หลักคณิตศาสตร์ - WordPress.com...เซต 61 บทน ยาม 3.1.4...

03 เซต

เซตมบีทบาทส าคญัยิง่เสมอืนเป็นภาษาทีใ่ชเ้ขยีนและสื่อสารกนัในวชิาคณติศาสตร ์ ส าหรบัใชอ้ธบิายสิง่ต่างๆ ใหเ้กดิความชดัเจน กระชบั และสามารถเขา้ใจกนัได ้ ดงันัน้เราจ าเป็นตอ้งรู้ความหมาย สญัลกัษณ์ และสมบตัต่ิางๆ ในเรือ่งเซต เพื่อน าไปประยกุตใ์ชใ้นการศกึษาต่อไป

ในคณติศาสตรเ์ราใชค้ าว่า “เซต” แทนความหมายของกลุ่มของสิง่ต่างๆ เช่น เซตของนก เซตของชา้ง เซตของนิสติทีม่อีายไุมเ่กนิ 18 ปี เซตของจ านวนเตม็ทีห่ารดว้ย 8 ลงตวั เซตของจ านวนจรงิบวก เป็นตน้ โดยทัว่ไปนิยมใชอ้กัษรภาษาองักฤษตวัพมิพใ์หญ่แทนเซต เช่น 𝐴, 𝐵, 𝐶, … และมบีางเซตที่

มกีารก าหนดอกัษรเฉพาะขึน้และใชก้นัอย่างแพรห่ลาย เช่น ℝ แทน เซตของจ านวนจรงิ ℚ แทน เซตของจ านวนตรรกยะ ℤ แทน เซตของจ านวนเตม็

ℕ แทน เซตของจ านวนนบัหรอืเซตของจ านวนเตม็บวก เป็นตน้

เราเรยีกสิง่ทีอ่ยูใ่นเซตว่า “สมาชิก” (element) ของเซต และนิยมเขยีนแทนดว้ยอกัษรภาษาองักฤษตวัพมิพเ์ลก็ เช่น 𝑎, 𝑏, 𝑐, … และใชส้ญัลกัษณ์ ∈ แทน “เป็นสมาชิกของ”

บทที่

58 ห ลั ก ค ณิ ต ศ า ส ต ร์

และ ∉ แทน “ไม่เป็นสมาชิกของ” เช่น 2 เป็นสมาชกิของ ℕ เขยีนแทนดว้ย 2 ∈ ℕ

√3 ไมเ่ป็นสมาชกิของ ℚ เขยีนแทนดว้ย √3 ∉ ℚ

ในการเขยีนเซตนัน้ เรามวีธิกีารเขยีนเซตอยู ่2 วธิ ีคอื

∎ การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก

คอื การเขยีนสมาชกิทัง้หมดทีต่่างกนัไวใ้นเครือ่งหมายวงเลบ็ปีกกา { } และคัน่แต่ละสมาชกิดว้ยเครือ่งหมายจลุภาค ( , ) เช่น

เซตของจ านวนนบัซึง่น้อยกว่า 8 เขยีนแทนดว้ย {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

เซตของจ านวนเฉพาะทีอ่ยู่ระหว่าง 20 ถงึ 50 เขยีนแทนดว้ย {23, 29, 31, 37, 41, 43, 47}

และในบางครัง้ทีจ่ านวนสมาชกิของเซตมจี านวนมาก เรายงัสามารถเขยีนเซตแบบแจกแจงสมาชกิไดโ้ดยจะใชส้ญัลกัษณ์ ... เพื่อหมายถงึการละสมาชกิบางตวัไวใ้นฐานทีเ่ขา้ใจ เช่น

เซตของจ านวนเตม็บวกทีเ่ป็นจ านวนคี ่และน้อยกว่า 100 เขยีนแทนดว้ย {1, 3, 5, … , 97, 99}

เซตของจ านวนนบัที ่3 หารลงตวั แต่ไมเ่กนิ 100 เขยีนแทนดว้ย { 3, 6, 9, … , 99}

เซตของจ านวนเตม็ทีม่ ี5 เป็นตวัประกอบ เขยีนแทนดว้ย {… , −10, −5, 0, 5, 10, … }

∎ การเขียนเซตแบบบอกเง่ือนไข

คอื การเขยีนเซตโดยบรรยาย หรอืบอกเงือ่นไขของสมาชกิทีอ่ยูใ่นเซต และใชต้วัแปรเป็นตวัแทนสมาชกิ มรีปูแบบดงันี้

{𝑥 | สมบตัขิอง 𝑥}

อ่านว่า “ เซตของ 𝑥 โดยที ่𝑥 มสีมบตั.ิ.. ” เช่น เซตของจ านวนจรงิบวกทีน้่อยกว่า 8 เขยีนแทนดว้ย {𝑥 | 𝑥 ∈ ℝ และ 0 < 𝑥 < 8} เซตของจ านวนตรรกยะซึง่มคี่าน้อยกว่า √2 เขยีนแทนดว้ย {𝑥 | 𝑥 ∈ ℚ และ 𝑥 < √2}

หมายเหตุ ในบางครัง้เรานิยมเขยีนสมบตัขิอง 𝑥 ซึง่แสดงว่า 𝑥 เป็นสมาชกิจากเซตใดไวห้น้าเครือ่งหมาย | เช่น {𝑥 ∈ ℝ | 0 < 𝑥 < 8} และ {𝑥 ∈ ℚ | 𝑥 < √2}

เ ซ ต 59 ในการศกึษาเรื่องเซต จะต้องมกีารก าหนดขอบเขตของเซต โดยสมาชกิทัง้หลายของเซตต่างๆ ทีจ่ะกล่าวถงึตอ้งเป็นสมาชกิในขอบเขตทีก่ าหนดเสมอ เราเรยีกเซตทีเ่ป็นขอบเขตดงักล่าวว่า เอกภพสมัพทัธ ์(Universe หรอื Universal set) เขยีนแทนดว้ยสญัลกัษณ์ 𝒰

ในการเขยีนเซต เราอาจใช้การเขยีนแผนภาพแทนเซตก็ได้ ซึ่งโดยทัว่ไปเราแทนเอกภพสมัพทัธ์ด้วยรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า และแทนเซตอื่นๆ ด้วย วงกลม หรอืวงร ีและเราเรยีกการเขยีนแผนภาพดงักล่าวว่า แผนภาพเวนน์-ออยเลอร ์(Venn–Euler diagram) เช่น

กรณทีีก่ล่าวถงึเซตมากกว่าหนึ่งเซต โดยทัว่ไปจะเขยีนในลกัษณะ ดงัรปู

เราสามารถน าแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ไปช่วยในการตรวจสอบสมบตัขิองเซต เพื่อใหเ้หน็ภาพ และเป็นแนวทางในการศกึษาเรือ่งเซตต่อไป

𝒰

𝐴 𝐵

𝒰

𝐴

𝐵 𝐴

𝐶

𝒰


3.1 เซตว่าง เซตย่อย และการเท่ากนัของเซต

บทนิยาม 3.1.1 เซตว่าง (empty set) คอื เซตซึง่ไม่มสีมาชกิอยูเ่ลย เขยีนแทนดว้ย ∅ หรอื { } นัน่คอื ∀𝑥 ∈ 𝒰, 𝑥 ∉ ∅

