Abel体の解析的類数公式

木村巌（富山大学理学部）

目 次

1 円分体・Abel体 2

1.1 円分体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Abel体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Dirichlet指標 7

2.1 Dirichlet指標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Galois群の指標としてのDirichlet指標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Dirichletの L関数 9

3.1 定義と幾つかの基本的な性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2 Bernoulli数、Bernoulli多項式、一般化 Bernoulli数 . . . . . . . . . . . . . 11

3.3 L関数の負の整数点での値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.4 L関数の 1での値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4 解析的類数公式 14

4.1 Dedekind ζ 関数とその性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.2 Abel体の ζ 関数 = L関数の積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.3 解析的類数公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.4 p冪分体の類数と円単数の指数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.5 例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

概 要

本稿では、有限次 Abel体の解析的類数公式について解説する．

1

1 円分体・Abel体

1.1 円分体

本稿では有理数体 Qの代数閉包 Qを複素数体 C内に一つ固定し、代数体は全てこの Q

の部分体として考える．代数体の Galois拡大K/kに対して、その Galois群を Gal(K/k)

と書く．

nを自然数として、ζnを 1の原始 n乗根とする．Q(ζn)を、有理数体に ζnを付加して得

られるQの拡大とすると、よく知られているように

• Q(ζn)/QはAbel拡大であり

• Z/nZの乗法群を (Z/nZ)×とすると、Galois拡大Q(ζn)/QのGalois群は、(Z/nZ)× 3a mod n 7→ σa = (ζn 7→ ζan) ∈ Gal(Q(ζn)/Q)により、(Z/nZ)×と同型である：

(Z/nZ)× 3 a mod n 7→ σa = (ζn 7→ ζan) ∈ Gal(Q(ζn)/Q). （1）

n, mが自然数で n|m, 即ち nがmを割りきるとき、明らかにQ(ζn) ⊂ Q(ζm)であるが、更に、制限写像

Gal(Q(ζm)/Q) 3 σa 7→ σa|Q(ζn) ∈ Gal(Q(ζn)/Q)

は、自然な全射

(Z/mZ)× 3 a mod m 7→ a mod n ∈ (Z/nZ)×

と可換になる．即ち、

Gal(Q(ζm)/Q) −−−−→ Gal(Q(ζn)/Q)∼=y ∼=

y(Z/mZ)× −−−−→ (Z/nZ)×

が可換図式（縦の矢印は同型）．従って、上の行のGalois群については制限写像、下の行

の (Z/nZ)×については自然な全射により逆極限を取ると、次の位相群（左辺はKrull位相、

右辺は (Z/nZ)×に離散位相を与え、その位相空間としての逆極限を取る）としての同型を

得る：

Gal(Q(ζn; n ∈ N)/Q) ∼= lim←−n

(Z/nZ)×.

2

これらはコンパクトな完全不連結 Hausdorff位相群である．以下簡単のため、

D := lim←−n

(Z/nZ)×

と置く．

Qの最大Abel拡大体をQabとすると、Kronecker-Weberの定理により

Qab = Q(ζn; n ∈ N).

従って上の同型は、

Gal(Qab/Q) ∼= D. （2）

1.2 Abel体

J : C 3 α 7→ J(α) ∈ Cを複素共役とする．Q（やその部分体）に制限したものも同じ記号 J で表す．

定義 1.1. K を代数体とする．K が次の二つを満たすとき、K は J 体であるという：

• K = J(K).

• 任意の埋め込み φ : K → Cに対して、J ◦ φ = φ ◦ J .

補題 1.2. 次が成立：

1. 代数体Kが J 体であるための必要十分条件は、Kが総実である、もしくは、Kは総

虚代数体で、総実な部分体K+上 2次拡大である．

2. K が J 体で、その部分体 kが J(k) = kを満たすならば、kも J 体．

3. {Ki}i∈I を J 体の任意の族とすると、それらのQでの合成体は再び J 体．

証明. （1）について：J 体Kの部分体 F を F = {x ∈ K| J(x) = x}とする．J2 = 1よりK/F は 2次拡大．x ∈ F なら、任意の φ : K → Cについて J(φ(x)) = φ(J(x)) = φ(x)だから、xは総実．よって、K = F ならKは総実代数体であり、K 6= F ならば、φ(K)は実ではないので、K は総虚、かつ総実代数体 F 上 2次である．

逆に、Kが総実ならば J体である事は明らか．Kが総虚で、総実部分体K+上 2次拡大な

らば、あるα ∈ KでK = K+(α), J(x+αy) = x−αy (x, y ∈ K+)で、α2 = −b ∈ K+とな

3

るものが存在する．φ(J(x+αy)) = φ(x−αy) = φ(x)−φ(α)φ(y) = J(φ(x)+φ(α)φ(y)) =J(φ(x + αy))より、K は J 体である．

（2）、（3）は容易．

定義 1.3. 虚な J 体をCM体という．

注意 1.4. 補題 1.2の（3）で、全ての J 体の合成体KJ もまた J 体で、特にCM体である．

その最大実部分体K+J は、Q の最大実部分体でもある．

K/Qを Galois拡大（必ずしも有限次でない）とする．するとK = J(K)であり、J ∈Gal(K/Q). 定義から、K が J 体であるための必要十分条件は、J ∈ Gal(K/Q)の中心．よって、K/Q がAbel体なら、K は J 体．さらに、Qab ⊂ KJ .

以下この節を通して、以下の記号を使う：kを有限次 CM体、d = [k : Q], k+を kの最

大実部分体、[k : k+] = 2, [k+ : Q] = d/2, h = h(k), h+ = h(k+)をそれぞれ k, k+の類数、

E, E+を k, k+の単数群、R, R+を k, k+の単数基準、W を k内の 1の冪根のなす群、kの

unit index Q(k)を、

Q(k) := 2d2−1 R

+

R（3）

と定義する．

補題 1.6の証明に必要な、次の補題を先に述べる．

補題 1.5. L/Kを有限次代数体の拡大、h(K), h(L)をそれぞれK,Lの類数とする．K の

素点で、Lで完全分岐するものが存在すれば、h(K)|h(L).

証明. K̃, L̃をそれぞれK, Lの Hilbert類体（最大不分岐 Abel拡大体）とする．h(K) =

[K̃ : K], h(L) = [L̃ : L].

K̃/Kが不分岐Abel拡大ゆえ、K̃ ·L/Lもそうで、K̃ ·L ⊂ L̃. よって [K̃ ·L : L]|[L̃ : L] =h(L). K̃∩L ⊂ K̃ゆえ K̃∩L/Kは不分岐拡大だが、一方 K̃∩L ⊂ Lで、L/Kでは完全分岐する素点が存在するから、K̃∩L = K. よって、[K̃ ·L : L] = [K̃ : K̃∩L] = [K̃ : K] = h(K).よって、h(K)|h(L).

