Abstract - SciELO Colombia · 2016-10-27 · estados inicialmente entrelazados de un sistema...

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Univ. Sci. 2013, Vol. 18 (2): 141-152doi: 10.11144/Javeriana.SC18-2.cedm

Coherencia y entrelazamiento en dinámica noMarkoviana de qubits

Cristian E. Susa1B, John H. Reina1B

Coherence and entanglement in non-Markovian dynamics of qubits

Abstract

We provide a thorough analysis of the entanglement dynamics of an interacting two-qubit systemin the non-Markovian regime. In such a regime, the time scale on which the reservoir degrees offreedom evolve is either of the same order of magnitude or less than that on which the systemevolves. We used an exact numerical method; the Quasi-Adiabatic Path Integral (QUAPI) technique,to describe the corresponding qubit dissipative dynamics in such a non-Markovian regime. Wecomputed the time evolution of the density operator for the quibits, from which we quantified thecoherences and population dynamics, as well as the qubit-bath coupling effects. Using negativityas a metric, we calculated the dynamics of non-local quantum correlations (entanglement), andindentified a non-Markovian quantum phenomena in terms of early stage disentanglement, and thecollapse and revival of entanglement.

Keywords: Qubits; quantum information; entanglement; non-Markovian decoherence;nanostructures.

Edited by Humberto Rafeiro & Alberto Acosta

1 Departamento de Física, Universidad del Valle, A.A. 25360,Cali, Colombia

Received: 11-02-2013 Accepted: 04-06-2013 Published online:23-06-2013

Citation: Susa EC, Reina JH (2013) Coherenciay entrelazamiento en dinámica no Markoviana dequbits. Universitas Scientiarum 18(2): 141–152 doi:10.11144/Javeriana.SC18-2.cedm

Funding: Universidad del Valle; Colciencias

Electronic supplementary material: N/A

SICI: 2027-1352(201305/08)18:22.0.TS;2-B11

Introducción

El entrelazamiento cuántico es una propiedadfísica de sumo interés tanto conceptualmente,como argumentación de nivel primario enla teoría cuántica (Mermin 1985, Bennett yDiVincenzo 2000), como por sus aplicacionesen las tecnologías cuánticas de informaciónemergentes (Ladd et al. 2010). Dicha propiedadsólo puede atribuirse a sistemas interactuantesen el dominio cuántico (Nielsen y Chuang 2000).Para el caso más simple de estados puros en unregistrador de dos bits cuánticos (qubits), se diceque el sistema está en estado entrelazado cuando

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142 Dinamica disipativa no-Markoviana

este no puede ser descrito como un productodirecto de vectores de estado asociados a cada unade las dos partes por separado.

El entrelazamiento ha sido reconocidocomo un recurso (como lo es la energía)para construir novedosos dispositivos enla nano-escala, donde ahora es posible elprocesamiento y la manipulación controladade información al nivel de pocos qubits(Ladd et al. 2010). El entrelazamiento esprobablemente la característica más interesantede la fenomenología cuántica (Mermin 1985),y es un recurso crucial para el cómputocuántico (Bennett y DiVincenzo 2000), y lacomunicación cuántica via protocolos como lateletransportación (Bennett, Brassard, Crépeau,Jozsa, Peres y Wootters 1993) y la criptografía(Gisin, Ribordy, Tittel y Zbinden 2002).

Trabajos recientes sobre la dinámica deentrelazamiento han mostrado que algunosestados inicialmente entrelazados de un sistemabipartito pueden decaer a cero en un tiempomucho menor que el de su emisión espontánea(Yu y Eberly 2003, 2004, 2006, Konrad et al. 2008,Dodd y Halliwell 2004, Minter, Carvalho, Kusy Buchleitner 2005, Quiroga y Rodriguez 2007,Scala, Migliore, Messina y Sánchez-Soto 2011).Este fenómeno, denominado desvanecimientorepentino de entrelazamiento (ESD-early stagedisentanglement) es una característica cuánticaque señala una dinámica disipativa inusual decorrelaciones cuánticas puramente no locales(Mermin 1985, Bennet et al. 1993). Hasido demostrado también que bajo escenariosespecíficos es posible generar entrelazamientode manera repentina (ESB-entanglement suddenbirth) (Ficek y Tanás 2008, Almeida et al. 2007).Estas características del entrelazamiento se hanestudiado tanto en regímenes Markovianos (Yuy Eberly 2009, Susa y Reina 2010, Ficek yTanaś 2002), como no Markovianos (Bellomo,Lo Franco y Compagno 2007, Cummings y Hu2008) en diversos contextos (Yu y Eberly 2009,Bellomo et al. 2007, Thorwart, Eckel, Reina,Nalbach y Weiss 2009, Shresta, Anastopoulos,Dragulescu y Hu 2005), diferentes del aquíanalizado. Recientemente se ha reportado sobrela cuantificación de correlaciones cuánticas másallá del entrelazamiento (Fanchini, Cornelio,de Oliveira y Caldeira 2011), en términos de

la dinámica de la discordia cuántica (Olliviery Zurek 2001), correlaciones que capturan, demanera diferente al entrelazamiento, el grado decuanticidad de un sistema físico.

