I.S.F.D.T. N°39

Matemática y su Enseñanza 3

Trabajo Práctico

Ecuaciones Diofánticas

Alumno: Acha Neckar, Federico

Carrera: Profesorado de Matemática

Definición

Una ecuación diofántica es una ecuación polinómica en dos o más variables con

coeficientes enteros (o racionales), en la que sólo se buscan soluciones enteras (o

racionales).

El término “diofántico” hace alusión al matemático Diofanto de Alejandría, que vivió

durante la época Helenística de la Antigua Grecia (siglo III a. C.). Diofanto estudió dichas

ecuaciones, y fue uno de los primeros matemáticos en introducir el simbolismo en la

matemática. El estudio iniciado por Diofanto sobre estos problemas hoy se denomina

“análisis diofántico”. Entre los interrogantes que plantea se encuentran:

1) ¿Existen alguna solución?

2) ¿Existen otras soluciones además de las que se pueden hallar fácilmente por

inspección?

3) ¿Existe una cantidad finita o infinita de soluciones?

4) ¿Pueden hallarse teóricamente todas las soluciones?

5) ¿Pueden computarse en la práctica una lista completa de soluciones?

Muchos de estos problemas han permanecido irresueltos por siglos, y en algunos casos

los matemáticos gradualmente están empezando a comprender su profundidad y sus

implicancias.

De su análisis se deriva el estudio de sistemas de ecuaciones diofánticas. En el estudio

de estos “problemas diofánticos” generalmente se asume que el número de incógnitas

supera al número de ecuaciones.

Ejemplos de ecuaciones diofánticas

En las siguientes ecuaciones, x, y, z son las incógnitas y las restantes letras son

constantes enteras.

ax + by = c Ecuación diofántica lineal

xn + y

n = z

n

Para n=2 hay infinitas soluciones (x,y,z), denominadas ternas

pitagóricas. Para n > 2, el Último Teorema de Fermat afirma que

la ecuación no tiene soluciones positivas.

x2 – n y

2 = ± 1

Esta es la ecuación de Pell, la cual fue estudiada por

Brahmagupta en el siglo VII, y por Fermat en el siglo XVII.

4/n = 1/x + 1/y + 1/z

Este ejemplo es equivalente a la ecuación polinómica

4 xyz = yzn + xzn + xyn = n (yz+xz+xy)

La conjetura Erdös-Straus sostiene que, para todo entero n ≤ 2,

existe una solución entera positiva (x,y,z) para dicha ecuación.

Ecuaciones diofánticas lineales

Una ecuación diofántica lineal es una ecuación entre dos sumas de monomios de grado

uno o cero. De todas las ecuaciones diofánticas, las lineales son las más sencillas de todas.

Sean a, b, c números enteros. La ecuación diofántica

ax + by = c

tiene solución si y sólo si el máximo común divisor de a y b divide a c. En tal caso, existen

infinitas soluciones (x,y), las cuales tienen la forma

(a:b)–1

(c xn + k b, c yn – k a)

donde (a:b) es el mcd de a y b, k es un entero arbitrario, y xn , yn provienen de la aplicación

del algoritmo de Euclides para a y b. Suponiendo a ≤ b, el algoritmo de Euclides se aplica

mediante la construcción de una tabla del tipo

r–1 = | b | x–1 = 0 y–1 = signo b

r0 = | a | x0 = signo a y0 = 0 q0

r1 x1 y1 q1

r2 x2 y2 q2

... ... ... ...

rn xn yn

donde qk+1 y rk+2 son respectivamente el cociente y el resto de la división entera entre rk y

rk+1. El proceso termina cuando rn+1 es múltiplo de rn.

Problema de ejemplo

“La edad de Pedro es tres años menos que el doble de la edad de Juan, y los dígitos ab

que componen la edad de Pedro están invertidos con respecto a la edad de Juan (la cual es

entonces ba). ¿Cuál es la edad de Pedro y de Juan?”