補題 1.6. 上の記号で、

1. h+|h, 即ち、ある自然数 h− = h−(k) ∈ Nが存在して、h = h−h+. h−(k)を CM体kの相対類数という．

2. Q(k) = [E : WE+] = 1, 2.

4

証明. （1）について：補題 1.5を、k/k+について適用する．k+の実素点が kで完全分岐

するから、h+|h.（2）について：単数基準の定義を復習する．代数体 kについて、k(1), . . . , k(r1)を kの

実な共役体とする．また、k(r1+1), . . . , k(r1+r2)を虚な共役体とし、k(r1+r2+1), . . . , k(r1+2r2)

を、それらの複素共役で対応する体とする．α ∈ kについて、α(i) ∈ k(i)を i 番目の共役元として、

l(i)(α) =

log |α(i)| (i = 1, . . . , r1),2 log |α(i)| (i = r1 + 1, . . . , r = r1 + r2 − 1)

とする．Dirichlet の単数定理によって、E は階数 r の自由 Abel 群である．即ち、ある

ε1, . . . , εr ∈ Eによって、任意の ε ∈ Eは ε = ρεa11 . . . εarr と書ける（ρ ∈ W）. このとき、

R = | det(l(i)(εj))i,j=1,...,r|

は ε1, . . . , εr ∈ E の取り方によらず定まる事が容易にわかり、これを kの単数基準というのだった．

さて（2）の証明に戻ると、まず E, E+ について、Dirichletの単数定理から、Abel群

としての階数がともに (d/2) − 1である事がわかる．実際、rankE = r2 − 1 = (d/2) −1, rankE+ = r1(k+) − 1 = (d/2) − 1. 従って指数 [E : E+] < ∞がわかる．α ∈ kについて、α(1), . . . , α(d)をαのQ上の共役で、上のように並べたものとする（よって α(i+(d/2)) =

α(i), i = 1, . . . , (d/2)．準同型 f : E → Rrを、

f : E 3 ε 7→ (log |ε(1)|, . . . , log |ε(r)|) ∈ Rr

と定める．Minkowski単数の存在により Im (f) = f(E)は Rr 内の格子になる．また、後

述する補題 1.10から、ker f = W , 即ち、全ての共役の絶対値が 1であるような代数的整数

は 1の冪根であることが示される．

{f(ε1), . . . , f(εr)}を f(E)のZ上の基底とする（例えば {ε1, . . . , εr}を基本単数にとる）．kが総虚だから、R = | det(2 log |ε(i)j |)i,j=1,...,r|. 一方、f(E+)は f(E) ⊂ Rrの部分格子で、{η1, . . . , ηr} を k+の基本単数とすると、R+ = | det(log |η(i)j |)i,j=1,...,r|. ker f = W ゆえ、f(E) ∼= E/W , f(E+) = E+W/W . よって、

[E : E+W ] = [f(E) : f(E+)] =| det(log |η(i)j |)|| det(log |ε(i)j |)|

=R+

2−rR= 2

d2−1 R

+

R= Q(k).

5

次に [E : E+W ] = 1, 2を示す．ε ∈ Eについて、ε/ε ∈ Eを考える．(ε/ε)(i) = ε(i)/(ε)(i)である．φi : k 3 α 7→ α(i) ∈ Cとする．kが J 体だから、(ε)(i) = φiJ(ε) = Jφi(ε) = ε(i).よって全ての i = 1, . . . , dについて、|(ε/ε)(i)| = 1がいえる．補題 1.10から、ε/ε ∈ W .よって g : E 3 ε 7→ ε/ε ∈ W という準同型を得た．容易にわかるように、ker g = E+.従って g(E) = E/E+, g(W ) = E+W/E+. Q(k) = [E : WE+] = [g(E) : g(W )]である．

ζ ∈ W に対し、g(ζ) = ζ2である．よって g(W ) = W 2. −1 ∈ W よりW は偶数位数の巡回群なので、[W : W 2] = 2. よって、

W 2 = g(W ) ⊂ g(E) ⊂ W

となるが、Q(k) = [g(E) : g(W )]であり、一方 [W : W 2] = 1, 2なので、Q(k) = 1, 2を得

る．

注意 1.7. 補題 1.5から、n|mならば h(Q(ζn))|h(Q(ζm)), h+(Q(ζn))|h+(Q(ζm))が示される．また、n|mならば h−(Q(ζn))|h−(Q(ζm))がMasleyによって示されている．さらに、h(Q(ζn)) = 1となる nが完全に決定されている（H. Montgomery, K. Uchida,［Was］の

Chapter 11参照）．

さらに一般に、CM体の包含関係 k ⊂ K があると、h−(k)|4h−(K)も知られている（虚Abel体の場合はK. Horie［1］, 一般の CM体の場合 R. Okazaki［2］）.

注意 1.8. 上の補題 1.6の証明の記号で、W = 〈ζ〉とすると、Q(k) = 2となる必要十分条件は、g(ε) = ε/ε = ζ となる ε が存在する事である事もわかった．

例 1.9. 円分体Q(ζn)については、Q(Q(ζn)) = 1となる必要十分条件は nが素数冪である

こと（そうでない場合はQ(Q(ζn)) = 2）が示される．例えば［木村］, 定理 3.19.

補題 1.10. 有限次代数体 kの代数的整数 αが、全てのQ上の共役 α(i)の絶対値が 1とい

う性質を満たすなら、αは 1の冪根である：α ∈ W .

証明. Oで kの整数環を表す．整数底によって O = Zω1 + · · · + Zωd 3 α =∑

xjωj と書

くと（xj ∈ Z）、α(i) =∑

xjω(i)となる．A = (ω(i)j )とすると、

α(1)

...

α(d)

= A

x1...

xd

∈ M := A · Z

d ∩

z1...

zd

∈ C

d; |zi| = 1, (i = 1, . . . , d)

となる．M は離散集合かつコンパクト集合であるから、有限集合になる．αの任意の冪αm

にも同じ事がいえるから、あるmについて αm = 1, 即ち αは 1の冪根．

6

2 Dirichlet指標

2.1 Dirichlet指標

自然数 nに対して、自然な全射D → (Z/nZ)×をϕnと書く．さらに、mも自然数で n|mとする．このとき、ϕn,m : (Z/mZ)× → (Z/nZ)×を自然な全射とする．D̂ := Homc(D,C×)とする（右辺はD から 0以外の複素数のなす乗法群 C×への連続準

同型の全体が、値の積によってなす群）．D̂の元をDirichlet指標という．

補題 2.1. 任意のDirichlet指標 χ ∈ D̂について、ある自然数 nと (Z/nZ)×の指標 χ′が存在して、

χ = χ′ ◦ ϕn : D → (Z/nZ)× → C×.