บทนิยาม 3.1.2 ให ้𝐴 และ 𝐵 เป็นเซตใดๆ จะกล่าวว่า 𝐴 เป็นเซตย่อย (subset) ของ 𝐵 กต่็อเมือ่ ส าหรบัทุกสมาชกิ 𝑥 ในเอกภพสมัพทัธ ์ถา้ 𝑥 เป็นสมาชกิของ 𝐴 แลว้ 𝑥 เป็นสมาชกิของ

𝐵 เขยีนแทนดว้ย 𝐴 ⊆ 𝐵 หรอื 𝐵 ⊇ 𝐴 นัน่คอื 𝐴 ⊆ 𝐵 ⇔ ∀𝑥 ∈ 𝒰(𝑥 ∈ 𝐴 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐵)

แผนภาพเวนน์-ออยเลอร ์แทน 𝐴 ⊆ 𝐵

ข้อตกลง กรณทีีไ่มไ่ดร้ะบุชดัเจนว่าเอกภพสมัพทัธค์อืเซตใด เราอาจละการเขยีน 𝒰 เอาไว ้ เพื่อใหก้ารเขยีนกะชบัขึน้ ดงันัน้ จากบทนิยาม 3.1.2 เขยีนไดใ้หมด่งันี้

𝐴 ⊆ 𝐵 ⇔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐵) และเขยีน 𝐴 ⊈ 𝐵 แทน 𝐴 ไมเ่ป็นเซตยอ่ยของ 𝐵 นัน่คอื

𝐴 ⊈ 𝐵 ⇔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵)

บทนิยาม 3.1.3 ให ้𝐴 และ 𝐵 และเซตใดๆ จะกล่าวว่า 𝐴 เท่ากบั 𝐵 กต่็อเมือ่ 𝐴 ⊆ 𝐵 และ 𝐵 ⊆ 𝐴 เขยีนแทนดว้ย 𝐴 = 𝐵 ดงันัน้ จะไดว้่า

𝐴 = 𝐵 ⇔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) ⇔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐴) และเขยีน 𝐴 ≠ 𝐵 แทน 𝐴 ไม่เท่ากบั 𝐵 นัน่คอื 𝐴 ≠ 𝐵 ⇔ 𝐴 ⊈ 𝐵 ∨ 𝐵 ⊈ 𝐴 ⇔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵) ∨ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∉ 𝐴)

ตวัอย่าง 3.1.1 {𝑥 ∈ ℝ |𝑥 ≠ 𝑥}, {𝑥 ∈ ℕ | 𝑥 < 0}

และ {𝑥 ∈ ℝ |𝑥2 = −1} เป็นเซตว่าง

𝒰

𝐴

𝐵

เ ซ ต 61 บทนิยาม 3.1.4 ให ้𝐴 และ 𝐵 เป็นเซตใดๆ จะกล่าวว่า 𝐴 เป็น เซตย่อยแท้ (proper subset) ของ 𝐵 กต่็อเมือ่ 𝐴 ⊆ 𝐵 และ 𝐴 ≠ 𝐵 เขยีนแทนดว้ย 𝐴 ⊂ 𝐵

ทฤษฎีบท 3.1.1 เซตว่างเป็นเซตยอ่ยของทุกๆ เซต นัน่คอื ∅ ⊆ 𝐴 ส าหรบัทุกเซต 𝐴 พิสจูน์ ให ้𝐴 เป็นเซตใดๆ สมมตวิ่า ∅ ⊈ 𝐴 ดงันัน้ จะไดว้่าม ี𝑥 ซึง่ 𝑥 ∈ ∅ และ 𝑥 ∉ 𝐴 ซึง่เกดิขอ้ขดัแยง้ ดงันัน้ ∅ ⊆ 𝐴 ∎

ทฤษฎีบท 3.1.2 ส าหรบัเซต 𝐴 ใดๆ จะไดว้่า 𝐴 ⊆ 𝐴 พิสจูน์ แบบฝึกหดั ∎

ทฤษฎีบท 3.1.3 ส าหรบัเซต 𝐴, 𝐵 และ 𝐶 ใดๆ ถา้ 𝐴 ⊆ 𝐵 และ 𝐵 ⊆ 𝐶 แลว้ 𝐴 ⊆ 𝐶 พิสจูน์ สมมตวิ่า 𝐴 ⊆ 𝐵 และ 𝐵 ⊆ 𝐶

กรณทีี ่1 𝐴 = ∅ โดยทฤษฎบีท 3.1.1 จะไดว้่า 𝐴 ⊆ 𝐶 กรณทีี ่2 𝐴 ≠ ∅ ให ้𝑥 ∈ 𝐴 เนื่องจาก 𝐴 ⊆ 𝐵 จะไดว้่า 𝑥 ∈ 𝐵 และเนื่องจาก 𝐵 ⊆ 𝐶

จะไดว้่า 𝑥 ∈ 𝐶 จากทัง้สองกรณ ีสรปุไดว้่า 𝐴 ⊆ 𝐶 ∎

หมายเหตุ ในการพสิูจน์ว่า 𝑋 ⊆ 𝑌 ส าหรบักรณทีี ่𝑋 = ∅ โดยทฤษฎบีท 3.1.1 เราสามารถสรปุไดว้่า 𝑋 ⊆ 𝑌 ดงันัน้ เราจงึละการเขยีนพสิูจน์ในกรณีที ่𝑋 = ∅ ได ้

ตวัอย่าง 3.1.2 ให ้ 𝐴 = { 𝑥 ∈ ℕ | 2 ≤ 𝑥 < 4}, 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ | − 1 ≤ 𝑥 ≤ 5} และ 𝐶 = {𝑥 ∈ ℝ | − 3 ≤ 𝑥 < 2} จะไดว้่า 𝐴 ⊆ 𝐵 เนื่องจาก 𝐴 = {2, 3} และ −1 ≤ 2 ≤ 5 และ −1 ≤ 3 ≤ 5

ดงันัน้ 2 ∈ 𝐵 และ 3 ∈ 𝐵 และ 𝐴 ⊈ 𝐶 เพราะว่า 3 ∈ 𝐴 แต่ 3 ∉ 𝐶


3.2 การด าเนินการบนเซต

ในหวัข้อนี้จะกล่าวถึงการด าเนินการระหว่างสองเซตใดๆ ซึ่งผลที่ได้จากการด าเนินการดงักล่าวยงัคงเป็นเซต

บทนิยาม 3.2.1 ให ้𝐴 และ 𝐵 เป็นเซตใดๆ ยเูนียน(union) ของ 𝐴 และ 𝐵 คอืเซตที ่ ประกอบดว้ยสมาชกิทัง้หมดซึง่เป็นสมาชกิของ 𝐴 หรอืเป็นสมาชกิของ 𝐵 เขยีนแทนดว้ย 𝐴 ∪ 𝐵

นัน่คอื 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵}

แผนภาพเวนน์-ออยเลอร ์แทน 𝐴 ∪ 𝐵

บทนิยาม 3.2.2 ให ้𝐴 และ 𝐵 เป็นเซตใดๆ อินเตอรเ์ซกชนั(intersection) ของ 𝐴 และ 𝐵 คอืเซตทีป่ระกอบดว้ยสมาชกิทัง้หมดซึง่เป็นสมาชกิของ 𝐴 และเป็นสมาชกิของ 𝐵 เขยีนแทนดว้ย

𝐴 ∩ 𝐵 นัน่คอื 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵}

แผนภาพเวนน์-ออยเลอร ์แทน 𝐴 ∩ 𝐵

ในกรณทีี ่𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ จะกล่าวว่า 𝐴 และ 𝐵 เป็นเซตไม่มีส่วนร่วม(disjoint sets)

