Administracion de operaciones 2

Modelación en la Planeación de la Producción

Capítulo 2

Modelación en la planeación de la producción

2.1 INTRODUCCIÓN

Planeación de la producción es la actividad de establecer metas de producción

sobre un periodo de tiempo futuro llamado HORIZONTE DE PLANEACIÓN. El objetivo de

planear la producción es el de poder utilizar los recursos disponibles en una forma óptima,

así como el de conocer los requerimientos necesarios (materia prima, mano de obra,

costos, etc.) para poder llevar a cabo el objetivo de producción establecido.

La información necesaria para elaborar el plan de producción es la siguiente:

1. Niveles de inventario

2. Pedidos pendientes.

3. Demanda pronosticada.

4. Trabajos en proceso.

5. Fuerza de trabajo.

6. Capacidad de cada centro de trabajo.

7. Disponibilidad de materiales.

8. Producción estándar.

9. Costos estándar y precios de venta.

10. Políticas gerenciales.

La información necesaria para cada periodo del horizonte de planeación es :

1. Cantidad de cada producto que va a ser producido.

2. Cantidad de un cierto producto que va a ser producido por cada uno de los

procesos alternativos.

3. Cantidad que va a ser producida en un cierto proceso dado.

4. Nivel de inventario por producto.

5. Nivel de fuerza de trabajo.

39

Sistemas de Planeación y Control de Manufactura

6. Cantidad de material y producto semiterminado que va a ser transportado entre

etapas.

7. Tiempo extra, turnos adicionales, capacidad ociosa, etc.

8. Planes subcontratados.

9. Requerimientos de compras de materiales.

Las decisiones hechas en la planeación de la producción afectan varias clases de

costos:

1. Costos de producción.

2. Costos en los cambios de capacidad.

3. Costos en los cambios de la razón de producción.

4. Costos de llevar el inventario.

5. Servicio a clientes y pérdidas de los mismos por falta de producción.

6. Costos de obtención.

Los costos de producción son usualmente divididos en fijos y variables. Los costos

fijos, por supuesto, son independientes de la cantidad producida. Los costos variables de

producción son costos actuales de mano de obra, material, energía, etc. los cuales

dependen del nivel de producción.

Al analizar ciertos problemas usaremos los modelos de programación lineal y

programación de múltiples objetivos, debido a que tienen un formato simple que puede ser

fácilmente entendible, y sobre todo, que a menudo describe en forma realista el mundo de

la planeación de la producción. Si se considera que no es razonable su uso en cierto caso,

entonces los modelos no lineales deberán ser considerados; sin embargo, en la actualidad

es difícil, y a menudo imposible resolver modelos de programación no lineal del tamaño

requerido para describir problemas de planeación de la producción. A continuación se

mostrarán algunos casos comunes a problemas en la planeación de la producción que

pueden describirse en una forma realista mediante modelos de programación lineal.

2.2 MEZCLA DE PRODUCTOS (FORMULACIÓN MATEMÁTICA)

DETERMINÍSTICA

40


s.a

donde:

X i = Cantidad de producto i, producido en el periodo.

b k = Cantidad de recurso k, disponible durante el periodo.

a i,k = Número de unidades de recurso k, requeridas para producir una unidad de

producto i.

U i = Ventas máximas potenciales de producto i en el periodo.

L i = Nivel mínimo de producción requerida de producto i en el periodo.

r i = Precio de venta de una unidad de producto i.

c i = Costo de producir una unidad de producto i.

EJEMPLO 2.1

Un manufacturero produce una línea de productos fabricados de hoja metálica.

Para ilustrar su problema de planeación de la producción, suponga que él hace únicamente

cuatro productos y que su sistema de producción consiste de cinco centros de producción:

estampado, taladrado, ensamblado, acabado y empaquetado. Para un mes dado, él debe

decidir que tanto de cada producto manufacturar, y para ayudarse en su decisión, él

cuenta con los datos que se muestran en las tablas 2.1 y 2.2.

TABLA 2.1 DATOS DE PRODUCCIóN Tasas de producción (hrs./unidad) HorasDepartamento P1 P2 P3 P4 Disponibles

Estampado 0.03 0.15 0.05 0.10 400

Taladrado 0.06 0.12 0.00 0.10 400

Ensamblado 0.05 0.10 0.05 0.12 500

Acabado 0.04 0.20 0.03 0.12 450

Empaquetado 0.02 0.06 0.02 0.05 400

41


TABLA 2.2 DATOS DE PRODUCTOS Ventas potenciales Producto Precio / unidad Costo / unidad Mínima Máxima

1 $10 $ 6 1,000 6,000

2 25 15 0 500

3 16 11 500 3,000

4 20 14 100 1,000

Además, él sabe que únicamente 2,000 pies2 de hoja metálica usada para la

fabricación de los productos 2 y 4 estará disponible durante el mes. El producto 2 requiere

2.0 pies2/unidad, mientras que el producto 4 usa 1.2 pies2/unidad.

Formule este problema como un modelo de programación lineal, siendo X i el

número de unidades de producto i producidas en el mes y Z la ganancia total.

Max Z = 4X1 + 10X2 + 5X3 + 6X4

s.a

RESTRICCIONES DE TIEMPO DE PRODUCCIÓN

0.03X1 + 0.15X2 + 0.05X3 + 0.10X4 400 (Estampado)

0.06X1 + 0.12X2 + 0.10X4 400 (Taladrado)

0.05X1 + 0.10X2 + 0.05X3 + 0.12X4 500 (Ensamblado)

0.04X1 + 0.20X2 + 0.03X3 + 0.12X4 450 (Acabado)

0.02X1 + 0.06X2 + 0.02X3 + 0.05X4 400 (Empaquetado)

RESTRICCIÓN DE DISPONIBILIDAD DE HOJA METÁLICA

2.00X2 + 1.20X4 2,000

RESTRICCIONES DE VENTAS POTENCIALES

1,000 X1 6,000

X2 500

500 X3 3,000

100 X4 1,000

42


Al resolver por el algoritmo simplex se obtiene la siguiente información:

El programa de producción óptima es:

X1 =5,500; X2 = 500; X3 = 3,000 y X4 = 100

Este programa usa toda la capacidad en estampado y taladrado. La capacidad no

usada en los demás centros de producción es de la siguiente manera: 13 horas en

ensamblado, 28 horas en acabado y 195 horas en empaquetado. Unicamente 1,120 pies2

de hoja metálica es utilizada, quedando 880 pies2 sin usar. La máxima ganancia es de

$42,600.

