พีชคณิตนามธรรม AbstractAlgebra · 2019-08-07 ·...

พชคณตนามธรรมAbstract Algebra

สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร

มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา

MAP

พชคณตนามธรรมAbstract Algebra

ผชวยศาสตราจารย ดร.ธนชยศ จาปาหวายสาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา

เอกสารประกอบการสอนวชาพชคณตนามธรรม ปการศกษา /

สารบญ

ความรพนฐาน. ววฒนาการของวชาพชคณตนามธรรม . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. อปนยเชงคณตศาสตร . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. ทฤษฎจานวนเบองตน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. ความสมพนธและฟงกชน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. การดาเนนการทวภาค . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

กรป. นยามและตวอยางของกรป . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. สมบตเบองตนของกรป . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. ผลคณตรงของกรป . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. กรปการเรยงสบเปลยน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

กรปยอย. นยามและตวอยางของกรปยอย . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. กรปวฏจกร . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. แลตทชของกรปยอย . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

กรปยอยปกต. โคเซตและทฤษฎบทของลากรองจ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. นยามและสมบตของกรปยอยปกต . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. กรปผลหาร . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

สมสณฐาน. ฟงกชนสาทสสณฐาน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ฟงกชนสมสณฐาน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ทฤษฎบทฟงกชนสมสณฐาน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ฟงกชนอตสณฐาน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ฟงกชนอตสณฐาน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ฟงกชนอตสณฐาน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

กGeorgette

ข สารบญ

รง. รงและฟลด . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. รงยอย ไอดล และรงผลหาร . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ฟงกชนสาทสสณฐานของรง . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

โดเมนเชงจานวนเตม. ตวหารศนยและโดเมนเชงจานวนเตม . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ไอดลใหญสดและไอดลเฉพาะ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. โดเมนซงแยกตวประกอบไดอยางเดยว . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

รงพหนาม. พหนาม . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. รงพหนามบนฟลด . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. รงพหนามบนฟลดตรรกยะ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

บทท

ความรพนฐาน

เมอแรกเรมคณตศาสตรเกดขนมาเพอแกปญหาตาง ๆ ของมนษยเชน จานวนนบเกดจากการ

แกปญหาของคนเลยงแกะเพอตรวจสอบวาจานวนแกะกอนและหลงพาไปกนหญามจานวนเทาเดมหรอไม ดงนนคณตศาสตรในเบองตนมกอธบายใหเหนเปนรปธรรมไดอยางเดนชดและเปนกฎเกณฑทสอดคลองกบธรรมชาตอยางลงตว แตดวยจนตนาการของนกคณตศาสตรพยายามจะ

ขยายกฎเกณฑตาง ๆ ทไดมาใหอยในรปแบบทวไปมากยงขน เปนผลใหนยามสงใหมและเกดกฎเกณฑตามมาในรปแบบทเปนนามธรรมเชนเดยวกบพชคณตนามธรรมซงจะกลาวในหวขอแรก

และหวขออน ๆ ทตามมาคอความรพนฐานทจะนาไปใชในการทาความเขาใจเกยวกบวชาน

. ววฒนาการของวชาพชคณตนามธรรม

คาวา พชคณต ตรงกบคาในภาษาองกฤษ algebra ซงมาจากภาษาอาหรบ al jebr ใช

ครงแรกราวศตวรรษท โดยนกคณตศาสตรชาวอาหรบนามวา มฮมหมดแหงคารซม (Mohammedof Kharizm) ชวงเรมตนคาวาพชคณตใชแทนวธการตาง ๆ ในการหาคาตอบของสมการ (Charles

C. Pinter. . หนา ) และใชครงแรกในยโรปโดยนกคณตศาสตรชอวา โอมาร เคยแยม (OmarKhayyam) หมายถงวทยาการการหาคาตอบของสมการ (the science of sloving equations)

การหาคาตอบในรปทวไปของสมการเชงเสน (linear equation) ax + b = 0 และสมการกาลงสอง (quadratic equation) ax2 + bx + c = 0 มผหาคาตอบไดกอนสมยกรก-โรมนโบราณ แตในตอนนนยงไมมผใดหาคาตอบในรปทวไปของสมการกาลงสาม (cubic equation) ในรป

x3 + ax2 + bx = c

และสมการกาลงส (quartic equation) ในรป

x4 + ax3 + bx2 + cx = d

ในชวงศตรรษท นกคณตศาสตรชาวอตาลชอ กโรลาโม คารแดน (Girolamo Cardan) มความสนใจคณตศาสตรในรปนามธรรมและความสาเรจอยางหนงคอการตพมพหนงสอชอ ArsMagna (The Great Art) ซงเขยนเกยวกบความรทางพชคณตอยางเปนระบบ ตวอยางเชนการหา

บทท . ความรพนฐาน

คาตอบของสมการ x3 + ax+ b = 0 โดยการเปลยนตวแปร x = u+ v จะไดวา

x3 = (u+ v)3 = u3 + v3 + 3uv(u+ v) = u3 + v3 + 3uvx

ดงนนx3 − 3uvx− (u3 + v3) = 0

โดยเทยบสมประสทธกบสมการ x3 + ax+ b = 0 จะไดวา

−3uv = a และ u3 + v3 = −b นนคอ u3 = −b− v3

กาหนดให t = v3 จากสมการ −3uv = a จะไดวา

27bt+ 27t2 − a3 = 0 ( . )

จะเหนไดวาสมการ ( . ) เปนสมการกาลงสองซงหาคาตอบของ t ไดเสมอจงทาใหหาคาของ v และu จนสดทายไดคาตอบคอ x = u + v ของสมการ x3 + ax + b = 0 เรยกวธการนวา วธของคารแดน (Cardan's method)

ตวอยาง . . จงหาคาตอบของสมการ x3 − 27x− 54 = 0 โดยวธของคารแดน

. . ววฒนาการของวชาพชคณตนามธรรม

แตการคนพบของคารแดนกมใช คาตอบของรปแบบทวไปของสมการกาลงสาม ผคนพบคอตารแทกเลย (Tartaglia) ซงคารแดนไดใชความพยายามเปนอยางมากเพอใหตารแทกเลยยอมใหตพมพผลงานดงกลาว จนในทสดตารแทกเลยกยอมตพมพในหนงสอเลมนโดยคารแดนไดเขยนไวในหนงสอวาเปนของตารแทกเลย

ตอมา ลโดวโค เฟอรราร (Ludovico Ferrari) ซงเปนคนรบใชสวนตวของคารแดน ไดคนพบคาตอบในรปทวไปของสมการ

x4 + ax3 + bx2 + cx = d

ปตอมานกคณตศาสตรหลาย ๆ คนพยายามหาคาตอบในรปทวไปของสมการทกาลงมากกวาสแตไมสาเรจจนในป นลส อเบล (Niels Abel) ไดพสจนใหเหนวาไมสามารถหาคาตอบในรปทวไปของสมการกาลงทมากกวาส

การคนพบของอเบลเปนเหตทาใหนกคณตศาสตรหลายทานหนมาสนใจและทางานดานนมากยงขน มการทางานกนอยางอสระทาใหเกดงานทหลากหลายในยโรปในชวงนน งานวจยของพวกเขาทาใหเกดสาขาคณตศาสตรทแตกตางกนจนนาไปสการหาทมาของคาวาพชคณต ในกรณทไมมวธการหาคาตอบในรปทวไปของสมการ ทาใหนกคณตศาสตรขยายแนวคดใหกวางมากยงขนวาอะไรกนแนทเกยวของกบพชคณต ตอมามการพฒนาพชคณตแบบใหมใหสงขนอยางเปนธรรมชาตและสมบรณแบบ และเชอมโยงไปใชในการแกปญหาดานตาง ๆ ได

ปจจบนพชคณตคอการศกษาภายใตระบบสจพจนนนคอการศกษาในรปนามธรรม (abstract)นกคณตศาสตรจะศกษาโครงสรางพชคณตในรปทวไป และมการเปรยบเทยบกบโครงสรางอน ๆ

และหาความสมพนธระหวางโครงสรางเหลานน ผลทไดจากพชคณตนามธรรมอาจจะเปนวธการใหม หรอคาตอบทตางกนกนออกไปในแตละโครงสรางทเราไมเคยคนพบมากอน เปนการเตมเตมคาตอบชนดใหม

ความรเบองตนในการศกษาพชคณตนามธรรมคอเซตซง เซต (Set) เปนคาอนยาม หมายถงคาทตองยอมรบกนในเบองตนวาไมสามารถใหความหมายทรดกมได คาวาเซตจงหมายถงกลมของสงของตาง ๆ เมอกลาวถงกลมใดแลวจะสามารถบอกไดแนนอนวาสงใดอยในกลม และสงใดอยนอกกลม เรยกสงตาง ๆ ทอยในเซตวา สมาชก (element) (P. Glendinning. . หนา ) ถาa เปนสมาชกของเซต A เขยนแทนดวย a ∈ A และถา a ไมเปนสมาชกของเซต A เขยนแทนดวยa /∈ A เชน A = {1, 2, 3} จะไดวา 1 ∈ A แต 4 /∈ A เปนตน

การเขยนเซตประกอบดวย วธคอ วธแจกแจงสมาชก และวธบอกเงอนไขของสมาชก

. วธแจกแจงสมาชก (Tubular form) การเขยนเซตแบบแจกแจงสมาชก คอการเขยนเซตโดยเขยนสมาชกลงในเครองหมายวงเลบปกกา {} และใชเครองหมายจลภาค (, ) คนระหวางสมาชกแตละตว ตวอยางเชน {1, 2, 3}, {4, 5, 6} และ {a, b, c} เปนตน

. วธบอกเงอนไขของสมาชก (Set builder form) การเขยนเซตแบบบอกเงอนไขประกอบดวย สวน สวนแรกหมายถงสมาชก และสวนทสองคอเงอนไขของสมาชก โดยมเครองหมายทวภาค (:) คนระหวางสองสวนนน อานวา "โดยท"

A = { สมาชก : เงอนไขของสมาชก }

ตวอยางเชน A = {x : x เปนจานวนเตมบวกทนอยกวา 5} หมายถง A = {1, 2, 3, 4}


สาหรบเซต A ทมสมาชกทกตวอยในเซต B จะกลาววา A เปน เซตยอย (subset) ของ B เขยนแทนดวย A ⊆ B และเรยกเซตของเซตยอยของ A วา เซตกาลง (power set) ของ A เขยนแทนดวยนนคอ

P(A) = {X : X ⊆ A}

ในเบองตนเพอใหงายตอการนาไปใช กาหนดสญลกษณดงน

C แทนเซตของจานวนเชงซอน

R แทนเซตของจานวนจรง

Q แทนเซตของจานวนตรรกยะ

Qc แทนเซตของจานวนอตรรกยะ

Z แทนเซตของจานวนเตม

N แทนเซตของจานวนนบ

สาหรบ R+, Q+ และ Z+ หมายถงเซตของจานวนจรงบวก เซตของจานวนตรรกยะบวก และเซตของจานวนเตมบวกตามลาดบR−,Q− และZ− หมายถงเซตของจานวนจรงลบ เซตของจานวนตรรกยะลบ และเซตของจานวนเตมลบตามลาดบ C∗, R∗, Q∗ และ Z∗ หมายถง เซตของจานวนเชงซอนทไมใชศนย เซตของจานวนจรงทไมใชศนย เซตของจานวนตรรกยะทไมใชศนย และเซตของจานวนเตมทไมใชศนยตามลาดบ และใช N0 แทนเซต N ∪ {0}

สาหรบเซตยอยของจานวนจรง ถา a, b ∈ R เมอ a < b ชวง (interval) ของจานวนจรงตาง ๆ คอ

{x ∈ R : a < x < b} เขยนแทนดวย (a, b)

{x ∈ R : a ≤ x ≤ b} เขยนแทนดวย [a, b]

{x ∈ R : a ≤ x < b} เขยนแทนดวย [a, b)

{x ∈ R : a < x ≤ b} เขยนแทนดวย (a, b]

{x ∈ R : x > a} เขยนแทนดวย (a,∞)

{x ∈ R : x ≥ a} เขยนแทนดวย [a,∞)

{x ∈ R : x < b} เขยนแทนดวย (−∞, b)

{x ∈ R : x ≤ b} เขยนแทนดวย (−∞, b]

สาหรบเซตทไมมสมาชกเขยนแทนดวย ∅ เรยกวา เซตวาง (empty set) และ เอกภพสมพทธ(universe) คอเซตทถกกาหนดขนโดยมขอตกลงวา จะกลาวถงสงทเปนสมาชกของเซตนเทานนและนยมใช U แทนเอกภพสมพทธ เมอให A และ B เปนเซตในเอกภพสมพทธ U นยามการดาเนนการบนเซตดงตอไปน

ยเนยน (union) A ∪ B = {x ∈ U : x ∈ A หรอ x ∈ B}

อนเตอรเซกชน (intersection) A ∩ B = {x ∈ U : x ∈ A และ x ∈ B}

ผลตาง (difference) A− B = {x ∈ U : x ∈ A และ x /∈ B}

สวนเตมเตม (complement) Ac = {x ∈ U : x /∈ A}

ในกรณททราบจานวนสมาชกของเซต A เรยกวา เซตจากด (finite set) เขยน |A| แทนจานวนสมาชกของ A และเซตทไมมชเซตจากดเรยกวา เซตอนนต (infinite set)

. . ววฒนาการของวชาพชคณตนามธรรม

แบบฝกหด .

. เพราะเหตใดนกคณตศาสตรจงหนมาสนใจพชคณตมากยงขนในศตวรรษท

. จงหาคาตอบในรปทวไปของสมการ x2 + ax+ b = 0

. จงใชวธของคารแดนหาคาตอบของสมการตอไปน โดยการกาหนด x = u+ v และ t = u3

. x3 − 27x+ 54 = 0

. x3 − 18x+ 35 = 0

. x3 − 12x− 16 = 0

. x3 + 15x− 72 = 0

. x3 + 20x− 225 = 0

. x3 − 14x− 245 = 0

. จงหาคาตอบในรปทวไปของสมการ x3 + ax+ b = 0 โดยใชวธของคารแดน

. จงยกตวอยางลกษณะกลมทไมเปนเซตมาอยางนอย ตวอยาง พรอมใหเหตผลประกอบ

. ใหเอกภพสมพทธ U = N และกาหนดให An = {1, 2, 3, ..., n} เมอ n ∈ N จงหา

. A2 ∪ A4

. A3 ∩ A5

. Ac1 − Ac

2

. A2562 ∩ A2019


. อปนยเชงคณตศาสตร

ในหวขอนจะกลาวถงเครองมอทใชในการพสจนขอความเกยวกบจานวนเตม โดยเรมตนจากสจพจนเกยวกบสมบตของจานวนเตมทเรยกวา หลกการจดอนดบด (Well Ordering Principle)กลาวคอ

ให S ⊆ N และ S = ∅ จะไดวา S มสมาชกตวเลกสด หรอ ม m ∈ S ซง m ≤ s ทก ๆ s ∈ S

ทฤษฎบท . . หลกการของอารคมดส (Archimedean Principle)สาหรบจานวนเตมบวก a และ b ใด ๆ จะมจานวนเตมบวก n ซง na ≥ b

ทฤษฎบท . . ถา S ⊆ N สอดคลอง เงอนไขตอไปน

. 1 ∈ S

. ถา k ∈ S แลว k + 1 ∈ S

แลวจะไดวา S = N

. . อปนยเชงคณตศาสตร

โดยทฤษฎบท . . สามารถนาไปใชในการพสจนขอความตาง ๆ ทางคณตศาสตรในรป

P (n) แทนขอความทเกยวของกบ n เมอ n ∈ N

การพสจนทาได ขนตอนดงน

. ขนฐาน (Basic step) : P (1) เปนจรง

. ขนอปนย (Inductive step) : สาหรบจานวนนบ k ถา P (k) เปนจรง แลว P (k + 1) เปนจรง

แลวสรปไดวา P (n) เปนจรงสาหรบทก ๆ จานวนนบ n

เรยกการพสจนนวาการพสจนโดยหลกอปนยเชงคณตศาสตร (proof by mathematical induction)

ตวอยาง . . จงพสจนขอความตอไปนโดยหลกอปนยเชงคณตศาสตร

1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · ·+ n(n+ 1) =n(n+ 1)(n+ 2)

3สาหรบทกจานวนนบ n


ตอไปกลาวถงการพสจนอปนยเชงคณตศาสตรทขนฐานเรมตนท n0 ∈ Z เมอ P (n) แทน

ขอความทเกยวของกบจานวนเตม ทสอดคลอง เงอนไขตอไปน

. ขนฐาน : P (n0) เปนจรง

. ขนอปนย : สาหรบจานวนเตม k ซง k ≥ n0 ถา P (k) เปนจรง แลว P (k + 1) เปนจรง

สรปไดวา P (n) เปนจรงสาหรบทก ๆ จานวนเตม n ≥ n0

ตวอยาง . . จงหาจานวนนบเรมตนททาใหขอความนเปนจรงพรอมทงพสจน 2n ≥ n2

. . อปนยเชงคณตศาสตร

ในกรณขอความเกยวกบจานวนนบไมสามารถพสจนโดยหลกอปนยเชงคณตศาสตรทกลาวมาขางตน อาจจะใชรปแบบการพสจนไดดงตอไปน ให P (n) แทนขอความเกยวกบจานวนนบ ถา

. ขนฐาน : P (1) เปนจรง

. ขนอปนย : ถา P (k) เปนจรงสาหรบทกจานวนนบ k ท k < m แลว P (m) เปนจรง

สรปไดวา P (n) เปนจรงสาหรบทกจานวนนบ n

ตวอยาง . . ลาดบลคส (Lucus sequence) นยามโดย a1 = 1, a2 = 3 และ

an = an−1 + an−2 สาหรบ n = 3, 4, 5, ...

จงพสจนวา an <

(7

4

)n

เปนจรงสาหรบทกจานวนนบ n



. จงพสจนขอความตอไปนเปนจรงทกจานวนนบ n โดยใชหลกอปนยเชงคณตศาสตร

. 12 + 22 + 32 + · · ·+ n2 = 13n

3 + 12n

2 + 16n

. 13 + 23 + 33 + · · ·+ n3 = 14n

4 + 12n

3 + 14n

2

. 14 + 24 + 34 + · · ·+ n4 = 15n

5 + 12n

4 + 13n

3 − 130n

. 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n− 1) = n2

. 2 + 4 + 6 + · · ·+ (2n) = n(n+ 1)

. 2 + 22 + 23 + · · ·+ 2n = 2n+1 − 2

. 1 · 2 + 2 · 22 + 3 · 23 + · · ·+ n · 2n = (n− 1)2n+1 + 2

. 1(1!) + 2(2!) + 3(3!) + · · ·+ n(n!) = (n+ 1)!− 1

. 1

1 · 2 +1

2 · 3 +1

3 · 4 + · · ·+ 1

n(n+ 1)=

n

n+ 1

. 2n ≤ 2n+1 − 2n−1 − 1

. 2n > n

. จงหาจานวนนบเรมตนททาใหขอความนเปนจรงพรอมทงพสจน

. 2n−1 ≤ n!

. 4n > n4

. (2n)! < 22n(n!)2

. n2 <

(3

2

)n

. ให a เปนจานวนจรง จงพสจนวา

an − 1 = (a− 1)(an−1 + an−2 + · · ·+ a+ 1) สาหรบทกจานวนนบ n

. ให x เปนจานวนจรงซง x ≥ −1 จงพสจนวา

(1 + x)n ≥ 1 + nx สาหรบทกจานวนนบ n


ทฤษฎบท . . ขนตอนวธการหาร (The Division Algorithm)ให a และ b เปนจานวนเตม โดยท a = 0 แลวมจานวนเตม q และ r เพยงคเดยวททาให

b = aq + r โดยท 0 ≤ r < |a| ( . )

เรยก q วาผลหาร (quotient) และ r วาเศษเหลอ (remainder)

ตวอยาง . . สาหรบจานวนเตม n จงพสจนวา 3 | (n3 − n)


บทนยาม . . ให a และ b เปนจานวนเตมทไมใชศนยพรอมกน จานวนเตม d เปนตวหารรวมมาก(greatest common divisior) ของ a และ b เขยนแทนดวย gcd(a, b) กตอเมอ

(ก) d | a และ d | b

(ข) ทกจานวนเตม c ถา c | a และ c | b แลว c ≤ d

ในกรณ gcd(a, b) = 1 จะเรยก a และ b เปนจานวนเฉพาะสมพทธ (relatively prime)

ทฤษฎบท . . ให a, b ∈ Z โดยท a = 0 และ b = 0 และ d = gcd(a, b) แลว

จะม x, y ∈ Z ททาให d = ax+ by

ทฤษฎบท . . ให a, b ∈ Z โดยท a = 0 และ b = 0 แลว

gcd(a, b) = 1 กตอเมอ ม x, y ∈ Z ททาให 1 = ax+ by

ทฤษฎบท . . ให a, b ∈ Z โดยท a = 0 หรอ b = 0 และ d = gcd(a, b) แลว

gcd(a

d,b

d

)= 1


บทแทรก . . ให a1, a2, ..., an ∈ Z โดยท ai ไมใชศนยบาง i ∈ {1, 2, ..., n}และ d = gcd(a1, a2, ..., an) = d แลว

gcd(a1d,a2d, ...,

and

)= 1

ทฤษฎบท . . ให a, b, c,m เปนจานวนเตม จะไดวา

. ถา a | bc และ gcd(a, b) = 1 แลว a | c

. ถา a | c และ b | c โดยท gcd(a, b) = 1 แลว (ab) | c


บทนยาม . . ให a และ b เปนจานวนเตมทไมใชศนย จานวนเตมบวกm จะเปนตวคณรวมนอย(least common multiple) ของ a และ b เขยนแทนดวย ℓcm(a, b) กตอเมอ

(ก) a | m และ b | m

(ข) ทกจานวนเตมบวก c ถา a | c และ b | c แลว m ≤ c

ทฤษฎบท . . ให a, b เปนจานวนเตม โดยท a = 0 และ b = 0 จะไดวา

gcd(a, b) · ℓcm(a, b) = |ab|

ตวอยาง . . จงหาตวคณรวมนอยของ 131 และ 100


บทนยาม . . จานวนเตม p ∈ Z ซง |p| > 1 เรยกวา จานวนเฉพาะ (prime) กตอเมอ

p มตวหารคอ ±1 และ ±p เทานน

จานวนเตมทมากกวา 1หรอนอยกวา−1 ทไมใชจานวนเฉพาะเรยกวาจานวนประกอบ (compositenumber)

จากบทนยามจะเหนวาถา p เปนจานวนเฉพาะ แลว −p เปนจานวนเฉพาะดวย เพอใหงายตอการศกษาทฤษฎบทตาง ๆ เราจะศกษาในกรณท p > 1 เทานน ซงผลทไดสามารถครอบคลมถงp < −1 ดวยเชนกน (ในหนงสอบางเลมอาจนยามจานวนเฉพาะ p > 1)

ขอสงเกต . . จากนยามจะไดวา

. เปนจานวนเฉพาะทเปนจานวนคเพยงตวเดยวเทานน

. p เปนจานวนเฉพาะ กตอเมอ d " p ทก ๆ จานวนเตม d ซง 1 < d < p

. ให p เปนจานวนเฉพาะ และ a ∈ Z ถา a | p แลว a = ±1 หรอ a = ±p

. ให p เปนจานวนเฉพาะ และ a ∈ Z จะไดวา p | a กตอเมอ gcd(a, p) = p

. ให p เปนจานวนเฉพาะ และ a ∈ Z จะไดวา p " a กตอเมอ gcd(a, p) = 1

. ให p และ q เปนจานวนเฉพาะ ถา p | q แลว p = q

. a เปนจานวนประกอบ กตอเมอ มจานวนเตม d ซง 1 < d < a ททาให d | a

. a เปนจานวนประกอบ กตอเมอ มจานวนเตม b, c ซง 1 < b ≤ c < a ททาให a = bc

ตอไปเปนจานวนเฉพาะทงหมดทนอยกวา ,

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37

41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89

97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151

157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223

227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281

283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359

367 373 379 383 389 397 401 419 421 431 433 439

443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509

521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599

601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661

673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751

757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829

839 853 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929

937 941 947 953 967 971 977 983 911 997


ทฤษฎบท . . ทกจานวนเตม a ทมากกวา จะมจานวนเฉพาะ p ท p | a

ทฤษฎบท . . ให p เปนจานวนเฉพาะ และ a, b ∈ Z จะไดวา

ถา p | ab แลว p | a หรอ p | b

ทฤษฎบท . . ให p เปนจานวนเฉพาะ และ a, b, a1, a2, ..., an ∈ Z เมอ n ∈ N จะไดวา

ถา p | (a1a2...an) แลว p | ai สาหรบบางจานวน i ∈ {1, 2, ..., n}


ทฤษฎบท . . ทฤษฎบทหลกมลเลขคณต (The Fundamental Theorem of Arithmematic)จานวนเตมทมากกวา ใด ๆ สามารถเขยนในรปผลคณของจานวนเฉพาะได และถาไมคดลาดบ

เปนสาคญแลวการเขยนนทาไดเพยงวธเดยวเทานนหรอกลาวไดวา จานวนเตม n > 1 สามารถเขยนในรป

n = pa11 · pa22 · pa33 · · · pakk

โดยท p1, p2, p3, ..., pk เปนจานวนเฉพาะซง p1 < p2 < p3 < ... < pk และ ai ∈ N สาหรบทกi = 1, 2, 3, ..., k และเขยน n ในรปดงกลาวไดเพยงแบบเดยวเทานน เรยกการเขยน n รปแบบนวารปแบบบญญต (canonical form) ของ n

ตวอยาง . . จงเขยนรปแบบบญญตของจานวนตอไปน

. 3600 . 20!

ตวอยาง . . จงหาตวประกอบทงหมดของ 144


ตอไปจะกลาวถงฟงกชนฟซงเปนฟงกชนทสาคญในวชาพชคณตนามธรรม

บทนยาม . . ให n ∈ N นยาม

φ(n) = จานวนของจานวนเตมบวก k ≤ n และ gcd(k, n) = 1

เรยกวา ฟงกชนฟออยเลอร (Euler phi function) หรอ ฟงกชนฟ (phi function)

ขอสงเกต . . φ(1) = 1 และ φ(p) = p− 1 เมอ p เปนจานวนเฉพาะ

ในกรณทจานวนประกอบ n มรปเปนรปแบบบญเปน n = pa11 · pa22 · pa33 · · · pakk จะไดวา

φ(n) = (pa11 − pa1−11 )(pa22 − pa2−1

2 ) · · · (pakk − pak−1k )

โดยเฉพาะอยางยง φ(pk) = pk − pk−1 เมอ p เปนจานวนเฉพาะ และ k ∈ N

ตวอยาง . . จงหาคาของ

. φ(100)

. φ(120)

. φ(300)

. φ(1500)


. ความสมพนธและฟงกชน

บทนยาม . . ให A และ B เปนเซตใด ๆ ผลคณคารทเซยน (cartesian product) นยามโดย

A× B = {(a, b) : a ∈ A และ b ∈ B}

สาหรบ A× A จะเขยนแทนดวย A2 ทานองเดยวกน A× A× · · ·× A︸︷︷︸n ตว

เขยนแทนดวย An

ตวอยาง . . ให A = {1, 2} และ B = {3, 4, 5} จงหาผลคณคารเซยน A×B และ B × A

ทฤษฎบท . . ให A และ B เปนเซตจากด แลว |A× B| = |A| · |B|

บทนยาม . . ความสมพนธ (relation) จากเซต A ไป B คอเซตยอยของ A× B

ถา R เปนความสมพนธจาก A ไป B และ (a, b) ∈ R เขยนแทนดวย aR b

ในกรณท R เปนความสมพนธจาก A ไป A จะเรยก r วาความสมพนธบน A

บทนยาม . . ให R เปนความสมพนธใน A โดยท A เปนเซตทไมใชเซตวาง แลวจะเรยก R วาความสมพนธสมมล (equivalence relation) กตอเมอมสมบต ขอดงตอไปน

. สะทอน (Reflexive) กตอเมอ aR a ทก ๆ a ∈ A

. สมมาตร (Symmetric) กตอเมอ ถา aR b แลว bR a ทก ๆ a, b ∈ A

. ถายทอด (Transitive) กตอเมอ ถา aR b และ bR c แลว aR c ทก ๆ a, b, c ∈ A

ถา R เปนความสมพนธสมมล และ a ∈ A ชนสมมลของ a มอดโล R (equivalence class of amodulo R)

[a] = {x ∈ A : xR a}

และเซตของชนสมมลเรยกวา A มอดโล R (A mudulo R) เขยนแทนดวย A/R ดงนน

A/R = {[a] : a ∈ A}

. . ความสมพนธและฟงกชน

ตวอยาง . . ให x, y ∈ Z กาหนดให

xR y กตอเมอ 3 | (y − x)

จงพสจนวา R เปนความสมพนธสมมลบน Z พรอมหา Z/R


ทฤษฎบท . . ให R เปนความสมพนธสมมลบนเซต A = ∅ แลว

. ∀a ∈ A, [a] = ∅

. ∀a, b ∈ A, [a] ∩ [b] = ∅ ↔ aR b

. ∀a, b ∈ A, [a] = [b] ↔ aR b

. ∀a, b ∈ A, [a] = [b] ↔ [a] ∩ [b] = ∅

บทนยาม . . ให A เปนเซตทไมใชเซตวาง และ Λ เปนเซตรรชน จะกลาววา

Π = {Aα : ∅ = Aα ⊆ A และ α ∈ Λ}

เปนผลแบงกน (partition) ของ A ถา

( )⋃

α∈Λ

Aα = A

( ) ∀α, β ∈ Λ, Aα = Aβ หรอ Aα ∩ Aβ = ∅

เมอ⋃

α∈Λ

Aα = {x : x ∈ Aα สาหรบบาง α ∈ Λ}

ทฤษฎบท . . ให A เปนเซตไมใชเซตวาง และ R เปนความสมพนธสมมลบน A แลว

A/R เปนผลแบงกนหนงของ A


จากตวอยาง . . จะไดวา {[0], [1], [2]} เปนผลแบงกนของ Z ตอไปจะพจารณากรณทวไปของความสมพนธในตวอยางดงกลาวคอ

a ∼ b กตอเมอ n | (b− a)

เมอ n เปนจานวนเตมบวก พสจนคลายกบตวอยาง . . จะไดวา ∼ เปนความสมพนธสมมลบน Zชนสมมลของ a ∈ Z เขยนแทนดวย a นนคอ

a = {a+ kn : k ∈ Z}

ขอสงเกต . . ในกรณ a = b โดยทฤษฎบท . . ขอ จะไดวา a ∼ b นนคอ n | (b − a) ดง

นนมจานวนเตม k ซง b = a+ kn หรอกลาวไดวา

a = b กตอเมอ b = a+ kn สาหรบบางจานวนเตม k

หรอกลาวอกนยหนงไดวา

a = b กตอเมอ เมอนา n ไปหาร a และ b แลวมเศษเหลอเทากน

ชนสมมลทแตกตางกนมทงหมด n เซตดงน

0, 1, 2, ..., n− 1

เรยกเซตของชนสมมลวา เซตของจานวนเตมมอดโล n (the set of integer molulo n) เขยนแทน

ดวย Zn ดงนนZn = {0, 1, 2, ..., n− 1}

ตอไปคอตวอยางของเซตของจานวนเตมมอดโล n

เซตของจานวนเตมมอดโล n แจกแจงสมาชก

Z1 {0}

Z2 {0, 1}

Z3

Z4

Z5

Z6

Z7

Z11


บทนยาม . . จะกลาววาความสมพนธ f ⊆ A×B เปนฟงกชน (function) กตอเมอ

แตละ (x1, y1) และ (x2, y2) ใน f ถา x1 = x2 แลว y1 = y2

ถา f เปนฟงกชน และ (x, y) ∈ f เขยนแทนดวย y = f(x) หรอ x .→ f(x)

