จำนวนเชิงซ้อน (Complex Numbers) ·...
Transcript of จำนวนเชิงซ้อน (Complex Numbers) ·...
จ ำนวนเชงซอน (Complex Numbers) อ.ภำนวฒน เกยรตนฤมล
1 ยงบทเรยนยากขน 'เทาไหร' ถาเราผานมนไปไดเรากจะยง 'เกงขน' เทานน https://krujongpanuwat.wordpress.com/
จ ำนวนเชงซอน
(Complex Numbers)
1. จ ำนวนเชงซอน
พจารณาสมการ
012 x
12 x
จะเหนวาในระบบจ านวนจรง จะไมมจ านวนจรงใดเปน ค าตอบ เพราะวาจ านวนจรงใดกตามเมอยกกาลง
สองแลวยอมมคามากกวาหรอเทากบศนย ดวยเหตนนกคณตศาสตรจงสรางระบบจ านวนขนใหมเพอให
สมการทมลกษณะดงกลาวมคาตอบ ซงเรยกจ านวนทสรางใหมนวา จ ำนวนเชงซอน (complex number) บทนยำม สาหรบจ านวนเชงซอน z = (a, b) = bia เมอ a และ b เปนจานวนจรง
เรยก a วาสวนจรง(real part) ของ z และแทนดวย Re(z)
เรยก b วาสวนจนตภำพ (imaginary part) ของ z และแทนดวย Im(z) จ านวนเชงซอน (0, 1) เขยนแทนดวยสญลกษณ 1 หรอ i ซงเรยก i วาหนวยจนตภำพ
(imaginary unit)
จำก
จ ำนวนเชงซอน (Complex Numbers) อ.ภำนวฒน เกยรตนฤมล
2 ยงบทเรยนยากขน 'เทาไหร' ถาเราผานมนไปไดเรากจะยง 'เกงขน' เทานน https://krujongpanuwat.wordpress.com/
NOTE!!!
ตวอยำง 1. จงหาคาของ 1. 9i = ……………………………………………………………………………………………………… 2. 10i = ……………………………………………………………………………………………………… 3. 75i = ……………………………………………………………………………………………………… 4. 2 3 4i i i i+ + + = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 5. 13121110 iiii = ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
ตวอยำง
1. 4 ……………………………………… 2. 10 ………………………………………
3. 16 …………………………………… 4. 100 ………………………………………
5. 200 …………………………………… 6. 400 ………………………………………
7. 200 …………………………………… 8. 400 ………………………………………
9. 500 …………………………………… 10. 625 ………………………………………
จ ำนวนเชงซอน (Complex Numbers) อ.ภำนวฒน เกยรตนฤมล
3 ยงบทเรยนยากขน 'เทาไหร' ถาเราผานมนไปไดเรากจะยง 'เกงขน' เทานน https://krujongpanuwat.wordpress.com/
2. สมบตกำรบวกและกำรคนของจำนวนเชงซอนทอยในรป a + bi
ตวอยำง 1. จงหาคาของ ( ) ( )4 3i 1 2i+ + - +
………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….
2. จงหาคาของ ( ) ( )2, 3 5,6+
………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….
3. จงหาผลคณของ ( 2 5i)(3 2i)- + +
………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….
4. จงหาผลคณของ ( )2
1 i+
………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….
จ ำนวนเชงซอน (Complex Numbers) อ.ภำนวฒน เกยรตนฤมล
4 ยงบทเรยนยากขน 'เทาไหร' ถาเราผานมนไปไดเรากจะยง 'เกงขน' เทานน https://krujongpanuwat.wordpress.com/
แบบฝกหด 1.1
1. จงหาสวนจรง Re(z) และสวนจนตภาพ Im(z) ของจ านวนเชงซอนตอไปน (1) 5 – 4! จะได สวนจรงคอ…………………………………และสวนจนตภาพคอ…………………………. (2) i93 จะได สวนจรงคอ…………………………………และสวนจนตภาพ…………………………… (3) 9 จะได สวนจรงคอ………………………………และสวนจนตภาพคอ……………………………. (4 ) 7i จะได สวนจรงคอ………………………………และสวนจนตภาพคอ…………………………….. (5) (1 – i)2 (1 – i)2 =………………………………………………………………………………………….. จะได สวนจรงคอ……………………………..และสวนจนตภาพคอ……………………………… (6) 2)92( i
2)92( i = ……………………………………………………………………………………... จะได สวนจรงคอ…………………………..และสวนจนตภาพคอ………………………………. 2. จงเขยนผลลพธใหอยในรป a +bi เมอ a, b R
(1) (3, 4) + (2, 6) จะได (3, 4) + (2, 6) = …………………………………………………………………………………
(2) (-5, 2) + (1,-3) จะได (-5, 2) + (1,-3) = ………………………………………………………………………………
(3) (4 – 3i) + (-5 + 6i) จะได (4 – 3i) + (-5 + 6i) = …………………………………………………………………………... (4) (5 + 2i) + (1 -4i) + (-3 + i)
จะได (5 + 2i) + (1 -4i) + (-3 + i) = ……………………………………………………………….... 3. จงเขยนผลลพธใหอยในรป a + bi เมอ a, b R (1) (3,- 4) (-2, 6) จะได (3, - 4) (-2, 6) = ………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………..