Al examinar las variables duales, vemos que no es deseable producir más del

producto 4. El valor marginal de una hora adicional de la capacidad de estampado es de

$22.22 y de la capacidad de taladrado de $55.56. Si se pudiera vender una unidad más del

producto 3, podríamos incrementar la ganancia en $3.89. La habilidad para vender una

unidad más del producto 2 podría no incrementar la ganancia.

ESTOCÁSTICA

Asumiendo que es una variable al azar con una distribución de probabilidad

conocida . Si la demanda pronosticada es y el error pronosticado está

normalmente distribuido alrededor de cero con varianza 2, entonces

estando su acumulada estandarizada dada por:

o

donde:

De lo anterior podemos establecer:

La cual es sustituida en el modelo como restricción para límites máximos de producción.

FUNCIÓN OBJETIVO TOMANDO EN CUENTA PÉRDIDAS POR SOBREPRODUCCIÓN

43


s.a

donde:

= Valor de recuperación del producto i.

= Valor en el cual pudo ser vendido el producto i.

E(Z) no es lineal en y así el problema debe ser resuelto por métodos de programación

lineal. Trataremos el caso cuando existe solamente una restricción de recurso. Cuando hay

restricciones múltiples de recursos, el problema es mucho más difícil y no se considerará

aquí. Entonces, para minimizar la pérdida por sobreproducción:

recordemos que despejando obtenemos

s.a

44


Si no se cumple la restricción de recurso se introduce la función de Lagrange

mediante la cual se logra ajustar la restricción de recurso mediante la modificación

en la función de distribución acumulativa, utilizando el multiplicador de Lagrange .

de tal forma que

donde regularmente -1 1

EJEMPLO 2.2

Un manufacturero está por producir tres artículos para una venta especial. Toda la

producción debe almacenarse antes de que se inicie el periodo de venta. Los artículos que

no se vendan al final del periodo deben ser liquidados a un precio reducido. El asume que

la demanda para el i-ésimo artículo está uniformemente distribuida sobre el intervalo

; tal que:

El únicamente tiene $10,000 para financiar su inventario de preventa. Usando los

datos de la tabla 2.3, encuentre el nivel del stock óptimo para cada producto. Si la

restricción no se cumple, ajuste mediante el multiplicador de Lagrange con un margen de

error de ± $10.

45


TABLA 2.3 Costo Precio Valor deProducto unitario de venta liquidación aI bi

1 $10 $20 $ 5 150 250 2 20 35 10 0 400 3 30 50 20 100 300

s.a

$10(217) + $20(240) + $30(233) = $13,960 $10,000

Al no cumplirse nuestra restricción tenemos que ajustar por medio del multiplicador

de Lagrange.

46


Sabemos que con = 0.304 obtenemos:

F(X1) = 0.464; F(X2) = 0.35 y F(X3) = 0.363 lo cual nos da

X1 = 196 unidades

X2 = 143 “

X3 = 173 “

Obteniendo $10(196) + $20(143) + $30(173) = $10,010 de inventario de preventa,

lo cual ya es permitido.

EJEMPLO 2.3

De acuerdo al ejemplo 2.2 asuma que la distribución de probabilidad de la demanda

está distribuida normalmente para cada producto. Considere que esta distribución normal

tiene la misma media y variancia de la distribución uniforme del ejemplo 2.2. [Nota: de

acuerdo a una distribución uniforme se tiene ].

Producto i i i F(xi) zi xi

1 200 28.868 0.667 0.432 212 2 200 115.470 0.600 0.253 229 3 200 57.735 0.667 0.432 225

s.a

$10(212) + $20(229) + $30(225) = $13,450 $10,000

Al no cumplirse nuestra restricción tenemos que ajustar por medio del multiplicador

de Lagrange.

47


Sabemos que = 0.352 obtenemos:

F(X1) = 43%; F(X2) = 32% y F(X3) = 31% lo cual nos da

X1 = 195 unidades

X2 = 146 “

X3 = 171 “

Obteniendo $10(195) + $20(146) + $30(171) = $10,000 de inventario de preventa,

lo cual satiface perfectamente nuestra restricción.

2.3 SELECCIÓN DE PROCESOS

En este tipo de problema, hay requerimientos fijos de producción para cada uno de

los productos durante un periodo. Cada producto puede tener varias alternativas de

producción. Los costos unitarios y recursos utilizados dependerán del proceso

seleccionado. El problema consiste en determinar la cantidad a producir de cada producto

por cada proceso, de tal forma que el costo de producción sea mínimo.

Varios productos a fabricar.

Diferentes alternativas de producción.

Dependen del costo y de la alternativa.

FORMULACIÓN MATEMÁTICA

s.a

48


donde:

X i,j = Cantidad de producto i producido por el proceso j en el periodo.

D i = Producción requerida de producto i en el periodo.

b k = Cantidad de recurso k disponible en el proceso.

a i,j,k = Número de unidades de recurso k usadas para producir una unidad de

producto i por el proceso j.

c i,j = Costo unitario de producir una unidad de producto i por el proceso j.

Z = Costo total de producción en el periodo.

EJEMPLO 2.4

En la situación del ejemplo 2.1, suponga que los requerimientos de producción para

los cuatro productos fueron fijados en 3,000, 500, 1,000 y 2,000 unidades,

respectivamente. Exactamente esta cantidad de cada producto será fabricada en el mes.

La disponibilidad de horas de producción (normales) se muestra en la tabla 2.1. Además, el

estampado y las partes taladradas para cualquier producto pueden ser subcontratadas,

pero esto añadirá el 20% al costo del producto. Tanto el estampado como las operaciones

de taladrado son hechas por el subcontratista, quien enviará las partes semiacabadas al

manufacturero para ensamblar, acabar y empaquetar. Si es necesario, el manufacturero

operará su departamento de acabado en tiempo extra, hasta un máximo de 100 horas

máquina por mes. Sin embargo, esto resulta en incrementar los costos de los productos 1 y

3 en $0.20/unidad, el del producto 2 en $0.40/unidad y el del producto 4 en $0.30/unidad.

