ACHWERK SYSTEMBERECHNUNGEN UND QUERSCHNITTS … · 2014-12-17 · Fachwerk und insbesondere der...

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Rolf Kindmann Henning Uphoff FE-FACHWERK SYSTEMBERECHNUNGEN UND QUERSCHNITTS- NACHWEISE FÜR EBENE FACHWERKTRÄGER Entwurf vom 05.06.2014 Veröffentlichung des Lehrstuhls für Stahl-, Holz- und Leichtbau Univ.-Prof. Dr.-Ing. R. Kindmann

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Rolf Kindmann

Henning Uphoff

FE-FACHWERK

SYSTEMBERECHNUNGEN UND QUERSCHNITTS-NACHWEISE FÜR EBENE FACHWERKTRÄGER

Entwurf vom 05.06.2014

Veröffentlichung des Lehrstuhls für Stahl-, Holz- und Leichtbau Univ.-Prof. Dr.-Ing. R. Kindmann

Herausgeber: Univ.-Prof. Dr.-Ing. R. Kindmann Lehrstuhl für Stahl-, Holz- und Leichtbau Fakultät für Bau- und Umweltingenieurwissenschaften Ruhr-Universität Bochum Universitätsstr. 150 D-44801 Bochum Tel.-Nr.: +49 (0)234/32-22575 Fax-Nr.: +49 (0)234/32-14646 E-Mail: [email protected] http://www.rub.de/stahlbau

2014 Lehrstuhl für Stahl-, Holz- und Leichtbau, Ruhr-Universität Bochum

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Inhaltsverzeichnis

1 Leistungsumfang 1

2 Grundlagen 2

3 Eingabe 3

3.1 Vorbemerkung 3

3.2 Standardfachwerksysteme 3

3.3 System- und Berechnungsparameter 4

4 Ausgabe 8

5 Berechnungsbeispiel 10

5.1 Vorbemerkung 10

5.2 Fachwerkträger 10

Literatur 20

1 Leistungsumfang

Das Programm FE-Fachwerk ist ein leistungsfähiges FE-Programm zur Berechnung

ebener Fachwerkträger. Das Programm ermöglicht die Ermittlung von Schnittgrößen

und Verformungen nach Theorie I. Ordnung für ebene Fachwerkträger sowie den

Nachweis der plastischen Querschnittstragfähigkeit aller Stäbe des Fachwerksystems.

Der Leistungsumfang des Programms lässt sich wie folgt zusammenfassen:

Modellierung ebener Fachwerkträger auf Grundlage von fünf Basissystemen

Berechnungen von Verformungen und Schnittgrößen nach der

Elastizitätstheorie I. Ordnung

Nachweis der plastischen Querschnittstragfähigkeit für alle Stäbe des Systems

mit Standardquerschnitten

Das Programm bietet somit eine einfache und übersichtliche Möglichkeit

Schnittgrößen für gängige Fachwerkträgerkonstruktionen zu ermitteln und

gleichzeitig die ausreichende Querschnittstragfähigkeit nach der Plastizitätstheorie

nachzuweisen.

Besonders hervorgehoben sei an dieser Stelle das Buch „Finite-Elemente-Methoden

im Stahlbau“ [2] von Rolf Kindmann und Matthias Kraus. Es enthält eine komplette

und umfangreiche Darstellung der im Folgenden kurz behandelten theoretischen

Hintergründe und enthält zahlreiche weitere Beispiele.

FE-Fachwerk ist in Visual Basic programmiert. Als Programmoberfläche dient

Microsoft Excel.

2 Grundlagen 2

2 Grundlagen

Bei dem Programm FE-Fachwerk handelt es sich im Wesentlichen um eine

Modifikation des RUBSTAHL-Programms FE-Rahmen, das die Berechnung ebener

Stabwerksysteme ermöglicht. In FE-Fachwerk werden neben Biegeträgern, die die

Wirkung der Schnittgrößen N, My und Vz ermöglichen, Fachwerkstäbe

berücksichtigt, die ausschließlich durch eine Normalkraft N beansprucht werden.

Weitere Informationen u den Berechnungsgrundlagen können den Erläuterungen zu

FE-Rahmen [6] entnommen werden.

