ADAPTIVNI REKURZIVNI ALGORITAM ZA MERENJE...

TEHNIČKA DIJAGNOSTIKA (BROJ 1 • 2010) 3

UDC: 621.316.1.025.3:621.317.36 ORIGINALNI NAUČNI RAD

ADAPTIVNI REKURZIVNI ALGORITAM ZA MERENJE FREKVENCIJE TROFAZNE ELEKTROENERGETSKE MREŽE

ADAPTIVE RECURSIVE ALGORITHM FOR FREQUENCY ESTIMATION OF THREE-PHASE POWER SYSTEM

Dr Miodrag Kušljević, TERMOELEKTRO ENEL AD, Beograd Dr Josif Tomić, FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA, Novi Sad Dr Ljubiša Jovanović, INSTITUT „MIHAJLO PUPIN“, Beograd

REZIME U radu je prikazana rekurzivna metoda za merenje frekvencije trofazne elektroenergetske mreže. Pored algoritma za estimaciju frekvencije poseban značaj dat je filtriranju ulaznog signala. Filter se koristi da umanji efekat prisustva šuma i da eliminiše uticaj DC komponente i harmonika. U uslovima povećanog prisustva šuma metoda pokazuje bolje karakteristike nego kada se koristi monofazni signal. Ova tehnika ima poseban značaj u uslovima kada asimetrični padovi napona prouzrokuju nulti napon u nekoj od faza. Tehnika omogućava merenje trenutne frekven-cije signala monofaznih ili trofaznih sistema. U cilju procene performansi algoritma izvršene su računar-ske simulacije i laboratorijska merenja i dati njihovi rezultati. Predloženi algoritam je pogodan za prime-ne u realnom vremenu. Ključne reči: Merenje frekvencije, estimacija fre-kvencije, trofazni elektroenergetski sistem, harmoni-ci, rekurzivni algoritam, filter sa konačnim impul-snim odzivom (FIR filter), adaptivno filtriranje

ABSTRACT In this paper a new technique for estimation of the instantaneous frequency based on simultaneous sampling of the three-phase voltage signals is pre-sented. Input signal filters are used to minimize the noise effect and eliminate the presence of DC com-ponent and higher order harmonics. This technique provides better performance in comparison to the technique based on single-phase signal in relation to waveforms with noise. The technique is particularly important when asymmetric sags generate zero vol-tage in one of the three phases. In addition, it allows the measurement of the instantaneous frequency value of real signals for single-phase or three-phase systems. To demonstrate the performance of the de-veloped algorithm, computer simulated data records and calibrator generated signals are processed. Key words: Frequency measurement, frequency esti-mation, three-phase power system, harmonics, re-cursive algorithm, finite-impulse-response (FIR) fil-ter, adaptive filtering

1. UVOD Uprkos činjenici da postoji veliki broj algori-

tama za merenje frekvencija, većina njih se bazira na merenju pomoću signala jedne faze, tako da algo-ritmi daju loše rezultate u slučaju pada ili tranzije-nata napona u fazi čiji signal se koristi za merenje. Pored toga, može se postaviti pitanje da li frekven-cija napona jedne faze u potpunosti karakteriše frek-venciju sistema. Naime, u trofaznom sistemu postoji šest različitih monofaznih naponskih signala, ako se uzmu u obzir i međufazni naponi [1]. Neki proizvo-đači rešavaju ovaj problem tako što mere frekvenciju u svakoj fazi.

Upotreba αβ transformacije u estimaciji frek-vencije sistema daje standardnim monofaznim meto-dama veću robusnost zato što u tom slučaju koriste

informaciju koju daje trofazni signal. αβ transforma-cija se koristi za transformisanje trofaznih signala u kompleksni signal čiji realni deo je podužna ili d komponenta, a imaginarni deo je poprečna ili q komponenta. Za određivanje frekvencije iz kom-pleksnog signala dalje se može vršiti njegova demo-dulacija sa poznatim fazorom koji rotira u smeru su-protnom od ulaza [2], ili koristiti kompleksni metod najmanjih srednjih kvadrata (least-mean-square - LMS) [3]. Takođe, korišćenje fazne petlje (phase locked loop - PLL) nakon izvršene αβ transformacije pokazalo se kao veoma efikasan alat u oblasti ener-getske elektronike. Najzastupljenija tehnika je tro-fazni PLL koji se bazira na sinhronom referentnom prozoru (syn-chronous reference frame SRF–PLL) [4], [5].


Metode koje koriste αβ transformaciju rade odlično kada je sistem simetričan ili kada je negativna komponenta mala. SRF-PLL daje dobre rezultate kod prisustva većine nenormalnih uslova u mreži, ali to nije slučaj kada je prisutna nesimetrija. U tom slučaju se javlja komponenta sa dvostrukom osnovnom frekvencijom čija je amplituda proporcio-nalna negativnoj komponenti. U cilju povećanja ro-busnosti merne metode, koja može da meri frekven-ciju i kada neka od faza nije prisutna, koriste se razne tehnike, kao što je na primer iterativna tehnika koja koristi proporcionalno-integralno-diferencijalni regulator [6]. Treba još spomenuti merenje faznog ugla koristeći trenutnu pq teoriju [7], kao i merenje uz pomoć separacije pozitivne i negativne kompo-nente [8]. U [9] je data jednostavna metoda koja koristi FIR filter u cilju poboljšanja karakteristika SRF-PLL u nesimetričnoj mreži.

Metoda korišćena u [10] je direktno proširenje tehnike težinskih najmanjih kvadrata (weighted-least-square - WLS) koja koristi monofazni signal i koja je ranije prezentovana u [11]. Korišćena WLS-3PH tehnika omogućava merenje trenutne frekven-cije iz realnih signala i monofaznih i trofaznih sistema, što joj daje veći stepen robusnosti.

Metoda predložena u ovom radu predstavlja poboljšanu WLS-3PH tehniku. Serijskom vezom an-tialiasing niskopropusnih filtera i FIR comb filtera nižeg reda, čiji je ulaz signal dobijen decimacijom signala sa izlaza niskopropusnog filtera, izbegavaju se problemi vezani za osetljivost na zaokruživanje koeficijenata, smanjuje obim numeričkih računanja i povećava tačnost merenja frekvencije.

2. MATEMATIČKI MODEL I ALGORITAM

Pretpostavimo sledeći model mernih signala napona uniformno uzorkovanih sa frekvencijom uzorkovanja ωs = 2π/Δt.

iaaaia tiVv ,1, )cos( ζϕω ++Δ=

ibbbib tiVv ,1, )cos( ζϕω ++Δ= (1)

icccic tiVv ,1, )cos( ζϕω ++Δ=

gde su

ibibia vvv ,,, ,, - vrednosti uzoraka signala u fazama a, b, c;

cba VVV ,, - amplitude signala u fazama a, b, c;

bba ϕϕϕ ,, - fazni pomaci signala u fazama a, b, c;

,a iξ , ,b iξ , ,c iξ - šumovi signala u fazama a, b, c;

1ω - ugaona frekvencija sistema; tiΔ - diskretizovano vreme.

Tri uzastopna uzorka signala va faze a formirana u koracima i-2, i-1 i i, povezana su sledećom relacijom [10], [11]:

)cos(2 11,

2,, tvvv

iaiaia Δ=

+−

− ω (2)

ili

, ,a i a iy z x= ; , , 2

, 2a i a i

a i

v vy -+

= ,, , 1a i a iz v -= (3)

)cos( 1 tx Δ= ω .

Slično tome, za faze b i c je

, ,b i b iy z x= ; , , 2

, 2b i b i

b i

v vy −+

= , , , 1b i b iz v −= (4)

, ,c i c iy z x= ; , , 2

, 2c i c i

c i

v vy −+

= , , , 1c i c iz v −= . (5)

Uvrštavajući i=1, 2, …, k u (3)-(5), dobijamo sledeći sistem linearnih jednačina [10]:

k k kx=y z (6)

gde je

1,1

1,1

1,1

2,2

2,2

2,2

,

,

,

ka

kb

kc

ka

kk b

kc

a k

b k

c k

W y

W y

W y

W y

y W y

W y

yyy

−

−

−

−

−

−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

M

1,1

1,1

1,1

2,2

2,2

2,2

,

,

,

ka

kb

kc

ka

kk b

kc

a k

b k

c k

W z

W z

W z

W z

z W z

W z

zzz

−

−

−

−

−

−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

M

W (0<W <1) je težinski faktor. Rešenje sistema (6) je:

( )k k k k kx-

=1T Tz z z y (7)


Iz (7) se dobija sledeće rešenje zakx , [10]

{ }{ }

2( ), , , , , ,

0

2( ) 2 2 2, , ,

0

.

kk i

a i a i b i b i c i c ii

k kk i

a i b i c ii

W z y z y z yx

W z z z

−

=

−

=

⎡ ⎤+ +⎣ ⎦=

⎡ ⎤+ +⎣ ⎦

∑

∑ (8)

Rekurzivna implementacija rešenja (8) je:

21 , , , , , ,

2 2 2 21 , , ,

k k a k a k b k b k c k c k

k k a k b k c k

AccZY W AccZY z y z y z y

AccZZ W AccZZ z z z-

-

= + + +

= + + + (9)

i

k k kx AccZY AccZZ= (10)

Na kraju se računa frekvencija pomoću sledeće ralacije

)2/()arccos( txf kk Δ= π (11)

Adaptacijom 2W mogu se poboljšati perfor-manse algoritma estimacije [10]. Vrednost greške estimacije u k-toj iteraciji može se računati na sle-deći način:

k k k kx= -e y z (12) Kovarijansa signala greške (12) je

( ) ( )T Tk k k k k k k k kR x x= = - -e e y z y z . (13) Koristeći vektore y, z i x koji su dati u (6),

dobijamo

2,

2,,

2,,1

21

)()(

)(

kkckkbkb

kkakakkk

zcxyxzy

xzyRWR

−+−+

−+= −− (14)

Težinski faktor W2 se može računati na sledeći

način:

2 max minmin

01k pk

W WW WR R-= +

+ (15)

gde su minW , maxW , R0 i p unapred odabrane kons-tante. Ovi parametri se određuju heuristički, u zavis-nosti od dinamike parametra signala.

Merenje trenutne frekvencije ima nekoliko nedo-stataka. Zbog kratkog vremena observacije bilo ka-kva impulsna promena faze ili amplitude ulaznog si-gnala može prouzrokovati velika odstupanja merene vrednosti frekvencije [1]. Sledeći nedostatak je ose-tljivost na šum. Filtriranje ulaznog signala pre njego-ve obrade, u cilju povećanja tačnosti merenja, je ve-oma bitno. Filteri se koriste za minimizaciju uticaja šuma u ulaznom signalu i za eliminisanje viših har-monika. Frekventna karakteristika filtera treba da ima nule u frekvencijama viših harmonika i jedini-čno pojačanje osnovne frekvencije. Kako osnovna frekvencija nije konstantna, to je tokom merenja potrebno računati koeficijente filtera. U [12] je pri-menjena metoda računanja koeficijenata filtera to-kom merenja frekvencije. Data je zatvorena forma za računanja koeficijenata FIR filtera za poznatu frekvenciju. Metoda se u osnovi sastoji od sinteze FIR podsekcija drugog reda koje treba da eliminišu DC komponentu i neželjene više harmonike i koji imaju jedinično pojačanje za željeni harmonik. Kompletan filter je realizovan kao kaskada ovih modula. Na Sl. 2 predstavljene su amlitudne karakte-ristike filtera za različite osnovne frekvencije.

Međutim, iako je ovakva kombinovana struktu-

ra pokazala dobru konvergenciju i tačnost estimaci-je, FIR filteri prilikom implementacije pokazuju og-raničenja u pogledu osetljivosti koeficijenata, tako da se za FIR filtere većeg reda javljaju nedopustive greške, čak za kaskade od 30 podsekcija drugog reda, tj. FIR filter 60-tog reda. Istina, nešto bolji re-zultati se dobijaju ako se redosled podsekcija u kas-kadi slučajno izabere. Standard EN 50160 [13] uzi-ma u obzir prvih 40 harmonika, pa se mora koristiti kaskada od najmanje 40 podsekcija drugog reda, tj. FIR filter najmanje 80-tog reda. S druge strane, ni-

Sl. 2. Frekventne karakteristike filtera za različite osnovne frekvencije

Sl. 1. Blok dijagram algoritma


skopropusni filteri ne mogu efikasno eliminisati sve harmonike, ukolike se ne koriste filteri višeg reda, što opet neželjeno povećava vreme konvergencije. Dobre karakteristike se mogu postići serijskom ve-zom antialiasing niskopropusnog filtera sa dovoljno širokim propusnim opsegom (do 8-16 harmonika) koji osigurava brz odziv, i FIR comb filtera nižeg reda čiji je ulaz signal dobijen decimacijom signala sa izlaza niskopropusnog filtera. Na taj način se iz-begavaju problemi vezani za osetljivost na zao-kruživanje koeficijenata, smanjuje se obim numeri-čkih računanja i povećava tačnost merenja frekvencije.

Kao antialiasing filteri mogu se koristiti casca-ded integrator-comb (CIC) filteri [14].

( )CIC 1

1 11

SDzH zD z

−

−

⎛ ⎞−= ⎜ ⎟−⎝ ⎠. (16)

Ovi filteri se nazivaju još i SincS filteri zbog

toga što njihova amplitudska karakteristika odgovara funkciji Sinc(x) = (sin x)/x. Njihova prednost se ogleda u jednostavnoj implementaciji.

3. RAČUNARSKE SIMULACIJE Algoritam koji je opisan u prethodnim poglav-

ljima prvo je testiran putem računarskih simulacija. Ulazni trofazni naponski signal je uzorkovan sa frekvencijom od 4 kSa/s. Korišćeni su sledeći para-metri u algoritmu, Wmin=0.8, Wmax=0.999, R0=10-8, p=2. Za antialiasing CIC filter korišćeni su sledeći parametri: D=8 i S=3. Na ulazima FIR filtera koriš-ćen je faktor redukcije R=4.

Statičke i dinamički karakteristike, kao i otpor-nost na šum, ispitani su koristeći simulirane test sig-nale. Gausov beli šum nulte srednje vrednosti sa SNR=60dB je superponiran sa sinusoidalnim signa-lom. Pad napona (50%) u fazi a je aktiviran u trenu-tku 0.1s posle početka simulacija, a nulti naponi u fazama b i c su postavljeni u trenucima 0.4s odnosno 0.7s. Na Sl. 3. su prikazani rezultati merenja. Na Sl. 4 predstavljeni su vremenski odzivi rezultata dina-mičkih simulacija za step promenu frekvencije sa 50 Hz na 48 Hz uz SNR=60dB. Može se uočiti da se u tim uslovima postiže tačnost merenja frekvencije bolja od 0.002 Hz uz vreme konvergencije oko 25 ms.

Na Sl. 5. predstavljene su maksimalne greške estimacije na vremenskom intervalu od 5s za različit broj ulaznih signala (jedna, dve ili tri faze) uz SNR od 40, 50, 60, 70 i 80 dB. Sa slike se može videti da je za mali SNR od 40 dB maksimalna greška za trofazni signal oko 0.14 Hz. Merenje frekvencije na

osnovu signala samo jedne faze, uz isti nivo šuma, daje maksimalnu grešku oko 0.25 Hz. Ovo poređe-nje pokazuje da u uslovima većeg prisustva šuma merenje na osnovu trofaznog signala ima bolje per-formanse u odnosu na merenje pomoću monofaznog signala. Kada je nivo šuma u mreži relativno nizak, merna nesigurnost ne zavisi od broja korišćenih faza.

U slučajevima kada je nizak odnos signal-šum

(Signal-to-Noise-Ratio (SNR)), tačnost algoritma može se dodatno popraviti pomoću oversemplinga ulaznih signala i antialiasing filtera sa redukcijom frekvencije uzorkovanja, odnosno interpolacijom sa antialiasing filterima [14]. Oversempling je popular-na tehnika koja se koristi u DSP aplikacijama u cilju povećanja rezolucije analogno-digitalne konverzije (ADC). Oversempling koristi frekvenciju uzorkova-nja koja je mnogo veća od Nyquistove. To smanjuje nivo ADC šuma uz mogućnost dalje obrade, tako da je omogućena bolja rezolucija ADC. Svako udvo-stručavanje frekvencije uzorkovanja povećava rezoluciju za pola bita [15].

Sl. 3. Procena frekvencije uz padove napona i šum SNR=60 dB

Sl. 4. Procena frekvencije za y(t)=sin(2πft) gde je f=50Hz za t<0s i f=48Hz za t>0s, sa prisustvom šuma SNR=60 dB

Sl. 5. Maksimalne greške merenja uz prisustvo šuma


Da bi demonstrirali efikasnost predloženog algoritma za merenje frekvencije u prisustvu viših harmonika, korišćen je ulazni signal frekvencije 50Hz sa prisustvom trećeg harmonika u opsegu od 0 do 20% i petog harmonika koji je jednak polovini trećeg. Na Sl. 6 predstavljene su maksimalne greške merenja frekvencije. Može se uočiti da su kod predloženog algoritma greške zanemarivo male (ispod 50 ppm) bez obzira na prisustvo viših harmonika i bez obzira na broj faza čiji se signali koriste za merenje frekvencije.

4. LABORATORIJSKA MERENJA

U ovom poglavlju su prikazani rezultati mere-

nja dobijeni pomoću realizovanog prototipnog mer-nog sistema. Sistem se bazira na PC platformi, akvi-zicionoj kartici NI PCI-6221 (sa 16-bitnom AD konverzijom) i programskim paketom NI LabView. Signal je generisan pomoću programabilnog genera-tora naizmeničnog napona i struje ZERA MT 3.000 (sa nesigurnošću frekvencije 200 ppm, rezolucijom podešavanja frekvencije od 0.01 Hz, nesigurnošću napona <0.2%, potpuno nezavisnim podešavanjem napona u svakoj fazi u opsegu 30V do 300V, do 20 harmonika istovremeno). Korišćena je frekvencija uzorkovanja fs=4 kSa/s. Performanse predložene WLS-3PH metode su upoređivane sa poboljšanom SRF-PLL metodom [9]. Parametri regulatora SRF-PLL su Kp=0.3 i 0.08sτ = . Širina propusnog opsega SRF-PLL je 43 rad/sec [9].

U prvom testu, harmonici naponskog test signa-la su postavljani na odgovarajuće maksimalne vred-nosti dozvoljene standardom UNE-EN 61000-4-13 [16]: peti harmonik 12% u odnosu na osnovnu kom-ponentu, sedmi 10%, jedanaesti i trinaesti 7%, ostali su jednaki nuli. Zbog transformacije u referentni prozor koji sinhrono rotira, naponski signali petog i sedmog harmonika generišu komponentu sa frekven-cijom 300 Hz. Kako FIR filter za usrednjavanje koji se koristi kod SRF-PLL ima veoma veliko gušenje na 300 Hz ili 1884 rad/sec, taj signal nema uticaj na SRF-PLL sve dok je frekvencija signala 50Hz (Sl.

7). Međutim, može se uočiti da SRF-PLL pokazuje manju tačnost kada se frekvencija promeni na 49.5 Hz (pošto je FIR filter podešen za osnovnu frekvenciju 50Hz). Vreme konvergencije SRF-PLL kod odziva na step promenu frekvencije je duže od 60 ms, dok je kod WLS-3PH oko 25 ms.

Sl. 7. Procena frekvencije u prisustvu harmonika

Nagle promene faznog pomaka mogu se poja-

viti u slučaju isključenja potrošača velike snage ili zbog kvara u mreži. Za određivanje performansi pre-dložene WLS-3PH i poboljšane SRF-PLL metode u ovom uslovima, generisan je dodatni fazni pomak od 6 stepeni u jednoj fazi. Može se primetiti da SRF-PLL pokazuje manju tačnost posle promene frekven-cije na 49.5 Hz, Fig. 8.

Sl. 8. Procena frekvencije u slučaju faznog pomaka 6º u

jednoj fazi Kod poslednjeg eksperimenta napon jedne faze

je postavljen na nulu i u tim uslovima je vršeno merenje frekvencije. Merna nesigurnost kod SRF-PLL je ponovo povećana kad je frekvencije različite od nominalne, Sl. 9. Procenjena frekvencija osciluje sa frekvencijom dvostruko većom od osnovne frekvencije. Tačnost se može poboljšati ako se poveća red ulaznog FIR filtera, što sa druge strane produžava vreme konvergencije.

Sl. 9. Procena frekvencije u slučaju nultog napona u

jednoj fazi

Sl. 6. Maksimalne greške merenja uz prisustvo harmonika


5. ZAKLJUČAK U radu je prikazana efikasna metoda za mere-

nje trenutne frekvencije napona elektroenergetske mreže koja se bazira na istovremenom uzorkovanju trofaznih naponskih signala. Predložena tehnika isto-vremeno koristi informacije koje su sadržane u sve tri faze. Ovakav prilaz je posebno značajan kada asi-metrični padovi napona prouzrokuju nulti signal u nekoj od faza. Metoda je testirana u različitim uslo-vima i pokazala se kao efikasna tehnika za merenje frekvencije elektroenergetske mreže. Rezultati su pokazali dobre dinamičke odzive i visoku tačnost.