La limitación de 2,000 pies2 de hoja metálica para los productos 2 y 4 se aplica únicamente

al estampado interno y a la producción taladrada.

Sea X i,j la cantidad de producto i, producido por el proceso j.

(i = 1, 2, 3, 4; j = 1, 2, 3, 4)

j = 1 Estampado interno, acabado en tiempo normal.

j = 2 Estampado interno, acabado en tiempo extra.

j = 3 Subcontratista, acabado en tiempo normal.

j = 4 Subcontratista, acabado en tiempo extra.

49


Min Z = 6.0 X1,1 + 6.2 X1,2 + 7.2 X1,3 + 7.4 X1,4 +

15.0 X2,1 + 15.4 X2,2 + 18.0 X2,3 + 18.4 X2,4 +

11.0 X3,1 + 11.2 X3,2 + 13.2 X3,3 + 13.4 X3,4 +

14.0 X4,1 + 14.3 X4,2 + 16.8 X4,3 + 17.1 X4,4

s.a

RESTRICCIONES DE LA CAPACIDAD DE TIEMPO NORMAL

0.04(X1,1 + X1,3) + 0.20(X2,1 + X2,3) + 0.03(X3,1 + X3,3) + 0.12(X4,1 + X4,3) 450

RESTRICCIÓN DE ACABADO EN TIEMPO EXTRA

0.04(X1,2 + X1,4) + 0.20(X2,2 + X2,4) + 0.03(X3,2 + X3,4) + 0.12(X4,2 + X4,4) 100

RESTRICCIÓN DE HOJA METÁLICA

2.0(X2,1 + X2,2) + 1.2(X4,1 + X4,2) 2,000

RESTRICCIONES DE REQUERIMIENTOS DE CANTIDADES

50


Xi,,j 0 ; para toda i y toda j.

La solución es:

X1,1 = 3,000, X2,3 = 300, X2,4 = 200, X3,1 = 1,000, X4,1 = 1,667 y X4,3 = 333.

Todas las demás variables son cero.

La tabla 2.4 organiza esos resultados. El costo de este programa es $67,013. La

utilización de la capacidad de producción se muestra en la tabla 2.5.

TABLA 2.4 plan de producción óptima

Centro de producción Producto 1 2 3 4

Estampado interno.Taladrado interno.Estampado y taladrado subcontratado.Ensamblado.Acabado: Tiempo normal. Tiempo extra.Empaquetado.

3,000 0 1,000 1,667 3,000 0 1,000 1,667 0 500 0 333 3,000 500 1,000 2,000 3,000 300 1,000 2,000 0 200 0 0 3,000 500 1,000 2,000

TABLA 2.5 utilización óptima de capacidad Tiempo normal (horas). Tiempo extra (horas). Departamento A B C A B C

Estampado. 400 306.7 93.3 0 0 0Taladrado. 400 346.7 53.3 0 0 0Ensamblado. 500 490.0 10.0 0 0 0Acabado. 450 450.0 0.0 100 40 60Empaquetado. 400 210.0 190.0 0 0 0

donde:

A Disponibles.

B Programadas.

C Sin usar.

Todos los 2,000 pies2 de hoja metálica se emplean en el producto 4. Esto ocasiona

que todo el producto 2 y parte del 4 se pase al subcontratista.

51


EJEMPLO 2.5 DECISIONES PARA COMBINACIÓN DE PRODUCTOS CON

FUENTES ALTERNATIVAS DE PRODUCCIÓN.

Ahora combinamos las decisiones de los ejemplos 2.1 y 2.4 en un solo problema.

Suponemos que los requerimientos fijos de producción no están dados, pero en vez de

eso, las oportunidades de ventas y los niveles mínimos de producción de la tabla 2.2 son

las restricciones. La meta es maximizar la ganancia como en el ejemplo 2.1, pero debemos

considerar las alternativas de producción descritas en el ejemplo 2.4. Las variables de

decisión son las mismas del ejemplo 2.4; sin embargo, la función objetivo es ahora:

Max Z = 4.0 X1,1 + 3.8 X1,2 + 2.8 X1,3 + 2.6 X1,4 +

10.0 X2,1 + 9.6 X2,2 + 7.0 X2,3 + 6.6 X2,4 +

5.0 X3,1 + 4.8 X3,2 + 2.8 X3,3 + 2.6 X3,4 +

6.0 X4,1 + 5.7 X4,2 + 3.2 X4,3 + 2.9 X4,4

con excepción de las últimas cuatro restricciones de requerimientos de cantidades, las

restricciones para este problema son las mismas del ejemplo 2.4. En lugar de las

restricciones de requerimientos de cantidades, añadimos las siguientes (del ejemplo 2.1).

Xi,,j 0 ; para toda i y toda j.

La solución para este problema de mezcla de productos es:

X1,1 = 5,500, X1,3 = 260, X2,1 = 500, X3,1 = 3,000 y X4,1 = 100 con Z = $43,328

Todas las demás variables son cero.

52


Las tablas 2.6 y 2.7 muestran más claramente la solución. Unicamente 1,120 pies2 de hoja

metálica se utilizan con este programa.

TABLA 2.6 plan de producción óptima para el ejemplo 2.5

Centro de producción Producto 1 2 3 4

Estampado interno.Taladrado interno.Estampado y taladrado subcontratado.Ensamblado.Acabado: Tiempo normal. Tiempo extra.Empaquetado.

Total de producción planeada.

5,500 500 3,000 100 5,500 500 3,000 100 260 0 0 0 5,760 500 3,000 100 5,760 500 3,000 100 0 0 0 0 5,760 500 3,000 100

5,760 500 3,000 100

TABLA 2.7 utilización óptima de capacidad del ejemplo 2.5 Tiempo normal (horas). Tiempo extra (horas). Variable Departamento A B C A B C dual

Estampado. 400 400.0 0.0 0 0 0 6.67Taladrado. 400 400.0 0.0 0 0 0 16.67Ensamblado. 500 500.0 0.0 0 0 0 56.00Acabado. 450 432.4 17.6 100 0 100 0.00Empaquetado. 400 210.2 189.8 0 0 0 0.00

donde:

A Disponibles.

