Anlisis Numrico I

Anlisis Numrico IINFLUENCIA DE ERRORES. Sistemas numricos

Actividad 3. Influencia de errores.Muchas veces se nos presentan distintas posturas filosficas, teoras matemticas y fsicas de cierta forma en la que es fcil entenderlas como si la realidad que percibimos a travs de nuestros sentidos fuera una aproximacin a un universo platnico y perfecto conformado por slidos regulares, perfectamente continuos y delicadamente sincronizados con la que debemos conformarnos.A lo largo del siglo XX ha habido varios momentos en el desarrollo de la fsica y la matemtica que han puesto este punto a debate. Investiga y debate con tus compaeros como los siguientes temas influyen en tu concepto de Error.a) Determinismo y el demonio de Laplaceb) El principio de incertidumbre de Heissenbergc) Edward N. Lorenz, atractores extraos y la teora del Caos.d) El problema no. 2 de Hilbert y el teorema de incompletitud de GdelA) Determinismo y el demonio de Laplace

El primer demonio de renombre es eldemonio de Laplace. El fsico y matemtico francs Laplace fue una de las principales figuras en el desarrollo de la mecnica creada por Newton. Estaba convencido de que todos, absolutamente todos los fenmenos de la naturaleza, incluido el comportamiento humano, obedecan las leyes de Newton y podan explicarse y predecirse a partir de ellas.

Esta visin del mundo tena una consecuencia inmediata: si uno conoce la velocidad y posicin de las partculas de un sistemay es capaz de resolver las ecuaciones matemticas de Newton, puede predecir con toda exactitud el comportamiento del sistema en cualquier tiempo futuro. As ocurra, por ejemplo, con el movimiento de los planetas, lo que nos permite predecir los eclipses y cualquier otro fenmeno astronmico dentro del sistema solar.

En otras palabras, el mundo, si obedeciera las leyes de Newton, sera completamente determinista. Para expresar esta idea de forma ms grfica, Laplace imagin un demonio, capaz de conocer la posicin y velocidad de todas las partculas del Universo en un momento dado, y capaz tambin de resolver las ecuaciones de Newton del Universo. Un demonio con estas capacidades (sobrehumanas pero no sobrenaturales) conocera el devenir de todo lo que existe, conocera el ms leve movimiento de cualquier cosa o persona que viviera en los prximos cien mil millones de aoLaplace, en su ensayo filosfico, desarroll el concepto de determinismo radical basndose en la hiptesis de que si conociramos todas las condiciones primigenias del universo y tuviramos una capacidad de clculo ilimitada basadas en las leyes de la mecnica de Newton-, podramos predecir las conductas de todos los organismos y su evolucin. Es decir, estaramos en disposicin de analizar el estado presente del universo como efecto de su pasado y causa de su futuro (Laplace).Lgicamente, para imaginar estos supuestos, los fsicos han ideado un ser con capacidades sobrehumanas (demonio) que le permite observar de cerca las leyes de la naturaleza e intervenir en ellas, sin contravenirlas, para obtener conclusiones de relacin causa-efecto.Qudense con este concepto, pues les invito ahora a que lo trasladen al mundo de la gestin estratgica de las empresas, entendida sta como la definicin de los patrones de conducta que regulan la forma de operar de la compaa a travs del tiempo, generando planes de actuacin internos y externos que compensen y se sobrepongan a las fuerzas competitivas que regulan su mercado, sobre la base de experiencias anteriores (pasado) y con la formulacin de objetivos (futuro) para crecer frente a la competencia.

B) El principio de incertidumbre de Heissenberg

El hecho de que cada partcula lleva asociada consigo una onda, impone restricciones en la capacidad para determinar al mismo tiempo su posicin y su velocidad. Este principio fu enunciado por W. Heisenberg en 1927.Es natural pensar que si una partcula est localizada, debemos poder asociar con sta un paquete de ondas ms o menos bien localizado.Un paquete de ondas se construye mediante la superposicin de un nmero infinito de ondas armnicas de diferentes frecuencias.En un instante de tiempo dado, la funcin de onda asociada con un paquete de ondas est dado por:

Dndekrepresenta el nmero de onda:

