ABACOM Boletín Matemático

MAYO 2012

AÑO 11 N°41

Editorial

MATEMÁTICA Y FILOSOFÍA En esta edición

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pág

Reflexiones

¿Tengo cualidades para aprender

y/o enseñar matemática?. .......... .2

ABAQUIM .................................... .3

Luz, Cámara,…¡Matemáticas! ....... .3

Tópicos de Álgebra ........................ .4

Poesía Matemática ......................... .5

Anécdotas Matemáticas.. ............... .5

Alan Turing

El Padre de la Inteligencia Artifi-

cial. ............................................ .6

Turing y el Logo de Apple. ....... .6

El Test de Turing. ...................... .7

La Bomba vs. Enigma. .............. .7

Premio Turing. .......................... .8

2012: Año de Alan Turing. ....... .8

Rompiendo Códigos .................. .8

¡Bienvenidos al CECs! ................... .9

Científicos por un mes ................... .9

Concurso

Desafío a tu Ingenio……...…....10

Sopa Matemática…..…….….....10

Ciencia Entrete

Matemática y la Pascua de Resu-

rrección...…………..….………10

¡Cómo nos cambia la vida!........11

El Drama de Eratóstenes..…......11

Son-Risas Científicas…...……..11

Noticias

Patricio Felmer: Premio Nacional

de Ciencias Exactas 2011..…....12

Conferencia Internacional sobre

Ciencias de los Materiales……..12

¡Viaje Sorpresa al Pasado!.…....12

¡Santas Matemáticas!...……......12

La Matemática y la Filosofía han esta-

do ligadas a lo largo de la historia.

Muchos de los movimientos filosófi-

cos han debido buscar apoyo, inspira-

ción y hasta un modelo, tanto en el

estilo como en el modo de proceder de

la Matemática. Por otro lado, la Mate-

mática ha recurrido a la Filosofía para

desentrañar muchos temas conflictivos

que han surgido como: el infinito, la

completitud de las teorías, la lógica y

los fundamentos de la Matemática.

Los antiguos filósofos fueron excelen-

tes matemáticos, biólogos o astróno-

mos.

El filósofo, al intentar comprender los

enigmas que la realidad le propone,

usa la dinámica interna del pensamien-

to matemático y su estructura lógica,

lo que proporciona un campo ideal de

trabajo donde poner a prueba sus hipó-

tesis y teorías.

De igual forma los matemáticos se

aproximan a la Filosofía, cuando se

preguntan, por ejemplo ¿de dónde y

cómo surgen las estructuras matemáti-

cas?, ¿hay ya matemática en las cosas,

en forma exterior al hombre?, o ¿las

estructuras matemáticas sólo existen

en la mente humana?

Entre los grandes matemáticos que se

han preocupado por los aspectos más

profundos de la matemática, hasta el

punto de dejar una huella considerable

en el pensamiento de la humanidad, se

pueden destacar a: Pitágoras (s. VI

a.C.), a quien debemos una de las pro-

fundas características del pensamiento

occidental: la persuasión de que el uni-

verso es inteligible y aprehensible para

la razón humana; Platón (s. IV a.C.),

uno de los principales responsables de

la transmisión eficaz del espíritu pita-

górico. También realizaron grandes

aportes filosóficos: Descartes, Pascal

y Leibniz (s. XVII). Y en tiempos más

cercanos se puede destacar a: Cantor

y Poincaré, en el siglo XIX y en el

pasado siglo XX a Hilbert, Russell y

Gödel.

Ahora, yendo a nuestra propia cotidia-

nidad como educadores, cuando un(a)

profesor(a) formula preguntas a sus

estudiantes sobre un tema a desarro-

llar, enlaza las respuestas con los he-

chos de la realidad y con esto logra

que los(las) estudiantes vayan constru-

yendo por sí mismos el aprendizaje,

está utilizando la Mayéutica o Método

Socrático introducido por el filósofo

griego Sócrates (s.V a.C.). Este méto-

do se basaba en la inducción, es decir,

un razonamiento puro, mediante el

cual se llegaba a resolver un problema

haciendo preguntas a los discípulos

para dirigirlos hacia la solución.

Como se ve, la filosofía se usa en for-

ma natural al ejercer una docencia ac-

tiva y contextualizada.

M A Y O 2 0 1 2

2

Andrea Cárcamo Bahamonde

ABACOM Boletín Matemático

Publicación destinada a Estudiantes y Profesores de Enseñanza Media.

Proyecto auspiciado por la Facultad de Ciencias de la Ingeniería de la

Universidad Austral de Chile.

Director: Juan Leiva V. / Director Alterno: Andrea Cárcamo B. / Redacción Pe-

riodística: Julio Morales M. / Colaboradora: Viola García P. / Web Master: Edinson Contreras R.

Centro de Docencia de CCBB / Facultad de Ciencias de la Ingeniería UACh. / Casilla 567 Valdivia.

E.mail: abacom@uach.cl / Fono (63)221828 / Fax (63)293730

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REFLEXIONES

Gran parte del avance intelectual y mate-

rial de la historia de la humanidad se

debe directa o indirectamente a su rela-

ción con la matemática, es decir, gran

parte del mundo que nos rodea se rige

por esta disciplina. Considerando esto, es

que la matemática no debería de verse

como una carga para los estudiantes,

sino como una oportunidad para desa-

rrollar habilidades mentales que sean

soporte para el desarrollo de otros proce-

sos dentro de su formación, pero ¿Cómo

se logra que el estudiante se motive por

aprender esta ciencia?

A continuación, se dan algunas caracte-

rísticas que, desde el punto de vista del

educando, debe tener el profesor para

facilitar su aprendizaje de la matemática:

Ser bromista y alegre

Ser dinámico e inspirar respeto

Tener una actitud positiva

Explicar de lo fácil a lo difícil

Dar ejemplos

Formar un clima de confianza para

resolver dudas

Ser directo y específico

Tener disponibilidad para resolver

dudas

Mantener el interés

Dominar la materia

Dar pausas para no cansar al grupo.

