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Abordagem multiobjetivo para problemas de escalas de tripulação em companhias aéreas Inês Isabel Alves Correia Daniel Dissertação para a obtenção do Grau de Mestre em Engenharia e Gestão Industrial Orientador: Prof. José Rui de Matos Figueira Júri Presidente: Prof. Miguel Simões Torres Preto Orientador: Prof. José Rui de Matos Figueira Arguente: Prof. Augusto Manuel José Eusébio Novembro 2017
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Abordagem multiobjetivo para problemas de escalas de tripulação em companhias aéreas
Inês Isabel Alves Correia Daniel
Dissertação para a obtenção do Grau de Mestre em
Engenharia e Gestão Industrial
Orientador: Prof. José Rui de Matos Figueira
Júri
Presidente: Prof. Miguel Simões Torres Preto
Orientador: Prof. José Rui de Matos Figueira
Arguente: Prof. Augusto Manuel José Eusébio
Novembro 2017
ii
AGRADECIMENTOS Aos meus pais, pelo estímulo e apoio que sempre me concederam, mas sobretudo pela oportunidade
em concretizar mais esta etapa.
Aos meus irmãos, pelo entusiamo, apoio e disponibilidade na discussão de ideias.
Ao Professor José Rui Figueira, pela constante motivação e positividade transmitidas, pela orientação
ao longo deste trabalho e pela disponibilidade para o esclarecimento de dúvidas.
Ao Francisco Silva Pinto, pelo incentivo, ajuda e disponibilidade no esclarecimento de dúvidas e por
todas as sugestões que permitiram uma dissertação de mestrado melhor.
Aos meus amigos e restantes familiares que sempre me transmitiram confiança, energia e preciosas
palavras de positivismo.
A todos, que de diferentes formas contribuíram decisivamente para o desenvolvimento desta
dissertação, o meu muito obrigada.
iii
RESUMO A indústria aérea é uma das principais indústrias transportadoras que mais tem contribuído para a
globalização. Como tal, existe uma enorme preocupação para que esta se torne cada vez mais rentável
e sustentável. Assim sendo, a preocupação das companhias aéreas com o serviço oferecido aos
clientes tende a aumentar, nomeadamente no que respeita à eficácia e rapidez com que tudo é
planeado e replaneado. O processo de planeamento é bastante complexo e quando não é possível a
concretização de uma etapa a complexidade aumenta, pois, o espaço de tempo é menor, assim como
os recursos disponíveis. Dada a complexidade e possibilidade de problemas a estudar numa
companhia aérea, o foco de todo o estudo manteve-se no planeamento da tripulação aérea. Como se
sabe os recursos humanos de qualquer empresa, são uma parte fundamental da organização e um dos
capitais mais importantes sendo, portanto um dos que necessita de um maior investimento.
Consequentemente, um bom planeamento e investimento podem levar a companhia aérea a distinguir-
se da concorrência. Deste modo, foi desenvolvido um modelo de otimização multiobjetivo para a
construção de escalas de trabalho para uma companhia aérea com base em Portugal. Este modelo
possuí três objetivos: a minimização do custo extra, o equilíbrio das horas de serviço e o equilíbrio das
horas de voo. Após a execução do modelo de otimização e da análise de cenários efetuada foi possível
concluir que o número de tripulantes, relativamente aos dados iniciais, pode ser reduzido em 50% uma
vez que se obtém melhores resultados.
Palavras-chave: Escalas de trabalho, companhia aérea, tripulação aérea, modelo de otimização
multiobjetivo
iv
ABSTRACT
The airline industry is one of the major transportation industries that has contributed most to
globalization. As such, there is a huge concern to make it increasingly profitable and sustainable.
Therefore, due to the proportions that this industry has achieved, the airlines' concern with the service
offered to it’s customers tends to increase, leading to a need to re-evaluate the efficiency and speed
with which everything is planned. The planning process is quite complex and when it isn’t possible to
accomplish a part of the process it is necessary to redo the whole thing or some parts or steps again
and, in this case, the complexity increases because the time window is shorter as well as the available
resources. Given the complexity and the logistical problems of working in an airline for the purpose of
studying it’s methods, for the thesis, the focus of the whole study was the planning of the crew. As we
all know the human resources of any company are a fundamental part of the organization, one of the
most important and therefore one of the ones that needs a greater investment. This model has three
objectives: the minimization of the extra cost, the balance of service hours and the balance of the flight
hours between the same crew type. After the execution of the optimization model and the scenario
analysis, it was possible to conclude that the number of crew members can be reduced by 50% once
the results are better.
Key-words: Schedules plan, airline company, aircrew, multiobjetive optimization model
v
ÍNDICE
ÍNDICE DE FIGURAS ........................................................................................................................... vii
ÍNDICE DE TABELAS ......................................................................................................................... viii
LISTA DE ACRÓNIMOS ........................................................................................................................ ix
1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 1
1.1 Motivação .................................................................................................................... 1
1.2 Objetivos da dissertação ............................................................................................. 2
1.3 Metodologia ................................................................................................................. 3
1.4 Estrutura da dissertação .............................................................................................. 4
2. DEFINIÇÃO DO PROBLEMA ............................................................................................................. 5
2.1 Evolução da aviação .................................................................................................... 5
2.2 Impacto da economia nas companhias aéreas ............................................................ 6
2.3 Processo de planeamento e replaneamento de uma viagem ....................................... 8
2.4 Conclusões do capítulo .............................................................................................. 15
3. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ............................................................................................................. 16
3.1 Problema de emparelhamento em companhias aéreas ............................................. 16
3.2 Problema de escalonamento em companhias aéreas ................................................ 18
3.3 Integração de problemas de emparelhamento e escalonamento em companhias
aéreas ............................................................................................................................. 19
3.4 Problemas de tripulação em outros transportes ......................................................... 20
3.5 Problemas de tripulação em outras áreas de aplicação ............................................. 22
3.6 Conclusões do capítulo .............................................................................................. 22
4. MODELO DE OTIMIZAÇÃO MULTIOBJETIVO............................................................................... 26
4.1 Formulação do modelo .............................................................................................. 26
4.1.1 Conjuntos e índices ............................................................................................. 26
4.1.2 Parâmetros .......................................................................................................... 26
4.1.3 Variáveis de decisão ........................................................................................... 27
4.1.4 Restrições funcionais .......................................................................................... 27
4.1.5 Funções objetivo ................................................................................................. 50
4.2 Metodologia de aplicação ........................................................................................... 51
4.3 Conclusões do capítulo ............................................................................................... 52
5. CASO DE ESTUDO ...........................................................................................................................53
5.1 Definição do problema .............................................................................................. 53
5.2 Definição da companhia aérea de referência ............................................................. 55
5.3 Parâmetros para o modelo utilizado no IBM ILOG CPLEX Optimization Studio ......... 55
vi
5.3.1 Parâmetros temporais ......................................................................................... 56
5.3.2 Parâmetros de valor extra ................................................................................... 56
5.3.3 Parâmetros dos PSV ........................................................................................... 56
5.3.4 Dados de entrada ................................................................................................ 56
5.4 Aplicação do modelo de otimização ........................................................................... 58
5.5 Análise dos resultados .............................................................................................. 58
5.6 Análise de cenários ................................................................................................... 63
5.6.1 Análise das soluções não dominadas para o cenário 1 ....................................... 63
5.6.2 Análise das soluções não dominadas para o cenário 2 ....................................... 66
5.6.3 Análise das soluções não dominadas para o cenário 3 ....................................... 68
5.7 Recomendações ........................................................................................................ 70
5.8 Conclusões do capítulo ............................................................................................. 71
6. CONCLUSÕES ..................................................................................................................................72
BIBLIOGRAFIA .....................................................................................................................................74
ANEXOS.................................................................................................................................................80
Anexo A – Conjunto e índices definidos para o modelo de otimização ................................... 80
Anexo B – Parâmetros definidos para o modelo de otimização ................................................ 81
Anexo C – Conjunto de variáveis de decisão para o modelo de otimização ........................... 82
Anexo D – Conjunto de variáveis binárias para o modelo de otimização ................................ 83
Anexo E – Caracterização das soluções não dominadas .......................................................... 84
Anexo F – Caracterização das soluções não dominadas para o cenário 3 ............................. 86
vii
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1.1 – Esquematização da metodologia adotada para a dissertação de mestrado ................... 3
Figura 2.1 – Rentabilidade das companhias aéreas ............................................................................ 7
Figura 2.2 – Comparação entre os custos de mão de obra e combustível nas companhias aéreas ... 8
Figura 2.3 – Processo de planeamento de uma viagem ...................................................................... 8
Figura 2.4 – Processo de replaneamento de uma viagem .................................................................. 9
Figura 2.5 – Visão geral do processo da otimização ......................................................................... 10
Figura 2.6 – Representação do problema de escalas de tripulação ................................................... 13
Figura 4.1 – Metodologia a aplicar para o modelo de otimização multiobjetivo ................................ 52
Figura 5.1 – Conjunto de soluções ..................................................................................................... 59
Figura 5.2 – Soluções não dominadas ............................................................................................... 60
Figura 5.3 – Soluções não dominadas (cenário 1) ............................................................................ 64
Figura 5.4 – Soluções não dominadas (cenário 2) ............................................................................ 68
Figura 5.5 – Soluções não dominadas (cenário 3) ............................................................................ 69
viii
ÍNDICE DE TABELAS
Tabela 2.1 – PSV máximo para tripulação de cabina e tripulação de voo com dois pilotos ............... 14
Tabela 2.2 – PSV máximo para tripulação de voo com um piloto ........................................................... 14
Tabela 2.3 – PSV máximo com reforço de tripulação ........................................................................ 14
Tabela 2.4 – Limite de tempo de voo e serviço de voo ...................................................................... 14
Tabela 3.1 – Tabela síntese da revisão bibliográfica ......................................................................... 24
Tabela 5.1 – Características de uma companhia aérea portuguesa versus companhia aérea de
referência ............................................................................................................................................ 55
Tabela 5.2 – Valores atribuídos aos parâmetros temporais .............................................................. 56
Tabela 5.3 – Valores extra atribuídos a cada tripulante pelos minutos voados ................................. 56
Tabela 5.4 – Parâmetros e características dos PSV (horas) ............................................................. 57
Tabela 5.5 – Valores de entrada ........................................................................................................ 58
Tabela 5.6 – Caracterização das soluções não dominadas .............................................................. 61
Tabela 5.7 – Caracterização das soluções não dominadas (continuação) ........................................ 61
Tabela 5.8 – Caracterização das soluções não dominadas para o cenário 1 .................................... 65
Tabela 5.9 – Caracterização das soluções não dominadas para o cenário 1 (continuação) ............. 65
Tabela 5.10 – Caracterização das soluções não dominadas para o cenário 2 .................................. 67
Tabela 5.11 – Caracterização das soluções não dominadas para o cenário 2 (continuação) ........... 68
Tabela 5.12 – Parâmetros e características do PSV alterado para o cenário 3 .................................. 68
Tabela 5.13 – Caracterização das soluções não dominadas para o cenário 3 .................................. 70
ix
LISTA DE ACRÓNIMOS
APTCA – Associação Portuguesa de Tripulantes de Cabina
ATAG – Air Transport Action Group
CE – Comissão Europeia
EUA – Estados Unidos da América
IATA – International Air Transport Association
PSV – Período de Serviço de Voo
1
1. INTRODUÇÃO
Neste primeiro capítulo apresenta-se a dissertação de mestrado. O capítulo encontra-se estruturado
em quatro secções. A secção 1.1 apresenta a motivação para o tema escolhido. A secção 1.2 enumera
os objetivos pretendidos com o estudo deste tema. A secção 1.3 descreve a metodologia adotada e
por último, a secção 1.4 finaliza o capítulo com a apresentação da estrutura do documento.
1.1 Motivação
A indústria aérea é uma das principais indústrias transportadoras que mais tem contribuído para a
globalização. Este forte crescimento representou segundo a ATAG, no ano de 2015, 3.57 biliões de
passageiros transportados pelas companhias aéreas empregando cerca de 62.7 milhões de pessoas,
sendo 10 milhões relacionadas diretamente com a aviação. Em termos lucrativos geraram cerca de
664 milhões USD e espera-se que até 2026 atinjam 1 trilião USD.
Para que a indústria se torne cada vez mais rentável e sustentável é necessário melhorar alguns
aspetos. Um desses aspetos é o impacto ambiental que com o crescente número de voos se torna
cada vez maior. O impacto ambiental engloba a poluição sonora, a poluição do ar e até mesmo a
poluição local. Para a poluição sonora são tomadas medidas legislativas que podem acarretar apenas
uma diminuição dos voos noturnos durante um período de tempo ou a proibição de voos durante um
determinado período de horas. Em Portugal os dois casos são visíveis, segundo o Decreto-Lei n.º
293/2003 de 19 de novembro e a Portaria n.º 259/2005 de 16 de março existe uma restrição de voos
entre as 00:00h e 06:00h no Aeroporto Humberto Delgado e uma proibição, segundo o mesmo
Decreto-Lei, entre as 00:00h e as 06:00h no Aeroporto Internacional de Faro. De forma a combater a
poluição do ar e a diminuir os aproximadamente 33% de custos de operação referentes ao
combustível, algumas medidas como o desenvolvimento de motores mais eficientes e menos
poluentes e a utilização de combustíveis menos agressivos foram já implementadas. Quanto à
diminuição da poluição local, alguns aeroportos como são os casos dos Aeroportos de Baltra
(Equador), Oregon (EUA), São Francisco (EUA) e o Internacional de Guarulhos (Brasil) trabalham para
se tornarem autossustentáveis e diminuírem o seu impacto na comunidade. Estes aeroportos utilizam
autocarros a biodiesel, possuem painéis fotovoltaicos e energia eólica, estações de tratamento de
água internas, gestão de resíduos sólidos, entre outros.
As proporções que esta indústria está a tomar fazem com que cada vez mais as companhias aéreas
se preocupem com o serviço oferecido aos clientes. Deste modo um outro aspeto importante para a
rentabilidade e sustentabilidade da indústria centra-se em cada companhia aérea, na eficácia e
rapidez com que tudo é planeado e replaneado. O serviço prestado, pelas companhias aéreas,
engloba muito mais do que o voo, engloba os planeamentos de outros pequenos serviços como por
exemplos, o avião, o catering, a tripulação de voo, de cabina, que ocorrem de forma sequencial. Se
por algum motivo, interno ou externo à companhia aérea suceder um imprevisto perto da operação
numa das etapas do planeamento, todo o processo terá de ser novamente planeado ou a maior parte
dele, isto terá como consequência, quase inevitável, o atraso ou em caso extremo, o cancelamento
do voo.
2
Este processo de planeamento é por si só bastante complexo. Quando não é possível a
concretização de uma etapa e é necessário replanear, a complexidade aumenta, pois, o espaço de
tempo é menor, assim como os recursos disponíveis. O planeamento do voo, assim como o dos
pequenos serviços podem ser agrupados em quatro categorias principais: aeronave, tripulação, terra
e vendas, como mais tarde serão descritos na secção 2.3 e ilustrados na Figura 2.5. Contudo, devido
à quantidade de problemas a serem otimizados na totalidade destas quatro categorias, o foco de todo
o estudo será apenas na categoria da tripulação. Uma vez que, os recursos humanos de qualquer
empresa, como neste caso a tripulação, são uma parte fundamental das organizações e um dos
capitais mais importantes, e, dos que necessita de um maior investimento. Consequentemente, um
bom planeamento e investimento podem levar a companhia aérea a distinguir-se da concorrência quer
em termos comerciais quer em termos operacionais.
Deste modo, a indústria aérea é um dos exemplos onde a aplicação de métodos de investigação
operacional e de ferramentas para o planeamento de recursos é largamente utilizado. Devido à
multidimensionalidade caraterística destes problemas e à quantidade de restrições envolventes, os
problemas conduzem à construção de modelos de otimização multiobjetivo. E apesar da existência de
software a auxiliar a tomada de decisões para os problemas de tripulação que as companhias aéreas
enfrentam diariamente, é ainda visível uma lacuna entre a realidade enfrentada no controlo de
operações e estes meios informáticos (Clausen et al.,2010). Assim sendo, o estudo para esta
dissertação de mestrado passa por estruturar e desenvolver um modelo de otimização multiobjetivo
que terá como propósito abordar um dos problemas que afeta o planeamento da tripulação, com o
intuito de tornar essa lacuna menor ou mesmo inexistente. O problema a estruturar é o de
emparelhamento e atribuição da tripulação.
1.2 Objetivos da dissertação
Com o desenvolvimento desta dissertação pretende-se resolver um dos problemas relacionados com
a tripulação aérea. Este tipo de problemas tem por norma, uma natureza multidimensional e possui
uma elevada quantidade de restrições funcionais, o que consequentemente deduz à construção de
modelos de investigação operacional, mais especificamente de modelos de otimização multiobjetivo.
Para a construção do modelo proposto é fundamental analisar a envolvente do problema e tudo aquilo
que o condiciona, tal como: as normas existentes relativas aos direitos e deveres da tripulação, os
acordos laborais mais comuns, entre a tripulação e as companhias aéreas e os parâmetros médios
que são livremente definidos pelas companhias aéreas.
Com o objetivo de analisar a eficiência do modelo previamente construído pretende-se aplicar um
estudo de caso de uma companhia aérea, e futuramente a aplicação do modelo e a sua interpretação
de resultados poderão servir de apoio à decisão de companhias aéreas. Esta possível aplicação serve
de base à motivação para o desenvolvimento da dissertação de mestrado.
Como aspetos de investigação procura-se, através do processo de planeamento da tripulação,
reduzir os elevados custos operacionais, que resultam no aumento dos lucros para as companhias
aéreas. Esta escolha recaiu sobre a importância da tripulação na organização e o facto de ser um
capital essencial ao desempenho das companhias aéreas. Assim sendo, um bom planeamento e
3
investimento num dos capitais fundamentais poderá levar a companhia aérea a destacar-se das
restantes, como referido na secção anterior. Desta forma, os principais objetivos com o estudo deste
tema são os seguintes:
- Compreender e descrever a temática relacionada com a indústria aérea;
- Analisar os processos atuais de planeamento e replaneamento de tripulação utilizados pelas
companhias aéreas;
- Avaliar o estado de arte no que diz respeito a modelos de otimização para problemas de
escalas de tripulação;
- Desenvolver um modelo de otimização multiobjetivo para o problema em estudo;
- Aplicar o modelo de otimização a um estudo de caso e analisar os seus resultados, com o
objetivo de retirar recomendações ao modelo construído.
1.3 Metodologia
A metodologia adotada para o desenvolvimento da presente dissertação encontra-se esquematizada
na Figura 1.1.
Deste modo, e com o intuito de tornar mais clara esta metodologia, as etapas têm como principal
foco, o seguinte:
Enquadramento do Problema: nesta primeira etapa o problema será contextualizado através de uma
abordagem a conteúdos de forma a facilitar a compreensão e a definição do mesmo.
Revisão Bibliográfica: na segunda etapa será revisto o estado da arte com o intuito de construir uma
base científica fundamentada para a construção do modelo de otimização multiobjetivo.
Construção de um modelo: a terceira etapa consiste no desenvolvimento do modelo de otimização
multiobjectivo para os problemas de escala de tripulação em companhias aéreas.
Aplicação do modelo: na quarta etapa, o modelo construído na fase anterior será aplicado a um
estudo de caso.
Análise e Discussão de Resultados, e Conclusões: na quinta e última etapa da metodologia os
resultados obtidos da aplicação do modelo serão analisados e discutidos. E, por conseguinte, serão
retiradas as conclusões bem como, as recomendações ao modelo proposto.
Figura 1.1 - Esquematização da metodologia adotada para a dissertação de mestrado
Enquadramento do problema
Revisão bibliográfica
Construção de um modelo
Aplicação do modelo
Análise e discussão de resultados e
conclusões
4
1.4 Estrutura da dissertação
Nesta secção é apresentada a estrutura da dissertação, a qual contempla um total de sete capítulos
distintos, sendo este inclusive o seu primeiro com o objetivo inicialmente referido.
- Capítulo 2 - Definição do problema: neste capítulo será realizada uma breve introdução à
história da aviação e como forma de definir o problema de tripulação serão abordadas todas
as etapas do processo de planeamento e respetivos problemas.
- Capítulo 3 - Revisão bibliográfica: no terceiro capítulo é realizada uma revisão de conceitos,
metodologias e tipos de modelação e resolução dos problemas de tripulação.
- Capítulo 4 – Modelo de otimização multiobjetivo: no quarto capítulo será descrito o modelo
de otimização desenvolvido para a resolução do problema.
- Capítulo 5 – Estudo de caso: no quinto capítulo será apresentado o estudo de caso no qual
se aplicará parte do modelo desenvolvido. Ademais, serão analisados os resultados obtidos a
partir da execução do modelo de otimização.
- Capítulo 6 – Conclusões: neste último capítulo serão expostas as conclusões da dissertação
e as orientações para o trabalho futuro.
5
2. DEFINIÇÃO DO PROBLEMA
Neste segundo capítulo apresenta-se a definição do problema. O capítulo encontra-se estruturado em
quatro secções. A secção 2.1 apresenta uma breve introdução à evolução da aviação. A secção 2.2
analisa o impacto de fatores externos na economia das companhias aéreas. A secção 2.3 descreve o
processo de planeamento e replaneamento de uma viagem, assim como as particularidades do
planeamento da tripulação. Por último, a secção 2.4 apresenta as conclusões do capítulo.
2.1 Evolução da Aviação
Foi durante o século XV que surgiram os primeiros manuscritos, da autoria de Leonardo da Vinci, com
descrições e esquemas sobre as primeiras máquinas voadoras. Com base nestes estudos e até aos
dias hoje ocorreu uma enorme evolução na aviação (Basto, 2003).
No início do século XX, por volta do ano 1903 os irmãos norte americanos Wright contribuíram
fortemente para a aviação ao desenvolverem um aparelho voador controlado mais pesado do que o
ar. O Wright Flyer I, assim denominado, possuía hélices de madeira e um motor a gasolina que servia
como impulsionador (Basto, 2003).
Em 1906, o brasileiro Roberto Santos-Dumont alcançou uma proeza no campo de Bagatelle, em
Paris. Com o seu 14-bis impulsionado por um motor a gasolina conseguiu movimentar ao longo de
uma pista, descolar, voar algumas dezenas de metros e por fim aterrar o avião. Para a época foi um
marco importantíssimo e que lhe concedeu reconhecimento mundial (Basto, 2003). Poucos anos mais
tarde, em 1912, Harriet Quimby, era considerada a primeira mulher piloto a atravessar o Canal da
Mancha, um trajeto com duração de aproximadamente uma hora.
A aviação era então considerada uma das atividades mais promissoras da época, onde a constante
inovação por aviões com o objetivo de realizar voos cada vez mais eficientes era uma desafiante
competição por toda a Europa e América do Norte (Castro, 2012). Nesta altura, a atividade aérea era
retida como uma grande festividade, contudo, esta imagem acabou por se denegrir poucos anos
depois com o início da Primeira Guerra Mundial (Crouch, 2008).
Foi durante este cenário bélico entre 1914 e 1918 que a indústria aérea sofreu uma enorme
evolução devido à utilização de aviões em serviços militares (Castro, 2012). A sua utilização inicial era
de reconhecimento e localização de tropas inimigas e só mais tarde foram utilizados em combates
aéreos. Na época foi considerado um grande avanço, no entanto, as técnicas não eram ainda precisas
e muito havia ainda para melhorar.
No Pós Primeira Guerra Mundial a utilização de aviões militares decresceu significativamente, o
que desencadeou a procura de novas formas de utilização. Deste modo, o período entre a Pós
Primeira Guerra Mundial e a Segunda Guerra Mundial representou um grande desenvolvimento para
a atividade aérea. Com a venda dos aviões militares surgiram as primeiras companhias áreas que se
dedicavam esporadicamente ao transporte de mercadorias e alguns passageiros (Crouch, 2008). Com
o tempo desenvolveram-se técnicas para a criação de aviões com maiores dimensões, de forma a
alocarem um maior número de passageiros e uma maior quantidade de carga. Estes novos aviões
atingiam altitudes e distâncias maiores em menos tempo, eram mais cómodos e apresentavam
melhorias na tecnologia de rádio telecomunicações (Grant, 2010). Ainda neste período, a 13 de
6
outubro de 1919, ocorreu em Paris, com a presença de 27 Estados, a Convenção Internacional sobre
a Navegação Aérea, na qual se iniciou o desenvolvimento do direito aéreo internacional e reconhecia
o direito a cada Estado, de controlar o espaço aéreo que cobria o seu território e as suas águas
territoriais (Crouch, 2008).
Entre 1939 e 1945 surgiu a Segunda Guerra Mundial e mais uma vez os aviões tiveram um papel
fundamental. Devido ao seu grande desenvolvimento, era possível, para além do controlo do espaço
aéreo e dos combates, o reconhecimento e o apoio às tropas em terra bem como bombardeamentos
estratégicos. Foi também neste período bélico que a indústria aérea sofreu novamente uma grande
evolução e onde surgiram os primeiros jatos, helicópteros, armas nucleares e se desenvolveram
sistemas eletrónicos (Crouch, 2008).
Com o Pós Segunda Guerra Mundial a indústria aérea passou a dedicar-se maioritariamente à
aviação civil, abandonando a transformação de aviões militares em aviões civis e dedicando-se
principalmente à construção destes últimos. Com o desenvolvimento e procura constantes por
melhores técnicas surgiu, em 1947, o primeiro avião de transporte comercial da Boeing, denominado
de Boeing 377 e em 1958 o Boeing 707, considerado o primeiro avião a jato de passageiros. Ambos
os modelos podiam transportar cerca de 100 passageiros e realizar viagens de longa distância sem
que, para isso, necessitassem de realizar escalas. Posteriormente, foi iniciada a produção do Boeing
737, considerado o avião comercial mais vendido da história com cerca de 9000 aeronaves produzidas
até ao presente. Anos mais tarde surgiu o Boeing 747, capaz de transportar num único voo cerca de
500 passageiros, este modelo foi o primeiro Widebody – aeronave com três filas de assentos – e foi
considerado o maior avião até ao surgimento do A380, da empresa Airbus, no ano de 2005. Já no
início da década de 70 surgiram os primeiros aviões supersónicos para o transporte de passageiros e
na de 90 deu-se a projeção e o desenvolvimento computacionais do primeiro avião, que atualmente é
ainda tido como o maior bijato da história, o Boeing 777. Desde os anos 2000 até à atualidade, o foco
na indústria aérea passa pelo desenvolvimento do controlo de aviões à distância, sem que para isso
necessitem de tripulação de voo.
O crescimento da indústria aérea foi além do desenvolvimento de aviões cada vez mais
sofisticados, com eles surgiram novas profissões, novas empresas e novas infraestruturas como é o
caso dos aeroportos. Atualmente, o transporte aéreo tornou-se num dos principais meios de
transporte, representando biliões de passageiros transportados e toneladas de carga por ano.
2.2 Impacto da economia nas companhias aéreas
Em meados do século XXI, a indústria da aviação civil sofreu alguns impactos económicos, grande
parte devido a acontecimentos como o Pós-Guerra do Golfo e a consequente recessão económica
(1990-1994), o 11 de setembro (2001) e a crise económica e financeira (2008-2009), como se pode
constatar pela Figura 2.1. Estes acontecimentos conduziram a uma guerra de preços entre as
companhias aéreas o que consequentemente levou as mais frágeis à falência. Todos estes fenómenos
juntamente com a Guerra no Iraque (2003-2011) e o aumento consecutivo do preço do crude (2002-
2008) levaram as companhias aéreas a repensarem em novas estratégias de redução dos custos
(Ferreira et al., 2011).
7
De todos os custos, os operacionais são os mais figurativos e uma forma de os reduzir passa pela
análise do processo de planeamento de uma viagem aérea e a sua posterior otimização.
Os custos de combustível e de mão de obra representam uma parte bastante significativa dos
custos operacionais. Desta forma, para combater os custos de combustível, as companhias aéreas
juntamente com os fabricantes de aeronaves tentam desenvolver motores mais eficientes e formas
mais económicas de combustível. Relativamente à redução dos custos de mão de obra, existe a
necessidade de otimizar a utilização e alocação dos trabalhadores (Ferreira et al., 2011). Na Figura
2.2 é possível observar a relação entre estes os dois custos nas companhias aéreas norte americanas,
europeias, pacífico-asiáticas e nas companhias aéreas com maior quota no mercado mundial.
Podemos concluir através da análise do primeiro gráfico da Figura 2.2 que até 2006 o custo de
mão de obra foi sempre superior ao custo do combustível para as companhias aéreas norte-
americanas. Para as companhias aéreas europeias o custo do combustível só se tornou superior ao
custo de mão de obra a partir de 2008 e para as companhias aéreas pacífico-asiáticas o valor do custo
de combustível só se tornou superior a partir de 2003. Para as principais companhias aéreas
comerciais o ponto de interseção entre os dois principais custos operacionais dá-se entre 2005 e 2006.
Porém, uma análise mais atenta ao custo de mão de obra verifica que os valores são menores para
as companhias asiáticas do que para as europeias e norte americanas devido ao valor dos salários
médios serem inferiores (IATA Economic Briefing, 2010).
Figura 2.1 – Rentabilidade das companhias aéreas
% d
e R
ec
eit
a
Margem de EBIT
US
$ (
bil
iões
)
Lucro após-imposto
8
2.3 Processo de planeamento e replaneamento de uma viagem
Para a realização de uma viagem existe uma sequência de etapas a ter em conta. Na Figura 2.3 está
ilustrada essa sequência, constituída por cinco etapas consideradas as mais importantes a serem
realizadas pelas companhias aéreas. A primeira etapa passa por definir o horário de voo tendo em
conta a previsão da procura e a disponibilidade dos aeroportos. De seguida é atribuído um tipo de
avião, dependendo dos recursos que a companhia possui, do número de passageiros esperados e do
tipo de voo. Posteriormente, na terceira etapa, é definida a sequência de voos, ou seja, o período de
serviço de voos dos aviões, no qual devem ser garantidos os requisitos legais e ainda deve ser
assegurado que o número de aviões não ultrapasse o número disponível na frota. Na quarta etapa é
atribuído a cada segmento de voo a tripulação, à qual é importante assegurar algumas condições, como
por exemplo: devem ser garantidos os tempos de serviço, repouso, férias e de formação. A última etapa
consiste em atribuir a cada segmento de voo um avião específico dos disponíveis na frota da companhia
aérea (Clausen et al. 2010).
Definição do horário
de voo
Escolha do tipo de avião
Período de serviço do
avião
Planeamento da tripulação
Atribuição do avião ao voo
Figura 2.3 - Processo de planeamento de uma viagem
Figura 2.2 – Comparação entre os custos de mão de obra e combustível nas companhias aéreas
% d
e C
usto
s O
pera
cio
nais
% d
e C
usto
s O
pera
cio
nais
Mão de Obra
Combustível
Companhias Aéreas Norte Americanas Companhias Aéreas Europeias
Mão de Obra
Combustível
Companhias Aéreas Pacífico-Asiáticas Principais Companhias Aéreas
Mão de Obra
Mão de Obra Combustível
% d
e C
usto
s O
pera
cio
nais
% d
e C
usto
s O
pera
cio
nais
Combustível
(%)
40
35
30
25
20
15
10
5
0
(%)
40
35
30
25
20
15
10
5
0
(%)
40
35
30
25
20
15
10
5
0
(%)
40
35
30
25
20
15
10
5
0
2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008
2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008
9
O planeamento é um processo extremamente complexo devido à variedade de restrições e leis a
serem cumpridas em cada etapa. Para os diferentes tipos de aviões há que garantir a realização da
manutenção. Para os aeroportos as suas caraterísticas e regulamentos devem ser respeitados, assim
como as leis dos países de origem e de destino do voo. No que se refere à tripulação, tanto de cabina
como de voo, devem ser cumpridos os acordos laborais.
Todavia, o planeamento nem sempre é exequível devido a falhas internas e/ou externas à
companhia aérea. Entenda-se por falhas internas, aquelas que estão diretamente relacionadas com a
companhia aérea, ou seja, as faltas ou atrasos da tripulação e avarias nos aviões. As falhas externas
podem ser, sobretudo, alterações às condições climatéricas previstas, mudanças nas previsões da
procura ou algum problema de segurança nos aeroportos. Quando um destes problemas se verifica,
a complexidade da situação aumenta ainda mais, uma vez que é necessário replanear e realocar
todos os recursos (tripulação, bagagem, avião, refeições, passageiro, etc.) num curto espaço de tempo
com vários objetivos conflituantes. Assim como o planeamento, o replaneamento também possui uma
sequência de etapas como se pode observar na Figura 2.4.
Em primeiro lugar é resolvido o problema do agendamento do voo, isto é, é gerado um novo horário
com a mesma origem e destino. A etapa seguinte tem como objetivo atribuir a tripulação de voo e de
cabina ao novo horário de voo, posteriormente são resolvidos os problemas de terra e por último é
analisado o impacto de toda a situação nos passageiros.
Apesar das cinco etapas referidas no processo de planeamento e ilustradas na Figura 2.3, sendo
as mais caraterísticas e mencionadas na literatura, existem muitas outras etapas que por não serem
consideradas tão importantes no processo de operações da companhia aérea, são pouco aludidas.
Muitas destas etapas são conduzidas por departamentos que não o de operações, como por exemplo
o departamento de vendas e de marketing e até mesmo por empresas externas como acontece com o
manuseamento da bagagem ou o catering. Contudo, para que o serviço final prestado tenha a
qualidade pretendida, todos os departamentos e serviços externos devem estar integrados e em
sintonia. Deste modo, associadas à aeronave, à tripulação, à terra e às vendas existem outras tarefas
a serem otimizadas e que influenciam o desempenho do serviço final, como se pode visualizar pela
Figura 2.5.
Figura 2.4 - Processo de replaneamento de uma viagem
Replanear o horário de voo
Replanear o problema de
tripulação
Replanear os problemas de
terra
Preocupação com os
passageiros
10
Como se pode constatar na Figura 2.5, para o tópico da aeronave existem oito otimizações
possíveis. A primeira, denominada por planeamento da frota preocupa-se com o tipo de aeronaves e
a sua respetiva quantidade, por outro lado, o planeamento de voos preocupa-se com que mercado e
frequências a companhia deve operar os seus voos. A terceira otimização diz respeito à atribuição da
frota com o objetivo de conceder a cada segmento de voo um tipo de avião e dependendo do tipo de
avião selecionado, é necessário realizar a rotação do mesmo, isto implica considerar um período de
tempo para a realização da manutenção de cada avião individualmente. Relativamente à quinta
otimização, denominada por planeamento do estacionamento o objetivo principal é definir um espaço
para o estacionamento do avião de tal forma que minimize a distância entre os passageiros e as suas
respetivas bagagens. De seguida, a atribuição do avião consiste em designar uma aeronave
específica a um segmento de voo, anteriormente definido. O controlo de operações, considerado o
sexto processo de otimização tem como finalidade reagir às falhas internas e externas que possam
ocorrer durante todo o processo de planeamento e operações. E por último, a recuperação da
aeronave é realizada para garantir o serviço aos clientes quando um dos tipos de falhas anteriormente
referidos se verifica e resulta no atraso ou cancelamento do voo.
O segundo tópico diz respeito à tripulação e engloba cinco possíveis otimizações. O primeiro
problema diz respeito ao planeamento da força de trabalho e deve assegurar que existam tripulantes
suficientes a longo prazo que garantam a cobertura dos voos futuros tendo em atenção os períodos
de formação e férias de todos os tripulantes. A segunda otimização possível denomina-se por
emparelhamento da tripulação e consiste em desenvolver uma sucessão de segmentos de voos para
Emparelhamento da tripulação
Atribuição da tripulação
Controlo da tripulação
Recuperação da tripulação
Planeamento da força de
trabalho
Planeamento da frota
Planeamento
do voo
Atribuição da frota
Rotação dos aviões
Planeamento do
estacionamento
Atribuição do avião
Controlo de
operações
Recuperação do avião
Aeronave
Tripulação
Terra
Vendas
Serviço ao cliente
Serviço de terra
Manuseamento da bagagem
Preço Gestão da receita Recuperação
de passageiros
Estratégia Planeamento Operações & Recuperação
Figura 2.5 – Visão geral do processo de otimização (adaptado de Athens Week, 2016)
11
cada tripulante que respeitem os requisitos legais, cubram todos os segmentos de voo. Um outro
problema bastante caraterístico do tópico da tripulação é a atribuição de tripulantes que muitas vezes
é otimizado juntamente com o emparelhamento. O seu objetivo é construir escalas de trabalho
associados a cada tripulante tendo em consideração as férias, os períodos de descanso, formação e
por vezes exigências dos trabalhadores. Estes dois últimos problemas, como se pode observar pela
figura, caraterizam o processo de planeamento da tripulação. A quarta otimização, denominada por
controlo da tripulação tem como intuito executar pequenos ajustes nas escalas, realizar o check-in da
tripulação momentos antes da operação, comunicar notificações de última hora e confirmar o
alojamento hoteleiro. Por último, assim como acontece no caso dos aviões, também a tripulação
possui uma etapa de recuperação, caso alguma das falhas se verifique e se tenham de tomar medidas
corretivas de forma a garantir o serviço pretendido pelos clientes.
O terceiro tópico, referente aos problemas de terra é constituído por três possíveis otimizações. O
serviço de clientes, como o próprio nome indica apoia os consumidores desde a aquisição do bilhete
de avião, realização do check-in, até ao seu embarque. Por outro lado, o serviço de terra, preocupa-
se com aspetos mais técnicos como por exemplos os serviços de rampa, catering, reabastecimento
de combustíveis e reboque. Por último, o manuseamento da bagagem como o próprio nome indica é
o serviço que se responsabiliza por todas as bagagens de porão.
Finalmente, o quarto tópico diz mais respeito à sustentabilidade das companhias aéreas do que às
operações em si. A primeira das três possíveis etapas a otimizar diz respeito à definição de restrições
e preços, enquanto a segunda estabelece o preço para determinados períodos de tempo. O último
processo de otimização assim como acontece nos tópicos referidos anteriormente, possui uma etapa
de recuperação orientada para os passageiros, caso ocorra alguma disrupção.
Planeamento da tripulação
O propósito desta dissertação passa pela resolução eficiente do processo de planeamento da
tripulação, que, devido à sua natureza multidimensional resulta na construção de um modelo de
otimização multiobjetivo. Deste modo, de todos os problemas possíveis de otimizar referidos na secção
2.4, serão os problemas de tripulação a essência deste estudo. A partir desta secção será dada uma
maior ênfase a este tipo de problema, sem pormenorizar os restantes. Dos cinco problemas de
tripulação mencionados na Figura 2.5, os dois caraterísticos do planeamento e aos quais será dado um
maior destaque serão os problemas de emparelhamento e de atribuição de tripulantes.
O emparelhamento consiste em construir uma sequência de segmentos de voo atribuindo membros
genéricos da tripulação de forma a cobrir todos os voos, garantindo o cumprimento de todas as
restrições governamentais e acordos laborais. Este tipo de problemas acarreta algumas restrições, que
devem ser garantidas para o cumprimento dessas legislações, tais como: o horário de chegada e
partida na mesma cidade não pode coincidir, o período de conexão entre os segmentos de voo deve
ser cumprido, as limitações das funções, do tempo e do número de voos devem ser respeitadas, o
período total máximo longe da base e o descanso mínimo noturno entre serviços/segmentos de voo
não devem ser ultrapassados. Idealmente, o objetivo seria a tripulação nunca abandonar o mesmo
avião durante o serviço, contudo, devido à tripulação necessitar de mais períodos de repouso do que a
12
aeronave, o problema da rotação dos aviões raramente coincide com o emparelhamento da tripulação.
E apesar do objetivo deste problema ser cobrir todos os voos, há que garantir que sejam cobertos por
um número de tripulantes mínimos.
Por outro lado, a atribuição de tripulantes consiste em alocar membros específicos e disponíveis da
companhia aérea de forma a cobrir todos os emparelhamentos previamente definidos e formar escalas
de trabalho. Existem três modos principais de atribuição: linhas-de-proposta, escalonamento e um
sistema preferencial de linhas-de-proposta. O primeiro baseia-se na construção de escalas, sem
conceder algum tipo de preferências aos tripulantes, quer em termos de serviço ou data. Realizada a
construção das escalas, os tripulantes têm apenas de relatar as suas preferências à companhia aérea,
que posteriormente atribui a cada tripulante um desses horários por um sistema prioritário previamente
definido pela companhia aérea. O segundo tipo é um pouco mais complexo, uma vez que constrói
escalas individualizadas tendo em conta, se possível, algumas preferências em termos de datas ou
serviços desejados pela tripulação. O último tipo é uma variante dos dois anteriores, consistindo na
construção de escalas individuais com o objetivo de maximizar a utilização da tripulação e a posterior
seleção é efetuada por um sistema prioritário previamente definido pela companhia aérea (Athens
Week, 2016).
Este problema, como todos os outros, pode ter os mais diversos objetivos e restrições como se
encontra exemplificado pela Figura 2.6. Para além dos dois elementos referidos, nesta figura, estão
também ilustradas as possíveis atividades destinadas aos tripulantes e as suas caraterísticas, que
podem ser um elemento fundamental para o tipo de serviço/atividade a desempenhar. Juntos e
dependendo uns dos outros, os quatro elementos, formam a escala para cada tripulante e na sua
totalidade resultará numa lista de escalas.
As soluções do problema de atribuição são obtidas separadamente para os dois tipos de tripulação,
uma vez que a tripulação de voo necessita de formação especializada para cada diferente tipo de
aeronave pilotada, contrariamente a tripulação de cabina não necessita de quaisquer formações para
trabalhar em diferentes tipos de aeronaves.
13
Existem dois tipos diferentes de tripulação a serem planeados. A tripulação de voo que é
responsável pelas descolagens, aterragens e pelo voo em si e a tripulação de cabina, que segundo a
APTCA, é responsável pela segurança dos passageiros e do avião, por medidas de salvamento em
caso de incidente ou acidente durante o voo e pelo serviço em confortar os passageiros durante a
viagem.
Relativamente aos horários de trabalho dos tripulantes, para além do período de duração do(s)
voo(s), também denominado tempo de voo, comporta ainda a apresentação, com hora pré-determinada
pela companhia aérea, antes do voo, no aeroporto, o período de estacionamento no aeroporto de
destino, os tempos de escala e ainda o período de transporte entre a estadia e o aeroporto (quando
necessários). A agregação de todos os tempos em que os tripulantes estão de serviço, denomina-se
período de serviço de voo.
Em Portugal, por exemplo, as restrições relativas à limitação horária pelos tripulantes que executam
operações de transporte aéreo de passageiros, carga ou correio por companhias aéreas nacionais
encontra-se legislada pelo Decreto-Lei n. º139/2004 de 5 de junho. O qual transpôs a Diretiva n.º
2000/79/CE de 27 de novembro, adotada pela Comissão Europeia, “visa o estabelecimento de normas
mínimas de proteção da saúde e da segurança dos trabalhadores, com vista a garantir a própria
segurança do voo. A limitação do tempo de voo e do PSV estabelecida no presente diploma visa, assim,
assegurar aos tripulantes, no início e durante cada PSV, o domínio e a utilização de todas as suas
capacidades físicas e psíquicas”, (disponível no Decreto-Lei n.º 139/2004). Nas Tabelas 2.1, 2.2 e 2.3
pode-se observar os limites de valores para o serviço de voo para a tripulação de cabina quando
existem dois pilotos, para a tripulação de voo quando existe apenas um piloto e para a tripulação
quando existe reforço, respetivamente. Na Tabela 2.4 pode-se observar os limites laborais semanais,
mensais, trimestrais e anuais para o tempo total de voo e tempo total de serviço de voo.
Lista de escalas
Escala para o
tripulante
Tripulação • Histórico;
• Qualificações;
Restrições
• Tempo de descanso;
• Folgas, férias;
• Limites laborais;
• Regras da companhia aérea.
Atividades
• Voo;
• Reservas;
• Trabalho em Terra;
• Formação.
Objetivos
• Custo;
• Igualdade nas horas voadas;
• Robustez;
• Minimizar o número de tripulantes;
Figura 2.6 – Representação do problema de escalas de tripulação (adaptado de Kohl e Karisch, 2004)
14
Tabela 2.1 – PSV máximo para tripulação de cabina e tripulação de voo com dois pilotos (adaptado de Decreto-
Lei n.º 139/2004 de 5 de junho)
Hora de apresentação
(hora local do ponto de partida) (𝑯𝑨)
Número de aterragens como tripulante em funções (𝑵𝑨)
𝒏𝒂 = 2 𝒏𝒂 = 3 𝒏𝒂 = 4 𝒏𝒂 = 5 𝒏𝒂 = 6 𝒏𝒂 =7 𝒏𝒂 = 8 𝒏𝒂 = 9
07:00h – 13:59h 𝒉𝒂 = 𝟏 14:00h 13:15h 12:30h 11:45h 11:00h 10:15h 9:30h 9:00h
14:00h – 15:59h 𝒉𝒂 = 𝟐 13:30h 12:15h 11:30h 10:45h 10:00h 9:15h 9:00h 9:00h
16:00h – 17:59h 𝒉𝒂 = 𝟑 12:30h 11:45h 11:00h 10:15h 9:30h 9:00h 9:00h 9:00h
18:00h – 03:59h 𝒉𝒂 = 𝟒 12:00h 11:15h 10:30h 9:45h 9:00h 9:00h 9:00h 9:00h
04:00h – 04:59h 𝒉𝒂 = 𝟓 12:00h 11:15h 10:30h 9:45h 9:00h 8:15h 7:30h 6:45h
05:00h – 05:59h 𝒉𝒂 = 𝟔 12:00h 11:15h 10:30h 9:45h 9:00h 8:15h 7:30h 6:45h
06:00h – 06:59h 𝒉𝒂 = 𝟕 13:30h 11:45h 11:00h 10:15h 9:30h 8:45h 8:00h 7:15h
Tabela 2.2 – PSV máximo para tripulação de voo com um piloto (adaptado de Decreto-Lei n.º 139/2004 de 5 de
junho)
Hora de apresentação
(hora local do ponto de partida) (𝑯𝑷)
Número de aterragens como tripulante em funções (𝑵𝑷)
𝒏𝒑 = 1, 2, 3, 4 𝒏𝒑 = 5 𝒏𝒑 = 6 𝒏𝒑 = 7
07:00h – 13:59h 𝒉𝒑 = 𝟏 10:00h 9:15h 8:30h 8:00h
07:00h – 13:59h 𝒉𝒑 = 𝟐 9:30h 8:45h 8:00h 8:00h
14:00h – 15:59h 𝒉𝒑 = 𝟑 9:00h 8:15h 8:00h 8:00h
16:00h – 17:59h 𝒉𝒑 = 𝟒 8:30h 7:45h 7:00h 6:15h
18:00h – 03:59h 𝒉𝒑 = 𝟓 7:45h 7:00h 6:15h 5:30h
04:00h – 04:59h 𝒉𝒑 = 𝟔 7:45h 7:00h 6:15h 5:30h
05:00h – 05:59h 𝒉𝒑 = 𝟕 7:45h 7:00h 6:15h 5:30h
06:00h – 06:59h 𝒉𝒑 = 𝟖 9:30h 8:45h 8:00h 8:00h
No caso de o avião não possuir piloto automático, certificado e operacional, o limite máximo de
serviço de voo é de 7h para os tripulantes de voo.
