1

ACTIVIDADES PARA 2º DE ESO

Estas actividades están pensadas para que el alumnado realice durante el periodo de

suspensión temporal de la actividad educativa presencial del 13 al 27 de marzo. Son

actividades de repaso de álgebra.

Deberán realizarse en el cuaderno de clase, copiando los enunciados y siguiendo los procesos

necesarios, igual que se trabaja en el aula.

Una vez realizados, se deben escanear (pueden hacerlo con aplicaciones móviles como

“camscanner-pdf creator, fax”) y enviarlo al correo de cada PROFESOR/A indicando el

nombre del alumno/a y el curso:

➢ PROFESOR DE 2º ESO A, B y C mat2santiagosantana@gmail.com

➢ PROFESOR DE 2º DE ESO D antoniovelascob@gmail.com

A continuación, les detallo una serie de links o correos electrónicos que les pueden servir de ayuda para reforzar y trabajar los ejercicios de este cuadernillo. También les indico algunos videos que les ayudaran. Un profesor online les explica los pasos a seguir en diferentes actividades.

Esto viene a ser un complemento a las explicaciones que han recibido en el aula y que a modo de resumen figuran en los cuadritos bordeados de rojo que aparecen en cada uno de los diferentes epígrafes del cuadernillo de trabajo.

www.matemáticasonline.es

Matemáticas online de 2º eso

• Expresiones algebraicas

• Ecuaciones de 1er grado

• Ecuaciones de 2º grado

• Sistemas de ecuaciones

www.unicos.com/curso/2-eso/matematicas

www.vitutor.com/ecuaciones

www.ecuacionesresueltas.com

www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/

VIDEOS DE ALGEBRA

Solución de ecuaciones. Matemáticas Profe Alex

NOTA PARA LOS ALUMNOS DE 2º A,, B o C. Conforme vayan acabando las diferentes actividades, pueden remitirlas al siguiente correo electrónico:

www.mat2santiagosantana@gmail.com Rafael Grimón

Espero y deseo que las siguientes actividades les sirvan de ayuda para trabajar y superar la 2ª evaluación.

¡¡CUIDENSE!!

2

Expresiones algebraicas

Lenguaje numérico y lenguaje algebraico.

• El lenguaje en el que intervienen números y signos de operaciones se denomina lenguaje

numérico.

EJEMPLOS

Lenguaje usual Lenguaje numérico

Catorce dividido entre siete 14 : 7

Dos elevado al cuadrado 22

La tercera parte de dieciocho

3

18

• El lenguaje que utiliza letras con números y signos de operaciones aritméticas se llama lenguaje

algebraico.

EJEMPLOS

Lenguaje usual Lenguaje algebraico

La suma de dos números a + b

Un número menos tres unidades y – 3

El cuadrado de un número b2

La mitad de un número 2

x

1. Expresa con lenguaje numérico o lenguaje usual, según proceda.

Lenguaje usual Lenguaje numérico

La suma de once más nueve es veinte

Cien dividido entre veinte

La cuarta parte de veinte es cinco

Dos elevado al cubo es ocho

32 : 8

3 · 4

2. Une cada enunciado con su equivalente en lenguaje algebraico.

a) La mitad de un número (m + 2)2

b) El triple de un número menos cinco unidades n – 1

c) El anterior a un número entero 2·(a + b + c)

d) El posterior a un número entero x + 1

e) El cuadrado de la suma de dos números 2

m

f) El doble de la suma de tres números 3 · b – 5

Expresión algebraica

Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras unidos con los signos de las operaciones

matemáticas.

EJEMPLOS

Expresión escrita Expresión algebraica

La suma de dos números menos dos x + y – 2

El triple de un número más cinco 3 · x + 5

El cuadrado de un número más la unidad x2 + 1

3

1. Escribe estos enunciados como expresión algebraica.

a) El doble de un número b.

b) El doble de la suma de dos números (m y n).

c) El cuadrado de un número x más 4 unidades.

d) El producto de tres números a, b. c.

e) El doble de un número p más tres unidades.

