అనరబయధయ - DEO Nizamabadమరయదర మాట గణితతం అతంటే...

జిలల్లా ఉమమ్మడి పరీక్షల బోరరర్డు , నిజామాబాద

పదవ తరగతి విదద్యారరర్థు లకర గణితతంలో సరలభతంగా ఉతత్తీరరర్ణు లర కావడానికఅధద్యాయాల వారీగా మరఖద్యామైన భావనలర, సమసద్యాలర

(తెలరగర మీడియయ)

అనరబయధయ

జిలల ఉమమ్మడి పరీక్షల బోరర , నిజామాబాద

-: జిలల్లా విదద్యాశాఖాధికారి శశ్రీ నయపలల్లా రాజేష్ గారి సయదేశయ :-

జిలల్లా లో గల అనిన్ని యాజమానద్యాల పాఠశాలల పప్రధనోపాదద్యాయరలకర

ససూచతంచరనది ఏమనగా తెలతంగాణ గణితఫోరతం నిజామాబాద్ వారర

రసూపతందితంచన 'అనరబతంధతం ' విదద్యారరర్థు లకర ఎతంతగానో ఉపయోగపడరతరతంది .

దీనిని నిషర్ణు తరలైన ఉపాధద్యాయరలర పరిశీలతంచన అనతంతరతం జిలల్లా ఉమమ్మడ

పరీక్షల విభాగతం దద్వారా మరదిదతంచ పతంపడతం జరరగరతరతంది.

కావున సతంబతంధిత గణిత ఉపాధద్యాయరలతందరసూ దీనిని సదిద్వానియోగతం

చేసరకొని తమ పాఠశాల ఉతత్తీరర్ణుత శాతతం పతంచరటకర కోరనైనది.

ఇటరల్లా

జిలల్లా విదద్యాశాఖాధికారి

నిజామాబాద


. . . D C E B కారద్యాదరిర్శి శశ్రీ . V చయదద్రశేఖర్ గారి సయదేశయ

తెలయగాణ గణిత ఫొరయ, నిజామాబాద వారిచే రరూపయదయచబడిన

ఈ అనరబయధయ నర తపప్పనిసరిగా పప్రతి పాఠశాలలో గణిత ఉపాధద్యాయరలర

తమతమ విదద్యారరర్థు లచే సాధన చేయయచగలరర. ఇద విదద్యారరర్థు లకర

ఉపయరకకయగా ఉయటరయదనే ఉదేద్దేశద్యాయతోనే దీనిని పుసస్తకరరూపయలో పప్రచరరితయ

చేయడయ జరరగరతరనన్నద.

ఇటట్టి అనరబయధయ పుసస్తకానిన్న పాఠశాలలో వచేచ్చే విదద్యాసయవతత్సరయ కొరకర

భదద్రపరచవలసయదగా పప్రధనోపాధద్యాయరలనర కోరడమైనద.

ఇటరల్లా

. V చయదద్రశేఖర్. . . D C E B కారద్యాదరిర్శి


మరయదర మాట

గణితతం అతంటే విదద్యారరర్థు లలో ఒక రకమైన భయతం ఏరర్పడ ఉనన్నిది. అలతంటభయానిన్ని తొలగతంచ , విదద్యారరర్థు లలో నసూతన ఉతత్తీజానిన్ని నితంపి , ఆతమ్మవిశాద్వాసతంతపరీక్షలర వావ్రా యడానిక సనన్నిదదతం చేసరత్తీ నన్ని గణిత ఉపాదద్యాయరలకర అతందరికఅభినతందనలర తెలయచేససూత్తీ మీ కకృషిక అదనతంగా తడార్పటర అతందితంచడానికతెలతంగాణ గణిత ఫోరతం నిజామాబాద్ ఆధద్వారద్యాతంలో తయారరచేయబడన ఈమెటీరియల్ విదద్యారరర్థు లకర ఉపయరకకతంగా ఉతంటరతంది .కాబటట్టి మీరతందరసూ ఈ మాడసూద్యాల్ ని విదద్యారరర్థు లచే సాధన చేయతంచ, గణితఅభద్యాసనలో విదద్యారరర్థు ల సార్థు యని పతంచ, 100% ఉతత్తీరర్ణుత సాధితంచరటలోకకృతకకృతరద్యాలర కావాలని ఆకాతంక్షిసరత్తీ నన్నిమర. ఫోరతం నిరద్వాహిసరత్తీ నన్ని కారద్యాకక్రమాలనిన్నితంటనీ పప్ర తత్సాహిససూత్తీ మాకర అనిన్నివేళలసహాయ సహకారాలర అతందిసరత్తీ నన్ని . . . D C E B కారద్యాదరిర్శి శశ్రీ వి. చయదద్రశేఖర్గారిక కకృతజజ్ఞతలర.

మేమర నిరద్వాహిసరత్తీ నన్ని కారద్యాకక్రమాలనిన్నితంటక అనరమతి ఇవద్వాడమే కాకరతండా ఈమెటీరియల్ నర విదద్యాశాఖ తరఫున పప్రత పాఠశాలకర అతందితంసరత్తీ నన్ని గౌరవజిలల్లా విదద్యాశాఖాధికారి శశ్రీ నయపలల్లా రాజేష్ గారిక ఫోరతం తరఫున పప్రతద్యాకకకృతజజ్ఞతలర.

. D చతందదశేఖర( జిలల్లా అధద్యాక్షరలర ).M సాయలర ( జిలల్లా కనీద్వానర ).K కాతంతరావు ( జీలల్లా పప్రధన కారద్యాదరిర్శి ).G శీశ్రీనివాస్ ( జిలల్లా కోశాధికారి ).T కకృషర్ణు ( జిలల్లా ఉపాధద్యాక్షరలర )

మరియర ఫోరతం సభరద్యాలర


పేపర్ - 1

1. వాసస్తవ సయఖద్యాలర,

2. సమితరలర,

3. బహహుపదరలర,

4.రయడర చలరాశరలలో రేఖీయ సమీకరణాల జత,

5. వరర్గసమీకరణాలర,

6. శేశ్రీఢరలర,

7. నిరరూపక రేఖాగణితమర

తయారరచేసన వారర

1) ధరా చయదద్రశేఖర్, సరూస్కూల్ అససట్టియట్ (గణితయ), జి.ప.ఉ.పా.మరదక్ పలల్లా2) తిరరకోస్కూవళళళ్ళూర్ కకృషష్ణ , సరూస్కూల్ అససట్టియట్ (గణితయ),జి.ప.ఉ.పా.వెలమ్మల్


అధద్యాయమర - 1 ( వాసస్తవ సయఖద్యాలర)

మరఖద్యామైన భావనలర:

1) అయకగణిత పాప్ర థమిక సదద యతమర : -

పప్రత సతంయరకక సతంఖద్యానర పప్రధనసతంఖద్యాల లబదతంగా ఏకైకతంగా వావ్రా యవచరచ.

2) x ఒక అకరణీయ సతంఖద్యా మరియర = x pq

( , p q ∈ , Z q ≠ 0) రసూపతంలో

వావ్రా యబడనపర్పడర, q నర పప్రధన కారణతంకాల వావ్రా సినపర్పడర అది 2n. 5 m

( , n m లర ఋణేతర పూరర్ణుసతంఖద్యాలర) రసూపతంలో ఉనన్నిచో x ఒక అతంతతంచతందే

దశాతంశమర అవుతరతంది, లేనిచో అది ఒక అతంతతంచతందని ఆవరకన దశాతంశమర

అవుతరతంది.

3) యరూకల్లాడ్ భాగాహార శేషవిధి:

, a b లర రతండర ధనపూరర్ణుసతంఖద్యాలర అయన = + , 0 a bq r ≤ r ≤ b

అయద్యాటరల్లా , q r లర ఏకైకతంగా వద్యావసిర్థుతతం అవుతయ.

4) రతండర అకరణీయ సతంఖద్యాల మొతత్తీతం, భేదతం, లబదతం, భాగఫలమర ఎలల్లాపర్పడర

అకరణీయ సతంఖద్యా అవుతరతంది.

5) ఒక అకరణీయ సతంఖద్యా, ఒక కరణీయ సతంఖద్యా ల మొతత్తీతం, భేదతం, లబదతం,

భాగఫలమర ఎలల్లాపర్పడర కరణీయ సతంఖద్యా అవుతరతంది.

6) log Na =x యొకక్క ఘాత రసూపమర a x= N


7) సయవరర్గమాన నద్యాయాలర:

( ) I log ( xy )a =log xa +log ya ( a ≠ 1)

( )ii log (xy)

a

=log xa −log ya ( a ≠ 1)

( )iii log (xm)a =m log xa ( a ≠ 1)( )iv log aa =1(a>1)

( )v log 1a =0(a≠0)

( ) vi log (xm)(y n)

=mn

log xy

( ) vii log ab =1

log ba

సమసద్యాలర:

1) యరూకల్లాడ్ భాగాహార పదద్దేతిన సయఖద్యాల గ.సా.భా కనరకోస్కూవడయ

( 1 లేద 2 మారరక్కలర)

ఉద: 1) 220,284 ల గసాభా కనరగొనరమర.

2) 1760,2280 ల గసాభా కనరగొనరమర

2) పప్రధన కారణాయక పదద్దేతిన సయఖద్యాల గ.సా.భా.కనరకోస్కూవడయ

ఉద: 1) 120,216 ల గసాభా కనరగొనరమర.

2) 36,54,72 ల గసాభా కనరగొనరమర.

సరూచన : కొనిన్నసారరల్లా సయఖద్యాలనర నేరరగా ఇవవ్వకరయడా విదద్యారిర్థునే సయఖద్యాలనర

గరరికయచి ఉపయోగయచేల పప్రశన్నలర ఇవవ్వడయ జరరగరతరయద .


ఉద: అతిపదద రతండతంకెల సతంఖద్యాకర, అతిపదద మసూడతంకెల సతంఖద్యాకర గ.సా.భా.

కనరకోక్కతండ.

3)ఇచచన అకరణీయ సతంఖద్యా అతంతతంచతందే దశాతంశమా? లేక ఆవరకన దశాతంశమా ?

