อินเวอร์สของความสัมพันธ์elsd.ssru.ac.th/nampung_ch/pluginfile.php/142/course/summary/function.pdf ·...

วชาคณตศาสตร 2 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ความสมพนธและฟงกชน

1

อนเวอรสของความสมพนธ

อนเวอรส(ตวผกผน)ของความสมพนธ r คอความสมพนธซงเกดจากการสลบทของสมาชกตวหนาและสมาชกตว

หลงในแตละคอนดบทเปนสมาชกของ r เขยนแทนดวย 1r

เราตองทราบวา

1. สามารถเขยน 1r ในรปเซตแบบบอกเงอนไขไดดงน 1r {(y,x) | (x, y) r}

2. ถา r เปนความสมพนธจาก A ไป B แลว 1r เปนความสมพนธ…………………………………………..

3. เนองจาก r และ 1r เกดจากการสลบทกนของตวหนากบตวหลงของคอนดบ

เกดเปนความสมพนธ rD ………………………. และ rR ……………………………….

ตวอยางท 1 จงหาอนเวอรสของพรอมกบโดเมนและเรนจของอนเวอรส

1) 1r {(1,2),(3,4),(5,6)} 2) 2r {( 3,1),(0,8),(4,6)}

3) 2r {( 3, 10),( 2,5),( 1,0),(1, 5),(2,10)} 4) 4r {(a,Z),(b,Y),(c,X),(d,W),(e,V)}

การหาอนเวอรสมาในรปแบบบอกเงอนไข

การหา 1r แบบบอกเงอนไขสามารถท าได 2 วธ

1) โดยการสลบทคอนดบ แตคงเงอนไขเดมไว

เชน r {(x, y) A B | y 2x 3} จะไดโดเมนคอ……………………….. เรนจคอ………………………………….

1r {(y,x) B A | y 2x 3} จะไดโดเมนคอ……………………….. เรนจคอ………………………………….

เชน


2

2) โดยการคงทคอนดบไว แตสลบทตวแปรในเงอนไขแทน

เชน r {(x, y) A B | y 2x 3}

1r {(x, y) B A | x 2y 3}

จดใหมจะไดวา 1 x 3r {(x, y) B A | y }

2

ตวอยางท 2 ก าหนด r {(x, y) R R | y 5x 4} จงพจารณาอนเวอรสของ r วาถกหรอผด

…………………………………1) 1r {(y,x) R R | y 5x 4}

…………………………………2) 1r {(x, y) R R | x 5y 4}

…………………………………3) 1 x 4r {(x, y) R R | y }

5

ตวอยางท 3 จงหาอนเวอรสของความสมพนธตอไปนพรอมทงหาโดเมนและเรนจ

1) 1r {(x,y) | y 2x 4} 2) 2

3 2xr {(x, y) | y }

3x 5

3) 3r {(x, y) | y x 1} 4) 24r {(x, y) | y 16 y }

5) 5r {(x, y) | y x 4 1} 6) 6r {(x,y) | x | y | 1}


3

ตวอยาง 4 จงเขยนกราฟอนเวอรสของ r ลงบนแกน xy รวมกบกราฟ r


4

2. ฟงกชน (Function)

2.1 ความหมายของฟงกชน

ฟงกชน คอ ความสมพนธทมสมาชกในโดเมนแตละตวจบคกบสมาชกในเรนจของความสมพนธ

เพยงตวเดยวเทานน

Note !!!!

ตวอยางท 1 ก าหนดให 1r {(0,3),(1,1),(2,1),(3,4)} และ 2r {(0,1),(1,1),(1,2),(0,4)}

จาก 1 2r , r เขยนแผนภาพแสดงการจบคไดดงน

จะไดวา 1r …………………………………. และ 2r ………………………………….

ตวอยางท 2 จงพจารณาความสมพนธตอไปนวาเปนฟงกชนหรอไม

1) a {(4,5),(6,8),(7,0)} 2) b {(5,6),(5,7),(5,8)}

3) c {(3,6),(5,4),(3,0)} 4) d {(4,6),(9,6),(5,1)}

5) e {(2,5),(3,7),(2,5)} 6) f {(4,0),(6,0),(2,0)}

การพจารณาความเปนฟงกชนโดยใชกราฟ

ลากเสนตรงตงฉากกบแกน x (ขนานกบแกน y) แลวใหตดกราฟ ถา

- ตดกราฟเพยง 1 จด ……………………………………….…………

- ตดกราฟตงแต 2 จดขนไป ……………………………………………..


5

ตวอยางท 3 จงพจารณาความสมพนธตอไปนวาเปนฟงกชนหรอไม


6

การตรวจสอบฟงกชน

ตวอยางท 4 ความสมพนธในขอใดเปนฟงกชน

1) 1r {(x, y) | y 3x 1} 2) 22r {(x, y) | y x }

3) 23r {(x, y) | y x} 4) 4r {(x, y) | y 2x}

สญลกษณของฟงกชน

ถา f เปนฟงกชน และ x, y f แลวเราจะเขยนสญลกษณนวา y f (x) โดยเราจะเรยก y วา

คาฟงกชนของ x ภายใตฟงกชน f

ตวอยางท 5 ให f (x) 2x 1 จงหาคาของฟงกชน f (3),f(0) และ f ( 4)

ตวอยางท 6 ให 2f (x) x 5 จงหาคาของฟงกชน f ท x เมอ x {0,1,5}


7

ชนดของฟงกชน

ชนดของฟงกชนประกอบดวย ฟงกชนเชงเสน , ฟงกชนก าลงสอง , ฟงกชนเอกซโพแนนเชยล , ฟงกชน

คาสมบรณและฟงกชนขนบนได

ฟงกชนเชงเสน

ฟงกชนเชงเสน คอ ฟงกชนทอยในรป y ax b เมอ a,b เปนจ านวนจรง และ a 0 กราฟของ

ฟงกชนเชงเสน จะเปนกราฟ………………………………

ตวอยางท 7 จงเขยนกราฟของ y x 2

จดตดแกน x คอ………………..

จดตดแกน y คอ………………..

ตวอยางท 8 จงเขยนกราฟของ y 2x 4

x y

จดตดแกน x คอ………………..

จดตดแกน y คอ………………..

จาก y ax b เมอ a 0 เราเรยกวา ฟงกชนเชงเสน

แตถา a 0 จะไดวา…………… เราจะเรยกวา………..…………… ซงจะเปนกราฟขนานแกน x เสมอผานจด (0,b)

ฟงกชนคงตว จะเปนกราฟทขนานแกน x เสมอผานจด (0,b) เชน

ตวอยางท 8.1 จงเขยนกราฟของ y 2 ตวอยางท 8.2 จงเขยนกราฟของ y 3

ตดแกน y ทจด........................... ตดแกน y ทจด...........................

x 0 y 0


8

ตวอยางท 9 จงเขยนกราฟของฟงกชนเชงเสนตอไปนในระนาบเดยวกน

1) 1y x และ 2y 4x

2) 1y x และ 2y 4x

จากตวอยาง เราสามารถสรปไดวา

กรณ a 0 เมอ a มากขน เสนตรงจะเบนเขาหาแกน…………………………..

เมอ a นอยลง เสนตรงจะเบนเขาหาแกน…………………………..

กรณ a 0 เมอ a ตดลบมากขน เสนตรงจะเบนเขาหาแกน…………………………..

เมอ a ตดลบนอยลง เสนตรงจะเบนเขาหาแกน…………………………..


9

ตวอยางท 10 จงเขยนกราฟของฟงกชนเชงเสนตอไปนในระนาบเดยวกน

1) 1y 3x 6 2) 1y x 3 และ 2y 2x 3

และ 2y 3x 9

การเขยนกราฟของฟงกชนก าลงสองทอยในรป 2y a(x h) k

ตวอยางท 11 จงเขยนกราฟของ 2y 2(x 1) 2 เทยบกบกราฟของ 2y x


10

ฟงกชนก าลงสอง

ฟงกชนก าลงสอง เปนฟงกชนทอยรป 2y ax bx c เมอ a,b,c เปนจ านวนจรงใดใด และ a 0

ซงลกษณะกราฟของฟงกชนนจะมลกษณะเปนเสนโคงหงายหรอคว า ขนอยกบคา a โดย

จากรปจะเหนวา ถา a 0 กราฟเปนเสนโคงหงายขน

ถา a 0 กราฟเปนเสนโคงคว าลง

กราฟของฟงชนก าลงสองในรปนมชอเรยกวา…………………………………….

และเรยกจดยอดของพาราโบลา คอ………………………………………………….

ถากราฟพาราโบลาหงาย จะมจดวกกลบทเปน……………………………..…

ถากราฟพาราโบลาคว า จะมจดวกกลบทเปน……………………………..…

ตวอยางท 12 จงเขยนกราฟของฟงกชนก าลงสองตอไปนพรอมทงหาจดวกกลบและจดสงสดหรอจดต าสดของกราฟ

1) 2y x 2) 21y x

2

x y

x y


11

ตวอยางท 13 จงเขยนกราฟฟงกชนก าลงสองตอไปนพรอมทงหาจดวกกลบและจดสงสดหรอจดต าสดของกราฟ

1) 2y x 2) 2y 5x

3) 2y x 1 4) 2y x 1

5) 2y (x 3) 6) 2y (x 3) 2

ตวอยางท 14 จงเขยนกราฟของฟงกชนตอไปนในระนาบเดยวกน

1) 21y x , 2

2y x 1 , 23y x 2 2) 2

1y (x 1) , 22y (x 2) ,

และ 24y x 3 และ 2

3y (x 3)


12

ตวอยางท 15 จงหาจดสงสดหรอต าสดของกราฟของฟงกชนตอไปน

1) 2y (x 3) 3

2) 2y (x 2) 3

ตวอยางท 16 จงเขยนกราฟฟงกชนก าลงสองตอไปนพรอมทงหาจดวกกลบและจดสงสดหรอจดต าสดของกราฟ

1) 2y x 2x 15 2) 2y 2x 4x 16


13

การน ากราฟของฟงกชนก าลงสองไปใชในการแกสมการและอสมการ

1) การแกสมการโดยใชกราฟ

ถากราฟตดแกน x จะมค าตอบของสมการทเปนจ านวนจรง

ถากราฟไมตดแกน x จะไมมค าตอบของสมการทเปนจ านวนจรง

ตวอยางท 17 จงหาค าตอบของสมการ 22x 2 0 โดยใชกราฟและจดตวแกน x และ y

วธท า

ตวอยางท 18 จงหาค าตอบของ 2(x 4) 0

x y


14

ตวอยางท 19 จงหาค าตอบของ 22(x 1) 2 0 โดยใชกราฟ

ตวอยางท 20 จงหาค าตอบของ 2f (x) x 6x 8 และจงหา

1) โดเมนและเรนจของฟงกชน f 2) จดวกกลบของกราฟ

3) จดวกกลบของกราฟเปนจดทฟงกชนมคาสงสดหรอต าสดและมคาเทาใด

4) จดทกราฟตดแกน x


15

2) การแกอสมการโดยใชกราฟ

ตวอยางท 21 จงแกอสมการ 2x 9 โดยใชกราฟ

ตวอยางท 22 จงแกอสมการ 2x 2x 3 0 โดยใชกราฟ

ตวอยางท 23 จงแกอสมการ 2x 2x 3 0 โดยใชกราฟ


16

ฟงกชนเอกซโพแนนเชยล

รปทวไปของฟงกชนเอกซโพแนนเชยล คอ xy a เมอ a 0 และ a 1 กราฟของฟงกชนจะม

ลกษณะดงตวอยางตอไปน

ตวอยางท 24 จงเขยนกราฟของฟงกชนเอกซโพแนนเชยล xy 2

วธท า

x y

3

2

1

0

3

2

1

ตวอยางท 25 จงเขยนกราฟของฟงกชนเอกซโพแนนเชยล x

1y

2

วธท า


17

จากตวอยางทผานมาจะไดวา ถา a 1 และเมอ x มคาเพมขน คา y กเพมตามไป

แลวเรากลาวไดวากราฟเอกโพแนนเชยลนเปน…………………………………. ( increasing function)

เมอ 1 2x x แลว 1 2f (x ) f (x )

ถา 0 a 1 และเมอ x มคาเพมขน คา y จะลดลง

แลวเรากลาวไดวากราฟเอกโพแนนเชยลนเปน…………………………………. ( decreasing function)

เมอ 1 2x x แลว 1 2f (x ) f (x )

จากตวอยางทงสองจะไดวา กราฟฟงกชน xy a เมอ a 0 และ a 1 กราฟจะตดแกน y ทจด (0,1) เสมอ

เพราะ 0a 1 แตกราฟจะไมตดแกน x เพยงแตมคาเขาใกล 0 หรอมคาเขาใกลแกน x เทานน

ตวอยางท 26 จงหาคา x เมอก าหนดให x

181

3


18

ฟงกชนคาสมบรณ

รปทวไปของฟงกชนคาสมบรณคอ y | x a | c โดยท a และ c เปนจ านวนจรง

ตวอยางท 27 จงเขยนกราฟของ y | x |

วธท า

โดเมนคอ……………………

เรนจคอ………………………

ตวอยางท 28 จงเขยนกราฟของ y | x 1|

วธท า



ตวอยางท 29 จงเขยนกราฟของ y | x | 1

วธท า



x y

2

1

0

1

2

x y

2

1

0

1

2

x y

2

1

0

1

2


19

ตวอยางท 30 จงหาคา x ทท าให | x 1| 3 โดยใชกราฟ

วธท า

ตวอยางท 31 จงหาคา x ทท าให | x 1| 2 0 โดยใชกราฟ

วธท า

ตวอยางท 32 จงหาคาของ | x 3 | เมอ x 0

วธท า


20

ฟงกชนขนบนได

ฟงกชนขนบนได หมายถง ฟงกชนทมคาคงตวเปนชวงๆมากกวาสองชวงซงกราฟจะมลกษณะคลายขนบนได

ตวอยางท 33 งานการกศลงานหนง ไดก าหนดราคาบตรเขาชมงานดงน เดกอายต ากวา 5 ป เขาชมฟร ผทมอาย

ตงแต 5 ถง 12 ป ราคาบตรละ 10 บาท และผทมอายเกน 12 ปขนไป ราคาบตรละ 20 บาท

จงเขยนฟงกชนแสดงความสมพนธระหวางอายกบบตรราคาเขาชม พรอมทงเขยนกราฟของฟงกชน

วธท า

เขยนเปนกราฟไดดงน


21

ตวอยางท 34 จงเขยนกราฟฟงกชนขนบนไดแสดงอตราคาโดยสารของรถประจ าทาง ซงมรายละเอยดดงน

วธท า

เขยนฟงกชนขนไดไดดงน

เขยนเปนกราฟไดดงน

ระยะทาง (กโลเมตร) อตราคาโดยสาร (บาท) ไมเกน 12 เกน 4 แตไมเกน 8 14 เกน 8 แตไมเกน 12 16 เกน 12 แตไมเกน 16 18 เกน 16 แตไมเกน 20 20 20 ขนไป 22

อินเวอร์สของความสัมพันธ์elsd.ssru.ac.th/nampung_ch/pluginfile.php/142/course/summary/function.pdf ·...

Documents

Transcript of อินเวอร์สของความสัมพันธ์elsd.ssru.ac.th/nampung_ch/pluginfile.php/142/course/summary/function.pdf ·...