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LEO L. BERANEK

LABORATORIO DE DE ACtSTlCA, BOLT, INSTITUTO BERANEK DE TECNOLOGA MASSACHUSETTS.

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CAMBRIDGE,

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REPERENCIA

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CONSULTA SOLO "",""",,~ALA DE LECTURA

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Versin castellana por el

Il'iG. ADOLFO DI MARCO Profesor de Electrnica Universidad de Buenos Aires - Universidad de La Plata

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Ttulo del original ingls:ACOUSTICS Copyright. 1954 by McGraw Hill Book Company, Inc. Printed in the Unite("" States of America. All rights reserved. This book, or parts thereof may not bh reproduced in any form without permission of the publishers. Library ol Congress Catalog Card Number 53-1246 ,,",f""'\

Primera edici6n: septiembre 1961

Hecho el depsito que marca la Ley NQ 14.723 Copyright by Editorial Hispano Americana S. A. Versin castellana ~ por derechos exclusivos adquiridos a McGrawHill Book C. .~ Buenos Aires - 1969~

Impreso en la Argentina

Printed in

Arge~e

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rrPREFACIO

~ La Acstica es un tema fascinador. Msica, arquitectura, ingeniera, ',eatro, medicina, sicologa y lingstica buscan en ella la respuesta a '-estioues bsicas de sus propios campos. En el laboratorio de acstica ,.Rel Instituto de Tecnologa de Massachusetts (M.L T.), se encuentran - tudiantes que se ocupan de problemas tan diversos como el proyecto A uditoriums y estudios de radiodifusin, proyecto de altavoces, per lct!pciJI subjetiva de sonidos complejos, produccin de la voz sinttica; ,~opagaein del sonido en la atmsfera, dispersin del sonido en los Jlquidos, reduccin del ruido de las aeronaves de reaccin, y reconoci lento ultrasnico 'de los tumores cerebrales. Las reuniones anuales de ,.. Socipdad Acstica de Amrica son verdaderos espectculos con confe 'I,-mcia' y simposios sobre los temas mencionados. Las oportunidades de --1ple( en la especialidad son mny abundantes en la actualidad, porque ~s administraciones de las fbricas han reconocido las importantes con buciones de la acstica a la mejora de sns productos y del bienestar ~ su pc-r:sonal. No hay un camino fcil para el estudio de la acstica moderna. estudiante, en primer trmino, debe adquirir el vocabulario propio _-~l tema, Luego debe asimilar las leyes que gobiernan la propagacin '. la radiacin del sonido, la resonancia y el comportamiento de los -'"'asductores en el medio acstico. Por ltimo, pero no lo menos impor "'tante, debe aprender a interpretar las caractersticas auditivas del stlr ,---mano y 1\i,s reacciones de los oyentes al sonido y el ruido. '_ Este libro es el re.,;ultado de un curso sobre acstica qne el autor ~.~" desarrollado para los estudiantes de ingeniera elctrica 'y comuni ~ciones La ecuacin de onda bsica y sus soluciones ms interesantes 'estn d;scufidas en detalle en la primera parte del volume~. La radia '~~n de' sonido, los componentes de los sistemas acsticos, micrfonos, ~tavoces, y bocinas se tratan con el detalle suficiente como para que ,-~_ estufliante serio pueda encarar el diseo electroacstico. -- Hay un desarrollo amplio de problemas tan importantes como los uel son:do en los recintos, mtodos de reduccin de ruido, audicin, -:""':eligibilidad, y criterios sicoacsticos para el bie,nestar, para la inteli r ~ilidad satisfactoria de la palabra y para condiciones de audicin Jradables. , Este libro -difiere en un aspecto importante de los textos convencio

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VIII

ACSTICA

nales sobre acstica, en cuanto que insiste especialmente en la aplicaci~ prctica de la teora de los circuitos elctricos para la solucin de Ul amplia variedad de problemas. Siempre que ha sido posible, se h~ utilizado los conocimientos bsicos de ingeniera para explicar los C01" ceptos acsticos. ~ El experto en alta fidelidad encontrar los captulos dedicad~ a los recintos sonodeflectores, bocinas, y locales, particularmente inter santes como que en ellos se muestra cmo puede calcularse sencilla--.. exactamente el comportamiento de los altavoces con sonodeflectores lA" bocina. Estos captulos ilustran tambin la necesidad de considerar /"'\, el diseo el sistema en conjunto, incluso el amplificador, el altavoz, ~ sonodeflector o la bocina y tambin el local en que estas unidades he de funcionar. Se dan ejemplos numricos y bacos de resumen pa,...... facilitar la aplicacin de este material a los sistemas de reproducci0H de la msica. "'""" En vist~ del creciente inters en el control del ruido, el autor l;.a.. tenido presente este tema al escribir los captulos 1, 2, 4, Y del 10 al 1 Estos captulos sirvieron de base para un programa especial de vera","",, sbre reduccin del ruido en el M.I.T., en 1953. El material de Iv,; captulos 11 y 13 es nuevo, y se espera que ser de inters para quien se ocupen del ruido y sus efectos sobre el ser h u m a n o . . En resumen, el ingeniero o cientfico que desea practicar en el cam1 de la acstica y que no tiene la intencin de limitar sus esfuerzo~ a cuestiones tericas, debe conocer el material de este texto. Los problemas correspondientes a los distintos captulos se agrup al final del volumen para uso del estudiante. Se citan referencias para... lecturas complementarias en el texto, aunque no se ha tenido la intencL . de dar una bibliografa de las fuentes primarias del material. Despl~ de este prefacio, encontrarn los profesores de la materia algunas suges tiones para el mejor uso del texto. ""'" El autor desea expresar su profundo agradecimiento a Francis l\1... Wiener y Rudolph H. Nichols, Jr., por su ayuda en la detallada revi~_ cin y correccin del texto y la preparacin de algn material origin~ . Muchos miembros del laboratorio de acstica del M.I.T. han ledo uno o ms captulos y han brindado su ayuda al autor. De todos ellos, -- mencionan en particular a Mary Anne Summerfield, Walter A. Ros~ blith, Kenneth N. Stevens, Jerome R. Cox, Jordan J. Baruch, Joan._-, J.English, y Norman Doelling. ,-... Las ilustraciones se deben a los incansables esfuerzos de CIare Twardzik. El autor est muy agradecido a su mecangrafa, Elizab('"' H. Jones, a su secretaria, Lydia Bonazzoli, y a su esposa, Phyl:.w.... quienes .le permitieron completar el texto dentro de un perodo raLv nablemente corto. J

LEO L.

BERANEK. _

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SUGESTIONES PARA LOS PROFESORESEste texto est dividido en 13 captulos con 32 partes. Cada parte est prevista para aproximadamente una semana de trabajo, aunque ello depende del estudiante, de acuerdo con sus estudios anteriores. Si toda la clase ha tomado un curso completo de acstica, las partes deben ser enseadas en secuencia, excepto la Parte XXVIII, Medicin de Niveles Acsticos, la que puede ser encomendada al laboratorio de experimentos y demostraciones. Si slo una parte de la clase ha de tomar el curso completo, debe ensearse el material fundamental duran te el primer semestre y el material aplicativo en el segundo. Se sugiere para este caso una divisin como la que sigue:

Primer semestre Parte 1. Parte II. Introduccin Terminologa

Segundo semestreParte V. Parte IX. Parte XI. Parte XIV. Parte XV. Parte XVI. Parte XVIII. Densidad de ener ga e intensidad Teoremas circula res, energa y po tencia ndice de directi vidad y factor de directividad Caractersticas generales de los micrfonos Micrfonos de presin Micrfonos de gradiente y de combinacin Factores de dise o que afectan el comportamien to de los altavoces de radiacin di recta Recintos reflecto res de bajos Unidades motoras para bocinas Bocinas

Parte I1I. La ecuacin de onda Parte IV. Parte VI. Parte VII. Parte VIII. Parte X. Parte XII. Parte XIII. Soluciones de la ecuacin de onda Circuitos mecni cos Circuitos acsti cos Trasductores Diagramas direc cionales Impedancia de ra diacin Elementos acsti cos

-

Parte XX. Parte XXI. Parte XXII.