Metoda je pogodna za merenje frekvencije elektro-energetskog sistema u širokom opsegu frekvencija. U uslovima povećanog prisustva šuma metoda poka-zuje bolje karakteristike nego kada se koristi mono-fazni signal. Ova tehnika ima poseban značaj u uslo-vima kada asimetrični padovi napona prouzrokuju nulti napon u nekoj od faza. Metoda je upoređena sa SRF-PLL metodom i dala je bolje rezultate. Predlo-žena metoda je jednostavna i ne zahteva intezivna računanja i kao takva pogodna je za primenu u realnom vremenu.

6. LITERATURA [1] V. Eckhardt, P. Hippe, and G. Hosemann, “Dy-

namic measurement of frequency and fre-quency oscillations in multiphase power sy-stems”, IEEE Trans. Power Del., Vol. 4, No. 1, Jan. 1989, pp. 95–102.

[2] M. Akke, ’’Frequency estimation by demodula-tion of two complex signals’’, IEEE Trans. Po-wer Del., Vol. 12, No. 1, Jan. 1997, pp. 157-163.

[3] A. K. Pradhan, A. Routray, A. Basak: ’’Power System Frequency Estimation Using Least Mean Square Technique’’, IEEE Trans. Power Del., Vol. 20, No 3, July 2005, pp. 1812-1816.

[4] V. Kaura and V. Blasco, “Operation of a phase locked loop system under distorted utility con-ditions,” IEEE Trans. Ind. Appl., vol. 33, no. 1, pp. 58–63, Jan./Feb. 1997.

[5] S. Chung, “A phase tracking system for three phase utility interface inverters,” IEEE Trans. Power Electron., vol. 15, no. 3, pp. 431–438, May 2000.

[6] M. M. Canteli, A. O. Fernandez, L. I. Eguíluz, C. R. Estébanez, “Three-Phase Adaptive Fre-quency Measurement Based on Clarke’s Trans-formation”, IEEE Trans. Power Del., Vol. 21, No. 3, July 2006, pp. 1101-1105

[7] L. G. B. Rolim, D. R. da Costa and M. Aredes, “Analysis and Software Implementation of a Robust Synchronizing PLL Circuit Based on the pq Theory,” IEEE Trans. Industr. Electron. Vol. 53, Issue 6, Dec. 2006 pp. 1919 - 1926

[8] P. Rodriguez, J. Pou, J. Bergas, J.I. Candela, R.P. Burgos and D. Boroyevich, “Decoupled Double Synchronous Reference Frame PLL for

Power Converters Control,” IEEE Trans. Po-wer Electron. Vol. 22, Issue 2, March 2007, pp. 584 - 592

[9] A. Ghoshal and V. John, “A Method to Improve PLL Performance under Abnormal Grid Conditions”. Proc. of National Power Electronics Conference 2007, 17-19 Dec. 2007

[10] M.D. Kušljević, J.J. Tomić and Lj.D. Jova-nović, “Frequency Estimation of Three-Phase Power System Using Weighted-Least-Square Algorithm and Adaptive FIR Filtering”, IEEE Trans. Instrum. Meas. Vol. 59, No.2, February, 2010, pp. 322-329.

[11] M.D. Kušljević, “A Simple Recursive Algo-rithm for Frequency Estimation”, IEEE Trans. Instrum. Meas. Vol. 53, No.2, April 2004, pp. 335-340.

[12] M.D.Kušljević, “A simple method for design of adaptive filters for sinusoidal signals”, IEEE Trans. Instrum. Meas., Vol. 57, No.10, October 2008, pp. 2242-2249.

[13] Voltage Characteristics of the Electricity Sup-plied by Public Distribution Systems, Nov. 1999, CENELEC EN 50160.

[14] R. Lyons, “Understanding cascaded integrator-comb filters”, Embedded.com, Mar 31 2005 (14:49 PM): http://www.embedded.com/ columns/technicalinsights/160400592?_requestid=117618

[15] L. Tan, Digital Signal Processing, Fundamen-tals and Applications, Elsevier Inc., 2008.

[16] Electromagnetic compatibility (EMC). Part 4-13: Testing and measurement techniques. Har-monics and interharmonics including mains signaling at ac power port, low frequency immunity tests 2003, UNE-EN 61000-4-13.

ADAPTIVNI REKURZIVNI ALGORITAM ZA MERENJE...

Documents

Transcript of ADAPTIVNI REKURZIVNI ALGORITAM ZA MERENJE...