จ ำนวนเชงซอน (Complex Numbers) อ.ภำนวฒน เกยรตนฤมล
5 ยงบทเรยนยากขน 'เทาไหร' ถาเราผานมนไปไดเรากจะยง 'เกงขน' เทานน https://krujongpanuwat.wordpress.com/
(2) (1, -7) ( , - ) จะได (1, -7) ( , - ) = …………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………..
(3) (√ , -2) (-3√ , 7)
จะได (√ , -2) (-3√ , 7) = ……………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………..
(4) (4 – 3i) (-5 + 6i) จะได (4 – 3i) (-5 + 6i) = ……………………………………………………………………………... ………………………………………………………………………………………………………………..
(5) (5 + 2i) (1 – 2i) (-3 + i) จะได (5 + 2i) (1 – 2i) (-3 + i) = ………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………..
(6) (-1 + 7i) (2 + 2i) (4 – 5i)
จะได (-1 + 7i) (2 + 2i) (4 – 5i) = ……………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………..
(7) (6i) (7 + 4i) (8 – i) จะได (6i) (7 + 4i) (8 – i) = …………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………………………….. 4. จงหาคาในแตละขอความตอไปน (1) i97
จะได i97 =………………....................................................................................................................... (2) i130
จะได i130 =…………………………………………………………………………………………….. (3) i500
จะได i500 =……………………………………………………………………………………………. (4) i635 จะได i635 =…………………………………………………………………………………………….
จ ำนวนเชงซอน (Complex Numbers) อ.ภำนวฒน เกยรตนฤมล
6 ยงบทเรยนยากขน 'เทาไหร' ถาเราผานมนไปไดเรากจะยง 'เกงขน' เทานน https://krujongpanuwat.wordpress.com/
(5) i5 + i6 + i7 + i8 + i9 +i10 จะได i5 + i6 + i7 + i8 + i9 +i10 =…………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………..
(6) i10 . i11 . i12 . i13 . i14 . i15 จะได i10 . i11 . i12 . i13 . i14 . i15 =…………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………..
3. เอกลกษณและตวผกผน (อนเวอรส) กำรบวกในระบบจำนวนเชงซอน
เอกลกษณกำรบวก
ตวผกผน (อนเวอรส) กำรบวก
ตวอยำง จงหาอนเวอรสการบวกของจ านวนเชงซอนตอไปน 1. อนเวอรสการบวกของ z 3 4i= + คอ …………………………………………………. 2. อนเวอรสการบวกของ z 5 7i= + คอ …………………………………………………. 3. อนเวอรสการบวกของ z 2 9i= - + คอ …………………………………………………. 4. อนเวอรสการบวกของ z 5 0i= + คอ …………………………………………………. 5. อนเวอรสการบวกของ z 0 2i= + คอ ………………………………………………….
4. เอกลกษณและตวผกผน(อนเวอรส) กำรคณในระบบจำนวนเชงซอน เอกลกษณกำรคณ
จ ำนวนเชงซอน (Complex Numbers) อ.ภำนวฒน เกยรตนฤมล
7 ยงบทเรยนยากขน 'เทาไหร' ถาเราผานมนไปไดเรากจะยง 'เกงขน' เทานน https://krujongpanuwat.wordpress.com/
ตวผกผน (อนเวอรส) กำรคณ
ตวอยำง จงหาอนเวอรสการคณของจ านวนเชงซอนตอไปน 1. z 2 3i= + ………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………
2. z 4 i= - +
………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………
3. z 3=
………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………
5. กำรลบและกำรหำรจ ำนวนเชงซอน
จ ำนวนเชงซอน (Complex Numbers) อ.ภำนวฒน เกยรตนฤมล
8 ยงบทเรยนยากขน 'เทาไหร' ถาเราผานมนไปไดเรากจะยง 'เกงขน' เทานน https://krujongpanuwat.wordpress.com/
ตวอยำง 1. จงหา (6 4i) (8 3i)+ - -
………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………….
