และหาค าร อยละ...สารบัญ. หน า. บทคัดย อ. บทที่. 1 บทนํา 1. ความเป นมาและความสําคัญของป
โครงงานคณิตศาสตร เรื่อง การประยุกต...
Transcript of โครงงานคณิตศาสตร เรื่อง การประยุกต...
โครงงานคณตศาสตร
เรอง การประยกตของอตราสวนทองคา
จดทาโดย
1.เดกชาย ภมภทร วฒนกลจรส ชนมธยมศกษาปท 3/11
2.เดกชาย สรภพ ภกดนอก ชนมธยมศกษาปท 3/11
3.เดกชาย อภนนท อศรางกร ณ อยธยา ชนมธยมศกษาปท 3/11
4.เดกชาย อภวชญ จรยานเคราะห ชนมธยมศกษาปท 3/11
โรงเรยนวดสทธวราราม เขตสาทร กรงเทพมหานคร
รายงานฉบบนเปนสวนหนงของโครงงานคณตศาสตร
รายวชา ค20205 เพมพนประสบการณ 5
ระดบชนมธยมศกษาปท 3
โครงงานคณตศาสตร
เรอง การประยกตของอตราสวนทองคา
จดทาโดย
1.เดกชาย ภมภทร วฒนกลจรส ชนมธยมศกษาปท 3/11
2.เดกชาย สรภพ ภกดนอก ชนมธยมศกษาปท 3/11
3.เดกชาย อภนนท อศรางกร ณ อยธยา ชนมธยมศกษาปท 3/11
4.เดกชาย อภวชญ จรยานเคราะห ชนมธยมศกษาปท 3/11
ครทปรกษา ครบณฑต ขาพนดง
บทคดยอ
สาขาวชา คณตศาสตร
ชอโครงงาน การประยกตของอตราสวนทองคา
ชอผจดทาโครงงาน
1.เดกชาย ภมภทร วฒนกลจรส ชนมธยมศกษาปท 3/11
2.เดกชาย สรภพ ภกดนอก ชนมธยมศกษาปท 3/11
3.เดกชาย อภนนท อศรางกร ณ อยธยา ชนมธยมศกษาปท 3/11
4.เดกชาย อภวชญ จรยานเคราะห ชนมธยมศกษาปท 3/11
โรงเรยน วดสทธวราราม
เขตสาทร กรงเทพมหานคร
ครท�ปรกษา ครบณฑต ขาพนดง
โครงงานนมมาไดเพอใหคนควาและตอยอดทางความรในวชาคณตศาสตร และ วชาศลปะ ม
วตถประสงคเพอใหเขาใจในหลกของการออกแบบ รจกสงเกต การวเคราะห และการนาไปใชของ
อตราสวนทองคา การสารวจตามสถานทตางๆในชวตประจาวน ซงจะตองมความสงสยในสงตางๆ วา
สงนนเปนไปตามเงอนไขหรอไม แลวจงนามาวเคราะห มความสามารถสรางสรรคภาพกราฟกขนได
จรง โดย การใชโปรแกรมการออกแบบภาพกราฟก อาทเชน The Geometer’s Sketchpad และ
Adobe illustrator เปนตน มการสรางภาพทหลากหลายและตองเปนไปตามขอกาหนดซงเปนความ
ทาทายยง การสรางสรรคภาพจรงรวมกน เปนการระดมความคดและฝกการทางานรวมกนเปนกลม
จนไดผลออกเปนงานทสมาชกภายในกลมรวมแรงรวมใจกนทา ทงนการดาเนนของโครงงานเปนไป
ดวยความเรยบรอยและไดผลงานทตรงตามเปาหมายทวางไว ตรงจดประสงคในการทางานอยาง
ครบถวนสมบรณ
กตตกรรมประกาศ
การสรางสรรคผลงานศลปะ ผลงานภาพกราฟก และ การสารวจตามสถานทในชวตประจาวน
ภายใตหวขอโครงงาน การประยกตของอตราสวนทองคานน ไดดาเนนการจนประสบผลสาเรจ ลลวง
ไปดวยด มาจากการรวมมอรวมใจของสมาชกภายในกลม และโครงงานนจะสาเรจไมไดเลย หากไมได
รบความชวยเหลอจากหลายฝาย
ขอขอบพระคณ คณคร บณฑต ขาพนดง ซงกรณาสละเวลาใหความรและคาแนะนา เพอนาไป
ปรบปรง ตลอดการจดทาโครงงาน
ขอขอบพระคณ โรงเรยนวดสทธวราราม ทเออเฟอสถานทในการทาโครงงาน
ขอขอบคณ เพอนๆสมาชกในกลมทไดใหความชวยเหลอในการทาโครงงานเปนอยางด
ทายสดน ขอกราบขอบพระคณ คณพอและคณแม ทเปนกาลงใจและมอบโอกาสทางการศกษาอนลา
คายงกวาสงอนใด
คณะผจดทา
สารบญ
หนา
บทคดยอ………………………………………………………………………………………………………………………………ก
กตตกรรมประกาศ…………………………………………………………………………………………………………………ข
สารบญ…………………………………………………………………………………………………………………………………ค
สารบญภาพ…………………………………………………………………………………………………………………………..ง
1 บทนา…………………………………………………………………………………………………………………………..…1
1.1 ทมาและความสาคญของโครงงาน……………………………………………………………………….……….1
1.2 วตถประสงค………………………………………………………………………………………………………….…..1
1.3 ขอตกลงเบองตน………………………………………………………………………………………………………..1
1.4 ประโยชนทคาดวาจะไดรบ………………………………………………………………………………………….2
2 โครงงานและโครงงานทเกยวของ………………….………………………………………………………………….3
2.1 อตราสวนทองคา………………………………………………………………………………………………………..3
2.2 โปรแกรม The Geometer’s sketchpad………………………………………………………………….12
2.3 โปรแกรม Adobe illustrator…………………………………………………………..………………………15
3 อปกรณและวธดาเนนการทาโครงงาน…………………………………………………………………………….19
3.1 อปกรณและโปรแกรมทตองมในการทาโครงงาน………………………………………………………….19
3.2 วธการดาเนนงาน…..…………………………………………………………………………………………………19
4 ผลการทดลองและวเคราะหผล……………………………………………………………………………………...22
4.1 สรางสรรคภายใตหวขอ: ทดลองสรางสรรคภาพอยางอสระ…………………………………………..22
4.2 สรางสรรคภายใตหวขอ: สรางสรรคภาพเปนไปตามกาหนดหวขอ………………………………….23
สารบญ (ตอ)
หนา
4.3 สรางสรรคภายใตหวขอ: การสรางสรรคภาพโดยการดดแปลง……………………………………….25
4.4 สรางสรรคภายใตหวขอ: การสรางสรรคภาพโดยใชเฉพาะเสนและสขาวดา…………………..…26
4.5 สรางสรรคภายใตหวขอ: การสรางสรรคภาพโดยใชเสนโคงและส…………………………………..29
4.6 สรางสรรคภายใตหวขอ: ภาพสามมต………………………………………………………………………….31
4.7 สรปแนวคดการออกแบบ………………………………………………………………………………………….34
4.8 ผลงานการสรางสรรคทไดรบการคดเลอก ภายใตหวขอ THE BEST……………………………….35
4.9 ภาพพเศษ……………………………………………………………………………………………………………….37
4.10 การสารวจสงแวดลอมในชวตประจาวน…………………………………………………………………….38
4.11 การสรางสรรคผลงานจรงบนกระดาษ A1 200 แกรม…………………………………………………43
5 สรป อภปรายผลการทดลองและขอเสนอแนะ………………………………………………….……………..44
5.1 สรปผลการสรางสรรคภาพกราฟกโดยใชอตราสวนทองคา…………………………………………….44
5.2 สรปผลการสารวจ สงแวดลอมรอบตวในชวตประจาวน………………………………………………..44
5.3 สรปผลการสรางสรรคภาพจรงบนกระดาษ………………………………………………………………….44
5.4 ขอเสนอแนะและแนวทางการพฒนาตอ………………………………………………………………………45
5.5 ปญหาและอปสรรค……………………………………………………………………………………….…………45
บรรณานกรม……………………………………………………………………………………………………………………….46
ภาคผนวก ก………………………………………………………………………………………………………………………..47
สารบญภาพ
หนา
ภาพท 2.1 สเหลยมทองคา (Golden rectangle)................................................................................4
ภาพท 2.2 สเหลยมทองคากบลาดบเลขฟโบนกช……...........................................................................5
ภาพท 2.3 เดอะวทรเวยนแมน (the Vitruvian Man)..........................................................................5
ภาพท 2.4 สดสวนตนฉบบตาม Jan Tschichold……………………………………………………………………….6
ภาพท 2.5 วหารพารเธนอน ในกรงเอเธนส ประเทศกรซ…………………………………………………………….6
ภาพท 2.6 “โมนาลซา” (Mona Lisa)……………………………………………………………………………………….7
ภาพท 2.7 ภาพวาดของรางกาย ของมนษยในรปดาวหาแฉก……………………………………………………….8
ภาพท 2.8 การแบงสวนของเสนตามอตราสวนทองคา………………………………………………………………..9
ภาพท 2.9 สามเหลยมทองคา………………………………………………………………………………………………..10
