1Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Sprungantwort.
AC Analyse. 2Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Sprungantwort +
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AC Analyse
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2Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Sprungantwort
)(th )(* tU out
dt
tduCti
)()(
+
)()( ssCs UI
)()( tCDuti
)()( isCi UI
)()(
)()( s
sQ
sPs inout
* UU
sthS /1)}({
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3Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
DC
)(th )(* tU out
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4Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
AC
)(th )(* tU out
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5Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Sprungantwort
)(tf
)()(')(0
it
i tthttftf
0
*
0
* )()(')()(')( dtufttuttftu it
outiout
)(tuout)(th )(* tu out
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6Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
AC Analyse eines Verstärkers mit RK
T
AA
U
UA OLOL
in
outF
1
21
Signalgain am Eingang
RückkopplungAktive Verstärkung
)(1
)()(
DT
DADA OL
F
dt
tduCti
)()(
+
)()( ssCs UI
)()( tCDuti
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7Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
AC Analyse eines Verstärkers mit RK
h(t))(* tu out
)()1...()()1( 0*1
12
2 thDbAtuDaDa mmout
)()1...()()1...( 0*1
1 thDbAtuDaDa mmout
nn
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8Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
AC Analyse eines Verstärkers mit RK
)(* tu out
0)()1...( *11 tuDaDa out
nn
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9Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
AC Analyse eines Verstärkers mit RK
h(t))(* tu out
)()1...()()1( 0*1
12
2 thDbAtuDaDa mmout
)(~)( 0*2
2 thDbAtuDa mmout
)(~)( 2
20
* thDa
bAtu mm
out
2m
1m
0m
2x integrieren
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10Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
AC Analyse eines Verstärkers mit RK
)(1
1)(
11
22
10
* thDaDa
DbAtu out
0112
2 aa
011* 21)()( AeCeCthtu ttout
0/1
/1
* 21)()( AeCeCthtu ttout
22
1112
1,
1
))(()( 0/
1*
211 AeCthtu t
out 12211 /, aaa
h(t))(* tu out
)()1)(1(
1)(
12
10
* thDD
DbAtu out
Polynom in D
Charakteristische Gleichung
Partikulare Lösung
Wurzel sind Realzahlen
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11Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
AC Analyse eines Verstärkers mit RK
T
AA
U
UA OLOL
in
outF
1
21
Signaldämpfung am Eingang
RückkopplungAktive Verstärkung
)(1
)()(
DT
DADA OL
F
1
)1()(
212
21
*0
DD
DADA zOL
OL
1
)1()(
212
21
0
DD
DTDT z
Annahme: System zweiter Ordnung
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12Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Testschaltungen für Feedbackanalyse
RKA
AAFFA
OL
OLOLF
2
21
1
AOL1 – Gain am Eingangsnetz AOL2 – aktive Verstärkung
RK FF
T - Schleifenverstärkung
Messpunkt - blau
Testquelle - rot
Kurzschluss
T
AAFFA OLOL
F
1
21
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13Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
AC Analyse eines Verstärkers mit RK
111
1
1)(
0
0212
0
21
*
0
0
D
T
TD
T
D
T
ADA
z
zOLF
)(1
)()(
DT
DADA OL
F
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14Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Lösung der DG zweiter Ordnung
111
1
1)(
0
212
0
210
D
TD
TT
ADA OL
F
011
0
2
0
Q
2212112 41
22Q
11
1
1)(
0
2
0
0
D
QDT
ADA OL
F
21
00210 ,1
QT
2211 /1,/1
)14sin()14cos()()( 21
21
* tQCtQCethtu tout
Übertragungsfunktion (Differentialgleichung)
Kanonische Form, Eigenfrequenz, Güte
Das charakteristische Polynom
Die Lösung
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15Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Stabilität
2212112 41
22Q
ttout eCeCtu 11
21* )(
21
0210 ,1
QT
5,0Q
UQ
Q
14
22
2
707,0Q
707,0Q
Für Q Faktor kleiner als 0,5 die Antwort des Verstärkest ist exponentiell und reell
Für Q Faktor kleiner als 0,707 die Antwort des Verstärkest hat keinen Überschwinger
Antwort mit RK ist schneller für Größere T
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16Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Bedingungen für die schnelle und genaue Verstärkung
707.0)1(
21
21
T
Q
1212 5.0 T
12
5.0 T
2112 )(
5.0zT
T