Aquí, la dinámica disipativa delentrelazamiento en un sistema bipartito dequbits acoplados en el régimen no-Markovianoes analizada. La técnica numérica exactadenominada método cuasi-adiabático basadoen integrales de trayectorias (Makri y Makarov1994, 1995) es utilizada, esta técnica ha sidoempleada exitosamente en sistemas de fasecondensada (Makri y Makarov 1994, 1995) yatómico-moleculares (Eckel et al. 2009, Thorwartet al. 2009), por mencionar algunos pocos.

Formulación del problema

Hamiltoniano del sistema: Los sistemas dedos qubits interactuantes pueden describirse porun Hamiltoniano de la forma (Hammerer, Vidaly Cirac 2002)

HS =H0+H12,

donde H0 = H1 + H2 denota el término departícula libre, Hi = −

ħh2ωiσ

(i)z corresponde a

la energía de transición asociada al qubit i , y

H12 = ħh�

Jxσ(1)x ⊗σ

(2)x +Jyσ

(1)y ⊗σ

(2)y +Jzσ

(1)z ⊗σ

(2)z

�

,

(1)

escrita en términos de las matrices de Pauli,denota una interacción tipo Heisenberganisotrópica (Patterson y Bailey 2010) entre losqubits, y ħh es la constante de Planck divididapor 2π. En procesos físicos, tales como latransferencia resonante de energía en sistemasbiomoleculares (Thorwart et al. 2009, Eckel,Reina y Thorwart 2009) o en átomos artificialesinteractuantes (Reina, Quiroga y Johnson 2000,Lovett, Reina, Nazir y Briggs 2003), Jx = Jy ≡Jxy , y la razón J ≡ Jxy/Jz determina el tipode interacción experimentada por los qubitsacoplados y define el tipo de entrelazamientoque puede ser generado en el registrador cuántico(Hammerer et al. 2002).

En lo concerniente a la interacción entre elregistrador cuántico y el reservorio o baño, seconsidera el modelo de un sistema de osciladores

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armónicos unidimensionales (en términosprácticos un continuo de modos bosónicos)acoplados de manera bi-lineal (Feynman yVernon 1963, Caldeira y Laggett 1983, Weiss2008) al sistema de qubits. Dentro de este modelo,el Hamiltoniano total (sistema + baño) se puedeescribir como (Weiss 2008)

H =P 2

2M+V (Q, t )+

N∑

j

1

2

p2jm j+m jω

2j

q j −

g jm jω

2j

Q

2

,

donde {Q, P} denota la coordenada del sistemay su momento conjugado, respectivamente, y{q j , p j } es la posición y el respectivo momentoconjugado del modo j -ésimo del baño deosciladores con frecuencia ω j , y g j es laconstante de acoplamiento sistema-baño. Todala información sobre el baño que es de crucialimportancia en la evolución del sistema estáincorporada en la conocida función de densidadespectral (Weiss 2008)

J (ω) =π

2

N∑

j

g 2jm jω

2j

δ(ω−ω j ).

Método de la Integral de CaminosCuasiadiabática—QUAPI: Con el fín deobtener la evolución temporal del sistema,se procede a introducir el método utilizadopara encontrar la matriz densidad reducida delregistrador cuántico (en adelante ħh = 1). Estase calcula tomando la traza sobre los grados delibertad del reservorio,

ρ(t ) = T rB

e−iH (t−t0)σ(0)e iH (t−t0)

,

donde el conjunto sistema-baño, cuya matrizdensidad se denota por σ(t ), es considerado unsistema con evolución unitaria. Escribiendo elHamiltoniano H =Hs +HB , con

Hs =P 2

2M+V (Q, t )+

N∑

j

g 2jm jω

2j

Q2,

HB =N∑

j

1

2

p2jm j+m jω

2j q j

+N∑

j

g jm jω

2j

q j Q,

se realiza la discretización correspondiente parahacer del método de la integral de caminos(Feynman y Vernon 1963) uno numérico(Makri y Makarov 1994, 1995): el operadorevolución e−iH (t−t0) es reescrito como (e−iHδ t )M .Insertando el conjunto completo de estadospropios