( 1 లేద 2 మారరక్కలర)

ఉద: 1) 78

అతంతతంచతందే దశాతంశమా ? లేక ఆవరకన దశాతంశమా ?

2) 21

23 X 52 అతంతతంచతందే దశాతంశమా ? లేక ఆవరకన దశాతంశమా ?

4) భాగాహారతం చేయకరతండానే అకరణీయ సతంఖద్యానర దశాతంశ రసూపతంలో

వావ్రా యడతం ( 1 లేద 2 మారరక్కలర)

ఉద: 1) 1125

నర దశాతంశరసూపతంలో వావ్రా యరమర.

2) 320

నర దశాతంశరసూపతంలో వావ్రా యరమర.

5) ఇచచన సతంఖద్యా కరణీయ సతంఖద్యా అని చసూపడతం ( 4 మారరక్కలర)

ఉద: (1) 3−2√2 కరణీయ సతంఖద్యా అని చసూపమర.

(2) √2+√3 కరణీయ సతంఖద్యా అని చసూపమర.

6) సయవరర్గమాన రరూపయలో వావ్రా యడయ

ఉద:

1) 5−2=0.4 2) 0.13

=0.001

7) ఘాతరరూపయలో వావ్రా యడయ

ఉద: 1) log (100) = 2 2) log 644 =3


8) ఒకే సయవరర్గమానయగా వావ్రా యయడి.

ఉద:

1) 2 3 + 3 5 - 5 2 log log log 2) 3 + 2 5 - 6log log log

మరికొనిన్న సమసద్యాలర:

1. log √x4 y2

z నర విసత్తీరితంచరమర.

2. 784 సతంఖద్యా యొకక్క పప్రధన కారణతంకాల లబదతం 2p.7 qరసూపతంలో

ఉనన్నిచో + p q విలరవ కనరగొనరమర.

3. 24=16, 42

=16 24=42 అవుతరతంది కాబటట్టి , , m n ల అనిన్ని

విలరవలకర mn=nm అవుతరతంద? కారణలర తెలర్పతండ.

4. రతండర కరణీయ సతంఖద్యాల మొతత్తీతం ఎలల్లాపర్పడసూ కరణీయ సతంఖద్యా

కాకపవచరచ. దీనిన్ని ఉదహరణత సమరిర్థుతంచతండ.

5. = 2 + 13, = + 7,( a n b n n ఒక సహజ సతంఖద్యా) అయన , a b ల

గ.సా.భా. కనరగొనరమర.

6. , a b అనే రతండర సతంఖద్యాల క.సా.గర. 24 , వాట గ.సా.భా. 1 అయన ఆ

సతంఖద్యాలనర కనరగొనరమర.

7. రతండర సతంఖద్యాల క.సా.గర 72, వాట గ.సా.భా. 12. వాటలో ఒక సతంఖద్యా

24 అయన రతండవ సతంఖద్యానర కనరగొనరమర.

8. 12

log 9+13

log 8−log 2=log x అయన x విలరవ కనరగొనరమర


9. యసూకల్లాడ్ భాగాహార నియమానిన్ని అనరసరితంచ ఏదో ఒక p అనే ధన

పూరర్ణు సతంఖద్యాకర 4 +1 p అనేది ఒక బేసి సహజ సతంఖద్యానర ససూచసరత్తీ తందని

చసూపమర.

10. log(a+b)

3=

12(loga+logb) అయన a2+b2-7 = 0 ab

అనిచసూపతండ.


అధద్యాయమర - 2 ( సమితరలర)


1. సమితరలనర రతండర విధలరగా ససూచతంచవచరచ.(1) జాబితారరూపమర: సమితరలలోని మసూలకాలనిన్నితంటని ససూచతంచే

రసూపమర.

(2) లక్షణికరరూపమర: సమితరలలోని మసూలకాల లక్షణనిన్ని (సాధరణ

రసూపానిన్ని) తెలయచేసే రసూపమ

2. సమితి యొకస్కూ కారిర్డునల్ సయఖద్యా: సమితి లోని మసూలకాల సతంఖద్యానర

తెలయచేసేది ఆ సమితి యొకక్క కారిర్డినల్ సతంఖద్యా.

3. పరిమిత సమితి: సమితిలోని మసూలకాల సతంఖద్యా పరిమితమర అయన

అది పరిమిత సమితి.

4. అపరిమిత సమితి: సమితిలోని మసూలకాల సతంఖద్యా అపరిమితమర

అయన అది అపరిమిత సమితి.

5. శరూనద్యాసమితి: మసూలకాలర లేనటట్టి సమితి( కారిర్డినల్ సతంఖద్యా "0” గా

గల సమితి)

6. ఏకమరూలక సమితి: ఒకే ఒక మసూలకమర గల సమితి.

7. తరలద్యాసమితరలర: మసూలకాల సతంఖద్యా సమానమరగా గల సమితరలనర

తరలద్యా సమితరలర అతంటారర.

8. సమసమితరలర: రతండర సమితరలలోని మసూలకాలర సమానమర

అయత అవి సమ సమితరలర.


( సమసమితరలర ఎలల్లాపర్పడర తరలద్యాసమితరలర అవుతయ, కానీ తరలద్యా

సమితరలర ఎలల్లాపర్పడర సమసమితరలర కావు)

9. ఉపసమితి: మొదట సమితి లోని మసూలకాలనీన్ని రతండవ సమితిలో

ఉనన్నిటల్లాయత మొదట సమితి, రతండవ సమితిక ఉపసమితి.

10. కక్రమోపసమితి: , A B లర రతండర సమితరలర. A⊂ B అవుతసూ A≠ B

అయత A అనేది B యొకక్క కక్రమోపసమితి

11. ఘాతసమితి: ఒక సమితి యొకక్క ఉపసమితరలనర అనిన్నితంటని

మసూలకాలరగా కలగ ఉతండే సమితి. A సమితి యొకక్క ఘాత

సమితిని ( ) P A త ససూచసాత్తీ రర.

12. విశవ్వసమితి: పరిశీలనలో ఉనన్ని సమితరలనిన్నితంటని ఉపసమితరలర

గా కలగ ఉతండే సమితి. విశద్వాసమితిని � త ససూచసాత్తీ రర.

13. పూరకసమితి: విశద్వాసమితిలో ఉతంటసూ ఒక సమితిలో లేని

మసూలకాలత ఏరర్పడే సమితిని ఆ సమితి యొకక్క పూరక సమితి

అతంటారర.

14. వియరకక సమితరలర: ఉమమ్మడ మసూలకాలర లేనటట్టి సమితరలనర

వియరకక సమితరలర అతంటారర.


1. జాబితా రరూపయనరయడి సమితి నిరామ్మణ రరూపయలోక మారిచ్చే వావ్రా యడయ

( ½ లేక 1 మారరక్క)

ఉద: 1) { 0, 3, 8, 15, 24}


2) { 12

, 13

, 15

, 17

, 111

}

3) {1,4,9,16,25,36 }

4) { 12

, 23

, 34

, 45

, 56

}

5) = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} = {2,4,6,8,10} A B అయన

– A B ని సమితి నిరామ్మణ రసూపతంలో వావ్రా యరమర.

2. సమితినిరామ్మణ రరూపయ నరయడి జాబితా రరూపయలోక మారచ్చేడయ.

( ½ లేక 1 మారరక్క)

ఉద: 1) = { : P x x ૯ , N x2 – 4 = 0 }

2) = { : Q x x = 2 , n n ఒక సతంయరకక సతంఖద్యా, n≤10}

3) = { : R x x ఒక వరర్గసతంఖద్యా మరియర x < 50}

4) = { : S x x ఒక పప్రధనసతంఖద్యా, 11≤x 30≤ }

5) = { : T x x, 7 యొకక్క గరణిజమర x 40≤ }

6) = { : V x x అనేది 18, 24 ల యొకక్క యొకక్క కారణతంకమర}

7) = { : W x x ఒక బేసిసతంఖద్యా, 5≤x 20≤ }

8) = { : , A x x అతంకెల మెతత్తీతం 10 గా గల రతండతంకెల సహజ సతంఖద్యా }

9) = { : B x x అనేది 6 ని భాగతంచే పప్రధన సతంఖద్యా}

10) = { : C x x అనేది ఒక సహజ సతంఖద్యా మరియర +4 =0}x

సరూచన: విదద్యారరర్థు లయదరిచే వివిధ సయఖాద్యా సమితరల గరరియచి మరియరపప్రధనసయఖద్యాలర, సయయరకకసయఖద్యాలర, కారణాయకాలర, గరణిజాలర మొదలైనవాటని గరరియచి బాగరగా పాప్ర కట్టిస్ చేయయచాల.


3. సమితరల సమమ్మళనమర,,ఛేదనమర, భేదమర కనరకోస్కూవడయ

( 1, 2 లేక 4 మారరక్కలర)

ఉద: 1) = { : A x x అనేది 5 యొకక్క గరణిజమర, < 50x }

= { : B x x అనేది 125 యొకక్క భాజకమర}

అయన A⋃ , B A⋂B , – , – A B B A లనర కనరగొనరమర.

2) = {2,3,5,7,11,13} = {1,3,5,7,9,11 } A B అయన

( )–(AUB A∩ ) ,( – ) ( – ) B A B U B A

(AU A∩ ) , B A∩(A∩ ), - ( B A A∩ ) B లనర కనరగొనరమర.

4. కారిర్డునల్ సయఖద్యా కర సయబయధియచిన సమసద్యాలర ( 1 లేక 2 మారరక్కలర)

1) ( )= 9, ( ) =4, ( ) = 10 n A n B n AUB అయన ( n A∩ ) B విలరవ

కనరగొనతండ.

2) ( )= 5, ( ) =3, n A n B అయన ( n A∩ ) = 3B అయన , A B ల

మధద్యా సతంబతంధనిన్ని తెలరపమర.

3) ( )= 3, ( ) =2 n A n B మరియర , A B లర వియరకక సమితరలైన

( ), (n AUB n A∩ ) , ( B n A- )B లనర కనరగొనతండ.