Tabela 2.3 – PSV máximo com reforço de tripulação (adaptado de Decreto-Lei n.º 139/2004 de 5 de junho)
Número de aterragens (𝑵𝑨)
𝒏𝒂 = 1, 2, 3 𝒏𝒂 = 4
Reforço
(𝑯.)
(h = 1) +50% da Tripulação de voo
+25% da Tripulação de cabina 16:30h 14:30h
(h = 2) +100% da Tripulação de voo
+50% da Tripulação de cabina 18:00h 16:00h
O limite máximo de aterragens para o PSV com reforço é de três, no caso de se efetuarem quatro
aterragem as horas de serviço máximas reduzem-se em duas horas.
Tabela 2.4 – Limite de tempo de voo e serviço de voo (adaptado de Decreto-Lei n.º 139/2004 de 5 de junho)
PSV - Período de Serviço de Voo; TTV – Tempo Total de Voo
Limite Semanal Limite Mensal Limite Trimestral Limite Anual
PSV TTV PSV TTV PSV TTV PSV
Tripulação de voo 55 95 190 285 480 900 1800
Tripulação de cabina
60 95 190 285 480 900 1800
15
No mesmo Decreto-Lei estão também estipuladas os períodos mínimos de repouso da tripulação,
as folgas e férias e ainda as restrições acerca dos períodos de serviço noturno.
No que concerne à duração dos voos existem habitualmente três classificações consoante a sua
extensão: voo doméstico ou de curta duração/distância, voo de médio-curso e voo de longo-curso. A
sua distinção diverge de companhia aérea para companhia aérea, em algumas companhias o voo
doméstico carateriza-se por ser efetuado em território nacional, noutras por um limite superior de
distância e em outros casos é definido por um limite superior de horas de voo. Quanto aos voos de
médio curso são definidos principalmente por intervalos de tempo ou intervalos de distância, o mesmo
acontece para os voos de longo-curso que são definidos por um limite inferior de duração ou de
distância da viagem.
2.4 Conclusões do Capítulo
O presente capítulo, denominado de definição do problema tem como objetivo principal descrever o
assunto que será abordado ao longo da dissertação de mestrado. Para tal, em primeiro lugar descrito
o surgimento das primeiras aeronaves e a sua evolução ao longo da história até se tornar num dos
principais meios de transporte. Todavia, apesar das dimensões que a indústria da aviação civil tomou,
quer em termos de passageiros transportados quer em termos de carga, os resultados têm sido
instáveis. Esta instabilidade deve-se muito a aspetos económicos e financeiros como crises,
recessões, conflitos internacionais, variabilidade dos preços do combustível e ataques terroristas. Este
conjunto de elementos provocou uma diminuição da procura e das receitas e consequentemente
estimulou as companhias aéreas a conceber e desenvolver novas formas para assegurar e aumentar
os lucros. Uma das formas encontradas passa pela revisão de todo o processo de planeamento que
carateriza uma viagem aérea. Deste modo, eliminando tudo aquilo que não acrescenta valor para o
cliente e otimizando todas as tarefas imprescindíveis ao bom serviço é possível alcançar os objetivos
pretendidos. Uma dessas tarefas indispensáveis é o planeamento da tripulação. Assim sendo, dos
cinco processos possíveis de otimizar relacionados com a tripulação, aqueles que serão abordados
por serem mais significativos são: o emparelhamento e a atribuição da tripulação.
Deste modo, em primeiro lugar é necessário definir os objetivos que se pretende otimizar e
identificar as restrições do problema. Dependendo das caraterísticas dos voos e da tripulação é
atribuído a cada segmento os tripulantes que preencham os requisitos necessários. Como foi referido
ao longo do capítulo, a indústria da aviação civil compreende um número elevado de regulamentação,
portanto, é necessário garantir que todos os processos se encontrem em conformidade com a
legislação. No Capítulo 4, será descrito o modelo de otimização desenvolvido para a resolução do
problema pormenorizando todas as suas características.
.
16
3. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Neste terceiro capítulo apresenta-se a revisão bibliográfica. Na qual se procede a uma revisão de
conceitos, metodologias, tipos de modelação e resolução dos problemas de emparelhamento e
atribuição na indústria aérea e em áreas onde a sua utilização é similar. O capítulo encontra-se
estruturado em seis secções. A secção 3.1 apresenta um conjunto de estudos para o problema de
emparelhamento na área dos transportes aéreos. A secção 3.2 apresenta um conjunto de estudos
efetuados para o problema de atribuição da tripulação aérea. A secção 3.3 aborda a integração dos
dois problemas anteriormente mencionados em companhias aéreas. A secção 3.4 apresenta alguns
estudos elaborados para ambos os problemas, em diferentes meios de transporte. A secção 3.5 tem
como objetivo apresentar os estudos realizados para problemas similares no setor da saúde. E por
último a secção 3.6 apresenta as principais conclusões.
3.1 Problema de emparelhamento em companhias aéreas
Desaulniers et al. (1997) estudaram a resolução do problema de emparelhamento da tripulação. Tendo
como objetivo encontrar uma solução que minimizasse os custos de emparelhamento garantindo a
cobertura de todos os segmentos de voo. Os autores propuseram uma formulação através do problema
de fluxo em redes multiproduto não linear. De forma a resolver o modelo foi utilizado o algoritmo de
partição e avaliação baseado na decomposição de Dantzig-Wolfe. O problema principal tornou-se um
modelo do tipo partição de conjuntos e os emparelhamentos foram gerados através de subproblemas
do tipo caminho mais curto. Os resultados da abordagem aproximada foram comparados com os
resultados dos sistemas utilizados na Air France. Uma outra abordagem para o mesmo tipo de
problema, com o mesmo objetivo e com a utilização do problema do caminho mais curto foi estudada
e proposta por Muler et al. (2010). Estes autores formularam o modelo, como um problema de cobertura
e resolveram-no através da geração de colunas. Uma vez que o problema incluiu aspetos de robustez
tornando a resolução do modelo mais complexa foram necessárias adaptações ao problema do
caminho mais curto. Os resultados desta abordagem aproximada foram obtidos através de dados reais
de companhias aéreas locais turcas. Também Reisi-Nafshi et al. (2013) estudaram o problema de
emparelhamento de tripulação com o mesmo objetivo e utilizando também como resolução o problema
do caminho mais curto. Os autores propuseram modelar o problema como uma partição de conjuntos
e como método de resolução utilizaram a relaxação de programação linear baseada na geração de
colunas. Consequentemente para a resolução do subproblema de geração de colunas foram utilizados
dois algoritmos SPRCF (caminho mais curto com restrição de recursos na rede de voos) e SPRCD
(caminho mais curto com restrição de recursos na rede dos tempos de serviço). De forma a avaliar
eficácia da abordagem aproximada, os algoritmos foram comparados com o algoritmo proposto por
Makri e Klabanj (2004) em problemas reais das duas maiores companhias aéreas iranianas. Por outro
lado, Zeren et al. (2016) propuseram a utilização do problema do caminho mais curto como um método
de modelação e não como um método de resolução como até aqui este problema tinha sido abordado.
Os autores propuseram modelar e resolver o problema principal como um problema de cobertura e
modelar o subproblema de preços como um problema de caminho mais curto. A resolução deste
subproblema passou pela utilização de algoritmos heurísticos e exatos num grafo conexo. De forma a
17
poder comparar a eficácia desta abordagem aproximada, os autores utilizaram dados reais da Turkish
Airlines e compararam os seus resultados com os praticados pela companhia.
Um outro método de resolução recorrentemente utilizado na literatura como se pode conferir pelos
trabalhos anteriores é a geração de colunas. Yan et al. (2001) estudaram o problema de
emparelhamento da tripulação de voo com o objetivo de minimizar os custos associados a este tipo de
tripulação. Os autores propuseram a formulação do modelo como um problema de partição de
conjuntos e resolveram-no através da geração de colunas. Foram também desenvolvidas redes duais
com o intuito de gerarem emparelhamentos admissíveis. De forma a verificar a eficácia desta
abordagem exata, os autores, resolveram um problema de uma companhia aérea de Taiwan. Wu et al.
(2016) desenvolveram também uma solução para o problema de emparelhamento de tripulação com
base no método de resolução de geração de colunas. No entanto este estudo diferencia-se dos
restantes num aspeto, o objetivo. O objetivo consistiu em minimizar o total dias-pessoa e para isso os
autores propuseram a formulação do problema como um problema de cobertura aplicando uma
abordagem de programação linear baseada na geração de colunas. Para proceder à geração de
colunas foi utilizado o método de partição e avaliação baseado em programação dinâmica.
Para Yan et al. (2001) o problema de emparelhamento da tripulação de cabina foi formulado como
um problema de fluxo de redes, que posteriormente foi resolvido através de um algoritmo de simplex
para redes. O objetivo foi encontrar a solução ótima que minimizasse os custos associados a este tipo
de tripulação. E para tal, foi utilizado um algoritmo de decomposição de fluxo para obter
emparelhamentos a partir das soluções ótimas. Como forma de verificar a eficácia do modelo proposto,
os autores, resolveram com os dados de uma companhia aérea de Taiwan o seu modelo e o proposto
por Yan e Lin (1997).
Um trabalho com uma visão diferente dos anteriormente referidos foi abordado por Mohamed et
al. (2016). Para estes autores, a resolução do problema de emparelhamento depende do problema de
rotação de aeronaves. Com o objetivo de encontrar uma solução que minimizasse o custo das rotas
geradas para cada aeronave e o custo da tripulação atribuída a cada voo, os autores propuseram a
resolução de um modelo integrado através de um método heurístico dividido em duas abordagens. Em
primeiro lugar foi utilizada uma abordagem exata baseada na resolução de um modelo de programação
inteira e de seguida foi utilizada uma abordagem heurística através da aplicação de um algoritmo do
tipo PSO (otimização por enxame de partículas). Para avaliar o desempenho da abordagem
aproximada foi resolvido um problema com dados de voos locais na Malásia.
IIjima et al. (2013) estudaram o mesmo problema utilizando dois tipos de formulações de
programação inteira: o modelo de células e o modelo de gráficos e como método de resolução
aplicaram um algoritmo baseado na etiquetagem. Este estudo consistiu na minimização dos custos
operacionais das companhias aéreas e numa comparação das duas formulações propostas, optando
posteriormente pela aquela que obteve os melhores resultados computacionais.
Apesar da maioria dos problemas de emparelhamento recorrerem à resolução de apenas um
objetivo, é possível também encontrar na literatura casos em que existam dois ou mais objetivos. Um
destes casos foi estudado por Shebalov et al. (2005). Os autores propuseram resolver um problema de
emparelhamento robusto bi-objetivo consistindo na minimização dos custos operacionais e na
18
maximização do número de tripulantes que possam ser trocados em operações. Como método de
resolução à programação inteira de larga-escala foi utilizada a geração de colunas e a relaxação
lagragiana. E para avaliar esta abordagem aproximada, os resultados foram comparados com uma
abordagem tradicional não robusta. O outro caso encontrado na literatura foi estudado por Emden-
Weinert et al. (1999). Este estudo carateriza um problema de emparelhamento de tripulação com
objetivos múltiplos. Os autores propuseram uma formulação através do algoritmo de plano de corte e
como resolução sugeriram a técnica de arrefecimento simulado e ainda uma outra heurística de
melhoramento local para reduzir o tempo computacional. Os resultados desta abordagem aproximada
foram obtidos através de dados caraterísticos de voos de curto e médio percurso.
Um estudo bastante mais recente concretizado por Burak et al. (2017) resolve o problema de
emparelhamento da tripulação através uma abordagem multiobjetivo. Os autores propuseram
minimizar os custos operacionais através de uma modelação em programação matemática para o
problema de emparelhamento, incorporando-lhe uma parcela representativa da fadiga. O problema da
fadiga e estado de alerta da tripulação são modelados pelo modelo de três processos de alerta. Em
síntese, o modelo deduz um trade-off entre custos operacionais e os níveis de fadiga. A resolução foi
efetuada através da geração de colunas onde a resolução do subproblema passou pela utilização do
problema do caminho mais curto com fadiga. Devido aos inúmeros dados reais presentes para a análise
de resultados exatos foi utilizada como aplicação a relaxação lagragiana.
3.2 Problema de escalonamento em companhias aéreas
Para este tipo de problema e na área dos transportes aéreos, Maenhout et al. (2010) estudaram o
problema de escalas de tripulação com o objetivo de minimizar os custos operacionais, garantindo a
qualidade das escalas geradas. Os autores propuseram a resolução do problema através de um
algoritmo meta-heurístico denominado pesquisa por dispersão. De forma a analisar este modelo
aproximado, os autores compararam-no com um procedimento ótimo de partição e avaliação e com um
procedimento aproximado de pesquisa em vizinhança variável. Os dados utilizados na comparação das
abordagens foram fornecidos pela Brussels Airlines. Com o objetivo de maximizar a utilidade dos
tripulantes Dawis et al. (2001) modelaram matematicamente o problema e resolveram-no através da
técnica de partição e avaliação. A eficiência da abordagem aproximada foi confirmada pela utilização
de dados reais de uma companhia aérea europeia na computação de uma amostra mensal para o
agendamento da tripulação
Apesar dos poucos exemplos de resolução para este problema com um único objetivo foi possível
encontrar na literatura dois casos em que os autores têm como tarefa resolverem um problema bi-
objetivo. Um destes casos foi estudado por Boufaied et al. (2015). Os objetivos, direcionados para a
tripulação, consistiram em: equilibrar o número de ocorrências por destino e equilibrar as escalas entre
os tripulantes. Os autores propuseram em primeiro lugar resolver a formulação em programação
matemática com o problema de afetação generalizado e de seguida para a otimização foi utilizada uma
meta-heurística denominada pesquisa em vizinhança variável. Os resultados desta abordagem
aproximada foram obtidos através de dados reais fornecidos da TunisAir. Também seguindo o exemplo
anterior Teodorovic et al. (1998) estudaram o problema de escalas de tripulação. Contudo estes autores
19
recorreram a um problema de um único objetivo incluindo dois critérios o que o torna um problema
pertencente à classe dos problemas de programação multiobjetivo. O objetivo proposto foi equilibrar a
carga de trabalho entre os tripulantes e para isso os autores propuseram, a resolução através do
método de controlo difuso e para o problema de escalas de tripulação o método heurístico dia a dia.
Os resultados desta abordagem aproximada foram obtidos através do uso de valores reais de uma
companhia aérea.
Com o intuito de estudar este problema em dimensões superiores a dois objetivos, Lucic et al. (1998)
propuseram resolvê-lo através de um método heurístico dividido em dois passos. Primeiro, para gerar
uma solução possível foi utilizado o algoritmo heurístico piloto a piloto seguido de uma otimização
através da técnica de arrefecimento simulado. Os resultados desta abordagem aproximada foram
obtidos através do uso de valores reais de uma companhia aérea de pequena-média dimensão. Os
mesmos autores Lucic et al. (2007) voltaram a estudar o problema de escalas de tripulação como um
problema multiobjetivo. Desta vez, os autores propuseram uma formulação baseada em programação
inteira linear e utilizaram técnicas heurísticas de resolução como o arrefecimento simulado, o algoritmo
genético e a pesquisa tabu. Os resultados da abordagem aproximada foram obtidos através da
utilização de dados caraterísticos de uma companhia aérea de pequena - média dimensão. Chen et al.
(2016) também desenvolveram a sua resolução para o problema de escalonamento. Os autores
utilizaram como formulação um problema de otimização combinatória e como forma de explorar as
soluções de Pareto utilizaram uma variante do algoritmo II. Os resultados desta abordagem aproximada
foram obtidos através de dados reais e comparados com outras abordagens.
3.3 Integração de problemas de emparelhamento e de escalonamento em
companhias aéreas
Existem alguns estudos na literatura sobre integração de problemas, tanto a integração de problemas
de emparelhamento com problemas de escalonamento, como a integração de um destes com o
problema de atribuição de frotas ou de rotação de aeronaves.
Cacchiani et al. (2013) estudaram a integração dos problemas de atribuição de frota, rotação de
aeronaves e emparelhamento de tripulação. O objetivo desta integração foi minimizar o custo através
de uma função objetivo multicritério ponderada. Para isso os autores sugeriram uma formulação em
programação matemática baseada em variáveis binárias e, descreveram um algoritmo de geração de
colunas para a obtenção de soluções heurísticas. Como forma de analisar os resultados obtidos, desta
abordagem aproximada, foi realizada uma comparação com os resultados de uma companhia aérea
que realiza voos entre as Ilhas Canárias. Salazar-González (2013) adicionou apenas o problema de
escalas de tripulação ao estudo anterior de Cacchiani et al. (2013). O autor propôs um algoritmo
heurístico baseado num modelo de programação inteira para resolver os três primeiros problemas
mencionados. Porém para o problema de escalas de tripulação sugeriu uma decomposição em
subproblemas formulados através de modelos de programação linear inteira mista (MILP). Os
resultados desta abordagem aproximada são atualmente utilizados por uma companhia aérea
espanhola que realiza voos nas Ilhas Canárias, Marrocos e Portugal. Por outro lado, Chu (2005)
estudou apenas a integração dos problemas de agendamento e escalas de tripulação. O autor propôs
20
uma programação de objetivos (GP) para resolver o problema, dividido em duas fases: planeamento
GP seguido de agendamento e escalas GP. O estudo desta abordagem heurística foi realizado para o
Aeroporto Internacional de Hong Kong. Souai et al. (2009) tinham como objetivo minimizar os custos
operacionais, e para tal, propuseram um novo modelo capaz de modelar e resolver os problemas de
emparelhamento e agendamento da tripulação. Modelo este, baseado numa abordagem heurística
híbrida. A abordagem é constituída por duas heurísticas de busca local, a heurística de reparo de
viabilidade aleatória (RFRH) e a heurística de reparo de viabilidade melhorada (IFRH), combinadas
com um algoritmo genético. A eficiência desta heurística foi confirmada através de uma comparação
com outros algoritmos genéticos e da resolução de três problemas com dados reais da companhia
aérea Air-Algérie.
Com o objetivo de aprimorar o tempo de computação do seu estudo anterior, Saddoune et al. (2011)
desenvolveram um modelo multicritério, no qual a função objetivo tem como propósito minimizar a soma
dos custos de agendamento e dos custos de penalização sempre que é utilizado um piloto adicional.
Para isso, os autores sugeriram o desenvolvimento de um método de agregação de restrição bi-
dinâmico que explora uma estrutura de vizinhança no método de geração de colunas. De forma a obter
resultados computacionais e verificar a eficiência dos algoritmos foram utilizados dados reais da maior
companhia aérea norte-americana e resolvidos sete casos distintos. Os autores concluíram que com
esta abordagem, comparativamente à sua anterior, os tempos de redução diminuíram e
consequentemente geraram poupanças na ordem do 1%. Apesar de o valor aparentar reduzido, numa
indústria onde se movem milhões de euros, este 1% pode representar centenas de milhares de euros
poupados à companhia aérea.
3.4 Problemas de tripulação em outros transportes
Como mencionado anteriormente, os problemas de tripulação não se verificam apenas na área dos
transportes aéreos. Nesta secção serão abordados principalmente os problemas de escalonamento e
de agendamento em transportes públicos, como por exemplo em autocarros e em transportes
ferroviários.
No que respeita a autocarros Moz et al. (2009) estudaram o problema de escalonamento acíclico
direcionado para motoristas. Os objetivos que as autoras propuseram resolver foram: minimizar as
horas extraordinárias por motorista e minimizar o número de motoristas com carga de trabalho positiva,
mas com poucos serviços. O problema foi resolvido com duas heurísticas evolutivas adaptadas para
este tipo problema, a heurística genética utópica (UGH) e a heurística adaptada ao algoritmo
evolucionário da força de Pareto (ASP adaptada a partir de SPEA2). Estas heurísticas diferem apenas
na localização da fronteira de Pareto. De forma a verificar a eficiência destas duas heurísticas, foram
obtidos resultados computacionais através da utilização de dados de uma empresa específica de
transportes em Portugal. Também Xie et al. (2015) incidiram a sua pesquisa no problema de escalas
de tripulação cíclicos e acíclicos formulando-os como um modelo de fluxo em redes multiproduto. O
principal objetivo desta pesquisa foi desenvolver um modelo de rede de otimização matemática inteira
mista para o problema cíclico e acíclico para uma abordagem de integração e para uma abordagem
sequencial. A posterior resolução foi realizada através de dois sistemas comerciais, o CPLEX e o
21
Gurobi. Os resultados desta abordagem exata, utilizando dados de companhias alemãs de autocarros,
revelam que a qualidade da solução integrada supera a qualidade da solução sequencial. Shen et al.
(2013) desenvolveram uma abordagem evolutiva incorporando um algoritmo genético com o propósito
de resolver o problema de agendamento da tripulação. O objetivo desta abordagem foi minimizar o
número de turnos e custos associados. Em primeiro lugar foi realizada uma representação
cromossómica, seguida de utilização do algoritmo genético de curto comprimento com o objetivo de
alcançar um calendário admissível. Ao longo do processo, o comprimento cromossómico foi adaptado
através de operações genéticas de cruzamento e mutação com estratégias de remoção e realocação
auxiliadas por um simples algoritmo. A constatação da eficiência desta abordagem e os resultados
computacionais foram obtidos através de dados reais de onze problemas verificados na China e
comparados a um algoritmo genético difuso. Através desta comparação, os autores, confirmam o bom
desempenho da sua abordagem e a sua rapidez computacional.
No que respeita a transportes ferroviários, Huisman (2006) trabalhou no problema de
reagendamento da tripulação para maquinistas, com o objetivo de minimizar os custos operacionais. O
autor apresenta a formulação do problema como sendo um problema de cobertura de larga-escala e
resolve-o com um algoritmo baseado na geração de colunas. Os resultados desta abordagem
aproximada foram avaliados e aceites como método a aplicar na empresa holandesa NS. Para o
mesmo género de problema Hanafi et al. (2014) desenvolveram uma formulação em programação
matemática para o problema de agendamento da tripulação. O objetivo do modelo, neste caso, foi
minimizar o número de tarefas minimizando os tempos de inatividade entre elas. E como método de
resolução foi proposta uma heurística juntamente com o algoritmo arrefecimento simulado – hibridação.
Tian et al. (2013) estudaram o mesmo problema que os autores anteriores, mas, direcionado para
comboios de alta-velocidade. O modelo foi formulado como um problema de cobertura. Contudo, ao
longo do estudo foi descoberta uma nova metodologia para encontrar a solução ótima em determinadas
condições. Quando as rotas dos tripulantes possuíssem dois segmentos seguidos é adotada esta nova
metodologia, de duas etapas, em que a primeira consiste em resolver a formulação e a segunda etapa
consiste em resolver o problema de atribuição. Por forma a evitar a geração abismal de rotas
admissíveis, foi utilizado o algoritmo de otimização de colónia de formigas. Esta abordagem exata foi
testada com dados do percurso Beijing-Tianjin.
Um outro tipo de problema para o transporte ferroviário foi estudado por Nishi et al. (2014). Estes
investigadores estudaram o problema de escalas de tripulação com o objetivo de equilibrar a carga de
trabalho entre os trabalhadores propondo uma resolução através de uma abordagem decomposta em
dois níveis: o problema principal e os subproblemas. O problema principal foi resolvido através do
algoritmo de partição e avaliação. E os subproblemas podem ainda ser divididos em outros problemas
menores, para cada escala, incorporando cortes no problema principal. Estes cortes tiveram como
objetivo reduzir o espaço de pesquisa. Os resultados da abordagem aproximada foram obtidos através
de dados de uma empresa japonesa de comboios e comparados com técnicas de programação restrita.
22
3.5 Problemas de tripulação em outras áreas de aplicação
As áreas de aplicação mais mencionadas em problemas de tripulação para além da área dos
transportes é sem dúvida a área dos serviços de saúde, nomeadamente para enfermeiros e staff de
assistência domiciliar. Os problemas mais estudados neste tipo de área são os problemas de
escalonamento e agendamento de funcionários.
Para o problema de escalonamento Burke et al. (2009) solucionaram o problema de escalas de
tripulação para serviços de saúde através da hibridação de programação inteira com pesquisa em
vizinhança variável (VNS). O método de programação inteira foi utilizado em primeira instância para
resolver o subproblema e de seguida foram otimizadas as soluções através do VNS. A abordagem
proposta pelos autores foi comparada a um algoritmo genético e a uma abordagem híbrida VNS e os
resultados foram obtidos através de dados de um hospital holandês onde foi possível concluir que a
abordagem proposta alcança melhores resultados. Allaoua et al. (2013) estudaram o mesmo problema
que Burke et al. (2009), com objetivo de construir rotas e escalas para os trabalhadores através da
rotação de veículos e do escalonamento de tripulantes. Para valores simples, o problema foi formulado
utilizando uma programação inteira linear, contudo, quando os problemas se tornam maiores e
consequentemente mais complexos foi utilizada uma matheurística decomposta em duas etapas. A
primeira consistiu na resolução do escalonamento através do problema partição de conjuntos e a
segunda representou a rotação através do problema do caixeiro-viajante com janela de tempo.
Por outro lado, Barrera et al. (2012) desenvolveram uma solução para os problemas de horário e
agendamento de tripulação em serviços de saúde. O objetivo deste problema foi determinar o número
mínimo de trabalhadores e para isto foram propostas duas abordagens. A primeira abordagem, exata,
consiste em programação matemática e quando o número de nós é cerca de 900 é necessária a
utilização do procedimento de partição e avaliação. A segunda abordagem, considerada aproximada,
consiste na aplicação de uma heurística. A comparação dos resultados das abordagens formuladas foi
obtida através da utilização de dados fornecidos pela Iniciativa de Saúde Escolar em Bogotá. Também
Mutingi et al. (2013) estudaram o problema de agendamentos, no entanto basearam-se na teoria de
conjuntos difusos. O objetivo foi satisfazer as preferências dos trabalhadores assim como a qualidade
do serviço desejado pelo cliente. Deste modo os autores pretenderam uma abordagem realista, onde
os objetivos a alcançar abordam as exigências dos três stakeholders envolvidos: gestão, trabalhadores
e clientes.
O estudo de En-nahli et al. (2015), apesar de não estar diretamente relacionado com os problemas
até aqui mencionados tem interesse, uma vez que, se relacionam com a temática do planeamento de
recurso humanos e problemas de rotação. A solução passa pela criação de uma abordagem
multiobjetivo em programação linear inteira mista, devido ao carácter multicritério existente. A resolução
desta abordagem exata é concretizada através do ILOG CPLEX Optimization Studio.
3.6 Conclusões do capítulo
No presente capítulo realizou-se uma revisão bibliográfica onde se analisaram os conceitos
relacionados com a temática da indústria aérea e a evolução dos modelos de formulação e resolução
de problemas de tripulação.
23
Os problemas de tripulação, mais caraterísticos, como anteriormente abordados no Capítulo 2 são
divididos em dois tipos de problemas: os problemas de emparelhamento e os problemas de atribuição
de tripulantes. A resolução do problema de emparelhamento segundo a literatura é por norma um único
objetivo e o problema de atribuição regra geral é multiobjetivo. O objetivo escolhido depende das
necessidades do decisor, neste caso da companhia aérea. Contudo, devido a questões económicas
enfrentadas desde os anos 2000 e à necessidade de sobreviver ao mercado e a manter as suas
margens, as empresas tiveram e ainda têm como principal objetivo a redução dos custos. Dito isto, a
minimização dos custos operacionais como realidade que é, é também um objetivo a alcançar tanto
pelas empresas como pelos autores que propõem métodos de resolução. A minimização dos custos
operacionais é uma das principais funções objetivo, tanto para o problema de emparelhamento como
para o problema de atribuição. Quando se fala em redução dos custos operacionais e uma vez que, o
objetivo da presente dissertação é resolver problemas de tripulação isto leva consequentemente a uma
redução dos custos da tripulação. No entanto há que salientar que este tipo de problema se verifica em
muitos outros casos para além das companhias aéreas, pode ser verificado em empresas de
transportes ferroviários, fluviais, marítimos ou rodoviários e até em outras áreas como é o caso dos
serviços de saúde e fábricas. Com o intuito de sintetizar todos os estudos foi construída a Tabela 3.1.
24
Tabela 3.1 - Tabela síntese da revisão bibliográfica
Dimensão do
problema Âmbito do problema
Tipo de abordagem
Tipo de Problema
Método de Formulação Método de Resolução
1 2 +2 Aéreo Ferroviário Rodoviário Saúde Exata Aprox. Emparelhamento Atribuição Agendamento
Desaulniers et al. (1997)
Problema de fluxo em redes multiproduto não linear.
Algoritmo de partição e avaliação; Decomposição de Dantzig-Wolfe; Problema do caminho mais curto.
Wu et al. (2016)
Cobertura de conjuntos.
Programação linear; Geração de Colunas; Algoritmo de partição e avaliação; Programação dinâmica.
Mohamed et al. (2015)
Programação inteira linear. Programação inteira; Otimização por enxame de partículas.
Cachiari et al. (2013)
Programação matemática com variáveis binárias.
Geração de Colunas.
Reisi-Nafshi et al. (2013)
Partição de conjuntos.
Relaxação de programação linear; Geração de Colunas; Algoritmos baseados nos problemas caminho mais curto com restrição de recursos na rede de voos e no tempo de serviço.
Salazar-González
(2013)
Programação linear inteira mista.
Programação inteira; Programação linear inteira mista.
Zeren et al. (2016)
Problema de cobertura; Problema de caminho mais curto.
Algoritmos heurísticos e exatos sobre um grafo conexo;
Muler et al. (2010)
Problema de cobertura. Geração de colunas; Problema do caminho mais curto.
Souai et al. (2009)
Heurística de reparo de viabilidade aleatória (RFRH); Heurística de reparo de viabilidade melhorada (IFRH); Algoritmo genético.
Heurística RFRH; Heurística IFRH; Algoritmo genético.
Yan et al. (2001)
Partição de conjuntos. Geração de colunas.
Yan et al. (2001)
Problema de fluxo em rede. Simplex para redes.
Dawid et al. (2001)
Programação matemática. Algoritmo de partição e avaliação.
Maenhout et al. (2010)
Partição de conjuntos. Pesquisa por dispersão.
IIjima et al. (2013)
Modelo de células; Modelo de gráficos.
Algoritmo de etiquetagem.
Saddoune et al. (2011)
Partição/cobertura de conjuntos.
Geração de colunas/ Agregação de restrições dinâmicas.
25
Yildiz et al (2017)
Programação matemática; Modelo de três processos de alerta.
Geração de colunas; Problema do caminho mais curto; Relaxação lagragiana.
Boufaied et al. (2015) Programação matemática.
Atribuição generalizada; Pesquisa em vizinhança variável.
Shebalov et al. (2005) Programação inteira.
Geração de colunas; Relaxação lagragiana.
Teodorovic et al. (1998) Programação matemática.
Controlo difuso; Heurística dia a dia.
Lucic et al. (1998) Programação matemática.
Heurística piloto-a-piloto; Arrefecimento simulado.
Chen et al. (2016) Otimização combinatória. Variante do algoritmo II.
Lucic et al. (2007) Programação inteira linear.
Arrefecimento simulado; Algoritmo genético; Pesquisa tabu.
Chu (2005) Programação por objetivos. Programação por objetivos.
Emden-Weinert et al. (1999)
Algoritmo de plano de
corte. Arrefecimento simulado; Heurística de melhoramento local.
Moz et al. (2009)
Problema de programação binária não linear.
Heurística genética utópica; Heurística adaptada do algoritmo evolucionário da força de Pareto.
Shen et al. (2013) Partição de conjuntos. Algoritmo genético.
Nishi et al. (2014)
Problema de agendamento da máquina uniforme paralela.
Algoritmo de partição e avaliação; Cortes.
Huisman (2006)
Problema de cobertura de grande-escala.
Geração de colunas
Xie et al. (2015)
Problema de fluxo em redes multiproduto não linear.
CPLEX Optimization Studio; Gurobi
Hanafi et al. (2014)
Programação matemática. Algoritmo heurístico; Arrefecimento simulado.
Tian et al. (2013)
Problema de cobertura. Algoritmo colónia de formigas.
Barrera et al. (2012)
Programação linear inteira mista.
Programação matemática; Algoritmo de partição e avaliação; Heurística;
Allaoua et al. (2013)
Programação inteira linear. Partição de conjuntos; Problema do caixeiro-viajante com janela de tempo.
En-nahli et al. (2015)
Programação linear inteira mista.
CPLEX Optimization Studio.
Mutingi et al. (2013) Teoria de conjunto difuso. Teoria de conjunto difuso.
Burke et al. (2009) Programação inteira.
Programação inteira e pesquisa em vizinhança variável.
26
4. MODELO DE OTIMIZAÇÃO MULTIOBJETIVO
Neste quarto capítulo apresenta-se a composição e a metodologia a seguir para o modelo de
otimização multiobjetivo. O capítulo encontra-se estruturado em três secções. A secção 4.1 apresenta
os constituintes para o modelo de otimização, nomeadamente os conjuntos e índices, parâmetros,
variáveis de decisão, restrições funcionais e as funções objetivo. A secção 4.2 descreve a metodologia
a seguir para a aplicação do modelo. E por último, a secção 4.3 apresenta as principais conclusões
do capítulo.
4.1 Formulação do modelo
Como referido ao longo da presente dissertação, sobretudo na secção 2.3, o processo de planeamento
da tripulação é definido por apenas dois problemas: o problema de emparelhamento e o problema de
atribuição de tripulantes. Ambos podem ser resolvidos individualmente ou de forma integrada. Porém,
o problema que será desenvolvido e modelado é o problema de atribuição de tripulação aérea, do tipo
escalonamento. Deste modo, para a criação deste modelo, é fundamental compreender a ligação entre
os tripulantes, as companhias aéreas, os serviços aeroportuários, as leis e os sindicatos de pessoal de
voo da aviação civil, com o intuito de compreender e estabelecer quais as restrições efetuadas por cada
um dos intervenientes e tornar o modelo o mais real possível.
Assim sendo, este modelo tem como propósito servir como ferramenta de suporte às companhias
aéreas portuguesas, uma vez que foi baseado no Decreto-Lei nº. 139/2004 de 5 de junho que por sua
vez transpôs a Diretiva Europeia n.º 2000/79/CE de 27 de novembro. O motivo pelo qual apenas poderá
servir como suporte a companhias portuguesas deve-se ao facto, de que cada estado membro poderá
ter adaptado a Diretiva Europeia sem, no entanto, a infringir como aconteceu em Portugal.
Para a formulação do modelo de otimização multiobjetivo, é necessário numa primeira instância
definir os conjuntos e índices, os parâmetros, as variáveis de decisão, as restrições funcionais e por
último, as funções objetivo.
4.1.1 Conjuntos e índices
Para que o modelo de otimização multiobjetivo seja o mais realista possível, é necessário recorrer a
formalismos matemáticos para expressar as caraterísticas essenciais do problema. Como forma de
relacionar todas essas caraterísticas, restrições e funções objetivo é imprescindível definir conjuntos e
índices. Como tal, no anexo A é possível visualizar os conjuntos e índices definidos para a construção
do futuro modelo baseado no estudo de Boufaied et al. (2015).
4.1.2 Parâmetros
Para que o modelo de otimização multiobjetivo seja o mais fidedigno possível é também necessário
estabelecer parâmetros, na medida em que estas variáveis permitam identificar num conjunto de
elementos, cada um deles através do seu valor quantitativo. Assim sendo, é essencial estabelecer os
parâmetros mencionados no anexo B .
Destes, os aspetos temporais dependem dos PSV previamente definidos e das caraterísticas dos
seus respetivos voos. Quantos aos aspetos técnicos, dependem na sua maioria das particularidades
27
de cada avião, os aspetos orçamentais dependem dos valores estipulados por cada companhia aérea
e por último, os aspetos tabelados são valores estipulados por lei, que dependem do número de
aterragens previstas da rotação e da hora de apresentação do tripulante para efetuar o seu serviço.
4.1.3 Variáveis de decisão
Uma vez que o problema a resolver se trata de um problema de atribuição, o qual consiste na alocação
de tripulantes a PSV, primeiramente definidos, é deveras relevante ter o conhecimento de algumas
variáveis de decisão para a resolução do modelo. Parte destas variáveis de decisão encontram-se
sucintamente descritas no anexo C e baseiam-se no modelo de otimização de Boufaied et al. (2015).
As restantes variáveis de decisão têm a particularidade de serem binárias, ou seja, apenas podem
assumir o valor 1 ou 0, dependendo se são incluídas ou não na solução do modelo e encontram-se
descritas no anexo D.
4.1.4 Restrições funcionais
Como foi referido ao longo da dissertação, a indústria aérea é bastante regulamentada e por esse facto
existem algumas restrições estabelecidas legalmente que irão condicionar o modelo e
consequentemente as suas soluções ótimas. As restrições podem agrupar-se em 11 tipos,
seguidamente enumeradas e explicadas.
A. Número mínimo de tripulantes por avião e atribuição única
As seguintes restrições têm como propósito garantir que a cada segmento de voo, 𝑗 = 1, … , 𝑗,̅ de cada
PSV, 𝑟 = 1, … , �̅�, é atribuído o número mínimo por tipo de tripulantes segundo os requisitos de cada
avião, 𝑖 = 1, … , 𝑖 ̅.
a.1. Assim sendo, para que o valor mínimo de pilotos (𝜐𝑖), copilotos (𝜒𝑖) e tripulantes de cabina (ℎ𝑖
50)
seja satisfeito é necessário que o tripulante seja atribuído ao PSV (𝑦𝑝𝑟 , 𝑦𝑞𝑟 , 𝑦𝑙𝑟) e que seja qualificado
para o mesmo (𝑒𝑝𝑟𝑖, 𝑒𝑞𝑟𝑖 , 𝑒𝑙𝑟𝑖), restrições (1), (2) e (3) respetivamente.
A restrição (3) possui uma particularidade relativamente às restantes duas, pois segundo o artigo
81.º do Decreto-Lei n.º 289/2003 é necessário um tripulante de cabina por cada fração de cinquenta
passageiros. Daí que a capacidade total de passageiros que o avião consegue transportar (ℎ𝑖) seja
dividida por cinquenta. No entanto, é necessário ainda garantir que este valor mínimo de tripulantes
seja um número pertencente aos inteiros positivos (ℤ+) e que os tripulantes sejam atribuídos apenas
uma vez a cada PSV, restrições (4) – (6).
∑ 𝑦𝑝𝑟𝑃𝑝=1 𝑒𝑝𝑟𝑖 ≥ 𝜐𝑖 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑖 ∈ 𝐼 (1)
∑ 𝑦𝑞𝑟𝑄𝑞=1 𝑒𝑞𝑟𝑖 ≥ 𝜒𝑖 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑖 ∈ 𝐼 (2)
∑ 𝑦𝑙𝑟𝐿𝑙=1 𝑒𝑙𝑟𝑖 ≥
ℎ𝑖
50 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑖 ∈ 𝐼, ⌈
ℎ𝑖
50⌉ (3)
∑ ∑ ∑ 𝑦𝑝𝑟𝑃𝑝=1 𝑒𝑝𝑟𝑖
𝐼𝑖=1
𝑅𝑟=1 ≤ 1 (4)
∑ ∑ ∑ 𝑦𝑞𝑟𝑄𝑞=1 𝑒𝑞𝑟𝑖
𝐼𝑖=1
𝑅𝑟=1 ≤ 1 (5)
∑ ∑ ∑ 𝑦𝑙𝑟𝐿𝑙=1 𝑒𝑙𝑟𝑖
𝐼𝑖=1
𝑅𝑟=1 ≤ 1 (6)
28
B. Equilíbrio do número de horas voadas e do número de horas de serviço anual
Com as restrições (7) – (12) pretende-se equilibrar o número de horas voadas por pilotos, copilotos e
tripulantes de cabina, como será explicado posteriormente no objetivo (307). Para tal, o cálculo é
realizado através da diferença entre o número de horas voadas anualmente pelo piloto (𝑝) e o número
de horas voadas pelo piloto (𝑝 + 1) igualado à diferença das variáveis livres (𝛼′ − 𝛼′′) que permitem
minimizar a discrepância da carga horária entre os pilotos – restrição (7). O número de horas voadas
que iniciam em d até ao final do mesmo dia, são calculadas através da diferença entre o tempo de
chegada (𝜄𝑝𝑟𝑗) e o tempo partida (𝑜𝑝𝑟𝑗) de cada segmento de voo, 𝑗 = 1, … , 𝑗,̅ pertencente a cada PSV,
𝑟 = 1, … , �̅�. É ainda acrescentada a variável 𝑡𝑣𝑜𝑜𝑝 que tem como propósito somar todas as horas de
voo que ao longo do ano se prolongaram de um dia para o outro. O mesmo sucede-se para os copilotos
– restrição (9) e para os tripulantes de cabina – restrição (11).
(∑ (∑ (𝜄𝑝𝑟𝑗 − 𝑜𝑝𝑟𝑗)𝐽𝑗=1 ) + 𝑡𝑣𝑜𝑜𝑝
𝑅𝑟=1 ) − (∑ (∑ (𝜄𝑝+1𝑟𝑗 − 𝑜𝑝+1𝑟𝑗)𝐽
𝑗=1 ) + 𝑡𝑣𝑜𝑜𝑝+1𝑅𝑟=1 ) = (𝛼′ − 𝛼′′) 𝑝 ∈ 𝑃 − 1 (7)
(∑ (∑ (𝜄𝑝𝑟𝑗 − 𝑜𝑝𝑟𝑗)𝐽𝑗=1 ) + 𝑡𝑣𝑜𝑜𝑝
𝑅𝑟=1 ) − (∑ (∑ (𝜄𝑝−1𝑟𝑗 − 𝑜𝑝−1𝑟𝑗)𝐽
𝑗=1 ) + 𝑡𝑣𝑜𝑜𝑝−1𝑅𝑟=1 ) = (𝛼′ − 𝛼′′) 𝑝 ∈ 𝑃 (8)
(∑ (∑ (𝜄𝑞𝑟𝑗 − 𝑜𝑞𝑟𝑗)𝐽𝑗=1 ) + 𝑡𝑣𝑜𝑜𝑞
𝑅𝑟=1 ) − (∑ (∑ (𝜄𝑞+1𝑟𝑗 − 𝑜𝑞+1𝑟𝑗)𝐽
𝑗=1 )𝑅𝑟=1 + 𝑡𝑣𝑜𝑜𝑞+1) = (𝜙′ − 𝜙′′) 𝑞 ∈ 𝑄 − 1 (9)
(∑ (∑ (𝜄𝑞𝑟𝑗 − 𝑜𝑞𝑟𝑗)𝐽𝑗=1 ) + 𝑡𝑣𝑜𝑜𝑞
𝑅𝑟=1 ) − (∑ (∑ (𝜄𝑞−1𝑟𝑗 − 𝑜q−1𝑟𝑗)𝐽
𝑗=1 ) + 𝑡𝑣𝑜𝑜𝑞−1𝑅𝑟=1 ) = (𝜙′ − 𝜙′′) 𝑞 ∈ Q (10)
(∑ (∑ (𝜄𝑙𝑟𝑗 − 𝑜𝑙𝑟𝑗)𝐽𝑗=1 ) + 𝑡𝑣𝑜𝑜𝑙
𝑅𝑟=1 ) − (∑ (∑ (𝜄𝑙+1𝑟𝑗 − 𝑜𝑙+1𝑟𝑗)𝐽
𝑗=1 ) + 𝑡𝑣𝑜𝑜𝑙+1𝑅𝑟=1 ) = (𝜓′ − 𝜓′′) 𝑙 ∈ 𝐿 − 1 (11)
(∑ (∑ (𝜄𝑙𝑟𝑗 − 𝑜𝑙𝑟𝑗)𝐽𝑗=1 ) + 𝑡𝑣𝑜𝑜𝑙
𝑅𝑟=1 ) − (∑ (∑ (𝜄𝑙−1𝑟𝑗 − 𝑜𝑙−1𝑟𝑗)𝐽
𝑗=1 ) + 𝑡𝑣𝑜𝑜𝑙−1𝑅𝑟=1 ) = (𝜓′ − 𝜓′′) 𝑙 ∈ L (12)
As restrições (13) – (18) têm o mesmo propósito que as anteriores, no entanto direcionam-se para
o equilíbrio do número de horas de serviço de voo, correspondente ao objetivo (308) e utilizam a variável
𝑡𝑠𝑒𝑟𝑝 para representar os serviços que ao longo do ano se prolongaram de um dia para o outro.