Parte XVII. Teora bsica del altavoz de radia cin directa

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xParte XIX. Parte XXIII.

ACSTICA

Recintos simples Campos sonoros en los recintos pe queos y regula res Campos sonoros en los recintos grandes e irregu lares Medicin de los niveles acsticos Audicin

Parte XXIV.

Parte XXVIII. Parte XXX.

Parte XXV. Trasmisin del so nido a travs de las paredes entre recintos Parte XXVI. Procedimiento y fuentes para el control del ruido Parte XXVII. Caminos de tras misin acstica Parte XXIX. Calibracin de trasductores por reciprocidad Parte XXXI. Inteligibilidad de la palabra Parte XXXII~ Criterios sico acsticos

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Todo curso de acstica debe ser complementado por una serie de . experiencias de laboratorio bien planeada. Por ejemplo, el material de los primeros captulos tendr ms significacin si se lo acompaa con experimentos de laboratorio sobre medicin de ruido. Esto familiariza al estudiante con la medicin de la presin sonora y con el uso del auali zador de frecuencias. Apreciar as mejor el significado de presin sonora, intensidd sonora, decibel, densidad de energa sonora, y nivel de potencia, y comprender la precisin con que puede medirse el nudo. Un mnimo sugerido de 10 experimentos son los siguientes, numra dos para un curso completo o un curso de un semestre: Primer N9 1. N9 2. NC) 4. N9 6. NQ 7. semestre Medicin de ruido Medicin de las constantes de un trasductor electromecnico Medicin de la respuesta de campo libre de un altavoz Estudio de campos sonoros en un recinto rectangular pequeo Estudios de los campos sonoros en los recintos grandes irre gulares

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Segundo semestre N9 3. Calibracin de campo libre de un micrfono NI' 5. Diseo y ensayo de un sonodeflector para altavoz N9 8. Prediccin y control de ruido en un sistema de ventilacin N9 9. Ensayos audiomtricos de la audicin N9 10. Aplicacin de los criterios sicoacsticos para el diseo de un auditorium. Dos problemas por semana deberan ser suficientes como aplicacin del material del texto. La breve lista de problemas que se da al final del volumen para cada captulo, debe ser complementada por otros, de acuerdo con la experiencia del profesor.

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INTRODUCCIN Y TERMINOLOGAPARTE

1. Introduccin.

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1.1. Uil poco de historia. La acstica est entrando en una nueva era: la era de la ingeniera de precisin. Hace cien aos, la acstica era un arte. Como instrumentos de medicin, los ingenieros utilizaban en este campo especialmente sus odos. Las nicas fuentes de ruido contro ladas disponibles eran silbatos, gongs y sirenas. Los micrfonos consis tan sea en un diafragma articulado con una punta metlica que deli neaba la forma de onda sobre la superficie ennegrecida de un tambor rotativo, sea en una llama cuya altura variaba de acuerdo con la presin acstica. Por esa poca aparecieron en la literatura tcnica los grandes nombres de Rayleigh, Stokes, Thomson, Lamb, Helmholtz, Konig, Tyn dall, Kundt, y otros. Sus contribuciones a la acstica fsica fueron seguidas por la publicacin del tratado en dos volmenes de Lord Rayleigh, "Theory of Sound" (1877-1878). La acstica no hizo ms progresos hasta que W. C. Sabine, en una serie de artculos (1900-1915) llev la acstica arquitectnica a la categora de una ciencia. Aunque la contribucin de estos primeros investigadores fu muy importante, el mayor inters en el campo de la acstica sigui a la invencin del tro do de alto vaco (1907) y al advenimiento de la radio difusin (1920). COl! los amplificadores de vlvula ya disponibles, podan producirse sonidos de la frecuencia deseada con la intensidad conveniente y, a la vez, podan medirse los sonidos muy dbiles. Por encima de todo, la vlvula permiti construir instrumentos de medicin compactos, robustos, e insensibles a las corrientes de aire. El progreso de la acstica de las comunicaciones fu apresurado por el esfuerzo de los Bell Telephone Laboratories (desde 1920 en adelante) y el desarrollo del sistema telefnico en los Estados Unidos de Norte amrica. La acstica arquitectnica recibi un gran impulso gracias a los aportes tericos y experimentales de la Universidad de Harvard, el

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ACSTICA

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Instituto Tecnolgico de Massachusetts, y la Universidad de California en Los Angeles (1930-1940), y varios centros de investigacin en Europa, especialmente Inglaterra y Alemania. Durante este perodo explicse en detalle el decrecimiento del sonido en los locales rectangu lares, se introdujo el mtodo de especificacin de los materiales acsti cos por la impedancia, y se fundament con precisin el cmputo de la atenuacin del sonido en los conductos. Se demostraron las ventajas de las paredes irregulares y del uso del material acstico en zonas ms bien que sobre toda la extensin de las paredes. Se introdujeron absor sores funcionales y aparecieron en el mercado muchos materiales acs ticos, en una amplia variedad. Tambin se desarroll la ciencia de la sicoacstica. En los Bell Telephone I,aboratories, bajo la esplndida direccin de Harvey Flet cher, se cuantificaron los conceptos de sonoridad (loudness) y enmasca ramiento y se determinaron muchos de los factores que rigen la comu nicacin hablada (1920-1940). La Acstica, a travs de los ultrasonidos, penetr en el campo de la medicina y la qumica. Se ensay la diatermia ultrasnica y la aceleracin de las reacciones qumicas por medio de los ultrasonidos. Finalmente, lleg la segunda guerra mundial con su demanda de dispositivos para la deteccin de submarinos sumergidos y de medios de comunicacin confiables en ambientes muy ruidosos, por ejemplo, en los carros de asalto y en las aeronaves. Instalronse grandes laboratorios en Inglaterra, Alemania, Francia y, en los Estados Unidos de Norte amrica, en las universidades de Harvard, Columbia y California, para ocuparse de estos problemas. Las investigaciones acsticas alcanzaron proporciones no soadas hasta el momento y se han mantenido desde entonces en el mismo nivel. Hoy pn da, la acstica est transformndose de una herramienta de la industria telefnica, de unos pocos arquitectos de avanzada y de los militares, en una cuestin de inters en la vida cuotidiana. Hay una tendencia internacional hacia la legislacin y la provisin de casas silenciosas. Los trabajadores y los profesionales piden lugares de tra bajo seguros y confortables desde el punto de vista acstico. 1,0s arqui tectos solicitan cada vez en mayor nmero los servicios de los ingenieros acsticos como parte de la rutina del proyecto y la construccin de edi ficios. Adems, es cada da. ms perentoria la necesidad de resolver el problema del ruido creado por la aviarin, en particular por los aviones a reaccin, los que amenazan echar por tierra el bienestar hogareo. Los fabricantes estn utilizando instrumentos acsticos en sus lneas de produccin. La acstica, finalmente, entra en la sala de estar, donde la renroduccill de la msica con alta fidelidad es cada da ms popular. Este libro cubre, primero, los aspectos bsicos de la acstica: la pro pagacin de las ondas en el aire, la teora de los circuitos mecnicos y acsticos, la radiacin del sonido en el espacio libre, y las propiedades de los componentes acsticos. Siguen luego captulos que tratan de los micrfonos, altavoces, recintos para altavoces, y bocinas. Se consideran a continuacin los conceptos bsicos del sonido en los recintos y se da una informacin prctica acerca del ruido. Por ltimo, ocpase el texto de las mediciones acsticas y de la sicoacstica. A travs de este texto