2. Relaciona cada enunciado con su expresión algebraica.

a) El doble de un número más dos unidades x – 5

b) Un número disminuido en cinco unidades 3

x

c) La tercera parte de un número 2x + 2

d) El cubo de un número x + 10

e) El doble de un número 2x

f) Un número aumentado en diez unidades x3

g) La diferencia de dos números x + 1

h) El número siguiente a un número entero x – y

i) El producto de dos números

2

ba +

j) Los dos quintos de la suma de dos números ba +

k) La raíz cuadrada de la suma de dos números ( )ba +5

2

l) La mitad de la suma de dos números m · n

3. Si x es la edad de Juan, expresa en lenguaje algebraico.

Expresión Lenguaje algebraico

Los años que tenía el año pasado

Los años que tendrá dentro de dos años

La edad que tenía hace 5 años

La edad que tendrá dentro de 7 años

Los años que faltan para que cumpla 70 años

La mitad de los años que tiene

El cubo de la edad que tendrá dentro de 3 años

4. Inventa un enunciado para estas expresiones algebraicas.

a) n + 1 →

b) a + b →

c) →2

b

d) 2 · (m – n) →

e) x3 – 1 →

f) 2 · x + 1 →

5. Contesta con expresiones algebraicas.

a) Luís tiene hoy t años. ¿Cuántos años tendrá dentro de 5 años?

b) María pesa m kilos y su hermana Silvia 6 kilos menos. ¿Cuántos kilos pesa Silvia?

c) Marcos tiene x euros en su hucha y saca 12 euros. Unos días después, su abuela le da de propina

el doble del dinero que le quedaba en la hucha. ¿Qué le ha dado su abuela?

d) Hace doce años la edad de Miguel era x años. ¿Cuántos años tiene ahora?

e) La base de un rectángulo mide x cm. Y su altura 3 cm. más que el doble de la base. ¿Cuánto mide

la altura?

Monomios

Un monomio es una expresión algebraica formada por productos de números y letras. A los números se les

denomina coeficientes, y a las letras con sus exponentes, parte literal.

EJEMPLOS Monomio 3x – 5ab –7x3 x5

3

Coeficiente 3 – 5 – 7 5

3

Parte literal x ab x3 x

4

1. Completa las tablas.

Monomio Coeficiente Parte literal Monomio Coeficiente Parte literal

x 1 x ba 2

3

2

– 3xy – 3 – 2xyz

– x3 – 3b2c

– 5xy2 6x2y

yx 2

3

1 2

7

5xyz−

Grado de un monomio

El grado de un monomio es el número que resulta de sumar todos los exponentes de su parte literal.

EJEMPLOS Monomio Grado Explicación

– 3x 1 El exponente de x es 1 (x1)

4a2y 3 La suma de los exponentes de a2y1 es 2 + 1 = 3

– 5x2y3 5 La suma de los exponentes de x2y3 es 2 + 3 = 5

1. Completa la siguiente tabla.

Monomio Coeficiente Parte literal Grado

– 3x – 3 x 1

– 2a3b

– 2ab

xyz

7ab2c3

6y2z

Monomios semejantes

Dos o más monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.

EJEMPLOS

5x y 2x son monomios semejantes porque tienen la misma parte literal (x)

3xy2 y – xy2 son monomios semejantes porque tienen la misma parte literal (xy2)

x2y3 y xy2 no son monomios semejantes

1. Escribe dos monomios semejantes a cada monomio dado.

Monomio Monomios semejantes

– 5x

– ab

– 2yx3

– 3y2z3

ba 2

3

2

5xy

Suma y resta de monomios

La suma y resta de monomios sólo se puede realizar cuando los monomios son semejantes.

Para sumar o restar monomios semejantes se suman o restan los coeficientes y se deja la misma parte literal.

EJEMPLOS 2x + x = (2 + 1) x = 3x

2x + y → La suma se deja indicada porque no son monomios semejantes

5

1. Realiza las siguientes operaciones.

a) b + b + b + b = d) 5x – 3x – x =

b) 2x2 + x2 + x2 = e) –5x3 – 3x3 =

c) 5mn – mn – 4mn = f) p – 2p + 5p =

2. Reduce las siguientes expresiones, realizando las sumas y restas posibles.

a) 3m + n – 4m + 2n = f) 5x3 + 3x – 5 + 8 – 2x =

b) 4x2 – 3x2 + 7y + 3x2 = g) 5y2- 5y + 3y2 – y =

c) – a + 2a – 8b + a + 9b = h) ab – ab + 7ab + 4ab – 2ab =

d) 2p2 – p2 + 3p – 2p = i) 3ab3 – 2ab + 5ab3 – ab + 4ab =

e) 5b3 – 7b3 + 3b – 4b + 2b3 = j) –10xy – 5xy + 2xy + 4x – 8y + 2y + 2x =

Multiplicación de monomios

El producto de dos o más monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes y

cuya parte literal es el producto de las partes literales.

