ABILITÀ COGNITIVE

e

SOLUZIONE DEI PROBLEMI MATEMATICI

Germana Englaro, Susi CazzanigaServizio Disturbi dell’Apprendimento

Università degli Studi di Padova

Torino

20-21-22 marzo 2006

COS’È UN PROBLEMA?

Un PROBLEMA sorge quando un essere vivente

ha una meta, ma non sa come raggiungerla

(Dunker, 1935)

Ci sono due corde attaccate al soffitto, ad una certa distanza. Le devo unire ma la distanza è tale che non ci riesco. Nella stanza ci sono anche vari oggetti: una tenaglia, una sedia, della colla.

Come faccio a unire le due corde?

Quali sono gli OSTACOLI che rendono

difficoltosa la soluzione dei problemi?

FISSITÀ FUNZIONALE

= fissare l’attenzione su una

funzione abituale e stereotipata

di un elemento del problema

AUTOPORSI DEI LIMITInon necessari e non richiesti dal problema

mantenere contempora-neamente presenti

TUTTE LE INFORMAZIONI che il problema fornisce

EFFETTI DELL’ABITUDINEspesso si ripetono procedimenti

tentati in precedenza, senza ricercare procedure alternative più efficaci

Caratteristiche dei problemi:Caratteristiche dei problemi:

Spesso la soluzione dipende da un’intuizione cruciale

C’è una sensazione di “tensione cognitiva” e di coinvolgimento emotivo che ci guida nella soluzione

C’è un insight cognitivo in cui avviene una ristrutturazione delle conoscenze pregresse alla luce degli elementi del problema

Differenze fra “problema” e Differenze fra “problema” e “esercizio”“esercizio”

Gli esercizi richiedono un tipo di pensiero riproduttivo (problemi di tipo routinario che vengono solitamente proposti a scuola, nei quali è richiesto di applicare procedure già apprese). Sono quindi legati a conoscenze pregresse

I problemi richiedono un pensiero produttivo (Wertheimer, 1920), condizionato dalla situazione, dal contesto e dal vissuto del soggetto

Stimolare un pensiero di tipo produttivo

ABILITÀ COGNITIVE

implicate nella soluzione dei problemi matematici

COMPRENSIONE

RAPPRESENTAZIONE CATEGORIZZAZIONE PIANIFICAZIONE AUTOVALUTAZIONE

SOLUZIONE

Queste componenti sono viste all’interno di un FLUSSO.

Il flusso parte dalla comprensione, unica componente sovraordinata (senza la comprensione matematica il flusso non parte), le altre componenti sono parallele.

COMPRENSIONECOMPRENSIONE

Capacità di cogliere le informazioni rilevanti e di comprenderne le relazioni quantitative.

La comprensione del testo del problema NON può essere una comprensione verbale ma deve essere una comprensione matematica!

Marco ha 3 biglie più di Andrea e 7 meno di Giulio che ne ha 11.

Che cos’è? E’ un problema?NO! Questa è una storiella, ma noi siamo

abituati ad approcciare con il verbale e cominciamo ad attivare tutte le nostre conoscenze pregresse su questo tipo di esercizio.

Manca l’elemento distintivo che dà la grammatica al problema matematico: la DOMANDA

Comprendere il problema significa capire la grammatica (ovvero la logica) imposta dalla domanda

Se comprendo la grammatica del problema e non il verbale del testo sarò in grado di far partire il flusso di soluzionedel problema

RAPPRESENTAZIONERAPPRESENTAZIONE

Capacità di raffigurarsi il problema mediante uno schema in grado di strutturare e integrare le informazioni.

Da una rappresentazione figurativa (immagino i tre bambini) ad una rappresentazione più schematica (schema che meglio rappresenta il problema)

Attenzione!Attenzione!Non promuovere la rappresentazione verbale del

problema (disegna le biglie) ma la rappresentazione produttiva del problema guidata dall’insight (i bambini disegnerebbero i tre bimbi che giocano)

Guidare i bambini nella ricerca delle informazioni rilevanti = informazioni necessarie alla soluzione del problema = dati

Non necessariamente numerici!

CATEGORIZZAZIONECATEGORIZZAZIONE

Capacità di raggruppare i problemi che hanno medesime soluzioni sulla base della struttura profonda del testo (cerco di riconoscere una categoria generale alla quale il problema può appartenere).