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17Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Verstärker 2ter Ordnung mit RK
ω1ω2
λ1, λ2
T0 steigt
Es ist möglich nur mit Kondensatoren, Widerständen und Verstärkern eine spulenähnliche Schaltung zu bauen
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18Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Verstärker 1ter Ordnung mit RK
)(1
)()(
DT
DADA OL
F
1)(
1
0
D
ADA OL
OL
1)(
1
0
D
TDT
11
1
1)(
0
10
DT
T
ADA OL
F 01 T
AA OL
DCF
00
1
11 TTOL
F
Verstärkung wird um Faktor 1+T schlechter
Zeitkonstante verbessert sich um 1+T
Produkt der Bandbreite und Verstärkung ist konstant
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19Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Verstärker 3ter Ordnung mit RK
)(1
)()(
DT
DADA OL
F
111)(
321
0
DDD
ADA OL
OL
111)(
321
0
DDD
TDT
ω1ω2
λ1, λ2
ω3
λ3
Die Schnellste Zeitkonstante bleibt reell,
wird kleiner
T steigt
Wir können die schnellste zeitkonstante vernachlässigen aber…
Das System kann bei großer T instabil werden
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20Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Schaltungen mit Kondensatoren
uC1
uC2
uGNur R
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21Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Schaltungen mit Kondensatoren
uC1
uC2
uG
+
+
C2
C‘2
uG
+
uG = uC2 + uC‘2
Abhängige Kondensatoren
Unabhängige Kondensatoren
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22Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Schaltungen mit Kondensatoren
uC1
uC2
uG
Ersetzen wir alle (unabhängige) Kondensatoren durch Spannungsquellen Lösen wir das Gleichungssystem nach unbekannten iCi
Nur R
GC
C
C
C ud
d
u
u
cc
cc
i
i
2
1
2
1
2221
1211
2
1
GCCC uducuci 12121111
GCCC uducuci 22221212
+
+
Matrix Form
Lineare Form
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23Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Schaltungen mit Kondensatoren
uC1
Ersetzen wir alle (unabhängige) Kondensatoren durch Spannungsquellen Lösen wir das Gleichungssystem nach unbekannten iCi
Nur R
GC
C
C
C ud
d
u
u
cc
cc
i
i
2
1
2
1
2221
1211
2
1
GCCC uducuci 12121111
GCCC uducuci 22221212
+
+
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24Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Schaltungen mit Kondensatoren
uC2
Ersetzen wir alle (unabhängige) Kondensatoren durch Spannungsquellen Lösen wir das Gleichungssystem nach unbekannten iCi
Nur R
GC
C
C
C ud
d
u
u
cc
cc
i
i
2
1
2
1
2221
1211
2
1
GCCC uducuci 12121111
GCCC uducuci 22221212
+
+
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25Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Schaltungen mit Kondensatoren
uG
Ersetzen wir alle (unabhängige) Kondensatoren durch Spannungsquellen Lösen wir das Gleichungssystem nach unbekannten iCi
Nur R
GC
C
C
C ud
d
u
u
cc
cc
i
i
2
1
2
1
2221
1211
2
1
GCCC uducuci 12121111
GCCC uducuci 22221212
+
+
![Page 26: AC Analyse. 2Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Sprungantwort +](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062512/55204d6749795902118bc582/html5/thumbnails/26.jpg)
26Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Schaltungen mit Kondensatoren
GC
C
C
C ud
d
u
u
cc
cc
DuC
DuC
2
1
2
1
2221
1211
22
11
GCCC uducucDuC 121211111
GCCC uducucDuC 222212122
Ersetzen wir die iCi durch Ci DuCi („D“ ist zeitliche Ableitung)System von zwei Differentialgleichungen erster Ordnung
uC1
uC2
uGNur R
dt
tduCti
)()(
+
GCCC uducuci 12121111
GCCC uducuci 22221212 +
+
Ersetzen wir i durch CDu
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27Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Schaltungen mit Kondensatoren
GC
C
C
C ud
d
u
u
cc
cc
DuC
DuC
2
1
2
1
2221
1211
22
11
GC
C ud
d
u
u
cDCc
ccDC
2
1
2
1
22221
12111
)(
)(
GC
C ud
d
cDCc
ccDC
cDCc
ccDCu
u
2
1
11121
12222
22221
121112
1
)(
)(
)(
)(1
GC DUUC
GC DUCU 1
2
22
dt
dD
dt
dD
t
dD0
1
10
1
t
ddt
dDD
10
1 t
dd
dDD
Gruppieren wir alle Koeffizienten und Ableitung-Operatoren (D) in eine Matrix
Lösen wir die Matrixgleichung nach Uc auf
inverse Matrix
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28Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Schaltungen mit Kondensatoren
GC uDaDa
DbAu
1
1
12
2
11
GC
C ud
d
cDCc
ccDC
cDCc
ccDCu
u
2
1
11121
12222
22221
121112
1
)(
)(
)(
)(1
GC uDaDa
DbAu
1
1''
12
2
12
Matrixform
ausgeschrieben
Determinante Polynom 1. Ordnung!!!