5. శరూనద్యా సమితరలకర ఉదహరణ ఇవవ్వడయ. ( ½ లేక 1 మారరక్క)

6. ఇచిచ్చేన సమితరలకర ఉపసమితరలనర వావ్రా యడయ

1) = { , , } A a b c అయన A యొకక్క ఉపసమితరలనిన్నితంటని వావ్రా యతండ.


2) ={ : B x x అనేది INDIA అనే పదతంలోని అక్షరాల సమితి} అయన B

యొకక్క ఉపసమితరలనిన్నితంటని వావ్రా యతండ

7. వెన్ చితాత్రా లనర గీయడయ. ( 1 లేక 2 మారరక్కలర)

1) A⋃ , B A⋂ , – , – , B A B B A A⊂ , B B⊂ A ల వెన్ చతత్రా లనర

గీయడతం.

2) A⋂ = { } B అగరనటరల్లా A, B లనర వెన్ చతత్రామర దద్వారా చసూపమర.

గమనిక: ఉపాధద్యాయరలర మరికొనిన్న వెన్ చితాత్రా లకర సయబయధియచిన సమసద్యాలనర ఈ కక్రయద నియమాలకర అనరగరణయగ విదద్యారరర్థు లచే సాధియపచేయాల.

(1) A⋂ B=∅ (2) A⋂B≠∅ (3) A⊂B (4) B⊂A


అధద్యాయమర - 3( బహహుపదరలర)


1. రేఖీయ బహహుపద: బహహుపది యొకక్క పరిమాణమర "1” అయన అది

రేఖీయ బహహుపది. దీని సాధరణ రసూపమర ( ) = + , p x ax b a≠0

2. వరర్గ బహహుపద: బహహుపది యొకక్క పరిమాణమర "2” అయన అది

వరర్గ బహహుపది. దీని సాధరణ రసూపమర ( ) = p x ax2+ + , bx c a≠0

3. ఘన బహహుపద: బహహుపది యొకక్క పరిమాణమర "3” అయన అది

ఘన బహహుపది. దీని సాధరణ రసూపమర

( ) = p x ax3 + bx2 + + , cx d a≠0

4. బహహుపద శరూనద్యావిలరవ: బహహుపది లోని చరరాశిక బదరలర ఏ

విలరవనర పప్రతిక్షేపితంచగా ఆ బహహుపది విలరవ "0” కర సమానమర

అవుతరతందో చరరాశి యొకక్క ఆ విలరవనర బహహుపది యొకక్క

శసూనద్యావిలరవ అతంటారర.

5. బహహుపద శరూనద్యావిలరవల సయఖద్యా: ఒక బహహుపది యొకక్క గరిషట్టి

శసూనద్యావిలరవల సతంఖద్యా ఆ బహహుపది యొకక్క పరిమాణమర నకర

సమానమర.

6. ( ) = p x ax2+ + , bx c a≠0 బహహుపది యొకక్క శసూనద్యాలర � ,�

అయన

శసూనద్యాల మొతత్తీమర = �+� −xయకక గణకమx2 యకక గణకమ

=−ba


శసూనద్యాల లబదమర ��= సస రపదమx2యకక గణకమ

=ca

7. ( ) = p x ax3 + bx2 + + , cx d a≠0 బహహుపది యొకక్క శసూనద్యాలర

� , ,� � అయన

శసూనద్యాల మొతత్తీమర + = �+� � −x2 యకక గణకమx3 యకక గణకమ

=−ba

రతండేసి శసూనద్యాల లబాద ల మొతత్తీమర

=��+��+� � x యకక గణకమx3 యకక గణకమ

=ca

శసూనద్యాల లబదమర �� = −సస రపదమx3 యకక గణకమ

=−da

8. , � � లనర శసూనద్యాలరగా గల వరర్గ బహహుపది =x2 - ( ) + �+� x ��

9. , , , � � � లనర శసూనద్యాలరగా గల ఘన బహహుపది =

x3 - ( ) �+�+� x2 + ) + (��+��+� � x ��

10. భాగాహార నియమయ:

విభాజద్యామర = విభాజకమర X భాగఫలమర + శేషమర

( ) = ( ) . ( ) + ( ) p x g x q x r x

11. బహహుపదరల శరూనద్యాలనర రేఖాచితాత్రా ల దవ్వరా కనరకోస్కూవడయ:

ఒక బహహుపది యొకక్క రేఖాచతత్రామర - x అక్షానిన్ని ఏ ఏ బతందరవులలో

ఖతండసరత్తీ తందో ఆ బతందరవుల వదద గల x నిరసూపకమర విలరవ ఆ బహహుపది యొకక్క

శసూనద్యామర అవుతరతంది.



1. బహహుపది విలరవ కనరకోక్కవడతం

ఉద: 1) = -1 x అయన ( ) = 3p x x3+2x2-5 +7 x యొకక్క విలరవ

కనరగొనరమర ( ½ లేక 1 మారరక్క)

2) ( ) = p x x3 –8 అయన (1), (-1), (2), (-2) p p p p ల

విలరవలర కనరగొనరమర ( 2 మారరక్కలర)

2. బహహుపది శసూనద్యావిలరవ కనరకోక్కవడతం. ( ½ లేక 1 మారరక్క)

1) ( ) = p x x2 - 4 యొకక్క శసూనద్యావిలరవలర కనరకోక్కతండ.

2) ( ) = 2 - 5p x x యొకక్క శసూనద్యావిలరవ కనరకోక్కతండ.

3) ( ) = p x x2 –5 +6 x నకర 2,3 శసూనద్యాలర అవుతయో, లేదో

సరిచసూడరమర.

3. శసూనద్యాలకర, గరణకాలకర మధద్యా సతంబతంధనిన్ని సరిచసూడడతం.( 4 మారరక్కలర)

1) 2x2 – 5 +2 x యొకక్క శసూనద్యాలనర కనరగొని, దని శసూనద్యాలకర

మరియర గరణకాలకర గల సతంబతంధనిన్ని సరిచసూడతండ.

2) x2 - 2 యొకక్క శసూనద్యాలనర కనరగొని, దని శసూనద్యాలకర మరియర

గరణకాలకర గల సతంబతంధనిన్ని సరిచసూడతండ.

3) 3, -1 ,-3 లర x3 + 3x2 – –3 x యొకక్క శసూనద్యాలర అవుతయమో

సరిచసూసి, బహహుపది యొకక్క శసూనద్యాలకర మరియర గరణకాలకర

మధద్యా సతంబతంధనిన్ని సరిచసూడతండ.


4. శసూనద్యాలర తెలసినపర్పడర వరర్గ బహహుపదిని కనరకోక్కవడతం

( 1 లేక 2 మారరక్కలర)

1) 2,-3 లర వరరసగా శసూనద్యాల మొతత్తీమర, శసూనద్యాల లబదమర గా గల

వరర్గ బహహుపదిని కనరకోక్కతండ.

2) 12

, 13

శసూనద్యాలరగా గల వరర్గ బహహుపదిని కనరకోక్కతండ.

5. x3 - 8 ఘన బహహుపది యొకక్క శసూనద్యాలర , , α β γ అయన + + α β γ

విలరవ కనరగొనరమర

6. x3 - 6x2 +11 – x k యొకక్క రతండర శసూనద్యాలర 1,2 అయన మసూడవ

శసూనద్యాతం కనరగొని, k విలరవనర కనరగొనరమర.

7. x2 – 5 +6 x యొకక్క శసూనద్యాలర , α β అయన 1α

, 1β

శసూనద్యాలరగా

గల వరర్గ బహహుపదిని కనరగొనతండ.

8. x4 +3x3 - 20x2 - 6 +36 x యొకక్క రతండర శసూనద్యాలర 2 , - 2 అయన

మిగలన రతండర శసూనద్యాలనర కనరగొనతండ.

9. x2 – ( +2) +12 p x బహహుపదిక 3 ఒక శసూనద్యామర అయన p విలరవనర

కనరగొని, తదద్వారా రతండవ శసూనద్యామరనర కనరగొనరమర.

10. x3 - 6x2 +11 – 6 x యొకక్క శసూనద్యాలర అతంకశేశ్రీఢిలో ఉనన్నిచో ఆ

శసూనద్యాలనర కనరగొనరమర.

11. బహహుపదరల రేఖాచతత్రా నిన్ని గీయడతం. ( 4 మారరక్కలర)

1) ( ) = p x x2 –3 + 4 x యొకక్క రేఖాచతత్రా నిన్ని గీయతండ.

2) ( ) = p x x2 – 6 + 9 x యొకక్క రేఖాచతత్రా నిన్ని గీయతండ.


అధద్యాయయ -4 (రయడర చలరాశరలలో రేఖీయ సమీకరణాల జత)


1. రతండర చలరాశరలలో రేఖీయ సమీకరణమర యొకక్క సాధరణ రసూపమర

+ + =0, , , ax by c a b c ,∈ R మరియర a2+b2

≠0

2. a1 x+b1 y+c1=0 , a2 x+b2 y+c2=0 లర రతండర రేఖీయ సమీకరణల

జత నర ససూచసేత్తీ

( ) ia1

a2

≠b1

b2

అయత ఆ రేఖలర సతంగత రేఖలర( ఖతండన రేఖలర)

అవుతయ. వీటక ఒకే ఒక ఉమమ్మడ సాధన ఉతంటరతంది.

( )iia1

a2

=b1

b2

≠c1

c2

అయత ఆ రేఖలర అసతంగత రేఖలర (సమాతంతర రేఖలర)

అవుతయ. వీటక ఉమమ్మడ సాధన ఉతండదర.

( ) iiia1

a2

=b1

b2

=c1

c2

అయత ఆ రేఖలర ఏకభవితంచర

రేఖలర(పరసర్పరాధరిత రేఖలర) అవుతయ. వీటక ఉమమ్మడ సాధనలర

అనతంతతం. ఇవి కసూడా సతంగత రేఖలర అవుతయ.