∫

dQ |Q〉 〈Q|N∏

j

∫

d q j�

�

�q j¶¬

q j�

�

�

entre cada par de operadores e−iHδ t , y usandouna partición adiabática de este operadorexponencial

e iHδ t ≈ e iHBδ t/2e iHsδ t e iHBδ t/2,

la matriz densidad reducida puede escribirse, enla representación de posición, como la integralde trayectorias (Makri y Makarov 1994, 1995)

ρ(Q ′′,Q ′; t =Mδ t ) =∫

dQ+0 . . . dQ+M−1

×∫

dQ−0 . . . dQ−M−1

×

Q ′′�

� e−iHsδ t�

�

�Q+M−1¶

. . .

×¬

Q+0

�

�

�ρ(0)�

�

�Q−0¶

. . .

×¬

Q−M−1

�

�

� e iHsδ t�

�Q ′�

× I (Q+0 , . . . ,Q′′,Q−0 , . . . ,Q

′;δ t )

donde cada producto¬

Q+i

�

�

� e−iHsδ t�

�

�Q+jED

Q−j

�

�

� e iHsδ t�

�

�Q−i¶

identifica el propagador libre. Aquí sonconsideradas las posibles trayectorias antes (Q−i )y después (Q+i ) del tiempo referenciado comocero, y hemos asumido que al inicio de ladinámica (t = 0), el sistema estaba desacopladodel baño (Weiss 2008): σ(0) = ρ(0) ⊗ ρB(0),

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donde el baño se asume en equilibrio térmico,ρB =

eβHBZ , y Z es la función de partición asociada.

Así, Q ′′ =Q+M y Q′ =Q−M , con

I (Q+0 , . . . ,Q′′,Q−0 , . . . ,Q

′;δ t )

= T rBh

e−iHB (Q′′)δ t/2 . . .

× e−iHB (Q+0 )δ t/2ρB(0)eiHB (Q

−0 )δ t/2 . . .

× e iHB (Q ′)δ t/2i

,

el funcional de influencia que incorpora todala información del baño que es requerida en ladescripción de la dinámica del sistema de qubits.Este funcional puede escribirse como (Makri yMakarov 1994, 1995)

I = exp

−M∑

k=0

k∑

k ′

Q+k −Q−k

ηkk ′Q+k ′−η∗

kk ′Q−

k ′

,

que no es más que la versión discreta delfuncional introducido inicialmente por Feynmany Vernon (1963) para las trayectorias continuasQ±(t ):

I = exph

−∫ t

0d t ′∫ t ′

0d t ′′

�

Q+(t ′)−Q−(t ′)�

×�

α(t ′− t ′′)Q+(t ′′)−α∗(t ′− t ′′)Q−(t ′′)�

i

,

donde

α(t ) =1

π

∫ ∞

0dωJ (ω)

�

coth(βω/2)cos(ωt )

−i sin(ωt )�

(2)

es el conocido kernel de memoria o función deautocorrelación, el cual determina la no localidaddel funcional de influencia. En los casos dondela aproximación de Markov (Gardiner y Zoller2004) es suficientemente buena para describirla dinámica del registrador, la parte real de lafunción (2) es proporcional a una función delta yla parte imaginaria es proporcional a su derivada

(Caldeira y Leggett 1983); así, en la versióndiscreta, ηkk ′ = 0 para |k − k ′| > 1. Por otrolado, en el límite opuesto (adiabático), α(t ) esconstante, lo que indica un rango infinito en eltiempo para las correlaciones entre las posicionesdel sistema en diferentes pasos de tiempo.Pensando en lo que ocurre entre estos dos límites,Makri y Makarov (1994, 1995) propusieron unalgoritmo eficiente de multiplicación tensorial,en el que se emplea un tiempo límite tmax para elrango de memoria; así, ηkk ′ → 0 para |k − k ′|>δkmax , donde δkmaxδ t = tmax , y δkmax denotael número necesario de pasos en el tiempo paraexpandir la no-localidad temporal del funcional.La expresión analítica explícita de los términosηkk ′ ’s, incorporados en los cálculos numéricos dela siguiente sección, puede encontrarse en (Makriy Makarov 1994, 1995).

Para tener una discretización efectiva de lasintegrales sobre las variables del sistema, seutiliza la denominada representación de variablediscreta (DVR-discrete variable representation;Harris, Engerholm y Gwinn 1965):

〈si |Q�

�

�s j¶

= siδi j .