Polynom 2. Ordnung!!!
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29Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Schaltungen mit Kondensatoren
GC uDaDa
DbAu
1
1
12
2
1
)(1
1)(
12
2
1 thDaDa
DbAtuC
)()1()()1( 112
2 thDbAtuDaDa C
)(th )(tuC
))()(()()()( 112 ththbAtutuatua CCC
h(t)
δ(t)
)(t
uG durch h(t) ersetzen
Ableitung von h(t) ist δ(t)
Differentialgleichung als Übertragungsfunktion
Differentialgleichung in üblicher Schreibweise
(1)
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30Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Schaltungen mit Kondensatoren
)()()( tututu CPCHC
))()(()()()( 112 thtbAtutuatua CCC
)()( tthuCP
)(th )(tuC
)(tuCP
)(t
)(th
)(tuCP)(tuCH
0
Die Lösung der DG hat die folgende Form:
Nur die partikulare Lösung ist interessant
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31Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Schaltungen mit Kondensatoren
))()()(()( 12 Attatath
))0()0(()( 112 baat
0)0()( 1 at
)0()()()()()()()())()(( ttthtthtthtthD
))()(()()()( 112 thtbAtutuatua CCC
)()( tthuC
)0()()0()()()())0()()()(())()((2 tttthttthDtthD
Attata )()()( 12
112 )0()0( baa
0)0(1 a
Setzen wir uc in die DG ein
Ableitungen von h(t)φ(t):
(1)
DG (1) wird: alle Koeffizienten müssen 0 sein
(2)
(3)
(4)
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32Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Schaltungen mit Kondensatoren
Aecect to
to 21
21)(
0112
2 aa 0)(
)(
22221
12111 cCc
ccC
Attata )()()( 12
112 )0()0( baa
0)0(1 a
Differentialgleichung (Gl. 2 von der letzten Seite)
Lösung ist Exponentialfunktion (homogen) + Konstante (partikular)
Konstanten λ sind die Lösungen der Quadratischen Gleichung
Anfangsbedingungen (Gl. 3 und 4 von der letzten Seite)
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33Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Schaltungen mit Kondensatoren
uC2
Koeffizienten a12 und a21 sind gleich
Nur R
GC
C
C
C ud
d
u
u
cc
cc
i
i
2
1
2
1
2221
1211
2
1
GCCC uducuci 12121111
GCCC uducuci 22221212
+
+
![Page 34: AC Analyse. 2Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Sprungantwort +](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062512/55204d6749795902118bc582/html5/thumbnails/34.jpg)
34Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Schaltungen mit Kondensatoren
Nur R
GC
C
C
C ud
d
u
u
cc
cc
i
i
2
1
2
1
2221
1211
2
1
GCCC uducuci 12121111
GCCC uducuci 22221212
uC1+
+
Koeffizienten a12 und a21 sind gleich - deswegen…
![Page 35: AC Analyse. 2Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Sprungantwort +](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062512/55204d6749795902118bc582/html5/thumbnails/35.jpg)
35Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Schaltungen mit Kondensatoren
Aecect to
to 21
21)(
Aecect to
to 21 /
2/
1)(
0112
2 aa
Aececthtu to
toC 21 /
2/
1)()(
Sind λ1 und λ2 real und kleiner als 0
Lösung
wird
)(1
1)(
12
2
1 thDaDa
DbAtuC
Gleichung (1) Seite 32:
Hat die Lösung:
21 /1,/1 sind die Wurzel des Polynoms:
0112
2 aa
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36Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Zeitkonstanten
C1
C2
Ci
Gnn
nn u
DaDa
DbDbiu
1...