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INTRODUCCIN Y TERMIXOLOGA

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queremos hablar con usted-el estudiante de este moderno e interesante campo. 1.2. Qu es el sonido? Al leer el material que sigue, el estudiante debe pretender formarse una imagen mental (y conservarla) de lo que ocurre cuando el diafragma de un altavoz, o cualquier otra superficie, para el caso, se pone en vibracin en contacto con el aire. Dcese que hay sonido cuando un disturbio .que se propaga por un material elstico causa una alteracin de la presin o un desplazamiento de las partculas del material que puedan ser reconocidos por una per sona o por un instrumento. En razn de que el presente texto se ocupa principalmente de los dispositivos relacionados con la voz o con la msica, los nicos materiales de esta clase de que nos ocuparemos son los gases, y, en particular, el aire. Afortunadamente, las propiedades fsicas de los gases son fciles de describir y no hay dificultad en com prender la naturaleza de la propagacin del sonido en semejante medio. Imaginemos que pudiramos cortar un .. cubo" de aire y sostenerlo en nuestras manos como si se tratase de un trozo de madera. Qu pro piedades fsicas exhibira? Primero, tendra peso, y, por lo tanto, masa. En efecto, un metro cbico de aire tiene una masa un poco mayor que tln kilogramo. Si se le aplicara una fuerza. el cubo sera acelerado de acqerdo con el segundo principio de Newton, el que dice que la fuerza es igual a la masa multiplicada por la aceleracin. Si ejercemos una fuerza compresor sobre dos caras opuestas del r cubo, las otras cuatro caras tienden a expandirse. La presin incremen ' tal producida en el gas por esta fuerza es la misma en todo este pequeo volumen. Este resultado es consecuencia del hecho de que la presin en un gas es un escalar, esto es, una cantidad no direccional. Imaginemos que tenemos el pequeo cubo de aire sostenido firme :- mente entre las manos y que entonces avanzamos una de stas con res pecto a la otra, de manera de deformar el cubo a modo de un paralele ppedo. No se encuentra ninguna oposicin a esta deformacin de parte del aire exterior adyacente a las dos caras desplazadas. Esto significa que el aire no resiste a las fuerzas de corte t. Por otra parte, si nosotros impedimos el desplazamiento de cinco de las caras d'el cubo y tratamos de desplazar la otra, encontramos que el aire es elstico, esto es, se necesita cierta fuerza para comprimirlo. La magnitud de la fuerza est en proporcin directa con el desplazamiento que se le da a la cara desplazable. Basta con un sencillo experimento para convencerse de esto. Tpese la salida de un "inflador" para neumticos y empjese el vstago del mbolo. Se comprobar as que el aire encerrado comprtase como un simple resorte. La constante elstica de un gas depende, no obstante, del mtodo de compresin. Toda fuerza que tiende a comprimir un gas produce nece sariamente un desplazamiento de las partculas de ste. La presin incremental producida en el gas es directamente proporcional a la varia cin incremental del volumen. Si el desplazamiento se produce lentat Esto es slo aproximadamente cierto;' pues el aire tiene viscosidad, pero ./"- las fuerzas de corte son muy pequeas en comparacin con las que se encuentran en "'- los slidos. . ,,--.

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ACSTICA

mente, puede escribirse

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(proceso lento)

donde K es una constante. Si, en cambio, el desplazamiento, y por lo tanto el cambio de volumen, tiene lugar rpidamente, y adems, si el gas es aire, oxgeno, hidrgeno, o nitrgeno, la presin incremental pro ducida es igual a 1,4K veces la variacin incremental de volumen:I1P = -1,4K 11 V

(proceso rpido, gas diatmico)

Obsrvese que un incremento positivo (aumento) de la presin produce un incremento negativo (disminucin) del volumen. Los procesos que se producen con velocidades intermedias son ms difciles de describir, aunque slo sea aproximadamente, y, afortunadamente, no es necesario tomarlos en cuenta en este texto. Cul es la razn de la diferencia entre la presin creada cuando el volumen vara rpidamente y la que aparece cuando el volumen vara lentamente 1 Cuando la variacin del volumen es lenta, la compresin es isotrmica. Por variacin isotrmica se entiende toda variacin que se produce a temperatura constante. Hay tiempo para que el calor generado en el gas durante la compresin pueda pasar a otras partes del gas, o si el gas est confinado a un recipiente, pasar a las paredes de ste. La temperatura del gas peFmanece as constante. En cambio, cuando la variacin del volumen es rpida, la temperatura se eleva al comprimir el gas y desciende al expandirlo. Durante un ciclo de com presin y expansin no hay tiempo suficiente para que -el calor se pierda pasando a las adyacencias. Estas alteraciones rpidas, sin transferencia de calor, denomnanse adiabticas. En el proceso adiabtico o en el isotrmico, la presin del gas es debida al choque de sus molculas con las paredes del recipiente. Se recordar que la presin es fuerza por unidad de rea, o, segn Newton, la velocidad de variacin de la cantidad de movimiento por unidad (le rea. Investiguemos la naturaleza de la variacin de la cantidad de rnovim~ento en el gas confinado. Las paredes del recipiente modifican la direccin y el sentido del movimiento de las partculas y cambian por lo tanto su cantidad de movimiento; este cambio manifistase como presin en el gas. IJa velocidad de variacin de la cantidad de movimien to, y, por lo tanto, la magnitud de la presin, depende de dos factores. Ella aumenta, evidentemente, si el nmero de colisiones por segundo entre las partculas de gas y las paredes aumenta, o si aumenta la can tidad de movimiento trasferida por colisin, o si ambas cantidades aumentan a la vez. Vemos as que en la compresin isotrmica hay un aumento de la presin porque se reduce el volumen ocupado por las molculas del gas y stas, entonces, chocan ms frecuentemente con las paredes del recipiente. Por otra parte, si bien la compresin adiabtica resulta tambin en el aumento del nmero de colisiones por segundo de la manera que se acaba de describir, la variacin de la temperatura que acompaa a la compresin en este caso provoca un ulterior aumento del nmero de coli

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INTRODUCCIN y' TERMINOLOGA

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!;ones por segundo y tambin el aumento de la cantidad de movimiento trasferida por colisin. La teora cintica de los gases expresa que la yelocidad de las molculas de un gas vara en proporcin con la raz cuadrada de la temperatura absoluta del gas. En el proceso adiabtico el gas se calienta, las molculas se mueven ms rpidamente, chocan ms a menudo con las paredes del recipiente, y teniendo ellas mismas mayor cantidad de movimiento, trasfier'en m; cantidad de movimiento a las paredes en cada colisin. Frente a una variacin \ V dada del volumen, la velocidad de.varia riacin de la cantidad de movimiento, y, por tanto, el aumento de pre sin, ref'ulta ser mayor en el proceso adiabtico. Por consecuencia, el gas es ms rgido -se necesita ms fuerza para comprimirlo o expan dirlo- si la modificacin es adiabtica. Veremos ms adelante, en el texto, que las ondas acsticas son esencialmente alteraciones adiabticas.

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so. 'Las partculas tienen una velo cidad distinta de cero en 'cada punto, excepto en cierto!! instantes de cada alternacin. La temperatura en cada punto flucta por arriba y por debajo del valor ambiente. De igual modo vara la presin por arriba y por debajo de la presin ambiente. Esta variacin incre mental de la presin es lo que se llama presi6n sonora o presin de exceso. La variacin de presin causa, a su vez, una variacin de la densidad llamada densidad incremental. Un aumento de la presin sonora, en un punto, causa un aumento de la densidad en el mismo punto. La velocidad de un disturbio acstico que se propaga a travs de un gas no es la misma para todos los gases. Para un gas dado, la velocidad de propagacin es proporcional a la raz cuadrada de la temperatura absoluta del gas (ver Ec. 1.8). En los ltimos captulos de este libro hemos de describir instru mentos y mtodos para medir la-mayora de las cantidades mencionadas.

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PARTE

11.

Terminologa.

