พีชคณิตบูลีน Boolean Algebramaths.sci.ku.ac.th/suriya/417271/Slide/Chapter 5...
Transcript of พีชคณิตบูลีน Boolean Algebramaths.sci.ku.ac.th/suriya/417271/Slide/Chapter 5...
8/18/2014
1
พชคณตบลน Boolean Algebra Discrete Mathematics
Introduction to Boolean Algebra
8/18/2014
2
Boolean Operator
Boolean Expressions and
Boolean Functions
8/18/2014
3
Boolean Expressions and
Boolean Functions
Example: Boolean Functions
8/18/2014
4
Equal of Boolean Functions
Equivalent Boolean Expressions
8/18/2014
5
Complement of Boolean Functions
Laws of Boolean Algebra
𝒇 = 𝒇 𝒙 = 𝒙
Law of the Double Complement
𝒇 + 𝒈 = 𝒇 ∙ 𝒈 𝒙 + 𝒚 = 𝒙 ∙ 𝒚
𝒇 ∙ 𝒈 = 𝒇 + 𝒈 𝒙 ∙ 𝒚 = 𝒙 + 𝒚
De Morgan’s Laws
𝒇+ 𝒈 = 𝒈+ 𝒇 𝒙+ 𝒚 = 𝒚+ 𝒙
𝒇 ∙ 𝒈 = 𝒈 ∙ 𝒇 𝒙 ∙ 𝒚 = 𝒚 ∙ 𝒙
Commutative Laws
8/18/2014
6
Laws of Boolean Algebra
𝒇+ 𝒈+ 𝒉 = 𝒇+ 𝒈 + 𝒉 𝒙+ 𝒚+ 𝒛 = 𝒙+ 𝒚 + 𝒛
𝒇 ∙ 𝒈 ∙ 𝒉 = 𝒇 ∙ 𝒈 ∙ 𝒉 𝒙 ∙ 𝒚 ∙ 𝒛 = 𝒙 ∙ 𝒚 ∙ 𝒛
Associative Laws
𝒇+ 𝒈 ∙ 𝒉 = 𝒇+ 𝒈 ∙ (𝒇+ 𝒉) 𝒙+ 𝒚 ∙ 𝒛 = 𝒙+ 𝒚 ∙ (𝒙+ 𝒛)
𝒇 ∙ 𝒈+ 𝒉 = 𝒇 ∙ 𝒈 + (𝒇 ∙ 𝒉) 𝒙 ∙ 𝒚+ 𝒛 = 𝒙 ∙ 𝒚 + (𝒙 ∙ 𝒛)
Distributive Laws
Laws of Boolean Algebra
𝒇+ 𝒇 = 𝒇 𝒙+ 𝒙 = 𝒙
𝒇 ∙ 𝒇 = 𝒇 𝒙 ∙ 𝒙 = 𝒙
Idempotent Laws
𝒇 + 𝟎 = 𝒇 𝒙+ 𝟎 = 𝒙
𝒇 ∙ 𝟏 = 𝒇 𝒙 ∙ 𝟏 = 𝒙
Identity Laws
8/18/2014
7
Laws of Boolean Algebra
𝒇 + 𝒇 = 𝟏 𝒙+ 𝒙 = 𝟏
𝒇 ∙ 𝒇 = 𝟎 𝒙 ∙ 𝒙 = 𝟎
Inverse Laws
𝒇+ 𝟏 = 𝟏 𝒙+ 𝟏 = 𝟏
𝒇 ∙ 𝟎 = 𝟎 𝒙 ∙ 𝟎 = 𝟎
Dominance Laws
Laws of Boolean Algebra
𝒇+ 𝒇𝒈 = 𝒇 𝒙+ 𝒙𝒚 = 𝒙
𝒇 ∙ 𝒇+ 𝒈 = 𝒇 𝒙 ∙ 𝒙+ 𝒚 = 𝒙
Absorption Laws
8/18/2014
8
Proof of some Law
Proof of some Law
8/18/2014
9
Using Laws of Boolean Algebra
Boolean Function Construction
8/18/2014
10
พจารณาแถวทคาของฟงกชนเปน 1
Boolean Function Construction
โดยนยามของตวด าเนนการการคณ จะใหคาเปน 1 เมอตวถกด าเนนการทกตวมคาเปน 1 เพอเปลยน 0 ใหเปน 1 และใชนยามการคณ จะตองใชตวด าเนนการเตมเตมมาชวย
Boolean Function Construction
8/18/2014
11
Boolean Function Construction
โดยนยามของตวด าเนนการววก ถาตวถกด าเนนการตวใดตวหนงมคาเปน 1 จะท าใหผลลพธมคาเปน 1
Disjunctive Normal Form
8/18/2014
12
Example: Disjunctive Normal Form
พจารณาแถวทคาของฟงกชนเปน 1
𝒙 𝒚 𝒛
𝒙 𝒚𝒛
𝒙𝒚𝒛
𝒙𝒚𝒛
𝒇 𝒙,𝒚, 𝒛 = 𝒙 𝒚 𝒛+ 𝒙 𝒚𝒛+ 𝒙𝒚𝒛 + 𝒙𝒚𝒛
Example: Disjunctive Normal Form
8/18/2014
13
Example: Disjunctive Normal Form
Boolean Input code
8/18/2014
14
Sum of Minterms
minterms เปนการใชเพอเนนวา “การเชอมมลฐานแบบใดบาง ท าใหคาฟงกชนเปน 1”
𝒇 𝒙,𝒚, 𝒛 = 𝒙𝒚𝒛+ 𝒙𝒚𝒛 + 𝒙 𝒚𝒛+ 𝒙 𝒚 𝒛
111 110 011 001
Sum of Minterms
1101 1100 0111 0110 1111 0101 13 12 7 6 15 5
8/18/2014
15
Duality แปลเปนไทยไดวา ภาวะคกน