2. จงหา 10i (7 6i)- +
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
ตวอยำง จงหาผลหารของจ านวนเชงซอนตอไปน
1. ( )
( )
3 2i
5 4i
-
+
………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………/
2. ( )
( )
2 4i
3 i
+
+
………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………
3. ( )
( )
1 i
1 i
+
-
………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………
จ ำนวนเชงซอน (Complex Numbers) อ.ภำนวฒน เกยรตนฤมล
9 ยงบทเรยนยากขน 'เทาไหร' ถาเราผานมนไปไดเรากจะยง 'เกงขน' เทานน https://krujongpanuwat.wordpress.com/
แบบฝกหด 1.2
1. ผกผนการบวกของจ านวนเชงซอน z ในแตละขอตอไปน
(1) z = (-5 , 2)
จะได ผกผนการบวกของ (-5 , 2) คอ …………………………………………………………………
(2) z = 4 – 3i
จะได ผกผนการบวกของ 4 – 3i คอ…………………………………………………………………...
(3) z = -3 + √ i
จะได ผกผนการบวกของ -3 + √ i คอ……………………………………………………………..
6. ตวผกผนการคณของจ านวนเชงซอน z ในแตละขอตอไปน
(1) z = (-5 , 2)
จะได ผกผนการคณของ (-5 , 2) คอ……………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………
(2) z = 4 – 3i
จะได ผกผนการคณของ 4 – 3i คอ…………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………
(3) z = -3 + √ i
จะได ผกผนการคณของ -3 + √ i คอ……………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………
จ ำนวนเชงซอน (Complex Numbers) อ.ภำนวฒน เกยรตนฤมล
10 ยงบทเรยนยากขน 'เทาไหร' ถาเราผานมนไปไดเรากจะยง 'เกงขน' เทานน https://krujongpanuwat.wordpress.com/
7. จงหาคาของจ านวนเชงซอนตอไปน ในรป a + bi เมอ a , b R
(1)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
(2)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
(3)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
6. สงยค (conjugate) ของจำนวนเชงซอน
ตวอยำง ก าหนดให 1z 2 i= - และ 2z 3 2i= - + จงหา 1.
1z = ……………………………………………………………………………………………………… 2.
2z = …………………………………………………………………………………………………….. 3. 1 2z z = …………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………… 4. 1 2z z =…………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………… 5. 1 2z z× =………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… 6. 1 2z z+ =………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………
จ ำนวนเชงซอน (Complex Numbers) อ.ภำนวฒน เกยรตนฤมล
11 ยงบทเรยนยากขน 'เทาไหร' ถาเราผานมนไปไดเรากจะยง 'เกงขน' เทานน https://krujongpanuwat.wordpress.com/
7. 1 2z z+ =…………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………… 8.
1 2z z+ =………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………
9. จงใชสงยคของตวหารชวยในการหาผลหารของ 2 3i
4 2i
+
-
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Note!!!!
ตวอยำง จงหา 1z เมอก าหนดให z 2 4i= -
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
แบบฝกหด 1.3
1. ก าหนดให z = 4 – 3i จงเขยนจ านวนในขอตอไปนใหอยในรป a + bi เมอ a , b R (1)
จะได =…………………………………………………………………………………………… (2) z
จะได z =………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………..
(3) z + จะได z + =……………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………….
จ ำนวนเชงซอน (Complex Numbers) อ.ภำนวฒน เกยรตนฤมล
12 ยงบทเรยนยากขน 'เทาไหร' ถาเราผานมนไปไดเรากจะยง 'เกงขน' เทานน https://krujongpanuwat.wordpress.com/
(4) z(z + ) จะได z(z + ) =…………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………….
(5) z - จะได z - =……………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….
(6) (z - )i
จะได (z - )i =……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
(7)
จะได =……………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….
(8)
จะได
=…………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………….. 2. ก าหนดให z1 = 3 – i และ z2 = -2 + 3i จงหา (1) 1
.......................................................................................................................................................................... (2) 2
…………………………………………………………………………………………………………...….. (3) z1 z
………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………..