เ ซ ต 63 บทนิยาม 3.2.3 ให ้𝐴 และ 𝐵 เป็นเซตใดๆ ผลต่าง (difference) ของ 𝐴 และ 𝐵 คอืเซตที ่ ประกอบดว้ยสมาชกิทัง้หมดของ 𝐴 แต่ไมเ่ป็นสมาชกิของ 𝐵 เขยีนแทนดว้ย 𝐴 − 𝐵 นัน่คอื

𝐴 − 𝐵 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵}

แผนภาพเวนน์-ออยเลอร ์แทน 𝐴 − 𝐵

บทนิยาม 3.2.4 ให ้𝐴 เป็นเซตใดๆ ส่วนเติมเตม็ (complement) ของ 𝐴 คอื ผลต่างของ 𝒰 และ 𝐴 เขยีนแทนดว้ย 𝐴𝑐 หรอื 𝐴′ นัน่คอื

𝐴𝑐 = 𝒰 − 𝐴 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝒰 ∧ 𝑥 ∉ 𝐴}

แผนภาพเวนน์-ออยเลอร ์แทน 𝐴𝑐

ตวัอย่าง 3.2.1 ให ้𝒰 = ℤ 𝐴 = {𝑥 | 𝑥 เป็นจ านวนเตม็คู่ซึง่มากกว่า 10} 𝐵 = {𝑥 | 𝑥 เป็นจ านวนเตม็ซึง่หารดว้ย 4 ลงตวั} จะไดว้่า 𝐴 = {12, 14, 16, 18, … } 𝐵 = {… , −8, −4, 0, 4, 8, … } ดงันัน้ 𝐴 ∪ 𝐵 = {… , −8, −4, 0, 4, 8, 12, 14, 16, 18, … } 𝐴 ∩ 𝐵 = {12, 16, 20, … } 𝐴 − 𝐵 = {14 , 18, 22, … }

𝐴𝑐 = {… , −2, −1, 0, 1, 2, 3, … ,10, 11, 13, 15, … }


จากการด าเนินของเซตในขา้งตน้ท าใหม้สีมบตัเิกีย่วกบัเซตมากมาย ซึง่ในการพสิูจน์ว่าเซต 𝐴 จะเท่ากบัเซต 𝐵 จะตอ้งแสดงว่า 1. ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐵) และ 2. ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐴)

ทฤษฎีบท 3.2.1 ให ้𝐴 เป็นเซตใดๆ จะไดว้่า

(1) 𝐴 ∪ ∅ = 𝐴 (2) 𝐴 ∩ ∅ = ∅

(3) 𝐴 ∪ 𝐴 = 𝐴

(4) 𝐴 ∩ 𝐴 = 𝐴

(5) 𝐴 ∪ 𝒰 = 𝒰

(6) 𝐴 ∩ 𝒰 = 𝐴

พิสจูน์ จะพสิูจน์เฉพาะขอ้ (1), (4) และ (5) ส าหรบั (2), (3) และ (6) เวน้ไวเ้ป็นแบบฝึกหดั (1) ให ้𝑥 ∈ 𝐴 ∪ ∅ จะไดว้่า 𝑥 ∈ 𝐴 หรอื 𝑥 ∈ ∅ แต่ 𝑥 ∉ ∅ ดงันัน้ 𝑥 ∈ 𝐴 นัน่คอื 𝐴 ∪ ∅ ⊆ 𝐴 ให ้𝑦 ∈ 𝐴 จะไดว้่า 𝑦 ∈ 𝐴 หรอื 𝑦 ∈ ∅ ดงันัน้ 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ ∅ นัน่คอื 𝐴 ⊆ 𝐴 ∪ ∅ สรปุไดว้่า 𝐴 ∪ ∅ = 𝐴 (4) ให ้𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐴 จะไดว้่า 𝑥 ∈ 𝐴 และ 𝑥 ∈ 𝐴 ดงันัน้ 𝑥 ∈ 𝐴 นัน่คอื 𝐴 ∩ 𝐴 ⊆ 𝐴 ให ้𝑦 ∈ 𝐴 จะไดว้่า 𝑦 ∈ 𝐴 และ 𝑦 ∈ 𝐴 ดงันัน้ 𝑦 ∈ 𝐴 ∩ 𝐴 นัน่คอื 𝐴 ⊆ 𝐴 ∩ 𝐴 สรปุไดว้่า 𝐴 ∩ 𝐴 = 𝐴 (5) ให ้𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝒰 จะไดว้่า 𝑥 ∈ 𝐴 หรอื 𝑥 ∈ 𝒰 เนื่องจาก 𝐴 ⊆ 𝒰 ดงันัน้ 𝑥 ∈ 𝒰 นัน่คอื 𝐴 ∪ 𝒰 ⊆ 𝒰 ให ้𝑦 ∈ 𝒰 จะไดว้่า 𝑦 ∈ 𝐴 หรอื 𝑦 ∈ 𝒰 ดงันัน้ 𝑦 ∈ 𝐴 ∪ 𝒰 นัน่คอื 𝒰 ⊆ 𝐴 ∪ 𝒰 สรปุไดว้่า 𝐴 ∪ 𝒰 = 𝒰 ∎

เราอาจเขยีนการพสิจูน์ทฤษฎบีท 3.2.1(4) ไดอ้กีวธิหีนึ่งดงันี้ ให ้𝑥 เป็นสมาชกิในเอกภพสมัพทัธ ์ 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐴 ⇔ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ⇔ 𝑥 ∈ 𝐴

เ ซ ต 65 ทฤษฎีบท 3.2.2 (Commutative laws) ให ้𝐴 และ 𝐵 เป็นเซตใดๆ จะไดว้่า (1) 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴

(2) 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴

พิสจูน์ (1) ให ้𝑥 เป็นสมาชกิใดๆ ในเอกภพสมัพทัธ ์จะไดว้่า 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵 ⇔ 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵 ⇔ 𝑥 ∈ 𝐵 ∨ 𝑥 ∈ 𝐴 ⇔ 𝑥 ∈ 𝐵 ∪ 𝐴 ดงันัน้ 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴

(2) แบบฝึกหดั ∎

ทฤษฎีบท 3.2.3 (Associative laws) ให ้𝐴, 𝐵 และ 𝐶 เป็นเซตใดๆ จะไดว้่า (1) (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶 = 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶)

(2) (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶 = 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)

พิสจูน์ แบบฝึกหดั ∎

ทฤษฎีบท 3.2.4 (Distributive laws) ให ้𝐴, 𝐵 และ 𝐶 เป็นเซตใดๆ จะไดว้่า (1) 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)

(2) 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶)

พิสจูน์ (1) ให ้𝑥 เป็นสมาชกิใดๆ ในเอกภพสมัพทัธ ์จะไดว้่า 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) ⇔ 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ⇔ 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ⇔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐶) ⇔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐶) ⇔ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶) ดงันัน้ 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)

(2) แบบฝึกหดั ∎

ทฤษฎีบท 3.2.5 ให ้𝐴, 𝐵 และ 𝐶 เป็นเซตใดๆ จะไดว้่า (1) 𝐴 ⊆ 𝐵 กต่็อเมือ่ 𝐴 − 𝐵 = ∅

(2) 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ กต่็อเมือ่ 𝐴 − 𝐵 = 𝐴

(3) 𝐴 − (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 − 𝐵) ∩ (𝐴 − 𝐶)

(4) 𝐴 − (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐴 − 𝐶)

(5) 𝐴 ∩ (𝐵 − 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) − (𝐴 ∩ 𝐶)