บทนยาม . . f เปนฟงกชนจาก A ไป B (function from A into B) เขยนแทนดวย f : A→ B

กตอเมอ

. f เปนฟงกชน . Dom(f) = A . Ran(f) ⊆ B

เมอ Dom(f) = {x ∈ A : (x, y) ∈ f} เรยกวา โดเมน (domain) ของ fและ Ran(f) = {y ∈ A : (x, y) ∈ f} เรยกวา เรนจ (range) ของ f

บทนยาม . . กาหนดให f : A→ B จะกลาววา

. f เปนฟงกชนหนงตอหนง (one-to-one หรอ injection) หรอ ฟงกชน - กตอเมอ

∀x1, x2 ∈ A, f(x1) = f(x2)→ x1 = x2

. f เปนฟงกชนทวถง (onto function หรอ surjection) กตอเมอ Ran(f) = B

. f เปนฟงกชนหนงตอหนงแบบทวถง (bijection) กตอเมอ f เปนฟงกชนหนงตอหนงและเปนฟงกชนทวถง

ขอสงเกต . . ให f : A→ B โดยท A และ B เปนเซตจากด

. ถา f เปนฟงกชนหนงตอหนง แลว |A| ≤ |B|

. ถา f เปนฟงกชนทวถง แลว |A| ≥ |B|

. ถา f เปนฟงกชนหนงตอหนงแบบทวถง แลว |A| = |B|

ในกรณ A = {a1, a2, a3, ..., an} และ f ฟงกชนหนงตอหนงแบบทวถง จาก A ไป B เขยนแทนดวยแผนภาพตอไปน (

a1 a2 a3 · · · an

f(a1) f(a2) f(a3) · · · f(an)

)

ตวอยาง . . จงเขยนแผนภาพแทนฟงกชนหนงตอหนงแบบทวถงจากA ไปA เมอA = {1, 2, 3}


บทนยาม . . ให f : A → B และ g : B → C แลว g ◦ f : A → C เรยกวาฟงกชนประกอบ(composite function) ของ f และ g นยามโดย

(g ◦ f)(x) = g(f(x))

ฟงกชนเอกลกษณ (indentity function) คอ iA : A→ A นยามโดย iA(x) = x

ตวอยาง . . ให A = {1, 2, 3, 4} และ f , g เปนฟงกชนจาก A ไป A โดยท

f =

(1 2 3 4

2 1 4 3

)และ g =

(1 2 3 4

3 1 2 4

)

จงหาฟงกชนตอไปน

. iA

. f ◦ g

. g ◦ f

. f ◦ f


บทนยาม . . ให f : A→ B จะกลาววา f เปนฟงกชนผกผนได (invertible function)

กตอเมอ

f−1 = {(y, x) : (x, y) ∈ f} เปนฟงกชน

และเรยก f−1 วาฟงกชนผกผน (inverse function) ของ f

ทฤษฎบท . . ให f : A→ B แลวจะไดวา

f เปนฟงกชนผกผนได กตอเมอ f เปนฟงกชน -

ทฤษฎบท . . f : A→ B เปนฟงกชน - แบบทวถง กตอเมอ f−1 : B → A เปนฟงกชน -แบบทวถง


ตวอยาง . . ให A = {1, 2, 3, 4} และ f , g เปนฟงกชนจาก A ไป A โดยท

f =

(1 2 3 4

2 1 4 3

)และ g =

(1 2 3 4

3 4 2 1

)


. f−1

. g−1

. f−1 ◦ g−1

. (f ◦ g)−1


ทฤษฎบท . . ให f : A→ B แลว

. f ◦ iA = f . iB ◦ f = f

ทฤษฎบท . . ให f : A→ B เปนฟงกชน - แบบทวถง จะไดวา

. f ◦ f−1 = iB . f−1 ◦ f = iA



. ให n ∈ N จงแสดงวา ∼ เปนความสมพนธสมมลบน Z โดยท

a ∼ b กตอเมอ n | (b− a)

. ความสมพนธ R บน Z นยามโดย aR b กตอเมอ 2 | (a+ b)

จงแสดงวา R เปนความสมพนธสมมล และหา Z/R

. จงแจกแจงสมาชกของเซตตอไปน Z8, Z13 และ Z18

. ให f : A→ B เปนฟงกชนหนงตอหนงแบบทวถง จงพสจนวาความสมพนธทนยามโดย

a ∼ b กตอเมอ f(a) = f(b)

เปนความสมพนธสมมล และหาชนของสมมล

. ถา f, g, h เปนฟงกชนจาก A ไป A จงแสดงวา f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h

. จงตรวจสอบวา f : Q→ Q นยามโดย f(a/b) = a เปนฟงกชนหรอไม

. ให f(x) =x− 1

x+ 1เมอ x = −1 จงหาสตรของ f−1(x)

. ให A = {1, 2, 3, 4, 5} และ f , g เปนฟงกชนจาก A ไป A โดยท

f =

(1 2 3 4 5

2 3 4 5 1

)and g =

(1 2 3 4 5

3 5 1 2 4

)


. f ◦ g

. g ◦ f

. g ◦ g

. f ◦ f

. f−1 ◦ g

. g ◦ f−1

. (f ◦ g)−1

. (g ◦ f)−1


. การดาเนนการทวภาค

หลายคนคงคนเคยกบการดาเนนการตาง ๆ โดยเฉพาะทางเลขคณต เชน การบวก ลบ คณ หาร

(+,−, ·,÷) มาบางแลว ในหวขอนจะนาเสนอนยามของการเนนการใหอยในรปทวไปมากขน ซงเรยกวาการดาเนนการทวภาค (binary operation) ซงเปนฟงกชนหนงโดยนยามดงตอไปน

บทนยาม . . ให G เปนเซตทไมใชเซตวาง แลว ∗ เปน การดาเนนการทวภาค บนเซต G

กตอเมอ∗ : G×G→ G

นยมเขยน a ∗ b = c แทน ∗(a, b) = c

ขอสงเกต . . ถา ∗ เปนการดาเนนการทวภาคบน G แลว

a ∗ b ∈ G ทก ๆ a, b ∈ G

และกลาววา G ม สมบตปด (closed) ภายใต ∗

ตวอยาง . . ตอไปนเปนตวอยางการดาเนนการทวภาคทคนเคย เชน

. + เปนการดาเนนการทวภาคบน Z เขยน a+ b แทน +((a, b))

. × เปนการดาเนนการทวภาคบน Z เขยน a× b แทน ×((a, b))

. ∪ เปนการดาเนนการทวภาคบนเอกภพสมพทธ เขยน A ∩ B แทน ∩((A,B))

ตวอยาง . . จงตรวจสอบวา ∗ เปนการดาเนนการทวภาคหรอไม

. a ∗ b = a+ b+ 1 บน Z . a ∗ b = a+ b

2บน Z

ตวอยาง . . ให ∗ เปนการดาเนนการทวภาคบนเซตของจานวนนบ โดย

a ∗ b = 1

2(a+ b)(a+ b− 1)

จงหาคาของ 3 ∗ 2 และ 1 ∗ (2 ∗ 3)

. . การดาเนนการทวภาค

ตอไปจะกลาวถงการสราง ตารางเคยเลย (Cayley table) หรอ ตารางกรป (group table)สาหรบการดาเนนการบนเซตจากดเพอใหแสดงถงคาตาง ๆ ทเกดจากการดาเนนการทกาหนดใหโดยมหลกวาตวดาเนนการตวหนากาหนดไวเปนหลกแรกและตวดาเนนการตวหลงกาหนดไวแถวบนสด และผลการดาเนนการคอสวนตารางทเกดการจากตวหนาและตวหลง ดงตวอยาง ∗ เปนการดาเนนการทวภาคบนเซต {a, b, c}

∗ a b c

a a ∗ a a ∗ b a ∗ cb b ∗ a b ∗ b b ∗ cc c ∗ a c ∗ b c ∗ c

สาหรบการบวกและการคณบนเซต {1, 2, 3} เขยนตารางเคยเลยไดดงน

+ 1 2 3

1

2

3

× 1 2 3

1

2

3

ตวอยาง . . จงสรางตารางเคยเลยสาหรบดาเนนการทวภาค ∗ ดงตอไปน

. a ∗ b = ab บน {0, 1}

. a ∗ b = ab บน {−1, 1}

. a ∗ b = (−1)a + (−1)b

2บน {−1, 0, 1}

. a ∗ b = a+ b บน Z3 = {0, 1, 2}


ตวอยาง . . ตารางเคยเลยของการดาเนนการทวภาค ∗ บนเซต G = {1, 2, 3, 4} คอ

∗ 1 2 3 4

1 1 2 3 4

2 2 1 4 3

3 3 4 1 2

4 4 3 2 1

จงหาคาตอไปน

. (1 ∗ 2) ∗ (3 ∗ 2) . (4 ∗ 4) ∗ (3 ∗ 3) . 1 ∗ (2 ∗ (3 ∗ 4))

บทนยาม . . ให ∗ เปนการดาเนนการทวภาคบนเซต G และให A ⊆ G ถา

a ∗ b ∈ A ทก ๆ a, b ∈ A

แลวจะกลาววา เซต A มสมบตปด (closed) ภายใต ∗ หรอ ∗ มสมบตปดบนเซต A

เหนไดวาการบวกและการคณมสมบตปดบนเซตจานวนจรง จานวนเตม และจานวนตรรกยะ

ตวอยาง . . ให E = {0,±2,±4,±6, ...} และ O = {±1,±3,±5, ...} จงตรวจสอบวา E และ Oมสมบตปดภายใตการบวกและการคณหรอไม

ตวอยาง . . พจารณาการดาเนนการตอไปนวามสมบตปดบนเซต N หรอไม

. a ∗ b = a+ b+ 1 . a ∗ b = a+ b− 2


สามารถตรวจสอบสมบตปดโดยใชตารางเคยเลยไดดงนตวอยางตอไปน

ตวอยาง . . จงใชตารางเคยเลยตรวจสอบสมบตปดของตวดาเนนการทวภาคตอไปน

. a ∗ b = 3√ab บน A = {−1, 0, 1}

. B = {1,√2 + 1,

√2− 1} กบการคณ

บทนยาม . . ให ∗ เปนการดาเนนการทวภาคบนเซต G ถา

a ∗ b = b ∗ a ทก ๆ a, b ∈ G

จะกลาววาเซต G มสมบตการสลบท (commutative law) ภายใต ∗ หรอ ∗ มสมบตการสลบทบนเซต G

เหนไดวาการบวกและการคณมสมบตการสบทบนเซตจานวนจรง จานวนเตม และจานวนตรรกยะ

ตวอยาง . . พจารณาการดาเนนทวภาคตอไปนมสมบตการสลบทหรอไม

. กาหนดให a ∗ b = a+ b+ 5 เมอ a, b ∈ N

. กาหนดให a ∗ b = a2 + ab เมอ a, b ∈ Z


การตรวจสอบสมบตการสลบทจากตารางเคยเลย ทาไดโดยลากเสนผานแนวทแยงจากซายบนไปยงขวาลางถาคาแตละคาในตารางสมมาตรกนผานเสนทแยงจะไดสรปไดวาการดาเนนการนนมสมบตปด

ตวอยาง . . กาหนดตารางเคยเลยของการดาเนนทวภาค ∗

. นยาม ∗ บน G1 = {0, 1, 2} ดงน

∗ 0 1 2

0 2 0 0

1 0 1 2

2 1 2 2

. นยาม ⋆ บน G2 = {1, 2, 3} ดงน

⋆ 1 2 3

1 1 3 2

2 3 2 1

3 2 1 3

บทนยาม . . ให ∗ เปนการดาเนนการทวภาคบนเซต G ถา

a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c ทก ๆ a, b, c ∈ G

แลวจะกลาววา เซต G มสมบตการเปลยนกลม (associative law) ทภายใต ∗ หรอ ∗ มสมบตการเปลยนกลมทบนเซต G

เหนไดวาการบวกและการคณมสมบตการเปลยนกลมบนเซตจานวนจรง จานวนเตม และจานวนตรรกยะ

ตวอยาง . . จงตรวจสอบสมบตการเปลยนกลมของการดาเนนทวภาคตอไปน

. กาหนดให a ∗ b = a+ b+ 1 เมอ a, b ∈ N

. กาหนดให a ∗ b = a+ 2b เมอ a, b ∈ Z


บทนยาม . . ให ∗ เปนการดาเนนการทวภาคบนเซต G ถาม e ∈ G ซงสอดคลอง

a ∗ e = a = e ∗ a ทก ๆ a ∈ G

แลวจะกลาววาเซต G ม e เปน เอกลกษณ (identity) ภายใต ∗

สาหรบเซตจานวนจรงการบวกม เปนเอกลกษณ และการคณม เปนเอกลกษณ

ตวอยาง . . จากตารางเคยเลย

∗ 1 2 3

1 1 1 2

2 1 2 3

3 2 3 3

จงหาเอกลกษณของ {1, 2, 3} ภายใต ∗

ตวอยาง . . จงหาเอกลกษณ (ถาม) ของการดาเนนบนเซตในแตละขอตอไปน

. ให a ∗ b = a+ b− 7 เมอ a, b ∈ Z

. ให a ∗ b = 7ab เมอ a, b ∈ Z

. ให a ∗ b = a− 2b เมอ a, b ∈ Q


ทฤษฎบท . . ถา G มเอกลกษณภายใตการดาเนนการ ∗ จะมไดเพยงตวเดยวเทานน

บทนยาม . . ให ∗ เปนการดาเนนการทวภาคบนเซต G ทม e เปนเอกลกษณ ถา a ∈ G และ

ม b ∈ G ซง a ∗ b = e = b ∗ a

จะกลาววา b วาตวผกผน (inverse) ของ a ภายใต ∗ หรอเรยกสน ๆ วา b เปนตวผกผนของ a เขยนสญลกษณดวย a−1

ขอสงเกต . . ถา b เปนตวผกผนของ a ภายใต ∗ แลว a เปนตวผกผนของ b ภายใต ∗ เชนกน

ตวอยาง . . จงหาตวผกผน (ถาม) ของสมาชกทกตวจากตารางเคยเลย

∗ 1 2 3

1 1 2 3

2 2 1 3

3 3 3 3

ตวอยาง . . ให G = {−1, 1,−i, i} เมอ i =√−1 กบการคณ แสดงตารางเคยเลยไดดงน

× −1 1 −i i

−11

−ii

จงหาตวผกผนของสมาชแตละตว


ตวอยาง . . กาหนดให a ∗ b = a+ b− 7 สาหรบ a, b ∈ Z จงหาตวผกผนของ

. 2

. 14

. 19

. x ∈ Z

ทฤษฎบท . . ให n ∈ N สาหรบ a, b ∈ Zn โดยท

a+ b = a+ b และ a · b = a · b

เปนการดาเนนการทวภาคบน Zn และเรยกวาการบวกและการคณบน Zn ตามลาดบ

จากทฤษฎบท . . พสจนไดโดยงายวาการบวกและการคณบน Zn มสมบตการสลบทและเปลยนกลม โดยม 0 เปนเอกลกษณการบวก 1 เปนเอกลกษณการคณ

ตวอยาง . . จงหาตวผกผนสาหรบการบวกและการคณของแตละสมาชกใน Z5

สมาชก ตวผกผน เหตผลการบวก

0

1

2

3

4

สมาชก ตวผกผนการคณ เหตผลการคณ

0

1

2

3

4


แบบฝกหด .. จงตรวจสอบสมบตปดของการดาเนนการทวภาค ∗ บนเซต A ตอไปน

. นยาม a ∗ b = a2 − ab− 2b2

a+ bบน A = N

. นยาม a ∗ b = (a+ b)2 − (a+ b)

2บน A = N

. นยาม a ∗ b = เศษทเหลอจากการหาร a+ b ดวย 7 บน A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

. นยาม a ∗ b = (2a)(2b) บน A = {0, 2, 4, 6, 8, ...}

. นยาม a ∗ b = a+ b

a+ b+ 1บน A = [0, 1]

. จงตรวจสอบสมบตสลบทและเปลยนกลม พรอมหาเอกลกษณและตวผกผน ของการดาเนนการทวภาค ∗ บนเซต G ตอไปน

. G = Z นยาม a ∗ b = a2b+ ab2

. G = R นยาม a ∗ b = a(−1)b +b(−1)a

. G = Q+ นยาม a ∗ b = a√b+ b

√a

. G = R+ นยาม a ∗ b = a2 + ab

a+ b+ ab

. G = Q นยาม a ∗ b = 8ab

. G = Z นยาม a ∗ b = 2a+ 2b

. G = R+ นยาม a ∗ b = 1

a+

1

b. G = Z นยาม a ∗ b = 1− a− b

. G = Z นยาม a ∗ b = a+ b− π

. G = Q นยาม a ∗ b = 5ab

. G = R นยาม a ∗ b = ab+ 1

. G = R นยาม a ∗ b = a+ 2b

. G = Qc นยาม a ∗ b = a+ b√2

. G = R นยาม a ∗ b = a+ b+ ab

. G = R+ นยาม a ∗ b =√a+√b

. G = R+ นยาม a ∗ b = a+ b√a+√b

. จงหาตวผกผนของ −23 , −2, 0, 1,

12 และจานวนตรรกยะทกตวมตวผกผนหรอไม ของการ

ดาเนนการ

นยาม a ∗ b = −ab สาหรบ a, b ∈ Q

. กาหนดให x! (x− y) = x2 + y2 เมอ x, y ∈ R จงหาคาของ 20! (5! 3)

. กาหนดให a⊙ b = 2a+3b เมอ a, b ∈ Q ถาม x, y, z ∈ Q ซง x⊙ (y⊙ z) = (x⊙ y)⊙ z

และ x⊙ z = 3 จงหาคาของ z ⊙ (y ⊙ x)− (z ⊙ y)⊙ x

. กาหนดให a⊗ b = a(a + b) เมอ a, b ∈ Z+ ถา a⊗ b = 55 แลวคามากสดของ b⊗ a

มคาเทาใด

. กาหนดให a⊕ b = a+ b+ 2 เมอ a, b ∈ Z จงหาตวผกผนของ 4 ภายใต ⊕

. กาหนดให a, b, c ∈ R ถาม a เปนอนเวอรสการบวกของ b จงหา c ททาให

4a+ 4b− 2c+ 12 = 0

. จงหาตวผกผนภายใตการคณของ√a+ 1−

√a เมอ a > 0

บทท

กรป

พนฐานทสาคญทางพชคณตนามธรรมคอการศกษาโครงสรางพชคณตทเรยกวา กรป (group)

โดยการพจารณาสมบตของการดาเนนทวภาคบนเซตทสนใจ ดงจะกลาวในหวขอเรมตน และยกตวอยางตาง ๆ ทหลากหลายของกรป ศกษาสมบตเบองตนเกยวกบกรป และศกษากรปสมมาตรซงเปนตวอยางของกรปสลบทไมไดแบบจากด

. นยามและตวอยางของกรป

บทนยาม . . กรป (Group) หมายถงเซต G กบการดาเนนการทวภาค ∗ เขยนแทนดวยคอนดบ

(G, ∗) ทมสมบต ขอตอไปน

. สมบตการเปลยนกลม กลาวคอ

a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c สาหรบทก ๆ a, b, c ∈ G

. การมเอกลกษณ กลาวคอ ม e ∈ G ซง

a ∗ e = a = e ∗ a สาหรบทก ๆ a ∈ G

เรยก e วาเอกลกษณใน G

. การมตวผกผน กลาวคอ ทก ๆ a ∈ G จะม b ∈ G ซง

a ∗ b = e = b ∗ a

เรยก b วาตวผกผนของ a เขยนแทนดวย a−1

ถา (G, ∗) มสมบตขอท เทานนเรยกวา กงกรป (semigroup) ถามสมบตขอท และขอท เรยกวา โมนอยด (monoid)

บทท . กรป

บทนยาม . . ถา (G, ∗) มสมบตการสลบท นนคอ

a ∗ b = b ∗ a สาหรบทก ๆ a, b ∈ G

เรยก (G, ∗) วากรปสลบท (commutative group) หรอ กรปอาบเลยน (abelian group) ซงตงชอเพอเปนเกยรตใหกบนกคณตศาสตรชาวนอรเวยนามวา นลส อเบล (Niels Abel)

บทนยาม . . ถา (G, ∗) เปนกรปโดยท G เปนเซตจากด เรยกวา กรปจากด (finite group) ถาสนใจจานวนสมาชกของเซตG จะกลาววา (G, ∗) เปนกรปจากดอนดบ |G| (finite group of order|G|) ถา G เปนเซตอนนตเรยก (G, ∗) วา กรปอนนต (infinite group)

ตอไปคอตารางแสดงการมสมบตกบการเปนกรปของเซตทเราคนเคยกบการบวกและการคณ

คอนดบ สมบต เอกลกษณ การม ชนดการเปลยนกลม ตวผกผน

(Z,+)

(Q,+)

(R,+)

(C,+)

(Z+,+)

(Q+,+)

(R+,+)

คอนดบ สมบต เอกลกษณ การม ชนดการเปลยนกลม ตวผกผน

(Z, ·)(Q, ·)(R, ·)(C, ·)(Z+, ·)(Q+, ·)(R+, ·)(Z∗, ·)(Q∗, ·)(R∗, ·)(C∗, ·)

ขอสงเกต . . ({0},+) เปนกรปการบวกทเลกทสด และ({1}, ·) เปนกรปการคณทเลกทสด ซงทงคเปนกรปแบบจากดอนดบ

. . นยามและตวอยางของกรป

ตวอยาง . . จงตรวจสอบวา ({−1, 1}, ·) เปนกรปหรอไม

ตวอยาง . . จงตรวจสอบวา (G, ·) เปนกรปหรอไม โดยท G = {−1, 1, i,−i} เมอ i2 = −1

ตวอยาง . . กาหนดให

a ∗ b = a+ b+ 2 เมอ a, b ∈ Z

จงแสดงวา (Z, ∗) เปนกรปอาบเลยน



a ∗ b = 3ab เมอ a, b ∈ Q+

แลว (Q+, ∗) เปนกรปหรอไมเพราะเหตใด


a ∗ b = a+ b+ ab เมอ a, b ∈ R

จงแสดงวา (R, ∗) เปนโมนอยด


ตวอยาง . . ถา G = (−1, 1) กาหนดให

a ∗ b = a+ b

ab+ 1ทก ๆ a, b ∈ G

แลว (G, ∗) เปนกรปหรอไม

ตวอยาง . . ให G = {e, a} และ e เปนเอกลกษณใน G ซง a ∗ a = e

จงแสดงวา (G, ∗) เปนกรปแบบจากดอนดบ


กรปไคลนโฟว

ตอไปจะพจารณากรปลกษณะเดยวกนกบตวอยาง . . แตเพมอนดบเปนให K4 = {e, a, b, c} และ e เปนเอกลกษณใน K4 ซง

a ∗ a = b ∗ b = c ∗ c = a ∗ b ∗ c = e

แลว (K4, ∗) เปนกรป จะเรยกวา กรปไคลนโฟว (Klein -group) ซงจะเหนวาทกสมาชกในกรปมตวผกผนของตวเอง

พจารณา

a ∗ (a ∗ b ∗ c) ∗ a = a ∗ e ∗ a = a ∗ a = e

(a ∗ a) ∗ (b ∗ c ∗ a) = e

e ∗ (b ∗ c ∗ a) = e

b ∗ c ∗ a = e

ในทานองเดยวกนจะไดวา c ∗ a ∗ b = e, a ∗ c ∗ b = e และ b ∗ a ∗ c = e จะไดวา

a ∗ b = (a ∗ b) ∗ e = (a ∗ b) ∗ (c ∗ c) = (a ∗ b ∗ c) ∗ c = e ∗ c = c

a ∗ c =

b ∗ a =

b ∗ c =

c ∗ a =

c ∗ b =

แสดงผลของการดาเนนการดงตาราง

∗ e a b c

e

a

b

c

สรปไดดวยวากรปไคลนโฟวเปนกรปอาบเลยน


กรปของจานวนเตมมอดโล n

ตอไปจะพจารณากรปบนเซตของจานวนเตมมอดโล n หรอ Zn จากทฤษฎบท . . จะไดวา

a+ b = a+ b และ a · b = a · b

เปนการดาเนนการทวภาค และเรยกวาการบวกและการคณใน Zn ตามลาดบ

ทฤษฎบท . . (Zn,+) เปนกรปอาบเลยนแบบจากด

ตวอยาง . . จงหาตวผกผนของทกสมาชกใน (Z8,+)

วธทา แสดงไดดงตาราง

สมาชก ตวผกผนการบวก เหตผล

0

1

2

3

4

5

6

7


ทฤษฎบท . . Zn มสมบตการสลบทและสมบตการเปลยนกลมภายใตการคณ และม 1 เปนเอกลกษณการคณ

กาหนดให Z∗n แทนเซตของจานวนเตมมอดโลทสมาชกไมใช 0 นนคอ

Z∗n = {x ∈ Zn : x = 0}

ตวอยาง . . จงตรวจสอบวา Z∗4 และ Z∗

5 เปนกรปการคณหรอไม

ทฤษฎบท . . (Z∗p, ·) เปนกรปอาบเลยนแบบจากดอนดบ p− 1


ตวอยาง . . จงหาตวผกผนการคณของแตละสมาชกใน Z∗p เมอ p = 2, 3

วธทา แสดงไดดงตารางตอไปน

เซตและสมาชก ตวผกผนการคณ เหตผล

Z∗2

1

Z∗3

1

2

ตอไปจะเปนตารางของตวผกผนการคณของแตสมาชกใน (Z∗p.·) เมอ p = 2, 3, 5, 7

เซตและสมาชก ตวผกผนการคณ เหตผล

Z∗5 1 1 · 1 = 1

1

2

3

4

Z∗7 1 1 · 1 = 1

1

2

3

4

5

6

Z∗11

1 1 1 · 1 = 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10


ตวอยาง . . จงหาตวผกผนการคณของ 13 ใน (Z∗23, ·)

จากนเราจะขยายกรปอาบเลยน Z∗p ไปยงกรณ Z∗

n โดยการเลอกสมาชกใน Z∗n ทมตวผกผนการ

คณเทานน นนคอ a ∈ Z∗n จะมตวผกผนการคณนาจะสอดคลองกบเงอนไข

gcd(a, n) = 1

ดงทฤษฎบทตอไปน

ทฤษฎบท . . ให a เปนสมาชกใน Z∗n จะไดวา

a มตวผกผนการคณ กตอเมอ gcd(a, n) = 1


บทแทรก . . กาหนดให

Z×n = {a ∈ Zn : 0 < a < n และ gcd(a, n) = 1}

แลว (Z×n , ·) เปนกรปอาบเลยนอนดบ φ(n)

ตารางตอไปนจะแสดงตวอยางการแจกแจงสมาชกของ Z×n เมอ n = 2, 3, 4, ..., 10

เซต สมาชก จานวนสมาชก

Z×2 {1} φ(2) = 1

Z×3 {1, 2} φ(3) = 2

Z×4 {1, 3} φ(4) = 2

Z×5 {1, 2, 3, 4} φ(5) = 4

Z×6 {1, 5} φ(6) = 2

Z×7 {1, 2, 3, 4, 5, 6} φ(7) = 6

Z×8 {1, 3, 5, 7} φ(8) = 4

Z×9 {1, 2, 4, 5, 7, 8} φ(9) = 6

Z×10 {1, 3, 7, 9} φ(10) = 4

ตวอยาง . . จงหาจานวนสมาชกของ Z×2500

ตวอยาง . . จงหาตวผกผนการคณของ 51 ใน (Z×100, ·)


กรปของเมทรกซ

เมทรกซ (Matrix) คอสเหลยมผนผาของตวเลข โดยแนวนอนรยกวา แถว (row) แนวตงเรยกวาหลก (column) และขนาดของเมทรกซคอผลคณของจานวนแถวกบจานวนหลก ตวอยางเชน

[−1 3 0 2

1 0 1 0

]

เปนเมทรกซขนาด 2 × 4 เนองจากม แถว และ หลก รปแบบทวไปของเมกทรกซขนาด m × n

เขยนไดเปน ⎡

⎢⎢⎢⎢⎣

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n... ... ...

am1 am2 · · · amn

⎤

⎥⎥⎥⎥⎦

นยมใชอกษรภาษาองกฤษตวพมพใหญแทนเมทรกซ เชนเมทรกซ A ขนาด m× n เขยนแทนดวย

[aij]m×n หรอ [aij]

โดยท aij คอคาของตวเลขในแถวท i หลกท j และในกรณทจานวนแถวเทากบจานวนหลก เรยกวาเมทรกซจตรส (square matrix)

การเทากนของสองเมทรกซหมายถงเมทรกซทมขนาดเดยวกนและทกตาแหนงในเมทรกซทงสองเทากน และเมทรกซศนย (zero matrix) หมายถงทกตาแหนงมคาเปนศนยเขยนแทนดวย 0

บทนยาม . . ให A = [aij] และ B = [bij] เปนเมทรกซทมขนาดเดยวกน และ c เปนจานวนจรงแลวนยาม

. A+B = [aij + bij] . A− B = [aij − bij] . cA = [caij]

กาหนดใหเซตของเมทรกซขนาด m× n เขยนแทนดวย

Mmn(R) = {[aij]m×n : aij ∈ R}

ทฤษฎบท . . ให A และ B เปนเมทรกซทมขนาด m× n และ 0 = [0]m×n จะไดวา

. A+B = B + A

. (A+B) + C = A+ (B + C)

. A+ 0 = A = 0 + A

. A+ (−A) = 0 = (−A) + A

ทฤษฎบท . . (Mmn(R),+) เปนกรปอาบเลยน


บทนยาม . . ให A = [aij] เปนเมทรกซขนาด m × r และ B = [bij] เปนเมทรกซขนาด r × n

แลว

AB =

⎡

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

a11 a12 · · · a1ra21 a22 · · · a2r... ... ...ai1 ai2 · · · air... ... ...

am1 am2 · · · amr

⎤

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎡

⎢⎢⎢⎢⎣

b11 b12 · · · b1j · · · b1nb21 b22 · · · b2j · · · b2n... ... ... ...br1 br2 · · · brj · · · brn

⎤

⎥⎥⎥⎥⎦= [cij]m×n

โดยท cij = ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ airbrj


A =

[1 2 3

0 1 2

]และ B =

⎡

⎢⎣2 3

1 1

1 0

⎤

⎥⎦

จงหา AB และ BA

วธทา

AB =

[1 2 3

0 1 2

]⎡

⎢⎣2 3

1 1

1 0

⎤

⎥⎦ =

BA =

⎡

⎢⎣2 3

1 1

1 0

⎤

⎥⎦

[1 2 3

0 1 2

]=

จากตวอยาง . . แสดงใหเหนวา AB ไมเทากบ BA สาหรบ A,B และ C เปนเมทรกซจตรสทมขนาดเดยวกน จากสมบตการคณของเมทรกซจะไดวา

A(BC) = (AB)C

และนยาม I เปนเมทรกซเอกลกษณการคณซงมขนาด n× n โดยท

I =

⎡

⎢⎢⎢⎢⎣

1 0 0 · · · 0 0

0 1 0 · · · 0 0... ... ... ... ...0 0 0 · · · 0 1

⎤

⎥⎥⎥⎥⎦

ดงนนสาหรบเมทรกซ A ขนาด n× n จะไดวา AI = A = IA ทาใหไดวา (Mnn(R), ·) เปนโมนอยด

สาหรบเมทรกซ A =

[a b

c d

]เมอ ad − bc = 0 จะไดวา A มตวผกผนการคณ เขยนแทนดวย

A−1 โดยท

A−1 =1

ad− bc

[d −b−c a

]