(4) 2
จ ำนวนเชงซอน (Complex Numbers) อ.ภำนวฒน เกยรตนฤมล
13 ยงบทเรยนยากขน 'เทาไหร' ถาเราผานมนไปไดเรากจะยง 'เกงขน' เทานน https://krujongpanuwat.wordpress.com/
………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………..
(5) 1 . 2 ………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………..
(6) Z1 + z2 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
(7) 2 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………..
(8) 1 + 2 ……………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………….. 9 จงหาคาของจ านวนเชงซอนตอไปนในรป a + bi เมอ a , b R
(1) √
√
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
(2)
+
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….........................................................................................................................................................................
จ ำนวนเชงซอน (Complex Numbers) อ.ภำนวฒน เกยรตนฤมล
14 ยงบทเรยนยากขน 'เทาไหร' ถาเราผานมนไปไดเรากจะยง 'เกงขน' เทานน https://krujongpanuwat.wordpress.com/
สมบตทส ำคญ!!!ของสงยคของจำนวนเชงซอนมดงน
ตวอยำง ก าหนด iz 21 และ iz 232 จงหา
1. 21 zz = ………………………………………………………………………………………………....
………………………………………………………………………………………………………………..2. 21zz = ………………………………………………………………………………………………........
………………………………………………………………………………………………………………..
ตวอยำง
1. (4 + 5i) . (4 – 5i) =
……………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………..
จ ำนวนเชงซอน (Complex Numbers) อ.ภำนวฒน เกยรตนฤมล
15 ยงบทเรยนยากขน 'เทาไหร' ถาเราผานมนไปไดเรากจะยง 'เกงขน' เทานน https://krujongpanuwat.wordpress.com/
2. (1 + 3 i) . (1 – 3i) =
……………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………..
7. รำกทสองของจ ำนวนเชงซอน
ตวอยำง จงหารากทสองของ z 8 6i= - ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… จงหารากทสองของ z 7 24i= + ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… จงหารากทสองของ z = 18i
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
จ ำนวนเชงซอน (Complex Numbers) อ.ภำนวฒน เกยรตนฤมล
16 ยงบทเรยนยากขน 'เทาไหร' ถาเราผานมนไปไดเรากจะยง 'เกงขน' เทานน https://krujongpanuwat.wordpress.com/
เราจะน าความรเรองรากทสองของจ านวนจรงลบไปใช เพอหาค าตอบของสมการก าลงสองได ดงตวอยางตอไปน
ตวอยำง จงหาเซตค าตอบของสมการตอไปน 1. 0324 2 xx ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… 2. 092 x ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………
แบบฝกหด 1.4
1. จงหารากทสองของจ านวนเชงซอนตอไปน (1) 8 – 6i ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
จ ำนวนเชงซอน (Complex Numbers) อ.ภำนวฒน เกยรตนฤมล
17 ยงบทเรยนยากขน 'เทาไหร' ถาเราผานมนไปไดเรากจะยง 'เกงขน' เทานน https://krujongpanuwat.wordpress.com/
(2) 5 – 12i ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
(3) 1 - 2√ i ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2. จงหาเซตค าตอบของสมการตอไปน (1) x2 = -72 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
(2) 5x2 + 2 = 0 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
จ ำนวนเชงซอน (Complex Numbers) อ.ภำนวฒน เกยรตนฤมล
18 ยงบทเรยนยากขน 'เทาไหร' ถาเราผานมนไปไดเรากจะยง 'เกงขน' เทานน https://krujongpanuwat.wordpress.com/
(3) x2 – 2x + 40 = 0 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
(4) x2 + 2x + 1 = 0 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
8. กรำฟ และ คำสมบรณของจ ำนวนเชงซอน จ านวนเชงซอนทอยในรปคอนดบ (a, b) หรอ a + bi โดยท a เปนสวนจรง และ b เปนสวนจนตภาพ
เราสามารถแทนจานวนเชงซอน (a, b) ดวยจดบนระนาบในระบบแกนมมฉากได เรยกแกนนอนวา แกนจรง(real axis) และเรยกแกนตงวา แกนจนตภำพ (imaginary axis) ระนาบทเกดจากแกนจรงและแกนจนตภาพ จะเรยกวา ระนาบเชงซอน (complex plane)
เพอความสะดวกจะใชแกน X แทนแกนจรง และแกน Y แทนแกนจนตภาพ ดงรป
จ ำนวนเชงซอน (Complex Numbers) อ.ภำนวฒน เกยรตนฤมล
19 ยงบทเรยนยากขน 'เทาไหร' ถาเราผานมนไปไดเรากจะยง 'เกงขน' เทานน https://krujongpanuwat.wordpress.com/
ถาก าหนดจานวนเชงซอน z = (a, b) = a + bi กราฟของ z อาจเขยนได 2 แบบ ดงน 1. เขยนจด (a, b) ลงในระนาบเชงซอนไดดงรป