C. Número máximo de horas de serviço
Os dois conjuntos de restrições que se seguem visam limitar superiormente o número de horas de
serviço diário para a tripulação consoante o número de pilotos presentes na tripulação de voo. Tanto
para voos normais, compreendidos entre as [6:29h – 23:00h], 𝛽𝑟 = 1, como para voos noturnos,
compreendidos entre as ]23:00h – 6:29h[, 𝜉𝑟𝑠 = 1.
c.1. Deste modo as restrições (19) – (21) têm como propósito, limitar o número de horas de serviço de
voo, quer para os pilotos atribuídos e qualificados, 𝑝 = 1, … , �̅�, quer para os copilotos, 𝑞 = 1, … , �̅� bem
(∑ (𝑓𝑝𝑟 − 𝑏𝑝𝑟) +𝑅𝑟=1 𝑡𝑠𝑒𝑟𝑝) − (∑ (𝑓𝑝+1𝑟 − 𝑏𝑝+1𝑟) + 𝑡𝑠𝑒𝑟𝑝+1
𝑅𝑟=1 ) = (𝛼′′′ − 𝛼′′′′) 𝑝 ∈ 𝑃 − 1 (13)
(∑ (𝑓𝑝𝑟 − 𝑏𝑝𝑟) +𝑅𝑟=1 𝑡𝑠𝑒𝑟𝑝) − (∑ (𝑓𝑝−1𝑟 − 𝑏𝑝+1𝑟) + 𝑡𝑠𝑒𝑟𝑝+1
𝑅𝑟=1 ) = (𝛼′′′ − 𝛼′′′′) 𝑝 ∈ 𝑃 (14)
(∑ (𝑓𝑞𝑟 − 𝑏𝑞𝑟) +𝑅𝑟=1 𝑡𝑠𝑒𝑟𝑞) − (∑ (𝑓𝑞+1𝑟 − 𝑏𝑞+1𝑟) + 𝑡𝑠𝑒𝑟𝑞+1
𝑅𝑟=1 ) = (𝜙′′′ − 𝜙′′′′) 𝑞 ∈ 𝑄 − 1 (15)
(∑ (𝑓𝑞𝑟 − 𝑏𝑞𝑟) +𝑅𝑟=1 𝑡𝑠𝑒𝑟𝑞) − (∑ (𝑓𝑞−1𝑟 − 𝑏𝑞−1𝑟) + 𝑡𝑠𝑒𝑟𝑞+1
𝑅𝑟=1 ) = (𝜙′′′ − 𝜙′′′′) 𝑞 ∈ 𝑄 (16)
(∑ (𝑓𝑙𝑟 − 𝑏𝑙𝑟) + 𝑡𝑠𝑒𝑟𝑙𝑅𝑟=1 ) − (∑ (𝑓𝑙+1𝑟 − 𝑏𝑙+1𝑟)𝑅
𝑟=1 + 𝑡𝑠𝑒𝑟𝑙+1) = (𝜓′′′ − 𝜓′′′′) 𝑙 ∈ 𝐿 − 1 (17)
(∑ (𝑓𝑙𝑟 − 𝑏𝑙𝑟) + 𝑡𝑠𝑒𝑟𝑙𝑅𝑟=1 ) − (∑ (𝑓𝑙+1𝑟 − 𝑏𝑙+1𝑟)𝑅
𝑟=1 + 𝑡𝑠𝑒𝑟𝑙+1) = (𝜓′′′ − 𝜓′′′′) 𝑙 ∈ 𝐿 (18)
29
como para os tripulantes de cabina, 𝑙 = 1, … , 𝑙,̅ quando na tripulação de voo são verificados dois pilotos.
Quando tal se verifica, a variável binária (zr) toma o valor 1 e dependendo do número de aterragens
previstas (𝑛𝑎) e da hora de apresentação do tripulante (ℎ𝑎) para o PSV 𝑟, 𝑟 = 1, … , �̅�, o limite de horas
de serviço de voo é identificado, (𝜇1). Relativamente aos limites podem ser observados na Tabela 2.1
e quanto ao número de horas de serviço é calculado pela diferença entre o fim e o início do PSV,
(𝑓𝑝𝑟𝑑 − 𝑏𝑝𝑟𝑑) com o acréscimo da variável 𝑣𝑜𝑜𝑝𝑑 , que representa os PSV iniciados num dia e que se
prolongam para o dia seguinte. As horas de voo dos PSV que se prologaram são contabilizadas no dia
em que efetivamente são realizadas.
∑ ((𝑓𝑝𝑟𝑑 − 𝑏𝑝𝑟𝑑)𝑧𝑟𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖 + 𝑣𝑜𝑜𝑝𝑑)𝑅𝑟=1 ≤ 𝜇1(ℎ𝑎 , 𝑛𝑎) ℎ𝑎 ∈ 𝐻𝐴, 𝑛𝑎 ∈ 𝑁𝐴,𝑝 ∈ 𝑃, 𝑑 ∈ 𝐷, 𝑖 ∈ 𝐼 (19)
∑ ((𝑓𝑞𝑟𝑑 − 𝑏𝑞𝑟𝑑)𝑧𝑟𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖 + 𝑣𝑜𝑜𝑞𝑑 )𝑅𝑟=1 ≤ 𝜇1(ℎ𝑎 , 𝑛𝑎) ℎ𝑎 ∈ 𝐻𝐴 , 𝑛𝑎 ∈ 𝑁𝐴,𝑞 ∈ 𝑄,𝑑 ∈ 𝐷, 𝑖 ∈ 𝐼 (20)
∑ ((𝑓𝑙𝑟𝑑 − 𝑏𝑙𝑟𝑑)𝑧𝑟𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖 + 𝑣𝑜𝑜𝑙𝑑 )𝑅𝑟=1 ≤ 𝜇1(ℎ𝑎 , 𝑛𝑎) ℎ𝑎 ∈ 𝐻𝐴 , 𝑛𝑎 ∈ 𝑁𝐴,𝑙 ∈ 𝐿,𝑑 ∈ 𝐷, 𝑖 ∈ 𝐼 (21)
c.2. Por outro lado, caso se verifique apenas um piloto na tripulação de voo, o número limite de horas
de serviço de voo quer para os pilotos atribuídos e qualificados, 𝑝 = 1, … , �̅�, quer para os copilotos, 𝑞 =
1, … , �̅� bem como para os tripulantes de cabina, 𝑙 = 1, … , 𝑙,̅ são verificadas através das restrições (22)
– (26). Neste caso, a variável binária (𝑥𝑟) toma o valor 1 e dependendo do número de aterragens
previstas (𝑛𝑝) para o PSV, 𝑟 = 1, … , �̅� e da hora de apresentação para iniciar o serviço (ℎ𝑝), o limite de
horas de serviço de voo é identificado - (𝜇2). Os limites podem ser observados na Tabela 2.2 e à
semelhança do grupo de restrições anteriores, o número de horas de serviço é calculado através da
diferença entre o fim e o início do PSV com o acréscimo da variável (𝑣𝑜𝑝𝑑) caso o voo se prolongue.
Contudo, existe outro aspeto a ter em conta, a existência ou não de piloto automático no avião. Caso
a aeronave em que a tripulação se desloque não possua piloto automático (𝑝𝑎𝑖
= 0), o limite máximo
do PSV com o acréscimo da variável (𝑣𝑝𝑑) é de 7 horas, restrições (23) e (25). Porém, os tripulantes
de cabina representam uma exceção, pois o número máximo de horas de serviço de voo é igual quer
o número de pilotos na tripulação de voo seja 1 ou 2 ou quer a aeronave possua ou não piloto
automático, restrição (26).
∑ ((𝑓𝑝𝑟𝑑 − 𝑏𝑝𝑟𝑑)𝑥𝑟𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖𝑝𝑎𝑖
+ 𝑣𝑜𝑝𝑑)𝑅𝑟=1 ≤ 𝜇2(ℎ𝑝, 𝑛𝑝) ℎ𝑝 ∈ 𝐻𝑃,𝑛𝑝 ∈ 𝑁𝑃,𝑝 ∈ 𝑃, 𝑑 ∈ 𝐷, 𝑖 ∈ 𝐼 (22)
∑ ((𝑓𝑝𝑟𝑑 − 𝑏𝑝𝑟𝑑)𝑥𝑟𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖 + 𝑣𝑝𝑑)𝑅𝑟=1 ≤ 𝜇2(ℎ𝑝, 𝑛𝑝) ≤ 7 ℎ𝑝 ∈ 𝐻𝑃 , 𝑛𝑝 ∈ 𝑁𝑃, 𝑝 ∈ 𝑃, 𝑝𝑎
𝑖= 0, 𝑖 ∈ 𝐼, 𝑑 ∈ 𝐷 (23)
∑ ((𝑓𝑞𝑟𝑑 − 𝑏𝑞𝑟𝑑)𝑥𝑟𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖𝑝𝑎
𝑖+ 𝑣𝑜𝑞𝑑)𝑅
𝑟=1 ≤ 𝜇2(ℎ𝑝, 𝑛𝑝) ℎ𝑝 ∈ 𝐻𝑃 ,𝑛𝑝 ∈ 𝑁𝑃, 𝑞 ∈ 𝑄,𝑑 ∈ 𝐷, 𝑖 ∈ 𝐼 (24)
∑ ((𝑓𝑞𝑟𝑑 − 𝑏𝑞𝑟𝑑)𝑥𝑟𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖 + 𝑣𝑞𝑑)𝑅𝑟=1 ≤ 𝜇2(ℎ𝑝, 𝑛𝑝) ≤ 7 ℎ𝑝 ∈ 𝐻𝑃 , 𝑛𝑝 ∈ 𝑁𝑃 , 𝑞 ∈ 𝑄, 𝑝𝑎
𝑖= 0, 𝑖 ∈ 𝐼, 𝑑 ∈ 𝐷 (25)
∑ ((𝑓𝑙𝑟𝑑 − 𝑏𝑙𝑟𝑑)𝑥𝑟𝑦𝑞𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖 + 𝑣𝑜𝑙𝑑)𝑅𝑟=1 ≤ 𝜇1(ℎ𝑎 , 𝑛𝑎) ℎ𝑎 ∈ 𝐻𝐴, 𝑛𝑎 ∈ 𝑁𝐴, 𝑙 ∈ 𝐿, 𝑑 ∈ 𝐷, 𝑖 ∈ 𝐼 (26)
D. Limites para os tempos totais de serviço com tripulação reforçada
As seguintes restrições têm como finalidade limitarem o número de horas de serviço para quando a
tripulação é reforçada, ou seja, para quando o número de tripulantes ultrapassa num certo valor o
número mínimo requerido pelo avião. Isto, tanto para voos normais, compreendidos entre as [6:29h –
23:00h], 𝛽𝑟 = 1, como para voos noturnos, compreendidos entre as ]23:00h – 6:29h[, 𝜉𝑟𝑠 = 1.
30
O reforço pode ser de dois tipos: 1) quando a tripulação de dois pilotos ou tripulação de voo de três
elementos é reforçada com mais um piloto e a tripulação de cabina é reforçada a 25%; 2) quando a
tripulação de dois pilotos ou tripulação de voo de três elementos é reforçada a 100% e a tripulação de
cabina é reforçada a 50%.
d.1. Deste modo, o conjunto de restrições (27) – (29) limitam para cada tripulante atribuído e qualificado,
𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖, por exemplo, o PSV máximo diário para quando a tripulação é reforçada. Quando tal se verifica
a variável binária (𝜑𝑟) assume o valor 1 e através do número de aterragens previstas (𝑛𝑎) e do tipo de
reforço (ℎ), o limite do número de horas de serviço é estipulado, (𝜇3) – Tabela 2.3. No que diz respeito
ao número de horas de serviço, os cálculos são efetuados através da diferença entre o momento final
e o inicial do PSV, (𝑓𝑝𝑟𝑑 − 𝑏𝑝𝑟𝑑) e neste caso as variáveis aplicadas (𝑣𝑟𝑝𝑑) transmitem exatamente a
mesma ideia.
∑ ((𝑓𝑝𝑟𝑑 − 𝑏𝑝𝑟𝑑)𝜑𝑟𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖 + 𝑣𝑟𝑝𝑑)𝑅𝑟=1 ≤ 𝜇3(ℎ, 𝑛𝑎) 𝑑 ∈ 𝐷, 𝑝 ∈ 𝑃,ℎ ∈ 𝐻,𝑛𝑎 ∈ {1, . . . ,4}, 𝑖 ∈ 𝐼 (27)
∑ ((𝑓𝑞𝑟𝑑 − 𝑏𝑞𝑟𝑑)𝜑𝑟𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖 + 𝑣𝑟𝑞𝑑)𝑅𝑟=1 ≤ 𝜇3(ℎ, 𝑛𝑎) 𝑑 ∈ 𝐷, 𝑞 ∈ 𝑄,ℎ ∈ 𝐻,𝑛𝑎 ∈ {1, . . . ,4}, 𝑖 ∈ 𝐼 (28)
∑ ((𝑓𝑙𝑟𝑑 − 𝑏𝑙𝑟𝑑)𝜑𝑟𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖 + 𝑣𝑟𝑙𝑑 )𝑅𝑟=1 ≤ 𝜇3(ℎ, 𝑛𝑎) 𝑑 ∈ 𝐷, 𝑙 ∈ 𝐿,ℎ ∈ 𝐻, 𝑛𝑎 ∈ {1, . . . ,4}, 𝑖 ∈ 𝐼 (29)
d.2. As restrições (30) – (32) têm como objetivo limitar o somatório das diferenças entre os PSV com
tripulação reforçada ((𝑓𝑝𝑟𝑠 − 𝑏𝑝𝑟𝑠)𝜑𝑟𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖 + 𝑣𝑟𝑝𝑑) e os PSV com dois pilotos ((𝑓𝑝𝑟𝑠 − 𝑏𝑙𝑟𝑠)𝑧𝑟𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖 +
𝑣𝑜𝑜𝑝𝑠) a 8 horas semanais, para os diferentes tripulantes que sejam atribuídos e qualificados. À
semelhança dos outros grupos de restrições há que garantir que todas as horas de voo são
contabilizadas, aplicando-se as variáveis 𝑣𝑟𝑝𝑠 e 𝑣𝑜𝑜𝑝𝑠 para os prolongamentos, caso se verifiquem.
(∑ (𝑓𝑝𝑟𝑠 − 𝑏𝑝𝑟𝑠)𝜑𝑟𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖 + 𝑣𝑟𝑝𝑠𝑅𝑟=1 ) − (∑ (𝑓𝑝𝑟𝑠 − 𝑏𝑝𝑟𝑠)𝑧𝑟𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖 + 𝑣𝑜𝑜𝑝𝑠
𝑅𝑟=1 ) ≤ 8 𝑝 ∈ 𝑃, 𝑠 ∈ 𝑆, 𝑖 ∈ 𝐼 (30)
(∑ (𝑓𝑞𝑟𝑠 − 𝑏𝑞𝑟𝑠)𝜑𝑟𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖𝑅𝑟=1 + 𝑣𝑟𝑞𝑠) − (∑ (𝑓𝑞𝑟𝑠 − 𝑏𝑞𝑟𝑠)𝑧𝑟𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖
𝑅𝑟=1 + 𝑣𝑜𝑜𝑞𝑠) ≤ 8 𝑞 ∈ 𝑄, 𝑠 ∈ 𝑆, 𝑖 ∈ 𝐼 (31)
(∑ (𝑓𝑙𝑟𝑠 − 𝑏𝑙r𝑠)𝜑𝑟𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖𝑅𝑟=1 + 𝑣𝑟𝑙𝑠) − (∑ (𝑓𝑙𝑟𝑠 − 𝑏𝑙𝑟𝑠)𝑧𝑟𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖 + 𝑣𝑜𝑜𝑙𝑠
𝑅𝑟=1 ) ≤ 8 𝑙 ∈ 𝐿, 𝑠 ∈ 𝑆, 𝑖 ∈ 𝐼 (32)
E. Limites para os tempos totais de serviço com voos repartidos
Os seguintes conjuntos de restrições têm como objetivo limitarem para os diferentes tipos de
tripulantes, o número de horas de serviço quando se verifica uma repartição, ou seja, quando um PSV
possuí um intervalo. Similarmente aos anteriores, este limite tanto se verifica para voos normais,
compreendidos entre as [6:29h – 23:00h], 𝛽𝑟 = 1, como para voos noturnos, compreendidos entre as
]23:00h – 6:29h[, 𝜉𝑟𝑠 = 1.
e.1. Assim sendo, as restrições (33) – (41) estabelecem o número de horas máximo de serviço diário
repartido para os diferentes tripulantes, atribuídos e qualificados. Quando tal se verifica, a variável
binária (𝜔𝑟) assume o valor 1 e é através da diferença entre fim e o início do PSV, (𝑓𝑝𝑟𝑑 − 𝑏𝑝𝑟𝑑), para
o piloto, 𝑝 = 1, … , �̅�, que o número de horas de serviço é calculado, é ainda somado o parâmetro (𝑣𝑟𝑒𝑝𝑑)
caso o voo se prolongue de um dia para o outro. O total de horas efetuadas deverá ser inferior ou igual
31
à soma do limite de horas diário para o serviço repartido (𝜇1) e da duração do intervalo. O primeiro é
um valor pré-definido que depende da hora de apresentação (ℎ𝑎) e do número de aterragens previstas
(𝑛𝑎) e o segundo depende apenas da duração do intervalo, (𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟). Caso a duração do intervalo
esteja compreendida entre as 0 horas e as 2 horas e 59 minutos, o valor do intervalo para o PSV
repartido é de 0, se estiver compreendida entre as 3 horas e as 6 horas e 59 minutos, o valor é de 50%
a duração do intervalo e por último, caso a duração esteja compreendida entre as 7 horas e as 10 horas
e 59 minutos, o valor é de 75% a duração do intervalo. O mesmo se verifica para os copilotos, 𝑞 =
1, … , �̅�, e tripulantes de cabina, 𝑙 = 1, … , 𝑙.̅
∑ ((𝑓𝑝𝑟𝑑 − 𝑏𝑝r𝑑)𝜔𝑟𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖 + 𝑣𝑟𝑒𝑝𝑑) 𝑅𝑟=1 ≤ 𝜇1(ℎ𝑎 , 𝑛𝑎) + ∑ (0(𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟))𝑅
𝑟=1
ℎ𝑎 ∈ 𝐻𝐴, 𝑛𝑎 ∈ 𝑁𝐴, 𝑝 ∈ 𝑃, 𝑑 ∈ 𝐷, 0 ≤ (𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) < 3, 𝑖 ∈ 𝐼 (33)
∑ ((𝑓𝑝𝑟𝑑 − 𝑏𝑝𝑟𝑑)𝜔𝑟𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖 + 𝑣𝑟𝑒𝑝𝑑 ) 𝑅𝑟=1 ≤ 𝜇1(ℎ𝑎 , 𝑛𝑎) + ∑ (0.5(𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟))𝑅
𝑟=1
ℎ𝑎 ∈ 𝐻𝐴, 𝑛𝑎 ∈ 𝑁𝐴, 𝑝 ∈ 𝑃, 𝑑 ∈ 𝐷, 3 ≤ (𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) < 7, 𝑖 ∈ 𝐼 (34)
∑ ((𝑓𝑝𝑟𝑑 − 𝑏𝑝𝑟𝑑)𝜔𝑟𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖 + 𝑣𝑟𝑒𝑝𝑑) 𝑅𝑟=1 ≤ 𝜇1(ℎ𝑎 , 𝑛𝑎) + ∑ (
2
3(𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟)) 𝑅
𝑟=1
ℎ𝑎 ∈ 𝐻𝐴, 𝑛𝑎 ∈ 𝑁𝐴, 𝑝 ∈ 𝑃, 𝑑 ∈ 𝐷, 7 ≤ (𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) < 11, 𝑖 ∈ 𝐼 (35)
∑ ((𝑓𝑞𝑟𝑑 − 𝑏𝑞𝑟𝑑)𝜔𝑟𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖 + 𝑣𝑟𝑒𝑞𝑑) 𝑅𝑟=1 ≤ 𝜇1(ℎ𝑎 , 𝑛𝑎) + ∑ (0(𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟))𝑅
𝑟=1
ℎ𝑎 ∈ 𝐻𝐴, 𝑛𝑎 ∈ 𝑁𝐴, 𝑞 ∈ 𝑄, 𝑑 ∈ 𝐷, 0 ≤ (𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) < 3, 𝑖 ∈ 𝐼 (36)
∑ ((𝑓𝑞𝑟𝑑 − 𝑏𝑞𝑟𝑑)𝜔𝑟𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖 + 𝑣𝑟𝑒𝑞𝑑) 𝑅𝑟=1 ≤ 𝜇1(ℎ𝑎 , 𝑛𝑎) + ∑ (0.5(𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟))𝑅
𝑟=1
ℎ𝑎 ∈ 𝐻𝐴, 𝑛𝑎 ∈ 𝑁𝐴, 𝑞 ∈ 𝑄, 𝑑 ∈ 𝐷, 3 ≤ (𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) < 7, 𝑖 ∈ 𝐼 (37)
∑ ((𝑓𝑞𝑟𝑑 − 𝑏𝑞𝑟𝑑)𝜔𝑟𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖 + 𝑣𝑟𝑒𝑙𝑑) 𝑅𝑟=1 ≤ 𝜇1(ℎ𝑎 , 𝑛𝑎) + ∑ (
2
3(𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟)) 𝑅
𝑟=1
ℎ𝑎 ∈ 𝐻𝐴, 𝑛𝑎 ∈ 𝑁𝐴, 𝑞 ∈ 𝑄, 𝑑 ∈ 𝐷, 7 ≤ (𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) < 11, 𝑖 ∈ 𝐼 (38)
∑ ((𝑓𝑙𝑟𝑑 − 𝑏𝑙𝑟𝑑)𝜔𝑟𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖 + 𝑣𝑟𝑒𝑙𝑑) 𝑅𝑟=1 ≤ 𝜇1(ℎ𝑎 , 𝑛𝑎) + ∑ (0(𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟))𝑅
𝑟=1
ℎ𝑎 ∈ 𝐻𝐴, 𝑛𝑎 ∈ 𝑁𝐴, 𝑙 ∈ 𝐿, 𝑑 ∈ 𝐷, 0 ≤ (𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) < 3, 𝑖 ∈ 𝐼 (39)
∑ ((𝑓𝑙𝑟𝑑 − 𝑏𝑙𝑟𝑑)𝜔𝑟𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖 + 𝑣𝑟𝑒𝑙𝑑) 𝑅𝑟=1 ≤ 𝜇1(ℎ𝑎 , 𝑛𝑎) + ∑ (0.5(𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟))𝑅
𝑟=1
ℎ𝑎 ∈ 𝐻𝐴, 𝑛𝑎 ∈ 𝑁𝐴, 𝑙 ∈ 𝐿, 𝑑 ∈ 𝐷, 3 ≤ (𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) < 7, 𝑖 ∈ 𝐼 (40)
∑ ((𝑓𝑙𝑟𝑑 − 𝑏𝑙𝑟𝑑)𝜔𝑟𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖 + 𝑣𝑟𝑒𝑙𝑑 ) 𝑅𝑟=1 ≤ 𝜇1(ℎ𝑎 , 𝑛𝑎) + ∑ (
2
3(𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟))𝑅
𝑟=1
ℎ𝑎 ∈ 𝐻𝐴, 𝑛𝑎 ∈ 𝑁𝐴, 𝑙 ∈ 𝐿, 𝑑 ∈ 𝐷, 7 ≤ (𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) < 11, 𝑖 ∈ 𝐼 (41)
e.2. O seguinte conjunto de restrições tem como propósito limitar o número de horas de voo desde o
início do PSV, até ao início do intervalo e desde o fim do intervalo até ao fim do PSV para os diferentes
tripulantes, caso a repartição seja verificada e caso estes sejam atribuídos e qualificados para tal.
Assim sendo, segundo o artigo n.º 11 do Decreto-Lei n.º 139/2004, para o PSV repartido (𝜔𝑟 = 1)
deverá ter-se em conta que o número de horas de serviço (𝑓𝑝𝑟𝑑 − 𝑏𝑝𝑟𝑑) para o piloto, 𝑝 = 1, … , �̅�, este
deverá ser inferior ou igual à duração entre o início do intervalo (𝛾𝑝𝑟) e o início do primeiro segmento
de voo do PSV (𝑜𝑟1) e entre o fim do intervalo (𝜚𝑝𝑟) e o fim do último segmento de voo do PSV (𝜄𝑟�̅�) o
piloto necessita de estar associado ao PSV (𝑦𝑝𝑟) e ser qualificado para o mesmo (𝑒𝑝𝑟𝑖). O mesmo
acontece para os copilotos, 𝑞 = 1, … , �̅�, e para os tripulantes de cabina, 𝑙 = 1, … , 𝑙.̅
As restrições (42) – (50) limitam as durações anteriormente mencionadas a um valor máximo de 10
horas.
32
∑ ∑ ((𝑓𝑝𝑟𝑑 − 𝑏𝑝𝑟𝑑)𝜔𝑟𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖 + 𝑣𝑟𝑒𝑝𝑝𝑑) ≤ ∑ ((𝛾𝑝𝑟 − 𝑜𝑟1) + (𝜄𝑟�̅� − 𝜚𝑝𝑟))𝑅𝑟=1
𝐼𝑖=1
𝑅𝑟=1
𝑝 ∈ 𝑃, 𝑑 ∈ 𝐷, 𝑖 ∈ 𝐼, 𝑣𝑟𝑒𝑝𝑑 > 0 (42)
∑ ∑ ((𝑓𝑝𝑟𝑑 − 𝑏𝑝𝑟𝑑)𝜔𝑟𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖 + 𝑣𝑟𝑒𝑝𝑞𝑑) ≤ ∑ ((𝛾𝑞𝑟 − 𝑜𝑟1) + (𝜄𝑟�̅� − 𝜚𝑞𝑟))𝑅𝑟=1
𝐼𝑖=1
𝑅𝑟=1
𝑞 ∈ 𝑄,𝑑 ∈ 𝐷, 𝑖 ∈ 𝐼, 𝑣𝑟𝑒𝑞𝑑 > 0 (43)
∑ ∑ ((𝑓𝑝𝑟𝑑 − 𝑏𝑝𝑟𝑑)𝜔𝑟𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖 + 𝑣𝑟𝑒𝑝𝑙𝑑) ≤ ∑ ((𝛾𝑙𝑟 − 𝑜𝑟1) + (𝜄𝑟�̅� − 𝜚𝑙𝑟))𝑅𝑟=1
𝐼𝑖=1
𝑅𝑟=1
𝑙 ∈ 𝐿, 𝑑 ∈ 𝐷, 𝑖 ∈ 𝐼, 𝑣𝑟𝑒𝑙𝑑 > 0 (44)
∑ (𝛾𝑝𝑟 − 𝑜𝑟1)𝑅𝑟=1 ≤ 10 𝑝 ∈ 𝑃 (45)
∑ (𝜄𝑟�̅� − 𝜚𝑝𝑟)𝑅𝑟=1 ≤ 10 𝑝 ∈ 𝑃 (46)
∑ (𝛾𝑞𝑟 − 𝑜𝑟1)𝑅𝑟=1 ≤ 10 𝑞 ∈ 𝑄 (47)
∑ (𝜄𝑟�̅� − 𝜚𝑞𝑟)𝑅𝑟=1 ≤ 10 𝑞 ∈ 𝑄 (48)
∑ (𝛾𝑙𝑟 − 𝑜𝑟1)𝑅𝑟=1 ≤ 10 𝑙 ∈ 𝐿 (49)
∑ (𝜄𝑟�̅� − 𝜚𝑙𝑟)𝑅𝑟=1 ≤ 10 𝑙 ∈ 𝐿 (50)
e.3. O seguinte conjunto de restrições tem como propósito limitar semanalmente o número de dias de
trabalho e as horas de repouso para os diferentes tripulantes quando existe repartição (𝜔𝑟 = 1).
Deste modo, as restrições (51) – (53) limitam o número de dias de trabalho (𝑎𝑝𝑠) do piloto, 𝑝 =
1, … , �̅�, a um máximo de 2 dias por semana. O mesmo é verificado para os copilotos, 𝑞 = 1, … , �̅�, e para
os tripulantes de cabina, 𝑙 = 1, … , 𝑙.̅ Caso o PSV repartido se verifique duas vezes numa semana, é
necessário garantir pelo menos um dia, 24 horas, de repouso local entre ambos, restrições (54) – (56).
Este repouso é modelado através da diferença entre a chegada à base e a partida da mesma (𝑚𝑟+1𝑗 −
𝑛𝑟𝑗), para um piloto associado ao PSV (𝑦𝑝𝑟), qualificado para o mesmo (𝑒𝑝𝑟𝑖). Similarmente para os
copilotos, 𝑞 = 1, … , �̅�, e para os tripulantes de cabina, 𝑙 = 1, … , 𝑙.̅
∑ (𝜔𝑟𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖𝑎𝑝𝑠) ≤ 2𝑅𝑟=1 𝑝 ∈ 𝑃, 𝑠 ∈ 𝑆, 𝑖 ∈ 𝐼 (51)
∑ (𝜔𝑟𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖𝑎𝑞𝑠) ≤ 2𝑅𝑟=1 𝑞 ∈ 𝑄, 𝑠 ∈ 𝑆, 𝑖 ∈ 𝐼 (52)
∑ (𝜔𝑟𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖𝑎𝑙𝑠) ≤ 2𝑅𝑟=1 𝑙 ∈ 𝐿, 𝑠 ∈ 𝑆, 𝑖 ∈ 𝐼 (53)
∑ (∑ (𝜔𝑟𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖(𝑚𝑟+1𝑗 − 𝑛𝑟𝑗))𝐽𝑗=1 )𝑅
𝑟=1 ≥ 24 ∑ (𝜔𝑟𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖𝑎𝑝𝑠) ≤ 2𝑅𝑟=1 , 𝑝 ∈ 𝑃, 𝑠 ∈ 𝑆, 𝑖 ∈ 𝐼 (54)
∑ (∑ (𝜔𝑟𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖(𝑚𝑟+1𝑗 − 𝑛𝑟𝑗))𝐽𝑗=1 )𝑅
𝑟=1 ≥ 24 ∑ (𝜔𝑟𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖𝑎𝑞𝑠) ≤ 2𝑅𝑟=1 , 𝑞 ∈ 𝑄, 𝑠 ∈ 𝑆, 𝑖 ∈ 𝐼 (55)
∑ (∑ (𝜔𝑟𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖(𝑚𝑟+1𝑗 − 𝑛𝑟𝑗))𝐽𝑗=1 )𝑅
𝑟=1 ≥ 24 ∑ (𝜔𝑟𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖𝑎𝑙𝑠) ≤ 2𝑅𝑟=1 , 𝑙 ∈ 𝐿, 𝑠 ∈ 𝑆, 𝑖 ∈ 𝐼 (56)
e.4 As restrições (57) e (58) limitam a diferença de zonas horárias num PSV quando se verifica a
repartição (𝜔𝑟 = 1). Neste caso, segundo o que se encontra estipulado no artigo n.º 11 do Decreto-Lei
n.º 139/2004, é necessário garantir que não haja uma diferença superior a duas zonas horárias entre
os pontos iniciais do intervalo (휀𝑟) e do serviço de voo ( 𝜎𝑟).
𝜔𝑟(휀𝑟− ℎ𝑟) ≤ 2 𝑟 ∈ 𝑅 (57)
𝜔𝑟(휀𝑟− ℎ𝑟) ≥ −2 𝑟 ∈ 𝑅 (58)
33
e.5 O mesmo artigo, delimita ainda que para PSV repartidos (𝜔𝑟 =1) o número de segmentos de voo
que podem advir o intervalo (𝑠𝑟) não pode ultrapassar os 2 segmentos para qualquer PSV, 𝑟 = 1, … , �̅�
– restrição (59).
𝜔𝑟𝑠𝑟 ≤ 2 𝑟 ∈ 𝑅 (59)
F. Limites para os tempos totais de serviço com voos noturnos
Os seguintes conjuntos de restrições têm como propósito limitarem para os diferentes tripulantes
aspetos relacionados com PSV noturnos. Como tal é necessário que o PSV se realize entre as 23 horas
e as 6 horas e 29 minutos do local da base, segundo a definição presente no Decreto-Lei n.º 139/2004.
f.1. Deste modo as restrições (60) – (62) tem como finalidade limitarem o número de PSV noturnos
semanal para os diferentes tripulantes. Sempre que um PSV noturno se verifica, a variável binária
(𝜉𝑟) assume o valor 1 e caso o tripulante seja atribuído (𝑦𝑝𝑟 = 1), o número verificado pode ser até no
máximo de três em cada semana. Como forma de diferenciar as semanas é utilizada outra variável
binária (𝑔𝑝𝑟𝑠) identificada pelo tripulante, rotação e a pela semana que toma o valor 1 se o tripulante é
atribuído e 0 caso não seja.
∑ 𝜉𝑟𝑦𝑝𝑟𝑔𝑝𝑟𝑠 ≤ 3𝑅𝑟=1 𝑝 ∈ 𝑃, 𝑠 ∈ 𝑆 (60)
∑ 𝜉𝑟𝑦𝑞𝑟𝑔𝑞𝑟𝑠 ≤ 3𝑅𝑟=1 𝑞 ∈ 𝑄, 𝑠 ∈ 𝑆 (61)
∑ 𝜉𝑟𝑦𝑙𝑟𝑔𝑙𝑟𝑠 ≤ 3𝑅𝑟=1 𝑙 ∈ 𝐿, 𝑠 ∈ 𝑆 (62)
f.2. Por último, as restrições (63) – (68) modelam para os diferentes tripulantes a necessidade de pelo
menos 36 horas de repouso após dois PSV noturnos consecutivos, (𝑟) e (𝑟 + 1) . Quando tal se verifica,
as variáveis binárias (𝜉𝑟) e (𝜉𝑟+1) assumem o valor 1 e o período de repouso semanal é modelado
através da superioridade ou igualdade relativamente ao início do PSV (𝑟 + 2), 𝑏𝑝𝑟+2. Caso estas
condições se verifiquem e caso o piloto seja atribuído (𝑦𝑝𝑟) e qualificado (𝑒𝑝𝑟𝑖) para o voo, o PSV (𝑟 + 2)
têm inicio 36 horas após o fim do PSV (𝑟 + 1). De igual modo para os copilotos, 𝑞 = 1, … , �̅�, e para os
tripulantes de cabina, 𝑙 = 1, … , 𝑙.̅ As restrições (66) – (68) têm como objetivo fazer com que o início do
PSV inicie depois do descanso estar completamente efetuado, mesmo que este se prolongue de um
dia para o outro. A variável (𝑑𝑒𝑠𝑝) permite assim, contabilizar o tempo de descanso que, ainda não foi
efetuado pelo tripulante.
(𝜉𝑟+1𝑦𝑝𝑟+1𝑒𝑝𝑟+1𝑖𝑓𝑝𝑟+1 + 36) ≤ (𝑦𝑝𝑟+2𝑒𝑝𝑟+2𝑖𝑏𝑝𝑟+2) 𝑝 ∈ 𝑃, 𝑟 ∈ 𝑅, 𝜉𝑟 𝑦𝑝𝑒𝑝𝑖 = 1, 𝜉𝑟+1𝑦𝑝𝑒𝑝𝑖 = 1, 𝑖 ∈ 𝐼 (63)
(𝜉𝑟+1𝑦𝑞𝑟+1𝑒𝑞𝑟+1𝑖𝑓𝑞𝑟+1 + 36) ≤ (𝑦𝑞𝑟+2𝑒𝑞𝑟+2𝑖𝑏𝑞𝑟+2) 𝑞 ∈ 𝑄, 𝑟 ∈ 𝑅, 𝜉𝑟𝑦𝑞𝑒𝑞𝑖 = 1, 𝜉𝑟+1𝑦𝑞𝑒𝑞𝑖 = 1, 𝑖 ∈ 𝐼 (64)
(𝜉𝑟+1𝑦𝑡𝑟+1𝑒𝑙𝑟+1𝑖𝑓𝑙𝑟+1 + 36) ≤ (𝑦𝑙𝑟+2𝑒𝑙𝑟+2𝑖𝑏𝑙𝑟+2) 𝑙 ∈ 𝐿, 𝑟 ∈ 𝑅, 𝜉𝑟𝑦𝑙𝑒𝑙𝑖 = 1, 𝜉𝑟+1𝑦𝑙𝑒𝑙𝑖 = 1, 𝑖 ∈ 𝐼 (65)
(𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑝 + 𝑑𝑒𝑠𝑝)𝑦𝑝𝑒𝑝𝑖 ≤ (𝑦𝑝𝑒𝑝𝑖𝑏𝑝𝑟) 𝑝 ∈ 𝑃, 𝑟 ∈ 𝑅, 𝜉𝑟−1𝑦𝑝𝑒𝑝𝑖 = 1, 𝜉𝑟−2𝑦𝑝𝑒𝑝𝑖 = 1, 𝑖 ∈ 𝐼 (66)
(𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑝 + 𝑑𝑒𝑠𝑞)𝑦𝑞𝑒𝑞𝑖 ≤ (𝑦𝑞𝑒𝑞𝑟𝑖𝑏𝑞𝑟) 𝑞 ∈ 𝑄, 𝑟 ∈ 𝑅, 𝜉𝑟−1𝑦𝑞𝑒𝑞𝑖 = 1, 𝜉𝑟−2𝑦𝑞𝑒𝑞𝑖 = 1, 𝑖 ∈ 𝐼 (67)
(𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑝 + 𝑑𝑒𝑠𝑙)𝑦𝑙𝑒𝑙𝑖 ≤ (𝑦𝑙𝑒𝑙𝑟𝑖𝑏𝑙𝑟) 𝑙 ∈ 𝐿, 𝑟 ∈ 𝑅, 𝜉𝑟−1𝑦𝑙𝑒𝑙𝑖 = 1, 𝜉𝑟−2𝑦𝑙𝑒𝑙𝑖 = 1, 𝑖 ∈ 𝐼 (68)
34
G. Limites para períodos de assistência
As seguintes restrições modelam o limite máximo de um período de assistência para os diferentes
tripulantes. Este período caracteriza-se pela permanência e disponibilidade do tripulante num raio
equivalente entre a sua residência e a base, caso haja necessidade de executar um PSV por ordem da
companhia aérea, segundo o que consta no artigo n.º 2 do Decreto-Lei n.º 139/2004. Quando se verifica
um período de assistência, a variável binária (𝛿𝑝𝑟) assume o valor 1, e a sua duração para o piloto, 𝑝 =
1, … , �̅�, caso este seja atribuído e qualificado é calculada através da diferença entre o fim e o início do
respetivo período (𝜏𝑟 − 𝜎𝑟), limitando-o, portanto, ao máximo de 12 horas. O mesmo acontece para os
restantes períodos de tempo e tripulantes.
∑ ((𝜏𝑟 − 𝜎𝑟)𝛿𝑝𝑟𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖)𝑅𝑟=1 ≤ 12 𝑖 ∈ 𝐼, 𝑝 ∈ 𝑃 (69)
∑ ((𝜏𝑟 − 𝜎𝑟)𝛿𝑞𝑟𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖)𝑅𝑟=1 ≤ 12 𝑖 ∈ 𝐼, 𝑞 ∈ 𝑄 (70)
∑ ((𝜏𝑟 − 𝜎𝑟)𝛿𝑙𝑟𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖)𝑅𝑟=1 ≤ 12 𝑖 ∈ 𝐼, 𝑙 ∈ 𝐿 (71)
H. Limites para os tempos totais de serviço e de voo
Os seguintes conjuntos de restrições têm como finalidade restringirem semanal, mensal, trimestral e
anualmente o número de horas totais quer de serviço quer de voo, tendo em conta a soma de todos os
períodos para os diferentes tipos de tripulantes.
h.1. Deste modo o seguinte conjunto de restrições limita o número de horas de serviço semanal para
os diferentes tripulantes. Assim sendo, o limite máximo de serviço semanal para os pilotos e copilotos
é de 55 horas e para a tripulação de cabina é de 60 horas, segundo o que está estipulado no quadro
n.º 5 do Decreto-Lei n.º 139/2004.
Para a contabilização do número de horas é necessário somar para os dois tipos de voos, noturnos
e diurnos, os quatro subtipos: voos com um piloto, com dois pilotos, reforçados e repartidos. Deste
modo, após verificadas as suas características e as variáveis assumirem o valor 1, é necessário calcular
a duração dos períodos de serviço. O cálculo é efetuado através da diferença entre o momento final e
o inicial do PSV, (𝑓𝑝𝑟𝑠 − 𝑏𝑝𝑟𝑠), somando ainda os respetivos prolongamentos.
Todavia, para além destes quatro subtipos de períodos de serviço, é também necessário ter em
conta outros dois fatores: os períodos de assistência e os deslocamentos do tripulante como
passageiro. Deste modo, para os períodos de assistência serem incluídos é necessário que a variável
binária (𝛿𝑝𝑟) seja verificada e assuma o valor 1. Se tal se suceder e se o intervalo de tempo entre a
notificação e o início do período de assistência, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟), for igual ou inferior a 2 horas para além deste
intervalo, a duração do período de serviço de assistência é contabilizada na sua totalidade, porém se
o intervalo for superior a 2 horas é contabilizada apenas a duração do período de assistência a 25%.
A duração à semelhança das anteriores é calculada através da diferença entre o fim e o início do
período de serviço de assistência, (𝜏𝑟 − 𝜎𝑟). Quanto ao deslocamento do tripulante como passageiro é
apenas aplicado quando é necessário desloca-lo com o intuito de este iniciar um segmento de voo.
Portanto, caso isto se verifique a variável binária (𝛼𝑝𝑟𝑗) assume o valor 1 e a duração do voo é
contabilizada na totalidade se o fim do segmento de voo coincidir com o fim do PSV (𝑓𝑝𝑟𝑠 = 𝜏𝑝𝑟𝑗), caso
35
contrário, a duração da deslocação é apenas contabilizada a 50%. O cálculo da duração, similarmente
às anteriores, é realizado através da diferença entre o fim e o início do segmento de voo (𝜏𝑝𝑟𝑗𝑠 − 𝜎𝑝𝑟𝑗𝑠).