EJEMPLOS

3x · 2x = (3 · 2) ·x ·x = 6 x2 4x · (–2x2) = [4 · (–2)]· x · x2 = –8x3

1. Opera y reduce.

a) 2m · 7m = f) (–x2) · (–2x) =

b) 3y2 · y3 = g) (x2y3z) · (xyz2) =

c) 5a2 · 5ax3 = h) =

22

5

1·

3

5acab

d) =xx4

1·5 i) ( )=−

32 6·4

1·2 xxx

e) =− pp3

2·6 j) =

xaax 2

3

2·

4

3·

3

2

División de monomios

El cociente de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el cociente de los coeficientes y cuya

parte literal es el cociente de las partes literales.

EJEMPLOS

31·3·2

6

2

62:6 ===

x

x

x

xxx ( ) 2

33 2·

5

105:10 x

x

xxx −=−

−

1. Resuelve estas divisiones entre monomios.

a) 8x3 : 2x = d) a4 : a2 =

b) –12x5 : –12x4 = e) –14y4 : –2y2 =

c) 20m4 : 15m3 = f) –20z5 : 4z4 =

2. Efectúa las siguientes operaciones.

a) (7x5 : 2x) + x =

b) (6x7 : x3) – (5x : x) =

c) (8a2b : 4ab) + b2 =

d) 3x(x + 1) – (4x2 :x) =

e) (12a3b2 : 3a2b) – b =

f) 3(4xy2 : 2xy) – 2y =

g) 2x[(–2y2x3) : (–x2y)] + x(x – 1) =

6

Polinomios

• La suma (o resta) indicada de dos monomios recibe el nombre de binomio.

• La suma (o resta) indicada de tres monomios recibe el nombre de trinomio.

• En general, la suma (o resta) indicada de varios monomios recibe el nombre de polinomio.

• El grado de un polinomio es el mayor de los grados de los sumandos que lo forman.

EJEMPLO:

5x2 – 6x – 4 es un trinomio de 2º grado.

1. Anota el grado de cada uno de los siguientes polinomios:

a) x – x3 + 3 → grado ________ c) 6x5 – 5x3 + 6x → grado _______

b) 8x + 2 → grado ________ d) x2 – 7x + 3x2 – 5 → grado ________

2. Ordena según el grado de los sumandos y reduce los siguientes polinomios:

a) x + 5x2 + 3x – 3x2 – 7 + 2x

b) x3 – 6x2 + 5 + 2x2 + x3 – 1

EJERCICIO RESUELTO:

Calcular el valor numérico del polinomio A = x4 – 2x3 – 7x2 + 2x + 6 para x = – 3

Sustituyendo x por – 3

(– 3)4 – 2 · (– 3)3 – 7 · (– 3)2 + 2 · (– 3) + 6 = 81 – 2 · (–27) – 7 · 9 + 2 · (–3) + 6 = 81 + 54 – 63 – 6 + 6 = 72

Solución: El Valor numérico del polinomio A para x = – 3 es 72.

3. Calcula :

a) El valor numérico del polinomio M = x3 – 3x2 – 5x – 3 para x = 0.

b) El valor numérico del polinomio N = 3x3 + 5x2 + 6x + 8 para x = – 1

Suma y Resta de polinomios

• Para sumar dos o más polinomios se colocan uno debajo de otro, haciendo coincidir, en la

misma columna, los monomios semejantes.

Sumar los polinomios A = x3 + 5x2 – 7 y B = x2 – 3x – 2

A → x3 + 5x2 – 7

B → x2 – 3x – 2

A +B → x3 + 6x2 – 3x – 9

• El opuesto de un polinomio es otro polinomio, que sumado con él, lo anula.

El opuesto de P = 4x2 – 5x – 2 es – P = – 4x2 + 5x + 2, ya que, sumándolos, se obtiene el

polinomio nulo.

• Para restar dos polinomios se suma el primero con el opuesto del segundo. Es decir, se le

cambia el signo al segundo y se suman.

Vamos a restar los polinomios A y B de arriba:

A → x3 + 5x2 – 7

–B → – x2 + 3x + 2

A – B → x3 + 4x2+ 3x - 5

1. Dados los polinomios M = 6x3 – 7x2 + 5x – 9,, N = 2x3 – 4x – 6 y K = 5 – 5x + 3x2 – 2x3, calcula:

a) M + N

b) M + K

c) M + N +K

7

2. Considera los polinomios E = 5x4 – 7x3 + 5x – 1,, F = 4x3– 3x2 + 3x + 6 y G = 2x4 – 5x3 – 6x2 + 2x + 3,

calcula:

a) E – F

b) E – G

c) F – E

d) F + G – E

Producto de polinomios

• Producto de un polinomio por un número.

x3 – 5x2 – 2x + 1

3

3x3 – 15x 2– 6x + 3

→ (x3- 5x – 2x + 1) · 3 = 3x3 – 15x2 – 6x + 3

• Producto de un polinomio por un monomio.