Explicar lo fácil para que los alum-

nos puedan deducir lo difícil

Motivar a los alumnos para aprender

Dar apoyo personal a cada alumno

Tener habilidad para enseñar

Tener facilidad de palabra

Explicar de forma muy detallada

Contextualizar su lenguaje

Ahora, quizás debe estar pensando que

no basta con que el profesor tenga todas

estas cualidades si el estudiante no pone

de su parte y tiene toda la razón, puesto

que son los mismos alumnos, quienes

señalan que se facilita el aprendizaje de

la matemática si ellos:

Ponen atención desde el inicio de la

clase.

Practican con muchos problemas.

Tienen automotivación.

Les interesa el tema que está apren-

diendo.

Se esfuerzan en entender el procedi-

miento del problema.

Descansan lo suficiente para no

quedarse dormido en clases.

Tienen el apoyo de sus padres.

Tienen poder de retención mental.

Buscan temas extras a la clase sólo

por interés.

Asumen su responsabilidad como

alumno.

No son presionados con demasiada

carga de trabajo.

Usted puede estar o no de acuerdo tanto

con las cualidades del docente como con

la de los estudiantes, pero lo cierto es

que ¿se ha preguntado si tiene habilidad

para enseñar matemática? ¿Planifica

siempre con anticipación, contextuali-

zando los contenidos a los estudiantes?

¿Qué hace como docente para que sus

estudiantes desarrollen cualidades que

les faciliten aprender matemática?

Sin duda que aprender y enseñar mate-

mática siempre es un desafío, pero en la

medida que asumamos que las matemáti-

cas son más que el traspaso de fórmulas

y siempre las enseñemos dentro de un

contexto, se facilitará el aprendizaje de

éstas.

Referencia:

Maravilla J. José. El aprendizaje de las

matemáticas en ingeniería: una propues-

ta desde el paradigma constructivista

piscogenético.

¿Tengo cualidades para aprender

y/o enseñar matemática?

3

ABACOM Boletín Matemático

Las gasolinas son compuestos formados básicamente por Hidrógeno y

Carbono (Hidrocarburos) y se obtienen a partir del petróleo. Cuando se

produce la combustión de estos hidrocarburos su estructura se rompe por

acción del Oxígeno y la energía almacenada en sus enlaces se libera en

forma de calor (reacción exotérmica).

Los motores de los automóviles que utilizan gasolina son máquinas de

combustión interna, es decir, se combustiona gasolina en un sistema cerrado

(cilindro) y con el calor obtenido se aumenta la presión interna, lo que pro-

voca que el (o los) pistón(es) del motor se mueva(n).

Para que este proceso resulte mejor y sea más eficiente, es decir, que el

máximo del calor producido se utilice para conseguir movimiento (energía

útil), se debe tener control sobre las explosiones o detonaciones del combus-

tible usado. Con el propósito de conocer esta característica se creó un índice

de medición de las detonaciones de las gasolinas llamado octanaje.

Para hacer una escala de clasificación de la capacidad anti-detonante de las

gasolinas se testean en un motor especial de pruebas, se utilizan como refe-

rentes los hidrocarburos iso-octano, que es poco detonante, al que se asig-

nó un índice de octano de 100 y el n-heptano, que es muy detonante, al que

se le asignó un índice de octano de cero. Se tiene el registro de los resultados

de pruebas con mezclas de distintas proporciones de iso-octano y n-

heptano.

Así, por ejemplo, si una gasolina presenta propiedades antidetonantes simi-

lares a una mezcla de 95% de iso-octano y 5% de n-heptano, se dice que

tiene un número de octano de 95.

Los principales problemas de utilizar gasolinas de bajo octanaje son la

generación de detonaciones o explosiones en el interior de los motores de

combustión interna (“cascabeleo”), aparejado esto con un mal funciona-

miento, bajo rendimiento del combustible cuando el vehículo está en movi-

miento y también una elevada emisión de contaminantes.

Si se utiliza un mayor

octanaje de gasolina que

el recomendado por el

fabricante del auto no se

obtiene mayor potencia

ni rendimiento del motor.

El exceso de octanaje

provoca mayor contami-

nación. Para mejorar el

octanaje de una gasolina

se pueden utilizar aditi-

vos antidetonantes.

Referencias:

Qué es octanaje: www.ref.pemex.com/octanaje/que.htm

Índice de octanos de la gasolina: www.todomotores.cl/

competicion/octanos_bencina.htm

¿Qué es el Octanaje de las Bencinas?¿Qué es el Octanaje de las Bencinas?¿Qué es el Octanaje de las Bencinas? Patricio Ruiz-Tagle Correa

LUZ, CÁMARA, … ¡MATEMÁTICAS!

A grandes rasgos mezclar cine y matemá-ticas no tiene mucha lógica, de hecho la palabra cinemática no se refiere al híbri-do entre estos tópicos. Cinemática es una rama de la mecánica clásica que es-tudia leyes de movimiento de los cuer-pos en función del tiempo. Por lo tanto, ¿de qué manera se pueden entrecruzar las matemáticas con el cine? En un intento por responder a esta inte-rrogante, llegamos a una investigación realizada por James Cutting en la Univer-sidad de Cornell, Nueva York. En el estu-dio, el profesor y su equipo descubrieron que el cine de Hollywood ha evoluciona-do en la duración de sus secuencias para ajustarse al patrón de atención que tene-mos los humanos. En este aspecto el cine sigue una ley matemática.

Desde otra perspectiva el cine funciona como medio de comunicación, de esa manera permite que algunos contenidos matemáticos se refuercen en las líneas cinematográficas. Un ejemplo es el caso de la película Esta-dounidense Pi: Faith in Chaos (Pi: Fe en el Caos), de 1998, dirigida por Darren Aronofsky. Este film tiene por eje princi-pal las relaciones de un matemático des-equilibrado con el medio que lo rodea y su irremediable obsesión con la teoría de los números. La mezcla entre planos sub-jetivos, audio intensificando tensión y suspenso, imágenes en blanco y negro que trabajan atmósferas estéticamente tétricas, permiten que la película atrape al espectador en la demencia friccionada de dicho matemático.