( )iv రతండర రేఖీయ సమీకరణలర ఇచచనపర్పడర వాట సాధన

కనరగొనరటకర గల పదద్ధతరలర

(1) మోడల్ పదద్ధతి (2) పప్రతిక్షేపణ పదద్ధతి


(3) చలరాశిని తొలగతంచర పదద్ధతి (4) గాగ్రా ఫ్ పదద్ధతి


1. ఇచచన రేఖీయ సమీకరణల జత సతంగత రేఖలర లేద సమాతంతర రేఖలర లేద పరసర్పరతం ఏకభవితంచే రేఖలర అవుతయని చసూపట.

( 1 లేక 2 మారరక్కలర)ఉద: 1) 3 + 2 = 5 , 3 + = 5 x y x y సతంగత రేఖలర అవుతయని

చసూపతండ.2) 2 – 3 +7 = 0 , – 5 + 9 = 0 x y kx y రేఖలర సమాతంతర

రేఖలనర ససూచసేత్తీ k విలరవ కనరగొనతండ.

3) + + = 0, 3 + 2 + = 0 ax by c x y c లర ఏకభవితంచే రేఖలర

అయన , a b విలరవలనర కనరగొనతండ.

4) p యొకక్క ఏ విలరవకర 2 + = - 5 , 3 + 3 = - 6 x p y x y

సమీకరణలకర సాధన ఉతండదర.

2. + 2 – 4 = 0 , 2 + 3 – 7 =0 x y x y సమీకరణలనర పప్రతిక్షేపణ

పదదతిన సాధితంచరమర.

3. + 2 – 4 = 0 , 2 + 3 – 7 =0 x y x y సమీకరణలనర చలరాశిని

తొలగతంచర పదదతిన సాధితంచరమర.

4. ఇచిచ్చేన వావ్రా త లెకస్కూనర సమీకరణాలరగా మారచ్చేడయ. ( 2 మారరక్కలర)

ఉద: 1) ” ఒక దీరర్ఘ చతరరసస్రమర యొకక్క చరటరట్టి కొలత 32 మీ. దని

పడవునర 1 మీ. తగర్గతంచ వెడలరర్పనర 2 మీ. పతంచగా చరటరట్టి కొలత 2 మీ.


పరరగరనర". ఈ సమసద్యానర సాధితంచరటకర కావలసిన రేఖీయ

సమీకరణలనర వావ్రా యరమర.

గమనిక: విదద్యారరర్థు లకర ఇటరవయట మరికొనిన్న సయదరార్భాలనర విదద్యారరర్థు లకర వివరియచి వారిచే వాకాద్యాలనర బీజీయ అక్షరాల రరూపయలోక మారచ్చేడయ పాప్ర కట్టిస్చేయయచాల.

5. ఇచిచ్చేన రేఖీయ సమీకరణాల రేఖాచితాత్రా లనర గీయయడి.(4 మారరక్కలర)

ఉద:

1) 4 – 6 = 15 , 2 – 3 – 5 = 0 x y x y

2) 2 + 3 – 9 = 0, + = 4x y x y

6. కక్రయద సమీకరణాలనర సాధియచరమర.

1) 5x+ y

- 2x− y

= -1, 15x+ y

- 7x− y

= 10

2) 6 +3 =6 , 2 +4 =5x y xy x y xy


అధద్యాయమర - 5 ( వరర్గ సమీకరణాలర)


1. వరర్గ సమీకరణమర యొకస్కూ సాధరణ రరూపమర ax2+ + =0, bx c a≠0

2. వరర్గ సమీకరణమరనర తకృపిత్తీపరచే విలరవలనర మసూలలర అతంటారర. వరర్గ

సమీకరణమర యొకక్క గరిషట్టి మసూలల సతంఖద్యా "2”.

3. వరర్గ సమీకరణమర యొకస్కూ మరూలలనర కనరగొనరటకర గల పదదతరలర

1) కారణతంక పదద్ధతి 2) వరర్గమరనర పూరికచేయర పదద్ధతి 3) ససూతత్రా పదద్ధతి

4. ax2+ + =0, bx c a≠0 వరర్గ సమీకరణమర యొకక్క మసూలలర � ,�

అయన

మరూలల మొతస్తమర =�+� −xయకక గణకమx2 యకక గణకమ

=−ba

మరూలల లబద్దేమర �� = సస రపదమx2యకక గణకమ

=ca

5. , � � లనర మసూలలరగా గల వరర్గ సమీకరణమర

x2 - ( ) + =0 �+� x ��

6. వరర్గ సమీకరణమర ax2+ + =0 bx c యొకక్క మసూలలనర కనరగొనరటకర

ససూతత్రామర x=−b±√b2

−4 ac2a


7. వరర్గ సమీకరణమర యొకక్క మసూలల సద్వాభావమర b2−4ac పైన ఆధరపడ

ఉతండరనర. దీనిని వరర్గ సమీకరణమర యొకక్క విచక్షణి అతంటారర.

b2−4 ac > 0 అయన మసూలలర వాసత్తీవసతంఖద్యాలర మరియర

విభినన్నిలర అవుతయ.

b2−4 ac = 0 అయన మసూలలర వాసత్తీవసతంఖద్యాలర మరియర

సమానలర అవుతయ.

b2−4 ac < 0 అయన మసూలలర సతంకరర్ణు సతంఖద్యాలర అవుతయ.


1. ఇచచన వరర్గ సమీకరణమరనర కారణతంకాలరగా విభజితంచడతం, ససూతత్రామరల

సహాయతంత - మసూలలనర కనరకోక్కవడతం, మసూలల మొతత్తీమర,

మసూలల లబదమర, మసూలల సద్వాభావమర లనర కనరకోక్కవడతం


ఉద:

(1) 2x2 – 5 +3 = 0 x (2) 3x2 – 2 – x 13

= 0

(3) √2 x2+7 x+5=0 (4) x−

13 x

=16

2. kx2 + 12 + 9 = 0 x యొకక్క మసూలలర సమానతం అయన ' ’ k విలరవ

కనరగొనతండ. ( 1 లేక 2 మారరక్కలర)


3. - 3, 2 లనర మసూలలరగా గల వరర్గ సమీకరణమరనర కనరగొనతండ.


4. మసూలల మొతత్తీమర 56

, మసూలల లబదమర 16

గా గల వరర్గ స॥క నర


5. ఇచచన గాగ్రా ఫ్ నర గమనితంచ మసూలలనర, వాట సద్వాభావానిన్ని తెలర్పడతం.


6. 3 x2−4 x+4=0 వరర్గ స॥క యొకక్క మసూలల సద్వాభావానిన్ని తెలర్పతండ.

7. వరర్గమరనర పూరికచేయర పధధ్దతిన మసూలలనర కనరకోక్కవడతం

( 4 మారరక్కలర)

ఉద: 1) x2 – 5 +4 = 0x 2) 2x2 – 7 +6 = 0 x

8. x2 -5 +6=0 x యొకక్క మసూలలర � ,� అయన

1. 1α , 1

βమసూలలరగా గల వరర్గ సమీకరణమర కనరగొనరమర.

2. αβ

+βα విలరవ కనరగొనరమర.


అధద్యాయమర - 6 ( శేశ్రీఢరలర)


1. అతంకశేశ్రీఢి: మొదట పదమరనర మినహాయతంచ శేశ్రీఢిలోని పప్రత పదమర దనిక

మరతందరనన్ని పదనిక ఒక సిర్థుర సతంఖద్యానర కలపగా ఏరర్పడత అది అతంకశేశ్రీఢి.

2. సామానద్యాభేదమర(పదతంతరమర): అతంకశేశ్రీఢి లోని పప్రతి రతండర వరరస పదల

భేదమర సమానమర గా ఉతంటరతంది. దీనినే ఆ శేశ్రీఢియొకక్క సామానద్యాభేదమర

అతంటారర. “ ” d త ససూచసాత్తీ రర.

3. మొదట పదమర ' ’ a సామానద్యా భేదమర ‘ ’ d గా గల అతంకశేశ్రీఢి యొకక్క

సాధరణ రసూపమర

, + , +2 , +3 , ……………a a d a d a d

4. సామానద్యా భేదమర = d a2−a1=a3−a2=............ an−an−1

5. మొదట పదమర ' ’ a సామానద్యా భేదమర ‘ ’ d గా గల అతంకశేశ్రీఢి n వ పదమర

లేక సామానద్యా పదమర an=a+(n−1)d

6. మొదట పదమర ' ’ a సామానద్యా భేదమర ‘ ’ d గా గల అతంకశేశ్రీఢి n పదమరల

మొతత్తీమర Sn=n2[2a+(n−1)d ]

7. మొదట పదమర ' ’ a చవరి పదమర ‘ ’ l గా గల అతంకశేశ్రీఢి n పదమరల

మొతత్తీమర Sn=n2[a+l ]


8. గరణశేశ్రీఢి: మొదట పదమరనర మినహాయతంచ శేశ్రీఢిలోని పప్రత పదమర దనిక

మరతందరనన్ని పదనిన్ని ఒక సిర్థుర సతంఖద్యాచే గరణితంచగా ఏరర్పడత అది గరణశేశ్రీఢి.

9. సామానద్యానిషర్పతిత్తీ : గరణశేశ్రీఢి లోని పప్రతి రతండర వరరస పదల నిషర్పతిత్తీ

సమానమర గా ఉతంటరతంది. దీనినే ఆ శేశ్రీఢియొకక్క సామానద్యానిషర్పతిత్తీ

అతంటారర. “ ” r త ససూచసాత్తీ రర.

10. మొదట పదమర ' ’ a సామానద్యానిషర్పతిత్తీ ‘ ’ r గా గల గరణశేశ్రీఢి యొకక్క

సాధరణ రసూపమర

, , a ar ar2, ar3 ,…………

11. సామానద్యానిషర్పతిత్తీ = ra2

a1

=a3

a2

=..........an

an−1

12. మొదట పదమర ' ’ a సామానద్యానిషర్పతిత్తీ ‘ ’ r గా గల గరణశేశ్రీఢి యొకక్క n వ

పదమర లేక సామానద్యా పదమర an=arn−1


1. ఇచచన శేశ్రీడ . A P అవుతరతంద ? లేక . G P అవుతరతంద ? అని నిరసూపణ

చేయడతం. ( 1 లేక 2 మారరక్కలర)

2. , 2 +5, 16 x x లర . A P యొకక్క వరరస పదలైన ' ’ x విలరవ


3. . A P యొకక్క n వ పదమర ససూతత్రా నిన్ని ఉపయోగతంచ సమసద్యాలనర

సాధితంచడతం. ( 1 లేక 2 మారరక్కలర )


ఉద: 1) 5 , 1 , - 3, ,……. శేశ్రీడ యొకక్క 10 వ పదమరనర కనరగొనతండ.

2) 12 వ పదమర 26, సామానద్యా భేదమర '2’ గా గల అతంకశేశ్రీడ

యొకక్క 21 వ పదమరనర కనరగొనతండ.

3) మొదట పదమర '-5’ , 14 వ పదమర '21’ గా గల అతంకశేశ్రీడ


4) 11 వ పదమర '38’, 16 వ పదమర '73’ గా గల అతంకశేశ్రీడ


5) 3, 8, 13, 18, ....................... శేశ్రీడ లో '78’ ఉతంటరతంద? ఉతంటే

అది ఎనన్నివ పదమర అవుతరతంది.

6) ‘4’ చే భాగతంచనపర్పడర '3’ శేషతం ఇచేచ మసూడతంకెల సతంఖద్యాలర

ఎనిన్ని.

7) 20,17,14,……, -97 శేశ్రీఢిలో చవరినరతండ 11 వ పదమరనర

కనరగొనరమర.

4. . G P యొకక్క n వ పదమర ససూతత్రా నిన్ని ఉపయోగతంచ సమసద్యాలనర

సాధితంచడతం. ( 1 లేక 2 మారరక్కలర)

ఉద: 1) 52

, 54

, 58

….గరణ శేశ్రీడ యొకక్క 20 వ పదమరనర


2) మొదట పదమర ' 2’, 8 వ పదమర ' - 256’ గా గల గరణశేశ్రీడ



3) 5 వ పదమర 812

, సామానద్యా నిషర్పతిత్తీ 32

గా గల గరణశేశ్రీడ యొకక్క

8 వ పదమరనర కనరగొనతండ.

4) 2 వ పదమర '12’, 4 వ పదమర '27’ గా గల గరణశేశ్రీడ యొకక్క 10 వ

పదమరనర కనరగొనతండ.

5) 8,12,18,….. గరణశేశ్రీడలో '64’ ఉతంటరతంద? ఉతంటే అది ఎనన్నివ

పదమర అవుతరతంది.

5. +1 , 4 + 1, 13 + 1 x x x లర . G P యొకక్క వరరస పదలైన ' ’ x విలరవ


6. ఒక అతంకశేశ్రీడ యొకక్క n వ పదమర 3n2 + 5 అవుతరతంద ? కారణలర

తెలరపమర.

7. 1 నరతండ 200 మధద్యా గల సతంఖద్యాలలో 5 చే భాగతంచపడర సతంఖద్యాల

మొతత్తీమరనర కనరగొనరమర.

8. n వ పదమర 3 + 2 n గా గల అతంకశేశ్రీఢి యొకక్క మొదట 25 పదల

మొతత్తీమర కనరగొనతండ.

9. 24,21,18,… శేశ్రీఢిలో ఎనిన్ని పదల మొతత్తీతం 78 అవుతరతంది.

10. ఒక అతంకశేశ్రీఢి యొకక్క 17 వ పదమర దని 10 వ పదమర కనన్ని 7

ఎకరక్కవ. అయన దని పదతంతరమర కనరగొనరమర.

11. ఒక అతంకశేశ్రీఢి యొకక్క మొదట 14 పదమరల మొతత్తీమర 1050. దని

మొదట పదమర 10 అయన 20 వ పదమరనర కనరగొనరమర.


అధద్యాయమర- 7 ( నిరరూపక రేఖాగణితమర)


1. (x1 ,0), (x2 , 0) బియదరవుల మధద్యా దరూరమర = |x2−x1| యరూనిటరల్లా

2. (x1 , y1) ,(x2 , y1) బియదరవుల మధద్యా దరూరమర = |x2−x1| యరూనిటరల్లా

3. (0 , y1) ,(0 , y2) బియదరవుల మధద్యా దరూరమర = |y 2− y1| యరూనిటరల్లా

4. (x1 , y1) ,(x1 , y2) బియదరవుల మధద్యా దరూరమర = |y 2− y1| యరూనిటరల్లా

5. ( , 0), (0 , ) a b బియదరవుల మధద్యా దరూరమర = √a2+b2 యరూనిటరల్లా

6. (x1 , y1) ,(x2 , y2) బియదరవుల మధద్యా దరూరమర = √( x2−x1)2+( y2−y 1)

2

7. , , A B C లర తలతంలోని ఏవైన 3 బతందరవులర మరియర + = AB BC AC

అయత , , A B C లర సరేఖీయాలర అవుతయ.

8. , , A B C లర తలతంలోని ఏవైన సరేఖీయాలర కాని 3 బతందరవులర అయత

∆ ABC యొకక్క చరటరట్టి కొలత = + + AB BC AC అవుతరతంది.

9. , , A B C లర తలతంలోని ఏవైన 3 సరేఖీయాలర కాని బతందరవులర మరియర

= = AB BC AC అయత ∆ ABC ఒక సమబాహహు తిత్రాభరజతం అవుతరతంది.

10. , , A B C లర తలతంలోని ఏవైన సరేఖీయాలర కాని 3 బతందరవులర

మరియర , , AB BC AC లలో ఏదైన ఒక భరజతం యొకక్క వరర్గమర మిగలన 2

భరజాల వరార్గ ల మొతత్తీ నిక సమానతం అయత ∆ ABC ఒక లతంబకోణ

తిత్రాభరజతం అవుతరతంది.


11. , , A B C లర తలతంలోని ఏవైన సరేఖీయాలర కాని 3 బతందరవులర

మరియర , , AB BC AC లలో ఏవైన 2 భరజాల పడవులర సమానతం

అయత అయత ∆ ABC ఒక సమదిద్వాబాహహు తిత్రాభరజతం అవుతరతంది.

12. , , ,A B C Dలర తలతంలోని ఏవైన సరేఖీయాలర కాని 4 బతందరవులర

1. = = = AB BC CD DA మరియర = AC BD అయత ABCD ఒక

చతరరసస్రమర అవుతరతంది.

2. = = = AB BC CD DA మరియర AC ≠ BD అయత ABCD ఒక సమ

చతరరరర్భుజమర ( రాతంబస్) అవుతరతంది.

3. = , = AB CD BC DA మరియర = AC BD అయత ABCD ఒక దీరర్ఘ

చతరరసస్రమర అవుతరతంది.

4. = , = AB CD BC DA మరియర AC≠ BD అయత ABCD ఒక

సమాతంతర చతరరరర్భుజమర అవుతరతంది.

13. (x1 , y1) ,(x2 , y2) లనర కలపే రేఖాఖతండానిన్ని అతంతరతంగా m1:m2

నిషర్పతిత్తీలో విభజితంచే బతందరవు నిరసూపకాలర

( , ) = x y (m1 x2+m2 x1

m1+m2

,m1 y2+m2 y1

m1+m2

)

14. (x1 , y1) ,(x2 , y2) లనర కలపే రేఖాఖతండానిన్ని -x అక్షమర విభజితంచే నిషర్పతిత్తీ

= −y1 : y2

15. (x1 , y1) ,(x2 , y2) లనర కలపే రేఖాఖతండానిన్ని -y అక్షమర విభజితంచే నిషర్పతిత్తీ

= −x1 : x2


16. (x1 , y1) ,(x2 , y2) లనర కలపే రేఖాఖతండతం యొకక్క మధద్యాబతందరవు =

(x1+x2

2,y1+ y2

2)

17. (x1 , y1) ,(x2 , y2),( x3 , y 3) లర శీరార్షా లరగా గల తిత్రాభరజమర యొకక్క

మధద్యాగత రేఖల మిళిత బతందరవు(గరరరతద్వా కేతందదమర ) ( , ) =G x y

(x1+x2+x3

3,y1+ y2+ y3

3)

18. ఒక రేఖాఖతండానిన్ని తిత్రాధకరితంచర బతందరవులర అనగా ఆ రేఖాఖతండానిన్ని

అతంతరతంగా 2 : 1 లేద 1 : 2 నిషర్పతిత్తీలో విభజితంచర బతందరవులర.

19. తిత్రాభరజ గరరరతద్వా కేతందదతం ' ‘ G పప్రతి మధద్యాగత రేఖనర 2 : 1 నిషర్పతిత్తీలో

విభజిసరత్తీ తంది.

ఉదహరణ : △ ABC లో AD మధద్యాగత రేఖ అయన

: = 2 : 1 ; : = 3 : 1 ; : = 2 : 3 AG GD AD GD AG AD అవునర.

20. (x1 , y1) ,(x2 , y2),( x3 , y 3) లర శీరార్షా లరగా గల తిత్రాభరజమర యొకక్క

వైశాలద్యామర △ = 12|x1( y2− y3)+x2( y3− y2)+x3( y1− y2)| చ.యసూనిటరల్లా

21. తిత్రాభరజ వైశాలద్యాతం △ = 0 అయత బతందరవులర సరేఖీయాలవుతయ.

22. తిత్రాభరజ వైశాలద్యామర కనరగొనరటకర హెరాన్ ససూతత్రామర

, , a b c లర తిత్రాభరజమర యొకక్క 3 భరజాల కొలతలర అయన

తిత్రాభరజ వైశాలద్యామర = √(S(S−a)(S−b)(S−c)) చ.యసూనిటరల్లా ,

ఇకక్కడ = S a+b+c2


23. (x1 , y1) ,(x2 , y2) బతందరవుల గరతండా పయ సరళరేఖ వాలర

= my2− y1

x2−x1


1) రయడర బియదరవుల మధద్యాదరూరమర సరూతత్రామర ఉపయోగయచి సాధియచే సమసద్యాలర. ( 1 లేక 2 మారరక్కలర)

1) ( , 2), (8, 6) x బతందరవుల మధద్యాదసూరమర '5’ యసూనిటరల్లా అయన ' ’ x

విలరవ కనరగొనతండ.

2) (-2 ,0) , (1, 3) బతందరవులకర సమానదసూరతంలో ఉనన్ని – x అక్షతం పై గల

బతందరవునర కనరగొనరమర.

3) (-4 3) , (6, 5) బతందరవులకర సమానదసూరతంలో ఉనన్ని – y అక్షతం పై గల

బతందరవునర కనరగొనరమర..

4) ఒక వకృతత్తీ కేతందదమర ( -2, 5), ఆ వకృతత్తీపరిధిపై గల బతందరవు (4, 5)

అయన వకృతత్తీ వాద్యాసారార్థు నిన్ని కనరగొనరమర.

5) మసూడర బతందరవులర ఇచచనపర్పడర వాటత ఏరర్పడే తిత్రాభరజ రకమర

నిరాద్ధ రితంచరట ( 2 లేక 4 మారరక్కలర)

1) (-5,0) (3,0) A B మరియర (-1, 4 3)C √ లత ఏరర్పడరనది ఒక

సమబాహహు తిత్రాభరజమర అని చసూపమర

2) (4,5),(1,1) మరియర (-2,5) లత ఏరర్పడరనది ఒక సమదిద్వాబాహహు

తిత్రాభరజమర అని చసూపమర


3) (3, 0) , ( 6, 4), ( -1, 3) లత ఏరర్పడరనది ఒక లతంబకోణ

సమదిద్వాబాహహు తిత్రాభరజమర అని చసూపమర.

6) 4 బతందరవులర ఇచచనపర్పడర వాటత ఏరర్పడేద చతరరరర్భుజ రకమర

నిరాద్ధ రితంచరట ( 2 లేక 4 మారరక్కలర)

1) (-2, -1), (1, 0) (4, 3), (1, 2) లత ఏరర్పడరనది ఒక సమాతంతర

చతరరరర్భుజమర అని చసూపమర.

2) (1, -1), (-2, 2), (4, 8), (7, 5) లత ఏరర్పడరనది ఒక దీరర్ఘ

చతరరసస్రమర అని చసూపమర.

3) (3, 2), (5, 4), (3, 6),(1, 4) లత ఏరర్పడరనది ఒక చతరరసస్రమర

అని చసూపమర.

4) (1, 3), (2, 6), (5, 7), 4, 4) లత ఏరర్పడరనది ఒక రాతంబస్ అని

చసూపమర.

2) విభజన సరూతత్రామరనర ఉపయోగయచి సాధియచే సమసద్యాలర.

1) (1,2), (9,10) లనర కలపే రేఖాఖతండానిన్ని 4 సమాన భాగాలరగా విభజితంచే

బతందరవులనర కనరగొనరమర.

(ససూచన: ఈ సమసద్యానర మధద్యాబతందరవు ససూతత్రామరనర ఉపయోగతంచ కసూడా

విదద్యారరర్థు లత చేయతంచవలెనర.)

2) (3, 5) , (8, 10) A B లనర కలపే రేఖాఖతండానిన్ని 2 : 3 నిషర్పతిత్తీలో

అతంతరతంగా విభజితంచే బతందరవు Pనిరసూపకాలనర కనరగొనరమర

(లేద)


= AP 25

AB అయద్యాటరల్లా విభజితంచర బతందరవు Pనిరసూపకాలనర

కనరగొనరమర

(లేద)

: = 2 : 3 AP PB అయద్యాటరల్లా విభజితంచర బతందరవు Pనిరసూపకాలనర

కనరగొనరమర ( 2 లేక 4 మారరక్కలర)

**** గమనిక: పై మరూడర సమసద్యాలర ఏవిధయగా ఒకటే అవుతాయో

విదద్యారరర్థు లకర వివరియచాల) ****

3) (4, -3), (8, 5) లనర కలపే రేఖాఖతండానిన్ని (7, 3) ఏ నిషర్పతిత్తీలో

విభజిసరత్తీ తంది. ( 1 లేక 2 మారరక్కలర)

4) ( -6, 10) , (3, -8) లనర కలపే రేఖా ఖతండానిన్ని

(1) – x అక్షతం ఏ నిషర్పతిత్తీలో విభజిసరత్తీ తంది.

(2) – y అక్షతం ఏ నిషర్పతిత్తీలో విభజిసరత్తీ తంది. ( 1 లేక 2 మారరక్కలర)

5) (-3, -5), (-6, -8) లనర కలపే రేఖాఖతండానిన్ని తిత్రాధకరితంచర బతందరవు

నిరసూపకాలనర కనరగొనరమర

6) ∆ ABC లో AD మధద్యాగతరేఖ, = ( 1,2) A మరియర = (3,4) D

అయన ∆ ABC యొకక్క గరరరతద్వాకేతందదమర కనరగొనరమర.

7) (-2 , 5) , ( 4 , -1) A B లనర కలపే రేఖాఖతండతంపై APPB

=1 అయద్యాటరల్లా

P బతందరవు ఉనన్నిచో దని నిరసూపకాలర కనరగొనరమర.


3) మధద్యాబియదరవు సరూతత్రామరనర ఉపయోగయచి సాధియచర సమసద్యాలర


1) ( -4, 4), (-2, 2) బతందరవుల మధద్యాబతందరవునర కనరగొనరమర.

2 (-1, 4), (5, 6) లర వకృతత్తీ వాద్యాసతం యొకక్క రతండర చవరి బతందరవులర

అయన వకృతత్తీకేతందదమరనర కనరగొనరట.

3) వకృతత్తీ వాద్యాసతం యొకక్క ఒక చవరి బతందరవు( 3, -3). వకృతత్తీ కేతందదమర

( 1, -3) అయన రతండవ చవర బతందరవు కనరగొనరమర.

3) సమాతంతర చతరరరర్భుజమర యొకక్క 3 శీరార్షా లర (7, 3) (6, 1), (8, 2)

అయన 4 వ శీరర్షాతం నిరసూపకాలర కనరగొనరమర.

4) గరరరతవ్వకేయదద్రమర సరూతత్రామరనర ఉపయోగయచి సమసద్యాలనర సాధియచరట.


1) (-2, 3), (2, 4), (3, 5) బతందరవులర శీరార్షా లరగా గల తిత్రాభరజమర యొకక్క

గరరరతద్వాకేతందదమరనర కనరగొనరమర

2) తిత్రాభరజమర యొకక్క రతండర శీరార్షా లర (3, 5), (5, -1). దని గరరరతద్వాకేతందదమర

(3,2) అయన 3 వ శీరర్షాతంనర కనరగొనరమర

5) తిత్రాభరజ వైశాలద్యాయ నకర సరూతత్రామరనర ఉపయోగయచి సమసద్యాలనర ∆

సాధియచరట (1 లేక 2 మారరక్కలర)

1) (-5, 7), (-4, -5) (-1, -6) A B C శీరార్షా లరగా గల తిత్రాభరజ వైశాలద్యామరనర


2) (1, 2), (-1, -1),(-3, -4) బతందరవులర సరేఖీయాలని చసూపమర.


3) (3, -2), (-2, 8), (0, ) k బతందరవులర సరేఖీయాలర అయన ‘ ’ k విలరవ


6) (1,2), (4,2),(1,6) బతందరవులత ఏరర్పడే తిత్రాభరజ వైశాలద్యామరనర హెరాన్

ససూతత్రామరనర ఉపయోగతంచ కనరగొనరమర.

7) (3, -2), (-5, -1) బతందరవులనర కలపే రేఖ వాలర కనరగొనరమర.8) (3, -5), ( , 10) k బతందరవులనర కలపే రేఖ వాలర 5 అయన ‘ ’ k విలరవ కనరగొనరమర. ( 1 మారరక్క)

విదద్యారరర్థు లకర ససూచన:

పైన తెలపిన భావనలపై అతందరర విదద్యారరర్థు లర తపర్పనిసరిగా అభాద్యాసమర

చేయవలెనర. ఇకక్కడ ఇవద్వాబడన సమసద్యాల మాదిరి సమసద్యాలనర మరికొనిన్నితంటని

సాధితంచ నైపణద్యామర పతందవలెనర.

ఉపాధద్యాయ మితరత్రా లకర సరూచన:

-విదద్యారరర్థు లకర వారివారి సామరర్థుర్థ్యమరనర అనరసరితంచ పైన తెలపిన సమసద్యాలనర వారిచే అభాద్యాసమర చేయతంచవలెనర.


పేపర్ - 2

8.సరరూప తిత్రాభరజాలర,

9.వకృతాస్త లకర సప్పరర్శి రేఖలర మరియర చేధన రేఖలర ,

10. క్షేతత్రామితి ,

11.తిత్రాకోణమితి ,

12.తిత్రాకోణమితి అనరవరకనలర,

13.సయభావద్యాత

14.సాయఖద్యాక శాసస్త్రమర

తయారరచేసన వారర

1) ధరా చతందదశేఖర, ససూక్కల్ అసిసట్టితంట్ (గణితతం), జి.ప.ఉ.పా.మరదక్ పలల్లా 2) తిరరకోక్కవళళళ్ళూర కకృషర్ణు , ససూక్కల్ అసిసట్టితంట్ (గణితతం), జి.ప.ఉ.పా.వెలమ్మల్


అధద్యాయమర - 8 (సరరూప తిత్రాభరజాలర)


➢ పరిమాణమరత సతంబతంధతం లేకరతండా ఒకే ఆకారమర కలగ ఉతండే

ఆకారాలనర సరసూపాలర అతంటారర.

➢ సరద్వాసమాన ఆకారాలర ఎలల్లాపర్పడసూ సరసూపాలే. కానీ సరసూప పటాలర

ఎలల్లాపర్పడసూ సరద్వాసమానమర కావు.

➢ సమాన భరజాల సతంఖద్యా కలగన కక్రమ బహహుభరజులర ఎలల్లాపర్పడర సరసూపాలర

అవుతయ. ఉదహరణకర సమబాహహు తిత్రాభరజాలర, చతరరసాస్ర లర

మొదలగరనవి. వకృతత్తీ లర కసూడా ఎలల్లాపర్పడసూ సరసూపాలర అవుతయ.

➢ రతండర బహహుభరజులర సరసూపాలర కావాలతంటే

( ) i వాట అనరరసూపకోణలర సమానతం కావాల మరియర

( ) ii వాట అనరరసూప భరజాల నిషర్పతిత్తీ సమానతం కావాల( అనరరసూప

భరజాలర అనరపాతతంలో ఉతండాల)

* పాప్ర థమిక అనరపాత సదద యతమర ( థేల్త్స సదద యతమర)

ఒక తిత్రాభరజతం లోని ఏదైన ఒక భరజానిక సమాతంతరతంగా గీయబడన రేఖ,

మిగలన రతండర భరజాలనర ఒకే నిషర్పతిత్తీలో విభజిసరత్తీ తంది.

* పాప్ర థమిక అనరపాత సదద యతమర యొకస్కూ విపరద్యాయయ

ఒక తిత్రాభరజతంలోని రతండర భరజాలనర ఒకే నిషర్పతిత్తీలో విభజితంచర రేఖ మసూడవ

భరజానిక సమాతంతరమరగా ఉతంటరతంది.


* తిత్రాభరజాలర సరసూపాలర కావడానిక నియమాలర

( ) i కో.కో లేద కో.కో.కో. నియమతం

( ) ii భర.భర.భర. నియమతం

( ) iii భర.కో.భర. నియమతం

కో.కో.కో. నియమయ : రతండర తిత్రాభరజాలలో అనరరసూప కోణలర సమానమైన వాట

అనరరసూప భరజాల నిషర్పతిత్తీ కసూడా సమానమర. కావున ఆ రతండర

తిత్రాభరజాలర సరసూపాలర అవుతయ.

రతండర తిత్రాభరజాలలోని ఏవేని రతండర కోణలర సమానమైన కో.కో.కో నియమతం

పప్రకారతం ఆ తిత్రాభరజాలర సరసూపాలర అవుతయ. కావున కో.కో నియమతం మరియర

కో.కో.కో. నియమతం రతండసూ ఒకటే.

భర.భర.భర. నియమయ : రతండర తిత్రాభరజాల లోని అనరరసూప భరజాల నిషర్పతిత్తీ

సమానమైన వాట అనరరసూప కోణలర సమానమర. కావున ఆ రతండర తిత్రాభరజాలర

సరసూపాలర అవుతయ.

భర.కో.భర. నియమయ : రతండర తిత్రాభరజాల లోని రతండర అనరరసూప భరజాల

నిషర్పతిత్తీ సమానతంగా ఉతండ, ఆ రతండర భరజాల మధద్యా గల కోణమర కసూడా

సమానమైత ఆ తిత్రాభరజాలర సరసూపాలర అవుతయ.

సరరూప తిత్రాభరజాల వైశాలద్యాల సదద యతమర :

* రతండర సరసూప తిత్రాభరజాల వైశాలద్యాల నిషర్పతిత్తీ వాట అనరరసూప భరజాల

వరార్గ ల నిషర్పతిత్తీక సమానమర.

* రతండర సరసూప తిత్రాభరజాల వైశాలద్యాల నిషర్పతిత్తీ వాట అనరరసూప

ఉనన్నితరల(ఎతరత్తీ ల) వరార్గ ల నిషర్పతిత్తీక సమానమర.


* రతండర సరసూప తిత్రాభరజాల వైశాలద్యాల నిషర్పతిత్తీ వాట అనరరసూప మధద్యాగత

రేఖల వరార్గ ల నిషర్పతిత్తీక సమానమర.

* రతండర సరసూప తిత్రాభరజాల వైశాలద్యాల నిషర్పతిత్తీ వాట అనరరసూప

చరటరట్టి కొలతల వరార్గ ల నిషర్పతిత్తీక సమానమర.

* రతండర సరసూప తిత్రాభరజాల వైశాలద్యాల నిషర్పతిత్తీ వాట అనరరసూప కోణ

సమదిద్వాఖతండన రేఖల వరార్గ ల నిషర్పతిత్తీక

సమానమర.

* పైథాగరస్ సదద యతమర ( బౌదద యన సదద యతమర):

ఒక లతంబకోణ తిత్రాభరజమరలో కరర్ణుమర మీది వరర్గమర, మిగలన రతండర భరజాల మీది

వరార్గ ల మొతత్తీ నిక సమానమర.

*. పైథాగరస్ సదద యతమర యొకస్కూ విపరద్యాయమర : - ఒక తిత్రాభరజమరలో ఒక

భరజమర మీది వరర్గమర, మిగలన రతండర భరజాల మీది వరార్గ ల మొతత్తీ నిక

సమానమైత అది లతంబకోణ తిత్రాభరజమర అవుతరతంది.


.I పాప్ర థమిక అనరపాత సధధ యతమర మరియర దని విపరద్యాయమర నకర

సయబయధియచిన సమసద్యాలర

( 2 4 ) or marks

1) ∆ ABC లో , = 5 , =DE║BC AD cm DB

9 , = cm AE (2 +4) , = (4 +6) x cm EC x cm

అయన ' ' x విలరవ కనరగొనరమర


2) పప్రకక్క పటమరలోని ∆ PQR లో = QM

2 , = 3 , cm MR cm = ( +1) QN x

, = ( +2) cm NP x cm అయన x యొకక్క ఏ

విలరవకర MN ║RP అవుతరతంది.

. II సరరూప తిత్రాభరజాల భావనలకర

సయబయధియచిన సమసద్యాలర. ( 2 4 )or marks

1) పప్రకక్క పటమరలోని ∆ PQR లో = 5 ,PL cm

= 3 , = 10 = 6 LQ cm PM cm and MR cm

అయన ∆ PLM ∼ ∆ PQR అనిచసూపమర

2) ∆ ABC లో , A D ┴ , BC మరియర BDAD

= DADC

అయత , ∆ ABC

ఒక లతంబకోణ తిత్రాభరజమర అని చసూపమర.

3) పప్రకక్క పటతంలో AB ║ DC మరియర , AC BD

ల ఖతండన బతందరవు ‘ ’. O మరియర = 2 ,AB CD

= 84 ∆ AOB చ.సతం.మీ అయత ∆ COD యొకక్క

వైశాలద్యాతం కనరగొనరమర.


4) పప్రకక్క పటతంలో , = , = 5AB ║CD AB x cm CD

, = 9 , = 3 , = 12 cm AO cm OD cm OB cm

= , and OC y cm A

+ x y యొకక్క విలరవ కనరగొనరమర. .

5) పప్రకక్క పటతంలో ∆ ,ADB ∆ AEC లర రతండర లతంబకోణ

తిత్రాభరజాలర. లతంబకోణ శీరార్షా లర , D E అయత

BACA

= BDCE

అనిచసూపమర.

6) పప్రకక్క పటతంలో DB ⊥ , BC DE ⊥ AB మరియర

AC ⊥ BC అయన

∆ ACB ∼ ∆ BED అనిచసూపమర .

7) పప్రకక్క పటతంలో ∆ ABC ఒక లతంబకోణ

తిత్రాభరజమర. లతంబశీరర్షామర . C DE ⊥ , AB AD

= 3 , = 2 cm DC cm మరియర = 12BC

, cm అయన , AE DE ల పడవులర కనరగొనరమర .


8) ∆ ABC ∼ ∆ PQR అయన ఈ తిత్రాభరజాల లోని సరసూప భాగాలనిన్నితంటని

వావ్రా యరమర.

9) ∆ PQR లో AB ║QR అయన ఏ నియమతం పప్రకారతం ∆ , PAB ∆ PQR

లర సరసూపాలర అవుతయ.?

10) ఎలల్లాపర్పడర సరసూపాలర అయద్యా ఆకారాల పేరల్లానర తెలరపమర.

11) ఏవైన రతండర దీరర్ఘచతరరసాస్ర లర సరసూపాలర అవుతయా?

మీ సమాధననిన్ని సమరిర్థుతంచరమర.

12) “ ఏవైన రతండర లతంబకోణ సమదిద్వాబాహహు తిత్రాభరజాలర ఎలల్లాపర్పడర సరసూపాలర

అవుతయ” అని విజయ అనన్నిది. నీవు ఆమెత ఏకభవిసాత్తీ వా? కారణలర

తెలరపమర.

13) ∆ ABC ∼ ; = 45∆ DEF ∟A 0 మరియర ∟ = 80E 0 అయన ∟ C

విలరవ కనరగొనరమర

14) ∆ ABC లో ∟ =90B 0 , BD ⊥ , = 6 , = 8 AC AB cm BC cm మరియర

= , ‘ ’ BD x cm x నర కనరగొనరమర

3) సరరూప తిత్రాభరజాల వైశాలద్యాల సధధ యతమరనకర సయబయధియచిన

సమసద్యాలర. ( 2 4 ) or marks

1) రతండర సరసూప తిత్రాభరజాల అనరరసూప భరజాల నిషర్పతిత్తీ 2 : 3, చనన్ని తిత్రాభరజమర

యొకక్క వైశాలద్యామర 24 చ.సతం.మీ. అయన పదద తిత్రాభరజమర యొకక్క

వైశాలద్యామరనర కనరగొనరమర.


2) రతండర సరసూప తిత్రాభరజాల వైశాలద్యాల నిషర్పతిత్తీ 1 : 4. మొదట తిత్రాభరజతం యొకక్క

చరటరట్టి కొలత 24 , cm అయన రతండవ తిత్రాభరజతం యొకక్క చరటరట్టి కొలత


3) ∆ ABC లో XY ║BC మరియర ∆ ABC ని XY రతండర సమాన

వైశాలద్యాలర గల తిత్రాభరజాలరగా విభజిసేత్తీ BXAB

=√2−1

√2 అనిచసూపమర.

4) ∆ ABC ∼ , =4 , = 5 ∆ XYZ AB cm XY cm మరియర ∆ ABC

వైశాలద్యామర 32 చ.సతం.మీ. అయన ∆ XYZ వైశాలద్యామర కనరగొనరమర.

5) ∆ ABC ∼ ∆ PQR మరియర , AP DQ లర , BC EF లపైక గీయబడన

లతంబమరలర. ∆ ABC , ∆ PQR ల వైశాలద్యాలర వరరసగా 64 చ.సతం.మీ. and

121 చ.సతం.మీ. అయన : AP DQ నర కనరగొనరమర.

