การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป ัญ ... ·...
Transcript of การหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของป ัญ ... ·...
13/02/55
1
การหาผลเฉลยเชงตวเลขของปญหาคาเรมตน
Numerical Analysis
Introduction
ปญหาคาเรมตน คอ ปญหาวาดวยการแกสมการเชงอนพนธทสอดคลอง
กบเงอนไขคาเรมตนเงอนไข วธเชงตวเลขทไมไดใหคาประมาณทตอเนอง กบเงอนไขคาเรมตนเงอนไข วธเชงตวเลขทไมไดใหคาประมาณทตอเนอง
แตใหคาประมาณ ณ จดทกาหนด
คาประมาณอนๆระหวางจดทกาหนดสามารถใชการประมาณคาในชวง
, , 0 , 0
x0 x1 x2 x3 xn
13/02/55
2
Introduction
เงอนไขความแจมชด
สาหรบปญหาคาเรมตน
, , ,
สมมต และ ตอเนองสาหรบทก ใน , ดงนนปญหาคาเรมตนมผลเฉลยหนงเดยว สาหรบ , และปญหานเรยกวา ปญหาแจมชด (well-posed problem)
Well-posed Formula: Example
พจารณาปญหาคาเรมตน
( )xyxy sin1+=′ , 20 ≤≤ x , ( ) 00 =y
ในทน
( ) ( )xyxyxf sin1, +=
( ) ( )xyxyxf y cos, 2=
ทงคตอเนองสาหรบ [ ]20∈x ดงนน ผลเฉลยจะมเพยงผลเฉลยเดยว และเปนปญหาคาเรมตนแจมชด ทงคตอเนองสาหรบ [ ]2,0∈x ดงนน ผลเฉลยจะมเพยงผลเฉลยเดยว และเปนปญหาคาเรมตนแจมชด
13/02/55
3
Classes of Methods
ประมาณคา ( )xy โดย กาหนด x ทจดตางๆ เปน K,,, 210 xxx จะได iy เปนคาประมาณของ ( )ixy
1. ระเบยบวธชนเดยว (one step method)
สตรของการประมาณคาจะอยในรป
( )hyxhyy iiii ,,1 φ+=+ K,2,1,0=i
โดยท ( )hyx ii ,,φ เปนฟงกชนสวนทเปลยนแปลงเมอ x เปลยนคา จาก ix เปน hxi +
2. ระเบยบวธหลายชน (multi-step method)
เปนการหา 1+iy โดยใชผลเฉลยทรคาแลวมากกวา 1 จด ระเบยบวธนมรปแบบของสตรเปน
( )∑∑−=
−−=
−+ +=m
kkikik
m
kkiki hyxbhyay
101 ,,φ K,2,1,0=i
โดยท maaa ,,, 10 K , mbbb ,,, 10 K เปนคาคงตว
Classes of Methods
สาหรบระเบยบวธหลายชน ซงมรปสตรเปน
( )∑∑−=
−−=
−+ +=m
kkikik
m
kkiki hyxbhyay
101 ,,φ K,2,1,0=i
ถา 0≠ma หรอ 0≠mb ระเบยบวธ จะม 1+m ขน เพราะตองใชขอมล 1+m จด
ถา จะสามารถหา จากคาทางดานขวาของสตรไดทนท ระเบยบวธนจะเรยกวา ระเบยบวธโดยชดแจง (explicit)
ไ ป ถา จะมตวไมทราบคา ปรากฏทงสองดานของสตร ระเบยบวธนจะเรยกวา ระเบยบวธโดยปรยาย (implicit)
13/02/55
4
Euler Method
สาหรบปญหาคาเรมตน
, , ,
จะกาหนดใหคา เทาๆ กน จะไดวา
0,1,2, … ,
ผลตางระยะทางระหวางจด เรยกวา ขนาดของชน
Euler Method
โดยทฤษฎบทของเทยเลอร (Taylor’s Theorem)
ถา เปนผลเฉลยของปญหาคาเรมตน และ 2 , แลว
1 1 2! 12
เมอ 0,1,2, … , 1 และบาง , 1
เมอให 1 และจาก , จะได 2
1 ,2
2!