Neben der Berechnung von Schnittgrößen und Verformungen ebener Fachwerkträger

nach der Elastizitätstheorie I. Ordnung wird die Querschnittstragfähigkeit aller Stäbe

des Systems nach der Plastizitätstheorie nachgewiesen. Der Nachweis der plastischen

Querschnittstragfähigkeit erfolgt mit dem Teilschnittgrößenverfahren (TSV) nach

Kindmann/Frickel [1].

3.1 Vorbemerkung 3

3 Eingabe

3.1 Vorbemerkung

Als Programmoberfläche dient MS-Excel. Nach der Wahl des

Standardfachwerksystems erfolgt die Eingabe aller Berechnungsparameter in der

jeweiligen Eingabemaske. Zur Eingabe der Querschnittswerte öffnen sich

automatisch weitere Tabellenblätter. Als Maßeinheit der Eingabewerte müssen kN

und cm verwendet werden.

3.2 Standardfachwerksysteme

Es besteht die Möglichkeit zwischen fünf vorgegebenen Standardfachwerksystemen

zu wählen, s. Bild 3.1. Die Fachwerksysteme werden nach Eingabe weniger

Berechnungsparameter automatisch modelliert, s. Kapitel 3.3. Die fünf zur

Verfügung stehenden Standardsysteme decken die baupraktisch relevanten, ebenen

Fachwerkträgersysteme ab. Eine schrittweise Eingabe komplexer Fachwerkstrukturen

entfällt somit und die Systemeingabe wird stark abgekürzt.

Bild 3.1 Eingabemaske FE-Fachwerk: Standardfachwerksysteme

3 Eingabe 4

3.3 System- und Berechnungsparameter

Die Eingabe der System- und Berechnungsparameter wird hier am Beispiel eines

Fachwerkträgers vom Typ1, s. Bild 3.1, veranschaulicht. Die Eingabe der System-

parameter für die weiteren vier im Programm enthaltenen Standardsysteme erfolgt

analog.

Bild 3.2 zeigt einen Teil der Eingabemaske von FE-Fachwerk. In den Zeilen

„Projekt“ und „Kommentar“ besteht die Möglichkeit die durchgeführte Berechnung

kurz zu beschreiben.

Bild 3.2 Eingabemaske FE-Fachwerk: Fachwerksystem Typ1

Beschreibung des Fachwerks

Durch die Vorgabe des Standardfachwerksystems ist zur vollständigen System-

eingabe nur die Eingabe weniger Systemparameter nötig. Neben der Gesamtlänge des

Trägers können durch die Eingabe der Höhen im First sowie an den Rändern Fach-

werkträger mit parallelen Gurten, einseitig geneigte Träger oder Satteldachträger

erzeugt werden.

3.3 System- und Berechnungsparameter 5

Durch die Vorgabe der Anzahl an Untergurtstäben werden die Fachwerkknoten auto-

matisch gesetzt. Es muss stets eine gerade Anzahl an Untergurtstäben gewählt werden

und die Anzahl ist programmintern auf maximal 10 Stäbe begrenzt.

Die Gurtstäbe können entweder als Fachwerkstäbe oder als durchlaufende Biege-

träger modelliert werden. Wird die Option „durchlaufender Untergurt“ bzw. „durch-

laufender Obergurt“ gewählt, nehmen die Gurtstäbe neben einer Normalkraft N noch

die Schnittgrößen My und Vz auf. So können beispielsweise Lasten berücksichtigt

werden, die abweichend von der Fachwerktheorie nicht in den Knoten des Fachwerks

angreifen.

Zur visuellen Überprüfung der geometrischen Modellierung des Fachwerkträgers

kann mit dem Button „Systemskizze“ eine Darstellung des Fachwerkträgers

angezeigt werden.

Allgemeine Angaben

Mit den Parametern E-Modul, Schubmodul und Streckgrenze fy,k ist das verwendet

Material zur Berechnung der Schnittgrößen nach der Elastizitätstheorie sowie für den

Nachweis der Querschnittstragfähigkeit ausreichend beschrieben. Für den Quer-

schnittsnachweis ist zusätzlich der anzuwendende Teilsicherheitsbeiwert M gemäß

Normengrundlage anzugeben.

Querschnitswerte

Die Wahl der Querschnittswerte erfolgt separat für die Untergurtstäbe (UG), die

Obergurtstäbe (OG), die Diagonalstäbe (D) und ggf. die vertikalen Pfosten (V).