B Programadas.

C Sin usar.

2.4 MEZCLA DE INSUMOS

Este tipo de problema se presenta cuando un proceso de producción involucra

mezclar varios insumos para hacer un producto, de acuerdo a ciertas especificaciones.


s.a

53


Si alguno de los materiales (insumos) es descartado durante el proceso, la última

restricción se modifica a:

donde:

Xj = Cantidad de material j usado por unidad de producto.

cj = Costo unitario de material j.

ai,,j= Contribución de una unidad de material j al valor de propiedad i del producto.

bi = Especificación sobre la propiedad i del producto.

Z = Costo total de material por unidad de producto.

EJEMPLO 2.6

Un productor de aleaciones metálicas tiene un pedido especial de un cliente para

producir una aleación que contenga cuatro metales, de acuerdo a las siguientes

especificaciones: metal A, al menos 23%; metal B, no más que 15%; metal C, máximo 4%;

y metal D, entre 35% y 65%. No se asignarán otros componentes. El productor tiene

acceso a varios minerales de los cuales los metales pueden ser refinados. La tabla 2.8

contiene la información acerca de la composición de cada mineral y su precio de venta.

Las impurezas en los minerales serán removidas durante el proceso.

Sea Xj = Número de toneladas de mineral j usadas por tonelada de aleación.

TABLA 2.8 Metal (%) Impurezas Costo / tonelada Mineral A B C D (%) ($)

1 25 10 10 25 30 23 2 40 0 0 30 30 20 3 20 10 0 30 40 18 4 0 15 5 20 60 10 5 20 20 0 40 20 27 6 8 5 10 17 60 12

54


Se desea minimizar el costo por tonelada de aleación.

s.a

ESPECIFICACIONES SOBRE EL CONTENIDO DE METAL

0.25X1 + 0.40X2 + 0.20X3 +0.20X5 + 0.08X6 0.23

0.10X1 + 0.10X3 + 0.15X4 + 0.20X5 + 0.05X6 0.15

0.10X1 + 0.05X4 + 0.10X6 0.04

0.25X1 + 0.30X2 + 0.30X3 + 0.20X4 + 0.40X5 + 0.17X6 0.35

0.25X1 + 0.30X2 + 0.30X3 + 0.20X4 + 0.40X5 + 0.17X6 0.65

RESTRICCIÓN DE BALANCE DE MATERIAL

0.70X1 + 0.70X2 + 0.60X3 + 0.40X4 + 0.80X5 + 0.40X6 = 1.00

La solución es: X2 = 0.9714; X4 = 0.8000; X1 = X3 = X5 = X6 = 0

Usaremos 0.9714 toneladas de mineral 2 y 0.8000 toneladas de mineral 4 para

producir una aleación. El costo por tonelada es Z = $27.43. La restricción sobre la máxima

cantidad (4%) de metal C en la aleación es activa. El valor de la variable dual para esta

restricción es 28.57.

Es importante señalar que la formulación matemática es flexible de acuerdo a la

información que se logre obtener. Esta situación se ilustra en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 2.7

Dos aleaciones, A y B, están hechas de cuatro metales diferentes: I, II, III y IV,

según las especificaciones siguientes:

Aleación Especificaciones de contenido de metal

A Cuando mucho el 80% del metal I

Máximo el 30% del metal II

Al menos el 50% del metal IV

B Entre el 40% y el 60% del metal II

55


Cuando menos el 30% del metal III

A lo más el 70% del metal IV

Los cuatro metales se extraen de tres minerales metálicos diferentes, la tabla 2.9

muestra la información referente a los minerales.

TABLA 2.9 Cantidad máxima Constituyentes (%) PrecioMineral (toneladas) I II III IV Otros ($ / tonelada)

1 1,000 20 10 30 30 10 30 2 2,000 10 20 30 30 10 40 3 3,000 5 5 70 20 0 50

Suponga que los precios de venta de las aleaciones A y B son $200 y $300 por

tonelada, además, de que se descarta el costo de obtención de metal de cada mineral.

De acuerdo a la información que se tiene:

Sea Xi,,j,k = Toneladas del i – ésimo metal, obtenido del j – ésimo mineral y asignado

a la k –ésima aleación; (i = 1, 2, 3 y 4; j = 1, 2 y 3; k = 1 y 2)

Max Z = 50 X1,1,1 – 100 X2,1,1 + 100 X4,1,1 – 200 X1,2,1 + 66.667 X4,2,1 – 800 X1,3,1 –

800 X2,3,1 – 50 X4,3,1 + 200 X3,1,2 + 200 X4,1,2 + 100 X2,2,2 + 166.667 X3,2,2 +

166.667 X4,2,2 – 700 X2,3,2 + 228.571 X3,3,2 + 50 X4,3,2

s.a

ESPECIFICACIONES DE ALEACIÓN A

56


ESPECIFICACIONES DE ALEACIÓN B

DISPONIBILIDAD DE MINERAL

Siendo la solución: X2,3,1 = 107.13; X4,1,1 = 300.03; X2,2,2 = 400 y X3,3,2 = 600. Además,

S1 = 325.728; S2 = 15.018; S3 = 96.45; S5 = 200; S6 = 300; S7 = 700 y Z =

$292,849.6

Conclusiones:

Al ver la solución, se observa que las aleaciones A y B quedan constituidas

de la siguiente manera:

ALEACIÓN “A” ALEACIÓN “B”

FIGURA 2.1

57

II III

40% 60%

II 26.31% 73.69% IV


La variable de holgura S2 nos indica que del metal 2 faltaron 15.018 toneladas para

que la proporción de este metal fuera exactamente del 30% en la aleación A ya que fue

solo del 26.31% como lo muestra la figura 2.1. Las variables S1, S3, S5, S6 y S7 se

interpretan en forma similar. En cuanto a la utilización de los minerales, las variables S8 =

S9 = S10 = 0, nos dicen que los minerales 1, 2 y 3 se utilizaron en su totalidad (1,000, 2,000

y 3,000 toneladas).

