1 IntroductionL'acoustique architecturale s'intéresse aux problèmes acoustiques posés par l'art dubâtiment.

Elle traite en particulier des problèmes concernant la protection des locaux contre les bruitset les vibrations, et des conditions optimales d'émission et de réception des ondes sonoresdans un local.

On peut adopter trois approches complémentaires :

l’acoustique géométrique, où la propagation du son obéit aux mêmes lois que celle de lalumière en optique géométrique. Cette approche a évidemment ses limites, tout commel’optique géométrique. Pour qu’elle soit applicable, il faut que les longueurs d’onde soientplus petites que tous les obstacles rencontrés.

l’acoustique ondulatoire permet une approche plus rigoureuse des problèmes depropagation. Une salle est alors considérée comme un oscillateur à trois dimensions. Onpeut comprendre pour les salles parallélépipédiques la structure du champ acoustique,mais l’étude des salles de forme quelconque devient vite très complexe.

l’acoustique statistique conduit à la description du phénomène de réverbération, enfaisant appel au libre parcours moyen.

Chapitre 6 : notions d’acoustique architecturale

2 Phénomènes sonores dans une salle

Lorsqu’une source sonore émet un son, elle s’entoure d’un champ acoustique. Laperception du son est fonction des conditions d’écoute.

On parle de champ libre si les ondes acoustiques se propagent librement (pas ou peu deréflexion, on ne perçoit que le son direct).

Le champ libre plan (dont les fronts d’onde sont des plans) est le champ idéal pour toutesles expériences et mesures acoustiques.

En pratique, on peut considérer être en présence d’une onde plane si l’on se trouve à unedistance de quelques longueurs d’onde d’une source quelconque dont les dimensions sontpetites par rapport à la longueur d’onde.

On aura donc un champ libre plan si de plus les réflexions parasites des ondes sur lesparois du local sont éliminées (chambre sourde ou anéchoïque).

2.1 Introduction : champ libre et champ diffus

Champ libre

Dans une salle non anéchoïque, on n’est plus en présence d’un champ libre mais plutôt d’unchamp diffus (ou réverbéré) : c’est le champ acoustique formé par des ondes directes maisaussi les ondes réfléchies provenant de la réflexion sur les parois.

Les ondes arrivent donc de toutes les directions au point de mesure.

Ces réflexions entraînent une augmentation du chemin acoustique et donc un allongementde la durée de perception d’un son qui ne s’arrête pas en même temps que la source.

Cette prolongation temporelle est perçue comme une réverbération et est caractérisée parun temps de réverbération (TR).

Ce temps dépend essentiellement des caractéristiques du local d’écoute.

Comme les caractéristiques d’un local (notamment l’absorption) dépendent des fréquencesémises par la source, le temps de réverbération change avec la fréquence de la source (il estplus long dans les basses fréquences).

En fait, le champ acoustique dans une pièce normale ne ressemble ni au champ libre, ni auchamp réverbéré. Le temps de réverbération y est trop grand pour qu’un champ acoustiqueplan puisse se propager sans distorsion et trop court pour qu’un champ diffus puisseréellement s’installer. Ce champ a donc une structure complexe ; de plus, la présence de latête de l’observateur modifie aussi le champ.

Champ diffus

Remarque : plans proche et lointain

Si une source se trouve dans une salle normale, un auditeur va être soumis au son direct émispar la source (champ libre) et au son réverbéré provenant de réflexions multiples (champdiffus).

Le niveau d’intensité du champ libre diminue de 6 dB chaque fois que l’on double la distance,tandis que le niveau du champ diffus est constant, fixé par les caractéristiques géométriqueset d’absorption de la salle.

La proportion de l’un ou l’autre est donc fonction de la distance auditeur-source. Si l’auditeurest proche de la source, l’intensité du son direct sera plus importante que celle du sonréverbéré.

La mesure du niveau d’intensité sonore dans unesalle normale donne toujours le même genre derésultat : on perçoit d’abord le champ libre, et àpartir d’une certaine distance (dite critique), on entredans le champ réverbéré.La connaissance de cette distance critique estimportante, car elle conditionne le type d’écoute oude prise de son.

On parle de plan proche lorsque le champ direct est plus élevé que le champ réverbéré et deplan lointain si le champ réverbéré domine.

Lorsqu’une onde sonore se propage, elle subit un certain nombre de phénomènes dans l’airet sur les parois.

Lors de la propagation dans l’air, l’onde est soumise à :

une atténuation géométrique ; une atténuation par dissipation ;au phénomène de réfraction atmosphérique.

Lorsque l’onde rencontre une paroi,

une partie de l’énergie est réfléchieune partie de l’énergie est réfractéeune partie de l’énergie est absorbée.

Il peut aussi y avoir transmission d’une salle à l’autre (mais nous n’en parlerons pas dans cecours).

Des phénomènes de diffraction peuvent aussi avoir lieu : il s’agit de changements dedirection de l’onde provoqués par des obstacles. Une onde peut en effet dans certainesconditions contourner les obstacles.

Dans la suite de ce paragraphe, on s’intéresse aux phénomènes physiques qui altèrent le sondirect émis par la source ; l’étude du champ réverbéré fera l’objet des paragraphes 5 et 6.

Phénomènes de diffusion et d’absorption des ondes sonores

dans un espace clos

2.2 Variation du niveau d’intensité du son direct avec la distance à la source : atténuation

Le niveau sonore en intensité décroît à mesure que l’on s’éloigne de la source.

Deux phénomènes sont responsables de cette atténuation :

une atténuation géométrique, due au fait que l’énergie sonore est répartie sur unesurface d’onde de plus en plus grande, à mesure qu’on s’éloigne de la source.

Cette atténuation ne dépend pas de la fréquence.

une atténuation par dissipation atmosphérique, due au frottement des moléculescomposant l’air les unes sur les autres.

Cette atténuation dépend de la fréquence.

2.2.1 Atténuation géométrique du son direct

Par définition, le niveau d’intensité dans l’axe d’une source directive à une distance r de lasource vaut :

12

0

( ) ( )( ) 10 log 10log

10

axe axeI r I rL r

I−

= =

où l’intensité dans l’axe vaut:2

.( )

4axe

P QI r

rπ=

On trouve donc, pour le niveau du son direct :

Le terme 10log(P/10-12) intervient fréquemment dans les formules. Il correspond au niveaude puissance de la source (mesuré en dB) LP ou LW :

2

12( ) 10log 10log 10log(4 ) 10log

10

PL r Q rπ

−= + − −

1210log

10W

PL

−

=

On obtient donc, pour le niveau d’intensité L(r) à la distance r, l’expression :

( ) 11 20logWL r L r ID= − − +

où l’on a noté ID l’indice de directivité de la source : 10logID Q=

Comme annoncé, la fréquence n’intervient pas dans cette expression.

Si on double la distance par rapport à la source, le niveau d’intensité diminue donc de 6 dB ;en effet : (2 ) ( ) 20log 2 ( ) 6L r L r L r dB= − = −

De la même manière, on perd 20 dB chaque fois que la distance est multipliée par 10 ; eneffet :

(10 ) ( ) 20 log10 ( ) 20L r L r L r dB= − = −

Par exemple, calculons les niveaux d’intensitéd’une source de puissance LW à différentesdistances r de la source en fonction du niveau dela source à 1m.

En prenant par exemple comme référence unniveau de 80 dB à 1m, on peut tracer l’allure de ladécroissance du niveau en fonction de la distance ;cette courbe montre que le niveau d’intensitédécroît rapidement, puis de plus en plus lentementà mesure que l’on s’éloigne de la source. C’est lecaractère logarithmique du niveau qui expliquecette tendance.

2.2.2 Atténuation du son direct par dissipation atmosphérique

L’atténuation par dissipation augmente avec la fréquence (la perte d’énergie pardissipation est en fait proportionnelle au carré de la fréquence). C’est pourquoi à grandedistance d’une source, les sons graves sont davantage audibles que les sons aigus, plusvite dissipés.

Exemples :

Loin d’une ville, on entend surtout une rumeur de basse fréquence ;

Les vibrations de très basse fréquence produites lors des séismes voyagent sur desgrandes distances dans la croûte terrestre et peuvent être détectées à des milliers dekilomètres de leur épicentre ;

C’est également en raison de la faible dissipation des sons graves que certains animaux(comme les éléphants et les baleines) utilisent des infrasons (très basses fréquences)pour communiquer sur de longues distances.

2.2.2.a variation du phénomène de dissipation selon la fréquence

En vibrant sous l’action de l’onde sonore, les molécules composant l’air subissent desfrottements les unes contre les autres. Elles produisent ainsi de la chaleur. Il s’ensuit unedéperdition d’énergie, car l’énergie transformée en chaleur est à déduire de l’énergieacoustique émise par la source. L’atténuation du niveau sonore qui en résulte est appeléeatténuation par dissipation atmosphérique.

2.2.2.b variation du phénomène de dissipation selon le taux d’humidité et la température

L’atténuation par dissipation dépend aussi de l’humidité de l’atmosphère. Excepté pour desatmosphères très sèches et des basses températures, l’atténuation diminue si l’humiditéaugmente. C’est pourquoi les sons se propagent plus loin par temps humide que par tempssec. Lorsque les bruits lointains sont bien perçus (ville, voie ferrée, etc.), on peut endéduire que l’air est chargé d’humidité. L’effet de la température sur la dissipation est pluscomplexe.Les courbes suivantes donnent l’atténuation en fonction de la température et du degréd’humidité de l’air. Par exemple, à 4 000 Hz, pour une température de 20 °C et unehumidité relative de 30%, l’atténuation par dissipation est de ±50dB par km. Bien sûr,l’atténuation par dissipation s’ajoute à l’atténuation géométrique.

Atténuation totale (géométrique + absorption atmosphérique) par octave du son dans l’air enfonction de la distance parcourue et pour diverses bandes de fréquence. La droite supérieure(de pente 6 dB par doublement de distance) donne l’atténuation géométrique due à ladiffusion sphérique des ondes. La distance entre cette droite et l’une des courbes indique, pourcette distance, l’absorption moyenne dans l’octave, due à la viscosité et aux échangesmoléculaires dans l’air. Celle-ci varie avec la température et l’humidité : elle est donnée icipour 15°C et 50% d’humidité relative.

2.3 Réflexion spéculaire

Lorsqu’une onde sonore frappe une paroi, elle se comporte comme une balle frappant unmur tant que sa longueur d’onde est petite devant les dimensions de l’objet. Dans ce cas,l’onde sonore obéit à des lois analogues aux lois de l’optique géométrique (ou lois deDescartes).

On peut alors modéliser l’onde sonore par une droite (entre deux obstacles) que l’onappelle par analogie avec l’optique géométrique un « rayon sonore ».

Si on appelle angle d’incidence (noté i) l’angle de l’ondeincidente avec la perpendiculaire (ou normale) à la paroi etangle de réflexion (noté r) l’angle de l’onde réfléchie avec cettemême perpendiculaire, l’angle de réflexion est alors égal àl’angle d’incidence et on parle de réflexion spéculaire.