Otro ejemplo de las matemáticas en el cine, lo encontramos en la película The Number 23 (Número 23), dirigida por Joel Schumacher en el año 2007. Esta película de suspenso, protagonizada por Jim Carrey, está basada en el enigma del número 23 y en la creencia de que todos los incidentes y eventos están conecta-dos con dicho número, sus permutacio-nes o números cercanos. Para el prota-gonista la angustia demencial de com-prender esto puede llegar a ser fatal. Existen varias películas que se relacionan con las matemáticas, permitiendo que en cada ocasión distintos públicos que-den maravillados con este híbrido. Por ahora la invitación es ver las películas expuestas en este artículo y así todos digamos . . . ¡Luz, Cámara, Matemáticas!

¿Mezcla entre Cine y Matemáticas?¿Mezcla entre Cine y Matemáticas?¿Mezcla entre Cine y Matemáticas?

Julio Morales Muñoz

ABACOM

Escena 41 Toma 1

A B A Q U I M

M A Y O 2 0 1 2

4

Claudio Fuentealba Aguilera

SUMATORIAS

El alfabeto griego es, sin

duda, de gran importancia

en la notación matemática

estándar. En particular la

letra griega sigma , que

representa a la letra S de

nuestro alfabeto, fue utili-

zada por primera vez por

Leonard Euler en 1755 para simbolizar la suma de los ele-

mentos de una sucesión, Lagrange también hizo uso de

esta notación, sin embargo, este hecho recibió muy poca

atención durante el siglo XVIII. A diferencia del siglo

posterior, en el cual, la notación actual de sumatoria se

hizo popular gracias al libro publicado en 1822 por Fou-

rier denominado “Teoría de Fourier del Calor” y ha per-

manecido desde entonces como símbolo matemático es-

tándar.

Definición:

Se denomina sumatoria de una sucesión , a la for-

ma abreviada de escribir sus términos expresados como

sumandos , esto se denota por:

Ejemplos:

1. Dada la sucesión cuyos términos son 1, 2, 3, .

. ., la suma de ellos puede expresarse usando la nota-

ción de sumatoria:

2. Dada la sucesión cuyos términos son 12, 22, 32,

. . ., la suma de ellos puede expresarse usando la nota-

ción de sumatoria:

3. Dada la sucesión cuyos términos son:

la suma de ellos puede expresarse usando

la notación de sumatoria:

4. La notación de sumatoria también puede utilizarse

para simbolizar la suma de una cantidad determinada

de elementos de una sucesión, por ejemplo, si conside-

ramos los 10 primeros términos de la sucesión

que son su suma está expresa-

da por

PROPIEDADES DE LA SUMATORIA

1. Sumatoria de una sucesión constante:

Ejemplo:

2. Sumatoria del producto de un número real por una

sucesión:

Ejemplo:

3. Descomposición de una sumatoria en dos sumato-

rias:

Ejemplo:

4. Sumatoria de la suma o diferencia de dos sucesio-

nes:

Ejemplo:

5. Propiedad Telescópica:

Si el término general de la sucesión puede escribirse co-

mo diferencia de dos términos consecutivos entonces en

la suma de los n términos de la sucesión sólo queda la di-

ferencia del primer y el último término de la suma.

Esto es claro, ya que:

) n n (a

1 2 3 na +a +a +...+a

n

1 2 3 n kk=1

a +a +a +... + a = a

n(n)

n

k=1

1+2+3+ ... +n = k

n2(n )

n2 2 2 2 2

k=1

1 +2 +3 +... +n = k

n

n

n +11 2 3

, , ,...2 3 4 n

k=1

1 2 3 n k+ + +... +

2 3 4 n+1 k +1

n (1/n)1 1 1 1 1 1 1 1 1

1, , , , , , , , ,2 3 4 5 6 7 8 9 10

10

k=1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 11+ + + + + + + + + =

2 3 4 5 6 7 8 9 10 k

n

k=1

c =n ×c

100

k=1 100veces

2 =2+2+2+... +2 = 100 ×2 = 200

n n

k kk=1 k=1

c×a = c× a

6 3 6

k=1 k=1 k=4

(2k -1) = (2k -1) + (2k -1)

(1+3+5+7 +9+11 = (1+3+5) +(7 +9+11))

, n r n

k k kk=1 k=1 k=r+1

a = a + a , r 1 r n

5 5

k=1 k=1

2 1 2 1 2 1 1 1 1=2 2+1+ + + =2 1+ + + +

k k 3 2 5 2 3 4 5

n n n

k k k kk=1 k=1 k=1

(a ±b ) = a ± b

3 3 3

k=1 k=1 k=1

1 1+k = + k

k k

1 1 1 11+1 + +2 + +3 = 1+ + + 1+2+3

2 3 2 3

n

k k+1 1 n+1k=1

(a -a ) = a -a

5

ABACOM Boletín Matemático

La propiedad es análoga si el término general de la

sucesión es , es decir:

Ejemplo:

6. Propiedad del Reloj (Cambio de Índice):

Esta propiedad permite cambiar el término donde

inicia y donde termina la suma realizando una modi-

ficación al término general de la sucesión.

Ejemplo:

ALGUNAS SUMAS CONOCIDAS Suma de los n primeros

números naturales:

Suma de los cuadrados

de los n primeros

números naturales:

Suma de los cubos

de los n primeros

números naturales:

Suma de las potencias cuartas de los n prime-

ros números naturales:

Suma de las potencias quintas de los n primeros

números naturales:

Suma de los n primeros

números naturales pares:

Suma de los n primeros

números naturales impares:

Suma de las n + 1 poten-

cias del número a:

n

k=1

n ×(n +1)k =

2

n2

k=1

n ×(n +1)(2n +1)k =

6

2n3

k=1

n ×(n +1)k =

2

2n4

k=1

n(n+1)(2n+1)(3n +3n-1)k =

30

2 2n5

k=1

(n(n +1)) (2n +2n -1)k =

12

n

k=1

2k =n(n +1)

n2

k=1

(2k -1) =n

n+1nk

k=0

1-aa = a 1

1-a

n n+t

k k-tk=s k=s+t

a = a

n

k k+1 1 2k=1

a - a = a - a 2+ a 3- a 3+ a 4- a

n-2

+ ...