Bild 3.3 Eingabemaske FE-Fachwerk: Querschnittswerte

3 Eingabe 6

Die Querschnittswerte werden entweder vollständig vorgegeben (Typ1), es wird ein

Zwei- bzw. Dreiblechquerschnitt gewählt (Typ2) oder es werden Standardwalzprofile

bzw. gleichwertig geschweißte Profile aus einer umfangreichen Datenbibliothek

gewählt (Typ3). Verfahrensbedingt ist für Querschnitte vom Typ1 der Nachweis der

plastischen Querschnittstragfähigkeit mittels Teilschnittgrößenverfahren nicht

möglich. Weitere Informationen zur Eingabe der Querschnitte sowie den drei

Querschnittstypen können Kapitel 3.6 FE-Rahmen [6] entnommen werden.

Belastung

Bild 3.4 zeigt die Tabellen zur Eingabe der Belastungen, die auf den Fachwerkträger

wirken. Es können sowohl Knotenlasten als auch Gleichstreckenlasten am Unter-

oder Obergurt angegeben werden. Die Eingabe der Lasten erfolgt gemäß dem in

Bild 3.2 dargestellten globalen Koordinatensystems, wobei Gleichstreckenlasten stets

über die gesamte Stablänge wirken.

Bild 3.4 Eingabemaske FE-Fachwerk: Lasteingabe

3.3 System- und Berechnungsparameter 7

Wirken Belastungen an allen Knoten bzw. Stäben des Gurtes, kann die Eingabe

abgekürzt werden, indem die Belastungen in die erste Zeile („alle“) der jeweiligen

Tabellen eingetragen werden. Wirken Belastungen auf einzelnen Knoten oder Stäbe

so muss die jeweilige Nummer des Knotens bzw. Stabes angegeben werden. Die

Knoten und Stäbe des Untergurtes sind mit 1 beginnend von links nach rechts durch-

nummeriert. Das Selbe gilt für die Obergurtknoten und -stäbe.

Start der Berechnung

Mit dem Button „Fachwerk berechnen“ wird die Berechnung gestartet. Das

Programm überprüft zunächst ob bei der Eingabe der Systemparameter Unstimmig-

keiten auftreten. Für ausgewählte Eingabefehler erfolgt eine Fehlermeldung und ein

Hinweis auf die mögliche Fehlerquelle.

Der Button „Systemskizze“ öffnet eine Darstellung des modellierten Fachwerk-

trägers.

Um ein anderes Standardfachwerksystem zu wählen kann mit dem entsprechenden

Button die Auswahl der Standardsysteme erneut aufgerufen werden. Dabei ist zu

beachten, dass die bereits getätigten Eingaben der System- und Berechnungs-

parameter nicht übergeben werden.

Zusätzlich ist es möglich die getätigte Eingabe zu speichern. Mit dem Button

„Eingabe speichern“ wird das Eingabeblatt separat gespeichert (Datei-Endung *.efw)

und kann später wieder eingelesen und verwendet werden. Es ist daher nicht

notwendig für jede Berechnung das Excel-Programm FE-Fachwerk selbst zu

speichern.

4 Ausgabe 8

4 Ausgabe

Nach erfolgter Berechnung werden die Ergebnisse in verschiedenen Tabellenblättern

ausgegeben.

Tabellenblatt Ausgabe

Im Tabellenblatt „Ausgabe“ werden das eingebende Fachwerksystem sowie das

Ergebnis des Querschnittsnachweises mit dem Teilschnittgrößenverfahren [1]

ausgegeben. Das Tabellenblatt ist so aufgebaut, dass die durchgeführte Berechnung

eindeutig nachvollzogen werden kann und es ist so formatiert, dass es ohne weitere

Skalierung auf fünf Seiten des Formats DIN-A4 passt.

Es erfolgt eine grafische Ausgabe des Fachwerkträgers in Form einer Systemskizze.

Die Lage der Elementknoten sowie deren Lagerungsbedingungen können in der

entsprechenden Tabelle abgelesen werden. In einer weiteren Tabelle sind alle Stab-

elemente des Fachwerkträgers und ihre Stabendknoten aufgeführt. Die Fachwerk-

träger werden entsprechend mit Gelenken an den Enden modelliert. Die verwendeten

Querschnitte sowie die wesentlichen Querschnittskennwerte können der ent-

sprechenden Tabelle entnommen werden. Die Materialkennwerte des eingesetzten

Materials befinden sich auf der ersten Seite unter der Kommentarzeile.