証明. {kerϕn|n ∈ N}はDの単位元の基本近傍系をなす部分群の族である．χが連続なので、1 ∈ C×の十分小さい近傍N について、あるN 3 n ≥ 1が存在して χ(kerϕn) ⊂ N . しかし χ(kerϕn)は群だから、χ(kerϕn) = {1}でなければならない．従って χ′ : D/ kerϕn ∼=(Z/nZ)× → C×が導かれ、χ = χ′ ◦ ϕnである．

χ ∈ D̂に対して、上の補題で定まる nは一意ではない．n|mなら、χ = (χ′ ◦ϕn,m) ◦ϕm,χ′ ◦ ϕn,mは (Z/mZ)×の指標、である．しかし、χに対してある nを取れば、この nについては、χ = χ′ ◦ ϕn を満たす χ′ :

(Z/nZ)× → C×は一意に決る．このとき、χは「法 nで定義される」という．更に、

fχ := min{n ∈ N |χは法 nで定義される }

とおいて、fχを χの導手という．

n ∈ Nを固定すると、上に述べたように χ = χ′ ◦ ϕn なる χ′ : (Z/nZ)× → C×は一意に決る．よって、

D̂ ⊃ {χ ∈ D̂ : χは法 nで定義される } 3 χ 7→ χ′ ∈ Hom((Z/nZ)×,C×)

という同型が定まる．これによって、χ ∈ D̂と fχとに対して、

χ̃ : Z 3 a 7→ χ̃(a) ∈ C

を、gcd(a, fχ) = 1なら χ̃(a) = χ′(a mod fχ), gcd(a, fχ) 6= 1なら χ̃(a) = 0と定める．記号を濫用して、χ ∈ D̂について定まる χ̃も同じ文字 χで表す．Z上の関数として

7

• χ(ab) = χ(a)χ(b), ∀a, b ∈ Z

• a ≡ b mod fχならば χ(a) = χ(b)

• (a, fχ) = 1ならば χ(a)は 1の羃根、(a, fχ) 6= 1 ならば χ(a) = 0, 特に |χ(a)| ≤ 1

• χが法 nで定義されており、(a, n) = 1ならば χ(a) = χ(a mod n)

が成り立つ．

例 2.2. D̂の単位元を χ0と書いて、principal Dirichlet指標という．χ0(a) = 1, (∀a ∈ D).また fχ0 = 1. χ0(a) = 1, (∀a ∈ Z).

例 2.3. χ ∈ D̂に対し、ψ = χ−1とすると、ψ : Z→ Cと考えたとき、ψ(a) = χ(a), (a ∈ Z)（右辺は複素共役）．

注意 2.4. χ1, χ2 ∈ D̂ がどちらも法 nで定義されているなら、χ1χ2 ∈ D̂ もそうである．上記のように χ1χ2 : Z → Cと見たとき、(a, n) = 1ならば χ1χ2(a) = χ1(a)χ2(a)だが、(a, n) 6= 1ならば χ1χ2(a) 6= χ1(a)χ2(a)に注意せよ．例えば χ2 = χ−11 なら、χ1χ−11 = χ0だが、(a, n) 6= 1ならば χ1(a) = 0である．

定義 2.5. χ ∈ D̂が法 nで定義されている Dirichlet指標の時（即ち χ ∈ ̂(Z/nZ)×の時）、χ(−1) = χ(−1 mod n) = ±1である．χ(−1) = 1の時、χを偶指標といい、χ(−1) = 1の時奇指標という．χが偶指標か奇指標かに応じて、δχ = 0, 1と定める．

2.2 Galois群の指標としてのDirichlet指標

Gを位相群とし、χ : G → C×を連続な指標（連続な準同型）とする．像 Im χが可換だから、核 kerχは（位相群としての）交換子群 [G,G]を含む：[G,G] ⊂ kerχ. 従って χは、G の最大Abel商Gab = G/[G,G]を経由する：

Gχ−−−−→ Imχ ⊂ C×y

xGab = G/[G,G] −−−−→ G/ kerχ

上記を、Qの Galois群 GQ = Gal(Q/Q)に当てはめて考える．GQ の最大 Abel商は、Gal(Qab/Q)に等しい．従って、式（2）と併せると、次を得る：

8

定理 2.6. ĜQ = Homc(GQ,C×) = D̂.

ψ ∈ ĜQの元に上記の同型で対応する D̂の元を χψ と書く事にする．同様に、χ ∈ D̂に対応する ĜQの元を ψχと書く．

k/QをAbel拡大とすると、Gal(k/Q) ∼= Gal(Qab/Q)/Gal(Qab/k)だから、̂Gal(k/Q) = {ψ ∈ ̂Gal(Qab/Q)|ψ|Gal(Qab/k) = 1} ⊂ ̂Gal(Qab/Q).

定義 2.7. χ ∈ D̂が Abel拡大 k/Qに付随するとは、ψ = ψχ ∈ ̂Gal(k/Q)となることをいう．

定義から、Abel拡大 k/Qに付随するDirichlet指標の全体X(k)は、 ̂Gal(k/Q)に同型で

ある．

X(k) ∼= ̂Gal(k/Q).[k : Q] = ]Gal(k/Q) < ∞なら ] ̂Gal(k/Q) = [k : Q] < ∞.

例 2.8. n ∈ Nについて、k = Q(ζn)の場合を考えると、Gal(Qab/Q) ∼= DからGal(k/Q) ∼=(Z/nZ)×. 従って、χ ∈ D̂が kに付随する↔ ψ = ψχ ∈ ̂Gal(k/Q) ↔ χ ∈ ̂(Z/nZ)× ↔fχ|n. 特にQ(ζn)/Qに付随する指標全体X(Q(ζn))は、 ̂(Z/nZ)×とみなせる．式（1）により、a mod n ∈ (Z/nZ)×について、χ(a mod n) = ψχ(σa)である．

例 2.9. n ∈ NについてQ(ζn)/Qを考える．Jを複素共役（をQ(ζn)に制限したもの）とすると、J ∈ Gal(Q(ζn)/Q). J(ζn) = ζn = ζ−1n だから、J = σ−1. よって ψ ∈ ̂Gal(Q(ζn)/Q)について、ψ(J) = χψ(−1) = (−1)δχ = ±1である．k/Qが有限次Abel体の場合も同様．

3 DirichletのL関数

3.1 定義と幾つかの基本的な性質

χをDirichlet指標とする．自然数M と s = σ + τ√−1 ∈ C, σ, τ ∈ Rについて、

∣∣∣∣∣M∑

n=1

χ(n)ns

∣∣∣∣∣ ≤M∑

n=1

|χ(n)|nσ

であり、先に見たように |χ(a)| ≤ 1なので、σ > 1において∞∑

n=1

χ(n)ns

は広義一様に絶対収束し、この範囲で正則関数となる．

9

定義 3.1. χをDirichlet指標とする．s ∈ C, Re (s) > 1について

L(s, χ) =∞∑

n=1

χ(n)ns

を χに関するDirichlet L関数という．

χに関するDirichlet L関数について以下のような事実が成り立つ：

事実 3.2. Euler積L(s, χ) =∏

p(1−χ(p)p−s)−1, (Re (s) > 1)を持つ．従って特にRe (s) > 1において L(s, χ) 6= 0.