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑠 − 𝑏𝑝𝑟𝑠) + 𝑣𝑜𝑝𝑠 + 𝑣𝑝𝑠) + (𝑧𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑠 − 𝑏𝑝𝑟𝑠) + 𝑣𝑜𝑜𝑝𝑠) + (𝜑𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑠 − 𝑏𝑝𝑟𝑠) + 𝑣𝑟𝑝𝑠) +𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
(𝛿𝑝𝑟 × 0.25(𝜏𝑟 − 𝜎𝑟)) + (𝜔𝑟(𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) + 𝑣𝑟𝑝𝑠) + (𝛼𝑝𝑟𝑗(𝜏𝑝𝑟𝑗 − 𝜎𝑝𝑟𝑗))) 𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖) ≤ 55
𝑝 ∈ 𝑃, 𝑠 ∈ 𝑆, (𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) ≤ 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) > 2, 𝑓𝑝𝑟𝑠 ≠ 𝜏𝑝𝑟𝑗 (72)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑠 − 𝑏𝑝𝑟𝑠) + 𝑣𝑜𝑝𝑠 + 𝑣𝑝𝑠) + (𝑧𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑠 − 𝑏𝑝𝑟𝑠) + 𝑣𝑜𝑜𝑝𝑠) + (𝜑𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑠 − 𝑏𝑝𝑟𝑠) + 𝑣𝑟𝑝𝑠) +𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
(𝛿𝑝𝑟((𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) + (𝜏𝑟 − 𝜎𝑟))) + (𝜔𝑟(𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) + 𝑣𝑟𝑝𝑠) + (𝛼𝑝𝑟𝑗(𝜏𝑝𝑟𝑗 − 𝜎𝑝𝑟𝑗))) 𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖) ≤ 55
𝑝 ∈ 𝑃, 𝑠 ∈ 𝑆, (ϱ𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) ≤ 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) ≤ 2, 𝑓𝑝𝑟𝑠 ≠ 𝜏𝑝𝑟𝑗 (73)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑠 − 𝑏𝑝𝑟𝑠) + 𝑣𝑜𝑝𝑠 + 𝑣𝑝𝑠) + (𝑧𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑠 − 𝑏𝑝𝑟𝑠) + 𝑣𝑜𝑜𝑝𝑠) + (𝜑𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑠 − 𝑏𝑝𝑟𝑠) + 𝑣𝑟𝑝𝑠) +𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
(𝛿𝑝𝑟 × 0.25(𝜏𝑟 − 𝜎𝑟)) + (𝜔𝑟 × 0.5(𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) + 𝑣𝑟𝑝𝑠) + (𝛼𝑝𝑟𝑗(𝜏𝑝𝑟𝑗 − 𝜎𝑝𝑟𝑗))) 𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖) ≤ 55
𝑝 ∈ 𝑃, 𝑠 ∈ 𝑆, (𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) > 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) > 2, 𝑓𝑝𝑟𝑠 ≠ 𝜏𝑝𝑟𝑗 (74)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑠 − 𝑏𝑝𝑟𝑠) + 𝑣𝑜𝑝𝑠 + 𝑣𝑝𝑠) + (𝑧𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑠 − 𝑏𝑝𝑟𝑠) + 𝑣𝑜𝑜𝑝𝑠) + (𝜑𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑠 − 𝑏𝑝𝑟𝑠) + 𝑣𝑟𝑝𝑠) +𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
(𝛿𝑝𝑟((𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) + (𝜏𝑟 − 𝜎𝑟))) + (𝜔𝑟 × 0.5(𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) + 𝑣𝑟𝑝𝑠) + (𝛼𝑝𝑟𝑗(𝜏𝑝𝑟𝑗 − 𝜎𝑝𝑟𝑗))) 𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖) ≤ 55
𝑝 ∈ 𝑃, 𝑠 ∈ 𝑆, (𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) > 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) ≤ 2, 𝑓𝑝𝑟𝑠 ≠ 𝜏𝑝𝑟𝑗 (75)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑠 − 𝑏𝑝𝑟𝑠) + 𝑣𝑜𝑝𝑠 + 𝑣𝑝𝑠) + (𝑧𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑠 − 𝑏𝑝𝑟𝑠) + 𝑣𝑜𝑜𝑝𝑠) + (𝜑𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑠 − 𝑏𝑝𝑟𝑠) + 𝑣𝑟𝑝𝑠) +𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
(𝛿𝑝𝑟 × 0.25(𝜏𝑟 − 𝜎𝑟)) + (𝜔𝑟(𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) + 𝑣𝑟𝑝𝑠) + (𝛼𝑝𝑟𝑗 × 0.5(𝜏𝑝𝑟𝑗 − 𝜎𝑝𝑟𝑗))) 𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖) ≤ 55
𝑝 ∈ 𝑃, 𝑠 ∈ 𝑆, (𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) ≤ 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) > 2, 𝑓𝑝𝑟𝑠 = 𝜏𝑝𝑟𝑗 (76)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑠 − 𝑏𝑝𝑟𝑠) + 𝑣𝑜𝑝𝑠 + 𝑣𝑝𝑠) + (𝑧𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑠 − 𝑏𝑝𝑟𝑠) + 𝑣𝑜𝑜𝑝𝑠) + (𝜑𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑠 − 𝑏𝑝𝑟𝑠) + 𝑣𝑟𝑝𝑠) +𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
(𝛿𝑝𝑟((𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) + (𝜏𝑟 − 𝜎𝑟))) + (𝜔𝑟(𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) + 𝑣𝑟𝑝𝑠) + (𝛼𝑝𝑟𝑗 × 0.5(𝜏𝑝𝑟𝑗 − 𝜎𝑝𝑟𝑗))) 𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖) ≤ 55
𝑝 ∈ 𝑃, 𝑠 ∈ 𝑆, (𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) ≤ 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) ≤ 2, 𝑓𝑝𝑟𝑠 = 𝜏𝑝𝑟𝑗 (77)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑠 − 𝑏𝑝𝑟𝑠) + 𝑣𝑜𝑝𝑠 + 𝑣𝑝𝑠) + (𝑧𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑠 − 𝑏𝑝𝑟𝑠) + 𝑣𝑜𝑜𝑝𝑠) + (𝜑𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑠 − 𝑏𝑝𝑟𝑠) + 𝑣𝑟𝑝𝑠) +𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
(𝛿𝑝𝑟 × 0.25(𝜏𝑟 − 𝜎𝑟)) + (𝜔𝑟 × 0.5(𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) + 𝑣𝑟𝑝𝑠) + (𝛼𝑝𝑟𝑗 × 0.5(𝜏𝑝𝑟𝑗 − 𝜎𝑝𝑟𝑗))) 𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖) ≤ 55
𝑝 ∈ 𝑃, 𝑠 ∈ 𝑆, (𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) > 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) > 2, f𝑝𝑟𝑠 = 𝜏𝑝𝑟𝑗 (78)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑠 − 𝑏𝑝𝑟𝑠) + 𝑣𝑜𝑝𝑠 + 𝑣𝑝𝑠) + (𝑧𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑠 − 𝑏𝑝𝑟𝑠) + 𝑣𝑜𝑜𝑝𝑠) + (𝜑𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑠 − 𝑏𝑝𝑟𝑠) + 𝑣𝑟𝑝𝑠) +𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
(𝛿𝑝𝑟((𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) + (𝜏𝑟 − 𝜎𝑟))) + (𝜔𝑟 × 0.5(𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) + 𝑣𝑟𝑝𝑠) + (𝛼𝑝𝑟𝑗 × 0.5(𝜏𝑝𝑟𝑗 − 𝜎𝑝𝑟𝑗))) 𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖) ≤ 55
𝑝 ∈ 𝑃, 𝑠 ∈ 𝑆, (𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) > 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) ≤ 2, 𝑓𝑝𝑟𝑠 = 𝜏𝑝𝑟𝑗 (79)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑠 − 𝑏𝑞𝑟𝑠) + 𝑣𝑜𝑝𝑠 + 𝑣𝑝𝑠) + (𝑧𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑠 − 𝑏𝑞𝑟𝑠) + 𝑣𝑜𝑜𝑞𝑠) + (𝜑𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑠 − 𝑏𝑞𝑟s) + 𝑣𝑟𝑞𝑠) + (𝛿𝑞𝑟 ×𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
0.25(𝜏𝑟 − 𝜎𝑟)) + (𝜔𝑟(𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) + 𝑣𝑟𝑞𝑠) + (𝛼𝑞𝑟𝑗(𝜏𝑞𝑟𝑗 − 𝜎𝑞𝑟𝑗))) 𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖) ≤ 55
𝑞 ∈ 𝑄, 𝑠 ∈ 𝑆, (𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟)) ≤ 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) > 2, 𝑓𝑞𝑟𝑠 ≠ 𝜏𝑞𝑟𝑗 (80)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑠 − 𝑏𝑞𝑟𝑠) + 𝑣𝑜𝑝𝑠 + 𝑣𝑝𝑠) + (𝑧𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑠 − 𝑏𝑞𝑟𝑠) + 𝑣𝑜𝑜𝑞𝑠) + (𝜑𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑠 − 𝑏𝑞𝑟𝑠) + 𝑣𝑟𝑞𝑠) +𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
(𝛿𝑞𝑟((𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) + (𝜏𝑟 − 𝜎𝑟))) + (𝜔𝑟(𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) + 𝑣𝑟𝑞𝑠) + (𝛼𝑞𝑟𝑗(𝜏𝑞𝑟𝑗 − 𝜎𝑞𝑟𝑗))) 𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖) ≤ 55
𝑞 ∈ 𝑄, 𝑠 ∈ 𝑆, (𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) ≤ 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) ≤ 2, 𝑓𝑞𝑟𝑠 ≠ 𝜏𝑞𝑟𝑗 (81)
36
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑠 − 𝑏𝑞𝑟𝑠) + 𝑣𝑜𝑞𝑠 + 𝑣𝑞𝑠) + (𝑧𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑠 − 𝑏𝑞𝑟𝑠) + 𝑣𝑜𝑜𝑞𝑠) + (𝜑𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑠 − 𝑏𝑞𝑟𝑠) + 𝑣𝑟𝑞𝑠) + (𝛿𝑞𝑟 ×𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
0.25(𝜏𝑟 − 𝜎𝑟)) + (𝜔𝑟 × 0.5(𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) + 𝑣𝑟𝑞𝑠) + (𝛼𝑞𝑟𝑗(𝜏𝑞𝑟𝑗 − 𝜎𝑞𝑟𝑗))) 𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖) ≤ 55
𝑞 ∈ 𝑄, 𝑠 ∈ 𝑆, (𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) > 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) > 2, 𝑓𝑞𝑟𝑠 ≠ 𝜏𝑞𝑟𝑗 (82)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑠 − 𝑏𝑞𝑟𝑠) + 𝑣𝑜𝑞𝑠 + 𝑣𝑞𝑠) + (𝑧𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑠 − 𝑏𝑞𝑟𝑠) + 𝑣𝑜𝑜𝑞𝑠) + (𝜑𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑠 − 𝑏𝑞𝑟𝑠) + 𝑣𝑟𝑞𝑠) +𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
(𝛿𝑞𝑟((𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) + (𝜏𝑟 − 𝜎𝑟))) + (𝜔𝑟 × 0.5(𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) + 𝑣𝑟𝑞𝑠) + (𝛼𝑞𝑟𝑗(𝜏𝑞𝑟𝑗 − 𝜎𝑞𝑟𝑗))) 𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖) ≤ 55
𝑞 ∈ 𝑄, 𝑠 ∈ 𝑆, (𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) > 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) ≤ 2, 𝑓𝑞𝑟𝑠 ≠ 𝜏𝑞𝑟𝑗 (83)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑠 − 𝑏𝑞𝑟𝑠) + 𝑣𝑜𝑞𝑠 + 𝑣𝑞𝑠) + (𝑧𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑠 − 𝑏𝑞𝑟𝑠) + 𝑣𝑜𝑜𝑞𝑠) + (𝜑𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑠 − 𝑏𝑞𝑟𝑠) + 𝑣𝑟𝑞𝑠) + (𝛿𝑞𝑟 ×𝐽𝑗=1
𝑅r=1
0.25(𝜏𝑟 − 𝜎𝑟)) + (𝜔𝑟(𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) + 𝑣𝑟𝑞𝑠) + (𝛼𝑞𝑟𝑗 × 0.5(𝜏𝑞𝑟𝑗 − 𝜎𝑞𝑟𝑗))) 𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖) ≤ 55
𝑞 ∈ 𝑄, 𝑠 ∈ 𝑆, (𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) ≤ 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) > 2, 𝑓𝑞𝑟𝑠 = 𝜏𝑞𝑟𝑗 (84)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑠 − 𝑏𝑞𝑟𝑠) + 𝑣𝑜𝑞𝑠 + 𝑣𝑞𝑠) + (𝑧𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑠 − 𝑏𝑞𝑟𝑠) + 𝑣𝑜𝑜𝑞𝑠) + (𝜑𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑠 − 𝑏𝑞𝑟𝑠) + 𝑣𝑟𝑞𝑠) +𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
(𝛿𝑞𝑟((𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) + (𝜏𝑟 − 𝜎𝑟))) + (𝜔𝑟(𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) + 𝑣𝑟𝑞𝑠) + (𝛼𝑞𝑟𝑗 × 0.5(𝜏𝑞𝑟𝑗 − 𝜎𝑞𝑟𝑗))) 𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖) ≤ 55
𝑞 ∈ 𝑄, 𝑠 ∈ 𝑆, (𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) ≤ 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) ≤ 2, 𝑓𝑞𝑟𝑠 = 𝜏𝑞𝑟𝑗 (85)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑠 − 𝑏𝑞𝑟𝑠) + 𝑣𝑜𝑞𝑠 + 𝑣𝑞𝑠) + (𝑧𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑠 − 𝑏𝑞𝑟𝑠) + 𝑣𝑜𝑜𝑞𝑠) + (𝜑𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑠 − 𝑏𝑞𝑟𝑠) + 𝑣𝑟𝑞𝑠) + (𝛿𝑞𝑟 ×𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
0.25(𝜏𝑟 − 𝜎𝑟)) + (𝜔𝑟 × 0.5(𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) + 𝑣𝑟𝑞𝑠) + (𝛼𝑞𝑟𝑗 × 0.5(𝜏𝑞𝑟𝑗 − 𝜎𝑞𝑟𝑗))) 𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖) ≤ 55
𝑞 ∈ 𝑄, 𝑠 ∈ 𝑆, (𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) > 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) > 2, 𝑓𝑞𝑟𝑠 = 𝜏𝑞𝑟𝑗 (86)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑠 − 𝑏𝑞𝑟𝑠) + 𝑣𝑜𝑞𝑠 + 𝑣𝑞𝑠) + (𝑧𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑠 − 𝑏𝑞𝑟𝑠) + 𝑣𝑜𝑜𝑞𝑠) + (𝜑𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑠 − 𝑏𝑞𝑟𝑠) + 𝑣𝑟𝑞𝑠) +𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
(𝛿𝑞𝑟((𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) + (𝜏𝑟 − 𝜎𝑟))) + (𝜔𝑟 × 0.5(𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) + 𝑣𝑟𝑞𝑠) + (𝛼𝑞𝑟𝑗 × 0.5(𝜏𝑞𝑟𝑗 − 𝜎𝑞𝑟𝑗))) 𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖) ≤ 55
𝑞 ∈ 𝑄, 𝑠 ∈ 𝑆, (𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) > 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) ≤ 2, 𝑓𝑞𝑟𝑠 = 𝜏𝑞𝑟𝑗 (87)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑠 − 𝑏𝑙𝑟𝑠) + 𝑣𝑜𝑙𝑠) + (𝑧𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑠 − 𝑏𝑙𝑟𝑠) + 𝑣𝑜𝑜𝑙𝑠) + (𝜑𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑠 − 𝑏𝑙𝑟𝑠) + 𝑣𝑟𝑙𝑠) + (𝛿𝑙𝑟 × 0.25(𝜏𝑟 −𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
𝜎𝑟)) + (𝜔𝑟(𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) + 𝑣𝑟𝑙𝑠) + (𝛼𝑙𝑟𝑗(𝜏𝑙𝑟𝑗 − 𝜎𝑙𝑟𝑗))) 𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖) ≤ 55
𝑙 ∈ 𝐿, 𝑠 ∈ 𝑆, (𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) ≤ 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) > 2, 𝑓𝑙𝑟𝑠 ≠ 𝜏𝑙𝑟𝑗 (88)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑠 − 𝑏𝑙𝑟𝑠) + 𝑣𝑜𝑙𝑠) + (𝑧𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑠 − 𝑏𝑙𝑟𝑠) + 𝑣𝑜𝑜𝑙𝑠) + (𝜑𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑠 − 𝑏𝑙𝑟𝑠) + 𝑣𝑟𝑙𝑠) + (𝛿𝑙𝑟((𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) +𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
(𝜏𝑟 − 𝜎𝑟))) + (𝜔𝑟(𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) + 𝑣𝑟𝑙𝑠) + (𝛼𝑙𝑟𝑗(𝜏𝑙𝑟𝑗 − 𝜎𝑙𝑟𝑗))) 𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖) ≤ 55
𝑙 ∈ 𝐿, 𝑠 ∈ 𝑆, (𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) ≤ 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) ≤ 2, 𝑓𝑙𝑟𝑠 ≠ 𝜏𝑙𝑟𝑗 (89)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑠 − 𝑏𝑙𝑟𝑠) + 𝑣𝑜𝑙𝑠) + (𝑧𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑠 − 𝑏𝑙𝑟𝑠) + 𝑣𝑜𝑜𝑙𝑠) + (𝜑𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑠 − 𝑏𝑙𝑟𝑠) + 𝑣𝑟𝑙𝑠) + (𝛿𝑙𝑟 × 0.25(𝜏𝑟 −𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
𝜎𝑟)) + (𝜔𝑟 × 0.5(𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) + 𝑣𝑟𝑙𝑠) + (𝛼𝑙𝑟𝑗(𝜏𝑙𝑟𝑗 − 𝜎𝑙𝑟𝑗))) 𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖) ≤ 55
𝑙 ∈ 𝐿, 𝑠 ∈ 𝑆, (𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) > 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) > 2, 𝑓𝑙𝑟𝑠 ≠ 𝜏𝑙𝑟𝑗 (90)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑠 − 𝑏𝑙𝑟𝑠) + 𝑣𝑜𝑙𝑠) + (𝑧𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑠 − 𝑏𝑙𝑟𝑠) + 𝑣𝑜𝑜𝑙𝑠) + (𝜑𝑟(𝑓l𝑟𝑠 − 𝑏𝑙𝑟𝑠) + 𝑣𝑟𝑙𝑠) + (𝛿𝑙𝑟((𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) +𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
(𝜏𝑟 − 𝜎𝑟))) + (𝜔𝑟 × 0.5(𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) + 𝑣𝑟𝑙𝑠) + (𝛼𝑙𝑟𝑗(𝜏𝑙𝑟𝑗 − 𝜎𝑙𝑟𝑗))) 𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖) ≤ 55
𝑙 ∈ 𝐿, 𝑠 ∈ 𝑆, (𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) > 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) ≤ 2, 𝑓𝑙𝑟𝑠 ≠ 𝜏𝑙𝑟𝑗 (91)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑠 − 𝑏𝑙𝑟𝑠) + 𝑣𝑜𝑙𝑠) + (𝑧𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑠 − 𝑏𝑙𝑟𝑠) + 𝑣𝑜𝑜𝑙𝑠) + (𝜑𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑠 − 𝑏𝑙𝑟𝑠) + 𝑣𝑟𝑙𝑠) + (𝛿𝑙𝑟 × 0.25(𝜏𝑟 −𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
𝜎𝑟)) + (𝜔𝑟(𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) + 𝑣𝑟𝑙𝑠) + (𝛼𝑙𝑟𝑗 × 0.5(𝜏𝑙𝑟𝑗 − 𝜎𝑙𝑟𝑗))) 𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖) ≤ 55
𝑙 ∈ L, 𝑠 ∈ 𝑆, (𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) ≤ 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) > 2, 𝑓𝑙𝑟𝑠 = 𝜏𝑙𝑟𝑗 (92)
37
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑠 − 𝑏𝑙𝑟𝑠) + 𝑣𝑜𝑙𝑠) + (𝑧𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑠 − 𝑏𝑙𝑟𝑠) + 𝑣𝑜𝑜𝑙𝑠) + (𝜑𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑠 − 𝑏𝑙𝑟𝑠) + 𝑣𝑟𝑙𝑠) + (𝛿𝑙𝑟((𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) +𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
(𝜏𝑟 − 𝜎𝑟))) + (𝜔𝑟(𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) + 𝑣𝑟𝑙𝑠) + (𝛼𝑙𝑟𝑗 × 0.5(𝜏𝑙𝑟𝑗 − 𝜎𝑙𝑟𝑗))) 𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖) ≤ 55
𝑙 ∈ 𝐿, 𝑠 ∈ 𝑆, (𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) ≤ 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) ≤ 2, 𝑓𝑙𝑟𝑠 = 𝜏𝑙𝑟𝑗 (93)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑠 − 𝑏𝑙𝑟𝑠) + 𝑣𝑜𝑙𝑠) + (𝑧𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑠 − 𝑏𝑙𝑟𝑠) + 𝑣𝑜𝑜𝑙𝑠) + (𝜑𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑠 − 𝑏𝑙𝑟𝑠) + 𝑣𝑟𝑙𝑠) + (𝛿𝑙𝑟 × 0.25(𝜏𝑟 −𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
𝜎𝑟)) + (𝜔𝑟 × 0.5(𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) + 𝑣𝑟𝑙𝑠) + (𝛼𝑙𝑟𝑗 × 0.5(𝜏𝑙𝑟𝑗 − 𝜎𝑙𝑟𝑗))) 𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖) ≤ 55
𝑙 ∈ 𝐿, 𝑠 ∈ 𝑆, (𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) > 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) > 2, 𝑓𝑙r𝑠 = 𝜏𝑙𝑟𝑗 (94)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑠 − 𝑏𝑙𝑟𝑠) + 𝑣𝑜𝑙𝑠) + (𝑧𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑠 − 𝑏𝑙𝑟𝑠) + 𝑣𝑜𝑜𝑙𝑠) + (𝜑𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑠 − 𝑏𝑙𝑟𝑠) + 𝑣𝑟𝑙𝑠) + (𝛿𝑙𝑟((𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) +𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
(𝜏𝑟 − 𝜎𝑟))) + (𝜔𝑟 × 0.5(𝜚𝐿𝑟 − 𝛾𝐿𝑟) + 𝑣𝑟𝑙𝑠) + (𝛼𝑙𝑟𝑗 × 0.5(𝜏𝑙𝑟𝑗 − 𝜎𝑙𝑟𝑗))) 𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖) ≤ 55
𝑙 ∈ 𝐿, 𝑠 ∈ 𝑆, (𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) > 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) ≤ 2, 𝑓𝑙𝑟𝑠 = 𝜏𝑙𝑟𝑗 (95)
h.2. O conjunto de restrições que se segue, possui apenas duas diferenças relativamente ao conjunto
anterior. Este, para além do número de horas de serviço, restringe o número de horas de voo total para
os pilotos, 𝑝 = 1, … , �̅�, – restrição (96) – copilotos, 𝑞 = 1, … , �̅�, – restrição (105) – e tripulantes de
cabina, 𝑙 = 1, … , 𝑙,̅ – restrição (114) – referindo-se apenas aos limites mensais. O período de serviço
mensal, tanto para a tripulação de voo como para a tripulação de cabina, é no máximo 190 horas e o
PSV total mensal é no máximo de 95 horas, segundo o que está estipulado no Decreto-Lei n.º 139/2004.
∑ ∑ (∑ (𝜄𝑟𝑗𝑚 − 𝑜𝑟𝑗𝑚)𝐽𝐽=1 𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖 + 𝑡𝑣𝑜𝑜𝑝𝑚)𝐼
𝑖=1R𝑟=1 ≤ 95 𝑝 ∈ 𝑃, 𝑚 ∈ 𝑀 (96)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑚 − 𝑏𝑝𝑟𝑚) + 𝑣𝑜𝑝𝑚 + 𝑣𝑝𝑚) + (𝑧𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑚 − 𝑏𝑝𝑟𝑚) + 𝑣𝑜𝑜𝑝𝑚) + (𝜑𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑚 − 𝑏𝑝𝑟𝑚) +𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
𝑣𝑟𝑝𝑚) + (𝛿𝑝𝑟 × 0.25(𝜏𝑟 − σ𝑟)) + (𝜔𝑟(𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) + 𝑣𝑟𝑝𝑚) + (𝛼𝑝𝑟𝑗(𝜏𝑝𝑟𝑗 − 𝜎𝑝𝑟𝑗))) 𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖) ≤ 190
𝑝 ∈ 𝑃, 𝑚 ∈ 𝑀, (𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) ≤ 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) > 2, 𝑓𝑝𝑟, ≠ 𝜏𝑝𝑟𝑗 (97)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑚 − 𝑏𝑝𝑟𝑚) + 𝑣𝑜𝑝𝑚 + 𝑣𝑝𝑚) + (𝑧𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑚 − 𝑏𝑝𝑟𝑚) + 𝑣𝑜𝑜𝑝𝑚) + (𝜑𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑚 − 𝑏𝑝𝑟𝑚) +𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
𝑣𝑟𝑝𝑚) + (𝛿𝑝𝑟((𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) + (𝜏𝑟 − 𝜎𝑟))) + (𝜔𝑟(𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) + 𝑣𝑟𝑝𝑚) + (𝛼𝑝𝑟𝑗(𝜏𝑝𝑟𝑗 − 𝜎𝑝𝑟𝑗))) 𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖) ≤ 190
𝑝 ∈ 𝑃, 𝑚 ∈ 𝑀, (𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) ≤ 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) ≤ 2, 𝑓𝑝𝑟𝑚 ≠ 𝜏𝑝𝑟𝑗 (98)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑚 − 𝑏𝑝𝑟𝑚) + 𝑣𝑜𝑝𝑚 + 𝑣𝑝𝑚) + (𝑧𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑚 − 𝑏𝑝𝑟𝑚) + 𝑣𝑜𝑜𝑝𝑚) + (𝜑𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑚 − 𝑏𝑝𝑟𝑚) +𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
𝑣𝑟𝑝𝑚) + (𝛿𝑝𝑟 × 0.25(𝜏𝑟 − 𝜎𝑟)) + (𝜔𝑟 × 0.5(𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) + 𝑣𝑟𝑝𝑚) + (𝛼𝑝𝑟𝑗(𝜏𝑝𝑟𝑗 − 𝜎𝑝r𝑗))) 𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖) ≤ 190
𝑝 ∈ 𝑃, 𝑚 ∈ 𝑀, (𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) > 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) > 2, 𝑓𝑝𝑟𝑚 ≠ 𝜏𝑝𝑟𝑗 (99)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑚 − 𝑏𝑝𝑟𝑚) + 𝑣𝑜𝑝𝑚 + 𝑣𝑝𝑚) + (𝑧𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑚 − 𝑏𝑝𝑟𝑚) + 𝑣𝑜𝑜𝑝𝑚) + (𝜑𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑚 − 𝑏𝑝𝑟𝑚) +𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
𝑣𝑟𝑝𝑚) + (𝛿𝑝𝑟((σ𝑟 − 𝜗𝑟) + (𝜏𝑟 − 𝜎𝑟))) + (𝜔𝑟 × 0.5(𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) + 𝑣𝑟𝑝𝑚) + (𝛼𝑝𝑟𝑗(𝜏𝑝𝑟𝑗 − 𝜎𝑝𝑟𝑗))) 𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖) ≤
190 𝑝 ∈ 𝑃, 𝑚 ∈ 𝑀, (𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) > 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) ≤ 2, 𝑓𝑝𝑟𝑚 ≠ 𝜏𝑝𝑟𝑗 (100)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑚 − 𝑏𝑝𝑟𝑚) + 𝑣𝑜𝑝𝑚 + 𝑣𝑝𝑚) + (𝑧𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑚 − 𝑏𝑝𝑟𝑚) + 𝑣𝑜𝑜𝑝𝑚) + (𝜑𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑚 − 𝑏𝑝𝑟𝑚) +𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
𝑣𝑟𝑝𝑚) + (𝛿𝑝𝑟 × 0.25(𝜏𝑟 − 𝜎𝑟)) + (𝜔𝑟(𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) + 𝑣𝑟𝑝𝑚) + (𝛼𝑝𝑟𝑗 × 0.5(𝜏𝑝𝑟𝑗 − 𝜎𝑝𝑟𝑗))) 𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖) ≤ 190
𝑝 ∈ 𝑃, 𝑚 ∈ 𝑀, (𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) ≤ 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) > 2, 𝑓𝑝𝑟𝑚 = 𝜏𝑝𝑟𝑗 (101)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑚 − 𝑏𝑝𝑟𝑚) + 𝑣𝑜𝑝𝑚 + 𝑣𝑝𝑚) + (𝑧𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑚 − 𝑏𝑝𝑟𝑚) + 𝑣𝑜𝑜𝑝𝑚) + (𝜑𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑚 − 𝑏𝑝𝑟𝑚) +𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
𝑣𝑟𝑝𝑚) + (𝛿𝑝𝑟((𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) + (𝜏𝑟 − 𝜎𝑟))) + (𝜔𝑟(𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) + 𝑣𝑟𝑝𝑚) + (𝛼𝑝𝑟𝑗 × 0.5(𝜏𝑝𝑟𝑗 − 𝜎𝑝𝑟𝑗))) 𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖) ≤
190 𝑝 ∈ 𝑃, 𝑚 ∈ 𝑀, (𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) ≤ 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) ≤ 2, 𝑓𝑝𝑟𝑚 = 𝜏𝑝𝑟𝑗 (102)
38
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑚 − 𝑏𝑝𝑟𝑚) + 𝑣𝑜𝑝𝑚 + 𝑣𝑝𝑚) + (𝑧𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑚 − 𝑏𝑝𝑟𝑚) + 𝑣𝑜𝑜𝑝𝑚) + (𝜑𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑚 − 𝑏𝑝𝑟𝑚) +𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
𝑣𝑟𝑝𝑚) + (𝛿𝑝𝑟 × 0.25(𝜏𝑟 − 𝜎𝑟)) + (𝜔𝑟 × 0.5(𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) + 𝑣𝑟𝑝𝑚) + (𝛼𝑝𝑟𝑗 × 0.5(𝜏𝑝𝑟𝑗 − 𝜎𝑝𝑟𝑗))) 𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖) ≤ 190
𝑝 ∈ 𝑃, 𝑚 ∈ 𝑀, (𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) > 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) > 2, 𝑓𝑝𝑟𝑚 = 𝜏𝑝𝑟𝑗 (103)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑚 − 𝑏𝑝𝑟𝑚)) + (𝑧𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑚 − 𝑏𝑝𝑟𝑚) + 𝑣𝑜𝑜𝑝𝑚) + (𝜑𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑚 − 𝑏𝑝𝑟𝑚) + 𝑣𝑟𝑝𝑚) + (𝛿𝑝𝑟((𝜎𝑟 −𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
𝜗𝑟) + (𝜏𝑟 − 𝜎𝑟))) + (𝜔𝑟 × 0.5(𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) + 𝑣𝑟𝑝𝑚) + (𝛼𝑝𝑟𝑗 × 0.5(𝜏𝑝𝑟𝑗 − 𝜎𝑝𝑟𝑗))) 𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖) ≤ 190
𝑝 ∈ 𝑃, 𝑚 ∈ 𝑀, (𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) > 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) ≤ 2, 𝑓𝑝𝑟𝑚 = 𝜏𝑝𝑟𝑗 (104)
∑ ∑ (∑ (𝜄𝑟𝑗𝑚 − 𝑜𝑟𝑗𝑚)𝐽𝑗=1 𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖 + 𝑡𝑣𝑜𝑜𝑞𝑚)𝐼
𝑖=1𝑅𝑟=1 ≤ 95 𝑞 ∈ 𝑄, 𝑚 ∈ 𝑀 (105)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑚 − 𝑏𝑞𝑟𝑚) + 𝑣𝑜𝑞𝑚 + 𝑣𝑞𝑚) + (𝑧𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑚 − 𝑏𝑞𝑟𝑚) + 𝑣𝑜𝑜𝑞𝑚) + (𝜑𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑚 − 𝑏𝑞𝑟𝑚) + 𝑣𝑟𝑞𝑚) +𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
(𝛿𝑞𝑟 × 0.25(𝜏𝑟 − 𝜎𝑟)) + (𝜔𝑟(𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) + 𝑣𝑟𝑞𝑚) + (𝛼𝑞𝑟𝑗(𝜏𝑞𝑟𝑗 − 𝜎𝑞𝑟𝑗))) 𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖) ≤ 190
𝑞 ∈ 𝑄, 𝑚 ∈ 𝑀, (𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) ≤ 8, (σ𝑟 − 𝜗𝑟) > 2, 𝑓𝑞𝑟𝑚 ≠ 𝜏𝑞𝑟𝑗 (106)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑚 − 𝑏𝑞𝑟𝑚) + 𝑣𝑜𝑞𝑚 + 𝑣𝑞𝑚) + (𝑧𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑚 − 𝑏𝑞𝑟𝑚) + 𝑣𝑜𝑜𝑞𝑚) + (𝜑𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑚 − 𝑏𝑞𝑟𝑚) + 𝑣𝑟𝑞𝑚) +𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
(𝛿𝑞𝑟((𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) + (𝜏𝑟 − 𝜎𝑟))) + (𝜔𝑟(𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) + 𝑣𝑟𝑞𝑚) + (𝛼𝑞𝑟𝑗(𝜏𝑞𝑟𝑗 − 𝜎𝑞𝑟𝑗))) 𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖) ≤ 190
𝑞 ∈ 𝑄, 𝑚 ∈ 𝑀, (𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) ≤ 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) ≤ 2, 𝑓𝑞𝑟𝑚 ≠ 𝜏𝑞𝑟𝑗 (107)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑚 − 𝑏𝑞𝑟𝑚) + 𝑣𝑜𝑞𝑚 + 𝑣𝑞𝑚) + (𝑧𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑚 − 𝑏𝑞𝑟𝑚) + 𝑣𝑜𝑜𝑞𝑚) + (𝜑𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑚 − 𝑏𝑞𝑟𝑚) + 𝑣𝑟𝑞𝑚) +𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
(𝛿𝑞𝑟 × 0.25(𝜏𝑟 − 𝜎𝑟)) + (𝜔𝑟 × 0.5(𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) + 𝑣𝑟𝑞𝑚) + (𝛼𝑞𝑟𝑗(𝜏𝑞𝑟𝑗 − 𝜎𝑞𝑟𝑗))) 𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖) ≤ 190
𝑞 ∈ 𝑄, 𝑚 ∈ 𝑀, (𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) > 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) > 2, 𝑓𝑞𝑟𝑚 ≠ 𝜏𝑞𝑟𝑗 (108)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑚 − 𝑏𝑞𝑟𝑚) + 𝑣𝑜𝑞𝑚 + 𝑣𝑞𝑚) + (𝑧𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑚 − 𝑏𝑞𝑟𝑚) + 𝑣𝑜𝑜𝑞𝑚) + (𝜑𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑚 − 𝑏𝑞𝑟𝑚) + 𝑣𝑟𝑞𝑚) +𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
(𝛿𝑞𝑟((𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) + (𝜏𝑟 − 𝜎𝑟))) + (𝜔𝑟 × 0.5(𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) + 𝑣𝑟𝑞𝑚) + (𝛼𝑞𝑟𝑗(𝜏𝑞𝑟𝑗 − 𝜎𝑞𝑟𝑗))) 𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖) ≤ 190
𝑞 ∈ 𝑄, 𝑚 ∈ 𝑀, (𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) > 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) ≤ 2, 𝑓𝑞𝑟𝑚 ≠ 𝜏𝑞𝑟𝑗 (109)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑚 − 𝑏𝑞𝑟𝑚) + 𝑣𝑜𝑞𝑚 + 𝑣𝑞𝑚) + (𝑧𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑚 − 𝑏𝑞𝑟𝑚) + 𝑣𝑜𝑜𝑞𝑚) + (𝜑𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑚 − 𝑏𝑞𝑟𝑚) + 𝑣𝑟𝑞𝑚) +𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
(𝛿𝑞𝑟 × 0.25(𝜏𝑟 − 𝜎𝑟)) + (𝜔𝑟(𝜚𝑞r − 𝛾𝑞𝑟) + 𝑣𝑟𝑞𝑚) + (𝛼𝑞𝑟𝑗 × 0.5(𝜏𝑞𝑟𝑗 − 𝜎𝑞𝑟𝑗))) 𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖) ≤ 190
𝑞 ∈ 𝑄, 𝑚 ∈ 𝑀, (𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) ≤ 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) > 2, 𝑓𝑞𝑟𝑚 = 𝜏𝑞𝑟𝑗 (110)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑚 − 𝑏𝑞𝑟𝑚) + 𝑣𝑜𝑞𝑚 + 𝑣𝑞𝑚) + (𝑧𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑚 − 𝑏𝑞𝑟𝑚) + 𝑣𝑜𝑜𝑞𝑚) + (𝜑𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑚 − 𝑏𝑞𝑟𝑚) + 𝑣𝑟𝑞𝑚) +𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
(𝛿𝑞𝑟((𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) + (𝜏𝑟 − 𝜎𝑟))) + (𝜔𝑟(𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) + 𝑣𝑟𝑞𝑚) + (𝛼𝑞𝑟𝑗 × 0.5(𝜏𝑞𝑟𝑗 − 𝜎𝑞𝑟𝑗))) 𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖) ≤ 190
𝑞 ∈ 𝑄, 𝑚 ∈ 𝑀, (𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) ≤ 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) ≤ 2, 𝑓𝑞𝑟𝑚 = 𝜏𝑞r𝑗 (111)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑚 − 𝑏𝑞𝑟𝑚) + 𝑣𝑜𝑞𝑚 + 𝑣𝑞𝑚) + (𝑧𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑚 − 𝑏𝑞𝑟𝑚) + 𝑣𝑜𝑜𝑞𝑚) + (𝜑𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑚 − 𝑏𝑞𝑟𝑚) + 𝑣𝑟𝑞𝑚) +𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
(𝛿𝑞𝑟 × 0.25(𝜏𝑟 − 𝜎𝑟)) + (𝜔𝑟 × 0.5(𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) + 𝑣𝑟𝑞𝑚) + (𝛼𝑞𝑟𝑗 × 0.5(𝜏𝑞𝑟𝑗 − 𝜎𝑞𝑟𝑗))) 𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖) ≤ 190
𝑞 ∈ 𝑄, 𝑚 ∈ 𝑀, (𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) > 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) > 2, 𝑓𝑞𝑟𝑚 = 𝜏𝑞𝑟𝑗 (112)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑚 − 𝑏𝑞𝑟𝑚) + 𝑣𝑜𝑞𝑚 + 𝑣𝑞𝑚) + (𝑧𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑚 − 𝑏𝑞𝑟𝑚) + 𝑣𝑜𝑜𝑞𝑚) + (𝜑𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑚 − 𝑏𝑞𝑟𝑚) + 𝑣𝑟𝑞𝑚) +𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
(𝛿𝑞𝑟((𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) + (𝜏𝑟 − 𝜎𝑟))) + (𝜔𝑟 × 0.5(𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) + 𝑣𝑟𝑞𝑚) + (𝛼𝑞𝑟𝑗 × 0.5(𝜏𝑞𝑟𝑗 − 𝜎𝑞𝑟𝑗))) 𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖) ≤ 190
𝑞 ∈ 𝑄, 𝑚 ∈ 𝑀, (𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) > 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) ≤ 2, 𝑓𝑞𝑟𝑚 = 𝜏𝑞𝑟𝑗 (113)
∑ ∑ (∑ (𝜄𝑟𝑗𝑚 − 𝑜𝑟𝑗𝑚)𝐽𝑗=1 𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖 + 𝑡𝑣𝑜𝑜𝑙𝑚)𝐼
𝑖=1𝑅𝑟=1 ≤ 95 𝑙 ∈ 𝐿, 𝑚 ∈ 𝑀 (114)
39
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑚 − 𝑏𝑙𝑟𝑚) + 𝑣𝑜𝑙𝑚) + (𝑧𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑚 − 𝑏𝑙𝑟𝑚) + 𝑣𝑜𝑜𝑙𝑚) + (𝜑𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑚 − 𝑏𝑙𝑟𝑚) + 𝑣𝑟𝑙𝑚) + (𝛿𝑙𝑟 ×𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
0.25(𝜏𝑟 − 𝜎𝑟)) + (𝜔𝑟(𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) + 𝑣𝑟𝑙𝑚) + (𝛼𝑙𝑟𝑗(𝜏𝑙𝑟𝑗 − 𝜎𝑙𝑟𝑗))) 𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖) ≤ 190
𝑙 ∈ 𝐿, 𝑚 ∈ 𝑀, (𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) ≤ 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) > 2, 𝑓𝑙𝑟𝑚 ≠ 𝜏𝑙𝑟𝑗 (115)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑚 − 𝑏𝑙𝑟𝑚) + 𝑣𝑜𝑙𝑚) + (𝑧𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑚 − 𝑏𝑙𝑟𝑚) + 𝑣𝑜𝑜𝑙𝑚) + (φ𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑚 − 𝑏𝑙𝑟𝑚) + 𝑣𝑟𝑙𝑚) +𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
(𝛿𝑙𝑟((𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) + (𝜏𝑟 − 𝜎𝑟))) + (𝜔𝑟(𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) + 𝑣𝑟𝑙𝑚) + (𝛼𝑙𝑟𝑗(𝜏𝑙𝑟𝑗 − 𝜎𝑙𝑟𝑗))) 𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖) ≤ 190
𝑙 ∈ 𝐿, 𝑚 ∈ 𝑀, (𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) ≤ 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) ≤ 2, 𝑓𝑙𝑟𝑚 ≠ 𝜏𝑙𝑟𝑗 (116)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑚 − 𝑏𝑙𝑟𝑚) + 𝑣𝑜𝑙𝑚) + (𝑧𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑚 − 𝑏𝑙𝑟𝑚) + 𝑣𝑜𝑜𝑙𝑚) + (𝜑𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑚 − 𝑏𝑙𝑟𝑚) + 𝑣𝑟𝑙𝑚) + (𝛿𝑙𝑟 ×𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
0.25(𝜏𝑟 − 𝜎𝑟)) + (𝜔𝑟 × 0.5(𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) + 𝑣𝑟𝑙𝑚) + (𝛼𝑙𝑟𝑗(𝜏𝑙𝑟𝑗 − 𝜎𝑙𝑟𝑗))) 𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖) ≤ 190
𝑙 ∈ 𝐿, 𝑚 ∈ 𝑀, (𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) > 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) > 2, 𝑓𝑙𝑟𝑚 ≠ 𝜏𝑙𝑟𝑗 (117)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑚 − 𝑏𝑙𝑟𝑚) + 𝑣𝑜𝑙𝑚) + (𝑧𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑚 − 𝑏𝑙𝑟𝑚) + 𝑣𝑜𝑜𝑙𝑚) + (𝜑𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑚 − 𝑏𝑙𝑟𝑚) + 𝑣𝑟𝑙𝑚) +𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
(𝛿𝑙𝑟((𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) + (𝜏r − 𝜎𝑟))) + (𝜔𝑟 × 0.5(𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) + 𝑣𝑟𝑙𝑚) + (𝛼𝑙𝑟𝑗(𝜏𝑙𝑟𝑗 − 𝜎𝑙𝑟𝑗))) 𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖) ≤ 190
𝑙 ∈ 𝐿, 𝑚 ∈ 𝑀, (𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) > 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) ≤ 2, 𝑓𝑙𝑟𝑚 ≠ 𝜏𝑙𝑟𝑗 (118)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑚 − 𝑏𝑙𝑟𝑚) + 𝑣𝑜𝑙𝑚) + (𝑧𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑚 − 𝑏𝑙𝑟𝑚) + 𝑣𝑜𝑜𝑙𝑚) + (𝜑𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑚 − 𝑏𝑙𝑟𝑚) + 𝑣𝑟𝑙𝑚) + (𝛿𝑙𝑟 ×𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
0.25(𝜏𝑟 − 𝜎𝑟)) + (𝜔𝑟(𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) + 𝑣𝑟𝑙𝑚) + (𝛼𝑙𝑟𝑗 × 0.5(𝜏𝑙𝑟𝑗 − 𝜎𝑙𝑟𝑗))) 𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖) ≤ 190
𝑙 ∈ 𝐿, 𝑚 ∈ 𝑀, (𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) ≤ 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) > 2, f𝑙𝑟𝑚 = 𝜏𝑙𝑟𝑗 (119)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑚 − 𝑏𝑙𝑟𝑚) + 𝑣𝑜𝑙𝑚) + (𝑧𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑚 − 𝑏𝑙𝑟𝑚) + 𝑣𝑜𝑜𝑙𝑚) + (𝜑𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑚 − 𝑏𝑙𝑟𝑚) + 𝑣𝑟𝑙𝑚) +𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
(𝛿𝑙𝑟((𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) + (𝜏𝑟 − 𝜎𝑟))) + (𝜔𝑟(𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) + 𝑣𝑟𝑙𝑚) + (𝛼𝑙𝑟𝑗 × 0.5(𝜏𝑙𝑟𝑗 − 𝜎𝑙𝑟𝑗))) 𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖) ≤ 190
𝑙 ∈ 𝐿, 𝑚 ∈ 𝑀, (𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) ≤ 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) ≤ 2, 𝑓𝑙𝑟𝑚 = 𝜏𝑙𝑟𝑗 (120)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑚 − 𝑏𝑙𝑟𝑚) + 𝑣𝑜𝑙𝑚) + (𝑧𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑚 − 𝑏𝑙𝑟𝑚) + 𝑣𝑜𝑜𝑙𝑚) + (𝜑𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑚 − 𝑏𝑙𝑟𝑚) + 𝑣𝑟𝑙𝑚) + (𝛿𝑙𝑟 ×𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
0.25(𝜏𝑟 − 𝜎𝑟)) + (𝜔𝑟 × 0.5(𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) + 𝑣𝑟𝑙𝑚) + (𝛼𝑙𝑟𝑗 × 0.5(𝜏𝑙𝑟𝑗 − 𝜎𝑙𝑟𝑗))) 𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖) ≤ 190
𝑙 ∈ 𝐿, 𝑚 ∈ 𝑀, (𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) > 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) > 2, 𝑓𝑙𝑟𝑚 = 𝜏𝑙𝑟𝑗 (121)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑚 − 𝑏𝑙𝑟𝑚) + 𝑣𝑜𝑙𝑚) + (𝑧𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑚 − 𝑏𝑙𝑟𝑚) + 𝑣𝑜𝑜𝑙𝑚) + (𝜑𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑚 − 𝑏𝑙𝑟𝑚) + 𝑣𝑟𝑙𝑚) +𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
(𝛿𝑙𝑟((𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) + (𝜏𝑟 − 𝜎𝑟))) + (𝜔𝑟 × 0.5(𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) + 𝑣𝑟𝑙𝑚) + (𝛼𝑙𝑟𝑗 × 0.5(𝜏𝑙𝑟𝑗 − 𝜎𝑙𝑟𝑗))) 𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖) ≤ 190
𝑙 ∈ 𝐿, 𝑚 ∈ 𝑀, (𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) > 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) ≤ 2, 𝑓𝑙𝑟𝑚 = 𝜏𝑙𝑟𝑗 (122)
h.3. Este conjunto de restrições possui apenas uma diferença relativamente ao anterior limita o número
máximo de horas de serviço e de voo trimestralmente para cada tipo de tripulante. Assim sendo, o PSV
tanto para a tripulação de voo como para a tripulação de cabina no máximo é de 285 horas e o período
de serviço é de 480 horas, segundo o que está estipulado no Decreto-Lei n.º 139/2004.