(6) (𝐴 ∪ 𝐵) − 𝐶 = (𝐴 − 𝐶) ∪ (𝐵 − 𝐶)


พิสจูน์ (1) (⇒) สมมตวิ่า 𝐴 − 𝐵 ≠ ∅ จะไดว้่า ม ี𝑥 ∈ 𝐴 − 𝐵 ดงันัน้ 𝑥 ∈ 𝐴 และ 𝑥 ∉ 𝐵 นัน่คอื 𝐴 ⊈ 𝐵 (⇐) สมมตวิ่า 𝐴 ⊈ 𝐵 ดงันัน้ ม ี𝑥 ∈ 𝐴 แต่ 𝑥 ∉ 𝐵 นัน่คอื 𝑥 ∈ 𝐴 − 𝐵

ดงันัน้ 𝐴 − 𝐵 ≠ ∅ (5) ให ้𝑥 ∈ 𝐴 ∩ (𝐵 − 𝐶) จะไดว้่า 𝑥 ∈ 𝐴 และ 𝑥 ∈ 𝐵 − 𝐶 ดงันัน้ 𝑥 ∈ 𝐵 แต่ 𝑥 ∉ 𝐶 เนื่องจาก 𝑥 ∈ 𝐴 และ 𝑥 ∈ 𝐵 จงึไดว้่า 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 และเนื่องจาก 𝑥 ∈ 𝐴 และ 𝑥 ∉ 𝐶 จงึไดว้่า 𝑥 ∉ 𝐴 ∩ 𝐶 เนื่องจาก 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 และ 𝑥 ∉ 𝐴 ∩ 𝐶 จงึไดว้่า 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) − (𝐴 ∩ 𝐶)

สรปุไดว้่า 𝐴 ∩ (𝐵 − 𝐶) ⊆ (𝐴 ∩ 𝐵) − (𝐴 ∩ 𝐶) ให ้𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) − (𝐴 ∩ 𝐶) จะไดว้่า 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 และ 𝑥 ∉ 𝐴 ∩ 𝐶 ดงันัน้ 𝑥 ∈ 𝐴 และ 𝑥 ∈ 𝐵 แต่ 𝑥 ∉ 𝐶 ดงันัน้ 𝑥 ∈ 𝐴 และ 𝑥 ∈ 𝐵 − 𝐶 นัน่คอื 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ (𝐵 − 𝐶) สรปุไดว้่า (𝐴 ∩ 𝐵) − (𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐴 ∩ (𝐵 − 𝐶)

ดงันัน้ 𝐴 ∩ (𝐵 − 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) − (𝐴 ∩ 𝐶) (2), (3), (4), (6) แบบฝึกหดั ∎

ทฤษฎีบท 3.2.6 ให ้𝐴 และ 𝐵 เป็นเซตใดๆ (1) ∅𝑐 = 𝒰

(2) (𝐴𝑐)𝑐 = 𝐴

(3) 𝐴 ⊆ 𝐵 กต่็อเมือ่ 𝐵𝑐 ⊆ 𝐴𝑐

(4) (𝐴 ∩ 𝐵)𝑐 = 𝐴𝑐 ∪ 𝐵𝑐

(5) (𝐴 ∪ 𝐵)𝑐 = 𝐴𝑐 ∩ 𝐵𝑐

พิสจูน์ (3) (⇒) สมมตวิ่า 𝐴 ⊆ 𝐵 ให ้𝑥 ∈ 𝐵𝑐 นัน่คอื 𝑥 ∉ 𝐵 โดยสมมตฐิาน จะไดว้่า 𝑥 ∉ 𝐴 ดงันัน้ 𝑥 ∈ 𝐴𝑐 ดงันัน้ 𝐵𝑐 ⊆ 𝐴𝑐 (⇐) สมมตวิ่า 𝐵𝑐 ⊆ 𝐴𝑐

ให ้𝑥 ∈ 𝐴 ดงันัน้ 𝑥 ∉ 𝐴𝑐 โดยสมมตฐิาน จะไดว้่า 𝑥 ∉ 𝐵𝑐 นัน่คอื 𝑥 ∈ 𝐵

ดงันัน้ 𝐴 ⊆ 𝐵

(5) ให ้𝑥 เป็นสมาชกิใดๆ ในเอกภพสมัพทัธ์ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)𝑐 ⇔ 𝑥 ∉ 𝐴 ∪ 𝐵 ⇔ 𝑥 ∉ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵 ⇔ 𝑥 ∈ 𝐴𝑐 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵𝑐 ⇔ 𝑥 ∈ 𝐴𝑐 ∩ 𝐵𝑐 ดงันัน้ (𝐴 ∪ 𝐵)𝑐 = 𝐴𝑐 ∩ 𝐵𝑐 (1), (2), (4) แบบฝึกหดั ∎

เ ซ ต 67

แบบฝึกหดั 3.1

1. จงพสิจูน์ ทฤษฎบีท 3.2.1 (2), (3), (6) ทฤษฎบีท 3.2.2 (2) และทฤษฎบีท 3.2.3

2. จงพสิจูน์ ทฤษฎบีท 3.2.4 (2) และทฤษฎบีท 3.2.5 (2), (3), (4), (6)

และทฤษฎบีท 3.2.6 (1), (2) และ (4)

จงพสิจูน์ขอ้ความต่อไปนี้ เมื่อก าหนดให ้𝐴, 𝐵, 𝐶 และ 𝐷 เป็นเซตใดๆ

3. 𝐴 ⊆ 𝐵 กต่็อเมือ่ 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵

4. 𝐴 ⊆ 𝐵 กต่็อเมือ่ 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴

5. ถา้ 𝐴 ⊆ 𝐵 และ 𝐴 ⊆ 𝐶 แลว้ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∩ 𝐶

6. ถา้ 𝐴 ⊆ 𝐵 แลว้ 𝐶 ∪ 𝐴 ⊆ 𝐶 ∪ 𝐵

7. ถา้ 𝐴 ⊆ 𝐵 และ 𝐶 ⊆ 𝐷 แลว้ 𝐴 ∩ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∩ 𝐷 และ 𝐴 ∪ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∪ 𝐷

8. 𝐴 ⊆ 𝐵 กต่็อเมือ่ 𝐴𝑐 ∪ 𝐵 = 𝒰

9. ถา้ 𝐶 ∪ 𝐵 = 𝒰 และ 𝐴 ∩ 𝐶 = ∅ แลว้ 𝐴 ⊆ 𝐵

10. 𝐴 − 𝐵 ⊆ 𝐶 กต่็อเมือ่ 𝐴 − 𝐶 ⊆ 𝐵

จงพจิารณาขอ้ความต่อไปนี้ว่าเป็นจรงิหรอืเป็นเทจ็ ถา้เป็นจรงิใหแ้สดงการพสิูจน์ และถา้เป็นเทจ็ ใหย้กตวัอยา่งคา้น เมือ่ก าหนดให ้𝐴, 𝐵, 𝐶 และ 𝐷 เป็นเซตใดๆ