El esquema de multiplicación tensorial dondese desarrolla este método requiere reescribirel funcional de influencia como productos detérminos correspondientes a distintos δk:

I =M∏

k=0

k∏

δk=0

Iδk(sk , sk−δk),

donde sk se corresponde a la pareja de estados(s+

k, s−

k), y donde cada Iδk , escrito en la nueva

base discreta, está dado por

Iδk(sk , sk−δk) = exp

−

s+k − s−k

�

ηk(k−δk) s+k−δk −η

∗k(k−δk) s

−k−δk

�

.

Así, usando la notación¬

s+i

�

�

� e−iHsδ t�

�

�s+jED

s−j

�

�

� e iHsδ t�

�

�s−i¶

=A0(si , s j )



Susa & Reina 145

para el propagador libre, el esquemamultiplicativo para la matriz densidad reducidaqueda escrita como:

ρ(s ′′, s ′; t =Mδ t ) =∑

s0,...,sM−1

A0(sM , sM−1)M∏

δk=0

Iδk(sM , sM−δk)

×A0(sM−1, sM−2)M−1∏

δk=0

Iδk(sM−1, sM−1−δk)

. . .×I0(s0, s0)ρ0(0),

donde ρ0(0) =¬

s+0

�

�

�ρ(0)�

�

�s−0¶

. Esto resuelveel problema numérico de calcular la dinámicadisipativa del registrador tanto en el régimenMarkoviano como en el no Markoviano.

Dinámica disipativa de qubitsinteractuantes

Se reportó el cálculo de la dinámica cuánticapara los casos de i) un qubit efectivo yde ii) dos qubits interactuantes, acopladosa un reservorio bosónico, que en generalpuede ser ‘lento’ o ‘rápido’ (Weiss 2008),dependiendo de las características de los modosde vibración del baño. Debido a la complejidaddel método QUAPI, no ha sido posible derivarexpresiones analíticas para la dinámica disipativadel entrelazamiento de qubits y los resultadosaquí presentados son numéricos.

Qubit efectivo acoplado a un baño bosónico:El primer caso considerado corresponde a unsistema bipartito que se acopla bilinealmente aun baño de osciladores armónicos. Dos sistemasfísicos que pueden ser descritos de esta manerapueden ser un par de puntos cuánticos acopladosentre si, en contacto con un reservorio deestado sólido (baño de fonones), donde esposible la transferencia resonante excitónica(Reina et al. 2000, Lovett et al. 2003), y paresde cromóforos (biomoléculas) en un solventeproteínico (Thorwart et al. 2009, Eckel et al.2009). En estas descripciones, los cromóforos opuntos cuánticos son modelados como sistemasde dos niveles con energías de transición Ei .Para tales casos, se utiliza el modelo espín-bosón(Weiss 2008), y el Hamiltoniano del sistema

acoplado puede mapearse en el de un qubitefectivo como (Eckel et al. 2009):

HS =ε

2σz +

∆

2σx +σz

∑

i

gi

a†i + ai

+∑

i

ωi a†i ai , (3)

donde ε es la diferencia en la energía de transiciónentre los qubits de cada par, y ∆ denota laintensidad de la interacción entre qubits. ai ya†i son los operadores del baño bosónico conenergía ωi para el i -ésimo modo de vibración.Sin pérdida de generalidad, en lo que sigue seconsidera que cada pareja está conformada porqubits identicos (ε= 0).

Se considera una función de densidad espectralOhmica J (ω) = 2αω exp(ω/ωc) (Weiss 2008),donde α es el parámetro que dá la fuerza deamortiguamiento sobre la dinámica del sistemay ωc es la frecuencia de corte del reservorio(típicamente,ωc �∆ en el límite Markoviano).

Convergencia del Método: La convergenciadel método (Figura 1) en términos del parámetroδkmax , donde se ha escogido el intervalo δ t ∼0,1 para cada paso en el tiempo, y en el ejevertical se ha graficado el valor esperado deloperador σz , el cual representa la inversiónde población entre los dos estados del sistema.Así, la Figura 1 permite escoger un valoradecuado para δkmax con el fin de optimizar eltiempo de cómputo que se requiere para cadasimulación; nótese, por ejemplo, que las curvascorrespondientes a δkmax = 9 y δkmax = 12están prácticamente superpuestas entre sí, sinembargo, el tiempo requerido para obtener cadauna de ellas, en simulaciones separadas, puedecambiar considerablemente. Así, una vez seha garantizado la convergencia del método, seprocede a realizar las simulaciones con el valorde δkmax que implique el menor costo de tiempocomputacional y que no produzca perdida dela información relevante en las coherencias ypoblaciones (en este caso δkmax = 9).