และเรยกคา ad− bc วา ดเทอรมแนนท (determinant) ของเมทรกซ A เขยนแทนดวย det(A) ในทางเมทรกซจะนยามดเทอรมแนนทสาหรบเมทรกซจตรสเทานน และสามารถพสจน

เมเทรกซจตรส A มตวผกผนการคณ กตอเมอ det(A) = 0

จากสมบตดงกลาวทาใหไดขอสรปตามทฤษฎบทตอไปน

ทฤษฎบท . . (GLn(R), ·) เปนกรป โดยท

GLn(R) = {A ∈Mnn(R) : det(A) = 0}

และเรยกวา กรปเชงเสนทวไป (the general linear group)

จะเหนไดวากรปเชงเสนทวไปไมเปนกรปอาบเลยน เนองจากการคณของเมทรกซไมมสมบตการสลบท แตเมอจากดสมาชกของกรปและมสมบตสอดคลองนยามของกรปไคลนโฟวจะไดกรปอาบเลยนดงตวอยางตอไปน

ตวอยาง . . ให G = {I, A,B,C} ซง

I =

[1 0

0 1

], A =

[1 0

0 −1

], B =

[−1 0

0 1

]และ C =

[−1 0

0 −1

]

จงแสดงวา (G, ·) เปนกรปไคลนโฟว


กรปของฟงกชน

สาหรบ A ⊆ R โดยท A = ∅ กาหนดให

C[A] = {f : A→ R : f เปนฟงกชนตอเนอง }

ให f : A→ R และ g : A→ R นยามการบวกการคณดงน

(f + g)(x) = f(x) + g(x) และ (f · g)(x) = f(x) · g(x) ทก ๆ x ∈ A

ถา f, g เปนฟงกชนตอเนอง โดยสมบตของฟงกชนจะไดวา f + g และ fg เปนฟงกชนตอเนอง

ทฤษฎบท . . (C[A],+) เปนกรปอาบเลยน และ(C[A], ·) เปนโมนอยด

ให A ⊆ R โดยท A = ∅ กาหนดให

SA = {f : A→ A : f เปนฟงกชน - แบบทวถง }

ตวอยาง . . (SA,+) และ (SA, ·) เปนกรปหรอไม

พจารณาการดาเนนการคอมโพสทตามบทนยาม . . นนคอ

(f ◦ g)(x) = f(g(x))

ถา f, g, h : A → A เปนฟงกชน - แบบทวถง โดยสมบตของฟงกชนจะไดวา f ◦ g เปนฟงกชน- แบบทวถง และ f−1 เปนฟงกชน - แบบทวถง และ

f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h

การพสจนเวนไวเปนแบบฝกหดจากสมบตทไดดงกลาวทาใหไดวาทฤษฎบทตอไปน

ทฤษฎบท . . (SA, ◦) เปนกรป ซงเรยกวา กรปสมมาตร (symmetric group)


กรปของเซตยอย

ให D เปนเซต จะไดวาการดาเนนการ ∪, ∩ และ − เปนการดาเนนการทวภาคบนเซตกาลง P(D)

ตวอยาง . . ให D = ∅ จงตรวจสอบวาขอใดตอไปนเปนกรป

. (P(D),∪)

. (P(D),∩)

. (P(D),−)


ให A และ B เปนเซต นยาม ผลตางสมมาตร (symmetric difference) ของ A และ B เขยนแทนดวย A △ B โดย

A △ B = (A−B) ∪ (B − A)

จะเหนไดวา B △ A = (B−A)∪ (A−B) = (A−B)∪ (B−A) = A △ B ดงนนผลตางสมมาตรมสมบตการสลบท และ △ เปนการดาเนนการทวภาคบน P(D)

ทฤษฎบท . . ผลตางสมมาตรมสมบตการเปลยนกลม

ทฤษฎบท . . ให D = ∅ แลว (P(D),△) เปนกรปอาบเลยน



. พจารณา (G, ∗) ทกาหนดใหตอไปน เปนกรป กงกรป หรอโมนอยด

. G = Z นยาม a ∗ b = a+ b− 3

. G = Z นยาม a ∗ b = a+ 2b

. G = R∗ นยาม a ∗ b = 5ab

. G = Q นยาม a ∗ b = ab

4

. G = Q นยาม a ∗ b = a+ b

7

. G = Q+ นยาม a ∗ b = 3a

b

. G = N นยาม a ∗ b = min{a, b} หมายถงสมาชกตวนอยสดใน {a, b}

. G = N นยาม a ∗ b = max{a, b} หมายถงสมาชกตวมากสดใน {a, b}

. G = C นยาม (a+ bi) ∗ (c+ di) = (a+ c) + (b+ d)i

. G = Zn นยาม a ∗ b = a+ b+ 1 เมอ n = 3, 4, 5, 6

. G = Zn นยาม a ∗ b = a− b เมอ n = 3, 4, 5, 6

. ให G = {x ∈ R : x = −1} นยาม a ∗ b = a+ b+ ab จงแสดงวา (G, ∗) เปนอกรปอาบเลยน

. จงหาตวผกผนการบวกของทกสมาชกใน Z9 และ Z12

. จงหาตวผกผนการคณของทกสมาชกใน Z∗13 และ Z×

15

. จงหาตวผกผนการคณของสมาชกตอไปนใน (Z×100, ·)

. 29 . 61 . 73 . 99

. จงหาจานวนสมาชกของเซต

. Z×600 . Z×

1500 . Z×4900 . Z×

625000

. ให M =

[1 1

0 1

]และ B = {X ∈M22(R) : MX = XM} แลว (B, ·) เปนกรปหรอไม

. ให a เปนคาคงตว และ Ga = {f : R→ R : f(x) = ax} แลว (Ga, ◦) เปนกรปหรอไม

. ให G = {z ∈ C : zn = 1 สาหรบบาง n ∈ Z+} แลว (G,+) และ (G, ·) เปนกรปหรอไม

. ให G = {a+ b√2 : a, b ∈ Q} แลว (G,+) และ (G− {0}, ·) เปนกรปหรอไม

. ให G = {An : A ∈ GL2(R) และ n ∈ N ∪ {0}} และ A0 = I แลว (G, ·) เปนกรปหรอไม

. ถา D = {a, b} แลว (P(D),△) เปนกรปไคลนโฟวปหรอไม

. . สมบตเบองตนของกรป

. สมบตเบองตนของกรป

ในหวขอนจะกลาวถงสมบตเบองตนเกยวกบกรปซงจะนาไปใชพสจนทฤษฎบททสาคญตาง ๆ

ตอไป ในทนการกลาวถงผลการดาเนนการ a ∗ b ในกรป (G, ∗) จะเขยนดวย ab และกลาววา G เปนกรปโดยไมใชคอนดบแตกลาวถงเฉพาะเซตเทานน แตใหเขาใจวามตวดาเนนการทวภาคหนงคกบเซตนเสมอ และใช e แทนดวยเอกลกษณของกรป

ทฤษฎบท . . ให G เปนกรป จะไดวา

. เอกลกษณใน G มเพยงตวเดยว เขยนแทนดวย e

. สาหรบแตละ a ∈ G จะมตวผกผนของ a เพยงตวเดยว เขยนแทนดวย a−1

ทฤษฎบท . . ให G เปนกรป และ a, b ∈ G จะไดวา

. (a−1)−1 = a . (ab)−1 = b−1a−1


ตวอยาง . . ให G เปนกรป และ a, b, c ∈ G จงพสจนวา (abc)−1 = c−1b−1a−1

ทฤษฎบท . . กฎการตดออก (Law of Cancellation)ให G เปนกรป และ a, b, c ∈ G

. ถา ac = bc แลว a = b

. ถา ca = cb แลว a = b

บทแทรก . . ให G เปนกรป และ a, b ∈ G จะไดวา

. ถา ab = a แลว b = e

. ถา ab = b แลว a = e

ทฤษฎบท . . ให G เปนกรป และ a, b ∈ G จะไดวา

. ม x ∈ G เพยงตวเดยวทสอดคลองสมการ ax = b

. ม y ∈ G เพยงตวเดยวทสอดคลองสมการ ya = b


ทฤษฎบท . . ให G เปนกงกรป จะไดวา G เปนกรป กตอเมอ ทก ๆ a, b ∈ G

ม x ∈ G ซง ax = b และ ม y ∈ G ซง ya = b

ตวอยาง . . ให G เปนกรป และ a, b ∈ G โดยท c = c−1 จงแสดงวา

ab = c กตอเมอ abc = e


ในกรณท a เปนสมาชกในกรปการบวก แลวตวผกผน a−1 นยมเขยนแทนดวย −a โดยท

a+ a+ · · ·+ a︸︷︷︸n ตว

เขยนแทนดวย na

−a− a− · · ·− a︸︷︷︸n ตว

เขยนแทนดวย −na

นยมเขยน 0 แทนเอกลกษณการบวก และ 1 แทนเเอกลกษณการคณจากการนยามขางตนถา a ∈ G โดย m,n ∈ Z+ จะไดสมบตคลายสมบตของเลขยกกาลงดงน

. aman = am+n . (am)n = amn . (am)−1 = (a−1)m

การพสจนเวนไวเปนแบบฝกหด . ขอ

ตวอยาง . . ให G เปนกรป และ a ∈ G จงแสดงวา

a2 = a กตอเมอ a = e

บทนยาม . . ให G เปนกรป และ a ∈ G ถามจานวนเตมบวก n ทนอยทสดททาให

an = e หรอ n = min{k ∈ N : ak = e}

จะเรยก n วา อนดบ (order) ของ a เขยนแทนดวย ◦(a) ในกรณทไมมจานวนเตมบวกทสอดคลองเงอนไขดงกลาวใหเรยก a วาม อนดบอนนต (infinite order) เขยนแทนดวย ◦(a) =∞

ขอสงเกต . . ◦(a) = 1 กตอเมอ a = e

ตวอยาง . . จงแสดงวาทกสมาชกในกรป (Z,+) มอนดบอนนต ยกเวน 0

ตวอยาง . . จงแสดงวาทกสมาชกในกรป (Q∗, ·) มอนดบอนนต ยกเวน −1 และ 1

ในทานองเดยวกนทกสมาชกในกรป (R∗, ·) มอนดบอนนต ยกเวน −1 และ 1


ตวอยาง . . จงหาอนดบของสมาชกตอไปในกรป (C∗, ·)

. i และ −i

.√2

2+

√2

2i

. 1

2−√3

2i


ตวอยาง . . จงหาอนดบของทกสมาชกใน Zn เมอ n = 2, 3, 4 ภายใตการบวก


เซตและสมาชก อนดบ เหตผลZ2

0

1

Z3

0

1

2

Z4

0

1

2

3

ขอสงเกต 2(1) = 1 + 1 = 1 + 1 = 2(1) ทานองเดยวกนทาใหไดวา n(a) = na

ตอไปเปนตวอยางอนดบของทกสมาชกใน Zn เมอ n = 5, 6 ภายใตการบวก

เซตและสมาชก อนดบ เหตผลZ5

0 1 0 = 1(0)

1

2

3

4

Z6

0 1 0 = 1(0)

1

2

3

4

5

ทฤษฎบท . . ให a เปนสมาชกของกรป G จะไดวา a และตวผกผนของ a มอนดบเดยวกน


ตวอยาง . . จงหาอนดบของทกสมาชกใน Z∗p เมอ p = 2, 3 ภายใตการคณ


เซตและสมาชก อนดบ เหตผลZ∗2

1

Z∗3

1

2

ตอไปเปนตวอยางอนดบของทกสมาชกใน Z∗p เมอ n = 5, 7 ภายใตการคณ

เซตและสมาชก อนดบ เหตผลZ∗

5

1 1 เนองจาก 1 เปนเอกลกษณ2

3

4

Z∗7

1 1 เนองจาก 1 เปนเอกลกษณ2

3

4

5

6

ตารางท แสดงอนดบของสมาชกใน Z∗p เมอ n = 5, 7

ตวอยาง . . จงหาอนดบของสมาชกตอไปนใน (Z12,+)

. 2 . 3 . 5 . 9 . 10


สมาชก อนดบ เหตผล2

3

5

9

10


ตวอยาง . . จงหาอนดบของสมาชกตอไปนใน (Z×40, ·)

. 3

. 7

. 11

. 13

. 29


ตวอยาง . . จงหาอนดบของสมาชกตอไปนใน (GL2(R), ·)

. A =

[1 1

0 −1

]

. B =

[−1 1

0 1

]

. C =

[1 0

0 −1

]

ทฤษฎบท . . ให a เปนสมาชกของกรป G ถา ◦(a) = m แลวจะไดวา

สาหรบ k ∈ Z ซง ak = e กตอเมอ m | k



. ให G เปนกรป และ a1, a2, ..., an ∈ G จงแสดงวา (a1a2...an)−1 = a−1n ...a−1

2 a−11

. ให x ∈ G จงพสจนวา x2 = e กตอเมอ ◦(x) เทากบ หรอ

. ให G เปนกรป และ x, y ∈ G จงพสจนวาขอความทง ขอสมมลกน

( ) xy = yx ( ) y−1xy = x ( ) x−1y−1xy = 1

. ให G เปนกรป และ a ∈ G โดยท m,n ∈ Z+ จงแสดงวา

. aman = am+n . (am)n = amn . (am)−1 = (a−1)m

. ให G เปนกรป และ a, x, y ∈ G จงพสจนวา

. a = a−1 กตอเมอ a2 = e . ถา xya = a−1 แลว yax = a−1

. จงพสจนวา ถา x2 = e ทก ๆ x ∈ G แลว G เปนกรปอาบเลยน

. จงพสจนวา ถา (G, ∗) เปนกงกรป ทสอดคลอง เงอนไขตอไปน

( ) ม x ∈ G ซง x ∗ a = a ทก ๆ a ∈ G

( ) สาหรบแตละ a ∈ G ม b ∈ G ซง b ∗ a = x

แลว (G, ∗) เปนกรป

. จงหาอนดบของสมาชกตอไปในกรป (C∗, ·)

.√2

2−√2

2i . −

√3

2+

1

2i . 1

2+

√3

2i

. ให a = 0 เปนสมาชกของกรป (Zn,+) จงแสดงวา

◦(a) = n กตอเมอ gcd(a, n) = 1

. จงหาอนดบของทกสมาชกใน (Z15,+) และ (Z∗11, ·)

. จงหาอนดบของสมาชกตอไปนใน Z19

3, 5, 7, 9, 12, 16, 23, −5, −11, −19, −14

. จงหาอนดบของสมาชกตอไปนใน Z×45

1, 7, 9, 11, 13, 31, 27, −7, −21, −39, −41

. จงหา x ∈ R เมทรกซ[sinx cosxcosx −sinx

]ใน (GL2(R), ·) มอนดบเปน

. . ผลคณตรงของกรป

. ผลคณตรงของกรป

สาหรบจานวนจรง a และ b โดยท i2 = −1 จะไดวา z = a + bi เปนจานวนเชงซอน เมอเขยนในรป (a, b) จะหมายถงคอนดบในระนาบเชงซอน นนหมายความวา (a, b) ∈ R× R โดยนยามการบวกและการคณดงน

(a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d)

(a, b) · (c, d) = (ac− bd, ad+ bc)

ซงสอดคลองกบการบวกและการคณในจานวนเชงซอน เนองจาก (C,+) เปนกรป เราจะไดวาR×Rกบการบวกดงกลาวเปนกรปดวย ในหวขอนจงขยายแนวคดไปยงการดาเนนการใด ๆ บนผลคณคารทเซยน

ตวอยาง . . ให G = R× R∗ กาหนดให

(a, b) ∗ (c, d) = (ad+ bc, bd)

จงแสดงวา (G, ∗) เปนกรปอาบเลยน


ตวอยาง . . ให G = R∗ × R กาหนดให

(a, b) ∗ (c, d) = (ac, bc+ d)

แลว (G, ∗) เปนกรปหรอไม


การขยายแนวคดไปยงการพจารณา G1 ×G2 เมอ (G1, ⋄) และ (G2,#) เปนกรป โดยนยาม

(a, b) ∗ (c, d) = (a ⋄ c, b# d) ( . )

จากนนจะพสจนไดโดยงายวา (G1 ×G2, ∗) เปนกรป ดงทฤษฎบทตอไปน

ทฤษฎบท . . ให (G1, ⋄) และ (G2,#) เปนกรป ถานยามการดาเนน ∗ ดงสมการ . แลว(G1 ×G2, ∗) เปนกรป และเรยก G1 ×G2 วา ผลคณตรงของกรป (direct product of group)


สาหรบกรปการบวกใน Zn × Zm นยาม

(a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d)

และสาหรบกรปการคณใน Z×n × Z×

m นยาม

(a, b) · (c, d) = (a · c, b · d)

ตวอยาง . . จงหาตวผกผนและอนดบของทกสมาชกในกรป Z2 × Z3

ตวอยาง . . จงหาตวผกผนและอนดบ (3, 7) ในกรปการคณ Z∗5 × Z∗

11



. จงตรวจสอบ (G, ∗) เปนกรปหรอไม

. G = Z× Z กาหนดให (a, b) ∗ (c, d) = (a+ b, ab)

. G = Z× Z กาหนดให (a, b) ∗ (c, d) = (a+ c, b+ d)

. G = R∗ × R∗ กาหนดให (a, b) ∗ (c, d) = (ac, bd)

. G = Q×Q∗ กาหนดให (a, b) ∗ (c, d) = (a+ b+ 1, 2ab)

. G = Q×Q กาหนดให (a, b) ∗ (c, d) = (a+ c− 3, b+ d+ 3)

. G = R× R กาหนดให (a, b) ∗ (c, d) = (a+ b+ ab, ab+ 1)

. G = R× R กาหนดให (a, b) ∗ (c, d) = (ac− bd, ad+ bc)

. จงหาตวผกผนและอนดบของทกสมาชกใน

. กรปการบวก Z2 × Z4 . กรปการคณ Z∗3 × Z×

4

. จงหาตวผกผนและอนดบ (5, 9) ในกรปการคณ Z∗7 × Z∗

13

. ให G1 เมอ G2 เปนกรป โดยท (a, b) ∈ G1 ×G2 ถา ◦(a) = m และ ◦(b) = n จงแสดงวา

◦((a, b)) = ℓcm(n,m)


. กรปการเรยงสบเปลยน

ในหวขอนจะศกษากรปสมมาตร (SA, ◦) ตามทฤษฎบท . . โดยสนใจกรณท A เปนเซต

จากด ดงบทนยามตอไปน

บทนยาม . . ให A เปนเซตจากดทไมใชเซตวาง กาหนดให

SA = {σ : A→ A : σ เปนฟงกชน - แบบทวถง }

แลว SA เปนกรปภายใตการดาเนนการ ◦ เรยกวา กรปการเรยงสบเปลยน (permutation group)สมาชก σ ใน SA จะเรยกวา วธเรยงสบเปลยน (permutation) ของ A

สาหรบกรณ A = {1, 2, ..., n} กรปสมมาตร A เขยนแทนดวย Sn และเขยน σ : A→ A โดย

σ =

(1 2 3 ... n

σ(1) σ(2) σ(3) ... σ(n)

)

จะไดตวผกผนของ σ คอ σ−1 : A→ A เขยนไดเปน

σ−1 =

(σ(1) σ(2) σ(3) ... σ(n)

1 2 3 ... n

)

เอกลกษณของ Sn เขยนแทนดวย (1) หมายถง

(1) =

(1 1 3 ... n

1 2 3 ... n

)

ตวอยาง Sn เมอ n = 1, 2, 3

S1 =

{(1

1

)}

S2 =

{(1 2

1 2

),

(1 2

2 1

)}

S3 =

{(1 2 3

1 2 3

),

(1 2 3

1 3 2

),

(1 2 3

2 1 3

),

(1 2 3

2 3 1

),

(1 2 3

3 1 2

),

(1 2 3

3 2 1

)}

เมอพจารณา α =

(1 2 3

2 1 3

)และ α =

(1 2 3

3 1 2

)แลว

α ◦ β =

(1 2 3

2 1 3

)◦(1 2 3

3 1 2

)=

(1 2 3

3 2 1

)

ผลของ α ◦ β หาไดจากขวาไปซาย ดงนนถานยาม βα = α ◦ β จะทาใหการหาผลดงกลาวจากซายไปขวาได ดงบทนยามตอไปน

. . กรปการเรยงสบเปลยน

บทนยาม . . ให α, β ∈ Sn เมอ n ∈ N แลว ผลคณ (product) ของ α และ β คอ β ◦ α เขยนแทนดวย αβ นนคอ

αβ = β ◦ α

สาหรบ k ∈ N ผลคณของ α จานวน k ตวเขยนแทนดวย αk และ α0 = (1)

α−1 เขยนแทนตวผกผนของ α และผลคณของ α−1 จานวน k ตวเขยนแทนดวย α−k

ขอสงเกต . . (Sn, ·) เปนกรปทมอนดบเปน n! นนคอ |Sn| = n!

ตวอยาง . . ให α =

(1 2 3

1 3 2

)และ β =

(1 2 3

3 1 2

)เปนสมาชกใน S3 จงหาผลคณตอไปน

. αβ

. βα

. α−1

. β−1

. α2

. β3

. α−3

. α6


บทนยาม . . ให A = {1, 2, 3, ..., n} โดยท a1, a2, ..., am เปนสมาชกของ A ทแตกตางกนจะเรยก (a1 a2...am) วา วฏจกร (cycle) ซงความหมายวา

a1 .→ a2, a2 .→ a3, ..., am−1 .→ am และ am .→ a1

เขยนแทนดวยa1 .→ a2 .→ a3 .→ · · · .→ am .→ a1

โดยททก ๆ สมาชก a ∈ A− {a1, a2, ..., am} จะสงคาฟงกชนไปยงคาเดมหรอ a .→ a

เรยก m วา ความยาว (length) ของวฏจกร (a1 a2...am) สาหรบเอกลกษณเขยนแทนดวย (1)

ตวอยางใน S5 วฏจกร (1 2 4) หมายถง(1 2 3 4 5

2 4 3 1 5

)

โดยนยามจะไดวาวฎจกร (1 2 4) มความหมายเดยวกบ (4 1 2) และ (2 4 1)

สาหรบตวผกผนของวฏจกร (a1a2...am) คอ

(a1a2...am)−1 = (am am−1...a1)

ตวอยางเชน (2 1 5 3)−1 = (3 5 1 2)

ตวอยาง . . จงเขยนวฏจกรตอไปนในรปวธเรยงสบเปลยน

. (1 3 2) ∈ S3

. (1 3 4 2) ∈ S4

. (1 4 5) ∈ S5

. (1 5 3 6) ∈ S7

ตวอยาง . . จงเขยนวฏจกรตอไปนในรปวธเรยงสบเปลยน

.(1 2 3

1 3 2

)

.(1 2 3 4

3 4 2 1

)

.(1 2 3 4 5 6

6 2 1 3 5 4

)

.(1 2 3 4 5 6 7

1 4 3 7 5 6 2

)


ตวอยาง . . จงหาผลคณของวฏจกรตอไปน ใน S5

. (1 2 3)(4 5)

. (1 3)−1(2 5)

. (2 3 4)(5 3 1)

. (1 4)(1 3 4)−1

การเขยนวธเรยงสบเปลยนบางครงอาจไมสามารถเขยนในรปวฏจกรเดยวได เชน(1 2 3 4 5

3 2 1 5 4

)

เขยนไดเปนในรปผลคณสองวฏจกรคอ (1 3)(4 5)

บทนยาม . . ถา α และ β เปนวฎจกรไมมสมาชกซากนจะกลาววา α และ β เปน วฏจกรตางสมาชก (disjoint cycle)

ตวอยาง . . จงเขยนฟงกชนตอไปนในรปวฏจกรตางสมาชก

.(1 2 3 4

3 4 1 2

)

.(1 2 3 4 5

2 4 5 1 3

)

.(1 2 3 4 5 6 7

1 6 2 7 3 5 4

)

.(1 2 3 4 5 6 7 8

7 5 3 6 2 4 1 8

)


ตอไปจะแสดงสมาชกในรปวฏจกรตางสมาชกของ Sn เมอ n = 1, 2, 3, 4 ดงตารางตอไปน

เซต |Sn| สมาชกS1 1 (1)

S2 2 (1)

(1 2)

S3 6 (1)

(1 2), (1 3), (2 3)

(1 2 3), (1 3 2)

S4 24 (1)

(1 2), (1 3), (1 4), (2 3), (2 4), (3 4)

(1 2 3), (1 2 4), (1 3 4), (2 3 4), (1 3 2), (1 4 2), (1 4 3), (2 4 3)

(1 2 3 4), (1 3 4 2), (1 4 2 3), (4 3 2 1), (2 4 3 1), (3 2 4 1)

(1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)

ทฤษฎบท . . ถา α, β ∈ Sn เปนวฏจกรตางสมาชก จะไดวา

. αβ = βα . (αβ)−1 = α−1β−1


ตวอยาง . . จงหาอนดบของสมาชกตอไปน

. (1 2) ∈ S2

. (1 2 3) ∈ S3

ทฤษฎบท . . ถา α มความยาว m แลวจะไดวา ◦(α) = m


ตวอยาง . . จงหาอนดบของสมาชกตอไปน S5

. (1 2) . (1 2 3) . (1 2 3 5)

ตวอยาง . . จงหาอนดบของสมาชกตอไปนใน S5

. (1 2)(3 4 5)

. (1 2)(3 2 1)


ทฤษฎบท . . ให α และ β เปนวกจกรตางสมาชกกน โดยแตละวฏจกรมความยาว m และ k

ตามลาดบ แลว

◦(αβ) = ℓcm(m, k)

บทแทรก . . ให α1, α2, ..., αk เปนวฏจกรตางสมาชกกน โดยแตละวฏจกรมความยาวm1, m2,..., mk ตามลาดบ แลว

◦(α1α2 · · ·αk) = ℓcm(m1,m2, ...,mk)


ตวอยาง . . จงหาอนดบของสมาชกตอไปนใน S6

. (1 2 4)(3 6)

. (1 2 4)(3 5 6)

. (1 2)(3 4)(5 6)

. (1 2)(3 4)(1 5)

ตวอยาง . . จงหาอนดบ (1 12 8 10 4)(2 13)(5 11 7)(6 9) ใน S13



. ให α, β และ γ เปนวธเรยงสบเปลยน จงหาก. αβ

ข. βα

ค. αγ

ง. α−1

จ. β−1

ฉ. γ−1

ช. βα−1γ

ซ. α2γβ−1

ฌ. α−2γβ−1

เมอกาหนดให

. α =

(1 2 3

2 1 3

)β =

(1 2 3

3 1 2

)γ =

(1 2 3

2 3 1

)

. α =

(1 2 3 4

3 2 1 4

)β =

(1 2 3 4

2 1 4 3

)γ =

(1 2 3 4

4 1 2 3

)

. α =

(1 2 3 4 5

5 3 2 1 4

)α =

(1 2 3 4 5

4 3 5 1 2

)α =

(1 2 3 4 5

2 3 5 1 4

)

. จงเขยนวธสบเปลยนตอไปนในรปวฏจกรหรอผลคณของวฏจกร

.(1 2 3

2 1 3

)

.(1 2 3 4 5

3 4 2 5 1

)

.(1 2 3 4 5

5 4 3 3 2

)

.(1 2 3 4 5 6

1 5 2 4 6 3

)

.(1 2 3 4 5 6

2 1 5 3 6 4

)

.(1 2 3 4 5 6 7

1 5 2 3 6 7 4

)

.(1 2 3 4 5 6 7

6 4 5 2 7 3 1

)

.(1 2 3 4 5 6 7 8

8 3 6 5 4 7 2 1

)

.(1 2 3 4 5 6 7 8 9

3 7 2 9 4 5 6 1 8

)

.(1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 8 3 1 3 6 4 5 7

)

. จงหาตวผกผนของวธสบเปลยนตอไปน

. (1 4 5 2)

. (3 1 5 4)

. (2 1 4 2)(1 5 6)

. (1 4)(3 1)(5 2)(2 3)

. จงหาอนดบของวธสบเปลยนตอไปน

. (1 3 4 5)

. (2 3)(3 4)

. (4 5 3 1)

. (1 2)(1 3)(2 4)

. (5 4)(1 2)(1 4)(2 3)

. (1 9)(2 3 5)(3 7 8)


. ให α1, α2, ..., αk เปนวฏจกรตางสมาชกกน โดยแตละวฏจกรมความยาว m1, m2,..., mk

ตามลาดบ แลว

◦(α1α2 · · ·αk) = ℓcm(m1,m2, ...,mk)

. ให α และ β เปนวฏจกรตางสมาชกกน โดยแตละวฏจกรมความยาว m และ k ตามลาดบ ใหd เปนจานวนเตมบวก จงแสดงวา

. (αβ)d = (1) กตอเมอ αd = (1) และ βd = (1)

. ถา (αβ)d = (1) แลว d ≥ m และ d ≥ k

บทท

กรปยอย

ในบทนเราสนใจเซตยอยของกรปซงยงคงเปนกรปเรยกวา กรปยอย (Subgroup) และศกษา

วาในกรณกรปจากดจะวธการเชนใดทจะทาใหทราบจานวนทงหมดของกรปยอย และกรปยอยในแตละกรปจะมรปแบบเชนใด อนนาไปสสมบตตาง ๆ ทจะอธบายโครงสรางเกยวกบกรปไดอยางสมบรณ

. นยามและตวอยางของกรปยอย

บทนยาม . . ให (G, ∗) เปนกรป และ H ⊆ G จะกลาววา H เปน กรปยอย (subgroup) ของ Gเขยนแทนดวย H ≤ G ถา (H, ∗) เปนกรป

ขอสงเกต . . ให H ⊆ G เมอ (G, ∗) เปนกรป

. ถา H ≤ G แลว H = ∅

. ∗ มสมบตการเปลยนกลมใน H

. ถา G เปนกรปอาบเลยน แลวทก ๆ กรปยอยของ G เปนกรปอาบเลยน

. H = {e} เปนกรปยอยเสมอ เรยกวา กรปยอยแบบแจมชด (trivial subgroup) ของ G

. ถา H = G แลว H ≤ G

ตวอยางกรปยอยภายใตการดาเนนการบวก

Z ≤ Q, Z ≤ R, Q ≤ R, Q ≤ C และ R ≤ C

ตวอยางกรปยอยภายใตการดาเนนการคณ

Z∗ ≤ Q∗, Q+ ≤ R∗ และ R∗ ≤ C∗

เมอกลาวถงกรปของ Zn จะหมายถงกรปของเซตดงกลาวกบการบวก และ Z∗p หรอ Z×

n จะหมายถงกรปของเซตเซตดงกลาวการคณ สาหรบ p เปนจานวนเฉพาะ และ n เปนจานวนนบ

บทท . กรปยอย

ตวอยาง . . จงหากรปยอยทงหมดของ Z3

ตวอยาง . . จงตรวจสอบวาเซตยอยในขอใดตอไปนเปนกรปยอยของ Z6

. H1 = {0, 3}

. H2 = {0, 1, 4}

. H3 = {0, 2, 4}

. . นยามและตวอยางของกรปยอย

ตวอยาง . . จงหากรปยอยทงหมดของ S2

ตวอยาง . . จงแสดงวา H = {(1), (1 2 3), (1 3 2)} เปนกรปยอย S3

ตอไปเปนการแสดงกรปยอยทงหมดของ S3

กรปยอย จานวนสมาชก (อนดบ){(1)}{(1), (1 2)}{(1), (1 3)}{(1), (2 3)}{(1), (1 2 3), (1 3 2)}


ทฤษฎบท . . เกณฑการพจารณากรปยอย (The Subgroup Criterion)