PIANIFICAZIONEPIANIFICAZIONE

Abilità di costruzione del piano di soluzione: cerco la strada che mi può condurre alla soluzione.

Come? Cercando la corretta sequenza di operazioni di calcolo capace di rispondere al mio schema (rappresentazione)

AUTOVALUTAZIONEAUTOVALUTAZIONE

Capacità di monitorare il proprio operato.

Ha lo scopo di ricontrollare il flusso non tanto per verificare se la soluzione è giusta o sbagliata, quanto per esercitare e stabilizzare in memoria il processo di soluzione, perché non si tratta di abilità innate, ma vanno apprese!

Può accadere che solo alcune componenti siano deficitarie. Che fare:

Identificare la componente più deboleEsercitare la componente deficitaria non

come aspetto a sé stante ma come all’interno del FLUSSO (allenare la componente debole dentro al flusso)

In fase di insegnamento forzare il flusso, senza automatizzarlo perché è una componente dinamica, non meccanica

SOLUTORI:SOLUTORI:

ABILI NON ABILI

PERCHE’?

Altre abilità cognitive coinvolte:Altre abilità cognitive coinvolte:

Memoria (memoria di lavoro)Metacognizione

i solutori non abili non riescono a discriminare le informazioni rilevanti da quelle irrilevanti

ricordano maggiormente le informazioni irrilevanti del testo del problema e hanno difficoltà a mantenere e controllare le informazioni in memoria

Non ci sono disturbi specificidel problem solving, ma le difficoltà di soluzione dei problemi sono in relazione a problemi a carico delle abilità cognitive implicate nel processo

Cosa fare quindi per aiutare i bambini nella Cosa fare quindi per aiutare i bambini nella soluzione dei problemi?soluzione dei problemi?

Promuovere una didattica metacognitiva Favorire la comprensione matematica del

problema, senza sovraccaricare di informazioni verbali che affaticano l’esecutivo centrale (componente della ML deputata alla selezione delle informazioni rilevanti e all’inibizione di quelle irrilevanti)

Promuovere la soluzione dei problemi dentro al FLUSSO!

SOGGETTI:

strumento rivolto all’analisi delle difficoltà di soluzione di problemi matematici in soggetti dalla 3a elementare alla 3a media

 

STRUTTURA DELLA BATTERIASTRUTTURA DELLA BATTERIA

PROVE: batteria composta da 3 problemi per la 3a elementare

4 problemi dalla 3a elem. alla 3a media

SOMMINISTRAZIONE:

-   in uscita alla classe indicata o in entrata alla successiva

es. prova di 5a: fine 5a (da maggio)

inizio 1a media (entro ottobre)

- individuale o collettiva

-   non è una prova a tempo

(consigliabile l’interruzione dopo un’ora e mezzo)

DESCRIZIONE DELLE PROVE DESCRIZIONE DELLE PROVE

Ogni problema è scomposto nelle seguenti 5 componenti:

1. COMPRENSIONE

2. RAPPRESENTAZIONE

3. CATEGORIZZAZIONE

4. PIANIFICAZIONE

SVOLGIMENTO

5. AUTOVALUTAZIONE

PROCEDURA: al soggetto si richiede di

a) leggere attentamente il problema

b) segnare la risposta corretta per le prime tre componenti

c) ordinare le fasi di soluzione

d) svolgere il problema

e) autovalutare la propria esecuzione

PROBLEMA 5.4

Cla

sse

ele

me

nta

re

La nonna di Luisa ha 19 nipoti. La nonna di Gina

ha 7 nipoti in meno della nonna di Luisa.

La nonna di Carolina ha 1/3 del numero dei nipoti

della nonna di Gina.

Quanti nipoti hanno in tutto le 3 nonne? 5a

IL PROBLEMAIL PROBLEMA

1. COMPRENSIONE 

capacità di cogliere le informazioni rilevanti e di comprenderne le relazioni quantitative

COMPRENSIONE

Scegli la frase con le informazioni più importanti per la soluzione del problema:

La nonna di Carolina ha 1/3 del numero dei nipoti della nonna di Luisa.

La nonna di Gina ha 7 nipoti in meno della nonna di Luisa.

La nonna di Carolina ha 1/3 del numero dei nipoti della nonna di Gina, che a sua volta ha 7 nipoti in meno della nonna di Luisa.