4.0-

2.0-

0

2.0

4.0

6.0

8.0

1

0 1 2 3 4 5 6

δkmax

δkmax

δkmax

δkmax

= 2

= 4

= 9

= 12

<σ

z>

t ∆

Fig. 1. Inversión de población. Sensibilidaddel método para varios valores del parámetronumérico δkmax . T = 0,625∆,ωc = 2,5∆, α=0,32. Los parámetros físicos han sido tomadospara comparación directa con los resultados de(Mak y Chandler 1991).

Inversión de Población: Se presenta el cálculode la influencia de la constante de acoplamientoqubit-baño, α, en el régimen de acoplamientofuerte (α∼ 1), donde son importantes los efectosno Markovianos (Figura 2).

4.0-

2.0-

0

2.0

4.0

6.0

8.0

1

0 1 2 3 4 5 6

α

α

α

= 0.32

= 0.51

= 0.64

<σ

z>

t ∆

Fig. 2. Inversión de población. Comparaciónpara diferentes valores de la constante deamortiguamiento α. Parámetros como en laFigura 1, con δkmax = 9.

En el caso de acoplamiento débil, α � 1.Como se muestra en la Figura 2, las oscilacionespresentes en la inversión de población delsistema efectivo de dos niveles se amortiguan másrápidamente a medida que α crece, indicandoun acoplamiento más fuerte entre el qubit y su

entorno, y la consecuente pérdida en la amplitudde las oscilaciones en las poblaciones.

Qubits interactuantes acoplados a un bañobosónico: En el segundo caso se trata dosqubits efectivos interactuantes, interaccióndescrita mediante un Hamiltoniano de la formaH12, Ec. (1). Este Hamiltoniano pone demanifiesto varios tipos de acoplamiento, loscuales pueden ser modelados con la metodologíaaquí descrita. Se considera inicialmente un tipode acople transversal isotrópico, es decir, Jx =Jy = J y Jz = 0. Este tipo de acople tomalugar en sistemas físicos de gran relevancia enel marco del procesamiento de informacióny cómputo cuántico, en la forma de qubitssuperconductores (Nielsen y Chuang 2000) yde moléculas artificiales, tales como puntoscuánticos (Reina et al. 2000, Lovett et al. 2003) ypolímeros π-conjugados (Weiss 2008). El procesofísico asociado se traduce en la transferenciaresonante de energía entre qubits, con intensidadde interacción J . El Hamiltoniano total delsistema de qubits interactuantes HST = H

1S ⊗

I2 + I1 ⊗ H 2S + H12, donde Ii denota la matrizidentidad asociada al qubit i , y H iS correspondea los términos de partícula libre (primeralínea de la Ec. (3)). La matriz densidad de losqubits es descrita en la base computacional{|00〉 , |01〉 , |10〉 , |11〉}, donde |0i〉 (|1i〉) denotael estado base (excitado) del qubit i , de modoque el operador densidad asociado al registradorcuántico tiene componentes ρi j ,k l .

Poblaciones y Coherencias: La forma en quelos modos de oscilación del baño afectanla dinámica cuántica del registrador se poneexplícitamente de manifiesto en la Figura 3,donde se ha graficado dos de las poblaciones delsistema, ρ00,00 y ρ01,01 para el caso de un baño‘rápido’ (ωc = 10∆) y de uno ‘lento’ (ωc = ∆).Por la simetría del Hamiltoniano, las otras dospoblaciones cumplen ρ11,11 = ρ00,00 y ρ10,10 =ρ01,01.

Es claro que un baño rápido no favorece nila amplitud ni el tiempo de duración de lasoscilaciones en las poblaciones, comparado conel casoωc =∆, donde las oscilaciones perduranpor un tiempo mucho más prolongado al igual



Susa & Reina 147

que la amplitud de las mismas.

0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

0 5 01 51 02 52 03

ρ ωc =∆ωc =∆

ωc =10∆

ωc =10∆

Po

bla

cio

ne

s

t ∆

;;

;;

00,00

ρ01,01

ρ00,00

ρ01,01

Fig. 3. Dinámica de poblaciones paraωc =∆y ωc = 10∆. T = 0,1∆, α = 0,1 y J = 0,1∆.Estado inicial |Φ0〉=

1p2(|01〉+ |10〉).

Nótese que el parámetro α indica un régimende acoplamiento fuerte para la dinámica aquísimulada. Así, es claro que, dentro del presentecontexto, el baño en el régimen no-Markovianofavorece una dinámica cuántica coherente en elsistema de qubits, en contraste con lo observadopara el caso del baño en el régimen Markoviano.Este hecho permitiría que operaciones decompuertas lógicas cuánticas se puedan simularen el laboratorio con una mayor fidelidad parael caso de reservorios ‘lentos’ (Nielsen y Chuang2000).