El estudiante posee ahora una imagen general de la naturaleza de la onda sonora. Para proseguir en el estudio de la acstica, es '""" necesario conocer la terminologa corriente en este campo. Muchas palabras comunes, tales como presin, intensidad, y nivel, se utilizan con acepcin particular. Es necesario que el estudiante se familiarice con el significado especial de caQa palabra desde un principio, pues as se las usa en todo el texto. La lista de definiciones que sigue ~ no es de modo alguno exhaustiva, y se presentarn trminos adicio nals a medida que se los necesite ms adelante 1. Si es posible, ~l estudiante debe hacer mediciones de sonido con un medidor de nivel sonoro y un 'analizador de sonidos, bajo la direccin del instructor, a fin de que la terminologa quede asociada firmemente con el fenmeno 1""'\ fsico. En este libro se utiliza el sistema MKS de unidades. Aunque el ingeniero acstico en el ejercicio de su prctica puede creer que esta decisin no se justifica en vista de la amplia. difusin del sistema CGS, ser visible en el Cap. 3 y nuevamente en el Cap. 10, cunto se gana ' \ en simpliCidad gracias al empleo del sistema MKS. En las definiciones1 Un bcen manual de terminologa es la norma American Standaril Acoustical TermtmoZouy, Z24.1- 1951, publicada por la American Standard Association, Ine. ~ New York, N. Y.

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INTRODUCCIN Y TERMINOLOGA

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r- que siguen, las unidades del sistema CQS estn indicadas entre parn ~, tesis despus de las unidades MKS. Se dan tablas de conversin en el Apndice n.("

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1.5. Generales. Acstico, a. t La palabra acstico (a) como ad jetivo, significa lo que est ntimamente asociado con las ondas sonoras o los medios, fenmenos, aparatos, cantidades, o unidades, individuales, que son temas de la ciencia de las ondas sonoras. 1.6. Presi6n y densida.d. Presin esttica (Po). La presin est tica en un punto del medio es la presin que existira en ausencia de ondas sonoras. Con la presin baromtrica normal, Po es aproximada mente igual a 1011 newton/m2, (10Sdina/cm2 ), lo. que corresponde a la lectura del barmetro de 0,751 m de mercurio cuando el mercurio est a ()oC. La presin atmosfrica normal se toma por lo general como de 0,760 m Hg a OC y equivale a una presin de 1,013 X 1011 newton/m 2 En este texto, al resolver problemas, tomaremos Po = 1011 newton/m2. Microbar (IlB). Elmicrobar es la unidad de presin comnmente utilizada en acstica. Un microbar es igual a 0,1 newton/m2 o 1 dina/ cm2 En este texto su uso no est restringido al sistema CGS. Presin sonora instantnea p (t) . La presin sonora instantnea en un punto es la variacin incremental de la presin esttica causada en un instante cualquiera por la presencia de una onda sonora. Su unidad es el microbar. Presin sonora eficaz (p). La presin sonora eficaz en un punto e!'l el valor cuadrtico medio de la presin sonora instantnea,. sobre un intervalo dado de tiempo, en el punto considerado. La unidad es el microbar. En el caso de una presin sonora peridica, el intervalo debe comprender un nmero entero de perodos. En el caso de una presin sonora no peridica, el intervalo debe ser 10 suficientemente largo como para que el valor obtenido sea esencialmente independiente de la duracin del intervalo. Densidad del aire (Qo). La densidad ambiente del aire est dada por las frmulasP

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273 Po -129-0-, T 0,76

kg/m3 (MKS)

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273 Po

g/cm' (COS)

(1.3j

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donde T es la temperatura absoluta en grados Kelvin y Po esIa presin baromtrica en m Hg. A la"temperaturaambiente normal de T 295K

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t En el original se distingue entre 10B ~djetivos "acoustic" y ti acoust.ic~", este ltimo de carcter ms general que el prImero. En castellano no hay adJetivos de matices semejantes. Por otra parte, "acstica ", como sustantivo (en ingls "acousties"), es el nombre con que designamos "la ciencia de las ondas sonoras".(N. del T.)

10

ACSTICA

(220), Y para la presin esttica Po = 0,751 m Hg, la densidad am - 1,18 Kg/m3 Este valor de (lo ser utilizado en los ." biente es Qo problemas,. salvo mencin en contra.

=

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1.7. Velocidad. Velocidad del sonido (c). La velocidad del sonido en el aire est dada aproximadamente por las frmulas ~ c = 331,4 0,6078 c 33,140 60,78

=

+ +

m/MKS cm/OGS

(1.4) (1.5)

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donde e es la temperatura ambiente en gra'do centgrado. Para tempe ,---.. raturas superiores a +3000 q inferiores a -300, la velocidad del ,,,", sonido debe calcularse con la frmula exactac

= 331,4

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331,4

~1 + 2~3

. mis

(1.6) f '

donde T es la temperatura ambiente en grado Kelvin. A la temperatura ambiente normal de 8 = 22"0, c= 344,8 mis. Este valor de c ser el utilizado en la solucin de los problemas, salvo ment'n en contra. Velocidad instantnea de las partculas (velocidad de las partculas) [1t (t)]. La velocidad instantnea de las partculas en un punto es la (-..... velocidad, debida solamente a la onda sonora, de una parte infinite simal dada del medio en un instante determinado. Se mide por encima y pOr debajo del movimiento del medio como conjunto. La unidad es ,~ el metro por segundo (en el sistema OGS, el centmetro por segundo). Velocidad eficaz de lns partculas (u). I~a velocidad eficaz de las ,.-..." partculas en un punto es el valor cuadrtico medio de la velocidad de las partculas (ver presin eficaz para los detalles). La unidad es el mis (en el sistema OGS, el cm/s). Velocidad instantnea de volumen [U (t) ]. La velocidad instantnea de volumen, debida a la onda sonora solamente, es el caudal instan tneo del medio perpendicularmente a travs de un rea especificada 8. .-.., Es decir, U(t) = Su(t), donde u(t) es la velocidad instantnea de las partculas. La unidad es el m3 /s (en el sistema OGS, el cm3 /s).

1.8. Impedancia.. Impedancia acstica. La impedancia acstica en ~ una superficie dada se define como la relacin compleja t de la presin r". sonora eficaz promediada sobre la superficie a la velocidad eficaz de volumen a su travs. La superficie puede ser una superficie hipo .--.., ttica en un medio acstico, o la superficie mvil de un dispositivo mecnico. La unidad es el newton-segundo/m5 , o el ohm acstico MKS:t. (En el sistema OKS, la dina-segundo/cm5 , o el ohm acstico.)

ZA =

rr newton-s/m& (ohm acstipo MKS)

(1.7)

~

,---___,

t "Relacin compleja" tiene aqu el mismo significado que la relacin compleja de tensin y corriente en la teora de los circuitos elctricos. :t Esta notacin se ha tomado de la tabla 12.1 de 1", norna ASA Z24.1-1951.

INTRODUCCIN Y TERMINOLOGA

11

Impedancia acstica especfica (Z.). La impedancia acstica es pecfica es la relacin compleja de la presin sonora eficaz en un punto de un medio acstico o un dispositivo mecnico a la velocidad eficaz de las partculas en ese mismo punto. La unidad es el newton-s/m8 , o rayl MKS . (En el sistema CGS, la dina-s/cm3 , o rayl.) Es decirZ.p=

u

newton-s/m3 (rayl MKS)

(1.8)

/""r-

/

Impedancia mecnica (ZM). Ija impedancia mecnica es la relacin compleja entre la fuerza eficaz que acta sobre un rea especificada de un medio acstico o un dispositivo mecnico a la velocidad eficaz lineal resultante a travs o de tal rea, respectivamente. La unidad es el newton-s/m, o el ohm mecnico MKS. (En el sistema CGS, la dina s/cm, o el ohm mecnico.) es decir newton-sjm (ohm mecnico MKS)(1.9)

Impedancia caracterstica (loc). La imf)edancia caracterstica es ,,- la relacin de la presin sonora eficaz en un punto dado a la velocidad eficaz de las partculas en el mismo punto, en una onda libre, plana r y progresiva. Es igual al producto de la densidad del medio por la ,..... velocidad del sonido en el mismo medio (loc). Es la anloga de la impedancia caracterstica de una lnea de trasmisin. La unidad es el - rayl MKS, o newton-s/m3 (En el sistema CGS, el rayl, o dina-s/cm3 .) En la resolucin de los problemas tomaremos para el aire (loC 407 - rayl MKS (o QoC = 40,7 rayl), la que es vlida para el aire a la tempe _ ratura d- 22"C y a la presin baromtrica de 0,751 m Hg.