Solución: el problema lleva a la ecuación

10 a + b = 2(10 b + a) – 3

por lo tanto

19 b – 8 a = 3

Aplicando el algoritmo de Euclides, tenemos:

19 1 0

8 0 –1 2

3 1 2 2

2 –2 –5 1

1 3 7

es decir, (19 : 8) = 1, bn = 3, an = 7, con lo cual las soluciones enteras están dadas por

(9 – 8k, 21 – 19k)

con k entero.

El valor de k que hace que a y b sean enteros positivos menores que 10 es k = 1, con lo

cual a = 2 y b = 1, por lo tanto Pedro tiene ab = 21 años y Juan tiene ba = 12 años.

Ternas pitagóricas

Teniendo en cuenta el teorema de Pitágoras, las soluciones enteras de la ecuación

diofántica

x2 + y

2 = z

2

representan las longitudes x, y de los catetos, y la longitud z de la hipotenusa de los

triángulos rectángulos con lados enteros. En consecuencia, las ternas (x, y, z) se denominan

“ternas pitagóricas”. Todas las ternas pitagóricas formadas por números coprimos pueden

encontrarse utilizando las fórmulas

x = p2 – q

2

y = 2 p q

z = p2 + q

2

donde p y q son enteros coprimos entre sí, con p > q > 0. Todas las otras ternas pitagóricas

son múltiplos enteros de las ternas formadas por números coprimos.

Historia

Diofanto y el Último Teorema de Fermat

Encontrar soluciones enteras de ecuaciones es uno de los problemas matemáticos más

antiguos. Ya en el segundo milenio antes de Cristo, los antiguos babilonios habían

conseguido resolver sistemas de ecuaciones con dos incógnitas. Esta rama de la matemática

floreció durante la Antigua Grecia. La principal fuente es la Aritmética de Diofanto, la cual

representa el trabajo algebraico más importante de toda la matemática griega. De los trece

libros en que consistía la Aritmética sólo se han hallado seis. En esta obra realiza sus

estudios de ecuaciones con variables que tienen un valor racional, aunque no es una obra de

carácter teórico sino una colección de problemas, y nunca usó métodos generales en sus

soluciones. También fue importante su contribución al campo de la notación; si bien los

símbolos empleados por Diofanto no son como los concebimos actualmente, introdujo

importantes novedades como el empleo de un símbolo único para la variable desconocida

(στ) y para la sustracción, aunque conservó las abreviaturas para las potencias de la

incógnita (δς para el cuadrado, δδς para el duplo del cuadrado, χς para el cubo, δχς para la

quinta potencia, etc.).

La primera edición de la Aritmética fue publicada por Guilielmus Xylander en 1575.

La traducción al latín más conocida fue realizada por Bachet de Méziriac en 1621, y se

convirtió en la primera edición ampliamente difundida. Pierre de Fermat tenía una copia, la

estudió e hizo anotaciones en los márgenes. En uno de ellos, refiriéndose a una ecuación

considerada por Diofanto, escribió:

“Si un entero n es mayor que 2, entonces an + b

n = c

n no tiene soluciones para enteros

a, b, c no nulos. Tengo una prueba realmente maravillosa de esta proposición, pero este

margen es demasiado estrecho para contenerla.”

La prueba de Fermat nunca se encontró, y su afirmación (bautizada como el Último

Teorema de Fermat) estuvo sin poder demostrarse durante cientos de años. Finalmente, en

1994 Andrew Wiles dio una prueba, luego de un trabajo de siete años. Debido a la

complejidad oculta del teorema, se cree que Fermat no tenía la prueba que alegaba poseer.

La copia original en la cual Fermat escribió la nota al margen se encuentra perdida, pero

sus comentarios se conocen por la nueva reimpresión del trabajo de Diofanto editada por el

hijo de Fermat en 1670, la cual incluye las anotaciones que su padre había realizado (entre

ellos, el famoso Último Teorema).