La Figura 4 muestra la dinámica de lascoherencias ρ01,10 + ρ10,01 y ρ11,00 + ρ00,11, paraα = 0,1, y dos valores de frecuencia de corte:ωc =∆ (linea azul continua y morada a trazoslargos, respectivamente), y ωc = 10∆ (lineanaranja de trazo fino y linea verde de trazointermedio, respectivamente), en el caso en elcual el registrador es preparado inicialmente enel estado |Φ0〉=

1p2(|01〉+ |10〉), para los mismos

parámetros de la Figura 3. A pesar de que el tipode oscilaciones tiene sentido físico diferente, laescala de tiempo y el número de oscilaciones essimilar a aquel obtenido para las poblaciones, y semarca el contraste entre los dos tipos de dinámica,dependiendo del valor considerado paraωc . Loanterior se corrobora en la Figura 5, dondehemos calculado la dinámica de las coherenciasρ01,10+ρ10,01 para los casosωc =∆ yωc = 50∆,este último caracterizando un baño aún más

rápido que el anteriormente considerado. Eneste caso se ha relajado un poco la constante deacoplamiento a α= 0,01. Como en el caso de laFigura 4, es claro que los efectos de interferenciacuántica bipartita se ven favorecidos por el bañoconωc =∆.

-0.2

0.0

0.4

0.2

0.6

0.8

1.0

0 5 10 15 20 25 30-0.2

0.0

0.4

0.2

0.6

0.8

1.0

Coherencias

t ∆

ωc =∆;

ρ +ρ ωc =∆;

ωc =10∆;

ωc =10∆;

11,0000,11

ρ +ρ01,1001,10

ρ +ρ11,0000,11

ρ +ρ01,1001,10

Fig. 4. Dinámica de las coherencias ρ01,10 +ρ10,01 y ρ11,00 + ρ00,11 para ωc = ∆, y 10∆.T = 0,1∆, α= 0,1 y J = 0,1∆.

La Figura 5 muestra la dinámica de lacoherencia de mayor importancia para lainteracción transversal Jx = Jy = J , ρ01,10 +ρ10,01, comparando los regímenes Markoviano yno-Markoviano generados por las característicaspropias del baño (ωc ). Notese también que eneste caso, debido a la reducción en la intensidaddel acoplamiento sistema-reservorio (α = 0,01),los tiempos de coherencia han sido prolongadospor lo menos 5 veces que aquellos asociados alcaso en el cual α= 0,1 ( Figura 4).

0 20 40 60 80 100 120 140

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Coherencias

t ∆

Fig. 5. Dinámica de coherencias para ωc =∆(linea continua) y ωc = 50∆ (linea a trazos).T = 0,1∆, α = 0,01 y J = 0,1∆. |Φ0〉 =

1p2(|01〉+ |10〉).




Es claro entonces que las coherencias decaenmucho más rápidamente cuando el registradorse encuentra en contacto con un reservorioMarkoviano y que la amplitud de las oscilacionescoherentes se vé menos afectada, o mejor, escoherentemente favorecida por un baño lento(no-Markoviano). Este mecanismo de respuestadinámica se refleja también en el grado decorrelaciones cuánticas no locales entre losqubits.

Cuantificación del entrelazamiento cuántico:Las correlaciones cuánticas no locales soncuantificadas por medio del entrelazamiento,usando la negatividad N = máx{0,−2λ},siendo λ el valor propio más pequeño de latranspuesta parcial de la matriz densidad dadapor ρT1

i j ,k l= ρk j ,i l (Peres, 1996; Horodecki,

Horodecki y Horodecki, 1996). Para unaconstante de interacción qubit-qubit J = 0,1∆,un ruido cuántico no-Markoviano (ωc = ∆)ayuda a que el entrelazamiento persista porun tiempo más prolongado en el registradorcuántico, en contraste con el caso de unruido Markoviano, donde el entrelazamiento sesuprime completamente en un tiempo muchomás corto (menos de 1/3 del tiempo anterior;Figura 6).

Negatividad

t ∆

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

0 20 40 60 80 100 120 140

Fig. 6. Dinámica de entrelazamiento paraωc =∆ (linea roja continua ), y ωc = 50∆ (lineanegra a trazos). T = 0,1∆, α= 0,01 y J = 0,1∆.|Φ0〉=

1p2(|01〉+ |10〉).

Un comportamiento similar puede serobservado para una interacción más fuerte entrelos qubits (Figura 7), J = ∆; en este casoel entrelazamiento presenta oscilaciones máspronunciadas que se deben a la interferencia

constructiva que dicho acople introduce en ladinámica disipativa.