Comme en optique géométrique, l’acoustique géométrique ne permet pas de calculerl’intensité du faisceau réfléchi en fonction de l’intensité du faisceau incident (et d’évaluerainsi le facteur de réflexion d’une surface), mais l’acoustique ondulatoire comble cettelacune (cf. paragraphe 2.7).

2.3.1 Loi de la réflexion

r i=

Pour qu’une onde subisse une réflexion spéculaire, on admet que sa longueur d’onde doitêtre environ dix fois plus petite que les dimensions de l’obstacle (sinon, il y a plutôtdiffraction).

Par exemple, pour un panneau de 1m de côté, seuls les sons dont la longueur d’onde estinférieure à 10 cm (autrement dit les sons dont la fréquence est supérieure à 3 400 Hz)subiront une réflexion spéculaire.

Si une source S est placée contreune paroi et l’auditeur en un pointM (figure a), tout se passe enacoustique géométrique comme sile son réfléchi provenait d’unesource S’, appelée source image,qui est le symétrique de la source Spar rapport à la paroi. En traçant ladroite S’M, on trouve le point P dela paroi où se produit la réflexion.

Si l’ onde se réfléchit sur deux parois (figure b), on construit d’abord la source image S’(symétrique de S par rapport à la paroi 1), puis l’image S’’ de S’ (symétrique de S’ parrapport à la paroi 2). On trace alors les droites S’’M, pour obtenir le point P, puis PS’ pourobtenir le point Q. On peut alors tracer les rayons sonores qui vont de S à Q, puis de Q àP et enfin de P à M.

2.3.2 Applications de la réflexion spéculaire

le panneau réflecteur : puisqu’une onde sonore subit une réflexion spéculaire si salongueur d’onde est petite devant les dimensions de l’obstacle, pour un son complexe, lesharmoniques aigus sont davantage réfléchis que les harmoniques graves (qui contournentplutôt l’obstacle par diffraction). Si on place un panneau réflecteur dans une salle pourapporter des réflexions précoces, le timbre du son réfléchi est donc plus riche enharmoniques aigus que celui du son émis par la source. Pour réfléchir les basses fréquences,il faut utiliser un panneau de grande dimensions (plusieurs mètres).

la parabole : pour enregistrer une source sonore située àgrande distance, on peut utiliser un réflecteur parabolique,équipée d’un microphone placé en son foyer. Les sonsprovenant de la source (les hautes fréquences surtout) sontalors réfléchis en direction du microphone, tandis que les bassesfréquences la contournent par diffraction. La parabole focalisedes sons d’autant plus graves que son diamètre est grand (pourcouvrir tout le spectre audible, il faudrait une parabole de 9m dediamètre !).

Des cornets acoustiquesparaboliques étaient ainsi utiliséspendant la Première GuerreMondiale pour percevoir le bruitdes avions ennemis.

2.3.3 Somme d’un son direct et de sa réflexion : filtrage en peigne

Émettons un signal sinusoïdal de fréquence f à l’aide d’un haut-parleur A et émettons le mêmesignal à l’aide d’un haut-parleur B, de telle sorte que la pression acoustique produite parchaque haut-parleur soit identique à la surface de la membrane d’un microphone.

Si le signal émis par B est en opposition de phase par rapport au signal émis par A, lemicrophone délivrera une tension nulle (interférence destructive). Par contre, si les deuxsignaux sont en phase, le microphone délivrera une tension supérieure de 6 dB (interférenceconstructive) à la tension qu’il délivrerait en présence d’un seul des deux signaux.

En partant des deux signaux en phase,retardons de 0,1 ms le signal B avec l’aided’une ligne à retard, et regardons la réponseen sortie du microphone :

À certaines fréquences (2 kHz, 10 kHz, 18 kHz), des pics de 6 dB apparaissent, en raison desinterférences constructives des deux signaux ; entre ces pics (5 et 15 kHz) se trouvent descreux de profondeur théoriquement infinies (en pratique de -20 à -30 dB) qui résultentd’interférences destructives des deux signaux.

Si nous portons le retard à 0,5 ms, creux etpics se rapprochent, les pics apparaissent à 2kHz et tous les multiples de cette fréquence(c’est-à-dire pour tous les multiples pairs de 1kHz), les creux apparaissent à 1 kHz et pourtous les multiples impairs de 1 kHz.

Pour un retard de 1 ms, les picsapparaissent tous les multiples pairs de 0,5kHz et les creux tous les multiples impairsde 0,5 kHz.

Mathématiquement, si on ajoute une onde de fréquence f et le même signal, de mêmeamplitude, mais retardé d’une valeur ∆t, on obtient :

Les creux correspondent aux fréquences pour lesquelles le facteur cos(πf∆t) s’annule, c’est-à-dire :

où k est un entier.

( ) ( )( ) ( )

tot ( ) sin 2 . sin 2 .( )

2 cos sin 2

m m

m

p t p f t p f t t

p f t ft f t

π π

π π π

= + − ∆

= ∆ − ∆

2f t k

ππ π∆ = +

De manière générale, si ∆t est le retard en millisecondes et T la période du signal sonore, lafréquence f du premier creux vérifie la relation :

et la fréquence f du premier creux sera donc :

L’espacement entre les pics et les creux est donné par :

1

2 2

Tt

f∆ = =

1

2f

t=

∆

1f

t∆ =

∆

Ce phénomène est exactement celui qui se produit lorsqu’un son direct et le même sonréfléchi parviennent aux oreilles d’un auditeur, séparés par un laps de temps très court(quelques millisecondes).

La somme d’un signal et des réflexions proches de ce signal donne une réponse en fréquenceanalogue à celle que donnerait le filtrage de ce signal par un filtre en peigne.

Le signal d’origine est donc ainsi fortement coloré.

Remarquons que dans le cas de lasuperposition d’un son direct et de saréflexion, les amplitudes des deux sons nesont en général plus égales (puisque les deuxsons ont parcouru depuis la source desdistances différentes, et que du fait del’absorption des parois, l’amplitude du signalréfléchi est de toute manière inférieure à celledu signal direct), et il s’ensuit que les picsseront inférieurs aux 6 dB de la théorie et lescreux moins importants.

L’abaque ci-contre donne la hauteur des picset la profondeur des creux en fonction durapport de l’amplitude du signal réfléchi àcelle du signal direct.

2.4 Réflexion diffuse

Dans une salle, il est toujours souhaitable d’avoir une bonne diffusion des ondes sonores : lestests d’écoute montrent qu’une grande diffusion accentue l’impression de « baigner dans leson ». La diffusion est accentuée par les éléments architecturaux dissymétriques et irréguliers.Par exemple, dans les salles de concert dites « à l’italienne », les colonnades, statues etfioritures produisent un grand nombre de réflexions multiples qui accentuent la diffusion.

Il est également possible d’installer dans lasalle des panneaux diffuseurs, comme lesdiffuseurs de Schroeder, qui sont despanneaux composés de cellules deprofondeurs différentes. La manière dontl’onde sonore est diffusée dépend du nombrede cellules, de leur profondeur et de leurlargeur.

On parle de réflexion diffuse lorsque l’ondeincidente est réfléchie dans de multiples directions.La surface qui produit une telle réflexion estqualifiée de surface diffusante. En pratique, unesurface est diffusante si elle présente desirrégularités dont les dimensions sont du mêmeordre de grandeur ou plus grandes que la longueurd’onde de l’onde incidente.

2.5 Diffraction

Une onde sonore est diffractée lorsqu’en rencontrant un obstacle, sa direction change (ellecontourne donc l’obstacle).Ce phénomène se produit lorsque la longueur d’onde du son est grande devant lesdimensions de l’obstacle (la diffraction a donc lieu pour les basses fréquences, surtout).

Par exemple, si une onde émise en S rencontre un pan demur, elle peut atteindre la zone située derrière la paroi (lepoint M par exemple), en raison de la diffraction des ondessur le bord supérieur de la paroi.

Une onde sonore peut aussi être diffractée par uneouverture de petites dimensions (chaque point del’ouverture se comporte alors comme une sourceacoustique secondaire, cf. principe d’Huygens-Fresnel). Ànouveau, une onde sonore peut être reçue au point Msitué derrière l’obstacle.

Par exemple, un auditeur placé derrière un pilier entendramoins bien les sons aigus, car ils sont surtout réfléchis, queles sons graves qui lui parviennent en contournant le pilierpar diffraction (remarque, la lumière par contre esttotalement bloquée en raison de ses petites longueursd’onde).

Illustrations des phénomènes de réflexion et de diffraction en acoustique des salles

Effet d’ombre en présence ou non de diffraction

Les hautes fréquences (petites longueursd’onde) sont réfléchies, par l’obstacle :l’auditeur ne les percevra pas derrièrel’obstacle (dont la dimension estbeaucoup plus grande que la longueurd’onde) : effet d’ombre.

Les basses fréquences (grandeslongueurs d’onde) sont diffractées parles bords de l’obstacle (de mêmedimensions ou plus petits que lalongueur d’onde) : l’auditeur lespercevra, même derrière l’obstacle (lesondes de basses fréquences contournentl’obstacle). Il n’y a plus d’effet d’ombre.

Réflexions spéculaire et diffuse sur un mur en accordéon

Les basses fréquences (grandes longueurs d’onde)contournent par diffraction les parties inclinées etsubissent une réflexion spéculaire sur le mur (comme lalongueur d’onde, ici λ=3,4m est supérieure auxdimensions des parties inclinées de l’obstacle mais pluspetite ou égale à la dimension du mur).

Pour les fréquences moyennes, la diffraction sur lesparties inclinées ne joue quasi plus, et on a desréflexions spéculaires multiples sur ces surfaces inclinéeset sur la paroi du fond (comme λ=0,34m est comparableaux dimensions des surfaces inclinées de l’obstacle etplus petite que la dimension du mur) : il y a doncréflexion diffuse.

Pour les hautes fréquences (petites longueursd’onde), l’onde se réfléchit spéculairement sur lesparties inclinées de l’obstacle (comme λ=0,034m estinférieure aux dimensions des parties inclinées del’obstacle).

Autres illustrations : réflexion et diffraction des ondes sonores dans la nature

Les oiseaux des forêts tropicales, très denses, émettent des cris plus graves que lesoiseaux vivant au milieu d’une végétation plus clairsemée : ceci peut s’expliquer enremarquant que pour les hautes fréquences, les longueurs d’onde sont petites par rapportaux dimensions des feuilles, et elles sont donc réfléchies par celles-ci et ne peuvent pas sepropager très loin. Par contre, les basses fréquences contournent les feuilles par diffractionet se propagent donc mieux, plus loin, dans un milieu dense comme la forêt tropicale.