Dnde la integral representa la suma de ondas con frecuencias (o nmero de ondas) que varan desde a ponderadas mediante el factor g(k).El momento de la partcula y el nmero de ondas estn relacionadosya que

de lo cual se deduce que

Queda claro que para localizar una partcula es necesario sumar todas las contribuciones de las ondas cuyo nmero de onda vara entre a y por lo tanto el momentotambin vara entre a . Es decir que est completamente indeterminado.Para ilustrar lo anterior hemos indicado en la siguiente figura diferentes tipos de paquetes de onda y sutransformada de Fourierque nos dice como estn distribuidas las contribuciones de las ondas con nmero de ondaskdentro del paquete.

En el primer caso vemos que un paquete de ondas bien localizado en el espaciox, tiene contribuciones prcticamente iguales de todas las ondas con nmero de ondask.En el segundo caso vemos que si relajamos un poco la posicin del paquete de ondas, tambin es posible definir el nmero de ondas (o el momento) de la partcula.En el ltimo caso vemos que para definir bien el momentode la partcula, entonces su posicin queda completamente indefinida.Es posible determinar el ancho, o la incertidumbre, del paquete de ondas tanto en el espacio normalcomo en el espacio de momento.

Elprincipio de incertidumbrenos dice que hay un lmite enla precisin con el cual podemos determinar al mismo tiempo laposicin y el momento de una partcula

La expresin matemtica que describe el principio de incertidumbre de Heisenberg es

Si queremos determinar con total precisin la posicin:

De la desigualdad para el principio de incertidumbre verificamos entonces que

Es decir, que la incertidumbre en el momento es infinita.

c) EDWARD N. LORENZ, Atractores extraos y la teora del caos.

El trmino Caos se refiere a una interconexin subyacente que se manifiesta en acontecimientos de la vida cotidiana que son aparentemente aleatorios y desordenados. Por eso elconcepto de caos a menudo puede crear en nosotros una idea negativa, una visin de desorden en donde las cosas no funcionan bien, en un mundo en donde lo establecido y lo correcto es precisamente el orden.

Durante mucho tiempo la nocin de que en el universo exista un orden total y continuo fue algo innegable, las teoras de Newtonvean al mundo como un compuesto de bloques mecnicos en interrelacin, partes separadas de la realidad que respondan a una causa-efecto. De hecho nuestra cultura sigue estando impregnada de este mecanicismo y predictibilidad, intentamos y nos obsesionamos por predecir cualquier fenmeno desde una perspectivareduccionista. Pero es justamente aqu donde surge el nuevo paradigma, al ver a la realidad como un todo en donde cualquier factor, por pequeo que parezca, puede afectar el comportamiento y la evolucin de la naturaleza.Del entendimiento de estos factores y sus relaciones surge la Teora del Caos, en la cual existen tres componentes esenciales: el control, la creatividad y la sutileza. El control por dominar la naturaleza es imposible desde la perspectiva del caos, pactar con el caos significa no dominarlos sino ser un participante creativo. Ms all de nuestros intentos por controlar y definir la realidad se extiende el infinito reino de la sutileza y la ambigedad, mediante el cual nos podemos abrir a dimensiones creativas que vuelven ms profundas y armoniosas nuestras vidas.En este sentido se dice que un sistema visto desde el punto de vista del caos, es decir sistema catico, es un sistema flexible y no lineal, en donde el azar y lo no predecible juegan un papel fundamental. Un ejemplo de sistema catico podra ser un ro, en donde cada partcula de agua sigue una trayectoria aleatoria e impredecible que sin embargo no rompe con la dinmica establecida en el mismo ro.Podramos decir entonces que la Teora del Caos es todo lo anterior y mucho ms. Es encontrar el orden en el desorden, y constituye el principal afn de quienes, en los diversos campos de la ciencia, adoptan esta nueva perspectiva. Por ejemplo en la geometra moderna surgen figuras caticamente raras y bellas como resultado de modelos recursivos que generan comportamientos impredecibles, sin embargo estos conservan un cierto orden. Estas formas son conocidas comofractales.Hacia 1960, el meteorlogoEdwardLorenzse dedicaba a estudiar el comportamiento de la atmsfera, tratando de encontrar un modelo matemtico, un conjunto de ecuaciones, que permitiera predecir a partir de variables sencillas, mediante simulaciones de ordenador, el comportamiento de grandes masas de aire, en definitiva, que permitiera hacer predicciones climatolgicas.Lorenzrealiz distintas aproximaciones hasta que consigui ajustar el modelo a la influencia de tres variables que expresan como cambian a lo largo del tiempo la velocidad y la temperatura del aire. El modelo se concret en tres ecuaciones matemticas, bastante simples, conocidas hoy en da como modelo deLorenz.Pero,Lorenzrecibi una gran sorpresa cuando observ que pequeas diferencias en los datos de partida (algo aparentemente tan simple como utilizar 3 o 6 decimales) llevaban a grandes diferencias en las predicciones del modelo. De tal forma que cualquier pequea perturbacin, o error, en las condiciones iniciales del sistema puede tener una gran influencia sobre el resultado final. De tal forma que se haca muy difcil hacer predicciones climatolgicas a largo plazo. Los datos empricos que proporcionan las estaciones meteorolgicas tienen errores inevitables, aunque slo sea porque hay un nmero limitado de observatorios incapaces de cubrir todos los puntos de nuestro planeta. Esto hace que las predicciones se vayan desviando con respecto al comportamiento real del sistema. Lorenzintent explicar esta idea mediante un ejemplo hipottico. Sugiri que imaginsemos a un meteorlogo que hubiera conseguido hacer una prediccin muy exacta del comportamiento de la atmsfera, mediante clculos muy precisos y a partir de datos muy exactos. Podra encontrarse una prediccin totalmente errnea por no haber tenido en cuenta el aleteo de una mariposa en el otro lado del planeta. Ese simple aleteo podra introducir perturbaciones en el sistema que llevaran a la prediccin de una tormenta.De aqu surgi el nombre de efecto mariposa que, desde entonces, ha dado lugar a muchas variantes y recreaciones.