De la dinámica del entrelazamiento calculada,resulta razonable asumir para la negatividad uncomportamiento de la forma

N (t ) = e−Γt +A∞, (4)

en el caso en que el sistema comience en unestado máximamente entrelazado (N (0) = 1),donde la rata de decaimiento Γ indica qué tanrápido decae el entrelazamiento, y A∞ indicasi el decaimiento es asintótico a cero, o sihay presencia del fenómeno de desvanecimientosúbito de entrelazamiento (ESD).

0 20 40 60 80 100 120 140

0. 0

0. 2

0. 4

0. 6

0. 8

1. 0

Negatividad

t ∆

Fig. 7. Dinámica de entrelazamiento paraωc =∆ (linea roja continua ), y ωc = 50∆ (lineanegra cortada). J =∆. Demás parámetros comoen la Figura 6.

De la Figura 6 es posible deducir queestas dos cantidades dependen fuertementede la frecuencia de corte ωc , indicando laimportancia del régimen (dígase Markovianoo no Markoviano) de actuación del ruidosobre el registrador. Nótese que la razónde decaimiento se incrementa drásticamentecuando aumenta la frecuencia de corte, y queel tiempo para el cual el entrelazamiento sehace cero cambia abruptamente con dichafrecuencia, comportamiento funcional que tieneel parámetro A∞ conωc .

Aunque la negatividad presenta oscilacionesde amplitud notablemente mayor al incrementarla intensidad de interacción J (Figura 7), sepuede inferir que una función de la formadada por la Ec. (4) describe el comportamientoenvolvente de esta cantidad, y que el análisishecho antes para la Figura 6 tiene lugar. Sin



Susa & Reina 149

embargo, la forma de la función con la quese describe el entrelazamiento puede ser máscompleja que la mostrada por la Ec. (4). Existeun comportamiento aún más interesante quepuede observarse en la dinámica de la negatividad,esto es, un comportamiento de colapsos yresurgimientos sucesivos. Este puede describirsefuncionalmente de la forma

N (t ) = e−Γt cos (Ωt +φ)+A∞, (5)

donde ahora la función cos (Ωt +φ) permiteque para ciertos intervalos, el valor de N (t )sea cero, dependiendo del valor que tome laconstante A∞. En este contexto, Ω y φ denotanla frecuencia de oscilación del entrelazamientoy su fase, respectivamente. Se muestra comoel entrelazamiento decae a cero por intervaloscortos y posteriormente vuelve a crecer (Figura8); claramente este comportamiento es obtenidoen el régimen puramente no Markoviano dela dinámica del sistema-baño, ωc = 0,5∆. Talcomportamiento no es observado en el caso deacoplamiento a un baño rápido.

0 50 100 150 200 250 300

0. 0

0. 2

0. 4

0. 6

0. 8

Negatividad

t ∆

Fig. 8. Dinámica de entrelazamiento para Jx =Jy = 0,1∆, Jz = 0 (linea negra continua ), yJx = Jy = 0, Jz = 0,1∆ (linea azul a trazos);ωc = 0,5∆. Demás parámetros como en laFigura 6, excepto que ahora |Φ0〉= |11〉.

El tipo de interacción presente entre losqubits es de crucial importancia en la dinámicade entrelazamiento. De la Figura 8 se observaque al cambiar de una interacción de tipotransversal Jx = Jy = J = 0,1∆, Jz = 0, auna de tipo longitudinal Jx = Jy = 0, Jz =0,1∆, los tiempos para los cuales ocurren loscolapsos y resurgimientos, así como la amplitud

en las oscilaciones del entrelazamiento, cambiandrásticamente, lo que implica que en la Ec. (5),los valores de las constantes de decaimiento yfrecuencia de oscilación cambian notoriamentede acuerdo a la escogencia de los Ji . Físicamente,el caso de ‘interacción longitudinal’ podría estarrepresentado por la interacción entre espineselectrónicos en puntos cuánticos (Benjamin,Lovett y Reina 2004). Finalmente, es importanteanotar los tiempos extremadamente largos paralos cuales persiste el entrelazamiento, dadas lascondiciones consideradas en la Figura 8.