11. 𝐴 − 𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵𝑐

12. 𝐴 − (𝐴 − 𝐵) = 𝐴 ∩ 𝐵

13. ถา้ 𝐴 ∪ 𝐵 ⊆ 𝐶 แลว้ 𝐴 ⊆ 𝐶 และ 𝐵 ⊆ 𝐶

14. ถา้ 𝐴 ∪ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∪ 𝐶 แลว้ 𝐵 ⊆ 𝐶

15. ถา้ 𝐴 ∪ 𝐵 ⊆ 𝐶 ∪ 𝐷 แลว้ 𝐴 ⊆ 𝐶 และ 𝐵 ⊆ 𝐷

16. ถา้ (𝐴 ∪ 𝐵)𝑐 ⊆ 𝐴𝑐 ∪ 𝐵𝑐 แลว้ 𝐴 ⊆ 𝐵


17. ถา้ 𝐶 − 𝐵 ⊆ 𝐶 − 𝐴 แลว้ 𝐴 ⊆ 𝐵

18. 𝐴 ∩ 𝐶 ⊆ 𝐶 − 𝐵 และ 𝐴 ∩ 𝐵 ⊆ 𝐶 กต่็อเมือ่ 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅

19. ถา้ 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐶 และ 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ แลว้ 𝐵 = 𝐶 − 𝐴

เ ซ ต 69

3.3 เซตก าลงั

บทนิยาม 3.3.1 ให ้𝐴 เป็นเซตใดๆ เซตก าลงั (power set) ของ 𝐴 คอื เซตทีป่ระกอบดว้ย สมาชกิทัง้หมดซึง่เป็นเซตย่อยของ 𝐴 เขยีนแทนดว้ย 𝑃(𝐴) นัน่คอื

𝑃(𝐴) = {𝑋 | 𝑋 ⊆ 𝐴}

จากทฤษฎบีท 3.1.1 และทฤษฎบีท 3.1.2 จะไดว้่า ∅ ∈ 𝑃(𝐴) และ 𝐴 ∈ 𝑃(𝐴)

จะสงัเกตเหน็ว่า จ านวนสมาชกิของเซต 𝑃(𝐴) เมือ่ 𝐴 คอื ∅, {𝑎}, {𝑎, 𝑏} และ {𝑎, 𝑏, 𝑐} จะเท่ากบั 1, 2, 4 และ 8 ตามล าดบั ซึง่เท่ากบั 20, 21, 22, 23 ท าใหเ้ราคาดเดาไดว้่า ถ้า 𝐴 มสีมาชกิ 𝑛 ตวั แล้ว จ านวนสมาชกิของ 𝑃(𝐴) จะเท่ากบั 2𝑛 ทฤษฎบีทต่อไป จะกล่าวถงึจ านวนสมาชกิของ 𝑃(𝐴) เมือ่ 𝐴 เป็นเซตจ ากดั

บทตัง้ 3.3.1 ให ้𝐴 และ 𝐵 เป็นเซตใดๆ ถา้ 𝐴 = 𝐵 ∪ {𝑥} โดยที ่𝑥 ∉ 𝐵 แลว้ 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐵) ∪ {{𝑥} ∪ 𝐶 | 𝐶 ∈ 𝑃(𝐵)}

พิสจูน์ ให ้𝑀 = 𝑃(𝐵) ∪ {{𝑥} ∪ 𝐶 | 𝐶 ∈ 𝑃(𝐵)} จะแสดงว่า 𝑃(𝐴) = 𝑀 ให ้𝑌 ∈ 𝑃(𝐴). กรณทีี ่1 𝑥 ∉ 𝑌 เนื่องจาก 𝑌 ⊆ 𝐴 ดงันัน้ 𝑌 ⊆ 𝐵 นัน่คอื 𝑌 ∈ 𝑃(𝐵) ท าใหไ้ดว้่า 𝑌 ∈ 𝑀 กรณทีี ่2 𝑥 ∈ 𝑌 ให ้𝐶 = {𝑡 | 𝑡 ∈ 𝑌 และ 𝑡 ≠ 𝑥} จะไดว้่า 𝐶 ⊆ 𝐵

ดงันัน้ 𝐶 ∈ 𝑃(𝐵) และ 𝑌 = {𝑥} ∪ 𝐶 ท าใหไ้ดว้่า 𝑌 ∈ 𝑀 จากทัง้สองกรณ ีสรปุไดว้่า 𝑃(𝐴) ⊆ 𝑀 ให ้𝑍 ∈ 𝑀 จะไดว้่า 𝑍 ∈ 𝑃(𝐵) หรอื 𝑍 ∈ {{𝑥} ∪ 𝐶 | 𝐶 ∈ 𝑃(𝐵)}

กรณทีี ่1 𝑍 ∈ 𝑃(𝐵) จะไดว้่า 𝑍 ⊆ 𝐵 ดงันัน้ 𝑍 ⊆ 𝐵 ∪ {𝑥} = 𝐴 นัน่คอื 𝑍 ∈ 𝑃(𝐴) กรณทีี ่2 𝑍 ∈ {{𝑥} ∪ 𝐶 | 𝐶 ∈ 𝑃(𝐵)} จะไดว้่าม ี𝐶 ⊆ 𝐵 ซึง่ 𝑍 = {𝑥} ∪ 𝐶 ดงันัน้ 𝑍 ⊆ {𝑥} ∪ 𝐵

นัน่คอื 𝑍 ∈ 𝑃(𝐴) นี้แสดงว่า 𝑀 ⊆ 𝑃(𝐴) สรปุไดว้่า 𝑀 = 𝑃(𝐴) ∎

ตวัอย่าง 3.3.1 (1) 𝑃(∅) = {∅} (2) 𝑃({𝑎}) = {∅, {𝑎}} (3) 𝑃({𝑎, 𝑏}) = {∅, {𝑎}, {𝑏}, {𝑎, 𝑏}}

(4) 𝑃({𝑎, 𝑏, 𝑐}) = {∅, {𝑎}, {𝑏}, {𝑐}, {𝑎, 𝑏}, {𝑎, 𝑐}, {𝑏, 𝑐}, {𝑎, 𝑏, 𝑐}}


ทฤษฎีบท 3.3.2 ส าหรบัทุก 𝑛 ∈ ℕ ถา้ 𝐴 เป็นเซตทีม่จี านวนสมาชกิเท่ากบั 𝑛 แลว้ จ านวนสมาชกิของ 𝑃(𝐴) จะเท่ากบั 2𝑛

พิสจูน์ พสิจูน์โดยการอุปนัยเชงิคณิตศาสตร ์ให ้𝑛 เป็นจ านวนนับใดๆ 𝑃(𝑛) ≡ จ านวนสมาชกิของเซตก าลงัของ 𝐴 เท่ากบั 2𝑛 เมือ่ 𝐴 เป็นเซตจ ากดัทีม่จี านวนสมาชกิ 𝑛 ตวั

ขัน้ตอนพืน้ฐาน ส าหรบั 𝑛 = 1 จะไดว้่า จ านวนสมาชกิของเซต 𝐴 เท่ากบั 1 สมมตวิ่า 𝐴 = {𝑎} ดงันัน้ 𝑃(𝐴) = {∅, {𝑎} } นัน่คอื จ านวนสมาชกิของ 𝑃(𝐴) เท่ากบั 21 = 2 ดงันัน้ 𝑃(1) เป็นจรงิ

ขัน้ตอนแบบอุปนยั สมมตวิ่า 𝑘 เป็นจ านวนนบั โดยที ่𝑘 ≥ 1 และ 𝑃(𝑘) เป็นจรงิ นัน่คอื จ านวนสมาชกิของ 𝑃(𝑋) เท่ากบั 2𝑘 ตวั เมือ่ 𝑋 เป็นเซตทีม่จี านวนสมาชกิเท่ากบั 𝑘

ให ้𝐴 เป็นเซตจ ากดัทีม่จี านวนสมาชกิเท่ากบั 𝑘 + 1 สมมตวิ่า 𝐴 = {𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑘, 𝑎𝑘+1} จะไดว้่า 𝐴 = 𝐵 ∪ {𝑎𝑘+1} เมือ่ 𝐵 = {𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑘} โดยบทตัง้ 3.3.1 จะไดว้่า

𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐵) ∪ {{𝑎𝑘+1} ∪ 𝐶 | 𝐶 ∈ 𝑃(𝐵)} โดยขัน้ตอนแบบอุปนยั จะไดว้่า จ านวนสมาชกิของ 𝑃(𝐵) จะเท่ากบั 2𝑘 ดงันัน้ จ านวนสมาชกิของ {{𝑎𝑘+1} ∪ 𝐶 | 𝐶 ∈ 𝑃(𝐵)} จะเท่ากบั 2𝑘 นัน่คอื จ านวนสมาชกิของ 𝑃(𝐴) จะเท่ากบั 2𝑘 + 2𝑘 = 2𝑘+1

โดยการอุปนัยเชงิคณติศาสตร ์จะไดว้่า จ านวนสมาชกิของ 𝑃(𝐴) เท่ากบั 2𝑛

เมือ่ 𝐴 เป็นเซตจ ากดัทีม่จี านวนสมาชกิ 𝑛 ตวั ∎

3.4 การวางนัยทัว่ไปของยเูนียนและอินเตอรเ์ซกชนัของเซต

ในหวัขอ้นี้เราจะขยายแนวคดิของยเูนียนและอนิเตอรเ์ซกชนัระหว่างสองเซตใดๆ ไปยงัเซตหลายๆ เซต

ให้ 𝐴1, 𝐴2 และ 𝐴3 เป็นเซตใดๆ โดยทฤษฎบีท 3.2.3 ท าให้ทราบว่ายูเนียน และอนิเตอร์เซกชนัมสีมบตักิารเปลีย่นหมู ่นัน่คอื

𝐴1 ∪ (𝐴2 ∪ 𝐴3) = (𝐴1 ∪ 𝐴2) ∪ 𝐴3 และ

𝐴1 ∩ (𝐴2 ∩ 𝐴3) = (𝐴1 ∩ 𝐴2) ∩ 𝐴3

ดงันัน้การใส่เครือ่งหมายวงเลบ็ จงึไมม่ผีลแตกต่างกนั

ตวัอย่าง 3.4.1 ให ้𝐴1 = {2, 3, 4, 5}, 𝐴2 = {1, 3, 5, 7, 9} และ 𝐴3 = {2, 3, 5, 7} จะไดว้่า 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ 𝐴3 = {1 ,2, 3, 4 ,5, 7, 9} จะเหน็ว่า สมาชกิแต่ละตวัใน 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ 𝐴3 นี้เป็นสมาชกิของ 𝐴1 หรอื 𝐴2 หรอื 𝐴3 อยา่งน้อยหนึ่งเซต และ 𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ 𝐴3 = {3, 5} สมาชกิใน 𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ 𝐴3 ตอ้งเป็นสมาชกิของทัง้ 𝐴1, 𝐴2 และ 𝐴3

เ ซ ต 71

จากตวัอย่าง 3.4.1 ถ้าให ้𝐽 = {1, 2, 3} และ 𝒜 = {𝐴𝑖 | 𝑖 ∈ 𝐽} = {𝐴1, 𝐴2, 𝐴3} เป็นเซตที่ทุกสมาชิกเป็นเซต เราเขียน ⋃ 𝐴𝑖𝑖∈𝐽 หรือ ⋃𝒜 แทน 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ 𝐴3 และเขียน ⋂ 𝐴𝑖𝑖∈𝐽 หรอื

∩ 𝒜 แทน 𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ 𝐴3

บทนิยาม 3.4.1 ให ้𝐽 เป็นเซตใดๆ ซึง่ไมใ่ช่เซตว่าง และ 𝒜 = {𝐴𝛼|𝛼 ∈ 𝐽} เป็นเซตของเซต ยูเนียนของ 𝓐 หรือ ยูเนียนของ 𝑨𝜶 ทุก 𝜶 ∈ 𝑱 คือ เซตที่ประกอบไปด้วยสมาชิก

ทัง้หมดของสมาชิกของเซตใดเซตหนึ่งใน 𝒜 อย่างน้อยหนึ่งเซต เขียนแทนด้วย ⋃𝒜 หรอื ⋃ 𝐴𝑖𝑖∈𝐽 นัน่คอื

⋃ 𝐴𝑖𝑖∈𝐽 = {𝑥 | ∃𝛼 ∈ 𝐽, 𝑥 ∈ 𝐴𝛼} อินเตอรเ์ซกชนัของ 𝓐 หรอื อินเตอรเ์ซกชนัของ 𝑨𝜶 ทุก 𝜶 ∈ 𝑱 คอื เซตที่

ประกอบดว้ยสมาชกิทัง้หมดของแต่ละสมาชกิของทุกเซตใน 𝒜 เขยีนแทนดว้ยสญัลกัษณ์ ⋂𝒜 หรอื ⋂ 𝐴𝑖𝑖∈𝐽 นัน่คอื

⋂ 𝐴𝑖 = {𝑥 | ∀𝛼 ∈ 𝐽, 𝑥 ∈ 𝐴𝛼}𝑖∈𝐽

และเรยีกเซต 𝐽 ว่า เซตดชันี (index set)

ข้อสงัเกต จากบทนิยาม 3.4.1 จะไดว้่า 𝑥 ∈ ⋃ 𝐴𝛼𝛼∈𝐽 ⇔ ∃𝛼 ∈ 𝐽, 𝑥 ∈ 𝐴𝛼

𝑥 ∉ ⋃ 𝐴𝛼𝛼∈𝐽 ⇔ ∀𝛼 ∈ 𝐽, 𝑥 ∉ 𝐴𝛼

𝑥 ∈ ⋂ 𝐴𝑛𝛼∈𝐽 ⇔ ∀𝛼 ∈ 𝐽, 𝑥 ∈ 𝐴𝛼 𝑥 ∉ ⋂ 𝐴𝑛𝛼∈𝐽 ⇔ ∃𝛼 ∈ 𝐽, 𝑥 ∉ 𝐴𝛼

ตวัอย่าง 3.4.2 ให ้𝐽 = {1,2,3,4} และ 𝐴1 = {1, 3, 5, 7, 9, … }, 𝐴2 = {10, 11, 12, 13, … }, 𝐴3 = {1, 2, 3, 4, 5, … , 20}, 𝐴4 = {1, 3, 5, 7, … , 15}

จะไดว้่า ⋃ 𝐴𝑖𝑖∈𝐽 = {1, 2, 3, 4, … } = ℕ และ ⋂ 𝐴𝑖𝑖∈𝐽 = {11, 13, 15}


ก่อนจะศกึษาตวัอยา่งต่อไป เราขอกล่าวถงึสมบตัขิองจ านวนจรงิคอื สมบติัอารคิ์มีเดียน

สมบติัอารคิ์มีเดียน (Archimedean Property)

“ ส าหรบัจ านวนจรงิ 𝑥 ใดๆ จะมจี านวนนับ 𝑛 ซึง่ 𝑛 > 𝑥 ”

ตวัอย่าง 3.4.3 ส าหรบัทุกจ านวนจรงิ 𝛼 > 0 ให ้𝐴𝛼 = (0, 𝛼) และ 𝒜 = {𝐴𝛼| 𝛼 ∈ ℝ+} จงพสิจูน์ว่า ⋃ 𝐴𝛼𝛼∈ℝ+ = ℝ+ และ ⋂ 𝐴𝛼𝛼∈ℝ+ = ∅ เมือ่ ℝ+ แทนเซตของจ านวนจรงิบวก