∑ ∑ (∑ (𝜄𝑟𝑗𝑡 − 𝑜𝑟𝑗𝑡)𝐽𝑗=1 𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖 + 𝑡𝑣𝑜𝑜𝑝𝑡)𝐼
𝑖=1𝑅𝑟=1 ≤ 285 𝑝 ∈ 𝑃, 𝑡 ∈ 𝑇 (123)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑡 − 𝑏𝑝𝑟𝑡) + 𝑣𝑜𝑝𝑡 + 𝑣𝑝𝑡) + (𝑧𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑡 − 𝑏𝑝𝑟𝑡) + 𝑣𝑜𝑜𝑝𝑡) + (𝜑𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑡 − 𝑏𝑝𝑟𝑡) + 𝑣𝑟𝑝𝑡) +𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
(𝛿𝑝𝑟 × 0.25(𝜏𝑟 − 𝜎𝑟)) + (𝜔𝑟(𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) + 𝑣𝑟𝑝𝑡) + (𝛼𝑝𝑟𝑗(𝜏𝑝𝑟𝑗 − 𝜎𝑝𝑟𝑗))) 𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖) ≤ 480
𝑝 ∈ 𝑃, 𝑡 ∈ 𝑇, (𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) ≤ 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) > 2, 𝑓𝑝𝑟𝑡 ≠ 𝜏𝑝𝑟𝑗 (124)
40
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑡 − 𝑏𝑝𝑟𝑡) + 𝑣𝑜𝑝𝑡 + 𝑣𝑝𝑡) + (𝑧𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑡 − 𝑏𝑝𝑟𝑡) + 𝑣𝑜𝑜𝑝𝑡) + (𝜑𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑡 − 𝑏𝑝𝑟𝑡) + 𝑣𝑟𝑝𝑡) +𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
(𝛿𝑝𝑟((𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) + (𝜏𝑟 − 𝜎𝑟))) + (𝜔𝑟(𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) + 𝑣𝑟𝑝𝑡) + (𝛼𝑝𝑟𝑗(𝜏𝑝𝑟𝑗 − 𝜎𝑝𝑟𝑗))) 𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖) ≤ 480
𝑝 ∈ 𝑃, 𝑡 ∈ 𝑇, (𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) ≤ 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) ≤ 2, 𝑓𝑝𝑟𝑡 ≠ 𝜏𝑝𝑟𝑗 (125)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑡 − 𝑏𝑝𝑟𝑡) + 𝑣𝑜𝑝𝑡 + 𝑣𝑝𝑡) + (𝑧𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑡 − 𝑏𝑝𝑟𝑡) + 𝑣𝑜𝑜𝑝𝑡) + (𝜑𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑡 − 𝑏𝑝𝑟𝑡) + 𝑣𝑟𝑝𝑡) +𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
(𝛿𝑝𝑟 × 0.25(𝜏𝑟 − 𝜎𝑟)) + (𝜔𝑟 × 0.5(𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) + 𝑣𝑟𝑝𝑡) + (𝛼𝑝𝑟𝑗(𝜏𝑝𝑟𝑗 − 𝜎𝑝𝑟𝑗))) 𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖) ≤ 480
𝑝 ∈ 𝑃, 𝑡 ∈ 𝑇, (𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) > 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) > 2, 𝑓𝑝𝑟𝑡 ≠ 𝜏𝑝𝑟𝑗 (126)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑡 − 𝑏𝑝𝑟𝑡) + 𝑣𝑜𝑝𝑡 + 𝑣𝑝𝑡) + (𝑧𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑡 − 𝑏𝑝𝑟𝑡) + 𝑣𝑜𝑜𝑝𝑡) + (𝜑𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑡 − 𝑏𝑝𝑟𝑡) + 𝑣𝑟𝑝𝑡) +𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
(𝛿𝑝𝑟((𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) + (𝜏𝑟 − 𝜎𝑟))) + (𝜔𝑟 × 0.5(𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) + 𝑣𝑟𝑝𝑡) + (𝛼𝑝𝑟𝑗(𝜏𝑝𝑟𝑗 − 𝜎𝑝𝑟𝑗))) 𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖) ≤ 480
𝑝 ∈ 𝑃, 𝑡 ∈ 𝑇, (𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) > 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) ≤ 2, 𝑓𝑝𝑟𝑡 ≠ 𝜏𝑝𝑟𝑗 (127)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑡 − 𝑏𝑝𝑟𝑡) + 𝑣𝑜𝑝𝑡 + 𝑣𝑝𝑡) + (𝑧𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑡 − 𝑏𝑝𝑟𝑡) + 𝑣𝑜𝑜𝑝𝑡) + (𝜑𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑡 − 𝑏𝑝𝑟𝑡) + 𝑣𝑟𝑝𝑡) +𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
(𝛿𝑝𝑟 × 0.25(𝜏𝑟 − 𝜎𝑟)) + (𝜔𝑟(𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) + 𝑣𝑟𝑝𝑡) + (𝛼𝑝𝑟𝑗 × 0.5(𝜏𝑝𝑟𝑗 − 𝜎𝑝𝑟𝑗))) 𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖) ≤ 480
𝑝 ∈ 𝑃, 𝑡 ∈ 𝑇, (𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) ≤ 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) > 2, 𝑓𝑝𝑟𝑡 = 𝜏𝑝𝑟𝑗 (128)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑡 − 𝑏𝑝𝑟𝑡) + 𝑣𝑜𝑝𝑡 + 𝑣𝑝𝑡) + (𝑧𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑡 − 𝑏𝑝𝑟𝑡) + 𝑣𝑜𝑜𝑝𝑡) + (𝜑𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑡 − 𝑏𝑝𝑟𝑡) + 𝑣𝑟𝑝𝑡) +𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
(𝛿𝑝𝑟((𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) + (𝜏𝑟 − 𝜎𝑟))) + (𝜔𝑟(𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) + 𝑣𝑟𝑝𝑡) + (𝛼𝑝𝑟𝑗 × 0.5(𝜏𝑝𝑟𝑗 − 𝜎𝑝𝑟𝑗))) 𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖) ≤ 480
𝑝 ∈ 𝑃, 𝑡 ∈ 𝑇, (𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) ≤ 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) ≤ 2, 𝑓𝑝𝑟𝑡 = 𝜏𝑝𝑟𝑗 (129)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑡 − 𝑏𝑝𝑟𝑡) + 𝑣𝑜𝑝𝑡 + 𝑣𝑝𝑡) + (𝑧𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑡 − 𝑏𝑝𝑟𝑡) + 𝑣𝑜𝑜𝑝𝑡) + (𝜑𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑡 − 𝑏𝑝𝑟𝑡) + 𝑣𝑟𝑝𝑡) +𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
(𝛿𝑝𝑟 × 0.25(𝜏𝑟 − 𝜎𝑟)) + (𝜔𝑟 × 0.5(𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) + 𝑣𝑟𝑝𝑡) + (𝛼𝑝𝑟𝑗 × 0.5(𝜏𝑝𝑟𝑗 − 𝜎𝑝𝑟𝑗))) 𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖) ≤ 480
𝑝 ∈ 𝑃, 𝑡 ∈ 𝑇, (𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) > 8, (σ𝑟 − 𝜗𝑟) > 2, 𝑓𝑝𝑟𝑡 = 𝜏𝑝𝑟𝑗 (130)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑡 − 𝑏𝑝𝑟𝑡) + 𝑣𝑜𝑝𝑡 + 𝑣𝑝𝑡) + (𝑧𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑡 − 𝑏𝑝𝑟𝑡) + 𝑣𝑜𝑜𝑝𝑡) + (𝜑𝑟(𝑓𝑝𝑟𝑡 − 𝑏𝑝𝑟𝑡) + 𝑣𝑟𝑝𝑡) +𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
(𝛿𝑝𝑟((𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) + (𝜏𝑟 − 𝜎𝑟))) + (𝜔𝑟 × 0.5(𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) + 𝑣𝑟𝑝𝑡) + (𝛼𝑝𝑟𝑗 × 0.5(𝜏𝑝𝑟𝑗 − 𝜎𝑝𝑟𝑗))) 𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖) ≤ 480
𝑝 ∈ 𝑃, 𝑡 ∈ 𝑇, (𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) > 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) ≤ 2, 𝑓𝑝𝑟𝑡 = 𝜏𝑝𝑟𝑗 (131)
∑ ∑ (∑ (𝜄𝑟𝑗𝑡 − 𝑜𝑟𝑗𝑡)𝐽𝑗=1 𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖 + 𝑡𝑣𝑜𝑜𝑞𝑡)𝐼
𝑖=1𝑅𝑟=1 ≤ 285 𝑞 ∈ 𝑄, 𝑡 ∈ 𝑇 (132)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑡 − 𝑏𝑞𝑟𝑡) + 𝑣𝑜𝑞𝑡 + 𝑣𝑞𝑡) + (𝑧𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑡 − 𝑏𝑞𝑟𝑡) + 𝑣𝑜𝑜𝑞𝑡) + (𝜑𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑡 − 𝑏𝑞𝑟𝑡) + 𝑣𝑟𝑞𝑡) + (𝛿𝑞𝑟 ×𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
0.25(𝜏𝑟 − 𝜎𝑟)) + (𝜔𝑟(𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) + 𝑣𝑟𝑞𝑡) + (𝛼𝑞𝑟𝑗(𝜏𝑞𝑟𝑗 − 𝜎𝑞𝑟𝑗))) 𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖) ≤ 480
𝑞 ∈ 𝑄, 𝑡 ∈ 𝑇, (𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) ≤ 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) > 2, 𝑓𝑞𝑟𝑡 ≠ 𝜏𝑞𝑟𝑗 (133)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑡 − 𝑏𝑞𝑟𝑡) + 𝑣𝑜𝑞𝑡 + 𝑣𝑞𝑡) + (𝑧𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑡 − 𝑏𝑞𝑟𝑡) + 𝑣𝑜𝑜𝑞𝑡) + (𝜑𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑡 − 𝑏𝑞𝑟𝑡) + 𝑣𝑟𝑞𝑡) +𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
(𝛿𝑞𝑟((𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) + (𝜏𝑟 − 𝜎𝑟))) + (𝜔𝑟(𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) + 𝑣𝑟𝑞𝑡) + (𝛼𝑞𝑟𝑗(𝜏𝑞𝑟𝑗 − 𝜎𝑞𝑟𝑗))) 𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖) ≤ 480
𝑞 ∈ 𝑄, 𝑡 ∈ 𝑇, (𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) ≤ 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) ≤ 2, 𝑓𝑞𝑟𝑡 ≠ 𝜏𝑞𝑟𝑗 (134)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑡 − 𝑏𝑞𝑟𝑡) + 𝑣𝑜𝑞𝑡 + 𝑣𝑞𝑡) + (𝑧𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑡 − 𝑏𝑞𝑟𝑡) + 𝑣𝑜𝑜𝑞𝑡) + (𝜑𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑡 − 𝑏𝑞𝑟𝑡) + 𝑣𝑟𝑞𝑡) + (𝛿𝑞𝑟 ×𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
0.25(𝜏𝑟 − 𝜎𝑟)) + (𝜔𝑟 × 0.5(𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) + 𝑣𝑟𝑞𝑡) + (𝛼𝑞𝑟𝑗(𝜏𝑞𝑟𝑗 − 𝜎𝑞𝑟𝑗))) 𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖) ≤ 480
𝑞 ∈ 𝑄, 𝑡 ∈ 𝑇, (𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) > 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) > 2, 𝑓𝑞𝑟𝑡 ≠ 𝜏𝑞𝑟𝑗 (135)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑡 − 𝑏𝑞𝑟𝑡) + 𝑣𝑜𝑞𝑡 + 𝑣𝑞𝑡) + (𝑧𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑡 − 𝑏𝑞𝑟𝑡) + 𝑣𝑜𝑜𝑞𝑡) + (𝜑𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑡 − 𝑏𝑞𝑟𝑡) + 𝑣𝑟𝑞𝑡) +𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
(𝛿𝑞𝑟((𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) + (𝜏𝑟 − 𝜎𝑟))) + (𝜔𝑟 × 0.5(𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) + 𝑣𝑟𝑞𝑡) + (𝛼𝑞𝑟j(𝜏𝑞𝑟𝑗 − 𝜎𝑞𝑟𝑗))) 𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖) ≤ 480
𝑞 ∈ 𝑄, 𝑡 ∈ 𝑇, (𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) > 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) ≤ 2, 𝑓𝑞𝑟𝑡 ≠ 𝜏𝑞𝑟𝑗 (136)
41
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑡 − 𝑏𝑞𝑟𝑡) + 𝑣𝑜𝑞𝑡 + 𝑣𝑞𝑡) + (𝑧𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑡 − 𝑏𝑞𝑟𝑡) + 𝑣𝑜𝑜𝑞𝑡) + (𝜑𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑡 − 𝑏𝑞𝑟𝑡) + 𝑣𝑟𝑞𝑡) + (𝛿𝑞𝑟 ×𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
0.25(𝜏𝑟 − 𝜎𝑟)) + (𝜔𝑟(𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) + 𝑣𝑟𝑞𝑡) + (𝛼𝑞𝑟𝑗 × 0.5(𝜏𝑞𝑟𝑗 − 𝜎𝑞𝑟𝑗))) 𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖) ≤ 480
𝑞 ∈ 𝑄, 𝑡 ∈ 𝑇, (𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) ≤ 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) > 2, 𝑓𝑞𝑟𝑡 = 𝜏𝑞𝑟𝑗 (137)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑡 − 𝑏𝑞𝑟𝑡) + 𝑣𝑜𝑞𝑡 + 𝑣𝑞𝑡) + (𝑧𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑡 − 𝑏𝑞𝑟𝑡) + 𝑣𝑜𝑜𝑞𝑡) + (𝜑𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑡 − 𝑏𝑞𝑟𝑡) + 𝑣𝑟𝑞𝑡) +𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
(𝛿𝑞𝑟((𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) + (𝜏𝑟 − 𝜎𝑟))) + (𝜔𝑟(𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) + 𝑣𝑟𝑞𝑡) + (𝛼𝑞𝑟𝑗 × 0.5(𝜏𝑞𝑟𝑗 − 𝜎𝑞𝑟𝑗))) 𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖) ≤ 480
𝑞 ∈ 𝑄, 𝑡 ∈ 𝑇, (𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) ≤ 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) ≤ 2, 𝑓𝑞𝑟𝑡 = 𝜏𝑞𝑟𝑗 (138)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑡 − 𝑏𝑞𝑟𝑡) + 𝑣𝑜𝑞𝑡 + 𝑣𝑞𝑡) + (𝑧𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑡 − 𝑏𝑞𝑟𝑡) + 𝑣𝑜𝑜𝑞𝑡) + (𝜑𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑡 − 𝑏𝑞𝑟𝑡) + 𝑣𝑟𝑞𝑡) + (𝛿𝑞𝑟 ×𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
0.25(𝜏𝑟 − 𝜎𝑟)) + (𝜔𝑟 × 0.5(𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) + 𝑣𝑟𝑞𝑡) + (𝛼𝑞𝑟𝑗 × 0.5(𝜏𝑞𝑟𝑗 − 𝜎𝑞𝑟𝑗))) 𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖) ≤ 480
𝑞 ∈ 𝑄, 𝑡 ∈ 𝑇, (𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) > 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) > 2, 𝑓𝑞𝑟𝑡 = 𝜏𝑞𝑟𝑗 (139)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑡 − 𝑏𝑞𝑟𝑡) + 𝑣𝑜𝑞𝑡 + 𝑣𝑞𝑡) + (𝑧𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑡 − 𝑏𝑞𝑟𝑡) + 𝑣𝑜𝑜𝑞𝑡) + (𝜑𝑟(𝑓𝑞𝑟𝑡 − 𝑏𝑞𝑟𝑡) + 𝑣𝑟𝑞𝑡) +𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
(𝛿𝑞𝑟((𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) + (𝜏𝑟 − 𝜎𝑟))) + (𝜔𝑟 × 0.5(𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) + 𝑣𝑟𝑞𝑡) + (𝛼𝑞𝑟𝑗 × 0.5(𝜏𝑞𝑟𝑗 − 𝜎𝑞𝑟𝑗))) 𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖) ≤ 480
𝑞 ∈ 𝑄, 𝑡 ∈ 𝑇, (𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) > 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) ≤ 2, 𝑓𝑞𝑟𝑡 = 𝜏𝑞𝑟𝑗 (140)
∑ ∑ (∑ (𝜄𝑟𝑗𝑡 − 𝑜𝑟𝑗𝑡)𝐽𝑗=1 𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖 + 𝑡𝑣𝑜𝑜𝑙𝑡)𝐼
𝑖=1𝑅𝑟=1 ≤ 285 𝑙 ∈ 𝐿, 𝑡 ∈ 𝑇 (141)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑡 − 𝑏𝑙𝑟𝑡) + 𝑣𝑜𝑙𝑡) + (𝑧𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑡 − 𝑏𝑙𝑟𝑡) + 𝑣𝑜𝑜𝑙𝑡) + (𝜑𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑡 − 𝑏𝑙𝑟𝑡) + 𝑣𝑟𝑙𝑡) + (𝛿𝑙𝑟 × 0.25(𝜏𝑟 −𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
𝜎𝑟)) + (𝜔𝑟(𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) + 𝑣𝑟𝑙𝑡) + (𝛼𝑙𝑟𝑗(𝜏𝑙𝑟𝑗 − 𝜎𝑙𝑟𝑗))) 𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖) ≤ 480
𝑙 ∈ 𝐿, 𝑡 ∈ 𝑇, (𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) ≤ 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) > 2, 𝑓𝑙𝑟𝑡 ≠ 𝜏𝑙𝑟𝑗 (142)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑡 − 𝑏𝑙𝑟𝑡) + 𝑣𝑜𝑙𝑡) + (𝑧𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑡 − 𝑏𝑙𝑟𝑡) + 𝑣𝑜𝑜𝑙𝑡) + (𝜑𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑡 − 𝑏𝑙𝑟𝑡) + 𝑣𝑟𝑙𝑡) + (𝛿𝑙𝑟((𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) +𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
(𝜏𝑟 − 𝜎𝑟))) + (𝜔𝑟(𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) + 𝑣𝑟𝑙𝑡) + (𝛼𝑙𝑟𝑗(𝜏𝑙𝑟𝑗 − 𝜎𝑙𝑟𝑗))) 𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖) ≤ 480
𝑙 ∈ 𝐿, 𝑡 ∈ 𝑇, (𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) ≤ 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) ≤ 2, 𝑓𝑙𝑟𝑡 ≠ 𝜏𝑙𝑟𝑗 (143)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑡 − 𝑏𝑙𝑟𝑡) + 𝑣𝑜𝑙𝑡) + (𝑧𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑡 − 𝑏𝑙𝑟𝑡) + 𝑣𝑜𝑜𝑙𝑡) + (𝜑𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑡 − 𝑏𝑙𝑟𝑡) + 𝑣𝑟𝑙𝑡) + (𝛿𝑙𝑟 × 0.25(𝜏𝑟 −𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
𝜎𝑟)) + (𝜔𝑟 × 0.5(𝜚𝑙𝑟𝑡ℎ𝑖 − 𝛾𝑙𝑟𝑡ℎ𝑖) + 𝑣𝑟𝑙𝑡) + (𝛼𝑙𝑟𝑗(𝜏𝑙𝑟𝑗 − 𝜎𝑙𝑟𝑗))) 𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖) ≤ 480
𝑙 ∈ 𝐿, 𝑡 ∈ 𝑇, (𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) > 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) > 2, 𝑓𝑙𝑟𝑡 ≠ 𝜏𝑙𝑟𝑗 (144)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑡 − 𝑏𝑙𝑟𝑡) + 𝑣𝑜𝑙𝑡) + (𝑧𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑡 − 𝑏𝑙𝑟𝑡) + 𝑣𝑜𝑜𝑙𝑡) + (𝜑𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑡 − 𝑏𝑙𝑟𝑡) + 𝑣𝑟𝑙𝑡) + (𝛿𝑙𝑟((𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) +𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
(𝜏𝑟 − 𝜎𝑟))) + (𝜔𝑟0.5(𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) + 𝑣𝑟𝑙𝑡) + (𝛼𝑙𝑟𝑗(𝜏𝑙𝑟𝑗 − 𝜎𝑙𝑟𝑗))) 𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖) ≤ 480
𝑙 ∈ 𝐿, 𝑡 ∈ 𝑇, (𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) > 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) ≤ 2, 𝑓𝑙𝑟𝑡 ≠ 𝜏𝑙𝑟𝑗 (145)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑡 − 𝑏𝑙𝑟𝑡) + 𝑣𝑜𝑙𝑡) + (𝑧𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑡 − 𝑏𝑙𝑟𝑡) + 𝑣𝑜𝑜𝑙𝑡) + (𝜑𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑡 − 𝑏𝑙𝑟𝑡) + 𝑣𝑟𝑙𝑡) + (𝛿𝑙𝑟 × 0.25(𝜏𝑟 −𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
𝜎𝑟)) + (𝜔𝑟(𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) + 𝑣𝑟𝑙𝑡) + (𝛼𝑙𝑟𝑗 × 0.5(𝜏𝑙𝑟𝑗 − 𝜎𝑙𝑟𝑗))) 𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖) ≤ 480
𝑙 ∈ 𝐿, 𝑡 ∈ 𝑇, (𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) ≤ 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) > 2, 𝑓𝑙𝑟𝑡 = 𝜏𝑙𝑟𝑗 (146)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑡 − 𝑏𝑙𝑟𝑡) + 𝑣𝑜𝑙𝑡) + (𝑧𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑡 − 𝑏𝑙𝑟𝑡) + 𝑣𝑜𝑜𝑙𝑡) + (𝜑𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑡 − 𝑏𝑙𝑟𝑡) + 𝑣𝑟𝑙𝑡) + (𝛿𝑙𝑟((𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) +𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
(𝜏𝑟 − 𝜎𝑟))) + (𝜔𝑟(𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) + 𝑣𝑟𝑙𝑡) + (𝛼𝑙𝑟𝑗 × 0.5(𝜏𝑙𝑟𝑗 − 𝜎𝑙𝑟𝑗))) 𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖) ≤ 480
𝑙 ∈ 𝐿, 𝑡 ∈ 𝑇, (𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) ≤ 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) ≤ 2, 𝑓𝑙𝑟𝑡 = 𝜏𝑙𝑟𝑗 (147)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑡 − 𝑏𝑙𝑟𝑡) + 𝑣𝑜𝑙𝑡) + (𝑧𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑡 − 𝑏𝑙𝑟𝑡) + 𝑣𝑜𝑜𝑙𝑡) + (𝜑𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑡 − 𝑏𝑙𝑟𝑡) + 𝑣𝑟𝑙𝑡) + (𝛿𝑙𝑟 × 0.25(𝜏𝑟 −𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
𝜎𝑟)) + (𝜔𝑟 × 0.5(𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) + 𝑣𝑟𝑙𝑡) + (𝛼𝑙𝑟𝑗 × 0.5(𝜏𝑙𝑟𝑗 − 𝜎𝑙𝑟𝑗))) 𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖) ≤ 480
𝑙 ∈ 𝐿, 𝑡 ∈ 𝑇, (𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) > 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) > 2, 𝑓𝑙𝑟𝑡 = 𝜏𝑙𝑟𝑗 (148)
42
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑡 − 𝑏𝑙𝑟𝑡) + 𝑣𝑜𝑙𝑡) + (𝑧𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑡 − 𝑏𝑙𝑟𝑡) + 𝑣𝑜𝑜𝑙𝑡) + (𝜑𝑟(𝑓𝑙𝑟𝑡 − 𝑏𝑙𝑟𝑡) + 𝑣𝑟𝑙𝑡) + (𝛿𝑙𝑟((𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) +𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
(𝜏𝑟 − 𝜎𝑟))) + (𝜔𝑟 × 0.5(𝜚𝑙𝑟 − γ𝑙𝑟) + 𝑣𝑟𝑙𝑡) + (𝛼𝑙𝑟𝑗 × 0.5(𝜏𝑙𝑟𝑗 − 𝜎𝑙𝑟𝑗))) 𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖) ≤ 480
𝑙 ∈ 𝐿, 𝑡 ∈ 𝑇, (𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) > 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) ≤ 2, 𝑓𝑙𝑟𝑡 = 𝜏𝑙𝑟𝑗 (149)
h.4. À semelhança do conjunto de restrições anterior, o que se segue, possui também uma diferença
no que respeita aos limites temporais. Neste caso, os limites do período de serviço e das horas de voo
para cada tipo de tripulante, são estabelecidos para um período de 52 semanas consecutivas, ou seja,
um ano. Deste modo, o período de serviço anual tanto para a tripulação de voo como para a tripulação
de cabina é no máximo 1800 horas e o PSV total anual é no máximo de 900 horas, segundo o que se
encontra estipulado no Decreto-Lei n.º 139/2004.
∑ ∑ (∑ (𝜄𝑟𝑗 − 𝑜𝑟𝑗)𝐽𝑗=1 𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖 + 𝑡𝑣𝑜𝑜𝑝)𝐼
𝑖=1𝑅𝑟=1 ≤ 900 𝑝 ∈ 𝑃 (150)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑝𝑟 − 𝑏𝑝𝑟) + 𝑣𝑜𝑝 + 𝑣𝑝) + (𝑧𝑟(𝑓𝑝𝑟 − 𝑏𝑝𝑟) + 𝑣𝑜𝑜𝑝) + (𝜑𝑟(𝑓𝑝𝑟 − 𝑏𝑝𝑟) + 𝑣𝑟𝑝) + (𝛿𝑝𝑟 ×𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
0.25(𝜏𝑟 − 𝜎𝑟)) + (𝜔𝑟(𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) + 𝑣𝑟𝑝) + (𝛼𝑝𝑟j(𝜏𝑝𝑟𝑗 − 𝜎𝑝𝑟𝑗))) 𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖) ≤ 1800
𝑝 ∈ 𝑃, (𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) ≤ 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) > 2, 𝑓𝑝𝑟 ≠ 𝜏𝑝𝑟𝑗 (151)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑝𝑟 − 𝑏𝑝𝑟) + 𝑣𝑜𝑝 + 𝑣𝑝) + (𝑧𝑟(𝑓𝑝𝑟 − 𝑏𝑝𝑟) + 𝑣𝑜𝑜𝑝) + (𝜑𝑟(𝑓𝑝𝑟 − 𝑏𝑝𝑟) + 𝑣𝑟𝑝) + (𝛿𝑝𝑟((𝜎𝑟 −𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
𝜗𝑟) + (𝜏𝑟 − 𝜎𝑟))) + (𝜔𝑟(𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) + 𝑣𝑟𝑝) + (𝛼𝑝𝑟𝑗(𝜏𝑝𝑟𝑗 − 𝜎𝑝𝑟𝑗))) 𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖) ≤ 1800
𝑝 ∈ 𝑃, (𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) ≤ 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) ≤ 2, 𝑓𝑝𝑟 ≠ 𝜏𝑝𝑟𝑗 (152)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑝𝑟 − 𝑏𝑝𝑟) + 𝑣𝑜𝑝 + 𝑣𝑝) + (𝑧𝑟(𝑓𝑝𝑟 − 𝑏𝑝𝑟) + 𝑣𝑜𝑜𝑝) + (𝜑𝑟(𝑓𝑝𝑟 − 𝑏𝑝𝑟) + 𝑣𝑟𝑝) + (𝛿𝑝𝑟 ×𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
0.25(𝜏𝑟 − 𝜎𝑟)) + (𝜔𝑟 × 0.5(𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) + 𝑣𝑟𝑝) + (𝛼𝑝𝑟𝑗(𝜏𝑝𝑟𝑗 − 𝜎𝑝𝑟𝑗))) 𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖) ≤ 1800
𝑝 ∈ 𝑃, (𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) > 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) > 2, 𝑓𝑝𝑟 ≠ 𝜏𝑝𝑟𝑗 (153)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑝𝑟 − 𝑏𝑝𝑟) + 𝑣𝑜𝑝 + 𝑣𝑝) + (𝑧𝑟(𝑓𝑝𝑟 − 𝑏𝑝𝑟) + 𝑣𝑜𝑜𝑝) + (𝜑𝑟(𝑓𝑝𝑟 − 𝑏𝑝𝑟) + 𝑣𝑟𝑝) + (𝛿𝑝𝑟((𝜎𝑟 −𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
𝜗𝑟) + (𝜏𝑟 − 𝜎𝑟))) + (𝜔𝑟 × 0.5(𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) + 𝑣𝑟𝑝) + (𝛼𝑝𝑟𝑗(𝜏𝑝𝑟𝑗 − 𝜎𝑝𝑟𝑗))) 𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖) ≤ 1800
𝑝 ∈ 𝑃, (𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) > 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) ≤ 2, 𝑓𝑝𝑟 ≠ 𝜏𝑝𝑟𝑗 (154)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑝𝑟 − 𝑏𝑝𝑟) + 𝑣𝑜𝑝 + 𝑣𝑝) + (𝑧𝑟(𝑓𝑝𝑟 − 𝑏𝑝𝑟) + 𝑣𝑜𝑜𝑝) + (𝜑𝑟(𝑓𝑝𝑟 − 𝑏𝑝𝑟) + 𝑣𝑟𝑝) + (𝛿𝑝𝑟 ×𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
0.25(𝜏𝑟 − 𝜎𝑟)) + (𝜔𝑟(𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) + 𝑣𝑟𝑝) + (𝛼𝑝𝑟𝑗 × 0.5(𝜏𝑝𝑟𝑗 − 𝜎𝑝𝑟𝑗))) 𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖) ≤ 1800
𝑝 ∈ 𝑃, (𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) ≤ 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) > 2, 𝑓𝑝𝑟 = 𝜏𝑝𝑟𝑗 (155)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑝𝑟 − 𝑏𝑝𝑟) + 𝑣𝑜𝑝 + 𝑣𝑝) + (𝑧𝑟(𝑓𝑝𝑟 − 𝑏𝑝𝑟) + 𝑣𝑜𝑜𝑝) + (𝜑𝑟(𝑓𝑝𝑟 − 𝑏𝑝𝑟) + 𝑣𝑟𝑝) + (𝛿𝑝𝑟((𝜎𝑟 −𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
𝜗𝑟) + (𝜏𝑟 − 𝜎𝑟))) + (𝜔𝑟(𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) + 𝑣𝑟𝑝) + (𝛼𝑝𝑟𝑗 × 0.5(𝜏𝑝𝑟𝑗 − 𝜎𝑝𝑟𝑗))) 𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖) ≤ 1800
𝑝 ∈ 𝑃, (𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) ≤ 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) ≤ 2, 𝑓𝑝𝑟 = 𝜏𝑝𝑟𝑗 (156)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑝𝑟 − 𝑏𝑝𝑟) + 𝑣𝑜𝑝 + 𝑣𝑝) + (𝑧𝑟(𝑓𝑝𝑟 − 𝑏𝑝𝑟) + 𝑣𝑜𝑜𝑝) + (𝜑𝑟(𝑓𝑝𝑟 − 𝑏𝑝𝑟) + 𝑣𝑟𝑝) + (𝛿𝑝𝑟 ×𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
0.25(𝜏𝑟 − 𝜎𝑟)) + (𝜔𝑟 × 0.5(𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) + 𝑣𝑟𝑝) + (𝛼𝑝𝑟𝑗 × 0.5(𝜏𝑝𝑟𝑗 − 𝜎𝑝𝑟𝑗))) 𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖) ≤ 1800
𝑝 ∈ 𝑃, (𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) > 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) > 2, 𝑓𝑝𝑟 = 𝜏𝑝𝑟𝑗 (157)
43
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑝𝑟 − 𝑏𝑝𝑟) + 𝑣𝑜𝑝 + 𝑣𝑝) + (𝑧𝑟(𝑓𝑝𝑟 − 𝑏𝑝𝑟) + 𝑣𝑜𝑜𝑝) + (𝜑𝑟(𝑓𝑝𝑟 − 𝑏𝑝𝑟) + 𝑣𝑟𝑝) + (𝛿𝑝𝑟((𝜎𝑟 −𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
𝜗𝑟) + (𝜏𝑟 − 𝜎𝑟))) + (𝜔𝑟 × 0.5(𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) + 𝑣𝑟𝑝) + (𝛼𝑝𝑟𝑗 × 0.5(𝜏𝑝𝑟𝑗 − 𝜎𝑝𝑟𝑗))) 𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖) ≤ 1800
𝑝 ∈ 𝑃, (𝜚𝑝𝑟 − 𝛾𝑝𝑟) > 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) ≤ 2, 𝑓𝑝𝑟 = 𝜏𝑝𝑟𝑗 (158)
∑ ∑ (∑ (𝜄𝑟𝑗 − 𝑜𝑟𝑗)𝐽𝑗=1 𝑦𝑞𝑟𝑖𝑒𝑞𝑟𝑖 + 𝑡𝑣𝑜𝑜𝑞)𝐼
𝑖=1𝑅𝑟=1 ≤ 900 𝑞 ∈ 𝑄 (159)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑞𝑟 − 𝑏𝑞𝑟) + 𝑣𝑜𝑞 + 𝑣𝑞) + (𝑧𝑟(𝑓𝑞𝑟 − 𝑏𝑞𝑟) + 𝑣𝑜𝑜𝑞) + (𝜑𝑟(𝑓𝑞𝑟 − 𝑏𝑞𝑟) + 𝑣𝑟𝑞) + (𝛿𝑞𝑟 ×𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
0.25(𝜏𝑟 − 𝜎𝑟)) + (𝜔𝑟(𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) + 𝑣𝑟𝑞) + (𝛼𝑞𝑟𝑗(𝜏𝑞𝑟𝑗 − 𝜎𝑞𝑟𝑗))) 𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖) ≤ 1800
𝑞 ∈ 𝑄, (𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) ≤ 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) > 2, 𝑓𝑞𝑟 ≠ 𝜏𝑞𝑟𝑗 (160)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑞𝑟 − 𝑏𝑞𝑟) + 𝑣𝑜𝑞 + 𝑣𝑞) + (𝑧𝑟(𝑓𝑞𝑟 − 𝑏𝑞𝑟) + 𝑣𝑜𝑜𝑞) + (𝜑𝑟(𝑓𝑞𝑟 − 𝑏𝑞𝑟) + 𝑣𝑟𝑞) + (𝛿𝑞𝑟((𝜎𝑟 −𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
𝜗𝑟) + (𝜏𝑟 − 𝜎𝑟))) + (𝜔𝑟(𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) + 𝑣𝑟𝑞) + (𝛼𝑞𝑟𝑗(𝜏𝑞𝑟𝑗 − 𝜎𝑞𝑟𝑗))) 𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖) ≤ 1800
𝑞 ∈ 𝑄, (𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) ≤ 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) ≤ 2, 𝑓𝑞𝑟 ≠ 𝜏𝑞𝑟𝑗 (161)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑞𝑟 − 𝑏𝑞𝑟) + 𝑣𝑜𝑞 + 𝑣𝑞) + (𝑧𝑟(𝑓𝑞𝑟 − 𝑏𝑞𝑟) + 𝑣𝑜𝑜𝑞) + (𝜑𝑟(𝑓𝑞𝑟 − 𝑏𝑞𝑟) + 𝑣𝑟𝑞) + (𝛿𝑞𝑟 ×𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
0.25(𝜏𝑟 − 𝜎𝑟)) + (𝜔𝑟 × 0.5(𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) + 𝑣𝑟𝑞) + (𝛼𝑞𝑟𝑗(𝜏𝑞𝑟𝑗 − 𝜎𝑞𝑟𝑗))) 𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖) ≤ 1800
𝑞 ∈ 𝑄, (𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) > 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) > 2, 𝑓𝑞𝑟 ≠ 𝜏𝑞𝑟𝑗 (162)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑞𝑟 − 𝑏𝑞𝑟) + 𝑣𝑜𝑞 + 𝑣𝑞) + (𝑧𝑟(𝑓𝑞𝑟 − 𝑏𝑞𝑟) + 𝑣𝑜𝑜𝑞) + (𝜑𝑟(𝑓𝑞𝑟 − 𝑏𝑞𝑟) + 𝑣𝑟𝑞) + (𝛿𝑞𝑟((𝜎𝑟 −𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
𝜗𝑟) + (𝜏𝑟 − 𝜎𝑟))) + (𝜔𝑟 × 0.5(𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) + 𝑣𝑟𝑞) + (𝛼𝑞𝑟𝑗(𝜏𝑞𝑟𝑗 − 𝜎𝑞𝑟𝑗))) 𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖) ≤ 1800
𝑞 ∈ 𝑄, (𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) > 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) ≤ 2, 𝑓𝑞𝑟 ≠ 𝜏𝑞𝑟𝑗 (163)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑞𝑟 − 𝑏𝑞𝑟) + 𝑣𝑜𝑞 + 𝑣𝑞) + (𝑧𝑟(𝑓𝑞𝑟 − 𝑏𝑞𝑟) + 𝑣𝑜𝑜𝑞) + (𝜑𝑟(𝑓𝑞𝑟 − 𝑏𝑞𝑟) + 𝑣𝑟𝑞) + (𝛿𝑞𝑟 ×𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
0.25(𝜏𝑟 − 𝜎𝑟)) + (𝜔𝑟(𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) + 𝑣𝑟𝑞) + (𝛼𝑞𝑟𝑗 × 0.5(𝜏𝑞𝑟𝑗 − 𝜎𝑞𝑟𝑗))) 𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖) ≤ 1800
𝑞 ∈ 𝑄, (𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) ≤ 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) > 2, 𝑓𝑞𝑟 = 𝜏𝑞𝑟𝑗 (164)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑞𝑟 − 𝑏𝑞𝑟) + 𝑣𝑜𝑞 + 𝑣𝑞) + (𝑧𝑟(𝑓𝑞𝑟 − 𝑏𝑞𝑟) + 𝑣𝑜𝑜𝑞) + (𝜑𝑟(𝑓𝑞𝑟 − 𝑏𝑞𝑟) + 𝑣𝑟𝑞) + (𝛿𝑞𝑟((𝜎𝑟 −𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
𝜗𝑟) + (𝜏𝑟 − 𝜎𝑟))) + (𝜔𝑟(𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) + 𝑣𝑟𝑞) + (𝛼𝑞𝑟𝑗 × 0.5(𝜏𝑞𝑟𝑗 − 𝜎𝑞𝑟𝑗))) 𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖) ≤ 1800
𝑞 ∈ 𝑄, (𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) ≤ 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) ≤ 2, 𝑓𝑞𝑟 = 𝜏𝑞𝑟𝑗 (165)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑞𝑟 − 𝑏𝑞𝑟) + 𝑣𝑜𝑞 + 𝑣𝑞) + (𝑧𝑟(𝑓𝑞𝑟 − 𝑏𝑞𝑟 + 𝑣𝑜𝑜𝑞)) + (𝜑𝑟(𝑓𝑞𝑟 − 𝑏𝑞𝑟) + 𝑣𝑟𝑞) + (𝛿𝑞𝑟 ×𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
0.25(𝜏𝑟 − 𝜎𝑟)) + (𝜔𝑟 × 0.5(𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) + 𝑣𝑟𝑞) + (𝛼𝑞𝑟𝑗 × 0.5(𝜏𝑞𝑟𝑗 − 𝜎𝑞𝑟𝑗))) 𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖) ≤ 1800
𝑞 ∈ 𝑄, (𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) > 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) > 2, 𝑓𝑞𝑟 = 𝜏𝑞𝑟𝑗 (166)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑞𝑟 − 𝑏𝑞𝑟) + 𝑣𝑜𝑞 + 𝑣𝑞) + (𝑧𝑟(𝑓𝑞𝑟 − 𝑏𝑞𝑟) + 𝑣𝑜𝑜𝑞) + (𝜑𝑟(𝑓𝑞𝑟 − 𝑏𝑞𝑟) + 𝑣𝑟𝑞) + (𝛿𝑞𝑟((𝜎𝑟 −𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
𝜗𝑟) + (𝜏𝑟 − 𝜎𝑟))) + (𝜔𝑟 × 0.5(𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) + 𝑣𝑟𝑞) + (𝛼𝑞𝑟j × 0.5(𝜏𝑞𝑟𝑗 − 𝜎𝑞𝑟𝑗))) 𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖) ≤ 1800
𝑞 ∈ 𝑄, (𝜚𝑞𝑟 − 𝛾𝑞𝑟) > 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) ≤ 2, 𝑓𝑞𝑟 = 𝜏𝑞𝑟𝑗 (167)
∑ ∑ (∑ (𝜄𝑟𝑗 − 𝑜𝑟𝑗)𝐽𝑗=1 𝑦𝑙𝑟𝑖𝑒𝑙𝑟𝑖 + 𝑡𝑣𝑜𝑜𝑙)𝐼
𝑖=1𝑅𝑟=1 ≤ 900 𝑙 ∈ 𝐿 (168)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑙𝑟 − 𝑏𝑙𝑟) + 𝑣𝑜𝑙 + 𝑣𝑙) + (𝑧𝑟(𝑓𝑙𝑟 − 𝑏𝑙𝑟) + 𝑣𝑜𝑜𝑙) + (𝜑𝑟(𝑓𝑙𝑟 − 𝑏𝑙𝑟) + 𝑣𝑟𝑙) + (𝛿𝑙𝑟 × 0.25(𝜏𝑟 −𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
𝜎𝑟)) + (𝜔𝑟(𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) + 𝑣𝑟𝑙) + (𝛼𝑙𝑟𝑗(𝜏𝑙𝑟𝑗 − 𝜎𝑙𝑟𝑗))) 𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖) ≤ 1800
𝑙 ∈ 𝐿, (𝜚𝑙𝑟 − 𝛾l𝑟) ≤ 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) > 2, 𝑓𝑙𝑟 ≠ 𝜏𝑙𝑟𝑗 (169)
44
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑙𝑟 − 𝑏𝑙𝑟) + 𝑣𝑜𝑙 + 𝑣𝑙) + (𝑧𝑟(𝑓𝑙𝑟 − 𝑏𝑙𝑟) + 𝑣𝑜𝑜𝑙) + (𝜑𝑟(𝑓𝑙𝑟 − 𝑏𝑙𝑟) + 𝑣𝑟𝑙) + (𝛿𝑙𝑟((𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) +𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
(𝜏𝑟 − 𝜎𝑟))) + (𝜔𝑟(𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) + 𝑣𝑟𝑙) + (𝛼𝑙𝑟𝑗(𝜏𝑙𝑟𝑗 − 𝜎𝑙𝑟𝑗))) 𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖) ≤ 1800
𝑙 ∈ 𝐿, (𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) ≤ 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) ≤ 2, 𝑓𝑙𝑟 ≠ 𝜏𝑙𝑟𝑗 (170)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑙𝑟 − 𝑏𝑙𝑟) + 𝑣𝑜𝑙 + 𝑣𝑙) + (𝑧𝑟(𝑓𝑙𝑟 − 𝑏𝑙𝑟) + 𝑣𝑜𝑜𝑙) + (𝜑𝑟(𝑓𝑙𝑟 − 𝑏𝑙𝑟) + 𝑣𝑟𝑙) + (𝛿𝑙𝑟 × 0.25(𝜏𝑟 −𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
𝜎𝑟)) + (𝜔𝑟 × 0.5(𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) + 𝑣𝑟𝑙) + (𝛼𝑙𝑟𝑗(𝜏𝑙𝑟𝑗 − 𝜎𝑙𝑟𝑗))) 𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖) ≤ 1800
𝑙 ∈ 𝐿, (𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) > 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) > 2, 𝑓𝑙𝑟 ≠ 𝜏𝑙𝑟𝑗 (171)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑙𝑟 − 𝑏𝑙𝑟) + 𝑣𝑜𝑙 + 𝑣𝑙) + (𝑧𝑟(𝑓𝑙𝑟 − 𝑏𝑙𝑟) + 𝑣𝑜𝑜𝑙) + (𝜑𝑟(𝑓𝑙𝑟 − 𝑏𝑙𝑟) + 𝑣𝑟𝑙) + (𝛿𝑙𝑟((𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) +𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
(𝜏𝑟 − 𝜎𝑟))) + (𝜔𝑟 × 0.5(𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) + 𝑣𝑟𝑙) + (𝛼𝑙𝑟𝑗(𝜏𝑙𝑟𝑗 − 𝜎𝑙𝑟𝑗))) 𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖) ≤ 1800
𝑙 ∈ 𝐿, (𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) > 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) ≤ 2, 𝑓𝑙𝑟 ≠ 𝜏𝑙𝑟𝑗 (172)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑙𝑟 − 𝑏𝑙𝑟) + 𝑣𝑜𝑙 + 𝑣𝑙) + (𝑧𝑟(𝑓𝑙𝑟 − 𝑏𝑙𝑟) + 𝑣𝑜𝑜𝑙) + (𝜑𝑟(𝑓𝑙𝑟 − 𝑏𝑙𝑟) + 𝑣𝑟𝑙) + (𝛿𝑙𝑟 × 0.25(𝜏𝑟 −𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
𝜎𝑟)) + (𝜔𝑟(𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) + 𝑣𝑟𝑙) + (𝛼𝑙𝑟𝑗 × 0.5(𝜏𝑙𝑟𝑗 − 𝜎𝑙𝑟𝑗))) 𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖) ≤ 1800
𝑙 ∈ 𝐿, (𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) ≤ 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) > 2, 𝑓𝑙𝑟 = 𝜏𝑙𝑟𝑗 (173)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑙𝑟 − 𝑏𝑙𝑟) + 𝑣𝑜𝑙 + 𝑣𝑙) + (𝑧𝑟(𝑓𝑙𝑟 − 𝑏𝑙𝑟) + 𝑣𝑜𝑜𝑙) + (𝜑𝑟(𝑓𝑙𝑟 − 𝑏𝑙𝑟) + 𝑣𝑟𝑙) + (𝛿𝑙𝑟((𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) +𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
(𝜏r − 𝜎𝑟))) + (𝜔𝑟(𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) + 𝑣𝑟𝑙) + (𝛼𝑙𝑟𝑗 × 0.5(𝜏𝑙𝑟𝑗 − 𝜎𝑙𝑟𝑗))) 𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖) ≤ 1800
𝑙 ∈ 𝐿, (𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) ≤ 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) ≤ 2, 𝑓𝑙𝑟 = 𝜏𝑙𝑟𝑗 (174)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑙𝑟 − 𝑏𝑙𝑟) + 𝑣𝑜𝑙 + 𝑣𝑙) + (𝑧𝑟(𝑓𝑙𝑟 − 𝑏𝑙𝑟) + 𝑣𝑜𝑜𝑙) + (𝜑𝑟(𝑓𝑙𝑟 − 𝑏𝑙𝑟) + 𝑣𝑟𝑙) + (𝛿𝑙𝑟 × 0.25(𝜏𝑟 −𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
𝜎𝑟)) + (𝜔𝑟 × 0.5(𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) + 𝑣𝑟𝑙) + (𝛼𝑙𝑟𝑗 × 0.5(𝜏𝑙𝑟𝑗 − 𝜎𝑙𝑟𝑗))) 𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖) ≤ 1800
𝑙 ∈ 𝐿, (𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) > 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) > 2, 𝑓𝑙𝑟 = 𝜏𝑙𝑟j (175)
∑ (∑ ((𝑥𝑟(𝑓𝑙𝑟 − 𝑏𝑙𝑟) + 𝑣𝑜𝑙 + 𝑣𝑙) + (𝑧𝑟(𝑓𝑙𝑟 − 𝑏𝑙𝑟) + 𝑣𝑜𝑜𝑙) + (𝜑𝑟(𝑓𝑙𝑟 − 𝑏𝑙𝑟) + 𝑣𝑟𝑙) + (𝛿𝑙𝑟((𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) +𝐽𝑗=1
𝑅𝑟=1
(𝜏𝑟 − 𝜎𝑟))) + (𝜔𝑟 × 0.5(𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) + 𝑣𝑟𝑙) + (𝛼𝑙𝑟𝑗 × 0.5(𝜏𝑙𝑟𝑗 − 𝜎𝑙𝑟𝑗))) 𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖) ≤ 1800
𝑙 ∈ 𝐿, (𝜚𝑙𝑟 − 𝛾𝑙𝑟) > 8, (𝜎𝑟 − 𝜗𝑟) ≤ 2, 𝑓𝑙𝑟 = 𝜏𝑙𝑟𝑗 (176)
I. Período de repouso imposto consoante as zonas horárias voadas e a duração do transporte
As seguintes restrições têm como propósito definir um valor mínimo para o período de repouso de cada
tripulante. Este período, como anteriormente mencionado no início do capítulo, define-se como o
intervalo de tempo dedicado ao descanso entre dois PSV.
i.1. Assim sendo, as restrições (177) – (210) têm como objetivo modelarem o período mínimo de
repouso para a tripulação, consoante a diferença horária voada no PSV (𝑟) e a duração do transporte
efetuada do e para o local de repouso.