Conclusión

La dinámica de entrelazamiento para unsistema de qubits interactuantes, acoplados a unreservorio de modos bosónicos caracterizado poruna frecuencia de corteωc , se calculó de maneraexacta haciendo uso del método numérico exactoQUAPI. Se encontró que la dinámica cuánticacoherente es asistida, favorecida y prolongadaen el tiempo para el caso de una interacciónsistema-baño en el régimen estrictamente noMarkoviano y que un baño “lento” favorece elproceso de coherencia e interferencia cuánticaen el registrador. Dentro de esta descripción,dos comportamientos crucialmente diferentesen la fenomenología del entrelazamiento seencontrarón: el desvanecimiento súbito deentrelazamiento y los colapsos y resurgimientosdel mismo. Tales características fueron mapeadasdentro de una dependencia funcional que permiteidentificar y cuantificar con claridad amboscomportamientos. Tal dependencia es altamentesensible a las condiciones iniciales y a lafrecuencia de corte, así como también al factor deacoplamiento sistema-baño α, y a la intensidadde interacción entre qubits J .

A la luz de los avances teórico-experimentalessobre teoría de información y de cuantificaciónde correlaciones en sistema cuánticos, seplantean nuevos horizontes de investigación.En particular, el estudio de otros tipos decorrelaciones, más allá del entrelazamiento, yprobablemente más generales y fundamentales(Ollivier y Zurek 2001, Xu, Xu, Li, Zhang,Zou y Guo 2010) son de relevancia actual,así como sus posibles aplicaciones a sistemascuánticos de gran pertinencia como son los




sistemas de moléculas individuales acopladas(Susa y Reina 2012), los complejos fotosintéticosbiomoleculares (Thorwart et al. 2009, Eckel et al.2009) y otros sistemas nano-estructurados, ya seanatural o artificialmente.

Agradecimientos

A la Vicerrectoría de Investigaciones de laUniversidad del Valle por la financiación parciala través del Proyecto No. CI 7859. C. E. Susaagradece al programa de Colciencias JovenesInvestigadores e Innovadores Virginia Gutiérrezde Pineda.

Conflicto de intereses

Este trabajo no presenta conflicto de intereses.

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Coherencia y entrelazamiento en dinámica noMarkoviana de qubits

Resumen. Se presenta el análisis de la dinámica deentrelazamiento de un sistema bipartito de bits cuánticos(qubits) en el régimen no Markoviano. En este, la escalatemporal en la cual evolucionan los grados de libertad delreservorio es del mismo orden de magnitud (o menor)que aquella correspondiente a la evolución del sistemade qubits. En la descripción de la evolución cuánticade los qubits en el régimen no Markoviano se utiliza elmétodo numérico exacto de la Integral de Caminos CuasiAdiabática—QUAPI. Se calculó la dinámica del operadordensidad de los qubits, a partir de la cual se cuantificóla dinámica de las coherencias y de las poblaciones y lainfluencia del ruido cuántico sobre los qubits. Utilizandola negatividad como métrica, se calculó la dinámica decorrelaciones cuánticas no locales (entrelazamiento),la cual permitió identificar una estructura funcionalasociada al régimen no Markoviano en la cual se destacanel desvanecimiento súbito y el colapso y el resurgimientodel entrelazamiento.

Palabras-Clave: Qubits; informacion cuántica;entrelazamiento; decoherencia no Markoviana;nanoestructuras.

Coerência e emaranhamento em dinâmicanão-Markoviana de qubits

Resumo. Apresentamos a análise da dinâmica doemaranhamento num sistema de bits quânticos (qubits)no regime não-Markoviano. Em tal regime, a escala detempo em que os graus de liberdade do reservatórioevolua, é da mesma ordem de magnitude (ou inferior) aoque corresponde à evolução do sistema de qubits. Parafazer isso, nós desenvolvemos o método numérico exatoconhecido como a abordagem da Integral do CaminhoQuasi-adiabático–QUAPI, a fim de descrever a dinâmicadissipativa dos qubits em tal regime não-Markoviano.Isto permitiu-nos calcular a dinâmica do operadordensidade dos qubits, a partir do qual foi quantificadaa dinâmica das coerências e populaçẽs e a influência doruído quântico nos qubits. Usando a negatividade comouma métrica, nós calculamos a dinâmica de correlaçõesquânticas não-locais (emaranhamento), permitindo-nosinterpretar os fenômenos quânticos não-Markovianosem termos da morte súbita e do colapso e renascimentode emaranhamento.

Palavras-Chave: Qubits; informação quântica;emaranhamento; decoerência não-Markoviana;nanoestruturas.



IntroducciónFormulación del problemaHamiltoniano del sistema:Método de la Integral de Caminos Cuasiadiabática—QUAPI:

Dinámica disipativa de qubits interactuantesQubit efectivo acoplado a un baño bosónico:Convergencia del Método:Inversión de Población:

Qubits interactuantes acoplados a un baño bosónico:Poblaciones y Coherencias:Cuantificación del entrelazamiento cuántico:

ConclusiónAgradecimientos Conflicto de interesesReferencias

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