事実 3.3. L(s, χ)は全平面に有理型に解析接続され、さらに χ 6= χ0ならば全平面で正則．

事実 3.4. χ = χ0ならば、L(s, χ0) = ζ(s)はRiemann zeta関数であり、全平面で有理型、

s = 1がただ一つの極で、極の位数は 1, そこでの留数は 1.

事実 3.5. χ 6= χ0ならば、L(1, χ) 6= ∞. （系 4.7で見るように、L(1, χ) 6= 0）．

事実 3.6. 次の関数等式を持つ．Γ(s)をガンマ関数、τ(χ) =∑f

a=1 χ(a) exp(2π√−1a/f),

（f = fχ）をGauss和とする．更に、χ(−1) = 1なら δ = 0, χ(−1) = −1なら δ = 1とする．このとき、

Λ(s, χ) = Γ(

s + δχ2

)L(s, χ)

とおくと、 (f

π

) s2

Λ(s, χ) = Wχ

(f

π

) 1−s2

Λ(1− s, χ), （4）

ただしWχ =τ(χ)√

fχ√−1δ .

命題 3.7. 上の記号で、|τ(χ)| = √fχ, |Wχ| = 1.

証明. 式（4）で、s → 1− s, χ → χと置き換えると、(

f

π

) 1−s2

Λ(1− s, χ) = Wχ(

f

π

) s2

Λ(s, χ) = WχWχ

(f

π

) 1−s2

Λ(1− s, χ).

よってWχWχ = 1. 従って τ(χ)τ(χ) = fχχ(−1).

τ(χ) =∑

a

χ(a) exp(2π√−1(−a)/f) = χ(−1)τ(χ) = χ(−1)τ(χ)

だから、τ(χ)τ(χ) = χ(−1)|τ(χ)|2. よって前半が示された．後半はこの結果とWχの定義から直ちに従う．

10

3.2 Bernoulli数、Bernoulli多項式、一般化Bernoulli数

Dirichletの L関数の負の整数点での値を記述するために必要となる、一般化 Bernoulli

数とそれに関連した事実を述べる．

定義 3.8. nを非負整数として、n番目のBernoulli数Bnを次の冪級数の展開係数として

定める：t

exp(t)− 1 =∞∑

n=0

Bntn

n!∈ Q[[t]].

補題 3.9. n ≥ 1について、B2n+1 = 0.

証明.

∞∑

n=0

Bn(−t)n

n!=

−texp(−t)− 1 =

t exp(t)exp(t)− 1 =

t

exp(t)− 1 + t =∞∑

n=0

Bntn

n!+ t.

による．

定義 3.10. χを Dirichlet指標、f = fχをその導手、nを非負整数とする．χに関する n

番目の一般化Bernoulli数Bn,χを、次の冪級数の展開係数として定める：

f∑

a=1

χ(a)t exp(at)exp(ft)− 1 =

∞∑

n=0

Bn,χtn

n!∈ Q[[t]]. （5）

定義 3.11. 非負整数 nに対して、n番目のBernoulli多項式Bn(x)を、次の冪級数の展開

係数として定める：t exp(xt)exp(t)− 1 =

∞∑

n=0

Bn(x)tn

n!.

補題 3.12. 任意のn ≥ 0に対してBn(1−x) = (−1)nBn(x). またBn(x) =∑n

i=0 nCiBixn−i

（nCi は 2項係数）.

証明. 始めの式は、

∑Bn

(1− x)tnn!

=t exp((1− x)t)

exp(t)− 1 =t exp(−xt)1− exp(−t) =

(−t) exp(−xt)exp(−t)− 1 =

∑B−x

(−t)nn!

による．次は、Bernolli多項式の母関数が t/(exp(t)−1) = ∑Bntn/n!とexp(xt) =∑

xntn/n!

の積である事から．

11

注意 3.13. Bernoulli数や一般化Bernoulli数の定義は、文献により微妙に異なるので注意

が必要である．上述の定義は、［Was］, ［木村］ と同じ．χ = χ0のとき、∞∑

n=0

Bn,χ0tn

n!=

t exp(t)exp(t)− 1 =

t

exp(t)− 1 + t

なので、n 6= 1のときBn,χ0 = Bn. 一方B1,χ0 = 1/2, B1 = −1/2となる．また、χ 6= χ0ならば、B0,χ = 0である（

∑fa=1 χ(a) = 0だから）．

Bnの母関数として t exp(t)/(exp(t)−1), Bn(x)の母関数として t exp((t+1)x)/(exp(t)−1)を取る流儀もあり、これだとBn,χ0 = Bn, (n ≥ 1)となる．

命題 3.14. χをDirichlet指標、F を f = fχの任意の倍数とすると、

Bn,χ = Fn−1F∑

a=1

χ(a)Bn( a

F

).

証明.∞∑

n=0

Fn−1F∑

a=1

χ(a)Bn( a

F

) tnn!

=F∑

a=1

χ(a)t exp( aF Ft)exp(Ft)− 1 .

g = F/fχ, a = b + cf として、

f∑

b=1

g−1∑

c=0

χ(b)t exp((b + cf)t)exp(fgt)− 1 =

f∑

b=1

χ(b)t exp(bt)

exp(ft)− 1 =∞∑

n=0

Bn,χtn

n!.

補題 3.15. χをDirichlet指標とする．χに対して、事実 3.6のように δを定めると、

Bn,χ = 0 if n 6≡ δ mod 2.

証明. 一般化 Bernoulli数の定義式（5）の左辺を F (t, χ) と書くと、容易にわかるように

F (−t, χ) = texp(ft)− 1

∑a

χ(a) exp((f − a)t).

δ = 0なら χ(−1) = 1だから

F (−t, χ) = texp(ft)− 1

∑a

χ(f − a) exp((f − a)t) = F (t, χ).

δ = 1なら χ(−1) = −1だから

F (−t, χ) = −texp(ft)− 1

∑a

χ(f − a) exp((f − a)t) = −F (t, χ).

12

3.3 L関数の負の整数点での値

定理 3.16. χをDirichlet指標とする．

L(1− n, χ) = −Bn,χn

(n ≥ 1).