Se denomina, por tanto, efecto mariposa a la amplificacin de errores que pueden aparecer en el comportamiento de un sistema complejo. En definitiva, el efecto mariposa es una de las caractersticas del comportamiento de un sistema catico, en el que las variables cambian de forma compleja y errtica, haciendo imposible hacer predicciones ms all de un determinado punto, que recibe el nombre de horizonte de predicciones.

D) El problema no. 2 de Hilbert y el teorema de incompletitud de Gdel.

El segundo problema deHilbertpretende probar la compatibilidad de los axiomas de la aritmtica. Es decir partiendo de ellos, unnmero finito de pasos lgicos, nunca puede conducir a resultados contradictorios. El famoso teorema de Gdel, establece que en cualquier sistema simblico formal es posible construir una proposicin que no se puede probar ni refutar en el mismo sistema.

El teorema de Gdel es equiparable por su importancia a la teora de la relatividad deAlbert Einstein, y es una de las construcciones fundamentales de las matemticas de todos los tiempos.Gdelutiliz el rigor de las matemticas para demostrar, sin lugar a dudas, que las matemticas mismas son incompletas. En su artculo de 1931, Gdel demuestra que en cualquier sistema lgico basado en axiomas y reglas de inferencia, existen enunciados cuya verdad o falsedad no vamos a poder decidir, basndonos en la propia lgica matemtica del sistema. Antes de Gdel esto ni siquiera se consideraba, pues lo interesante de un enunciado era poder demostrar que era verdadero o bien era falso. A partir de Gdel aparece una diferencia muy sutil entre verdad/falsedad y demostrabilidad.El teorema de Gdel tiene que ver con enunciados que hacen referencia a s mismos. Scrates afirmaba, en su famosa frase: Yo slo s que no s nada. Se contradeca, al afirmar que slo saba una cosa y, al mismo tiempo, no saba nada: haca referencia a s mismo y ah es donde resida su contradiccin.En 1931Kurt Gdel, un joven matemtico austraco de 25 aos, public su famoso artculo Sobre proposiciones formalmente no decidibles enPrincipia Mathematicay sistemas relacionados y desmont, definitivamente, la soberbia estructura montada sobre la lgica matemtica, que se supona completa. Destroz el programa planeado por Hilbert, porque demostr que cualquiera de estos sistemas matemticos precisos (formales) de axiomas y reglas de inferencia (finitos), siempre que sealo bastante amplio para contener descripciones de proposiciones aritmticas simplesy siempre qu est libre de contradiccin, debe contener algunosenunciados que no son demostrables ni indemostrables con los medios permitidos dentro del sistema. Gdel demostr que el mismo enunciado de la consistencia del propio sistema axiomtico debe ser una de esas proposiciones indecidibles.Gdel nos descubri que la verdad es una categora superior a la demostrabilidad, y que su argumento nos da la posibilidad, mediante intuicin directa, de ir ms all de las limitaciones de cualquier sistema matemtico formalizado. Penrose utiliza el argumento de Gdel para demostrar el funcionamiento no algortmico de la mente. El sistema matemtico ms perfecto que podamos conseguir, con un nmero finito de axiomas y reglas de inferencia, es incapazpor principiode probar la verdad/falsedad de enunciados que nosotros, desde fuera del sistema, advertimos sin demasiada dificultad. Un ordenador basado en la programacin automtica que conocemos, a base de algoritmos matemticos,tiene una limitacin fundamentalindependiente de que el programa sea mejor o peor o que su memoria y capacidad de clculo sean de mayor o menor potencia.