13/02/55
5
Euler Method: Formula
สตร ระเบยบวธ Euler
0
1 ,
มคาความคลาดเคลอนเฉพาะถน (Local Error) เปน 2
2! สาหรบบาง , 1
Euler Method: Geometry Meaning
จากการทให เปนคาประมาณของ เราไดวา ,
1yα
( )yxfy ,=′( ) α=ay
Slope ( ) ( )α,afay =′
( )yxfy ,=′( ) α=ay
1yα
2y
a 1x a 1x 2x
13/02/55
6
Euler Method: Example
จงใชระเบยบวธ Euler ในการประมาณผลเฉลยของปญหาคาเรมตน
12 +′ 20 ≤≤ ( ) 500 โ ใ 10N 20h i20 12 +−=′ xyy , 20 ≤≤ x , ( ) 5.00 =y โดยใช 10=N , 2.0=h และ ixi 2.0=
จาก ( ) 1, 2 +−= xyyxf
ให 5.00 =y และ ( )121 +−+=+ iiii xyhyy 9,,2,1,0 K=i
0=i , ( )120001 +−+= xyhyy
( ) 8000.0105.02.05.0 =+−+=
1i ( )12 ++= xyhyy1=i , ( )11112 +−+= xyhyy
( )( ) 1520.112.08.02.08.0 2 =+−+= 2=i ( )12
2223 +−+= xyhyy
( )( ) 5504.114.0152.12.0152.1 2 =+−+=
Euler Method: Example
ผลเฉลยทแทจรงสาหรบปญหาคาเรมตนนกคอ ( ) ( ) xexxy 5.01 2 −+=
i x y y(x) |y-y(x)|i x y y(x) |y y(x)|0 0.0000000 0.5000000 0.5000000 0.00000001 0.2000000 0.8000000 0.8292986 0.02929862 0.4000000 1.1520000 1.2140877 0.06208773 0.6000000 1.5504000 1.6489406 0.09854064 0.8000000 1.9884800 2.1272295 0.13874955 1.0000000 2.4581760 2.6408591 0.18268316 1.2000000 2.9498112 3.1799415 0.23013037 1.4000000 3.4517734 3.7324000 0.28062667 1.4000000 3.4517734 3.7324000 0.28062668 1.6000000 3.9501281 4.2834838 0.33335579 1.8000000 4.4281538 4.8151763 0.3870225
10 2.0000000 4.8657845 5.3054720 0.4396875
13/02/55
7
Taylor order n
จากการกระจายอนกรมเทยเลอร รอบจด จะได
! !
สาหรบบาง ,
จาก , , , , ...,, ,
จะได จะได
, , ! ,
! ,
Taylor order n: Formula
ระเบยบวธ Taylor อนดบ n
, , , , … , เมอ
, , ,!
,
คาผดพลาดเฉพาะถนคอ สาหรบบาง คาผดพลาดเฉพาะถนคอ !
สาหรบบาง ,
13/02/55
8
Taylor order n: Example
จงใชระเบยบวธ Taylor อนดบ 2 และอนดบ 4 กบปญหาคาเรมตน
, , . เนองจากเราใชเทยเลอรอนดบ 4 จงตองใชอนพนธของ ถงอนดบ 3 ซง ,
,
,
,
Taylor order n: Example
ได
, , ,
, , , , ,
13/02/55
9
Taylor order n: Example
ไดสตรเทยเลอรอนดบสอง .
และสตรเทยเลอรอนดบส .
สาหรบ , , , … ,
Taylor order n: Example
ให . , ดงนน . , … , ให . , ดงนน . , … ,
จากระเบยบวธเทยเลอรอนดบสาหรบ ได
. . . . .
สาหรบ สาหรบ , .
. . . . . . .
.
13/02/55
10
Taylor order n: Example
ระเบยบวธเทยเลอรอนดบ 4 ให
สาหรบ
.
.. . .
.
. ..
. . ..
Taylor order n: Example
สาหรบ , .
.
.. . .
. .
. .. .
. . .
.