1...,
1
1
nnRCRCa 010
11 ...
CN
Ω
Zur Messung von R01
Wir haben N unabhängige Kondensatoren. Jede Spannung oder Strom ist Lösung einer Differentialgleichung N-ter Ordnung
Der Koeffizient a1 kann wie folgend berechnet werden
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37Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Zeitkonstanten – die Formel für a2
C1
C2
Ci
Gnn
nn u
DaDaDa
DbDbiu
1...
1...,
12
2
1
nn
nnn RRCCRRCCa 11
012
110
212 ...
CN
Ω
Zur Messung von RN1
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38Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
DC AC
Ohne RK
RK
inout VRR
RV
21
1
outVinV
1R
2R
)(1
)1()(
12
2
1 tAuDaDa
Dbtu Gout
)()( ssCUsI
Ω
RKA
AAFFA
OL
OLOLF
2
21
1
2112 )(
5.0zT
T
![Page 39: AC Analyse. 2Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Sprungantwort +](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062512/55204d6749795902118bc582/html5/thumbnails/39.jpg)
39Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Tiefpass 2. Ordnung (Beispiel)
)(1
)1()(
12
2
12 tAu
DaDa
Dbtu GC
+
C1
R1
uG
C2
R2
+ +
Aececthtu to
toC 21 /
2/
12 )()(
)()( thtuG
Es gibt 2 unabhängige Kondensatoren
DG hat die Form (Nenner - Polynom 2. Ordnung, Zähler - Polynom 1. Ordnung) wie auf Seite 31
Wir suchen die Antwort auf Sprungfunktion
Die Lösung hat die Form (Seite 38)
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40Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Tiefpass 2. Ordnung
+
C1
R1
uG
C2
R2
+ +
1A
)(1
)1()(
12
2
12 tAu
DaDa
Dbtu GC
1V
Finden wir A (DC Verstärkung)
Es fließen keine Ströme
durch C
VuC 1)(2 weil
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41Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Tiefpass 2. Ordnung
GC AuDaDa
Dbu
1
)1(
12
2
12
R1R2
Ω
20
210
11 RCRCa 11
0 RR
Messung von R01
Formel
Ergebnis
Finden wir Konstante a1
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42Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Tiefpass 2. Ordnung
GC AuDaDa
Dbu
1
)1(
12
2
12
R1R2
Ω
20
2111 RCRCa 212
0 RRR
Messung von R02
Formel
Ergebnis
)( 212111 RRCRCa
Finden wir Konstante a1
![Page 43: AC Analyse. 2Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Sprungantwort +](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062512/55204d6749795902118bc582/html5/thumbnails/43.jpg)
43Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Tiefpass 2. Ordnung
GC AuDaDa
Dbu
1
)1(
12
2
12
R1R2
Ω
21
10
212 RRCCa 11
0 RR
Messung von R01
Formel
Ergebnis
Finden wir Konstante a2
![Page 44: AC Analyse. 2Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Sprungantwort +](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062512/55204d6749795902118bc582/html5/thumbnails/44.jpg)
44Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Tiefpass 2. Ordnung
GC AuDaDa
Dbu
1
)1(
12
2
12
R1R2
Ω
21
1212 RRCCa 22
1 RR
Messung von R12
Formel
Ergebnis
21212 RRCCa
Finden wir Konstante a2
![Page 45: AC Analyse. 2Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Sprungantwort +](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062512/55204d6749795902118bc582/html5/thumbnails/45.jpg)
45Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Tiefpass 2. Ordnung
GC uDD
DbAu
)1)(1(
)1(
21
12
121221 , aa
1121 a 122 / aa
)( 212111 RRCRCa
21212 RRCCa
GC AuDaDa
Dbu
1
)1(
12
2
12
1A
(1)
(2)
Durch Vergleich von Nenner in (1) und (2)
Wenn… (τ1 – dominante Zeitkonstante)
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46Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Tiefpass 2. Ordnung
1)()( 21 /2
/12 t
ot
oC ececthtu
+
C1
R1
uG
C2
R2
uC
t
11 a 212 / aa
Bis jetzt hatten wir
Co1 und Co2 = ?