La obra de Diofanto, que era conocida por los matemáticos árabes, ejerció una

profunda influencia en el desarrollo del álgebra en Europa a fines del siglo XVI y a través

de los siglos XVII y XVIII. Se lo suele llamar “el padre del álgebra” por sus contribuciones

a la teoría de números y a la notación matemática, ya que la Aritmética contiene el primer

uso conocido de la notación sincopada, no retórica. Diofanto introdujo un simbolismo

algebraico que usa una notación abreviada para operaciones frecuentes, y un símbolo para

la incógnita y para las potencias de la incógnita. Al utilizar una abreviación para la palabra

“igual a”, dio un paso fundamental del álgebra verbal al álgebra simbólica. Sin embargo, a

la notación de Diofanto todavía le faltaban recursos para expresar métodos más generales,

lo que hizo que su trabajo se concentrara principalmente en problemas particulares. Por

ejemplo, cuando un problema involucraba más de una incógnita, Diofanto estaba obligado a

escribir “primera incógnita”, “segunda incógnita”, etc. usando palabras.

Muchos de sus métodos para resolver ecuaciones lineales y cuadráticas se remontan a

la era babilónica. Pese a su falta de organización y estructura, su colección de problemas se

considera un logro importante que no fue apreciado y desarrollado hasta mucho tiempo

después.

Ejemplo:

Diofanto analizó 3 tipos distintos de ecuaciones cuadráticas:

ax2 + bx = c

ax2 = bx + c

ax2 + c = bx

La razón por la cual Diofanto no unificó los tres casos en uno sólo se debe a que no

tenía noción del cero y a que evitaba coeficientes negativos considerando a, b, c como

positivos. A Diofanto le alcanzaba con llegar a una solución racional, y no requería que esta

fuera entera. Consideraba a los números negativos y a las raíces cuadradas irracionales

como “innecesarias”, “insignificantes” o “absurdas”. Como ejemplo, el llama a la ecuación

4 = 4x + 20

“absurda” porque conllevaría un valor negativo para x. Una solución era todo lo que

buscaba en una ecuación cuadrática. No hay evidencia de que Diofanto se haya dado cuenta

de que podrían haber dos soluciones.

Del siglo XVII a la actualidad

La teoría general de resolución de ecuaciones diofánticas de primer grado fue

desarrollada por C.G. Bachet en el siglo XVII. Fermat, Wallis, Euler, Lagrange y Gauss

estudiaron ecuaciones diofánticas de segundo grado con dos incógnitas, de la forma:

ax2 + bxy + cy

2 + dx + ey + f = 0

donde los coeficientes a,b,c,d,e,f son enteros.

En 1657, Fermat intentó resolver la ecuación diofántica

61 x2 + 1 = y

2

La ecuación fue finalmente resuelta por Euler a comienzos del siglo XVIII, quien

también resolvió otras ecuaciones diofánticas. La solución entera positiva más pequeña a

esta ecuación es x = 226153980, y = 1766319049.

Lagrange utilizó fracciones continuas en su estudio de ecuaciones diofánticas de

segundo grado con dos incógnitas. Gauss desarrolló la teoría general de formas cuadráticas,

la cual es la base para resolver ciertos tipos de ecuaciones diofánticas.

Con respecto al estudio de ecuaciones diofánticas de grado mayor que dos, se obtuvo

un éxito significativo en el siglo veinte. El matemático A. Thue estableció que la ecuación

diofántica

a0 xn + a1 x

n-1 y + ... + an y

n = c

donde n ≥ 3, a0, ... an, c son enteros, y el polinomio a0 tn + ... + an es irreducible en el

cuerpo de los racionales, no puede tener un número infinito de soluciones enteras. Sin

embargo, el método de Thue no establece una cota en el tamaño de las soluciones o en su

cantidad. Baker obtuvo teoremas que proporcionan cotas en las soluciones de ecuaciones de

este tipo. Delone propuso otro método de investigación, aplicable a una clase más reducida

de ecuaciones diofánticas, pero que devuelve una cota en la cantidad de soluciones.