... + a n-1- a n-1+ a n- a n+ a n+1

1 n+1

- a

= a - a

100 100

k=1 k=1

1 1 1 1 1 100= - =1- =1- =

k k +1 k k +1 100 +1 101 101

5 5+3 8

k=3 k=3+3 k=6

k = (k -3) = (k -3) =12

k+1 ka -an

k+1 k n+1 1k=1

(a -a ) = a -a

LA MATEMÁTICA ME ESPERA Gabriela Noriega

Cuando todo quería poner en práctica siempre debía recurrir a la matemática. Quería solamente dedicarme al dibujo, a la pintura pero debía sacar proporciones y medir la altura. Quería también dedicarme a cantar pero debía medir el tiempo

entre el canto y la música por tocar. Creí encontrar en el baile una solución pero si no contaba los pasos era mi perdición. A la composición de poesías me quise dedicar, pero debía medir los versos para una buena poesía lograr.

Geografía, Historia, Música, todas con la matemática se relacionaban

y en mi mente números y números se cruzaban. Para olvidarme caminé y caminé y al mirar un letrero que decía 5 Km encontré. Miré mi reloj y una hora había demorado y en mi mente una pregunta había pasado. Si en una hora 5 Km había caminado

en 4 horas ¿cuántos Km habría avanzado? Dije entonces 1 es a 4 como 5 es a x, sin pensar que con una regla de tres simple me había yo de encontrar. Multipliqué 5 por el 4 y 20 me dio, despejé la x y el 1 dividiendo pasó, la x igual a 20 me quedó y 20 Km habría de recorrer yo.

Luego pensando me di cuenta que con la matemática me había de nuevo encontrado, y me di cuenta que ni siquiera caminar podía hacerlo, sin ella a mi lado. Fue en ese momento cuando su importancia descubrí y aunque a veces me cansaba, las tablas aprendí. Pero me di cuenta que aunque de ella escaparme quiera,

hasta en las cosas más sencillas la matemática me espera.

EL MATEMÁTICO BRUJO

François Viète (1540-1603) fue magistrado

y hombre de confianza del rey Enrique IV

de Francia. Aunque se dedicó al estudio de

las Matemáticas, lo hizo sólo como un en-

tretenimiento. En su tiempo fue famoso, no

por la matemática, sino por su capacidad

para descifrar los mensajes secretos que el

rey Felipe II de España enviaba a sus tro-

pas, en guerra con Francia. Cuando Felipe

II se enteró de que los franceses descubrían

sus mensajes en clave, se limitó a decir que

era cosa de brujería. Viète fue muy importante en Álgebra y contribuyó enormemente al

desarrollo de la Trigonometría. Obtuvo una aproximación del núme-

ro Pi con diez decimales exactos, usando un polígono de 393.216

lados. ¡Una hazaña para esa época!

Poesía MatemáticaPoesía Matemática

ANÉCDOTAS MATEMÁTICAS

Juan Leiva Vivar

6

M A Y O 2 0 1 2

El Padre de la Inteligencia Artificial

Alan Turing puede ser considerado como el padre de la Inteligencia Artificial, aunque este nombre no se usó hasta mucho tiempo después de su muerte. Pocos hombres han tenido la profundidad del pensa-miento científico que él tuvo y muy pocos, además, han puesto su in-teligencia al servicio de la sociedad con tan excelentes resultados. Pe-ro quizás sólo a él se le pagó tan mal, estigmatizándolo y haciendo que finalmente se autoeliminara, perdiendo así la humanidad un genio que tenía mucho aún que aportar.

Nació en Londres, Gran Bretaña, en 1912.

Pasó sus primeros trece años en la India,

donde su padre trabajaba en la Administra-

ción colonial. Desde muy temprana edad

demostró una gran inteligencia. A los 3

años tenía una inusual capacidad para re-

cordar palabras, a los 8 se interesó por la

química montando un laboratorio en su

casa y a los 13 demostraba su facilidad para

las matemáticas, teniendo una gran capaci-

dad para realizar cálculos mentales.

Obtuvo una beca para estudiar en la Uni-

versidad de Cambridge, en donde se graduó

de Licenciado en Matemáticas, con hono-

res, en 1934. En septiembre de 1936, Tu-

ring ingresó en la Universidad de Princeton,

en EE.UU., doctorándose en matemáticas

en 1938. En abril de 1936, publicó el ar-

tículo "On computable numbers, with an

application to the Entscheidungsproblem"

en el que introduce el concepto de algorit-

mo y de máquina de Turing. Este artículo

da respuesta negativa al problema de la

decisión formulada por Hilbert en 1900,

probando que existen problemas sin solu-

ción algorítmica y es uno de los cimientos

más importantes de la teoría de la compu-

tación.

En 1937 publicó un célebre artículo en el

que definió una máquina calculadora de

capacidad infinita, la cual operaba basándo-

se en una serie de instrucciones lógicas,

sentando así, las bases del concepto mo-

derno de algoritmo. La Máquina de Tu-

ring era tanto un ejemplo de su teoría de

computación como una prueba de que un

cierto tipo de máquina computadora podía

ser construida.

John von Neumann, uno de los científicos

más destacados de esa época, le ofreció una

plaza como su asistente, pero Turing recha-

zó la oferta y volvió a Inglaterra, en donde

vivió de una beca universitaria mientras

estudiaba filosofía de las matemáticas entre

1938 y 1939.

Durante los años de la segunda guerra mun-

dial, Turing colaboró en el diseño de una

máquina llamada La Bomba que permitió

descifrar mensajes alemanes enviados por

la máquina codificadora alemana Enigma.

Turing, diseñó un método teórico para deci-

dir si una máquina era capaz de pensar co-

mo un hombre: el Test de Turing. Además

realizó contribuciones a otras ramas de la

matemática aplicada, como la aplicación de

métodos analíticos y mecánicos al proble-

ma biológico de la morfogénesis.