2. เขยนเวกเตอรท มจเรมตนจด (0, 0) และจดสนสดทจด (a, b) ดงรป
ตวอยำง จงเขยนจดแทนจ านวนเชงซอนตอไปนในระนาบเชงซอน Z1 = (5 , 0), z2 = (3, 6), z3 = (3, 6), z4 = (3, 6), z5 = (3, 6), z6 = (3, 6), และ z7 = (3, 6)
จ ำนวนเชงซอน (Complex Numbers) อ.ภำนวฒน เกยรตนฤมล
20 ยงบทเรยนยากขน 'เทาไหร' ถาเราผานมนไปไดเรากจะยง 'เกงขน' เทานน https://krujongpanuwat.wordpress.com/
2 จงเขยนเวกเตอรแทนจ านวนเชงซอนตอไปนในระนาบเชงซอน Z1 = (5 , 0), z2 = (3, 6), z3 = (3, 6), z4 = (3, 6), z5 = (3, 6), z6 = (3, 6), และ z7 = (3, 6)
คำสมบรณของจ ำนวนเชงซอน ตวอยำง จงหาคาสมบรณของจ านวนเชงซอนตอไปน 1. │4 + 3i│= ……………………………………………………………………………………….........
………………………………………………………………………………………………………………
2. │ 6 – i│= ……………………………………………………………………………………….........
………………………………………………………………………………………………………………
3.│8│= ……………………………………………………………………………………….................
………………………………………………………………………………………………………………
จ ำนวนเชงซอน (Complex Numbers) อ.ภำนวฒน เกยรตนฤมล
21 ยงบทเรยนยากขน 'เทาไหร' ถาเราผานมนไปไดเรากจะยง 'เกงขน' เทานน https://krujongpanuwat.wordpress.com/
4.│-7│= ……………………………………………………………………………………….................
………………………………………………………………………………………………………………
5. │5i│= ……………………………………………………………………………………….................
………………………………………………………………………………………………………………
6.│3i│= ……………………………………………………………………………………….................
………………………………………………………………………………………………………………
7. │-8i│= ……………………………………………………………………………………….................
………………………………………………………………………………………………………………
8. i2
5
2
1 = ………………………………………………………………………………………...........
สมบตทส ำคญ!!!ของคำสมบรณของจำนวนเชงซอนมดงน
จ ำนวนเชงซอน (Complex Numbers) อ.ภำนวฒน เกยรตนฤมล
22 ยงบทเรยนยากขน 'เทาไหร' ถาเราผานมนไปไดเรากจะยง 'เกงขน' เทานน https://krujongpanuwat.wordpress.com/
ตวอยำง จงหาคาสมบรณของจ านวนเชงซอนตอไปน 1. z = (4 –5i) – (–1 + 7i) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2. z = (4 + 3i)(4 – 3i) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3. i
iz
3
52
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………
แบบฝกหด 1.5
1. จงเขยนจดในระนาบเชงซอน ซงแทนจ านวนเชงซอนตอไปน 1) (0,2),( 1, 0),(2, 4),( 3, 2),(1, 4),( 3,2)- - - - - 2) 1 i, 2 3i, 4 2i, 3 5i, 2i, 4+ - - - + - -
1) วธท ำ แทนในกราฟดงน
จ ำนวนเชงซอน (Complex Numbers) อ.ภำนวฒน เกยรตนฤมล
23 ยงบทเรยนยากขน 'เทาไหร' ถาเราผานมนไปไดเรากจะยง 'เกงขน' เทานน https://krujongpanuwat.wordpress.com/
2. วธท ำ แทนในกราฟดงน
2. จงหาสมบรณของจ านวนเชงซอนตอไปน 1. z 3 4i= +
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2. z 4 3i= - ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3. z 6 8i= - - ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
4. z 12 5i= - + ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
5. ( )z 1,2= ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
จ ำนวนเชงซอน (Complex Numbers) อ.ภำนวฒน เกยรตนฤมล
24 ยงบทเรยนยากขน 'เทาไหร' ถาเราผานมนไปไดเรากจะยง 'เกงขน' เทานน https://krujongpanuwat.wordpress.com/
3. จงหาสมบรณของจ านวนเชงซอนตอไปน 1. ( )( )3 4i 1 3i+ -
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2. ( )( )6 8i 3 i- -
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3. ( )( )( )3 i 1 3i 3 4i+ - +
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
4. 6 8i
4 3i
+
-
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
5. ( )( )3 4i 1 3i
8 6i
+ +
-
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4. ถา z 3 4i= + แลว จงหา 2z ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 5. ถา z 6 8i= - แลว จงหา 3z ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
จ ำนวนเชงซอน (Complex Numbers) อ.ภำนวฒน เกยรตนฤมล
25 ยงบทเรยนยากขน 'เทาไหร' ถาเราผานมนไปไดเรากจะยง 'เกงขน' เทานน https://krujongpanuwat.wordpress.com/
9. จ ำนวนเชงซอนในรปเชงขว (Porlar Form) ถา z = (a, b) = a + bi เปนจ านวนเชงซอน เราสามารถเขยน z ดวยเวกเตอรบนระนาบเชงซอน
ไดดงน
NOTE!!!!