)( 212111 RRCRCa
21212 RRCCa
![Page 47: AC Analyse. 2Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Sprungantwort +](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062512/55204d6749795902118bc582/html5/thumbnails/47.jpg)
47Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Tiefpass 2. Ordnung
+
C1
R1
uG
C2
R2
uC
t
dt
tduCti
)()(
+
0)0(2 Cu
0i0u
0t
0u
1)()( 21 /2
/12 t
ot
oC ececthtu
10 21 oo cc
Erste Anfangsbedingung:
![Page 48: AC Analyse. 2Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Sprungantwort +](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062512/55204d6749795902118bc582/html5/thumbnails/48.jpg)
48Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Tiefpass 2. Ordnung
C1
R1
C2
R2
uC
t
2211 //0 oo cc
dt
tduCti
)()(
+
0)0(1
)0( 22
2 CC i
Cu
+
uG
0t
0i
0u
1)()( 21 /2
/12 t
ot
oC ececthtu
Zweite Anfangsbedingung:
![Page 49: AC Analyse. 2Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Sprungantwort +](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062512/55204d6749795902118bc582/html5/thumbnails/49.jpg)
49Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Tiefpass 2. Ordnung
+
C1
R1
uG
C2
R2
uC
t
0t
So würde sich ein System 1. Ordnung verhalten
So verhält sich unsere Schaltung
![Page 50: AC Analyse. 2Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Sprungantwort +](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062512/55204d6749795902118bc582/html5/thumbnails/50.jpg)
50Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Beispiel (2)
R1
R2
C1
C2
U0h(t)
Nur ein unabhängiger Kondensator! – fügen wir zusätzlichen Widerstand Rx. Es gilt: Rx -> 0!!!
![Page 51: AC Analyse. 2Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Sprungantwort +](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062512/55204d6749795902118bc582/html5/thumbnails/51.jpg)
51Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Beispiel (2)
R1
R2
C1
C2
U0h(t)
Jetzt ist die Schaltung in Ordnung (zwei unabhängige Kondensatoren)
Rx
![Page 52: AC Analyse. 2Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Sprungantwort +](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062512/55204d6749795902118bc582/html5/thumbnails/52.jpg)
52Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Beispiel (2)
GC uDaDa
Dbu
1
1
12
2
12
220
110
1 CRCRa
2211211 )||()||( CRRCRRa
))(()( 2/
121 CoeCothtu at
C
Die Differentialgleichung hat die Form
Es gilt (nach der Formel von Folie 39 und 40):
R1
R2
C1
C2
U0h(t)Rx
wir benutzten Rx = 0!
02121
10
2 CCRRa
(1)
Lösung der Gleichung (1)
220
110
1 CRCRa
Finden wir Co1 und Co2…
![Page 53: AC Analyse. 2Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Sprungantwort +](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062512/55204d6749795902118bc582/html5/thumbnails/53.jpg)
53Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Anfangsbedingung (1)
R1
R2
C1
C2
U0h(t)
t = 0+
∞
∞
021
10
12
22 /1/1
/1)0( U
CC
CU
DCDC
DCuC
Großer Strom
![Page 54: AC Analyse. 2Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs Sprungantwort +](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062512/55204d6749795902118bc582/html5/thumbnails/54.jpg)
54Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs
Endzustand
R1
R2
U0h(t)
t = ∞
021
22 )0( U
RR
RuC
uC
t
021
2 URR
R
021
1 UCC
C
))||)(/(( 2121 RRCCte