ให H เปนเซตยอยของกรป G โดยท H = ∅ แลวจะไดวาขอความตอไปนสมมลกน

. H ≤ G

. ab−1 ∈ H สาหรบทก ๆ a, b ∈ H

. ab ∈ H และ a−1 ∈ H สาหรบทก ๆ a, b ∈ H

จากทฤษฎบท . . จะไดวากรปยอย H มเอกลกษณตวเดยวกบ G และสรปการตรวจสอบวา

H กรปยอยดวยสมบต ขอตอไปน

. e ∈ H

. H มสมบตปด

. ตวผกผนทกตวของสมาชกใน H เปนสมาชกใน H



ตอไปจะเปนตวอยางของกรปยอยทงหมดของกรป Zn เมอ n = 1, 2, 3, ..., 12

Zn กรปยอยทงหมด จานวนกรปยอยn = 1 Z1

n = 2 {0}, Z2

n = 3 {0}, Z3

n = 4 {0}, {0, 2}, Z4

n = 5 {0}, Z5

n = 6 {0}, {0, 3}, {0, 2, 4}, Z6

n = 7 {0}, Z7

n = 8 {0}, {0, 4}, {0, 2, 4, 6}, Z8

n = 9 {0}, {0, 3, 6}, Z9

n = 10 {0}, {0, 5}, {0, 2, 4, 6, 8}, Z10

n = 11 {0}, Z11

n = 12 {0}, {0, 6}, {0, 4, 8}, {0, 2, 4, 6, 8, 10}, {0, 3, 6, 9}, Z12

ตวอยาง . . จงหากรปยอยทงหมดของ Z∗5


ตอไปจะเปนตวอยางของกรปยอยทงหมดของกรป Z×n เมอ n = 2, 3, ..., 12

Z×n กรปยอยทงหมด จานวนกรปยอย

n = 2 Z×2

n = 3 {1}, Z×3

n = 4 {1}, Z×4

n = 5 {1}, {1, 4} , Z×5

n = 6 {1}, Z×6

n = 7 {1}, {1, 6}, {1, 2, 4}, Z×7

n = 8 {1}, {1, 3}, Z×8

n = 9 {1}, {1, 8}, {1, 4, 7}, Z×9

n = 10 {1}, {1, 9}, Z×10

n = 11 {1}, {1, 10}, {1, 3, 4, 5, 9}, Z×11

n = 12 {1}, {1, 5}, Z×12

ตารางท แสดงตวอยางของกรปยอยทงหมดของกรป Z×n เมอ n = 2, 3, ..., 12

ทฤษฎบท . . ให nZ = {nk : k ∈ Z} เมอ n ∈ Z จะไดวา nZ เปนกรปยอยของ (Z,+)

มากไปกวานนเราพสจนไดวากรปยอยของ Z จะมรปแบบเปน nZ เสมอ (แบบฝกหด) หรอกลาวอกนยไดวา ทก ๆ กรปยอยของ Z จะมรปแบบเดยวคอ nZ สาหรบบางจานวนเตม n

ตวอยาง . . ให H = {2n : n ∈ Z} จงพสจนวา H ≤ R∗ ภายใตการคณ

ตวอยาง . . ให H = {ℓna : a ∈ Q+} จงพสจนวา H ≤ R ภายใตการบวก


ตวอยาง . . จงพสจนวา H ≤ G เมอกาหนดให

. H = {a+ b√2 : a, b ∈ Q} และ G = R ภายใตการบวก

. H = {a+ b√2 : a, b ∈ Q, a = 0 หรอ b = 0} และ G = R∗ ภายใตการคณ

ตวอยาง . . จงตรวจสอบวาเซตยอยตอไปนเปนกรปยอยของ (GL2(R), ·) หรอไม

. H =

{[a 0

0 a

]: a = 0

}

. H =

{[a a

0 b

]: a = 0 และ b = 0

}


ทฤษฎบท . . ให G เปนกรป ถา H และ K เปนกรปยอยของ G แลว

H ∩K เปนกรปยอยของ G

ทฤษฎบท . . ให G เปนกรป และ {Hα}α∈Λ เปนกลมของกรปยอยของ G เมอ Λ เปนเซตดชนจะไดวา

⋂

α∈Λ

Hα = {x : x ∈ Hα ทก ๆ α ∈ Λ} กรปยอยของ G

บทนยาม . . ให G เปนกรป และ S เปนเซตยอยของ G ทไมใชเซตวาง {Hα}α∈Λ เปนกลมของกรปยอยของ G เมอ Λ เปนเซตดชน โดยท S ⊆ Hα ทก ๆ α ∈ Λ แลวนยาม

⟨S⟩ =⋂

α∈Λ

Hα

เรยกวา กรปยอยของ G ทกอกาเนดโดย S (subgroup of G generated by S)ในกรณ S = {a1, a2, ..., ak} เขยนแทน ⟨S⟩ ดวย ⟨a1, a2, ..., ak⟩

ในกรณมกรปยอยของ G คอ H1, H2, H3 และ H4 ทบรรจ S เพอใหเรามองเหนภาพมากยงขนอาจแสดงตวอยางใหเหนไดดงรปตอไปน

S

H2

H1H3

H4


ขอสงเกต . . ให G เปนกรป และ S เปนเซตยอยของ G ทไมใชเซตวาง

. S ⊆ ⟨S⟩

. เนองจาก e เปนสมาชกของทก ๆ กรปยอยของ G ดงนน ⟨e⟩ = {e}

. ถา H ≤ G และ S ⊆ H แลว ⟨S⟩ ⊆ H หรอกลาวไดวา ⟨S⟩ คอกรปยอยทเลกทสดของ G

ทบรรจ S

จากตวอยาง . . จะไดวา Z4 มกรปยอยทงหมดคอ {0}, {0, 2} และ Z4 จะไดวา⟨0⟩ = {0} ∩ {0, 2} ∩ Z4 = {0} และ ⟨2⟩ = {0, 2} ∩ Z4 = {0, 2} และ ⟨0, 2⟩ = {0, 2} เปนตน

ตวอยาง . . จงหาแจกแจงสมาชกของเซตตอไปน ใน (Z12,+)

. ⟨2⟩ . ⟨4⟩ . ⟨6⟩ . ⟨2, 3⟩ . ⟨2, 4⟩

วธทา จากกรปยอยทงหมดของ Z12 คอ

{0}, {0, 6}, {0, 4, 8}, {0, 2, 4, 6, 8, 10}, {0, 3, 6, 9} และ Z12

ทฤษฎบท . . ให S และ T เปนเซตยอยทไมใชเซตวางของกรป G จะไดวา

⟨S⟩ = ⟨T ⟩ กตอเมอ S ⊆ ⟨T ⟩ และ T ⊆ ⟨S⟩


ทฤษฎบท . . ให S เปนเซตยอยทไมใชเซตวางของกรป G แลว

⟨S⟩ = {ar11 ar22 ...arnn : ai ∈ S, ri ∈ Z, เมอ 1 ≤ i ≤ n และ n ∈ N}

บทแทรก . . ให G เปนกรป และ a, b ∈ G จะไดวา

. ⟨a⟩ = {ar : r ∈ Z}

. ⟨a, b⟩ = {aibj, bjai : i, j ∈ Z}

. ถา G เปนกรปอาบเลยน แลว ⟨a, b⟩ = {aibj : i, j ∈ Z}

จากบทแทรก . . ขอ สาหรบกรป (Z,+) เมอ n ∈ Z จะไดวา

⟨n⟩ = {kn : k ∈ Z} = nZ

หรอกลาวไดวากรปยอยของ Z อยในรปแบบ ⟨n⟩ เทานน และไดดวยวา

⟨−n⟩ = {k(−n) : k ∈ Z} = {(−k)n : k ∈ Z} = {(−k)n : −k ∈ Z} = ⟨n⟩

ทฤษฎบท . . ให m และ n เปนสมาชกในกรป (Z,+) โดยท n = 0 จะไดวา

⟨m⟩ ⊆ ⟨n⟩ กตอเมอ n | m


ขอสงเกต . . ให m เปนสมาชกในกรป (Z,+) ถา ⟨m⟩ ⊆ ⟨0⟩ แลว m = 0

บทแทรก . . ให m และ n เปนสมาชกในกรป (Z,+) โดยท n = 0 จะไดวา

⟨m⟩ = ⟨n⟩ กตอเมอ n = ±m

ตวอยาง . . ให K4 เปนกรปไคลนโฟว ถา a และ b เปนสมาชกทไมใชเอกลกษณของ K4

จงแสดงวา⟨a, b⟩ = {e, a, b, ab} = K4

ทฤษฎบท . . ให G เปนกรป และ a, b ∈ G โดยท ◦(a) = n และ ◦(b) = m จะไดวา

. ⟨a⟩ = {e, a, a2, ..., an−1}

. ⟨a, b⟩ = {aibj, bjai : i ∈ {0, 1, ..., n− 1}, j ∈ {0, 1, ...,m− 1}}

ขอสงเกต . . ให a เปนสมาชกในกรป G และมอนดบจากด จะไดวา ◦(a) = | ⟨a⟩ |


ตวอยาง . . จงแจกแจงสมาชกของเซตตอไปน

. ⟨2⟩ ใน (Z6,+)

. ⟨3⟩ ใน (Z6,+)

. ⟨1⟩ ใน (Z5,+)

. ⟨4, 6⟩ ใน (Z12,+)


. ⟨2⟩ ใน (Z∗5, ·)

. ⟨3⟩ ใน (Z∗7, ·)

. ⟨3, 7⟩ ใน (Z×8 , ·)



. ⟨(1 2 3)⟩ ใน S3

. ⟨(1 2), (3 4)⟩ ใน S4

ตวอยาง . . กาหนดให A =

[1 1

0 1

]ใน GL2(R) จงเขยนเซต ⟨A⟩ ในรปแบบมเงอนไข


ตวอยาง . . กรปควอเทอรเนยน (Quaternion Group)ให a และ b เปนสมาชกของกรป Q4 ซง ◦(a) = ◦(b) = 4 และสอดคลองเงอนไข

a2 = b2 และ ab = ba−1

จงแสดงวา ⟨a, b⟩ = Q4

วธทา พจารณา

⟨a, b⟩ = {aibj, bjai : i, j ∈ {0, 1, 2, 3}}

= {e, a, a2, a3, b, b2, b3, ab, ba, a2b, ba2, a3b, ba3, ab2, b2a, a2b2, b2a2, a3b2, b2a3, ab3,

b3a, a2b3, b3a2, a3b3, b3a3}

จากสมมตฐาน จะไดวา

e = a2b2 = b2a2

a = a3b2 = b2a3

a3 = ab2 = b2a

b = a2b3 = b3a2

b3 = a2b = ba2

ab = ba3 = a3b

ba = a3b = ab3

ดงนน

⟨a, b⟩ =

และเหนไดชดวา Q4 ไมเปนกรปอาบเลยน

ทฤษฎบท . . ให H เปนเซตยอยทไมใชเซตวางของกรป G โดยท H เปนเซตจากด

ถาทก ๆ x, y ∈ H ซง xy ∈ H จะไดวา H ≤ G


แบบฝกหด .. จงตรวจสอบวาเซตยอย H ตอไปนเปนกรปยอยของ (GL2(R), ·) หรอไม

. H =

{[a 0

0 a

]: a ∈ R

}

. H =

{[a 0

0 1a

]: a = 0

}

. H =

{[a b

0 c

]: ac = 0

}

. H =

{[a b

c d

]: ad− bc = 1

}

. H =

{[a b

0 a

]: a = 0

}

. H =

{[a 0

b 1a

]: a = 0

}

. จงแจกแจงสมาชกของเซตตอไปน

. ⟨2⟩ ใน Z10

. ⟨3, 6⟩ ใน Z9

. ⟨4⟩ ใน Z16

. ⟨(1 3)⟩ ใน S4

. ⟨(1 2 3)⟩ ใน S5

. ⟨(1 5 6 4)⟩ ใน S6

. กาหนดให A =

[1 0

0 2

]และ B =

[1 2

0 1

]ใน GL2(R)

จงเขยนเซตตอไปนในรปแบบมเงอนไข

. ⟨A⟩ . ⟨B⟩ . ⟨A,B⟩

. จงหากรปยอยทงหมดของ Z18 และ Z24

. ให G เปนกรปและ a, b ∈ G จงแสดงวา

. ◦(ab) = ◦(ba) . ◦(a) = ◦(b−1ab)

. จงแสดงวากรปทมอนดบนอยกวาหรอเทากบ จะเปนกรปอาบเลยน

. ให a และ bเปนสมาชกทไมใชเอกลกษณของกรป G ซงสอดคลอง a5 = e และ ab−1a = b2

จงหา ◦(b)

. จงพสจนวาถา H เปนเซตยอยของกรป G แลว ⟨H⟩ = H

. จงพสจนวาถา A ⊆ B และ B เปนเซตยอยของกรป G แลว ⟨A⟩ ⊆ ⟨B⟩

. จงแสดงวา S4 = ⟨(1 2 3 4), (1 2 4 3)⟩ เปนกรปไคลนโฟว

. จงแสดงวา H = {(1), (1 2)(3 4), (1 4)(2 3), (1 3)(2 4)} เปนกรปยอยของ S4 และเปนกรปไคลนโฟว

. ใน S4 ให a = (1 2)(3 4) และ b = (1 3)(2 4) จงแจกแจงสมาชก K4 = ⟨a, b⟩

. ใน S8 ถา a = (1 2 3 4)(5 6 7 8) และ b = (1 5 3 7)(2 8 4 6)

จงแสดงวา ⟨a, b⟩ เปนกรปควอเทอรเนยน

. จงสรางตารางการดาเนนการของกรปควอเทอรเนยน


. กรปวฏจกร

บทนยาม . . ให G เปนกรป จะกลาววา G เปน กรปวฏจกร (cyclic group) ถาม a ∈ G ซง

G = ⟨a⟩

เรยก a วา ตวกอกาเนด (generator) ของ G

ตวอยางเชน (Z,+) เปนกรปวฏจกร โดยม 1 เปนตวกอกาเนดเนองจาก

⟨1⟩ = {k1 : k ∈ Z} = Z

และเหนไดวา ⟨−1⟩ = {k(−1) : k ∈ Z} = Z นนคอ −1 เปนตวกอกาเนดอกตวของ Zสาหรบ n ∈ Z จะไดวา

⟨n⟩ = {kn : k ∈ Z} = nZ

ทาใหสรปไดวา nZ เปนกรปวฏจกร โดยม n เปนตวกอกาเนด

ขอสงเกต . . ตวกอกาเนดของกรปวฏจกรอาจมมากกวาหนงตว

ตวอยาง . . จงตรวจสอบวากรปตอไปนเปนกรปวฏจกรหรอไม

. (Z3,+)

. (Z6,+)

. (Z∗5, ·)

. (Z∗8, ·)

. . กรปวฏจกร

จากตวอยาง . . จะเหนไดวา (Zn,+) เปนกรปวฏจกรทก ๆ n ∈ N เนองจาก

⟨1⟩ = Zn

ทฤษฎบท . . กรปวฏจกรเปนกรปอาบเลยน

จากทฤษฎบท . . โดยกฎการแยงสลบทกลาวไดอกนยวา

ถา G ไมเปนกรปอาบเลยน แลว G ไมเปนกรปวฏจกร

ตวอยางเชน S3 และ Q4 ไมเปนกรปวฏจกร เนองจากกรปทงสองไมเปนกรปอาบเลยน

ทฤษฎบท . . ให G เปนกรปจากด และ a ∈ G จะไดวา

a เปนตวกอกาเนดของ G กตอเมอ ◦(a) = |G|

ขอสงเกต . . โดยทฤษฎบท . . จะไดวา

. G เปนกรปวฏจกร กตอเมอ ม a ∈ G ซง ◦(a) = |G|

. ถา a เปนตวกอกาเนดของ G แลว a−1 เปนตวกอกาเนด G เนองจาก ◦(a) = ◦(a−1)


ตวอยาง . . จงหาตวกอกาเนดทงหมดของกรปตอไปน

. Z5

. Z6

. Z∗5

ทฤษฎบท . . ทก ๆ กรปยอยของกรปวฏจกรยอมเปนกรปวฏจกร



ตอไปจะพสจนสมบตเกยวกบผลคารทเซยนของกรปวฏจกรเปนกรปวฏจกร (ทฤษฎบท . . )ซงอาศยทฤษฎบท . . ทวาสาหรบ a ทเปนสมาชกของกรป G และ a มอนดบจากด จะไดวา

สาหรบ k ∈ Z ซง ak = e กตอเมอ ◦(a) | k

ทฤษฎบท . . ใหG1 และG2 เปนกรปวฏจกร โดย a1 a2 เปนตวกอกาเนดของG1 และG2 ตามลาดบ สมมต ◦(a1) = m และ ◦(a2) = n โดยท gcd(m,n) = 1 จะไดวา

G1 ×G2 เปนกรปวฏจกรซงม (a1, a2) เปนตวกอกาเนดซง |G1 ×G2| = mn


ตวอยาง . . จงตรวจสอบวากรปตอไปนเปนกรปวฏจกรหรอไม

. Z2 × Z3 . Z2 × Z2

บทแทรก . . ให m,n ∈ N ถา gcd(m,n) = 1 แลว Zn × Zm เปนกรปวฏจกร

ทฤษฎบท . . ให G เปนกรปวฏจกร โดย |G| = n และ a เปนตวกอกาเนดของ Gสาหรบ 1 ≤ k < n เมอ k ∈ N จะไดวา

ak เปนตวกอกาเนด G กตอเมอ gcd(k, n) = 1


ตวอยาง . . จงหาตวกอกาเนดทงหมดของกรปวฏจกรตอไปน

. Z5

. Z8

. Z12

จากทฤษฎบท . . และ 1 เปนตวกอกาเนดของ Zn เมอ n ∈ N ทาใหไดขอสรปดงตอไปน

. ตวกอกาเนดของ Zn คอ k เมอ 1 ≤ k < n และ gcd(k, n) = 1

. ถา p เปนจานวนเฉพาะ จะไดวาตวกอกาเนดของ Zp คอ 1, 2, 3, ..., p− 1

ตวอยาง . . จงหาตวกอกาเนดทงหมดของกรปวฏจกรตอไปน

. Z∗5 . Z×

10


ตวอยาง . . จงหาตวกอกาเนดทงหมดของ Z2 × Z5

ขอสงเกต . . จากทฤษฎบท . . เมอ G เปนกรปวฏจกรซง |G| = n จะไดวา

จานวนตวกอกาเนดของ G เทากบ φ(n)

ตวอยาง . . จงหาจานวนตวกอกาเนดทงหมดกรปวฏจกรตอไปน

. Z12

. Z25

. Z36

. Z144

. Z5000

. Z25 × Z36

ตวอยาง . . จงหาจานวนตวกอกาเนดของ Z∗25


สาหรบ n ∈ N ถา Z×n เปนกรปวฏจกร แลวจานวนตวกอกาเนดของ Z×

n เทากบ

φ(φ(n))

ดงแสดงตวอยางดงตารางตอไปน

กรป ตวกอกาเนด จานวนตวกอกาเนดZ×

2 1 φ(φ(2)) = φ(1) = 1

Z×3 2 φ(φ(3)) = φ(2) = 1

Z×4 3 φ(φ(4)) = φ(2) = 1

Z×5 2, 3 φ(φ(5)) = φ(4) = 2

Z×6 5 φ(φ(6)) = φ(2) = 1

Z×7 3, 5 φ(φ(7)) = φ(6) = 2

Z×8 ไมม ไมม

Z×9 2, 5 φ(φ(9)) = φ(6) = 2

Z×10 3, 7 φ(φ(10)) = φ(4) = 2

ทฤษฎบท . . ถา ⟨a⟩ เปนกรปอนนต แลว

am = an กตอเมอ m = n

ทฤษฎบท . . ตวกอกาเนดของกรปวฏจกรอนนตมเพยง ตวซงเปนตวผกผนกนและกน

จากทฤษฎบท . . จะไดวา (Z,+) มตวกอกาเนด ตวเทานนคอ 1 และ −1 สาหรบ n ∈ Nจะไดวา nZ มตวกอกาเนด ตวคอ n และ −n


ทฤษฎบท . . ให G เปนกรปวฏจกรจากด ถา d ∈ Z+ ซง d หาร |G| ลงตว แลว

G จะมกรปยอยอนดบ d เพยงกรปเดยว

จากการพสจนทฤษฎบท . . ถา G = ⟨a⟩ และ |G| = n ซง d1d2, .., dm เปนตวหารทงหมดของ n กรปยอยทมอนดบ d1d2, .., dm คอ

⟨a

nd1

⟩,⟨a

nd2

⟩, .... ,

⟨a

ndm

⟩ตามลาดบ

ตวอยางเชนในกรป Z6 ตวหารของ 6 คอ 1, 2, 3 และ 6 เนองจาก ⟨1⟩ = Z6 กรปยอยทมอนดบ 1, 2, 3

และ 6 คอ⟨61(1)

⟩,⟨62(1)

⟩,⟨63(1)

⟩และ

⟨63(1)

⟩ตามลาดบเขยนใหมไดเปน

⟨0⟩, ⟨3⟩, ⟨2⟩ และ ⟨1⟩ ตามลาดบ


ตวอยาง . . จงหากรปยอยทงหมดของกรปตอไปน

. (Z8,+)

. (Z12,+)

ตวอยาง . . จงหากรปยอยทงหมดของกรป Z×25

ตวอยาง . . จงหากรปยอยทงหมดของกรป Z2 × Z3


บทแทรก . . ให G เปนกรปวฏจกรจากด โดยท |G| = n แลว

จานวนกรปยอยทงหมดของ G เทากบ τ(n)

เมอ τ(n) คอจานวนตวหารทงหมดของ n เรยกวาฟงกชนเทา (Tau function)

สาหรบ n = pα11 pα2

2 · · · pαkk เปนรปแบบบญญต โดยสมบตของฟงกชนเทาจะไดวา

τ(n) = (α1 + 1)(α2 + 1) · · · (αk + 1)

ขอสงเกต . . ให p เปนจานวนเฉพาะ และ n เปนจานวนนบ จะไดวา

. กรปยอยของ Zp ม กรปคอ

{0} = ⟨p⟩ และ ⟨1⟩ = Zp

เนองจากตวหารของ p ม ตวคอ 1 และ p

. กรปยอยของ Zpn ม p+ 1 กรปคอ

{0} = ⟨pn⟩, ⟨pn−1⟩, .... , ⟨p2⟩, ⟨p⟩ และ ⟨1⟩ = Zp

เนองจากตวหารของ pn ม p+ 1 ตวคอ 1, p, p2, ..., pn


ตวอยาง . . จงหาจานวนกรปยอยทงหมดของกรปวฏจกรตอไปน

. Z100 . Z10 × Z25


จะเหนไดวาใน S3 ซงไมเปนกรปวฏจกรจะไมสอดคลองกบทฤษฎบท . . เนองจากกรปยอย

ทงหมดคอ

กรปยอย จานวนสมาชก (อนดบ)⟨(1)⟩ = {(1)}⟨(1 2)⟩ =

⟨(1 3)⟩ =

⟨(2 3)⟩ =

⟨(1 2 3)⟩ =

เหนไดวามกรปยอยอนดบ มากกวาหนงกรป

บทแทรก . . ให G เปนกรปวฏจกรจากด ซง d หาร |G| ลงตว แลว

G จะมสมาชกอนดบ d จานวน φ(d) ตว

ตวอยาง . . จงหาตวกอกาเนดทงหมดของกรปยอยทกกรปของ Z12

วธทา ให d เปนตวหารของ พจารณาไดจากตารางตอไปน

d กรปยอย ตวกอกาเนด จานวนตวกอกาเนด⟨0⟩ = {0} 0 φ(1) = 1


ตวอยาง . . จงหาตวกอกาเนดทงหมดของกรปยอยทกกรปของ Z×10

ตวอยาง . . จงหาตวกอกาเนดทงหมดของกรปยอยทกกรปของ Z2 × Z5


แบฝกหด .

. จงหาตวกอกาเนดทกตวของกรปวฏจกรตอไปน

. Z9

. Z16

. Z17

. Z25

. Z45

. Z48

. Z×9

. Z×20

. Z2 × Z3

. Z3 × Z5

. Z4 × Z7

. Z4 × Z9

. จงหาจานวนตวกอกาเนดทงหมดของกรปวฏจกรตอไปน

. Z125

. Z555

. Z3600

. Z11250

. Z18000

. Z49000

. Z9 × Z32

. Z100 × Z343

. จงแสดงวา Z∗25 เปนกรปวฏจกร โดยม 2 เปนตวกอกาเนด

. จงตรวจสอบวากรปไคลนโฟวเปนกรปวฏจกรหรอไม พรอมยกเหตผลประกอบ

. ให G เปนกรป และ x ∈ G และ m,n ∈ Z จงพสจนวา

ถา xm = 1 และ xn = 1 แลว xd = 1 เมอ d = gcd(m,n)

. ให Gเปนกรป และ x เปนสมาชกทไมใชเอกลกษณของกรปจากด G จงพสจนวา

ถา ◦(x) = n แลว ◦(xa) =n

gcd(a, n) เมอ a เปนจานวนเตมทไมใชศนย

. จงหากรปยอยทงหมดของ

. Z10

. Z16

. Z36

. Z60

. Z×10

. Z×25

. Z6 × Z2

. Z3 × Z8

. จงหาตวกอกาเนดทงหมดของกรปยอยทกกรปของ

. Z8

. Z15

. Z21

. Z32

. Z×10

. Z×25

. Z9 × Z6

. Z12 × Z4

. จงหาจานวนกรปยอยของกรปตอไปน

. Z72 . Z150 . Z2019 . Z120 × Z32

. จงหาตวกอกาเนดทงหมดของ Z443171


. แลตทชของกรปยอย

ในหวขอนจะกลาวถงการแผนภาพการแสดงกรปยอยทงหมดของกรปจากดซงเรยกวา แลตทชของกรปยอย (the lattice of subgroups ) ของกรปจากดG หรอเรยกสน ๆ วาแลตทช (lattice) ซงประกอบไปดวย กรปยอยของ G และสวนของเสนตรงเชอมระหวางกรปยอย A และ B เมอ A ≤ B

และไมม C ≤ G ซง A ≤ C ≤ B (A ≤ C และ C ≤ B) โดย B จะถกเขยนไวเหนอ A ดงตวอยางตอไปน แลตทชของ Z6

Z6

⟨2⟩

⟨3⟩

⟨6⟩

รปท แลตทชของ Z6

เนองจาก Z6 เปนกรปวฏจกรจงมกนยมเขยนแทนกรปยอยในรปตวกอกาเนด จะเหนไดวากรปยอย⟨6⟩ = ⟨0⟩ = {0} จะเปนกรปยอยทอยดานลางสดของแลตทชเสมอ และ กรปยอย Z6 = ⟨1⟩ จะเปนกรปยอยทอยดานบนสดของแลตทชเสมอ

ขอสงเกต . . แลตทชของกรปจากดG จะมกรปยอย {e} อยทดานลางสดของแลตทชเสมอ และกรปยอย G อยดานบนสดของแลตทชเสมอ

ตวอยาง . . จงเขยนแลตทชของ Z12

. . แลตทชของกรปยอย

พจารณาแลตทชของกรป Zp เมอ p เปนจานวนเฉพาะ ซงมกรปยอยเพยง กรปเทานนคอ ⟨p⟩และ Zp จะเขยนแลตทชไดดงน

Z2

⟨2⟩

Z3

⟨3⟩

Z5

⟨5⟩

Zp

⟨p⟩

รปท แลตทชของ Zp เมอ p เปนจานวนเฉพาะ

สาหรบแลตทชของกรป Zpn เมอ p เปนจานวนเฉพาะ และ n เปนจานวนนบ ซงมกรปยอย ⟨pn⟩,⟨pn−1⟩, ... , ⟨p2⟩, ⟨p⟩ และ Zpn เปนจานวนเฉพาะจะเขยนแลตทช ไดดงน

Z2

⟨2⟩

Z4

⟨2⟩

⟨4⟩

Z8

⟨2⟩

⟨4⟩

⟨8⟩

Zpn

⟨p⟩

⟨p2⟩

⟨pn−1⟩

⟨pn⟩

รปท แลตทชของ Zpn เมอ p เปนจานวนเฉพาะ




ตวอยาง . . จงเขยนแลตทชของ Z×10

. . แลตทชของกรปยอย

ตวอยาง . . จงเขยนแลตทชของ Z∗7

ตวอยาง . . จงเขยนแลตทชของ S3



. จงเขยนแลตทชของกรปตอไปน

. Z3

. Z14

. Z24

. Z25

. Z48

. Z52

. Z225

. Z1024

. จงเขยนแลตทชของกรปตอไปน

. Z×8 . Z∗

11 . Z×20 . Z×

30

. จงเขยนแลตทชของกรปไคลนโฟว K4

. จงเขยนแลตทชของกรปควอเทอรเนยน Q4

. ให G = {1,−1, i,−i} ⊆ C จงเขยนแลตทชของ (G, ·)

บทท

กรปยอยปกต

ในสวนแรกของบทนจะกลาวถงกรปจากด G ความสมพนธของอนดบของกรปยอยกบอนดบของ G ซงจะไดขอสรปในทฤษฎบทของลากรองจ จากนนศกษากรปยอยปกตเพอนาไปสรางกรปชนดทแรกวากรปผลหาร

. โคเซตและทฤษฎบทของลากรองจ

ทฤษฎบท . . ให G เปนกรปและ H ≤ G นยามความสมพนธ ∼ ใน G โดย

a ∼ b กตอเมอ ab−1 ∈ H

แลวจะไดวา ∼ เปนความสมพนธสมมล

บทท . กรปยอยปกต

ให a ∈ G ชนสมมลของ a มอดโล ∼ เขยนแทนดวย Ha คอ

Ha = {x ∈ G : xa−1 ∈ H} = {x ∈ G : xa−1 = h เมอ h ∈ H} = {ha : h ∈ H}

ตอไปจะเรยกวาโคเซตขวาและขยายไปยงโคเซตซาย ดงนยามตอไปน

บทนยาม . . ให (G, ∗) เปนกรปและ H ≤ G โดยท a ∈ G กาหนดให

H ∗ a = {h ∗ a : h ∈ H} และ a ∗H = {a ∗ h : h ∈ H}

เรยกวา โคเซตขวา (right coset) สาหรบ a ของ H ใน G และ โคเซตซาย (left coset) สาหรบ a

ของ H ใน G ตามลาดบ และเรยก โคเซต (coset) เมอเปนโคเซตขวาหรอโคเซตซาย

เรานยมเขยน Ha และ aH แทน H ∗ a และ a ∗H เชนเดยวกบ ab แทน a ∗ b

ขอสงเกต . . ให G เปนกรป จะไดวา

. ถา G เปนกรปอาบเลยน แลว Ha = aH ทก ๆ a ∈ G

. He = H = He

ตวอยาง . . ให H = ⟨2⟩ โดยท H ≤ Z6 จงแจกแจงสมาชกของโคเซตตอไปน

. 1 +H

. H + 2

. H + 3

. H + 5

ตวอยาง . . ให H = 2Z โดยท H ≤ Z จงแจกแจงสมาชกของโคเซตตอไปน

. 1 +H

. H + 2

. 3 +H

. 4 +H

. . โคเซตและทฤษฎบทของลากรองจ

ตวอยาง . . ให H = ⟨(1 3)⟩ โดยท H ≤ S3 จงแจกแจงสมาชกของโคเซตตอไปน

. (1 2)H

. H(1 2)

. (2 3)H

. H(2 3)

ตวอยาง . . จงแจกแจงสมาชกของโคเซตตอไปน

. ⟨8⟩+ 1 ใน Z12

. ⟨6⟩ 4 ใน Z∗7

. ⟨(0, 2)⟩+ (1, 3) ใน Z2 × Z6

. 1 + 5Z ใน Z

. (1 3) ⟨(2 3)⟩ ใน S3


ตวอยาง . . ให H = ⟨A⟩ เมอ A =

[1 0

0 2

]โดยท H ≤ GL2(R)

จงเขยนโคเซตตอไปนในรปแบบมเงอนไข

.[1 2

3 4

]H

. H[1 2

3 4

]

จากทฤษฎบท . . จะไดวาโคเซตเปนชนสมมล ดงนนเซตของโคเซตเปนผลแบงกนของกรป G

นนคอ

G =⋃

a∈G

Ha และ G =⋃

a∈G

aH

สาหรบกรปG ทมโคเซตขวาทแตกตางกนทงหมด เซตคอHe,Ha,Hb และHc อาจแสดงตวอยางการแบงกนไดดงรปตอไปน

HaHe

Hb

Hc

สาหรบ a, b ∈ G ใด ๆ ผลจากทฤษฎบท . . จะไดสมบตดงตอไปน

. Ha ∩Hb = ∅ ←→ ab−1 ∈ H ←→ Ha = Hb

. aH ∩ bH = ∅ ←→ a−1b ∈ H ←→ aH = bH


ทฤษฎบท . . ให H เปนกรปยอยของกรป G โดยท a, b ∈ G

สาหรบโคเซตขวา ขอความตอไปนสมมลกน

. ab−1 ∈ H

. ม h ∈ H ซง a = hb

. a ∈ Hb

. Ha = Hb

สาหรบโคเซตซาย ขอความตอไปนสมมลกน

. a−1b ∈ H

. ม h ∈ H ซง b = ah

. b ∈ aH

. aH = bH

ตวอยาง . . ให H = ⟨4⟩ โดยท H ≤ Z12 จงหาโคเซตทงหมดทเทากบโคเซต 1 +H

ตวอยาง . . ให H = ⟨(1 3)⟩ โดยท H ≤ S3 จงหาโคเซตทงหมดทเทากบโคเซต (1 2)H


ตอไปจะสนใจจานวนอนดบหรอจานวนสมาชกของโคเซต โดยการสงเกตจากอยางทผานมาสาหรบกรปจากดแลวจะไดวา

|Ha| = |H| = |bH|

ดงทจะไดตามบทแทรก . .