ในการเปลยนจ านวนเชงซอนในรปเชงขว สงทตองระวงคอ มม ( )
ส ำคญมำกๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆ
จ ำนวนเชงซอน (Complex Numbers) อ.ภำนวฒน เกยรตนฤมล
26 ยงบทเรยนยากขน 'เทาไหร' ถาเราผานมนไปไดเรากจะยง 'เกงขน' เทานน https://krujongpanuwat.wordpress.com/
ตวอยำง 1. จงเขยนจ านวนเชงซอนตอไปนใหอยในรปเชงขว
(1) z = 1 + i
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
(2) z = -√ + i
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
(3) 2 2i- +
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
(4) 4 4 3i-
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………
จ ำนวนเชงซอน (Complex Numbers) อ.ภำนวฒน เกยรตนฤมล
27 ยงบทเรยนยากขน 'เทาไหร' ถาเราผานมนไปไดเรากจะยง 'เกงขน' เทานน https://krujongpanuwat.wordpress.com/
แบบฝกหด 1.6
1. จงเขยนจ านวนเชงชอนตอไปนใหอยในรปเชงขว
(1) - √ - √ i
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………….
(2) 12 – 12 √ i
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
(3) -
+
i
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………….
(4) 1 3i- +
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
จ ำนวนเชงซอน (Complex Numbers) อ.ภำนวฒน เกยรตนฤมล
28 ยงบทเรยนยากขน 'เทาไหร' ถาเราผานมนไปไดเรากจะยง 'เกงขน' เทานน https://krujongpanuwat.wordpress.com/
10. กำรคณ และกำรหำร จ ำนวนเชงซอนในรปเชงขว
ตวอยำง 1. จงหาผลคณของจ านวนเชงซอนตามทก าหนด โดยตอบในรป a bi+ ( ) ( )1 2z 2 cos120 i sin120 , z 8 cos330 i sin 330= ° + ° = ° + °
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
2. จากจ านวนเชงซอน 1z และ 2z จงหา 1
2
z
z
( ) ( )1 2z 24 cos300 i sin 300 , z 8 cos75 i sin 75= ° + ° = ° + °
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
แบบฝกหด 1.7
1. จงหาคาของจ านวนเชงชอนตอไปนใหอยใน a + bi
(1) [3( + i )] [2( + i )]
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
จ ำนวนเชงซอน (Complex Numbers) อ.ภำนวฒน เกยรตนฤมล
29 ยงบทเรยนยากขน 'เทาไหร' ถาเราผานมนไปไดเรากจะยง 'เกงขน' เทานน https://krujongpanuwat.wordpress.com/
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
(2)
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
(3) [9( + i )] [3( + i )] ………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
(4) [2(cos
+ i sin
)] [√ (cos
+ i sin
)]
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
(5)
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
จ ำนวนเชงซอน (Complex Numbers) อ.ภำนวฒน เกยรตนฤมล
30 ยงบทเรยนยากขน 'เทาไหร' ถาเราผานมนไปไดเรากจะยง 'เกงขน' เทานน https://krujongpanuwat.wordpress.com/
(6) √
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
(7)
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
(8) cos 40 i sin 40
cos10 i sin 10
° + °
° + °
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
11. กำรยกก ำลง จ ำนวนเชงซอน
ตวอยำง 1. ก าหนดให ( )1z 2 cos20 i sin 20= ° + ° จงหา 6