Knoten- und Gleichstreckenlasten sind ebenfalls in tabellarischer Form dargestellt.

Als Berechnungsergebnis wird das Ergebnis des Querschnittsnachweises mittels TSV

ausgegeben. Neben der maximalen Ausnutzung der Querschnitte wird die Anzahl der

Stellen, an denen der Nachweis nicht erfüllt ist, angezeigt. Zusätzlich erfolgt eine

grafische Ausgabe der Querschnittsausnutzung für den gesamten Fachwerkträger.

Zusätzlich können die berechneten Auflagerreaktionen abgelesen werden.

Tabellenblatt Schnittgrößen

Im Tabellenblatt „Schnittgrößen“ werden die Ergebnisse der Schnittgrößen-

berechnung nach Theorie I. Ordnung ausgegeben. Die Ausgabe erfolgt sowohl in

tabellarischer als auch in grafischer Form. Die Berechnung der Schnittgrößen erfolgt

mittels der Methode der finiten Elemente. Zur Berechnung werden Balkenstäbe in

vier und Fachwerkstäbe in zwei finite Elemente aufgeteilt. Eine Ermittlung der

Schnittgrößen erfolgt verfahrensbedingt ausschließlich in den Knoten der finiten

Elemente.

Tabellenblatt Verformungen

Im Tabellenblatt „Verformungen“ werden die berechneten Verformungen des Fach-

werkträgers nach Theorie I. Ordnung ausgegeben. In einer Tabelle sind die Ver-

3.3 System- und Berechnungsparameter 9

schiebungsgrößen u, w und -w′ in den Knoten der Elemente jedes Stabes aufgeführt.

Zusätzlich erfolgt eine grafische Ausgabe der Verschiebungsfigur in der x-z-Ebene.

Tabellenblatt Info

Das Tabellenblatt „Info“ enthält neben Informationen zur Berechnungsdauer die

Ausnutzung der Querschnitte gemäß TSV in allen Elementknoten.

Tabellenblatt Q-Typ1, Q-Typ2, Q-Typ-3

Die Tabellenblätter „Q-Typ1“ bis „Q-Typ3“ enthalten alle relevanten Querschnitts-

werte des gewählten Querschnitts.

5 Berechnungsbeispiel 10

5 Berechnungsbeispiel

5.1 Vorbemerkung

In den Kapiteln 1 und 2 werden der Leistungsumfang sowie die Grundlagen des

Programms FE-Fachwerk erläutert. In den Kapiteln 3 und 4 folgen detaillierte

Erläuterungen zur Eingabe von System- und Berechnungsparametern sowie eine

Beschreibung der Ergebnisausgabe. Zur weiteren Veranschaulichung von FE-

Fachwerk und insbesondere der Ergebnisausgabe folgt ein Berechnungsbeispiel.

5.2 Fachwerkträger

Beispielhaft wird der in Bild 5.1 dargestellte ebene Fachwerkträger betrachtet. Bei

dem vorliegenden Fachwerkträger handelt es um einen Einfeldträger, der dem Typ1

der Basissysteme, s. Kapitel 3.2, entspricht. Das Beispiel wurde Kapitel 2.10.11 [4]

entnommen, dort sind weitere Informationen zum Berechnungsbeispiel zu finden.

Es ist allerdings zu beachten, dass der hier betrachtete Fachwerkträger aus 12 Unter-

und Obergurtstäben zusammengesetzt ist. Die Berechnung des Beispiels ist daher

nicht mit der im aktuellen RUBSTAHL-Programmpaket enthaltenen Version von FE-

Fachwerk möglich. Die Version 04/2013 ist auf eine Berechnung von Fachwerk-

trägern mit maximal 10 Untergurtstäben begrenzt. Da aber auf die Darstellung der

Berechnung des in der Literatur [4] ausführlich behandelten Beispiels nicht ver-

zichtet werden soll, wird an dieser Stelle eine erweiterte Version des Programms FE-

Fachwerk verwendet. Die hier dargestellten Anwendungen lassen sich aber ohne

weiteres auf Fachwerkträger mit einer geringeren Anzahl an Gurtstäben übertragen.