2.5 MULTIETAPAS

Sistema de M etapas en serie con múltiples procesos de producción.


s.a

LIMITACIÓN DE RECURSOS DE CADA ETAPA

BALANCE DE INVENTARIO ENTRE ETAPAS

REQUERIMIENTOS DEL PRODUCTO FINAL

donde:

j = Etapa.

k = Proceso.

L = Recurso.

m = Etapa final.

58


EJEMPLO 2.8

Considere el problema del ejemplo 2.4, donde quisimos programar la producción de

cuatro productos en una planta que consiste de cinco centros de producción: estampado,

taladrado, ensamblado, acabado y empaquetado. El subcontrato de estampado y taladrado

fue posible, como lo fue la producción de acabado en tiempo extra. Concebimos el sistema

como de única etapa teniendo una sola facilidad.

Ahora suponga que usamos una formulación diferente del sistema, donde

empleamos dos etapas. La primera etapa consiste de los centros de producción que

ejecutan el estampado y taladrado, mientras que la segunda consiste de los centros de

producción que ejecutan el ensamblado, acabado y empaquetado. La primera etapa está

dividida en dos facilidades en paralelo: estampado y taladrado interno y subcontratado de

estampado y taladrado. La segunda etapa es tratada como una facilidad única. Esta

estructura es ilustrada en la figura 2.2.

Notación:

Wi = Cantidad de producto i estampado y taladrado en la planta.

Xi = Cantidad de producto i estampado y taladrado por el subcontratista.

Yi,,j = Cantidad de producto i producido por el proceso j en ensamblado,

acabado y empaquetado.

Proceso 1 (j = 1) incluye únicamente producción en tiempo normal.

Proceso 2 (j = 2) requiere que el acabado sea en tiempo extra.

ai,,j = Costo de estampar y taladrar una unidad de producto i internamente,

incluyendo el costo de material.

bi = Costo de obtener una unidad estampada y taladrada de producto i del

subcontratista.

ci,,j = Costo unitario de procesar una unidad de producto i a través de

la etapa 2, usando el proceso 2.

El objetivo es minimizar el costo total de producción para el periodo.

59

Etapa 1: Estampado y taladrado.

INTERNO

1

Etapa 2: Ensamblado, acabado y empaquetado.

2 2


FIG. 2.2 MODELO DE DOS ETAPAS DEL EJEMPLO 2.8

s.a

CAPACIDAD DE LA ETAPA 1

0.03W1 + 0.15W2 +0.05W3 + 0.10W4 400 Estampado

0.06W1 + 0.12W2 + 0.10W4 400 Taladrado

2.00W2 + 1.20W4 2,000 Metal

CAPACIDAD DE LA ETAPA 2

Ensamblado

0.04 Y1,1 + 0.20 Y2,1 + 0.03 Y3,1 + 0.12 Y4,1 450 Acabado

0.04 Y1,2 + 0.20 Y2,2 + 0.03 Y3,2 + 0.12 Y4,2 100

Empaquetado

ECUACIONES DE BALANCE DE INVENTARIO

Etapa 1: Wi + Xi = Yi,1 + Yi,2 ; (i = 1, 2, 3 y 4)

Etapa 2: Y1,1 + Y1,2 = 3,000

Y2,1 + Y2,2 = 500

Y3,1 + Y3,2 = 1,000

Y4,1 + Y4,2 = 2,000

La solución óptima es:

W1 = 3,000, W3 = 1,000, W4 = 1,667, X2 = 500, X4 = 333, Y1,1 = 3,000,

60

SUBCONT.


Y2,1 = 300, Y2,2 = 200, Y3,1 = 1,000 y Y4,1 = 2,000

todas las demás variables son cero. Note que este es el plan de producción mostrado en la

tabla 2.4.

2.6 PROGRAMACIÓN DE MÚLTIPLES OBJETIVOS O PROGRAMACIÓN DE METAS

La programación de metas (PM) 1es, en esencia, una variación de la programación

lineal. Un factor clave que diferencía la programación de metas de la lineal es la estructura

y utilización de la función objetivo. En ésta sólo se incorpora una meta en la función

objetivo, mientras que en la programación de metas se incorporan todas ellas, ya sea una

o muchas. Esto se logra expresando la meta en forma de restricción, incluyendo una

variable de desviación para reflejar la medida en que se llegue o no a lograr la meta, e

incorporando esa función en la función objetivo. En la programación lineal, el objetivo es

maximizar o minimizar, en tanto que en la programación de metas el objetivo es minimizar

las desviaciones de las metas especificadas (es decir, todos los problemas de

programación de metas son problemas de minimización).

Dado que se minimizan las desviaciones del conjunto de metas, un modelo de PM

puede manejar metas múltiples con dimensiones o unidades de medición distintas. De la

misma forma, pueden considerarse metas que están en conflicto. Si existen metas

múltiples, puede especificarse una jerarquización ordinal o prioridades, y el proceso de

solución de PM opera de tal manera que se satisface la meta con mayor prioridad en forma

lo más cercana posible antes de considerar las metas de prioridad inferior. En tanto que la

programación lineal busca identificar la solución óptima de entre un conjunto de soluciones

factibles, la PM identifica el punto que satisface mejor el conjunto de metas de un problema

(es decir, PM minimiza las desviaciones de las metas, tomando en consideración la

jerarquía de prioridades).

Una de las ventajas más importantes de la PM es que puede proporcionar mayor

información que la programación lineal y, por ello es más útil como auxiliar para los

administradores en el proceso de toma de decisiones.

1 Consultar Davis & Mc Keown. “Modelos Cuantitativos para Administración.” Grupo Editorial Iberoámerica 1986.

61


EJEMPLO 2.9

Considere el caso en que una empresa fabrica dos productos. Cada producto

requiere tiempo en dos departamentos de producción: el producto 1 requiere 20 horas en

el departamento 1 y 10 horas en el departamento 2; el producto 2 requiere 10 horas en

ambos departamentos. El tiempo de producción está limitado a 60 horas en el

departamento 1 y 40 horas en el 2. La contribución de los dos productos a las utilidades es

de $40 y $80 respectivamente. Los objetivos de los administradores (metas) son los

siguientes en orden de importancia:

P1 Limitar a 50 horas el tiempo extra total en las dos operaciones de producción.