証明. 証明は成書（［木村, Lang, Narkiewicz, Was］など）に譲り、ここでは、特殊値と

して一般化 Bernoulli数があらわれる理由がわかるようなスケッチにとどめる．

f = fχを χの導手とする．a, b ∈ Zが a ≡ b (mod f)なら χ(a) = χ(b)であるから、

L(s, χ) =∑

n≥1

χ(n)ns

=f−1∑

a=0

χ(a)∑

n≡a (mod f)

1ns

=f−1∑

a=0

χ(a)∑

m≥1

1(mf + a)s

.

ここでHurwitz zeta関数 ζ(s;α), 0 ≤ α < 1を

ζ(s;α) =∑

m≥1

1(m + α)s

(0 ≤ α < 1)

と定義すると、容易にわかるように

L(s, χ) =1fs

f−1∑

a=0

χ(a)ζ(s;a

f).

ここで、関数H(s, α)を

H(s, α) =∫

Cε

zs−1exp(αz)

exp(z)− 1dz

と定義する．但し、積分路Cεは、0 < ε < 2π について、次のように定義される：δ > 0を

十分小さい実数とし、半直線 {(x,−δ)| −∞ < x ≤ −√ε2 − δ2}に左から右に向きをつけたもの、(−√ε2 − δ2,−δ)から (−√ε2 − δ2, δ)までの、原点中心、半径 ε の円周の優弧に反時計周りに向きをつけたもの、半直線 {(x, δ)| − ∞ < x ≤ −√ε2 − δ2}に右から左に向きをつけたもの、の合併が Cεである．すると、

ζ(s; α) = −Γ(1− s)2π√−1 H(s; α) (Re (s) > 1)

が成り立つことが示される．

よって ζ(1− n; a/f) = − Γ(n)2π√−1H(1− n; a/f)であるが、

12π√−1H(1−n;

a

f) =

12π√−1

∫

Cε

z−nexp( af z)

exp(z)− 1dz = z−n exp(

af z)

exp(z)− 1 の s = 0での留数.

13

ここで Bernoulli多項式の定義（定義 3.11）を思い出すと、

z−nexp( af z)

exp(z)− 1 = z−n−1 z exp(

af z)

exp(z)− 1 = z−n−1 ∑

m≥1Bm(

a

f)zm

m!

であるから、1

2π√−1H(1− n;

a

f) = Bn(

a

f)

1n!

が分かった．従って、

ζ(1− n; af

) = − 1n

Bn(a

f).

まとめると、

L(1− n, χ) = fn−1∑

a

χ(a)ζ(1− n; af

) =−fn−1

n

∑a

χ(a)Bn(a

n) = −Bn,χ

n.

最後の等式は、命題 3.14による．

3.4 L関数の 1での値

定理 3.17. χ 6= χ0をDirichlet指標、f = fχをその導手とする．

L(1, χ) = π√−1τ(χ)

fB1,χ = π

√−1τ(χ)f

1f

f∑

a=1

χ(a)a if χ(−1) = −1. （6）

L(1, χ) = −τ(χ)f

f∑

a=1

χ(a) log |1− ζaf | if χ(−1) = 1, χ 6= χ0. （7）

証明. やはり証明は成書に譲るが、χ(−1) = −1の場合は、関数等式（事実 3.6）と、L(0, χ)の値（定理 3.16の n = 1 の場合）とから導くことができることに注意しておく．

4 解析的類数公式

4.1 Dedekind ζ関数とその性質

kを有限次代数体、Okをその整数環とし、Ok ⊃ a を整イデアル、N(a) := [Ok : a]を aのノルムとする．

定義 4.1. 有限次代数体 kのDedekind zeta関数 ζk(s)を次で定義する（和は整イデアル全

体に渡る）：

ζk(s) =∑a

1N(a)s

(Re (s) > 1).

14

事実 4.2. 次が成立（例えば［Weil］, Chapter 7参照）：

• Euler積 ζk(s) =∏

p(1−N(p)−s)−1, Re (s) > 1を持つ．積は kの全ての素イデアルに渡る．

• ζk(s)は全平面に有理型に解析接続される．s = 1が唯一の極で、極の位数は 1位．

• s = 1での留数は、次で与えられる：

Ress=1

ζk(s) =2r1(2π)r2h(k)R(k)

w(k)√|D(k)| .

ただし、r1は kの実素点の個数、r2は kの虚素点の個数（r1 + 2r2 = [k : Q]）、h(k)

は kの類数、R(k)は kの単数基準、w(k)は k内の 1の冪根のなす群の位数、D(k)

は kの判別式．

• G1(s) = π−s/2Γ(s/2), G2(s) = (2π)−sΓ(s), Z(s) = G1(s)r1G2(s)r2ζk(s)とおくと、次の関数等式を満たす：

|D(k)| s2 Z(s) = |D(k)| 1−s2 Z(1− s).

4.2 Abel体の ζ関数 = L関数の積

Hilbertの分岐理論の必要な部分だけを述べる．K/kを有限次Abel拡大、pをkの素イデア

ルとする．Zを pのK/kについての分解群（PをKの素イデアルで pの上にあるものとした

とき、Z = {σ ∈ Gal(K/k)|Pσ = P}）、TをpのK/kに関する惰性群（T = {σ ∈ Z| zσ ≡ zmod P, z ∈ OK}）．G = Gal(K/k) ⊃ Z ⊃ T で、g = [G : Z], f = [Z : T ], e = ]T とすると、efg = ]G = [K : k]. pのK での分解の様子は、p = (P1 . . .Pg)e, Piは異なる素イデ

アルで、NK/k(Pi) = pf , (i = 1, . . . , g).

Z/T ∼= Gal((OK/P)/(Ok/p))は位数 f の巡回群であるから、Z/T = 〈σ〉と書ける．σをpの Frobenius自己同型という．これは mod T で定まる．

補題 4.3. ψ ∈ Ĝ = Hom(G,C×)に対し、

ψ(σT ) =∑

ρ∈σTψ(ρ) = ψ(σ)

∑

τ∈Tψ(τ)

とおく．このとき

ψ(σT ) =

eψ(σ) ψ|T = 1,0 ψ|T 6= 1.

15

証明. 明らか．

補題 4.4. 上記の記号で、不定元X について、

∏

ψ∈ bG(

1− 1eψ(σT )X

)= (1−Xf )g.

証明. ψ(σT )は ψ|Z にのみ依存して決まる．[G : Z] = gゆえ、ψ ∈ Ĝで ψ|Z ∈ Ẑ が等しくなるものが g個ある（](Ĝ/Z) = g）．

∏ψ∈ bZ(1 − (1/e)ψ(σT )X) = 1 − Xf を示せばよい．ψ|T 6= 1なら ψ(σT ) = 0. よって

1− (1/e)ψ(σT )X = 1. ψ|T = 1なら ψ ∈ Ẑ/T . (1/e)ψ(σT ) = (1/e)eψ(σ) = ψ(σT ).Z/T は位数が f の巡回群だから、

∏ψ∈ bZ(1− (1/e)ψ(σT )X) = ∏ψ∈dZ/T (1−ψ(σT )X) =∏f

a=1(1− ζaf X) = (1−Xf ).