Desta forma, os períodos de serviço de voo (𝑟 + 1) e (𝑟) apenas podem ser realizados pelo mesmo
piloto, 𝑝 = 1, … , �̅� , se o início do PSV (𝑏𝑝𝑟+1𝑛) e o fim do PSV (𝑓𝑝𝑟𝑛) distarem 11, 14, 14.5, 15 ou 24
horas dependendo da diferença entre a zona horária inicial do PSV (ℎ𝑟) e a final (𝜐𝑟). Por exemplo,
caso o número de zonas horárias seja superior a duas, o número de horas que separa os diferentes
PSV deixa de ser 11 horas e passa a um mínimo de 14 horas com um acréscimo de meia hora por
cada zona horária voada até à quinta. A partir da sexta zona horária de diferença, o período de repouso
deve ser de pelo menos 24 horas. É ainda somada a duração do transporte através da diferença entre
o fim e o início da deslocação (2(𝜏𝑝𝑟 − 𝜎𝑝𝑟)) em ambos os sentidos, de e para o local de repouso, caso
45
esta exceda 2 horas (𝜋𝑝𝑟), isto segundo o que consta no artigo 18.º do Decreto-Lei n.º 139/2004. O
facto de ser de e para o local de repouso é considerável assumir que a duração da deslocação num e
outro sentido é a mesma, daí a multiplicação por dois. O mesmo acontece para os copilotos, 𝑞 = 1, … , �̅�,
e tripulantes de cabina, 𝑙 = 1, … , 𝑙.̅
𝑏𝑝𝑟+1𝑛+11 + 𝜋𝑝𝑟(2(𝜏𝑝𝑟 − 𝜎𝑝𝑟) − 2) ≥ 𝑓𝑝𝑟𝑛 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑝 ∈ 𝑃 (ℎ𝑟 − 𝜐𝑟) = 1 (177)
𝑏𝑝𝑟+1𝑛+11 + 𝜋𝑝𝑟(2(𝜏𝑝𝑟 − 𝜎𝑝𝑟) − 2) ≥ 𝑓𝑝𝑟𝑛 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑝 ∈ 𝑃 (ℎ𝑟 − 𝜐𝑟) = 2 (178)
𝑏𝑝𝑟+1𝑛+11 + 𝜋𝑝𝑟(2(𝜏𝑝𝑟 − 𝜎𝑝𝑟) − 2) ≥ 𝑓𝑝𝑟𝑛 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑝 ∈ 𝑃, (ℎ𝑟 − 𝜐𝑟) = −1 (179)
𝑏𝑝𝑟+1𝑛+11 + 𝜋𝑝𝑟(2(𝜏𝑝𝑟 − 𝜎𝑝𝑟) − 2) ≥ 𝑓𝑝𝑟𝑛 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑝 ∈ 𝑃, (ℎ𝑟 − 𝜐𝑟) = −2 (180)
𝑏𝑝𝑟+1𝑛+14 + 𝜋𝑝𝑟(2(𝜏𝑝𝑟 − 𝜎𝑝𝑟) − 2) ≥ 𝑓𝑝𝑟𝑛 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑝 ∈ 𝑃, (ℎ𝑟 − 𝜐𝑟) = 3 (181)
𝑏𝑝𝑟+1𝑛+14 + 𝜋𝑝𝑟(2(𝜏𝑝𝑟 − 𝜎𝑝𝑟) − 2) ≥ 𝑓𝑝𝑟𝑛 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑝 ∈ P, (ℎ𝑟 − 𝜐𝑟) = −3 (182)
𝑏𝑝𝑟+1𝑛+14.5 + 𝜋𝑝𝑟(2(𝜏𝑝𝑟 − 𝜎𝑝𝑟) − 2) ≥ 𝑓𝑝𝑟𝑛 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑝 ∈ 𝑃, (ℎ𝑟 − 𝜐𝑟) = 4 (183)
𝑏𝑝𝑟+1𝑛+14.5 + 𝜋𝑝𝑟(2(𝜏𝑝𝑟 − 𝜎𝑝𝑟) − 2) ≥ 𝑓𝑝𝑟𝑛 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑝 ∈ P, (ℎ𝑟 − 𝜐𝑟) = −4 (184)
𝑏𝑝𝑟+1𝑛+15 + 𝜋𝑝𝑟(2(𝜏𝑝𝑟 − 𝜎𝑝𝑟) − 2) ≥ 𝑓𝑝𝑟𝑛 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑝 ∈ 𝑃, (ℎ𝑟 − 𝜐𝑟) = 5 (185)
𝑏𝑝𝑟+1𝑛+15 + 𝜋𝑝𝑟(2(𝜏𝑝𝑟 − 𝜎𝑝𝑟) − 2) ≥ 𝑓𝑝𝑟𝑛 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑝 ∈ 𝑃, (ℎ𝑟 − 𝜐𝑟) = −5 (186)
𝑏𝑝𝑟+1𝑛+24 + 𝜋𝑝𝑟(2(𝜏𝑝𝑟 − 𝜎𝑝𝑟) − 2) ≥ 𝑓𝑝𝑟𝑛 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑝 ∈ 𝑃, (ℎ𝑟 − 𝜐𝑟) ≥ 6 (187)
𝑏𝑝𝑟+1𝑛+24 + 𝜋𝑝𝑟(2(𝜏𝑝𝑟 − 𝜎𝑝𝑟) − 2) ≥ 𝑓𝑝𝑟𝑛 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑝 ∈ 𝑃, (ℎ𝑟 − 𝜐𝑟) ≤ −6 (188)
𝑏𝑞𝑟+1𝑛+11 + 𝜋𝑞𝑟(2(𝜏𝑞𝑟 − 𝜎𝑞𝑟) − 2) ≥ 𝑓𝑞𝑟𝑛 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑞 ∈ 𝑄, (ℎ𝑟 − 𝜐𝑟) = 1 (189)
𝑏𝑞𝑟+1𝑛+11 + 𝜋𝑞𝑟(2(𝜏𝑞𝑟 − 𝜎𝑞𝑟) − 2) ≥ 𝑓𝑞𝑟𝑛 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑞 ∈ 𝑄, (ℎ𝑟 − 𝜐𝑟) = 2 (190)
𝑏𝑞𝑟+1𝑛+11 + 𝜋𝑞𝑟(2(𝜏𝑞𝑟 − 𝜎𝑞𝑟) − 2) ≥ 𝑓𝑞𝑟𝑛 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑞 ∈ 𝑄, (ℎ𝑟 − 𝜐𝑟) ≤ −1 (191)
𝑏𝑞𝑟+1𝑛+11 + 𝜋𝑞𝑟(2(𝜏𝑞𝑟 − 𝜎𝑞𝑟) − 2) ≥ 𝑓𝑞𝑟𝑛 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑞 ∈ 𝑄, (ℎ𝑟 − 𝜐𝑟) ≤ −2 (192)
𝑏𝑞𝑟+1𝑛+14 + 𝜋𝑞𝑟(2(𝜏𝑞𝑟 − 𝜎𝑞𝑟) − 2) ≥ 𝑓𝑞𝑟𝑛 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑞 ∈ 𝑄, (ℎ𝑟 − 𝜐𝑟) = 3 (193)
𝑏𝑞𝑟+1𝑛+14 + 𝜋𝑞𝑟(2(𝜏𝑞𝑟 − 𝜎𝑞𝑟) − 2) ≥ 𝑓𝑞𝑟𝑛 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑞 ∈ 𝑄, (ℎ𝑟 − 𝜐𝑟) = −3 (194)
𝑏𝑞𝑟+1𝑛+14.5 + 𝜋𝑞𝑟(2(𝜏𝑞𝑟 − 𝜎𝑞𝑟) − 2) ≥ 𝑓𝑞𝑟𝑛 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑞 ∈ 𝑄, (ℎ𝑟 − 𝜐𝑟) = 4 (195)
𝑏𝑞𝑟+1𝑛+14.5 + 𝜋𝑞𝑟(2(𝜏𝑞𝑟 − 𝜎𝑞𝑟) − 2) ≥ 𝑓𝑞𝑟𝑛 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑞 ∈ 𝑄, (ℎ𝑟 − 𝜐𝑟) = −4 (196)
𝑏𝑞𝑟+1𝑛+15 + 𝜋𝑞𝑟(2(𝜏𝑞𝑟 − 𝜎𝑞𝑟) − 2) ≥ 𝑓𝑞𝑟𝑛 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑞 ∈ 𝑄, (ℎ𝑟 − 𝜐𝑟) = 5 (197)
𝑏𝑞𝑟+1𝑛+15 + 𝜋𝑞𝑟(2(𝜏𝑞𝑟 − 𝜎𝑞𝑟) − 2) ≥ 𝑓𝑞𝑟𝑛 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑞 ∈ 𝑄 (ℎ𝑟 − 𝜐𝑟) = −5 (198)
𝑏𝑞𝑟+1𝑛+24 + 𝜋𝑞𝑟(2(𝜏𝑞𝑟 − 𝜎𝑞𝑟) − 2) ≥ 𝑓𝑞𝑟𝑛 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑞 ∈ 𝑄, (ℎ𝑟 − 𝜐𝑟) ≥ 6 (199)
𝑏𝑞𝑟+1𝑛+24 + 𝜋𝑞𝑟(2(𝜏𝑞𝑟 − 𝜎𝑞𝑟) − 2) ≥ 𝑓𝑞𝑟𝑛 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑞 ∈ 𝑄, (ℎ𝑟 − 𝜐𝑟) ≤ −6 (200)
𝑏𝑙𝑟+1𝑛+11 + 𝜋𝑙𝑟(2(𝜏𝑙𝑟 − 𝜎𝑙𝑟) − 2) ≥ 𝑓𝑙𝑟𝑛 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝐿, (ℎ𝑟 − 𝜐𝑟) = 1 (201)
𝑏𝑙𝑟+1𝑛+11 + 𝜋𝑙𝑟(2(𝜏𝑙𝑟 − 𝜎𝑙𝑟) − 2) ≥ 𝑓𝑙𝑟𝑛 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝐿, (ℎ𝑟 − 𝜐𝑟) = 2 (202)
𝑏𝑙𝑟+1𝑛+11 + 𝜋𝑙𝑟(2(𝜏𝑙𝑟 − 𝜎𝑙𝑟) − 2) ≥ 𝑓𝑙𝑟𝑛 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝐿, (ℎ𝑟 − 𝜐𝑟) = −1 (203)
𝑏𝑙𝑟+1𝑛+11 + 𝜋𝑙𝑟(2(𝜏𝑙𝑟 − 𝜎𝑙𝑟) − 2) ≥ 𝑓𝑙𝑟𝑛 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝐿, (ℎ𝑟 − 𝜐𝑟) = −2 (204)
𝑏𝑙𝑟+1𝑛+14 + 𝜋𝑙𝑟(2(𝜏𝑙𝑟 − 𝜎𝑙𝑟) − 2) ≥ 𝑓l𝑟𝑛 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝐿, (ℎ𝑟 − 𝜐𝑟) = 3 (205)
𝑏𝑙𝑟+1𝑛+14 + 𝜋𝑙𝑟(2(𝜏𝑙𝑟 − 𝜎𝑙𝑟) − 2) ≥ 𝑓𝑙𝑟𝑛 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝐿, (ℎ𝑟 − 𝜐𝑟) = −3 (206)
𝑏𝑙𝑟+1𝑛+14.5 + 𝜋𝑙𝑟(2(𝜏𝑙𝑟 − 𝜎𝑙𝑟) − 2) ≥ 𝑓𝑙𝑟𝑛 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑛 ∈ 𝑁, l ∈ 𝐿, (ℎ𝑟 − 𝜐𝑟) = 4 (207)
𝑏𝑙𝑟+1𝑛+14.5 + 𝜋𝑙𝑟(2(𝜏𝑙𝑟 − 𝜎𝑙𝑟) − 2) ≥ 𝑓𝑙𝑟𝑛 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝐿, (ℎ𝑟 − 𝜐𝑟) = −4 (208)
46
𝑏𝑙𝑟+1𝑛+15 + 𝜋𝑙𝑟(2(𝜏𝑙𝑟 − 𝜎𝑙𝑟) − 2) ≥ 𝑓𝑙𝑟𝑛 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝐿, (ℎ𝑟 − 𝜐𝑟) = 5 (209)
𝑏𝑙𝑟+1𝑛+15 + 𝜋𝑙𝑟(2(𝜏𝑙𝑟 − 𝜎𝑙𝑟) − 2) ≥ 𝑓𝑙𝑟𝑛 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝐿, (ℎ𝑟 − 𝜐𝑟) = −5 (210)
𝑏𝑙𝑟+1𝑛+24 + 𝜋𝑙𝑟(2(𝜏𝑙𝑟 − 𝜎𝑙𝑟) − 2) ≥ 𝑓𝑙𝑟𝑛 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝐿, (ℎ𝑟 − 𝜐𝑟) ≥ 6 (211)
𝑏𝑙𝑟+1𝑛+24 + 𝜋𝑙𝑟(2(𝜏𝑙𝑟 − 𝜎𝑙𝑟) − 2) ≥ 𝑓𝑙𝑟𝑛 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑙 ∈ 𝐿, (ℎ𝑟 − 𝜐𝑟) ≤ −6 (212)
J. Limites de folgas semanais e dias de folga
O seguinte conjunto de restrições visa garantir um período mínimo de descanso para cada tripulante
nos diferentes períodos de tempo. E, como será constatado, para os diferentes períodos de tempo
existem períodos de descanso com características distintas. Segundo o artigo 19.º do Decreto-Lei
139/2004, os períodos de descanso podem ser de três tipos: os dias de folgas, as folgas semanais e
as folgas locais. Os dias de folga caracterizam-se como um período mínimo de 24 horas consecutivas
livres de quaisquer obrigações para com a companhia aérea, as folgas semanais definem-se como um
período mínimo de 36 horas consecutivas livres de obrigações e por fim, as folgas locais têm a duração
mínima de 24 horas e são obrigatoriamente gozadas na base do tripulante.
j.1. As restrições (213) – (215), modelam para os diferentes tripulantes a respetiva folga semanal. Esta
folga assegura que durante a semana, 𝑠 = 1, … ,52, pelo menos 36 horas, ou seja, pelo menos 1.5 dias
consecutivos correspondam a um período livre de obrigações.
Assim sendo, o número de dias de folga (𝑐𝑝𝑠) para o piloto, 𝑝 = 1, … , �̅�, deverá ser no mínimo de um
dia e meio a cada sete dias – restrição (213). O mesmo acontece para os copilotos, 𝑞 = 1, … , �̅� –
restrição (206) e tripulantes de cabina, 𝑙 = 1, … , 𝑙 ̅ – restrição (215).
𝑐𝑝𝑠 ≥ 1.5 𝑝 ∈ 𝑃, 𝑠 ∈ 𝑆 (213)
𝑐𝑞𝑠 ≥ 1.5 𝑞 ∈ 𝑄, 𝑠 ∈ 𝑆 (214)
𝑐𝑙𝑠 ≥ 1.5 𝑙 ∈ 𝐿, 𝑠 ∈ 𝑆 (215)
j.2. As restrições (216) – (219) modelam as folgas locais para cada mês 𝑚, 𝑚 = 1, … ,13, e para cada
um dos diferentes tripulantes. Assim sendo, o número de dias de folgas locais (𝑘𝑝𝑚) para o piloto p,
deverá ser superior a 7 dias – equação (216). O mesmo acontece para os copilotos q – equação (217)
e tripulantes de cabina l – equação (218). O cálculo dos meses é realizado através da divisão das 52
semanas que constituem o ano pelas 4 semanas que constituem cada mês.
𝑘𝑝𝑚 ≥ 7 𝑝 ∈ 𝑃, 𝑚 ∈ 𝑀 (216)
𝑘𝑞𝑚 ≥ 7 𝑞 ∈ 𝑄,𝑚 ∈ 𝑀 (217)
𝑘𝑙𝑚 ≥ 7 𝑙 ∈ 𝐿, 𝑚 ∈ 𝑀 (218)
j.3. Também trimestralmente devem ser consideradas as folgas, neste caso, dias de folga e assim
sendo as restrições (219) – (221), modelam para cada um dos diferentes tripulantes, os respetivos
períodos livres de obrigações. Como tal, durante as doze semanas consecutivas que constituem um
trimestre o que corresponde a exatamente 84 dias, pelo menos 24 dos quais têm de corresponder a
47
folgas. Visto isto, o número de dias de folgas (𝑐𝑝𝑡) para o piloto p, deverá ser no mínimo de 24 dias –
equação (219). O mesmo acontece para o copiloto q – equação (220) e tripulante de cabina l – equação
(221).
𝑐𝑝𝑡 ≥ 24 𝑝 ∈ 𝑃, 𝑡 ∈ 𝑇 (219)
𝑐𝑞𝑡 ≥ 24 𝑞 ∈ 𝑄, 𝑡 ∈ 𝑇 (220)
𝑐𝑙𝑡 ≥ 24 𝑙 ∈ 𝐿, 𝑡 ∈ 𝑇 (221)
j.4. Por último as restrições (222) – (224), similares às verificadas para o período de descanso mensal
têm também o objetivo de modelarem para cada um dos tripulantes o número de folgas locais, porém
o período temporal neste caso é de 52 semanas consecutivas, ou seja, um ano. Posto isto, o número
de dias de folgas locais (𝑘𝑝𝑟) para o piloto p, deverá ser no mínimo de 96 dias – equação (222). O
mesmo acontece para os copilotos q – equação (223) e tripulantes de cabina l – equação (224).
k𝑝 ≥ 96 𝑝 ∈ 𝑃 (222)
k𝑞 ≥ 96 𝑞 ∈ 𝑄 (223)
k𝑙 ≥ 96 𝑙 ∈ 𝐿 (224)
L. Outras restrições
Neste último grupo são definidas as variáveis que ao longo do modelo foram utilizadas nos casos dos
voos prolongados. E é ainda definida uma outra restrição – (225). Esta restrição, é fundamental para
que os dois tipos de PSV, os períodos de serviço normal e os períodos de serviço noturno
representados respetivamente por 𝛽𝑟 𝑒 𝜉𝑟 nunca possuam o mesmo valor, uma vez que, têm períodos
de trabalho distintos. Quanto aos PSV prolongados são calculados de igual forma independentemente
do tipo. Assim sendo, primeiramente verifica-se a existência do prolongamento através da variável
binária (𝑝𝑟𝑜𝑙𝑟), de seguida, o subtipo de voo, a atribuição do tripulante e se é qualificado (𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖) e só
depois de verificadas todas estas variáveis binárias é calculado o tempo que se prolongou de um dia
para o outro, através da diferença entre o minuto em que o PSV efetivamente terminou e início do
período (𝑓𝑖𝑚𝑟𝑟 − 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑝𝑑), por exemplo. Caso as variáveis binárias se verifiquem e assumam o valor
1, se a diferença for superior a zero, a variável utilizada no prolongamento assume o valor da diferença,
caso contrário é zero. Há que ressalvar que as implicações observadas não são lineares, no entanto,
o IBM ILOG CPLEX Optimization Studio permite introduzir as restrições desta forma e lineariza-as
automaticamente. Os cálculos semanais, mensais, trimestrais e anuais são realizados através do
somatório das variáveis dos prolongamentos dos dias pertencentes a esses períodos. Por último, as
variáveis (303) – (305) somam todos os prolongamentos efetuados pelo tripulante de forma a que todas
as horas de voos sejam quantificadas aquando do equilíbrio das horas de voo entre os tripulantes. O
mesmo acontece para as horas de serviço. Relativamente às equações (309) – (311) têm como objetivo
fazerem cumprir as horas de descanso obrigatórias e são do mesmo género que as restrições dos
prolongamentos.
𝛽𝑟 ≠ 𝜉𝑟 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆 (225)
48
𝑝𝑟𝑜𝑙𝑟𝑧𝑟𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖(𝑓𝑖𝑚𝑟𝑟 − 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑝𝑑) {≥ 0 ⇒ 𝑣𝑜𝑜𝑝𝑑 = 𝑝𝑟𝑜𝑙𝑟𝑧𝑟𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖(𝑓𝑖𝑚𝑟𝑟 − 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑝𝑑)
< 0 ⇒ 𝑣𝑜𝑜𝑝𝑑 = 0 (226)
𝑝𝑟𝑜𝑙𝑟𝑧𝑟𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖(𝑓𝑖𝑚𝑟𝑟 − 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑝𝑑) {≥ 0 ⇒ 𝑣𝑜𝑜𝑞𝑑 = 𝑝𝑟𝑜𝑙𝑟𝑧𝑟𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖(𝑓𝑖𝑚𝑟𝑟 − 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑝𝑑)
< 0 ⇒ 𝑣𝑜𝑜𝑞𝑑 = 0 (227)
𝑝𝑟𝑜𝑙𝑟𝑧𝑟𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖(𝑓𝑖𝑚𝑟𝑟 − 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑝𝑑) {≥ 0 ⇒ 𝑣𝑜𝑜𝑙𝑑 = 𝑝𝑟𝑜𝑙𝑟𝑧𝑟𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖(𝑓𝑖𝑚𝑟𝑟 − 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑝𝑑) < 0 ⇒ 𝑣𝑜𝑜𝑙𝑑 = 0
(228)
𝑝𝑟𝑜𝑙𝑟𝑥𝑟𝑝𝑎𝑖𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖(𝑓𝑖𝑚𝑟𝑟 − 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑝𝑑) {≥ 0 ⇒ 𝑣𝑜𝑝𝑑 = 𝑝𝑟𝑜𝑙𝑟𝑥𝑟𝑝𝑎𝑖𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖(𝑓𝑖𝑚𝑟𝑟 − 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑝𝑑)
< 0 ⇒ 𝑣𝑜𝑝𝑑 = 0 (229)
𝑝𝑟𝑜𝑙𝑟𝑥𝑟𝑝𝑎𝑖𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖(𝑓𝑖𝑚𝑟𝑟 − 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑝𝑑) {≥ 0 ⇒ 𝑣𝑜𝑞𝑑 = 𝑝𝑟𝑜𝑙𝑟𝑥𝑟𝑝𝑎𝑖𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖(𝑓𝑖𝑚𝑟𝑟 − 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑝𝑑)
< 0 ⇒ 𝑣𝑜𝑞𝑑 = 0 (230)
𝑝𝑟𝑜𝑙𝑟𝑥𝑟𝑝𝑎𝑖𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖(𝑓𝑖𝑚𝑟𝑟 − 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑝𝑑) {≥ 0 ⇒ 𝑣𝑜𝑙𝑑 = 𝑝𝑟𝑜𝑙𝑟𝑥𝑟𝑝𝑎𝑖𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖(𝑓𝑖𝑚𝑟𝑟 − 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑝𝑑) < 0 ⇒ 𝑣𝑜𝑙𝑑 = 0
(231)
𝑝𝑟𝑜𝑙𝑟𝑥𝑟𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖(𝑓𝑖𝑚𝑟𝑟 − 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑝𝑑) {≥ 0 ⇒ 𝑣𝑝𝑑 = 𝑝𝑟𝑜𝑙𝑟𝑥𝑟𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖(𝑓𝑖𝑚𝑟𝑟 − 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑝𝑑)
< 0 ⇒ 𝑣𝑝𝑑 = 0 (232)
𝑝𝑟𝑜𝑙𝑟𝑥𝑟𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖(𝑓𝑖𝑚𝑟𝑟 − 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑝𝑑) {≥ 0 ⇒ 𝑣𝑞𝑑 = 𝑝𝑟𝑜𝑙𝑟𝑥𝑟𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖(𝑓𝑖𝑚𝑟𝑟 − 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑝𝑑)
< 0 ⇒ 𝑣𝑞𝑑 = 0 (233)
𝑝𝑟𝑜𝑙𝑟𝜑𝑟𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖(𝑓𝑖𝑚𝑟𝑟 − 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑝𝑑) {≥ 0 ⇒ 𝑣𝑟𝑝𝑑 = 𝑝𝑟𝑜𝑙𝑟𝜑𝑟𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖(𝑓𝑖𝑚𝑟𝑟 − 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑝𝑑)
< 0 ⇒ 𝑣𝑟𝑝𝑑 = 0 (234)
𝑝𝑟𝑜𝑙𝑟𝜑𝑟𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖(𝑓𝑖𝑚𝑟𝑟 − 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑝𝑑) {≥ 0 ⇒ 𝑣𝑟𝑞𝑑 = 𝑝𝑟𝑜𝑙𝑟𝜑𝑟𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖(𝑓𝑖𝑚𝑟𝑟 − 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑝𝑑)
< 0 ⇒ 𝑣𝑟𝑞𝑑 = 0 (235)
𝑝𝑟𝑜𝑙𝑟𝜑𝑟𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖(𝑓𝑖𝑚𝑟𝑟 − 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑝𝑑) {≥ 0 ⇒ 𝑣𝑟𝑙𝑑 = 𝑝𝑟𝑜𝑙𝑟𝜑𝑟𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖(𝑓𝑖𝑚𝑟𝑟 − 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑝𝑑) < 0 ⇒ 𝑣𝑟𝑙𝑑 = 0
(236)
𝑝𝑟𝑜𝑙𝑟𝜔𝑟𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖(𝑓𝑖𝑚𝑟𝑟 − 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑝𝑑) {≥ 0 ⇒ 𝑣𝑟𝑒𝑝𝑑 = 𝑝𝑟𝑜𝑙𝑟𝜔𝑟𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖(𝑓𝑖𝑚𝑟𝑟 − 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑝𝑑)
< 0 ⇒ 𝑣𝑟𝑒𝑝𝑑 = 0 (237)
𝑝𝑟𝑜𝑙𝑟𝜔𝑟𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖(𝑓𝑖𝑚𝑟𝑟 − 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑝𝑑) {≥ 0 ⇒ 𝑣𝑟𝑒𝑞𝑑 = 𝑝𝑟𝑜𝑙𝑟𝜔𝑟𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖(𝑓𝑖𝑚𝑟𝑟 − 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑝𝑑)
< 0 ⇒ 𝑣𝑟𝑒𝑞𝑑 = 0 (238)
𝑝𝑟𝑜𝑙𝑟𝜔𝑟𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖(𝑓𝑖𝑚𝑟𝑟 − 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑝𝑑) {≥ 0 ⇒ 𝑣𝑟𝑒𝑙𝑑 = 𝑝𝑟𝑜𝑙𝑟𝜔𝑟𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖(𝑓𝑖𝑚𝑟𝑟 − 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑝𝑑) < 0 ⇒ 𝑣𝑟𝑒𝑙𝑑 = 0
(239)
𝑝𝑟𝑜𝑙𝑟𝜔𝑟𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖(𝑓𝑖𝑚𝑟𝑟 − 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑝𝑑+1) {≥ 0 ⇒ 𝑣𝑟𝑒𝑓𝑝𝑑+1 = 𝑝𝑟𝑜𝑙𝑟𝜔𝑟𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖(𝑓𝑖𝑚𝑟𝑟 − 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑝𝑑+1)
< 0 ⇒ 𝑣𝑟𝑒𝑓𝑝𝑑+1 = 0 (240)
𝑝𝑟𝑜𝑙𝑟𝜔𝑟𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖(𝑓𝑖𝑚𝑟𝑟 − 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑝𝑑+1) {≥ 0 ⇒ 𝑣𝑟𝑒𝑓𝑞𝑑+1 = 𝑝𝑟𝑜𝑙𝑟𝜔𝑟𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖(𝑓𝑖𝑚𝑟𝑟 − 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑝𝑑+1)
< 0 ⇒ 𝑣𝑟𝑒𝑓𝑞𝑑+1 = 0 (241)
𝑝𝑟𝑜𝑙𝑟𝜔𝑟𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖(𝑓𝑖𝑚𝑟𝑟 − 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑝𝑑+1) {≥ 0 ⇒ 𝑣𝑟𝑒𝑓𝑙𝑑+1 = 𝑝𝑟𝑜𝑙𝑟𝜔𝑟𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖(𝑓𝑖𝑚𝑟𝑟 − 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑝𝑑+1) < 0 ⇒ 𝑣𝑟𝑒𝑓𝑙𝑑+1 = 0
(242)
𝑣𝑜𝑜𝑝𝑠 = ∑ 𝑣𝑜𝑜𝑝𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝑆 (243)
𝑣𝑜𝑜𝑝𝑚 = ∑ 𝑣𝑜𝑜𝑝𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝑀 (244)
𝑣𝑜𝑜𝑝𝑡 = ∑ 𝑣𝑜𝑜𝑝𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝑇 (245)
𝑣𝑜𝑜𝑝 = ∑ 𝑣𝑜𝑜𝑝𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝐺 (246)
𝑣𝑜𝑝𝑠 = ∑ 𝑣𝑜𝑝𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝑆 (247)
𝑣𝑜𝑝𝑚 = ∑ 𝑣𝑜𝑝𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝑀 (248)
𝑣𝑜𝑝𝑡 = ∑ 𝑣𝑜𝑝𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝑇 (249)
𝑣𝑜𝑝 = ∑ 𝑣𝑜𝑝𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝐺 (250)
49
𝑣𝑝𝑠 = ∑ 𝑣𝑝𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝑆 (251)
𝑣𝑝𝑚 = ∑ 𝑣𝑝𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝑀 (252)
𝑣𝑝𝑡 = ∑ 𝑣𝑝𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝑇 (253)
𝑣𝑝 = ∑ 𝑣𝑝𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝐺 (254)
𝑣𝑟𝑝𝑠 = ∑ 𝑣𝑟𝑝𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝑆 (255)
𝑣𝑟𝑝𝑚 = ∑ 𝑣𝑟𝑝𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝑀 (256)
𝑣𝑟𝑝𝑡 = ∑ 𝑣𝑟𝑝𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝑇 (257)
𝑣𝑟𝑝 = ∑ 𝑣𝑟𝑝𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝐺 (258)
𝑣𝑟𝑒𝑝𝑠 = ∑ 𝑣𝑟𝑒𝑝𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝑆 (259)
𝑣𝑟𝑒𝑝𝑚 = ∑ 𝑣𝑟𝑒𝑝𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝑀 (260)
𝑣𝑟𝑒𝑝𝑡 = ∑ 𝑣𝑟𝑒𝑝𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝑇 (261)
𝑣𝑟𝑒𝑝 = ∑ 𝑣𝑟𝑒𝑝𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝐺 (262)
𝑣𝑜𝑜𝑞𝑠 = ∑ 𝑣𝑜𝑜𝑞𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝑆 (263)
𝑣𝑜𝑜𝑞𝑚 = ∑ 𝑣𝑜𝑜𝑞𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝑀 (264)
𝑣𝑜𝑜𝑞𝑡 = ∑ 𝑣𝑜𝑜𝑞𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝑇 (265)
𝑣𝑜𝑜𝑞 = ∑ 𝑣𝑜𝑜𝑞𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝐺 (266)
𝑣𝑜𝑞𝑠 = ∑ 𝑣𝑜𝑞𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝑆 (267)
𝑣𝑜𝑞𝑚 = ∑ 𝑣𝑜𝑞𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝑀 (268)
𝑣𝑜𝑞𝑡 = ∑ 𝑣𝑜𝑞𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝑇 (269)
𝑣𝑜𝑞 = ∑ 𝑣𝑜𝑞𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝐺 (270)
𝑣𝑞𝑠 = ∑ 𝑣𝑞𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝑆 (271)
𝑣𝑞𝑚 = ∑ 𝑣𝑞𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝑀 (272)
𝑣𝑞𝑡 = ∑ 𝑣𝑞𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝑇 (273)
𝑣𝑞 = ∑ 𝑣𝑞𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝐺 (274)
𝑣𝑟𝑞𝑠 = ∑ 𝑣𝑟𝑞𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝑆 (275)
𝑣𝑟𝑞𝑚 = ∑ 𝑣𝑟𝑞𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝑀 (276)
𝑣𝑟𝑞𝑡 = ∑ 𝑣𝑟𝑞𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝑇 (277)
𝑣𝑟𝑞 = ∑ 𝑣𝑟𝑞𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝐺 (278)
𝑣𝑟𝑒𝑞𝑠 = ∑ 𝑣𝑟𝑒𝑞𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝑆 (279)
𝑣𝑟𝑒𝑞𝑚 = ∑ 𝑣𝑟𝑒𝑞𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝑀 (280)
𝑣𝑟𝑒𝑞𝑡 = ∑ 𝑣𝑟𝑒𝑞𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝑇 (281)
𝑣𝑟𝑒𝑞 = ∑ 𝑣𝑟𝑒𝑞𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝐺 (282)
𝑣𝑜𝑜𝑙𝑠 = ∑ 𝑣𝑜𝑜𝑙𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝑆 (283)
𝑣𝑜𝑜𝑙𝑚 = ∑ 𝑣𝑜𝑜𝑙𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝑀 (284)
𝑣𝑜𝑜𝑙𝑡 = ∑ 𝑣𝑜𝑜𝑙𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝑇 (285)
𝑣𝑜𝑜𝑙 = ∑ 𝑣𝑜𝑜𝑙𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝐺 (286)
𝑣𝑜𝑙𝑠 = ∑ 𝑣𝑜𝑙𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝑆 (287)
50
𝑣𝑜𝑙𝑚 = ∑ 𝑣𝑜𝑙𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝑀 (288)
𝑣𝑜𝑙𝑡 = ∑ 𝑣𝑜𝑙𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝑇 (289)
𝑣𝑜𝑙 = ∑ 𝑣𝑜𝑙𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝐺 (290)
𝑣𝑙𝑠 = ∑ 𝑣𝑙𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝑆 (291)
𝑣𝑙𝑚 = ∑ 𝑣𝑙𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝑀 (292)
𝑣𝑙𝑡 = ∑ 𝑣𝑙𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝑇 (293)
𝑣𝑙 = ∑ 𝑣𝑙𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝐺 (294)
𝑣𝑟𝑙𝑠 = ∑ 𝑣𝑟𝑙𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝑆 (295)
𝑣𝑟𝑙𝑚 = ∑ 𝑣𝑟𝑙𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝑀 (296)
𝑣𝑟𝑙𝑡 = ∑ 𝑣𝑟𝑙𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝑇 (297)
𝑣𝑟𝑙 = ∑ 𝑣𝑟𝑙𝑑𝐷𝑑=1 d ⊂ 𝐺 (298)
𝑣𝑟𝑒𝑙𝑠 = ∑ 𝑣𝑟𝑒𝑙𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝑆 (299)
𝑣𝑟𝑒𝑙𝑚 = ∑ 𝑣𝑟𝑒𝑙𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝑀 (300)
𝑣𝑟𝑒𝑙𝑡 = ∑ 𝑣𝑟𝑒𝑙𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝑇 (301)
𝑣𝑟𝑒𝑙 = ∑ 𝑣𝑟𝑒𝑙𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝐺 (302)
𝑡𝑣𝑜𝑜𝑝 = ∑ (𝑣𝑜𝑜𝑝𝑑 + 𝑣𝑜𝑝𝑑 + 𝑣𝑝𝑑 + 𝑣𝑟𝑝𝑑 + 𝑣𝑟𝑒𝑝𝑑)𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝐺 (303)
𝑡𝑣𝑜𝑜𝑞 = ∑ (𝑣𝑜𝑜𝑞𝑑 + 𝑣𝑜𝑞𝑑 + 𝑣𝑞𝑑 + 𝑣𝑟𝑞𝑑 + 𝑣𝑟𝑒𝑞𝑑)𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝐺 (304)
𝑡𝑣𝑜𝑜𝑙 = ∑ (𝑣𝑜𝑜𝑝𝑑 + 𝑣𝑜𝑝𝑑 + 𝑣𝑝𝑑 + 𝑣𝑟𝑝𝑑 + 𝑣𝑟𝑒𝑝𝑑)𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝐺 (305)
𝑡𝑠𝑒𝑟𝑝 = ∑ (𝑝𝑟𝑜𝑙𝑟𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖(𝑓𝑖𝑚𝑟𝑟 − 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑑))𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝐺 (306)
𝑡𝑠𝑒𝑟𝑞 = ∑ (𝑝𝑟𝑜𝑙𝑟𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖(𝑓𝑖𝑚𝑟𝑟 − 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑑))𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝐺 (307)
𝑡𝑠𝑒𝑟𝑙 = ∑ (𝑝𝑟𝑜𝑙𝑟𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖(𝑓𝑖𝑚𝑟𝑟 − 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑑))𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝐺 (308)
𝑝𝑟𝑜𝑙𝑟𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖(𝑓𝑖𝑚𝑟𝑟 − 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑑 + 36) {≥ 0 ⇒ 𝑑𝑒𝑠𝑝 = 𝑝𝑟𝑜𝑙𝑟𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖(𝑓𝑖𝑚𝑟𝑟 − 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑑 + 36)
< 0 ⇒ 𝑑𝑒𝑠𝑝 = 0 (309)
𝑝𝑟𝑜𝑙𝑟𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖(𝑓𝑖𝑚𝑟𝑟 − 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑑 + 36) {≥ 0 ⇒ 𝑑𝑒𝑠𝑝 = 𝑝𝑟𝑜𝑙𝑟𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖(𝑓𝑖𝑚𝑟𝑟 − 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑑 + 36)
< 0 ⇒ 𝑑𝑒𝑠𝑝 = 0 (310)
𝑝𝑟𝑜𝑙𝑟𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖(𝑓𝑖𝑚𝑟𝑟 − 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑑 + 36) {≥ 0 ⇒ 𝑑𝑒𝑠𝑝 = 𝑝𝑟𝑜𝑙𝑟𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖(𝑓𝑖𝑚𝑟𝑟 − 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑑 + 36)
< 0 ⇒ 𝑑𝑒𝑠𝑝 = 0 (311)
4.1.5 Funções Objetivo
Neste modelo de otimização multiobjetivo serão consideradas as três funções objetivo seguintes:
A. Minimização dos custos operacionais anuais da companhia aérea
Com objetivo (312) pretende-se minimizar os custos operacionais da companhia aérea no período de
um ano. Como tal, é necessário minimizar o custo salarial anual dos diferentes tripulantes, pilotos, 𝑝 =
1, … , �̅� , copilotos, 𝑞 = 1, … , �̅� e tripulantes de cabina 𝑙 = 1, … , 𝑙.̅
Segundo a cláusula n.º 5 do Regulamento de Carreira Profissional do Tripulante de Cabina do
SNPVAC, a evolução salarial processa-se de acordo com o escalão do tripulante, e, de acordo com o
jornal online NiT de 7 de outubro de 2009, é composto geralmente por dois fatores: um valor base
mensal e um valor extra. Este valor extra pode por exemplos, depender do número de dias ou horas
51
voadas num determinado período de tempo. No caso da tripulação de voo, a evolução salarial para
aqueles que possuam a formação de piloto de linha aérea, depende dos dois escalões existentes: oficial
piloto e comandante, denominados respetivamente, de copilotos e pilotos ao longo da dissertação de
mestrado. Neste caso e segundo o jornal Público de 26 de setembro de 2009 existe um valor base
mensal atribuído a cada tripulante dependendo do escalão em que está inserido. No entanto, de forma
a criar um padrão entre os dois tipos de tripulantes, para além do valor base mensal será também
atribuído um valor extra a cada tripulante de voo que depende exclusivamente do número de horas
voadas pelo mesmo. Contudo, visto que na companhia aérea o número de tripulantes é conhecido, o
valor base torna-se constante e apenas é praticável a minimização do custo extra.
Em suma, no objetivo (312) é minimizado o custo extra dos pilotos através da multiplicação do valor
extra do piloto, 𝑝 = 1, … , �̅�, (Φ𝑝) pelo seu número de horas voadas (𝜄𝑝𝑟𝑗 − 𝑜𝑝𝑟𝑗), em todos os segmentos
de voo, 𝑗 = 1, … , 𝑗,̅ pertencentes a cada PSV, 𝑟 = 1, … , �̅�. E é ainda somado na mesma função o custo
associado aos copilotos, 𝑞 = 1, … , �̅�, e aos tripulantes de cabina, 𝑙 = 1, … , 𝑙.̅
𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑧1 = ∑ ∑ (∑ (Φ𝑝(𝜄𝑝𝑟𝑗 − 𝑜𝑝𝑟𝑗))𝐽𝑗=1 )𝑅
𝑟=1𝑃𝑝=1 + ∑ ∑ (∑ (Φ𝑞(𝜄𝑞𝑟𝑗 − 𝑜𝑞𝑟𝑗))𝐽
𝑗=1 )𝑅𝑟=1
𝑄𝑞=1 +
∑ ∑ (∑ (Φ𝑙(𝜄𝑙𝑟𝑗 − 𝑜𝑙𝑟𝑗))𝐽𝑗=1 )𝑅
𝑟=1𝐿𝑙=1 (312)
B. Equilíbrio do número de horas voadas anualmente
Com o segundo objetivo pretende-se equilibrar o número de horas voadas para os diferentes
tripulantes, para que dentro do mesmo género o número de horas de voo seja similar, visto ser o cerne
da sua atividade profissional. Para tal são utilizadas as variáveis livres (𝛼′ + 𝛼′′), (𝜙′ + 𝜙′′) e (𝜓′ + 𝜓′′)
que juntamente com as equações (7) – (12) fazem com que a carga horária seja similar entre os pilotos,
copilotos e tripulantes de cabina, respetivamente.
𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑧2 = (𝛼′ + 𝛼′′) + (𝜙′ + 𝜙′′) + (𝜓′ + 𝜓′′) (313)
C. Equilíbrio do número de horas de serviço anual
Com o terceiro e último objetivo, pretende-se equilibrar o número de horas de serviço anual para os
diferentes tripulantes, com o intuito de para além do número de horas voadas ser similar também a
duração dos intervalos, das apresentações e outras seja similar, dentro do mesmo género. Para tal são
utilizadas as variáveis livres (𝛼′′′ + 𝛼′′′′), (𝜙′′′ + 𝜙′′′′) e (𝜓′′′ + 𝜓′′′′ que juntamente com as equações
(13) – (18) fazem com que a carga horária seja similar entre os pilotos, copilotos e tripulantes de cabina,
respetivamente.
𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑧3 = (𝛼′′′ + 𝛼′′′′) + (𝜙′′′ + 𝜙′′′′) + (𝜓′′′ + 𝜓′′′′) (314)
4.2 Metodologia de aplicação
O modelo é indicado para companhias aéreas portuguesas para PSV de curta duração, no entanto
também poderá ser aplicado a companhias europeias. No caso das companhias aéreas europeias seria
necessário ter conhecimento dos valores limites para o estado membro em que a companhia aérea
estivesse sediada e efetuar a troca dos valores.
52
Tendo como princípio a aplicação do modelo de otimização para as companhias aéreas
portuguesas, a metodologia a aplicar para o modelo encontra-se na Figura 4.1. Que, com o objetivo de
analisar o modelo de atribuição e obter as soluções o mais realistas possíveis, é necessário, em
primeiro lugar obter as soluções do problema de emparelhamento, uma vez que se tratam de problemas
sequenciais e posteriormente, estipular os dados de entrada no modelo e parâmetros.
Estabelecidos os dados de entrada ao modelo, a terceira etapa da metodologia consiste na
execução do modelo através de um dos métodos de otimização mencionados ao longo da secção 3.2.
Por conseguinte, concluída a execução e obtidas as soluções, o passo seguinte da metodologia passa
pela construção dos gráficos de curvas de Pareto.
4.3 Conclusões do Capítulo
No presente capítulo definiram-se os conjuntos e índices, os parâmetros, as variáveis de decisão, as
restrições e as funções objetivo do modelo de otimização. Tanto os parâmetros, as variáveis de
decisão como a formulação do modelo foram baseados nos modelos de otimização estudados e
desenvolvidos por Maenhout et al (2010) e Boufaied et al. (2015). O modelo de otimização formulado
tem os seguintes objetivos: minimizar os custos operacionais da tripulação, minimizar a diferença de
horas voadas e a diferença de horas trabalhadas entre os tripulantes do mesmo tipo.
Definido o modelo, segue-se a aplicação da metodologia. A metodologia que será aplicada poderá
ser sequencialmente sucinta nas quatro etapas singulares: a obtenção das soluções do problema de
emparelhamento de um tipo específico de voo, o estabelecimento dos dados de entrada e dos
parâmetros, a execução do modelo e por último, a obtenção do conjunto de soluções ótimas que
servem como base para a construção dos gráficos das curvas de Pareto. E, como discutido na secção
1.3, a partir das soluções ótimas obtidas do modelo de otimização é então possível, avançar para a
última etapa da metodologia da dissertação de mestrado - Etapa 5 – Análise e Discussão de
Resultados, e Conclusões - ilustrada na Figura 1.1.
1. Obter soluções do problema de
emparelhamento de um tipo de voo
2. Estabelecer dados de entrada
3. Executar o modelo4. Obter a curva de
Pareto
Figura 4.1 – Metodologia a aplicar para o modelo de otimização multiobjetivo
53
5. ESTUDO DE CASO
Neste quinto capítulo é descrito o estudo de caso que seguirá as etapas ilustradas na Figura 4.1. O
capítulo encontra-se estruturado em oito secções. A primeira define o problema, de seguida a secção
5.2 apresenta a companhia aérea de referência, a 5.3 apresenta os parâmetros para o problema
enquanto que a secção 5.4 apresenta a aplicação do modelo. Posteriormente, a secção 5.5 apresenta
os resultados, a 5.6 apresenta as análises de cenários e a secção 5.7 atribui recomendações. Por
último, a secção 5.8 apresenta as conclusões ao capítulo.