En el ámbito personal, su condición de ho-

mosexual, fue motivo constante de fuertes

presiones, obligándosele a la castración

química con estrógenos, sustitutivo de la

prisión, destinado a corregir su condición.

Se suicidó en 1954 en su casa de

Wilmslow, Cheshire, antes de cumplir 42

años, tras ingerir una manzana con cianuro.

Es de todos conocidos el logo de Apple Macintosh: una manzana mordida. El primer logo, diseñado por el propio Steve Jobs en 1976, representaba a Isaac Newton sentado al costado de un manzano, del que cae uno de sus frutos. Sólo duró unos meses y fue sustituido por la famosa man-zana arcoíris, que fue la imagen de Apple durante 23 años. En 1999 se cambió por otra manzana más sobria y con un aspecto más moderno. Una de las hipótesis del origen de este logo es que hace referencia a una manzana que ocupó un importante lugar en la historia: la manzana que acabó con la vida de una de las mentes más brillantes del siglo XX y probablemente de todos los tiempos, Alan Turing.

Pero, ¿por qué este logo representa una manzana precisa-mente mordida? Alan Turing había participado en la II Gue-rra Mundial como un descifrador de códigos nazis y había accedido a información muy privilegiada y restringida del ejército inglés. Por ello, cuando terminó la guerra, se le vigi-

ló estrechamente. En aquella época la homosexualidad era considerada un delito y siendo denunciado de esto fue con-denado a la cárcel o a un tra-tamiento hormonal, escogien-do éste último, lo que le llevó a un declive físico y psicológi-co, truncando su carrera y a la postre, su vida. El 7 de junio de 1954, murió por envenenamiento con el cianuro conteni-do en una manzana, a la que sólo llegó a dar un mordisco.

Unos hablan de suicidio, otros de tenebrosas conspiracio-nes, aunque su madre siempre creyó que fue un simple descuido de Turing en la manipulación de las sustancias de su laboratorio. Lo que es seguro es que este hombre y esta manzana tienen una página escrita en la historia que será difícil de borrar.

TURING Y EL LOGO DE APPLE

7

ABACOM Boletín Matemático

LA BOMBA vs. ENIGMA

Enigma era el

nombre de

una máquina

que disponía

de un meca-

nismo de ci-

frado rotato-

rio, que per-

mitía usarla

tanto para

cifrar como

para descifrar

m e n s a j e s .

Varios de sus

modelos fue-

ron muy utili-

zados en Eu-

ropa desde

inicios de los

años 1920. Su

fama se debe a haber sido adoptada por las fuerzas mili-

tares de Alemania desde 1930. Su facilidad de manejo y

supuesta inviolabilidad fueron las principales razones

para su amplio uso.

La Bomba era un dispositivo electromecánico usado por

los criptólogos británicos para ayudar a descifrar las se-

ñales cifradas por la máquina alemana, Enigma, durante

la Segunda Guerra Mundial. Su diseño inicial fue produ-

cido, en 1939, por Alan Turing, colaborando también:

Gordon Welchman, Harold Keen y Marian Rejewski.

La función de la Bomba era descifrar los mensajes que la

máquina Enigma enviaba en las redes militares alema-

nas. Según, Winston Churchill, el uso de esta máquina

acortó la guerra en por lo menos tres años, ya que el alto

mando aliado tuvo una ventaja considerable, sabiendo de

antemano todos los movimientos del ejército alemán.

Una vez finalizada la guerra, en 1946, Turing recibió la

Orden del Imperio Británico, por el gran aporte que sig-

nificó la invención de esta máquina.

Máquina ENIGMA, usada por las fuerzas militares alemanas.

La BOMBA, dispositivo electromecá-nico creado por Turing y usado por los británicos en la II Guerra Mundial.

EL TEST DE TURING

El Test de Turing es una prueba propuesta por Alan Turing para determinar la existencia de inteligencia en una máqui-na. Fue publicado en 1950 en el artículo Computing machi-nery and intelligence, en la revista Mind, y sigue siendo uno de los mejores métodos para los defensores de la Inteligen-cia Artificial. Se fundamenta en la siguiente hipótesis: si una máquina se comporta en todos los aspectos como inteligen-te, entonces debe ser inteligente. La idea de Turing era po-der comprobar si una máquina es inteligente o sólo imita algo que aprendió en el pasado. El experimento consiste en un interrogador humano, y dos interrogados - un humano y una máquina - sin verlos el inte-rrogador tiene que decidir quien es el humano. Si la máquina logra convencer al interrogador que ella es el humano, de-cimos que la máquina es inteligente. La tesis de Turing es que si ambos jugadores eran suficiente-mente hábiles, el juez no podría distinguir quién era el ser humano y quién la máquina. Todavía ninguna máquina pue-de pasar este examen. En 1990 se inició un concurso, el Premio Loebner , una com-petición de carácter anual entre programas de computado-res que sigue el estándar establecido en la prueba de Tu-ring. Un juez humano se enfrenta a dos pantallas de compu-tador, una de ellas que se encuentra bajo el control de un computador, y la otra bajo el control de un humano. El juez plantea preguntas a las dos pantallas y recibe respuestas por escrito. El premio está dotado con 100.000 dólares para el programa que pase el test, y un premio de consuelo para el mejor programa anual. Todavía no ha sido otorgado el pre-mio principal. La última versión de esta competencia se desarrolló el 19 de Octubre de 2011 en la Universidad de Exeter, en el Reino Unido. El ganador del premio de consuelo fue Bruce Wilcox, quien recibió la Medalla Anual de Bronce y US $ 4.000. (Sitio oficial del Premio Loebner: http://www.loebner.net/Prizef/loebner-prize.html )

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PREMIO TURING

El Premio Turing, equivalente al Premio Nobel pa-ra los Informáticos, es un premio de las Ciencias de la Computación que es otorgado anualmente por la Association for Computing Machinery, ACM (Asociación para la Maquinaria Computacional) a quienes hayan contribuido de manera trascendental al campo de las Ciencias Computacionales. Actualmente es patrocinado por Intel y Google, que entregan US $ 250.000 al ganador. El premio se entrega desde 1966, y en 2006 fue otorgado a la primera mujer, la estadounidense Frances Allen. El año pasado el galardonado fue el británico Leslie Valiant, profesor de Informática y Matemáticas Aplicadas de la Universidad de Harvard, por sus contribuciones a la evolución de la Teoría de la In-formática Cognitiva.