Les chauve-souris émettent des ultrasons pour localiser leur proie en fonction de l’échoréfléchi. Pour que l’onde incidente soit réfléchie par un petit obstacle, il faut que salongueur d’onde soit inférieure aux dimensions de l’obstacle. C’est la raison pour laquelleles chauve-souris émettent des ultrasons. Pour une fréquence de 100 kHz, soit unelongueur d’onde de 3,4mm, l’onde est réfléchie efficacement même par des obstacles del’ordre du centimètre.

2.6 Réfraction

Le phénomène de réflexion sonore sur une paroi est en général accompagné, comme pourles ondes lumineuses, d’un phénomène de transmission de l’onde au travers de l’obstacle :c’est le phénomène de réfraction.

Ce phénomène obéit en acoustique géométrique àla loi de Snell-Descartes :

où c1 et c2 correspondent aux célérités du son dansles deux milieux séparés par la paroi.

2

1 2

1 1sin sin

c cθ θ1 =

Remarque :

En optique, la loi de Snell-Descartes :

peut aussi se mettre sous la forme :

1 2 2sin sinn nθ θ1 =

2

1 2

sin sinc c

v vθ θ1 =

et tr

i i

ppR T

p p= =

Les coefficients de réflexion (ρ) et de transmission (τ), définis comme étant les carrés desfacteurs de réflexion et de transmission (ρ=R2 et τ=T2), mesurent les proportionsd’énergie acoustique réfléchie et transmise :

22

2 2 et t tr r

i i i i

p Ip I

p I p Iρ τ= = = =

On définit les facteurs de réflexion et de transmission R et T par les rapports :

2.7 Coefficients de réflexion et de transmission

Dans le cas où aucune énergie n’est perdue par absorption sur la paroi, on montre enacoustique ondulatoire que ces coefficients valent :

où Z1 et Z2 sont les impédances mécaniques des deux milieux séparés par la paroi(rappelons que l’impédance mécanique d’un milieu vaut Z=ρ.c).

( )( ) ( )

2

2 1 1 2 1 2 2

2 2

2 1 1 2 2 1 1 2

cos cos 4 cos cos et

cos cos cos cos

Z Z Z Z

Z Z Z Z

θ θ θ θρ τ

θ θ θ θ1

−= =

+ +

Dans le cas d’une incidence normale, ces équations se réduisent à :

( )( ) ( )

2

2 1 1 2

2 2

2 1 2 1

4 et

Z Z Z Z

Z Z Z Zρ τ

−= =

+ +

Ces formules montrent que :

quand Z1 et Z2 sont proches, le son est principalement réfracté et donc transmis

quand Z1 et Z2 sont très différents, le son est principalement réfléchi.

Dans le cas qui nous occupe ici, si le son provient d’un milieu 1 qui est l’air et se réfléchitsur une paroi solide, l’impédance du second milieu Z2 est beaucoup plus grande quecelle du premier milieu Z1 (car le milieu solide est plus dense, et le son s’y propage plusvite), et en conséquence le son n’est quasiment pas transmis (τ≈0) et le coefficient deréflexion vaut donc quasiment l’unité (ρ≈1).

Dans tous les cas, puisque Ii=It+Ir, (bilan d’énergie en l’absence d’absorption), cescoefficients vérifient bien sûr l’équation bilan :

ρ τ+ =1

2.8 Absorption

Lorsqu’une onde sonore rencontre une paroi, une partie de l’énergie est absorbée : c’est lephénomène d’absorption acoustique. Une certaine quantité d’énergie est transformée parles parois en énergie de vibration mécanique et donc en chaleur.

On distingue trois modes d’absorption :

absorption par des pores d’air compris dans un matériau (figure a, absorption parmatériaux poreux) absorption par un panneau placé à une certaine distance d’un mur (figure b, absorptionpar résonateur à membrane) absorption par l’air compris dans une cavité (figure c, absorption par résonateur de typeHelmholtz)

Selon le type d’absorption, l’énergie réverbérée dans la salle fait vibrer l’air compris dans lespores et les cavités résonantes.

Il en résulte des frottements, et donc une dissipation de l’énergie acoustique en chaleur. Ils’ensuit que le niveau sonore diminue dans la salle.

On définit le coefficient d’absorption α d’un matériau par le rapport :

énergie acoustique absorbée

énergie acoustique incidente

a

i

I

Iα = =

Comme les coefficients de réflexion (ρ) et de transmission (τ), le coefficient d’absorption estun nombre sans unité et compris entre 0 et 1. Il dépend du type de matériau et varie selon lafréquence de l’onde sonore et l’angle d’incidence de celle-ci.

On donne généralement dans les tables le coefficient en fonction de la fréquence, sanspréciser l’angle d’incidence : cela correspond au coefficient d’absorption moyen pour tous lesangles d’incidence, autrement dit pour le champ diffus.

Coefficients d’absorption en fonction de la fréquence pour quelques matériaux usuels

En présence d’absorption, l’équation bilan de conservation de l’énergie acoustique s’écrit :

L’équation bilan d’énergie en présence d’absorption devient :

ρ τ α+ + =1

i r t aI I I I= + +

2.8.1 Absorbants par porosité

La matière d’un matériau poreux contient de nombreux pores, plus ou moins ouverts versl’extérieur et reliés entre eux par des canaux très fins.

Lorsqu’une onde acoustique rencontre un tel matériau, une partie de l’énergie acoustique esttransformée en chaleur par les effets de viscosité et de résistance frictionnelle liés à laprésence des pores et des canaux.

Cette absorption de l’énergie acoustique est liée à l’impédance acoustique du matériau, dontdépend l’énergie acoustique réfléchie à la surface du matériau, et à sa viscosité en ce quiconcerne la partie de l’énergie acoustique transformée en chaleur.

En fait, pour que l’énergie acoustique réfléchie soit faible, il faut que l’impédance dumatériau soit proche de celle de l’air (ce qui est le cas s’il contient beaucoup d’air), mais alorssa viscosité interne est faible et la part d’énergie transformée en chaleur est faible.

absorption en fonction de la fréquence : pour un matériau poreux donné, à épaisseurconstante, le coefficient d’absorption croît avec la fréquence. Les aiguës sont donc plusfacilement absorbées que les graves. Cf. tableau précédent des coefficients d’absorption(moquette ou laine de verre).

absorption en fonction de l’épaisseur : pour un matériau poreux donné, à fréquenceconstante, le coefficient d’absorption croît avec l’épaisseur, et ce d’autant plus que lafréquence est basse. Il faut donc de grandes épaisseurs pour absorber les graves.

Tous les matériaux poreux possèdent des caractéristiques d’absorption communes :

Coefficient d’absorption d’un matériau poreux en fonction de son épaisseur

influence de la distance à la paroi réfléchissante : lorsqu’un matériau poreux est placé àune certaine distance d de la paroi réfléchissante, l’absorption de celui-ci va être maximalepour les ondes dont les ventres de vitesse coïncident avec la position du matériau, c’est-à-dire les ondes dont la longueur d’onde λ vérifie la relation :

l’énergie dissipée étant proportionnelle à la vitesse acoustique.Donc, les ondes de longueurs :

où n=2k+1 est impair seront très absorbées par le matériau.À l’inverse, les ondes de longueur égale à 4d/n avec n pair ne seront que peu absorbées.Cette absorption est donc très sélective et il faudrait disposer plusieurs matériaux poreux àdifférentes distances pour obtenir une absorption plus étendue.

( )2 14

d kλ

= +

4n

d

nλ =

Coefficient d’absorption de trois matériaux poreux différents situés à une

distance d d’une paroi rigide et réfléchissante

2.8.2 Absorbants de type résonateurs à membranes

Ce sont des panneaux perforés ou non, relativement légers, montés sur un cadrepériphérique fixé sur une paroi. Un volume hermétique est donc créé, entre le panneau et laparoi. Sous l’effet d’une onde acoustique incidente, le panneau vibre, par un effet de ressortprovenant de l’air contenu dans le volume hermétique, et l’énergie acoustique incidente setrouve ainsi transformée en énergie cinétique.

L’absorption est donc maximale à la fréquence de résonance du système ; dans la pratique,celle-ci est donnée en bonne approximation par la formule :

où ρs est la masse par unité de surface du panneau (en kg/m2), ρ0 la masse volumique dupanneau, b l’épaisseur du panneau (en m), et d la distance du panneau à la paroi (en m).

Dans le cas où le panneau est perforé, ρs peut être remplacé par la masse équivalente m’donnée par :

où b est l’épaisseur du panneau, ρ0 la masse volumique du panneau, et σ le pourcentage deperforation, égal à S1/S2 avec S1 surface d’une perforation et S2 la surface du panneau sansperforation.

0

60 60

. . .s

fd b dρ ρ

= =

0'b

mρσ

=

Courbe type du coefficient d’absorption d’un résonateur à membrane en fonction de la fréquence

Exemple :

Un panneau de contreplaqué, de masse surfacique ρS=5kg/m2, placé à 8cm du mur a pourfréquence propre :

Si la salle possède une résonance gênante à 130 Hz, il faut placer le panneau à une distance ddu mur telle que :

ce qui donne une distance de :

Une autre solution pour éliminer cette résonance en gardant le panneau à 8 cm du mur estde l’alléger ; une masse surfacique de 2,7 kg/m2 conviendrait.

0

6095Hz

5.0,08f = =

605.

130d =

4,3cmd =

2.8.3 Absorbants par résonateur du type Helmholtz

Le résonateur de Helmholtz est composé d’une cavité àparoi rigide qui communique avec l’air extérieur par uneouverture possédant un col.

L’air enfermé dans la cavité agit comme un ressort pour lesondes dont les longueurs d’onde sont grandes devant lesdimensions de la cavité, et l’air contenu dans le col commeune masse.

2

c Sf

lVπ=

où S est la surface de la section du col, l sa longueur et V le volume de la cavité.

En fait, le résonateur de Helmholtz a deux rôles : il absorbe une partie de l’énergie et enamplifie une autre partie.

À très faible distance du résonateur, il est possible d’entendre un son amplifié, mais dans lasalle, c’est le rôle absorbant qui prédomine.En effet, l’énergie qui fait vibrer le résonateur est prélevée sur l’énergie réverbérée de lasalle. Le résonateur émet de l’énergie, mais au total, il en absorbe plus qu’il n’en émet.L’absorption résulte du fait qu’une fraction de l’énergie est transformée en chaleur pardissipation sur les parois du goulot (ou dans le matériau poreux placé à l’intérieur durésonateur).

On se trouve en présence d’un dispositif masse-ressort, dont on peut calculer la fréquence derésonance par la formule :

α en fonction de log f pour les résonateurs

2.9 Absorption d’une surface et d’une salle

Considérons une salle dont les parois sont constituées de n surfaces recouvertes dematériaux différents (murs en bois, plancher en moquette, etc.). Appelons S1, S2, …, Sn lessurfaces de ces matériaux et α1, α2, …, αn leurs coefficients d’absorption respectifs. Onappelle absorption (en m2) de la surface Si de coefficient d’absorption αi la quantité Ai

définie par :.

i i iA S α=

L’absorption A d’une surface correspond donc à la surface S d’un matériau parfaitementabsorbant (α=1) qui absorberait autant d’énergie que cette surface.