ทฤษฎบท . . ให H เปนกรปยอยของกรป G และ a, b ∈ G จะไดวา

มฟงกชนหนงตอหนงแบบทวถงจาก aH ไป Hb

บทแทรก . . ให H เปนกรปยอยของกรปจากด G และ a, b ∈ G จะไดวา

|Ha| = |H| = |bH|

ตวอยาง . . จงหาโคเซตทงหมดของ ⟨3⟩ ใน Z12


ตวอยาง . . จงหาโคเซตทงหมดของ ⟨(1 2)⟩ ใน S3

จากตวอยาง . . จะเหนไดวาจานวนทแตกตางกนของโคเซตซายเทากบโคเซตขวา ดงจะไดดงทฤษฎบทตอไปน

ทฤษฎบท . . ให H เปนกรปยอยของกรป G กาหนดให

R(H) = {Ha : a ∈ G} และ L(H) = {aH : a ∈ G}

จะไดวามฟงกชนหนงตอหนงแบบทวถงจาก R(H) ไป L(H)


บทนยาม . . ให H เปนกรปยอยของกรปจากด G แลวจานวนสมาชกของ R(H) หรอ L(H)

จะเรยกวา ดรรชน (index) ของ H ใน G เขยนแทนดวย [G : H]

ตวอยาง . . จงหาดรรชน [G : H] เมอกาหนดให

. G = Z12 และ H = ⟨4⟩

. G = Z∗7 และ H = ⟨2⟩

. G = Z2 × Z4 และ H = ⟨(0, 2)⟩


จากตวอยาง . . เหนไดวาการหาจานวนโคเซตจะมความยงยากมากขนเมอกรปจากดมอนดบมากขน ไดมนกคณตศาสตรชาวฝรงเศสผ โดงดงนามวา โฌแซฟ-หลยส ลากรองจ (Joseph-Louis Lagrange) ไดคนพบความสมพนธของอนดบของกรปยอยกบกรปของมนเอง ซงถกเรยกวาทฤษฎบทของลากรองจ ทาใหเราเขาใจโครงสรางเกยวกบกรปมากยงขน ดงจะกลาวตอไปน

ทฤษฎบท . . ทฤษฎบทของลากรองจ (Lagrange's Theorem)ให H เปนกรปยอยของกรปจากด G แลวจะไดวา |H| หาร |G| ลงตว และ

[G : H] =|G||H|

บทแทรก . . ให G เปนกรปจากดทมอนเปนจานวนเฉพาะ แลว

. G มกรปยอยเพยง กรปเทานนคอ {e} และ G

. G เปนกรปวฏจกร

. สมาชกทกตวทไมใชเอกลกษณเปนตวกอกาเนดของ G


บทแทรก . . ให a เปนสมาชกของกรป G โดยท |G| = n จะไดวา an = e

ตวอยาง . . จงหาดรรชน [G : H] ทกาหนดใหตอไปนโดยใชทฤษฎบทของลากรองจ

. G = Z12 และ H = ⟨3⟩

. G = Z30 และ H =⟨10⟩

. G = Z×20 และ H =

⟨11⟩

. G = Z3 × Z6 และ H = ⟨(0, 2)⟩

. G = S3 และ H = ⟨(1 2)⟩

. G = S7 และ H = ⟨(1 3 4 5 6)⟩

ตวอยาง . . จงหา [Z×25 : ⟨7⟩]



. ให H เปนกรปยอยของกรป G โดยท a, b ∈ G จงแสดงวาขอความตอไปนสมมลกน

. ab−1 ∈ H

. ม h ∈ H ซง a = hb

. a ∈ Hb

. Ha = Hb

. จงแจกแจงสมาชกของโคเซตตอไปน

. 2 + ⟨3⟩ ใน Z12

. 4 + ⟨2⟩ ใน Z18

. 6 + ⟨8⟩ ใน Z21

. ⟨5⟩+ 3 ใน Z20

.⟨11⟩+ 7 ใน Z×

30

. 8 + ⟨7⟩ ใน Z∗25

. ⟨(2, 3)⟩+ (1, 4) ใน Z4 × Z6

. (2, 3) + ⟨(0, 4)⟩ ใน Z3 × Z12

. 7Z+ 2 ใน Z

. 6Z+ 15 ใน Z

. (1 3 2) ⟨(1 2)⟩ ใน S3

. ⟨(3 2)⟩ (3 4) ใน S4

. ให H = ⟨A⟩ เมอ A =

[1 0

0 3

]โดยท H ≤ GL2(R) จงแจกแจงสมาชกของโคเซต

.[1 1

1 −1

]H

. H

[1 1

1 −1

]

.[1 2

2 1

]H

. H

[1 2

2 1

]

.[1 3

0 3

]H

. H

[1 3

0 3

]

. จงหาดรรชน [G : H] เมอกาหนดให

. G = Z24 และ H = ⟨4⟩

. G = Z27 และ H = ⟨3⟩

. G = Z30 และ H = ⟨6⟩

. G = Z36 และ H =⟨12⟩

. G = Z×20 และ H =

⟨13⟩

. G = Z8 × Z10 และ H = ⟨(2, 2)⟩

. G = S5 และ H = ⟨(1 3 5)⟩

. G = S6 และ H = ⟨(2 3 4)⟩

. จงหาดรรชนตอไปน

. [Z12 : ⟨6⟩]

. [Z18 : ⟨3⟩]

. [Z50 :⟨15⟩]

. [Z×30 : ⟨7⟩]

. [Z12 × Z10 : ⟨(3, 5)⟩]

. [S9 : ⟨(1 3)(5 6)(2 7 9)⟩]

. ให G เปนกรปจากดโดยท |G| = n จงพสจนวา ak = e กตอเมอ k | n

. ให H เปนกรปยอยของกรป G กาหนดให

f : R(H)→ L(H) นยามโดย f(Ha) = b−1H เมอ a ∈ G

จงพสจนวา f เปนฟงกชนหนงตอหนงแบบทวถงจาก R(H) ไป L(H)


. นยามและสมบตของกรปยอยปกต

บทนยาม . . ให H และ K เปนเซตยอยของ G โดยท g ∈ G กาหนดให

gHg−1 = {ghg−1 : h ∈ H} และ HK = {hk : h ∈ H และ k ∈ K}

ขอสงเกต . . ให H และ K เปนเซตยอยของ G แลว

. ถา H ⊆ K แลว gHg−1 ⊆ gKg−1 ทก ๆ g ∈ G

. ถา G เปนกรปอาบเลยน gHg−1 = H ทก ๆ g ∈ G

. ถา H และ K เปนกรปยอยของกรปอาบเลยน แลว HK = KH

ตวอยาง . . จงหา gHg−1, HK และ KH ใน Z12 เมอกาหนดให

H = {1, 4, 8}, K = {2, 3} และ g = 7

. . นยามและสมบตของกรปยอยปกต

ตวอยาง . . จงหา gHg−1 ใน S3 เมอ H = ⟨(1 2 3)⟩ และ g = (1 3 2)

ตวอยาง . . จงหา gHg−1, HK และ KH ใน S3 เมอกาหนดให

H = ⟨(2 3)⟩, K = ⟨(1 3)⟩ และ g = (1 2 3)

ขอสงเกต . . ให H และ K เปนเซตยอยของ G แลว

. ถา g ∈ H และ H ≤ G แลว gHg−1 = H

. HK =⋃

h∈H

hK =⋃

k∈K

Hk


บทนยาม . . ใหN กรปยอยของกรปG จะกลาววาN เปน กรปยอยปกต (normal subgroup)เขยนแทนดวย N $ G กตอเมอ

gNg−1 = N ทก ๆ g ∈ G

ขอสงเกต . . ให N ≤ G จะไดวา

. {e} และ G เปนกรปยอยปกตเสมอ

. ถา G กรปอาบเลยน แลว N $ G ทก N ≤ G

ตวอยาง . . จงตรวจสอบวากรปยอย ⟨(1 2)⟩ และ ⟨(1 2 3)⟩ เปนกรปยอยปกตของ S3 หรอไม


ทฤษฎบท . . เกณฑการพจารณากรปยอยปกต (The Normal Subgroup Criterion)

ให N เปนกรปยอยของกรป G แลวขอความตอไปนสมมลกน

( ) N $ G

( ) gNg−1 = N ทก ๆ g ∈ G

( ) gN = Ng ทก ๆ g ∈ G

( ) (Ng)(Nh) = N(gh) ทก ๆ g, h ∈ G

( ) (gN)(hN) = (gh)N ทก ๆ g, h ∈ G

( ) gNg−1 ⊆ N ทก ๆ g ∈ G


ทฤษฎบท . . ให G เปนกรป ถา N $ G และ K $ G แลว N ∩K $ G

เมอพจารณากรป S3 ให H = ⟨(1 2)⟩ และ K = ⟨(1 3)⟩ จะไดวา

HK = ⟨(1 2)⟩ ⟨(1 3)⟩ = {(1), (1 2)}{(1), (1 3)} = {{(1), (1 2), (1 3), (1 2 3)}

จะเหนไดวา HK ไมเปนกรปยอยของ S3 นนหมายความวาถา H และ K เปนกรปยอยของ G ไมจาเปนวา HK ≤ G ขอความดงกลาวจะเปนจรงถาสอดคลองทฤษฎบทตอไปน

ทฤษฎบท . . ให H และ K เปนกรปยอยของกรป G จะไดวา

HK ≤ G กตอเมอ HK = KH

ถา G เปนกรปอาบเลยน จะไดวา HK = KH โดยทฤษฎบท . . สรปไดวา HK ≤ G

นนหมายความวาสาหรบกรปอาบเลยน G จะไดวา

HK ≤ G ทก ๆ H ≤ G และ K ≤ G


บทแทรก . . ให H และ K เปนกรปยอยของกรป G จะไดวา

. ถา H $ G หรอ K $ G แลว HK ≤ G

. ถา K $ G แลว H ∩K $ K และ K $ HK

ทฤษฎบท . . ให H และ K เปนกรปยอยจากดของกรป G แลว

|HK| = |H| · |K||H ∩K|


ทฤษฎบท . . ให N เปนกรปยอยของกรป G จะไดวา

ถา [G : N ] = 2 แลว N $ G

ตวอยาง . . กรปยอย ⟨(1 3 2)⟩ เปนกรปยอยปกตของ S3 หรอไม



. จงหา gHg−1, HK และ KH เมอกาหนดให

. H = {0, 1, 2}, K = {2, 3, 4} และ g = 3 ใน Z5

. H = ⟨4⟩, K = {0, 7, 8}, และ g = 2 ใน Z15

. H = ⟨8⟩, K = ⟨3⟩ และ g = 13 ใน Z18

. H = ⟨3⟩, K = ⟨5⟩ และ g = 8 ใน Z×20

. H = ⟨(0, 2)⟩, K = ⟨(2, 0)⟩ และ g = (1, 3) ใน Z4 × Z6

. H = ⟨(1 3 2)⟩, K = ⟨(2 3)⟩ และ g = (1 3) ใน S3

. กาหนดให H = ⟨A⟩ และ K = ⟨B⟩ โดยท A =

[1 1

0 1

]และ B =

[1 −10 1

]ใน GL2(R) ถา

C =

[1 2

2 5

]และ D =

[1 1

4 3

]จงเขยนเซตตอไปนในรปแบบมเงอนไข

. HK . KH . CHC−1 . DKD−1

. จงหากรปยอยปกตทงหมดของ

. Z18 . Z×20 . Z4 × Z6 . S3

. เรยกกรป G วา กรปเชงเดยว (simple group) ถากรปยอยปกตของ G มเพยง กรปเทานนคอ {e} และ G จงแสดงวา Zp กรปเชงเดยว เมอ p เปนจานวนเฉพาะทมากกวา

. จงตรวจสอบวา S3 เปนกรปเชงเดยวหรอไม

. จงพสจนวา ถา G เปนกรปอาบเลยนซงมกรปยอยอนดบ n และ m แลว G จะมกรปยอยอนดบ ℓcm(m,n)

. ให G เปนกรป จงพสจนวา ถา N $ G และ N เปนกรปวฏจกร แลวทกกรปยอยของ Nจะเปนกรปยอยปกตของ G

. ให G เปนกรปจากด และ N $ G โดยท [G : N ] และ |N | เปนจานวนเฉพาะสมพทธจงพสจนวา ถา x ∈ G ซง x|N | = e แลว x ∈ N

. ให G เปนกรป จงแสดงวา ถา M $ G และ N $ G แลว MN $ G.

. ให H และ K เปนกรปยอยของกรป G จงพสจนวา

ถา K $ G แลว H ∩K $ K และ K $ HK


. กรปผลหาร

ในหวขอนจะกลาวถงการสรางกรปบนเซตของโคเซตขวาของ N ในกรป G โดยท N $ G เพอทจะนยามการดาเนนทวภาคใหสอดคลองกบทฤษฎบท . . ขอ ซงจะเรยกวากรปผลหาร จาก

นนศกษาสมบตของกรปผลหาร โดยเรมตนจากทฤษฎบทตอไปน

ทฤษฎบท . . ให G เปนกรป และ N $ G นยามการดาเนนการทวภาค ∗ ใน R(N) โดย

(Ng) ∗ (Nh) = (Ng)(Nh) เมอ g, h ∈ G

จะไดวา

. (R(N), ∗) เปนกรป

. ถา G เปนกรปอาบเลยน แลว (R(N), ∗) เปนกรปอาบเลยน

. ถา G เปนกรปวฏจกร แลว (R(N), ∗) เปนกรปวฏจกร

. . กรปผลหาร

จากบทพสจนของทฤษฎบท . . จะไดวา

. N เปนเอกลกษณในกรป (R(N), ∗)

. ตวผกผนของ Ng คอ Ng−1 ดงนน (Ng)−1 = Ng−1

. (Ng)n = Ngn เมอ n ∈ Z

. ถา G เปนกรปวฏจกรซงม a เปนตวกอกาเนด แลว Na เปนตวกอกาเนดของ R(N)

จากนไปจะเขยน (Ng)(Nh) แทน (Ng) ∗ (Nh) เมอกลาวถงกรป (R(N), ∗)

บทนยาม . . ให G เปนกรป และ N $ G แลวกรป (R(N), ∗) ในทฤษฎบท . . จะเรยกวากรปผลหาร (quotient group) ของ G เขยนแทนดวย G/N

ขอสงเกต . . ถา G เปนกรปจากด และ N $ G แลว

|G/N | = [G : N ] =|G||N |

ตวอยาง . . จงแจกแจงสมาชกของกรปผลหารตอไปน

. Z6/ ⟨3⟩

. Z12/ ⟨4⟩

. Z∗7/ ⟨2⟩

. Z∗10/ ⟨3⟩

. Z2 × Z6/ ⟨(0, 2)⟩

. S3/ ⟨(1 2 3)⟩


ตวอยาง . . จงแจกแจงสมาชกของกรปผลหารตอไปน

. Z/3Z

. Z/4Z

. Z/7Z

ตวอยาง . . จงหาตวกอกาเนดทงหมดของกรปผลหารตอไปน

. Z12/ ⟨3⟩

. Z∗7/ ⟨2⟩

. Z2 × Z5/ ⟨(1, 0)⟩

. . กรปผลหาร

ทฤษฎบท . . ให n, r ∈ N โดยท 0 ≤ r < n สมมตวา nZ+ r เปนตวกอกาเนด Z/nZถา k ∈ N ซง 1 ≤ k < n จะไดวา

nZ+ kr เปนตวกอกาเนดของ Z/nZ กตอเมอ gcd(n, k) = 1

ตวอยาง . . จงหาตวกอกาเนดทงหมดของ Z/6Z

ทฤษฎบท . . ให G เปนกรป และ N $ G และ [G : N ] = n จะไดวา

. an = N สาหรบทก ๆ a ∈ G/N

. gn ∈ N สาหรบทก ๆ g ∈ G

บทแทรก . . ให G เปนกรป และ N ≤ G ซง [G : N ] = 2 จะไดวา

g2 ∈ N ทก ๆ g ∈ G



. จงแจกแจงสมาชกของกรปผลหารตอไปน

. Z6/ ⟨2⟩

. Z12/ ⟨8⟩

. Z24/ ⟨4⟩

. Z×25/⟨7⟩

. Z×20/⟨11⟩

. S3/ ⟨(1 3 2)⟩

. จงหาตวกอกาเนดทงหมดของกรปผลหารตอไปน

. Z8/ ⟨2⟩

. Z12/ ⟨6⟩

. Z24/ ⟨4⟩

. Z×25/⟨7⟩

. Z×20/⟨11⟩

. Z4 × Z9/ ⟨(2, 3)⟩

. ให G เปนกรป จงพสจนวา

ถา N $ G, M $ G และ N ∩M = {e} แลว nm = mn ทก ๆ n,m ∈ N

. ให G เปนกรป และ H ≤ G จงแสดงวา⋂

g∈G

gHg−1 $ G

. จงแสดงวามกรปอนดบ เปนกรปอาบเลยน

บทท

สมสณฐาน

กรปแตละกรปนนมโครงสรางทแตกตางกน แตอาจสมพนธกนไดเชนกรปวฏจกรจากดทมสมาชก

เทากนจะมจานวนตวกอกาเนดเทากน มากไปกวานนนกคณตศาสตรอยากทราบวาสองกรปใด ๆ

จะมความสมพนธกนเรองใดบาง เชน เอกลกษณ ตวผกผน ตวกอกาเนด หรอแมกระทงกรปยอย ซงเราจะศกษาสมบตตาง ๆ ทจะเกดขนในบทเรยนน

. ฟงกชนสาทสสณฐาน

บทนยาม . . ให (G, ∗) และ (G′,#) เปนกรปเรยกฟงกชน ϕ : G→ G′ วา ฟงกชนสาทสสณฐาน (homomorphism) ถา

ϕ(x ∗ y) = ϕ(x)# ϕ(y) ทก ๆ x, y ∈ G

และ เคอรเนล (kernel) ของ ϕ เขยนแทนดวย Ker(ϕ) นยามโดย

Ker(ϕ) = {x ∈ G : ϕ(x) = e′}

เมอ e′ เปนเอกลกษณของ G′

บางครงอาจละการเขยนเครองหมายการดาเนนทวภาค โดยเขยน ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) แทนการเขยน ϕ(x ∗ y) = ϕ(x)# ϕ(y)

ตวอยาง . . ให G และ G′ เปนกรป เมอ e′ เปนเอกลกษณของ G′

จงตรวจสอบวา ϕ เปนฟงกชนสาทสสณฐานหรอไม

. ให ϕ : G→ G′ นยามโดย ϕ(x) = e′ เมอ x ∈ G

. ให ϕ : G→ G นยามโดย ϕ(x) = x−1 เมอ x ∈ G

บทท . สมสณฐาน

จากตวอยาง . . ขอ จงสรปไดวาถา G เปนกรปอาบเลยนแลว

ϕ : G→ G นยามโดย ϕ(x) = x−1

เปนฟงกชนสาทสสณฐาน

ตวอยาง . . จงตรวจสอบวา ϕ เปนฟงกชนสาทสสณฐานหรอไม

. ให ϕ : (GL2(R), ·)→ (R∗, ·) นยามโดย ϕ(A) = det(A)

. ให ϕ : (Mnn(R),+)→ (R,+) นยามโดย ϕ(A) = det(A)

ตวอยาง . . จงตรวจสอบวา ϕ เปนฟงกชนสาทสสณฐานหรอไม และหา Ker(ϕ)

. ให ϕ : (C∗, ·)→ (R∗, ·) นยามโดย ϕ(z) = |z| เมอ z ∈ C∗

. ให ϕ : (Z,+)→ (Z6,+) นยามโดย ϕ(x) = x เมอ x ∈ Z

. . ฟงกชนสาทสสณฐาน

ขยายแนวคดจากตวอยาง . . ขอ สาหรบ n ∈ N จะไดวา

ϕ : (Z,+)→ (Zn,+) นยามโดย ϕ(x) = x

เปนฟงกชนสาทสสณฐาน โดยม Ker(ϕ) = nZ

ตวอยาง . . ให ϕ : (R,+)→ (C∗, ·) นยามโดย ϕ(x) = cosx+ isinx เมอ x ∈ Rจงแสดงวา ϕ เปนฟงกชนสาทสสณฐาน และหา Ker(ϕ)

ตวอยาง . . ให ϕ : (R+, ·)→ (R,+) นยามโดย ϕ(x) = ℓn(x) เมอ x ∈ R+

จงแสดงวา ϕ เปนฟงกชนสาทสสณฐาน และหา Ker(ϕ)

ตวอยาง . . ให ϕ : (R2,+)→ (R,+) นยามโดย ϕ((x, y)) = x+ y เมอ x, y ∈ Rจงแสดงวา ϕ เปนฟงกชนสาทสสณฐาน และหา Ker(ϕ)


ทฤษฎบท . . ให G เปนกรป และ N $ G ให π : G→ G/N นยามโดย

π(g) = Ng ทก ๆ g ∈ G

แลว π เปนฟงกชนสาทสสณฐานแบบทวถง

ซงจะเรยกวา ฟงกชนสาทสสณฐานธรรมชาต (natural homomorphism)

ทฤษฎบท . . ให G และ G′ เปนกรป โดยท e และ e′ เปนเอกลกษณของ G และ G′ ตามลาดบให ϕ : G→ G′ เปนฟงกชนสาทสสณฐาน และ a ∈ G ซงมอนดบจากด และ n ∈ Z จะไดวา

. ϕ(e) = e′

. ϕ(a−1) = (ϕ(a))−1

. ϕ(an) = (ϕ(a))n

. ◦(ϕ(a)) | ◦(a)


ทฤษฎบท . . ให G และ G′ เปนกรป โดยท ϕ : G→ G′ เปนฟงกชนสาทสสณฐาน จะไดวา

. Ker(ϕ) $ G

. Ran(ϕ) ≤ G′

. ถา G เปนกรปวฏจกร แลว Ran(ϕ) เปนกรปวฏจกร


ทฤษฎบท . . ให G และ G′ เปนกรป โดยท ϕ : G→ G′ เปนฟงกชนสาทสสณฐาน จะไดวา

ϕ เปนฟงกชน - กตอเมอ Ker(ϕ) = {e}

ตวอยาง . . ให ϕ : (R,+)→ (R+, ·) นยามโดย ϕ(x) = ex

จะแสดงวา ϕ(x) เปนฟงกชนสาทสสณฐานแบบหนงตอหนง



. จงตรวจสอบวา ϕ เปนฟงกชนสาทสสณฐานหรอไม

. ให ϕ : (R∗, ·)→ (Z2,+) นยามโดย ϕ(x) =

⎧⎨

⎩0 ถา x > 0

1 ถา x < 0

. ให ϕ : R→ Z นยามโดย ϕ(x) = [x] คอจานวนเตมมากสดทนอยกวาหรอเทากบ x

. ให ϕ : Z→ R นยามโดย ϕ(x) = x

. ให ϕ : Z2 → Z6 นยามโดย ϕ(x) = x−1

. ให ϕ : Z→ Z12 นยามโดย ϕ(x) = 4 + x

. ให ϕ : Z6 → Z6 นยามโดย ϕ(x) = (x)2

. ให ϕ : Z∗5 → Z∗

7 นยามโดย ϕ(x) = 5x

. ให ϕ : S4 → S4 นยามโดย ϕ(x) = x−2

. ให ϕ : (R,+)→ (C∗, ·) นยามโดย ϕ(x) = cosx− isinx

. ให f : (R,+)→ (R,+) นยามโดย f(x) = tanx

. ให P : R2 → R นยามโดย P ((x, y)) = y

. จงหา Ker(ϕ) ของฟงกชนสาทสสณฐานตอไปน

. ϕ : Z→ R นยามโดย ϕ(a) = −a

. ϕ : S5 → S5 นยามโดย ϕ(x) = (1 3 2)x(1 2 3)

. ϕ : (R,+)→ (R+, ·) นยามโดย ϕ(x) = ex

. ϕ : Z→ Z12 นยามโดย ϕ(x) = 4x

. ให G เปนกรป และ ϕ : G→ G นยามโดย ϕ(x) = x2 จงพสจนวา

ϕ เปนฟงกชนสาทสสณฐาน กตอเมอ G เปนกรปอาบเลยน

. ให A และ B เปนกรป จงพสจนวา f เปนฟงกชนสาทสสณฐาน และหา Ker(f)

. f : A×B → A นยามโดย f(a, b) = a

. f : A×B → B นยามโดย f(a, b) = b

. พสจนทฤษฎบท . . ขอ


. ฟงกชนสมสณฐาน

บทนยาม . . ให G และ G′ เปนกรป จะเรยกฟงกชน ϕ : G → G′ วาเปน ฟงกชนสมสณฐาน

(isomorphism) กตอเมอ

ϕ เปนฟงกชนสาทสสณฐานแบบหนงตอหนงและทวถง

ถา ϕ เปนฟงกชนสมสณฐาน จะกลาววา G สมสณฐาน (isomoephic) กบ G′ เขยนแทน G ∼= G′

ขอสงเกต . . G ∼= G′ กตอเมอ มฟงกชน ϕ : G→ G′ เปนฟงกชนสมสณฐาน

ตวอยาง . . จงตรวจสอบวาฟงกชนสาทสสณฐาน ϕ เปนฟงกชนสมสณฐานหรอไม

. ϕ : (R,+)→ (R+, ·) นยามโดย ϕ(x) = 2x

. ϕ : (GL2(R), ·)→ (R∗, ·) นยามโดย ϕ(A) = det(A)

. . ฟงกชนสมสณฐาน

ทฤษฎบท . . ให G และ G′ เปนกรป และ a ∈ G ถา ϕ : G→ G′ เปนฟงกชนสมสณฐาน แลว

. ϕ−1 เปนฟงกชนสมสณฐานจาก G′ ไป G

. ถา ◦(a) เปนอนดบจากด แลว ◦(a) = ◦(ϕ(a))

ทฤษฎบท . . สมบตสมมาตรของสมสณฐานให G1 และ G2 เปนกรป

ถา G1∼= G2 แลว G2

∼= G1

ทฤษฎบท . . สมบตการถายทอดของสมสณฐานให G1, G2 และ G3 เปนกรป

ถา G1∼= G2 และ G2

∼= G3 แลว G1∼= G3


ทฤษฎบท . . ให G เปนกรปวฏจกร จะไดวา

. ถา G เปนกรปอนนต แลว G ∼= Z

. ถา G เปนกรปจากดทมอนดบเปน n แลว G ∼= Zn

บทแทรก . . ให G เปนกรป ซง |G| = p เมอ p เปนจานวนเฉพาะ จะไดวา G ∼= Zp

บทแทรก . . ให m,n ∈ N ถา m และ n เปนจานวนเฉพาะสมพทธกนแลว

Zmn∼= Zm × Zn


ทฤษฎบท . . ให G และ G′ เปนกรป ซง G ∼= G′ จะไดวา

. G เปนกรปอาบเลยน กตอเมอ G′ เปนกรปอาบเลยน

. G เปนกรปวฏจกร กตอเมอ G′ เปนกรปวฏจกร

. G มกรปยอยอนดบ n กตอเมอ G′ มกรปยอยอนดบ n

. G มสมาชกอนดบ n กตอเมอ G′ มสมาชกอนดบ n

. ทกสมาชกของ G เปนอนดบจากด กตอเมอ ทกสมาชกของ G′ เปนอนดบจากด


ทฤษฎบท . . ให G1 และ G2 เปนกรป

ถา G1∼= G′

1 และ G2∼= G′

2 แลว G1 ×G2∼= G′

1 ×G′2

ตอไปจะกลาวถงทฤษฎบททโดงดงทกลาวไววา ทก ๆ กรป G จะสมสณฐานกบกรปการเรยง

สบเปลยนของ G เสมอ คดคนโดยนกคณตศาสตรชาวองกฤษผ เลองชอนามวา อารเทอร เคยเลย(Arthur Cayley) โดยเฉพาะกรปจากดทม |G| = n จะไดสมสณฐานกบ H สาหรบบาง H ≤ Sn

จากหวขอ . และตามทฤษฎบท . . กรปสมมาตร SG จะหมายถงเซต

SG = {f : G→ G : f เปนฟงกชน - แบบทวถง }

สมาชกใน SG เรยกวาวธเรยงสบเปลยนของG และกรปยอยของ SG เรยกวากรปการเรยงสบเปลยน

บทตง . . ให G เปนกรป และ a ∈ G กาหนดให Ta : G→ G นยามโดย

Ta(x) = ax ทก ๆ x ∈ G

แลว Ta เปนวธเรยงสบเปลยนของ G หรอ Ta ∈ SG


ทฤษฎบท . . ทฤษฎบทเคยเลย (Cayley's Theorem)ให G เปนกรป แลว

G สมสณฐานกบกรปการเรยงสบเปลยนของ G

บทแทรก . . ให G เปนกรปจากดทมอนดบเทากบ n แลวจะไดวาม H ≤ Sn ซง G ∼= H

ตวอยาง . . จงหากรปการเรยงสบเปลยนทสมสณฐานกบ Z3 และเปนกรปยอยของ S3



. จงตรวจสอบวา ϕ เปนฟงกชนสมสณฐานหรอไม

. ϕ : (R∗, ·)→ (R+, ·) นยามโดย ϕ(x) = |x|

. ϕ : Z→ Z นยามโดย ϕ(x) = 3x

. ϕ : Z6 → Z12 นยามโดย ϕ(x) = 2x

. ϕ : Z→ Z2 นยามโดย ϕ(x) = x

. ϕ : (Z,+)→ (R+, ·) นยามโดย ϕ(x) = ex

. ϕ : (R,+)→ (R+, ·) นยามโดย ϕ(x) = 3−x

. ϕ : (R+, ·)→ (R,+) นยามโดย ϕ(x) = ℓn(x)

. ϕ : S4 → S4 นยามโดย ϕ(x) = x2

. ϕ : GL2(R)→ R∗ นยามโดย ϕ(A) = det(A)

. จงตรวจสอบเซตคใดสมสณฐานกนบาง

. Z5 และ Z6

. Z6 และ Z3

. Z และ Q

. R+ และ R

. Z/6Z และ Z6

. Z/10Z และ Z2 × Z5

. Z2 × Z3 และ Z6

. Z2 × Z5 และ Z∗11

. Z2 × Z4 และ Z8

. ให G และ G′ เปนกรป จงแสดงวา G×G′ ∼= G′ ×G

. จงหากรปการเรยงสบเปลยนทสมสณฐานกบ

. Z4

. Z5

. Z∗7

. Z2 × Z3

. Z×10

. Z/6Z

. Z

. R

. ให a เปนสมาชกในกรป G จงแสดงวา

fa : G→ G นยามโดย fa(x) = axa−1 ทก ๆ x ∈ G

เปนฟงกชนสมสณฐาน

. จงพสจนทฤษฎบท . .


. ให G1, G2 และ G3 เปนกรป ถา G1∼= G2 และ G2

∼= G3 แลว G1∼= G3

. ให a, b ∈ R∗ กาหนด Tab : R→ R นยามโดย Tab(x) = ax+ b ให

G = {Tab : a, b ∈ R∗} และ N = {T1b : b ∈ R}

จงแสดงวา (G, ◦) เปนกรป และ N $ G และ G/N ∼= R∗

. . ทฤษฎบทฟงกชนสมสณฐาน

. ทฤษฎบทฟงกชนสมสณฐาน

ทฤษฎบท . . ทฤษฎบทฟงกชนสมสณฐานบททหนง (The First Isomorphism Theorem)

ให G และ G′ เปนกรป โดยท ϕ : G→ G′ เปนฟงกชนสาทสสณฐาน จะไดวา

G/Ker(ϕ) ∼= Ran(ϕ)

ขอสงเกต . . ให G และ G′ เปนกรป

. ถา ϕ : G→ G′ เปนฟงกชนสาทสสณฐานแบบทวถง แลว G/Ker(ϕ) ∼= G′

. ψ ◦ π = ϕ เมอ π เปนฟงกชนสาทสสณฐานธรรมชาต

ตอไปเปนแผนภาพแสดงความสมพนธของ G, Ran(ϕ) และ G/Ker(ϕ) ตามทฤษฎบทฟงกชนสมสณฐานบททหนง

G Ran(ϕ)

G/Ker(ϕ)

π

ϕ

ψ


ทฤษฎบท . . ให n ∈ Nแลว Z/nZ ∼= Zn

จากทฤษฎบท . . เหนไดวา Z/nZ ∼= Zn นนหมายความวาเราอาจเขยนกรป Z/nZ ใชแทนZn ซงในหนงสอบางเลมจะใชในลกษณะดงกลาว เชน Z/6Z จะหมายถง Z6

ตวอยาง . . ให ϕ : (R,+)→ (C∗, ·) นยามโดย ϕ(x) = cosx+ isinx เมอ x ∈ Rจงแสดงวา R/ ⟨2π⟩ ∼= {cosx+ isinx : x ∈ R}

ตวอยาง . . ให ϕ : (R2,+)→ (R,+) นยามโดย ϕ((x, y)) = x+ y เมอ x, y ∈ Rจงแสดงวา R2/{(x,−x) : x ∈ R} ∼= R


ทฤษฎบท . . ให G เปนกรป และ K $ G แลวจะไดวา

มกรป G′ และ f : G→ G′ เปนฟงกชนสาทสสณฐาน ซง Ker(f) = K

ทฤษฎบท . . ทฤษฎบทฟงกชนสมสณฐานบททสอง (The Second Isomorphism Theorem)

ให G เปนกรป โดยท H ≤ G และ K $ G จะไดวา

H/H ∩K ∼= HK/K

โดยทฤษฎบทฟงกชนสมสณฐานบททสอง แสดงความสมพนธของ H, K, H ∩K และ HK

ไดดงน

HK

H ∩K

KH

≤ $

≤$


ทฤษฎบท . . ทฤษฎบทฟงกชนสมสณฐานบททสาม (The Third Isomorphism Theorem)

ให G เปนกรป โดยท H $ G, K $ G และ K ⊆ H จะไดวา

H/K $ G/K และ (G/K)/(H/K) ∼= G/H



. ให G เปนกรปอาบเลยนทมอนดบ n ให m ∈ N ซง gcd(n,m) = 1 จงแสดงวา

ทก ๆ g ∈ G จะม x ∈ G ซง g = xm

. จงแสดงวา Z18/ ⟨3⟩ ∼= Z3

. จงพสจนวา ถา H เปนกรปยอยปกตของกรป G ซง |G| = p แลวจะไดวา ทก ๆ K ≤ G

จะสอดคลองขอใดขอหนงเพยงขอเดยวจาก ตอไปน

(ก) K ≤ H หรอ

(ข ) G = HK และ [K : K ∩H] = p

. ให M และ N เปนกรปยอยปกตของกรป G ซง G = MN จงแสดงวา

G/(M ∩N) ∼= (G/M)× (G/N)

. ให C และ D เปนกรปยอยปกตของกรป A และ B ตามลาดบ จงพสจนวา

(C ×D) $ (A× B) และ (A×B)/(C ×D) ∼= (A/C)× (B/D)


. ฟงกชนอตสณฐาน

บทนยาม . . ให G เปนกรป ถา ϕ : G→ G เปนฟงกชนสมสณฐานจะเรยก ϕ วาเปน ฟงกชนอตสณฐาน (automorphism) ของ G เซตของฟงกชนอตสณฐานของ G

เขยนแทนดวย Aut(G) นนคอ

Aut(G) = {ϕ : G→ G : ϕ เปนฟงกชนสมสณฐาน }

เหนไดชดวาฟงกชนเอกลกษณ iG เปนฟงกชน - แบบทวถง และสาหรบ x, y ∈ G จะไดวา

iG(xy) = xy = iG(x)iG(y)

ดงนน iG เปนฟงกชนอตสณฐานของ G

ตวอยาง . . ให G เปนกรปอาบเลยน และ

ϕ : G→ G นยามโดย ϕ(x) = x−1

จงแสดงวา ϕ ฟงกชนอตสณฐานของ G

ทฤษฎบท . . ให G เปนกรปวฏจกร โดยท a และ b เปนตวกอกาเนดของ G กาหนดให

ϕ : G→ G นยามโดย ϕ(ak) = bk มอ k ∈ Z

แลว ϕ เปนฟงกชนอตสณฐานของ G

. . ฟงกชนอตสณฐาน

ทฤษฎบท . . ให G เปนกรป แลว (Aut(G), ◦) เปนกรป

จะเหนวากรป (Aut, ◦) ม iG เปนเอกลกษณ และ ϕ มตวผกผนคอ ϕ−1

ทฤษฎบท . . ให G เปนกรป และ a ∈ G กาหนดให

fa : G→ G นยามโดย fa(x) = a−1xa

แลว fa เปนฟงกชนอตสณฐานของ G


บทนยาม . . ให G เปนกรป และ a ∈ G จะเรยก fa ในทฤษฎบท . . วา ฟงกชนอตสณฐาน

ภายใน (inner automorphism) ของ G ซงสมนยกบ a และเซตของฟงกชนอตสณฐานภายในของ

G เขยนแทนดวย Inn(G) นนคอ

Inn(G) = {fa ∈ Aut(G) : a ∈ G}

ขอสงเกต . . ถา G เปนกรปอาบเลยน จะไดวา fa คอ iG สาหรบทก ๆ a ∈ G

ตวอยาง . . จงหา fa(x) ∈ Inn(S3) เมอ a = (1 2)

. . ฟงกชนอตสณฐาน

ทฤษฎบท . . ให G เปนกรป จะไดวา

G/Z(G) ∼= Inn(G) และ Inn(G) $ Aut(G)

เมอ Z(G) = {a ∈ G : ax = xa ทก ๆ x ∈ G}



. จงตรวจสอบวา ϕ เปนฟงกชนอตสณฐานหรอไม

. ϕ : R∗ → R∗ นยามโดย ϕ(x) = |x|

. ϕ : S2 → S2 นยามโดย ϕ(x) = x−1

. ϕ : Sn → Sn นยามโดย ϕ(x) = x−1 เมอ n ∈ N

. ϕ : G→ G นยามโดย ϕ(x) = xax−1 เมอ a เปนสมาชกในกรป G

. จงหาฟงกชนอตสณฐานทงหมดของกรปตอไปน

. R

. R+

. S3

. Z4

. Z6

. Z∗5

. ให p เปนจานวนเฉพาะ จงพสจนวา

. |Aut(Z2)| = 1

. Aut(Z3) ∼= Z2

. Aut(Z4) ∼= Z2

. Aut(Zp) ∼= Zp−1

. จงหาฟงกชนอตสณฐานภายใน fa(x) ∈ Inn(S3) เมอกาหนดให

. a = (1 3) . a = (2 3) . a = (1 3 2)

. ให G เปนกรป จงพสจนวา Inn(G) $ Aut(G)



บทท

รง

เมอใดกตามทกลาวถงกรปจะทราบทนทวามการดาเนนการทวภาคเพยงหนงเดยวบนกรปนนในบทนจะเพมอกหนงการดาเนนการทวภาคในกรป โดยให + แทนการดาเนนการแรก และ · แทนการดาเนนการทเพม และใหการดาเนนการทงสองมความสมพนธกน ดงจะศกษาไดจากบทเรยนน

. รงและฟลด

บทนยาม . . ให R เปนเซตทไมใชเซตวาง โดยท + และ · เปนการดาเนนการทวภาคใน R

จะเรยกวา รง (ring) เขยนแทนดวย (R,+, ·) ถาสอดคลอง ขอตอไปน

(ก) (R,+) เปนกรปอาบเลยน

(ข) (R, ·) เปนกงกรป

(ค) สาหรบ a, b, c ∈ R จะไดวา

a · (b+ c) = a · b+ a · c และ (b+ c) · a = b · a+ c · a

เรยกวา สมบตการแจกแจง (distributive law) ใน R

เขยน R แทนรง (R,+, ·) และ a · b เขยนแทนดวย ab

We write a ring R instead of (R,+, ·) and ab instead of a · b.ถา (R+, ·) เปนรง แลว

. เอกลกษณใน (R,+) เขยนแทนดวย 0 เรยกวา ศนย (zero element) และสาหรบ a ∈ R

เขยนตวผกผนของ a ดวย −a

. ถากงกรป (R, ·) มเอกลกษณ เขยนแทนดวย 1 เรยกวา หนง (unity) และเรยก (R,+, ·) วารงซงมหนง (ring with unity)

. ถากงกรป (R, ·) มสมบตการสลบท เรยก (R,+, ·) วา รงสลบท (commutative ring)

ขอสงเกต . . ถาวง (R,+, ·) มสมาชกเพยงตวเดยว จะไดวา R = {0} และศนยทาหนาทเปนหนง นนคอ 0 = 1 โดยเรยก ({0},+, ·) วา รงชด (trivial ring)

บทท . รง

จากความรเรองกรปถา + เปนการบวก และ · เปนการคณ จะไดวา

. (Z,+, ·), (Q,+, ·), (R,+, ·) และ (C,+, ·) เปนรงสลบทซงมหนงคอ 1

. สาหรบ n ∈ N จะไดวา (Zn,+, ·) เปนรงสลบทซงมหนงคอ 1

. สาหรบ n ∈ N จะไดวา (Mnn(R),+, ·) เปนรงทไมสลบทซงมหนงคอ I


Q[√2] = {a+ b

√2 : a, b ∈ Q}

จงแสดงวา (Q[√2],+, ·) เปนรงสลบทซงมหนง

ตวอยาง . . ให a, b ∈ Z นยามโดย

a⊕ b = a+ b+ 2

a⊙ b = 2ab

จงตรวจสอบวา (Z,⊕,⊙) เปนรง หรอไม

. . รงและฟลด

ตวอยาง . . ให a, b ∈ R นยามโดย

a⊕ b = a+ b+ 1

a⊙ b = a+ b+ ab

จงแสดงวา (R,⊕,⊙) เปนรงสลบทซงมหนง

บทท . รง

ตวอยาง . . ให a, b, c, d ∈ R นยามโดย

(a, b)⊕ (c, d) = (a+ c, b+ d)

(a, b)⊙ (c, d) = (a · c, b · d)

จงแสดงวา (R× R,⊕,⊙) เปนรงสลบทซงมหนง


จากตวอยาง . . จะเหนไดวา R เปนรง แลว R× R เปนรง ขยายแนวคดนไปยง รงใด ๆ ถาR และ S เปนรง สาหรบ (a, b), (c, d) ∈ R× S โดยนยาม

(a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d) ( . )(a, b) · (c, d) = (a · c, b · d) ( . )

จะพสจนไดวา (R× S,+, ·) เปนรงดวย

ทฤษฎบท . . ให R และ S เปนรง จะไดวา R × S เปนรง เมอนยาม + และ · ดงสมการ ( . )และ ( . ) ตามลาดบ และเรยกรง R× S วา ผลคณตรงของรง (direct product of ring)

บทแทรก . . ให R และ S เปนรงซงมหนง จะไดวา R× S เปนรงซงมหนง

บทแทรก . . ให R และ S เปนรงซงมหนง ถา R และ S มหนวย แลว R× S มหนวย

บทท . รง

ทฤษฎบท . . ให R เปนรง และ a, b ∈ R จะไดวา

. a0 = 0a = 0

. a(−b) = (−a)b = −(ab)

. (−a)(−b) = ab

บทแทรก . . ให R เปนรงซงมหนง และ a ∈ R จะไดวา

. (−1)a = −a

. (−1)(−1) = 1

บทแทรก . . ถา R เปนรงซงมหนง และ R = {0} แลว 0 = 1


บทนยาม . . ให (R,+, ·) เปนรง โดยท x ∈ R และ n ∈ N กาหนดให

. nx = x+ (n− 1)x

. 0x = 0 เมอ 0 ทางขวามอเปนเอกลกษณใน (R,+)

และ 0 ทางซายมอเปนจานวนเตม

. (−n)x = n(−x)

. x0 = 1 เมอ 0 ∈ Z และ 1 เปนเอกลกษณใน (R, ·)โดยท x ไมเปนเอกลกษณใน (R,+)

. xn = xxn−1 เมอ x ไมเปนเอกลกษณใน (R,+)

ทฤษฎบท . . ให (R,+, ·) เปนรง โดยท x, y ∈ R และ n,m ∈ Z จะไดวา

. −(nx) = n(−x)

. nx+mx = (n+m)x

. n(x+ y) = nx+ ny

. n(xy) = (nx)y = x(ny)

. (nx)(my) = (nm)xy

. (xy)n = xnyn เมอ xy ไมเปนเอกลกษณใน (R,+)

บทท . รง

บทนยาม . . ให R เปนรง ถาม k ∈ N ซง ka = 0 ทก a ∈ R และ

n = min{k ∈ N : ka = 0 ทก ๆ a ∈ R}

เรากลาววา R ม แคแรกเทอรสตก (characteristic) เทากบ n เขยนแทนดวย Char(R)

ถาไมม k ∈ N ซง ka = 0 ทก a ∈ R จะกลาววา R มแคแรกเทอรสตกเทากบ 0

ขอสงเกต . . จะไดวา Char(R) > 0 กตอเมอ min{k ∈ N : ka = 0 ทก ๆ a ∈ R} = ∅

ตวอยาง . . จงหาแคแรกเทอรสตกของ

. Z3

. Z6

. Z2 × Z3


สาหรบรง Z, Q, R และ C เหนไดชดวาไมม k ∈ N ซง ka = 0 ทก a ทเปนสมาชกของรงนนดงนน Char(Z) = 0, Char(Q) = 0, Char(R) = 0 และ Char(C) = 0

ทฤษฎบท . . ให R เปนรงซงมหนง และ Char(R) = n จะไดวา

n > 0 กตอเมอ {k ∈ N : k1 = 0} = ∅

บทแทรก . . ให R เปนรงซงมหนง และ Char(R) > 0 จะไดวา

Char(R) = {k ∈ N : k1 = 0}

บทท . รง

บทนยาม . . ให R เปนรงซงมหนง และ a ∈ R จะเรยก a วา หนวย (unit) ถา

ม b ∈ R ซง ab = 1 = ba

หรอกลาวไดวา a เปนหนวย กตอเมอ a มตวผกผนในกงกรป (R, ·)และเซตของหนวยของ R เขยนแทนดวย U(R) นนคอ

U(R) = {a ∈ R : ม b ∈ R ฃง ab = 1 = ba}

ตวอยาง . . จงหา U(R) ของรงตอไปน

. Z6 . Z7

จากความรเรองกรป สาหรบรง (R,+, ·) เมอ + คอการบวก และ · คอการคณ จะไดวา

R เซตของหนวยของ R หรอ U(R)

Zn Z×n เมอ n ∈ N

Zp Z∗p เมอ p เปนจานวนเฉพาะ

Z {−1, 1}Q Q∗

R R∗

C C∗

Mnn(R) GLn(R) เมอ n ∈ N

ในทานองเดยวกนกบตวอยาง . . พสจนไดวา (Z[√2],+, ·) เปนรง เมอ

Z[√2] = {a+ b

√2 : a, b ∈ Z}

ตวอยาง . . จงหาเซตของหนวยของรง (Z[√2],+, ·)


บทนยาม . . ให R เปนรงซงมหนง โดยท 1 = 0 แลวเรยก R วา

. รงการหาร (division ring) ถาทกสมาชกทไมใชศนยใน R เปนหนวย

. ฟลด (field) ถา R เปนรงการหารสลบท (commutative division ring)

. สกวฟลด (skew field) ถา R เปนรงการหารไมสลบท

จากนยามขางตนแสดงความสมพนธของรงการหาร ฟลด และสกวฟลด ไดดงตอไปน

สกวฟลดฟลด

รงการหาร

รปท แสดงความสมพนธของรงการหาร ฟลด และสกวฟลด

ขอสงเกต . . ให R เปนรงซงมหนง โดยท 1 = 0 จะไดวา

R เปนรงการหาร กตอเมอ U(R) = R− {0}

จากตารางท เมอ p เปนจานวนเฉพาะ จะไดวา

Zp, Q, R และ C

เปนรงการหาร เนองจากรงดงกลาวเปนรงสลบทได ดงนนทง รงเปนฟลดดวย

บทท . รง

จากนจะกลาวถงตวอยางของรงการหารทไมสลบททเรยกวาสกวฟลดให Q = R4 โดยท x = (x1, x2, x3, x4) และ y = (y1, y2, y3, y4) นยามการดาเนนการโดย

x+ y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3, x4 + y4) ( . )x · y = (x1y1 − x2y2 − x3y3, x1y2 + x2y1 + x3y4 − x4y3,

x1y3 + x3y1 + x4y2 − x2y4, x1y4 + x4y1 + x2y3 − x3y2) ( . )

แลว (Q,+, ·) เปนรงไมสลบท (พสจนเปนแบบฝกหด) ซงเรยกวา รงควอเทอรเนยน (quaternionring) สาหรบ x = (x1, x2, x3, x4) ทไมใชศนยใน Q จะไดวา

x−1 =(x1

s,−x2

s,−x3

s,−x4

s

)

เมอ s = x21 + x2

2 + x23 + x2

4

ดงนนสมาชกทกตวทไมใชศนยเปนหนวย สรปไดวา (Q,+, ·) เปนสกวฟลดถากาหนดให 1 = (1, 0, 0, 0), i = (0, 1, 0, 0), j = (0, 0, 1, 0) และ k = (0, 0, 0, 1) โดยท

Q4 = {1,−1, i,−i, j,−j,k,−k}

จะไดวา

i2 = i2 = k2 = ijk = −1

ij = −ji = k, jk = −kj = i, ki = −ki = j ( . )

โดยนยาม · ดงสมการ ( . ) จะเหนวา 1 เปนเอกลกษณ และ

1,−1,−i,−j,−k เปนตวผกผนของ 1,−1, i, j,k ตามลาดบ

ดงนน (Q4, ·) เปนกรปควอเทอรเนยนหรอกรปไมสลบท (สอดคลองตามเงอนไขของตวอยาง . . )สาหรบ x = (x1, x2, x3, x4) สามารถเขยนในรป 1, i, j,k ไดเปน

x = x11+ x2i+ x3j + x4k

เราอาจนยาม ( . ) และ ( . ) ไดดงน

x+ y = (x11+ x2i+ x3j + x4k) + (x11+ x2i+ x3j + x4k) ( . )x · y = (x11+ x2i+ x3j + x4k)(y11+ y2i+ y3j + y4k) ( . )

เมอ x = (x1, x2, x3, x4) และ y = (y1, y2, y3, y4) โดยท 1, i, j,k สอดคลองเงอไข ( . )สาหรบ x = (x1, x2, x3, x4) ทไมใชศนยใน Q จะไดวา

x−1 =x11− x2i− x3j − x4k

x21 + x2

2 + x23 + x2

4


แบบฝกหด .. ให a, b ∈ R นยามโดย

a⊕ b = a+ b− 1 และ a⊙ b = ab− (a+ b) + 2

จงตรวจสอบวา (R,⊕,⊙) เปนรงสลบทซงมหนงหรอไม

. ให a, b, c, d ∈ Q นยามโดย

(a, b)⊕ (c, d) = (a+ c, b+ d) และ (a, b)⊙ (c, d) = (ac− bd, ad+ bc)

จงตรวจสอบวา (Q×Q,⊕,⊙) เปนรงสลบทซงมหนงหรอไม

. ให (R,+, ·) เปนรงทสอดคลองเงอนไข x · x = x ทก ๆ x ∈ R จงแสดงวา

. x+ x = 0 ทก ๆ x ∈ R . x · y = y · x ทก ๆ x, y ∈ R

. ให (R,+, ·) เปนรงสลบท ให a, b ∈ R จงพสจนวา

. a2 − b2 = (a− b)(a+ b) . (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2

. จงหาเซตของหนวยของรง Q[√2]

. จงแสดงวา (Z[√2],+, ·) เปนรง

. ให (R,+, ·) เปนรงซงมหนง จงพสจนวา (U(R), ·) เปนกรป

. ให R และ S เปนรงซงมหนง จงแสดงวา U(R× S) = U(R)× U(S)

. ให R เปนรงการหาร และ a ∈ R กาหนดให C(a) = {r ∈ R : ra = ar} จงพสจนวา C(a)

เปนรงการหารทก ๆ a ∈ R

. จะเรยกรง R วา รงบลน (Boolean ring) ถา a2 = a ทก ๆ a ∈ R

จงพสจนวารงบลนเปนรงสลบท

. ให X เปนเซตทไมใชเซตวาง กาหนดให

A+B = (A ∪ B)− (A ∩B) และ A · B = A ∩ B

จงแสดงวา (P(X),+, ·) เปนรงบลน

. จงแสดงวา Char(Zn) = n เมอ n ∈ N

. ให R เปนรงทมสามชกมากกวา ตว ถาทก ๆ a ∈ R− {0} ม x ∈ R ซง axa = x

จงแสดงวา R เปนวงการหาร

. ถา R และ S เปนฟลด แลว R× S เปนฟลด หรอไมเพราะเหตใด

. จงแสดงวา (Q,+, ·) เปนสกวฟลด โดยใชนยาม ( . ) และ ( . )

. จงสรางตารางของกรปควอเทอรเนยน (Q4, ·) โดย Q4 = {1,−1, i,−i, j,−j,k,−k}

บทท . รง

. รงยอย ไอดล และรงผลหาร

บทนยาม . . ให (R,+, ·) เปนรง และ S ⊆ R ถา (S,+, ·) เปนรง จะเรยก S วา รงยอย (subring)ของ R

จากหวขอ . จะไดวา

(Z,+, ·) เปนรงยอยของ (Q,+, ·), (R,+, ·) และ (C,+, ·)(Q,+, ·) เปนรงยอยของ (R,+, ·) และ (C,+, ·)(R,+, ·) เปนรงยอยของ (C,+, ·)

(nZ,+, ·) เปนรงยอยของ (Z,+, ·) เมอ n ∈ N

ตวอยาง . . จงหารงยอยทงหมดของ (Z6,+, ·)

วธทา พจารณากรปยอยทงหมดของ (Z6,+) คอ⟨d⟩เมอ d = 0, 1, 2, 3

⟨d⟩

(⟨d⟩, ·) รงยอยของ Z6 หนง

⟨0⟩ = {0} เปนกงกรป ใช 0

⟨3⟩ = {0, 3}⟨2⟩ = {0, 2, 4}⟨1⟩ = Z6

จากตวอยาง . . จะสงเกตไดวา

. กรปยอยของ (Z6,+) เปนรงยอยของ Z6

. หนงของรงยอยไมจาเปนตองเทากบหนงใน Z6

. Z6 เปนรงซงมหนง แตรงยอยของ Z6 ไมจาเปนตองมหนง

ทฤษฎบท . . เกณฑการพจารณารงยอย (The Subring Criterion)ให (R,+, ·) เปนรง และ S ⊆ R โดยท S = ∅ ขอความตอไปนสมมลกน

. (S,+, ·) เปนรงยอยของ (R,+, ·)

. (S,+) เปนกรปยอยของ (R,+) และ ab ∈ S ทก ๆ a, b ∈ S

. a− b ∈ S และ ab ∈ S ทก ๆ a, b ∈ S

. . รงยอย ไอดล และรงผลหาร

ตวอยาง . . จงตรวจสอบวาเซตตอไปนเปนรงยอยของ M22(R) หรอไม

. S =

{[x y

0 0

]: x, y ∈ R

}

. T =

{[x 0

0 0

]: x ∈ R

}

ตวอยาง . . จงตรวจสอบวา S เปนรงยอยของ Z× Z หรอไม

. S = {(x, x) : x ∈ Z}

. T = {(x, 0) : x ∈ Z}

. U = {(x, 1) : x ∈ Z}

บทท . รง

ทฤษฎบท . . ให S1 และ S2 เปนรงยอยของ R จะไดวา S1 ∩ S2 เปนรงยอยของ R

บทนยาม . . ให (R,+, ·) เปนรง และ (I,+) เปนกรปยอยของ (R,+) แลว

. เรยก I วา ไอดลซาย (left ideal) ของ R ถา RI ⊆ I

. เรยก I วา ไอดลขวา (right ideal) ของ R ถา IR ⊆ I

. เรยก I วา ไอดล (ideal) ของ R ถา RI ⊆ I และ IR ⊆ I

ขอสงเกต . . สาหรบรง R ใด ๆ จะไดวา {0} และ R เปนไอดลของ R

เนองจาก Zp เมอ p เปนจานวนเฉพาะ มกรปยอยเพยง กรป ดงนน Zp มเพยง ไอดลเทานนคอ {0} และ Zp เชนเดยวกบฟลดจะมเพยง ไอดลดงจะพสจนในทฤษฎบท . .

ทฤษฎบท . . ไอดลซาย ไอดลขวา และไอดล ของรง R ยอมเปนรงยอยของ R

ทฤษฎบท . . ให R เปนรงซงม 1 และ I เปนไอดลของ R จะไดวา

ถา 1 ∈ I แลว I = R


ตวอยาง . . จงหาไอดลของ Z6

ในทานองเดยวกบตวอยาง . . ทก ๆ กรปยอยของ (Zn,+) เปนไอดลของ Zn เมอ n ∈ N

ตวอยาง . . จงแสดงวา nZ เปนไอดลของ Z เมอ n ∈ N

ขอสงเกต . . ให R เปนรงสลบท จะไดวา

. ถา I เปนไอดลซายของ R แลว I เปนไอดลขวา และไอดลของ R

. ถา I เปนไอดลขวาของ R แลว I เปนไอดลซาย และไอดลของ R

ตวอยาง . . จงแสดงวา I = {(x, 0) : x ∈ Z} เปนไอดลของ Z× Z

บทท . รง

ตวอยาง . . จงตรวจสอบวากรปยอยของ M22(R) ตอไปนวาเปนไอดลซาย ไอดลขวา ไอดลหรอเปนอยางอน

. I =

{[x y

0 0

]: x, y ∈ R

}

. J =

{[x 0

0 0

]: x ∈ R

}

โดยทฤษฎบท . . ทก ๆ ไอดลเปนรงยอย แตในทางกลบกนตวอยาง . . ขอ แสดงให

เหนวา J เปนรงยอยของ M22(R) แตไมเปนไอดลของ M22(R) เพอใหเขาใจยงขนจะแสดงใหเหนความสมพนธของ รง รงยอย และไอดล ดงรปตอไปน

ไอดล

รงยอย

รง

ทฤษฎบท . . ให I และ J เปนไอดลซาย (ไอดลขวา, ไอดล) ของ R แลว

I ∩ J เปนไอดลซาย (ไอดลขวา, ไอดล) ของ R


ทฤษฎบท . . ให R เปนรง และ a ∈ R จะไดวา

Ra เปนไอดลซาย และ aR เปนไอดลขวาของ R

เรยก Ra และ aR วา ไอดลมขสาคญ (principal ideal) เขยนแทนดวย ⟨a⟩

ขอสงเกต . . จะเหนไดวาไอดลมขสาคญ ⟨a⟩ ในรง R มสมาชกเหมอนกบกรปยอย ⟨a⟩ ใน(R,+) (พสจนเปนแบบฝกหด)

ตวอยาง . . จงแจกแจงสมาชกของไอดลมขสาคญใน Z6

. ⟨1⟩

. ⟨2⟩

. ⟨3⟩

ในทานองเดยวกนสาหรบรง Z เมอ n ∈ Z เหนไดชดวา

⟨n⟩ = nZ

ทฤษฎบท . . ให I และ J เปนไอดลซาย (ไอดลขวา, ไอดล) ของ R และ S ตามลาดบ แลว

I × J เปนไอดลซาย (ไอดลขวา, ไอดล) ของ R× S

ในทางกลบกบของทฤษฎบท . . เมอ R และ S เปนรง เราแสดงไดวาไอดลของ R × S อยในรป I × S เมอ I และ J เปนไอดลของ R และ S ตามลาดบ

บทท . รง

ตวอยาง . . จงหาไอดลทงหมดของ Z2 × Z6

ทฤษฎบท . . ให R เปนรงสลบทซงมหนง และ R = {0} จะไดวา

R เปนฟลด กตอเมอ R มเพยง ไอดลเทานนคอ R และ {0}


ทฤษฎบท . . ให I เปนไอดลของรง R และ R/I = {I + a : a ∈ R} กาหนดให

(I + a) + (I + b) = I + (a+ b)

(I + a) · (I + b) = I + (ab)

แลว (R/I,+, ·) เปนรง และเรยกวา รงผลหาร (quotient ring)

ขอสงเกต . . ถา R เปนรงสลบทซงมหนง และ I เปนไอดลของ R จะไดวา R/I เปนรงสลบทซงมหนง โดยท

I เปนศนย และ I + 1 เปนหนง ในรงผลหาร R/I

ตวอยางเชนใน Z6 พจารณา ⟨3⟩ ซงเปนไอดลมขสาคญ จะไดวา

Z6/ ⟨3⟩ = {⟨3⟩ , ⟨3⟩+ 1, ⟨3⟩+ 2}

แสดงตารางการดาเนนการไดดงน

+ ⟨3⟩ ⟨3⟩+ 1 ⟨3⟩+ 2

⟨3⟩⟨3⟩+ 1

⟨3⟩+ 2

· ⟨3⟩ ⟨3⟩+ 1 ⟨3⟩+ 2

⟨3⟩⟨3⟩+ 1

⟨3⟩+ 2

บทท . รง

ทฤษฎบท . . ให I, J เปนไอดลของรง R โดยท I เปนเซตยอยของ J จะไดวา

J/I = {I} กตอเมอ J = I

ทฤษฎบท . . ให I, J,K เปนไอดลของรง R โดยท I เปนเซตยอยของ J และ K จะไดวา

K/I = J/I กตอเมอ K = J



. จงตรวจสอบวากรปยอยของM22(R) ตอไปนวาเปนไอดลซาย ไอดลขวา ไอดล หรอเปนอยางอน

. A =

{[x y

0 0

]: x, y ∈ R

}

. B =

{[x y

z 0

]: x, y, z ∈ R

}

. C =

{[x 0

0 y

]: x, y ∈ R

}

. D =

{[x 0

y 0

]: x, y ∈ R

}

. E =

{[0 x

0 0

]: x ∈ R

}

. F =

{[x 0

0 x

]: x ∈ R

}

. จงตรวจสอบวาเซตตอไปนเปน รงยอย หรอ ไอดลของ Z× Z หรอไม

. I = {(a, a) : a ∈ Z}

. J = {(2a, 2b) : a, b ∈ Z}

. K = {(2a, 0) : a ∈ Z}

. L = {(0,−a) : a ∈ Z}

. จงหารงยอยทงหมดและหนง (ถาม) ของรงตอไปน

. Z8 . Z12 . Z15 . Z36

. ถา p เปนจานวนเฉพาะจงใหเหตผลวาทาไม Zp มไอดลเพยง เซตเทานนคอ {0} และ Zp

. ให R = {f : R→ R : f เปนฟงกชนตอเนอง } กาหนดโดย

(f + g)(x) = f(x) + g(x) และ (f · g)(x) = f(x) · g(x)

. จงพสจนวา (R,+, ·) เปนรง

. I = {f ∈ R : f(1) = 0}เปนไอดลของ R

. ให R เปนรงและ Ii เปนไอดลของ R ทก ๆ i ∈ N โดยท

I1 ⊆ I2 ⊆ I3 ⊆ ...

จงแสดงวา⋃

i∈N

Ii เปนไอดลของ R

. จงยกตวอยางไอดล I และ J ของรง R ซง I ∪ J ไมเปนไอดลของรง R

. จงหาหนวยทงหมดของ Z6/ ⟨2⟩

. กาหนดให R และ S เปนรง จงแสดงวาไอดลของ R× S อยในรป I × J เมอ I และ J เปนไอดลของ R และ S ตามลาดบ

. จงพสจนวาไอดลมขสาคญ ⟨a⟩ ในรง R มสมาชกเหมอนกบกรปยอย ⟨a⟩ ใน (R,+)

บทท . รง

. ฟงกชนสาทสสณฐานของรง

บทนยาม . . ให (R,+, ·) และ (S,⊕,⊙) เปนรง และ ϕ : R→ S

. เรยกϕ วา ฟงกชนสาทสสณฐานของรง (ring homomorphism) ถาทก ๆ a, b ∈ R สอดคลอง

เงอนไขตอไปน

ϕ(a+ b) = ϕ(a)⊕ ϕ(b)ϕ(a · b) = ϕ(a)⊙ ϕ(b)

. เรยก ϕ วา ฟงกชนสมสณฐานของรง (ring isomorphism) ถา ϕ เปนฟงกชนสาทสสณฐาน

ของรงซงเปนฟงกชน - แบบทวถง และกลาววา R สมสณฐาน (isomorphic) กบ S เขยนแทนดวย R ∼= S

. เคอรเนล (Kernel) ของ ϕ เขยนแทนดวย นยามโดย

Ker(ϕ) = {x ∈ R : ϕ(x) = 0S}

เมอ 0S เปนศนยใน S

สาหรบ (R,+, ·) และ (S,⊕,⊙) เปนรง ถา ϕ : R → S เปนฟงกชนสาทสสณฐานของรง จะไดวา ϕ : (R,+)→ (S,⊕) เปนฟงกชนสาทสสณฐาน เพราะวา (R,+) และ (S,⊕) เปนกรปอาบเลยนจากสมบตของฟงกชนสาทสสณฐาน ทาใหไดวา

. ϕ(0R) = 0S เมอ 0R และ 0S เปนศนยใน R และ S ตามลาดบ

. ϕ(−x) = −ϕ(x) ทก ๆ x ∈ R

ตวอยาง . . จงแสดงวา ϕ เปนฟงกชนสาทสสณฐานของรง และหา Ker(ϕ)

. กาหนดให ϕ : Z→ Zn นยามโดย ϕ(x) = x เมอ n ∈ N

. . ฟงกชนสาทสสณฐานของรง

. กาหนดให ϕ : C→ C นยามโดย ϕ(x+ yi) = x− yi เมอ x, y ∈ R

ตวอยาง . . จงตรวจสอบวา ϕ เปนฟงกชนสาทสสณฐานของรงหรอไม

. กาหนดให ϕ : Z→ Z2 นยามโดย ϕ(x) = (x)2


ทฤษฎบท . . ให R และ S เปนรง และ ϕ เปนฟงกชนสมสณฐานของรงจาก R ไป S จะไดวา

ϕ เปนฟงกชน - กตอเมอ Ker(ϕ) = {0R}

บทท . รง

ตวอยาง . . ให ϕ : R→M22(R) นยามโดย

ϕ(a) =

[a 0

0 0

]

จงแสดงวา ϕ เปนฟงกชนสาทสสณฐานของรงแบบ -

จากตวอยาง . . จะเหนวา ϕ(1) =[1 0

0 0

]=[1 0

0 1

]ฉะนน ϕ(1R) = 1S ไมเปนจรง เมอ 1R

และ 1S เปนหนงใน R และ S ตามลาดบ เมอกาหนดให

T = Ran(ϕ) ={[

a 0

0 0

]: a ∈ R

}

จะไดวา T เปนรงยอยของ M22(R) และ ϕ : R→ T เปนฟงกชนสมสณฐานของรง นนคอ R ∼= T

ขอสงเกต . . ให R และ S เปนรง และ ϕ เปนฟงกชนสาทสสณฐานของรงจาก R ไป S

ถา ϕ เปนฟงกชน - แลว R ∼= Ran(ϕ)

ตวอยาง . . ให S = {(x, x) : x ∈ Z} เปนรงยอยของ Z จงแสดงวา S ∼= Z


ทฤษฎบท . . ให R และ S เปนรง และ ϕ เปนฟงกชนสาทสสณฐานของรงจาก R ไป S จะไดวา

. Ker(ϕ) เปนรงยอยของ R

. Ran(ϕ) เปนรงยอยของ S

. Ker(ϕ) เปนไอดลของ R

. ถา R มหนงคอ 1R แลว ϕ(1R) เปนหนงใน Ran(ϕ)

บทท . รง

ทฤษฎบท . . ให I เปนไอดลของรง R กาหนดให

π : R→ R/I นยามโดย π(a) = I + a

แลว π เปนภาวะสาทสณฐานของรงแบบทวถง

ซงจะเรยกวา ฟงกชนสาทสสณฐานของรงธรรมชาต (natural ring homomorphism)

ทฤษฎบท . . ทฤษฎบทฟงกชนสมสณฐานของรงบททหนง

ให R และ S เปนรง โดยท ϕ : R→ S เปนฟงกชนสาทสสณฐานของรง จะไดวา

R/Ker(ϕ) ∼= Ran(ϕ)

ขอสงเกต . . ให R และ S เปนรง

. ถา ϕ : R→ S เปนฟงกชนสาทสสณฐานของรงแบบทวถง แลว R/Ker(ϕ) ∼= S

. ψ ◦ π = ϕ เมอ π เปนฟงกชนสาทสสณฐานของรงธรรมชาต

ตอไปเปนแผนภาพแสดงความสมพนธของ R, Ran(ϕ) และ R/Ker(ϕ) ตามทฤษฎบทฟงกชนสมสณฐานของรงบททหนง

R Ran(ϕ)

R/Ker(ϕ)

π

ϕ

ψ


ตวอยาง . . จงแสดงวา Z/ ⟨n⟩ ∼= Zn

ทฤษฎบท . . ทฤษฎบทฟงกชนสมสณฐานของรงบททสองให A เปนรงยอยของ R และ B เปนไอดลของ R แลว A+ B = {a+ b : a ∈ A และ b ∈ B} เปนรงยอยของ R และ A ∩ B เปนไอดลของ A และ

(A+B)/B ∼= A/(A ∩ B)

ทฤษฎบท . . ทฤษฎบทฟงกชนสมสณฐานของรงบททสาม

ให I และ J เปนไอดลของ R โดยท I ⊆ J แลว J/I เปนไอดลของ R/I และ

(R/I)/(J/I) ∼= R/J

บทท . รง

แบบฝกหด .. จงตรวจสอบวา ϕ เปนฟงกชนสาทสสณฐานของรงหรอไม


. กาหนดให ϕ : Z→ Z12 นยามโดย ϕ(x) = 4x

. กาหนดให ϕ : C→ R นยามโดย ϕ(x+ yi) = x2 + y2 เมอ x, y ∈ R

. ให R เปนรงสลบท และ I = {x ∈ R : ม n ∈ N ซง xn = 0} จงพสจนวา

. I เปนไอดลของ R

. ใน R/I จะไดวาม m ∈ I ซง x−m = 0→ x = 0

. จงแสดงวารง 2Z และ 3Z ไมสมสณฐานกน

. จงหาฟงกชนสมสณฐานจาก Z ไป Z/30Z พรอมทงหาเคอรเนล และเรนจ

. จงหาฟงกชนสมสณฐานจาก Z× Z ไป Z พรอมทงหาเคอรเนล และเรนจ

. จงตรวจสอบวาฟงกชนตอไปนวาเปนฟงกชนสาทสสณฐานของรงจาก M22(Z) ไป Z หรอไม

.[a b

c d

].→ a .

[a b

c d

].→ a+ d .

[a b

c d

].→ ad− bc

. ให R =

{[a b

0 d

]: a, b, d ∈ Z

}เปนรงยอยของ M22(Z) จงพสจนวา

ϕ : R→ Z× Z นยามโดย[a b

0 d

].→ (a, d)

เปนเปนฟงกชนสาทสสณฐานของรงแบบทวถง และหาเคอรเนลของ ϕ

. จงแสดงวา S = {(x, 0) : x ∈ Z} เปนรงยอยของ Z และ S ∼= Z

. จงแสดงวา M ∼= C เมอ M =

{[a b

−b a

]: a, b ∈ R

}และนยาม ϕ : C→M โดย

ϕ(a+ bi) =

[a b

−b a

]

. ให R และ S เปนรง และ ϕ เปนฟงกชนสาทสสณฐานของรงจาก R ไป S จงแสดงวา Ran(ϕ)เปนรงยอยของ S แตไมเปนไอดลของ S

. จงพสจนทฤษฎบทฟงกชนสมสณฐานของรงบททสาม

. ให R เปนรงซงมหนง และ S เปนรง กาหนดให ϕ : R→ S เปนฟงกชนสาทสสณฐานและ u เปนหนวยของ R จงแสดงวา

ϕ(u) เปนหนวยของ S กตอเมอ u /∈ Ker(ϕ)

บทท

โดเมนเชงจานวนเตม

จานวนเตมเตมทเรารจกกนมานานนนมสมบตมากมายทนาสนใจซงจะเหนวา (Z,+, ·) เปนรงชนดหนง ดงนนในบทนเราจะขยายแนวคดนใหทวไปมากยงขนเพอใชตรวจสอบวารงตาง ๆ ม

สมบตดงกลาวหรอไม โดยความสนในเรองน เกดขนพรอม ๆ กบการพฒนาวชาพชคณตนามธรรมในชวงเรมตน

. ตวหารศนยและโดเมนเชงจานวนเตม

บทนยาม . . ให R เปนรงสลบท และ a เปนสมาชกทไมใชศนยใน R แลว

เรยก a วา ตวหารศนย (zero divisor) ถาม b ซงเปน สมาชกทไมใชศนยใน R ททาให ab = 0

ขอสงเกต . . ถา R รงสลบทซงไมมตวหารศนย แลวทก ๆ รงยอยของ R ไมมตวหารศนย

สาหรบ a, b ∈ C โดยสมบตของจานวนเชงซอนจะไดวา

a = 0 และ b = 0 กตอเมอ ab = 0

สรปไดวา Z, Q, R และ C ไมมตวหารศนย

ตวอยาง . . จงหาตวหารศนยทงหมดของ Z6

บทท . โดเมนเชงจานวนเตม

ทฤษฎบท . . ให a ∈ {1, 2, 3, ..., n− 1} เมอ n ∈ N จะไดวา

a เปนตวหารศนยใน Zn กตอเมอ gcd(a, n) = 1

ตวอยาง . . จงหาตวหารศนยทงหมดของรงตอไปน

. Z12

. Z18

. Z20

. . ตวหารศนยและโดเมนเชงจานวนเตม

บทแทรก . . จานวนตวหารศนยของ Zn เทากบ (n− 1)− φ(n) เมอ n ∈ N

ตวอยาง . . จงหาจานวนตวหารศนยทงหมดของรงตอไปน

. Z15

. Z23

. Z36

. Z100

บทแทรก . . ถา p เปนจานวนเฉพาะ แลว Zp ไมมตวหารศนย


ทฤษฎบท . . ให R และ R เปนรงสลบท จะไดวา

ถา a หรอ b เปนตวหารศนยของ R และ S ตามลาดบ แลว (a, b) เปนตวหารศนยของ R× S

ให R และ S เปนรงสลบท จะเหนไดชดวา x ∈ R− {0} และ y ∈ S − {0} จะไดวา

(x, 0S) และ (0R, y) เปนตวหารศนยของ R× S

ตวอยางเชนตวหารศนยของ Z2 × Z3 คอ (0, 1), (0, 2) และ (1, 0)

ทฤษฎบท . . ให R และ R เปนรงสลบท ให a ∈ R− {0} และ b ∈ S − {0} จะไดวา

ถา (a, b) เปนตวหารศนยของ R× S แลว a หรอ b เปนตวหารศนยของ R และ S ตามลาดบ


ตวอยาง . . จงหาตวหารศนยของ Z3 × Z4

ตวอยาง . . จงหาจานวนตวหารศนยของ Z5 × Z6

บทนยาม . . จะเรยกรงสลบทซงไมมตวหารศนยวา โดเมนเชงจานวนเตม (integral domain)

จากบทนยามขางตน ให R เปนรงสลบทจะไดวา

R เปนโดเมนเชงจานวนเตม กตอเมอ ab = 0 ทก ๆ a, b ∈ R− {0}

หรอกลาวอกนยไดวา R เปนโดเมนเชงจานวนเตม กตอเมอ ทก ๆ a, b ∈ R

ถา ab = 0 แลว a = 0 หรอ b = 0

หรอกลาวไดวา R เปนโดเมนเชงจานวนเตม กตอเมอ ทก ๆ a, b ∈ R

ถา a = 0 และ b = 0 แลว ab = 0

เนองจาก Z, Q, R และ C ไมมตวหารศนย ดงนนรงดงกลาวเปนโดเมนเชงจานวนเตม

ตวอยาง . . จงตรวจสอบวารงตอไปนเปนโดเมนเชงจานวนเตมหรอไม

. Z5

. Z6

. Z7

. Z8


ทฤษฎบท . . Zn เปนโดเมนเชงจานวนเตม กตอเมอ n เปนจานวนเฉพาะ

ทฤษฎบท . . ให R เปนรงสลบท จะไดวา

R เปนโดเมนเชงจานวนเตม กตอเมอ R สอดคลองเงอนไขการตดออกสาหรบ ·

ทฤษฎบท . . ฟลดเปนโดเมนเชงจานวนเตม


บทกลบของทฤษฎบท . . ไมเปนจรง ตวอยางคอ Z เปนโดเมนเชงจานวนเตมแตไมเปนฟลด

เพราะหนวยใน Z มแค ตวเทานนคอ 1 และ −1 บทกลบจะเปนจรงตองเพมเงอนไขวาโดเมนเชงจานวนเตมตองเปนเซตจากด จะกลาวในทฤษฎบทตอไปน

ทฤษฎบท . . โดเมนเชงจานวนเตมทมสมาชกจากดเปนฟลด

บทแทรก . . Zn เปนฟลด กตอเมอ n เปนจานวนเฉพาะ

จากการนยามและทฤษฎบทตางทไดสามารถแสดงความสมพนธสวนตาง ๆ ของรงพรอมตวอยาง

ประกอบไดดงน

รงสลบท Z6 Z8Z12รงไมสลบท

M22(R)

รง

รงการหาร ฟลด RCQสกวฟลด

Q

โดเมน

Z

เชงจานวนเตมโดเมน

เชงจานวนเตม Z7

Z5

จากด


บทแทรก . . ทฤษฎบทของแฟรมาต (Fermat's Theorem)ให a ∈ Z และ p เปนจานวนเฉพาะ โดยท p " a จะไดวา

p | (ap−1 − 1)

ตวอยางทไดจากทฤษฎบทของแฟรมาต

. เนองจาก 5 " 1011 จะไดวา 5 | (10114 − 1)

. เนองจาก 7 " 30 จะไดวา 7 | (306 − 1)

. เนองจาก 11 " 131 จะไดวา 11 | (13110 − 1)

ทฤษฎบท . . ให R เปนโดเมนเชงจานวนเตมซงมหนง และ a ∈ R−{0} โดยท ◦(a) คออนดบใน (R,+) จะไดวา

. ◦(a) = Char(R) ถา Char(R) > 0

. ◦(a) =∞ ถา Char(R) = 0


ทฤษฎบท . . ให R เปนโดเมนเชงจานวนเตมซงมหนง แลว

Char(R) > 0 กตอเมอ ม n ∈ N และม a ∈ R− {0} ซง na = 0

ทฤษฎบท . . ให R เปนโดเมนเชงจานวนเตมซงมหนง แลว

Char(R) = 0 หรอ Char(R) = p เมอ p เปนจานวนเฉพาะ

บทแทรก . . ถา R เปนโดเมนเชงจานวนเตมซงมหนงและจากด แลว

Char(R) เปนจานวนเฉพาะเทานน



. จงหาตวหารศนยของรงตอไปน

. Z9

. Z14

. Z16

. Z24

. Z51

. Z2 × Z3

. Z3 × Z4

. Z2 × Z5

. Z4 × Z6

. จงหาจานวนตวหารศนยทงหมดของรงตอไปน

. Z50

. Z250

. Z625

. Z1500

. Z7 × Z6

. Z8 × Z9

. ให R และ R เปนรงสลบท ให a ∈ R− {0} และ b ∈ S − {0} จงพสจนวา

ถา (a, b) เปนตวหารศนยของ R× S แลว a หรอ b เปนตวหารศนยของ R และ S ตามลาดบ

. จงยกตวอยางโดเมนเชงจานวนเตมทมสมาชก ตวและ ตว

. จงแสดงวา 101 | (1000100 − 1)

. ให D เปนโดเมนเชงจานวนเตม a, b ∈ D และ n,m ∈ N โดยท m และ n เปนจานวนเฉพาะสมพทธกน จงแสดงวา

ถา an = bn และ am = bm แลว a = b

. ให R เปนโดเมนเชงจานวนเตมซงมหนง และ a ∈ R− {0} จงแสดงวา

. {k ∈ N : ka = 0} ⊆ {k ∈ N : k1 = 0}

. {n ∈ N : ม a ∈ R− {0} ซง na = 0} ⊆ {n ∈ N : n1 = 0}


. . ไอดลใหญสดและไอดลเฉพาะ

. ไอดลใหญสดและไอดลเฉพาะ

ในหวขอนจะกลาวถงไอดล ชนดซงมความคลายคลงกนและชใหเหนถงความแตกตางกนบางประการจากสมบตของไอดลทง แบบ ทาใหไดรงผลหารทนาสนใจ

บทนยาม . . ให M เปนไอดลของรง R โดยท M = R จะกลาววา M เปน ไอดลใหญสด(maximal ideal) กตอเมอ

ทก ๆ ไอดล I ของ R ถา M ⊆ I ⊆ R แลว I = M หรอ I = R

จากบทนยามจะไดวาฟลด F มไอดลใหญสดคอ {0} เทานน เนองจากฟลด F ม ไอดลเทานนคอ {0} และ F โดยทฤษฎบท . . ดงนน Q, R, C มไอดลใหญสดคอ {0} เทานน และ และ Zp

มไอดลใหญสดคอ {0} เทานน p เปนจานวนเฉพาะ

ตวอยาง . . จงหาไอดลใหญสดของรงตอไปน

. Z6

. Z8

. Z12


ตวอยาง . . จงตรวจสอบวา ⟨4⟩ และ ⟨5⟩ เปนไอดลใหญสดของ Z หรอไม

ทฤษฎบท . . ให p ∈ N จะไดวา

⟨p⟩ เปนไอดลใหญสดของ Z กตอเมอ p เปนจานวนเฉพาะ

บทแทรก . . สาหรบรง Z จะไดวา

ถา M เปนไอดลใหญสดของ Z แลว M = ⟨p⟩ เมอ p เปนจานวนเฉพาะ

ตวอยาง . . จงหา n ∈ N ซง 100 < n < 110 ททาให ⟨n⟩ เปนไอดลใหญสดของ Z


บทตง . . ให I เปนไอดลของรง R และ I ⊆ J ⊆ R จะไดวา

J เปนไอดลของ R กตอเมอ J/I เปนไอดลของ R/I

ทฤษฎบท . . ให R เปนรงสลบทซงมหนง และ M เปนไอดลของ R โดยท M = R

M เปนไอดลใหญสดของ R กตอเมอ R/M เปนฟลด


ตวอยาง . . จงหาไอดลใหญสดทงหมดของ Z8 โดยใชทฤษฎบท . .

บทแทรก . . ให n ∈ N จะไดวา

Z/ ⟨n⟩ เปนฟลด กตอเมอ n เปนจานวนเฉพาะ

ขอสงเกต . . ไอดลใหญสดของ Zpn มเพยง ⟨p⟩ เทานน เมอ p เปนจานวนเฉพาะ และ n ∈ N

สาหรบ n ∈ N ซง n > 1 เขยนในรปแบบบญญตคอ

n = pα11 · pα2

2 · · · pαkk

จะไดวา ⟨p1⟩ , ⟨p2⟩ , ..., ⟨pk⟩ เปนไอดลใหญสดของ Zn (พสจนเปนแบบฝกหด)

ตวอยาง . . จงหาไอดลใหญสดทงหมดของรงตอไปน

. Z81

. Z50

. Z144

. Z3575


ตวอยาง . . จงหาไอดลใหญสดทงหมดของ Z2 × Z6

บทนยาม . . ให P เปนไอดลของรงสลบท R และ P = R จะกลาววา P เปน ไอดลเฉพาะ(prime ideal) กตอเมอ

ทก ๆ a, b ∈ R ถา ab ∈ P แลว a ∈ P หรอ b ∈ P

หรอกลาวไดอกอยางคอ

ทก ๆ a, b ∈ R ถา a /∈ P และ b /∈ P แลว ab /∈ P

ขอสงเกต . . {0} เปนไอดลเฉพาะของโดเมนเชงจานวนเตม เนองจาก

a = 0 และ b = 0 แลว ab = 0

ทฤษฎบท . . ฟลดมไอดลเฉพาะเพยงตวเดยวคอ {0}

ตวอยางเชน Q, R, C มไอดลเพยงตวเดยวคอ {0} และ Zp มไอดลเพยงตวเดยวคอ {0}เมอ p เปนจานวนเฉพาะ เนองจากรงเหลานนเปนฟลด แตจะเหนวา {0} ไมเปนไอดลเฉพาะของ Z6

เนองจาก

2 · 3 ∈ {0} แต 2 /∈ {0} และ 3 /∈ {0}


ตวอยาง . . จงหาไอดลเฉพาะทงหมดของ Z6

ตวอยาง . . จงตรวจสอบวา ⟨2⟩ และ ⟨10⟩ เปนไอดลเฉพาะของ Z หรอไม

ทฤษฎบท . . ให R เปนรงสลบท และ P เปนไอดลของ R โดยท P = R จะไดวา

P เปนไอดลเฉพาะของ R กตอเมอ R/P เปนโดเมนเชงจานวนเตม


บทแทรก . . ให R เปนรงสลบทซงมหนง

M เปนไอดลใหญสดของ R แลว M เปนไอดลเฉพาะ

ตวอยาง . . จงแสดงวา ⟨4⟩ เปนไอดลใหญสดแตไมเปนไอดลเฉพาะของ (2)

ตวอยาง . . จงแสดงวา Z× {0} เปนไอดลเฉพาะแตไมเปนไอดลใหญสดของ Z× Z


จากตวอยาง . . บทกลบของบทแทรก . . ไมเปนจรง ตองอาศยการเพมเงอนไขใหรงนนมสมาชกจากดตวจะทาใหบทกลบเปนจรงดงทฤษฎบทตอไปน

บทแทรก . . ให R เปนรงจากดสลบทซงมหนง จะไดวา

M เปนไอดลใหญสดของ R กตอเมอ M เปนไอดลเฉพาะ

บทแทรก . . ให p ∈ N จะไดวา

. ⟨p⟩ เปนไอดลเฉพาะของ Z กตอเมอ p เปนจานวนเฉพะ

. ถา P เปนไอดลเฉพาะของ Z แลว P = ⟨p⟩ เมอ p เปนจานวนเฉพะ



. จงหาไอดลใหญสดของรงตอไปนโดยเขยนแลตทช

. Z9 . Z15 . Z24 . Z36 . Z48

. จงหาไอดลใหญสดทงหมดของรงตอไปน พรอมเขยนแลตทชประกอบ

. Z2 × Z3 . Z2 × Z5 . Z6 × Z4

. จงหา n ∈ N ซง 50 < n < 100 ททาให ⟨n⟩ เปนไอดลใหญสดของ Z

. จงหาไอดลเฉพาะทงหมดของรงตอไปน

. Z64

. Z100

. Z275

. Z1300

. Z1331

. Z1800

. Z26880

. Z111271

. จงหาจานวนไอดลใหญสดของ Z1600

. ไอดลทไมเปนไอดลเฉพาะของ Z1000 มทงหมดกไอดล

. จงยกตวอยางของไอดลใหญสด และไอดลเฉพาะ ของรงตอไปน

. Z2 × Z

. Z× Z

. Z× Z5

. Z×Q

. Z× 2Z

. Z6 × Z5

. จงยกตวอยางฟลดอนดบ , และ

. จงแสดงวา ถา P เปนไอดลเฉพาะของ Z แลว P = ⟨p⟩ เมอ p เปนจานวนเฉพะ

. จงพสจนวา Z× pZ เปนไอดลใหญสดของ Z× Z กตอเมอ p เปนจานวนเฉพาะ

. จงแสดงวา Z× 2Z เปนไอดลเฉพาะและไอดลใหญสดของ Z× Z

. จงแสดงวา 2Z× 3Z ไมเปนไอดลใหญสดของ Z× Z

. จงยกตวอยางคานขอความทวา ถา M1 และ M2 เปนไอดลใหญสดของรง R1 และ R2

ตามลาดบ แลว M1 ×M2 เปนไอดลใหญสดของ R1 ×R2

. จงตรวจสอบวาขอความตอไปนเปนจรงหรอไม

ถา P1 และ P2 เปนไอดลเฉพาะของรง R1 และ R2 ตามลาดบแลว P1 × P2 เปนไอดลเฉพาะของ R1 ×R2


. โดเมนซงแยกตวประกอบไดอยางเดยว

เมอกลาวถงโดเมนเชงจานวนเตม Z เราทราบกนดวาสมาชกทกตวใน สามารถแยกเปนผลคณของจานวนเฉพาะไดเสมอ และจานวนเตมทมากกวา สามารถเขยนในรปแบบบญญตไดเพยงแบบเดยวเทานน เราจะขยายแนวคดนไปยงโดเมนเชงจานวนเตมอน ๆ ซงมสมบตพเศษดงกลาว

โดยเรมจากการนยามการหารลงบทนยามตอไปน

บทนยาม . . ให R เปนรงสลบทซงมหนง และ a, b ∈ R จะกลาววา a หาร b ได (a divides b)เขยนแทนดวย a | b กตอเมอ

ม c ∈ R ซง b = ac

ตวอยางเชน

ใน Z จะไดวา 2 | 4 เนองจาก 4 = 2 · 2

ใน R จะไดวา 2 | 1.2 เนองจาก 1.2 = 2 · 0.6

ขอสงเกต . . ให R เปนรงสลบทซงมหนง และ a, b ∈ R จะไดวา

. a | 0, 1 | a และ a | a เนองจาก 0 = 0a และ a = 1a

. a | b กตอเมอ ม k ∈ R ซง b = ak กตอเมอ b ∈ ⟨a⟩

เราจะทบทวนวา a เปนหนวยในรง R ซงมหนง (ดบทนยาม . . ) หมายถง

ม b ∈ R ซง ab = 1 = ba

จากนเราจะศกษาเฉพาะสมาชกทไมใชหนวยในโดเมนเชงจานวนเตมซงมหนง เพอนาไปศกษาสมบตการแยกตวประกอบไดอยางเดยวตอไป

บทนยาม . . ให D เปนโดเมนเชงจานวนเตมซงมหนง ให r ∈ D − {0} และ r ไมเปนหนวยจะกลาววา r ลดทอนไมได (irreducible) กตอเมอ

ถา r = ab แลว a หรอ b เปนหนวย

ถาเปนอยางอนเรยก r วา ลดทอนได (reducible) นนคอ r ลดทอนได กตอเมอ

r = ab โดยท a และ b ไมเปนหนวย

ขอสงเกต . . เนองจากฟลดสมาชกทกตวทไมใชศนยเปนหนวย ดงนนจะไมกลาวถงลดทอนไดหรอไมไดของสมาชกในฟลด

เนองจาก Zn เปนโดเมนเชงจานวนเตมกตอเมอ p เปนจานวนเฉพาะ นนคอ Zp เปนฟลด ดงนนจะไมกลาวถงลดทอนไดหรอไมไดของสมาชกใน Zp

สาหรบรง Z จะเหนวามหนวยคอ 1 และ −1 เทานน จากบทนยามของการลดทอนไมได จะไดวา

p ลดทอนไมได กตอเมอ p เปนจานวนเฉพาะ

. . โดเมนซงแยกตวประกอบไดอยางเดยว

สาหรบ T ∈ Z กาหนดให

Z[√T ] = {a+ b

√T : a, b ∈ Z}

แลวจะไดวา Z[√T ] เปนรงยอยของ C และเปนโดเมนเชงจานวนเตมทมหนง (เปนแบบฝกหด)

ทฤษฎบท . . ให a, b ∈ Z และ K ∈ Z โดยท K > 0 จะไดวา

a+ b√−K เปนหนวยใน Z[

√−K] กตอเมอ a2 +Kb2 = 1


ตวอยาง . . จงแสดงวา 2 และ 3 ลดทอนไมไดใน Z[√−5]


ตวอยาง . . จงแสดงวา 1 +√−5 และ 1−

√−5 ลดทอนไมไดใน Z[

√−5]


บทนยาม . . ให D เปนโดเมนเชงจานวนเตมซงมหนง ให p ∈ D − {0} และ p ไมเปนหนวยจะกลาววา p เปน สมาชกเฉพาะ (prime element) ของ D กตอเมอ

ถา p | ab แลว p | a หรอ p | b

สาหรบรง Z จะไดวาจานวนเฉพาะเปนสมาชกเฉพาะของ Z

ทฤษฎบท . . ให D เปนโดเมนเชงจานวนเตมซงมหนง จะไดวา

ถา p เปนสมาชกเฉพาะของ D แลว p ลดทอนไมได

ตวอยาง . . จงแสดงวา 3 ลดทอนไมไดใน Z[√−5] แตไมเปนสมาชกเฉพาะ


บทนยาม . . ให D เปนโดเมนเชงจานวนเตมซงมหนงจะกลาววา D เปน โดเมนซงแยกตวประกอบไดอยางเดยว (Unique Factorization Domain)เขยนสน ๆ วา U.F.D. กตอเมอ สาหรบ d ∈ D − {0} และ d ไมเปนหนวย สอดคลอง เงอนไขดงน

. ม p1, p2, ..., pn ∈ D ซงลดทอนไมได และ d = p1p2...pn

. ถา d = p1p2...pn = q1q2...qm เมอ q1, q2, ..., qm ∈ D

แลว n = m และสาหรบ i จะม j ซง pi = uqj โดยท u เปนหนวย

เมอ i, j ∈ {1, 2, ..., n}

โดยทฤษฎบทหลกมลเลขคณต (ทฤษฎบท . . ) สรปไดวาZ เปน U.F.D. และฟลดเปน U.F.D.