En 1900, en el marco del Segundo Congreso Internacional de Matemáticas, David

Hilbert presentó varios problemas matemáticos abiertos que él consideró tenían la mayor

importancia. El décimo problema de Hilbert era encontrar un procedimiento general para

determinar si una ecuación diofántica tenía o no soluciones.

En las décadas del 50 y 60, Martin Davis, Julia Robinson, y Hilary Putnam mostraron

que no existe un algoritmo que determine la solubilidad de todas las ecuaciones diofánticas

exponenciales. En 1970, Yuri Matiyasevich expandió dicho trabajo y zanjó el problema de

forma negativa: no todas las ecuaciones diofánticas son resolubles (resultado que en lógica

matemática se conoce como teorema de Matiyasevich). Más aún, es posible especificar

explícitamente polinomios con coeficientes enteros de forma tal que no exista ningún

algoritmo que pueda decir si la correspondiente ecuación diofántica tiene solución o no.

En la actualidad, el estudio de ecuaciones diofánticas se encuentra en la frontera entre

las ramas de Teoría de Números y Geometría Algebraica, y las investigaciones en la

materia se encuentran en plena actividad.

MATERIA: MATEMATICA Y SU ENSEÑANZA IIIALUMNA: GARCIA DAIANA

Realicen una investigación mediante el uso de diversos buscadores, sobre la historia de las ecuaciones diofánticas, su origen y utilización, como así también la clasificación de las mismas centrándose en las lineales.

1) Ecuaciones diofánticas

Definición. El término ecuación diofántica se usa para designar una ecuación en una o más incógnitas que va a ser resuelta en los enteros. La ecuación diofántica

más simple es la ecuación diofántica lineal en dos incógnitas , donde a y b son enteros dados, no ambos cero.

Ej: La ecuación diofántica tiene infinitas soluciones enteras. Algunas de estas soluciones son:

Ej: La ecuación diofántica no posee solución debido a que tanto

como son números pares. La suma de dos números pares es un número pary 17 es un número impar.

Un criterio para conocer cuando una ecuación diofántica de este tipo posee solución lo proporciona el siguiente teorema.

4.2.2. Teorema. La ecuación diofántica tiene solución sí y sólo sí d|c, donde d = M.C.D.(a, b).

Si es una solución particular de esta ecuación, entonces, todas las otras soluciones están dadas por:

para t entero arbitrario.

Ejemplo: La ecuación no tiene solución porque: 2 = M.C.D.(2, 10) no divide a 17.

Ejemplo: La ecuación tiene solución porque: 1 = M.C.D.(5, 6) divide a 8.

¿Cómo hallamos una solución particular?

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MATERIA: MATEMATICA Y SU ENSEÑANZA IIIALUMNA: GARCIA DAIANA

Existen dos métodos. El primero es por simple inspección, pero si así no fuera posible, podemos utilizar el algoritmo de Euclides así:

Se hallan utilizando el algoritmo anteriormente citado.

6 = 1x5 + 1.

5 = 5x1 + 0.

Luego, 1 = 6 - 1x5.

Quiere decir que Entonces:

En la expresión se multiplican ambos miembros por 8 y se

obtiene: .

Luego, la solución particular de la ecuación diofántica es de la forma siguiente:

La solución general será:

o sea

2) Ecuaciones diofánticas

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MATERIA: MATEMATICA Y SU ENSEÑANZA IIIALUMNA: GARCIA DAIANA

Una ecuación diofántica es una ecuación algebraica en la que aparecen varias variables cuyas soluciones son números enteros. Es decir, resolver una ecuacióndiofántica consiste en determinar qué números enteros la cumplen. Su nombre lotoman del matemáticoDiofanto de Alejandría, quien, además de ser uno de los primeros en utilizar simbolismo en álgebra, se dedicó entre otras cosas al estudiode estas ecuaciones

Las ecuaciones diofánticas del tipo anterior se denominan ecuaciones diofánticas lineales. Este caso particular de este tipo de ecuaciones es el que vamos a aprender a resolver en este artículo. Más concretamente, vamos a mostrar (y demostrar) un método para calcular las soluciones enteras de la ecuación

con .

Existencia de solucionesEl primer resultado que vamos a ver y demostrar tiene que ver con la existencia de soluciones de estas ecuaciones. Vamos con él:

Teorema:

Una ecuación lineal diofántica de la forma tiene solución

entera si y sólo si el máximo común divisor de y es un divisor de .

Además, si llamamos al se tiene que una solución particular de dicha ecuación puede obtenerse de la siguiente forma:

siendo .

Demostración:

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1.- Comenzamos con la implicación de izquierda a derecha:

Si la ecuación

(1)

tiene solución entera, entonces existen tales que

Como es un divisor común de y , entonces y , con .

Tenemos entonces lo siguiente:

Es decir, nos queda una expresión del tipo , con todos ellos números

enteros. En consecuencia tanto como deben dividir a , concluyendo así estaparte de la demostración.

2.- Vamos ahora con la implicación de derecha a izquierda, obteniendo como bonus el además:

Supongamos ahora que es un divisor de . Entonces existe tal

que . Por otra parte, por el teorema de Bezout existen tales

que . Multiplicamos los dos miembros de esta igualdad por :

De donde obtenemos

Con lo que hemos llegado a que y son soluciones de la ecuación (1).

Entonces:

es una solución de la ecuación (1), que es lo que queríamos demostrar.

Lo que hemos conseguido hasta ahora es saber reconocer qué ecuaciones diofánticas lineales tienen soluciones y calcular una solución particular de las mismas. Pero queremos una solución general, es decir, todas las soluciones de

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las ecuaciones diofánticas lineales que se puedan resolver. A ello vamos en el siguiente punto.

Solución general de una ecuación diofántica linealVamos a demostrar el siguiente teorema:

Teorema:

Si es una solución particular de la ecuación

(1)

entonces todas las soluciones enteras de la misma son de la forma:

(2)

con , siendo .

Demostración:

Si es solución de la ecuación (1), entonces se cumple que . Pero entonces las expresiones de (2) también son solución de dicha ecuación:

Faltaría ver entonces que todas las soluciones de (1) son de la forma que hemos descrito en (2). A por ello vamos:

Partiendo de la solución particular anterior , supongamos que tenemos una

solución de la ecuación diofántica lineal (1). Tenemos entonces las dos ecuaciones siguientes:

Restamos las dos ecuaciones, obteniendo

Pasando el segundo sumando al otro miembro de la igualdad llegamos a

(3)

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Dividimos ahora por :

Como y son números enteros primos relativos (ya que al dividirlos entre su máximo común divisor les hemos quitado los factores que tuvieran en común en

un principio), y divide a , debe cumplirse que divida a .

Esto nos lleva a que debe existir tal que:

De donde obtenemos que debe ser de la forma:

, con

Sustituyendo este valor de en la ecuación (3) llegamos, después de unos

sencillos cálculos, a la expresión buscada para :

Ejemplo prácticoVolvamos a nuestro amigo el de los trajes. Nos quedamos en la ecuación diofántica lineal siguiente:

Vamos a ver si somos capaces de encontrar cuántos trajes de cada color compróeste señor.

Como es un divisor de nuestra ecuación tiene soluciones.

Para obtener y debemos utilizar el algoritmo de Euclides para el cálculo del máximo común divisor junto con la identidad de Bezout, citada anteriormente. En este caso se obtiene

por lo que y .

Entonces la solución particular queda de la siguiente forma:

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A partir de esto ya es sencillo encontrar todas las soluciones:

En principio estas expresiones nos dan todas las soluciones del problema, pero todavía no hemos terminado. Hay que tener en cuenta más cosas. Analizando los datos obtenidos sabemos que el número de trajes negros que ha comprado

es , por lo que el número de trajes grises comprados

es .