5.1 Definição do problema
Uma vez que o modelo definido no capítulo anterior se torna bastante pormenorizado e extenso, o qual
iria dificultar e prolongar o processamento no software IBM ILOG CPLEX Optimization Studio, optou-
se por aplicar apenas uma parte do modelo para o estudo de caso. Assim sendo, o modelo é definido
do seguinte modo:
A. Número mínimo de tripulantes por avião
∑ 𝑦𝑝𝑟6𝑝=1 𝑒𝑝𝑟 ≥ 1 𝑟 ∈ 𝑅 (315)
∑ 𝑦𝑞𝑟6𝑞=1 𝑒𝑞𝑟 ≥ 1 𝑟 ∈ 𝑅 (316)
∑ 𝑦𝑙𝑟18𝑙=1 𝑒𝑙𝑟 ≥ 3 𝑟 ∈ 𝑅 (317)
∑ ∑ ∑ 𝑦𝑝𝑟6𝑝=1 𝑒𝑝𝑟𝑖
1𝑖=1
7𝑟=1 ≤ 1 (318)
∑ ∑ ∑ 𝑦𝑞𝑟6𝑞=1 𝑒𝑞𝑟𝑖
1𝑖=1
7𝑟=1 ≤ 1 (319)
∑ ∑ ∑ 𝑦𝑙𝑟18𝑙=1 𝑒𝑙𝑟𝑖
1𝑖=1
7𝑟=1 ≤ 1 (320)
B. Equilíbrio do número de horas voadas e de serviço semanalmente para cada tipo de tripulante
(∑ (∑ (𝜄𝑝𝑟𝑗 − 𝑜𝑝𝑟𝑗)30𝑗=1 ) + 𝑡𝑣𝑜𝑜𝑝
7𝑟=1 ) − (∑ (∑ (𝜄𝑝+1𝑟𝑗 − 𝑜𝑝+1𝑟𝑗)30
𝑗=1 ) + 𝑡𝑣𝑜𝑜𝑝+17𝑟=1 ) = (𝛼′ − 𝛼′′) 𝑝 ∈ 𝑃 − 1 (321)
(∑ (∑ (𝜄𝑝𝑟𝑗 − 𝑜𝑝𝑟𝑗)30𝑗=1 ) + 𝑡𝑣𝑜𝑜𝑝
7𝑟=1 ) − (∑ (∑ (𝜄𝑝−1𝑟𝑗 − 𝑜𝑝−1𝑟𝑗)30
𝑗=1 ) + 𝑡𝑣𝑜𝑜𝑝−17𝑟=1 ) = (𝛼′ − 𝛼′′) 𝑝 ∈ 𝑃 (322)
(∑ (∑ (𝜄𝑞𝑟𝑗 − 𝑜𝑞𝑟𝑗)30𝑗=1 ) + 𝑡𝑣𝑜𝑜𝑞
7𝑟=1 ) − (∑ (∑ (𝜄𝑞+1𝑟𝑗 − 𝑜𝑞+1𝑟𝑗)30
𝑗=1 )7𝑟=1 + 𝑡𝑣𝑜𝑜𝑞+1) = (𝜙′ − 𝜙′′) 𝑞 ∈ 𝑄 − 1 (323)
(∑ (∑ (𝜄𝑞𝑟𝑗 − 𝑜𝑞𝑟𝑗)30𝑗=1 ) + 𝑡𝑣𝑜𝑜𝑞
7𝑟=1 ) − (∑ (∑ (𝜄𝑞−1𝑟𝑗 − 𝑜q−1𝑟𝑗)30
𝑗=1 ) + 𝑡𝑣𝑜𝑜𝑞−17𝑟=1 ) = (𝜙′ − 𝜙′′) 𝑞 ∈ Q (324)
(∑ (∑ (𝜄𝑙𝑟𝑗 − 𝑜𝑙𝑟𝑗)30𝑗=1 ) + 𝑡𝑣𝑜𝑜𝑙
7𝑟=1 ) − (∑ (∑ (𝜄𝑙+1𝑟𝑗 − 𝑜𝑙+1𝑟𝑗)30
𝑗=1 ) + 𝑡𝑣𝑜𝑜𝑙+17𝑟=1 ) = (𝜓′ − 𝜓′′) 𝑙 ∈ 𝐿 − 1 (325)
(∑ (∑ (𝜄𝑙𝑟𝑗 − 𝑜𝑙𝑟𝑗)30𝑗=1 ) + 𝑡𝑣𝑜𝑜𝑙
7𝑟=1 ) − (∑ (∑ (𝜄𝑙−1𝑟𝑗 − 𝑜𝑙−1𝑟𝑗)30
𝑗=1 ) + 𝑡𝑣𝑜𝑜𝑙−17𝑟=1 ) = (𝜓′ − 𝜓′′) 𝑙 ∈ L (326)
(∑ (𝑓𝑝𝑟 − 𝑏𝑝𝑟) +7𝑟=1 𝑡𝑠𝑒𝑟𝑝) − (∑ (𝑓𝑝+1𝑟 − 𝑏𝑝+1𝑟) + 𝑡𝑠𝑒𝑟𝑝+1
7𝑟=1 ) = (𝛼′′′ − 𝛼′′′′) 𝑝 ∈ 𝑃 − 1 (327)
(∑ (𝑓𝑝𝑟 − 𝑏𝑝𝑟) +7𝑟=1 𝑡𝑠𝑒𝑟𝑝) − (∑ (𝑓𝑝−1𝑟 − 𝑏𝑝+1𝑟) + 𝑡𝑠𝑒𝑟𝑝+1
7𝑟=1 ) = (𝛼′′′ − 𝛼′′′′) 𝑝 ∈ 𝑃 (328)
(∑ (𝑓𝑞𝑟 − 𝑏𝑞𝑟) +7𝑟=1 𝑡𝑠𝑒𝑟𝑞) − (∑ (𝑓𝑞+1𝑟 − 𝑏𝑞+1𝑟) + 𝑡𝑠𝑒𝑟𝑞+1
7𝑟=1 ) = (𝜙′′′ − 𝜙′′′′) 𝑞 ∈ 𝑄 − 1 (329)
(∑ (𝑓𝑞𝑟 − 𝑏𝑞𝑟) +7𝑟=1 𝑡𝑠𝑒𝑟𝑞) − (∑ (𝑓𝑞−1𝑟 − 𝑏𝑞−1𝑟) + 𝑡𝑠𝑒𝑟𝑞+1
7𝑟=1 ) = (𝜙′′′ − 𝜙′′′′) 𝑞 ∈ 𝑄 (330)
(∑ (𝑓𝑙𝑟 − 𝑏𝑙𝑟) + 𝑡𝑠𝑒𝑟𝑙7𝑟=1 ) − (∑ (𝑓𝑙+1𝑟 − 𝑏𝑙+1𝑟)7
𝑟=1 + 𝑡𝑠𝑒𝑟𝑙+1) = (𝜓′′′ − 𝜓′′′′) 𝑙 ∈ 𝐿 − 1 (331)
(∑ (𝑓𝑙𝑟 − 𝑏𝑙𝑟) + 𝑡𝑠𝑒𝑟𝑙7𝑟=1 ) − (∑ (𝑓𝑙+1𝑟 − 𝑏𝑙+1𝑟)7
𝑟=1 + 𝑡𝑠𝑒𝑟𝑙+1) = (𝜓′′′ − 𝜓′′′′) 𝑙 ∈ 𝐿 (332)
54
C. Número máximo de horas de serviço com um piloto
∑ ((𝑓𝑝𝑟𝑑 − 𝑏𝑝𝑟𝑑)𝑥𝑟𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖𝑝𝑎𝑖
+ 𝑣𝑜𝑝𝑑)7𝑟=1 ≤ 𝜇2(ℎ𝑝, 𝑛𝑝) ℎ𝑝 ∈ 𝐻𝑃 , 𝑛𝑝 ∈ 𝑁𝑃, 𝑝 ∈ 𝑃, 𝑑 ∈ 𝐷, 𝑖 ∈ 𝐼 (333)
∑ ((𝑓𝑞𝑟𝑑 − 𝑏𝑞𝑟𝑑)𝑥𝑟𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖𝑝𝑎
𝑖+ 𝑣𝑜𝑞𝑑)7
𝑟=1 ≤ 𝜇2(ℎ𝑝, 𝑛𝑝) ℎ𝑝 ∈ 𝐻𝑃 , 𝑛𝑝 ∈ 𝑁𝑃, 𝑞 ∈ 𝑄, 𝑑 ∈ 𝐷, 𝑖 ∈ 𝐼 (334)
∑ ((𝑓𝑙𝑟𝑑 − 𝑏𝑙𝑟𝑑)𝑥𝑟𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖𝑝𝑎𝑖
+ 𝑣𝑜𝑙𝑑)7𝑟=1 ≤ 𝜇1(ℎ𝑎 , 𝑛𝑎) ℎ𝑎 ∈ 𝐻𝐴 , 𝑛𝑎 ∈ 𝑁𝐴, 𝑙 ∈ 𝐿, 𝑑 ∈ 𝐷, 𝑖 ∈ 𝐼 (335)
F. Limites para os tempos totais de serviço com voos noturnos
∑ 𝜉𝑟𝑦𝑝𝑟𝑔𝑝𝑟 ≤ 37𝑟=1 𝑝 ∈ 𝑃 (336)
∑ 𝜉𝑟𝑦𝑝𝑟𝑔𝑝𝑟 ≤ 37𝑟=1 𝑞 ∈ 𝑄 (337)
∑ 𝜉𝑟𝑦𝑝𝑟𝑔𝑝𝑟 ≤ 37𝑟=1 𝑙 ∈ 𝐿 (338)
(𝜉𝑟+1𝑦𝑝𝑟+1𝑒𝑝𝑟+1𝑖𝑓𝑝𝑟+1 + 36) ≤ (𝑦𝑝𝑟+2𝑒𝑝𝑟+2𝑖𝑏𝑝𝑟+2) 𝑝 ∈ 𝑃, 𝑟 ∈ 𝑅, 𝜉𝑟 𝑦𝑝𝑒𝑝𝑖 = 1, 𝜉𝑟+1𝑦𝑝𝑒𝑝𝑖 = 1 (339)
(𝜉𝑟+1𝑦𝑞𝑟+1𝑒𝑞𝑟+1𝑖𝑓𝑞𝑟+1 + 36) ≤ (𝑦𝑞𝑟+2𝑒𝑞𝑟+2𝑖𝑏𝑞𝑟+2) 𝑞 ∈ 𝑄, 𝑟 ∈ 𝑅, 𝜉𝑟𝑦𝑞𝑒𝑞𝑖 = 1, 𝜉𝑟+1𝑦𝑞𝑒𝑞𝑖 = 1 (340)
(𝜉𝑟+1𝑦𝑡𝑟+1𝑒𝑙𝑟+1𝑖𝑓𝑙𝑟+1 + 36) ≤ (𝑦𝑙𝑟+2𝑒𝑙𝑟+2𝑖𝑏𝑙𝑟+2) 𝑙 ∈ 𝐿, 𝑟 ∈ 𝑅, 𝜉𝑟𝑦𝑙𝑒𝑙𝑖 = 1, 𝜉𝑟+1𝑦𝑙𝑒𝑙𝑖 = 1 (341)
(𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑝 + 𝑑𝑒𝑠𝑝)𝑦𝑝𝑒𝑝𝑖 ≤ (𝑦𝑝𝑒𝑝𝑖𝑏𝑝𝑟) 𝑝 ∈ 𝑃, 𝑟 ∈ 𝑅, 𝜉𝑟−1𝑦𝑝𝑒𝑝𝑖 = 1, 𝜉𝑟−2𝑦𝑝𝑒𝑝𝑖 = 1 (342)
(𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑝 + 𝑑𝑒𝑠𝑞)𝑦𝑞𝑒𝑞𝑖 ≤ (𝑦𝑞𝑒𝑞𝑟𝑖𝑏𝑞𝑟) 𝑞 ∈ 𝑄, 𝑟 ∈ 𝑅, 𝜉𝑟−1𝑦𝑞𝑒𝑞𝑖 = 1, 𝜉𝑟−2𝑦𝑞𝑒𝑞𝑖 = 1 (343)
(𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑝 + 𝑑𝑒𝑠𝑙)𝑦𝑙𝑒𝑙𝑖 ≤ (𝑦𝑙𝑒𝑙𝑟𝑖𝑏𝑙𝑟) 𝑙 ∈ 𝐿, 𝑟 ∈ 𝑅, 𝜉𝑟−1𝑦𝑙𝑒𝑙𝑖 = 1, 𝜉𝑟−2𝑦𝑙𝑒𝑙𝑖 = 1 (344)
H. Limites para os tempos totais de serviço e de voo
∑ (∑ (𝑥𝑟(𝑓𝑝𝑟 − 𝑏𝑝𝑟) + 𝑣𝑜𝑝)30𝑗=1 ) ≤ 557
𝑟=1 𝑝 ∈ 𝑃, 𝑠 ∈ 𝑆 (345)
∑ (∑ (𝑥𝑟(𝑓𝑞𝑟 − 𝑏𝑞𝑟) + 𝑣𝑜𝑞)30𝑗=1 ) ≤ 557
𝑟=1 𝑞 ∈ 𝑄, 𝑠 ∈ 𝑆 (346)
∑ (∑ (𝑥𝑟(𝑓𝑙𝑟 − 𝑏𝑙𝑟) + 𝑣𝑜𝑙)30𝑗=1 ) ≤ 557
𝑟=1 𝑙 ∈ 𝐿, 𝑠 ∈ 𝑆 (347)
L. Outras restrições
𝑝𝑟𝑜𝑙𝑟𝑥𝑟𝑝𝑎𝑖𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖(𝑓𝑖𝑚𝑟𝑟 − 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑝𝑑) {≥ 0 ⇒ 𝑣𝑜𝑝𝑑 = 𝑝𝑟𝑜𝑙𝑟𝑥𝑟𝑝𝑎𝑖𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖(𝑓𝑖𝑚𝑟𝑟 − 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑝𝑑)
< 0 ⇒ 𝑣𝑜𝑝𝑑 = 0 (348)
𝑝𝑟𝑜𝑙𝑟𝑥𝑟𝑝𝑎𝑖𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖(𝑓𝑖𝑚𝑟𝑟 − 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑝𝑑) {≥ 0 ⇒ 𝑣𝑜𝑞𝑑 = 𝑝𝑟𝑜𝑙𝑟𝑥𝑟𝑝𝑎𝑖𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖(𝑓𝑖𝑚𝑟𝑟 − 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑝𝑑)
< 0 ⇒ 𝑣𝑜𝑞𝑑 = 0 (349)
𝑝𝑟𝑜𝑙𝑟𝑥𝑟𝑝𝑎𝑖𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖(𝑓𝑖𝑚𝑟𝑟 − 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑝𝑑) {≥ 0 ⇒ 𝑣𝑜𝑙𝑑 = 𝑝𝑟𝑜𝑙𝑟𝑥𝑟𝑝𝑎𝑖𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖(𝑓𝑖𝑚𝑟𝑟 − 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑝𝑑) < 0 ⇒ 𝑣𝑜𝑙𝑑 = 0
(350)
𝑣𝑜𝑝 = ∑ 𝑣𝑜𝑝𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝑆 (351)
𝑣𝑜𝑞 = ∑ 𝑣𝑜𝑞𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝑆 (352)
𝑣𝑜𝑙 = ∑ 𝑣𝑜𝑙𝑑𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝑆 (353)
𝑡𝑣𝑜𝑜𝑝 = ∑ (𝑣𝑜𝑜𝑝𝑑 + 𝑣𝑜𝑝𝑑 + 𝑣𝑝𝑑 + 𝑣𝑟𝑝𝑑 + 𝑣𝑟𝑒𝑝𝑑)𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝑆 (354)
𝑡𝑣𝑜𝑜𝑞 = ∑ (𝑣𝑜𝑜𝑞𝑑 + 𝑣𝑜𝑞𝑑 + 𝑣𝑞𝑑 + 𝑣𝑟𝑞𝑑 + 𝑣𝑟𝑒𝑞𝑑)𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝑆 (355)
𝑡𝑣𝑜𝑜𝑙 = ∑ (𝑣𝑜𝑜𝑝𝑑 + 𝑣𝑜𝑝𝑑 + 𝑣𝑝𝑑 + 𝑣𝑟𝑝𝑑 + 𝑣𝑟𝑒𝑝𝑑)𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝑆 (356)
𝑡𝑠𝑒𝑟𝑝 = ∑ (𝑝𝑟𝑜𝑙𝑟𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖(𝑓𝑖𝑚𝑟𝑟 − 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑑))𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝑆 (357)
𝑡𝑠𝑒𝑟𝑞 = ∑ (𝑝𝑟𝑜𝑙𝑟𝑦𝑞𝑟𝑒𝑞𝑟𝑖(𝑓𝑖𝑚𝑟𝑟 − 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑑))𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝑆 (358)
𝑡𝑠𝑒𝑟𝑙 = ∑ (𝑝𝑟𝑜𝑙𝑟𝑦𝑙𝑟𝑒𝑙𝑟𝑖(𝑓𝑖𝑚𝑟𝑟 − 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑑))𝐷𝑑=1 𝑑 ⊂ 𝑆 (359)
55
𝑝𝑟𝑜𝑙𝑟𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖(𝑓𝑖𝑚𝑟𝑟 − 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑑 + 36) {≥ 0 ⇒ 𝑑𝑒𝑠𝑝 = 𝑝𝑟𝑜𝑙𝑟𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖(𝑓𝑖𝑚𝑟𝑟 − 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑑 + 36)
< 0 ⇒ 𝑑𝑒𝑠𝑝 = 0 (360)
𝑝𝑟𝑜𝑙𝑟𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖(𝑓𝑖𝑚𝑟𝑟 − 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑑 + 36) {≥ 0 ⇒ 𝑑𝑒𝑠𝑝 = 𝑝𝑟𝑜𝑙𝑟𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖(𝑓𝑖𝑚𝑟𝑟 − 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑑 + 36)
< 0 ⇒ 𝑑𝑒𝑠𝑝 = 0 (361)
𝑝𝑟𝑜𝑙𝑟𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖(𝑓𝑖𝑚𝑟𝑟 − 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑑 + 36) {≥ 0 ⇒ 𝑑𝑒𝑠𝑝 = 𝑝𝑟𝑜𝑙𝑟𝑦𝑝𝑟𝑒𝑝𝑟𝑖(𝑓𝑖𝑚𝑟𝑟 − 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑑 + 36)
< 0 ⇒ 𝑑𝑒𝑠𝑝 = 0 (362)
Estes grupos de restrições similarmente aos do primeiro modelo têm precisamente as mesmas
características, assim como as funções objetivo, que se mantém. Para a sua aplicação foi definida
uma companhia aérea de referência com base sediada em Portugal.
5.2 Definição da companhia aérea de referência
Um dos principais objetivos com este estudo de caso é torná-lo o mais real possível, para que os
resultados sejam, também eles, os mais fidedignos. Desta forma, a determinação das suas
características foi efetuada a partir de valores de uma companhia aérea portuguesa.
Em termos de dimensão a companhia aérea de referência é cerca de 80 vezes menor que a
companhia aérea portuguesa que serviu como protótipo, uma vez que as dimensões e o número de
dados são bastante avultados. A Tabela 5.1 permite a comparação entre estas duas companhias
aéreas.
Tabela 5.1 – Características de uma companhia aérea portuguesa versus companhia aérea de referência
Companhia aérea portuguesa Companhia aérea de
referência
Número de tripulantes de voo 939 6 pilotos; 6 copilotos
Número de tripulantes de cabina 2588 181
Número de aviões 80 1
Tipos de aviões 7 1
Capacidade por tipo de avião [passageiros] 274; 263; 200; 162; 132; 106; 70 132
Número de tripulantes de voo necessários por tipo
de avião 1 piloto2; 1 copiloto2 1 piloto; 1 copiloto
Número de tripulantes de cabina necessários por
tipo de avião 6; 6; 4; 4; 3; 3; 2 3
1 Visto que a companhia aérea de referência é cerca 80 vezes menor que a companhia aérea portuguesa e que apenas
existe um avião que necessita de 3 tripulantes de cabina, considerando a capacidade de passageiros que pode transportar, o
número de tripulantes de cabina utilizado é 18 ao invés dos 33.
2 Dos 7 tipos de aviões disponíveis na frota, o número de tripulantes de voo necessários são 1 piloto e 1 copiloto para todos.
5.3 Parâmetros para o modelo utilizado no IBM ILOG CPLEX Optimization Studio
Para além dos parâmetros definidos anteriormente é ainda necessário estipular os dados e os
parâmetros característicos para o modelo utilizado no software.
56
5.3.1 Parâmetros temporais
Para a execução deste modelo optou-se por converter todas as unidades de tempo em minutos de
forma a simplificar e a evitar quaisquer conflitos. Assim sendo, a Tabela 5.2 sintetiza todos os
parâmetros na qual se pode constatar a sua designação, o seu valor e definição.
Tabela 5.2 – Valores atribuídos aos parâmetros temporais
Parâmetro Valor [min] Definição
minTotais 10800 Minutos correspondentes a uma semana
descansoEntreRotas 2160 Minutos necessários de repouso após dois voos noturnos
seguidos
maxVooSemanal 3300 Minutos máximos de voo que os tripulantes podem efetuar
inicioProximaSemana 10080 Minuto exato que inicia a semana seguinte
5.3.2 Parâmetros de valor extra
Para além do salário base que os tripulantes recebem é bastante comum em algumas companhias
aéreas receberem um valor extra por hora voada. Assim sendo, na companhia aérea de referência
todos os tripulantes recebem um valor extra por minuto voado, visto que todo o modelo está convertido
em minutos. Estes valores são assumidos e são diferentes consoante o tipo de tripulante e as suas
responsabilidades. Deste modo, o valor extra recebido pelos pilotos é superior ao recebido pelos
copilotos e tripulantes de cabina e o valor extra recebido pelos copilotos é também ele superior aos
dos tripulantes de cabina.
Tabela 5.3 – Valores extra atribuídos a cada tripulante pelos minutos voados
Parâmetro Valor [€/min] Definição
extraPiloto 1.40 Valor extra recebido pelo piloto por cada minuto voado
extraCopiloto 0.70 Valor extra recebido pelo copiloto por cada minuto voado
extraTCabina 0.35 Valor extra recebido pelo tripulante de cabina por cada minuto
voado
5.3.3 Parâmetros dos PSV
Para que os tripulantes sejam adequadamente atribuídos aos PSV é necessário o conhecimento de
algumas características e dados atempadamente, Tabela 5.4. Estes dados, retirados de um website,
são de uma companhia aérea portuguesa e de apenas um tipo de avião específico, o Airbus A319-
111 com piloto automático (𝑝𝑎𝑖
= 1).
5.3.4 Dados de entrada
Como dados de entrada é necessário estipular para todos os tripulantes o número de minutos de
descanso ainda por realizar e se algum dos voos realizados na semana anterior se prolongou para a
semana simulada. Assim sendo, foram assumidos os valores representados na Tabela 5.5.
57
Tabela 5.4 – Parâmetros e características dos PSV (horas)
PSV Início do PSV (hora local)
Fim do PSV (hora local)
Duração do PSV
Partida Chegada Hora local da partida
Hora local da chegada
Duração dos voos
Tipo de PSV
r inicioR fimR duracaoRota cidadePartida cidadeChegada duracaoVoos tipoR
1 12:05 21:50 10:15
Verona (VRN) Lisboa (LIS) 12:35 12:38
07:51 normal Lisboa (LIS) Munique (MUC) 14:55 18:55
Munique (MUC) Lisboa (LIS) 19:40 21:50
2 07:00 23:45 16:15
Lisboa (LIS) Veneza (VCE) 07:30 11:25
11:32 noturno
Veneza (VCE) Lisboa (LIS) 12:15 14:20
Lisboa (LIS) Londres (LHR) 15:05 17:45
Londres (LHR) Lisboa (LIS) 18:45 21:20
Lisboa (LIS) Faro (FAO) 23:05 23:45
3 05:35 22:20 15:15
Faro (FAO) Lisboa (LIS) 06:05 06:50
08:26 noturno Lisboa (LIS) Roma (FCO) 09:00 12:50
Roma (FCO) Lisboa (LIS) 13:35 15:40
Lisboa (LIS) Frankfurt (FRA) 18:10 22:20
4 05:45 23:00 17:45
Frankfurt (FRA) Lisboa (LIS) 06:15 08:25
09:55 noturno
Lisboa (LIS) Zurique (ZRH) 09:20 13:05
Zurique (ZRH) Lisboa (LIS) 13:55 15:45
Lisboa (LIS) Madrid (MAD) 17:15 19:30
Madrid (MAD) Lisboa (LIS) 20:15 20:30
Lisboa (LIS) Porto (OPO) 22:00 23:00
5 06:00 22:05 15:35
Porto (OPO) Lisboa (LIS) 06:30 07:30
09:59 normal
Lisboa (LIS) Frankfurt (FRA) 08:25 12:35
Frankfurt (FRA) Lisboa (LIS) 13:25 15:35
Lisboa (LIS) Paris (ORY) 16:25 19:50
Paris (ORY) Lisboa (LIS) 20:40 22:05
6 07:15 20:50 13:05
Lisboa (LIS) Funchal (FNC) 07:45 09:30
07:32 normal Funchal (FNC) Lisboa (LIS) 10:15 11:30
Lisboa (LIS) Luxemburgo (LUX) 14:40 18:20
Luxemburgo (LUX) Lisboa (LIS) 19:05 20:50
7 12:00 23:20 09:50
Lisboa (LIS) Paris (ORY) 12:30 15:55
07:09 normal Paris (ORY) Lisboa (LIS) 16:40 18:05
Lisboa (LIS) Munique (MUC) 19:20 23:20
58
Tabela 5.5 – Valores de entrada
Parâmetro P = {1,…,6} Q = {1,…,6} L = {1,…,18}
cumulDescansoP 0 - -
cumulDescansoQ - 0 -
cumulDescansoT - - 0
cumulDescansoPi Falso - -
cumulDescansoQi - Falso -
cumulDescansoTi - - Falso
cumulVooP 0 - -
cumulVooQ - 0 -
cumulVooT - - 0
5.4 Aplicação do modelo de otimização
Para executar o modelo, utilizou-se o software IBM ILOG CPLEX Optimization Studio, uma vez que
este fornece a solução ótima. Outra vantagem da sua utilização reside no facto de ser utilizado por uma
vasta comunidade, o que contribui para o seu desenvolvimento e melhoramento. Assim sendo, é
possível ter acesso a um vasto leque de tutoriais, exemplos e respostas a questões. Para além deste
material é ainda possível consultar o manual do próprio software e exemplos de outros problemas, o
que permite compreender mais facilmente a linguagem utilizada.
Deste modo, o modelo matemático apresentado na secção 5.1 foi programado na linguagem
reconhecida pelo software. E embora o modelo tenha características multiobjetivas, dadas as
limitações do software foi imprescindível transformar em apenas uma função objetivo. Deste modo, a
junção das três funções objetivo deu origem a uma função semelhante à representada como (363)
onde cada 𝜇 representa um coeficiente pelo qual cada função objetivo é valorizada.
𝑓 = 𝑚𝑖𝑛 (𝜇1𝑧1(𝑥) + 𝜇2𝑧2(𝑥) + 𝜇3𝑧3(𝑥)) (363)
De forma a construir a curva de Pareto através dos valores de cada função objetivo, o valor dos
coeficientes foi-se alterando, ou seja, inicialmente 𝜇1 = 1 , 𝜇2 = 0 e 𝜇3 = 0, variando o primeiro
coeficiente 0.1 e os restantes dois em igual valor de forma a que a sua soma fosse sempre igual a
um. De seguida foi feita a mesma abordagem para 𝜇2 e mais tarde para 𝜇3.
5.5 Análise dos resultados
Depois de executado o modelo para os diferentes valores dos coeficientes, foram obtidas as soluções
da Figura 5.1. Nesta figura estão representados três grupos de pontos de cores distintas, vermelho,
cinzento e azul, para além do ponto preto que ilustra meramente o ponto de origem (0,0,0) como
referência gráfica. Deste modo, a vermelho estão representados os pontos em que na execução do
modelo o primeiro coeficiente, inicialmente, assume o valor mais elevado comparativamente aos dois
restantes e vai decrescendo decimalmente, o mesmo acontece com os pontos a cinzento para o
segundo coeficiente e os pontos a azul para o terceiro coeficiente. Após a execução do modelo para
os diferentes valores dos coeficientes e através do segundo gráfico da Figura 5.1 conclui-se que não
existe uma grande disparidade nas soluções encontradas. Com o primeiro gráfico da Figura 5.1 é
59
possível visualizar a localização onde os três alinhamentos de pontos são mais próximos e
compreender que quando são atribuídos coeficientes mais elevado à primeira função objetivo, as
soluções são também elas mais elevadas, isto quando os valores dos coeficientes são todos eles
diferentes de zero. Os restantes gráficos fornecem diferentes perspetivas permitindo constatar a
discrepância entre os pontos.
[€/min]
Figura 5.1 – Conjunto de soluções encontradas
Ponto de origem 1º coeficiente mais elevado 2º coeficiente mais elevado 3º coeficiente mais elevado
[min]
[min]
[min]
[min]
[min]
[min]
[min]
[min]
[min]
[min]
[min]
[€/min]
[€/min]
[€/min]
[€/min]
[€/min]
[€/min]
60
É importante salientar que os pontos representam a solução ótima, tendo em conta o cumprimento
de todas as restrições e o valor que cada função objetivo tem através do seu coeficiente. Assim sendo,
os pontos apresentados na Figura 5.2 delimitam a curva de Pareto, uma vez que constituem o
conjunto de soluções não dominadas na minimização das funções objetivo. Uma solução não
dominada caracteriza-se por, no espaço de procura Z, não existir uma outra solução viável que melhor
simultaneamente todos os objetivos. Uma solução não dominada pode também ser designada de
solução eficiente, ótima de Pareto ou não inferior.
Análise das soluções não dominadas
De todos os resultados obtidos, é importante analisar com maior detalhe as soluções não
dominadas – Figura 5.2 – visto representarem os valores mínimos obtidos para as funções objetivo.
Estes pontos encontram-se caraterizados nas Tabelas 5.6, 5.7 e Anexo D.
z2
[min]
Figura 5.2 – Soluções não dominadas
[€/min]
[€/min]
[€/min]
[€/min]
[€/min]
[€/min]
[min]
[min]
[min]
[min]
[min]
[min]
[min]
[min]
[min]
[min]
[min] z2
61
Tabela 5.6 – Caracterização das soluções não dominadas
Tabela 5.7 – Caracterização das soluções não dominadas (continuação)
Como referido anteriormente, no início da secção 5.1 e pelo facto do modelo inicial ser bastante
pormenorizado optou-se por selecionar algumas restrições para o estudo de caso. Assim, para obter
os resultados das tabelas anteriores, foi necessário adaptar a linguagem matemática do caso para a
linguagem do software sem que o seu significado fosse alterado. Deste modo, foi possível ao modelo
selecionar os tripulantes por forma a atingir as soluções ótimas, consoante os valores dos coeficientes
e todas as restrições impostas.
Através da Tabela 5.6, que representa os dezanove pontos não dominados e da frente de Pareto,
é possível concluir numa análise inicial, que o ponto denominado como “ponto 1” atinge o valor de z
mais baixo. Isto porque o coeficiente da primeira função tem como valor um e os restantes tem valor
nulo, significa isto que o modelo apenas se preocupa em atribuir o mínimo de tripulantes necessários
para respeitar as primeiras três restrições, e neste caso o valor de z é apenas calculado pelo
custo/minuto dos minutos voados.
O mesmo não acontece com o “ponto 19”, que dos pontos não dominados é o que possui um valor
de z mais elevado. Isto deve-se ao facto da dificuldade do modelo realizar a atribuição dos tripulantes,
minimizando de modo muito semelhante os custos/minuto do tempo voado, a diferença de minutos
voados entre tripulantes e ainda a diferença de minutos de serviço efetuados, uma vez que os
coeficientes têm valores muito aproximados.
Ponto 𝝁𝟏 𝝁𝟐 𝝁𝟑 z1 [€/min] z2 [min] z3 [min] z
1 1 0 0 11793,60 0 0 11793,60
2 0,30 0,35 0,35 10614,24 3931,2 6394,5 20939,94
3 0,20 0,40 0,40 7076,16 4492,80 7308,00 18876,96
4 0,10 0,45 0,45 3538,08 5054,40 8221,50 16813,98
5 0,05 0,475 0,475 1769,04 5335,20 8678,25 15782,49
6 0,025 0,95 0,025 884,52 10670,40 456,75 12011,67
7 0,05 0,90 0,05 1769,04 10108,80 913,50 12791,34
8 0,20 0,80 0,20 3538,08 8985,60 1827,00 14350,68
9 0,15 0,70 0,15 5307,12 7862,40 2740,50 15910,02
10 0,20 0,60 0,20 7076,16 6739,20 3654,00 17469,36
11 0,25 0,50 0,25 8845,20 5616,00 4557,50 19018,70
12 0,30 0,40 0,30 10614,24 4492,80 5481,00 20588,04
13 0 0 1 0 0 20900,00 20900,00
14 0,05 0,05 0,90 1769,04 561,60 16443,00 18773,64
15 0,10 0,10 0,80 3538,08 1123,20 12789,00 17450,28
16 0,15 0,15 0,70 5307,12 1684,80 12747,00 19738,92
17 0,20 0,20 0,60 7076,16 2246,40 10962,00 20284,56
18 0,25 0,25 0,50 8845,20 2808,00 9135,00 20788,20
19 0,30 0,30 0,40 10614,24 3369,60 7308,00 21291,84
Ponto 𝒄𝒖𝒎𝒖𝒍𝑽𝒐𝒐𝑷
p = {1,…,6 }[min]
𝒄𝒖𝒎𝒖𝒍𝑽𝒐𝒐𝑸
q = {1,…,6} [min]
𝒄𝒖𝒎𝒖𝒍𝑽𝒐𝒐𝑻
t = {1,…,18} [min]
𝒄𝒖𝒎𝒖𝒍𝑫𝒆𝒔𝒄𝒂𝒏𝒔𝒐𝑷
p = {1,…,6} [min]
𝒄𝒖𝒎𝒖𝒍𝑫𝒆𝒔𝒄𝒂𝒏𝒔𝒐𝑸
q = {1,…,6} [min]
1,…,19 [0,0,0,0,0,0] [0,0,0,0,0,0] [0,0,0,0,0,0,0,0,0, 0,0,0,0,0,0,0,0,0]
[0,0,0,0,0,0] [0,0,0,0,0,0]
𝒄𝒖𝒎𝒖𝒍𝑫𝒆𝒔𝒄𝒂𝒏𝒔𝒐𝑻
t = {1,…,18} [min]
𝒄𝒖𝒎𝒖𝒍𝑫𝒆𝒔𝒄𝒂𝒏𝒔𝒐𝑷𝒊
p = {1,…,6}
𝒄𝒖𝒎𝒖𝒍𝑫𝒆𝒔𝒄𝒂𝒏𝒔𝒐𝑸𝒊
q = {1,…,6}
𝒄𝒖𝒎𝒖𝒍𝑫𝒆𝒔𝒄𝒂𝒏𝒔𝒐𝑻𝒊
t = {1,…,18}
1,…,19 [0,0,0,0,0,0,0,0,0, 0,0,0,0,0,0,0,0,0]
[F, F, F, F, F, F] [F, F, F, F, F, F] [F, F, F, F, F, F, F, F, F,
F, F, F, F, F, F, F, F, F]
F – Falso V – Verdadeiro
62
Analisando mais detalhadamente os resultados obtidos, percebe-se que quanto mais elevados
forem os coeficientes das diferenças, ou seja, que quanto mais se querem os minutos voados pelos
tripulantes similares e quanto maior for a proximidade em termos de valor entre os coeficientes mais
elevados são os valores finais de z. Contudo, no que diz respeito ao objetivo referente à minimização
dos custos tem o valor mais elevado no “ponto 1” e mais baixo no “ponto 13”.
A Tabela 5.7 permite visualizar se os tripulantes realizaram prolongamentos de voos, os quais
seriam contabilizados na próxima semana a simular. Neste caso em particular, o valor zero presente
em todos os tripulantes permite concluir que todos os voos terminaram na semana em que foram
iniciados não havendo, portanto, voos que transitaram de uma semana para a outra. Como forma de
confirmar pode-se visualizar a Tabela 5.4, onde se encontram todas as caraterísticas dos PSV. Neste
caso, o último voo do último PSV realizou-se entre Lisboa (LIS) e Munique (MUC) e terminou às
23:20h não havendo necessidade de acumular minutos de voo para a semana seguinte. O mesmo
acontece com os minutos de descanso obrigatórios para o caso dos voos noturnos visto que, os
últimos voos foram realizados em horas diurnas e não noturnas. Daí os valores das variáveis
𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝐷𝑒𝑠𝑐𝑎𝑛𝑠𝑜𝑃𝑖, 𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝐷𝑒𝑠𝑐𝑎𝑛𝑠𝑜𝑄𝑖 e 𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝐷𝑒𝑠𝑐𝑎𝑛𝑠𝑜𝑇𝑖 sejam “Falso”.
Por último, é relevante analisar os dados do Anexo D uma vez que são os resultados às atribuições
e é através destas, que se constroem as escalas de trabalho semanais. É possível observar que o
“ponto 1” comparativamente aos restantes é bastante diferente, pois neste caso o que tem mais valor
para o modelo é minimizar os custos, deste modo atribui apenas um piloto, um copiloto e três
tripulantes de cabina visto serem os mínimos exigidos. Relativamente à escolha dos tripulantes é
indiferente, uma vez que não é necessário que trabalhem e voem a mesma quantidade de minutos.
Por outro lado, quando os valores das restantes funções objetivo acrescem, o modelo opta por
selecionar os tripulantes em equipas de 3, no caso dos pilotos e copilotos e em 9 no caso dos
tripulantes de cabina. Isto porque o modelo é pressionado para que o número de horas de voo e de
serviço seja o mais similar possível entre os tripulantes do mesmo género. Se se analisar com maior
detalhe o “ponto 2” e se se calcular o número de horas de voo que o piloto 1, 3 e 5 realizam
comparativamente aos pilotos 2, 4 e 6, conclui-se que o número de horas voadas pelos primeiros é
cerca de 36 horas e 31 minutos enquanto que os segundos voam 25 horas e 53 minutos. No que
respeita a horas de serviço, os primeiros efetuam cerca de 51 horas e 55 minutos enquanto que os
segundos efetuam apenas 46 horas e 5 minutos. De facto, para a similaridade entre os valores dos
coeficientes era de esperar que o número de horas voadas e de serviço fosse mais aproximada, no
entanto há que ressalvar que a atribuição é dificultada devido às poucas opções de escolha. Era
também expectável que a atribuição dos copilotos fosse semelhante às dos pilotos por terem as
mesmas exigências e o mesmo número de tripulantes, contudo isso não se verifica. Por exemplo, os
copilotos 1, 3 e 5 voam cerca de 18 horas e 21 minutos enquanto que os copilotos 2, 4 e 6 voam
cerca de 44 horas e 3 minutos e em termos de horas de serviço o primeiro grupo efetua 33 horas
enquanto que o segundo realiza 65 horas. Outro ponto que se destaca dos restantes é o “ponto 13”,
uma vez que se distingue pelas distribuições de tripulantes efetuadas Neste caso, o modelo não opta
por conjugar os tripulantes em equipas, mas aloca-os por forma a que o número de horas de serviço
seja o mais similar possível, pois é apenas este fator que lhe interessa, 𝜇3 = 1 – Tabela 5.6. Neste
63
caso o piloto e o copiloto 1, 3, 4, 6 efetuam 69 horas e 40 minutos de serviço, o piloto e o copiloto 2 e
5 efetuam 69 horas e 40 minutos. Como se pode constatar os valores são mais uniformes quando se
pretende apenas minimizar apenas as horas de serviço. E o mesmo acontece para os tripulantes de
cabina 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 que efetuam aproximadamente 21 horas e 5 minutos, os tripulantes
de cabina 4, 6, 10, 12, 16 e 18 efetuam 48 horas e 35 minutos, o tripulante 2 efetua 48 horas e 35
minutos, o tripulante 8 efetua 48 horas e 35 minutos e por ultimo o tripulante 14 efetua 48 horas e 35
minutos.
5.6 Análise de cenários
Após a análise anterior tornou-se relevante compreender como seriam afetados os resultados fazendo
pequenas alterações nos dados. Para o primeiro cenário foram reduzidos em 50% o número de
tripulantes e posteriormente, no segundo cenário foram aumentados em 50% o número inicial de
tripulantes. Como último cenário e mantendo o número inicial de tripulantes foi, apenas, alterado o
último PSV.
5.6.1 Análise das soluções não dominadas para o cenário 1
Para realizar a análise das soluções, o número de tripulantes assim como todos os dados
dependentes deste, sofreram alterações. Para este cenário, o número de pilotos e copilotos passou
de seis para três elementos e o número de tripulantes de cabina foi alterado de dezoito para nove.
Assim sendo, a Figura 5.3 demostra os resultados não dominados da aplicação do modelo
reformulado.
Esta figura à semelhança da anterior contém seis gráficos. O primeiro representa todas as
soluções não dominadas com os pontos coloridos consoante a cor representativa do coeficiente mais
elevado numa primeira fase e nas restantes imagens pretende-se facilitar a observação das soluções
fornecendo perspetivas diferentes. Em todos os gráficos, o ponto preto (0, 0, 0) apenas está
representado como ponto de referência gráfica. Comparativamente aos gráficos da Figura 5.2 pode-
se constatar que a distribuição dos pontos é semelhante, porém o intervalo de variação em z1 é
significativamente mais baixo, o que faz com que a solução final seja também inferior. Contudo, no
que diz respeito ao objetivo referente à minimização dos custos tem o valor mais elevado novamente
no “ponto 1” e mais baixo no “ponto 22”.
Nas Tabelas 5.8 e 5.9 é possível visualizar a distribuição dos coeficientes, o valor de cada função
objetivo e a soma das três para cada ponto não dominado. De todos os pontos não dominados, a
solução que atinge o melhor valor é novamente o “ponto 1”, uma vez que o único objetivo do modelo
é minimizar os custos não se preocupando, portanto, como a conjunção dos tripulantes ao voo de
forma a que o tempo de voo e de serviço seja o mais similar possível. Este valor comparativamente
ao do modelo inicial torna-se igual visto que o número de tripulantes atribuídos é o mesmo para os
sete PSV, assim como os valores recebidos pelos tripulantes pelos minutos voados. Significa isto,
que apesar do número de tripulantes ter sido reduzido em 50% as horas de voo efetuadas por
tripulante são superiores, cumprindo todas as restrições impostas. Assim sendo o número de horas
voadas pelos piloto e copiloto 1 é de 32 horas e 31 minutos, pelos pilotos e copilotos 2 cerca de 18
64
horas e 21 minutos e para o piloto e copiloto 3 é de 11 horas e 32 minutos. Os tripulantes de cabina
de um a nove voam respetivamente 32 horas e 27 minutos, 22 horas e 32 minutos, 32 horas e 31
minutos, 9 horas e 59 minutos, 21 horas e 31 minutos, 18 horas e 21 minutos, 18horas e 21 minutos,
11 horas e 32 minutos e por último, o tripulante de cabina 9 voa 19 horas e 58 minutos. Por outro
lado, o valor mais elevado de z é o do “ponto 22” caracterizado por possuir o coeficiente de z3 mais
elevado. Este ponto, comparativamente ao ponto com maior valor do modelo inicial tem uma diferença
de 391,84 pontos, o que representa uma redução de cerca de 2%. Relativamente à atribuição dos
tripulantes para as escalas de trabalho, como se pode constatar pela Tabela 5.9 todos os pontos não
dominados têm a mesma conjugação de tripulantes à exceção do “ponto 1”. Assim sendo os pilotos
e copilotos 1 e 3 completam 8 horas e 26 minutos de voo e 15 horas e 45 minutos de serviço enquanto
que o piloto e copiloto 2 efetuam 53 horas e 58 minutos de voo e 82 horas e 45 minutos de serviço.
Por fim, à semelhança do verificado nas soluções iniciais, também não existe nenhum tipo de
prolongamento.
[min]
[min]
[min]
[min]
[min]
[min]
[min]
[min]
[€/min]
[€/min]
[€/min]
[€/min]
Figura 5.3 – Soluções versus soluções não dominadas (cenário 1)
[min]
[min]
[min]
[min] [€/min]
[€/min]
65
Tabela 5.8 – Caracterização das soluções não dominadas para o cenário 1
Ponto 𝝁𝟏 𝝁𝟐 𝝁𝟑 z1 [€/min] z2 [min] z3 [min] z
1 1 0 0 11793,60 0 0 11793,60
2 0,80 0,10 0,10 11475,00 1123,20 1827,00 14425,20
3 0,70 0,15 0,15 10040,60 1684,80 2740,50 14465,90
4 0,60 0,20 0,20 8606,22 2246,40 3654,00 14506,62
5 0,50 0,25 0,25 7171,85 2808,00 4567,50 14547,35
6 0,40 0,30 0,30 5737,48 3369,60 5481,00 14588,08
7 0,30 0,35 0,35 4303,11 3931,20 6394,50 14628,81
8 0,20 0,40 0,40 2868,74 4492,80 7308,00 14669,54
9 0,10 0,45 0,45 1434,37 5054,40 8221,50 14710,27
10 0,05 0,475 0,475 358,592 5335,20 8678,25 14372,04
11 0,025 0,95 0,025 358,59 10670,40 456,75 11485,74
12 0,05 0,90 0,05 717,19 10108,80 913,50 11739,49
13 0,10 0,80 0,10 1434,37 8985,60 1827,00 12246,97
14 0,15 0,70 0,15 2151,55 7862,40 2740,50 12754,55
15 0,20 0,60 0,20 2868,74 6739,20 3654,00 13261,94
16 0,25 0,50 0,25 3585,93 5616,00 4567,50 13769,43
17 0,30 0,40 0,30 4303,11 4492,80 5481,00 14276,91
18 0,35 0,30 0,35 5020,30 3369,60 6394,50 14784,40
19 0,40 0,20 0,40 5737,48 2246,40 7308,00 15291,88
20 0,45 0,10 0,45 6454,67 1123,20 8221,50 15799,37
21 0,475 0,05 0,475 6813,26 561,60 8678,25 16053,11
22 - - 1,00 0 0 20900,00 20900,00
23 0,05 0,05 0,90 717,19 561,60 16443,00 17721,79
24 0,10 0,10 0,80 1434,37 1123,20 14616,00 17173,57
25 0,15 0,15 0,70 2151,56 1684,80 12789,00 16625,36
26 0,20 0,20 0,60 2868,74 2246,40 10962,00 16077,14
27 0,25 0,25 0,50 3585,29 2808,00 9135,00 15528,29
28 0,30 0,30 0,40 4303,11 3369,60 7308,00 14980,71
29 0,35 0,35 0,30 5020,30 3931,20 5481,00 14432,50
30 0,40 0,40 0,20 5737,48 4492,80 3654,00 13884,28
31 0,45 0,45 0,10 6454,67 5054,40 1827,00 13336,07
32 0,475 0,475 0,05 6813,26 5335,20 913,50 13061,96
Tabela 5.9 – Caracterização das soluções não dominadas para o cenário 1 (continuação)
Ponto PSV Pilotos atribuídos Copilotos atribuídos Tripulantes de cabina atribuídos
1
1 1 1 1, 2, 3
2 3 3 5, 8, 9
3 2 2 6, 7, 9
4 2 2 1, 6, 7
5 1 1 3, 4, 5
6 1 1 1, 2, 3
7 1 1 1, 2, 3
[2,…,32]
1 2 2 2, 4, 6, 8
2 2 2 5, 8, 9
3 1, 3 1, 3 1, 3, 5, 7, 9
4 2 2 2, 4, 6, 8
5 2 2 2, 4, 6, 8
6 2 2 2, 4, 6, 8
7 2 2 2, 4, 6, 8
66
5.6.2 Análise das soluções não dominadas para o cenário 2
Para o segundo cenário, o número de pilotos e copilotos passou a nove elementos e o número de
tripulantes de cabina foi alterado para vinte e sete. Deste modo, a Figura 5.4 demostra os resultados
obtidos da aplicação do modelo reformulado.
Esta figura em conformidade com a anterior, contém seis imagens, nas quais estão representadas
as soluções não dominadas com os pontos coloridos consoante a cor representativa do coeficiente
mais elevado numa primeira fase. Em todas, o ponto preto (0, 0, 0) apenas está representado como
ponto de referência gráfica. Comparativamente às soluções do gráfico da Figura 5.2 pode-se
constatar que a distribuição dos pontos é semelhante, porém o intervalo de variação de z1 é
significativamente mais elevado o que faz com que a solução final seja também superior.
Relativamente às soluções do gráfico da Figura 5.3 a variação de z1 é bastante superior, mas por
Figura 5.4 – Soluções versus soluções não dominadas (cenário 2)
[min]
[min] [min] [min]
[min]
[min]
[min]
[min]
[min]
[min]
[min]
[min]
[€/min]
[€/min]
[€/min]
[€/min] [€/min]
[€/min] z1
z2
67
outro lado a variação do intervalo de z3 decresce, no entanto não decresce o suficiente para que a
solução final decresça ou se mantenha. Contudo, no que diz respeito ao objetivo referente à
minimização dos custos tem o valor mais elevado novamente no “ponto 1” e mais baixo no “ponto 5”.
Nas tabelas seguintes é possível constatar a distribuição dos coeficientes, o valor de cada função
objetivo e solução final para cada ponto não dominado. Dos pontos não dominados, aquele que atinge
um valor mais baixo e por sua vez uma solução melhor é novamente o “ponto 1” pelas mesmas
razões. A única preocupação para este caso é a minimização dos custos não sendo necessário
minimizar a diferença das horas voadas e das horas de serviço. E independentemente de se aumentar
o número de tripulantes ou reduzir, o custo será o mesmo porque o número de PSV continua a ser
sete assim como os valores recebidos pelos tripulantes pelos minutos voados. A única diferença para
este caso relativamente ao cenário anterior é o número de horas voadas por cada tripulante que será
inferior, podendo em alguns casos ser nula como se pode constatar pela Tabela 5.11. Assim sendo,
os pilotos e copilotos 2, 3, 4, 5, 7 e 8 não efetuam qualquer serviço e consequentemente nenhuma
hora de voo, já o piloto e copiloto 1 efetuam 32 horas e 31 minutos de voo e 48 horas e 45 minutos
de serviço. O piloto e copiloto 6 efetuam 18 horas e 21 minutos de voo e 33 horas de serviço e por
último o piloto e copiloto 9 efetuam 11 horas e 32 minutos de voo e 16 horas e 45 minutos de serviço.
Relativamente aos tripulantes de cabina, possuem uma conjugação mais dispersa como se pode
constatar pela Tabela 5.11. Por outro lado, a solução que atinge um valor maior e por sua vez uma
solução pior é o “ponto 13” caracterizado, à semelhança do cenário anterior, por possuir o coeficiente
de z3 mais elevado. Esta solução, comparativamente aos pontos com maior valor do modelo inicial e
do cenário 1 superior cerca de 8% e 10%, respetivamente.