=

-

1.9. Intensidad, densidad de energa y niveles. Intensidad, sono ra (1). La intensidad sonora segn una direccin determinada en un .,-. punto es el valor medio de 1ft- velocidad de trasmisin de la energa 8 r travs del rea unitaria perpendicular a la direccin considerada en el punto dado. La unidad es el wattjm2 (En el sistema CGS, el erg por r- segundo por cm2 .)En una onda plana o esfrica, libre y progresiva, ,-.. la intensidad en la direccin de propagacin esp2 !=poc

watt;m2

(1.10)

NOTA: En la literatura acstica se ha expresado a menudo la inten sidad en wattjcm2 , unidad igual a 107 erg por segundo por cm2 Densidad de energa sonora. (D). La densidad de energa sonora es ,-. la energa sonora contenida en una parte infinitesimal dada del medio dividida por el volumen de esa misma parte. La unidad es el watt-s/m8 ~

r

As denominada en homenaje a Lord Rayleigh.

12

ACSTICA

(En el sistema CGS, el ergjcm3 .) En muchos ambientes acsticos, por --- tjemplo en una onda plana, la densidad de energa sonora en un punto es ___(1.11)

donde y es la relacin de los calores especficos en un gas e igual a 1,4 para el aire y otros gases diatmicos. La cantidad y es adimensional. Nivel de potencia elctrica, o nivel f},e intensidad acstica. El nivel de potencia elctrica, o el nivel de intensidad acstica, es una cantidad que expresa la relacin de dos potencias elctricas o dos intensidades sonoras de manera logartmica. lla unidad es el decibel. Las definiciones son Nivel de potencia elctrica=

~~

~~,

10 lOglO W 1

W2

dB

( 1.12)

Nivel de intensidad acstica

=

11 10 loglO 12

dE

(1.13)

donde W 1 y W 2 son dos potencias elctricas, e 11 e 12 , dos intensidades '" sonoras. De la (1.12) se tiene, evidentemente,.. Nivel de potencIa elctrICa=

El2 R 2 10 10glO - - - Rl E 22

=

20 loglQ

El R -.+ 10 loglO E Rl2

2

dB (1.14) '"'~

donQ.e El es la tensin a travs .de la resistencia Rl en la que se disipa la potencia W 1, y E 2 es la tensin a travs de la resistencia R 2 en la que se disipa la potencia W 2. De modo similar, 'dad acustICa " Nivel d e intensl=

20 1oglO -PI P2

R+ 10 1oglO RS2SI

d B ( 1.15 ).---"r'.~

donde PI es la presin en un punto en el que la resistencia acstica especfica (es decir, la parte real de la impedancia acstica) es R Sl Y P2, ~ la presi6n en un punto en que la resistencia acstica especfica es Rs~. Observar el estudiante que 1010glQ (WfW 2 ) = 20 10glO (EjE z ) slo /'-., si Rl = R 2 , Y que 1010glO (1f1 2 ) = 20 10glO (Pt!P2) slo si R Sl = R.'l2' A veces se habla de niveles refirindose solamente a tensiones o pl't~. siones, sin consideracin de la igualdad de las resistencias elctricas o ~ acsticas. Esta prctica conduce a serias confusiones. Es importante aclarar cmo se usan los trminos cuando puede haber posibilidad de '"'" confusin.

INTRODUCCIN Y TERMINOLOGA

13

Nivel de presin sonora (SPL). El nivel de presin sonora de un /", sonido, en decibel, es 20 veces el logaritmo de base 10 de la relacin de la presin sonora efectiva de la presin sonora eficaz de referencia. r Esto es.SPL=

20 logIa -P _ .Pre!

dB

(1.16)

Como presin de referencia suele usarse(a)

"

Pre! = 0,0002 microbar (2 X 10-5 newton/m2 ) Pre!

,--

o(b)

= 1 microbar (0,1 newton/m

2)

La presin de referencia (a) ha sido de uso comn en las mediciones que tienen que ver con el odo y para las mediciones de nivel sonoro y ruido en el aire y los lquidos. La presin de referencia (b) se ha difun dido mucho para la calibracin de trasductores y ciertos tipos de me dicin de nivel de sonido en los lquidos. Los dos niveles de referencia r- difieren casi exactamente 74 dB. Es necesario indicar explcitamente el nivel de referencia en todos los casos. Nivel de intensidad (IL). El nivel de intensidad de un sonido, en decibel, es 10 veces el logaritmo de base 10 de la relacin de la intensidad de este sonido a la intensidad de referencia. Es decir, IL=

. I 10 loglo - I re !

(1.17)

Como nivel de referencia de intensidad se toma a menudo la inten sidad de 10-16 wattjcm2 Este nivel fu elegido originalmente porque corresponde aproximadamente a la presin de referencia (0,0002 micro bar) a la presin baromtrica normal, en una onda plana o esfrica progresiva. La relacin exacta entre nivel de intensidad y nivel de presin sonora en una onda plana o esfrica progresiva puede hallarse intro duciendo la Ec. (1.10) en la Ec. (1.17) : IL PoniendoPref

=

SPL5

+ 10 loglO-PoCIre!

pre!2

dB

(1.18)

= 2 X 10IL=

newton/m 2 e Ire! = 10-12 watt/m 2 se tiene SPL

+ 10 loglO -poC

400

dB

(1.19)

Es evidente que el nivel de intensidad IL ser igual al nivel de presin sonora SPL solamente cuando sea (loC 400 rayl MKS. Para ciertas combinaciones de temperatura y presin esttica esta igualdad se cumple, aunque para T 22C Y Po 0,751 m Hg, es (loc = 407 rayl MKS . .

=

=

=

14

ACSTICA

Para este caso comn, el nivel de intensidad es menor que el nivel de """ presin sonora en cerca de 0,1 dB. Independientemente de la cantidad /""' d referencia utiliZada, se la debe expresar siempre claramente. Nivel de potencia acstica (PWL). El nivel de potencia acstica, de una fuente sonora, en decibel, es 10 veces el logaritmo de base 10 de la rela>~in de la potencia acstica radiada por la fuente a la potencia ~ acstica de referencia. Es decir, PWL = 10 loglO -Wref

W

dh

(1.20)

En este texto, W ref es 10-13 watt. Esto significa que una fuente que radia 1 W, tiene un nivel de potencia de 130 dB. Si la temperatura. es de 2"C y la presin es de 1,013 X 105 new tonjm2 {0,76 m Hg), el nivel de presin sonora en un conducto que tiene 1 m 2 de seccin transversal, o a una distancia de 0,282 m dd centro de una fuente "puntn~.l" (a esta distancia la super~icie esfrica tiene un rea de 1 m 2 ), se tiene, por las Ecs. (1.10) 'y (1.16)

'"""""' ." ---,~

=~

10 loglO

(wW

X 412,5 X

1 ) (2 X 10- 5 )2

10 loglO - - - 1010-13

dB

1"""'

donde WQoC

412,5- rayl MKS 8 = rea =1 m 2 Pret presin sonora de referencia = 2 X 10-5 newtonjm:! ,"""' En palabras, el nivel de presin sonora es igual al nivel de potencia acstica menos 10 dB en las condiciones especiales en que la potencia atraviesa uniformemente un rea de 1 m2 , la temperatura es de 20C, !~ Y la presin baromtrica es de 0,76 m Hg. Nivel sonora. El nivel sonoro en un punto de un campo sonoro es /- la lectura en decibel en un medidor de nivel sonoro construdo v mane- ~ jado de acuerdo con la ltima edicin de "American Standard Sound Level Meters for the Measurement of Noise arid Other Sounds" 2. La lectura del instrumento (en decibel) corresponde a un valor de la presin sonora integrada sobre el rango de las frecuencias audibles con un tiempo de integracin y una compensacin de frecuencia, dadas. Nivel de potencia de banda (PWLn ). El nivel de potencia de banda,~

= impedancia caracterstica

== potencia acstica en watt

=

=

2 "American Standard Sonnd Level Meters' for the Measurements of N oise and Other Sonnds", Z24.3-1944, American Standards Association, Inc. New York; N. Y. Esta norma se halla en proceso d~ revisi6n.