Teniendo en cuenta que el número de trajes de cada tipo comprados por nuestro amigo debe ser positivo y menor que 12 se tiene lo siguiente:

Por tanto, los únicos valores posibles para son .

Pero el enunciado también decía que ha comprado el mínimo número de trajes grises posibles. Probando con los valores anteriores esta condición se cumple

para . En consecuencia el protagonista de nuestro problema

compró trajes grises y trajes negros.

3)Ecuación diofántica lineal

La ecuación diofántica o identidad de Bézout tiene solución si y

solo si d = mcd(A, B) (máximo común divisor) es un divisor de C. En ese caso la

ecuación tiene una infinidad de soluciones.

Similarmente la ecuación tiene solución si y

solo si d = mcd(a1, a2,...,an) es un divisor de C.

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Solución general[editar]

Supongamos la ecuación diofántica . Solo tiene solución si

. Para buscar el empleamos elalgoritmo de Euclides. Si una ecuación

diofántica tiene solución, necesariamente tiene infinitas soluciones y todas son de

la forma:

Donde y e son una solución particular de la ecuación.

Solución particular[editar]

Para encontrar una solución particular usamos la identidad de Bézout junto

al algoritmo de Euclides. Esto nos da e . Veamos el ejemplo:

Tenemos la ecuación diofántica 6x + 10y = 104

1. Buscamos el d = mcd(6,10). A través de Euclides encontramos

que d =2

2. Como d|C (donde "|" significa "divide a"), es decir, 2|104, Calculamos

una solución particular mediante la Identidad de Bézout: x1 = 2 e y1 = -1.

La ecuación quedaría así: 6 · 2 + 10 · (-1) = 2.

3. Ahora tenemos una solución para la ecuación 6x + 10y = 2. Con x1 =

2 e y1 = -1. Si multiplicamos cada parte de la ecuación por C/d (104 / 2 =

52), tendremos la solución particular de nuestra ecuación original (6x + 10y

= 104). La ecuación quedaría así: 6 · 2 · 52 + 10 · (-1) · 52 = 104

4. Con lo que hemos visto arriba, buscamos la solución general:

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MATEMÁTICA Y SU ENSEÑANZA 3

TRABAJO PRÁCTICO Nº 2

Profesora: Lic. Teresa Fernández

Alumno: Daniel Jara

Curso: 3º

Carrera: Profesorado en Matemáticas

Ecuación diofánticaUna ecuación diofántica es una ecuación lineal con coeficientes enteros y que exige soluciones

también enteras. Su nombre lo toman de Diofanto de Alejandría, quien, además de ser uno delos primeros en utilizar simbolismo en álgebra, se dedicó entre otras cosas al estudio de estasecuaciones

Ecuación diofántica linealLa ecuación diofántica tiene solución si y solo si es un divisor de . En ese caso la ecuación tiene una

infinidad de soluciones.

Similarmente la ecuación tiene solución si y solo si es un divisor de .

Solución particular

Sean , y tres números enteros. La ecuación lineal tiene solución entera si, y sólo si el máximo comúndivisor de y divide a .

DemostraciónSupongamos que los enteros x0 e y0 son solución de la ecuación , es decir . Pues bien, si , entonces .

Recíprocamente, supongamos que es divisor de c. Entonces,

Solución generalSean , y tres números enteros no nulos tales que el máximo común divisor de y divide a . Entonces la

solución general de la ecuación es:

donde e es una solución particular de la misma y es cualquier número entero.

DemostraciónSea el máximo común divisor de y y existe de una solución particular e para el sistema. Entonces,

Dividiendo ahora ambos miembros de esta ecuación por el máximo común divisor de y , tendremos,

y al ser primo con , dividirá a , luego:

Sustituimos el valor de en y resulta

Veamos, finalmente, que e es solución de la ecuación

En efecto,

Luego, la solución general de la ecuación para cualquier .