Bild 5.1 Fachwerkträger mit geneigtem Obergurt

Zur Berechnung der Schnittgrößen mit FE-Fachwerk werden der Ober- und der

Untergurt als durchlaufende Balkenstäbe modelliert. Die Diagonalen und Pfosten

werden als Fachwerkstäbe, d.h. mit Gelenken an den Enden, modelliert. Bild 5.2 zeigt

die ermittelten Schnittgrößen des ebenen Systems.

5.2 Fachwerkträger 11

Bild 5.2 Schnittgrößen in den Stäben des Fachwerkträgers

Die Schnittgrößen lassen sich durch eine Handrechnung schnell und ohne großen

Aufwand überprüfen. Das maximale Feldmoment des Einfeldträgers wird durch ein

Kräftepaar von den Gurtstäben aufgenommen. Die resultierenden Normalkräfte in

Feldmitte ergeben sich näherungsweise zu

2 2

zUG,6 OG,6

FW FW

q Lmax M 33 30,0N = N = = = 1768 kN

h 8 h 8 2,10

Alle verwendeten Walzprofile können gemäß Tabelle 2.14 [4] mindestens der Quer-

schnittsklasse 2 zugeordnet werden, so dass der Nachweis der Querschnitts-

tragfähigkeit auf Grundlage der Plastizitätstheorie erfolgen kann. Der Nachweis

erfolgt programmintern mit dem Teilschnittgrößenverfahren. Einflüsse aus dem

5 Berechnungsbeispiel 12

Stabilitätsverhalten der Stäbe bleiben an dieser Stelle unberücksichtigt, so dass der

Querschnittsnachweis mit dem Teilsicherheitsbeiwert M0 = 1,0 und der daraus

resultierenden Streckgrenze fy,d = 35,5 kN/cm² für die Stahlgüte S 355 erfolgt. Es

ergibt sich die maximale Querschnittsausnutzung von 90,0 % für den am Rand

liegenden Diagonalstab. Der Nachweis ausreichender Querschnittstragfähigkeit ist

damit erfüllt.

Das Programm FE-Fachwerk enthält keine Form von Stabilitätsnachweisen. Mit den

ermittelten Schnittgrößen nach Theorie I. Ordnung könnte beispielsweise der

Stabilitätsnachweis mit Abminderungsfaktoren nach Kapitel 6 [4] erfolgen.

Eine weitere Besonderheit von Fachwerkträgern ist die Konstruktion und Bemessung

der Knotenpunkte. Umfangreiche Informationen zu diesem Thema können der

Literatur, beispielsweise [5], entnommen werden.

Im Folgenden sind die vollständig ausgefüllte Eingabemaske sowie das Ausgabeblatt

von FE-Fachwerk für das hier behandelte Berechnungsbeispiel dargestellt.

5.2 Fachwerkträger 13

5 Berechnungsbeispiel 14

5.2 Fachwerkträger 15

5 Berechnungsbeispiel 16

5.2 Fachwerkträger 17

5 Berechnungsbeispiel 18

5.2 Fachwerkträger 19

Literatur

[1] Kindmann, R., Frickel, J.: Elastische und plastische Querschnittstragfähigkeit.

Verlag Ernst & Sohn, Berlin 2002

[2] Kindmann, R., Kraus, M.: Finite-Elemente-Methoden im Stahlbau. Verlag

Ernst & Sohn, Berlin 2007

[3] Kindmann, R., Kraus, M., Niebuhr, H. J.: STAHLBAU KOMPAKT

Bemessungshilfen, Profiltabellen, 3. Auflage. Verlag Stahleisen, Düsseldorf

2014

[4] Kindmann, R., Krüger, U.: Stahlbau - Teil 1: Grundlagen, 5. Auflage. Verlag

Ernst & Sohn, Berlin 2013

[5] Kindmann, R., Stracke, M.: Verbindungen im Stahl- und Verbundbau, 3.

Auflage. Verlag Ernst & Sohn, Berlin 2012

[6] Kindmann, R., Uphoff, H.: Berechnungen mit den RUBSTAHL-Programmen.

FE-Rahmen, Systemberechnungen für ebene Stabwerke bei einachsiger

Biegung und Normalkraft. Veröffentlichung des Lehrstuhls für Stahl-, Holz-

und Leichtbau, Ruhr-Universität Bochum 2014