Actividad Nro 6 (Rafael Garcia)

7/26/2019 Actividad Nro 6 (Rafael Garcia)

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Actividad Nro. 6

Alumno: Armando Rafael GarciaDNI: 24. 934.453Parte A. Individual.

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entre otros! informaci)n so#re &rupo! su#&rupo! &rupo finito! *omomorfismo entre &ruposy e+emplos. ,rate de no e-cederse de este temario. e ser necesario presente unas/ntesis propia.

0ue&o! comparta en el foro 1iarr)n de la Actiidad citando la fuente de consulta.uando el tutor lo crea coneniente por considerar suficientes los aportes! de#er6 pu#licar aqu/ de#a+o! en la entana de Realiar actiidad.

Desarrollo de la actividad

7uente8 *ttp8*tml.rincondela&o.com&rupos:;.*tml

GRUPOS• CONCEPTOS BÁSICOS:OBSERVACIÓN: En este tema todos los conjuntos son no vacios, a menos que se especifique lo

contrario.

• GRUPOIDES:

DEFINICIÓN: Sea A un conjunto y ∗ una operación binaria en A , A A A →×∗ ! ". Entonces se

dice que el par ( )∗, A es un GRUPO#$E

DEFINICIÓN: Sea ( )∗, A un %rupoide, entonces se dice que Ae∈ es E&E'E()O (EU)RO de A elemento identidad" si se verifica que!

aaeea Aa =∗=∗→∈∀ .

PROPOSICIÓN: Si e*iste elemento neutro , es +nico!

$emostración!

Sean e y e′ elementos neutros de A . Entonces!

eeeeee =′∗=∗′=′

DEFINICIÓN: Sea ( )∗, A un %rupoide con elemento neutro. Entonces se dice que Aa∈ tiene

E&E'E()O #(ERSOelemento opuesto" si!

eabba Ab =∗=∗∈∃ -

OBSERVACIÓN: En un %rupoide con elemento neutro los elementos inversos, si e*isten, pueden

no ser +nicos.

EJEMPLO:

http://aula7.iua.edu.ar/foros.cgi?wIdPost=9693389&wVer=L&id_curso=799&wAccion=vertema

http://html.rincondelvago.com/grupos_1.html

http://html.rincondelvago.com/grupos_1.html

http://aula7.iua.edu.ar/foros.cgi?wIdPost=9693389&wVer=L&id_curso=799&wAccion=vertema



{ },/,0,1= A /0

11//

11100

/011

/01∗

( )∗, A Grupoide

1=einverso de 11 =

inverso de/,0/ =

inverso de /,00 = inverso de ∃/

• SEMIGRUPOS:

DEFINICIÓN: Se dice que ( )∗, A es un SE'#GRUPO si ( )∗, A es un %rupoide con la propiedad

asociativa. 'atematicamente!

( ) ( ) cbacba Acba ∗∗=∗∗→∈∀ ,,

PROPOSICIÓN: Sea ( )∗, A un semi%rupo con elemento neutro. Entonces el elemento inverso, si

e*iste, de cualquier elemento de A es +nico.

$emostración!

Sea ( )∗, A un semi%rupo y e su elemento neutro. Entonces!bb Aa ′∈∃ ,- son inversos de a . Por tanto!

( ) ( ) bbebabbabebbeabba

eabba′=′∗=′∗∗=′∗∗=∗=

=∗′=′∗=∗=∗

EJEMPLO: Sea ( )( ) { }aplicación f A A f A A F B -!, →== , y =∗ composición de funciones".

Entonces!

( )( ),, A A F es un semi%rupo con elemento neutro( )

=→

=aaid a

A Aid e

A

A

!

23u4 elementos tienen inverso5

Aid f g g f eabba ==→=∗=∗ Por el teorema de la biyección"

Por tanto tienen inverso las funciones biyectivas, y su inversa es la función inversa.

• HOMOMORFISMOS:

DEFINICIÓN: Sean ( )∗, A y ( )∗′′, A dos %rupoides. Entonces una aplicación entre ( )∗, A y ( )∗′′, A

es un 6O'O'OR7#S'O si se verifica que!

( ) ( ) ( )010101 , a f a f aa f aa ∗′=∗→∀

EJEMPLO:( ) ( )

0

,,!

x x

Z Z f

+→+

2Es 8omomorfismo5 ( ) 52 000 x x x x ′+=′+⇔

( ) 000000005 x x x x x x x x x x ′+≠′+′+=′+=′+

&ue%o no es 8omomorfismo

DEFINICIÓN: Se dice que!

1" Un 8omomorfismo inyectivo es un monomorfismo

0" Un 8omomorfismo suprayectivo es un epimorfismo



/" Un 8omomorfismo biyectivo es un isomorfismo

" Un 8omomorfismo de ( )∗, A en ( )∗, A es un endomorfismo

9" Un endomorfismo biyectivo es un automorfismo

• GRUPOS:DEFINICIÓN: Sea un semi%rupo con elemento neutro, tal que todos los elementos tienen

elemento inverso. Entonces dic8o semi%rupo se llama GRUPO. Es decir, un GRUPO es un par

( )∗,G, donde ∗ es una operación binaria en

G que verifica !

1" aaeeaGaGe =∗=∗→∈∀∈∃ -

0" ( ) ( ) cbacbaGcba ∗∗=∗∗→∈∀ ,,

/" eabbaGbGa =∗=∗∈∃→∈∀ -

DEFINICIÓN: Sea un %rupo ( )∗,G , donde ∗ es una operación binaria en G que verifica las

condiciones anteriormente e*puestas, y adem:s es conmutativo, es decir!

abbaGba ∗=∗→∈∀ ,

Entonces se dice que dic8o %rupo es un GRUPO ;O('U)<)#O o <=E&#<(O.

PROPOSICIÓN: Sea un GRUPO ( )∗,G . Entonces se verifica que!