2012: AÑO DE ALAN TURING

Al conmemorarse 100 años del nacimiento de Turing, se

ha declarado el año 2012 como el año de Alan Turing.

Así es como en todo el mundo se realizarán actividades (Conferencias, Coloquios, Simposios, etc.) que recorda-

rán la vida y la obra de este genio. En Sudamérica tenemos:

16 - 20 de Abril: Latin American Symposium on Theo-retical Informatics, en la Universidad Católica San Pa-

blo, Arequipa, Perú. 22 de Junio: Brazilian Alan Turing Year, en la Universi-

dad Federal de Rio Grande do Sul, Porto Alegre, Brasil.

Página con actividades en conmemoración del año de A.

Turing: http://www.mathcomp.leeds.ac.uk/turing2012/give-

page.php?13

Rompiendo CódigosRompiendo Códigos

Rompiendo Códigos (Breaking the Code), obra teatral de

1986 del dramaturgo inglés Hugh Whitermore, muestra

como Alan Turing rompe dos códigos concretos: el de los

alemanes en la segunda guerra mundial, que ayuda a salvar

miles de vidas, y el social relacionado con su homosexua-

lidad, en tiempos que era considerado un delito.

Cuando el Gobierno Británico llamó a Turing para que

colabore en descifrar el código secreto nazi “Enigma”, le

preguntan sobre su trabajo, en particular su obra “Los Nú-

meros Computables con una aplicación al Entscheidungs-

problem”, éste responde:

“La mayoría de la gente piensa que en matemáticas siem-

pre se sabe lo que está bien y lo que está mal. Pero no es

así. Bertrand Russell escribió un libro sobre el tema

“Principia Mathematica”, fue una obra muy importante

que influyó tanto en David Hilbert como en Kurt Gödel.

Según Hilbert un sistema matemático debe tener tres re-

quisitos básicos: Coherencia, Completitud y Decidibili-

dad. Por Coherencia entendemos que no se debe obtener

contradicciones en el propio sistema (es decir una proposi-

ción que sea verdadera y falsa). Completitud significa que

si una proposición es verdadera, debe haber alguna manera

de probarlo, usando las reglas del sistema. Y Decidibilidad

quiere decir que debe existir un método que se pueda apli-

car a cualquier afirmación matemática, para decidir si es o

no demostrable.

Kurt Gödel demostró (Teorema de Incompletitud de

Gödel) que ningún sistema matemático puede ser a la vez

coherente y completo. La afirmación “Esta proposición no

puede demostrarse” deja en claro esto: si se puede demos-

trar llegamos a una contradicción – el sistema no es cohe-

rente – y si realmente no se puede demostrar, es incomple-

to. Así las matemáticas siempre o son incoherentes o in-

completas.

Hilbert pensaba que debería existir un método para decidir

si las afirmaciones, en matemáticas, son demostrables, el

Problema de la Decisión, lo llamaba (El Entscheidungs-

problem). Yo busqué un método mecánico que se pudiese

aplicar a cualquier problema matemático, sin intervención

humana. Así fue como concebí la idea de una máquina, la

Máquina de Turing, que sería capaz de leer cualquier

afirmación matemática y llegar al veredicto de si es o no

demostrable. Con esto fui capaz de demostrar que Hilbert

estaba equivocado. Mi idea funcionó.”

Ver video en: http://www.mathcomp.leeds.ac.uk/turing2012/give-page.php?13

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ABACOM Boletín Matemático

¡Bienvenidos al CECs!

Junto al Río Calle – Calle y en una de las costaneras más hermosas de Chile, encontramos el Centro de Estudios Científicos del sur (CECs); un lugar dedicado al desarrollo, fomento y difu-sión de la investigación científica, dirigido desde 1984 por el físico Claudio Bunster.

El CECs comienza su historia cuando físicos teóricos y biólogos, tras esta-blecer sus carreras académicas en el exterior, desean volver a Chile y causar impacto por medio de la cien-cia. El Centro co-menzó con un pro-yecto de 3 años, el cual conllevó a que eventualmente se convirtiera en un punto estratégico para la ciencia de Chile y Latinoamé-rica.

Desde 1990, el CECs comenzó a jugar un papel impor-tante en el servicio público, no solo diseñando nuevos programas científicos, como la Iniciativa Científica Mile-nio, sino también gestando y poniendo en práctica la idea de contribuir a la democracia, involucrando a los militares en ciencia y por esta vía, contactándolos con el mundo civil en un contexto no contaminado.

Actualmente, el CECs se preocupa de tres áreas de in-vestigación: Física Teórica, Biología y Glaciología. La primera, se preocupa por comprender el origen y destino del universo. La segunda, principalmente abarca la identi-ficación de microorganismos en cuanto a mecanismos evolutivos y fisiológicos. Finalmente, la tercera área, estu-dia las variaciones de los glaciares y las dinámicas en los

flujos de hielo res-pecto a cambios climáticos.

Como podemos apreciar, el trabajo del Centro es de gran dedicación y es posible gracias a la existencia de una ciencia base, la cual conocemos como: Matemáti-cas. Éstas compo-nen el elemento fundamental para cualquier ciencia, sin el aprendizaje básico de la lógica matemática no en-

contraríamos una complejidad mayor en otras ciencias y en la misma, ya que las matemáticas son el todo del uni-verso.

Cabe mencionar que la preocupación del CECs por acer-car la ciencia a la comunidad se materializa en las visitas guiadas que pueden hacer los colegios de la Región me-diante la página web: http://www.cecs.cl/visitas/.