INTRODUCCIN Y TERMINOLOGfA

15

r para una banda de frecuencias especificada es el nivel de potencia acsr.f

r-

r'

r{"

rr-

..-..r-

/'r-

;-.r

""'

tica contenido dentro de la banda. Deben especificarse el ancho de la banda y la presin de referencia. La unidad es el decibel. La letra n es el nmero con que se designa la banda considerada. Nivel de presin de banda, (BPL,,). El nivel de presin de banda de un sonido para una banda de frecuencias especificada es el nivel de pre sin sonora eficaz para la energa sonora contenida dentro de la banda. Debe especificarse el ancho de la banda y la presin de referencia. Ila unidad es el decibe1. La letra n es el nmero de designacin de la banda considerada. . Nivel espectral de potencia. El nivel espectral de referencia de un sonido en una frecuencia especificada es el nivel de potencia para la potencia acstica contenida en una banda de un c/s de ancho, centrada en la frecuencia especificada. La unidad es el decibel. (Ver tambin la 'liscusin sobre el nivel espectral de presin.) Nivel espectral de presin. .El nivel espectrl;11 de presin de un soni do. en una frecuencia especificada es el nivel de presin sonora eficaz para la energa sonora contenida dentro de una banda de 1 c/s de ancho centrada en la frecuencia especificada. Debe indicarse explcitamente la presin de referencia. La unidad es el decibel. DISCUSIN. El concepto espectral de presin tiene por lo comn significado slo para sonidos que tienen una distribucin continua de energa dentro de la gama de frecuencias en consideracin. El nivel de una banda uniforme de ruido con espectro continuo excede el nivel espectral en dB(1.21)

donde h y la son las frecuencias superior e inferior de la banda, respec tivamente. El nivel de un ruido uniforme con un espectro continuo en -- una banda de ancho fb - fa c/s est por lo tanto relacionado con el r- nivel espectral mediante la frmular

--

(1.22)

donde Ln = nivel de presin sonora en decibel del ruido dentro de 1a ,,-- banda de ancho lb - fa; en es el valor dado por la Ec (1.21); S" = nivel espectral del ruido (en decibel) ; y n = nmero de designacin de la Ir--. banda considerada.

CAPTULO

2

LA ECUACIN DE ONDA Y SUS SOLUCIONESPARTE

III.

La ecuacin de onda.

2.1. Introduccin. Hemos delineado ya cualitativamente la natura leza de la propagacin del sonido en un gas. En el presente captulo hemos de poner en lenguaje matemtico los principios fsicos antes des-'"' critos. Procederemos en dos etapas. Primero, estableceremos las ecua- ~ ciones que expresan la segunda ley de la dinmica de Newton, la ley de los gases, y las leyes de la conservacin de la masa. Segundo, combi naremos estas ecuaciones para obtener la ecuacn de onda.

tAy

Area =Ayll.z

L

,/

Al.

~ll.%~

,%

FTG. 2.1. El pequeo" cubo" de aire que aqu se ye es parte de un medio gaseoso en el que la presin sonora aumenta de izquierda a dereeha con la velocidad espacial opax (o, en notacin vectorial, grad p). Los tamaos de los puntos indican la magnitud de la presin sonora en eadn lugar.

e

Las derivaciones matemticas se hacen de dos maneras: con y sin el empleo del lgebra vectorial. Los que estn familiarizados con la nota cin vectorial apreciarn la generalidad del' mtodo vectorial tridimen

LA ECUA-CI6x DE OXDA y SUS SOLUCIONES

17

--- siona!. Las dos derivaciones se llevan a cabo en paralelo: en la mitad "" izquierda de las pginas, dervase la ecuacin de onda unidimensional con el uso de la sencilla notacin difgrencial; eula mitad derecha, der r' vasr la ecuacin de onda tridimensional con el empleo de la notacin vectorial. La simplicidad de las operaciones vectoriales queda patenti '" zaela por la presentacin frrnte a frente de los dos procedimientos. ,,2.2. Derivacin de la ecuacin de onda. La ecuan del movi m1:ento. Si escribimos la segunda ley de Newtonpara un pequeo volumen de gas situado en un medio homogneo, obtendremos la ecua /"" cin del movimiento, o la ecuacin de la fuerza,como a vec'es se la llama Imaginemos que el pequro volumen de gas est encerrado en una caja r-- cbica con paredes flexibles e ingrvidas..,-. Derivacin unidimensional 1 Supongamos que la caja est situada en un medio donde la pr~sin sonora p ,- aumenta de izquierda a derecha con la velof'idad espacial ap fax (ver Fig. 2.1). Derivacin tridimensional 2 Supongamos qUfl la caja est situada en un medio (ver Fig. 2.1) donde la pre sin sonora p vara en el espacio segngra d

ap +. ap + k -a iJp d on d el, . p ~ 1. -a J -ax11

z

j, y k, son los vectores Imitarios en las direcciones de x, y y z, respectivamente, y p es la presin en el punto.

Supongamos que los lados de la caja estn completamente libres de ,--.. friccin; es decir, que es despreciable todo arrastre viscoso entre las partculas de gas dentro de la caja y las de afuera. Luego, las nicas fuerzas que actan sobre el gas interior son las debidas a la presir ejercida sobre las paredes de la caja. La diferencia entre las fuerzas que actan sobre dos caras opuestas de la caja cbica es igual a la velocidad de variacin de la fuerza con la distancia multiplicada por la distancia incremental entre las dos caras. . .Fuerza que act(w. en el sentido de ace /'"" lerar la caja en la direccin de las x posi Fuerza que acta acelerando la caja en " posItIva . . = d IreCClOn-

r

tivas

= -

(

~:!:J.x)

[. 1

p (a ax

A ) uX

A A !.J.y!.J.z

!:J.y!:J.z(2.1a)

+j

e:

!:J.Y) !:J.x !:J.z+k

e:

!:J.z) !:J.x !:J.y

J

(2.1b)

Se cllrontl'arn derivaciones no vectoriales de la ecuacin de onda en RA YLEIGH, "Theor;-' ofSound",yol. 2, pp. 115, Macmillan.J Co., London, ]896; Po M. MORSE, "Vihation and Sound ", 2..imadamente igual a la densi dad media po. Luego,

donde q", qu. q. son las componentes de la velocidad vectorial de las partculas q. Si la velocidad vectorial q de las par tculas es lo suficientemente pequea, la velocidad de variacin de la cantidad ' \ de movimiento de las partculas en la caja puede tomarse como aproximada mente igual a la velocidad de variacin de la cantidad de movimiento en un punto fijo, Dq/Dt =oq/ot, y la densidad ~ instantnea p' puede tomarse como la densidad media po. Luego,-- grad p = ~o 7ft

- - = po-

apdx

a11.

at

(2.4a)

oq

(2.4b)

.,

Las aproximaciones que se acaban de adoptar son generalmente acep tables siempre que los niveles de presin sonora estn por debajo de unos 110 dB re 0,0002 microbar. Los niveles superiores a 110 dB son tan grandes que crean molestias auditivas en muchos individuos, como hemos de ver en el Cap. 13, al final. de este libro.

--------------~------~--------------------~-

(

.