元の状況に戻って、上の議論を有限次 Abel拡大 k/Qに適用する．p = p ∈ Q, Pを pの上にある kの素イデアルとする．χ ∈ D̂を kに付随した Dirichlet指標、χに対応するGalois群の指標を ψ = ψχ ∈ ̂Gal(k/Q) ⊂ ̂Gal(Qab/Q)とする．

補題 4.5. 有限次 Abel拡大 k/Qにおいて、素数 pの分岐指数を eとする．上の記号の元

で、(1/e)ψ(σT ) = χ(p).

証明. Kronecker-Weber の定理から、n ∈ N で Q ⊂ k ⊂ Q(ζn) なるものが存在する．n = n′pa, gcd(n′, p) = 1, a ≥ 0とする．するとQ(ζn′)は pのQ(ζn)における惰性体になる事はよく知られている．よって k ∩ Q(ζn′)は pの kでの惰性体：T = Gal(k/k ∩Q(ζn′)).よって、

ψ|T = 1 ←→ ψ|Gal(k/k∩Q(ζn′ )) = 1. （8）

以下 ψ|T = 1が fχ|n′と同値である事を示す（χ = χψ）．ψ ∈ ̂Gal(k/Q)は、ψ ∈ ̂Gal(Qab/Q)かつ ψ|Gal(Qab/k) = 1と同値．ここで、Gal(Qab/k ∩Q(ζn′)) = Gal(Qab/k) ·Gal(Qab/Q(ζn′))に注意する．式（8）は、ψ|Gal(Qab/k∩Q(ζn′ )) = 1と同値で、これは ψ|Gal(Qab/Q(ζn′ )) = 1と同値．更にこ

れは ψ ∈ ̂Gal(Q(ζn′)/Q)と同値で、従って χ = χψ ∈ ̂(Z/nZ)×と同値．これは最終的に、fχ|n′と同値である．さて補題の証明に戻る．まずψ|T 6= 1とする．この時、p|fχ, (χ = χψ)を示そう．上に述べた事から fχ - n′. 一方 ψ ∈ ̂Gal(k/Q) ⊂ ̂Gal(Q(ζn)/Q)より、χ = χψ ∈ ̂(Z/nZ)×. よって fχ|n = n′pa. 従って p|fχ.

16

よってDirichlet指標の定義から、χ(p) = 0. 一方ψ|T 6= 1から補題4.5により (1/e)ψ(σT ) =0 = χ(p).

次に ψ|T = 1 の場合．このとき fχ|n′. r ∈ Z を、gcd(r, n) = 1, r ≡ p mod n′ ととる．σr : ζn 7→ ζrn は Q(ζn) における p の Frobenius 自己同型．ψ ∈ ̂Gal(k/Q) ゆえ、ψ ∈ ̂Gal(Q(ζn)/Q). ψ(σ) = ψ(σr) = χ(r) = χ(p). よって、ψ|T = 1から、補題 4.5により(1/e)ψ(σT ) = ψ(σ) = χ(p).

定理 4.6. k/Qを有限次Abel拡大とすると、

ζk(s) =∏χ

L(s, χ).

ただし積は kに付随する全てのDirichlet指標を渡る．

証明. Re (s) > 1で証明すれば良い．この範囲で、ζk(s) =∏

p(1−N(p)−s)−1,∏

χ L(s, χ) =∏χ

∏p(1− χ(p)p−s)−1という表示をもつ．従って、素数 pを固定して、各 p毎に

∏

p|p(1−N(p−s)) =

∏χ

(1− χ(p)p−s)

が成り立つ事（ただし、左辺の積は、kの素イデアル pで、p の上にあるものすべてに渡

る）を示せば十分．

k/Q, 有理素数 pについて、e, f, g は上述の通り、分岐指数、分解次数、pの上にある

素イデアルの個数とする．従って p|pとなる素イデアルは g 個あり、N(p) = pf だから、∏

p|p(1−N(p−s)) = (1−p−fs)g. これは補題 4.4により∏

ψ∈ bG (1− 1eψ(σT )p−s)に等しい．さらにこれが補題 4.5により

∏χ(1− χ(p)p−s)即ち右辺に等しい（χ = χψ）．

系 4.7. Dirichlet指標 χ ∈ D̂, χ 6= χ0について L(1, χ) 6= 0.

証明. k/Qを、χが付随する有限次 Abel拡大とする（例えば χが法 nで定義されている

なら、k = Q(ζn)とする）．定理 4.6より

ζk(s) =∏

χ′L(s, χ′) = ζ(s)L(s, χ)

∏

χ′ 6=χ0,χL(s, χ).

ただしはじめの積は k/Qに付随する全てのDirichlet指標に渡る．ζk(s), ζ(s)は s = 1で 1

位の極を持ち、一方 L(s, χ′)は s = 1で有界である（事実 3.2）．よって L(1, χ) 6= 0.

注意 4.8. 系 4.7の初等的な証明は知られていない．

17

定理 4.6の応用として、導手判別式定理（conductor-discriminant formula）を示す．

定理 4.9. k/Qを有限次Abel体とする．このとき

|D(k)| =∏

χ∈X(k)fχ,

∏

χ∈X(k)Wχ = 1.

証明. 関数 Y (s), s ∈ Cを、

Y (s) =|D(k)| s2 Z(s)

∏χ∈X(k)

(fπ

)−s2 Λ(s, χ)

とおく（事実 3.6, 事実 4.2参照）．Dirichlet L関数とDedekind ζ 関数の関数等式から、

Y (s) =|D(k)| 1−s2 Z(1− s)

∏χ∈X(k) Wχ

(fπ

)− 1−s2 Λ(1− s, χ)

=|D(k)| 1−s2 Z(1− s)

∏χ∈X(k) Wχ

(fπ

)− 1−s2 Λ(1− s, χ)

=∏

χ∈X(k)WχY (1− s).

定理 4.6から

Y (s) =|D(k)| s2 G1(s)r1G2(s)r2

∏χ∈X(k)

(fπ

)− s2 Γ

(s+δχ

2

)

となる（G1(s), G2(s)については、事実 4.2参照）．ここで、次が成立：

Γ(

s2

)r1 Γ(s)r2∏

χ∈X(k) Γ(

s+δχ2

) = 2r2s

(2√

π)r2.

これは、r1 = [k : Q], r2 = 0と r1 = 0, r2 = [k : Q]/2の 2 つの場合をそれぞれ確かめれば

良い．

まとめると、

Y (s) =

(|D(k)|∏χ∈X(k) fχ

) s2

(2√

π)r2 .

一方 Y (s) =∏

χ WχY (1− s)だったから、(|D(k)|∏

χ fχ

) s2

=∏χ

Wχ

(|D(k)|∏

χ fχ

) 1−s2

つまり

(|D(k)|∏

χ fχ

)s=

∏χ

Wχ

(|D(k)|∏

χ fχ

) 12

.

右辺が定数だから、これで定理の主張を得る．

18

4.3 解析的類数公式

定理 4.10. k/Qを有限次総実Abel体とする．このとき、

h(k) =1

R(k)

∏

χ 6=χ0

−1

2

fχ∑

a=1

χ(a) log |1− ζafχ | .

証明. 定理 4.6から ζk(s) = ζ(s)∏

χ6=χ0 L(s, χ)である．両辺の s = 1での留数を考えると、

事実 4.2と定理 3.17から、

2[k:Q]h(k)R(k)2√|D(k)| =

∏

χ 6=χ0

(−τ(χ)

fχ

∑a

χ(a) log |1− ζafχ |)

.

右辺で、τ(χ)/√

fχ = Wχ であり（k が総実ゆえどの指標も偶指標、δχ = 0）、また∏χ

√fχ =

√|D(k)|であることと、定理 4.9とあわせて、主張を得る．

定理 4.11. k/Qを有限次総虚Abel体とする．このとき、

h−(k) = w(k)Q(k)∏

χ∈X−(k)

(−1

2B1,χ

).

ただし、h−(k)は k の相対類数（補題 1.6）、w(k)は k 内の 1の冪根のなす群の位数で、

Q(k)は kの unit index.

証明. r1, r2をそれぞれ kの実、虚素点の個数とすると、d := [k : Q] = r1 + 2r2で、kが

総虚の仮定から r1 = 0. よって r2 = d/2. 定理 4.10と同じく、ζk(s) = ζ(s)∏

χ 6=χ0 L(s, χ)

の両辺の s = 1での留数を考えると、事実 4.2と定理 3.17から、

(2π)d2 h(k)R(k)

w(k)√|D(k)| =

∏

χ∈X(k),χ 6=χ0L(1, χ) =

∏

χ∈X+(k),χ6=χ0L(1, χ)

∏

χ∈X−(k)L(1, χ).

X+(k)についての積は、kの最大実部分体 k+に付随する指標に渡る積に他ならない．よっ

て定理 4.10から

(2π)d2 h(k)R(k)

w(k)√|D(k)| =

2[k+:Q]h(k+)R(k+)2√|D(k+)|

∏

χ∈X−(k)L(1, χ).

定理 3.17から、χ ∈ X−(k)について、L(1, χ) = π√−1(τ(χ)/fχ)B1,χ を代入して整理すると、 √

|D(k+)||D(k)|

h(k)h(k+)

=w(k)

2√−1

d2

R(k)R(k+)

∏

χ∈X−(k)

τ(χ)fχ

B1,χ.

19

導手判別式定理 4.9から、√|D(k+)||D(k)| =

∏

χ∈X−(k)fχ

12

,√−1

d2

∏

χ∈X−(k)

τ(χ)√fχ

= 1.

よって、補題 1.6の（1）より、h(k+)|h(k)と併せて、h(k)h(k+)

= h−(k) = w(k)2d2−1 R(k

+)R(k)

∏

χ∈X−(k)

(−1

2B1,χ

).

補題 1.6の（2）より、Q(k) = 2(d/2)−1(R(k+)/R(k))であった．

注意 4.12. kが p冪分体の最大実部分体の場合、h(k)が、単数群のある部分群の指数と等

しい事を後で見る（定理 4.16）．kが p冪分体の場合、h−(k)は、群環 Z[Gal(k/Q)]のある

イデアルの指数と等しい事が示される（山本氏の講演参照）．

注意 4.13. 虚Abel体の相対類数については、幾つかの行列式表示がしられている．例え

ば［Lang］, Chapter 3-§7.

4.4 p冪分体の類数と円単数の指数

この節では、pを有理素数、n ∈ N, kを pn分体 k = Q(ζpn)とする．kの類数の+部分、言い替えると、k の最大実部分体 k+の類数 h+を、円単数群と呼ばれる、単数群の部分群

の指数として書き表す定理 4.16がこの節の目標である．

定義 4.14. ζ = ζpn を 1の原始 pn乗根、k = Q(ζ), E を kの単数群とし、その部分群 C

を、

C = E ∩ 〈{±ζ, 1− ζa| 1 ≤ a ≤ n− 1}〉

とする．C を kの円単数群という．

また、kの最大実部分体 k+の単数群をE+とし、その部分群 C+を、

C+ = E+ ∩ C

とする．やはり C+を k+の円単数群という．

補題 4.15. 1. k+の円単数は、−1と単数

ξa = ζ1−a2

1− ζa1− ζ , 1 < a <

12pn, (p, a) = 1

で生成される．

20

2. kの円単数は、ζ と k+の円単数とで生成される．

証明. ξaが k+の単数であること（ξa = ξa）は容易にわかる．

（b）から先に示す．まず、円単数の定義から、1− ζa, a 6≡ 0 (mod pn)なる元を考えれば良い．次に、

1−Xpk =∏

j

(1− ζjpm−kX)

という恒等式から、

1− ζbpk =pk−1∏

j=0

(1− ζb+jpm−k).

(p, b + jpm−k) = 1なので、1 − ζa, (p, a) = 1なる元が、−1, ξaで書けることを示せば良い．更に、1− ζa = −ζa(1− ζ−a)より、1 ≤ a < pn/2としてよい．さて、

ξ = ±ζd∏

1≤a< p22(a,p)=1

(1− ζa)ca

が k = Q(ζ)の単数と仮定する．(1− ζa)の生成するイデアルはすべての aについて等しいから、

∑a ca = 0. よって、

ξ = ±ζd∏(1− ζa

1− ζ)ca

= ±ζe∏

ξcaa ,

ただし e = d + (1/2)∑

ca(a− 1). すなわち、（b）が示された．次に、もし上の ξが k+の単数なら、ξaが実であることから、ζeも実でなければならな

い．すなわち ζe = ±1.

定理 4.16. k+の円単数群 C+は、単数群E+の中で指数有限であり、次を満たす：

h(k+) = h(Q(ζpn)+) = [C+ : E+].