Como vemos, las ciencias exactas comprenden matemá-tica en su lógica. En este aspecto, el CECs se preocupa de integrar a la comunidad en sus prácticas, sobre todo a los estudiantes de educación media de Valdivia. Sólo queda dejar la invitación a acercarse al CECs porque todos son bienvenidos en el Centro de Estudios Científi-cos (CECs).

Un alto rendimiento académico, además de gran interés en

el área científica, fueron los criterios de selección para que

los 20 afortunados postularan a esta actividad. Las exposi-

ciones trataron temáticas como canales iónicos, ADN, mecá-

nica cuántica, gravitación de Newton, cambio climático,

métodos GPS, entre otros, correspondientes a las respectivas

áreas de biología, glaciología y física que trabaja el Centro.

La apertura y el cierre de la actividad estuvo a cargo de

Cristian Martínez, investigador del área de física del Centro

y tutor de dicha actividad.

Las presentaciones se realizaron en el salón de conferencias

Martha Muse del CECs. Los alumnos recibieron un diploma

por su participación en esta tercera versión de Científicos

por un mes.

“Científicos por un mes 2012” en el CECs

La actividad “Científicos por un mes 2012”, organizada por el Centro de Estudios Científicos – CECs, en Enero, contó con la participación de 20 estudiantes de Valdivia, de los cuales 19 expusieron de-

lante de sus pares y tutores científicos.

Julio Morales Muñoz

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Viola García Paredes

EDICIÓN Nº 41EDICIÓN Nº 41EDICIÓN Nº 41

Envía tus soluciones

(indicando Nombre, Colegio y Curso) a

A B A C O M Boletín Matemático

Casilla: 567 Valdivia Fax: (63) 293730

email: abacom@uach.cl

Recepción de soluciones hasta:

6 de Julio de 2012

PROBLEMAS EDICIÓN Nº 41

rsoConcursoConcursoConcursoCon-

Te proponemos que descubras diez (10) apelli-dos de físicos famosos. Pueden encon-trarse en forma vertical, horizon-tal o en diago-nal, de arriba hacia abajo (o viceversa), de izquierda a de-recha (o vice-versa).

F S U M O H M G I G

N A L I E A N R R B

B O R R D I C E J A

M E T A K O B L I U

O Z A W D N E P A N

L I A T E A S O R I

U H M S O N Y T E V

O X I G E Q U I O L

C E N I E T S N I E

H U S O R E L P E K

Problema 1:

El Número 10 El número 10 puede expresar-

se empleando cinco números

9 y algunas operaciones.

¿Puedes hacerlo, al menos

de 3 formas diferentes?

Problema 2:

Los Cuatro Hermanos Cuatro hermanos tienen, en

conjunto, $ 450.000.

Si el dinero del 1º es aumenta-

do en $ 20.000, el del 2º redu-

cido en $ 20.000, se duplica el

del 3º y el del 4º se reduce a la

mitad, todos los hermanos

tendrán la misma cantidad de

dinero.

¿Cuánto dinero tenía cada uno, inicialmente?

MATEMÁTICA Y LA PASCUA

DE RESURRECCIÓN

Todo el mundo sabe

que la fecha en que

cae la Semana San-

ta varía de un año a

otro. Esto se debe a

que la Iglesia Cató-

lica determinó en el

Concilio de Nicea,

en el año 325, que

la Pascua de Resu-

rrección debe cele-

brarse el domingo

siguiente a la pri-

mera luna llena de

la primavera en

Europa. El matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) pro-

puso un método para calcular la fecha de la Pascua en el Calenda-

rio Gregoriano, a partir del año 1583. El método es el siguiente: Considere A el año y m y n dos números que varían en el tiempo

de acuerdo a la tabla siguiente:

Considere también:

a el resto de la división de A por 19

b el resto de la división de A por 4

c el resto de la división de A por 7

d el resto de la división de 19a + m por 30

e el resto de la división de 2b + 4c + 6d + n por 7 Entonces la Pascua será el día 22 + d + e de Marzo o d + e - 9 de

Abril.

Observaciones: 1. El día 26 de Abril debe ser siempre substituido por 19 de Abril. 2. El día 25 de Abril debe ser substituido por 18 de Abril si d = 28,

e = 6 y a > 10.

Por ejemplo:

Para el año presente tenemos:

A = 2012, m = 24, n = 5, a = 17, b = 0, c = 3, d = 17, e = 0.

Por esto la Pascua de Resurrección fue el día d + e – 9 = 8 de

Abril. (Observar que 22 + d + e = 39).

Año Valores

1583 - 1699 m = 22, n = 2

1700 - 1799 m = 23, n = 3

1800 - 1899 m = 23, n = 4

1900 - 2099 m = 24, n = 5

2100 - 2199 m = 24, n = 6

x 2 + y 2 = z 2

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ABACOM Boletín Matemático

Son - Risas

Científicas

- Pedrito dígame . . . ¿qué

compuesto es H2SO4?

- Este … eeeeh … lo tengo

en la punta de la lengua, se-

ñorita.

- Escúpalo inmediatamente,

… ¡es ácido sulfúrico!

*****

En un laboratorio compran un

nuevo ratón y lo meten en la

jaula con los antiguos.

- Hola. ¿A qué se dedican

ustedes?

- Pues mira, nosotros estamos

investigando sobre la forma

de condicionar a los huma-

nos.

- Ah, si ¿Y como lo hacen ?

- Bah, es sencillo, ¿ves a esos

tipos con delantales blancos?

Pues de vez en cuando te me-

ten en una jaula con botones

de colores, y nosotros intenta-

mos que nos den de comer

cuando apretamos el rojo.

*****

Dos científicos, aficionados a

la caza, se encuentran en un

bosque cazando, cuando uno

de ellos se desmaya. No pare-

ce estar respirando y el otro

toma su celular y llama al

servicio de emergencias. Di-

ce, jadeando: “¡Mi amigo está

muerto! ¿Qué puedo hacer?”.

Le responden: “Tómelo con

calma. Primero, debemos ase-

gurarnos de que está muerto”.

Se hace un silencio, luego se

escucha un disparo. De regre-

so al teléfono, el científico

dice: “¿Y ahora qué?”