1" bcacbacbcaGcba ∗=∗⇔=⇔∗=∗→∈∀ ,,

$emostración!

( ) ( ) ( ( baccbccaccbccacbca =⇒∗∗=∗∗⇒∗∗=∗∗⇒∗=∗ −−−− 1111

0" El elemento neutro es +nicoPor ser Grupoide"

/" Ga∈∀ el inverso de a es +nico.

" ( ) aaGa =→∈∀ −− 11

$emostración!

( ) ( ) 11

11

1111 −−

−−

−−−− ==⇒

=∗=∗

=∗=∗⇒= aab

eabba

eaaaaab

9" ( ) 111, −−− ∗=∗→∈∀ abbaGba

$emostración!

( ) ( ) eabbaabba =∗∗∗⇔∗=∗ −−−−− 11111

11 −−

∗= abc( ) ( ) ( ) ( ) ( ) eeeaaeaeaabbaabbacba =∗=∗∗=∗∗=∗∗∗=∗∗∗=∗∗ −−−−−− 111111

>" G es abeliano ( ) 111, −−− ∗=∗→∈∀⇔ babaGba

$emostración!

( ) 1111"9

1 −−−−− ∗=∗=∗⇒ baabbaabeliano

52 abba ∗=∗⇐

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ababbaabbaba ∗=∗=∗=∗=∗=∗ −−−−−−−−−−−−−− 11111111111111

• EJEMPLOS:( )+, Z Grupo <beliano ( )+,Q Grupo <beliano



{ }( )+∪ ,? N Semi%rupo con elemento neutro ( )+, R Grupo <beliano

( )+, N Semi%rupo sin elemento neutro ( )+,C Grupo <beliano

( )•, Z Semi%rupo con elemento neutro ( )•@,Q Grupo <beliano

( )•,Q Semi%rupo con elemento neutro ( )•@, R Grupo <beliano

• EJEMPLOS FUNDAMENTALES DE GRUPOS:• GRUPO DE LAS APLICACIONES BIYECTIVAS DE UN CONJUNTO: Sea A y

( ) { }biyectiva f A A f A B -! →= y AB la composición de aplicaciones. Entonces ( )( )

, A B es el%rupo de las aplicaciones biyectivas de A . eamos que se cumplen las tres propiedades!

1" 2 ( ) ( ) f f ee f A B f A Be ==→∈∀∈∃ - 5

Sea Aid e = , ( ) A B f ∈ y Aa∈ . e pertenece claramente a ( ) A B , por ser biyectiva.

Entonces!

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )a f ea f ea f ae f ae f ====&ue%o se verifica.

0" ( ) ( ) ( ) h g f h g f A Bh g f =→∈∀ ,,

Sean ( ) A Bh g f ∈,, y Aa∈ . Entonces!

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )ah g f ah g f ah g f ah g f ah g f ====&ue%o se verifica

/" ( ) ( ) Aid f g g f A B g A B f ==∈∃→∈∀ -

( ) 1−=∃→∈∀ f g A B f por el teorema de la biyección"

&ue%o se verifica.

• GRUPO DE LAS PERMUTACIONES DE N ELEMENTOS: Sea{ }naa A ,,1 =

y ( ) AC el

conjunto de las permutaciones de A . Entonces ( )( ), AC es %rupo por ser un caso particular del

anterior, ya que las permutaciones son aplicaciones biyectivas.

• GRUPO SIMÉTRICO DE N ELEMENTOS: Otra manera de representar y llamar al %rupo de

las permutaciones de n elementos es como el %rupo sim4trico de n elementos, representado por nS ,

formado por elementos de la forma!

=

n

n

i j j j

aaa

01

01σ

$ondek j

es un elemento de A

",?-, l k nl k N l k j j l k ≠≤<∈∀≠", de tal manera que lo que

8ace cada elemento de nS es asi%nar a cada elemento de A otro elemento de A , que es el que est:

en la parte inferior de su columna. Es, pues, una reordenación. Se puede comprobar que es un

%rupo.

EJEMPLO:{ }/,0,1= A ,

( ),// S S = 1

1 $e a8ora en adelante, y siempre que no 8aya lu%ar a confusión, representaremos los %rupos por el conjunto en el queest:n construidos



=

=

=

=

=

=

10/

/01

/10

/01

01/

/01

0/1

/01

1/0

/01

/01

/01

>/

90

1

σ σ

σ σ

σ σ

1/09>>

01>/99

/190>

0>19//

9>/100

>9/011

>9/01

σ σ σ σ σ σ σ






σ σ σ σ σ σ

Evidentemente e*iste elemento neutro, todos los elementos tienen elemento inverso, y

adem:s, el %rupo no es abeliano.

)ambi4n podemos verlo como el %rupo de las isometrCas del tri:n%ulo equil:tero%iros sobre

el centro y las alturas", o %rupo di4drico de orden >!

• GRUPO ADITIVO: Sea?, >∈ m Z m

. ;onsideramos el conjuntom Z

y en el la operación A +Bdefinida por!

[ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ]bababa

Z Z Z mmm

+=+→×+,

!

Entonces el par( )+,m Z

es un %rupo abeliano, llamado %rupo aditivo.

$emostración!

1" aaeea Z a Z e mm =+=+→∈∀∈∃ -

Sea [ ]?=e y [ ]ba =

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] abbbae

abbbea==+=+=+==+=+=+

????

&ue%o se verifica

0" ( ) ( ) cbacba Z cba m ++=++→∈∀ ,,

Sean[ ] [ ] [ ] m Z cba ∈,,

[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( )[ ] ( )[ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ]cbacba

cbacbacbacbacba

++=++==++=++=++=++=++

&ue%o se verifica

/" [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]?- =+=+∈∃→∈∀ abba Z b Z a mm

Sean[ ] [ ] m Z aa ∈−,



[ ] [ ] ( )[ ] [ ] [ ]?=−=−+=−+ aaaaaa

[ ] [ ] ( )[ ] [ ] [ ]?=+−=+−=+− aaaaaa

&ue%o se verifica

eamos si es conmutativo!

Sean[ ] [ ] m Z ba ∈,

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]ababbaba +=+=+=+&ue%o se verifica.

Por tanto( )+,m Z

es un %rupo abeliano.

• GRUPO MULTIPLICATIVO: Sea ?, >∈ p Z p y p primo. ;onsideramos el conjunto@

p Z y en

4l la operación A×Bdefinida por!

[ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ]abbaba

Z Z Z p p p

=×

→××

,

! @@@

Entonces el par( )

×,

@

p

Z es un %rupo abeliano, llamado %rupo multiplicativo.

$emostración!

1" aaeea Z a Z e p p =×=×→∈∀∈∃ @@ -

Sea [ ]1=e y [ ]ba =

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] abbbae

abbbea

===×=×===×=×

11

11

&ue%o se verifica

0" ( ) ( ) cbacba Z cba p ××=××→∈∀ @,,

Sean [ ] [ ] [ ] m Z cba ∈,,

[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( )[ ] ( )[ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ]cbacab

cabbcacbacbacba

××=×====××=××=××

&ue%o se verifica

/" [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1-

@@

=×=×∈∃→∈∀ abba Z b Z a p p

Sea[ ] @

p Z a ∈ 0

Entonces, por ser p primo, se verifica que! pa ≤≤1

( ) 1,mcd = pa

Por tanto!

[ ] [ ] [ ]1111-, =−=⇒−=⇒=+∈∃ pva pva pva Z v

[ ] [ ] [ ]11 −− == aa /

0 Para ver que todo elemento tiene inverso necesitamos el )eorema de =eDout!Si y entonces

/ eamos un ejemplo! El inverso de en Se trata de 8allar tal que . Pero &ue%o



&ue%o se verifica

eamos si es conmutativo!

Sean[ ] [ ] @

, p Z ba ∈

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]abbaabba ×===×&ue%o se verifica.

Por tanto ( )×,@

p Z es un %rupo abeliano.

• GRUPO DE MATRICES: Sean A+ B y A×B la adición y el producto 8abitual entre matrices.

Entonces!

• ( )( )+× , R ! nm es G< 'atrices reales de orden m*n" y

=

??

??

e

• ( )( )×, RG"n es G< 'atrices reales cuadradas con determinante no nulo". Se llama Grupo

lineal de orden n.

=

1?

?1

e

• ( )( )×, RS"n es G< 'atrices reales cuadradas con determinante la unidad". Se llama Grupo

especial lineal de orden n.

=

1?

?1

e

• ( )( )×, R#n es G< 'atrices reales cuadradas orto%onales". Se llama Grupo orto%onal de

orden n.

=

1?

?1

e

• ( )( )×, RS#n es G< 'atrices reales cuadradas orto%onales con determinante la unidad". Se

llama Grupo orto%onal especial de orden n.

=

1?

?1

e

OBSERVACIÓN:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) RS# R# RG" RSl RS# nnnnn ⊃⊃⊂⊂( ) ( ) ( ) R# RSl RS# nnn ∩=

• SUBGRUPOS:

DEFINICIÓN: Sea ( )∗,G un %rupo y G $ ⊂ . Entonces se dice que $ es un SU=GRUPO de G ,

y se escribe G $ ≤ si ( )∗, $ es un %rupo.

Por tanto, para ver si un subconjunto es sub%rupo es necesario comprobar si !



2 Es ∗ operación en $ 5

2 Es ∗ asociativa en $ 5

2 Es ∗ conmutativa en $ 5

2 E*iste elemento neutro en $ 5

2 E*iste elemento inverso en $ 5

TEOREMA: Sea ( )∗,G un %rupo, G $ ⊂ , ∅≠ $ . Entonces!

$ es %rupo $ y x $ y x ∈∗→∈∀⇔ −1

,

$emostración!

⇒

Si G $ ≤ 2 $ y x $ y x ∈∗→∈∀ −1, 5

$ y ∈−1 por ser $ %rupoide

$ y x ∈∗ −1 por ser $ %rupoide

⇐

Si $ y x $ y x ∈∗→∈∀ −1, 2 G $ ≤ 5 ⇔ 2 ( )∗, $ %rupo5 ⇔

∗∃

∃

52

5..2

5..2

ope%ación

ie

ne

$ e $ x x $ x $ ∈⇒∈∗⇒∈∃⇒∅≠ −1

$ a $ ae $ a

$ e∈⇒∈∗⇒

∈∈ −− 11

( ) $ ba $ ba $ b

$ a

$ b

$ a∈∗⇒∈∗⇒

∈

∈⇒

∈∈ −−

−

11

1

&ue%o queda demostrado

OBSERVACIÓN: Si G es aditivo entonces y x y x −≈∗ −1

EJEMPLO:( ) ( ) ( ) ( )+≤+≤+≤+ ,,,, C RQ Z

TEOREMA(de La!a"e#: Sea G un %rupo finito y G $ ≤ . Entonces el orden de $ divide al

orden de G .

Este teorema se aplica al c:lculo del n+mero de sub%rupos.

EJEMPLO: eamos los sub%rupos de /S !

>/ =S

Sub%rupo de orden 1! { }1σ

Posibles sub%rupos de orden 0!{ } >,9,,/,0,,1 =iiσ σ

Posibles sub%rupos de orden /!

>,..,>>,9,,/,0,,,1 iii ji −==σ σ σ

Sub%rupo de orden >! /S

ease p:%ina



Estudiemos los posibles sub%rupos de orden /!

{ } >,9,,/,,, 01 =iiσ σ σ

{ }iσ σ σ σ σ σ ,, 019/0 ∉=∗ (o es sub%rupo para /=i

{ }01/0 ,, σ σ σ σ σ σ ∉=∗ (o es sub%rupo para =i

{ }901>90 ,, σ σ σ σ σ σ ∉=∗ (o es sub%rupo para 9=i

{ }>019>0 ,, σ σ σ σ σ σ ∉=∗ (o es sub%rupo para >=i

{ } >,9,,,, /1 =iiσ σ σ { }/1>/ ,, σ σ σ σ σ σ ∉=∗ (o es sub%rupo para =i

{ }9/109/ ,, σ σ σ σ σ σ ∉=∗ (o es sub%rupo para 9=i

{ }>/1>/ ,, σ σ σ σ σ σ ∉=∗ (o es sub%rupo para >=i

{ } >,9,,, 1 =iiσ σ σ

{ }9119 ,, σ σ σ σ σ σ ∈=∗ Si es sub%rupo para 9=i

{ }>1/> ,, σ σ σ σ σ σ ∉=∗ (o es sub%rupo para >=i

{ } >,,, 91 =iiσ σ σ { }>910>9 ,, σ σ σ σ σ σ ∉=∗ (o es sub%rupo para >=i

&ue%o el +nico sub%rupo de orden / es { }91 ,, σ σ σ

TEOREMA: Sea ( )∗,G un %rupo y{ }

jii $ ∈ sub%rupos de ( )∗,G . Entonces

G $ ji

i ≤∈

.

$emostración!

Sea

ji

i $ $ ∈

=

2

5,252 1 $ y x $ y xG $ ∈∗→∈∀⇔≤ −

$ $ y x ji $ y x ji $ y x $ y x ji

iii =∈∗⇒∈∀∈∗⇒∈∀∈⇒∈∈

−−

11 "",,

&ue%o la intersección de sub%rupos es un sub%rupos.

OBSERVACIÓN: &a union de sub%rupos, en %eneral no es un sub%rupo.

• SISTEMA GENERADOR:

IDEA INTUITIVA: Si S es un subconjunto de G , y no es sub%rupo, 23u4 8ay que aadirle paraque lo sea5.

DEFINICIÓN: Sea ( )∗,G un %rupo y ∅≠⊂ S GS , . Entonces se define el SU=GRUPO

GE(ER<$O POR S, denotado porS

como!

$ S G $

$ S

⊂≤

=

Podemos decir queS

es el sub%rupo Am:s pequeoB que contiene a S

OBSERVACIÓN: Por el teorema anteriorGS ≤

, y $ S $ S G $ G $ ≤→⊂≤⊂∀ ,-



• GRUPO COCIENTE:

DEFINICIÓN: Sea ( )∗,G un %rupo y G $ ≤ . Entonces se establece una relación binaria tal que!

$ y x y xRG y x $ ∈∗⇔→∈∀ −1,

OBSERVACIÓN:

1" $ R es una relación de equivalencia.

$emostración!

525252 1 $ e $ x x x xRG x $ ∈⇔∈∗⇔∈ − Si, por G $ ≤ .

5252,-, 1 $ x y x yR y xRG y x $ $ ∈∗⇔∈ −

( ) ( ) $ x y x y y x $ y x y xR $ ∈∗=∗=∗⇒∈∗⇒ −−−−−−− 1111111

Si

5252,-,, 1 $ ( x ( xR ( yR y xRG ( y x $ $ $ ∈∗⇔∈ −

( ) ( ) $ ( y y x $ ( y ( yR

$ y x y xR

$

$ ∈∗∗∗⇒

∈∗⇒

∈∗⇒ −−

−

−11

1

1

( ) ( ) $ ( x ( y y x ( y y x ∈∗=∗∗∗=∗∗∗ −−−−− 11111

Si

0" < la relación anterior se le llama A<djunción por la iDquierdaB y se suele escribir "mod $ y x ≡ F

/" [ ] { } { } =∈∗∈=∈= − $ y xG y y xRG y x $

1-- { } x$ $ x $ hGh x ≡=∈∈ @-@ H

" $e forma similar se define $ x y y R x $ ∈∗⇔′ −1. Se demuestra que es de equivalencia y

se llama A<djunción por la derec8aB. <dem:s, las clases de equivalencia son! [ ] $x x =

9" En %eneral $x x$ ≠

>" Sea $ a∈ . En tal caso $a $ a$ ==

EJEMPLO:( ) ( ) Z $ nnZ $ Z G ≤>=+= ?,

n x ynZ x y $ y x y xR $ =−⇔∈−⇔∈+−⇔ ""

EJEMPLO:

{ } G $ id $ S G ≤=

== 1/ ,

0/1

/01,

/01

/01τ

F

=

/10

/01σ

σ σ

σ σ τ

σ τ σ

$ $

$

$

≠⇒

∈

=

∈

=

1/0

/01

01/

/01

1

1

pues poseen elementos distintos

DEFINICIÓN: Sea ( )∗,G un %rupo y G $ ≤ . Entonces se dice que $ es (OR'<&,

#(<R#<()E o $#S)#(GU#$O, y se representa por G $

si!

H Si es aditivo entonces serCaF 4ase p:%ina



$x x$ G x =→∈∀

PROPOSICIÓN: Si G es abeliano, entonces todo sub%rupo es normal.

TEOREMA(Ca!a$%e!&'a$&" de )*+!*,-) "-!.a/e)#: Sea ( )∗,G un %rupo y G $ ≤ . Entonces!

$ xh x $ hG xG $ ∈∗∗→∈∀∈∀⇔ −1,

$emostración !4ase ap4ndice.

DEFINICIÓN: Sea ( )∗,G un %rupo y G $ . Se representa por $ G

al conjunto cociente $ RG

ó

$ RG

′ 1?. Si definimos!

[ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ]bababa

$ G

$ G

$ G

∗=∗

→∗∗

,

!

Entonces se tiene que( ∗,

$ G

es un %rupo llamado GRUPO ;O;#E()E.

$emostración!

eamos que ∗ es operación interna. Evidentemente es aplicación, pero 2$epende del

representante5

Sean!

[ ] xa∈ $ xa ∈∗−1" h xa $ h =∗∈∃ −1

- "

[ ] yb∈

$ yb ∈∗−1

"

h yb $ h ′=∗∈′∃ −1-

"

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 52525252 1

$ y xba y x Rba y xba y xba $ ∈∗∗∗⇔∗∗⇔∗=∗⇔∗=∗ −

( ) ( ) ( ) ( ) =∗∗=∗∗∗=∗∗∗=∗∗∗ −−−−− yhb y xab y xba y xba 11111

11 hhh yb ′′∗′=′′∗∗−1

$ hh ∈′′∗′&ue%o no depende del representante. Por tanto es operación interna.

eamos a8ora que( ∗,

$ G

posee elemento neutro

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]5-2 aaa $

G $

Ga =∗=∗=∈∃→∈∀

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Geaaaaa =⇒=∗=∗=∗=∗

Por tanto posee elemento neutro.

Estudiamos a8ora si es asociativa!

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ] 5,,2 cbacba $

Gcba ∗∗=∗∗→∈∀

[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ]cbacbacbacbacba ∗∗=∗∗=∗∗=∗∗=∗∗

&ue%o es asociativo.

1? Son el mismo por ser11



erificamos a8ora que posee elemento inverso!

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 5-2 1111

$ eaaaa $

Gaa $

Ga G ==∗=∗∈=∃→∈∀ −−−−

555

[ ] [ ] [ ] [ ] $

GG eeaaaa ==∗=∗ −− 11

[ ] [ ] [ ] [ ] $

GG eeaaaa ==∗=∗ −− 11

&ue%o tiene elemento inverso.

Por tanto queda demostrado que∗,

$ G

es %rupo

EJEMPLO:( ) nZ $ Z G =+= ,

Por ser G abeliano se verifica que G $

[ ] { } Z nanZ aa ∈+=+= λ λ -

&ue%o

n Z nZ

Z =

• HOMOMORFISMO DE GRUPOS:

DEFINICIÓN: Sean ( )11 ,∗G y ( )00 ,∗G %rupos. Entonces se dice que la aplicación 01! GG f → es

un 8omomorfismo de %rupos si se verifica que!

( ) ( ) ( ) y f x f y x f G y x 011, ∗=∗→∈∀

OBSERVACIÓN:1" Se introducen los conceptos de auto, epi, 8omomorfismo, etc..

0" Se dice que dos %rupos son isomorfos si e*iste un isomorfismo entre ellos, y se escribe

01 GG ≈

PROPOSICIÓN:

1" ( ) 01 ee f =

$emostración!

Sea 1G x∈

( ) ( ) ( ) ( )1011 e f x f e x f x f ∗=∗=( ) ( ) 00 e x f x f ∗=

&ue%o ( ) 01 ee f =

0" ( ) ( ) 11

1

−− =→∈∀ x f x f G x

$emostración!

Sea 1G x∈ ( ) 0G y x f ∈=

( ) ( ) 5@252 1

0

1

1

11 −−−− =′→′=∗⇔= y y y y x x f y x f

( ( ) 01

1

1 ee f x x f ==∗ −

( ) ( ) ( ) y y x f x f x x f ′∗==∗ −−0

1

0

1

1 @

00 e y y =′∗

;omo el inverso es +nico , resulta que y y ′=−1

&ue%o efectivamente ( ) ( ) 11 −− = x f x f

DEFINICIÓN: Sea ( ) ( )0011 ,,! ∗→∗ GG f un 8omomorfismo de %rupos. Entonces se define!



El n+cleo de f como el conjunto ( ) ( ){ }01 -Ier e x f G x f =∈=

&a ima%en de f como el conjunto ( ) ( ){ } ( )110 -#m G f y x f G xG y f ==→∈∃∈=

TEOREMA: Sea ( ) ( )0011 ,,! ∗→∗ GG f un 8omomorfismo de %rupos. Entonces se verifica que!

1" ( ) 1Ier G f

$emostración!

( ) 5Ier 2 1G f

Evidentemente ( ) ∅≠ f Ier , ya que ( ) f e Ier 1 ∈

( ) ( ) ( ) ( ) 5Ier ,25Ier Ier ,2 0

1

1

1

1 e y x f f y x f y x f y x =∗→∈∀⇔∈∗→∈∀ −−

( ) 0e x f =( ) 0e y f =( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0

0

000

1

0

1

0

1

1 eee y f x f y f x f y x f =∗=∗=∗=∗ −−−−

&ue%o es sub%rupo. eamos si es normal.

( ) ( ) ( ) 525Ier Ier ,2 0

1

11

1

111 e x y x f f x y x f yG x =∗∗⇔∈∗∗→∈∀∈∀ −−

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =∗=∗∗=∗∗=∗∗ −−−− 1

0

1

000

1

00

1

11 x f x f x f e x f x f y f x f x y x f

( ) ( ) ( ) ( ) 0

1

0

1

0 e x f x f x f x f =∗=∗= −−

&ue%o es sub%rupo normal. 3ueda demostrado

0" f es monomorfismo si y solo si ( ) { }1Ier e f =

$emostración!

⇒

;omo f es monomorfismo resulta que f es inyectivo.

( ) { } ( ) 5Ier 25Ier 2 11 e x f xe f =→∈∀⇔=( ) ( ){ }01 -Ier ea f Ga f =∈=

Sea ( ) f x Ier ∈( ) ( ) 110 e xe f e x f =⇒== por ser f inyectivo

&ue%o ( ) { }1Ier e f =

⇐

( ) { }1Ier e f =

2 Es f monomorfismo 5 ⇔ 2 Es f inyectivo5 ⇔ 2 ( ) ( ) y x y f x f G y x =→=∈∀ -, 1 5

Sean ( ) ( )( ) y f x f G y x =∈ ,, 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x ye y f y f x f y f x f y f x y f Ier 1

1

00

1

0

1

0

1

1

1 ∈∗⇒=∗=∗=∗=∗ −−−−−

( ) x ye x y f x y =⇒=∗⇒∈∗⇒ −−

11

1

1

1

Ier

/" ( ) 0#m G f ≤

$emostración!

Evidentemente ( ) ∅≠ f #m , ya que ( ) f e #m0 ∈

( ) ( ){ } ( )110 -#m G f ba f GaGb f ==→∈∃∈=( ) ( ) ( ) 5-25#m#m,2 1

01

1

0

−− ∗=∈∃⇔∈∗→∈∀ y xc f Gc f y x f y x

( ) ( ) xa f Ga f x =∈∃⇒∈ -#m 1

( ) ( ) yb f Gb f y =∈∃⇒∈ -#m 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11

11

11

01

01

0 Gbacba f b f a f b f a f y x ∈∗=⇒∗=∗=∗=∗ −−−−−

&ue%o queda demostrado



" f es epimorfismo si y solo si ( ) 0#m G f =

$emostración!

⇒

;omo f es epimorfismo resulta que f es suprayectiva

Por tanto ( ) y x f G xG y =∈∃→∈∀ -10

( ) ( ){ } ( )110 -#m G f ba f GaGb f ==→∈∃∈=

;omo la condición de pertenecer a ( ) f #m se verifica 0G y∈∀ resulta que ( ) 0#m G f =

⇐

( ) 0#m G f =

Por tanto ( ) y x f G xG y =∈∃→∈∀ -10 , lue%o f es suprayectiva y por tanto

epimorfismo

TEOREMA(I)-.-!01a#: Sean ( )11 ,∗G y ( )00 ,∗G dos %rupos, y sea ( ) ( )0011 ,,! ∗→∗ GG f un

8omomorfismo de %rupos. Entonces se verifica que!

( ) ( ) f f

G#m

Ier 1 ≈

Sabemos que ( ) 1Ier G f . eamos, pues, el %rupo cociente!

( )

∗,

Ier 1

f G

2;u:les son las clases5

[ ] ( ) ( ){ } ( ){ }01111 -Ier -Ier eh f ha f hha f aaGa =∗=∈∗=∗=∈∀

[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a f y f ea y f f a ya yRa y f =⇔=∗⇔∈∗⇔⇔∈ −−

01

1

1

1

Ier Ier 10

$emostración!

eamos que !

( ) ( )( )

[ ] [ ]( ) ( )a f aa

f f

G

=

∗→

∗

ϕ

ϕ

011 ,#m,Ier

!

es aplicación, 8omomorfismo y es

suprayectiva.

Para ver que es aplicación veamos que no depende del representante!

Sea [ ] [ ]( ) [ ]( ) 52 aaaa ϕ ϕ =′∈′

[ ] ( ) ( ) [ ]( ) [ ]( )aaa f a f aa ϕ ϕ =′⇒=′⇒∈′&ue%o no depende del representante

eamos a8ora que es 8omomorfismo!

[ ] [ ] ( ) [ ] [ ]( ) [ ]( ) [ ]( ) 5Ier

,2 011 baba

f G

ba ϕ ϕ ϕ ∗=∗→∈∀

[ ] [ ]( ) [ ]( ) [ ]( ) ( ) ( ) [ ]( ) [ ]( )bab f a f ba f baba ϕ ϕ ϕ ϕ 00111 ∗=∗=∗=∗=∗&ue%o es 8omomorfismo

eamos a8ora que es inyectivo!

10 &o que 8acemos al crear es fracturar en subconjuntos;lases de equivalencia" y tratarlos como elementos, de talmanera que al contener cada subconjunto a los elementos que tienen la misma ima%en, podemos considerar cadasubconjunto como un elemento del conjunto $e 8ec8o, lo son", e*istiendo entonces un isomorfismo entre ambosconjunto e "



[ ] [ ] ( ) [ ]( ) [ ]( ) [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) 52525-Ier

,2 Ier 1 b f a f baRbaba

f G

ba f =⇔⇔=→=∈∀ ϕ ϕ

Pero [ ]( ) [ ]( ) ( ) ( )b f a f ba =⇒= ϕ ϕ

&ue%o es inyectivo

eamos a8ora que es suprayectivo

( ) [ ] ( ) [ ]( ) 5-Ier

#m2 1 ba f

Ga f b =∈∃→∈∀ ϕ

Por definición de ima%en!

( ) [ ]( )aba f Ga ϕ ==∈∃ -1

&ue%o es suprayectivo.

Por tanto e*iste un 8omomorfismo biyectivo entre ambos %rupos, y son isomorfos.

PROPOSICIÓN: <l i%ual que 8icimos con aplicaciones, es posible descomponer canonicamente

un 8omomorfismo!

EJEMPLO:

$emostrar que

( )( ) ( )⋅≈ ∗

, R RS"

RG"

n

n

. Para ello vamos a convertir a( ) RS"n en el nucleo de

un isomorfismo.

$efinimos!

( )( ) ("det

,,!

A A

R RG" f n

⋅→• ∗

1/

eamos que f es 8omomorfismo!

( ) ( ) ( ) ( ) 5,2 B f A f B A f RG" B A n ⋅=•→∈∀( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B f A f B A AB B A f ⋅=⋅==• detdetdet

&ue%o es 8omomorfismo

Evidentemente( ) ( ) f RS"n Ier =

, ya que( ) ( ) ( ) ( ) f RS" A RS" A nn Ier 1det =⇒=→∈∀

eamos quien es la ima%en!

( ) ( ) λ

λ

λ ==

=∃→∈∀ ∗ A A f A R det-

1

1

&ue%o ( ) ∗

= R f #m , y por tanto son isomorfos, se%+n el )eorema de #somorfCa

OBSERVACION:

1" Si f es suprayectivoepimorfismo", entonces ( ) ( ) 01 #mIer

G f f

G ≈≈

1/



0" Si f es inyectivomonomorfismo", entonces ( ) ( ) f f

GG #m

Ier 1

1 ≈≈

/" Si f es biyectivoisomorfismo", entonces ( ) ( ) 01

1 #mIer

G f f

GG ≈≈≈

EJEMPLO:( ) ( )

( ) [ ]aa f a

Z Z f m

=

+→+

,,!

eamos que f es un 8omomorfismo!

( ) ( ) ( ) 5,2 b f a f ba f Z ba +=+→∈∀( ) [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) 5b f a f bababa f +=+=+=+


eamos si es inyectivo!

( ) ( ) [ ]{ } [ ] [ ]{ } mZ oa Z aoa f Z a f ==∈==∈= --Ier

&ue%o f no es inyectiva

Evidentemente es suprayectiva, pues( ) m Z f =#m

Por tanto se verifica que!

m Z mZ

Z ≈

EJEMPLO:( ) ( )

( ) [ ]λ λ λ =

+→+

n f n

Z nZ f n

,,!

eamos que f es un 8omomorfismo!

( ) ( ) ( ) 5,2 b f a f ba f nZ ba +=+→∈∀( ) ( )( ) [ ] [ ] [ ] ( ) ( )n f n f n f nn f µ λ µ λ µ λ µ λ µ λ +=+=+=+=+


eamos si es inyectivo!

( ) ( ) [ ]{ } [ ] [ ]{ } { } Z mn Z nZ mnonZ non f nZ n f "---Ier =∈∈==∈==∈= µ µ λ λ λ λ

&ue%o f no es inyectiva

Evidentemente es suprayectiva, pues( )

m Z f =#m

Por tanto se verifica que!

n Z Z mn

nZ ≈"

• GRUPOS CICLICOS:

DEFINICIÓN: Sea ( )∗,G un %rupo. Entonces se dice que G es cCclico si!

{ } G g G g =∈∃ -

Es decir, si!



Grupo multiplicativo{ } Z k g g G k ∈== -

Grupo aditivo{ } { } Z k gk g G ∈== -

EJEMPLO:

( )+, Z { } { } Z k k Z ∈== -11

( )+,m

Z

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } Z k k Z k k Z m ∈=∈== --11( )⋅∗ ,9 Z [ ]{ } [ ] [ ]{ } [ ] [ ] [ ] [ ]{ }H,,0,1-0-009 =∈=∈==∗ Z k Z k Z

k k

eamos a8ora un caso de un %rupo no ciclico!

( )+,Q

=uscamos{ } Q g Q g =∈ -

{ } { } ??? ≠⇒≠= g Q

Si ?≠ g resulta que como{ } { } Q g g

g k Z k ≠⇒∉⇒≠⇒∈

001

&ue%o ( )+,Q no es ciclico.

PROPOSICIÓN: )odo %rupo cCclico es abeliano.

$emostración!

Sea ( )∗,G un %rupo cCclico multiplicativo1. Por tanto{ } G g G g =∈∃ -

, es decir!

x g Z k G x k =∈∃→∈∀ -

Sean Gba ∈,

k g a =

l g b =

Entonces!

ab g g g g ba k l l k ∗=∗=∗=∗

PROPOSICIÓN: )odo sub%rupo de un %rupo cCclico es normal

OBSERVACIÓN: Para ser cCclico 8a de ser abeliano.

TEOREMA: )odo sub%rupo de un %rupo cCclico es cCclico.

$emostración!

Sea( )

∗,G

un %rupo cCclico y G $

2 $ es cCclico55-2 $ x $ x =∈∃⇔ 19

G g G g =∈∃ -

Sea $ g N k A k ∈∈= - , y sea m el Cnfimo de A , que siempre e*iste por el a*ioma del

supremo.

eamos que $ g m =

⊂

=asta utiliDar que &

es el menor sub%rupo que contiene a & .

Si { }m g & = , y como $ g m ∈ resulta que $ g

m

⊂

1 $emostración an:lo%a para %rupos aditivos

19 $e a8ora en adelante, y para simplificar la nomenclatura representaremos como



⊃ Sea $ y∈

( ) 5-252 k mm g y Z k g y =∈∃⇔∈

n g y N n g G y =∈∃⇒=∈ -

<quC distin%uimos tres casos!

1" ( ) ⇒∗===⇒<≤+=⇒≤⇒> + % )m% )mn g g g g ym% % )mnnmn "?,?

( ) g% y g )m =∗⇒

−

como!( ) $ g

)m ∈−

1>

$ y∈y!

m% <≤?

ocurre que ?=%

&ue%o )mn = , y por tanto( ) m)m)mn g g g g y ∈===

0" ( ) mm g g e g yn ∈===⇒=

???

/" ?<n En este caso basta comprobar sim g g ∈−1

, ya que por serm g un

sub%rupo ser verifica que!

( ) k k g g 1=−

con lo que volveriamos al caso 1

Sabemos que!( ) ( ) ( ) ( ) ( ) nnnm g g g y y g y y 11

11111 ====⇒∈= −−−−−

, lo que nos

lleva al caso 1

DEFINICIÓN: Sea ( )∗,G un %rupo y G x∈ . Entonces se define el orden de x como el orden del

sub%rupo que %enera, y se escribe ( ) x xo%d =

PROPOSICIÓN: Sea ( )∗,G un %rupo finito. Entonces si G x∈ , el orden de x es el menor entero

positivo k tal que e x k = . <dem:s, en ese caso se verifica que!

{ }e x x x x x x k k == − ,,,,, 1/0

ya que!

xe x x x k k ∗=∗=+ 11

;on lo que volverCamos a empeDar.

PROPIEDADES:

1" Sea ( )∗,G un %rupo finito de orden n . Entonces

n xG x =→∈∀1

0" Sea ( )∗,G un %rupo y G x∈ con% x =

. Entonces si ?>k y e xk = se verifica que

" N % k ∈= λ λ

/" Sea ( )∗,G un %rupo finito, con% G =

y % primo. Entonces G es cCclico

" )eorema pequeo de 7ermat" En∗ p Z

se verifica que [ ] [ ]11 =− pa

1> Por definición de1 JPor el )eorema de &a%ran%e



$emostración!

Sea[ ] [ ] [ ] [ ]1==⇒=⇒∈ ∗

∗

p Z

k

p eaak Z a

Por otro lado!

[ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]111 1 ====⇒=−⇒=⇒= −• λ λ λ

λ k k p

p aaak pk Z ak

TEOREMA(De $/a)&0&$a$&"#: Sea ( )∗,G un %rupo cCclico. Entonces!

1" Si G tiene orden infinito entonces Z G ≈

0" Si G tiene orden finito entonces m Z G ≈

$emostración!

1" Sabemos que{ } Z k g g G k ∈== -

$efinimos un isomorfismo tal que!

( ) ( )

( )

k

g k k

G Z

=

∗→+

ϕ

ϕ

,,!

eamos que es 8omomorfismo!

( ) ( ) ( ) 52 0101 k k k k ϕ ϕ ϕ ∗=+

( ) ( ) ( )01010101 k k g g g k k

k k k k ϕ ϕ ϕ ∗=∗==+ +

&ue%o es 8omomorfismo.

eamos a8ora si es suprayectivo!

( ) 5-2 xk Z k G x =∈∃→∈∀ ϕ

;omo G es cCclico g G =

( )k g x Z k Z k g x k k ϕ ==∈∃⇒∈= -"

&ue%o es suprayectivo

eamos a8ora si es inyectivo!

2ϕ es inyectivo5 { } 5?"Ier2 =⇔ ϕ

{ }e g Z k k =∈= -"Ierϕ

Supon%amos que e*iste e g k k => -? . Eso implica que G es un %rupo finito de k

elementos, lo que es imposible

Supon%amos que e*iste ( ) e g ee g e g k k k k =⇒==⇒=< −−− 11

-? , lo que es imposible,

como ya 8emos visto, por ser G infinito.

Por tanto { }?"Ier =ϕ , y ϕ es inyectivo.

&ue%o efectivamente ϕ es un isomorfismo y Z G ≈

0" SimG =

, entonces

{ }e g g g g G mm == − ,,,, 10



$efinimos entonces un isomorfismo!

( ) ( )

[ ] [ ]( ) k

m

g k k

G Z

=

∗→+

ϕ

ϕ

,,!

que, como se puede comprobar, es efectivamente un isomorfismo. Por tanto m Z G ≈

COROLARIO: $os %rupos cCclicos del mismo orden son isomorfos.

TEOREMA: Sea ( )∗,G un %rupo y G x∈ ,n x =

. Entonces, si Z k ∈ , ?>k , se tiene que!

( )k n

n x k

,mcd=

$emostración!

Sea ( )∗,G un %rupo, G x∈ ,n x = , Z k ∈ , ?>k , ( )k nd ,mcd= , k d k ′= , nd n ′= ,

k x=α . Entonces!

( ) ee x x x x k k nnk d nk nk ===== ′′′′′′

Por tanto n′Kα

( ) ( )( ) α α α α α

K,mcdKKK nk nk nk d nd k ne xk ′⇒′′′′⇒′/′/⇒⇒=

L como n′Kα , α Kn′ , resulta que n′=α , lue%o d n=α

, que es lo que queriamos

demostrar.

OBSERVACIÓN: Si ( )∗,G es un %rupo cCclico finito, el teorema anterior nos da una formula para

calcular en orden de cualquier elemento de G

EJEMPLO:

( )+,m Z

[ ] m=1

[ ] [ ]( )m

m

./mcd1// =⋅=

1H

COROLARIO(Ca!a$%e!&'a$&" de /-) e"e!ad-!e) de *" !*,- $1$/&$-#: Sea ( )∗,G un %rupo

cCclico, g G =

. Entonces!

1" SimG =

entonces los %eneradores de G son% g , donde m% ≤≤1 y ( ) 1,mcd =m%

0" Si ∞=G entonces los %eneradores de G son g y1

− g

1H )en%ase en cuenta que el %rupo es aditivo



TEOREMA(Ca!a$%e!&'a$&" de /-) )*+!*,-) de *" !*,- $1$/&$-#: Sea ( )∗,G un %rupo cCclico,

g G =, y

nG =. Entonces los sub%rupos de G son!

k n

g , donde nk ≤≤1 y nk K

<dem:s, solo e*iste un sub%rupo por cada orden.

PROPOSICIÓN: Sea ( ) ( )0011 ,,! ∗→∗ GG f un 8omomorfismo de %rupos y 1G cCclico, g G =

.

Entonces para conocer f basta con conocer ( ) g f .

$emostración!

Sik

g xG x =⇒∈ , ?>k . Por tanto

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) k k k

k g f g f g f g g f g f x f =∗∗=

∗∗== 0011

TEOREMA: Sean ( )11 ,∗G , ( )00 ,∗G dos %rupos cCclicos, 11 g G = , 00 g G = . Entonces todos los

posibles isomorfismos entre 1G y 0G son todos los posibles 8omomorfismos entre 1G y 0G tales

que llevan un %enerador de 1G en otro de 0G .

Actividad Nro 6 (Rafael Garcia)

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