13/02/55
11
Taylor order n: Example
ExactTaylor order 2 Error
Taylor order 4 Error Exact order 2 Error order 4 Error
| | | | 0.00 0.5000000 0.5000000 0.0000000 0.5000000 0.0000000 0.20 0.8292986 0.8300000 0.0007014 0.8293000 0.0000014 0.40 1.2140877 1.2158000 0.0017123 1.2140910 0.0000033 0.60 1.6489406 1.6520760 0.0031354 1.6489468 0.0000062 0.80 2.1272295 2.1323327 0.0051032 2.1272396 0.0000101 1.00 2.6408591 2.6486459 0.0077868 2.6408744 0.0000153 1 20 3 1799415 3 1913480 0 0114065 3 1799640 0 00002251.20 3.1799415 3.1913480 0.0114065 3.1799640 0.0000225 1.40 3.7324000 3.7486446 0.0162446 3.7324321 0.0000321 1.60 4.2834838 4.3061464 0.0226626 4.2835285 0.0000447 1.80 4.8151763 4.8462986 0.0311223 4.8152377 0.0000614 2.00 5.3054720 5.3476843 0.0422123 5.3055554 0.0000834
Interpolate other values
เมอตองการทราบคา . กจะสามารถใชวธการประมาณคาในชวง เชน ใชพหนาม ลากรองจ 2 จด
ตวอยางเชน ให . และ . และจากขอมลทประมาณไดจากระเบยบวธเทยเลอรอนดบ 4 ได
.. .. . .
. .. . .
. .
ซงคาจรงของ . . ดงนนคาประมาณทไดจงมความคลาดเคลอนเพยง 0.0007525
13/02/55
12
Interpolate other values
เมอใชพหนาม Hermite จะตองหาคาประมาณของ . และ .
ซงทาไดโดยอาศยความสมพนธของ , ดงน
. . . . ..
. . . . ..
Interpolate other values
โดยใชผลตางสบเนองหาสมประสทธของพหนาม Hermite จะไดขอมลดงตาราง 1.2 3.1799640
2.7399640 1.2 3.1799640 0.1118825
2.7623405 -0.3071225 1.4 3.7324321 0.0504580
2.7724321 1.4 3.7324321
. . . . .. . .. . . . . .
13/02/55
13
ระเบยบวธ Runge-Kutta (RK)
ระเบยบวธ Runge-Kutta เปนการปรบปรงระเบยบวธเทยเลอร เพอใหพจนขอบเขตของคาผดพลาดอนดบสงยงคงรกษาไว ในขณะทเราไมจาเปนตองหา
25
ขอบเขตของคาผดพลาดอนดบสงยงคงรกษาไว ในขณะทเราไมจาเปนตองหาอนพนธยอยอนดบสง
ทฤษฎบทเทยเลอรใน 2 ตวแปร
ถา และทกอนพนธยอยอนดบนอยกวาหรอเทากบ ตอเนองบนโดเมน
26
, | , และ , กบ , อยใน ทงคแลว ,
, , ,
, , ,
!,
13/02/55
14
Runge-Kutta order 2
ระเบยบวธเทยเลอรอนดบสองไดมาจาก
27
!
, ,!
เนองจาก , , , และ
, ได
, , , ,
!
Runge-Kutta order 2
เปรยบเทยบ
28
, , , ,
!
กบการกระจายพจน , โดยใชทฤษฎบทของเทยเลอรกบ จะได
, , , ,
, , ,
เทยบพจนจะไดวา
, และ ,
13/02/55
15
Runge-Kutta order 2
เปรยบเทยบ
29
, , , ,
!
กบการกระจายพจน , โดยใชทฤษฎบทของเทยเลอรกบ จะได
, , , ,
, , ,
เทยบพจนจะไดวา
, และ ,
Runge-Kutta order 2
การแทนดวย , ในระเบยบวธเทยเลอรไมใชทางเลอกเดยว ถาใช
30
พจนในรป , , , ตว
แปรเสรมใหสตรอนดบสองจานวนอนนต ซงคอ รปแบบของสตร Runge-Kutta อนดบสอง
(RK2)
, , ,
13/02/55
16
สตรกงกลาง (Midpoint Method)
และ
31
, , และ
, ,
, , , … ,
สตร Euler ดดแปลง (Modified Euler Method)
และ
32
, , และ
, , ,
, , , … ,
13/02/55
17
สตร Heun (Heun’s Method)
และ
33
, , และ
, , ,
, , , … ,
ซงคาผดพลาดเฉพาะถนของทงสามสตรคอ
RK2: Example
จงใชระเบยบวธ Runge-Kutta กบปญหาคาเรมตน
34
, , . พรอมดวย , . , . และ . สตรการประมาณจากระเบยบวธตางๆไดแก สตรจดกงกลาง . . . . สตร Euler ดดแปลง . . . . สตร Heun . . . .
