหมคาเทากบ minτ คณกบ load ratio และหลงจากท าการค านวณใน step แรกเสรจสนแลว เราควรทจะท าการค านวณใน increment ดงกลาวซ าโดยใชคา load ratio ทต าลง

รปท 8.8

การค านวณหา fraction τ ของ load ratio ส าหรบชดของแรงภายในชนสวนของโครงสรางดงกลาว เราจะตองหา root ของสมการ เชน จากสมการท 7.7 เปนตน โดยเราจะเขยนสมการดงกลาวใหมใหอยในรป

01) , ( =−++Φ dmmdpp ττ (8.34)เมอ p , dp , m , และ dm เปนอตราสวนของแรงและอตราสวนของโมเมนตทเราทราบคา ดงทแสดงในรปท 8.8 และ τ เปนรากของสมการดงกลาวทเราตองการหา โดยทวไปแลว เราจะใช method of false position ในการหารากของสมการดงกลาว โดยมขนตอนการค านวณดงน

1. ก าหนดใหคา 0=lτ และ 1=uτ

2. หาคาประมาณของรากของสมการ rτ จากสมการ

[ ])()(

)(1)(

ul

uluur ττ

τττττ

Φ−Φ−−Φ

−= (8.35)


เมอ ยกตวอยางเชน ) , ()( dmmdpp uuu τττ ++Φ=Φ เปนตน3. แทน rτ กลบลงในสมการท 8.35 ดวยคาใดคาหนงของ lτ และ uτ ทหาไดในขนตอนทสอง โดยทคาดง

กลาวจะตองท าใหคาของฟงกชน 1)( −Φ τ มเครองหมายเชนเดยวกบ 1)( −Φ rτ

4. ท าการค านวณซ า จนไดคา fraction τ ทเหมาะสมตวอยางท 8.5 แสดงการใชสมการท 8.34 และ 8.35อกสถานการณหนงใน material nonlinear analysis ทเราตองท าการลดขนาดของ load ratio ลงคอ เมอม

plastic hinge เกดขนอยแลวในตอนเรมตนของ increment ซงในกรณน ถา yield surface เปนเสนโคงและเมอแรงกระท าเปลยนแปลงไปและมคาเกนคาทยอมใหของ yield surface drift แลว แรงดงกลาวจะไมอยบน yield surface (ดรปท 8.9 เมอแรงเคลอนทจากจด A ไปยงจด B )

รปท 8.9

เพอทจะหลกเลยงสถานการณดงกลาว เราจะตองลดขนาดของ load ratio ลงโดยใช fraction τ เพอให increment ของแรงเคลอนทจาก A ไปยงจด C ซงจะท าไดโดย

1. ขยาย yield surface Φ ไปคาๆ หนง เพอหาคา maximum tolerable surface Φ′2. ใชวธการหารากของสมการขางตนกบ Φ′ เพอหาคา τ ทอนญาตใหใช

เราควรทราบดวยวา การขยาย yield surface จะกระท าไดอกวธการหนงโดยการเพม yielding strength ของวสดการวเคราะหขางตนจะด าเนนตอไปไดนน คาแรงทอยบน tolerable yield surface จะตองมคาลดลงมายง yield

surface เรมตน ส าหรบโครงสรางโดยทวไป ความแตกตางของคาแรงท yield surface ทงสองจะมคาทนอยมากๆ ซงเราอาจจะไมน ามาพจารณาได ในบางกรณ คาแรงทจด C ควรทจะคนมาทจด D ในแนวตงฉาก ดงทแสดงในรปท 8.9

นอกจากแรงจะถง yield surface และเคลอนทสมผส (tangent) กบผวดงกลาวแลว การกระจายของแรงภายในชนสวนของโครงสรางอาจจะมการเปลยนแปลงเกดขนเมอแรงกระท าในล าดบถดมามขนาดทท าให plastic hinge บนหนาตดของโครงสรางเกดการ unload อยางยดหยน (ด section ท 7.2.1) ในสถานการณเชนน เราควรท าการวเคราะหโครงสรางในชวงของ load increment ดงกลาวใหมทงหมดโดยใชคณสมบตแบบยดหยนของหนาตดดงกลาว


ตวอยางท 8.5ก าหนดใหอตราสวนของแรงและอตราสวนของโมเมนต 3.0=p , 05.0=dp , 8.0=m , และ 1.0=dm

จงใชสมการท 8.35 ค านวณหา fraction τ ทสอดคลองกบสมการท 8.34 ถงทศนยมล าดบทส สมมตให2222 5.3),( mpmpmp ++=Φ

Iteration แรก:0=lτ

9316.0),()( =++Φ=Φ dmmdpp lll τττ

1=uτ

2798.1),()( =++Φ=Φ dmmdpp uuu τττจากสมการท 8.35

1964.0)2798.19316.0()10)(12798.1(1 =

−−−

−=rτ

9935.0),()( =++Φ=Φ dmmdpp rrr τττIteration ทสอง:

0684.01)( −=−Φ lτ

2798.01)( =−Φ uτ

0065.01)( −=−Φ rτเนองจาก 1)( −Φ lτ และ 1)( −Φ rτ เปนลบทงค ดงนน ให rl ττ =

1964.0=lτ

9935.0)( =Φ lτ

1=uτ

2798.1)( =Φ uτจากสมการท 8.35

2146.0)2798.19935.0(

)11964.0)(12798.1(1 =−

−−−=rτ

9994.0)( =Φ rτIteration ทสาม:

0065.01)( −=−Φ lτ

2798.01)( =−Φ uτ

0006.01)( −=−Φ rτเนองจาก 1)( −Φ lτ และ 1)( −Φ rτ เปนลบทงค ดงนน ให rl ττ =

2146.0=lτ

9994.0)( =Φ lτ

1=uτ

2798.1)( =Φ uτจากสมการท 8.35


2163.0)2798.19994.0(

)12146.0)(12798.1(1 =−

−−−=rτ

9999.0)( =Φ rτหลงจากท าการค านวณสาม iteration เราได 2163.0=τ ซงสอดคลองกบสมการท 8.34 ถงทศนยมล าดบทส


8.7 การวเคราะหหา limit point และ post-limit pointใน section ท 5.1.2 เราไดนยาม stability limit point วาเปนจดซงระบบโครงสรางไมสามารถรองรบแรงกระท าท

เพมขนไดอกตอไป แตจะยงคงมการเปลยนแปลงรปอยางตอเนอง ซงจะท าใหความตานทานตอแรงกระท าของระบบโครงสรางลดลงเรอยๆ (ดรปท 8.10) ในการวเคราะหโครงสราง จดดงกลาวจะเปนจดซง global stiffness matrix เลกเปน positive definite ดงนน จด limit point จะถกพบไดโดยการตรวจสอบหาคาสมประสทธทไมเปนบวกใน main diagonal ของ stiffness matrix โดยใช Guess หรอ Cholesky decomposition

รปท 8.10

เมอถงจด limit point แลว เราจะท าการวเคราะหโครงสรางตอไปยงชวง post-limit point ไดโดยการใช positive initial load ratio 1

idλ ในการแกระบบสมการแบบ nonpositive definite โดยมขนตอนดงตอไปน1. ท า decomposition และ substitution steps (ด section ท 11.2 ใน reference 1) ซงจะท าใหความสมพนธ

ของแรง P และการเปลยนต าแหนง ∆ ของโครงสรางเกดการเคลอนทจากจด A ไปยงจด B ดงทแสดงในรปท 8.10

2. ท าการกลบเครองหมายของ load increment เพอท าใหความสมพนธของ P และ ∆ เปลยนการเคลอนทจากจด A ไปยงจด B เปนการเคลอนทจากจด A ไปยงจด C

3. ท าการค านวณซ าจนกระทงจบการวเคราะหหรอจนกระทง stiffness matrix เปลยนจาก nonpositive definite กลบมาเปน positive definite ถาเกดเปนกรณหลง เราจะตองท าการเปลยนเครองหมายของ load increment กลบไปเปนบวก

เราควรทราบดวยวา global stiffness matrix จะเปน singular ท limit point ซงจะท าใหเราไมสามารถ trace พฤตกรรมของโครงสรางหลงจด limit point ไดโดยตรง

จากรปท 8.11 เราจะเหนไดวา bifurcation สามารถทจะเกดขนไดกอนทจะถง limit point ในกรณเชนน การตอบสนองของโครงสรางจะเปลยนจาก mode ทมเสถยรภาพไปยง mode อนทอาจจะเปนแบบมเสถยรภาพและแบบไมมเสถยรภาพกไดโดยไมมการเตอนลวงหนา อยางไรกตาม โครงสรางโดยทวไปมกจะไมแสดงพฤตกรรมดงกลาว เนองจากความไมสมบรณของรปรางของโครงสราง ความไมสมบรณของวสดทใชท าโครงสราง และความไมสมบรณของการกระท าของแรงกระท า


รปท 8.118.8 การวเคราะหหาน าหนกบรรทกวกฤต (critical load)

ในบทท 5 เราไดศกษาเกยวกบเสถยรภาพของโครงสราง ในบทท 6 และ 7 และ section ท 8.7 เราไดหา limit point หรอจดทเกดสภาวะสมดลแบบเปนกลาง (neutral equilibrium) ของโครงสราง โดยการท า incremental analysis

ในทางคณตศาสตรแลว (ดสมการท 11.50 ใน reference 1) เมอเงอนไขของ tangent stiffness matrix มจ านวนอนนตและการเปลยนแปลงอยางเลกนอยใน vector ของแรงกระท าท าใหเกดการเปลยนแปลงอยางสงมากใน vector ของการเปลยนต าแหนงแลว สมการความสมดลจะเปน singular ดงนน vector ของการเปลยนต าแหนงจะตองสอดคลองกบสมการ

[ ] 0∆K =ffft , (8.36)เมอ [ ]fft ,K เปน tangent stiffness matrix และ subscript ff ระบวาเปนการพจารณาเฉพาะ degree of freedom ทเปนอสระเทานน

อกทางเลอกหนงในการท า incremental analysis คอ การตดพฤตกรรมแบบไมเชงเสนตรงของวสดออกและสมมตใหการกระจายของแรงภายในทเกดขนมคาเทากนทก load ratio และเนองจากความจรงทวา element geometric stiffness matrix เปนฟงกชนเชงเสนตรง (สมการท 6.17 ถง 6.19) ดงนน เราจะเขยนสมการท 8.36 ไดใหมเปน

[ ] 0∆KK =+ fffgffe ,,ˆλ (8.37)

หรอ [ ] [ ] fffgfffe ∆K∆K ,,

ˆ−= λ (8.38)เมอ [ ]ffg ,K− ถกหาจากแรงภายในชนสวนของโครงสราง ซงไดมาจากการวเคราะหแบบยดหยนเชงเสนตรง (linear elastic analysis) ของน าหนกบรรทกอางอง (reference load) ทเราทราบคา refP และ λ เปนอตราสวนของ elastic critical load และ reference load ดงกลาว

สมการท 8.38 อยในรปแบบของปญหา eigenvalue โดยทวไปแลว เราจะแกสมการดงกลาวไดงายกวาการท า incremental analysis ใน section น เราจะกลาวถงวธการแกปญหา eigenvalue สามวธ โดยทสองวธแรกจะเปนการเปลยนรปสมการท 8.38 ใหอยในรป standard form ในรป [ ] ΥΥΗ ω= และวธทสามจะเปนวธการทมแนวความคดมาจากวธการทหนงและสอง แตไมมการเปลยนรปสมการ

อยางไรกตาม การวเคราะหหา critical load ขางตนจะถกปรบใหรวมพฤตกรรมแบบไมยดหยนของวสดเขาดวยได (ด section ท 7.3) โดยการปรบสมการท 8.38 ดงน


1. เทอม [ ]ffe,K จะตองถกแทนทดวยเทอม [ ]fft ,K เพอแสดงใหเหนถงการลดลงของความแกรงของวสดท critical load

2. ท าการหาการกระจายของแรงภายในโดยใช nonlinear incremental method โดยใช [ ]fft ,K และแรงภายใน element และ [ ]ffg ,K− จะไมเปนฟงกชนเชงเสนตรงของ reference load อกตอไป

การปรบสมการท 8.38 ดงกลาวจะท าใหการวเคราะห inelastic critical load เปนการวเคราะหหาคาต าสดของ load ratio λ ทสอดคลองกบสมการ

[ ] 0∆PKPK =+ fffgfftref ,ref, )()( λλλ (8.39)เมอ 1=λ จากนน เราจะท าการก าหนดคา load ratio λ ตางๆ แลวท าการวเคราะห eigenvalue จนกระทง load ratio λ ในสมการท 8.39 มคาเปนหนง ซงคา λ ทต าทสดทสอดคลองกบสมการท 8.39 จะเปนอตราสวนของ elastic critical load และ reference load8.8.1 การลดรปใหอยในรป Standard Form

Standard form ของ matrix eigenvalue problem จะอยในรป [ ] ΥΥΗ ω= (8.40)

เมอ [ ]Η เปน nn× matrix ทเราทราบ, ω เปนคาคงททเราไมทราบคา, และ Υ เปน vector ซงมตวแปรทเราไมทราบคา n ตว

ในทน เราตองการหา pairs of eigenvalue iω และ eigenvector iΥ ทสอดคลองกบสมการท 8.40 โดยไมสนใจ trivial solution 0=Υ โดยทวไปแลว เราจะไดค าตอบทงหมด n eigenpairs ทสอดคลองกบสมการดงกลาว และ eigenvector จะอยในรปทคณดวยปรมาณ scalar c หรอ Υc

เราควรทจะทราบดวยวา [ ]Η เปน matrix ทสมมาตร ซงจะชวยท าใหการค านวณ eigenvalues และeigenvectors มความงายขนมาก

ในการหา critical load เราจะเรมโดยการเปลยนสมการท 8.38 ใหอยในรป standard form โดยการคณทงสองขางของสมการดงกลาวดวย inverse ของ [ ]ffe,K ซงเราจะได

[ ] [ ] ffffgffe ∆∆KKλ1ˆ

,1

, =−− (8.41)

สมการท 8.41 นจะอยในรปเดยวกนกบสมการท 8.40 โดยท [ ] [ ] [ ]ffgffe ,1

, KKΗ −= − และ λω /1= แตเนองจาก [ ] [ ]ffgffe ,

1, KK −− ไมเปน matrix ทสมมาตร ดงนน เราจะตองท าการเปลยนรปเทอมดงกลาวใหอยในรป

แบบอนเนองจาก [ ]ffe,K เปน positive definite matrix เสมอ ดงนน เราจะท าการแยก factor ของ matrix ดงกลาวได

โดยใช Cholesky method (ด section ท 11.2.2 ใน reference 1) ในรป [ ] [ ][ ]Tffe LLK =, (8.42)

โดยท [ ] [ ] 11 −− = TT LL และ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]ILLLL ==−− TT 11 เมอ [ ]I เปน identity matrix ดงนน สมการท 8.38 จะ

ถกเขยนใหมไดเปน[ ] [ ][ ] [ ] [ ] fT

fTT

ffg ∆L∆LLKL ω=−−− 1

,1 ˆ (8.43)

เมอ λω /1= และสมการท 8.43 จะเขยนใหอยในรป standard form ของสมการท 8.40 ไดเปน [ ] ΥΥΗ ω= (8.40)


โดยท [ ] [ ] [ ][ ] 1

,1 ˆ −− −= T

ffg LKLΗ (8.44a) [ ] [ ] fT ∆LΥ = (8.44b)

เนองจาก [ ]ffg ,K− เปน matrix ทสมมาตร ดงนน [ ]Η จงเปน matrix ทสมมาตรดวย ตวอยางท 8.6 แสดงการหา eigenvector โดยการลดรปใหเปน standard form

Eigenvalue ω ทหามาไดจากสมการท 8.43 และ 8.40 จะมคาเทากน ซงแสดงวา load ratio λ ทสอดคลองกบสมการท 8.38 ดงนน คาสงสดของ eigenvalue ทไดจากสมการท 8.40 จะเปนคาต าสดของ λ (ซงเปนคา critical load ratio ของโครงสราง) จากนน เราจะใช eigenvector [ ]Υ ทไดจากการแกสมการท 8.44 ในการหารปรางการโกงเดาะของโครงสรางหรอ mode f∆ ไดโดยท

[ ] ΥL∆ Tf

1−= (8.45)วธการ Cholesky decomposition ในสมการท 8.42 เปนขนตอนหนงทใชเวลามากทสดในขบวนการแปลงรป เรา

สามารถหลกเลยงขนตอนนไดถาเราท า decomposition สมการดงกลาวใน linear elastic analysis ทใชในการหาแรงส าหรบการค านวณหา [ ]ffg ,K− หลงจากทไดคา [ ]L จากสมการ

∑−

=

−=1

1

2i

kikiiii lal

ii

i

kikjkji

ji l

llal

∑−

=

−=

1

1 ส าหรบ nij , ,1 K+= (a)

(ดสมการท 11.15 reference 1) แลว เราจะหาคาในแถวท thi ของ [ ] 1−L ไดจากสมการiiii ll /11 =−

เมอ

ij

i

jkkjik

ii l

lll

∑+=

−

− −= 1

1

1 ส าหรบ 1 ,, 2 ,1 K−−= iij (8.46)

จากนน เราจะแก standard form และ general form ของ eigenvalue problem ตามทไดกลาวไปแลว


ตวอยางท 8.6ก าหนดใหโครงสรางมลกษณะดงทแสดงในรป จงเขยน eigenproblem ใหอยในรป standard form

ก าหนดใหโครงสรางม degree of freedom ดงทแสดงในรป

[ ]

=

)10(2.118000180036.00

00144

7, ffeK

จากสมการ (a) ในหนาท 8-27

[ ]

=

05.17323000006.000012

L


[ ]

−=

−

−

)10(77.1589.20067.10000833.0

4

1L

เมอ kN P 1000ref = , kN 10002 −=xF จากสมการท 6.14

[ ]

−−−−

−=

)10(33.1100010012.00001.0

ˆ6

, ffgK

จากสมการท 8.44a[ ] [ ] [ ][ ]

−−=

−=−

−−

111.1481.00481.0333.00

00)10(944.6

ˆ

4

1,

1

LKLΗ Tffg

Standard form ของ eigenvalue problem อยในรป[ ] ΥΥΗ ω=


8.8.2 Polynomial expansionFormal solution ของ eigenpairs iω จะหามาไดโดยการใชสมการท 8.40 ในรป

[ ] 0ΥIΗ =−ω (8.47)เมอ [ ]I เปน nn× identity matrix และ nontrivial solution จะหามาไดเมอ [ ]IΗ ω− เปน singular matrix เทานน ซงเราจะไดวา determinant ของสมประสทธของ matrix ดงกลาวจะตองมคาเทากบศนย

0=− IΗ ω (8.48)เมอท าการกระจายสมการท 8.48 เราจะไดสมการ polynomial ทม degree n เมอ n เปน order ของ matrix

เมอท าการแกสมการดงกลาว เราจะไดรากของสมการทงหมด n ตว ซงเปน eigenvalues iω นอกจากนนแลว เราจะสามารถหา eigenvector [ ]iΥ ไดโดยการสมมตให element ใด element หนงของ [ ]iΥ มคาเทากบหนง (โดยปกตแลว จะใช element ท thn ) จากนน ใชสมการท 8.47 ชวยในการแกหาคา eigenvector ของ element ทเหลอ


ตวอยางท 8.7จากโครงสรางและค าตอบทไดในตวอยางท 8.6 จงใช polynomial expansion หาคา critical load และรปราง

การโกงเดาะของเสา

[ ]

−−−−

−=−

−

ωω

ωω

111.1481.00481.0333.00

00)10(944.6 4

IΗ

[ ][ ]1386.0444.1))10(944.6(

)481.0()111.1)(333.0())10(944.6(24

24

+−−=

−−−−−=−−

−

ωωω

ωωωωIΗ

ซงเราจะไดรากของสมการขางตนมคาเทากบ)10(944.6 4

1−=ω

341.12

)1386.0(4444.1444.1 2

2 =−+

=ω

1036.02

)1386.0(4444.1444.1 2

3 =−−

=ω

คาสงสดของ ω จะสอดคลองกบคาต าสดของ critical load ratio

746.01

maxmin ==

ωλ

kN 746== refcr PP λ

ซงเราจะเหนไดวา คา critical load ทไดแตกตางจากคาทางทฤษฎ kN 7404 2

2

==LEIPcr

π อย 1.5%

รปรางการโกงเดาะของเสาท critical load จะหาไดจากสมการท 8.47[ ] 0ΥIΗ =−ω

=

ΥΥΥ

−−−−

−

000

2296.04810.004810.00076.10003399.1

3

2

1

หลงจากท า Gauss elimination (ด section ท 11.2.1 ใน reference 1) สมการขางตนจะลดรปลงเหลอ

=

ΥΥΥ

−−

−

000

0004810.00076.10003399.1

3

2

1

ซงเปน singular matrix, 0=− IΗ ω และเราจะตองสมมตคาของ element หนงของ Υ ดงนน สมมตให 13 =Υ

จากนน เมอเราแทนคาลงใน matrix ขางตน แลวท าการหา Υ เราจะได

−=

14774.00

Υ

จากสมการท 8.45 และ [ ] 1−L ทไดในตวอยางท 8.6 เราจะไดการโกงเดาะของเสามคาเทากบ


−=

−

−=

−− )10(77.5687.3

0

14774.0

0

)10(77.589.20067.10000833.0

44

T

f∆

ซงจะเขยนใหอยในรป scalar multiple ไดเปน

−=

∆∆∆

=− )10(56.1

0.10

∆4

3

2

1

cf

radmmmm

และเราจะเขยน elastic curve ของการโกงเดาะของเสาได ดงทแสดงในรป


8.8.3 Power methodPolynomial expansion จะใชไดดกบกรณท order ของ [ ]Η มคาทต ามากๆ ( 5<n ) โดยทวไปแลว โครงสราง

ทเราวเคราะหหา critical load จะม order ของ [ ]Η สงกวานมาก นอกจากนนแลว ในการวเคราะหดงกลาว เรามกจะตองการหาแคคาสงสดของ eigenvalues และ eigenvector ทสอดคลองกบสมการท 8.40 เพยงบางคาเทานน ดงนน จงมการพฒนาวธการค านวณทมประสทธภาพมากขนขนมา

Power method เปน numerical algorithm ทงายทสดทจะใชในการแก eigenproblem ทอยในรป standard form แตเปนวธการทใหคาสงสดสมบรณของ eigenvalue และ eigenvector เทานน

วธการนเรมตนดวยการเดาคา eigenvector [ ]0Υ จากนน แทนคาดงกลาวลงในเทอมทางดานซายมอของสมการท 8.40 ซงเราจะได

[ ] 10 ΥΥΗ = (8.49)คาประมาณทดขนของ eigenvector [ ]1Υ จะหาไดโดยการหารทก element ของ [ ]1Υ ดวย Euclidean norm

( )∑=

Υ=n

iie 1

211 ˆΥ และคาประมาณของ 1ω จะหาไดจากสมการ

[ ] 111 ΥΗΥ T=ω (8.50)

โดยการใชคา eigenvector [ ]1Υ และท าการค านวณซ าตามขนตอนทกลาวมาแลวขางตน เราจะได eigenpair ทมความถกตองมากขน

การค านวณซ าจะกระท าจนกระทงเราไดค าตอบทมความถกตองตามทเราตองการ โดยใช convergence criteria ในรป

ςε <a (8.51)โดยท

%1001

i

ii

a ωωωε

−−= (8.52)

และ ς เปนเปอรเซนของ error tolerance ตวอยางท 8.8 แสดงการใช power method และสมการท 8.49 และ 8.52ในบางกรณวธ power method จะมการ converge ทชามาก วธการหนงทจะชวยเรงการค านวณคอ การใช

relaxation schemes โดยทคาประมาณทดกวาของ normalized eigenvector จะถกหาจากสมการ [ ] [ ] [ ]1)1( −++= iii ΥΥΥ ββ (8.53)

เมอ relaxation factor β มคาอยระหวางศนยถงสองเมอเราท า successive iteration และพบวาคาประมาณของ eigenvalue มคาแกวงไปมาแลว underrelaxation10 << β จะท าใหอตราการ convergence เกดขนไวขน และ overrelaxation 21 ≤< β กจะใหผลเชนเดยวกนกบ

underrelaxation เมอ successive iteration ใหคาประมาณของ eigenvalue อยในรปทไปทางเดยวกนในระบบของโครงสรางบางระบบ เรามกจะตองการหา critical load ratio และรปรางการโกงเดาะของโครงสราง

เพยงบางคาเทานน หลงจากทเราหา eigenpair หลก 1ω และ [ ]1Υ ไดแลว คา eigenpair ล าดบถดมาจะหาไดโดยใช deflation scheme ซงท าไดโดยการเปลยนรป [ ]Η ใหอยในรป [ ]2Η ทม eigenpairs คาเดยวกนกบ [ ]Η ยกเวนวาeigenvalue หลกของ [ ]2Η จะตองมคาเทากบศนย ดงนน เราจะหาคาสงสดของ eigenvalue ล าดบถดมา 2ω และ


eigenvector [ ]2Υ ของ [ ]Η ไดโดยใช power method และขนตอนการค านวณจะกระท าซ าจนกระทงไดคา eigenpairของ [ ]Η ตางๆ ทตองการ

ตวอยางของ deflation scheme คอ Hotelling's method ซงอยในรป

[ ] [ ] iT

i

Tiii

ii ΥΥΥΥΗΗ ω

−=+1 (8.54)

เราควรทจะทราบไวดวยวา ในทกกรณรปรางการโกงเดาะของโครงสราง f∆ ทสอดคลองกบ eigenvector Υ จะหามาไดโดยการใชสมการท 8.45

Sturm sequence property เปนแนววธทมประโยชนและสะดวกในการตรวจสอบการค านวณหา multiple eigenvalue อกทางหนง โดยมพนฐานมาจากการท า [ ][ ][ ]TLDL factorization ของเทอม [ ]IΗ ω− ส าหรบคาๆ หนงของ ω โดยทจ านวนของ negative element ใน [ ]D จะเทากบจ านวนของ eigenvalues ทมคานอยกวา ω

ตวอยางท 8.9 และ 8.10 แสดงการใช Hotelling's deflation method และ Sturm sequence property ตามล าดบ


ตวอยางท 8.8จากค าตอบทไดในตวอยางท 8.6 จงใช power method หาคา critical load ratio และรปรางการโกงเดาะของเสา

เมอ percent error tolerance %1.0=ς

สมมตใหคาประมาณเรมตนของ Υ เปน

=

111

Υ

เราจะไดผลลพธจากการท า iteration แรกอยในรป

[ ]

−==

−

6300.01478.0

)10(944.6ΥΗΥ

4

01

−===

9736.02284.0

0011.0

6471.0

ˆˆˆ 1

1

11 Υ

ΥΥΥ

e

และ [ ] 2845.1111 == ΥΗΥ T

ωจากการท า iteration ทสอง เราจะได

−=

−

1916.15445.0

)10(453.7Υ

7

2

3102.1ˆ 2 =e

Υ

−=

−

9095.04156.0

)10(6884.5 7

2Υ

3405.12 =ωและจากสมการท 8.51

%18.4%1003405.1

2845.13405.1%1001

=−

=−

=−

i

ii

a ωωωε

ซงมากกวา percent error toleranceจากการท า iteration ทสาม เราจะได

−=

−

9030.04297.0

)10(9465.2 10

3Υ

3409.13 =ωและ

%1.0%03.0 =<= ςε a


ซงนอยกวา percent error tolerance ดงนน critical load ratio จะมคาเทากบ

7458.013min ==

ωλ

kN746refmin == PPcr λ

ซงแตกตางจากคาทางทฤษฎ kN 7404 2

2

==LEIPcr

π อย 1.5%

คาการโกงเดาะของเสาท critical load จะหาไดจากสมการท 8.45

[ ]

−==−

−

−

)10(2132.53228.3

)10(455.2

4

11

31 ΥL∆ Tf


−=

∆∆∆

=− )10(57.1

0.10

∆4

3

2

1

cf

radmmmm

และเราจะเขยน elastic curve ของการโกงเดาะของเสาได ดงทแสดงในรป ซงเหมอนกบ elastic curve ทหาไดในตวอยางท 8.7


ตวอยางท 8.9จงใชค าตอบทไดจากตวอยางท 8.6 และ 8.8 และ Hotelling's deflation และ power method ในการหา critical

load ratio ล าดบทสองของเสาและรปรางการโกงเดาะของเสา เมอ percent error tolerance %1.0=ς

จากสมการท 8.54 และใช 31ω และ 3

1Υ

[ ] [ ]

=

−=

−

88.1718.39018.3971.850

006944.010 3

31

31

1112

ΥΥΥΥΗΗ T

Tω

เมอใช [ ]2Η แทน [ ]Η ในสมการท 8.49 ถง 8.52 วธ power method จะ converge หลงจากทท า iteration ครงทสอง

1036.022 =ω

=

−

4156.09095.0

)10(3892.3 5

22Υ

คา 22ω จะท าใหได critical load ratio ล าดบทสองของเสามคาเทากบ

6511.9122

2 ==ω

λ

หรอkN9651ref22, == PPcr λ

และคาการโกงเดาะของเสาเนองจาก critical load ล าดบทสองของเสามคาเทากบ[ ]

=

=

−

−

−

)10(3997.23160.0

)10(8244.2

ΥL∆

4

6

22

12,

Tf


=

− )10(59.70.1

0∆

42, cf

และเราจะเขยน elastic curve ของการโกงเดาะของเสาได ดงทแสดงในรป

คา kN 96512, =crP ทไดมคาประมาณ 1.5 เทาของคาตามทฤษฎ kN 66624

92

2

2, ==LEIPcr

π โดยการ

แบงโครงสรางออกเปน element ทมากขน เราจะไดค าตอบทถกตองมากขน เชน ถาแบงออกเปน 2 element แลว เราจะไดวา kN 68842, =crP ซงตางจากทฤษฎเพยง 3.3% เทานน