L’absorption totale de la salle (mesurée en m2 elle aussi) est définie comme la somme desabsorptions de toutes les surfaces qui la composent :

1 1 1... ... . ... . ... .tot i n i i n nA A A A S S Sα α α= + + + + = + + + +

À nouveau, une salle qui possèderait une absorption de 100 m2 absorbera autantd’énergie que 100 m2 de matériau parfaitement absorbant.

On définit le coefficient d’absorption moyen d’une salle comme la moyenne arithmétiquedes différents coefficients d’absorption des surfaces pondérée par ces surfaces :

1 1 1 1

1

... ...

...

n n n nmoy

n tot

S S S S

S S S

α α α αα

+ + + += =

+ +

On peut donc écrire :

.tot tot moyA S α=

Le coefficient d’absorption d’une salle est un paramètre très important de l’acoustiquearchitecturale, puisqu’il permet de déterminer, avec la forme de la salle, son temps deréverbération (cf. paragraphes 5 et 6).

3 Réponses impulsionnelle et fréquentielle d’une salle

Lorsqu’un son très bref (c’est-à-dire une impulsion sonore) est émis par une source sonoredans une salle, l’onde se propage dans toutes les directions.Le premier front d’onde qui parvient en un point de réception s’appelle le son direct.La multitude d’ondes réfléchies par les parois de la salle constituent le son réverbéré.Le niveau de pression recueilli en un point donné de la salle en fonction du temps constituela réponse impulsionnelle de la salle.Le tracé du son direct et de la succession des réflexions constitue l’échogramme. Dans lapratique, on assimile souvent échogramme et réponse impulsionnelle.

3.1 définition de la réponse impulsionnelle

3.2 décomposition de la réponse impulsionnelle

La réponse impulsionnelle d’une salle peut se décomposer en trois parties : le son direct, lesréflexions précoces et le champ diffus.

La réponse impulsionnelle dépend de la position de la source et du récepteur dans la salle. Elleillustre la manière dont la salle modifie le son émis par la source et représente en quelquesorte la signature acoustique de la salle.

Connaissant la réponse impulsionnelle h(t) d’une salle, on peut en effet calculer (parconvolution) le son y(t) reçu par le récepteur en fonction du son x(t) émis par la source. Onpeut parfois ainsi simuler l’acoustique d’une salle de concert avant qu’elle ne soit construite.

Distribution temporelle schématique d’une impulsion sonore émise au temps t=0.

le son direct ne dépend que des caractéristiques de la source (puissance, directivité) et dela distance de la source au récepteur. La salle n’intervient pas.

Pour une source de puissance P et omnidirective, à la distance r de la source, l’intensité duson direct vaut :

on appelle réflexions précoces ou premières réflexions les réflexions qui parviennent aupoint de réception dans les 80 à 100 premières millisecondes qui suivent la réception du sondirect.

En fait, il n’existe pas de limite temporelle précise qui délimite les réflexions précoces duchamp diffus, mais on peut les distinguer des réflexions ultérieures car leur distributiontemporelle ne présente aucune régularité.

Les réflexions précoces dépendent des positions de la source et du récepteur, mais aussi de laconfiguration des parois.

au-delà d’un certain temps après l’arrivée du son direct, le récepteur reçoit le champ diffus, qui présente trois caractéristiques principales :

2( )4

PI rrπ

=

en un point donné, après l’extinctionde la source, l’intensité réverbéréedécroît au fil du temps de manièreexponentielle (la décroissance enniveau est donc linéaire). On appelletemps de réverbération TR la duréenécessaire pour que le son réverbérédécroisse de 60dB dans la salle aprèsextinction de la source.

le champ diffus est homogène dansla salle, son intensité eststatistiquement la même pour toutesles positions dans la salle (alors que lesréflexions précoces dépendent de laposition du récepteur dans la salle). Lesfigures ci-contre montrent cettedifférence qualitative.

le son diffus est chaotique : les deux oreilles reçoivent une multitude de réflexionsprovenant de toutes les directions, alors que le son direct et les réflexions précocesproviennent d’une direction précise.

Les caractéristiques du champ diffus sont :

Exemples de réponses impulsionnelles

Les différences sont surtoutvisibles dans les 50 à 100premiers millièmes desecondes qui suivent le sondirect (c’est-à-dire au niveaudes réflexions précoces).

Ainsi, les réflexions sont plusespacées en plafond hautqu’en plafond bas.

3.3 distribution temporelle des réflexions diffuses

3.3.1 Raisonnement énergétique

Considérons une source sonore dans une salle. On peutmentalement décomposer l’énergie émise en une multitude derayons sonores, qui partent de la source pour se réfléchir sur lesparois de la salle. La figure illustre le comportement d’un rayonsonore. Il parcourt une distance l1 avant de subir une premièreréflexion, puis une distance l2 avant d’en subir une seconde, etc.On appelle libre parcours moyen (noté lm) la distance moyenneparcourue par un rayon sonore entre deux réflexions sur lesparois (c’est donc la moyenne arithmétique de l1, l2, l3, etc.).

Pendant un temps t assez long, si le rayon subit N réflexions, le trajet moyen entre deuxréflexions vaut par définition :

.m

c tl

N=

où c désigne la célérité du son. On démontre en acoustique statistique (cf. le paragraphe5.2) que l’énergie reçue par seconde (c’est-à-dire la puissance notée P) par la surface totaledes parois S vaut :

. .

4

S cP

ε=

où ε est la densité d’énergie sonore volumique dans la salle. Le facteur 4 apparaissant danscette formule résulte d’une moyenne prise sur toutes les directions du rayon dans l’espace.

Le nombre moyen de réflexions par seconde n peut aussi être évalué facilement. En effet,le temps moyen tm entre deux réflexions vaut :

4

.

mm

l Vt

c c S= =

Pour effectuer une réflexion, le rayon met donc en moyenne 4V/cS secondes. En uneseconde, il subira donc cS/4V réflexions en moyenne. Le nombre moyen n de réflexionspar seconde vaut donc :

4

cSn

V=

Comme d’autre part, l’énergie totale frappant les parois pendant un temps t dans une sallede volume V lors des N réflexions vaut :

( )N

P Vt

ε= .

on trouve, en égalant les deux expressions, pour le libre parcours moyen :

4m

Vl

S=

3.3.2 Raisonnement géométrique

3.3 définition de la réponse fréquentielle

La réponse fréquentielle illustre la manière dont la salle accentue ou atténue les différentesfréquences émises par la source. Elle se représente par une courbe de niveau acoustique enfonction de la fréquence.

Comme la réponse impulsionnelle, la réponse fréquentielle correspond à une position donnéede la source et du récepteur dans la salle.

Mathématiquement, la réponse fréquentielle et la réponse impulsionnelle s’obtiennent l’uneau départ de l’autre par la transformation de Fourier.

Chaque pic de la réponse fréquentielle correspond à une fréquence (ou mode) propre de lasalle.

Les fréquences propres sont les fréquences de vibration naturelles de la salle : ellescorrespondent aux fréquences pour lesquelles peuvent exister des ondes stationnairesacoustiques dans la salle. Comme un oscillateur forcé, la salle peut donc entrer enrésonance pour ces fréquences d’excitation particulières.

Contrairement à un système mécanique simple, il existe de très nombreuses fréquencespropres pour une salle donnée.

Dans le cas d’une forme de salle simple (un parallélépipède par exemple), ces fréquencespeuvent être calculées théoriquement. Sur le plan pratique, on peut également obtenir lesfréquences propres d’une salle en calculant la transformée de Fourier de la réponseimpulsionnelle mesurée dans la salle.

Dans une salle de concert, il faut toujours veiller à atténuer les résonances, pour empêcherl’apparition d’hétérogénéités du son (ventres et nœuds de vibration caractéristiques del’onde stationnaire).

3.4 Calcul des fréquences propres d’une salle parallélépipédique

Pour simplifier, considérons tout d’abord les ondes stationnaires à une dimension quipeuvent s’établir entre les deux parois parallèles d’une salle parfaitement réfléchissante.

Comme nous l’avons vu dans le chapitre 1, les fréquences propres, donnant lieu à uneonde stationnaire, sont multiples d’une fréquence de base

1 /(2 ) où L est la distance entre les paroisf c L=

Les longueurs d’onde des ondes stationnaires possibles sont donc données par :

1 2 32 , , 2 / 3, ..., 2 / ou encore .2

nn

L L L L n L nλλ λ λ λ= = = = =

2 1 3 1 12 , 3 , ..., 2

n

cf f f f f nf n

L= = = =c’est-à-dire :

Ces formules se retrouvent aisément à l’aide des graphiques suivants :

Pour une salle parallélépipédique de dimensionsl × L × h dont les parois seraient rigides etparfaitement réfléchissantes, chaque couple deparois parallèles possède ses propres fréquencespropres, données par :

x

y

z

n x

n y x y z

n z

direction Ox: f =n .c/(2l)

direction Oy: f =n .c/(2L) où n , n et n sont des nombres entiers quelconques

direction Oz: f =n .c/(2h)

Ces modes de vibrations vont pouvoir se combiner entre eux pour donner des modespropres caractéristiques de l’ensemble de la salle :

Chaque sommet de coordonnées(nx,ny,nz) du réseau dont la maille estformée des vecteurs (c/2l,0,0),(0,c/2L,0), (0,0,c/2h) correspond à unefréquence propre de vibration de lasalle valant :

( ) ( ) ( )22 2

, , / / /2x y zn n n x y z

cf n l n L n h= + +

C’est la formule de Rayleigh.

Exemples de fréquencespropres pour quatre sallesparallélépipédiques.

On classe les fréquences propres d’une salle en trois catégories :

les fréquences propres axiales : ce sont les fréquences propres correspondant aux paires deparois parallèles ; elles ont donc deux de leur trois coefficients nuls. Les nœuds et les ventresde l’onde stationnaire sont alors répartis sur une ligne (figure a).

les fréquences propres tangentielles : il s’agit des modes de vibration pour lesquels un seuldes coefficients est nul ; dans ce cas, les nœuds et les ventres de l’onde stationnaire sontrépartis sur un plan (figure b).

les fréquences propres obliques : il s’agit de modes de vibration pour lesquels aucun descoefficients n’est nul ; dans ce cas, les nœuds et les ventres se répartissent dans l’espace(figure c).

On peut montrer que les modes propresaxiaux transportent deux fois plusd’énergie que les tangentielles et celles-cideux fois plus d’énergie que les obliques,d’où l’énorme importance des modesaxiaux.

3.5 dénombrement des fréquences propres d’un local parallélépipédique

Par un comptage géométrique direct des nœuds du réseau des fréquences, il est possibled’évaluer le nombre N(f) de fréquences propres inférieures ou égale à une fréquencepropre f fixée. La formule permettant d’évaluer ce nombre est connue sous le nom deformule de Maa (1939) :

3 24

( )3 4 8

tLf f f

N f V Sc c c

π π = + +

où V est le volume de la salle (V=l.L.h), S est la surface totale des parois de la salle(S=2.(l.L+L.h+l.h)) et Lt est la longueur totale des arêtes de la salle (Lt=4.(l+L+h)).