1z ………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
จ ำนวนเชงซอน (Complex Numbers) อ.ภำนวฒน เกยรตนฤมล
31 ยงบทเรยนยากขน 'เทาไหร' ถาเราผานมนไปไดเรากจะยง 'เกงขน' เทานน https://krujongpanuwat.wordpress.com/
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
2. จงหาคาของ 9)3( i ในรปของ a + bi
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
3. จงหาคาของ 8)31( i ในรปของ a + bi
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
จ ำนวนเชงซอน (Complex Numbers) อ.ภำนวฒน เกยรตนฤมล
32 ยงบทเรยนยากขน 'เทาไหร' ถาเราผานมนไปไดเรากจะยง 'เกงขน' เทานน https://krujongpanuwat.wordpress.com/
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
แบบฝกหด 1.8
1. จงหาคาของ (√ +√ 5
ในรป a + bi เมอ a, b R
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
2. ก าหนดให z = 2(cos
+ i sin
) จงเขยน z10 ใหอยในรป a + bi
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
จ ำนวนเชงซอน (Complex Numbers) อ.ภำนวฒน เกยรตนฤมล
33 ยงบทเรยนยากขน 'เทาไหร' ถาเราผานมนไปไดเรากจะยง 'เกงขน' เทานน https://krujongpanuwat.wordpress.com/
3. จงหาเขยนจ านวนเชงซอนในแตละขอตอไปนในรป a + bi เมอ a, b R
(1) (√ - i)7
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
(2) (
+ √
12
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
4. จงใชทฤษฎบทเดอรมวหาคาของ 1) ( )
51 i+
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
(2) ( )10
1 i- +
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
จ ำนวนเชงซอน (Complex Numbers) อ.ภำนวฒน เกยรตนฤมล
34 ยงบทเรยนยากขน 'เทาไหร' ถาเราผานมนไปไดเรากจะยง 'เกงขน' เทานน https://krujongpanuwat.wordpress.com/
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
(3) ( )7
2 3 i+
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
12. กำรถอดรำกจ ำนวนเชงซอนในรปเชงขว
จ ำนวนเชงซอน (Complex Numbers) อ.ภำนวฒน เกยรตนฤมล
35 ยงบทเรยนยากขน 'เทาไหร' ถาเราผานมนไปไดเรากจะยง 'เกงขน' เทานน https://krujongpanuwat.wordpress.com/
ตวอยำง 1. จงหารากทสามของ 1 ………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
2. จงหารากทสามของ i31 ………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
จ ำนวนเชงซอน (Complex Numbers) อ.ภำนวฒน เกยรตนฤมล
36 ยงบทเรยนยากขน 'เทาไหร' ถาเราผานมนไปไดเรากจะยง 'เกงขน' เทานน https://krujongpanuwat.wordpress.com/
แบบฝกหด 1.9
1. จงหารากทสามของ –8 ………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
2. จงหารากทสามของ i344 ………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
จ ำนวนเชงซอน (Complex Numbers) อ.ภำนวฒน เกยรตนฤมล
37 ยงบทเรยนยากขน 'เทาไหร' ถาเราผานมนไปไดเรากจะยง 'เกงขน' เทานน https://krujongpanuwat.wordpress.com/
โจทยขอสอบเขำมหำวทยำลย
1. ………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
2.
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
3. ………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
4.