ภาพท 2.10 ภาพแสดงอตราสวนของรปหาเหลยม……………………………………………………………………10
ภาพท 2.11 รปดาวหาแฉกส………………………………………………………………………………………………….11
ภาพท 2.12 อตราสวนทองคาในรปหาเหลยม………………………………………………………………………….12
ภาพท 2.13 การสรางสวนของเสนตรงใหเทากบเสนตรงทกาหนดให………………………………………….13
ภาพท 2.14 การระบายส………………………………………………………………………………………………………13
ภาพท 2.15 การสรางรปสามเหลยมมมฉาก…………………………………………………………………………….14
ภาพท 2.16 ตวอยางภาพแสดงถงขนตอนการสรางสเหลยมทองคา……………………………………………18
ภาพท 4.1 งานครงท 1 ภาพ 1………………………………………………………………………………………………22
ภาพท 4.2 งานครงท 1 ภาพ 2……………………………………………………………………………………………….22
ภาพท 4.3 งานครงท 2 ภาพ 1……………………………………………………………………………………………….23
สารบญภาพ (ตอ)
หนา
ภาพท 4.4 งานครงท 2 ภาพ 2……………………………………………………………………………………………....23
ภาพท 4.5 งานครงท 2 ภาพ 3……………………………………………………………………………………………….24
ภาพท 4.6 งานครงท 2 ภาพ 4……………………………………………………………………………………………….24
ภาพท 4.7 งานครงท 3 ภาพตนฉบบ……………………………………………………………………………………….25
ภาพท 4.8 งานครงท 3 ภาพ 1……………………………………………………………………………………………….25
ภาพท 4.9 งานครงท 3 ภาพ 2…………………………………………………………………….………………………..26
ภาพท 4.10 งานครงท 4 ภาพ 1……………………………………………………………………………………………..26
ภาพท 4.11 งานครงท 4 ภาพ 2……………………………………………………………………………………………..27
ภาพท 4.12 งานครงท 4 ภาพ 3……………………………………………………………………………………………..27
ภาพท 4.13 งานครงท 4 ภาพ 4……………………………………………………………………………………………..28
ภาพท 4.14 งานครงท 4 ภาพ 5……………………………………………………………………………………………..28
ภาพท 4.15 งานครงท 5 ภาพ 1……………………………………………………………………………………………..29
ภาพท 4.16 งานครงท 5 ภาพ 2……………………………………………………………………………………………..29
ภาพท 4.17 งานครงท 5 ภาพ 3……………………………………………………………………………………………..30
ภาพท 4.18 งานครงท 5 ภาพ 4…………………………………………………………………………………………….30
ภาพท 4.19 งานครงท 6 ภาพ 1…………………………………………………………………………………………….31
ภาพท 4.20 งานครงท 6 ภาพ 2…………………………………………………………………………………………….31
ภาพท 4.21 งานครงท 6 ภาพ 3…………………………………………………………………………………………….32
ภาพท 4.22 งานครงท 6 ภาพ 4…………………………………………………………………………………………….33
สารบญภาพ (ตอ)
หนา
ภาพท 4.23 งานครงท 6 ภาพ 5……………………………………………………………………………………………..33
ภาพท 4.24 THE BEST (FIRST)……………………………………………………………………………………………..35
ภาพท 4.25 THE BEST (SECOND)………………………………………………………………………………………..36
ภาพท 4.26 ภาพพเศษ ภาพ 1………………………………………………………………………………………………37
ภาพท 4.27 ภาพพเศษ ภาพ 2………………………………………………………………………………………………37
ภาพท 4.28 ภาพจากการสารวจ 1…………………………………………………………………………………………38
ภาพท 4.29 ภาพแสดงการวเคราะหภาพสารวจ 1…………………………………………………………………..38
ภาพท 4.30 ภาพจากการสารวจ 2…………………………………………………………………………………………39
ภาพท 4.31 ภาพแสดงการวเคราะหภาพสารวจ 2……………………………………………………………………39
ภาพท 4.32 ภาพจากการสารวจ 3…………………………………………………………………………………………40
ภาพท 4.33 ภาพแสดงการวเคราะหภาพสารวจ 3…………………………………………………………………..40
ภาพท 4.34 ภาพจากการสารวจ 4…………………………………………………………………………………………41
ภาพท 4.35 ภาพแสดงการวเคราะหภาพสารวจ 4……………………………………………………………………41
ภาพท 4.36 ภาพจากการสารวจ 5……………………………………………………………………………………….. 42
ภาพท 4.37 ภาพแสดงการวเคราะหภาพสารวจ……………………………………………………………………….42
ภาพท 4.38 ภาพ THE BEST (FIRST) เมอนาไปวาดจรงในกระดาษ A1……………………………………….43
ภาพท ก.1 ภาพตนฉบบกอนการสรางลวดลาย…………………………………………………………………..…….51
ภาพท ก.2 ภาพหลงการสรางลวดลาย…………………………………………………………………………………….51
สารบญภาพ (ตอ)
หนา
ภาพท ก.3 เสนและอกษร……………………………………………………………………………………………………..52
ภาพท ก.4 อกษรไปอยตามแนวเสน……………………………………………………………………………………….52
บทท 1
บทนา
ทมาและความสาคญของโครงงาน
ปจจบนนโลกเรามการพฒนาดานคณตศาสตร และ ศลปะทเปนการสรางสรรคผลงานท
งดงามโดยใชอตราสวนทองคา เปนอตราสวนทนกคณตศาสตร นกวศวกร สถาปนก ไดทากลาวถง
และใชอตราสวนทองคาในการออกแบบสงตางๆ และเปนอตราสวนทสบทอดกนมาอยางยาวนาน
และถกใชอยางแพรหลายในวงการศลปะ
วตถประสงค
1.เพอศกษาคนควาเกยวกบอตราสวนทองคาในชวตประจาวนและการประยกตใชในดาน
ตางๆอาทเชนดานศลปะ
2.เพอนาความร เรอง อตราสวนทองคาไปออกแบบลวดลายโดยใชโปรแกรม The
Geometer’s Sketchpad และ illustrator
ขอตกลงเบองตน
ดานเนอหา
ศกษาอตราสวนทองคาในชวตประจาวนและศลปกรรม ดวย โปรแกรม The Geometer's
Sketchpad และ illustrator ในการสรางและนาเสนอ และสถานทตางๆทประยกตจากอตราสวน
ทองคา
ดานเวลา
ใชเวลา 8 สปดาห (ตงแต 8 กรกฎาคม ถง 31 สงหาคม 2557)
ดานสถานท
ทบานของสมาชก และ สถานทตางๆทสมาชกพบในชวตประจาวน
ดานประชากร
4 คน ในการดาเนนงานและสารวจ
บทท 2
โครงงานและโครงงานทเกยวของ
ในการจดทาโครงงานคณตศาสตรน กลมของขาพเจาได สรางสรรคภาพลวดลาย โดยใช
โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad และ Adobe illustrator และ สารวจสถานทตางๆใน
ชวตประจาวน
เอกสารทเกยวของ
1.อตราสวนทองคา
อตราสวนทองคา (Golden Ratio) หรอ ฟาย (Φ, Phi) คอ อตราสวนของจานวน 2 จานวน
กบ ผลลพธตอจานวนทใหญกวา สามารถเขยนในรปแบบพชคณตไดเมอ a>b>0
� + �
�=
�
�= �
เมอ ฟาย (�) แทนอตราสวนทองคา มคาคอ
� = ��√�
�= 1.6180339887..
ศลปนและสถาปนกในสมยทศวรรษท 20 ไดสรางสรรคผลงานตามอตราสวนทองคา โดยสวน
ใหญในรปของสเหลยมทองคา โดยเชอวาเปนอตราสวนทงดงาม นกคณตศาสตรตงแตสมยยคลดได
ศกษาคณสมบตของอตราสวนทองคาในรปของสเหลยมผนผาทมอตราสวนดานยาวตอดานสนเทากบ
อตราสวนทองคา หรอ Phi ความพเศษของสเหลยมผนผาทองคากคอ หากแบงเปนสเหลยมผนผา
ทองคาออกเปนสองสวน โดยสวนแรกเปนสเหลยมจตรสและสวนทสองเปนสเหลยมผนผา จะพบวา
สเหลยมผนผาอนเลกนนเปนสเหลยมผนผาทองคา ซงหากแบงสเหลยมผนผาทองคานดวยวธการเดม
สเหลยมทเกดขนใหมกยงคงเปนสเหลยมผนผาทองคาเหมอนเดม
ภาพท 2.1 สเหลยมทองคา (Golden rectangle)
อตราสวนทองคาไดจดประกายนกคดของทกอาชพอยางท ไม มเลขตวไหนทาได ใน
ประวตศาสตรของคณตศาสตร การศกษาอตราสวนทองคา พบวา สงตางๆทมอยในธรรมชาตตาง
เกยวของกบคาน อาท อตราสวนของความยาวสวนตางๆบนรางกายมนษย อตราสวนความกวางและ
ความยาวของฟนซหนาของมนษย การเจรญเตบโตของดอกไมและสตวเปนตน
การคานวณ
จานวน 2 จานวนจะเปนอตราสวนทองคา กตอเมอ
� + �
�=
�
�= �
� + �
�=
�
�+
�
�
= 1 +�
�
φ + 1 =��
�� − � − 1 = 0
จากสมการแทนดวย ��±√������
��
φ = ��√�
�= 1.6180339887..
และ � = ��√�
�= −0.6180339887..
เพราะ φ เปนอตราสวนของผลบวกทาให φ ตองเปนคาบวก
อตราสวนทองคานนมความสมพนธกบลาดบเลขฟโบนกช (Fibonacci) กลาวคอ คา
อตราสวนทองคาจะเปนคาของอตราสวนระหวางคาลาดบเลขฟโบนกช 2 คาทมลาดบตดกน
ตวอยางเชน 1597:2584 มอตราสวนประมาณ 1:1.618
ภาพท 2.2 สเหลยมทองคากบลาดบเลขฟโบนกช
เดอะวทรเวยนแมน (the Vitruvian Man) เปนภาพวาดทมชอเสยงมากของ เลโอนารโด
ดาวนช เนองจากเปนภาพ ทแสดงออกถงความสามารถทางการวาดภาพ ทเปนศลปผนวกกบความร
ทางวทยาศาสตรของดาวนชในการกาหนดสดสวน ทางคณตศาสตรของรางกายมนษย โดยดาวนชได
นา Phi มาใหในกาหนดสดสวนตางๆ ของรางกาย จนไดภาพวาดของมนษยเพศชาย ทมรปราง
สมบรณแบบ และมสดสวนถกตองมากทสด ซงถอวาเปนผลงาน ทางดานกายวภาคศาสตร ทกาวลา
สมยมาก ซงในเวลาตอมา ไดกลายเปนหนงในสญลกษณ ทางวฒนธรรมของมนษยชาต
ภาพท 2.3 เดอะวทรเวยนแมน (the Vitruvian Man)
การออกแบบหนงสอ
ภาพท 2.4 สดสวนตนฉบบตาม Jan Tschichold
หนากระดาษมสดสวนเปน 2:3 ขอบกระดาษสดสวนเปน 1:1:2:3 พนทสาหรบขอความเปน
สดสวนทองคา
วหารพารเธนอน และ องคประกอบในดานหนาไดมาตงขอสงเกตวาเกยวของกบสเหลยมทองคา
ภาพท 2.5 วหารพารเธนอน ในกรงเอเธนส ประเทศกรซ
ภาพ “โมนาลซา” (Mona Lisa) เปนผลงานชนเอกของ เลโอนารโด ดา วนช จตรกรชาวอ
ตาเลยน ซงในขณะนตงแสดงอยทหองเดอะแกรนแกลเลอร ในพพธภณฑลฟว ประเทศฝรงเศส ใน
นาม “ลา โฌกงด” (La Joconde) โมนาลซาในภาพเปนภาพเหมอนของหญงสาวชอ “ลา จโอกอน
ดา” (La Gioconda) ภรรยาของฟรานเซสโก เดล จโอกอนดา ท เลโอนารโด วาดขนโดยใชเทคนค
การวาดภาพแบบสฟมาโต (sfumato) เพอใหโทนสของภาพออกมาดนมเบา
ภาพท 2.6 “โมนาลซา” (Mona Lisa)
การวาดภาพ
นกปรชญาในศตวรรษท 16 เชน Agrippa วาดรปคนผานรปดาวหาแฉกในวงกลม เปนนยวา
มความสมพนธกบอตราสวนทองคา
สาหรบสดยอดผลงานของเลโอนารโด คอภาพ The Last Supper หรออาหารคามอสดทาย
และภาพ โมนาลซา ซงวาดขนภายหลงจากทรจกกบลกาในป ค.ศ. 1496 แลว
The Last Supper มผอางวาพบสดสวนแหงสวรรคในรปรางของ โตะ ผนง และหนาตาง
สวนภาพ โมนาลซา อางกนวาวงใบหนาของเธอเปนสดสวนแหงสวรรค
สาหรบผทรจกกบสดสวนแหงสวรรคแลว และหากไดลองวดระยะตางๆ ในภาพอาหารคามอสดทาย ก
จะพบโดยไมยากวาไมมสวนใดทใกลเคยงกบคาฟายเลย
สวนในภาพ โมนาลซา มปญหาวาจะหาสดสวนแหงสวรรคจากบรเวณไหน เนองจากไมมรป
เลขาคณตใดๆ บนภาพ และหากจะวดวงใบหนากไมแนชดวาจะวดจากจดใดถงจดใด จงเปนการงายท
จะกลาวอางโดยขดเสนวดระยะไดตามใจชอบเพอใหตรงกบคาฟาย สดสวนแหงสวรรคบนวงใบหนา
เจาของรอยยมปรศนาจงดเลอนลอยพอสมควร ยงหากพจารณาในมมของการสรางงานศลปะ เลโอ
นารโดไมตองการสดสวนแหงสวรรคมาเปนตวชวยเลย เขาไดชอวาเปนเจาแหงการสรางภาพ
Perspective การวาดภาพมวๆ แบบ “สฟมาโต” ความสมบรณแบบในสดสวนของคนทเขาศกษากาย
วภาคมาอยางละเอยด และการถายทอดอารมณบนใบหนาบคคลในภาพ ผลงานของเลโอนารโดจงม
ชวตและสมจรง จนไดรบการยกยองใหเปนผลงานชนเอกแหงยคเรอเนซองซ
ในทางกลบกน ลกา พาซโอล ตองการความสามารถในการวาดภาพมมตแบบ Perspective
ของเลโอนารโดเพอชวยแสดงรปทรงเหลยมทเกยวของกบสดสวนแหงสวรรค
นบไดวาเลโอนารโดเปนคนแรกทวาดภาพแสดงมตความลกของรปทรงเหลยมใหเหนกนอยาง
แจมแจง ลกา ถงกบประกาศเกยรตคณสงสดของเลโอนารโดไวในหนงสอ The Divine Propotion วา
“ The most excellent painter in perspective , architect , musician , the man endowed
with all virtues , Leonado Da Vinci , who deduced and elaborated a series of diagrams
of regular solids. ”
การศกษาทางสถตใน 565 ผลงานศลปะของจตรกรทดท แตกตางกนดาเนนการในป ค.ศ.
1999 พบวาศลปนเหลานไมไดใชอตราสวนทองคา การศกษาสรปไดวา อตราเฉลยของทงสองดาน
ของภาพวาดการศกษา คอ 1.34 มคาเฉลยสาหรบศลปนแตละคนตงแต 1.04 (Goya) ท 1.46
(Bellini) ในขณะท Pablo Tosto จดทะเบยนกวา 350 ผลงานโดยศลปนทรจกกนดรวมกวา 100 ซง
มผาใบทมรปสเหลยมผนผาสทองและสดสวนราก -5, และอน ๆ ทมสดสวนเหมอนราก -2, 3, 4,
และ 6
ภาพท 2.7
ภาพวาดของรางกาย ของมนษยในรปดาวหาแฉก ทแสดง
ใหเหนความสมพนธ กบ อตราสวนทองคา
การแบงสวนของเสน
ขนตอนวธการดงตอไปน เปนการสรางทางเรขาคณต ทแบงสวนของเสนออกเปนสองสวน
สายทอตราสวนของเสนทยาว กบสวนของเสนทสน เปนอตราสวนทองคา :
1. มสวนของเสน AB, BC สรางเสนตงฉาก BC ทจด B กบ BC ทมความยาวเปนครงหนง
ของ AB วาด AC ทดานตรงขามมมฉาก
2. วาดโคงดวย C ศนย และรศม BC โคงนตดกบดานตรงขามมมฉาก AC ทจด D
3. วาดโคงกบศนย และรศม AD โคงนตดสวนของเสนเดม AB ทจด S แบงเดมสวน AB
เปนสวนเสน AS และ SB ทมความยาวในอตราสวนทองคา
ภาพท 2.8 การแบงสวนของเสนตามอตราสวนทองคา
สามเหลยมทองคา
สามเหลยมทองคา สามารถจะมลกษณะเปนรปสามเหลยมหนาจว ABC กบสดสวน ทแบง
ครงมม C ไดสามเหลยม CXB ใหมซงเปนรปสามเหลยมคลายกบตนฉบบ
ถามม BCX = α แลว XCA = α เพราะแยกเปนสองสวนและ CAB = α เพราะ
รปสามเหลยมทคลายกน ; ABC = 2α จากสมมาตรหนาจวเดม และ BXC = 2α โดยความ
คลายคลงกน มมภายในรปสามเหลยมเพมขนถง 180 ° เพอให 5α = 180 ให α = 36 °
ดงนนมมของสามเหลยมทองคาจง 36°-72°-72° มมทเหลอสามเหลยมหนาจวปาน AXC (บางครง
เรยกวาแสงแดดสทอง หรอ Golden gnomon) 36°-36°-108 °
สมมตวา XB มความยาว 1 และทเราเรยก BC ระยะทาง φ เพราะหนาจวสามเหลยม
XC = XA และ BC = XC ดงนนเหลานยงมระยะทางใน φ ความยาว AC = AB จงเทากบφ
+ 1 แตสามเหลยม ABC เปนรปสามเหลยมคลายกบ CXB ดงนน AC / BC = BC / BX และ
อน AC ยงเทากบ φ^2 ดงนน φ2 = φ + 1, φ ยนยนวา เปนจรงตามอตราสวนทองคา
ในทานองเดยวกน อตราสวนของพนทของรปสามเหลยมขนาดใหญ AXC ทจะมขนาดเลก
CXB เทากบ φ ในขณะทอตราสวนผกผนจะเปน φ - 1
ภาพท 2.9 สามเหลยมทองคา
รปหาเหลยม
ในรปหาเหลยมปกต อตราสวนระหวางดานขาง และเสนทแยงมมเปน (เชน 1 / φ) ในขณะ
ทเสนทแยงมมตด แตละสวนอนๆ ในอตราสวนทองคา
อตราสวนระหวางความยาวของเสนทแยงมมกบความยาวดานของรปหาเหลยมดานเทาจะม
คาเทากบ Phi เสมอ
ภาพท 2.10 ภาพแสดงอตราสวนของรปหาเหลยม
รปดาวหาแฉก
ในรปดาวหาแฉกและรปหาเหลยม เราจะพบสดสวนแหงสวรรคปรากฏเตมไปหมด ดงรป
นอกจากนภายในตรงกลางรปดาวหาแฉกยงปรากฏรปหาเหลยมดานเทา ซงหากลากเสน
เชอมภายในกจะเกดรปดาวหาแฉกรปเลกทมสดสวนแหงสวรรคขนซาอก และเราสามารถสรางรปซาๆ
เชนนไปไดไมรจบ
ลกาไดขอให เลโอนารโด ดาวนช วาดภาพรปทรงเหลยมตางๆ ประกอบในหนงสอ The
Divine Propotion ของเขา โดย เลโอนารโด ดาวนช วาดไวราว 60 ภาพ จากแบบจาลองททาดวยไม
ขอเทจจรงทวา เลโอนารโด ดาวนช สนทกบลกาและไดวาดภาพประกอบในหนงสอ The
Divine Propotion ทาใหไมมขอกงขาวาเขารจกคนเคยกบสดสวนแหงสวรรคหรออตราสวนทองคาน
หรอเปลา
แตทอางวาเลโอนารโดใชสงดงกลาวในภาพวาดผลงานสดยอดของเขา “เดอะวทรเวยนแมน” ยงเปน
สงทตองพสจน
รปท 2.11 รปดาวหาแฉกสทแสดงถงความสมพนธ
กบอตราสวนทองคา
ทฤษฎบทของปโตเลม
คณสมบตอตราสวนทองคาของ รปหาเหลยม จะพสจนไดโดยใชทฤษฎบทของปโตเลม ไป
เปน รปสเหลยมขนมเปยกปน โดยการเอาจดหนงออก ถาดานยาวรปสเหลยมขนมเปยกปนและเสน
ทแยงมมเปน b, และดานสนเปน a แลวทฤษฎบทของปโตเลม ท �� = �� + �� ซงได
รปสามเหลยมทมดานตางๆ เปนลาดบทางกาวหนาทางเรขาคณต
ถาความยาวดานของรปสามเหลยมเปนรปแบบกาวหนาทางเรขาคณต (Geometry
progression) และอยในอตราสวน 1 : r : r2, ท r คอ อตราสวนทวไปแลวจะตองอยในชวง φ-1
<R<φ ซงเปนผลมาจากรปสามเหลยม ความไมเทาเทยมกน (ผลรวมของสองดานของสามเหลยม
จะตองมขนาดใหญกวาความยาวของดานทสาม) ถา r = φ แลวสนทงสองฝาย คอ 1 และ φ
แตผลรวมของพวกเขาคอ φ2, r<φ การคานวณทคลายกนแสดงใหเหนวา r> φ-1 รป
สามเหลยมทมดานในอตราสวน 1 : √φ : φ เปนสามเหลยมดานขวา (เพราะ 1 + φ = φ2) ท
รจกกนเปนรปสามเหลยมเคปเลอร
ภาพท 2.12 อตราสวนทองคาในรปหาเหลยม
สามารถคานวณได โดยใชทฤษฎบท ของ ปโตเลม
2.โปรแกรม The Geometer’s sketchpad
การใชงานเบองตน
การสรางสวนของเสนตรงทยาวเทากบความยาวของสวนของเสนตรงทกาหนดให
ให AB เปนสวนของเสนตรงทกาหนดให
1. กาหนดจดอสระใดๆ 1 จด บรเวณทวาง สมมตชอ จด C
2. เลอกจด C และสวนของเสนตรง AB -->ทเมนสราง
เลอกคาสง วงกลมทสรางจากจดศนยกลางและรศม
จะไดวงกลมทม C เปนจดศนยกลาง มรศมยาวเทากบสวนของเสนตรง AB
3. เลอกเสนวงกลม C -->ทเมนสราง
เลอกสรางจดบนเสนรอบวง สมมตชอจด D
จากนน ลากสวนของเสน ตรงเชอมระหวางจดศนยกลางกบ จดอสระD จะได สวนของเสนตรง CD
มความยาวเทากบสวนของเสนตรง AB ตามตองการ
4. ซอนสวนทไมตองการโดยเลอกวตถนนๆ แลว เลอกทเมนแสดงผล—> ซอนออบเจกต
ภาพท 2.13 การสรางสวนของเสนตรงใหเทากบเสนตรงทกาหนดให
การระบายส
การระบายสบรเวณภายในรปตางๆ ทเกดจากการสรางสามารถทาไดดงน
1. สรางรปสเหลยมใดๆ ขนมา 1 รป ตงชอเปนสเหลยม ABCD
2. เลอกทจด A, B, C และ D (โดยเรยงไปตามแนวเสน) เลอกทเมนสราง คาสงภายในรป
สเหลยม จะไดสบรเวณภายในรป
ภาพท 2.14 การระบายส
การสรางรปสามเหลยมมมฉาก
1. สรางสวนของเสนตรง AB
2. เลอกทจด A และสวนของเสนตรง AB ใชคาสงสรางเสนตง ฉาก จากเมนสราง
3. สรางจดอสระบนเสนตงฉากทไดตงชอเปนจด C
4. เชอมสวนของเสน ตรง AC และ สวนของเสนตรง BC
ภาพท 2.15 การสรางรปสามเหลยมมมฉาก
การแปลงทางเรขาคณต
การเลอนขนาน
1. สรางและเลอกรปเรขาคณตทตองการจะเลอนแบบตายตว
2 .สารวจโดยการลากรปตน แบบ หรอ สวนตางๆของรป ----> การแปลง ----> เลอนขนาน
แลวเลอกแบบของการเลอน แบบเชงขวหรอแบบสเหลยมมมฉาก
3. กาหนดการเลอนแบบอน ทาไดดงน สรางจด 2 จดใดๆ เพอกาหนดเปน เวกเตอรจากจดแรก
ไปยงจดทสอง คลกเลอก 2 จดนตามลาดบแลว
4. สารวจโดยการลากรปตนแบบ สวนตางๆของรป หรอจดทแสดงเวกเตอร
--->การแปลง ---> ระบเวกเตอร คลกเลอกรป
---> การแปลง ---> เลอนขนาน
หมน
การแปลงโดยวธหมนนแยกออกเปน 2 ชนดดงน
หมนดวยมมคงท เลอกจดศนยกลางของการหมนกอน แลวไปทเมนการแปลง เลอกระบจด
ศนยกลาง เลอกวตถตนแบบทจะทาการแปลง ไปทเมนการแปลง เลอก หมน จะเกดกลองขอความ
หมน เลอกมมคงท ใสคามมทตองการ กดปม หมน กจะไดวตถตามตองการ เชน หมนจด B รอบจด A
ดวยมม 30 องศาไดจด B′
หมนดวยมมทระบ เลอกจดศนยกลางของการหมนกอน แลวไปทเมนการแปลง เลอกระบจด
ศนยกลาง เลอกจด 3 จดททาใหเกดมมทตองจะหมนตามมมนน ไปทเมน การแปลง เลอกระบมม
เลอกวตถตนแบบทจะทาการแปลง ไปทเมนการแปลง เลอกหมน จะเกดกลองขอความหมน เลอกมม
ทระบ กดปมหมน กจะไดวตถตามตองการ เชน หมนจด E รอบจด D เทากบขนาดของมม A องศาได
จด E′
สะทอน เปนการสรางวตถทสะทอนกบวตถ ตนแบบผานเสนสะทอน เหมอนเรามองตวเองในกระจก
ดงนนวตถทไดจะมลกษณะเหมอนวตถตนแบบทกอยาง โดยเสนสะทอนเปนตวกาหนดระยะทางและ
ทศทาง วธการ คอตองมวตถตรง เลอกวตถตรง ไปเมนการแปลง เลอก ระบเสนสะทอน เลอกวตถ
ตนแบบ ไปทเมนการแปลง เลอกสะทอน กจะไดวตถตามตองการ
3.โปรแกรม Adobe illustrator
การใชงานเบองตน
เครองมอพนฐานของโปรแกรม มดงน
Selection tool เครองมอกลมนวาดวยเรองการเลอกวตถ ประกอบไปดวย
Selection tool (ลกศรสดา) ใชเลอกวตถทงชน
Direct-selection tool (ลกศรสขาว) ใชเลอก points หรอ path ของวตถ (กดคย Alt)
Magic wand tool (ไมเทาวเศษ) เปนเครองมอใหม ใชเลอกวตถทมสเดยวกน
Lasso tool ใชเลอกโดยการคลกเมาส Drag การใชงานเหมอนใน Photoshop (กดคย Alt
และ Shift)
Create tool เครองมอกลมนวาดวยการสรางวตถตางๆ ไมวาจะเปนเสน รปทรงตางๆ และ
ตวหนงสอ
Pen tool สรางเสน path อยางแมนยา โดยการใชแขน มผลทาใหวตถมจดนอย-นอยมาก
สวนเครองมอยอยจะเอาไวใชปรบแตง curved ไมวาจะเปนการเพมจด ลบจด หกแขนของ
แกนเสนสมผส (กดคย Alt)
Type tool ใชสรางตวหนงสอ ขอความตางๆ สวนเครองมอยอย กงายๆตามรป ใชพมพ
ตวหนงสอใหอยในกรอบบาง ทาตวอกษรวงตาม paths
Line segment tool สาหรบสรางเสนตรง
Basic shape tool สาหรบวาดรปทรงพนฐาน หลายเหลยม และวงกลม รปดาว และ flare
tool ใชสราง Affect lens-flare
Paintbrush tool แปรงทเอาไวสาหรบสรางเสน path โดยการ drag เมาสลากอยางอสระ
สามารถใช brush แบบพเศษ
Pencil tool จะคลายๆ paintbrush tool แตจะมเครองมอยอยใหเรยกใชในการแกไขเสน
ซงจะชวยในการปรบแตงแกไข และทาใหงานดด เรวขน
Transform tool เครองมอกลมนใชในการปรบแตงรปทรงของวตถ ไมวาจะเปนหมน เอยง บด กลบ
ดาน ยอ ขยาย
Rotate tool ใชในการหมนวตถ โดยการกาหนดจดหมนกอนแลวจงทาการหมน ซงสามารถ
กาหนดไดวาตองการหมนกองศา
Reflect tool ใชในการกลบดานของวตถ
Twist tool ใชในการบดวตถ โดยการกาหนดจดกอนแลวจงทาการบด ซงสามารถกาหนดได
วาตองการบดมากนอย
Scale tool ปรบยอขยายวตถ
Shear tool ใชเอยงวตถ
Reshape tool ใชเพมจด และดงยดวตถ
The warp tool ใชโนมวตถใหบดเบยว
Twirl tool ทาใหวตถบดตามจดทกาหนด
Pucker tool ดงดดจดใหเขาสจดศนยกลาง
Bloat tool ทาใหวตถแบออก
Scallop tool ดงวตถใหเขาศนยกลางพรอมกบสรางรอยหยก
Crystallize tool ขยายวตถใหออกจากศนยกลางพรอมกบสรางรอยหยก
Wrinkle tool สรางคลนใหวตถ
Free transform tool ยอ ขยาย หมน เอยง วตถ โดยอสระ
Special tool เปนเครองมอใหมทจดการเกยวกะ Symbol และ graph
Symbol tool ใชจดการเกยวกบ symbol ซงมเครองมอยอยมากมาย แตจะไมขอกลาวถง
เพราะเครองมอแตละชนมไอคอนทงายตอการเขาใจอยแลว
Graph tool ใชสราง graph ในรปแบบตางๆ
Paint color tool เปนกลมเครองมอทใชจดการเรองของส
Mesh tool ในการสราง point และมแกนในการควบคม (
Gradient tool เครองมอไลระดบส ซงมการไลระดบอยดวยกน 2 แบบ คอ Linear และ
Radial ใชการลากจากจดเรมตน และ สนสดทจดปลอยเมาส ในการควบคมการไลระดบของ
ส
Eyedropper tool หลอดดดส ใช copy สของวตถ สามารกาหนดไดดวยวาจะ copy
ลกษณะอยางไร อะไรบาง
Paint bucket tool สวนใหญจะใชควบคกบ eyedropper tool โดยใชเทสลงบนวตถ
Measure tool เครองมอวดขนาด
Blend tool เครองมอไลระดบการเปลยนรปรางและส สามารถควบคมการไลระดบได 3
ชนด
Auto trace tool ใชในการ trace จากภาพตนฉบบทเปน bitmap ไปเปน Vector ซงเปน
เครองมออานวยความสะดวกสาหรบคนขเกยจโดยเฉพาะ
View tool กลมเครองมอกลมนจะเนนทมมมองเปนหลก
Slice tool ใชเกยวกบการตดแบงภาพออกเปนสวนๆ ใชในงานเวบ
Scissors tool ใชคลกบรเวณ Outline ของวตถเพอกาหนดจดตด 2 จดเพอแยกวตถออก
จากกน
Knife tool ใช drag ลากผานวตถเพอแยกวตถออกจากกนเปน 2 สวน โดยจะทาการ close
paths ใหเราโดยอตโนมต
Hand tool ใชเลอนดบรเวณพนทการทางานบนหนาจอ
Page tool ใชกาหนด print size
Zoom tool ใชยอ และ ขยายพนทการทางาน
ตวอยางการสรางรปสเหลยมทองคาใน illustrator
.
ภาพท 2.16 ภาพแสดงถงขนตอนการสรางสเหลยมทองคา
โครงงานทเกยวของ
โครงงาน เครองมอวดความสวย ของ นายสหรฐ สระสงคราม และ นายปฏภาณ ศรมชย
นกศกษาชนปท 4 ซงเปนสวนหนงในหลกสตรวศวกรรมศาสตรบณฑต ภาควชาวศวกรรมคอมพวเตอร
คณะวศวกรรมศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน พ.ศ. 2555 เพอใชวเคราะหความเหมาะสมของสดสวน
ใบหนาของบคคล โดยใชหลกการของอตราสวนทองคาเปรยบเทยบกบอตราสวนทไดจากใบหนา
บคคล โดยอตราสวนจากใบหนานนไดมาจากการทาการตรวจจบใบหนา ซงไดจากรปภาพทไดจาก
การจบภาพจากกลองวดโอ และตรวจหาตาแหนงบนใบหนาทจาเปนในการคานวณหาอตราสวนเพอ
เปรยบเทยบกบอตราสวนทองคา ซงโปรแกรมสามารถวเคราะหหาคาความเหมาะสมของสดสวน
ใบหนาบคคลและแสดงผลเปนคะแนนเตม 10 ตามความเหมาะสมของสดสวนใบหนาของแตละบคคล
บทท 3
อปกรณและวธการทาโครงงาน
1.อปกรณและโปรแกรมทตองมในการทาโครงงาน
ความตองการของระบบ
คอมพวเตอรทใชระบบปฏบตการ
Windows XP Service Pack 3 หรอ Windows 7 Service Pack 1 ขนไป
Mac OS X 10.6.8 ขนไป (แนะนา OS X 10.8)
หนวยความจาหลก หรอ แรม อยางนอย 1 GB
การแสดงผล 1024 x 768 (แนะนา 1280 x 800)
โปรแกรมหลกทจาเปน
The Geometer’s Sketchpad
Adobe illustrator CS6 ขนไป
โปรแกรมทางเลอก
Adobe Photoshop CS6 ขนไป
Inkscape รน 0.48.5 ขนไป
2.วธการดาเนนงาน
ขนตอนแรก ปฏบตงานครงท 1 การทดลองสรางสรรคภาพอยางอสระ
สมาชกจะทดลองวาดลงในกระดาษ A4 แลวนามาสรางสรรคภาพอยางอสระตามหลกของ
อตราสวนทองคา
ขนตอนสอง ปฏบตงานครงท 2 การสรางสรรคภาพเปนไปตามกาหนดหวขอ
มการกาหนดหวขอ ขนมาดงน
1) ธรรมชาต 2) ความเรยบงาย 3) ความเปนเอกภาพ 4) สงมหศจรรยในเมองใหญ 5) โลโก สญลกษณ
6) ความเปลยนแปลง 7) การขดแยง 8) จารต-ประเพณ 9) กฎหมาย 10) ความฝน
11) ปญหาในสงคม 12) ความพอเพยง 13) ความสมดล 14) หนงสอ 15) ความร 16) ความด – ความ
ชว 17) ศาสนา 18) เทคโนโลย 19) ความงาม 20) ศวไลซ
เลอกหวขอดงกลาวแลวนามาสรางสรรคโดยใชสและลายเสน และเปนไปตามหลกของ
อตราสวนทองคา
ขนตอนสาม ปฏบตงานครงท 3 การสรางสรรคภาพโดยการดดแปลง จานวน 2 ภาพ
ในงานนควรใช Adobe Photoshop ดวย
1. เลอกภาพใดๆกไดทตองการ แตภาพนนตองมไดใชหลกของอตราสวนทองคา
2. ดดแปลงภาพดงกลาวอยางอสระ โดยตองใหเปนอตราสวนทองคา
ขนตอนส ปฏบตงานครงท 4 การสรางสรรคภาพโดยใชเฉพาะเสนและสขาวดา จานวน 2 ภาพ
สมาชกจะสรางสรรคภาพอยางอสระ แตตองใชเฉพาะเสน และ ลงสไดเพยง ขาว-ดา เทานน
และเปนไปตามหลกของอตราสวนทองคา
ขนตอนหา ปฏบตงานครงท 5 การสรางสรรคภาพโดยใชเสนโคงและสจานวน 2 ภาพ
สมาชกจะสรางสรรคภาพอยางอสระ เนนทเสนโคง และใชเฉพาะสตางๆเทานน และเปนไป
ตามหลกของอตราสวนทองคา
ขนตอนหก มอบหมายหนาทในการสารวจนอกสถานทในชวตประจาวน โดยแบงให 2 คนแรก ใน
สปดาหนนๆ สวนอก 2 คน ในสปดาหถดไป โดยมวธการดงน
1. ผสารวจเมอเดนทางออกนอกเคหสถาน สงเกตสงแวดลอมรอบตว พจารณา อาทเชน ปาย
สญลกษณตางๆ วา สงใดนาจะมาจากการสรางสรรคโดยใชหลกของอตราสวนทองคา
2. ผสารวจบนทกภาพดงกลาว ลงในโทรศพทมอถอ หรอ กลอง ของผสารวจ
ขนตอนเจด ปฏบตงานครงท 6 การสรางสรรคภาพโดยเปนรปทรง 3 มต จานวน 2 ภาพ
สมาชกจะสรางสรรคภาพอยางอสระ หรอ ตามหวขอในขนตอนทสองกได แตตองเปนรปทรง
สามมต โดยใชสตางๆและลายเสน และเปนไปตามหลกของอตราสวนทองคา
ขนตอนแปด ปฏบตงานครงท 7 สรปแนวคดการออกแบบ
สมาชกทกคนจะสรปแนวคดและหลกการออกแบบในการสรางสรรคภาพโดยรวม พรอม
อธบายการนาไปใชของอตราสวนทองคาในภาพตางๆ ลงในกระดาษ A4
ขนตอนเกา ปฏบตงานครงท 8 การรวมกนสรางสรรคภาพ
ในงานนทาทงกลม สรางสรรคภาพอยางอสระตามหลกของอตราสวนทองคา โดยใชกระดาษ
ขนาดอยางนอย A3 แลวลงสดวยสโปสเตอร สนา หรอ สไม
ขนตอนสบ การเขยนรายงาน
หลงจากปฏบตงานตามแผนเสรจแลว กดาเนนการเขยนรายงานพรอมสรปผล
บทท 4
ผลการทดลองและวเคราะหผล
1.สรางสรรคภายใตหวขอ: ทดลองสรางสรรคภาพอยางอสระ
ภาพท 4.1 งานครงท 1 ภาพ 1
เปนการสรางสรรคโดยการสรางเสนคดโดยอยทอตราสวนทองคาแลวสนสดทจดตรงขามของ
จดตดอตราสวนทองคา
ภาพท 4.2 งานครงท 1 ภาพ 2
เปนการสรางสรรคโดยการสะทอนสเหลยมผนผาทองคา จนไดครบเปน 4 ภาพดงรป
2.สรางสรรคภายใตหวขอ: สรางสรรคภาพเปนไปตามกาหนดหวขอ
ภาพท 4.3 งานครงท 2 ภาพ 1
หวขอทเลอกคอ ธรรมชาต การหมนของสเหลยมดานขนานกบมม 30*0,618 แลวสะทอน
ครงหนงและมการไลส
ภาพท 4.4 งานครงท 2 ภาพ 2
หวขอทเลอก คอ เทคโนโลย เปนการสรางสรรค โดยการเรยง code ของ Brainfuck ทได
ออกมาเปน "Hello World" อยบนเสนขดทไลจากจดตดของอตราสวนทองคาจนถงจดขอบลางขวา
และไลส
ภาพท 4.5 งานครงท 2 ภาพ 3
สรางสรรคภาพในหวขอ ความสมดล วงกลมแรกมเสนผานศนยกลางยาว 1.618 วงกลมตอๆไป
คณดวย 1.618 ไปจนครบ 4 ภาพ
ภาพท 4.6 งานครงท 2 ภาพ 4
สรางสรรคภาพในหวขอ ความสมดล วธการ คอ ใหวงกลมวงแรกมเสนผานศนยกลางยาว
1.618 ซ.ม. แลววงตอๆไปกใหคณ 1.618 ไปเรอยๆ จนครบ 4 ภาพ แลวนามา วางเรยงกน ดง
รป วงกลมยอยในแตละสวน ตอจากนน กทาหมนภาพรอบจด ทละ 90 องศา ใหไดทงหมดรวม
4 ภาพ
3.สรางสรรคภายใตหวขอ: การสรางสรรคภาพโดยการดดแปลง
ภาพท 4.7 งานครงท 3 ภาพตนฉบบ
เมอดดแปลงแลว ได 2 ภาพ
ภาพท 4.8 งานครงท 3 ภาพ 1
เปนการสรางสรรคเปนการเปลยนภาพใหขาวดาและเปลยนสดาเปนสแดงและใช Plastic
filter แลวยอภาพใหเลกลง 61.8% แลวหมนดวยขนาด 30*1.618
ภาพท 4.9 งานครงท 3 ภาพ 2
เปนการใช neon filter แลวลดขนาดของรปลง 61.8% และหมนภาพในอตราสวนของ 30 องศา
* 1.618
4.สรางสรรคภายใตหวขอ: การสรางสรรคภาพโดยใชเฉพาะเสนและสขาวดา
รปภาพท 4.10 งานครงท 4 ภาพ 1
เปนการสรางสรรคโดยการสรางรปหาเหลยม โดยมความยาวในแตละดานเปน 1 ซม. จากนนขยาย
1.618 เทา 2 ครง แลวนามาหมนดงรปแลวตกรอบเปนรปหาเหลยม
ภาพท 4.11 งานครงท 4 ภาพ 2
เปนการสรางสรรคโดยการสรางรปหาเหลยม ทมความยาวในแตละดานเปน 1 ซม.
ตอจากนนกทาการขยายภาพ 1.618 เทา 3 ครง แลวนามาเรยง ตอจากนนนามาหมนแลวเรยงดงรป
ภาพท 4.12 งานครงท 4 ภาพ 3
ภาพท 4.13 งานครงท 4 ภาพ 4
เปนการสรางเสนโคงเปนลวดลายตางๆโดยทจดควบคมอยทขอบของภาพและอตราสวน
ทองคากบจดกงกลาง
ภาพท 4.14 งานครงท 4 ภาพ 5
เปนการนาขดหอยมามาประยกตทาใหซอนกน โดยปกตเปนเสนโคงกทาใหเปนเสนตรง
5.สรางสรรคภายใตหวขอ: การสรางสรรคภาพโดยใชเสนโคงและส
ภาพท 4.15 งานครงท 5 ภาพ 1
เปนการลดขนาดวงกลมลง 61.8% และเลอนขนาน 61.8 pixels และหมนภาพทไดจากการ
เลอนขนานมาขยาย 161.8% แลวกสะทอน
ภาพท 4.16 งานครงท 5 ภาพ 2
เปนรปชวงลางของผหญงโดยทกระโปรงเรมจาก 1/3 ของดานบนแลวโคงมาทจดตดของ
อตราสวนทองคากบ 2/3 ของขอบซายกอนทจะโคงไปทจดตดดานขวาและโคงกบไปท 2/3 ของขอบ
บน ขามการโคงโดยทจดควบคมอยทอตราสวนทองคาและมการสะทอนเพอเปนขาอกดานหนง
ภาพท 4.17 งานครงท 5 ภาพ 3
เปนการสรางภเขาโดยทเรมจากจดกงกลางของดานซายไปและตงจดควบคมอยทจดตดของ
อตราสวนทองคาดานซายบนแลวจบลงตรงจดกงกลางขอบซาย มการไลสทพน
ภาพท 4.18 งานครงท 5 ภาพ 4
สรางรปครงวงกลมรศม 0.618 แลวสรางสวนของเสนตรงจากจดศนยกลางทดานลาง 1 ซม.
แลวขยายรปทงหมด 1.618 เทา จานวนทงหมด 4 เทา ทาใหมรปทงหมด 5 รปซอนกน แลวนามา
หมนใหได 4 รป
6.สรางสรรคภายใตหวขอ: ภาพสามมต
ภาพท 4.19 งานครงท 6 ภาพ 1
สรางสรรคโดยการสรางสเหลยมขนาด 26.18 เซนตเมตร ปรบใหมขนาดเลกลง 2 เทา หมน
45 องศา ทารปใหสมดล แลวทาใหเปนรปสามมต
ภาพท 4.20 งานครงท 6 ภาพ 2
ในการสรางสรรคภาพน สรางขนภายใตหวขอ ภาพสามมต ซงในทนเปนภาพ Isometric ท
นามาประยกตใชกบอตราสวนทองคา โดย รปสเหลยมดานขนาน ขนาดดานกวาง 0.618 ซม. ดาน
ยาว 1 ซม. และรปสเหลยมจตรส ยาว 1 ซม. แลวหมนรป 45 องศา ยาว 1.618 ซม. รป
สเหลยมจตรส ยาวดานละ 1 ซม. มความสง 0.618 ซม. แลวขยาย 1.618 เทา จานวน 2
ครง ไดสเหลยมจตรสทซอนกน 3 รป สดสวนเปน 1.618 จากซายไปขวายาวสดสวนเปน 1 รป
ตว L ชดขอบ ดานขางยาว 1.618 ซม. กวางภายใน 0.618 ซม. หนา 0.309 เอยง 45 องศา
ภาพท 4.21 งานครงท 6 ภาพ 3
เปนการใชเสนตรงแบบ Perspective อย ทจดตดดานลางซายและมการทาปรซมทรง
สเหลยมผนผาไวทดานซายลาง
ภาพท 4.22 งานครงท 6 ภาพ 4
เปนการใช Perspective แบบจดเดยวอยทตรงกลางและตงผนงไวทจดตดของอตราสวน
ทองคาและนาขอความ GEEK มาแปะตามสเหลยมคางหมทมดานคขนานระหวางขอบของรปและ
สเหลยมทเกดจากการตดกนของอตราสวนทองคา
ภาพท 4.23 งานครงท 6 ภาพ 5
เปนภาพสามมตทเกดจากรปสามเหลยมทนาไป Extrude หมน 168.1 องศา และนามา
สะทอน และเลอนขนาน เทาๆกน
7.สรปแนวคดการออกแบบ
อภวชญ จรยานเคราะห ไดสรปไวดงน
“หลกในทใชในการออกแบบ คอ จนตนาการสวนตวทไดรบจากสถานทตางๆ เชน จาก
โทรทศน ภาพยนตร หนงสอ นตยสาร สอสงพมพ นามาประยกตใชไดภาพในรปแบบทแตกตางกน
ออกไป ไดฝกฝนความคดจนตนาการของแตละบคคลไดมการพฒนามากขนกวาเดมและเปนพนฐาน
ในการตอยอดความคดในรปแบบอนๆดวย”
อภนนท อศรางกร ณ อยธยา ไดสรปไวดงน
“ในการออกแบบสงตางๆ เราตองคานงถงขอกาหนดหรอกรอบทเขาไดกาหนดไว เราจะได
ทาความเขาใจในสงนน เปนแนวทางการทางานทถกตอง หลกสาคญทใชในการออกแบบของฉน กคอ
ความเปนเอกภาพ ความสมดล และความกลมกลนซงเปนสงฉนไดใหความสาคญมาโดยตลอด และได
นาไปประยกตใชกบภาพตางๆ ไวแลว”
สรภพ ภกดนอก ไดสรปไวดงน
“การออกแบบโดยมหลกการ หมายถง การคด หรอจนตนาการตางๆ โดยใหมตนกาเนดของ
มนมาดวย แลวนามาดดแปลงในความคดของตนเองใหมความสวยงาม หรอ สงตางๆใหมนดขนจาก
เดม และยงชวยใหการฝกจนตนาการมการพฒนาขนเพอใหเกดความสรางสรรคในรปแบบตางๆอก
ดวย”
ภมภทร วฒนกลจรส ไดสรปไวดงน
“การออกแบบกเหมอนกบการถายทอดความคด จากตวเราสผลงานทเราสรางสรรค กอนอน
เราตองมจนตนาการกอน จงจะทาได เราตองศกษาหลกหรอเงอนไขของงานกอน ทาตามแนวปฏบต
ทเหลอเรากอสระ ปลดปลอยความเปนตวเราไดเตมท”
8.ผลงานการสรางสรรคทไดรบการคดเลอก ภายใตหวขอ THE BEST
ภาพทไดรบการคดเลอกทดทสด
ภาพท 4.24 THE BEST (FIRST)
10.การสารวจสงแวดลอมในชวตประจาวน
ภาพท 4.28 ภาพจากการสารวจ 1
ภาพท 4.29 ภาพแสดงการวเคราะหภาพสารวจ 1
Golden Ratio
ภาพท 4.30 ภาพจากการสารวจ 2
ผสารวจดาเนนการวเคราะห
ภาพท 4.31 ภาพแสดงการวเคราะหภาพสารวจ 2
ขอสรป เปนอตราสวนทองคา
ภาพท 4.32 ภาพจากการสารวจ 3
ผสารวจดาเนนการวเคราะห
ภาพท 4.33 ภาพแสดงการวเคราะหภาพจากการสารวจ 3
ขอสรป ภาพบางสวนเปนอตราสวนทองคา ซงเปนเฉพาะในกรอบสเหลยมดงรป
ภาพท 4.34 ภาพจากสารวจ 4
ผสารวจดาเนนการวเคราะห
ภาพท 4.35 ภาพแสดงการวเคราะหภาพจากการสารวจ 4
ขอสรป ภาพบางสวนเปนอตราสวนทองคา ซงเปนเฉพาะในกรอบสเหลยมดงรป
ภาพท 4.36 ภาพจากสารวจ 5
ผสารวจดาเนนการวเคราะห
ภาพท 4.37 ภาพแสดงการวเคราะหภาพจากการสารวจ 5
ขอสรป ภาพบางสวนเปนอตราสวนทองคา ซงเปนเฉพาะในกรอบสเหลยมดงรป
11.การสรางสรรคผลงานจรงบนกระดาษ A1 200 แกรม
ในทนเราเลอก ภาพ THE BEST (FIRST) โดยใชสไมและสโปสเตอร
ภาพท 4.38 ภาพ THE BEST (FIRST) เมอนาไปวาดจรงในกระดาษ A1
บทท 5
สรป อภปรายผลการทดลองและขอเสนอแนะ
1.สรปผลการสรางสรรคภาพกราฟกโดยใชอตราสวนทองคา
จากการสรางสรรคภาพกราฟกโดยใชอตราสวนทองคานน มการกาหนดหวขอในแตละภาพ
ทหลากหลาย ทมความยาก-งาย แตกตางกนออกไป ตามความถนด แตโดยสวนใหญมงเนนให
สรางสรรคไดโดยอสระ เพยงแตกาหนดสงทตองมในผลงาน ทาใหผสรางสรรคสามารถใสความคด
จนตนาการ และการออกแบบของตนเองไดอยางเตมท จากการดาเนนงานนน เปนการนาโปรแกรม
ทางคอมพวเตอรมาใชในการสรางสรรค โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad ผทเพงเรมตนใน
การออกแบบ เนองจากเปนโปรแกรมทออกแบบและตอบสนองมาใหผใช เขาใจไดโดยงาย อกทงเมน
คาสงเปนภาษาไทย สวนโปรแกรม Adobe illustrator เปนโปรแกรมสาหรบผทมความชานาญในการ
ออกแบบมาในระดบหนงแลว แตความสามารถของโปรแกรมดงกลาว สามารถสรางสรรคได
หลากหลายและเปนระดบขนสง ซงสาหรบผใชทเพงเรมตน มกจะไมเขาใจการใชงานของโปรแกรมน
ซงทาใหไมอาจสรางภาพดวยโปรแกรมนโดยงาย ซงตองใชเวลาศกษาจนพอชานาญจงจะสามารถ
สรางสรรคออกมาไดอยางมประสทธภาพ
2.สรปผลการสารวจ สงแวดลอมรอบตวในชวตประจาวน
จากการสารวจสงแวดลอมในชวตประจาวน ไมวาจะเปน ปาย โลโก ตราสนคา ตางๆ ใน
ชวตประจาวนนน จากการดาเนนงาน เราใชสเหลยมผนผาทองคา หรอ Golden rectangle ในการ
ตรวจสอบเบองตนวาสงเหลานนใชอตราสวนทองในการออกแบบหรอไม อาทเชน การพจารณาการ
เสนโคงในสเหลยมผนผาทองคาททบกนกบรปทสารวจ เปนตน ทาใหรวาในสงแวดลอมรอบตวเรานน
กมการออกแบบโดยใชอตราสวนทองคาทงโดยตงใจและไมไดตงใจ
3.สรปผลการสรางสรรคภาพจรงบนกระดาษ
จากการสรางสรรคผลงานจรงบนกระดาษอยางนอย A3 นน เราเลอกใชกระดาษ A1 200 แก
รม ในการวาดและลงสโดยสมาชกในกลมนนไดรวมกนสรางสรรคภาพทดทสดของแตละคนและไดรบ
การคดเลอกจนไดภาพทดทสดออกมา ซงเปนการฝกทกษะในการรวมกนคด รวมกนเสนอ และ แสดง
ความคดเหน จนทาใหไดผลงานทสาเรจลลวงไปดวยด
4.ขอเสนอแนะและแนวทางการพฒนาตอ
สรางโปรแกรมในการตรวจสอบวาภาพแตละภาพนนเปนอตราสวนทองคาหรอไม
สรางโมเดลศลปะ 3 มต ทเกยวของกบอตราสวนทองคา
ปรบปรงผลงานใหมความประณตมากยงขน
5.ปญหาและอปสรรค
การใชงานโปรแกรมทางดานการออกแบบกราฟกนน ในบางขนตอนตองใชโปรแกรมสาหรบ
ผทชานาญ ซงทาใหผทยงไมไดศกษาการใชงาน หรอ ผทเพงเรมตน ทาออกมาไดชากวา
เนองจากตองใชผทชานาญชแนะให
เนองจากมขนตอนมาก จงมเวลาทคอนขางจากดในการทางาน ทาใหผลงานจรงไมประณต
ตามการคาดหวงไว
ปญหาดานการแปลเอกสารตางประเทศ การแปลบางประโยคนนเรยบเรยงไมถกตอง จงตอง
มการปรบปรงหลายครง จงจะทาใหไดขอความทถกตองตามหลกภาษาไทย
บรรณานกรม
“Golden ratio –Wikipedia [Online]”. สบคนเมอวน ท 30 มถนายน 2557 จากเวบไซต :
http://en.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio,
“The Golden Ratio [Online]” ศาสตรแหงการวดความสวยตามหลก'ดาวนช”.สบคนเมอวนท
30 มถนายน 2557 จาก เวบไซต: http://travel.truelife.com/detail/818648
“Golden Ratio [Online]”. สบคนเมอวนท 5 กรกฎาคม 2557 จาก เวบไซต:
http://mathworld.wolfram.com/GoldenRatio.html
การใชงานโปรแกรม Inkscape โดยเบองตน
การเลอนมมมองภาพ
ในการทางานคณสามารถเลอนมมมองของภาพไดโดย วธตางๆดงน
1. กด Ctrl+ลกศร เพอเลอนมมมอง ตามทศทางของลกศร
2. เลอนภาพขน, ลง หรอกด Shift+เลอนเมาส เพอเลอนภาพไปทางซาย, ขวา
3. เลอนภาพทอยดานลางและขวาของหนาตางโปรแกรม
4. กดเมาสปมกลางแลวเลอนไปตามทศทางทตองการ คณสามารถปดมนลงไปได
การ Zoom เขา,ออก
การทางานใน Inkscape คณสามารถ Zoom เขา(ขยายมมมองภาพ) เพอเขาไปทางานใน
จดเลกๆได หรอคณจะ Zoom ออก (ยอมมมองมองภาพ) เพอดภาพรวมทงหมดของงานกได โดยม
วธ Zoom ภาพดงน
1. เครองหมาย + เพอ Zoom เขา, เครองหมาย – เพอ Zoom ออก
2. Ctrl+เมาสปมกลางหรอปมขวา เพอ Zoom เขา, Shift+เมาสปมกลางหรอปมขวา เพอ Zoom
ออก
3. Ctrl+เลอนเมาส
4 .ใชเครองมอ Zoom (รปแวนขยาย) ทอยบนแถบเครองมอ ทางดานซายของหนาตางโปรแกรม
หรอกด F3 เพอเลอกใชเครองมอ Zoom
5.ปรบทคาตวเลขทอยทางดานซายลางของโปรแกรม ซงมหนวยเปน %
สรางรปทรง
การสรางรปทรงใน Inkscape คณสามารถสรางไดดวยเครองมอท Inkscape ไดเตรยมไวให
แลว ซงจะอยในแถบเมนดานซายมอ สาหรบวธใชนน เพยงแคคณเลอกเครองมอ สาหรบสรางรปทรง
ทคณตองการ และคลกลงไปบนพนททางานแลวลาก คณกจะไดรปทรงตามทคณตองการ นอกจากนน
เครองมอเหลานยงมความสามารถในการปรบแตงเพอใชในการสรางรปทรงอนๆไดอกดวย โดยการ
ปรบแตงเครองมอเหลานสามารถปรบแตงไดท แถบเมนดานบน
การทางานใน Inkscape นนคณสามารถยอนกลบการกระทาครงลาสด (Undo) ไดดวย โดยกด
Ctrl+Z และยกเลกการยอนกลบการกระทา(Redo) ไดโดยกด Shift+Ctrl+Z
เคลอนยาย, ขยาย ,หมน
รปทรงทคณไดสรางขนใน Inkscape นนคณสามารถปรบแกไดตามตองการ เชน ยายตาแหนง, หมน
หรอยอ/ขยายกได โดยวธแกไขรปทรงนน คณจะตองทาการเลอกรปทรงทคณตองการกอน จากนนกด
F1 และแกไขดวยคาสงท Inkscape ไดเตรยมไวใหดงน
1. คลกคางทรปทรงแลวลาก เพอยายไปในตาแหนงทตองการ
2. Ctrl+ คลกคางทรปทรงแลวลาก เพอยายตาแหนงใหขนานในแนวตงหรอแนวนอน
3. คลกคางทลกศรในสวนมมของรปทรง เพอยอ/ขยายรปทรง
4. Ctrl+ คลกคางทลกศรในสวนมมของรปทรงแลวลาก เพอยอ/ขยายแบบเทากนในทกดาน
5. คลกซาทรปทรงทเลอกอกครง ลกศรจะโคงเพอใหเราหมนรปทรงได
6. Ctrl+หมนรปทรง จะทาใหหมนไดครงละ 15องศา
7. กดทลกศร เพอยายตาแหนงตามทศทางของลกศร
8. Alt+ลกศร เพอยายครงละ 1 พกเซล
9. <, > ยอ/ขยายรปทรง
10. Ctrl + <, > ยอ/ขยาย ครง1เทาตว
11. Alt + <, > ยอ/ขยาย ครงละ 1 พกเซล
12. [,] หมนรปทรง ครงละ 15องศา
13. Ctrl + [,] หมนรปทรง ครงละ 90องศา
14. Alt + [,] หมนรปทรงครง 1 พกเซล
การเลอกรปทรง
วธในการเลอกรปทรงตางๆใน Inkscape
1. คลกไปทรปทรงทตองการ เพอเลอกรปทรงทตองการ
2. Shift+คลก เพอคลกแลวเขาไปทคาสงหมนเลย (คลายการคลก2ครง)
3.คลกแลวลากครอบวตถทตองการ (ครอบไดมากกวาครงละ1ชน)
4. Shift+คลก เพอเลอกวตถชนตอๆไป
Group
คณสามารถจบเอารปทรงหลายๆรปทรง (ตงแต 2 ขนไป) มารวมกนเปน group ได ซง
ประโยชนของ group นนคอ คณสามารถเลอกรปทรงทอยใน group เดยวกนไดดวยการคลกเพยง
ครงเดยว และสามารถยาย ยอ/ขยาย หรอหมน พรอมๆกนไดอกดวย สาหรบวธการสง group นนคณ
จะตองเลอกรปทรงทจะทาเปน group กอน เมอเลอกไดแลวใหกด Ctrl + G รปทรงจะถก group
เขาไวดวยกน สวนการจะยกเลก group นนใหเลอก group ทตองการ จากนนกด Shift + Ctrl + G
รปทรงทรวมกนอยเปน group จะถกแยกออก
Fill และ Stroke
รปทรงตางๆใน Inkscape จะประกอบไปดวย Fill และ Stroke ซง Fill นนจะหมายถง
บรเวณทเปนสวนของรปทรง สวน Stroke นนคอ สวนของขอบของรปทรง ซงทง Fill และ Stroke
นนเราสามารถเปลยนคาของสและความโปรงใสไดโดยกด Shift + Ctrl + F เพอทาการเรยกหนาตาง
ปรบแตงคา Fill และ Stroke ขนมา ภายในหนาตางน คณสามารถปรบคาตางๆของ Fill และ Stroke
ไดทงหมด
ลาดบชนของรปทรง
รปทรงตางๆใน Inkscape จะถกเรยงลาดบชนเอาไว ซงตามปกตแลว จะถกเรยงลาดบตามเวลา
ของการสราง โดยรปทรงทสรางขนมากอนจะอยดานลาง แลวรปทรงทสรางทหลงจะอยดานบน ซง
ลาดบของรปทรงเหลานเราสามารถจดเรยงใหมได โดย
1. ปม Home เพอยายมาดานบนสด
2. ปม End เพอยายไปดานลางสด
3. ปม PageUp เพอยายไปดานบน 1 ระดบ
4. ปม PageDown เพอยายลงลาง 1 ระดบ
คณสามารถเลอกวตถโดยไลไปตามระดบไดโดยกด Tab เพอเลอกรปทรงทอยในระดบสงขนไป และ
Shift + Tab เพอเลอกรปทรงทอยในระดบตาลงมา
Selecting under
เปนวธทใชสาหรบเลอกรปทรงทถกซอนอยดานลาง ซงถาคณคลกเพอเลอกแบบปกต จะทา
ใหคณเลอกถกรปทรงทอยดานบน สาหรบวธทใชในการเลอกรปทรงทอยดานลางนน ใหคณกด Alt+
คลก จะเปนการเลอกไปทรปทรงทถกบงอย กรณทรปทรงซอนทบกนอยมากกวา 1ชนใหคณคลกซา
ไปอก จะเปนการเลอกรปทรงทอยในระดบทตากวาลงไปเรอยๆ
การสรางลวดลายดวยตวอกษร (Text to Pattern)
ภาพตนฉบบ
ภาพท ก.1 ภาพตนฉบบกอนการสรางลวดลาย
ภาพท ก.2 ภาพหลงการสรางลวดลาย
1. พมพตวหนงสอทตองการ จะนามาทาเปนลวดลาย ปรบสปรบขนาดใหเรยบรอย
2. เลอกตวอกษรทจะทาเปนลวดลาย จากนนกดท Edit > Object(s) to Pattern จะ
ทาใหตวอกษรทเราสรางขนมานน กลายเปนลวดลาย ซงจะถกเกบไวในระบบแลว
3. เมอสงแปลงตวอกษรใหกลายเปนลวดลายแลว คณสามารถยอหรอหมนลวดลายได
ดวยคาสง Edit path nodes or control handles หรอกดท F2 ซงจะทาให
ลวดลายทคณปรบเสรจแลว นาไปใชเปนลวดลายของวตถอนตอไปได
4. พมพตวอกษรท จะทาเปนขอความ
5. เลอกตวอกษรทเปนขอความ กดไปท Object > Fill and Stroke
6. ไปทแทบ Fill เลอกทไอคอน Pattern จากนนจะม Pull down เมนใหเลอก
ลวดลาย ใหเลอกไปจนพบกบลวดลายทไดสรางไว จากนนวตถของคณจะถกลงส
ดวยลวดลายทคณเลอก
การสรางอกษรบนเสน
ภาพท ก.3 เสนและอกษร
ภาพท ก.4 อกษรไปอยตามแนวเสน
1. สรางตวอกษร และ เสนทตองการใหตวอกษรไปตามเสน
2. เลอกวตถทง 2 ชน
3. ไปท Text > Put on Path