証明. 補題 4.15の {ξa}の単数基準が 0でないことを示す．ζ = ζpm , σa ∈ Gal(k/Q)をσa(ζ) = ζaなる自己同型、Gal(k+/Q) = {σa | 1 ≤ a < pm/2, (a, p) = 1},

ξa =(ζ−

12 (1− ζ))σa

ζ−12 (1− ζ)

21

とおく．次の補題 4.17を、f(σ) = log |(ζ−1/2(1 − ζ))σ| = log |(1 − ζ)σ|に適用する（σ ∈Gal(k+/Q)）．すると、

R({ξa}) := ±det(log |ξτa |)a,τ 6=1 = ±det(f(στ)− f(τ))σ,τ 6=1= ±

∏

χ 6=χ0χ∈ bG

∑

σ∈Gχ(σ) log |(1− ζ)σ| = ±

∏ ∑

1≤a

補題 4.18. kを代数体、Eをその単数群、W を 1の冪根のなす群、ε1, . . . , εrを、E/W の

中で乗法的に独立な元、それらが生成するE/W の部分群をAとする．同様に、η1, . . . , ηr

を E/W の中で乗法的に独立な元、それらが生成する E/W の部分群を B とする．もし

A ⊂ Bの指数 [B : A]が有限なら、

[B : A] =R(ε1, . . . , εr)R(η1, . . . , ηr)

.

証明. 補題 1.6の（2）の証明と同様．

注意 4.19. 定理 4.16は、k+のイデアル類群の位数と、E+/C+の位数が等しい事を述べて

いる．両者は群環Z[Gal(k+/Q)]上の加群だが、位数が等しいだけではなく、Z[Gal(k+/Q)]

加群としても同型だろうか？実はこれは成立しないことが比較的容易に示される．（［Was］

の Theorem 8.2の後の Remark）．

k+のイデアル類群、E+/C+の p部分に注目した場合、有名なVandiver予想「k+のイ

デアル類群の p部分は自明」が正しければ、両者の p部分は自明に一致する．

kが p分体の場合：k = Q(ζp), k+ = Q(ζp)+, k+のイデアル類群の p部分Aのχ(∈ X(k+))成分 εχAと、E+/C+のχ成分 εχ(C+/E+)の位数は等しい：|εχA| = |εχ(C+/E+)|.（εχ =(1/|G|) ∑σ∈G χ(σ)σ−1 ∈ Q[G], G = Gal(k/Q). ［Was］の Theorem 15.7., 山本氏の講演参照）．

注意 4.20. 定理 4.16の kが n分体の最大実部分体の場合や、一般の実Abel体の場合につ

いては、Sinnott［3］の結果がある．

4.5 例

Abel体 kの非自明で最も基本的な例が、2次体である．つまり、k = Q(√

D), Dは基

本判別式（i.e. 有理整数で、平方自由かつD ≡ 1 mod 4または、4|Dかつ (D/4) ≡ 2, 3mod 4）．2次体 kに付随するDirichlet指標は、principal Dirichlet指標 χ0と、Legendre-

Kronecker記号 χD(·) = (D/·)である：X(k) = {χ0, χD}. χD(a) = ±1, 0である．また、導手判別式定理から、χDの導手と kの判別式Dの絶対値とが等しい事もわかる．

k = Q(√

D)が実 2次体の場合を考える．このとき、定理 4.10から、

h(k)R(k) = −12

D∑

a=1

χ(a) log |1− ζaD|.

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ε > 1を kの基本単数（単数群の生成元）とすると、R(k) = log |ε|であるから、

ε2h(k) =f∏

a=1

(1− ζaD)−χD(a).

さらに、D = pが素数判別式（p ≡ 1 mod 4, k = Q(√p)）ならば、区間 (0, p/2)に平方剰余、平方非剰余が同数ある事と、1− ζap = 2 sin(πa/p)とから、

εh(k) =

∏b sin

πbp∏

c sinπcp

.

ただし bに関する積は、(0, p/2)内の法 pでの平方非剰余を、cに関する積は同じく平方剰

余を渡る．これらは、今の状況での定理 4.16と見る事が出来る．

kが虚 2次体 k = Q(√

D), D < 0の場合を考える．定理 4.11から（もしくは、ζk(s) =

ζ(s)L(s, χD) の両辺の s = 1での留数を直接見る事から）、

h(k) =(w(k)/2)|D|

|D|∑

a=1

χD(a)a = −w(k)2 B1,χD . （9）

（|χ(a)| ≤ 1だから、この式からh(k) < |D|が従う．しかし、実はより強く、log h(Q(√D)) =(1/2 + o(1)) log |D|, |D| → ∞である．［Narkiewicz］のChapter 8, Theorem 8.5の系 1．実 2次体 k については、h(k) <

√D(k)が成立する．ibid., Proposition 8.7）．

次に、2つの 2次体の合成体である、bicyclic biquadratic fieldの例を考える．簡単の為、

p ≡ q ≡ 3 (mod 4)とし、k1 = Q(√−p), k2 = Q(√−q)とし、考える bicyclic biquadraticfieldをK = Q(

√−p,√−q)とする．K の最大実部分体は k3 = Q(√pq)である．k1, k2に対応する非自明なDirichlet指標は、それぞれ χp(·) = (−p/·), χq(·) = (−q/·). 解析的類数公式から

h−(K) = w(K)Q(K)14B1,χpB1,χq .

p, q ≥ 5なら、w(K) = 2である．またQ(K) = 2が［Hasse］から従う．虚 2次体の類数公式（9）と見比べて、p, q ≥ 5で次の等式が成立する：

h−(K) = h(k1)h(k2).

一方、−p ≡ q ≡ 1 (mod 4)とし、K = Q(√−p,√q), k = Q(√−pq)とすると、

h−(K) =12h(Q(

√−p))h(k)

であることが示される（Horie［1］の Example 2）．

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参考文献

［Hasse］ Helmut Hasse, Über die Klassenzahl abelscher Zahlkörper, first ed., Springer-

Verlag, Berlin, 1985, With an introduction to the reprint edition by Jacques

Martinet. MR 87j:11122a

［木村］ 木村達雄、円分体の代数的類数公式、上智大学数学講究録 22.

［Lang］ Lang, S., Cyclotomic Fields, I and II, combined second ed., GTM 121, Springer-

Verlag.

［Narkiewicz］ Narkiewicz, W., Elementary and Analytic Theory of Algebraic Numbers,

Second. ed., Springer-Verlag.

［Was］ Washington, L. C., Introduction to Cyclotomic Fields 2nd ed., GTM 83,

Springer-Verlag.

［Weil］ Weil, A., Basic Number Theory, Die Grundlehren der Math. Wiss., vol. 144,

Springer-Verlag.

［1］ Kuniaki Horie, On a ratio between relative class numbers, Math. Z. 211 (1992),

no. 3, 505–521. MR 94a:11171

［2］ Ryotaro Okazaki, Inclusion of CM-fields and divisibility of relative class numbers,

Acta Arith. 92 (2000), no. 4, 319–338. MR 2001h:11138

［3］ W. Sinnott, On the Stickelberger ideal and the circular units of an abelian field,

Invent. Math. 62 (1980/81), no. 2, 181–234. MR 82i:12004

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