การสรางคกนจะท าไดโดย เปลยนตวด าเนนการคณเปนบวก เปลยนตวด าเนนการบวกเปนคณ เปลยน 0 เปน 1 และเปลยน 1 เปน 0
ภาวะคกนของ Disjunctive Normal Form คอ Conjunctive Normal Form
Conjunctive Normal Form
8/18/2014
16
Conjunctive Normal Form การเลอกมลฐานนจะใหคาเปน 0 เพยงกรณเดยว คอ กรณททก Literal มคาเปน 0 ดงนน ผลคณของการเลอกมลฐาน กคอ กรณตางๆ ของ input ทฟงกชนใหคาเปน 0
กรณทฟงกชนใหคาเปน 0
𝒙 + 𝒚+ 𝒛
𝒙 + 𝒚+ 𝒛
𝒙+ 𝒚+ 𝒛
Product of Maxterms
การเขยนเพอระบแถวของฟงกชนทเปนตวกอใหเกด maxterm เรยกวา ผลคณของ maxterm (Product of maxterms)
แถวของฟงกชนทเปนตวกอใหเกด maxterm คอ แถวทใหคาฟงกชนเปน 0 ซงสอดคลองกบการสราง conjunctive Normal Form
8/18/2014
17
Product of Maxterms
เขยนในรป Product of Maxterms ไดเปน
Example: Conjunctive Normal Form
8/18/2014
18
Example: Conjunctive Normal Form
Example: Conjunctive Normal Form
8/18/2014
19
Example: Conjunctive Normal Form
ภาวะคกนของ Disjunctive Normal Form คอ Conjunctive Normal Form
Example: Conjunctive Normal Form
8/18/2014
20
Gating Network
• หนวยพนฐานของวงจรกคอ ประตสญญาณ (Gates) โดยประตสญญาณ คอ ตวด าเนนการพชคณตบลน
• ขอมลเขาและออก (สญญาณเปดหรอปด) เทยบไดกบ 0 หรอ 1 • ประตสญญาณนเสธ (Inverter gate) รบคาสญญาณเขาจาก 1 ตวแปรบลน
และใหสญญาณออกเปนการกลบสถานะของสญญาณเขา
𝒙 𝒙
Gating Network
• ประตสญญาณออร (OR Gate) มสญญาณเขาจากอยางนอย 2 ตวแปรบลน ซงอาจจะมมากกวากได และใหสญญาณออกเปนผลบวกบลนของสญญาณเขาทงหมด
𝒙
𝒚
𝒙+ 𝒚
• ประตสญญาณแอนด (AND Gate) มสญญาณเขาทมาจาก 2 ตวแปรบลนเปนอยางนอย โดยทจะใหสญญาณออกเปนผลคณบลนของคาทไดจากตวแปรบลนทงหมด
𝒙
𝒚
𝒙 ∙ 𝒚
8/18/2014
21
Gating Network Drawing
• เสนของสญญาณเขาสามารถแยกออกเพอเปนสญญาณเขาส าหรบประตสญญาณมากกวา 1 ประตได
• เสนสญญาณเขาและเสนสญญาณออกจะตองวงเขาสประตสญญาณเทานน • จะไมมสญญาณยอนกลบ
สญญาณออกจากประตสญญาณ G จะไมกลายเปนสญญาณเขาของ G หรอประตสญญาณทอยกอน G ไมวาจะทางตรงหรอทางออม
• เครอขายประตสญญาณนจะไมขนกบเวลา คาสญญาณออกจากวงจรจะถกค านวณรวมในครงเดยวพรอมกนทงวงจร เชนเดยวกบ Finite State Machine
Example: Gating Network
8/18/2014
22
Example: Gating Network
Example: Gating Network
8/18/2014
23
Example: Gating Network
Example: Gating Network
8/18/2014
24
Example: Gating Network
Example: Gating Network
8/18/2014
25
Example: Gating Network
xy
x
y
x
y
yxxy
yx
Example: Gating Network
8/18/2014
26
Example: Gating Network
Example: Gating Network
8/18/2014
27
Adder Circuit การววกแตละหลก ผลลพธทไดกคอ ผลววก และคาทถกทด
Adder Circuit
8/18/2014
28
Adder Circuit
yx
y
x
xyyxs
xy
xyc
Adder Circuit
iy
ix
iii yxs
iii yxc
1ic
iii yxc 1
iiiiii yxcyxc 1
1 iii css
H.A.