Par exemple, une salle numéro 1, de 2 × 3 × 2,5 (m) a un volume de 15m3, une surfacetotale de 37m2 et une longueur totale de 30m, et possède donc N(1000)=1861fréquences propres comprises entre 0 et 1000 Hz (avec c=340 m/s).

En dérivant la formule de Maa par rapport à la fréquence, on peut aussi connaître ladensité de fréquences propres à une fréquence donnée, c’est-à-dire le nombre defréquences propres comprises dans un intervalle de 1 Hz centré sur f : on obtient :

2

3 2

4( )

2 8

tLV SdN f f f

c c c

π π= + +

Par exemple, pour une salle numéro 2, de 10 × 20 × 8 (m), V vaut 1600 m3, S vaut 880m2 et Lt vaut 152m, donc on a une densité de mode dN(1000)=523,6 etN(1000)=176553.

Ces formules nous montrent que :

Pour une fréquence donnée f, le nombre des fréquences propres N(f) comprises entre 0 etf est proportionnel, en première approximation au volume de la salle et au cube de cettefréquence.

La densité de fréquences propres est proportionnelle au volume de la salle et au carré dela fréquence.

Illustration : coloration du son dans les petites salles

Si un musicien joue de la contrebasse par exemple, dans la salle numéro 1 (petite salle), sanote aura une grande probabilité de tomber entre deux fréquences propres (et peu dechance de tomber près de l’une d’elles), les fréquences propres comprises entre 0 et 100 Hzétant peu nombreuses (N(100)=5 contre N(100)=235 dans la salle numéro 2). Cette noteparaîtra pauvre par rapport à une autre note grave coïncidant justement avec une fréquencepropre de la salle, qui elle excitera la salle. Celle-ci apparaîtra donc « colorée » dans cettepetite salle

Le même musicien jouant dans la salle 2 (grande salle), une note aura moins de chance detomber sur une fréquence propre isolée. Il y a tellement de fréquences propres graves quetoute note émise sera modifiée de la même manière par la salle. Une grande salle necolorera donc pas quelques sons dans le grave, comme le fait une petite salle.

4 Champ acoustique diffus et énergie réverbérée, théorie de Sabine

4.1 Les trois phases du son réverbéré : définitions des phases et du temps de réverbération

Nous allons étudier l’intensité réverbérée dans une salle, et plus particulièrement sonévolution en fonction des caractéristiques de la salle et de la source acoustique. Nousnous placerons dans le cadre de la théorie de Sabine, qui considère que le son réverbéréest statistiquement homogène dans la salle.

Si on allume à t=0 un haut-parleur dans une salle, et que l’on maintient la puissanceémise par le haut-parleur constante pendant un certain temps, avant de le couper autemps t1, trois phases sont alors discernables dans le son réverbéré:

la phase d’établissement du sonréverbéré, pendant laquellel’intensité de celui-ci augmenteprogressivement ; la phase stationnaire du sonréverbéré, où l’intensité réverbéréereste constante ; la phase d’extinction du sonréverbéré, pendant laquellel’intensité du son réverbéré diminueprogressivement jusqu’à devenirinaudible.

On appelle temps de réverbération ou durée de réverbération (noté TR) le temps mis par leson réverbéré pour décroître de 60 dB après extinction de la source.

Croissance et décroissance de l’énergie sonore dans une salle

4.2 les expériences et les lois théoriques de Sabine

Sabine n’avait à sa disposition que des tuyaux d’orgue comme source sonore et qu’unchronomètre comme moyen de mesure. Il mesurait des durées de réverbération. Il fit sesexpériences dans des salles très réverbérantes, ce qui lui permettait de mieux mesurer lesdurées de réverbération.

Il constata :

que la durée de réverbération était la même en tout point de la salle, ce qui l’amena àconclure que l’énergie sonore du champ réverbéré était uniformément répartie dans lasalle.

que la durée de réverbération n’était pas fonction uniquement de la salle mais aussi dela puissance de la source (un coup de pistolet dure plus longtemps qu’un claquement demains) ; il étudia donc l’influence de la puissance de la source, en utilisant un seul tuyaud’orgue, puis deux, puis quatre. Il observa que la durée de la réverbération augmentait dumême temps lorsqu’il passait de un à deux tuyaux, puis de deux à quatre tuyaux. Il endéduisit que la perte d’énergie acoustique instantanée par absorption sur les parois estproportionnelle à l’énergie sonore incidente instantanée.

4.2.1 loi expérimentale d’extinction du son réverbéré dans une salle

. .R Rd k dtε ε= −

En d’autres termes, et en posant τ=1/k :

R

R

d dtεε τ

= −

La constante de proportionnalité τ a donc les dimensions d’une durée ; elle porte le nomde constante de temps de la salle et est à ce stade indéterminée dans la théorie (mais ellepeut déjà se mesurer pour chaque salle).

Mathématiquement , on peut résumer les constatations de Sabine concernant la phased’extinction du son réverbéré par une formule expérimentale : pendant un temps dt, laperte de densité d’énergie sonore par absorption dεR est proportionnelle à la durée dt, à ladensité d’énergie sonore incidente εR :

Soit εR(t) la densité volumique d’énergie acoustique dans le champ réverbéré.

Cette équation a pour solution une exponentielle décroissante : ( )1

1

0( ) .t t

Rt e τε ε

− −=

où ε0 désigne la densité d’énergie en champ réverbéré à l’instant t1 où l’on coupe la source.

( , )

1

4R R

r

dW dVdθ

επ

= Ω∫∫

avec : 2 ( )dV r rd drπ θ=

En effet, fixons une petite surface dS quelconque. Lanormale à cette surface permet de repérer desdirections θ et de découper le volume de la salle enune succession de tores, situés à une distance r de lasurface dS, et de rayons rsinθ. Sur un temps dt, lasurface peut recevoir de l’énergie en provenance destores situés à une distance inférieure ou égale àrmax=c.dt. L’énergie reçue dWR par la surface dSpendant un temps dt, émise par un élément de volumedV qui est une partie d’un tore de rayon rsinθ vaut :

Lorsque la source est éteinte, si εR(t) est la densité d’énergie sonore réverbérée instantanée,l’énergie dWR reçue par une surface dS (sur un front d’onde ou sur une paroi) pendant untemps dt vaut :

. .

4

RR

c dSdW dt

ε=

Considérons, dans le cadre de la théorie de Sabine, un champ acoustique où l’énergie estrépartie uniformément (avec une densité d’énergie volumique εR(t)).

4.2.2 énergie réverbérée et intensité réverbérée

On trouve donc :

max

2

( , ) ( , )

2max

00

2 sin cossin cos

4 2

. . .sin cos

2 4 4

R RR

r r

r

R R R

r rd drdS dSdW d dr

r

dS dS dS c dtdr d r

θ θ

π

ε π θ θ θ εθ θ θ

π

ε ε εθ θ θ

= =

= = =

∫∫ ∫∫

∫ ∫

.1

4

R RR

dW cPI

dS dS dt

ε= = =

Par conséquent l’intensité sonore réverbérée instantanée IR(t) (c’est-à-dire la puissancesonore qui transite par unité de surface perpendiculaire à la direction de propagation del’onde) vaut :

L’intensité mesurée en champ réverbéré est donc le quart de l’intensité mesurée en champdirect pour une même densité d’énergie volumique.

L’intensité en champ direct vaut en effet : .DI cε=

et où dΩ est l’angle solide élémentaire sous lequel l’élément de surface dV voit la surface dS, qui vaut par définition :

2

.cosdSd

r

θΩ =

On peut établir la loi d’extinction du son réverbéré et obtenir la valeur de la constante detemps τ de la salle par un raisonnement de type bilan d’énergie.

4.2.3 loi théorique d’extinction du son réverbéré et détermination théorique de la constantede temps τ de la salle

En effet, par définition du coefficient d’absorption α, la densité d’énergie dWA absorbée parun élément de paroi dS pendant un laps de temps dt vaut :

A RdW dWα= .

Sur un laps de temps dt, l’énergie sonore réverbérée perdue dans la salle vaut V.dεR(t) et estcomplètement absorbée par les parois, et on peut donc écrire le bilan :

0 . ( ) R AV d t Wε= +

et où A est l’absorption totale de la salle.

A

. . .où W = . .

4 4

R RA

S S

c c AdW dt dS dt

ε εα= =∫ ∫

. .. 0

4

R Rd c AV

dt

ε ε+ =

Cette équation a pour solution une exponentielle décroissante :

( )1

.

40( ) .

A ct t

VR

t eε ε− −

=

Par dérivation de cette formule théorique, on retrouve la loi expérimentale de Sabine :

Mais l’avantage du raisonnement théorique est que l’on trouve aussi la valeur de laconstante de temps τ de la salle en fonction de son volume, de son absorption et de lacélérité du son :

4

.

V

A cτ =

.

4R R

A cd dt

Vε ε= −

En divisant cette équation par dt, on obtient l’équation différentielle décrivant l’évolution de la densité d’énergie en champ réverbéré εR(t):

où ε0 désigne la densité d’énergie en champ réverbéré à l’instant t1 où l’on coupe la source.

où t1 représente l’instant où l’on coupe la source et I0 l’intensité du son réverbéré aumoment où l’on coupe la source.

Le raisonnement précédent montre que l’intensité du son réverbéré dans une sallependant la phase d’extinction du son réverbéré vaut :

1 1( ) ( )

00

( ).( )

4 4

t t t t

RR

ct cI t e I eτ τεε − −

− −= = =

La loi d’extinction du son réverbéré permet d’établir une relation entre la constante detemps de la salle et le temps de réverbération TR ; en effet, si l’intensité sonore décroît deI1 à I2 pendant l’intervalle de temps t2-t1, on peut écrire, en appliquant la loi d’extinction :

2 2 1

1

lnI t t

I τ −

= − et donc : 2 1

1

2

( )

ln

t tI

I

τ −=

Si l’on s’intéresse au TR, qui est le temps nécessaire pour que le niveau d’intensité baissede 60 dB, I1 et I2 sont tels que :

61

2

10I

I=

En effet, on a bien alors :

61 2 11 2

0 0 2

10log 10log 10log 10log10 60 dBI I I

L LI I I

− = − = = =

On en déduit donc :

6ln10 6ln10 13,8

TR TR TRτ = = =

4.2.4 relation entre temps de réverbération et constante de temps τ d’une salle

4.2.5 loi théorique d’établissement du son réverbéré dans une salle

Considérons une source de puissance constante P qui rayonne dans une salle de volume Và partir de l’instant t=0. Si εR(t) est la densité d’énergie sonore réverbérée instantanée, ladensité d’énergie dWR reçue par une surface dS pendant un temps dt vaut :

Et par conséquent l’intensité sonore instantanée IR(t) (c’est-à-dire la puissance sonore quitransite par unité de surface perpendiculaire à la direction de propagation de l’onde) vaut :

D’autre part, la densité d’énergie dWA absorbée par un élément de paroi dS pendant unlaps de temps dt vaut :

Pendant un laps de temps dt, une partie de l’énergie rayonnée par la source (valant autotal P.dt) sert à augmenter l’énergie du champ diffus d’une quantité V.dεR(t) tandis qu’uneautre partie de l’énergie rayonnée est absorbée par les parois (WA) ; on peut donc écrirel’équation bilan :

. .

4

RR

c dSdW dt

ε=

( ).1( )

4

R RR

dW t cPI t

dS dS dt

ε= = =

A RdW dWα= .

. ( ) R APdt V d t Wε= +. . .

avec . . .4 4

R RA A

SS

c c AW dW dt dS dt

ε εα= = =∫ ∫

qui s’intègre directement pour donner :

. .

44

( ) 1.

A c t

VR

Pt e

A cε

− = −

L’intensité du champ réverbéré IR(t) pendant la phase d’établissement vaut donc :

. .

4( ) ( ) 1 14

A c t t

VR R

c P PI t t e e

A Aτε

− − = = − = −

où on a posé comme d’habitude :4

.

V

A cτ =

Cette équation devient donc, en divisant par dt :

. ..

4

R Rd c AP V

dt

ε ε= +

4.2.6 Phase stationnaire du son réverbéré

À la fin de la phase d’établissement du son réverbéré dans la salle, on voit que IR(t) tendvers une constante :

( )R

PI t

A→ +∞ =

Cette constante constitue évidemment aussi la valeur de départ de l’intensité sonorepour le son qui s’éteint ensuite, quand la source est éteinte, par conséquent, on peutidentifier I0 à P/A :

0

PI

A=

4.2.7 formules de Sabine, résumé

Pendant la phase d’établissement du son réverbéré, l’intensité réverbérée vaut donc :

Lors du régime stationnaire, l’intensité réverbérée vaut :

Pendant la phase d’extinction du son réverbéré, l’intensité réverbérée vaut :

1

( )

t t

r

PI t e

Aτ−

−=

( ) 1t

r

PI t e

Aτ

− = −

( )r

PI t

A=

avec la valeur suivante de la constante de temps de la salle : 4

.

V

A cτ =

Cette constante mesure la rapidité de la réponse de la salle, c’est-à-dire la rapiditéd’établissement et d’extinction du son réverbéré. La formule montre que τ augmente si levolume de la salle augmente, ou si son absorption diminue. Autrement dit, plus une salleest grande et/ou réverbérée, plus le son réverbéré met de temps à s’installer et àdisparaître.

Remarques :

Sur ces expressions, l’intensité réverbérée ne dépend pas de la position dans la salle : lechamp réverbéré est donc théoriquement uniforme.

En pratique, ce n’est pas rigoureusement exact : il peut y avoir des ondes stationnaires parexemple, et l’intensité réverbérée est généralement plus forte contre les parois.

Le facteur de directivité Q de la source n’intervient pas non plus dans l’expression del’intensité réverbérée : en fait, la directivité de la source joue un rôle dans le son direct,mais le son réverbéré résulte d’une multitude de réflexions en provenance de toutes lesdirections, et le mélange des ondes est tel que la directivité originelle de la source estquasiment sans effet.

4.3.1 Niveaux d’intensité et de pression du son direct et du son réverbéré

Pour le son direct, l’intensité peut s’exprimer en fonction de la pression par la relation :2 2

400

d dd

p pI

cρ0

= =

Pour le son réverbéré, la relation entre intensité et pression est différente :2 2

4 1600

r rr

p pI

cρ0

= =

La raison de cette différence est que le son réverbéré est à peu près 4 fois moins efficaceque le son direct pour déplacer une surface donnée (tympan, membrane de microphone),car le champ direct provient d’une seule direction (celle de la source) tandis que le champréverbéré provient de toutes les directions).

4.3 Niveaux en régime stationnaire du son réverbéré et du son direct dans le modèle de Sabine

La phase d’établissement du son réverbéré présente un moindre intérêt dans la pratique.Nous revenons donc à présent sur la phase stationnaire (paragraphe 4.3), utile pour lecalcul des niveaux sonores, et la phase d’extinction (paragraphe 4.4), qui permet d’évaluerle temps de réverbération et les critères de qualité de la salle.

Pour le son direct, comme l’intensité Id à une distance r d’une source de puissance P etde facteur de directivité Q vaut :

24d

PQI

rπ=

les niveaux en pression et en intensité valent :

et :

donc finalement :

, 12

0

10log 10log 11 20log 10log10

d dI d w

I IL L r Q

I−

= = = − − +

où LW désigne le niveau de puissance de la source, qui vaut par définition :

12

0

10log 10log10

W

P PL

P−

= =

Les niveaux du son direct en intensité et en pression sont donc égaux.

2

, ,5 10 10

0

40020log 20log 10log 10log

2.10 4.10 4.10

d d d dp d I d

p p p IL L

p− − −

= = = = =

, 11 20log 10logp d wL L r Q= − − +

Pour le son réverbéré, l’intensité réverbérée vaut :

et le niveau d’intensité réverbérée vaut :

, 12 12

0

10log 10log 10log 10log10 .10

r rI r W

I I PL L A

I A− −= = = = −

et le niveau de pression réverbérée vaut :

, 5

0

20log 20log2.10

r rp r

p pL

p−

= =

Cette fois, pour le son réverbéré, les niveaux d’intensité et de pression ne sont pas égaux.

En effet :2 2

, 12 12 10

2

,5 5

10log 10log 10log 10log 410 1600.10 4.10

10log 6 20log 6 62.10 2.10

r r rI r

r rp r

I p pL

p pL dB

− − −

− −

= = = −

= − = − = −

rPI

A=

Pour le son réverbéré, il y a donc une différence de 6dB entre le niveau d’intensité et leniveau de pression.

Lorsqu’on parle du niveau réverbéré sans préciser, c’est du niveau de pression réverbéréqu’il s’agit. C’est lui en effet qui est mesuré par les sonomètres.

Le niveau d’intensité réverbéré est essentiellement un intermédiaire de calcul (par exemple,si l’on souhaite connaître le niveau produit par plusieurs sources, puisque ce sont lesintensités qui s’additionnent).

En conclusion :

, , 6 10log 6p r I r W

L L dB L A dB= + = − +

où on a noté ID l’indice de directivité de la source ID=10log Q.

Intensités, niveaux d’intensité et de pression pour le son direct et le son réverbéré

4.3.2 Niveau de pression total (son direct et son réverbéré)

Par définition, le niveau de pression total vaut :

, 5

0

20log 20log2.10

tot totp tot

p pL

p−

= =

Comme le son direct et le son réverbéré ne sont pas corrélés, il faut additionner lespressions quadratiques (cf. chapitre 1, acoustique physique):

2 2 2

tot d rp p p= +

On obtient donc pour le niveau de pression total :

2 2 2 2

, 5 5 10 1020log 10log 10log 10log

2.10 2.10 4.10 4.10

tot tot tot d rp tot

p p p p pL

− − − −

+ = = = =

On peut éliminer dans l’expression du niveau total les pressions au profit des intensités àl’aide des relations :

2 2 2 2

0 0 0 0

, et 400 4 1600

d d r rd r

p p p pI I

c cρ ρ= = = =

On obtient ainsi :

, 10

400 160010log

4.10

d rp tot

I IL

−

+ =

Pour faire apparaître les caractéristiques de la source et de la salle, on peut utiliser ensuiteles formules des intensités :

2

., et

4d r

P Q PI I

r Aπ= =

On obtient alors :

, 10 2 10

12 2 12

400 . 160010log

4.10 .4 4.10 .

. 410log

10 .4 10 .

p tot

P Q PL

r A

P Q P

r A

π

π

− −

− −

= +

= +

Factorisons la quantité P :

, 12 2 12 2

4 410log . 10log 10log

10 4 10 4p tot

P Q P QL

r A r Aπ π− −

= + = + +

où l’on a introduit comme d’habitude le niveau de puissance de la source LW :

1210log

10W

PL

−=

loin de la source, le terme correspondant au son direct (Q/4πr2) devient très petitpar rapport au terme relatif au son réverbéré (4/A) si bien qu’on peut le négliger. Onretrouve alors la formule du son réverbéré seul :

à l’inverse, à faible distance de la source, c’est le son direct qui prédomine, et leterme (4/A) est faible par rapport au terme (Q/4πr2). On retrouve alors l’expression duson direct seul :

, 10log 6p tot WL L A= − +

, 11 20logp tot WL L r ID= − − +

, 2

410log

4p tot W

QL L

r Aπ = + +

On trouve donc finalement pour le niveau de pression total :

4.3.3 Rapport Dir/rev

On appelle rapport entre son direct et son réverbéré, en un point donné de la salle, ladifférence de niveau entre le son direct et le son réverbéré.

On le note Dir/rev et il s’exprime en dB :

p,d p,rDir/rev=L -L

En termes des pressions acoustiques du son direct et du son réverbéré, il vaut donc :

d r

-5 -5

2

p pDir/rev=20log 20log

2.10 2.10

20log

10log

d

r

d

r

p

p

p

p

−

=

=

4.3.3.a Définition et calcul

4.3.3.b Expression de Dir/rev en fonction de la salle et de la source

On peut calculer comme d’habitude les pressions des sons direct et réverbéré en utilisantles formules :

2 2 2 2

2

0 0 0 0

P.Q= , et

400 4 r 4 1600

d d r rd r

p p p p PI I

c c Aρ π ρ= = = = =

On obtient ainsi :

2

A.QDir/rev=10log

16 rπ

On remarque que le rapport Dir/rev ne dépend pas de la puissance de la source.

Pour accroître le rapport Dir/rev, il faut utiliser l’une des méthodes suivantes :

soit se rapprocher de la source,soit augmenter l’absorption de la salle,soit augmenter la directivité de la source.

Ce rapport change bien sûr après prise de son ; on le note alors Dir/rev*

4.3.4 Distance critique

On appelle distance critique d’une salle (pour une source donnée) la distance rc, mesuréepar rapport à la source, pour laquelle le niveau direct est égal au niveau réverbéré.

Mathématiquement, c’est donc la distance rc, telle que :

, ,( ) ( )p d c p r cL r L r=

Le niveau du son direct diminue avec ladistance (selon la formule Lp,d(r)=LW-11-20logr+ID), tandis que le niveau du sonréverbéré est constant (car Lp,r=LW-10logA+6).

La figure ci-contre montre l’allure de lavariation de ces niveaux en fonction de ladistance à la source (l’abscisse représentele logarithme de la distance, et ladécroissance de Lp,d(r) est donc linéaire).

En deçà de la distance critique (r<rc), le niveau direct est supérieur au niveau réverbéré(Lp,d(rc)>Lp,r(rc)), et au-delà de celle-ci (r>rc), le niveau réverbéré est supérieur au niveaudirect (Lp,d(rc)<Lp,r(rc)).

4.3.4.a Définition

4.3.4.b Calcul de la distance critique dans le modèle de Sabine

l’égalité des niveaux de pression à la distance critique Lp,d(rc)=Lp,r(rc) implique l’égalité despressions pd=pr et donc de leurs carrés pd

2=pr2.

En utilisant les expressions des carrés des pressions :

Comme les niveaux de pression des sons direct et réverbéré valent :

, ,5 5

0 0

20log 20log , et 20 log 20log 2.10 2.10

d d r rp d p r

p p p pL L

p p− −

= = = =

2 2

2

400 . 1600, et

4d r

P Q Pp p

r Aπ= =

on peut écrire :

2

400 . 1600

4 c

P Q P

r Aπ=

ce qui donne, après résolution :

16 50c

AQ AQr

π= ≈

On observe sur cette formule que :

Le rayon critique dépend de la fréquence : c’est normal, puisque l’absorption endépend.

Mais comme le rapport Dir/rev, le rayon critique ne dépend pas de la puissance de lasource.

Par exemple, une salle de dimensions 10 × 15 × 10 m3, et de coefficient d’absorptionmoyen αm=0,5 possède une surface totale S de 800 m2, une absorption A de 400 m2 et ladistance critique vaut donc rc=√(400/50)=2,8m.

4.4 Phase d’extinction du son réverbéré : niveau et temps de réverbération dans le modèle de Sabine

4.4.1 Linéarité de la décroissance temporelle de niveau

Nous avons vu que l’intensité réverbérée décroît de manière exponentielle au cours du temps :

1

( )

t t

r

PI t e

Aτ−

−=

Si on calcule la décroissance temporelle du niveau sonore en un point de la salle, on trouveune décroissance linéaire (la courbe de décroissance du niveau réverbéré est une droite).Pour le montrer, il suffit de calculer le niveau réverbéré à partir de l’intensité :

, 12

0

( ) ( )( ) 10 log 10log 10log

10

t

r rI r

I t I t PL t e at b

I Aτ

−

−

= = = = +

Remarque : on ne tient pas compte des réflexions précoces qui n’obéissent pas à la loi dedécroissance exponentielle.

4.4.2 Temps de réverbération, définitions et méthodes de calcul

4.4.2.a définition

Le temps de réverbération (TR) est le temps mis par le son pour décroître de 60 dB dans lasalle après extinction de la source.

En pratique, pour mesurer le TR, il n’est pas nécessaire de mesurer le temps réellementmis par l’énergie réverbérée pour décroître de 60 dB. En raison de la linéarité de ladécroissance, on peut se contenter de mesurer par exemple la décroissance dans les 100premières millisecondes, et en déduire, par extrapolation, le temps correspondant à unedécroissance de 60dB. Par exemple, si le son réverbéré décroît de 15 dB en 100 ms, il luifaudra 0,4s pour décroître de 60dB.

4.4.2.b formule de Sabine

De nombreuses formules permettent de calculer le TR en fonction des caractéristiques de lasalle.

La plus utilisée est la formule de Sabine, établie au début du XXe siècle. Si V est le volumede la salle (en m3), A son absorption (en m2), le temps de réverbération TR vaut :

Cette formule ne semble pas homogène à première vue, mais elle l’est car le facteurnumérique 0,16 est dimensionné.

Le TR se mesure en secondes, et il dépend de la fréquence (comme l’absorption A endépend aussi).

La formule de Sabine dérive directement des relations :

0,16.VTR

A=

4V.13,8 et =

A.cTR τ τ=

4.4.2.c Validité de la formule de Sabine

Si le coefficient d’absorption est très faible (α→0), l’absorption de la salle tend vers unevaleur nulle (A→0), et le TR tend vers une très grande valeur (TR→∞), ce quieffectivement le cas dans une salle très absorbante. La formule de Sabine est doncadaptée aux salles de faibles absorptions.

À l’inverse, si la salle est très absorbante, le coefficient d’absorption tend vers 1 (α→1).Dans ce cas, A tend vers S (A→S), et le TR tend vers la valeur de 0,16V/S, ce qui n’est paslogique (il devrait tendre vers zéro, puisque la salle absorbe toute l’énergie sonore).

Ce résultat révèle les imperfections de la théorie de Sabine, qui est fondée sur l’hypothèsed’un champ réverbéré uniformément réparti dans la salle. Or, pour que cela soit exact, ilfaut que la salle soit suffisamment réfléchissante. C’est pourquoi la formule de Sabinedonne des résultats d’autant moins valides que la salle est absorbante.

En pratique, on utilise la formule de Sabine lorsque le coefficient d’absorption moyen de lasalle est inférieur à 0,2.

Pour les salles plus absorbantes, il est préférable de calculer le TR en utilisant la formuled’Eyring (cf. paragraphe 6).

4.4.3 Rôle de l’absorption dans l’air

L’énergie réverbérée est absorbée lorsqu’elle frappe les parois de la salle, mais aussi lors deson parcours dans l’air. La raison de cette dernière absorption est l’atténuation pardissipation (cf. paragraphe 3.2.2). On peut exprimer les effets de cette atténuation enajoutant à l’absorption A des parois de la salle une absorption supplémentaire A’.

Celle-ci peut se modéliser par la formule :1,7

0,1'

1000

V fA

h

=

dans laquelle :

V est le volume de la salle (en m3); h est le taux d’humidité de l’air ; dans la formule, h est exprimé en % (si le taux d’humiditéde l’air vaut 10%, h=10) et la formule est valable pour 20<h<70. f est la fréquence du son.

L’inhomogénéité apparente de la formule s’explique de la même manière que pourl’expression du TR.

Cette formule montre que A’ augmente si f augmente (l’atténuation par dissipation est plusforte pour les hautes fréquences) ou si h diminue (les sons se propagent donc plus loin partemps humide que par temps sec, par exemple, les bruits lointains sont bien perçus lorsquel’air est chargé d’humidité).

Si A désigne l’absorption de la salle (en m2), le TR devient donc :

0,16

'

VTR

A A=

+

Exemple :

Soit une salle de dimensions 30 × 25 × 15 m3, de coefficient d’absorption moyen α et où letaux d’humidité vaut h=50 % (ordre de grandeur usuel). Alors, V=11250 m3, S=3150 m2 etA=945 m2.

Sans tenir compte de l’absorption dans l’air, la formule de Sabine donne un TR de 1,9s pourtoutes les fréquences.

En tenant compte de l’absorption dans l’air, les valeurs du TR sont :

On voit que l’effet de l’absorption par l’air se manifeste essentiellement au-delà de 1 000 Hz.C’est pourquoi dans une salle, la réverbération est toujours plus élevée pour les bassesfréquences.

4.4.4 Durée de réverbération optimale

La durée de réverbération optimale est celle qui, pour un volume de local donné, n’altère pasla modulation et le cas échéant, la complète utilement, et parfois esthétiquement.

Suivant les cas, cette durée peut être courte pour des modulations contenant des élémentsbrefs, détachés, comme la parole, le clavecin ou la guitare) ou très longue (notes tenues,nécessitant une synthèse ou un légato, comme l’orgue, l’orchestre symphonique, la chorale).

Il existe des abaques indiquant la durée de réverbération optimale en fonction du volume dela salle et de son utilisation.

Durée de réverbération optimale en fonction du volume

4.4.5 Variation du temps de réverbération en fonction de la fréquence

On considère comme naturel une salle dont le temps de réverbération est plus long auxfréquences graves et plus court aux fréquences aiguës, car la majorité des lieux répond àcette exigence.

Les différences de temps de réverbération entre graves et aiguës sont d’autant plusimportantes que le volume est grand (en raison de l’absorption de l’air aux fréquencesaiguës).

Allures réelles du temps de réverbération en fonction de la fréquence, pour quelques lieux vides

On constate dans les cathédrales gothiques que le temps de réverbération diminue dans leregistre grave.Ceci est dû à l’absorption produite par les chapelles latérales, absidioles, etc. qui constituentautant de pièges à sons et diffuseurs, car leurs dimensions sont du même ordre de grandeurque les longueurs d’onde du registre considéré.

4.4.6 dérivation directe de la formule de Sabine

Appelons L0 le niveau réverbéré dans la salle avant l’extinction de la source et L(TR) le niveauau bout du temps TR. Par définition du temps de réverbération, on a :

0 ( ) 60L L TR dB− =

Avant d’éteindre la source, l’intensité réverbérée vaut :r

PI

A=

Le niveau en intensité L0 est alors :

0 12 12

0

10log 10log 10log 10log10 .10

r rW

I I PL L A

I A− −

= = = = −

Après l’extinction de la source (qui se produit à l’instant t1), l’intensité réverbérée décroîtselon une loi exponentielle :

1

( )

t t

r

PI t e

Aτ−

−=

ce qui fait qu’au bout d’un temps TR après l’extinction de la source, l’intensité réverbéréevaut :

1( )TR

r

PI t t TR e

Aτ

−= + =

Or, par définition du temps de réverbération TR, on a :

0 ( ) 60L L TR dB− =ce qui permet d’écrire :

10 460, donc 6. .ln10 6. .ln10

ln10 .

TR VTR

A cτ

τ= = =

En remplaçant c par sa valeur numérique (340 m/s) et ln10=2,3, on trouve finalement :

qui est bien la formule de Sabine.

0,16.VTR

A=

Le niveau réverbéré au bout d’un temps TR vaut donc :

012

0

( ) .( ) 10log 10log 10log

.10

TRTR

rI TR P eL TR L e

I A

ττ

−−

−

= = = +

ou encore, en remplaçant le logarithme décimal par un logarithme népérien(logx=lnx/ln10 ) :

0 0

ln10

( ) 10ln10 ln10

TR

eTR

L TR L L

τ

τ

− = + = −

4.5 Application : effet du public sur le temps de réverbération

Considérons une salle de dimensions L=25 × l=15 × h=10 m. Lorsque la salle est vide, le TRpar bandes de fréquences vaut :

La salle est destinée à produire des concerts de musique symphonique (TR approprié del’ordre de 1,6s). Les valeurs de TR de la salle vide sont donc trop élevées, mais il se pourraitqu’en présence de public, elles deviennent acceptables.

Voici les coefficients d’absorption d’une assistance moyenne :

La salle a pour volume V=3 750 m3 et pour surface totale S=1 550 m2. La surface du planchervaut Sp=375 m2.

On va supposer que lorsque la salle est occupée, le public recouvre toute la surface au sol etque le volume de la salle n’a pas changé par la présence du public. On va aussi supposer quele plancher possède un coefficient d’absorption égal au coefficient d’absorption moyen de lasalle.

Calculons d’abord, pour chaque bande de fréquences, l’absorption As et le coefficientd’absorption moyen αs de la salle sans le public.

Notons que comme αs est faible, l’utilisation de la théorie de Sabine est justifiée.

Pour calculer le TR de la salle occupée, il faut calculer son absorption, que l’on appelleraAocc.

Pour cela, il faut, à partir de As, retrancher l’absorption du plancher nu (sans le public), puisajouter celle du plancher recouvert par le public.

Appelons A1 l’absorption du plancher sans le public :

Soient αp le coefficient d’absorption du public et Ap l’absorption du plancher recouvert depublic, on a donc :

1 375. sA α=

375.p pA α=

Sans le public, l’absorption de la salle vaut :

Avec le public, elle devient :

On obtient ainsi les valeurs suivantes, pour chaque bande de fréquences :

1550.s sA α=

( )11550. 1550. 375 .occ s p s s pA A Aα α α α= − + = − −

Le temps de réverbération est donc considérablement réduit par la présence du public. Savaleur moyenne est de l’ordre de 1,7s, ce qui peut être considéré comme satisfaisant (le faitque le TR est plus élevé aux basses fréquences est même bénéfique pour la qualité de lasalle).

5 Energie acoustique réverbérée, théorie d’Eyring

Comme la formule de Sabine donne des résultats incohérents lorsque la salle est tropabsorbante, on utilise pour calculer le TR une autre formule, proposée par Eyring en 1930.Cette formule est aussi fondée sur un certain nombre d’hypothèses, et elle ne s’appliquedonc pas à toutes les situations.

La méthode de Sabine est une approche statistique qui suppose que l’énergie réverbérée estuniformément répartie dans la salle. Or, pour que l’énergie ait le temps de se distribuerrégulièrement dans la salle, il faut que l’absorption soit faible.

Le modèle d’Eyring est fondé sur une approche microscopique.

Plutôt que de considérer que l’énergie réverbérée est absorbée de la même manière danstoute la salle, la méthode d’Eyring consiste à suivre le parcours d’un rayon sonore à travers lasalle et à calculer l’énergie absorbée lors de chaque réflexion.

5.1 Présentation

La formule du temps de réverbération TRe d’Eyring est alors :

e

0,16

ln(1 )

VTR

S α= −

−

Si l’absorption de la salle est très faible (α→0), comme α>0, on a que ln(1-α)→0 tout enrestant négatif. Cela implique que TRe→+∞, comme dans la formule de Sabine, ce qui estcohérent.

Si l’absorption est très forte (α→1), ln(1-α) →-∞ et donc TRe→0, ce qui est logique, puisquesi la salle absorbe toute l’énergie réverbérée, le TR est nécessairement nul.

5.2 Formule d’Eyring

5.3 comparaison sur un exemple des modèles de Sabine et d’Eyring

Pour une salle de dimensions 25 × 15 × 10 m3, on a alors un volume V= 3750 m3 et unesurface S=1550 m2. Pour chaque coefficient d’absorption α, on peut calculer le TR par lesdeux formules :

On voit que la formule de Sabine surestime le temps de réverbération, et ce d’autant plus quel’absorption est forte.

Si le coefficient d’absorption moyen est inférieur à 0,2, on peut se contenter de la formule deSabine.

Pour les fortes absorptions, seule la formule d’Eyring donne des résultats acceptables.

5.4 établissement de la formule d’Eyring

La théorie d’Eyring consiste à suivre un rayon sonore lors de son trajet dans la salle.

Appelons E0 l’énergie d’un rayon sonore, et α le coefficient d’absorption moyen des parois.

Au cours de la première réflexion, une fraction α de l’énergie initiale est absorbée, et on perddonc une énergie αE0.

Après cette première réflexion, il reste donc une quantité d’énergie : 0 0 0(1 )E E Eα α− = −

Lors de la deuxième réflexion, une fraction α de l’énergie restante est absorbée, c’est-à-direune quantité d’énergie :

0(1 )Eα α−

Après la deuxième réflexion, il reste donc une énergie :2

0 0 0(1 ) (1 ) (1 )E E Eα α α α− − − = −

En poursuivant le raisonnement, on peut dire qu’après N réflexions, il reste une énergie :

0 (1 )NE α−

Si n est le nombre de réflexions par secondes, après un temps t, il s’est produit N=n.tréflexions et il reste donc une énergie :

.

0 (1 )n tE α−

En particulier, après un temps TR, l’énergie restante vaut : .

0 (1 )n TRE α−

avec :.

0

12

0

(1 )( )( ) 10 log 10log

10

n TR

rEI TR

L TRI

α−

−= =

et : 00 12

10log10

EL −=

On trouve donc finalement l’équation : .10log(1 ) 60n TRα− = −

ou encore, en éliminant le logarithme décimal au profit d’un logarithme népérien (en utilisantlogx=lnx/ln10 ) :

.ln(1 ) 6ln10n TRα− = −

Autrement dit :

. .ln(1 ) 13,8nTR α− ≈ −

En se rappelant que le nombre moyen de réflexions par seconde n vaut :

.

4.

c Sn

V=

on obtient finalement la formule d’Eyring : 13,8.4. 0,16.

. .ln(1 ) ln(1 )

V VTR

c S Sα α− −

= =− −

Jusqu’ici, on a considéré un seul rayon sonore, mais on peut faire le même raisonnement avectous les rayons sonores de la salle.

0 ( ) 60L L TR dB− =

Appelons L0 le niveau à l’instant où l’on coupe la source et L(TR) le niveau après un temps TR.

Par définition du TR, on a :

5.5 calcul de l’intensité réverbérée et du niveau de pression en phase stationnaire dans lemodèle d’Eyring

On part de la relation :RP P n Vα α ε= +

qui exprime que la puissance totale de la source P est la somme de la puissance perdue aucours de la première réflexion et de la puissance dissipée au cours des n réflexions suivantes(avec n =cS/4V)

On tire donc, pour la densité d’énergie du champ réverbéré εR:

(1 ) 4 (1 ) 4 (1 ) 4R

P V P PP

Sc c cn V V S

α α αε

α α α− − −

= = = =R

où l’on a posé :1

Sαα

R=-

L’intensité réverbérée vaut donc :

Cette relation est tout à fait analogue à celle donnant l’intensité du son réverbéré en phasestationnaire dans le modèle de Sabine, mais le coefficientR a remplacé l’absorption A.

4

Rr

c PI

ε= =

R

Comme la pression réverbérée est liée à l’énergie réverbérée par l’équation :

2 2

0 0 0 0

4 (1 ) 44r r R

Pp cI c c P c

S

αρ ρ ε ρ ρ

α−

= = = =R

on trouve pour le niveau en pression :

2

, 5 5

0

2

0

10 10 10

12 12

20log 20log 10log2.10 2.10

4 160010log 10log 10log

4.10 4.10 4.10

410log 10log 10log 4 10log

10 10

6 10log

r r rp r

r

W

p p pL

p

P cp P

P P

L

ρ

− −

− − −

− −

= = =

= = =

= = + −

+ −

R R

RR

= R

À nouveau, on trouve une formule identique à celle obtenue dans le modèle de Sabine,en substituant le facteurR à l’absorption A de la salle.

5.6 Autres formules dans la théorie d’Eyring

Dans la théorie d’Eyring, on définit une grandeur appelée absorption équivalente d’Eyring(notée R et se mesurant comme A en m2) et valant :

S.=

1-

αα

R

De manière générale, on obtient dans le modèle d’Eyring les mêmes formules que cellesobtenues dans la théorie de Sabine, à condition de remplacer partout A parR.

Par exemple, l’intensité réverbérée vaut :

Le niveau de pression réverbérée vaut :

où LW désigne comme d’habitude le niveau de puissance :

Le niveau de pression total vaut :

Et la distance critique vaut :

r

PI =

R

, 6 10logp r WL L= + − R

, 2

410log

4p tot W

QL L

rπ = + + R

16 50C

Q Qr

π= ≈

R R

1210log

10W

PL

−=

6 Exercices

1. On désire traiter une salle afin de réduire son temps de réverbération, en utilisant unmatériau absorbant, de coefficient d’absorption αm inconnu. Pour évaluer ce coefficient,on pose une surface de 5m2 du matériau à plat sur le plancher d’une salle réverbérante,de dimensions 8 × 6 × 5 m. Lorsque la salle réverbérante est vide, son TR est de 4,5s.Lorsque le matériau est posé sur le sol, le TR passe à 3,1s.

Quelle formule pour les TR faut-il utiliser, justifiez. Déduisez la valeur de αm. (Rép. : 0,82). La salle que l’on souhaite traiter est destinée à accueillir des conférences. Sesdimensions sont 15 × 12 × 7m et son TR est de 4s. Sachant que cette salle doit posséderun TR de 0,8s pour que la voix parlée y soit suffisamment intelligible, déterminer lasurface de matériau absorbant à y placer. (Rép. : 216 m2).

2. Une salle possède un volume de 750 m3 et la somme des surfaces internes est de 550 m2.Les murs sont constitués d’un bois dont le coefficient d’absorption vaut αmat=0,15. Un desmurs est orné d’une draperie en coton de dimensions 6 × 4 m et de coefficientd’absorption αp=0,7. Le propriétaire souhaite enlever la draperie mais voudrait auparavantsavoir si cela aura des conséquences sur l’acoustique de la salle.

Calculer le TR en supposant la draperie ôtée. (Rép. : 1,45s). Calculer le taux de variation du TR, et sachant que le seuil relatif de discrimination duTR (plus petite variation perceptible) est de l’ordre de 4%, en déduire si l’absence dedraperie modifie la réverbération perçue (Rép. : 16%, oui).

3. Une source omnidirective de puissance 1 mW est placée dans une salle. On mesure alorsdans cette salle un niveau réverbéré de 75 dB. En supposant que l’absorption estsuffisamment faible pour pouvoir utiliser la théorie de Sabine,

Calculer l’absorption de la salle. (Rép. : 126 m2). Déduisez-en la distance critique. (Rép. : 1,6 m). A quelle distance maximum faut-il se placer pour que le rapport Dir/Rev restesupérieur à -15dB ? (Rép. : 8,9 m).

4. On organise un congrès dans une salle de dimensions 30 × 20 × 10 m dont le TR vaut1,2s. Les orateurs sont amplifiés à l’aide d’un haut-parleur. Quel doit être le niveau de puissance de ce haut-parleur pour qu’il produise un niveauréverbéré de 70 dB ? (Rép. : 93 dB dans la théorie de Sabine et 94 dB dans la théoried’Eyring).

Si le facteur de directivité du haut-parleur est Q=2, quel niveau doit-il produire à 1m enchamp libre ? (Rép. : 85 dB). Les conférences sont retransmises dans une salle voisine, de dimensions 12 × 6 × 3 met de TR=0,7s. Calculer le niveau de puissance à donner au haut-parleur placé dans cettesalle pour que le niveau réverbéré y soit de 70 dB (on suppose que le haut-parleurpossède un facteur de directivité Q=2). Déduisez-en le niveau que ce haut-parleur doitproduire à 1m en champ libre. (Rép. : 81 dB, 73 dB).