Conclusiones:En la vida cotidiana un error es la Accin que no sigue lo que es correcto, acertado o verdadero, bueno en matemticas contamos con diferentes tipos de errores para estos cientficos la posibilidad de equivocarnos era relativo como la teora de cientfico Albert Einstein.La place crea que todas las partculas tenan ya un futuro predispuesto que no haba posibilidad de equivocarse y podan explicarse y predecirse a partir de ellas. Esto quiere decir que todo ya estaba predispuesto se poda decir que fue uno de los primero en creer que se poda adivinar que pasara con solo aplicar las leyes de newton, a un que esto suene descabellado l tena la ideas que esto poda pasar sobre el universo y las partculas.Bueno a lo que el cientfico W. Heisenberg Deca lo siguiente: No se puede conocer simultneamentela posicin exacta del electrn y el valor exacto de su momento(o lo que es lo mismo, de su velocidad); con lo consiguiente al no poder conocerse con exactitud la posicin y el momento de un electrn, surge el concepto de probabilidad: a menor indeterminacin, el intervalo de error es menor y la probabilidad es mayor.El cientfico EDWARD N. LORENZ pensaba que en el sentido nos encontramos en la era anterior al descubrimiento del efecto mariposa, utilizamos mtodos lineales para tratar de analizar los sistemas complejos, no lineales, en donde las realimentaciones de todo tipo, y a todos los niveles, son la propia esencia del sistema. Que quiere decir que existe un sinfn de posibles probabilidades que puedan suceder y son muchas las variables que puedan influir en la probabilidad de cierto evento.El ultimo cientfico Hilbert propona la creacin de una nueva ciencia a la que l llamabametamatemtica Esta ciencia tendra como objetivo verificar la validez de los razonamientos matemticos. Para evitar polmicas, y para asegurarse de que no surgieran nuevas paradojas, esta ciencia sera puramente finitista, es decir,la metamatemtica tratara a los enunciados y a los razonamientos matemticos como si fueran simples secuencias de smbolos sin significado a los que manipulara algortmicamente.

Bibliografiahttp://www.saberespractico.com/estudios/universidad/quimica/principio-de-indeterminacion-o-incertidumbre-de-heisenberg/Esteban, S. y Navarro, R. (2010). Qumica general: volumen I. Madrid: Editorial UNEDProctoracademy (2012). Imagen de Werner Heisenberg con licencia Creative Commons.Flickr.com. [En lnea] Consultado el da 10 de marzo de 2012. Disponible en:http://farm6.staticflickr.com/5045/5298560314_8282e73b6b_m.jpghttps://influenciaderrores.wordpress.com/2013/03/25/el-problema-no-2-de-hilbert-y-el-teorema-de-incompletitud-de-godel/http://www.eis.uva.es/~qgintro/atom/tutorial-10.htmlhttp://www.nucleares.unam.mx/~vieyra/node20.html

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