Luisa, Gina e Carolina hanno una nonna.

Cla

sse

ele

me

nta

re 5a

E

P

C

I

2. RAPPRESENTAZIONE 

capacità di rappresentarsi le relazioni tra dati mediante uno schema/figura

RAPPRESENTAZIONE

Scegli, tra le vignette, quale rappresenta esattamente il problema:

Cla

sse

ele

me

nta

re 5a

C

P

E

I

Cla

sse

me

dia

5a

CATEGORIZZAZIONE

Quale dei seguenti problemi risolveresti come quello che stai eseguendo ora?

Mario ha percorso 21 chilometri in bicicletta. Piero invece ne ha percorso i 4/7. Quanti chilometri hanno percorso in tutto?

Stefano pesa 58 Kg. Mario pesava lo stesso, ma dopo che ha smesso di mangiare cioccolatini è calato di 2/8 del peso che aveva. Quanto pesa Mario?

la mia nonna ha 72 anni. La nonna di Giulio ne ha 68. Quanti anni avrà la nonna del cugino di Giulio?

Maria ha 12 anni, sua sorella ne ha 6 di più. Antonella invece ha 2/3 degli anni della sorella di Maria. Quanti anni hanno in tutto le tre

bambine?

P

E

I

C

3. CATEGORIZZAZIONE 

capacità di riconoscere la struttura profonda del problema inibendo le informazioni superficiali

4. PIANIFICAZIONE 

capacità di individuare la sequenza di fasi che porta alla soluzione

PIANO DI SOLUZIONE

Prova a dire come risolveresti il problema, mettendo in ordine la sequenza, numerando le fasi dall’1 al 3:

— Calcolo quanti nipoti ha la nonna di Carolina.

— Calcolo quanti nipoti ha la nonna di Gina

— Calcolo quanti nipoti hanno in tutto le tre nonne

Cla

sse

me

dia

5a

213

5. AUTOVALUTAZIONE 

capacità di monitorare quanto eseguito

Cla

sse

me

dia

5a

AUTOVALUTAZIONE

Indica quanto sei sicuro di aver eseguito correttamente il tuo piano di soluzione:

Sono certo di aver fatto giusto

Probabilmente ho fatto giusto

Probabilmente ho sbagliato

Sono certo di aver sbagliato

ATTRIBUZIONE DEL PUNTEGGIOATTRIBUZIONE DEL PUNTEGGIO

• COMPRENSIONE

• RAPPRESENTAZIONE

• CATEGORIZZAZIONE

1 risposta irrilevante o omissione (I)

2 risposta errata (E)

3 Risposta parzialmente corretta (P)

4 Risposta corretta (C)

Punti

• PIANIFICAZIONE da 0 a 3, 4, 5 o 6

n° di fasi correttamente ordinatese sbaglia il primo passaggio: 0(non si prosegue)

• SVOLGIMENTO 1 soluzione errata o problema non risolto

2 soluzione parzialmente corretta

3 procedura corretta con errore di calcolo

4 soluzione corretta

Punteggio svolgimento

Item valutazione Punteggio autovalutazione

1

2

3

4

Sicuro di aver sbagliato

Sicuro di aver sbagliato

Sicuro di aver fatto giusto

Sicuro di aver fatto giusto

3

3

3

3

1

2

3

4

Incerto giusto/sbagliato

Incerto giusto/sbagliato

Incerto giusto/sbagliato

Incerto giusto/sbagliato

2

2

2

2

1

2

3

4

Sicuro di aver fatto giusto

Sicuro di aver fatto giusto

Sicuro di aver sbagliato

Sicuro di aver sbagliato

1

1

1

1

• AUTOVALUTAZIONE

PROBLEMA 3.4

Cla

sse

me

dia

Calcola l’area della superficie totale di un cilindro sapendo

che la somma del raggio con l’altezza misura 18 dm e che

l’altezza è i 5/4 del raggio.

3a

COMPRENSIONE

Scegli la risposta più importante per risolvere il problema:

In un cilindro l’altezza è i 4/5 del raggio.

Il raggio misura 18 dm e l’altezza è 5/4 del raggio.

Il cilindro è un solido con base circolare.

Il raggio e l’altezza insieme di un cilindro misurano 18 dm e l’altezza è 5/4 del raggio.