LA ECUACIN DE ONDA Y SUS SOLUCIONES

19

La ley de los gases. Si suponemos que ~gas -e ideal, podemos ./'"' aplicar a nuestra caja la ley de Charles-Boyle. Se tiene ., (

('" a ~x ~y ~z; T es la temperatura absoluta en grados Kelvin; y R es una r constante del gas cuyo valor depende de la masa de gas elegida. t , Usando esta ecuacin, podemos hallar una relacin entre la presin I~ E.onora (presin de exceso) y la variacin incremental de V . Antes de que podamos establecer esta relacin, empero, debemos saber cmo vara (' la temperatura T al variar P y V y, en particular, si el fenmeno es ,~ fl,diabtico o isotrmico. . En las frecuencias audibles, la longitud de onda del sonido es grande r "n comparacin con las distancias entre molculas en el aire. Por ejem r plo, a 1000 e/s, la longitud de onda l. es igual a 0,34 m, en comparacin con una distancia intermolecular de 10-9 m. Ahora bien, siempre que , (' una porcin de gas se comprime rpidamente, se eleva su temperatura, y, al revs, siempre que se la expande rpidamente, su temperatura dis r minuye. En un punto cualquiera de su campo sonoro alterno, la tem r- peratura del gas sube y baja en relacin con la temperatura ambiente. Esta variacin ocurre con la misma frecuencia que la de la onda sonora ,-- y est en fase con la presin sonora. Supongamos, por el momento, que la onda sonora contiene slo una r- frecuencia. En puntos separados por media longitud de onda, las fluc tuaciopes .de presin y temperatura estarn 1800 fuera de fase. Surge ahora la cuestin: , hay tiempo suficiente durante media alternacin de r la temperatura para que pueda producirse un intercambio de calor entre dos puntos cuya diferencia de temperatura es mxima? r Se ha establecido 3 que en condiciones atmosfricas normales la velo r cidad de propagacin de una onda de difusin trmica de 1000 e/s es de alrededor de 0,5 mis, y, a 10.000 e/s, de alrededor de 1,5 mis. Pero la duracin de una semialteracin a 1000 c/s es de 0,0005 s. En este tiempo la onda trmica slo ha avanzado 0,00025 m, lo que es muy poco en comparacin con media longitud de onda (0,17 m) a 1000 e/s. A 10.000 e/s., la onda trmica avanza 7,5 X 10-5 m, aproximadamente, distancia asimismo muy pequea en comparacin con media longitud de onda (1,7 X 10-2 m). Parece razonable, entonces, aceptar que es despreciable el intercambio de calor en una onda audible. La!'! comprp siones y expansiones gasposas de este tipo se denominan adiabticas. Para la expansin adiabtica, la relacin entre la presin total y el volumen es, segn se sabe, 4r .molecular

PV =RT (2.5) donde P es la presin total en la caja; V es el volumen de la caja. igual

Si se elige la masa del gas de modo que su peso en gramo es igual a su peso (es decir, un mol, o molcula-gramo), el volumen de esta masa a 00 0 y' O,76 m Hg es igual para todos los gases e igual a 0,02242 m3 Entonces e8 R = 8,314 ,yatt-s por grado centgrado por mol. Si la masa se elige n veces mayor, entonces R = 8,314n. S Ver L. L. BERANEK, "Acoustic Measurements ", p. 49, J ohn Wiley .t Sons, Inc., New York, 1949. 4 1'1. W. ZEMANSKY, "Heat and Thermodynamics", 2" ed., pp. 104114, :McGraw-Hill Book Company, Inc. New York, 1943. .

t

r,20ACSTICA

~ Pvr = constante

(2.6)

donde y es la relacin del calor especfico del gas a presin constante'""" al calor especfico a volumen constante. Esta ecuacin deriva de la ecua-, cin de los gases en la forma (2.5), suponiendo que el proceso es adia btico. Para el aire, el hidrgeno, el nitrgeno y el oxgeno, es decir,' , para los gases cuyas molculas son di atmicas, es

y=I,4Expresando la Ec. (2.6) en forma diferencial, tenemosdPryL

"(2.7)

~

--ydV V V = Vo +'1:

~

Sea

P = Po

+p

(2.8)

" "

"

donde Po y V o son la presin y el volumen sin disturbio, respectiva- " mente, y p y 't' son, respectivamente, la presin y el volumen incremen- '""" tal, debidos a la presencia de la onda sonora.

f

Ay

! -_ _ _..I..J.xtremo opuesto al ocupado por la fuente.2,0r,,-..

1,0 0,5 0,3 0,2

-.... 1"1/l'I

,.~

0,1 0,05 0,03 Zs 0,02

xsIPocV

V

pocr' r

0,010,005

~

/

/ /Rs/poc

r

0,003 0,002 0,001 0,0005 0,0903 0,0002

li/2 3 4 6 8

a2 3 4 6 82

Analoga de impedancia

Xs I f--

I

L

10 20 kr "-CIG. ::!.10. Partes real e imaginaria de la impedancia acstica especfica normalizada J Qoc de la c'rga de aire sobre una esfera pulsante de radio r situada en el espacio ibre. La frecuencia se representa en una escala normalizada donde kr = 2nfr/c = r--ocu(r), como lo muestra la Ec.. (2.65). Por lo tanto, para kr grande, vemos por la Ec. (2.88) que en una onda esfrica y para distancias grandes [ = lur l2 Qoc cos q,. rT--Ia potencia total para c1lalqwier radio r es igual a W = 4rrr 2[ _ = 4rrr21Prl2 / (loC. Luego, para una onda esfrica,1=-411"1"2

W

para q, = O

(2.95)

r-

r-

Por la ley de la conservacin de la energa, W es independiente de r si no hay prdidas en el gas, de modo que la intensidad vara en propor dn inversa con el cuadrado de la distancia r. De la Ec. (2.90) desprndese tambin que el cuadrado de la magnitud eficaz de la presin sonora en un punto cualquiera vara en proporcin inversa con el cuadrado de la distancia r. Luego, dado que la intensidad [ en un punto cualquiera vara del mismo modo, ella es directamente proporcional al cuadrado de la presin sonora en el mismo punto. Estp resultado concuerda con el que muestra la Ec. (2.94).

Ejemplo 2.5. Una fuente sonora esfrita est radiando sinusoidalmente en el espacio libre 1.watt de potencia acstica a 1000 c/s. 'Calcular (a) la intensidad en la direccin de propagacin de la onda; (b) la presin sonora; (e) la velocidad ,-.. de las partculas; (d) el ngulo de fase entre (b) y (o); (e) la densidad de energa; y (1) el nivel de presin sonora en un punto que est a 30 cm del centro de la fuente. (Suponer 220C y 0,751 m Hg.) Soluci6n. a. La intensidad puede calcularse COIl la Ec. (2.95):

1

=

4"1trl

W

=

1 4"1t(0,3)2 = 0,885 watt/m2

b. La presin sonora eficaz se obtiene con la Ec. (2.94):

IPrl

= ...; 1 p.e = "';0,885 X 407 = 18,97 newtons/m'

48

ACSTICA

c. La velocidad eficaz de las partculas est' dada por la Ec. (2.93).kr

= (21t

X 1000 1344,8) (0,3)

= 5,46

"'~ Iu,I =.!!.... poC kr

= 18,97

407. 5,46

"'1 + 29,8 ... 00474 I ' m'19,6 0...

I!

d. El ngulo de fase 6 entre p, yu, se calcula a partir de la Ec. (2.64):

O ... 90 -

tg-1 kr ...

9{)0 -

10,4

t. La densidad de energa est dada por la Ec. (2.84):

Dmed =

IPrl S (poel

1

=2,62 X 10- watt-s 1m3

+

2k2r2

1) = 1,4360 ( 1) X 10. 1 + 2 X 29,83

1. El ni\'el de presin sonora se calcula con la Ec. (1.18):SPL

= 20 oglo 2 ~'i= 1!!),5 dB re 2

6

X 10- 6 newton 1m2 (Te 2 X 10-' microbar)

Este nivel de presin sonora es cerea de 15 dB ms alto que el nivel m, alto ,-.." que puede medirse unos 7 m por encima de una orquesta sinf6nica completa. Er. ~ otros trminos, 1 watt de potencia acstica crea un nivel de presin sonora mny elevado a cortas distancias de la fuente.

CAPTULO

3

CIRCUITOS ELECTROMECANOACSTICOSPARTE

VI.

Circuitos mecnicos.