x3 – 5x2 – 2x + 1

– 4x

– 4x4 + 20x3 + 8x2 – 4x

→ (x3 – 5x2 – 2x + 1) · (– 4x) = – 4x4 + 20x3 + 8x2 – 4x

• Producto de dos polinomios.

x3 – 5x2 – 2x + 1

x2 – 4x + 3

3x3 – 15x2 – 6x + 3

–4x4 + 20x3 + 8x2 – 4x

x5 – 5x4 – 2x3 + x2 .

x5 – 9x4 + 21x3 – 6x2 – 10x + 3

→ (x3 – 5x2 – 2x + 1) · (x2 – 4x + 3 ) =

= x5– 9x4 + 21x3 – 6x2 – 10x + 3

1. Calcula:

a) 3 · (x + 4) = d) 5x2 · (x – 1) =

b) 5 · (3x2 – 5x – 7) = e) 2x2 · (x4 – 2x3 – 5x2 + 6x + 1) =

c) 3x · (x + 2) =

2. Efectúa:

a) (x + 1) · (2x – 3) = c) (x + 3) · (x2 – x + 1) =

b) (3x – 1) · (2x + 2) = d) (x2 + 5x + 3) · (x4 – 2x2 + 6x – 1) =

Extracción de factor común

Observa la siguiente expresión: a · b + a · c – a · d Se trata de una suma cuyos sumandos son productos.

Todos estos productos contienen un factor común a.

Entonces podemos transformar la suma, sacando factor común y colocando un paréntesis:

a · b + a · c – a · d = a·(b + c – d)

EJEMPLOS:

3x + 3y =3 (x + y)

x2 + xy = x · x + x · y = x (x + y)

x2 + x3 = x2 · 1 + x2 · x = x2(1 + x) xyxx

yx

xyx

yx 3

)(

)(3332

=+

+=

+

+

1. Extrae factor común en cada una de las siguientes expresiones:

a) 5a + 5b e) 2x + 4x2

b) 5a + 10 f) 4x2 + 2x3

c) 4a2 + 12a g) 3xy + 6xz + 3x

d) 2ab + a2b h) xy + x2y + xy2

2. Simplifica, extrayendo factor común donde se pueda, las siguientes fracciones:

a) 105

55

+

+

a

ba c) 32

2

xx

xx

+

+

b) 32

3

24

6

xx

x

+ d)

xyx

xyx

24

422

2

+

+

8

Productos notables

• Cuadrado de una suma

El cuadrado de una suma de dos sumandos es igual al cuadrado del primero más el doble del primero

por el segundo más el cuadrado del segundo.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

EJEMPLOS:

(x + 3) 2 = x2 + 2 · x · 3 + 32 = x2 + 6x + 9 (4 + 5x)2 = 42 + 2 · 4 · 5x + (5x)2 = 16 + 40x + 25x2

• Cuadrado de una diferencia

El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primero menos el doble del primero por el

segundo más el cuadrado del segundo.

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

EJEMPLOS:

(x – 5)2 = x2 – 2 · x · 5 + 52 = x2 – 10x + 25 (1 – 3x)2 = 12 – 2 · 1 · 3x + (3x)2 = 1 – 6x + 9x2

• Suma por diferencia

Suma por diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados.

(a + b) · (a – b) = a2 – b2

EJEMPLOS:

(x + 2) · (x – 2) = x2 – 22 = x2 - 4 (2x + 5) · (2x – 5) = (2x)2 – 52 = 4x2 – 25

1. Calcula:

a) (x + 1)2 d) (x – 3)2 g) (2a – 1)2

b) (x – 1)2 e) (2x + 3)2 h) (a + 2b)2

c) (x + y)2 f) (3x – 5)2 i) (–b + 2a)2

2. Quita paréntesis:

a) (a + 1) · (a – 1) c) (2x+ 1) · (2x – 1)

b) (5 + x) · (5 – x) d) (2a + 3b) · (2a – 3b)

Cociente de polinomios

• El cociente de un polinomio entre un número, se obtiene dividiendo cada término del polinomio

entre dicho número.

EJEMPLO:

(15x2y – 10x4 + 20x2) : 5 = 3x2y – 2x4 + 4x2

15x2y : 5 = 3x2y

– 10x4 : 5 = – 2x4

20x2 : 5 = 4x2

15x2y – 10x4 + 20x2 / 5____________

– 15x2y 3x2y – 2x4 + 4x2

0 – 10x4

10x4

0 + 20x2

– 20x2

0

• El cociente de un polinomio entre un monomio, se obtiene dividiendo cada término del polinomio

entre dicho monomio.

EJEMPLO:

(12x4 – 24x3 + 6x2 – x) : 3x2 = 4x2 – 8x + 2 R = – x

12x4: 3x2 = 4x2

– 24x3 : 3x2 = – 8x

6x2 : 3x2 = 2

– x : 3x2 = No se puede dividir

12x4 – 24x3 + 6x2 – x / 3x2_______

- 12x4 4x2 – 8x + 2

0 – 24x3

24x3

0 + 6x2

– 6x2

0 – x

9

1. Efectúa los siguientes cocientes de polinomios.

a) (2x3 – 4x2 + 8x – 6) : 2 = d) (8x4 – 4x3 + 2x2 + 12x + 6) : 2x =

b) (5x4 – 10x3 – 5x + 15) : 5 = e) (10x5 + 5x4 – x3 + 15x – 10) : 5x2 =

c) ( 3x4 + 9x3 – 6x – 12) : 3 = f) (6x5 – 5x4 + 7x3 – 9x2 + 8x – 6) : x2 =

Ecuaciones de 1er grado

Identidades y ecuaciones

• Una igualdad algebraica está formada por dos expresiones algebraicas separadas por el signo

igual (=).

• Una identidad es una igualdad algebraica que se verifica para cualquier valor de las letras.

EJEMPLO

x + x = 2x es una identidad

Se cumple la igualdad para cualquier valor numérico que tome x:

Para x = 1 → 1 + 1 = 2 · 1 → 2 = 2

Para x = –2 → (–2) + (–2) = 2 · (–2) → – 4 = – 4

• Una ecuación es una igualdad algebraica que no se cumple para todos los valores de las letras.

Resolver una ecuación es encontrar el valor, o los valores, de las letras para que se cumpla la

igualdad.

EJEMPLO

x + 4 = 10 es una ecuación. Sólo se cumple cuando x = 6 → 6 + 4 = 10

1. Indica que igualdades son identidades y cuáles ecuaciones.

a) x + 8 = 2x – 15 d) x2 · x3 = x5

b) 2(x + 2y) = 2x + 4y e) 2x + 1 = 11

c) x + x + x = 3x f) 122=

x

Elementos de una ecuación

• Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones algebraicas que

figuran a cada lado del signo igual. Una ecuación tiene primer y segundo miembro.

• Los términos de una ecuación son cada uno de los sumandos que forman los

miembros.

• Los términos numéricos se denominan términos independientes.

• Las incógnitas o variables de una ecuación son los valores que desconocemos y

representamos con letras.

• El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los términos que forman la

ecuación.

• Solución de una ecuación es cualquier valor de la incógnita que verifica la igualdad.

EJEMPLO

Ecuación Primer miembro Segundo miembro Términos Grado Solución

2x – 3 = x + 1 2x - 3 x + 1 2x, –3,x,1 1 x = 4

10

1. Completa la tabla.

Ecuación 4x – x = x + 8 123

2−=x

46

3

1−=+− xx

Primer miembro

Segundo miembro

Términos

2. Completa la tabla.

Ecuación Términos del 1er miembro Términos del 2º miembro Incógnita Grado

3 + x = 12

19 – y = 15

10 = 5x

2a – 4 = 1 + a

11 = 9 + b

Resolución de ecuaciones de 1er grado

Resolver una ecuación de primer grado con una incógnita, es encontrar el valor de la letra

(incógnita). Es hallar su solución.

• Para resolver una ecuación despejamos la incógnita, es decir, la dejamos sola en uno de los

miembros.

• Para despejar la incógnita necesitamos transponer (cambiar de lado) los términos.

• Al sumar, restar, multiplicar o dividir por el mismo número en los dos miembros de la ecuación,

obtenemos otra ecuación equivalente (con la misma solución).

PRIMER CASO

x + 7 = 9 → x + 7 – 7 = 9 – 7 Lo que está sumando pasa al otro

x = 9 – 7 miembro restando.

SEGUNDO CASO

x – 5 = 8 → x – 5 + 5 = 8 + 5 Lo que está restando pasa al otra

x = 8 + 5 miembro restando.

TERCER CASO

3

9

3

·39·3 =→=

xx Lo que está multiplicando pasa al otro

3

9=x miembro dividiendo.

CUARTO CASO

→= 64

x4·64·

4=

x Lo que está dividiendo pasa al otro

x = 6 · 4 miembro multiplicando.

1. Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) x + 5 = 7 d) 2x + 4 = 16 g) 3

12 =x

b) x + 10 = 3 e) 2

31 =+x h)

10

1

5

−=

x

c) x – 4 = 2 f) 2 – x = 4 i) 2 – 3x = –1

2. Resuelve.

a) –x + 3 = 2x + 12 d) 4x – 8 = x + 16 g) 1 – 2x = 6 – 4x

b) 5x + 2 = 3x – 2 e) 3x + 2x – 1 = 2x – 1 + 3 h) 6 + 5x + 2 = 4x – 2 + x

c) –2x – x = 10 + 5 f) –2x + 1 = 3x + 2 - x i) 12x + 3 – 7x = x – 3 – 2x

11

Método general de resolución de ecuaciones

Resuelve la ecuación 2(x – 4) – (6 + x) = 3x – 4

Para resolver una ecuación es conveniente seguir estos pasos:

1.º Eliminar paréntesis. 2x – 8 – 6 – x = 3x – 4

2.º Reducir términos semejantes. x – 14 = 3x – 4

3.º Transponer términos.

Restamos x en ambos miembros (segundo caso) x – x – 14 = 3x – x - 4

– 14 = 2x – 4

Sumamos 4 en ambos miembros (primer caso) – 14 + 4 = 2x – 4 + 4

– 10 = 2x

4.º Despejar la incógnita.

Dividimos ambos miembros entre 2 (tercer caso) xx

=−→=−

52

2

2

10

1. Resuelve estas ecuaciones.

a) 3x + 8 – 5(x + 1) = 2(x + 6) – 7x f) 15 – 6(2m – 4) = 8 + 2(5m – 1)

b) 3(3b + 1) – (b – 1) = 6 (b + 10) g) 3(p + 2) + 4(2p + 1) = 11p – 2(p + 6)

c) 2(m – 5) = 3(m + 1) – 3 h) 3 + 2(2x – 3) = 4x – (x + 3)

d) 4(x – 2) + 1 = 5(x + 1) – 3x i) 5(3a – 1) – 2(4a – 3) = 15

e) 5p – (1 – p) = 3(p – 1) + 2 j) 6 – 8(y + 1) – 5y = 2(3 + 2y) – 5(3 + y)

Resolución de ecuaciones con denominadores

Resuelve la ecuación 4

73

2

3

3

12 −+

−=

− xxx

Para resolver una ecuación con denominadores es conveniente seguir estos pasos:

1.º Eliminar los denominadores. m.c.m. (3,2,4) = 3 · 22 = 12

4·3

)73·(3

2·6

)3·(6

3·4

)12·(4 −+

−=

− xxx

4(2x – 1) = 6(x – 3) + 3(3x – 7)

2.º Eliminar paréntesis. 8x – 4 = 6x – 18 + 9x – 21

3.º Reducir términos semejantes. 8x – 4 = 15 x – 39

4º Transponer términos.

Restamos 8x en ambos miembros 8x – 4 – 8x = 15x – 39 – 8x

– 4 = 7x – 39

Sumamos 39 en ambos miembros – 4 + 39 = 7x – 39 + 39

35 = 7x

5.º Despejamos la incógnita.

Dividimos ambos miembros entre 7. xx

=→= 57

7

7

35

1. Resuelve estas ecuaciones.

a) 5

2

5

212

4

1 −=

−−

− xxx h) 4

10

)3(7

4

)5(3=

+−+

+ xx

b) 8

1

6

32

12

73 −=

−−

− xxx i) 11

2

3

5

23 −=−

xxx

c) 15

132

5

4

3

4 −+=

−−

+ xxx j) 1

84

3+=−

xx

e) 306432=+++

xxxx k)

3

2

5

124

5

3

32

xx

xxx +−=−−

f) 104

4

3

3

2

2=

−+

−+

− xxx l)

6

43

2

1

3

2

2

5 xxx−=+−

g) 2

71

3

6

6

3

5

4 −+=

−−

++

− xxxx m)

12

13

18

5

12

13+=−

xxx

12

Problemas para resolver con ecuaciones

1. Calcula tres números consecutivos cuya suma sea 51.

2. Calcula el número que sumado con su anterior y con su siguiente dé 114.

3. Calcula el número que se triplica al sumarle 26.

4. Si a un número le quitas 36 se convierte en su cuarta parte. ¿Qué número es?

5. La tercera parte de un número es 45 unidades menor que su doble. ¿Cuál es el número?

6. Calcula dos múltiplos consecutivos de 7 cuya suma sea 119.

7. La suma de dos números pares consecutivos es 98. ¿cuáles son esos números?

8. ¿Qué edad tiene Rosa sabiendo que dentro de 56 años tendrá el quíntuplo de su edad actual?

9. Las edades de Juan, Carmela y Rosa suman 39 años. Carmela tiene cinco años menos que Juan y dos

más que Rosa. ¿Cuál es la edad de cada uno?