, , , … ,
13/02/55
18
RK2: Example
จาก , , . และ , . , . ,
35
.
ซงไดวา ,
สครจดกงกลางคอ , ,
แยกคดเฉพาะ ,
. . . . .
. . .
RK2: Example
จาก . . แทนคาลงใน , จะได
36
, ,
. . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
. . . .
13/02/55
19
RK2: Example
ดงนนสครจดกงกลาง สาหรบปญหาน คอ
37
, ,
. . . .
. . . .
RK2: Example
Midpoint Method
Error Modified Euler
Error Heun's Method
Error
38
0.00 0.5000000 0.5000000 0.0000000 0.5000000 0.0000000 0.5000000 0.0000000 0.20 0.8292986 0.8280000 0.0012986 0.8260000 0.0032986 0.8273333 0.0019653 0.40 1.2140877 1.2113600 0.0027277 1.2069200 0.0071677 1.2098800 0.0042077 0.60 1.6489406 1.6446592 0.0042814 1.6372424 0.0116982 1.6421869 0.0067537 0.80 2.1272295 2.1212842 0.0059453 2.1102357 0.0169938 2.1176014 0.0096281 1.00 2.6408591 2.6331668 0.0076923 2.6176876 0.0231715 2.6280070 0.0128521 1.20 3.1799415 3.1704634 0.0094781 3.1495789 0.0303627 3.1635019 0.0164396 1.40 3.7324000 3.7211654 0.0112346 3.6936862 0.0387138 3.7120057 0.0203944 1.60 4.2834838 4.2706218 0.0128620 4.2350972 0.0483866 4.2587802 0.0247035 1.80 4.8151763 4.8009586 0.0142177 4.7556185 0.0595577 4.7858452 0.0293310 2.00 5.3054720 5.2903695 0.0151025 5.2330546 0.0724173 5.2712645 0.0342074
13/02/55
20
Runge-Kutta order 4: Formula
39
,
,
,
, , , , … , คาผดพลาดเฉพาะถนคอ
Runge-Kutta order 4: Example
จงใชระเบยบวธ Runge-Kutta อนดบ 4 กบปญหาคาเรมตน
40
, , . พรอมดวย , . , . และ .
จาก , , , . , . และ .
0 0 0, 0 . . . .
13/02/55
21
Runge-Kutta order 4: Example
0 , 0 .., .
.
41
0 , 0 ,
. . . .
3 0 , 02 .
., .
.
. . . .
, 0 . . , . ., 0 ,
. . . .
Runge-Kutta order 4: Example
ดงนนได
42
. . . . .
.
, .
. . . .
13/02/55
22
Runge-Kutta order 4: Example
1 , 1 . .., .
.
43
. . . .
3 0 , 02 . .
., .
.
. . . .
, 0 . . , . .
. . . .
ได . . . .
. .