3.1. Introduccin. El tema de la electromecanoacstica (a veces llamado analogas dinmicas) consiste en la aplicacin de la teora de los r- circuitos elctricos para la resolucin de los problemas mecnicos y r- acsticos. En la mecnica clsica, el fenmeno vibratorio se representa f'l1teramente por medio de ecuaciones diferenciales. Esta misma situa r- ein se elaba en los primeros tiempos de la telefona y la radio. Con el desarrollo de la comunicacin telefnica y radial, result evidente la r convenirllcia de una representacin esquemtica de los elementos y sus I interconexiones. Estos diagramas esquemticos permitan a los inge nieros visualizar el comportamiento de un circuito sin necesidad de r- rrolver HIS complicadas ecuaciones. lla determinacin del comporta mirllto de los sistemas de radio y televisin resulta as mucho ms sencilla que si solo se dispusiera de las ecuaciones del sistema. l.1os diagramas esquemticos ofrecen otra importante ventaja ade- ms dr la visualizacin. A menudo se tiene un componente de equipo r para el cllal se desran plantear las ecuaciones diferenciales correspon dientrs. Puede rntollces dibujarse el diagrama esquemtico por in!! r peccin. Lurgo, las ecuaciones diferenciales se escriben siguiendo el r- diagrama esqurmtico. I.la mayora de los ingenieros emplei.n este proce dimirnto en lugar de intentar escribir directamente las ecuaciones di - frrencialrs. rLos diagramas esquemticos encuentran sus ms simples aplicaciones en los circuitos que contienen elementos concentrados, es decir, aquellos ,--. ~n que la nica variable independiente es el tiempo. En los sistemas tlistribuc1os, que son comunes en acstica, puede haber tanto como r ' tre!! variables de e!!pacio y una variable de tiempo. Por lo tanto, .el r- diagrama esquemtico es ms difcil de visualizar que las ecuaciones diferenciales y la teora clsica vuelve a predominar~ Hay sin embargo r- muchos problemas de acstica en que los elementos son concentrados yr- ___________________________________________________________________

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ACSTICA

en los que, por consiguiente, puede usarse con ventajas el diagrama '""" esquemtico. Para poder emplear representaciones esquemticas en el estudio de los dispositivos acsticos y mecnicos, los mtodos empleados en este ~ texto deben satisfacer cuatro requisitos principales. 'Ellos son: 1. Deben permitir la formacin del diagrama esquemtico por ins peccin. ' 2. Deben admitir la manipulacip conveniente para hacer posible la combinacin de elementos elctricos, mecnicos y acsticos en un nico --.... diagrama esquemtico. 3. Deben preservar la identidad de cada elemento en los circuitos combinados de tal ~odo que se puede reconocer inmediatamente una ~ fuerza, una tensin, una inductancia, etc. ~ 49 Deben utilizar los smbolos y reglas familiares propios de la teora de los circuitos elctricos. Algunos de los mtodos ideados satisfacen uno o dos de los requisitos anteriQres, pero no todos. El propsito de este captulo es el de presentar ~ un nuevo mtodo adecuado para la manipulacin dejos sistemas combi- ~ nados elctricos, mecnicos y acsticos; Incorpora este mtodo las buenas cualidades de los otros y satisface tambin los cuatro requisitos ~ anteriores. Los smbolos utilizados coinciden dentro de lo posible con los que se emplean en los textos ms antiguos 1-5.

-

3.2. Significados fsico y matemtico de los elementos, de circuito. Los elementos de circuito que hemos de utilizar para formar los diagramas esquemticos son los de la teora de los circuitos elctricos. Estos elementos y sus significados matemticos estn tabulados en la tabla 3.1 Y es necesario que el estudiante los aprenda ahora. Hay generadores de dos tipos. Hay cuatro tipos de elementos de circuito: resistencia, capaci tancia, inductancia y transformadores. Hay tres cantidades genricas: ,(a) la cada a travs de un elemento de circuito; (b) el flujo a travs de, un elemento de circuito; (e) la magnitud del elemento de circuito. t Debe prestarse atencin al 'hecho de que la cantidad a no est restringida a la tensin elctrica e, ni b a la corriente elctrica i. En algunos problemas a representar una 'fuerza f, una velocidad u, una presin p, O una velocidad de volumen U. En estos casos b representar, respecti. vamente, velocidad 1t, fuerza f, velocidad de volumen U, o presin p.

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-...

'""'r',

1 B. GEHLSHOJ, "Electromechanical and Electroacoustical Analogies", Academy of Technical Sciences, Copenhagen, 1947. 2 A. FIRESTONE, A New Analogy between Meehanical and Electrical Systems, J. coust. Soo. mer. 4: 249267 (1933); The Mobility Method of Computing the ""'" Vibrations of Linear Mechanical and Acoustical Systems: Mechanicalelectrical Analoges, J. Appl. Phys., 9: 373387 (1938). 3 H. F. OLSON, "Dynamical Analogies", D. Van Nostrand Company, Ine., New York, 1943. 4 W. P. MASON, Electrical and Mechanical Analogies, Bell System Tech. J. 20: 405-414 (1941). " 5 A. BLOCH, Electromechanical Analogies and Their U se for the Analysis of Mechanical and'Electro-me.chanical Systems, J. Inst. Elec. Eng., 92: 157-169 (1945.). -" t ,Entre los cuatro elementos de circuito, los tres piimeros son bipolares. Esta lista es exhaustiva. El elemento de transformacin es un cuadripolo. Hay otros cuadripolos sin prdidas que podrlan elegirse adicionalmente, por ej., el girador ideal.

F:

~

CIRCUITOS ELECTROMECANOACSTICOS

51

/"""'De modo similar, la cantidad c podra ser cualquier cantidad convenit'n ,-- te, tal como la masa, la compliancia, la inductancia, la resistencia, etc. El significado fsico de los elementos de circuito c depende de la manera r~omo se eligen las cantidades a y b, con la restriccin de que el pro ducto ab tiene en todos los casos la dimensin de una potencia. Todas ~las alternativas posibles estn ilustradas en la tabla 3.2.TARLA 3.1.Smbolo

Significado fsico yKombre

lllatelllti~o

de los smb310s.Significado

Transitorio

I

Estado estacionario

fEi i i

Generador de ca La cantidad a es independiente da constante de los que se conecta al genera dor. La flecha apullta liacia el terminal positi\'o del generador-~------

9

b

Generndor de flu La cantidad b es independiente de los que se conecta al gene jo constante rad". La flechn [l'lInta en el sentirlo del flujo positivo--------

-

--L::ULa~e

+-e

Elemento tipo re a sistencia

= be

a = be

+-e: 1

Elemento tipo ca pacitallcia

a=~J= e didb

b di

b a = -;-JWC

-------

~ e

Elemento tipo in ductancia a

a = jweb-----_._,

TIff..~las

b

d

Elemento tipo transformacin

a = cg

I"'~d ~ = c' rb d

a = cg cb = d a .g b=e d

Una-idea importante que el estudiante debe fijar en su mente es que operaciones matemticas asociadas con un smbolo dado son inva /,",riantes. Si el elemento es del tipo de inductancia, por ejemplo, la cada a a su travs es igual a la derivada respecto del tiempo del flujo b mul ~tiplicado por la magnitud del elemento c. Obsrvese que esta regla no se sigue siempre en la teora de los circuitos elctricos porque en /"" ",Ha junto al smbolo de un elemento de circuito del tipo de resistencia _.se escribe, por ejemplo i 'discriminadamente resistencia o conductancia. I.las operaciones invariantes que deben asociarse con cada smbolo' son ~las indicadas en las columnas 3 y 4 de la tabla 3,1.

TIoeL4 ~2.

Mecnico Elemento Analoga de movilidad tu

Elctrico

Analoga de impedancia

abi

e

IJu

+-e = RE

-Cl: e+-

1 e = RM

=e -MM

e = RM

e =

L;b1-t e+-

e = CH

e = CM

e =

~ e+-

c=L

e = CIl

e = MM

e =,

--C:lle--

e

= ZE = ~ t

e

=

ZM = -

u

1

J= ZM._-------

e

= ZM

= [U

=

1.ZM

e

=

i i "..,01'1

) ) C14