ตวอยางท 8.10จงใชค าตอบทไดจากตวอยางท 8.6 และ Sturm sequence property เพอทจะแสดงวา [ ]Η ม eigenvalues 2

คาทนอยกวา 5.0=ω

จาก 5.0=ω และ

[ ]

= −

88.1718.39018.3971.850

006944.010 3

2Η

เราจะได

[ ]

−−−

−=−

6100.04811.004811.01667.00004993.0

IΗ ω

จากสมการ [ ] [ ][ ][ ]TLDLIΗ =−ω เมอ

[ ]

=

18868.20010001

L

และ

[ ]

−

−=

999.10001667.00004993.0

D

จ านวนของคาลบใน [ ]D เทากบสอง ซงแสดงใหเหนอยางถกตองวา [ ]Η ม eigenvalues 2 คาทนอยกวา 5.0=ω ซงไดถกหาไปแลวในตวอยางท 8.7 คอ

)10(944.6 41

−=ω และ 1036.03 =ω


8.8.4 Inverse iterationความงายและความมประสทธภาพของ power method จะถก offset ดวยการทเราจะตองแปลง eigenproblem

ใหอยในรป standard form และเนองจาก bandedness ของ [ ]ffe,K และ [ ]ffg ,K− จะไมถกสงไปยง [ ]Η ดงนน ในบางกรณ เราจ าเปนทจะตองใช iterative algorithm เพอแก eigenproblem ในรป general form

วธการหนงเรามกใชคอ inverse iteration ซงเหมาะสมกบ eigenproblem ในรปสมการท 8.38 เนองจาก iteration ดงกลาวจะ converge ใหคา eigenvector ทให eigenvalue ทมคาต าสดหรอ critical load ratio λ

วธการนเรมตนดวยการประมาณคาเรมตนของ 0f∆ ทเปน eigenvector ควบคม ซงโดยทวไปแลวจะเปน

vector ทมสมประสทธเปนหนงทงหมด จากนน ท าการค านวณหา vector 1y จากสมการ [ ] 0

,1

fffg ∆Ky −= (8.55)จากนน คาประมาณทดขนของ eigenvector ควบคม 1

f∆ จะหาไดจากการแกสมการ [ ] 11

,ˆ y∆K =fffe (8.56)

จากนน ท า normalizing 1ˆf∆ โดยใชสมการ

[ ] 1

,1

11

ˆˆ

ˆ

fffg

T

f

ff

∆K∆

∆∆

−= (8.57)

และคาโดยประมาณของ eigenvalue จะหาไดจากสมการ [ ] 1

,1

1 fffeT

f ∆K∆=λ (8.58)ในท านองเดยวกนกบวธ power method ขนตอนการท าจะถกท าซ าโดยใช 1−i

f∆ เปนคาเรมตนของ iteration ท thi ซงจะกระท าซ าไปจนกระทงความผดพลาดทเกดขนมคาสอดคลองกบ convergence criteria ในสมการท 8.51 และ 8.52

ตวอยางท 8.11 แสดงการใช inverse iteration method ในการแกปญหาในตวอยางท 8.6


ตวอยางท 8.11จงใช inverse iteration method ในการหา critical load ratio และรปรางการโกงเดาะของเสา ดงทแสดงในตว

อยางท 8.6 เมอ percent error tolerance %1=ς

สมมตใหคาประมาณเรมตนของ 0f∆ เปน

=

111

0f∆

เราจะไดผลลพธจากการท า iteration แรกอยในรป

[ ]

=

=−=

)10(334.112.100

10.0

111

)10(33.1100010012.00

001.0

66

0,

1fffg ∆Ky

แกสมการ [ ] 11,

ˆ y∆K =fffe

=

)10(334.112.100

10.0ˆ

)10(2.118000180036.00

00144

6

1

7f∆

−=

−

2776.0)10(110.1)10(944.6

ˆ 3

4

1f∆

ท าการ normalizing ตามสมการท 8.57

[ ]

−=−

=−

−

)10(386.6553.2

)10(598.1

ˆˆ

ˆ

4

6

1,

1

11

fffg

T

f

ff

∆K∆

∆∆

คาประมาณเรมตนของคาต าสดของ eigenvalue จะมคาเทากบ [ ] 371.11

,11 =−= fffe

Tf ∆K∆λ

เมอท า iteration ทสอง เราจะได

−=

−

161.5962425.0

)10(598.1 6

2y

−=−

−

)10(303.6689.3

)10(109.1ˆ

4

9

2f∆

−=−

−

)10(662.4852.2

)10(578.8

4

10

2f∆

750.02 =λ



%8.82%100750.0

371.1750.0=

−=aε

ซงมากกวา percent error toleranceจากการท า iteration ทสาม เราจะได

−=

−

43.3362956.0

)10(578.8 11

3y

−=−

−

)10(049.6846.3

)10(957.5ˆ

4

13

3f∆

−=−

−

)10(512.4869.2

)10(444.4

4

3

2f∆

746.03 =λจากสมการท 8.51

%1%54.0%100746.0

750.0746.0=<=

−= ςε a

ซงมคานอยกวา percent error tolerance ทก าหนด ดงนน เราจะได critical load ของเสามคาเทากบkN 746== refcr PP λ