1962 2012

¡CÓMO NOS CAMBIA LA VIDA! . . .

ASÍ QUE TOMANDO SOL

EN VEZ DE OCUPARSE DE

LA BIBLIOTECA . . .

¡ ESTÁ DESPEDIDO !

EL DRAMA DE ERATÓSTENES

En el siglo III a.C. el sabio griego Eratóstenes de Cirene, calculó la medida del

radio de la Tierra. Para ello, un día 21 de junio - solsticio de verano en el hemisferio

norte - a las 12 del día valiéndose de una varilla midió el ángulo de inclinación del

sol en Alejandría, que resultó 7,2°. Al mismo tiempo él sabía que en Asuán, distan-

te 800 Km. de Alejandría, los rayos del sol caían perpendicularmente (esto lo dedu-

jo pues a esa hora se podía ver el fondo de un pozo profundo).

Planteó la proporción: de donde obtuvo: r = 6.366 Km.

(Actuales mediciones dan 6.378 Km. al radio de la Tierra, nada de mal la aproxima-

ción obtenida por Eratóstenes).

Al igual que ocurre actualmente con muchos genios que son incomprendidos, en

ese tiempo Eratóstenes estaba a cargo de la Biblioteca de Alejandría y a su jefe no

le hizo mucha gracia que distrajera su tiempo en “tan banal cálculo”.

(2π ):360°=800:7,2r

12

M A Y O 2 0 1 2

iciasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNo

Septiembre 2011

Patricio Felmer ganó Premio Nacional de Ciencias Exactas 2011

Por decisión unánime y gra-cias a sus aportes en el cam-po de la teoría de Ecuacio-nes Diferenciales Parciales, Patricio Felmer Aichele aca-démico del Departamento de Ingeniería Matemática e investigador del Centro de Modelamiento Matemático (CMM) de la Universidad de Chile, recibió el Premio Na-cional de Ciencias Exactas 2011.

El matemático cuenta con el título de Ingeniero Matemático de la Universidad de Chile en 1983 y es Magister y Ph. D. en Mate-mática de la Universidad de Wisconsin. Ha realizado 83 publica-ciones internacionales y actualmente participa en distintos orga-nismos como la Sociedad de Matemática de Chile, la Academia Chilena de Ciencias y la Comunidad Matemática Internacional.

Octubre 2011

Exitosa Primera Conferencia Internacional sobre Ciencia de los Materiales en la UACh.

La Primera Conferencia Internacional de Ciencia de Mate-riales sobre Nanotecnología, catálisis y biomedicina contó con la participación de expositores provenientes de Estados Unidos, Cánada, España, Brasil y Chile.

Entre los expositores de este primer evento encontramos al Dr. Elies Molins, del Instituto de Cs. De Materiales de Barcelona (CSIC) quien señaló que la energía existe, el problema es que faltan ma-teriales especiales para recogerla y así transfórmala en calor o electricidad. Cabe mencionar que, la Ciencia de Materiales, es un área interdis-ciplinar donde físicos, químicos e ingenieros trabajan en conjunto poniendo sus conocimientos de forma aplicada para buscar nue-vas aplicaciones. Un ejemplo, son usos de sensores para prevenir movimientos sísmicos en construcciones; o materiales aplicados a las prendas de vestir generando calor u otra necesidad. Como se puede apreciar los materiales están en todos lados, desde cons-trucciones de edificios hasta todo el tema energético y la medici-na.

Diciembre 2011

¡Viaje sorpresa al pasado!

65, 5 millones de años atrás, finales del periodo cretácico, un asteroide impactó en el océano. En el presente, una paleontóloga de la Universidad de Zaragoza y dos investi-gadores estadounidenses consideran dicho evento como causante de la extinción de dinosaurios además de otras especies.

Laia Alegret, profesora de Paleontología de la Universidad de Zaragoza y miembro del Instituto Universitario de Investigación en Ciencias Ambientales de Aragón (IUCA), demostró que la fo-tosíntesis y la cadena alimenticia en los océanos prehistóricos se recuperaron mucho antes de lo que se creía. De igual forma, aseguró que una rápida acidificación en las aguas superficiales, tras el impacto del asteroide, explicaría por qué muchas espe-cies que vivían en esta zona se extinguieron, mientras que las que habitaban en las profundidades sobrevivieron. La hipótesis clásica plantea que tras el impacto se levantó gran cantidad de polvo y gases bloquearon el paso de rayos solares evitando la fotosíntesis de los productores primarios (plantas y algas). El descenso del pH, que duraría poco tiempo en términos geoló-gicos, explicaría también la extinción de organismos de conchas carbonatadas que vivían en las aguas superficiales, así como la de grandes peces, mosasaurios, y ammonites.

Enero 2012

¡Santas Matemáticas!

En la Universidad Estatal de Arizona (México) se realizó la charla “El papel de las matemáticas en el control de en-fermedades infecciosas” dictada por el académico de la Escuela de Evolución Humana y Cambio Social, Gerardo Chowell Ph.

En la oportunidad el Dr. Chowell hizo una revisión histórica del comportamiento de la influenza durante los siglos XX y XXI. Eventualmente argumentó que los modelos estadísticos ayudan a describir el proceso de transmisión de una enfermedad. Por ejemplo, estudiar hipótesis como la influencia de la vacunación en las personas o conectar el proceso de transmisión con datos disponibles. De esta forma, surge la Epidemiología Matemática que utiliza modelos como el SIR que trabaja con ecuaciones diferenciales para crear un modelo de estudio e impacto de la influenza AN1H1 en México, desde el año 2009.

Julio Morales Muñoz, Egresado de Periodismo UACh.

En Septiembre de 2011 se editó el último número del año 2011 de ABACOM Boletín Matemático, fue el número 40, completando 10 años de publicación. Posterior a ello se editó un libro que recopiló todas las ediciones, texto que fue entregado a los estableci-mientos educacionales de la Región de los Ríos. Desde esa fecha ha habido noticias científicas en nuestra región, en Chile y en el mundo. Algunas se presentan a continuación: