ก

ฉบบปรบปรงใหม ครงท 2

ข

ค ำน ำ

สวสด “ผอาน” ทรก เราไดรวบรวมสตร “summation” เลมนขนม

จดประสงคเพอชวยครและนกเรยนทก าลงฝกแขงขนคดเลขเรวไดใชประกอบการ

หาค าตอบ รวมถงการน าสตรไปทองจ ำดวย การทองจ าบางครงอาจตองใชตว

ชวยหลากหลายรปแบบหรอการใชเทคนคพเศษตางๆ โดยพวกเราไดม

ประสบการณในการใชมาแลวจนประสบผลส าเรจจงน าเอาหลกการเหลานนมา

เขยนไวในอบกเลมน

การแขงขนคดเลขเรวในปจจบน ระดบมธยมศกษาทงตอนตนและปลาย

ก าหนดใหใชสญลกษณ “summation” โดยมเงอนไขเพมเตมวา หลงสญลกษณ

summation ตองม i ไดเพยง 2 ตวเทานน อบกเลมนไดรวบรวมสตรไวโดยผาน

การค านวณจากโปรแกรม Microsoft Excel

การใชสญลกษณ summation ท าใหค าตอบของผลลพธบางขอสามารถ

ค านวณหาไดงายขน จนแทบจะมค าตอบทก ๆ ขอเลยทเดยว จะเหนไดจากการ

แขงขนทผานๆ มา ในการแขงขนงานศลปหตถกรรมนกเรยน นกเรยนทท า

คะแนนไดอนดบตนๆ สามารถท าคะแนนไดถง 48 - 50 ขอ จากทงหมด 50 ขอ

คดเปนรอยละ 96 – 100 พวกเรามโอกาสตรวจคะแนนของนกเรยนเหลานน

สงเกตพบวำ นกเรยนทไดคะแนนสงๆ จะไดคะแนนจากสญลกษณ

summation ท าใหมแนวคดวา หากรวบรวมสตร และใหนกเรยนทองจ าสตร

อยำงมควำมหมำย ขยนและอดทนฝกซอมอยางมวนยทกเชา-เยน จะมโอกาส

แขงขนไดอนดบดขนอยางแนนอน

ค การรวบรวมสตรเหลานจากการสอนนกเรยนของตวเอง การเขาไปอยใน

วงการแขงขนคดเลขเรว ตามกลมเฟซบก หรอกลมไลน หรอสอโซเชยลตาง ๆ ท

มการรวมตวกนเพอฝกซอมนกเรยนเกยวกบคดเลขเรว ใชเวลากวา 4 ป จงเหน

ผลและน านกเรยนเขาแขงขนไดระดบประเทศในงานศลปหตถกรรมนกเรยน

ปจจยทท าใหพวกเราไปถงจดหมายได ม 2 อยางหลกๆ คอ ปจจยทหนง

ตวนกเรยนเอง ทขยนฝกซอมและมจตใจเขมแขง อดทนไมวาจะเปนการซอม

ดวยตวเอง หรอครซอมให เขาจะใสใจและกระตอรอรนเปนพเศษ เมอรบรสตรไป

แลว เขาจะคดหาหรอสรางสตรใหมๆ ขนมาเรอย ๆ ดวยตวเอง ท าใหเขาใจในตว

สตรของ summation อยางถองแทรวมถงการงดไมเดดมาแกปญหาไดอยางชาญ

ฉลาด ปจจยทสอง คอ ควำมตอเนองจากการฝกซอม เนนย าวาตองตอเนอง

จรงๆ และเอาจรงเอาจงอยางมาก ไมเคยตนเชากตองตนเชาใหได เพอจะได

ฝกซอมใหไดทก ๆ วนทนกเรยนมาโรงเรยน รวมทงการแชตสวนตวใหก าลงใจ

สอบถามปญหาและแกไขปญหาตาง ๆ ใหนกเรยนนาจะเปนสวนหนงทท าใหเรา

ประสบผลส าเรจได

การมสตร summation ไวเยอะๆ จะไมเกดผลอะไรเลย หากนกเรยนไมได

ใสใจ ทองจ า ในตอนแรกนกเรยนอาจทองจ าอยางไมมความหมาย แตหลงจากท

นกเรยนเขาใจแลวนกเรยนจะสามารถสรางสตรตาง ๆ ขนมาใชงานเองได

อตโนมต จงมความจ าเปนมากทจะตองทองตงแตตอนแรก

ง หลงจากทท าอบกเวอรชนแรกไปแลวไดรบการตอบรบอยางดจากครและ

นกเรยนเปนจ านวนมาก เราจงถอโอกาสนปรบปรงเนอหาและแยกเนอหาเปน 3

สวน ในสวนสดทายไดเพมบทความทเขยนบนบลอก krujakkrapong.com กวา

30 บทความเพอเปนแนวทางในการฝกฝนไวอกดวย จงถอไดวานเปนอบกท

ปรบปรงใหมเปนเวอรชนทสองทสมบรณทสด

หวงวาอบกเลมน จะเปนสวนหนงทจะท าใหคณครทสอนคดเลขเรวน าไป

ปรบใชอยางหลากหลายและน าไปสผลลพธทภาคภมได

ครจกรพงษ แผนทอง

ครอรรถวรรณ ส าเภาทอง

จ

สำรบญ

ค าน า .............................................................................................................. ข

สารบญ ............................................................................................................ จ

Part 1 เขาใจ สญลกษณพนฐาน ...................................................................... 8

ความหมายของสญลกษณซมเมชน ............................................................. 9

ความหมายของสญลกษณแฟกทอเรยล ..................................................... 14

Part 2 ตารางซมเมชน แฟกทอเรยล และเลขยกก าลง .................................... 16

1. ตารางซมเมชนไอบวกไอแฟกทอเรยล ................................................... 17

2. ตารางซมเมชนไอแฟกทอเรยล ............................................................. 19

3. ตารางซมเมชนไอแฟกบวกไอแฟก ........................................................ 20

4. ตารางซมเมชนไอแฟกคณไอแฟก ......................................................... 21

5. ตารางซมเมชนไอคณไอ ....................................................................... 22

6. ตารางซมเมชนไอ ................................................................................. 24

7. ตารางซมเมชนไอบวกไอ ...................................................................... 27

8. เลขยกก าลง ......................................................................................... 29

9. ตารางเลขสองหลกยกก าลงสอง ............................................................ 30

10. สตรแฟกทอเรยลในรปการหาร ........................................................... 31

11. ตารางแฟกทอเรยลเพมเตม ................................................................ 32

ฉ Part 3 รวมบทความ เทคนคคดเลขเรว .......................................................... 33

เรองของ 3-6-9 ......................................................................................... 34

ซอมจ า sum อยางไร? .............................................................................. 36

สตร 441 ชวยคดเลขเรวหลก 400 ............................................................. 38

ก าจดตวเลขทตดกนจาก แฟกทอเรยล ...................................................... 42

สตร summation 90, 91 ........................................................................... 45

สตร 60, 80, และ 90 ................................................................................ 47

สตรคดเลขเรว 852, 873, 894 .................................................................. 49

สตร 33, 44, 55, 66, 77, 88 ..................................................................... 52

เรองของ 3, 6, 9 และความนาจะเปน ......................................................... 57

ม 1 กะ 2 ท าอะไรไดบาง .......................................................................... 60

สตร 7-11 นจ างายจรงๆ นะ ...................................................................... 62

สตร 456 จากเลข 456 .............................................................................. 65

ขอหามทคาใจ เครองหมาย summation ในกตกาคดเลขเรว ....................... 67

ควรเรมทอง “ซกมา” จากตวไหนด ............................................................ 70

อยากลบเลขใหเกง ท าไงด ........................................................................ 76

ใชโปรแกรมอะไรฝกคดเลขเรวด ................................................................ 79

เรมจากซมเมชนของเลข 2 ตว กอนดมย ................................................... 84

ช

จ า “ซมเมชน” ตวไหนกอน มนเยอะเหลอเกน! ........................................... 86

สตรคดเลขเรว 852 ท าไมคดงายจง ........................................................... 93

คดเลขเรวชวงเลขท “คดยาก” ทสด ........................................................... 96

แจกโจทย คดเลขเรว ชดท 1 ..................................................................... 99

ซมไอหารไอ ท าไมมนส าคญนกหนา ....................................................... 103

ซอมทละชวง ท าใหจ าซมเมชนไดเยอะเลย .............................................. 107

เรองของ เลข 24 .................................................................................... 112

ส าหรบประถม เรมซอมจากตรงไหนด? ................................................... 115

แฟกทอเรยล และวธการจ าพวกเขา ......................................................... 121

โจทยคดเลขเรวทแกไมไดตรงเปะ ........................................................... 125

8

Part 1

เขำใจ

สญลกษณพนฐำน

9 ควำมหมำยของสญลกษณซมเมชน

สญลกษณ ซมเมชน เปนสญลกษณแทนการบวกในทางคณตศาสตร บางครง

อาจเรยกวา ซกมำ กได โดยมคาเรมตนตามตวแปรทอยดานลาง และจะบวกเพม

ตามฟงกชนไปเรอยๆ จนกระทงสนสดทตวสดทายดวยจ านวนทอยดานบนของ

เครองหมายซมเมชน

8

1i

i=

ตวอยางสญลกษณดานบน แทนการบวก ทเรมตนท 1 และไปสนสดท 8 โดยการ

แทน 1 ใน i และเพมขนทละ 1 ไปเรอยๆ ดงน

1 2 3 4 5 6 7 8 36+ + + + + + + =

ดงนนการเขยนสญลกษณดงกลาวมคาเทากบ 36 นนเอง

8

1

36i

i=

=

10 เราจะเหนวาดานหลงของเครองหมายซมเมชนทยกตวอยางม i เพยงตวเดยวเทานน

แตกตกาของการแขงขนคดเลขเรวสามารถม i ไดไมเกน 2 ตว หมายความวา เรา

สามารถหาคาของซมเมชนนไดอกโดยการเพม i เขาอกตวเชน

( )8

1i

i i=

+

การค านวณคาซมเมชนดงกลาวกสามารถท าในท านองเดยวกนดงน

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 2 2 3 3 4 4

5 5 6 6 7 7 8 8 72

+ + + + + + + +

+ + + + + + + =

เราจะสงเกตไดวา ถาหากเปนซมเมชนของ i+i คาทไดจะมคาเปนสองเทาของซมเม

ชน i นนเอง ทเปนอยางนเพราะเครองหมายซมเมชนมนมสตรในการกระจายแยก

การบวกหรอการลบนนเอง

( )8 8 8

1 1 1

36 36 72i i i

i i i i= = =

+ = + = + =

11 เพยงเทานเรากจะไดสตรส าหรบการจดจ าขนมาหนงสตรแลววา

“ซมเมชนของไอบวกไอ มคาเปนสองเทาของซมเมชนไอ”

นอกจากจะมซมเมชน i ตวเดยวหรอ i สองตวน ามาบวกกนแลว กตกาไมได

หามใหเอาบวกกนไดอยางเดยว เรายงสามารถใสสญลกษณแฟกทอเรยลเขาไปหร

อน า i ไปยกก าลงหรอน าไปหารกแลวแต แตขอเพยงวาปรากฏ i อยเพยงสองตว

เทานน เราจงน าไปเขยนในรปประยกตตางๆ เชน

5

1

!i

i i=

+

ผลลพธของคาดงกลาวสามารถหาไดดงน

( ) ( ) ( ) ( ) ( )5

1

! 1! 1 2! 2 3! 3 4! 4 5! 5 168i

i i=

+ = + + + + + + + + + =

ส าหรบสญลกษณแฟกทอเรยลผมจะอธบายในบทถดไปนะครบ

คราวนผมจะสรปใหวาสญลกษณดานหลงของซมเมชนมนทใชกนบอยๆ ควรจะเปน

อะไรไดบางเพอใหเขาใจคอยจะไปสรปตารางคาของมนแตละอนอกทครบ

12

n

i k

i=

n

i k

i i=

+

n

i k

i i=

/

n

i k

i i=

!n

i k

i=

!

n

i k

i i=

+ !

n

i k

i i=

!/

n

i k

i i=

!n

i k

i i=

− ! !

n

i k

i i=

+ ! !

n

i k

i i=

( )!

n

i k

i i=

+ n

i

i k

i=

!

ni

i k

i=

( )

!!

ni

i k

i=

nj

i k

i=

จากตารางดานบนคอรปแบบของซมเมชนทใชบอยเทานน ยงไมใชทงหมด ผม

รวบรวมเฉพาะเทาทจ าเปนแตบางครงเรากตองฝกฝนหารปแบบอนๆ เพมเตม เชน

( ) ( ) ( ) ( )

3

1

1 ! 1 1 1 ! 2 2 1 ! 3 3 1 !

2 12 72 86

i

i i=

+ = + + + + +

= + + =

แตกอนไปไปถงขนนนเราควรจะฝกฝนตวพนฐานใหช านาญเสยกอน เพราะรปแบบ

ทยากขนเราตองมการผสมตวเลขทสมจากโจทยเขาไปรวมดวยและการค านวณก

ยากขนไปดวย หากในการแขงขนไมไดจดจ ารปแบบเหลานนไปเลย แลวไปนง

13 ค านวณเอาในหองไมมทางทจะทนเวลา 30 วนาทไดแนนอนครบ เพราะฉะนนใน

อบกเลมนผมจะขอสรปสตรทจ าเปนในการทองจ าจรงๆ กอนนะครบ

หมายเหต : การอานเครองหมาย ซมเมชน ใหอานจากดานลางขนบน

เชน

6

2

!i

i i=

+

“จะอานวา ซมเมชนไอตงแตสองถงหก ของ ไอแฟกบวกไอ”

หรอ

“จะอานวา ซกมาไอตงแตสองถงหก ของ ไอแฟกบวกไอ”

14 ควำมหมำยของสญลกษณแฟกทอเรยล

แฟกทอเรยล เปนอกหนงสญลกษณทางคณตศาสตรทใชแทนรปแบบการคณ

จ านวนนนดวยจ านวนทนอยกวาลดลงไปเรอยๆ ทละ 1 จนกระทงถง 1 เชน

5!

สญลกษณนเราจะอานวา 5 แฟก หรอ 5 แฟกทอเรยล กไดเชนกนความหมายคอ น า

5 คณดวย 4 คณดวย 3 คณดวย 2 และคณดวย 1 เขยนแทนดวย

5! 5 4 3 2 1 120= =

จะเหนวา 5! มคาเทากบ 120 นนเอง

นอกจากนจ านวนอนๆ กสามารถน ามาหาคาแฟกทอเรยลไดเชนกน ดงน

0! 1

1! 1

2! 2 1 2

3! 3 2 1 6

4! 4 3 2 1 24

5! 5 4 3 2 1 120

6! 6 5 4 3 2 1 720

7! 7 6 5 4 3 2 1 5040

=

=

= =

= =

= =

= =

= =

= =

15 จรงๆ แลวเรายงสามารถหาเพมอกได เชน 8!=40320 ซงมคามากเกนความจ าเปนท

จะจดจ า ผมจงขอสรปถงแค 7 เทาน แตบางคนอาจสงสยวา ท าไม 0!=1

การท 0!=1 กถอวาเปนเรองพนฐานทใหเขาใจตรงกนนนแหละ แตหาจะ

พยายามอธบายโดยใชนยามของแฟกทอเรยลเขามาชวยกอธบายดงน

( )! 1 !n n n= −

เมอแทนคา n ดวย 1 จะได

( )1! 1 1 1 !

1 0!

= −

=

เอาละครบเรองของแฟกทอเรยลผมกขอจบไวเพยงเทาน แตจ าไววา

“เราจำเปนตองจำคาแฟกทอเรยลพนฐานใหไดอยางแมนยำ”

เพราะในการแขงขนคดเลขเรว เขาใหใชแฟกทอเรยลไดฟรเลย หมายความวา

เรามคาตวเลขทสมไดหรอเอามากระท ากนแลวเราสามารถใสแฟกทอเรยลเขาไปได

เลย

16

Part 2

ตำรำงซมเมชน

แฟกทอเรยล

และเลขยกก ำลง

17

ตารางซมเมชนทผมสรปไวในบทน ยงไมใชทงหมด เพราะกตกาของการ

แขงขนคอใหม i หลงซมเมชนไดไมเกน 2 ตว ตารางทยกมา จ านวนเรมตนและ

สนสดกเปนเพยงสวนหนงเทานน แตผมเลอกสวนทจ าเปนและพบเหนบอยทสด

1. ตำรำงซมเมชนไอบวกไอแฟกทอเรยล

( )!n

i j

i i=

+

จากตารางดานบน เปนตารางของซมเมชน (i+i)! คอลมภดานซายคอคาเรมตน สวน

แถวบนสดคอคาสนสด คาตวเลข 26 ในตารางคอการค านวณคาซมเมชน ดงน

( ) ( ) ( )2

1

! 1 1 ! 2 2 ! 2! 4! 26i

i i=

+ = + + + = + =

1 2 3 1 26 746 2 744

18

ท านองเดยวกนครบ เราสามารถหาคา 746 และ 744 ไดจาก

( ) ( )3 3

1 2

! 746, ! 744i i

i i i i= =

+ = + =

ส าหรบตารางไอบวกไอแฟกทอเรยล กมตวทนาจดจ าไวใช 3 ตวเทานครบ ถาสมมต

เราพยายามค านวณเพม เชน

( )4

1

! 29,031,146i

i i=

+ =

จงไมจ าเปนตองค านวณแลว เพราะมคามากจนเกนไป

ส าหรบตารางอนๆ ถดจากนไป จะใชหลกการเดยวกนเพอดคาในตารางนะครบ

19

2. ตำรำงซมเมชนไอแฟกทอเรยล

!n

i j

i=

1 2 3 4 5 6

1 3 9 33 153 873

2 8 32 152 872

3 30 150 870

ตวอยาง เชน

5

2

! 152i

i=

=

6

3

! 870i

i=

=

ขอสงเกต 2

1

! 3i

i=

= ไมจำเปนตองจดจำครบ เพราะถาหากเรามตวเลข 1 และ 2 แลว

เรานำมาบวกกน 1+2 = 3 อยแลวครบ ไมจำเปนตองเขยนซมเมชนใหยงยาก

20

3. ตำรำงซมเมชนไอแฟกบวกไอแฟก

! !n

i j

i i=

+

1 2 3 4 5

1 6 18 66 306

2 16 64 304

3 62 300

4 288

ตวอยาง เชน

4

2

! ! 64i

i i=

+ =

5

3

! ! 300i

i i=

+ =

ขอสงเกต ตารางนคาของมนจะมคาเปนสองเทาของตารางท 2 เพราะคณสมบตของ

ซมเมชนนนเองครบ ! ! ! ! 2 !n n n n

i j i j i j i j

i i i i i= = = =

+ = + =

21

4. ตำรำงซมเมชนไอแฟกคณไอแฟก

! !n

i j

i i=

1 2 3 4

1 5 41 617

2 40 616

3 612

ตวอยาง เชน

3

2

! ! 40i

i i=

=

4

1

! ! 617i

i i=

=

22

5. ตำรำงซมเมชนไอคณไอ

n

i j

i i=

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 5 14 30 55 91 140 204 285 385 2 13 29 54 90 139 203 284 384 3 25 50 86 135 199 280 380 4 41 77 126 190 271 371 5 61 110 174 255 355 6 85 149 230 330 7 113 194 294 8 145 245 9 181

23

ตำรำงซมเมชนไอคณไอ (ตอ)

1 11 12 13 14 15 16

1 506 650 819 1015 1240 1496

2 505 649 818 1014 3 501 645 814 4 492 636 805 5 476 620 789 985 6 451 595 764 960 7 415 559 728 924 8 366 510 679 875 9 302 446 615 811

10 221 365 534 730 955 11 265 434 630 855 12 313 509 734 990

13 365 590 846

14 421 677

15 481

ตวอยาง เชน

6

1

91i

i i=

=

6

5

61i

i i=

=

24

6. ตำรำงซมเมชนไอ

n

i j

i=

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 2 5 9 14 20 27 35 44 54 3 7 12 18 25 33 42 52 4 9 15 22 30 39 49 5 11 18 26 35 45 6 13 21 30 40 7 15 24 34 8 17 27 9 19

25

ตำรำงซมเมชนไอ (ตอ)

1 11 12 13 14 15 16 1 66 78 91 105 120 136 2 65 77 90 104 119 135 3 63 75 88 102 117 133 4 60 72 85 99 114 130 5 56 68 81 95 110 126 6 51 63 76 90 105 121 7 45 57 70 84 99 115 8 38 50 63 77 92 108 9 30 42 55 69 84 100

10 21 33 46 60 75 91 11 23 36 50 65 81 12 25 39 54 70 13 27 42 58 14 29 45 15 31

26

ตำรำงซมเมชนไอ (ตอ)

1 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 1 153 171 190 210 231 253 276 300 325 351 378 2 152 170 189 209 230 252 275 299 324 350 377 3 150 168 187 207 228 250 273 297 322 348 375 4 147 165 184 204 225 247 270 294 319 345 372 5 143 161 180 200 221 243 266 290 315 341 368 6 138 156 175 195 216 238 261 285 310 336 363 7 132 150 169 189 210 232 255 279 304 330 357 8 125 143 162 182 203 225 248 272 297 323 350 9 117 135 154 174 195 217 240 264 289 315 342 10 108 126 145 165 186 208 231 255 280 306 333 11 98 116 135 155 176 198 221 245 270 296 323 12 87 105 124 144 165 187 210 234 259 285 312 13 75 93 112 132 153 175 198 222 247 273 300 14 62 80 99 119 140 162 185 209 234 260 287 15 48 66 85 105 126 148 171 195 220 246 273 16 33 51 70 90 111 133 156 180 205 231 258 17 35 54 74 95 117 140 164 189 215 242 18 37 57 78 100 123 147 172 198 225 19 39 60 82 105 129 154 180 207 20 41 63 86 110 135 161 188

27

7. ตำรำงซมเมชนไอบวกไอ

n

i j

i i=

+

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 6 12 20 30 42 56 72 90 110

2 10 18 28 40 54 70 88 108

3 14 24 36 50 66 84 104

4 18 30 44 60 78 98

5 22 36 52 70 90

6 26 42 60 80

7 30 48 68

8 34 54

9 38

28

ตำรำงซมเมชนไอบวกไอ (ตอ)

1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 132 156 182 210 240 272 306 342 380 420 2 130 154 180 208 238 270 304 340 378 418 3 126 150 176 204 234 266 300 336 374 414 4 120 144 170 198 228 260 294 330 368 408 5 112 136 162 190 220 252 286 322 360 400 6 102 126 152 180 210 242 276 312 350 390 7 90 114 140 168 198 230 264 300 338 378 8 76 100 126 154 184 216 250 286 324 364 9 60 84 110 138 168 200 234 270 308 348

10 42 66 92 120 150 182 216 252 290 330 11 46 72 100 130 162 196 232 270 310 12 50 78 108 140 174 210 248 288 13 54 84 116 150 186 224 264 14 58 90 124 160 198 238 15 62 96 132 170 210 16 66 102 140 180 17 70 108 148 18 74 114 19 78

29

8. เลขยกก ำลง

เลขชกำลง

ฐาน ก าลง2

ก าลง3

ก าลง4

ก าลง5

ก าลง6

ก าลง7

ก าลง8

ก าลง9

ก าลง10

2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024

3 9 27 81 243 729

4 16 64 256 1024

5 25 125 625

6 36 216

7 49 343

8 64 512

9 81 729

10 100 1000

คอลมภดานซายมอสด คอ ฐำน และแถวบนสด คอ เลขชก ำลง เชน

5 3 33 243, 8 512, 10 1000= = =

30

9. ตำรำงเลขสองหลกยกก ำลงสอง

ฐาน กำลง 2 ฐาน กำลง 2 ฐาน กำลง 2 11 121 16 256 21 441 12 144 17 289 22 484 13 169 18 324 23 529 14 196 19 361 24 576 15 225 20 400 25 625

ฐาน กำลง 2 ฐาน กำลง 2 26 676 31 961 27 729 32 1024 28 784 33 1089 29 841 34 1156 30 900 35 1225

ตวอยาง เชน

2 2 213 169, 24 576, 29 841= = =

31

10. สตรแฟกทอเรยลในรปกำรหำร

เศษ

สวน 5! 6! 7! 8! 9! 2 60 360 3 40 240 4 30 180 5 24 144 1008 6 20 120 840 7 720 8 15 90 630 9 80 560 3! 20 120 840 4! 5 30 210 5! 1 6 42 336 6! 1 56 504 7! 8 72 8! 1 9

ตวอยาง เชน 5! 6! 9!

30, 90, 5044 8 6!= = =

32

11. ตำรำงแฟกทอเรยลเพมเตม

5!+6! 840

6!-5! 600

11!/8! 990 ตวอยาง เชน

11!5! 6! 840, 6! 5! 600, 990

8!+ = − = =

33

Part 3

รวมบทควำม

เทคนคคดเลขเรว

34

ผมเรมเขยนบทความเกยวกบคดเลขเรว บทความแรกตงแตวนท 17 ธนวาคม

2560 และเขยนมาเรอยๆ เพอลงในบลอก www.krujakkrapong.com ณ ตอนทผม

เขยนอบกเลมน กเปน EP30 แลว ผมจงไดนำบทความเหลานนมาปรบปรงใหมโดยแกไข

คำผด เพมเตมบางสวน แลวนำมาเขยนในอบคเลมน เพอใหผอานไดเทคนคบางอยางท

เปนประโยชนกบการฝกซอมนกเรยนของตนเอง บทความทนำมาเขยนไมไดยกมาทก

บทความ เพราะบางบทความอาจมเนอหาทซำกนกบเนอหาของอบกอยแลว ดงนนหาก

ทานตองการอานบทความทกบทความหรอบทความใหม ทกทานสามารถไปอานไดท

บลอกผมไดเลยครบ (ในแตละหวขอของบทความสามารถลงคไปยงบทความตนฉบบ

ในบลอกไดครบ กดท Ctrl แลวคลกทลงคครบ) เรามาเรมอานบทความกนเลย

เรองของ 3-6-9

การใชเลข 3-6-9 ในการคดเลขเรวนน มหลกการงายๆ อยวา

“9 คอ ดสด” “ปานกลาง คอ 3” และ “ดนอยทสด คอ 6”

ทำไมผมจงคดเชนนน ?

เพราะ 9 สามารถเปนไดทง 3 และ 6 ครบ 9 จงดทสด

เนองจาก 9 3= ดงนน 9 เปน 3 ได

เนองจาก ( )9 ! 3! 6= = ดงนน 9 เปน 6 ได

สวน ปานกลาง คอ 3 เนองจาก 3! 6= ดงนน 3 จงเปน 6 ได

35 แตสงเกตไหมวา 3 ไมสามารถเปน 9 ไดนะครบ

และ ดนอยทสดคอ 6 เนองจาก 6 ไมสามารถเปน 3 และ 9 ได

ผมขอ สรป ดงน

“การมองเลขตวทมประโยชนมากสด คอ 9 ดวยตวของมนเอง จะ

สามารถเปนไดทง 3 และ 6 สวน 3 เปนไดแค 6 และ 6 ไมสามารถเปน

อะไรไดเลย นอกจาก 6 อยางเดยว”

แตผมมขอสงเกตดอยางหนงคอ เวลาทสมเลขมาได 6 จะมโอกาสมาจาก 3 และ 9 ได

ดงนนเลข 6 จงเปนเลขทหาไดงายทสดจากเลขทสม แมจะสมออกมาไมม 6 เลย แตเรายง

สามารถหามนไดจากเลข 3 หรอเลข 9 นนเองครบ

36

ซอมจ ำ sum อยำงไร?

เรอง summation เปนเรองทสำคญมากๆ ในกจกรรม คดเลขเรวของงาน

ศลปหตถกรรมนกเรยน เนองจาก summation ชวยเตมเตมในขอทอาจจะไมมผลเฉลย

ตรงบางขอ บทความนผมมวธการ ซอมจำ summation แบบงายๆ มาฝากกนครบ

ปญหาอยางหนง คอ นกเรยนจำ summation ไมไดหรอมกจำสบสน เราจะทำ

อยางไรใหนกเรยนจำได วนนผมจะมาแชรวธททำแลวไดผลลพธเปนทนาพอใจ นนคอ

การเขยนเครองหมาย summation ตางๆ และคาของมน บนกระดาษแขงคนละดาน

ดานหนงเขยน เครองหมาย summation สวนอกดานเขยนผลลพธ เชน ดานหนง เขยน 4

2

i

i

i=

อกดานเขยน 287 เมอเราเลอกซมเมชนทตองการจำมาเขยนหลายๆ แผน เราก

จะไดกระดาษเหลานเอาไวฝกกบเดกๆ หรอใหเดกๆ ฝกกนเองกยงได ทกๆ เชา กเอามา

เปดและทายกนเพอใหนกเรยนคนเคยและจำไดนนเอง

37

ผมจะสมกระดาษมาทละประมาณ 10 แผน ใหเดกๆ คอยๆ ฝกจดจำ เมอเราหน

แผนปายไปใหเดกด เดกตองบอกผลลพธของอกดานวาเปนเลขอะไร หรอ summation

อะไร ทำไปเรอยๆ ตวไหนทจำไดแลวกผาน อนไหนทจำไมได กคอยๆ เอามาฝกซำบอยๆ

วธนจะทำใหเดกจำไดดเลยทเดยวละครบ

เหนอสงอนใด คอ ซอม ซอม และซอม สงทสำคญทสด คอ เมอจำไดแลว เดก

จะตองฝกการเขยนใหถกตองดวยนะครบ

38

สตร 441 ชวยคดเลขเรวหลก 400

ในการแขงขนคณตคดเรว ตามกตกาของงานศลปหตถกรรมนน สามารถใช

เครองหมายซมเมชน โดยท i ทอยดานหลง เครองหมายนนจะตองมไมเกน 2 ตว เชน

6 6

1 1

21, 91,i i

i i i= =

= =

ถาเราตองการใช i สามตว เราจะตองม 3 ทสมจากโปรแกรมมาดวย เชน เรา

ตองการ summation ของ i ยกกำลงสาม

63

1

441i

i=

=

หมายความวา ถาโจทยสมผลลพธเปน 441 หรอใกลเคยง เราสามารถใชเลข 1, 3,

6 เพอประกอบกนเปนจำนวน 441 นนเองครบ

เลข 6 นนหาไดงายๆ ถาสมไมมเลข 6 เลยกสามารถหาไดจากเลข 3 และ 9 เพราะ

เกดจาก 3! 6= หรอ ( )9 ! 6=

ปญหาตอไป คอ หลง summation ทเปน i ยกกำลง 3 นน หากไมมเลข 3 เราจะ

ทำอยางไรเพอใหเกดเปนเลข 3 หลง summation ใหได

39

ผมมเทคนคทอยากแนะนำการแปลงเลขทสมได ตงแต 2 ถง 9 สามารถนำมาปรบ

ให i ทอยดานหลงเปน i ยกกำลง 3 ได หมายความวา เลขทจะมาปรบนน ใชไดตงแต 2-9

ยกเวน 0 กบ 1 เทานนเอง ลองมาดวธการปรบกนเลยครบ

1. สมไดจากเลข 2 ใหเปน i ยกกำลง 3 โดยการคณดวย i เขาไปอกตว ทำใหเกด

คาเทากบ i กำลง 3 นนเอง (ภายใตเงอนไข ใช i ได 2 ตวหลง summation)

62

1

441i

i i=

=

2. สมไดเลข 4 ใหยกกำลง 4 ไปกอน แลวหารดวย i จะมคาเปน i ยกกำลง 3 ตาม

ตองการครบ

46

1

441i

i

i=

=

3. สมไดเลข 5 ใหยกกำลง 5 คณดวย i แลวถอดรากทสอง จะมคาเปน i ยกกำลง

3 ตามตองการ

65

1

441i

i i=

=

40

4. สมไดเลข 6 ใหถอดรากทสองไดเลย กลายเปน i ยกกำลง 3 พอด

66

1

441i

i=

=

5. สมไดเลข 7 ใหยกกำลง 7 หารดวย i เทากบ i กำลง 6 แลวถอดรากทสอง จะได

i ยกกำลง 3

76

1

441i

i

i=

=

6. สมไดเลข 8 ใหถอดรากทสองของ i ยกกำลง 8 ได i ยกกำลง 4 แลวหารดวย i

จะได i ยกกำลง 3

86

1

441i

i

i=

=

7. สมไดเลข 9 ใหถอดรากทสองของ 9 ได 3 แลวเอา i ไปยกกำลง 3

69

1

441i

i=

=

หลกการพวกนเราจะตองฝกฝนใหกบเดกๆ จนคนชนถงจะทำใหนกออกอตโนมต

เวลาททำโจทยเพอใหทนเวลา 30 วนาทตามกตกานะครบ

เรามาฝกทำโจทยเหลานกนด

41

1.) 2 , 5, 5, 9, 3 = 441

วธทำ

29!

3

(5 5)!

441i

i= −

=

2.) 1 , 0, 2, 5, 4 = 440

วธทำ 4(5 2)!

1

0! 440i

i

i

−

=

− =

3.) 2 , 8, 7, 7, 3 = 443

วธทำ 83!

7

7

2 443

i

i

i=

+ =

ถาไดผลลพธใกลเคยง 441 ลองเอาเทคนคนไปใชดครบ ขอใหโชคดกบการแขงขน

นะครบ

42

ก ำจดตวเลขทตดกนจำก แฟกทอเรยล

การแขงขนคดเลขเรวในงานศลปหตถกรรม ในระดบมธยมศกษาทงตนและปลาย

สามารถ ใชแฟกทอเรยลไดฟร แตการสมเลขบางครง เราใชเลขครบจนไดผลลพธแลว

แตยงมตวเลขบางตวเหลออย จำเปนตองกำจดออก เพราะกตกาใหใชเลขทกตว หรอใชให

หมด เชน

สมเลข 4, 5, 6, 5 = 91

ณ ขณะแขงขน คดใชสตร summation ไดดงน

6!

5!

5 4

91i

i i= −

=

จากสตรเราจะเหนวา ม 5 และ 6 แตตองการไดแค 6 เพยงตวเดยว จงใชวธแฟก

ทอเรยลเขามาชวย

หลายคนอาจยงไมรจกแฟกทอเรยลกน งนเรามาเรยนรกนกอนนะครบ

เครองหมายตกใจ! หรอทเรยกกนในทางคณตศาสตรวา แฟกทอเรยล พดงายๆ คอ

มนมไวเพอใสขางหลงจำนวนนบ 1, 2, 3,... รวมกบ 0 อกตวหนงดวย

43

ถาผมเอาเลขจำนวนนบ หรอ 0 มาใสเครองหมาย ตกใจ หรอ ทอานมนวา แฟกทอ

เรยล มนจะมคา เทากบ การเอาเลขนนคณกบจำนวนทลดลงไปทละ 1 คณไปเรอยๆ

จนกระทงถง 1 คอยจะหยดคณ เชน

5! 5 4 3 2 1 120= =

ดงนน เราจะไดวา พวกจำนวนนบ 6 ตวแรกเปนดงน

1! 1

2! 2 1 2

3! 3 2 1 6

4! 4 3 2 1 24

5! 5 4 3 2 1 120

6! 6 5 4 3 2 1 720

=

= =

= =

= =

= =

= =

เราจะเหนวา

! ( 1)!n n n= −

หากเราแทน n ดวย 1 จะได

1! 1 (1 1)! 0!= − =

นเปนการแสดงใหเหนอยางงายๆ วา ให 0!=1 นนเองครบ

44

เมอเขาใจแฟกทอเรยลแลว คราวนเรามาเขาเรองตามหวขอกนเลยนะครบ วนนผม

จะกำจดจำนวนทอยตดกน เชน 3 กบ 4 อยากกำจด 3 ออกไป ใหเหลอเฉพาะ 4 เพยงตว

เดยว จะทำไดอยางนครบ

4! 4 3 2 14

3! 3 2 1

= =

หมายความวา ถามเลขทตดกน อยากกำจดตวเลขทนอยกวา “สามารถทำได

เสมอ” โดยการใสแฟกทอเรยลตวมากกวาไวดานบนหารดวย ตวนอยกวาใสแฟกทอเรยล

นนเองครบ ยกตวอยางอกสกตวนะ ม 8 กบ 9 อยากได 9 อยางเดยว

9!9

8!=

ลองเอาเทคนคนไปใชกนดนะครบ ขอใหโชคดกบการแขงขนทกสนามครบ

45

สตร summation 90, 91

ในการแขงขนคดเลขเรว ผลลพธหลกสบทใกลเคยง 90 เชน 88, 89, 90, 91, 92

ผมมกจะแนะนำใหจดจำสตร summation ของ 90 และ 91 เพอเอาไวใชประโยชนกน

ดงนครบ

6

1

91i

i i=

=

และ

6

2

90i

i i=

=

ถาเรามเลข 1 กบ 6 เราสามารถสรางผลลพธ 91 ได และถามเลข 2 กบ 6 เรา

สามารถสรางผลลพธ 90 ได ดงนนเวลาเราเจอผลลพธทใกลเคยง เพยงเรามองหาเลข 1

กบ 6 หรอ 2 กบ 6 แลวคอยผลลพธไปบวกหรอลบ กบเลขทเหลอเพอใหไดเลขตาม

ตองการได

ยกตวอยางสมเลข 4, 5, 1, 3 = 92

มองปราดแรก ผมเหนเลข 1 กบ 6 จาก 1 กบ (3!)!=6 ซงสองตวนใหผลลพธ 91

ขาดอก 1 ผมจงเอา 1 มาจาก 5-4 นนเอง เวลาเขยนจะเขยนไดดงนครบ

(3!)!

1

( ) 5 4 92i

i i=

+ − =

46

อกวธหนง ถาคดหา 90 ได แสดงวาตองคดหา 2 ไวในใจกอนเพอนำมาบวกกนแลว

จะได 92 พอด ผมจงเลอกเกบ 4 ไวทำเลข 2

จากนนจะเหลอ 5, 1, 3 เอามาทำ 2 กบ 6

พอจะมองออกแลวใชไหมครบวาจะเอา 2 มาจากไหน กมาจาก 5 1− นนเอง

ครบ เมอเขยนเปนสมการคำตอบ จะไดดงน

(3!)!

5 1

( ) 4 92i

i i= −

+ =

ลองฝกฝนแลวเอาเทคนคไปลองใชดนะครบ

47

สตร 60, 80, และ 90

การแขงขนงานศลปหตถกรรม คดเลขเรว ระดบ ม.ตน และ ม.ปลาย อนญาตใหใช

แฟกทอเรยลได เชน 5! 5 4 3 2 1 120= = หรอ 6! 720=

หลายขอตองอาศยสตรบางอยางชวยใหคดเรวขน วนนผมจะนำเสนอสตร 60, 80,

และ 90 กนครบ หากสมไดผลลพธทเปนตวเลขใกลเคยงเลขดงกลาว บวกลบ 2 ละก ใช

สตรทวานอาจจะชวยทำใหคดไดเรวขนไดครบ แตเงอนไขคอ ตองใชเลข อยางนอย 2 ตว

เพอใหไดเลขดงกลาวนะครบ มาดกนเลย

6! 5 60 =

แมวาสตรนจะมเลขตวอน เชน 5!

602= แลวกตาม แตบางครงไมมเลข 2 มแตเลข 6 ก

สามารถนำมาประยกตใชไดเหมอนกนครบ เพราะฉะนนนถอวาเปนอกสตรเดดทใชบอย

ในคดเลขเรวทนกเรยนตองไมลม นะครบ

สตรถดไป คอ 80 และ 90 อนนตองใชเลข 6! อกเชนกนครบ มาดกนเลยครบ

6!90

8=

และ

6!80

9=

48 สองสตรนเวลาจำใหจำพรอม ๆ กนไปเลยนะครบ หาร 8 ได 90 แตถาหาร 9 จะได 80

นนเองจำงายๆ ครบ

ดจากตวอยางการคำนวณตอไปนครบ

สมเลข 2, 2, 8, 9 = 91

แนวคด 9! 2

918 2

+ =

สมเลข 5, 6, 3, 5 = 68

แนวคด 6! 5 3 5 68 + + =

สมเลข 1, 1, 9, 3 = 79

แนวคด (3!)!

(1 1) 799

− =

ลองเอาเทคนคนไปปรบใชดนะครบ

49

สตรคดเลขเรว 852, 873, 894

สตรนเปนการประยกตใช เลขเพยงแค 2 ตว นนคอ เลข 1 และ 6 แตการสมเลข

เพอใหไดผลลพธเปนเลข 3 หลกนน จะสมเลขถง 5 ตวเลยทเดยว ดงนน หากเราม 1

และ 6 แลว อก 3 ตวทเหลอกยอมมโอกาสทำใหไดเลขมาบวกหรอลบเพอใหใกลเคยง

873 มโอกาสสงมาก ๆ

ถาหากการสมไมไดเลข 1 เรากหาจากเลข 0 เพราะ 0!=1 นนเอง แตถาหากไมม

เลข 6 เรากมองหาเลข 3 เพราะ (3!)!=6 หรอเลข 9 เพราะ ( 9)! 6= ไดเชนเดยวกน

จะเหนวา เรามโอกาสหาเลข 1 กบ 6 ไดสงมากจากการสมเลขมา 5 ตว คราวนเรามาด

กนเลยวาสตรทวานคออะไร

6

1

6

1

6

1

! 873

( ! ) 852

( ! ) 894

i

i

i

i

i i

i i

=

=

=

=

− =

+ =

จากสตรทงสามนมความเกยวของกนอย และหากจะจำ กจำความสมพนธของมนจะจำได

ดกวา ใหจำเรมจาก 873 เปนตวเลขทผลรวมเลขโดดเทากบ 8+7+3=18 เปนตวเลขท

50 หารดวย 3 ลงตว ดงนน 873 สามารถหารดวย 3 ลงตว ไดผลลพธ 291 เปนตวเลขทนา

จดจำมยละ

หากจำ 873 ไดแลว ตอไปมาดความสมพนธกน เนองจากสตรซมเมชนสามารถ

กระจายเขาไปในเครองหมายบวกหรอลบได ดงนน

6 6 6

1 1 1

( ! ) ! 873 21 852i i i

i i i i= = =

− = − = − =

ความหมายของสมการนคอ 873 หากกระจายซมเมชนเขาไป จะลบออกดวยซมตงแต 1

ถง 6 ของ i นนคอ การเอา 873-21=852 นนเอง

ดงนนถาหากเปลยนเครองหมายเปนบวก กจะได 873+21=894 นนคอ สตรน

6 6 6

1 1 1

( ! ) ! 873 21 894i i i

i i i i= = =

+ = + = + =

เมอพยายามจำสตรเดยว 873 เราจะไดอก 2 สตรพวงตามมาดวยเสมอ ทำใหเรา

สามารถหาผลลพธทใกลเคยงผลลพธ 3 ตวนไดไมยาก มาดตวอยางกนเลย

สมเลข 1, 5, 6, 7, 3 = 871

แนวคด ขอนหา 873 ไดไมยากเลย โดยเอา 1 และ 6 ออกมากอน เหลอเลข 5 , 7

, 3 เพอนำมาทำเปน 2 นนไมยากเลย นนคอ 7!

5 2(3!)!

− =

51 ดงนนเราจะไดคำตอบขอนคอ

6

1

7!! ( 5) 871

(3!)!i

i=

− − =

สมเลข 0, 8, 5, 7, 4 = 855

แนวคด (8 5)!

0!

( ! ) (7 4) 855i

i i−

=

− + − =

สมเลข 4, 5, 5, 7, 8 = 890

แนวคด (8 5)!

7 5

( ! ) 4 890i

i i−

= −

+ − =

ขอนเราอาจหาตวเรมตนท 1 ไดยาก เราจงเรมซมเมชนไปจาก 2 ดงนนถาซมเมชนไปจาก

2 ตองลบตวแรกทแทน 1 ออกไปกอน ถาเราแทน 1 จะไดคา เทากบ 1!+1=2 เทากบวา

เราจะไดวา

6

2

( ! ) 892i

i i=

+ =

ลองเอาไปปรบใชดกนนะครบ

52

สตร 33, 44, 55, 66, 77, 88

วนนผมขอเสนอสตรทผลลพธเปนเลขเบล หรอเลขสองตวซำกน สตรทงหลาย

เหลานเกดจากซมเมชนนะครบ เปนกตกาหนงในเกมแขงขนคดเลขเรวระดบ ม.ตน และ

ม.ปลาย

การจดจำซมเมชนเหลานอาจตองใชเวลาฝกฝนซกหนอยถงจะชนนะครบ

จำเปนตองหาเทคนคตางๆ เขามาชวยในชวงแรกกอน ถานกเรยนสามารถจดจำไดแลว

คอยขยายไปสตรอนๆ อกครบ

เรามาดสตรแรกกนกอนเลยครบ 33 และ 66

4

1

! 1! 2! 3! 4! 33i

i=

= + + + =

จากสตร 33 น จะใหจำพรอมกนกบคของมน คอ การใส i! เพมเขาไปอกชดจะเปนเปน

33 2 66 = นนคอ

4

1

( ! !) 66i

i i=

+ =

นอกจากนสตร 66 ยงสามารถหาไดอกจากซมเมชนตวนครบ

53

8

3

( ) 66i

i i=

+ = สตรอาจจะจำยากสกหนอยนะครบ ใหจำอยางนกไดครบ

3+4+5+6+7+8 เกดจากการบวกกนของเลข 6 ตว หากจบคใหมจะได (3+8) + (4+7) +

(5+6) = 11(3)=33 นนเองครบ แตสตรน ตองการ 66 กเลยใส i เบลเขาไปอกรอบในซม

เมชน ทำใหเกด 33(2) = 66 นนเองครบ

ตอไป เราจะมาดสตร 44 เกดจากซมเมชนตวนครบ

9

2

44i

i=

=

สตรนอาจจะจำยากหนอย แตหากเราคดวาเปนการบวกกนของ 2+3+4+5+6+7+8+9

เทากบวาบวกเลข 8 ตวน หากจดชดใหมเปน (2+9) + (3+8) + (4+7) + (5+6) เราจะได

ผลบวกของ 11 อยทงหมด 4 ชดดวยกน ทำใหเกดเปน 11(4)=44 นนเอง จะเกดการจำท

งายขนกวาจำแบบทอๆ ไหมละครบ (หรอวาไมตางกนหวา!)

สวน สตร 55 นนมาดกนตอเลยครบ

5

1

55i

i i=

=

มนเกดจากอะไรมาดกนเลยครบ 1(1)+2(2)+3(3)+4(4)+5(5)= 1+4+9+16+25 = 55

54 ซมเมชนตวนอาจจะจำยากถงยากมาก แตถาลองไดทำซำบอยๆ ใหพยายามหาคำตอบท

เปน 55 ทำบอยๆ นาจะชวยใหจำไดมากยงขนครบ

ตอไป สตร 77 เปนซมเมชนตวนครบ

6

4

77i

i i=

=

ตวนกจำยากเชนกน แตหากมองวาเปน 4(4)+5(5)+6(6) = 16+25+36 =

10+6+20+5+30+6 = 10+20+30+6+5+6 = 60+17=77 ใหคดเปนสเตบแบบนจะชวย

ใหจำงายขนไหมครบ

ตอไปสตร 88 คอซมตวนครบ

9

2

( ) 88i

i i=

+ =

หากจำซมเมชน 2-9 i เทากบ 44 ได กใหคณสองเขาไปเลย เปน 2-9 i+i เทากบ 88

นนเอง

คราวนมาดความสมพนธอกเลกนอย จากซมเมชน 4-7 i+i เทากบ 44 และ 3-8 i+i = 66

ผมกำลงจะบอกวา ใหสงเกตนะวา เลขแตละชดสมพนธกนอยางไร

55 3-8 i+i = 66

4-7 i+i = 44

2-9 i+i = 88

อนดบแรก เลขสองตวนบวกกนจะได 11 ทงสามชด และ จาก 3 ถง 8 มเลข 6 ตว (เกด

จาก 8-3+1=6) จากเลข 4 ถง 7 ม 4 ตว (เกดจาก 7-4+1=4) และ 2 ถง 9 มเลข 8 ตว

(เกดจาก 9-2+1=8)

สรปสตรกนกอนนะครบ

4

1

33 ( !)i

i=

=

7

4

44 ( )i

i i=

= +

5

1

55 ( )i

i i=

=

4

1

66 ( ! !)i

i i=

=

8

3

66 ( )i

i i=

= +

56

6

4

77 ( )i

i i=

=

9

2

88 ( )i

i i=

= +

สำคญคออยาจำสบสนแลวใส i ตวหลงผดนะครบ เปนบวกหรอคณจำกนใหด เพราะจะ

ทำใหความหมายเปลยนไปเลย พยายามฝกฝนบอยๆ จะชวยไดครบ

ตวอยาง

สม 2, 5, 3, 3 = 66

มองหา 3 กบ 8 แลวกไดคำตอบแลวครบ

3 5

3!

2!

( ) 88

i

i i+

=

+ =

หรออาจจะมองหา 1 กบ 4 กเจอเชนกนครบ

5

2

/

3

3

( ! !) 66i

i i

i

i i=

=

+ =

ลองเอาไปปรบใชกนดครบ ^_^

57

เรองของ 3, 6, 9 และควำมนำจะเปน

จาก EP 03 บทความเรองของ 3, 6, 9 ทผมเคยเขยนเอาไวนน จะเหนวา 9 ม

ประโยชนตรงทวาเปน 3 และ 6 ได และพบวาอกวา 3 เปน 6 ได สำหรบบทความนเรา

จะมงตรงไปทเลข 6 กน เพราะ 6 สามารถเอาไปใสในสตรซมเมชนของสตร 441 และ

สตร 852-873-894 ไดอกดวย จะเหนวา ถาม 6 ในเลขทสมแลว สามารถนำไป

ประยกตใชกบสตรตางๆ ไดอกมากมาย บทความนผมจะมาหาความนาจะเปนของการ

สมไดเลข 6 กนครบ เพอเนนยำวา 6 สำคญแคไหนกน

เนองจาก 6 สามารถทำจาก 3 หรอ 9 ได ดงนน ในการสมเลข 0-9 มา 1 ตว

โอกาสทจะได 6 มถง 3 ตวเลยทเดยว นนคอ สมได 3 หรอสมไดตวมนเองเลย หรอสมได

9 ตวใดตวหนง กเหมอนสมได 6 ทงนน ดงนน จากทมเลข 10 ตว เรามโอกาสสมได 6 ถง

3 เหตการณดวยกน ความนาจะเปนจงเปน 3

0.310

= คดเปน 30% เลยทเดยว

เราจะมาดกนวา ในการสมเลข 5 หลก มนจะมโอกาสเกด 6 อยางนอย 1 ตว ไดก %

คดแบบหลกการคอมพลเมนท คอ ในการสมเลข 5 หลก จากเลข 0-9 มจำนวนวธกวธท

จะไมมเลข 6 อยในหลกใดเลย

ดงนนแตละครงทสม ตองสมได 1, 2, 4, 5, 7, 8 หรอ 0 เปนไดทงหมด 7 ตว แตเราจะสม

ดวยกน 5 หลก ดงนนจำนวนวธทงหมดจะได [จากหลกการคณ]

58

57 7 7 7 7 7 16,807 = =

แตจำนวนแซมเปลสเปซทงหมดจะเปน (เหตการณทงหมดทเปนไปไดจากการสมเลข 5

หลก)

510 10 10 10 10 10 100,000 = =

นำมาหาคาความนาจะเปนจะได

16,8070.16807

100,000=

ดงนน ความนาจะเปนทจะได 6 อยางนอย 1 ตว เทากบ 1-0.16807=0.83193 คดกลมๆ

กคอ 83% ดๆ นเอง แปลวา โอกาสทจะสมได เลข 6 อยางนอย 1 ตวจากเลข 5 หลกม

ไดถง 83% เลยทเดยว

จากการแขงขนคดเลขเรวนน เราจะสมเลข 5 ตว เพอทำผลลพธ 3 หลก ทงหมด

20 ขอ ถาคดแบบคณตศาสตรงายๆ จะไดวา สม 20 ขอ จะมโอกาสไดเลข 6 อยประมาณ

0.83*20 = 16.6 หรอประมาณ 17 ขอ นนเอง

คดในทำนองเดยวกนสำหรบผลลพธเลข 2 หลก เราจะสมเลขทงหมด 4 ตว ดงนน

ความนาจะเปนทจะไดเลข 6 อยางนอย 1 ตวคอ 1-0.2401= 0.7599 หรอประมาณ

76%

59

หากเราสมเลข 4 หลกจำนวน 30 ขอ จะมโอกาสไดเลข 6 อยางนอย 1 ตวอย

0.76*30 = 22.8 ขอ หรอประมาณ 23 ขอ

เทากบวาการแขงแตละรอบ มการสมเลขทงหมด 50 ขอ จะมโอกาสไดเลข 6 ในแตละ

ครงทสมอยางนอย 1 ตวนน 17+23 = 40 ขอ หรอคดเปน 80%

จะเหนวา โอกาสได 6 จากการสมเลขในแตละครงนนสงมากๆ ผมจงพยายามทจะหา

สตรซมเมชนทใชเลข 6 อยในนน เพอใหเกดประโยชนมากทสด ใหนกเรยนมโอกาสคด

คำนวณไดมากทสดนนเอง เหนความสำคญแบบนแลวกอยาลมใหเดก ๆ ทองสตรซมเมชน

ของ 6 กนเยอะๆ นะครบ

60

ม 1 กะ 2 ท ำอะไรไดบำง

วนนเบาๆ สมองกนกบเลขนอยๆ ทคดวาดอยคณคา (จรงอะเปลา) คอ 1 กบ 2 ใน

การสมเลขเพอแขงขนคดเลขเรวในงานศลปหตถกรรมนน จะสมเลขโดด 4 ตว เพอทำให

ไดผลลพธ 2 หลก จำนวน 30 ขอ และสมเลขโดด 5 ตว เพอผลลพธ 5 หลก จำนวน 20

ขอ

ถาหากวาสมไดเลข 0 นน เสมอนวา ได 1 ทำไม?

เพราะการสมได 0 สามารถใสแฟกทอเรยล กลายเปน 0!=1 นนเอง (ถงบางออยง)

ดงนนเทากบวา สมได 0, 2 หรอ 1, 2 มความหมายเดยวกนนนเอง

แลวเลข 1 กะ 2 ทำอะไรไดบางละ

ลองเดาดสวาเลข 1 กะ 2 สามารถทำใหไดผลลพธทแตกตางกนไดทงหมดเทาไหร 3 แบบ

หรอ 5 แบบด ลองมาดกนในบทความนนะครบ

เราลองมาไลดวธแตละวธงายๆ กนเลยนะ ดงน

วธท 1 2-1=1 อนนเบสค งายๆ

วธท 2 1+2=3 อนนกชลๆ เดก ป.1 กคดได

วธท 3 1x2=2 อนนกงายอกเชนกน

วธท 4 (1+2)!=6 อนนกคอนขางยากขนมาหนอยนะ

61 วธท 5 ((1+2)!)!=720 สตรนนกเรยนคดเลขทกคนคดถงอยแลวละ

วธท 6 คดวาหมดหรอยง? คำตอบคอไม ยงมอกสตรนะ

2

1

5i

i i=

= สตรนเปนสตรทหลายคนอาจคดไมถง แตเปนสตร

จ าเปนตองใช เพราะการไดผลลพธ 5 จากเลข 1 กบ 2 หรอ 0 กบ 2 นนโดย

ทวๆ ไป ท าไมไดครบ ตองใช summation เทานนถงจะท าได

วธท 7 2

1

! 120i

i i=

=

เปนผลมาจากวธท 6 เพราะ 5!=120 นนเองครบ

วธท 8 ( )2

1

! 26i

i i=

+ = สตรนกเปนอกสตรทหลายคนไมไดจดจ าเอาไวนะครบ

เปนสตรพเศษทหลายครงจ าเปนตองดงมาใชเพราะการม 1 กบ 2 เพอใหไดผลลพธ

26 นนถาไมใช summation ท าไมไดเลยครบ

สรป ผลลพธทเกดจำก 1 และ 2 มำกระท ำกนสรปวำไดผลลพธทงหมด 8

ผลลพธเรยงจำกนอยไปมำก ดงน 1, 2, 3, 5, 6, 26, 120, 720 เลขสแดงคอ

นอยคนจะคดถง ดงนนถำเรำจ ำได แสดงวำ เรำมสตรเหนอกวำคนอนๆ

ทวไปแนนอนครบ

62

สตร 7-11 นจ ำงำยจรงๆ นะ

ถาเหน 7-11 เรานกถงอะไรกน กนกถงรานสะดวกซอยงไงละ แตคราวนเราจะใช

เทคนคลงคและลอคเพอจดจำอะไรบางอยางเกยวกบสตรการคดเลขเรว

เมอพดถง summation คงพอจะนกออกกนแลวใชไหมวาผมกำลงจะพดถงอะไร

มาดกนเลยครบ

( )11

7

415i

i i=

=

เรองมอยวา ... “เดกชาย คดเรว เหมอนจรวด มเงนอย 451 บาท เขาไมไดกน

ขาวมาตงแตเชา เมอเลกเรยน จงเดนไปท 7-11 เหนขาวผดกระเพราหมตรา ixi ราคา

36 บาท เขาจงหยบใหพนกงานอนรอนใหสกคร แลวเดนออกจากมา 7-11 ในกระเปา

เหลอเงนอย 415 บาท”

จากเรองเลาน ผมพยายามผกเรองใหมค าวา 7-11 และตวเลข 415 จงไดสตร

ของ ixi ดงกลาว แตสงเกตวา ยงมเลขอกตวหนงคอ 451 มนเกยวของกนอยางไร

มาดตอกนครบ ผมก าลงจะลงคกบ summation อกตวหนง คอ

( )11

6

451i

i i=

=

ขอเลาตออยางนครบ ตอนทเดกชายคดเรว ยงไปไมถง 7-11 เขามเงนอย 451

บาท แปลวา “ไปยงไมถง” แทนทจะเรม summation จาก 7 แต “ยงไมถง” กเลย

63 summation จาก 6 ไดผลลพธ 451 ไงละ (ไมงงนะ) ไหนๆ จะจ าเปนเรองแลว กจ า

ใหมนไดสก 2 summation พรอมๆ กนไปเลยดกวา

แลว ม summation อะไรอกมยทใช 7-11 และนาสนใจ มอกตวนะครบ คอ

( )11

6

90i

i i=

+ =

แตวาสตรนมนจะไปตรงกนกบสตร 6!

908= และยงตรงกบสตร

( )6

2

90i

i i=

= ซงสองสตรหลงดจะมประโยชนมากกวา เพราะวา เลขทใชหางาย

กวา เปนเลขทสมไดเลย ยงถาเปนเลข 6 ยงมโอกาสสมไดสง ดงนนถาไมจ าเปน

จรงๆ กไมตองใช ( )11

6

90i

i i=

+ = เพราะกวาจะหา 11 ไดกไมงายนะ ตองใชเลขท

สมอยางนอยถง 2 ตวเพอท าใหเกด 11 ดงนน 415 หรอ 451 นาจะจดจ าไวใหได

กอนดกวา เหตผลอกอยางคอ ผลลพธหลก 400 เปนอะไรทหายาก หากสมผลลพธ

3 หลกไดใกลเคยง 415 หรอ 451 กควรหาเลข 6, 7, 11 มาท า summation จะม

โอกาสสงทจะไดค าตอบเปะๆ ครบ

มาฝกจากตวอยางกนเลย

สม 2, 3, 5, 5, 0 = 416

64

จากขอน 416 ไมใชเลขทเราจดจำ แตเลขทเราจำสตร คอ 415 ทเกดจาก 7 และ

11 หากเราจะทำใหได 416 จะตองตงดวย 415 แลวบวกเพมไปอก 1 เปน 415+1 = 416

ดงนนเราควรหาเลข 1 เกบเอาไวบวกทหลง แลวหา 7 และ 11 จากเลขทเหลออยดกวา

นะ

หากหกเลข 0 ออกไปเพอเอาไปทำ 1 แลวจะเหลอเลข 2, 3, 5, 5 พอทจะทำ เปน

7-11 นำ 2+5 = 7 เหลอ 3 และ 5 จะเหนวามโอกาสได 11 พอด เพราะ 3!+5=11 เมอ

คดไดเชนนแลวกเขยนเลย

( )3! 5

2 5

0! 416i

i i+

= +

+ =

ลองหาหลกการคลายๆ เรองน ผกเปนเรองใหเดกจดจำ จะทำใหเดกจำไดงายขนอก

ดวย แตทงนกตองใหรความหมายของ summation ดวยนะครบ ^_^

65

สตร 456 จำกเลข 456

วนนผมมทรคเลกๆ นอยๆ จะมาฝากครบ หลงจากทผมตงกลม facebook ไวเพอ

สอนคดเลขเรวของชมนมทเพงตงขน มเดกนกเรยนชน ม.1 สนใจเขามารวมจำนวนหนง

ชวงน ทกๆ เยนผมจะเลนคดเลขเรวๆ กบเดกๆ โดยสมตวเลขให แลวใหเดกพมพคำตอบ

มาใน chat เลย เปนวธทงาย สะดวก และไดรบการตอบรบทดมากทเดยวครบ ลอง

นำไปใชดครบ

วนนเลนๆ ไป สมเจอคำตอบเปน 456 เปนตวเลขทสวยดครบ นอกจากจะเปนเลข

เรยงกนแลว พอมาหาคำตอบปรากฎวา มนใชเลข 3 ตวเพอทำใหไดคำตอบน นนคอ ใช

เลข 4, 5 และ 6 นนเองครบ

66 โดยโจทยขอน เลขทสมคอ 8 7 2 5 6 ทำใหไดผลลพธ 456 เราจะใชสตรดงกลาวนโดย

หา 4 5 และ 6 จากตวเลขทสม เมอเหลอบดดวยความรวดเรว จะเหนวา ม 5 และ 6

แลว เหลอแค เลข 4 ตวเดยว โดยตองทำจาก 8 7 2 ใหได 4

เมอพจารณาแลว พบวา เหลอเลข 7 อกตวทตองกำจด แตเนองจากเรามเลข 8

และ 7 เราสามารถกำจดเลข 7 โดยการใชแฟกทอเรยลนนเอง ดงนน เรากสามารถใชสตร

และคำนวณไดดงน

8!

7!(5! 6) 456

2

− =

ไหนๆ เรากจะจำ 4 5 6 แลว เรามาจำชดเลขทคลายคลงกนอกสก 3 สตรดงนครบ

6 (5! 7) 678

3 (5! 5) 345

2 (5! 3) 234

− =

− =

− =

สตรเหลานบางทอาจจะจดจ ายากสกหนอย แตเชอวา หลายคนสามารถจ าได

และถาไดลองใชบอยๆ จะท าใหจ าคลองไปเองครบ เพยงแตเราตองฝกฝนบอยๆ เทา

นนเอง

67 ขอหำมทคำใจ เครองหมำย summation ในกตกำคดเลขเรว

เครองหมาย summation มกใชส าหรบโจทยทหาค าตอบไดยาก ดวยการ

ประยกตใชทหลากหลาย นกเรยนทสามารถจดจ าค าตอบของเครองหมาย

summation ไดมากเทาใด ยงเปนตอในการแขงขนมากขนเทานน ดงนน ครผ

ฝกสอนจ ำเปนตองฝกซอมนกเรยนจ ำคำของ summation ใหไดนะครบ

ผมขอยกสรรพคณของ summation มาใหดเปนน าจมเลกๆ คอ โจทยขอนครบ

เลขทสม 3 3 2 4 ผลลพธ 53 เมอพจารณาทกวธแลว พบวา แทบจะไมมทางจะได

53 เปะไดเลย เวนแตวาเราจะใชเครองหมาย summation เขามาชวย ดงน

2(3 ) (3!)

4

/ 53i

i i

=

=

แมวาเครองหมาย summation จะมประโยชนมากมายกตาม แตกระนน หลายคนก

พยายามจะประยกตใชเครองหมายไปในทางก ากวมทผดกตกาในการแขงขน ส าหรบ

กตกาปน (ป 2562) กออกมาแลว ไมเปลยนจากเดมเลย แสดงวายงใชกตกาเดมอย

จากปทแลวครบ สามารถดาวนโหลดไดจากทน เมออานท าความเขาใจแลว กมาด

สวนทผมจะขยายตอไปน

เครองหมาย summation แตละอนนน จะม i ไดไมเกน 2 ตว ยกเวนวา

summation จะซอน อยดานบน กบ ดานลางแบบนจะนบของใครของมนครบ สามารถ

ใชได ตามตวอยาง

68

ผลรวมของ summation ตามกตกาตองเปนจำนวนเตมบวกครบ แตมบางคนพยายาม

ประยกตใชใหไดคาตางๆ ทไมตรงตามกตกาดงน

เขาใจอยวา ม 4 กบ 7 ไมสามารถทำใหเปน 1 ได จงเอามาใช summation เพอหา

ผลรวมไดเทากบ 0 แลวใสแฟกทอเรยลจะได 0!=1 แตเหตทผดกตกาเพราะผลรวม

summation มคาเทากบ 0 ไมใชจำนวนเตมบวกครบ

แมวาจะหามหลง summation ใหม i ไดไมเกน 2 ตว แตการเขยน 3i หรอ 3i โดยมเลข

3 ทไดจากการสม ถอวาใชไดครบ เชน

63

3

432i

i=

=

69

6

1

! 3 936i

i i=

+ =

เนองจากหลง summation ใส i ไดไมเกน 2 ตว แตไมไดหามการใสรากหรอแฟกทอเรยล

ดงนนจงเกดสตรทนาสนใจและสามารถใชไดของ summation ดงน

70

ควรเรมทอง “ซกมำ” จำกตวไหนด

ซกมา หรอ ซมเมชน (summation) เปนเครองหมายสญลกษณแทนการ

บวก ทมเรยนในชนมธยมปลายจนถงมหาวทยาลย เปนสญลกษณทใชแทนการบวก

ทเขยนยาว ๆ ใหสนกระชบและเขาใจไดงาย เชน 1+2+3+4+5+…. สามารถเขยน

แทนไดดวย

ในกตกาของการแขงขนคดเลขเรวของงานศลปหตถกรรมนกเรยนทจดขนทก

ป

เปนการแขงขนททกคนตงตารอคอย มการอนญาตใหใชสญลกษณ ซมเมชน ไดท า

ใหโจทยทสมออกมาสามารถหาผลลพธไดตรงมากยงขน โดยเฉพาะในปจจบนทผม

ตดตามด สวนใหญแขงขนกนไดเตมทง 50 ขอ จนกระทงไดแขงขนกนในรอบทสาม

เลยทเดยว

เหตทนกเรยนกลมเดมๆ กลมนไดคะแนนเตมจากการแขงขนนน เพราะวาเขา

เลอกทจะใชสญลกษณซมเมชนปดชองโหวขอทหลายคนคดไมออก และยงมความ

ช านาญในการใชซมเมชนเพอหาผลลพธ 3 หลกแลว กมโอกาสทจะชนะมากยงขน

ครบ

วนนผมจงน าเอา ซมบางตวทนาสนใจ มาใหทองจ ากนกอน ทใหทองจ า

เพราะวาตอนแขงขนใชเวลาเพยง 30 วนาทเทานน ถาจะใหค านวณคงไมมทางทจะ

71 ทนเวลาได เพราะฉะนนเราท าไดคอกำรทองจ ำคำซมเมชนเหลานนไว และเขยน

ทนททคดไดครบ

การทจะเรมทองจ า นกเรยนควรเขาใจสญลกษณมนกอนนะครบ จะท าใหเรา

ทองจ าไดดยงขน เวลาทไมไดเรมซมจาก 1 เราจะไดเขาใจวา เปนหลกการหกออก

แทนกไดครบเราควรเรมทองจ าจาก ซมเมชน หลกเดยว ถง หลกเดยวใหไดเสยกอน

นะครบ เชน

5

1

15i

i=

=

72 การดตารางนใหดจากซายไปขวาครบ แนวตงคอลมภแรก คอ ตวเรมตนของ

summation สวนตวหนงสอสแดง แถวแรก คอจดสนสดของ summation ครบ จะได

วา 5

1

15i

i=

= เปนตวหนงสอสมวงนนเองครบ

การทองทดใหทองจ า ตวหนงสอสมวงใหไดครบกอน เพราะเปน summation

ทเรมจาก 1 ไปถงคาตวเลขตางๆ วธการงายๆ ทผมบอกใหเดกจดจ า คอ ถาเราจะ

sum ตงแต 1 ถง n ใดๆ ใหคดในใจเอา n คณ (n+1) แลวน ามาหารดวย 2 จะได

ผลลพธ เชน เราจะหาคา 5

1

5 615

2i

i=

= =

เมอพจารณาคาคตวเลขทเกดจาก summation บางตว ไมจ าเปนตองทองจ า

เพราะมนสามารถหาคาไดจากวธอนๆ เชน การบวก ลบ คณ หาร ธรรมดา อยแลว

เชน 2

1

3i

i=

= ไมจ าเปนตองหา 3 จาก 1 และ 2 โดยใช summation เพราะแคเอา

มาบวกกน 1+2 = 3 ไดอยแลว เราจงตด ตวเลขออกไปไดเยอะเลย ดงภาพ

73

นอกจากตวหนงสอสมวง ผมอยากจะแนะน าใหจดจ าอก คอลมภ หนงเพราะ

เปนเลขทหาไดงายจากเลขตวอนๆ นน คอ เลข 6 มนจะเกดจากเลข 3 และ 9

74

หลงจากทเราทองจ าตวเลขจาก summation ของ i แลว ใหเราขยายการจดจ า

ไปยง summation ของ i+i โดยไดจากสมบตของ summation ทมนสามารถแยกการ

บวกไดดงน

5 5 5

1 1 1

15 15 15 2 30i i i

i i i i= = =

+ = + = + = =

ถายงจ ากนไดวา summation จาก 1 ถง n ของ i ผมจะใหนกเรยนหาคาโดยใช ( 1)n n + แลวหารดวย 2 แสดงวา การจ า summation จาก 1 ถง n ของ i+i

สามารถหาไดงายๆ โดยการค านวณจาก ( 1)n n + ซงไมตองหารดวย 2 นนเอง

75

summation i+i นนมประโยชนมากๆ หากจดจ าไดจะชวยใหค านวณได

หลากหลายรปแบบขนดงตารางครบ

โดยการน าตารางมาวเคราะหหาตวทนาสนใจท านองเดยวกนน แลวน าไป

เขยนในกระดาษการด หนา-หลง แลวฝกทองจ ากบนกเรยนนะครบ จะชวยไดเยอะ

เลยครบ

76

อยำกลบเลขใหเกง ท ำไงด

บทความน จะวาไปแลว กเปนความตองการของผมเองนแหละครบ เปน

จดออนของตวเอง ทพยายามจะคนหาวธแกปญหาน

การลบเลขเปนอกทกษะทนาสนใจครบ ถาเราลบเลขใหเรวและแมนย า ม

โอกำสสงทเราจะแขงขนคดเลขเรวไดล าดบทดครบ

ถาคนหาจาก google จะมเทคนคใหเลอกท าหลายวธเลยครบ ผมกเคยลองท า

ดหลายรปแบบ แตสดทายกกลบมาลบดวยวธเดม ๆ ยมตวตงมาอยดครบ

วนนผมไดลองการลบเลขอกวธท จะวาไปแลว ผมอาจไปจ ามาจากทไหน

หรอไมกมนกแวบขนมาเองจากสมบตงายๆ ของตวเลขนแหละครบ

ผมลองฝกจากการดปายทะเบยนรถทมอย 4 หลก เชน 6528 โดยตอนนผมจะ

ลองฝกการลบเลข 2 หลกครบ นนคอ จะลองฝกการลบ 65-28 นนเอง

ผมขออธบายหลกการดงนนะครบ อนดบแรกผมจะมองไปทเลขทายของทง

สองตวเลข ตอนนคณจะเหนเลข 5 กบ 8 ใชไหมครบ

น า 5-8 ในใจ คณจะได -3 พอไดตดลบ 3 ใหคณคดเลขทบสบของ 3 ไวในใจ

ไดเลย นนคอ 7 นนเองครบ (เลขทบสบ คอ เลขทน ามาบวกกบตวนนได 10 ครบ)

เชน

77

1 เลขทบสบ คอ 9 , 2 มเลขทบสบคอ 8 เปนอยางนไปเรอยๆ ครบ (ใครเคย

เลนผสมสบจะช านาญเลขทบสบเปนอยางด ออ)

เมอไดเลขทบสบคอ 7 แลวนะครบ ตอไปใหคณน าตวเลขดานหนาของตวตง

และตวลบมาลบกน นนคอ 6-2 = 4 แตค าตอบของการลบครงน ใหคณลดผลลพธท

ได 4 ลดลงอก 1 จะเหลอ 3 แลวน าไปตอทายเลขทบสบทคดไวตงแตตอนแรกคอ 7

เปนค าตอบไดเลยครบ นนคอ 65-28 = 37 นนเอง (จรงๆ แลวคอหลกการยมเลขกน

นนเอง)

หลกการจะอาจจะดซบซอนไปหนอย แตถาลองกนจรงๆ อาจจะรวดเรวกวา

วธการยมปกตกเปนไดครบ

หากคณพบวา เลขทายของตวตง และตวลบ พอลบกนออกมาแลว ไดบวกละ

กงายเลยสครบ เชน 75-32 แบบนการลบจะไมไดคดทบสบเหมอนดานบนแลว ใหน า

5-2 = 3 เกบไวในใจ แลวน า 7-3 = 4 น าตวเลขทงสองมาตอกนจะไดค าตอบเลย คอ

43 นนเองครบ

คราวนมาดวา ท าไมเปนเชนนนกบครบ

65-28 สามารถเขยนไดอกแบบคอ 60+5 – (20 + 8) = 60 + 5 – 20 – 8

ถาเราจดกลมเพอหาผลลพธใหมจะไดดงน

60 + 5 – 20 – 8 = 60 – 20 + 5 – 8 = 40 + (-3) = 40 – 3 = 37

78

จะสงเกตเหนวา 40 – 3 นน เราจะลดคาตวเลข จาก 4 ลง เหลอ 3 แลวไป

ตอทายกบเลขทบสบของ 3 จะไดผลลพธ 37 นนเองครบ

ลองเอาไปใชกนดนะครบ เผอเปนทางเลอกหนงส าหรบการลบเลขใหเรวขนก

เปนไดครบ

แตจะดวยวธไหนกแลวแตครบ การฝกฝนเปนประจ าจนช านาญ เปนอกวนยท

ท าไดยากทสด รองลงมาจากการคดคนหาสตรลดตางๆ ถาหากเราเอาใจจดจอกบมน

ไปเรอยๆ ท าบอยๆ ท าจนชน และทส าคญใหท าอยางสนกไมตองเครยดไมตอง

กดดน มนจะท าออกมาไดดเองครบ

79

ใชโปรแกรมอะไรฝกคดเลขเรวด

โปรแกรมทใชในการแขงขนคดเลขเรว คอ GSP ครบ แตปญหาคอการฝกซอม

ในคอมพวเตอรของเรา บางเครองไมไดมโปรแกรม GSP อยท าใหเปดใชงานไมได

ครบ โปรแกรมตวนถาไมมเราอาจจะหาดาวนโหลดจากอนเตอรเนตกอาจจะไดครบ

แตความจรงแลว โปรแกรมตวนมลขสทธครบ ไมใชโปรแกรมทสามารถใชงานไดฟร

บางโรงเรยนจะซอ license เอาไวเปนชดๆ แลว

การแกปญหานผมใชหลากหลายวธครบ หนงในวธนนคอ การใชโปรแกรมสม

อยางอน ทไมจ าเปนตองใช GSP ครบ

โปรแกรมทผมจะเสนอมดงนครบ

1. โปรแกรมทจะแนะน าอนแรกคอ 180 IQ random number พฒนาโปรแกรม

โดย ครเกยรตศกด – ครเพยงฤทย แกวหลา กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร

โรงเรยนทาปลาประชาอทศ จ.อตรดตถ เปนโปรแกรมแบบ portable สามารถ

วางลงในเครองแลวรนเลย โดยไมตองตดตงลงเครองครบ เมอดาวนโหลดไป

แลวใหแตกไฟลออก แลวคลกท random ทเปน application ครบ

80

เมอเปดโปรแกรมแลว กรอกเวลาทจะใหนกเรยนคดท าโจทย ถาเปนกตกาทเราใช

แขงขนกน ใชเวลา 30 วนาท จากนน เลอกโจทยวาจะเอา 4 หรอ 5 หลก แลว

เลอกผลลพธวาจะเอากหลก 2 หรอ 3 หลก แลวคลกท ก าหนดโจทย ก าหนด

ค าตอบ และก าหนดเวลา เมอคลกจะเรมจบเวลา 30 วนาทตามทก าหนดไวครบ

ขอด โปรแกรมนนอกจากจะใชงานงาย ปรบยดหยนเวลา ผลลพธทงสองหลกและ

สามหลกแลว ขนตอนการจบเวลา เมอคลกเสรจแลวสามารถรอจนนกเรยนจด

โจทยเสรจแลวคอยเรมจบเวลาได

ขอเสย คอ ไมสามารถเลอกชวงผลลพธเพอเนนการฝกซอมเปนหลกๆ ได เชน

ถาตองการผลลพธ 400-500 แบบน เปนตน

81

2. โปรแกรม kidlek lion 1.01 เปนโปรแกรมพฒนาโดยครวทยา เสนาเสถยร

โปรแกรมนกเปน portable อกเชนกนครบ ไมจ าเปนตดตง พอแตกไฟลแลวก

สามารถเปดใชงานไดทนท โดยดบเบลคลกทไฟล ตงคาชวงผลลพธจะเอา 4 หรอ

5 ตว แลวตงคาเวลา แลวคลกเดยวทค าวา สมโจทย

ขอด คอ สามารถสมโจทยเพอใหผลลพธอยในชวงทตองการได เปนการเนน

ผลลพธทไดเพอฝกนกเรยนในชองโหวบางอน เชน ชวง 400-500 จะเปนชวงทท า

ใหตรงผลลพธไดยาก ควรเนนตรงน สวน 700 สวนใหญจะตงตนดวย 720 หรอ

6! ดงนน จะท าใหผลลพธทหาได ท าไดงายกวา

ขอเสย คอ เวลาคลกทสมโจทย จะเรมจบเวลาทนท เดกๆ อาจจะยงไมทนได

เขยนโจทยแตเวลากเดนไปเกอบ 10 วนาทแลว

82

3. โปรแกรม คณตคดเรว 180IQ Random เปนโปรแกรมสมเลขหนาตานารก

สสนสดใสครบ เหมาะกบการใชงานกบมอถอ และไอแพดครบ แตวาจะใชกบระบบ

ios ไมได เพราะผมคนหาใน app store ยงไมม มเฉพาะใน android เทานนครบ

ขอด สามารถตดตงในมอถอ หรอไอแพด สะดวกตอการพกพา

ขอเสย ไมมในระบบ IOS ใชไดเฉพาะ Android เทานน (ตอนน)

83

สรป : นอกจากเราจะใชโปรแกรม GSP ซงเปนโปรแกรมทใชส าหรบการ

แขงขนแลว เรายงสามารถเลอกใชโปรแกรมอนๆ เพอการฝกซอมได เพอให

เหมาะสมกบการฝกซอมในรปแบบตางๆ กนออกไป ทกโปรแกรมมขอดและขอเสย

แตกตางกนไปครบ เลอกใชใหเหมาะสม สงส าคญกวาการมโปรแกรม คอ การมเวลา

ฝกฝนซอมกบเดกๆ ของเราครบ เราจะไดดวา พฒนาการของเขาเปนอยางไร ขาด

ตกบกพรองเรองไหน เราจะไดอดรรวตรงนนได และมโอกาสควาชยชนะการใน

แขงขนคดเลขเรวไดครบ

84

เรมจำกซมเมชนของเลข 2 ตว กอนดมย

หากจะวาไปแลว หนวยทเลกทสดของการคดเลขเรวคอ เลข 1 หลกครบ แต

เลข 1 ตวนน จะสรางเปนอกตวมนท าไดยาก เอาเปนวา มไมกตว เชน 3 ท าเปน 6

คอ 3!=6 และ 4 ท าเปน 2 โดยการถอดรากทสองของ 4 และ 9 ท าเปน 6 โดยการ

ถอดรากทสองแลวใสแฟกทอเรยล และอนสดทาย 9 ท าเปน 3 โดยการถอดราก ม

เทานแหละครบ หนวยทเลกทสดเราสามารถท าไดไมกตว และเลขทได กยงเปนเลข

หลกเดยวครบ

ในบทความนผมจะเรมทเลขสองหลกครบ คอ การน าเลข 2 ตวมาท าเพอใหได

คาตางๆ กนไป ยงถาใชเลข 2 ตวแลวใกลเคยงกบกบผลลพธมากทสด ยงจะท าให

ไดค าตอบเรวขนครบ

บทความนผมจะพยายามน าเลขสองตว มากระท ากนเพอใหไดเลขตวแปลกๆ

ออกไป ทคดวาคนอานคาดไมถงเลขบางตว สวนการบวก ลบ คณ หาร กนธรรมดา

จะไมขอพดถงนะครบ

1 กบ 2 สามารถท าเลขอะไรไดบาง ลองดแลวคดตามขอตอไปนครบ

1) 1 2 = 5

2) 1 2 = 26

3) 1 3 = 12

85

จาก ขอ 1) เราสามารถเขยน summation ไดดงน

ขอ 1 2

1

5i

i i=

=

ขอ 2 2

1

( )! 26i

i i=

+ =

ขอ 3 3

1

( ) 12i

i i=

+ =

ผมไดสรางไฟลส าหรบพมพออกมาเปนแบบฝกหด แยกเปนสองไฟล ไฟลหนง

เปนเฉลยครบสามารถน าไปประยกตโดยการกอปปบางสตรน าไปพมพเปนการดเพอ

น ามาใชฝกนกเรยนไดครบ

แบบฝกหด-ซมเมชน-เลขสองหลก << ดาวนโหลด

86

แบบฝก-เลขสองหลก-เฉลย << ดาวนโหลด

จ ำ “ซมเมชน” ตวไหนกอน มนเยอะเหลอเกน!

ผมเคยเขยนไวตงแต EP01 แลววา เครองหมาย “ซมเมชน” คออะไร เอาเปน

วา เครองหมายนเขยนไวเพอแทนสญลกษณแทนการบวกกนของจ านวน มเรม และ

สนสด เชน การบวกกนของ 1+2+3+4+5+6 หมายถง เรมบวกท 1 และสนสดท 6

การบวกกนเชนน สามารถเขยนในรปของซมเมชน หรอบางคนกเรยกกนตด

ปากวา ซกมา โดยมสญลกษณ แทนจ านวนเหลานในรปของฟงกชน (ถาไมเขาใจวา

ฟงกชนคออะไรกใหเขาใจงายๆ วามนคอตวแปรอะไรซกอยางกแลวกนครบ)

โดยทวไปตวแปรเราจะใช i, j หรอ k แทนกไดไมมผด แตการแขงขนในงาน

ศลปหตถกรรมนกเรยน ในกจกรรมคดเลขเรวส าหรบ ม.ตน และ ม.ปลาย ใหใช i ได

โดยหลงซมเมชนตองม i ไดไมเกน 2 ตว

นอกจาก i โดดๆ แลว เราจงเอา i มาประยกตเพอใหได 2 ตว ไดหลายรปแบบ

เชน i+i, ixi, i/i, i^i เปนตน เพอใหไดผลลพธทแตกตางกนออกไป เชน i+i

3

1

( ) 12i

i i=

+ =

คอ การแทนสญลกษณการบวกกนของ 1+1) + (2+2) + (3+3) + (4+4) +

(5+5) จะไดผลลพธเทากบ 30 เมอเราสมเลขออกมาเพอแขงขนคดเลขเรว นกเรยน

สามารถท าคาตวเลข 30 ไดจากเลข 1 และ 5 ไดโดยการเขยนสญลกษณซมเมชน

87 ดงกลาว สวนจะเอา 30 ไปท าอะไรอยางอนกไดแลวแต เชน อาจจะเอาไปบวก ลบ

คณ หรอ หาร หรอแมกระทงใสใน ซมเมชนอกครง กบตวเลขอนๆ เพอใหไดผลลพธ

ตามตองการได แตการไดมาของ 30 ในครงนเราใชเลขเพยง 2 ตว คอ 1 และ 5

เมอเปนเชนนแลว 1 กบ 5 กยงสามารถสรางเลขตวอนๆ ทเกดจาก

เครองหมายซมเมชนนไดอกมากมาย

ผมจะขอยกตวอยาง จากไฟล 100 summations Calculator ดงภาพจะเหนวา

1 กบ 5 สามารถค านวณคาตางๆ ไดแตกตางกนถง 9 คา ดงน

88

หมายความวา 1 กบ 5 เราสามารถสรางผลลพธไดแตกตางกนถง 9 ตว เลอก

เอาวาจะเอาตวไหน เพอน าไปใชประโยชนกบตวเลขอนๆ ได จะเหนวา summation

เกดขนจากตวเลข 2 ตวนนมมากมาย ปญหาคอ “เรำจะจ ำ ซมเมชน ของตวไหน

กอนด และเรำจะจ ำมนไดอยำงไร ?” เปนปญหาส าหรบเดกๆ หรอครฝกท

ตองการจดจ าคาซมเมชน จากประสบการณการสอนคดเลขเรวของนกเรยน ยากมาก

ทจะจดจ าไดหมด และหากจดจ าได นกเรยนบางคนจะจ าสบสนกน และดงออกมาใช

ในสถานการณตางๆ ไมได เพราะเวลาและความกดดนเปนตวก าหนดวา ใหนกเรยน

คดไมเกน 30 วนาท

ผมจงแนะน าอยางนครบ ใหเราจ าเปนเซตๆ ไปครบ จ าทละเซตหลงจากจ าได

เซตแรก ใหซอมนกเรยนคดและจ าเปนตองเอาซมเมชนเหลานนมาใชเปนคาเรมตน

หมายความวา เมอสมโจทยแลว ใหนกเรยนคดหาซมเมชนทจ ามาใชใหไดครบ แมวา

จะคดไดดวยวธอนกตาม ขอย าวา ใหเราคดแบบเรมจากซมเมชนทเราก าหนดใหได

กอน

ไมจ าเปนตองท าใหทน 30 วนาทนะครบ ใหเราคอยๆ ซอม และคดกบนกเรยน

ไปเรอยๆ จนกระทงนกเรยนคนเคยกบซมเมชนตวนนไดดแลว คอยเลอนไปจ าซมเม

ชนตวอนๆ เอาละ คราวนเรามาเรมกนท เซตท 1 กอนเลย

89

จากภาพ เราจะเรมจดจ า 4

1

10i

i=

= ไปเรอยๆ จนกระทง 12

1

78i

i=

=

ซมเมชนทควรจ ำ เซตท 2

เซตท 2 นอาจจะหลายตวหนอย แตรบรองวา ถาหากจดจ าได จะชวยค านวณ

ผลลพธของเลข 2 หลกไดเยอะเลยทเดยวครบ ม 12 ตว ตามทผมท าแถบสเหลอง

ครอบไว เวลาจ า แนะน าวา จ าเปนคอลมภไลกนลงมาเปนชดๆ เชน ซมเมชน 1 ถง

4 ixi เทากบ 30 ซมเมชน 2 ถง 4 ixi เทากบ 29 และ ซมเมชน 3 ถง 4 ixi เทากบ 25

90 เมอจ าครบ 2 เซตนแลว ใหลองท าโจทยดเรอยๆ คอ สมเลขมา 4 ตว ใหได

ผลลพธ 2 หลก โดยใหพยายามเรมผลลพธดวย ซมเมชนทใกลเคยงทสด เชน สม

ผลลพธได 62 ควรเลอกหรอคดหา ซมเมชน จากเลข 5 และ 6 โดยแนะน าวา เลขท

สมไดหากม 1 หรอ 0 ใหเกบเลขนไวกอนเพอน าไปบวกกบ 61 จะไดผลลพธ เปน

62 ตามตองการ เชน

2 , 5 , 4 , 1 = 62

เมอคดเหนดงภาพแลวกคอยเขยน เครองหมายซมเมชน ดงน

2 4

5

( ) 1 62i

i i+

=

+ =

ทดลองท าอยางนไปเรอยๆ จนกระทงรสกคนชนกบซมเมชนตวนใหมากทสดในเซต

ทก าหนดใหครบ ตอนนเราจะเรมคนเคยแลว และจะจดจ ามนไดอตโนมตแลว

91 ซมเมชนทควรจ ำ เซตท 3

เซตนผมจะใหจ าเรมตนท 2 ไปดวยเลยนะครบ เวลาจดจ าตวทเรมตนท 1 ก

งายมาก โดยการทองแมสตรคณทเราคนเคย แลวคณกบคาทมากกวาคานนอย 1

เชน

4

1

20i

i i=

+ =

ตวนเราจะน า 4 มาคณกบ 5 เปน 20 ท านองเดยวกน

8

1

72i

i i=

+ =

เมอเรมท 2 ใหเอาคาทได มาลบออก 2 ครบ เชน 8

2

70i

i i=

+ = แทนทจะเปน

72 กใหลบออก 2 เหลอ 70

92

ซมเมชนทควรจ ำ เซตท 4

เซตนเรมยากขนมาหนอยเปน ซมเมชนของ i! ครบ มทงหมด 11 ตวในแถบส

เหลองนะครบ อยาลมฝกซอมเหมอนเซตกอนๆ หนานะครบ

ซมเมชนทควรจ ำ เซตท 5

เซต 4 และ 5 เหมาะกบเลขผลลพธ

เปน 3 หลกครบ ลองไปจดจ าและท า

ตามค าแนะน าดครบผม ขอใหโชคด

กบการฝกซอมนะครบ

93

สตรคดเลขเรว 852 ท ำไมคดงำยจง

เนองจากบทความตระกลของการใชเลข 1 และ 6 เพอใหท าได 873, 894, และ

852 นน ผมเคยเขยนเอาไวแลว สามารถไปอานดรายละเอยดไดครบ

ส าหรบบทความนผมจะมาแนะน า 852 แบบย าๆ อกท กอนอน มาดกอนวา

สตรนมนคออะไร

6

1

! 852i

i i=

− =

มาดกนวา มนคอการกระจายของตวเลขอะไรบาง

6

1

! (1! 1) (2! 2) (3! 3) (4! 4) (5! 5) (6! 6)i

i i=

− = − + − + − + − + − + −

แตละคาจะเปนอยางนครบ

โปรแกรมออนไลนนสามารถค านวณคา summation ไดสะดวกขน

94

เมอพจารณาจะเหนวา มคา 0 อย 2 ตวดวยกนครบ หากเราเลอน คาเรมตน

summation ไปเปน 2 และ 3 เราจะไมเหนความเปลยนแปลงผลรวมของ

summation ดงภาพ

และคาเรมตนเปน 3 จะไดคา 852 เหมอนกน

95

ดงนนถงตรงน คงจะรแลวนะครบวา ผมก าลงจะพดอะไร คอวา เราสามารถใช

เลข 1 หรอ 2 หรอ 3 เปนตวเรมตน summation นได โดยคาผลรวมเปน 852 เทา

เดม มนเยยมยอดมากใชไหมละครบ นนคอ

6

1

! 852i

i i=

− = 6

2

! 852i

i i=

− = 6

3

! 852i

i i=

− =

3 สตรนแตกตางกนทตวเรมตนของ summation แตผลลพธยงเทากน เปน

ประโยชนมากครบ เวลาเรามเลขทตองการผลลพธ 852 แลว เราสามารถเลอกใช

ตวเลข 1 หรอ 2 หรอ 3 กบ เลข 6 ไดเลยนะครบ

เราจะใชไอเดยนท าคา summation อกตวไดเชนเดยวกนครบ นนคอ

5

1

! 138i

i i=

− = 5

2

! 138i

i i=

− = 5

3

! 138i

i i=

− =

และอกชดคอ

4

1

! 23i

i i=

− = 4

2

! 23i

i i=

− = 4

3

! 23i

i i=

− =

ดงนน เลขเซตน 23, 138 และ 852 จงเปนเซตทหาไดงาย เพราะสามารถ

น าไป 1 หรอ 2 หรอ 3 ไปท ากบ 4 ได 23 ไปท ากบ 5 ได 138 และไปท ากบ 6 ได

852 นนเองครบ

96

คดเลขเรวชวงเลขท “คดยำก” ทสด

การแขงขนคดเลขเรว ทสมเลขโดด 4 ตว ท าผลลพธ 2 หลก หรอ สมเลขโดด

5 ตว ท าผลลพธ 3 หลก เปนกตกาการแขงขนคดเลขเรวของงานศลปหตถกรรม

นกเรยนเปนประจ าทกปอยแลว

ผลลพธ 3 หลก ยากทสดเปนผลลพธชวงไหนกนแน จากประสบการณ พบวา

หลกทคดยากทสด จะเปนชวงเลข 400 นนคอ เรมตงแต 400 – 500 โดยประมาณ

เมอหาเหตผล พบวา ผลลพธชวงนหาตวเลขทใชเพยง 2 ตวเพอใหไดใกลเคยง

ผลลพธมากทสดนนเปนไปไดยาก

หมายความวา เวลาทเราจะคดตวเลขนน เราจะพยายามน าเลขนอยตวทสด

เพอท าใหใกลเคยงผลลพธ ถาเปนอยางนนได หมายความวา เราจะมเลขเหลออยอก

จ านวนหนงเพอน ามาบวก ลบ คณ หรอ หารกน เพอใหไดผลลพธนนเอง ลองมาด

ตวอยาง ดงน

สมเลขโดด 2 5 4 8 8 = 424

พจารณา 5!*4 กอนจะได 480 ถอวาใกลเคยงกบค าตอบมากทสดจากเลข 2 ตว

จากนน เรากหา 56 จากเลข 2 8 8 พบวา เกดจาก

8

2

( / ) 8 56i

i i=

=

เราจงน าผลลพธทงสองมาลบกน เปนสมการดงน

97

8

2

5! 4 ( / ) 8 424i

i i=

− =

ส าหรบขอนอาจจะคดไดอกวธ คอ เกบ 4 ไวเพอหา 4!=24 แลวคอยน าไปบวกกบ

400 ดงนนเราจะมเลข 2 5 8 8 เพอท าเปน 400 ดงน

5 8 8 20 + =

และเราจะน าไปหา 400 จากการน า 20 ไปยกก าลงสอง และเขยนผลลพธ ดงน

2(5 8 8) 4! 424 + + =

จะเหนวา หลก 400 นน ไมงายซะทเดยว หากสมเลขทไมเปนใจละก อาจจะ

ท าใหหาผลลพธไดยากขนไปอก ส าหรบบทความน ผมไดรวบรวม ตวเลขทท าแลว

ไดชวง 400 ถง 500 มาใหดกนวา มตวไหนเปนไปไดบาง และจะใชเลขเยอะแคไหน

ผมจะพยายามใชใหนอยทสด ไมเกน 3 ตว ทเหลออก 2-3 ตวจะไดน ามาบวกลบ

เพอใหไดใกล ผลลพธมากทสดครบ

เรามาเรมกนทตวแรกเลย คอ 440 และ 441 ส าหรบ 441 นน เปนบทความท

ผมเคยเขยนไปแลว แตขาดตว 440 ไป นนคอ ใหเราเรม summation ท 2 จะได

440 พอดโดยใชเลข 3 ตวดงน

63

2

440i

i=

=

98 แตวา 3 ทอยบน i เราสามารถประยกตไดจากตวเลขหลายตว ตามบทความทเคย

เขยนเอาไวแลวนะครบ ลองกลบไปอานดได หากตวเลขเปน 440 หรอ 441 เปะเลย

ผมแนะน า summation ตวนแหละครบจะไดใกลเคยงทสด นอกเสยจากวา คณเจอ

7*3=21 น าไปยกก าลงสองไดเลยครบแบบนกงายเชนกน นอกจากสตร 440 และ

441 แลวมอะไรอกบาง?

ขอแนะน าอกตวคอ 456 เปนบทความทเคยเขยนไวอกเชนกนครบ นนคอ

456 4 (5! 6)= −

เปนสตรทจ างายมากๆ เพราะใชเลขทมท าเลขทอยากไดครบ ตอไปเปน 5!*4

= 480 อนนงายเลยนะ ใชเลขเพยง 2 ตว เจงสดๆ แตตองม 4 และ 5 นะ ตอไป เปน

summation

11

6

451i

i i=

= 11

7

415i

i i=

=

28

1

406i

i=

= 28

2

405i

i=

=

28

3

403i

i=

= 81*5=405

99

แจกโจทย คดเลขเรว ชดท 1

ผมรวมโจทยคดเลขเรวไวเปนชดท 1 เปนโจทยคดเลขเรวทคดวา คดออก

ยำกพอสมควร ตองใชเทคนคหลายอยางในการแก และทส าคญ ทกขอสามารถคด

ค าตอบไดตรงกบผลลพธทกขอ สามารถดาวนโหลดโจทยเพอน าไปฝกเดกๆ ไดเลย

จากทน

ส าหรบผลเฉลย แตละขอเปนดงนครบ

โจทยคดเลขเรว (ขอยำก) ชดท 1 (ทกขอมผลเฉลย)

1) 0 6 5 5 = 93

!

6 5

0

93i

i

=

=

2) 0 7 3 7 = 94

( )7

0!

7 3 94i

i i=

− + =

3) 6 5 1 5 9 = 970

( )( )

( )1

9 !

9706 5 5i

i i=

+ +

=

100

4) 3 3 5 6 = 71

( )5

3

6 3 71i

i i=

+ + = หรอ ( )

3! 6

3

5

/ 71i

i

i

i i

+

=

=

=

5) 0 1 1 7 7 = 261

( )0!

7

1 1 7 261i

i=

+ + =

6) 7 9 6 2 5 = 429

( ) ( )( )2

5

!/ 7 9 6 ! 429i

i i=

+ − =

7) 1 2 1 2 = 79

( )( )1 2 !

1

2 79i

i i+

=

− =

8) 5 6 7 6 = 73

( )6

5!

7 6

73/i

i i= +

=

101

9) 5 7 7 8 = 86 7

5

7

8 86i

i

i i

i=

=

+ =

10) 2 2 6 8 = 95

( )2

8 2

6

95i

i=

+

= หรอ 2

2 6 8

5/ 9i

i i

=

=

11) 1 1 2 4 0 = 403

( )( )2

1

! 1

4 1

403i

i

i i

i=

= −

+ +

=

12) 5 5 0 2 = 39

5

2 0!

5

/ ! 39i i

i ii= =

+ =

หรอ

2

!

5

0

!/ 5 39i

ii=

+ =

13) 7 6 7 6 = 17

( )7

6

7 6

/ 17

i

i i i

i i

=

=

+

=

หรอ 7

6

/

6

1/ ! 77

i

i i i

i i

=

=

−

=

102

14) 1 4 7 8 8 = 422 4 7

1

8 8 422i

i=

+ + =

15) 2 8 8 0 7 = 381

( )

7

0!

2

8 8 ! 381i

i

i

i=

=

− + =

16) 4 2 7 2 = 93

42

2

7

/ 93i

i

i

i

i i=

=

=

17) 5 6 7 6 = 73

( )6

7

6

735i

i i=

− = หรอ ( )6 7 6 5 73+ − =

18) 1 7 2 0 = 46

7 2

0!

1 46i

i+

=

=+

103

ซมไอหำรไอ ท ำไมมนส ำคญนกหนำ

เนองจากผมไดรบขอความทคนสงสย ซมเมชน ไอหารไอ มาไมนอยวามนคด

อยางไร มนส าคญอยางไร ใชมนอยางไร บทความนผมจะอธบายใหฟงกนครบ

พรอมกบบอกเทคนคในการคดดวยครบ

เรมตนจากเราตองเขาใจซมตวนกอนวามนคออะไร มความหมายอยางไร

พจารณาดงนครบ

8

5

5 6 7 84

5 6 7 8i

i

i=

= + + + =

คณเหนอะไรจากซมเมชนตวนบาง?

เราเรมการบวกดวย 5 ไปสนสดท 8 คอการเอา 5 หาร 5 เทากบ 1 บวกดวย 6

หาร 6 เทากบ 1 ท าอยางนไปเรอยๆ นนคอ เราก าลงเอา 1 มาบวกกนไปเรอยๆ

นนเอง คราวนเรากสนใจตรงทวา มนม 1 อยทงหมดกตว

จาก 5 ถง 8 จะม 1 อยทงหมด 4 ตว ดงนน คาซมเมชนตวนจงมคาเทากบ 4

ครบ

ถาเราพจารณาเพมอกสกนดเราจะสามารถคดไดงายๆ วา เอา 8 ลบดวย 5

เราจะไดค าตอบ 3 แลวน า 3 บวกเพมอก 1 จะได 4 เทากบซมตวนทนท (หลกการ

คอเอาเลขลบกนกอนแลวคอยบวกดวย 1)

104

สรปคอ เอาตวสนสด ลบดวย ตวเรมตน แลวน าผลลพธมาบวก 1 จะไดคาซม

ไอหารไอจากตวเรมตนไปถงตวสนสดครบ คราวน ลองมาตอบคาของซมเมชนตวนด

ครบ

120

5i

i

i=

ตกตอกๆๆๆๆๆ คงไดค าตอบแลวใชไหมครบ เทากบ 116 นนเอง ตอบถกมย

ครบ

บอยครงทเราจ าเปนตองใชซมเมชนไอหารไอชวย เพราะมตวเลข 2 ตว น ามา

ลบกนแลวมนยงขาดอย 1 แตถาเราใชซมเมชนไอหารไอ เราจะไดเพมคามาอก 1

นนเองครบ

ลองมาคดเลนกน กบโจทยขอนครบ 3 3 4 2 = 53

ลองคดกอนนะครบ คอยดเฉลย แตถาหากคดเทาไหรกคดไมออก ลองดเฉลย

กนครบ

23! 3

4

53i

i

i

=

=

เหนไหมครบวา ประโยชนของซมไอหารไอนนท าใหเราไดผลลพธตรงเปะเลย

ทเดยวครบ ลองดอกสกขอครบ 3 3 5 6 = 71 ขอนเฉลยเปนแบบนครบ

105

3! 6

3

5

71

i

i

i

i

+

=

=

แตขอนสามารถท าไดอกแบบครบ

5

3

( 6) 3 71i

i i=

+ + =

วธทสองดยากไปหนอยนะครบเพราะตองบวกเลขในซมเมชน เทคนคพวกน

สวนใหญคดไมทนเวลาครบ ตองอาศยความช านาญจรงๆ

ขอตอไปครบ 7 6 7 6 = 17 เฉลยเลยนะครบ

7

6

7 6

17

i

i i i

i

i

=

= +

=

ขอตอไปครบ 4 2 7 2 = 93 ขอนยากสดๆ ไปเลยครบ ลองคดด ถาคดไมไดก

ดเฉลยดงนครบ

42

2

7

93

i i

i

i

i

=

=

ขอสดทายครบ 5 6 7 6 = 73

106

5!

6 7 6

73i

i

i= +

=

จะเหนวา ขอทผมยกตวอยางมานน มแตขอยากๆ กนทงนนครบ ตองประยกต

เอาซมไอหารไอมาชวย ปญหาตอไปคอ เราจะคดออกไดอยางไรวาจะใชซมเมชน

เหลาน อนนไมตายตวครบ เราตองคดบอยๆ คดอยเรอยๆ กญแจส าคญคอการ

ฝกฝนนนเองครบ ลองใชซมไอหารไอใหบอยๆ ทสดเทาทจะท าได แมวาขอนนเราจะ

คดออกดวยวธธรรมดากตาม ซมไอหารไอ เดกบางคนจะไมยอมใช เพราะบางทมน

ขดความรสกบางอยาง แตถาไดใชแลวรบรองวาจะตดใจครบผม

107

ซอมทละชวง ท ำใหจ ำซมเมชนไดเยอะเลย

การซอมคดเลขเรวเพอแขงขนในงานศลปหตถกรรมนกเรยน ทจดขนทกๆ ป

ชาวคณตศาสตรทสงนกเรยนเขารวมการแขงขนบางคนก าลงมองหาสตร เทคนค

หรอวธการตางๆ เพอจะซอมเดกนกเรยนของตนเอง เพอใหไดคะแนนจากการ

แขงขนมากทสด วนนผมจะมาน าเสนอเทคนคอกหนงวธทจะท าใหนกเรยนจดจ าซม

เมชนบางตวไดแมนย ามากยงขนครบ

จากบทความทผมเคยเขยนเอาไวแลววาชวงเลขผลลพธ 400-500 เปนชวงถอ

ไดวาหาค าตอบยากอยพอสมควรเนองจากเราหาเลขทจะท าใหไดใกลผลลพธนน

เปนไปไดยาก มซมเมชนตวหนงทผมเคยยกตวอยาง นนคอ

63

1

441i

i=

=

และอกสตร คอ

63

2

440i

i=

=

ทงสองเปนสตรทผมกเคยเขยนถงในบทความนแลวนะครบ ส าหรบบทความน

ผมจะแนะน าเทคนคชวยใหจดจ าสตรเหลานมากยงขนไปอกนะครบ ผมจะใช

โปรแกรม Kidlek เปนของครวทยา เสนาเสถยร เปนคนเขยนโปรแกรมไวนะครบ

108

โปรแกรมนเราสำมำรถก ำหนดชวงไดวาจะเอาชวงผลลพธเทาไร ผมก าหนด

ชวง 435-445 เอาไวเพอใหผลลพธทเกดขนเปนเลขในชวงนทกครงทสม จะเหนวา

ผลลพธทสมไดเปน 442 ดงภาพ

จากนนเรากเรมค านวณจากสตรทก าหนดตงตนไวไดเลยครบ ใหเราหาเลข

เรมตนอาจจะเปนชด 1 6 และ x เพอท าผลลพธ 441 หรอ 2 6 และ x เพอท าลพธ

440 เปนตวเรมตนครบ x คอเลขอะไรกไดตงแต 2-9 ครบ

จากภาพ ถาเราจะเอา 0 6 7 ท า 441 เราจะไดวาเหลอเลขอก 2 ตวคอ 8 กบ 7

เพอท าเปน 1 นนเองครบ ไดค าตอบดงน

76

0!

8 7 442i

i

i=

+ − =

109

เราจะเหนวาเราสามารถค านวณค าตอบไดอยางงายดาย คราวนเราจะสมเลข

เพอเลนไปเรอยๆ ครบ นกเรยนพยายามจะเรมตนสตรดวยซมเมชนดงกลาว และจะ

สามารถจดจ าซมเมชนตวนไดแบบอตโนมตครบ

ผมจะสมเลขไปเรอยๆ และเฉลยวธคดใหดเปนตวอยางนะครบ

ขอ 1) 5 7 0 1 8 = 443

7 0!8 3

1

441i

i−

−

=

=

ขอนแมจะหาค าตอบไมไดตรงเปะ แตพยายามใหใกลเคยงผลลพธใหมากทสด

ครบ

ขอ 2) 3 6 5 2 7 = 438

63

2

7 5 438i

i=

− + =

ขอ 3) 5 3 2 8 4 = 445

8 43

2

5 445i

i−

=

+ =

ขอ 4) 5 5 2 6 0 = 446

110

65 2

0!

5 446i

i −

=

+ =

ขอ 5) 6 7 1 2 0 = 447

61 0!

2

7 447i

i i+

=

+ =

ขอ 6) 2 7 6 0 3 = 441

3!7 6 2

0!

441i

i i−

=

=

ขอ 7) 2 3 8 5 4 = 442

3!8 5

2

4 442i

i −

=

+ =

ขอ 8) 5 5 6 6 3 = 444

66

5

5

3 444

i

i

=

+ =

ขอ 9) 1 1 0 6 3 = 443

63

0!

1 1 443i

i=

+ + =

111

ขอ 10) 0 7 8 6 3 = 448

( )8

63

0!

7 448i

i=

+ =

นาจะพอเหนแนวทางการฝกซอมแลวใชไหมครบ บางขอทคดไมออก กปลอย

ทงไปครบ เพราะมนอาจจะออกดวยวธอนๆ แตการซอมแบบนจะชวยท าใหเราจ าซม

เมชนไดดยงขนแนนอนครบ

112

เรองของ เลข 24

คณเคยเลน เกม 24 ไหมครบ ผมขอเดาวา เคยเลนนะครบ ท าไมตองเปน 24

ท าไมไมเปน 23 หรอ 25 แทนละ เคยสงสยเหมอนผมมยครบ

ผมไมเคยไดรบค าตอบจากใคร แตเหตผลทคาดเดาวา ใช 24 เพราะมน

สามารถหาเลขมาบวก ลบ คณ หารกนไดหลากหลายทสด กเลยเอา 24 ถาเราลอง

มาไลเรยงดแลว กพบวา มนเยอะอยเหมอนกนครบ

8 3 2 12 6 4 = =

เฉพาะ คณ กกนไปแลว 3 แบบใชมยละครบ

ไหนจะบวก หรอ ลบอกตงมากมายวธ ผมเลยคดวา มนหลากหลายด ควรจะ

เอามาใชประโยชนในการจดจ ารปแบบของการแขงขนคดเลขเรวในงาน

ศลปหตถกรรมนกเรยนของเราทจดแขงขนทกปไดนะครบ

การไดมาของ 24 นน มนสามารถไดมากจาก 4!=24 อนนคอตวเดนสดเลย ท

เราจะตองรจกใชใหเกดประโยชนครบ มเลข 4 กเหมอนม 24 ในก ามอเรานะครบ

คราวนมาลองหาสตรเพอใช 4! ใหเกดประโยชนมากทสดครบ อนแรกสด คอ

ซมเมชน ครบ ลองมาดสตรกนเลย

4!

1

300i

i=

=

113

ตวนทเดดไหมครบ ใชเพยง 1 กบ 4 ได 300 เลยใชไหมครบ หากปรบเพมตว

เรมตน กจะไดผลดงนครบ

4!

2

299i

i=

= 4!

3

297i

i=

=

เหนไหมครบ มสตรทนาจดจ า ตวหนงกขยายไปรอบขางมนไดอก 2 ตวเลย

ทเดยว หากผมใช ซมเมชนตวอนอกบาง มาดตวทนาสนใจอกตวครบ

4!

1

600i

i i=

+ =

เหนไหมครบวา นอกจาก 6!-5!=600 แลว เลข 1 กบ 4 ยงสามารถสราง 600

ไดอกดวยเจงไปเลยใชไหมครบ ถาขยายสตรนเพมอกสกนดกจะพบวา

4!

2

588i

i i=

+ = 4!

3

594i

i i=

+ =

ผมขอขยายมนสก 3 ตวแคนพอครบ ถาขยายมากกวานกจะไมจบสนกนพอด

เอาแตพอจ าไดดกวาใชไหมครบ

นอกจาก ซมเมชนแลวยงมสวนทนาสนใจของ 4! อก นนคอ เรองของการ

ประยกตใชเลขยกก าลงครบ มาดสตรกนเลย

4!2 64= 4!3 729= 2(4!) 576=

114

นอกจากน ยงมการคณแบบธรรมดาทเรานาจะจดจ าเอาไวใชเชนกนครบ เชน

4! 2 48 = 4! 3 72 = 4! 4 96 =

เหนไหมครบวา 4! มนมประโยชนอยางไร ลองเอาไปจดจ าและใชกนดนะครบ

115

ส ำหรบประถม เรมซอมจำกตรงไหนด?

มคนถามเขามาเยอะมากครบ ส าหรบชนประถมศกษา ควรเรมฝกฝนจาก

ตรงไหนด ผมตองออกตวกอนวา ยงไมเคยฝกนกเรยนประถมมากอน แตจากการ

อานกตกาของระดบประถมแลวกพบวา มขอจ ากดบางอยางทไมใหใชรวมกนกบ

ระดบมธยมศกษา เชน การใชซมเมชน นใชไมไดเลย ดงนนนกเรยนประถมกยงไม

จ าเปนตองจ าสตรซมเมชนนนเองครบ

แลวควรเรมจากอะไรละ ผมคดวาควรเรมจากเลขยกก ำลง ครบ ผมไดเขยน

บทความของเลขยกก าลงไวบางสวนแลว บทความนผมจะมาขยายมนเพมเตม

เพอใหเหมาะกบกตกาของระดบประถมครบ

อนดบแรกเรามาดกตกากนกอนครบวา แตละระดบเขาใหใชอะไรกนบาง

คราวนผมจะขออธบายค าวา ถอดรากชนเดยว กบ หลายชนใหเขาใจกนกอน

นะครบ เพราะหลายคนอาจจะเขำใจผดกนอย

116

ค าวา รำกชนเดยว คอการถอดเพยงครงเดยวแลวคาทไดไมไดถอดออกอก

เพราะรากทสองเราสามารถใชไดโดยไมจ าเปนตองมเลข 2 แตการถอดจะถอดออก

เพยงครงเดยวเทานนจะถอดแบบนไมได

หรอวาจะถอดออกแบบน กไมไดอกเชนกน

แมวากรณหลงนอาจมขอถกเถยงกนวา สามารถใชได แตเทาทผมปรกษาใน

กลมคดเลขเรว และมคนสอบถามจากคณะกรรมการแลวสรปไดวา ไมใหใช ครบ

เอาเปนวา ระดบประถมปลายกถอดรากเพยงชนเดยวกแลวกนครบ

เอาละทน เรามาหาวธการทจะฝกฝนเดกๆ ระดบประถมกนตอเลยนะครบ

ตวเลขตงตนทจะค านวณนน ควรจะเนนไปทเลขยกก าลงเปนหลกเลยครบ

เลขยกก าลงทเดกๆ ระดบประถมศกษา จะตองจดจ าใหขนใจ มดงนครบ

แมวากรณหลงนอาจมขอถกเถยงกนวา สามารถใชได แตเทาทผมปรกษาใน

กลมคดเลขเรว และมคนสอบถามจากคณะกรรมการแลวสรปไดวา ไมใหใช ครบ

117

เอาเปนวา ระดบกถอดรากเพยงชนเดยวกแลวกนครบ

เอาละทน เรามาหาวธการทจะฝกฝนเดกๆ ระดบประถมกนตอเลยนะครบ

ตวเลขตงตนทจะค านวณนน ควรจะเนนไปทเลขยกก าลงเปนหลกเลยครบ

เลขยกก าลงทเดกๆ ระดบประถมศกษา จะตองจดจ าใหขนใจ มดงนครบ

ส าหรบเลขยกก าลงตางๆ นกเรยนจ าเปนตองจดจ าใหขนใจเลยทเดยวครบ จะ

ชวยท าใหหาตวเลขตงตนไดใกลเคยงกบค าตอบมากทสดครบ

หากใครดตารางไมเขาใจ ผมขออธบายเพมอกสกนดนะครบ ยกตวอยางเลยก

แลวกน

118

อธบายเพมเตมวา 256 ในตารางเกดจาก คอการเอาตวเลขจากคอลมภ

ซายมอสด ไปยกก าลงตวเลขในแถวบนสด นนเองครบ

31 คายกก าลงน นกเรยนจ าเปนตองทองใหขนใจเลยทเดยว จะทองวธไหน

หรอใชอะไรชวยกขนอยกบวา นกเรยนจะฝกไฝในการจดจ าแคไหนนะครบ ใหคดซะ

วามนกเหมอนสตรคณอกตวหนงกแลวกน ทองเชา ทองเยน ฝกทองไปเรอยๆ อน

ไหนจ าไมไดกกลบมาดซ าๆ ดบอยๆ ผมรบรองวา จดจ าไดแนนอนครบ

119

ส าหรบตารางน อาจจะจดจ าไดยากสกหนอย แตกตองฝนอกสกนด เพอบาง

ขอทจ าเปนจรงๆ ขอใหถง 31 กนาจะพอนะครบ เพราะเกน 1000 ไปแลวกอาจจะไม

คอยไดใชนก แตถาเอามาลบออก กไมแน ผมกเลยเผอๆ ไวถง 35 ไปเลยนะครบ

เลขบางตวกมสตรส าเรจชวยจดจ าไดงายๆ เชน เลขทลงทายดวย 5 น ามายก

ก าลงสอง ใหเอาตวเลขทอยหนา 5 ไปคณกบคาทมากขนอก 1 แลวน าไปตอกบ

ตวเลข 25 เปนค าตอบ อธบายแลวอาจมองไมเหนภาพ มาดตวอยางประกอบดกวา

อกสกตวอยาง เพอใหเหนภาพมากทสด

120

เหนไหมวา การยกก าลงสองของเลขทลงทายดวย 5 นน คดไดไมยากเลย ควร

จดจ าไวใชนะครบ

สวนทเหลอกขนอยกบวา นกเรยนจะจดจ าดวยวธใด อกวธหนงทผมจะแนะน า

ครบ การใชบตรกระดาษแขงเขยนสองดาน ของคาแตละคา เชน ดานหนง

เขยน อกดานกเขยน เมอเขยนจนครบทกตว แลวเอามาสลบๆ กนเหมอน

การเลนไพ เปดเพอจดจ า อาจเลนกนเปนคๆ กสนกดเหมอนกนครบ

121

แฟกทอเรยล และวธกำรจ ำพวกเขำ

แฟกทอเรยลเปนเครองหมายทางคณตศาสตร แตในภาษาไทยเปน

เครองหมายตกใจ ! นเองครบ เรามาทบทวนความหมายของสญลกษณนกนกอนนะ

ครบ

! ( 1) ( 2) ... 3 2 1n n n n= − −

มาดความหมายกนครบ เราจะคณลดลงไปเรอยๆ จากตวมนเอง ไปจนถง 1

ครบ เราใชสญลกษณนชวยในการค านวณเรองความนาจะเปนในสตรการเลอก และ

การเรยงสบเปลยน ยกตวอยาง เชน

6! 6 5 4 3 2 1 720= =

ในกตกาการคดเลขเรวอนญาตใหใชเครองหมายแฟกทอเรยลในระดบ

มธยมศกษาตอนตนและปลาย แมวา ม.ตน จะยงไมเคยเรยนกตามแตเราจ าเปนตอง

สอนเนอหานลวงหนาเพอใหนกเรยนเราคดหาค าตอบจากการใชแฟกทอเรยลครบ

บทความนจะมาแนะน าวา เราจ าเปนตองทองสตรแฟกทอเรยลตวไหนบางทจ าเปน

นะครบ

122

อธบายเพมเตมจากตารางนะครบ เปนรปแบบการหารของแฟกทอเรยลทเรา

จ าเปนตองจ าเพอใหสามารถใชสตรเกยวกบแฟกทอเรยลใหใกลเคยงกบค าตอบมาก

ทสด

เชน สตร 90 นะครบ เราจะใช 6!/8=90 สามารถดไดจากตารางดานลางครบ

หากเราจะหา 80 กเอา 6!/9=80 นะครบ สงเกตนะครบวา สองสตรนใหจดจ าพรอมๆ

กนไปเลย หารมากไดนอย หารนอยไดมากครบ

123

ถาถามวาสตรไหนนาจดจ า ผมตอบไดไมเตมปาก เพราะการฝกซอมแตละคน

แตกตางกนไปครบ หากเราฝกซอมบอยๆ เราจะมองเหนเองวา ตวไหนใชบอย ตว

ไหนไมคอยใช ตวไหนมประโยชนตอเรา มวธการเดยวคอการฝกซอมใหบอยทสด

ครบ ถงจะตอบได

124

บางครงเราจ าไปแลว พอการใชงานจรง เหมอนจะคดออก แตคดไมออก หรอ

จ าสบสนกน อนนเปนเรองธรรมดามาก ผมแนะน าใหฝกฝนเปนชวงๆ ครบจะท าให

จดจ าไดมากยงขน ยกตวอยางการคดครบ

6 6

1 2

6! 6!90, 80, 91, 90

8 9 i i

i i i i= =

= = = =

ลองมาฝกท าโจทยตอไปน

ขอ 1) 4 2 0 6 = 97

6

0!

4 2 97i

i i=

+ + =

ขอ 2) 4 3 2 3 = 92

( )3!

2

3! 4 92i

i i=

+ − = หรอ 3

6!4 92

2+ =

ขอ 3) 4 0 3 2 = 93

3!

2

4 0! 93i

i i=

+ − =

ลองใชโปรแกรม kidlek เพอก าหนดชวงดนะครบ

125

โจทยคดเลขเรวทแกไมไดตรงเปะ

ไมนาเชอวาเขยนมาไดถง 30 บทความแลว ผมพยายามจะเขยนทกๆ วนคด

หวขอหรอเทคนคอะไรไดกรบเขยนไวกอน แตบางทกคดไมคอยออกตองคางเอาไว

หลายวน แตผมสงเกตวา หากคางเอาไวหลายๆ วน วนทกลบมาเขยนอกกลบยงคด

ไมออกครบ ไมรจะเขยนอะไร บางทหลดไปเปนเดอนเลยกวาได

ผมจงสรปไดวา หากเราซอมทกๆ วนมนจะชวยท าใหเราคดเลขเรวออกงายขน

แตถาเราขาดไป 1-2 วน มนจะคอยๆ ลมเลอนครบ ลองสงเกตตวเองดนะครบ หาก

ใครก าลงซอมอย

บทความนผมจะลองมาเขยนโจทยทยงคดไมออก โจทยลกษณะนเปน

โจทยเลขเบลครบ สงเกตโจทยใหดวาสวนใหญจะมเลขเบล โดยเฉพาะ 6 หรอ 7 เนย

ถามาเลขเบลแลวละก คดยากเลยครบ และอกขอสงเกตคอ จะประกอบดวยเลขต าๆ

อกเชน 0 หรอ 1 เพราะมนท าอะไรไมไดมากครบ ท าใหไดผลลพธทตรงยากขน

นนเอง

โจทยตอไปน ผมคดไดเฉพาะใกลเคยงครบ ถาใครคดไดตรงกแจงมายงผเขยน

ดวยนะครบ แนะน าวาใหลองคดกอนดเฉลยนะครบ ส าหรบเฉลยนนเปนคาใกลเคยง

ทผมหาใหใกลทสดครบ

126

ขอ 1 ) 0 1 1 4 = 80

4 1

1

1

78i

i i

i

i

−

=

+

=

=

ขอ 2 ) 1 2 2 7 = 76

7! 1 2 2 75+ + + =

ขอ 3 ) 6 6 8 8 = 99

6 8 6 8 96 + =

ขอ 4 ) 2 7 8 8 = 86

7

8 8 2

85i

i i= −

=

ขอ 5 ) 7 7 1 0 = 67

7! 1

6

66i

i

i

+

=

=

ขอ 6 ) 0 7 1 7 = 75

7

1

(7 0!) 76i

i=

+ − =

127

บทสรป

จากทงสามสวนทผานมา หากน าไปปฏบตอยางจรงจง ผมมนใจวาจะตองเกด

องคความรบางอยางทเปนประโยชนส าหรบเดกและคณครอยางแนนอน แตสงทจะ

ขดขวางการฝกฝนครงนคอ วนย หากมวนยอยางตอเนอง ยอมจะประสบผลส าเรจ

แตถาฝกฝนแคครงคราวแลวหยด ท าแคประเดยวประดาวแลวหวงจะเปนหนงนนคง

ยากมาก

ผมจงหวงวา ทกคนทอานอบกเลมนจะตงใจฝกอยางมวนยตอเนองจนประสบ

ความส าเรจไดทกๆ คนครบ

128

ประวตผเขยน

เรมตนสายอาชพครคณตศาสตร ป 2552 ทโรงเรยนศรกระนวนวทยาคม จงหวดขอนแกน และ

ยายมาสอนทโรงเรยนแกนนครวทยาลย จงหวดขอนแกน เมอป 2561 จนถงปจจบน

ครเปยกไดสงนกเรยนเขารวมการแขงขนคดเลขเรว ตงแตป 2557 และพานกเรยนเขารวมการ

แขงขนเรอยมา จนประสบความส าเรจสงสดระดบประเทศป 2559

ความใฝฝนอกอยางของคร คอ การไดเปนนกเขยน เพอเลาเรองราว ประสบการณชวต จนเปน

ทมาของบลอก krujakkrapong.com วนดคนดอยากมอบกสกเลมจงไดรวมรวมเทคนค และบทความ

เหลานนมาเขยนเปนอบกเลมททานก าลงถออยน

ครจกรพงษ แผนทอง หรอ ครเปยก จบ ม.6 จากโรงเรยน

บานมวงพทยาคม จงหวดสกลนคร ไดรบทน สควค. เรยนจน

จบปรญญาตร คณะวทยาศาสตร สาขาคณตศาสตรดวย

เกยรตนยมอนดบหนง และจบปรญญาโทจาก มหาวทยาลย

ราชภฏอดรธาน คณะครศาสตร สาขาการสอนคณตศาสตร

129

ประวตผเขยน

เรมตนสายอาชพครคณตศาสตร ป 2552 ทโรงเรยนขามแกนนคร จงหวดขอนแกน และยายมา

สอนทโรงเรยนกลยาณวตร จงหวดขอนแกน เมอป 2559 จนถงปจจบน

ครแฟงไดสงนกเรยนเขารวมการแขงขนคดเลขเรว ตงแตป 2552 และพานกเรยนเขารวมการ

แขงขนเรอยมา จนประสบความส าเรจสงสดระดบประเทศป 2555 และ ป 2561

ครแฟงเปนครคณตศาสตรทต งใจสอนโดยพยายามหาเทคนคตางๆ การใชสอประกอบการสอน

เพอใหนกเรยนเขาใจคณตศาสตรอยางลกซง จงไดคดคนกลวธเพอคดเลขเรวดวยเทคนคตางๆ เพอให

นกเรยนจดจ าคาซมเมชนและสตรอนๆ จนประสบความส าเรจระดบประเทศ

ผลงำนทภำคภมใจ

รางวลชนะเลศการแขงขนคดเลขเรว งานศลปหตถกรรมนกเรยน ระดบประเทศป 2555 และ ป

2561

ครอรรถวรรณ ส าเภาทอง หรอ ครแฟง จบ ม.6 จากศรสะเกษ

วทยาลย ไดรบทน สควค. เรยนจนจบปรญญาตร คณะ

วทยาศาสตร สาขาคณตศาสตรดวยเกยรตนยมอนดบหนง

เหรยญทอง และจบปรญญาโทจาก มหาวทยาลยรามค าแหง

คณะศกษาศาสตร สาขาคณตศาสตรศกษา