เสมอเนองจากทกสมาชกทไมใชศนยเปนหนวย ดงนน Q, R และ C เปน U.F.D.

ตวอยาง . . จงแสดงวา Z[√−5] ไมเปน U.F.D.


ทฤษฎบท . . สมาชกซงลดทอนไมไดของ U.F.D. จะเปนสมาชกเฉพาะ

บทนยาม . . ให D โดเมนเชงจานวนเตมซงมหนงจะกลาววา D เปน โดเมนไอดลมขสาคญ (Principal Ideal Domain) เขยนแทนดวย P.I.D.กตอเมอ ทกไอดลของ D เปนไอดลมขสาคญ

ตวอยางเชน Z เปน P.I.D. เนองจากทกไอดลของ Z อยในรป nZ หรอ (n) และสนามเปน P.I.D.เสมอเนองจากม ไอดลเทานนคอ ⟨0⟩ และ ⟨1⟩

ทฤษฎบท . . สมาชกลดทอนไมไดใน P.I.D. จะเปนสมาชกเฉพาะ


บทแทรก . . ให D เปน P.I.D. โดยท p ลดทอนไมไดใน D และ a1, a2, ..., an ∈ D

ถา p | (a1a2...an) แลว ม i ∈ {1, 2, ..., n} ซง p | ai


ทฤษฎบท . . ให D เปน P.I.D. และ p ∈ D − {0} ซงไมใชสมาชกหนวย แลว

⟨p⟩ เปนไอดลใหญสดของ D กตอเมอ p ลดทอนไมไดใน D

ตอไปเราสามารถพสจนไดวา P.I.D. เปน U.F.D. เสมอ ทาใหเหนถงความสมพนธระหวาง P.I.D.และ U.F.D. สาหรบการพสจนจะขอเวนไวในรายวชาน

ทฤษฎบท . . P.I.D. เปน U.F.D.

บทนยาม . . ให E โดเมนเชงจานวนเตมซงมหนงจะกลาววา E เปน รงแบบยคลด (Euclidean ring) กตอเมอ มฟงกชน d : E − {0}→ N0

ซงสาหรบทก a, b ∈ E − {0} สอดคลอง เงอนไขตอไปน

. d(b) ≤ d(ab)

. ม q, r ∈ E ซง b = aq + r โดยท r = 0 หรอ d(r) < d(a)

ตวอยาง . . จงแสดงวา Z เปนรงแบบยคลด


ทฤษฎบท . . ฟลดเปนรงแบบยคลด

สรปไดวา Q, R และ C เปนรงแบบยคลด

ทฤษฎบท . . รงแบบยคลดเปน P.I.D.

จากทฤษฎบททผานมาของ รงยคลด P.I.D และ U.F.D. อาจแสดงความสมพนธไดดงน

รงแบบยคลด

P.I.D.

U.F.D.



. ให D เปนโดเมนเชงจานวนเตมซงมหนง ให a, b ∈ D − {0} จงพสจนวา

a | b และ b | a กตอเมอ ⟨a⟩ = ⟨b⟩

. ให T ∈ Z จงแสดงวา Z[√T ] เปนโดเมนเชงจานวนเตมทมหนง

. สามารถนยาม 0 | 0 ไดหรอไมในโดเมนเชงจานวนเตมซงมหนง จงใหเหตผลประกอบ

. จงหาหนวยทงหมดของ

. Z[√−1]

. Z[√−3]

. Z[√−5]

. Z[√−6]

. Z[√−7]

. Z[√−8]

. จงยกตวอยางหนวยใน Z[√3] มาอยางนอย ตว ทไมใช 1 และ −1

. จงแสดงวา 2 และ 7 ไมเปนสมาชกเฉพาะของ Z[√−5]

. จงแสดงวา 1−√−5 ลดทอนไมไดใน Z[

√−5]

. จงแสดงวา 7 และ 13 ลดทอนไมไดใน Z[√−5]

. จงยกตวอยางสมาชกใน Z[√−3] ซงลดทอนไมได

. จงแสดงวา Z[√−3] เปนโดเมนเชงจานวนเตมแตไมเปน U.F.D.

. ให D เปน P.I.D. และ p ∈ D − {0} ซงไมใชสมาชกหนวย จงแสดงวา

ถา p ลดทอนไมไดใน D แลว ⟨p⟩ เปนไอดลใหญสดของ D

. พสจนบทแทรก . . โดยอปนยเชงคณตศาสตร

. จงแสดงวา Z[i] เปนรงแบบยคลด

. จงพสจนวา รงแบบยคลดมหนวยเสมอ

. จงแสดงวา Z[√−5] ไมเปนรงแบบยคลด

บทท

รงพหนาม

การศกพหนามนนมมาชานานตงแตยคแรกเรมในสมยกรกโรมน จนเปนทสนใจมากขนในสมยของคารแดนผบกเบกวชาพชคณตทสนในการหาคาตอบในรปทวของของพหนนามกาลงสาม เปนจดเรมตนของวชาพชคณตนามธรรม ในบทนเราจะขยายบทนยามของพหนามใหทวไปมากยงขนทเรยกวารงพหนาม และศกษาสมบตตาง ๆ ทเกดขนดงจะกลาวตอไปน

. พหนาม

บทนยาม . . ให R เปนรงสลบทซงมหนง กาหนดให

R[x] = {anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x+ a0 : ai ∈ R, n ∈ N0}

เรยกสมาชก p(x) ใน R[x] วา พหนาม (polynomial) ซงอยในรป

p(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0 =n∑

i=0

aixi

โดยนยามสวนตาง ๆ ดงน

• an, an−1, ..., a1, a0 เรยกวา สมประสทธ (coefficient) ของ xn, xn−1, ..., x, 1 ตามลาดบ

• เรยก an = 0 วา สมประสทธตวนา (leading coefficient) ถา ai = 0 เรยกแตละ aixi วาพจน (term) ของพหนาม p(x) หรอ เอกนาม (monomial)

• ถา an = 0 เรยก p(x) วา พหนามระดบขน n (polynomial of degree n) และเขยน n แทนดวย deg p(x) นนคอ deg p(x) = n

• ถา an = 1 เรยก p(x) วา พหนามโมนก (monic polynomial)

• ถา p(x) = a0 เรยก p(x) วา พหนามคงตว (constant polynomial)ให deg p(x) = 0 เมอ a0 = 0

• กรณ p(x) = 0 เรยก พหนามศนย (zero polynomaial) และไมนยามระดบขน

บทท . รงพหนาม

ขอสงเกต . . ให R เปนรงสลบทซงมหนง เหนไดชดวา R ⊆ R[x]

ตวอยางเชน p(x) = 5x2 − 2x + 3 ∈ Z[x] เปนพหนามระดบขน ม เปนสมประสทธตวนา

และ 5,−2, 3 เปนสมประสทธของ x2, x, 1 ตามลาดบ เนองจาก a2 = 5 = 1 จะไดวา p(x) ไมเปนพหนามโมนก และ q(x) = 1 + x7 ∈ Z[x] เปนพหนามโมนกระดบขน เนองจาก a7 = 1

ถา เปนหนงใน R เราจะเขยนพจน xi และ −xi แทนดวยพจน 1xi และ −1xi ตามลาดบสาหรบ i ∈ N

ตวอยาง . . จงเขยนสมาชกทงหมดของพหนามระดบขน ใน Z2[x]

ตวอยาง . . จงเขยนสมาชกทงหมดของพหนามทมระดบขนไมเกน ใน Z3[x]

จากตวอยาง . . จะเหนวา a ทเปนไปไดคอ 1 เพยงแบบเเดยวใน Z2[x] เนองจาก เพราะเปนสมประสทธตวนา สาหรบ b และ c อาจจะเปน 0 หรอ 1 ดงนน จานวนพหนามระดบขน ใน Z2[x]

เทากบ 1 · 2 · 2 = 4 แบบ ดงนนไปยงจานวนพหนามระดบขน m ใน Z2[x] จะมทงหมด

1 · 2 · 2 · · · · 2︸︷︷︸m ตว

= 2m

และจานวนพหนามระดบขน m ใน Zn[x] จะเทากบ

(n− 1) · n · n · · · · n︸︷︷︸m ตว

= (n− 1) · nm

สาหรบจานวนพหนามระดบขนนอยกวา m ใน Zn[x] รวมพหนามศนยจะเทากบ

n · n · n · · · · n︸︷︷︸m ตว

= nm+1

. . พหนาม

บทนยาม . . ให R เปนรงสลบทซงมหนง ให p(x) และ q(x) เปนพหนามทไมใชพหนามศนยในR[x] จะไดวา p(x) = q(x) กตอเมอ deg p(x) = deg q(x) และอยในรป


n−1 + · · ·+ a1x+ a0

q(x) = bnxn + bn−1x

n−1 + · · ·+ b1x+ b0

เมอ n ∈ N0 และ ai = bi ทก ๆ i ∈ {1, 2, ..., n}

ตวอยาง . . ให p(x) = 2x2 + x + 1 และ q(x) = ax2 + bx + c เปนพหนามใน Z2[x] ถาp(x) = q(x) จงหา a, b และ c

บทนยาม . . ให R เปนรงสลบทซงมหนง ถา p(x) และ q(x) เปนพหนามใน R[x] ซง

p(x) = amxm + am−1x

m−1 + · · ·+ a1x+ a0

q(x) = bnxn + bn−1x

n−1 + · · ·+ b1x+ b0

เมอ m,n ∈ N0 และ m ≤ n แลว


n−1 + · · ·+ am+1xm+1 + amx

m + · · ·+ a1x+ a0

โดยท am+1 = am+2 = ... = an = 0 เมอ m < n นยามการบวกและการคณ p(x) และ q(x) คอ

p(x) + q(x) = (an + bn)xn + (an−1 + bn−1)x

n−1 + · · ·+ (a1 + b1)x+ (a0 + b0)

p(x) · q(x) = cm+nxm+n + cm+n−1x

m+n−1 + · · ·+ ckxk + · · ·+ c1x+ c0

เมอ ck = a0bk + a1bk−1 + · · ·+ akb0 โดยท k = 0, 1, 2, ...,m+ n ซง ak = bk = 0 ทก ๆ k > n

สาหรบ p(x) · q(x) จะเขยนแทนดวย p(x)q(x) และจากบทนยามขางตนจะไดขอสงเกตตอไปน

ขอสงเกต . . ให R เปนรงสลบทซงมหนง ถา p(x) และ q(x) เปนพหนามทไมใชพหนามศนยในR[x] แลวจะไดวา

. deg (p(x) + q(x)) ≤ max{deg p(x),deg q(x)} หรอ p(x) + q(x) = 0

. deg (p(x)q(x)) ≤ deg p(x) + deg q(x) หรอ p(x) · q(x) = 0

จะเหนวาการบวกพหนามทาไดโดยงาย แตการคณพหนามสามารถหาโดยใชบทนยามมความยงยาก เราอาจจะหาผลคณพหนามโดยจากการแจกแจง หรอสรางตารางการคณแตละพจน ดงจะแสดงในตวอยางตอไปน


ตวอยาง . . กาหนดให p(x) = x3 + x2 − 3x+ 1 และ q(x) = x2 − 3 เปนพหนามใน Z[x]จงหา p(x) + q(x) และ p(x)q(x) โดยบทนยาม การแจกแจง และใชตาราง

. . พหนาม


p(x) = Ax3 +Bx2 + Cx+D และ q(x) = (x− 2)(x+ 3)(x+ 1) + 5 เปนพหนามใน Z[x]

ถา p(x) = q(x) จงหาคาของ A,B,C และ D

ตวอยาง . . ให p(x) = x2 + ax+ b และ q(x) = x4 + x3 + x+ 1 เปนพหนามใน Z3[x]

ถา [p(x)]2 = q(x) จงหา a และ b

ทฤษฎบท . . ให R เปนรงสลบทซงมหนง แลว

R[x] ซงนยามการบวกและการคณในบทนยาม . . เปนรงสลบทซงมหนง

และเรยก R[x] วา รงพหนาม (polynomial ring)

ถา R เปนรงสลบทซงมหนง จะไดวา

• ศนยใน R[x] คอพหนามศนยเขยนแทนดวย 0

• หนงใน R[x] คอพหนามคงตวหนง เขยนแทนดวย 1

นนคอรง R[x] มศนยและหนงเปนตวเดยวกบ R


ตวอยาง . . ให p(x), q(x), r(x) เปนพหนามใน Z4[x] โดยท

p(x) = 2x2 + x+ 2, q(x) = 2x2 + 2 และ r(x) = 2x3 + 1

จงหา p(x) + q(x), q(x) + r(x), [q(x)]2 และ q(x)r(x)

ทฤษฎบท . . ถา R เปนโดเมนเชงจานวนเตมซงมหนง แลว

R[x] เปนโดเมนเชงจานวนเตมซงมหนง

ทฤษฎบท . . ให R เปนโดเมนเชงจานวนเตมซงมหนงถา p(x) และ q(x) เปนพหนามทไมใชพหนามศนยใน R[x] แลวจะไดวา

. deg (p(x)q(x)) = deg p(x) + deg q(x)

. deg p(x) ≤ deg (p(x)q(x))

. . พหนาม

ทฤษฎบท . . ให R เปนโดเมนเชงจานวนเตมซงมหนงจะไดวา

หนวยใน R และ R[x] คอตวเดยวกน

บทแทรก . . ให R เปนโดเมนเชงจานวนเตมซงมหนง แลว U(R[x]) = U(R)

ขอสงเกต . . สาหรบโดเมนเชงจานวนเตม R[x] พหนามทไมใชศนยทระดบขนมากกวา ไมเปนหนวยใน R[x]



. จงเขยนสมาชกทงหมดของพหนามระดบขน ใน Z2[x]

. จงเขยนสมาชกทงหมดของพหนามระดบขน และ ใน Z3[x]

. จงหาจานวนพหนามระดบขน ทงหมดใน Z7[x]

. จงหาจานวนพหนามระดบขนไมเกน ทงหมดใน Z5[x]

. จงหาจานวนของพหนาม p(x) ใน Zn[x] ซง deg p(x) ≤ k โดยท k, n ∈ N

. จงหาหนวยทงหมดในรงพหนามตอไปน

. Z3[x]

. Z5[x]

. Z6[x]

. Z13[x]

. Z[x]

. Q[x]

. ใน Z6[x]

. จงหาพหนามระดบขนหนงทงหมดใน Z6[x]

. จงหา x ∈ Z6 ทสอดคลอง 2x2 + 3x+ 1 = 0

. จงเขยน (2x2 + 3x+ 1)2 ในรป ax4 + bx3 + cx2 + dx+ e

. ให R เปนรงสลบทซงมหนง จงแสดงวา

R[x] ซงนยามการบวกและการคณในบทนยาม . . เปนรงสลบทซงมหนง

. ให R เปนโดเมนเชงจานวนเตมซงมหนง ถา p(x) และ q(x) เปนพหนามทไมใชพหนามศนยใน R[x] จงแสดงวา

deg p(x) ≤ deg (p(x) · q(x))

. จงยกตวอยางฟลด F ททาให F [x] ไมเปนฟลด

. . รงพหนามบนฟลด

. รงพหนามบนฟลด

ในหวขอนนจะศกษารงพหหนามF [x] เมอF เปนฟลด เรยกวา รงพหนามบนฟลด (polynomialring on field)

ทฤษฎบท . . ขนตอนวธการหารสาหรบพหนาม (The Division Algorithm for Polynomial)ให F เปนฟลด และ a(x), b(x) เปนพหนามใน F [x] โดยท a(x) ไมเปนพหนามศนยแลวจะไดวามพหนาม q(x) และ r(x) เพยงคเดยวเทานนใน F [x] ทสอดคลอง

b(x) = q(x)a(x) + r(x) เมอ r(x) = 0 หรอ deg r(x) < deg a(x)

เรยก r(x) วา เศษเหลอ (remainder) และ q(x) วา ผลหาร (quotient) ของการหาร b(x) ดวย a(x)

ในกรณ r(x) = 0 โดยบทนยาม . . จะไดวา a(x) หาร b(x) ได หรอเขยนแทนดวย a(x) | b(x)โดยเรยก a(x) วา ตวประกอบ (factor) ของ b(x) ใน F [x]


ตวอยาง . . จงหาผลหารและเศษเหลอทเกดจากการหาร

b(x) = x3 + 1 ดวย a(x) = x2 − 1 ใน Z[x]

ทฤษฎบท . . ถา F เปนฟลด แลว F [x] เปนรงแบบยคลด

บทแทรก . . ถา F เปนฟลด แลว F [x] เปน P.I.D. และ U.F.D.

ทฤษฎบท . . ให F เปนฟลด และ p(x) เปนพหนามทไมใชพหนามศนยใน F [x]

แลวขอความตอไปนสมมลกน

. p(x) เปนหนวยใน F [x]

. p(x) เปนพหนามคงตวทไมใชพหนามศนยใน F [x]

. deg p(x) = 0


เนองจาก F [x] เปนโดเมนเชงจานวนเตม เมอ F เปนฟลด เราสามารถกลาวถงการลดทอนไดหรอไมไดของพหนาม

ตวอยาง . . จงแสดงวา

. x2 + 1 ลดทอนไมไดใน R[x] แตลดทอนไดใน C[x]

. 2x+ 4 ลดทอนไมไดใน R[x] แตลดทอนไดใน Z[x]

. x2 + x+ 1 ลดทอนไมไดใน Z2[x]

บทแทรก . . ให F เปนฟลดและ p(x) เปนพหนามซงไมใชพหนามศนยใน F [x] โดยท f(x) และg(x) เปนพหนาใน F [x] แลวขอความตอไปนสมมลกน

. p(x) ลดทอนไมไดใน F [x]

. ถา p(x) = f(x) · g(x) แลว deg f(x) = 0 หรอ deg g(x) = 0


ทฤษฎบท . . ให F เปนฟลดและ p(x) เปนพหนามระดบขน ใน F [x] จะไดวา

p(x) ลดทอนไมไดใน F [x]

ทฤษฎบท . . ให F เปนฟลด และ p(x) เปนพหนามใน F [x] แลวขอความตอไปนสมมลกน

. ⟨p(x)⟩ เปนไอดลใหญสด

. p(x) ลดทอนไมไดใน F [x]

. F [x]/ ⟨p(x)⟩ เปนฟลด

ตวอยาง . . จงตรวจสอบวา Z3[x]/ ⟨x2 + 1⟩ เปนฟลดหรอไม


ทฤษฎบท . . ให F เปนฟลด และ p(x) ลดทอนไมไดใน F [x] โดยท deg p(x) = n จะไดวา

F [x]/ ⟨p(x)⟩ = {anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x+ a0 + ⟨p(x)⟩ : ai ∈ F ทก ๆ i}

ตวอยาง . . จงเขยนรปแบบสมาชกของฟลดตอไปน

. C[x]/ ⟨x+ 1⟩ =

. R[x]/ ⟨x2 + 1⟩ =

ตวอยาง . . จงแจกแจงสมาชกของ Z3/ ⟨x2 + 1⟩


บทแทรก . . ให p เปนจานวนเฉพาะ และ g(x) ลดทอนไมไดใน Zp[x] โดยท deg g(x) = n

แลว

Zp[x]/ ⟨g(x)⟩ เปนฟลดอนดบ pn

ตวอยาง . . จงหาจานวนสมาชกของ Z2/ ⟨x2 + x+ 1⟩

ตวอยาง . . จงยกตวอยางฟลดอนดบ


ตวอยาง . . จงสรางตารางกรปการคณของ Z2[x]/ ⟨x2 + x+ 1⟩ พรอมหาตวผกผนการคณของสมาชก

ตวอยาง . . จงหาตวผกผนการคณของ x+ 1 + ⟨x2 + 1⟩ ใน R[x]/ ⟨x2 + 1⟩



. จงตรวจสอบวาสมาชกตอไปนลดทอนไดหรอไมในรงทกาหนด

. x2 + x+ 4 ใน Z11[x]

. 2x3 + x2 + 2x+ 2 ใน Z5[x]

. x2 + 1 ใน Z7[x]

. x2 + 4 ใน Z11[x]

. x3 + 2x+ 3 ใน Z5[x]

. x3 + x2 + x+ 1 ใน R[x]

. x3 − x2 − 2x+ 2 ใน R[x]

. x3 − x2 − 2x+ 2 ใน Q[x]

. x3 − x2 − 2x+ 2 ใน Z[x]

. x3 − x2 + x− 1 ใน C[x]

. จงยกตวอยางฟลดอนดบ 49, 81 และ 125

. จงแสดงวา R[x]/ ⟨x2 + 1⟩ ∼= C

. จงแสดงวา Z11[x]/ ⟨x2 + x+ 4⟩ ∼= Z12[x]/ ⟨x2 + 1⟩

. จงพสจนวา x4 + x3 + x+ 1 ลดทอนไดใน F [x] เมอ F เปนฟลด

. จงสรางตารางกรปการคณของ Z3[x]/ ⟨x2 + 1⟩ พรอมหาตวผกผนของสมาชก

. จงหาตวผกผนการคณของ 2x+ 1 + ⟨x2 + 2⟩ ใน R[x]/ ⟨x2 + 2⟩

. ให F เปนฟลด และ f(x), g(x) ∈ F [x] โดยท f(x) = 0 หรอ g(x) = 0 แลว ตวหารรวมมาก(greatest common divisor) ของ f(x) และ g(x) เขยนแทนดวย gcd(f(x), g(x)) คอพหนามd(x) ใน F [x] ทสอดคลอง เงอนไขตอไปน

( ) d(x) เปนพหนามโมนก

( ) d(x) | f(x) และ d(x) | g(x)

( ) ถา c(x) ∈ F [x] ซง c(x) | f(x) และ c(x) | g(x) แลว c(x) | d(x)

จงหาตวหารรวมมากของ

. x2 − 1 และ x3 − 1 ใน Q[x]

. x5 − 1 และ x8 − 1 ใน Q[x]

. 2 และ 4x− 6 in Z[x]

. 2x2 + 6x+ 4 และ 8x3 + 18x2 + 4x ใน Z[x]

. . รงพหนามบนฟลดตรรกยะ

. รงพหนามบนฟลดตรรกยะ

ในหวขอนจะศกษารงพหนามบนฟลด Q หรอ Q[x] ซงสนใจความสมพนธของพหนามลดทอนไดหรอลดทอนไมไดใน Q[x] และ Z[x]

บทนยาม . . ให f(x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0 เปนพหนามซง ai ∈ Z ทกi ∈ {0, 1, ..., n} จะเรยก f(x) วา พหนามปฐมฐาน (primitive polynomial) กตอเมอ

gcd(a0, a1, ..., an) = 1

ขอสงเกต . . ให f(x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x+ a0 เปนพหนามซง ai ∈ Zถา f(x) ไมเปนพหนามปฐมฐาน กตอเมอ gcd(a0, a1, ..., an) = 1 หรอม a ∈ Z โดยท a = 1 ซง

f(x) = ag(x) เมอ g(x) เปนพหนามปฐมฐาน

ตวอยางเชน a = gcd(a0, a1, ..., an) ซง a = 1 และ bi =aia∈ Z ทก i ∈ {0, 1, ..., n} จะไดวา

f(x) = abnxn + abn−1x

n−1 + · · ·+ ab1x+ ab0 = ag(x)

เมอ g(x) = bnxn + bn−1xn−1 + · · ·+ b1x+ b0 โดยบทแทรก . . จะไดวา

gcd(b0, b1, ..., bn) = gcd(a0a,a1a, ...,

ana

)= 1

นนคอ g(x) เปนพหนามปฐมฐาน

ทฤษฎบท . . ให f(x) และ g(x) เปนพหนามปฐมฐาน แลว f(x)g(x) เปนพหนามปฐมฐาน


ถา p(x) = x2 เปนพหนามใน Q[x] สามารถเขยนเปน x2 = x · x ซงเปนผลคณของพหนามในZ[x] แตถา

x2 = 2x · 12x

ไมใชผลคณของพหนามใน Z[x] ตอไปจะศกษาสมบตการแยกตวประกอบในลกษณะดงกลาว

บทตง . . บทตงเกาส (Gauss' Lemma)ให f(x) ∈ Q[x] โดยท f(x) เปนพหนามปฐมฐาน ถา f(x) = u(x)v(x) เมอ u(x), v(x) ∈ Q[x]

แลวจะม g(x), h(x) ∈ Z[x] ซง f(x) = g(x)h(x)


จากบทตงเกาสสรปไดวา สาหรบพหนามปฐมฐาน f(x) จะไดวา

f(x) ลดทอนไมไดใน Q[x] กตอเมอ f(x) ลดทอนไมได Z[x]

ถา f(x) ไมเปนพหนามปฐมฐานบทตงเกาสจะไมจรงดงตวอยางตอไปน

ตวอยาง . . จงแสดงวา 4x+ 2 ลดทอนไดใน Z[x] แตลดทอนไมได Q[x]

บทแทรก . . ให f(x) ∈ Q[x] โดยทสมประสทธทกตวเปนจานวนเตมถา f(x) = u(x)v(x) เมอ u(x), v(x) ∈ Q[x]

แลวจะม g(x), h(x) ∈ Z[x] ซง f(x) = g(x)h(x)


บทแทรก . . Z[x] เปน U.F.D.

ทฤษฎบท . . เกณฑการพจารณาของไอเซนสไตน (Eisenstein's Criterion)ให f(x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x+ a0 ∈ Q[x] โดยท ai ∈ Z ทก i ∈ {0, 1, 2, ..., n}มจานวนเฉพาะ p ซง

. p | ai ทก i ∈ {0, 1, ..., n− 1}

. p " an และ p2 " a0

แลว f(x) ลดทอนไมไดใน Q[x]


ตวอยาง . . จงตรวจสอบวาพหนามตอไปนลดทอนไดหรอไมใน Q[x]

. x4 + 10x+ 5

. 3x3 + 4x+ 2

. x2 − x− 12

. 5x5 + 9x+ 6

. x7 + 7

. x7 + 53

. (x+ 1)4 + 1

ขอสงเกต . . ถา n ∈ N และ p เปนจานวนเฉพาะ จะไดวา xn + p ลดทอนไมไดใน Q[x]



. จงตรวจสอบวาพหนามตอไปนเปนพหนามปฐมฐานหรอไม

. x3 + 5x2 − x+ 1

. 2x5 + 4x4 − 2x+ 6

. (x2 + x− 3)(2x3 − 3x+ 1)

. (x− 1)(2x2 − 3x+ 3)(2x− 1)

. จงตรวจสอบวาพหนามตอไปนลดทอนไดหรอไม

. x4 + 6x3 − 10x+ 2 ใน Q[x]

. x5 − 3x2 + 6x3 − 9x+ 3 ใน Q[x]

. x7 + 5 ใน Q[x]

. (x2 + 1)2 + 1 ใน Q[x]

. x3 + x+ 1 ใน Z3[x]

. x4 + 1 ใน Z5[x]

. x4 + 10x2 + 1 ใน Z[x]

. x6 + x− 1 ใน Q[x]

. x4 + 4x+ 1 ใน Q[x]

. 1

2x3 + 2x− 3

2ใน Q[x]

. ถา n,m ∈ N และ p เปนจานวนเฉพาะ จงใหเหตผลวาทาไม xn + pm ลดทอนไมไดใน Q[x]

. จงพสจนวาพหนามตอไปนลดทอนไมไดใน Z[x]

. x4 − 4x3 + 6

. x6 + 30x5 − 15x3 + 6x− 120

. x4 + 4x3 + 6x2 + 2x+ 1

. (x+ 2)p − 2p

pเมอ p เปนจานวนเฉพาะค

. จงพสจนวา 1 + x+ x2 + · · ·+ xp ลดทอนไมไดใน Q[x] เมอ p เปนจานวนเฉพาะ

. ให a ∈ Zp เมอ p เปนจานวนเฉพาะ จงพสจนวา xp + a ลดทอนไมไดใน Zp[x]

. จงยกตวอยางพหนามระดบขน 8 ซงลดทอนไดใน Q[x]

. จงแสดงวา x2 −√2 ลดทอนไมไดใน Z[

√2][x]

. จงตรวจสอบวา Q[x]/ ⟨x4 + 2x2 + 6x+ 1⟩ เปนฟลดหรอไม


บรรณานกรม

กระทรวงศกษาธการ. ( ). เอกสารเสรมความร วชาคณตศาสตร เรองพชคณต.กรงเทพฯ : บรษท ไฮเอดพบลชชง จากด

จตจวบ เปาอนทร. ( ). พชคณตนามธรรม. ภาควชาคณตศาสตร คณะวทยาศาสตรจฬาลงกรณมหาวทยาลย

ฉววรรณ รตนประเสรฐ. ( ). พชคณต. กรงเทพฯ : มลนธ สอวน.

พฒน อดมกะวานช. ( ). หลกคณตศาสตร. กรงเทพฯ: สานกพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย.

ธนชยศ จาปาหวาย. ( ). ทฤษฎจานวน. เอกสารอดสาเนา.

ธนชยศ จาปาหวาย. ( ). หลกการคณตศาสตร. เอกสารอดสาเนา.

อจฉรา หาญชวงศ. ( ). ทฤษฎจานวน. กรงเทพฯ : สานกพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย.

Charles C. Pinter. ( ). A Book of Abstract Algebra. New York: McGraw-HillPublishing Company, Inc.

David S. Dummit and Richard M. Foote. ( ). Abstract Algebra. Hoboken, NJ :John Wiley & Sons, Inc.

W


ประวตผเขยน

นายธนชยศ จาปาหวาย

• ปรญญาเอก วทยาศาสตรดษฎบณฑต (คณตศาสาตร), จฬาลงกรณมหาวทยาลย,Ph.D. (Mathematics), Chulalongkorn University,

• ปรญญาโท วทยาศาสตรมหาบณฑต (คณตศาสาตร), จฬาลงกรณมหาวทยาลย,M.Sc. (Mathematics), Chulalongkorn University,

• ปรญญาตร วทยาศาสตรบณฑต (คณตศาสาตร, เกยตรนยมอนดบสอง),จฬาลงกรณมหาวทยาลย,B.Sc. (Mathematics, 2nd class honours),Chulalongkorn University,

• ปจจบนดารงตาแหนงผชวยศาสตราจารยประจาสาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตรมหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา

Email: [email protected]: www.facebook.com/Jampawai

Office:Block: www.eledu.ssru.ac.th/thanatyod_ja

ผลงานทางวชาการ

. เอกสารประกอบการสอนวชาหลกการคณตศาสตรสาหรบคร,

. ตาราวชาทฤษฎจานวน,

. หนงสอความจรงทตองพสจน,

Mm

พีชคณิตนามธรรม AbstractAlgebra · 2019-08-07 ·...

Documents

Transcript of พีชคณิตนามธรรม AbstractAlgebra · 2019-08-07 ·...