Ejemplo prácticoUn grupo de 23 viajeros llega a un campamento y encuentra 63 montones de sacos, todos con el mismo

número de sacos, y un montón adicional con 7 sacos. Si sabemos que los viajeros no podían cargar conmás de 50 sacos y pudieron repartírselos por igual y sin abrirlos, ¿cuántos sacos había en cada uno de losmontones?

Algoritmo de Euclides

2 1 2 1 563 23 17 6 5 117 6 5 1 0

Solución particular

Solución general

Teniendo en cuenta que los viajeros no podían cargar con más de 50 sacos debe ser positivo y menorque 50 se obtiene lo siguiente:

Por tanto, el único valor posible es:

Por lo que: cada viajero cargaba con 14 sacos y cada montón tenía 5 sacos.

1) Algoritmos usados:

a) De la división entera (en

b) División Racional (en

En la primera resolución los resultados obtenidos apuntan en el cociente hacia la cantidad de chicos que recibiránpastel y el resto hacia la cantidad de torta que sobró.

En la segunda resolución nuestro resultado está formado por dos elementos, primero el número de porciones que sepueden obtener para cada niño y lo que sobraría de una porción de pastel.

En este caso ambas soluciones son correctas para la primer pregunta, pero para la segunda la primer resolución es laadecuada. Ya que aclara la cantidad de pastel sobrante y no, a diferencia de la segunda resolución, la cantidadsobrante de una porción.

2) a) En el primer caso se observa gran manejo de las proporciones y la intención de particionar el pastel para luego unir cada una de sus partes y validar su procedimiento. Los contenidos usados en este planteo incluyendesde la implementación de variables, como también el manejo de operaciones entre números enteros y racionales.

b) En este caso comprar diferentes formas de dividir el pastel para luego tomar idea de la proporción de la cada porción. El contenido utilizado para esta resolución sería el manejo de las operaciones entre números racionales.

ECUACIONES DIOFÁNTICAS

Son todas aquellas ecuaciones en las que tanto sus

coeficientes como sus soluciones son números enteros. Se

clasifican según el número de sus incógnitas y el grado

de éstas.

Se las llama de esta manera en honor a

Diofanto de Alejandría (s. III), aunque se

conocen desde mucho antes.

El interés que encierra la resolución de una ecuación

diofántica está en relación directa con la naturaleza de

las incógnitas. Por ejemplo, si la ecuación hace

referencia a un número d personas, únicamente tendrán

sentido las soluciones enteras)

• Ecuación de Pell: x2 – Dy2 = N , donde D pertenece a los enteros positivos y no es

cuadrado, y N es un entero distinto de cero

• Ecuación pitagórica: x2 + y2 = z2

• Ecuación de Fermat: xn + yn = zn

Lineales: 1 o más incógnitas de grado 1.

Teorema: la ecuación a1x1 + a2x2 + … + anxn = c tiene solución si y sólo si mcd(a1, a2, …, an) divide a c.

Sean a, b y c tres números enteros no nulos, tales que d es el máximo común divisor de a y b, y d

divide a c. Entonces la solución general de la ecuación ax + by = c es:

x = x0 + k . b/d

y = y0 – k . a/d

Donde x0 e y0 es una solución particular de la misma, y k es cualquier número entero.

2 incógnitas

Espacio Curricular: Matemática y su Enseñanza III

Profesor: Lic. Teresa Fernández

Alumno: Nicolás Mariano Pousa

Trabajo Práctico N°2

Ecuaciones Diofánticas

Consigna:

Realizar una investigación sobre la historia de las ecuaciones diofánticas, su origen y utilización, como así también la clasificación de las mismas centrándose en las lineales. Deberán presentar la misma utilizando una presentación, o un poster, o la forma que ustedes crean más conveniente, de modo tal que exprese en forma resumida y concisa las principales características.

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