P2 Alcanzar las metas de producción mínimas de 4 unidades de producto 1 y 6

unidades de producto 2. Utilizar pesos diferenciales de 1 y 2,

respectivamente, puesto que reflejan la “contribución ponderada a las

utilidades” de $40 y $80.

P3 Lograr al menos $1,000 de ganancia.

Min Z = P1d3++ P2(d4

- + 2d5-)+ P3d6

-

s.a

20X1+ 10X2 + d1-- d1

+ = 60

10X1+ 10X2 + d2-- d2

+ = 40 d1

+ + d2+ + d3

- - d3+ = 50

X1 + d4- - d4

+ = 4 X2 + d5

- - d5+ = 6

40X1+ 80X2 +d6--d6

+ = 1

donde: d1+ y d2

+ Tiempo extra que se requiere en las operaciones 1 y 2.

d3- Refleja la medida en que no se utilizan las 50 horas disponibles de

tiempo extra.

d3+ Refleja la posibilidad de que se excedan las 50 horas.

Sol. Z = 3P2+ 480P3

X1 = 1X2 = 6; d6

- = 480, d4- = 3, d1

+ = 20 y d2+ = 30. Todas las demás

variables valen cero.

Conclusiones:

62


Al observar los valores de la solución, podemos decir que únicamente fué posible

cumplir la meta más importante (la de prioridad 1) ya que d3+ = 0, no así las metas de

prioridad 2 y 3. Sin embargo, la meta dos se cumplió parcialmente ya que X1 es menor que

lo especificado, por lo tanto d4- = 3 nos indica que faltaron 3 unidades de producto 1 para

cumplir la meta 2. En lo referente a la meta 3, solamente se puede lograr una ganancia de

$520, ya que d6- = 480 nos indica que estamos en $480 por debajo de la ganancia mínima

de $1,000.

2.7 DISTRIBUCIÓN POR PROCESOS

Supuesto: Las estaciones de trabajo son agrupadas en un solo lugar.

Objetivo: Efectuar la distribución que minimice los costos de transporte.

PROCESOS INDEPENDIENTES

* Una asignación no afecta a las demás.

EJEMPLO 2.10 LOCALIDAD

1 2 3 4 5 OFERTA

A 1

B 1

FACILIDAD C 1

D 1

E E 1

DEMANDA 1 1 1 1 1

Se pretende lograr la asignación de las cinco facilidades a las cinco localidades de

tal forma que solo una facilidad sea asignada a una localidad.


s.a

63

$5 $12 $15 $13 $17

8 10 6 11 7

9 3 11 8 9

2 5 9 4 5

5 4 4 3 13


De acuerdo a programación lineal.

Min Z = 5 XA,1 + 12 XA,2 + 15 XA,3 + …. + 3 XE,4 + 13 XE,5

s.a

XA,1 + XA,2 + XA,3 + XA,4 + XA,5 = 1

XB,1 + XB,2 + XB,3 + XB,4 + XB,5 = 1

XC,1 + XC,2 + XC,3 + XC,4 + XC,5 = 1

XD,1 + XD,2 + XD,3 + XD,4 + XD,5 = 1

XE,1 + XE,2 + XE,3 + XE,4 + XE,5 = 1

XA,1 + XB,1 + XC,1 + XD,1 + XE,1 = 1

XA,2 + XB,2 + XC,2 + XD,2 + XE,2 = 1

XA,3 + XB,3 + XC,3 + XD,3 + XE,3 = 1

XA,4 + XB,4 + XC,4 + XD,4 + XE,4 = 1

XA,5 + XB,5 + XC,5 + XD,5 + XE,5 = 1

La solución es: XA,1 = XB,3 = XC,2 = XD,5 = XE,4 = 1 con un valor de Z = $22

PROCESOS DEPENDIENTES.

En este caso el costo es medido por la distancia entre las localizaciones y la

intensidad de tráfico entre facilidades.

EJEMPLO 2.11

Asignar 4 máquinas (A, B, C, D) en 4 localidades diferentes (1, 2, 3, 4), para las

cuales su intensidad de tráfico y sus distancias son las siguientes:

1 2 3 4 A B C D

1 A

2 B

3 C

64

0 5 7 8

5 0 9 6

7 9 0 3

8 6 3 0

0 5 9 3

4 0 4 2

3 6 0 1

2 7 4 0


4 D

DISTANCIAS INTENSIDAD DE TRÁFICO

Existen n combinaciones diferentes (4 = 24).

Por simplicidad únicamente se mostratá el cálculo de dos combinaciones.

ASIGNACIÓN DISTANCIA POR INTENSIDAD COSTO

1-2 A B 5 (5 + 4) = $45

2-4 B C 6 (4 + 6) = 60

4-3 C D 3 (1 + 4) = 15

3-1 D A 7 (2 + 3) = 35

1-4 A C 8 (9 + 3) = 96

2-3 B D 9 (2 + 7) = 81

$332

ASIGNACIÓN DISTANCIA POR INTENSIDAD COSTO

1-2 D B 5 (7 + 2) = $45

2-4 B C 6 (4 + 6) = 60

4-3 C A 3 (3 + 9) = 36

3-1 A D 7 (3 + 2) = 35

1-3 D C 8 (4 + 1) = 40

2-3 B A 9 (4 + 5) = 81

$297

65

1 2A B

C D4 3

1 2D B

C A4 3


Arroja un costo de $297 y es el óptimo de las 24 combinaciones diferentes.

Enseguida se muestran algunas de las 24 posibles combinaciones de asignaciones

posibles.

1 2 3 4 COSTO

A B D C $332

B A D C 320

D B A C 297 óptimo

C B D A 331

B D A C 299

C B A D 324

2.8 PROBLEMAS

1. Tres productos son producidos en una planta. Para un periodo dado, existe el

problema de decidir qué cantidad de cada producto hay que producir. La tabla de

abajo contiene información sobre el proceso de producción, ganancia y ventas

potenciales de cada producto.

Tiempo de procesamiento en horas/unidad Ganancia DEPARTAMENTO por Ventas Producto I II III Inspección Manejo unidad Min. Max.