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
จ ำนวนเชงซอน (Complex Numbers) อ.ภำนวฒน เกยรตนฤมล
38 ยงบทเรยนยากขน 'เทาไหร' ถาเราผานมนไปไดเรากจะยง 'เกงขน' เทานน https://krujongpanuwat.wordpress.com/
คะแนนโบนส
ใหนกเรยนเขาไปเปดเวปไซต https://krujongpanuwat.wordpress.com/ แลวเขาลงคกลมคณตศาสตรครจอง (facebook) โดยไปดโจทยโบนสไดจะอพเดตทกอาทตยครบ
โจทย วธท า
จ ำนวนเชงซอน (Complex Numbers) อ.ภำนวฒน เกยรตนฤมล
39 ยงบทเรยนยากขน 'เทาไหร' ถาเราผานมนไปไดเรากจะยง 'เกงขน' เทานน https://krujongpanuwat.wordpress.com/
ตำรำงกำรสงงำนเรองจ ำนวนเชงซอน
วน/เดอน/ป งาน ลายเซนผปกครอง ลายเซนคร แบบฝกหดท 1.1 แบบฝกหดท 1.2 แบบฝกหดท 1.3 แบบฝกหดท 1.4 แบบฝกหดท 1.5 แบบฝกหดท 1.6 แบบฝกหดท 1.7 แบบฝกหดท 1.8 แบบฝกหดท 1.9 โจทยขอสอบเขา
มหาวทยาลย
คะแนนโบนส
รวมคะแนน คะแนน
ประโยชนของกำรตรงตอเวลำ
1.ท าใหเรามนสยขยนขนแขงเอาการเอางานอยางจรงจง
2.ฝกใหเราเปนคนกระตอรอรนมชวตชวา
3.ท าใหเรามความซอตรงตอตวเองรกษาเกยรตยศของตนเอง
4.ท าใหเราท างานไดสะดวกรวดเรวเรยบรอยและมผลด
5.หนาทการงานประสบความส าเรจชวตกาวหนา
6.สามารถก าหนดกจกรรมตางๆ ทเราจะกระท าไดในแตละวนท าใหชวตมระเบยบและมวนยกบตนเอง
7.เปนทเชอถอและไวใจของคนอน
จ ำนวนเชงซอน (Complex Numbers) อ.ภำนวฒน เกยรตนฤมล
40 ยงบทเรยนยากขน 'เทาไหร' ถาเราผานมนไปไดเรากจะยง 'เกงขน' เทานน https://krujongpanuwat.wordpress.com/
ผงควำมคด (Mind Mapping) เรองจ ำนวนเชงซอน
จ ำนวนเชงซอน Complex Numbers
จ ำนวนเชงซอน (Complex Numbers) อ.ภำนวฒน เกยรตนฤมล
41 ยงบทเรยนยากขน 'เทาไหร' ถาเราผานมนไปไดเรากจะยง 'เกงขน' เทานน https://krujongpanuwat.wordpress.com/
แบบทดสอบกอน-หลงเรยน เรองจ ำนวนเชงซอน
ใหนกเรยนท าเครองหมายกากบาท ( ) ลงในชอง ก, ข, ค หรอ ง ทนกเรยนเหนวาถกตองทสดเพยงค าตอบเดยว
1. จงหาคาของ 195 77 58i i i+ - ก. i1
ข. i1
ค. 1
ง. 0
2. ถา 1z 3 2i= + และ
2z 1 4i= + แลวจงหา
1 2z z ก. i83
ข. i145
ค. i212
ง. i64
3. ก าหนดให z 2 9i= - + จงหาอนเวอรส การบวก ก. i92 ข. i92 ค. i92 ง. i92
4. ก าหนดให z 4i= จงหาอนเวอรสการคณ
ก. i4
1
ข. i4
1
ค. i4
ง. i4
5. ถา ( )1z 1,2= และ ( )2z 3, 4= แลว
21 zz เทากบขอใด ก. i64
ข. i64
ค. i55
ง. i55
6. ขอใดคอคาของ i
i
2
2
ก. i5
4
5
3
ข. i5
4
5
3
ค. i3
41
ง. i3
41
7. ถา 1z 3 4i= - - และ 2z 2 5i= - +
แลว 1
2
z
z เทากบขอใดตอไปน
ก. 29
5
ข. 29
5
ค. 5
29
จ ำนวนเชงซอน (Complex Numbers) อ.ภำนวฒน เกยรตนฤมล
42 ยงบทเรยนยากขน 'เทาไหร' ถาเราผานมนไปไดเรากจะยง 'เกงขน' เทานน https://krujongpanuwat.wordpress.com/
ง. 5
29
8. รปเชงขวของจ านวนเชงซอน 1 i+ คอขอใด
ก. 2 cos sin6 6
i
ข. 2 cos sin4 4
i
ค. 2 cos sin4 4
i
ง. 2 cos sin6 6
i
9. ถา 15sin15cos31 iz และ 75sin75cos21 iz แลว 21 zz
เทากบขอใดตอไปน ก. 6
ข. i6
ค. i6
ง. i6
10.ถา 83sin83cos201 iz และ
23sin23cos51 iz แลว 2
1
z
z เทากบ
ขอใดตอไปน ก. i32
ข. i32
ค. i322
ง. i32