PEIC

Luca 13 anni

PROBLEMA 3.4

Cla

sse

me

dia

3a

RAPPRESENTAZIONE

Scegli, tra gli schemi seguenti, quale rappresenta il problema:

Misura della superficie

totale

r

h = 5/4 di r

I

P

PROBLEMA 3.4

Cla

sse

me

dia

3a

Raggio + altezza =

18 dm

Diametro

h = 5/4 del diametro

rh = 5/4 di rC

E

PROBLEMA 3.4

Cla

sse

me

dia

3a

CATEGORIZZAZIONE

Quale dei seguenti problemi risolveresti come quello che stai eseguendo ora?

In un solido regolare con entrambe le basi circolari se si sommano altezza e raggio si ottengono 35 dm. Si calcoli l’area della figura

che si ottiene sviluppando il solido sapendo che il raggio è i 7/8 dell’altezza.

Il volume di un cilindro è di 345 cmc. Sapendo che l’altezza è mag- giore del raggio, calcola l’area della superficie totale del cilindro.

Il volume di un cilindro è.pari a 572 dmc; sapendo che il raggio misura 15 dm e l’alezza è i 7/5 del raggio si calcoli l’area della superficie totale del cilindro.

L’altezza di un cilindro misura 23 cm e il raggio misura 12 cm. Quale sarà l’area della superficie totale del cilindro?

C

I

E

P

PROBLEMA 3.4

Cla

sse

me

dia

3a

PIANO DI SOLUZIONE

Prova a dire come risolveresti il problema, mettendo in ordine la sequenza, numerando le fasi dall’1 al 5:

_ Trovo l’area della superficie totale del cilindro.

_ Trovo la circonferenza della base del cilindro.

_ Trovo l’area della superficie esterna senza basi.

_ Trovo la misura dell’altezza e del raggio.

_ Trovo l’area delle basi.

5

3-2

4-3

1

2-3-4

5

1

4

2

3

SVOLGIMENTO

Esegui il problema.

AUTOVALUTAZIONE

Indica quanto sei sicuro di aver eseguito correttamente il tuo piano di soluzione:

Sono certo di aver fatto giusto

Probabilmente ho fatto giusto

Probabilmente ho sbagliato

Sono certo di aver sbagliato

Non esegue il problema

SPM / SOLUZIONE DEI PROBLEMI MATEMATICI

Cla

sse

me

dia

3a

Problema 3.1

____ ____ ____ ____ ____ ____

Problema 3.2

____ ____ ____ ____ ____ ____

Problema 3.3

____ ____ ____ ____ ____ ____

Problema 3.4

____ ____ ____ ____ ____ ____

Somma

____ ____ ____ ____ ____ ____

COMPRENSIONE

RAPPRESENTAZIONE

CATEGORIZZAZIONE

SVOLGIMENTO

PIANIFICAZIONE

AUTOVALUTAZIONE

PROTOCOLLO DI VALUTAZIONE

Cognome ________________ Nome ______________

Sesso M F Età ______ Data del test _________

Scuola __________________ Classe ______________

Luca

13 anni

3a media

3

1

2

2

8

4

4

1

1

10

2

1

1

3

7

5

2

0

0

7

3

2

1

1

7

3

2

2

3

10

TABELLA DI VALUTAZIONE

PERCENTILI COMPONENTE MEDIA DEV. ST.

10 20 30 40 50 60 70 80 90

Comprensione 13,5 2,7 10 11 13 13 14 15 15 16 16

Rappresentazione 14,0 2,2 10 12 13 14 15 15 16 16 16

Categorizzazione 12,0 2,7 9 10 11 11 12 13 14 15 16

Pianificazione 9,0 4,5 3 5 6 8 9 11 11 14 15

Svolgimento 9,0 3,4 4 5 7 8 9 10 11 12 13

Autovalutazione 8,2 3 4 6 7 8 8 8 10 10 12

4 alternative di risposta

I = RISPOSTA IRRILEVANTE riporta informazioni che, pur essendo

presenti nel testo del problema, non

servono per la soluzione

E = RISPOSTA ERRATA riporta informazioni che, se utilizzate,

portano a un risultato non corretto

P = RISPOSTA PARZIALE riporta dati corretti, ma non completi

per la soluzione

C = RISPOSTA CORRETTA riporta tutti i dati utili per la soluzione