A 0.14 0.60 0.20 0.04 0.10 $42 150 250 B 0.10 0.40 0.20 0.04 0.10 40 200 400 C 0.00 0.20 0.10 0.04 0.12 36 360 500

Horas deCapacidad 160 320 160 80 80

66


a) Formule el modelo de programación lineal.

b) Resuelva el modelo mediante software de programación lineal. ¿Qué

departamentos tienen exceso de capacidad? ¿Qué productos se encuentran

en sus límites (mínimo o máximo) de ventas? Investigue los efectos de

variación de capacidades de los diferentes departamentos.

2. Un departamento produce dos partes. A y B, hechas de acuerdo al siguiente

itinerario:

Tiempo de Máquina procesamiento FracciónProducto Operación empleada en hrs./unidad de desecho

1 M1 0.03 0.01 A 2 M2 0.07 0.05 3 M3 0.05 0.02

1 M1 0.12 0.03 2 M3 0.08 0.10 B 3 M4 0.17 0.02 4 M1 0.04 0.07

Los costos de operación de máquina son:

Tiempo disponibleMáquina Costo por hora de horas de producción

1 $20 400 2 30 340 3 40 410 4 50 160

Los datos para cada producto son los siguientes:

Precio de Costo por Venta por unidad de Nivel de ventas (unids.)Producto unidad materia prima Mínimo Máximo

A $ 60 $20 100 Sin límite B 100 25 150 250

67


El problema consiste en programar la producción del departamento para el próximo

periodo. Ponga este problema como un modelo de programación lineal. Asuma que

todas las partes defectuosas son inmediatamente detectadas y removidas. (Siendo

X1 y X2 la cantidad de cada producto que empezará en el próximo periodo).

3. Una planta puede manufacturar tres productos (A, B y C). La planta tiene cuatro

departamentos (I, II, III y IV). El producto A debe ser procesado en el departamento

I y II. El producto B en los departamentos I, II, III y IV; y el producto C en los

departamentos I, III y IV. La siguiente tabla muestra datos relevantes.

Tasa de salida en piezas por hora GananciaProducto Depto. I Depto. II Depto. III Depto. IV por pieza

A 20 40 0 0 $3.10 B 30 25 10 22 2.05 C 60 0 20 5 6.17

HorasDisponibles 150 160 130 100

Los departamentos I y II deben programarse cada uno en al menos 100 horas. Al

menos 1,000 piezas del producto A deben ser manufacturadas. Una parte

comprada y usada en el ensamble de los productos A y C es escasa, únicamente

hay 3,500 partes disponibles para el mes. Dos partes son usadas en cada pieza del

producto A y tres son usadas en cada pieza del producto C.

a) Formule el problema como un modelo de programación lineal, de tal forma

que determine la cantidad de cada producto que maximice la ganancia de la

planta.

b) Resuelva el modelo con software de programación lineal.

4. En la situación del problema 2, suponga que los requerimientos para los productos

A y B en un periodo fueron fijados en 3,000 y 2,000 unidades respectivamente. El

itinerario para los productos y las tasas de producción son como se muestra en el

problema 2; sin embargo, suponga que se tiene disponibilidad de tiempo normal y

tiempo extra en el periodo. Los datos de costos y capacidad se muestran en la

siguiente tabla:

68


Tiempo disponible de horas máquina Costo de máquina por hora Máquina Regular Extra Regular Extra

1 400 80 $20 $30 2 340 68 30 40 3 160 0 40 50 4 300 60 50 70

Asumiendo los mismos precios de venta unitarios y costos unitarios de materia

prima que se dieron en el problema 2. Formule este problema de planeación de la

producción como un modelo de programación lineal.

5. Resuelva el problema del ejemplo 2.2, asumiendo que la distribución de la

demanda se encuentra distribuida en forma exponencial para cada producto.

Asuma que esta distribución exponencial tiene la misma media y variancia de la

distribución uniforme del ejemplo 2.2.

6. Una planta manufactura tres productos (A, B y C). Cuatro departamentos de

producción están involucrados. Un producto puede hacerse a través de rutas

alternativas. Por ejemplo, el producto A puede ser manufacturado a través de

procesos en los departamentos I, II y III o en los departamentos I, II y IV. La

ganancia depende de la ruta. Los siguientes datos son relevantes.

Horas/unidad/departamento GananciaProducto Alternativa I II III IV unitaria

A 1 0.21 1.15 3.20 0.00 $ 6.00 2 0.21 1.15 0.00 2.75 5.90

1 1.30 2.19 0.00 0.00 10.00 B 2 1.30 0.00 1.60 0.00 11.50 3 1.30 0.00 0.00 2.40 9.70

C 1 0.00 4.00 2.60 1.00 8.50

Horas disponibles 160 140 150 120

Al menos 10 unidades de producto B deben manufacturarse en el periodo. A lo

mucho 40 unidades de producto C pueden ser manufacturadas debido a las

limitaciones de material. Formule un modelo de programación lineal que determine

69


el número de unidades de cada producto que deberán manufacturarse en el

periodo.

7. Para producir cierto fertilizante, un manufacturero mezcla nitratos, fosfatos y potasio

con ingredientes inertes, y empaqueta la mezcla para venderla. Los cuatro

productos tienen 14-5-10, 10-6-4, 8-8-6 y 6-8-6, donde los números son los

porcentajes por peso de nitratos, fosfatos y potasio, respectivamente.

El manufacturero desea un plan de producción para un periodo. El tiene disponible

los siguientes datos:

Cantidad disponible Costo porIngrediente (toneladas) tonelada

Nitratos 2,000 $200Fosfatos 1,000 80Potasio 1,500 130Ingredientes inertes Sin límite 20

Pronóstico de ventas Producto Precio por tonelada Mínimas Máximas

14-5-10 $150 2,000 ton. 4,000 ton. 10-6- 4 120 3,000 8,000

8-8- 6 90 0 5,000 6-8- 6 70 1,000 9,000

Otros costos de producción y venta son estimados en $30 por tonelada, no

importando el tipo de producto. Formule un modelo de programación lineal cuyo

objetivo sea determinar la cantidad de cada producto a producir en el periodo.

8. La Rewlings Company fabrica tres clases de abrigos para caballeros: deportivo (A),

formal (B) y ejecutivo (C). La compañía es un negocio propiedad de una familia y

operado por ésta, pero la mayoría de los empleados no son miembros de la familia.