คาการโกงเดาะของเสาท critical load ซงเขยนใหอยในรป scalar multiple จะมคาเทากบ

−=

− )10(57.10.1

0∆

4

3 cf

radmmmm

และเราจะเขยน elastic curve ของการโกงเดาะของเสาได ดงทแสดงในรป ซงเหมอนกบ elastic curve ทหาไดในตวอยางท 8.7


โดยสรปแลว เรายงมเทคนคตางๆ ทใชในการแกปญหา eigenvalue อกหลายวธ แตโดยทวไปแลว วธการทใชในการแกปญหา eigenvalue จะถกแบงออกไดเปน 4 แบบคอ

1. Vector iteration approach เชน power iteration method และ inverse iteration method เปนตน2. Transformation strategies3. Polynomial iteration techniques4. Sturm sequence-based methods

เนองจากไมมวธการใดสามารถทจะใชหา root ของสมการ polynomial ทม degree มากกวา 5 ไดโดยตรง ดงนน การแกปญหา eigenvalue ทง 4 แบบจงเปน iterative method และสวนหนงของวธการดงกลาวจะใช variation ของ iterative method รวมกบ acceleration และ deflation schemes ทกลาวถงไปแลว


แบบฝกหดทายบทท 88.1 จงใชวธการค านวณตอไปนหาระยะยดของ nonlinear spring ∆ ภายใตแรง 3=P โดยแบงแรง P ออกเปน 3

incrementa.) Euler methodb.) Mid-point Runge-Kutta methodc.) เปรยบเทยบผลลพธทไดจากขอ a.) และ b.) กบ exact solution 8)2( 3 −+=∆ p

8.2 ท าการค านวณปญหาขอ 8.1 อกครง ก าหนดให nonlinear spring มความแกรงอยในรป1

23cosh

23

−

=Pk

และ exact solution อยในรป

=∆

23sinh P

8.3 จงใช Euler method หา second order elastic response ของคานยน ดงทแสดงในรป โดยเรมตนใช increment size 5.0=λd จากนน ท าการลด increment size ลงครงหนงทกครงทท าการวเคราะหซ า จนกระทง load-displacement response มการเปลยนแปลงนอยมาก สดทาย ท าการตรวจสอบผลลพธทไดกบผลลพธทไดจาก work control method

8.4 จงท าการค านวณโจทยขอ 8.3 ซ าโดยใช Mid-point Runge-Kutta method และเปรยบเทยบผลลพธทได8.5 จงท าการค านวณโจทยขอ 8.3 และ 8.4 โดยก าหนดใหโครงขอแขงมลกษณะดงทแสดงในรป


8.6 จงใช Euler method หา second order inelastic response ของโครงขอแขง ดงทแสดงในรป โดยเรมตนใช increment size 5.0=λd จากนน ท าการลด increment size ลงครงหนงทกครงทท าการวเคราะหซ า จนกระทง load-displacement response มการเปลยนแปลงนอยมาก

8.7 จงท าการค านวณโจทยขอ 8.6 ซ าโดยใช Mid-point Runge-Kutta method และเปรยบเทยบผลลพธทได8.8 ก าหนดให nondimensionalized quantities 378.0=p และ 756.0=m สอดคลองกบ yield surface

15.3),( 2222 =++=Φ mpmpmp จงหา fraction τ ทจะตองใชในการคณกบ increments 1.0=dpและ 2.0=dm เพอทจะสอดคลองกบ yield surface drift tolerance 01.0 โดยทคาสงสดของ tolerance yield surface อยในรป

101.1

5.301.11),(

22

222

2 =

++=Φ′ mpmpmp

หนงสออางอง

1. McGuire, W, Gallagher, R.H., and Ziemian, R.D., “Matrix Structural Analysis,” 2nd Ed., John Wiley & Sons,New York, NY, 2000

2. Timoshenko, S.P. and Gere, J.M., “Theory of Elastic Stability,” 2nd , McGraw-Hill, New York, NY, 19613. Hibberler, R.C., “ Structural Analysis,” 3rd Ed., Prentice-Hall, New Jersey, NY, 19974. McCormac, J.C., “ Structural Analysis, “ 3rd Ed., Harper & Row, New York, NY, 19755. Wang, C.K., “ Intermediate Structural Analysis, “ 1st Ed., McGraw-Hill, New York, NY, 19836. Kassimali, A., " Matrix Analysis of Structures," 1st Ed., Brooks/Cole, Pacific Grove, CA, 19997. “ศพทวทยาการวศวกรรมโยธา” คณะกรรมการวชาการวศวกรรมโยธา, วศวกรรมสถานแหงประเทศไทย, 2540

Advanced Theory of Structures

Documents

Transcript of Advanced Theory of Structures