พิสจูน์ (1) จะแสดงว่า ⋃ 𝐴𝛼𝛼∈ℝ+ = ℝ+ ให ้𝑥 ∈ ⋃ 𝐴𝛼𝛼∈ℝ+ จะไดว้่า ม ี𝛼0 ∈ ℝ+ ซึง่ 𝑥 ∈ 𝐴𝛼0

= (0, 𝛼0) แต่ (0, 𝛼0) ⊆ ℝ+ ดงันัน้ 𝑥 ∈ ℝ+ นัน่คอื ⋃ 𝐴𝛼𝛼∈ℝ+ ⊆ ℝ+ ให ้𝑥 ∈ ℝ+ ดงันัน้ 𝑥 > 0 เลอืก 𝛼0 = 2𝑥 จะไดว้่า 𝛼0 > 0 ดงันัน้ 𝛼0 ∈ ℝ+

เนื่องจาก 0 < 𝑥 < 2𝑥 = 𝛼0 ดงันัน้ 𝑥 ∈ (0, 𝛼0) = 𝐴𝛼0 ท าใหไ้ดว้่า 𝑥 ∈ ⋃ 𝐴𝛼𝛼∈ℝ+

ดงันัน้ ℝ+ ⊆ ⋃ 𝐴𝛼𝛼∈ℝ+ สรปุไดว้่า ⋃ 𝐴𝛼𝛼∈ℝ+ = ℝ+

(2) สมมตวิ่า ⋂ 𝐴𝛼𝛼∈ℝ+ ≠ ∅ จะไดว้่า ม ี𝑥 ∈ ⋂ 𝐴𝛼𝛼∈ℝ+

นัน่คอื 𝑥 ∈ (0, 𝛼) ส าหรบัทุก 𝛼 ∈ ℝ+ ดงันัน้ 0 < 𝑥 < 𝛼 ส าหรบัทุก 𝛼 ∈ ℝ+

ให ้�̃� = 𝑥

2 จะไดว้่า �̃� > 0 ดงันัน้ �̃� ∈ ℝ+ เนื่องจาก 𝑥 ∈ (0, �̃�)

นัน่คอื 0 < 𝑥 < �̃� <𝑥

2 ซึง่เกดิขอ้ขดัแยง้ ดงันัน้ ⋂ 𝐴𝛼𝛼∈ℝ+ = ∅

ตวัอย่าง 3.4.4 ก าหนดให ้𝐴𝑛 = (−1

𝑛,

1

𝑛 ) ส าหรบัทุกจ านวนนบั 𝑛 จงพสิจูน์ว่า

⋃ 𝐴𝑛𝑛∈ℕ = (−1 , 1) และ ⋂ 𝐴𝑛𝑛∈ℕ = {0} พิสจูน์ ให ้𝑥 ∈ ⋃ (−

1

𝑛,

1

𝑛)𝑛∈ℕ จะไดว้่า ม ี𝑛0 ∈ ℕ ซึง่ 𝑥 ∈ (−

1

𝑛0,1

𝑛0)

เนื่องจาก (−1

𝑛0,

1

𝑛0) ⊆ (−1, 1) ดงันัน้ 𝑥 ∈ (−1, 1) นัน่คอื ⋃ (−

1

𝑛,

1

𝑛)𝑛∈ℕ ⊆ (−1, 1)

ให ้𝑥 ∈ (−1, 1) ดงันัน้ −1 < 𝑥 < 1 เลอืก 𝑛0 = 1 จะไดว้่า 1𝑛0

= 1 และ − 1

𝑛0= −1

ดงันัน้ 𝑥 ∈ (−1

𝑛0,1

𝑛0) นัน่คอื 𝑥 ∈ ⋃ (−

1

𝑛,

1

𝑛)𝑛∈ℕ ดงันัน้ (−1, 1) ⊆ ⋃ (−

1

𝑛,

1

𝑛)𝑛∈ℕ

สรปุไดว้่า (−1, 1) = ⋃ (−1

𝑛,

1

𝑛)𝑛∈ℕ

ให ้𝑥 เป็นจ านวนจรงิใดๆ ซึง่ 𝑥 ≠ 0 จะไดว้่า 𝑥 > 0 หรอื 𝑥 < 0

กรณทีี ่1 𝑥 > 0 โดยสมบตัอิารค์มิเีดยีน จะมจี านวนนบั 𝑛′ ซึง่ 𝑛′ >1𝑥

นัน่คอื 𝑥 > 1

𝑛′ ดงันัน้ 𝑥 ∉ (−

1

𝑛′,

1

𝑛′)

กรณทีี ่2 𝑥 < 0 จะไดว้่า −𝑥 > 0 โดยสมบตัอิารค์มิเีดยีน จะมจี านวนนบั 𝑛′ ซึง่ 𝑛′ > −1𝑥

นัน่คอื 𝑥 < −

1

𝑛′ ดงันัน้ 𝑥 ∉ (−

1

𝑛′,

1

𝑛′)

เ ซ ต 73

ส าหรบัสมบตัิของยูเนียนและอนิเตอร์เซกชันของเซตใดๆ ยงัมสีมบตัิในลกัษณะเดยีวกบั

ยเูนียน และอนิเตอรเ์ซกชนัของเซตสองเซต ซึง่จะกล่าวไวพ้อสงัเขปดงันี้

ทฤษฎีบท 3.4.1 ให ้𝐽 เป็นเซตใดๆ ซึง่ไมใ่ช่เซตว่าง และส าหรบัทุก 𝛼 ∈ 𝐽 ให ้𝐴𝛼 เป็นเซต จะไดว้่า (1) ส าหรบัทุก 𝛽 ∈ 𝐽 จะไดว้่า 𝐴𝛽 ⊆ ⋃ 𝐴𝛼𝛼∈𝐽

(2) ส าหรบัทุก 𝛽 ∈ 𝐽 จะไดว้่า ⋂ 𝐴𝛼𝛼∈𝐽 ⊆ 𝐴𝛽

พิสจูน์ (1) สมมตวิ่า 𝛽 ∈ 𝐽 และให ้𝑥 ∈ 𝐴𝛽 เนื่องจาก 𝛽 ∈ 𝐽 จะไดว้่า ม ี𝛽 ∈ 𝐽 ซึง่ 𝑥 ∈ 𝐴𝛼 ดงันัน้ 𝑥 ∈ ⋃ 𝐴𝛼𝛼∈𝐽 นัน่คอื 𝐴𝛽 ⊆ ⋃ 𝐴𝛼𝛼∈𝐽 (2) แบบฝึกหดั ∎

ทฤษฎีบท 3.4.2 ให ้𝐽 เป็นเซตใดๆ ซึง่ไมใ่ช่เซตว่าง 𝐴𝛼 เป็นเซตทุก 𝛼 ∈ 𝐽 และ 𝐵 เป็นเซต ใดๆ จะได ้ (1) (⋂ 𝐴𝛼𝛼∈𝐽 )

𝑐= ⋃ 𝐴𝛼

𝑐𝛼∈𝐽

(2) (⋃ 𝐴𝛼𝛼∈𝐽 )𝑐

= ⋂ 𝐴𝛼𝑐

𝛼∈𝐽

(3) 𝐵 ∩ (⋃ 𝐴𝛼𝛼∈𝐽 ) = ⋃ (𝐵 ∩ 𝐴𝛼)𝛼∈𝐽

(4) ⋃ (𝐵 ∩ 𝐴𝛼)𝛼∈𝐽 ⊆ 𝐵 ∩ (⋃ 𝐴𝛼𝛼∈𝐽 ) พิสจูน์ (1) ให ้𝑥 ∈ (⋂ 𝐴𝛼𝛼∈𝐽 )