Debido a la naturaleza competitiva del negocio y a la gran demanda de mano de

obra de la industria, es de gran importancia mantener satisfechos a los empleados.

Los administradores de la Rewlings consideran que una medida importante para

satisfacer las necesidades de sus empleados es ofrecerles empleo de tiempo

completo, aún cuando esto exija producir en exceso e incurrir en algunas pérdidas.

Por fortuna, los administradores esperan que la demanda de sus productos siga

70


siendo bastante elevada. De hecho, para satisfacer parte de la demanda, podría ser

necesario operar en tiempo extra.

Las tres líneas de abrigos de la Rewlings se fabrican en dos departamentos. La

tabla es un programa semanal de requerimientos de mano de obra y materiales

para el proceso de fabricación. Los precios unitarios para las tres líneas son $100,

$150 y $250, respectivamente. Los administradores han determinado que a un nivel

normal de producción los costos variables son de $70, $80 y $100 por abrigo,

respectivamente. Los costos de tiempo extra son $2 por hora por encima del salario

normal para el departamento 1 y $3 para el 2. Los materiales extra pueden

adquirirse a un costo de $2 por yarda por encima del costo normal.

Requerimientos de recursos, mano de obra y materiales para la Rewlings

Depto. 1 4 horas 12 horas 10 horas 8,000 horasDepto. 2 6 horas 6 horas 16 horas 4,000 horasMaterial 8 yardas2 6 yardas2 12 yardas2 8,000 yardas2

Los administradores de la empresa han pronosticado que la demanda del mercado

para el abrigo deportivo es de 1,000 unidades por semana, y la demanda de las

otras dos líneas es de 500 y 200 unidades, respectivamente. El nivel de equilibrio

de producción es de 100 unidades del producto uno (deportivo) y 50 unidades de

cada uno de los otros dos productos.

Para ayudarse a analizar el problema, los administradores de la Rewlings han

identificado, en orden de prioridad, las siguientes metas:

1. Utilizar toda la capacidad de producción disponible, es decir, no debe existir

tiempo muerto en ningun departamento.

2. Alcanzar los niveles de producción de punto de equilibrio en cada una de las

líneas de productos.

3. Dado que es probable que exista escasez de mano de obra en el departamento

2, y dado que puede enviarse personal, en tiempo extra, a ese departamento, el

tiempo extra aquí puede ser mayor que el del departamento 1. Sin embargo, el

tiempo extra del departamento 2 debe estar limitado a 600 horas. El tiempo

extra del departamento 1 no debe ser mayor de 200 horas.

4. Alcanzar una meta de utilidades semanales de $20,000.

71


5. Satisfacer todas las demandas del mercado. Dentro de esta meta, deben

utilizarse ponderaciones distintas para reflejar la contribución unitaria normal a

las utilidades.

9. Cierta compañía fabrica 2 tipos de productos (A y B). La fabricación de ambos

productos requiere 2 operaciones. La primera operación se lleva a cabo en el

departamento 1. La fabricación del producto A requiere tres horas en la primera

operación en tanto que el producto B requiere 4 horas en esta misma operación. La

segunda operación puede llevarse a cabo ya sea en el departamento 2 o en el 3. El

tiempo necesario de producción en el departamento 2 para cada unidad de A es de

3 horas; para cada unidad de B es de 6 horas. Si se emplea el departamento 3, el

tiempo de producción para cada unidad de A es 8 horas y para B es de 10 horas.

Existen 3,000, 3,600 y 5,000 horas disponibles de tiempo de producción en los

respectivos departamentos. Los costos de mano de obra asociados con los 3

departamentos son:

Departamento 1: $6.50 por hora



La compañía tiene una demanda de 400 unidades para el producto A y 620

unidades para el producto B. La compañía ha establecido las siguientes metas (en

orden de importancia):

Meta 1: Satisfacer la demanda de los clientes.

Meta 2: Limitar el tiempo extra en el departamento 2 a 1,000 horas.

Meta 3: Minimizar los costos totales.

Meta 4: Minimizar el tiempo extra en los departamentos 1 y 3.

Plantee el modelo de programación de metas para el problema.

10. La T & L Machine Company fabrica tres tipos diferentes de baleros que se utilizan

en equipo textil. Todos los baleros se fabrican en una operación de prensado. El

tiempo de fabricación que se requiere para elaborar un balero básico es de 5 horas,

en tanto que uno de aplicación general requiere 8 horas de tiempo de producción.

El balero de alta precisión requiere 12 horas de tiempo de producción. La compañía

dispone de 340 horas semanales de capacidad de producción. Las utilidades

unitarias que se obtienen de la venta de los baleros son: $1,000 por balero básico;

72


$1,450 por balero de aplicación general y $2,500 por los de alta precisión. El

departamento de mercadotecnia de T & L ha señalado que el comportamiento de la

demanda de los baleros implica que la compañía puede vender todos los que

fabrica. Los administradores de la T & L han listado las siguientes metas (en orden

de importancia):

Meta 1: Utilizar toda la capacidad de producción existente.

Meta 2: Alcanzar las metas semanales de ventas para cada tipo de balero:

20 básicos

24 de aplicación general

15 de alta precisión

Asignar pesos diferenciales de acuerdo con la utilidad relativa de

cada balero.

Meta 3: Limitar el tiempo extra a 40 horas por semana.

Meta 4: Maximizar las utilidades.

2.9 REFERENCIAS

Johnson and Montgomery. “Operations Research in Production Planning,

Scheduling, and Inventory Control.” Wiley and Sons.

Juan Prawda. “Métodos y Modelos de Investigación de Operaciones, Vol. 2

Modelos Estócasticos.” Limusa.

Driebeek, N.J. “Applied Linear Programming”. Addison-Wesley.

Smythe, W.R. and L. A. Johnson. “Introduction to Linear Programming, with

Applications.” Prentice Hall.

Taha, H. A. and Skeith R. W. “The economic Lot Sizes in Multistage Production

Systems.” AIIE Transactions.

Taha, H. A. “Investigación de Operaciones.” Alfaomega.

Davis and Mc Keown. “Modelos Cuantitativos para Administración.” Grupo

Editorial Iberoamérica.

Quiñones, J.A. “Apuntes de Planeación de la Producción.” 1992.

73

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