10. Si a la edad de Rodrigo se le suma su mitad, se obtiene la edad de Andrea. ¿Cuál es la edad de Rodrigo

si Andrea tiene 24 años?

11. Si al triple de mi edad le restas el quíntuplo de la que tenía hace 12 años, obtendrás mi edad actual.

¿Cuántos años tengo?

12. Natalia tiene 4 euros más que Andrés, pero la mitad que Rosa. ¿Cuántos tiene cada uno si entre los tres

juntan 40 euros?

13. Un padre tiene 47 años y su hijo, 11. ¿Cuántos años han de transcurrir para que la edad del padre sea

triple que la del hijo?

14. Marisa es tres años más joven que su hermana Rosa y un año mayor que su hermano Roberto. Entre los

tres suman 38 años. ¿Cuál es la edad de cada uno?

15. Pedro, Pablo y Paloma reciben 1.200 € como pago por su trabajo de socorristas en una piscina. Si Pablo

ha trabajado el triple de días que Pedro, y Paloma el doble que Pablo, ¿cómo harán el reparto?

16. En un cine hay 511 personas. ¿Cuál es el número de hombres y cuál el de mujeres, sabiendo que el de

ellas sobrepasa en 17 al de ellos?

17. Al sumarle a un número 60 unidades, se obtiene el mismo resultado que al multiplicarlo por 5. ¿Cuál es el

número?

18. Calcula las dimensiones de un rectángulo sabiendo que el perímetro mide 54 cm y que la base es doble

de la altura.

19. En un rectángulo la base mide 18 cm más que la altura y el perímetro mide 76 cm. ¿Cuáles son las

dimensiones del rectángulo?

20. En un triángulo isósceles, la base mide la mitad que uno de los lados iguales, y el perímetro es 55 cm.

¿Cuánto miden los lados del triángulo?

Ecuaciones de 2º grado

Ecuación de 2º grado

Una ecuación de segundo grado es una igualdad algebraica del tipo ax2 + bx + c = 0, donde:

• a, b y c son los coeficientes de la ecuación, siendo a ≠ 0.

• ax2 → término cuadrático bx → término lineal c → término independiente

• x es la incógnita.

13

Fórmula general para la resolución de ecuaciones de segundo grado

Una ecuación de segundo grado puede tener dos, una o ninguna solución.

Para obtener las soluciones de una ecuación de segundo grado se aplica la siguiente fórmula:

a

acbbxcbxax

2

40

22 −−

=→=++ a

acbbx

2

42

1

−+−=

a

acbbx

2

42

2

−−−=

EJEMPLO:

Resuelve la ecuación de segundo grado x2 + 5x + 6 = 0.

a = 1,, b = 5,, c = 6

2

15

2

24255

1·2

6·1·455 2 −=

−−=

−−=x

22

4

2

151 −=

−=

+−=x 3

2

6

2

152 −=

−=

−−=x

Sustituyendo los valores – 2 y – 3 en la ecuación x2 + 5x + 6 = 0, se comprueba que la cumple.

(– 2)2 + 5 · (– 2) + 6 = 0 → 4 – 10 + 6 = 0 → 10 – 10 = 0 → 0 = 0

(– 3)2 + 5 · (– 3) + 6 = 0 → 9 – 15 + 6 = 0 → 15 – 15 = 0 → 0 = 0

1. Resuelve estas ecuaciones de segundo grado.

a) x2 + 4x + 3 = 0 d) 7x2 + 21x = 28

b) x2 – 6x + 8 = 0 e) 3x2 + 6 = – 9x

c) 2x2 – 5x – 7 = 0 f) 2x2 = 7x – 3

Ecuaciones del tipo ax2 + c = 0

Las ecuaciones de la forma ax2 + c = 0 son ecuaciones de segundo grado. Responde al tipo ax2 + bx + c = 0,

donde b = 0.

Para resolverlas se puede seguir este proceso:

a

cx

a

cxcaxcax

−=→

−=→−=→=+ 222 0

* Si el radicando es positivo, hay dos soluciones opuestas:

a

cx

−+=1

y a

cx

−−=2

* Si el radicando es negativo, no hay solución.

EJEMPLOS:

4,,416162

323220322 21

2222 −==→=→=→=→=→=− xxxxxxx

solucióntieneNoxxxxx −−→−=→−=→−

=→−=→=+ 25253

757530753 2222

1. Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) 7x2 – 28 = 0 d) 5x2 = 45

b) 5x2 – 180 = 0 e) 18x2 – 72 = 0

c) 2x2 = 50 f) 4x2 = 1

2. Resuelve:

a) 3x2 = 18 + x2 c) 5x2 + 8 = 35 + 2x2

b) 5x2 + 9 = 10 – 4x2 d) 4

412

2 xx −=−

14

Ecuaciones del tipo ax2 + bx = 0

Las ecuaciones de la forma ax2 + bx = 0 son ecuaciones de segundo grado. Responde al tipo ax2 + bx + c = 0,

donde c = 0.

Para resolverlas se puede seguir este proceso.

ax2 + bx = 0 Factor común x · (ax + b) = 0 → x1 = 0 siempre es una de las soluciones

a

bxbax

−=→=+ 20

Estas ecuaciones tienen siempre dos soluciones, siendo cero una de ellas.

EJEMPLOS:

x2 – 12x = 0 → x · (x – 12) = 0 → x1 = 0

x – 12 = 0 → x2 = 12

2x2 + 5x = 0 → x · (2x + 5) = 0 → x1 = 0

2

552052 2 −=→−=→=+ xxx

1. Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) 5x2 + 5x = 0 e) 7x2 – x = x + 2x2

b) 2x2 – 8x = 0 f) 4x – 4x2 = 5x2 – 5x

c) 6x2 = 30x g) x · (5x – 4) = 3x · (x – 1)

d) – 5x2 + 20 x = 0 h) x · (x – 3) + 8 = 4 · (x + 2)

Sistemas de ecuaciones lineales

Método de sustitución

Resuelve el sistema:

=−

=+

23

2

yx

yx

1º Se despeja una de las incógnitas en una de las ecuaciones. (en este caso x en la primera ecuación):

x + y = 2 → x = 2 – y

2º Se sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación:

3x – y = 2 → 3(2 – y) – y = 2

3º Se resuelve la ecuación resultante.

3(2 – y) – y = 2

6 – 3y – y = 2

6 – 4y = 2

6 – 2 = 4y

14

444 =→=→= yyy

4º Se calcula la otra incógnita en la ecuación despejada.

x = 2 – y → x = 2 – 1 → x = 1

1. Resuelve por el método de sustitución:

a)

=−

=+

3

5

yx

yx d)

=−

=+

73

1232

yx

yx

b)

+=

=+

12

1

xy

yx e)

=+

−=

925

13

yx

xy

c)

=+

=−

02

3

yx

xy f)

−=+

−=+

12

4

yx

yx

15

Método de igualación

Resuelve el sistema:

−=+

=−

932

623

yx

yx

1º Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones (por ejemplo, x):

3

62623623

+=→+=→=−

yxyxyx

2

93932932

−−=→−−=→−=+

yxyxyx

2º Se igualan las expresiones obtenidas:

2

93

3

62 −−=

+ yy

3º Se resuelve la ecuación de una incógnita resultante:

→−−=+→−−=+→−−

=+

279124)93(3)62(22

93

3

62yyyy

yy

313

393913122794 −=→

−=→−=→−−=+→ yyyyy

4º Se calcula el valor de la otra incógnita sustituyendo en una de las ecuaciones despejadas en el paso 1º:

03

0

3

66

3

6)3(2

3

62=→=

+−=

+−=

+= x

yx

1. Resuelve por el método de igualación:

a)

=+

=−

254

82

yx

yx d)

=+

=+

865

532

yx

yx

b)

=−

=+

10

2

yx

yx e)

=+

=+

2125

1123

yx

yx

c)

=−

=−

372

14

yx

yx f)

−=+

=−

63

254

yx

yx

Método de reducción

Resuelve el sistema:

=−

=+

1123

52

yx

yx

1º Se igualan los coeficientes de una incógnita, excepto el signo, para lo cual se elige un múltiplo común de de

ambos coeficientes.

Multiplicamos por 2 los dos miembros de la primera ecuación.

=−

=+→

=−

=+

1123

1024

1123

52

yx

yx

yx

ys

2º Se suman o se restan las dos ecuaciones del sistema resultante.

Hemos reducido el sistema a una ecuación sencilla.

=−

=+

1123

1024

yx

yx

7x = 21

3º Se resuelve la ecuación de una incógnita resultante:

37

21217 =→=→= xxx

4º Se calcula el valor de la otra incógnita sustituyendo en una de las ecuaciones del sistema:

2x + y = 5 → 2 · 3 + y = 5 → 6 + y = 5 →

→ y = 5 – 6 → y = –1

1. Resuelve por el método de reducción:

a)

=+

=−

834

105

yx

yx d)

=+

=−

254

82

yx

yx

16

b)

=−

=−

1253

026

yx

yx e)

=−

=−

143

425

yx

yx

c)

−=−

=−

532

1057

yx

yx f)

=−

=−

523

254

yx

yx