Relativamente à atribuição dos tripulantes para as escalas de trabalho, como se pode constatar
pela Tabela 5.11 todos os pontos não dominados têm a mesma conjugação de tripulantes à exceção
do “ponto 1”. E por fim, à semelhança do verificado nas soluções iniciais e no cenário 1, também não
existe nenhum tipo de prolongamento.
Tabela 5.10 – Caracterização das soluções não dominadas para o cenário 2 Ponto 𝝁𝟏 𝝁𝟐 𝝁𝟑 z1 [€/min] z2 [min] z3 [min] z
1 1 0 0 11793,60 0 0 11793,60
2 0,20 0,40 0,40 9944,00 4492,80 7308 21744,80
3 0,10 0,45 0,45 4972,00 5054,40 8221,50 18247,90
4 0,05 0,475 0,475 2486,00 5335,20 8678,25 16499,45
5 0,025 0,95 0,025 1243,00 10670,40 456,75 12370,15
6 0,05 0,90 0,05 2486,00 10108,80 913,50 13508,30
7 0,10 0,80 0,10 4972,00 8985,60 1827,00 15784,60
8 0,15 0,70 0,15 7458,00 7862,40 2740,50 12754,55
9 0,20 0,60 0,20 9944,00 6739,20 3654,00 20337,20
10 0,05 0,05 0,90 2486,00 561,60 16443,00 19490,60
11 0,10 0,10 0,80 4972,00 1123,20 14616,00 20711,20
12 0,15 0,15 0,70 7458,00 1684,80 12789,00 21931,80
13 0,20 0,20 0,60 9944,00 2246,40 10962,00 23152,40
68
Tabela 5.11 – Caracterização das soluções não dominadas para o cenário 2 (continuação)
5.6.3 Análise das soluções não dominadas para o cenário 3
Para o último cenário foram mantidos o número de tripulantes, no entanto, efetuou-se uma pequena
alteração nas características do último PSV, anteriormente caraterizado na Tabela 5.4. Este cenário
tem como objetivo constatar o funcionamento das variáveis responsáveis pelos prolongamentos das
horas de voo e de serviço quando os voos são realizados no seu todo, ou em parte noutra semana
para além daquela em que teve início. Como tal, de forma a analisar em particular estas variáveis
acrescentou-se ao mesmo PSV o voo Munique (MUC) – Istambul (IST), meramente fictício – Tabela
5.12. O simples facto de o voo terminar na semana seguinte à simulada é de esperar que os
tripulantes atribuídos ao sétimo PSV já possuam horas de serviço para a semana seguinte. Essas
horas, numa próxima simulação, serão inseridas como dados de entrada fazendo com que os limites
semanais de serviço sejam cumpridos. Assim sendo, a Figura 5.4 demostra os resultados obtidos da
aplicação do modelo reformulado.
Tabela 5.12 – Parâmetros e características do PSV alterado para cenário 3 (horas)
Esta figura em conformidade com as anteriores, contém seis gráficos, onde estão representadas
todas as soluções não dominadas. Cada ponto está colorido com a cor que representa o coeficiente
mais elevado como explicado anteriormente. Em todos os gráficos, o ponto preto (0, 0, 0) apenas está
representado como ponto de referência gráfica. Analogamente às soluções dos gráficos anteriores, a
Figura 5.5 possuí uma distribuição de pontos semelhante, porém a única diferença a ressalvar é o
intervalo de variação de z3 que de todos os cenários é mais o elevado. Este facto é justificado pelo
aumento do voo ao último PSV. Contudo, no que diz respeito ao objetivo referente à minimização dos
custos tem o valor mais elevado novamente no “ponto 1” e mais baixo no “ponto 13”.
Ponto PSV Pilotos
atribuídos Copilotos atribuídos Tripulantes de cabina atribuídos
1
1 1 1 1, 2, 3
2 9 9 20, 21, 27
3 6 6 17, 18, 27
4 6 6 1, 17, 18
5 1 1 3, 14, 15
6 1 1 1, 2, 3
7 1 1 1, 2, 3
[2,..,13]
1 2, 4, 6, 8 2, 4, 6, 8 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26 2 2, 4, 6, 8 2, 4, 6, 8 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26 3 1, 3, 5, 9 1, 3, 5, 9 1, 3, 5, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27
4 2, 4, 6, 8 2, 4, 6, 8 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26 5 2, 4, 6, 8 2, 4, 6, 8 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26 6 2, 4, 6, 8 2, 4, 6, 8 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26 7 2, 4, 6, 8 2, 4, 6, 8 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26
PSV
Início do PSV (hora
local)
Fim do PSV (hora
local)
Duração do PSV
Partida Chegada Hora
local da partida
Hora local da
chegada
Duração dos voos
Tipo de PSV
7 12:00 04:40 14:40
Lisboa (LIS) Paris (ORY) 12:30 15:55
11:09 Noturno Paris (ORY) Lisboa (LIS) 16:40 18:05
Lisboa (LIS) Munique (MUC) 19:20 23:20
Munique (MUC) Istambul (IST) 23:40 04:40
69
Na Tabela 5.13 é possível constatar a distribuição dos coeficientes, o valor de cada função objetivo
e a solução final para cada ponto não dominado e no Anexo F é possível observar as escalas de
tripulação resultantes das soluções obtidas. Dos pontos da Tabela 5.13 aquele que atinge um valor
mais baixo e consequentemente uma solução melhor continua a ser o “ponto 1”, porém
comparativamente aos pontos mais baixos dos cenários anteriores, é cerca de 4% mais elevado
devido ao acréscimo do voo fictício. Este voo tendo quatro horas aumentou consequentemente os
custos extra em cerca de 756€. Deste modo o piloto e o copiloto 1 voam cerca de 24 horas e 42
minutos efetuando 40 horas e 25 minutos de serviço. Os pilotos e copilotos 2, 3 e 4 não efetuam
nenhum serviço e consequentemente nenhuma hora de voo, no entanto o piloto e copiloto 1 efetuam
36 horas e 31 minutos de voo e 53 horas e 35 minutos de serviço sendo estes tripulantes que efetuam
o sétimo PSV, o piloto e copiloto 5 efetuam 18 horas e 21 minutos de voo e 33 horas de serviço. Por
último, o piloto e copiloto 6 efetuam 11 horas e 32 minutos de voo e 16 horas e 15 minutos de serviço.
Significa isto, que sendo este PSV prolongado, 160 minutos que ainda pertencem ao último PSV
serão realizados na semana seguinte e serão, portanto, contabilizados nessa semana. Para que tal
Figura 5.5 – Soluções não dominadas (cenário 3)
[min]
[€/min]
[min]
[€/min]
[min]
[min]
[€/min] [€/min]
[€/min] [€/min]
[min]
[min] [min]
[min]
[min]
[min]
[min]
[min]
70
aconteça é necessário inserir esses valores nos dados de entrada quando se simular a próxima
semana. Relativamente aos tripulantes de cabina, possuem uma conjugação mais dispersa e aqueles
que foram atribuídos ao último PSV, assim como acontece com a tripulação de voo, terão 160 minutos
de prolongamento, ou seja, a variável 𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑉𝑜𝑜𝑇𝑡 = 160. Um outro aspeto também verificado foi a
mudança de valores da variável 𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝐷𝑒𝑠𝑐𝑎𝑛𝑠𝑜𝑇𝑖𝑡 que tomou o valor “Verdade” para todos os
tripulantes de cabina atribuído a este PSV, isto porque, o tipo de voo devido às horas em que realizou
foi alterado de normal para noturno. O mesmo acontece para todos os tripulantes de voo que foram
atribuídos ao sétimo PSV.
Por outro lado, a solução que atinge um maior valor e por sua vez uma pior solução é o “ponto 19”
caracterizada por possuir uma distribuição de coeficientes muito similar. Esta solução,
comparativamente aos pontos com maior valor do modelo inicial, do cenário 1 e do cenário 2 é
superior cerca de 6%, 8% e inferior cerca de 3%, respetivamente.
Tabela 5.13 – Caracterização das soluções não dominadas para o cenário 3
Ponto 𝝁𝟏 𝝁𝟐 𝝁𝟑 z1 [€/min] z2 [min] z3 [min] z
1 1 0 0 12550 0 0 12550
2 0.30 0.35 0.35 11295 4183 6667 22145
3 0.20 0.40 0.40 7529 4780 7620 19929
4 0.10 0.45 0.45 2214 5976 9525 17715
5 0.05 0.475 0.475 2082 5677 9848 17607
6 0.025 0.95 0.095 941 11354 476 12771
7 0.05 0.90 0.05 1882 10757 953 13592
8 0.10 0.80 0.10 3764 9561 1905 15230
9 0.15 0.70 0.15 5647 8367 2857 16871
10 0.20 0.60 0.20 7529 7171 3810 18510
11 0.25 0.50 0.25 9411 5976 4763 20150
12 0.30 0.40 0.30 11294 4780 5715 21789
13 0 0 1 0 0 22200 22200
14 0.05 0.05 0.90 1882 598 17145 19625
15 0.10 0.10 0.80 3764 1195 15240 20199
16 0.15 0.15 0.70 5647 1792 13335 20774
17 0.20 0.20 0.60 7529 2390 11430 21349
18 0.25 0.25 0.50 9412 2988 9525 21925
19 0.30 0.30 0.40 11294 3586 7620 22500
5.7 Recomendações
Através da adaptação do modelo matemático para o software, foi possível realizar alguns ajustes ao
modelo inicial com o objetivo de o melhorar. Estes ajustes foram sobretudo relacionados com os
prolongamentos das horas de voo, das horas de serviço e com o descanso obrigatório após dois PSV
noturnos. Inicialmente estes períodos de tempo não estavam comtemplados no modelo o que fazia
com que as respetivas horas dos prolongamentos não fossem contabilizadas. Assim sendo, o último
modelo formulado, o presente na dissertação de mestrado é tido como melhor ao inicialmente
construído. Porém, o modelo formulado embora tenha as restrições estipuladas por lei no que refere
a limites do tempo de voo, do número de serviços consecutivos por tipo e subtipo de voo, número de
dias de trabalho de folga, número mínimo de tripulantes, entre outros, apenas está construído para
satisfazer PSV de curta duração, ou seja, PSV que tenham início do dia d e terminem no máximo no
dia d+1. Como forma de simplificar as questões temporais no software foram utilizados, para a
obtenção dos resultados, minutos absolutos. Isto é, a semana simulada teve início no minuto zero e
71
o primeiro PSV teve início no minuto 725 que corresponde às 12 horas e 5 minutos – Tabela 5.4 – e
o mesmo para os restantes PSV. Relativamente aos dias, a lógica manteve-se, o primeiro dia
começou no minuto zero, o segundo dia começou 24 horas após o primeiro, o que corresponde ao
minuto 1440 e assim sucessivamente.
É importante salientar que para o desenvolvimento do estudo de caso a companhia aérea de
referência é hipotética, uma vez que os valores utilizados podem não ser os oficiais da companhia
aérea portuguesa tida como exemplo, e para além disso os valores utilizados são cerca de 80 vezes
menores. O mesmo acontece para os valores extra referidos no cálculo dos custos, são valores
médios de uma companhia aérea, no entanto não são os oficiais.
5.8 Conclusões do capítulo
O capítulo consistiu na aplicação de um estudo de caso a uma companhia aérea de referência, com
base aérea em Portugal e representa apenas uma parte do modelo de otimização multiobjetivo inicial
devido à sua complexidade. O número elevado de restrições do modelo inicial torna-o complexo, daí
que para o estudo de caso apesar dos objetivos serem os mesmos e os dois tipos de PSV, normal e
noturno, não são contemplados os subtipos, tornando-o, portanto mais simples.
Relativamente à definição dos dados de entrada e dos parâmetros, foram utilizados valores médios
de uma companhia aérea, também ela com base aérea situada em Portugal. Porém, devido às
dimensões desta companhia que foi tomada meramente como exemplo e ao número de dados
existentes, a companhia aérea de referência é cerca de 80 vezes menor.
No que diz respeito ao software, devido às suas caraterísticas, foi necessário alterar o modelo de
otimização multiobjetivo para apenas um objetivo. Este passa, portanto, a uma função composta pelos
três objetivos do modelo, tendo cada um deles associado um coeficiente. Outro assunto relativo ao
software tem a ver com a transformação do modelo matemático do estudo de caso para a linguagem
do CPLEX o qual permitiu melhorar tanto o modelo matemático como o modelo multiobjetivo inicial.
Estes melhoramentos permitiram com que todas as horas de voo e de serviço fossem contabilizadas
mesmo que não se concluíssem no dia que tiveram início.
E no que diz respeito obtenção dos resultados e posterior análise, os coeficientes associados a cada
função objetivo foram variados decimalmente. Há que ressalvar que todos os resultados obtidos são
soluções ótimas, que têm em conta o cumprimento de todas as restrições e o valor dado ao coeficiente
de cada função objetivo. Com o objetivo de analisar o impacto nos resultados foram analisados três
cenários, os dois primeiros consistiram em alterar o número de tripulantes em -50% e +50% e o último
em alterar as características do último voo PSV. Obtidos os valores deu-se maior ênfase aos resultados
não dominados, visto serem os mínimos obtidos e com esta análise de resultados é possível concluir
que dos três primeiros cenários e dos resultados iniciais, obtém-se melhores valores na minimização
dos objetivos, quando o número de tripulantes é reduzido para metade. Relativamente ao PSV alterado
(cenário 3) permitiu verificar a eficiência do modelo através dos resultados obtidos.
72
6. CONCLUSÕES
Devido às grandes instabilidades sofridas na indústria da aviação civil ao longo dos últimos anos, as
companhias aéreas pretendem otimizar os processos de planeamento, secção 2.2. Para tal e como
se tem vindo a constatar, a utilização de modelos multiobjetivos capazes de apoiar as decisões das
companhias aéreas são um método recorrente. Contudo por motivos de dimensão e complexidade
dos processos de planeamento, estudou-se e desenvolveu-se apenas um modelo para o processo de
planeamento da tripulação. Assim, para esta dissertação de mestrado, o modelo de otimização
multiobjetivo compreendeu três objetivos conflituantes: a minimização dos custos operacionais, a
minimização da diferença de horas voadas por tipo de tripulação e a minimização da diferença das
horas de serviço por tipo de tripulação, capítulo 4.
Com base na revisão bibliográfica foram analisados vários estudos que abordaram o planeamento
da tripulação, tanto para tripulação aérea como para outros exemplos similares, como é o caso da
atribuição de staff de assistência médica ou outros meios de transporte, capítulo 3. Desta análise e da
Tabela 3.1 é possível concluir que as abordagens heurísticas são as mais frequentemente utilizadas
devido em grande parte às dimensões dos problemas. Através desta revisão foi possível formular o
modelo de otimização multiobjetivo presente no capítulo 4, que serviu de base ao estudo de caso
presente no capítulo seguinte.
Deste modo, para aplicar o modelo do estudo de caso foi necessário definir uma companhia aérea
de referência em que os seus atributos foram definidos pelos valores de uma companhia aérea com
base em Portugal. Depois de estabelecidas as dimensões da companhia aérea de referência e todos
os dados de entrada e parâmetros, o modelo foi adaptado para o software IBM ILOG CPLEX
Optimization Studio. Porém devido a limitações do software foi necessário transformar as três funções
objetivo em apenas uma multiplicando-se cada função objetivo por um coeficiente garantindo que a
soma das três fosse sempre um. Estes coeficientes foram variados de forma a encontrar várias
soluções com o objetivo de serem analisados e discutidos os resultados.
Através da adaptação do modelo ao software percebeu-se que havia necessidade de alguns
ajustes. Assim sendo, em todos os modelos presentes nesta dissertação foram acrescentadas
variáveis que permitem acumular as horas de voo e de serviço quando os PSV se prolongam de um
dia para o outro, o mesmo acontece para as horas de descanso obrigatórias dos voos noturnos.
A partir dos resultados dos primeiros dois cenários comparativamente aos resultados iniciais pode-
se concluir que o número de tripulantes pode ser reduzido para metade, uma vez que se obtém
soluções com valores mais baixos e neste caso melhores, visto que estamos a minimizar os três
objetivos.
Como trabalho futuro seria importante, em primeiro lugar, simular integralmente o modelo inicial
formulado com o maior número de PSV e de tripulantes possível, de forma a que a companhia aérea
de referência se torne cada vez mais fidedigna assim como as soluções obtidas. Um outro aspeto
importante seria manter as três funções objetivo individualizadas e não numa função objetivo única
composta pelas três.
73
Em segundo lugar, seria relevante generalizar o modelo inicial para todos os voos, quer sejam
eles de curta, média ou longa duração. Esta generalização irá alterar os aspetos temporais,
nomeadamente no que diz respeito aos prolongamentos dos PSV, visto que a duração poderá se
estender a mais do que dois dias. Por norma e como se constatou com o estudo de caso os PSV
estavam associados a um dia podendo em alguns casos se prolongar para o dia seguinte, no entanto
a sua duração nunca ultrapassou as vinte e quatro horas. Contudo, nos PSV de longa duração a
diferença entre o fim do PSV e o início poderá ser de alguns dias e devido a estes casos, as restrições
deverão ser modificadas.
Por último, relacionado com um dos aspetos mais importante para qualquer organização – os
recursos humanos – seria interessante adicionar aos dados e ao modelo, as preferências dos
tripulantes nomeadamente a duração do PSV (curta, média ou longa) e os destinos preferidos. Um
outro aspetos também importante relacionado com os recursos humanos, seria caracterizar os
tripulantes de cabina pelos diferentes escalões existentes assim como acontece para a tripulação de
voo onde são distinguidos entre pilotos e copilotos.
74
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80
ANEXOS
Anexo A – Conjunto e índices definidos para o modelo de otimização
A – Conjuntos e índices definidos para o modelo de otimização
A. Tipos de tripulação
𝑷 = {𝟏, … , 𝒑, … , �̅�} designa o conjunto dos pilotos;
𝑸 = {𝟏, … , 𝒒, … , �̅�} designa o conjunto dos copilotos;
𝑳 = {𝟏, … , 𝒍, … , �̅�} designa o conjunto dos tripulantes de cabina.
B. Aspetos laborais
𝑹 = {𝟏, … , 𝒓, … , �̅�} designa o conjunto de períodos de serviço de voo;
𝑵𝑷 = {𝟏, … , 𝒏𝒑 , … , 𝟒} designa o conjunto de número de aterragens para tripulação de voo com um piloto;
𝑵𝑨 = {𝟏, … , 𝒏𝒂, … , 𝟖} designa o conjunto de número de aterragens para tripulação de voo com dois pilotos;
𝑯 = {𝟏, 𝟐} designa o conjunto de reforços possíveis;
𝑯𝑷 = {𝟏, … , 𝒉𝒑, … , 𝟖} designa o conjunto de horas de apresentação para tripulação com um piloto;
𝑯𝑨 = {𝟏, … , 𝒉𝒂, … , 𝟕} designa o conjunto de horas de apresentação para tripulação com dois pilotos;
𝑰 = {𝟏, … , 𝒊, … , 𝒊}̅ designa o conjunto de aviões;
𝑱 = {𝟏, … , 𝒋, … , 𝒋}̅ ; 𝑱 ⊂ 𝑹 designa o conjunto de segmentos de voo associados aos períodos de voos.
C. Aspetos temporais
𝑮 = {𝟏} designa o conjunto de cinquenta e duas semanas consecutivas;
𝑻 = {𝟏, … , 𝒕, … , 𝟒}; 𝑻 ⊂ 𝑮 designa o subconjunto de trimestres;
𝑴 = {𝟏, … , 𝒎, … , 𝟏𝟑};𝑴 ⊂ 𝑻 designa o conjunto de quatro semanas consecutivas – mês;
𝑺 = {𝟏, … , 𝒔, … , 𝟓𝟐}; 𝑺 ⊂ 𝑴 designa o conjunto de sete dias consecutivos – semana;
𝑫 = {𝟏, … , 𝒅, … , 𝟑𝟔𝟓};𝑫 ⊂ 𝑺 designa o conjunto de vinte e quatro horas consecutivas - dia;
𝑵 = {𝟏, … , 𝒏, … , 𝟐𝟒} designa o conjunto de horas.
81
Anexo B – Parâmetros definidos para o modelo de otimização
B – Parâmetros definidos para o modelo de otimização
A. Aspetos temporais 𝒃𝒑𝒓𝒏, 𝒇𝒑𝒓𝒏, 𝒃𝒑𝒓𝒅, 𝒇𝒑𝒓𝒅, 𝒃𝒑𝒓𝒔,𝒇𝒑𝒓𝒔, 𝒃𝒑𝒓𝒕, 𝒇𝒑𝒓𝒕, 𝒃𝒑𝒓,
𝒇𝒑𝒓; 𝒃𝒒𝒓𝒏, 𝒇𝒒𝒓𝒏, 𝒃𝒒𝒓𝒅, 𝒇𝒒𝒓𝒅, 𝒃𝒒𝒓𝒔,𝒇𝒒𝒓𝒔, 𝒃𝒒𝒓𝒕, 𝒇𝒒𝒓𝒕,
𝒃𝒒𝒓, 𝒇𝒒𝒓; 𝒃𝒍𝒓𝒏, 𝒇𝒍𝒓𝒏, 𝒃𝒍𝒓𝒅, 𝒇𝒍𝒓𝒅, 𝒃𝒍𝒓𝒔,𝒇𝒍𝒓𝒔, 𝒃𝒍𝒓𝒕, 𝒇𝒍𝒓𝒕,
𝒃𝒍𝒓, 𝒇𝒍𝒓;
𝑝 ∈ 𝑃, 𝑞 ∈ 𝑄, 𝑙 ∈ 𝐿, 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑑 ∈ 𝐷, 𝑠 ∈ 𝑆, 𝑡 ∈ 𝑇, 𝑟 ∈ 𝑅
designa o início e o fim do PSV r para o respetivo tripulante, nos períodos de temporais n, s, d, t e anual. O inicio do PSV tem inicio com o momento de apresentação do tripulante na base;
𝒎𝒓𝒋, 𝒏𝒓𝒋 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑗 ∈ 𝐽 designa o tempo de partida e chegada à base, respetivamente;
𝒐𝒓𝒋, 𝜾𝒓𝒋 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑗 ∈ 𝐽 designa o tempo de partida e chegada ao destino;
𝒐𝒑𝒓𝒋, 𝜾𝒑𝒓𝒋; 𝒐𝒒𝒓𝒋, 𝜾𝒒𝒓𝒋;
𝒐𝒍𝒓𝒋, 𝜾𝒍𝒓𝒋
𝑝 ∈ 𝑃, 𝑞 ∈ 𝑄, 𝑙 ∈ 𝐿, 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑗 ∈ 𝐽
designa o tempo de partida e chegada ao destino para o respetivo tripulante;
𝜸𝒑𝒓, 𝝔𝒑𝒓; 𝜸𝒒𝒓, 𝝔𝒒𝒓; 𝜸𝒍𝒓, 𝝔𝒍𝒓 𝑝 ∈ 𝑃, 𝑞 ∈ 𝑄, 𝑙 ∈ 𝐿, 𝑟 ∈ 𝑅
designa o início e o fim do intervalo para o respetivo tripulante;
𝝈𝒓, 𝝉𝒓 𝑟 ∈ 𝑅 designa o início e o fim do período de assistência, respetivamente;
𝝈𝒑𝒓𝒋, 𝝉𝒑𝒓𝒋; 𝝈𝒒𝒓𝒋, 𝝉𝒒𝒓𝒋; 𝝈𝒍𝒓𝒋, 𝝉𝒍𝒓𝒋; 𝑝 ∈ 𝑃, 𝑞 ∈ 𝑄, 𝑙 ∈ 𝐿,
𝑟 ∈ 𝑅, 𝑗 ∈ 𝐽 designa o início e o fim do segmento de voo no caso de o respetivo tripulante se deslocar como passageiro;
𝒉𝒓, 𝝊𝒓 𝑟 ∈ 𝑅 designa a zona horária inicial e a zona horária final no PSV, respetivamente;
𝜺𝒓𝒋 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑗 ∈ 𝐽 designa a zona horária inicial do intervalo;
𝝑𝒓 𝑟 ∈ 𝑅 designa o início da notificação para iniciar um serviço quando o tripulante se encontra no período de assistência;
𝝈𝒑𝒓, 𝝉𝒑𝒓; 𝝈𝒒𝒓, 𝝉𝒒𝒓;
𝝈𝒍𝒓, 𝝉𝒍𝒓
𝑝 ∈ 𝑃, 𝑞 ∈ 𝑄, 𝑙 ∈ 𝐿, 𝑟 ∈ 𝑅
designa o início e o fim do transporte efetuado em ambos os sentidos, de e para o local de repouso no PSV pelo respetivo tripulante;
𝒗𝒐𝒐𝒑𝒅 ,𝒗𝒐𝒐𝒑𝒔 , 𝒗𝒐𝒐𝒑𝒎 , 𝒗𝒐𝒐𝒑𝒕 , 𝒗𝒐𝒐𝒑 ;
𝒗𝒐𝒐𝒒𝒅 , 𝒗𝒐𝒐𝒒𝒔 , 𝒗𝒐𝒐𝒒𝒎 , 𝒗𝒐𝒐𝒒𝒕 , 𝒗𝒐𝒐𝒒 ;
𝒗𝒐𝒐𝒍𝒅 , 𝒗𝒐𝒐𝒍𝒔 , 𝒗𝒐𝒐𝒍𝒎 , 𝒗𝒐𝒐𝒍𝒕 , 𝒗𝒐𝒐𝒍 ;
𝑝 ∈ 𝑃, 𝑞 ∈ 𝑄, 𝑙 ∈ 𝐿, 𝑑 ∈ 𝐷, 𝑠 ∈ 𝑆, 𝑚 ∈ 𝑀, 𝑡 ∈ 𝑇
designa o tempo de prolongamento quando o subtipo de voo tem dois pilotos ao comando o avião;
𝒗𝒐𝒑𝒅 , 𝒗𝒐𝒑𝒔 , 𝒗𝒐𝒑𝒎 , 𝒗𝒐𝒑𝒕 , 𝒗𝒐𝒑 ; 𝒗𝒐𝒒𝒅 , 𝒗𝒐𝒒𝒔 ,
𝒗𝒐𝒒𝒎 , 𝒗𝒐𝒒𝒕 , 𝒗𝒐𝒒 ;
𝒗𝒐𝒍𝒅 , 𝒗𝒐𝒍𝒔 , 𝒗𝒐𝒍𝒎 , 𝒗𝒐𝒍𝒕 , 𝒗𝒐𝒍 ;
𝑝 ∈ 𝑃, 𝑞 ∈ 𝑄, 𝑙 ∈ 𝐿, 𝑑 ∈ 𝐷, 𝑠 ∈ 𝑆, 𝑚 ∈ 𝑀, 𝑡 ∈ 𝑇
designa o tempo de prolongamento quando o subtipo de voo tem apenas um piloto ao comando o avião;
𝒗𝒑𝒅 , 𝒗𝒑𝒔 , 𝒗𝒑𝒎 , 𝒗𝒑𝒕 , 𝒗𝒑 ; 𝒗𝒒𝒅 , 𝒗𝒒𝒔 , 𝒗𝒒𝒎 , 𝒗𝒒𝒕 ,
𝒗𝒒 ; 𝒗𝒍𝒅 ,𝒗𝒍𝒔 , 𝒗𝒍𝒎 , 𝒗𝒍𝒕 , 𝒗𝒍 ;
𝑝 ∈ 𝑃, 𝑞 ∈ 𝑄, 𝑙 ∈ 𝐿, 𝑑 ∈ 𝐷, 𝑠 ∈ 𝑆, 𝑚 ∈ 𝑀,
𝑡 ∈ 𝑇
designa o tempo de prolongamento quando o subtipo de voo tem apenas um piloto ao comando o avião e este não possuí piloto automático;
𝒗𝒓𝒑𝒅 , 𝒗𝒓𝒑𝒔 , 𝒗𝒓𝒑𝒎 , 𝒗𝒓𝒑𝒕 , 𝒗𝒓𝒑 ; 𝒗𝒓𝒒𝒅 , 𝒗𝒓𝒒𝒔 ,
𝒗𝒓𝒒𝒎 , 𝒗𝒓𝒒𝒕 , 𝒗𝒓𝒒 ;
𝒗𝒓𝒍𝒅 , 𝒗𝒓𝒍𝒔 , 𝒗𝒓𝒍𝒎 , 𝒗𝒓𝒍𝒕 , 𝒗𝒓𝒍 ;
𝑝 ∈ 𝑃, 𝑞 ∈ 𝑄, 𝑙 ∈ 𝐿, 𝑑 ∈ 𝐷, 𝑠 ∈ 𝑆, 𝑚 ∈ 𝑀,
𝑡 ∈ 𝑇
designa o tempo de prolongamento quando o subtipo de voo tem reforço;
𝒗𝒓𝒆𝒑𝒅 ,𝒗𝒓𝒆𝒑𝒔 , 𝒗𝒓𝒆𝒑𝒎 , 𝒗𝒓𝒆𝒑𝒕 , 𝒗𝒓𝒆𝒑 ; 𝒗𝒓𝒆𝒒𝒅 , 𝒗𝒓𝒆𝒒𝒔 , 𝒗𝒓𝒆𝒒𝒎 , 𝒗𝒓𝒆𝒒𝒕 , 𝒗𝒓𝒆𝒒 ;
𝒗𝒓𝒆𝒍𝒅 ,𝒗𝒓𝒆𝒍𝒔 , 𝒗𝒓𝒆𝒍𝒎 , 𝒗𝒓𝒆𝒍𝒕 , 𝒗𝒓𝒆𝒍 ;
𝑝 ∈ 𝑃, 𝑞 ∈ 𝑄, 𝑙 ∈ 𝐿, 𝑑 ∈ 𝐷, 𝑠 ∈ 𝑆, 𝑚 ∈ 𝑀, 𝑡 ∈ 𝑇
designa o tempo de prolongamento quando o subtipo de voo tem repartição;
𝒕𝒗𝒐𝒐𝒑𝒎, 𝒕𝒗𝒐𝒐𝒑𝒕 ,𝒕𝒗𝒐𝒐𝒑 ; 𝒕𝒗𝒐𝒎𝒒𝒎 ,
𝒕𝒗𝒐𝒐𝒒𝒕, 𝒕𝒗𝒐𝒐𝒒; 𝒕𝒗𝒐𝒐𝒍𝒎 ,𝒕𝒗𝒐𝒐𝒍𝒕, 𝒕𝒗𝒐𝒐𝒍 ,
𝑝 ∈ 𝑃, 𝑞 ∈ 𝑄, 𝑙 ∈ 𝐿 designa o tempo de prolongamento relativo a horas de voo;
𝒕𝒔𝒆𝒓𝒑𝒎, 𝒕𝒔𝒆𝒓𝒑𝒕 ,𝒕𝒔𝒆𝒓𝒑 ; 𝒕𝒔𝒆𝒓𝒒𝒎 ,
𝒕𝒔𝒆𝒓𝒒𝒕, 𝒕𝒔𝒆𝒓𝒒; 𝒕𝒔𝒆𝒓𝒍𝒎 ,𝒕𝒔𝒆𝒓𝒍𝒕, 𝒕𝒔𝒆𝒓𝒍 ,
𝑝 ∈ 𝑃, 𝑞 ∈ 𝑄, 𝑙 ∈ 𝐿 designa o tempo de prolongamento relativo a horas de voo;
𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒐𝒑𝒅 , 𝒇𝒊𝒎𝒓𝒓 , 𝒅𝒆𝒔𝒑 , 𝒅𝒆𝒔𝒒 𝒅𝒆𝒔𝒍 𝑑 ∈ 𝐷, 𝑟 ∈ 𝑅,𝑝 ∈ 𝑃, 𝑞 ∈ 𝑄, 𝑙 ∈ 𝐿
designa o inicio do período d e o fim do PSV e o descanso a efetuar pelo respetivo tripulante;
B. Aspetos técnicos
𝒉𝒊 𝑖 ∈ 𝐼 designa a capacidade total de passageiros que o avião i suporta;
𝝊𝒊 𝑖 ∈ 𝐼 designa o número mínimo de pilotos necessários para o avião i;
𝝌𝒊 𝑖 ∈ 𝐼 designa o número mínimo de copilotos necessários para o avião i;
𝒔𝒓 𝑟 ∈ 𝑅 designa o número de segmentos de voo após o intervalo.
C. Aspetos orçamentais
𝚽𝒑, 𝚽𝒒, 𝚽𝒍 𝑝 ∈ 𝑃, 𝑞 ∈ 𝑄, 𝑙 ∈ 𝐿 designa o valor extra recebido pelo respetivo tripulante para as horas voadas.
D. Aspetos tabelados
𝝁𝟏 designa a função através da qual se obtém o limite do número de horas de serviço para quando existem dois pilotos no mesmo PSV;
𝝁𝟐 designa a função através da qual se obtém o limite do número de horas de serviço para quando existe um piloto no mesmo PSV;
𝝁𝟑 designa a função da qual se obtém o limite do número de horas de serviço para quando a tripulação é reforçada.
B. Aspetos laborais
𝒂𝒑𝒔, 𝒂𝒒𝒔, 𝒂𝒍𝒔 𝑝 ∈ 𝑃, 𝑞 ∈ 𝑄, 𝑙 ∈ 𝐿, 𝑠 ∈ 𝑆
designa o número de dias de trabalho semanalmente, s, para o respetivo tripulante;
𝒄𝒑𝒅, 𝒄𝒑𝒔, 𝒄𝒑𝒕; 𝒄𝒒𝒅, 𝒄𝒒𝒔
𝒄𝒒𝒕; 𝒄𝒍𝒅, 𝒄𝒍𝒔, 𝒄𝒍𝒕
𝑝 ∈ 𝑃, 𝑞 ∈ 𝑄, 𝑙 ∈ 𝐿, 𝑑 ∈ 𝐷, 𝑠 ∈ 𝑆, 𝑡 ∈ 𝑇
designa o número de dias de folga no PSV no período de tempo d, s ou t para o respetivo tripulante;
𝒌𝒑𝒎, 𝒌𝒑; 𝒌𝒒𝒎, 𝒌𝒒;
𝒌𝒍𝒎, 𝒌𝒍
𝑝 ∈ 𝑃, 𝑞 ∈ 𝑄, 𝑙 ∈ 𝐿, 𝑚 ∈ 𝑀
designa o número de dias de folga locais no PSV no período de tempo m ou anual para o respetivo tripulante;
82
Anexo C – Conjunto de variáveis de decisão para o modelo de otimização
C – Conjunto de variáveis de decisão para o modelo de otimização
A. Variáveis livres
𝜶′, 𝜶′′; 𝝓′, 𝝓′′; 𝝍′, 𝝍′′;
designam as variáveis que permitem o equilíbrio a carga horária anual entre os respetivos tripulantes;
𝜶′′′, 𝜶′′′′; 𝝓′′′ , 𝝓′′′′; 𝝍′′′, 𝝍′′′′′;
designam as variáveis que permitem o equilíbrio do serviço de voo anual para entre os respetivos tripulantes;
83
Anexo D – Conjunto de variáveis binárias para o modelo de otimização
D – Conjunto de variáveis binárias para o modelo de otimização
A. Aspetos relacionados com a tripulação
𝒆𝒑𝒓𝒊; 𝒆𝒒𝒓𝒊; 𝒆𝒍𝒓𝒊 𝑝 ∈ 𝑃, 𝑞 ∈ 𝑄, 𝑙 ∈ 𝐿, 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑖 ∈ 𝐼
1 se o tripulante é qualificado para o PSV e para o avião i, 0 caso contrário;
𝒚𝒑𝒓; 𝒚𝒒𝒓; 𝒚𝒍𝒓 𝑝 ∈ 𝑃, 𝑞 ∈ 𝑄, 𝑙 ∈ 𝐿, 𝑟 ∈ 𝑅
1 se o tripulante é atribuído ao PSV, 0 caso contrário;
𝜷𝒓 𝑟 ∈ 𝑅 1 se o tripulante está a efetuar um período de serviço normal, 0 caso contrário;
𝜹𝒑𝒓, 𝜹𝒒𝒓, 𝜹𝒍𝒓 𝑟 ∈ 𝑅 1 se o tripulante está a efetuar um período de assistência, 0 caso contrário;
𝜶𝒑𝒓𝒋, 𝜶𝒒𝒓𝒋, 𝜶𝒍𝒓𝒋 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑗 ∈ 𝐽 1 se o tripulante se desloca como passageiro, 0 caso contrário;
B. Aspetos laborais
𝒙𝒓 𝑟 ∈ 𝑅 1 se no PSV existe apenas um piloto, 0 caso contrário;
𝒛𝒓 𝑟 ∈ 𝑅 1 se no PSV existem dois pilotos, 0 caso contrário;
𝝋𝒓 𝑟 ∈ 𝑅 1 se no PSV a tripulação é reforçada, 0 caso contrário;
𝝎𝒓 𝑟 ∈ 𝑅 1 se no PSV existir intervalo entre os segmentos de voo, 0 caso contrário;
𝝅𝒑𝒓, 𝝅𝒒𝒓, 𝝅𝒍𝒓 𝑝 ∈ 𝑃, 𝑞 ∈ 𝑄, 𝑙 ∈ 𝐿, 𝑟 ∈ 𝑅
1 se a duração do transporte, efetuada pelo tripulante no PSV, para e do local de repouso é igual ou superior a duas horas, 0 caso contrário;
𝝃𝒓 𝑟 ∈ 𝑅 1 se o PSV é noturno, 0 caso contrário;
𝒈𝒑𝒓𝒔, 𝒈𝒒𝒓𝒔, 𝒈𝒍𝒓𝒔 𝑝 ∈ 𝑃, 𝑞 ∈ 𝑄, 𝑙 ∈ 𝐿, 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑠 ∈ 𝑆
1 se na semana s, o piloto é atribuído ao PSV r ;
𝒑𝒓𝒐𝒍𝒓 𝑟 ∈ 𝑅 1 se o prolongamento se verificar, 0 caso contrário.
C. Aspetos aéreos
𝒑𝒂𝒊 𝑖 ∈ 𝐼 1 se o avião possuir piloto automático, 0 caso contrário.
84
Anexo E – Caracterização das soluções não dominadas
E – Caracterização das soluções não dominadas
Ponto PSV P atribuídos Q atribuídos T atribuídos Ponto PSV P atribuídos Q atribuídos T atribuídos
1
1 1 1 1, 2, 3
2
1 1, 3, 5 2, 4, 6 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17
2 6 6 14, 16, 18 2 1, 3, 5 2, 4, 6 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17
3 5 5 12, 13, 18 3 2, 4, 6 1, 3, 5 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
4 5 5 1, 12, 13 4 2, 4, 6 1, 3, 5 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17
5 1 1 8, 9, 14 5 1, 3, 5 2, 4, 6 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17
6 1 1 1, 2, 3 6 2, 4, 6 2, 4, 6 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
7 1 1 1, 2, 3 7 1, 3, 5 2, 4, 6 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17
3
1 1, 3, 5 1, 3, 5 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
4
1 2, 4, 6 2, 4, 6 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
2 1, 3, 5 2, 4, 6 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 2 1, 3, 5 1, 3, 5 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
3 2, 4, 6 2, 4, 6 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 3 2, 4, 6 2, 4, 6 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17
4 1, 3, 5 1, 3, 5 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 4 1, 3, 5 2, 4, 6 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17
5 1, 3, 5 1, 3, 5 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 5 2, 4, 6 1, 3, 5 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
6 1, 3, 5 1, 3, 5 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 6 2, 4, 6 2, 4, 6 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17
7 1, 3, 5 1, 3, 5 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 7 2, 4, 6 2, 4, 6 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17
5
1 1, 3, 5 1, 3, 5 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
6
1 2, 4, 6 2, 4, 6 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
2 2, 4, 6 1, 3, 5 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 2 1, 3, 5 2, 4, 6 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
3 1, 3, 5 1, 3, 5 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 3 2, 4, 6 1, 3, 5 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17
4 2, 4, 6 2, 4, 6 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 4 1, 3, 5 2, 4, 6 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17
5 2, 4, 6 1, 3, 5 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 5 1, 3, 5 2, 4, 6 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
6 2, 4, 6 1, 3, 5 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 6 1, 3, 5 2, 4, 6 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17
7 2, 4, 6 2, 4, 6 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 7 1, 3, 5 2, 4, 6 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17
7
1 2, 4, 6 2, 4, 6 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17
8
1 2, 4, 6 1, 3, 5 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
2 2, 4, 6 1, 3, 5 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 2 2, 4, 6 2, 4, 6 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
3 2, 4, 6 1, 3, 5 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 3 1, 3, 5 1, 2, 3 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
4 1, 3, 5 1, 3, 5 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 4 2, 4, 6 2, 4, 6 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17
5 1, 3, 5 2, 4, 6 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 5 2, 4, 6 1, 3, 5 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
6 2, 4, 6 1, 3, 5 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 6 2, 4, 6 1, 3, 5 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
7 2, 4, 6 2, 4, 6 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 7 2, 4, 6 2, 4, 6 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
9
1 2, 4, 6 2, 4, 6 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17
10
1 1, 3, 5 2, 4, 6 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
2 2, 4, 6 1, 3, 5 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 2 1, 3, 5 1, 3, 5 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
3 1, 3, 5 2, 4, 6 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 3 2, 4, 6 2, 4, 6 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
4 2, 4, 6 2, 4, 6 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 4 1, 3, 5 1, 3, 5 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17
5 1, 3, 5 1, 2, 3 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 5 1, 3, 5 1, 3, 5 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
6 1, 3, 5 2, 4, 6 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 6 1, 3, 5 1, 3, 5 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
7 1, 3, 5 1, 3, 5 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 7 1, 3, 5 1, 3, 5 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17
85
11
1 1, 3, 5 2, 4, 6 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17
12
1 2, 4, 6 2, 4, 6 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17
2 1, 3, 5 2, 4, 6 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 2 2, 4, 6 2, 4, 6 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17
3 2, 4, 6 2, 4, 6 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 3 1, 3, 5 2, 4, 6 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
4 1, 3, 5 1, 3, 5 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 4 2, 4, 6 1, 3, 5 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
5 1, 3, 5 1, 3, 5 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 5 2, 4, 6 2, 4, 6 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17
6 1, 3, 5 1, 3, 5 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 6 2, 4, 6 1, 3, 5 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17
7 1, 3, 5 2, 4, 6 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 7 2, 4, 6 2, 4, 6 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
13
1 1,2,3,4,5,6 1,2,3,4,5,6 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17
14
1 1, 3, 5 2, 4, 6 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
2 1,2,3,4,5,6 1,2,3,4,5,6 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 2 1, 3, 5 1, 3, 5 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
3 2, 5 2, 5 4, 6, 10, 12, 16, 18 3 2, 4, 6 1, 3, 5 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17
4 1,3,4,6 1,3,4,6 2, 8, 14 4 1, 3, 5 2, 4, 6 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17
5 2,5 2,5 4, 6, 10, 12, 16, 18 5 1, 3, 5 1, 3, 5 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
6 1, 3, 4, 6 1, 3, 4, 6 2, 8, 14 6 1, 3, 5 1, 3, 5 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
7 1,2,3,4,5,6 1,2,3,4,5,6 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 7 2, 4, 6 1, 3, 5 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17
15
1 1, 3, 5 2, 4, 6 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
16
1 2, 4, 6 2, 4, 6 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
2 2, 4, 6 2, 4, 6 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 2 2, 4, 6 2, 4, 6 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
3 2, 4, 6 1, 3, 5 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 3 1, 3, 5 2, 4, 6 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17
4 1, 3, 5 2, 4, 6 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 4 1, 3, 5 1, 3, 5 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
5 1, 3, 5 2, 4, 6 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 5 2, 4, 6 1, 3, 5 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
6 2, 4, 6 2, 4, 6 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 6 1, 3, 5 1, 3, 5 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
7 2, 4, 6 2, 4, 6 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 7 2, 4, 6 1, 3, 5 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
17
1 2, 4, 6 2, 4, 6 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
18
1 1, 3, 5 1, 3, 5 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
2 1, 3, 5 2, 4, 6 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 2 1, 3, 5 1, 3, 5 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17
3 1, 3, 5 1, 3, 5 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 3 1, 3, 5 2, 4, 6 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
4 2, 4, 6 2, 4, 6 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 4 1, 3, 5 1, 3, 5 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17
5 1, 3, 5 2, 4, 6 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 5 2, 4, 6 2, 4, 6 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17
6 2, 4, 6 2, 4, 6 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 6 1, 3, 5 2, 4, 6 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
7 1, 3, 5 1, 3, 5 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 7 1, 3, 5 2, 4, 6 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
19
1 2, 4, 6 2, 4, 6 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
2 2, 4, 6 2, 4, 6 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
3 2, 4, 6 1, 3, 5 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17
4 1, 3, 5 1, 3, 5 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17
5 2, 4, 6 2, 4, 6 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
6 2, 4, 6 2, 4, 6 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17
7 2, 4, 6 1, 3, 5 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
86
Anexo F – Caracterização das soluções não dominadas para o cenário 3
F – Caracterização das soluções não dominadas (cenário 3)
Ponto PSV P atribuídos Q atribuídos T atribuídos Ponto PSV P atribuídos Q atribuídos T atribuídos
1
1 1 1 1, 2, 3
2
1 1, 3, 5 1, 3, 5 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17
2 6 6 12, 14, 16 2 1, 3, 5 2, 4, 6 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17
3 5 5 12, 13, 14 3 2, 4, 6 1, 3, 5 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
4 5 5 1, 2, 13 4 2, 4, 6 2, 4, 6 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17
5 1 1 5, 12, 14 5 1, 3, 5 2, 4, 6 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
6 1 1 1, 2, 3 6 2, 4, 6 2, 4, 6 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
7 5 5 9, 13, 14 7 1, 3, 5 2, 4, 6 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17
3
1 1, 3, 5 1, 3, 5 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
4
1 1, 3, 5 1, 3, 5 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
2 1, 3, 5 2, 4, 6 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 2 2, 4, 6 1, 3, 5 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
3 2, 4, 6 2, 4, 6 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 3 1, 3, 5 2, 4, 6 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17
4 2, 4, 6 1, 3, 5 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 4 2, 4, 6 1, 3, 5 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17
5 1, 3, 5 1, 3, 5 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 5 2, 4, 6 1, 3, 5 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
6 2, 4, 6 1, 3, 5 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 6 2, 4, 6 2, 4, 6 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17
7 1, 3, 5 1, 3, 5 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 7 1, 3, 5 1, 3, 5 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17
5
1 2, 4, 6 2, 4, 6 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17
6
1 2, 4, 6 1, 3, 5 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
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7
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8
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