Runge-Kutta order 4: Example
RK4 Error 0.00 0.5000000 0.5000000 0.0000000 0.3000000 0.3280000 0.3308000 0.3581600
44
0.20 0.8292933 0.8292986 0.0000053 0.3578587 0.3836445 0.3862231 0.4111033 0.40 1.2140762 1.2140877 0.0000114 0.4108152 0.4338968 0.4362049 0.4580562 0.60 1.6489220 1.6489406 0.0000186 0.4577844 0.4775628 0.4795407 0.4976925 0.80 2.1272027 2.1272295 0.0000269 0.4974405 0.5131846 0.5147590 0.5283923 1.00 2.6408227 2.6408591 0.0000364 0.5281645 0.5389810 0.5400626 0.5481771 1.20 3.1798942 3.1799415 0.0000474 0.5479788 0.5527767 0.5532565 0.5546301 1.40 3.7323401 3.7324000 0.0000599 0.5544680 0.5519148 0.5516595 0.5447999 1.60 4.2834095 4.2834838 0.0000743 0.5446819 0.5331501 0.5319969 0.5150813 1.80 4.8150857 4.8151763 0.0000906 0.5150171 0.4925189 0.4902690 0.4610709 2.00 5.3053630 5.3054720 0.0001089
13/02/55
23
RK4 & Other Methods
ระเบยบวธ Runge-Kutta อนดบ 4 ใชการหาคาฟงกชน 4 ครงตอขนตอน อาจเทยบไดกบ
45
ระเบยบวธ Euler ทมขนาดตะแกรง(ขนตอน)เปน
ระเบยบวธ Runge-Kutta อนดบ 4 ดกวาระเบยบวธ Runge-Kutta อนดบ 2 (ทมขนาดของ
ขนตอน ) เพราะระเบยบวธ Runge-Kutta อนดบ 4 ใชจานวนการหาคามากกวาเปน 2 เทา
ของแตละขนตอน
RK4 & Other Methods
พจารณาปญหา
46
, , . โดยใชระเบยบวธ Euler พรอมดวย . ระเบยบวธ Euler ดดแปลง(RK2) พรอมดวย . และระเบยบวธ Runge-Kutta 4 (RK4) กบ . เปรยบเทยบ ณ จด
. , . , . , . , .
13/02/55
24
RK4 & Other Methods
Exact Euler Modified Euler Runge-Kutta order 4
47
Exact Euler .. .
0.0 0.5000000 0.5000000 0.5000000 0.5000000 0.1 0.6574145 0.6554982 0.6573085 0.6574144 0.2 0.8292986 0.8253385 0.8290778 0.8292983 0.3 1.0150706 1.0089334 1.0147254 1.0150701 0 4 1 21408 1 20 634 1 21360 9 1 2140869 0.4 1.2140877 1.2056345 1.2136079 1.2140869 0.5 1.4256394 1.4147264 1.4250141 1.4256384
ระเบยบวธหลายขน (Multi-Step Method)
ถาอนทเกรตสมการเชงอนพนธ , เหนอชวง , จะได
48
,
ดงนน ,
แทน ดวนพหนามตวประมาณคาในชวง เราจะสามารถอนทเกรตได ซงเปนพหนามดกร หาไดจากจากชดขอมล , , , , ... , , และ
จะได จะได
,
13/02/55
25
ระเบยบวธหลายขน (Multi-Step Method)
รปแบบของพหนามตวประมาณใดๆสามารถใชแทน ได แตทสะดวกทสดคอ การใช
49
ผลตางสบเนองยอนหลงของนวตน
ระเบยบวธหลายขนสามารถแบงไดเปน 2 กลมคอ
1. ระเบยบวธโดยชดแจง เปนระเบยบวธท ไมขนกบการหาคา ,
2. ระเบยบวธโดยปรยาย ซงมบางสวนขนกบ ,
Multi-Step Method: Explicit case
ระเบยบวธหลายขนโดยชดแจง
50
กรณท สตรของ Adams-Bashforth อนดบตางๆในรปแบบ ∑ ,
อนดบ
1 0 1
2 1 3/2 -1/2
3 2 23/12 -16/12 5/12
4 3 55/24 -59/24 37/24 -9/24
13/02/55
26
Adams-Bashforth: Formula
Adams-Bashforth อนดบ 3 (AB3) , ,
51
, , ,
, , … ,
คาผดพลาดเฉพาะถน คอ สาหรบบาง ,
Adams-Bashforth อนดบ 4 (AB4) , , ,
, , ,
,
, , … ,
คาผดพลาดเฉพาะถน คอ สาหรบบาง ,
Multi-Step Method: Explicit case
ระเบยบวธหลายขนโดยชดแจง
52
กรณท ( ) จากการกระจายผลตางสบเนอง จะได รปแบบของสตรเปน
∑ ,
1 1 2
3 3 8/3 -4/3 8/3
13/02/55
27
Multi-Step Method: Explicit case
สตรของ Milne
53
, , , , , … ,
คาผดพลาดเฉพาะถนคอ สาหรบบาง ,
ป ใ เมอ เปนจานวนค และเลอก สตรสาหรบกรณ จะใชจานวนของ นอยกวาสตรสาหรบกรณ ทมอนดบเดยวกน
Multi-Step Method: Implicit case
ระเบยบวธโดยปรยาย
54
กรณท : ∑ ,
สตรนเรยกวา สตรของ Adams-Moulton อนดบตางๆ อนดบ ,
1 0 1
2 1 1/2 1/2
3 2 5/12 8/12 -1/12
4 3 9/24 19/24 -5/24 1/24
เมอ
13/02/55
28
Multi-Step Method: Implicit case
ระเบยบวธโดยปรยาย
55
กรณท สตรทนาสนใจคอ สตร Simpson ( , )
, , , , , … ,
คาผดพลาดเฉพาะถนคอ สาหรบบาง ,
เพอทจะใชสตรโดยชดแจงและโดยปรยาย จาเปนตองหาคา , , … , เสยกอนดวยระเบยบวธขนเดยว (single step method) เสยกอน เชน ใชระเบยบวธของ Runge-Kutta order 4
Predictor-Corrector Method
ระเบยบวธน เปนการใชสตร 2 สตรรวมกน โดยสตรหนงจะเปนสตรแบบชดแจง เรยกวา สตรตวทานาย (Predictor Formula) และอกสตรหนงเปนสตรโดยปรยาย
56
เรยกวา สตรตวทานาย (Predictor Formula) และอกสตรหนงเปนสตรโดยปรยาย ทมความแมนยาสงกวา เรยกวา สตรตวแก (Corrector Formula)
การใชสตรตวแก เรยกวา การทาซาภายใน (inner iteration)
ตองใชคตวทานายและตวแก ทมคาคลาดเคลอนอยในอนดบใกลเคยงกน มฉะนนแลวการทาซาภายในอาจจะไมลเขา
13/02/55
29
Predictor-Corrector Method
สตรของ Adams-Bashforth-Moulton (ABM4)
57
Predictor
Corrector
ใชระเบยบวธแบบชนเดยว เชน RK เพอหาคา , , และ , , ,
1. คานวณ ดวยสตรตวทานาย ใหคาคานวณเปน ใ 2. ใชคา เพอคานวณ
3. คานวณ ดวยสตรตวแก 4. คานวณคา และทาซาในขอ 3 จนกระทง
Predictor-Corrector Method
คสตรตวทานาย-ตวแกอนๆ
58
สตรตวทานาย ใชสตรของ Milne
สตรตวแก ใชสตร Simpson
หรอ สตรตวแก ใชสตร Hamming
13/02/55
30
Predictor-Corrector Method: Example
จงใชระเบยบวธตวทานาย-ตวแก หาคาของ ทจด . ของปญหาคาเรมตน
59
ทม เมอ โดยใช .
กาหนดใหคสตรทใชคอ
สตรตวทานาย ,
สตรตวแก , ,
Predictor-Corrector Method: Example60
, , ,
. .
,.. .
. . .
13/02/55
31
Predictor-Corrector Method: Example61
. ,
..
. . .
.
. , . .
Predictor-Corrector Method: Example62
และได .
.
.
. .
ความคลาดเคลอนของสตรตวแกคอ เมอ
13/02/55
32
Predictor-Corrector Method: Example63
ประมาณ ดวย และ . ไดความคลาดเคลอนไมเกน ประมาณ ดวย และ . ไดความคลาดเคลอนไมเกน . . แสดงวาผลเฉลยมความแมน 3 D.P.
,
High Order Diff. Eq. and System of Diff. Eq.
ปญหาคาเรมตนทมสมการเชงอนพนธอนดบ โดยทวไป มรปแบบเปน , , , … ,
โดยมเงอนไขคาเรมตน , , ...,
13/02/55
33
High Order Diff. Eq. and System of Diff. Eq.
เมอให , , ..., ผลทไดคอระบบสมการ
; , , … ,และเงอนไขคาเรมตน , , ..., เมอ
High Order Diff. Eq. and System of Diff. Eq.
เขยนไดในรปแบบสมการเวกเตอรเชงอนพนธ ไดเปน , โดยม
เมอ
โดยท
;; ; , ;
; ; , , … ,
13/02/55
34
High Order Diff. Eq. and System of Diff. Eq.
ระเบยบวธทใชหาผลเฉลยปญหาคาเรมตน , ทม เมอ ตอง
เปลยนปรมาณสเกลาร , , , , และ , , , ในสตรแบบ Runge-Kutta
หรอสตรอนๆเปนปรมาณเวกเตอร , , ; , และ , , ,
RK4 in vector form
สตรแบบ RK4 คอ
,
,
,,
, , , … ,
13/02/55
35
ABM4 in vector form
สตรตวทานาย
สตรตวแก โดยท ;
High Order Diff. Eq. and System of Diff. Eq.: Example
จากปญหาคาเรมตน , , จงหาคาประมาณของ
. ดวยระเบยบวธ RK4
กาหนดให
ดงนน
, , ,
13/02/55
36
High Order Diff. Eq. and System of Diff. Eq.: Example
ไดระบบสมการ ,
พรอมเงอนไข
โดยระเบยบวธ Runge-Kutta อนดบ 4
, . .
. .
High Order Diff. Eq. and System of Diff. Eq.: Example
.
, . . ..
.
..
..
, . .. .
..
13/02/55
37
High Order Diff. Eq. and System of Diff. Eq.: Example
..
..
, . .. .
..
. .
จาก . . . .
. . ...
ดงนน . . และ . .
High Order Diff. Eq. and System of Diff. Eq.: Example
จงใชระเบยบวธตวทานาย-ตวแก เพอหาคา เมอ . กาหนดให และ
0.0 1 -1
0.1 0.895171 -1.094838
0.2 0.781397 -1.1787736
0.3 0.659816 -1.250857
13/02/55
38
High Order Diff. Eq. and System of Diff. Eq.: Example
กาหนดให , , .
จาก
,
จาก
,
.. ,
.. ,
..
.
. ,
.
. ,
.
.
High Order Diff. Eq. and System of Diff. Eq.: Example
ใชสตรตวทานาย-ตวแก ABM4
สตรตวทานาย
..
. . . .. . ...
13/02/55
39
High Order Diff. Eq. and System of Diff. Eq.: Example
จาก . และ
.
.
.
สตรตวแก
. ..
.
.
. ..
High Order Diff. Eq. and System of Diff. Eq.: Example
. .
..
∞.
แสดงวาผลเฉลยมความแมนยาถงทศนยมตาแหนงท 5 (5 D.P.)
. . และ . .
13/02/55
40
Divided Different Method for BVP
ปญหาคาขอบ(BVP)ของสมการเชงอนพนธเชงเสน
,
การหาผลเฉลยเชงตวเลขจะตองเปลยนปญหาในระบบตอเนอง ใหเปนปญหาในระบบไมตอเนอง โดย
1. เปลยนโดเมนตอเนองของ ในชวง , เปนเซตของจดแบงชวง คอ , , … ,1. เปลยนโดเมนตอเนองของ ในชวง , เปนเซตของจดแบงชวง คอ , , … , 2. เปลยนสมการเชงอนพนธ เปนสมการผลตางสบเนอง 3. เปลยนเงอนไขคาขอบทกาหนดให เปนเงอนไขเกยวกบคาของ ทจดแบงชวงตางๆ
Differential Equation to Divided Different Form
จาก
ป ป ไ เมอแปลงเปนผลตางสบเนองจะได
, , … ,
13/02/55
41
Divided Different Formula for Linear BVP
ให , และ จดรปใหมได
, , … ,
เมอแทนคาดชน จะไดระบบสมการเชงเสน มเมตรกซของสมประสทธเปนเมตรกซสามแนว
เฉยงททราบคาทกตว ระบบสมการนม สมการ และมตวไมทราบคาจานวน ตว
คอ , , … , ในขณะท และ
Existing of Solution
ถาเลอกขนาดของชวง ททาให โดยท | | เมตรกซของ
สมประสทธในระบบสมการ , , , … , จะมแนวทแยงมมขมแท จงมผลเฉลย
แนนอนและมเพยงผลเฉลยเดยว
13/02/55
42
Divided Different for BVP: Example
จงหา ท . จากปญหาคาขอบ , , เมอ
ใช
แทน , , ใน
จะได
Divided Different for BVP: Example
สาหรบแตละคา จะได
แทนคา , , , , , จะไดระบบสมการ
. .. . .
. .
.
.
.
13/02/55
43
Divided Different for BVP: Example
หาผลเฉลยของระบบสมการเชงเสน
ไดผลเฉลย . , . , .