H.A.
วงจรตรรกศาสตรของตวววกเตม (Full-Adder)
8/18/2014
29
Adder Circuit
เลขฐานสอง 2 ต วซ งม ความยาวบ ตสตร งเท าก บ 3 น นค อ � �� และ � �� เราจะได ผลบวกเป น ����
0y
1x
1y
2x
2y
0x
0c
1c
2c
2s
0s
1s F.A.
F.A.
H.A.
Minimization of Logic Gates ฟงกชนบลนในรป d.n.f. หรอ c.n.f. สามารถเขยนเปนวงจรตรรกศาสตรได แตอาจจะตองใชประตสญญาณจ านวนมาก ท าใหคาใชจายเพมขน นอกจากนยงอาจท าใหวงจรเทอะทะของและสงผลกบความเรว
8/18/2014
30
Minimization of Logic Gates
เปาหมายการลดรป คอ ผลบวกของผลคณทเลกทสด (minimal-sum-of-products)
Minimization of Logic Gates
8/18/2014
31
Minimization of Logic Gates
Karnaugh maps Maurice Karnaugh ไดพฒนา แผนทคารนอฟ (Karnaugh maps) ในปค.ศ. 1953 วธการนจะชวยสรางเครอขายประตสญญาณ 2 ระดว แตขอจ ากดของวธการนกคอสามารถลดรปของ d.n.f. ทมตวแปรวลนไมเกน 6 ตว
8/18/2014
32
Karnaugh maps
แผนทคารนอฟแทนฟงกชนทประกอวดวย 2 ตวแปร 𝒚 𝒚
𝒙
𝒙
แตละชองทตดกน (adjacent) วนแผนทคารนอฟ เปรยวไดกว การเชอมมลฐานทแตกตางกนเพยง 1 literal
แผนทคารนอฟแทนฟงกชนทประกอวดวย 3 ตวแปร 𝒚𝒛 𝒚𝒛 𝒚 𝒛 𝒚 𝒛
𝒙
𝒙
Karnaugh maps
1 1 1
8/18/2014
33
Karnaugh maps
Karnaugh maps
8/18/2014
34
Karnaugh maps
Karnaugh maps
8/18/2014
35
Karnaugh maps การเลอกชองตารางทจะยบรวมกนนน จะตองเลอกจากชองตารางทเรยงชดตดกนทใหญทสด
Karnaugh maps
8/18/2014
36
Karnaugh maps
Karnaugh maps
𝑦𝑧 𝑦𝑧 𝑦 𝑧 𝑦 𝑧
𝑤𝑥
𝑤𝑥
𝑤 𝑥
𝑤 𝑥
1 1 1 1
1 1 1
8/18/2014
37
Karnaugh maps
1 1 1 1
1 1 1
00-- -00- -0-0
Karnaugh maps
𝒚𝒛 𝒚𝒛 𝒚 𝒛 𝒚 𝒛
𝒘𝒙
𝒘𝒙
𝒘 𝒙
𝒘 𝒙
1 1 1 1
1
1
1
1 1
Not good
𝒘𝒚𝒛+𝒘𝒙𝒛 +𝒘𝒙 𝒚 +𝒘 𝒙 𝒚+𝒘 𝒙𝒚𝒛
8/18/2014
38
Karnaugh maps
𝒚𝒛 𝒚𝒛 𝒚 𝒛 𝒚 𝒛
𝒘𝒙
𝒘𝒙
𝒘 𝒙
𝒘 𝒙
1 1
1
1 1
1
1
𝒚 𝒛 𝒙 𝒛 𝒘𝒙 𝒚
𝒇 𝒘,𝒙,𝒚, 𝒛 = 𝒚 𝒛 +𝒘𝒙 𝒚+ 𝒙 𝒛
Karnaugh maps
𝒚𝒛 𝒚𝒛 𝒚 𝒛 𝒚 𝒛
𝒘𝒙
𝒘𝒙
𝒘 𝒙
𝒘 𝒙
1 1
1
1 1
1
1
1 1
𝒇 = 𝒘𝒙𝒚𝒛 +𝒘𝒙𝒚 𝒛 +𝒘𝒙 𝒚𝒛+𝒘𝒙 𝒚𝒛 +𝒘𝒙 𝒚 𝒛 +𝒘 𝒙𝒚𝒛+𝒘 𝒙𝒚𝒛
+𝒘 𝒙𝒚 𝒛 +𝒘 𝒙𝒚 𝒛+𝒘 𝒙 𝒚𝒛 +𝒘 𝒙 𝒚 𝒛
1 1
𝒛 𝒘 𝒙 𝒘𝒙 𝒚
8/18/2014
39