𝑐 ดงันัน้ 𝑥 ∉ ⋂ 𝐴𝛼𝛼∈𝐽 นัน่คอื จะม ี𝛼𝑘 ∈ 𝐽 ซึง่ 𝑥 ∉ 𝐴𝛼𝑘

นัน่คอื 𝑥 ∈ 𝐴𝛼𝑘𝑐 โดยทฤษฎบีท 3.4.1(1) 𝑥 ∈ ⋃ 𝐴𝛼

𝑐𝛼∈𝐽 ดงันัน้ (⋂ 𝐴𝛼𝛼∈𝐽 )

𝑐⊆ ⋃ 𝐴𝛼

𝑐𝛼∈𝐽

ให ้𝑥 ∈ ⋃ 𝐴𝛼𝑐

𝛼∈𝐽 ดงันัน้ จะม ี𝛼𝑘 ∈ 𝐽 ซึง่ 𝑥 ∈ 𝐴𝛼𝑘𝑐 นัน่คอื 𝑥 ∉ 𝐴𝛼𝑘

โดยทฤษฎบีท 3.4.1(2) จะได ้𝑥 ∉ ⋂ 𝐴𝛼𝛼∈𝐽 นัน่คอื 𝑥 ∈ (⋂ 𝐴𝛼𝛼∈𝐽 )

𝑐 ดงันัน้ ⋃ 𝐴𝛼𝑐

𝛼∈𝐽 ⊆ (⋂ 𝐴𝛼𝛼∈𝐽 )𝑐

สรปุไดว้่า (⋂ 𝐴𝛼𝛼∈𝐽 )𝑐

= ⋃ 𝐴𝛼𝑐

𝛼∈𝐽 (3) ให ้𝑥 ∈ 𝐵 ∩ (⋃ 𝐴𝛼𝛼∈𝐽 ) จะไดว้่า 𝑥 ∈ 𝐵 และ 𝑥 ∈ ⋃ 𝐴𝛼𝛼∈𝐽 ดงันัน้ จะม ี𝛼𝑘 ∈ 𝐽 ซึง่ 𝑥 ∈ 𝐴𝛼𝑘

ดงันัน้ 𝑥 ∈ 𝐵 ∩ 𝐴𝛼𝑘 โดยทฤษฎบีท 3.4.1(1) จะไดว้่า 𝑥 ∈ ⋃ (𝐵 ∩ 𝐴𝛼)𝛼∈𝐽

ดงันัน้ 𝐵 ∩ (⋃ 𝐴𝛼𝛼∈𝐽 ) ⊆ ⋃ (𝐵 ∩ 𝐴𝛼)𝛼∈𝐽

ให ้𝑥 ∈ ⋃ (𝐵 ∩ 𝐴𝛼)𝛼∈𝐽 จะไดว้่า ม ี𝛼𝑘 ∈ 𝐽 ซึง่ 𝑥 ∈ 𝐵 ∩ 𝐴𝛼𝑘 นัน่คอื 𝑥 ∈ 𝐵 และ

𝑥 ∈ 𝐴𝛼𝑘 โดยทฤษฎบีท 3.4.1(1) จะไดว้่า 𝑥 ∈ ⋃ 𝐴𝛼𝛼∈𝐽 ดงันัน้ 𝑥 ∈ 𝐵 ∩ (⋃ 𝐴𝛼𝛼∈𝐽 )

นัน่คอื ⋃ (𝐵 ∩ 𝐴𝛼)𝛼∈𝐽 ⊆ 𝐵 ∩ (⋃ 𝐴𝛼𝛼∈𝐽 )

จากทัง้สองกรณ ีสรปุไดว้่า 𝑥 ∉ ⋂ (−1

𝑛,

1

𝑛)𝑛∈ℕ นี้แสดงว่า ⋂ (−

1

𝑛,

1

𝑛)𝑛∈ℕ ⊆ {0}

เนื่องจาก − 1

𝑛< 0 <

1

𝑛 ส าหรบัทุกจ านวนนบั 𝑛 ดงันัน้ 0 ∈ ⋂ (−

1

𝑛,

1

𝑛)𝑛∈ℕ

นัน่คอื {0} ⊆ ⋂ (−1

𝑛,

1

𝑛)𝑛∈ℕ

สรปุไดว้่า ⋂ (−1

𝑛,

1

𝑛)𝑛∈ℕ = {0}


สรปุไดว้่า 𝐵 ∩ (⋃ 𝐴𝛼𝛼∈𝐽 ) = ⋃ (𝐵 ∩ 𝐴𝛼)𝛼∈𝐽 (2), (4) แบบฝึกหดั ∎

แบบฝึกหดั 3.2

1. จงพสิจูน์ ทฤษฎบีท 3.4.1 (2) และทฤษฎบีท 3.4.2 (2) และ (4)

2. จงหา ⋃ 𝐴𝑛𝑛∈ℕ และ ⋂ 𝐴𝑛𝑛∈ℕ พรอ้มทัง้พสิูจน์ค าตอบเมื่อ 𝑛 เป็นจ านวนนับใดๆ และก าหนดให ้

𝐴𝑛 ดงัต่อไปนี้

1) 𝐴𝑛 = {7, 𝑛} 2) 𝐴𝑛 = [0, 𝑛] 3) 𝐴𝑛 = [𝑛, 𝑛 + 1] 4) 𝐴𝑛 = [0,

1

𝑛 )

5) 𝐴𝑛 = [2, 2 + 𝑛] 6) 𝐴𝑛 = [−2,

2

𝑛)

7) 𝐴𝑛 = (1 −1

𝑛, 1 +

1

𝑛)

3. จงหา ⋃ 𝑋𝛼𝛼∈ℝ+ และ ⋂ 𝑋𝛼𝛼∈ℝ+ พรอ้มทัง้พสิูจน์ค าตอบ เมื่อ 𝛼 เป็นจ านวนจรงิบวกใดๆ และ

ก าหนดให ้𝑋𝛼 ดงัต่อไปนี้

1) 𝑋𝛼 = (−𝛼, 𝛼) 2) 𝑋𝛼 = (0, 𝛼) 3) 𝑋𝛼 = [0, 𝛼] 4) 𝑋𝛼 = (0, 1 + 𝛼) 5) 𝑋𝛼 = (−𝛼, 2 + 𝛼) 6) 𝑋𝛼 = (3, 3 + 𝛼) 7) 𝑋𝛼 = (1 − 𝛼, 1 + 𝛼)

4. จงพสิจูน์ว่า

⋃ {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ ∶ 𝑥 + 𝑦 = 𝑎}

𝑎∈ℝ+

⊆ ⋂ {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ ∶ 𝑥 + 𝑦 > 𝑏}

𝑏∈ℝ−

5. จงพสิจูน์ว่า

⋃ {𝑥 ∈ ℝ ∶1

𝑛< 𝑥 ≤ 2}

𝑛∈ℤ+

⊆ ⋂ {𝑥 ∈ ℝ ∶ 0 < 𝑥 ≤3

𝑛+ 2}

𝑛∈ℤ+

หลักคณิตศาสตร์ - WordPress.com...เซต 61 บทน ยาม 3.1.4...

Documents

Transcript of หลักคณิตศาสตร์ - WordPress.com...เซต 61 บทน ยาม 3.1.4...