6) ∆ ABC ∼ . ∆ PQR ∆ABC , ∆PQR ల చరటరట్టి కొలతలర వరరసగా 12

., 36 cm cm అయన వాట వైశాలద్యాల నిషర్పతిత్తీ కనరగొనరమర.

7) పప్రకక్క పటతంలో PLLQ

= PMMR

= 3 మరియర ∆

PQR వైశాలద్యామర = 32 చ.సతం.మీ. అయన

చతరరరర్భుజమర LMRQ వైశాలద్యామర కనరగొనరమర.


4) పైధగరస్ సధధ యతమర, దని విపరద్యాయమరనకర సయబయధియచిన

సమసద్యాలర. ( 2 4 ) or marks

1) ఒక లతంబకోణ తిత్రాభరజమర యొకక్క కరర్ణుమర మొదట భరజమర యొకక్క రటట్టితంప

కనన్ని 3 యసూనిటరల్లా తకరక్కవ. మరియర దని రతండవ భరజమర కరర్ణుమర కనన్ని 3

యసూనిటరల్లా తకరక్కవ. అయన ఆ తిత్రాభరజమర యొకక్క భరజాల కొలతలలర


2) ఒక రాతంబస్ యొకక్క కరర్ణుమరలర వరరసగా 18 , 24 , cm cm అయన దని

భరజమర కొలత కనరగొనరమర

3) ∆ ABC లో = 5 , = 12 , = 13 AB cm BC cm AC cm అయన ∆

ABC ఒక లతంబకోణ తిత్రాభరజమర అవుతరతంద? కారణలర తెలపతండ.

4) 25 మీ. పడవు గల నిచచన, ఒక భవనతంపై నేల నరతండ 7 మీ. ఎతరత్తీ న గల

కటకని తకరచరనన్నిది. నిచచన అడరగరభాగమర మరియర భవనతం మధద్యాగల

దసూరమరనర కనరగొనరమర.

5) C వదద లతంబకోణమర గల తిత్రాభరజమర ∆ . ABC మరియర , CA CB లపై

‘ ’,‘ ’ D E లర రతండర బతందరవులయన AE2 + BD2 = AB2 + DE2 అనిచసూపమర

6) ఒక లతంబకోణ సమదిద్వాబాహహు తిత్రాభరజతం యొకక్క కరర్ణుమర దని భరజానిక √2

రటరల్లా అనిచసూపమర.

7) ఒక సమబాహహు తిత్రాభరజమర యొకక్క ఉనన్నితి 6 √3 , cm అయన దని

భరజమర కొలత కనరగొనరమర.

8) ∆ ABCలో B వదద లతంబకోణమర కలదర. మరియర BC యొకక్క

మధద్యాబతందరవు . D అయన AC2 = 4 AD2 _ 3AB2 అనిచసూపమర


5) నిరామ్మణమరలర ( 2 4 ) or marks

1) 7 cm పడవు గల రేఖాఖతండానిన్ని 3 : 5 నిషర్పతిత్తీలో విభజితంచరమర.

2) 5 cm భరజమర గల ఒక సమబాహహు తిత్రాభరజమర యొకక్క భరజాల కొలతలత

34

వతంతర కొలతలర గల సరసూప తిత్రాభరజానిన్ని నిరిమ్మతంచరమర.

3) = 5 , = 6 , = 50AB cm BC cm ∟C 0 అగరనటరల్లా ∆ ABC ని నిరిమ్మతంచ,

దని భరజాల కొలతలత 53

వతంతర కొలతలర గల సరసూప తిత్రాభరజానిన్ని

నిరిమ్మతంచరమర.


అధద్యాయమర - 9 ( వకృతాస్త నిక సప్పరర్శిరేఖలర, ఛేదన రేఖలర)


➢ ఒక తలతంలో గల ఒక సిర్థురబతందరవు నరతండ అనిన్నివైపల సిర్థుర దసూరతంలో గల

బతందరవుల సమితిని వకృతత్తీమర అతంటారర. ఆ సిర్థుర బతందరవునర వకృతత్తీ

కేతందదమర అని, ఆ సిర్థుర దసూరానిన్ని వకృతత్తీ వాద్యాసారర్థుమర అని అతంటారర.

➢ వకృతత్తీ పరిథి పై గల ఏవైన రతండర బతందరవులనర కలపగా ఏరర్పడే

రేఖాఖతండానిన్ని జాద్యా అతంటారర.

➢ వకృతత్తీ పరిధి యొకక్క కొతంత భాగానిన్ని చాపమర అతంటారర.

➢ వకృతత్తీ కేతందదమర గరతండా పయ జాద్యా నర వాద్యాసమర అతంటారర.

➢ వకృతత్తీమరనర రతండర వేరరవేరర బతందరవులలో ఖతండతంచే రేఖనర ఛేదనరేఖ


➢ వకృతత్తీమరత ఒకేఒక ఉమమ్మడ బతందరవునర కలగ ఉతండే రేఖనర ఆ వకృతత్తీ నిక

సర్పరర్శిరేఖ అతంటారర.

➢ వకృతత్తీమర పై గల ఏదైన బతందరవు వదద ఆ వకృతత్తీ నిక ఒకే ఒక సర్పరర్శిరేఖ

గీయవచరచ.

➢ వకృతత్తీ నిక గీయబడన సర్పరర్శిరేఖ ఆ వకృతత్తీ వాద్యాసారర్థుతం యొకక్క చవరి

బతందరవు వదద లతంబమర గా ఉతంటరతంది.

➢ వకృతత్తీమర యొకక్క అతంతరమర లో గల బతందరవు నరతండ ఆ వకృతత్తీ నిక

సర్పరర్శిరేఖ గీయలేమర.


➢ వకృతత్తీ నిక బాహద్యాతంలో గల ఒక బతందరవు నరతండ ఆ వకృతత్తీ నిక గీయగల

రతండర సర్పరర్శిరేఖల పడవు సమానమర.

➢ ఒక రేఖ వకృతత్తీ నిన్ని సర్పరిర్శితంచనపర్పడర, సర్పరర్శిబతందరవు వదద గీసిన లతంబరేఖ

వకృతత్తీ కేతందదమర గరతండా పతరతంది.

➢ వకృతత్తీ వాద్యాసమర యొకక్క చవరి బతందరవుల వదద ఆ వకృతత్తీ నిక గీసిన

సర్పరర్శిరేఖలర సమాతంతరాలర.

➢ ఒక వకృతత్తీ నిక గీయగల సమాతంతర సర్పరర్శిరేఖల జతల సతంఖద్యా అనతంతమర.

➢ ఒక వకృతత్తీమర పై గల బతందరవు నరతండ ఆ వకృతత్తీ నిక గీయగల ఛేదనరేఖల

సతంఖద్యా అనతంతమర.

➢ వకృతత్తీఖతండ వైశాలద్యామర = వకృతత్తీఖతండానిన్ని కలగ ఉనన్ని సకాట్టి రర వైశాలద్యాతం –

సకాట్టి రర లో ఏరర్పడన తిత్రాభరజ వైశాలద్యాతం

➢ సకాట్టి రర వైశాలద్యాతం = x0

3600 X π r2

➢ సకాట్టి రర వైశాలద్యాతం = l r2


. I వకృతాస్త నిక బాహద్యాబియదరవు నరయడి గీసన సప్పరర్శిరేఖ వలల్లా ఏరప్పడిన

లయబకోణ తిత్రాభరజమరనకర సయబయధియచిన సమసద్యాలర ( 2 ) marks

1) 5 సతం.మీ. వాద్యాసారర్థుమర గల వకృతత్తీతం యొకక్క కేతందదమర నరతండ 13 సతం.మీ.

దసూరతంలో గల బాహద్యాబతందరవు నరతండ గీసిన సర్పరర్శిరేఖ పడవునర

కనరగొనరమర..


2) 9 సతం.మీ. వాద్యాసారర్థుమర గల వకృతత్తీమరనకర బాహద్యాబతందరవు నరతండ గీసిన

సర్పరర్శిరేఖ పడవు 12 సతం.మీ. అయన వకృతమర యొకక్క కేతందదమర నరతండ

బాహద్యాబతందరవుకర గల దసూరతం నర కనరగొనరమర

. II సకాట్టి రర వైశాలద్యామరనకర సయబయధియచిన సమసద్యాలర

( 2 4 )or marks

1) పప్రకక్క పటమరలో ' ' O వకృతత్తీకేతందదమర. = 90∟AOB 0 ,

= 6 OA cm షేడ్ చేసిన పాప్ర తంతమర యొకక్క వైశాలద్యామర

కనరగొనరమర

2)పప్రకక్క పటతంలో వకృతత్తీమర ∆ ABC లో అతంతరిల్లాఖతంచబడెనర.

= 8 , = 3 AC cm AN cm మరియర = 4 , NB cm

BC పడవు కనరగొనరమర..

3) పప్రకక్క పటతంలో , BA BC లర O కేతందదతంగా గల

వకృతత్తీ నిక గీయబడన సర్పరర్శిరేఖలర. = 80∟ABC 0

అయన ∟ AOC ని కనరగొనరమర.

4) ABCD ఒక చతరరరర్భుజమర. ‘ ’ O కేతందదమర గా గల వకృతత్తీమర ఈ

చతరరరర్భుజతంలో అతంతరిల్లాఖతంచబడెనర. = 7 , AB cm = 4 , = 5 BC cm CD

cmఅయన DA కొలత కనరగొనరమర.


5) ‘ ’ O కేతందదమర గా గల ఒమరక వకృతత్తీ నిక బాహద్యాతంగా గల బతందరవు ‘ ’ P నరతండ

గీసిన సర్పరర్శిరేఖలర , PA PB లర. అయన OAPB ఒక చకక్రయ చతరరరర్భుజతం


6) ’ O కేతందదమర గా గల ఒక వకృతత్తీ నిక బాహద్యాతంగా గల బతందరవు ‘ ’ P నరతండ గీసిన

సర్పరర్శిరేఖలర , PA PB లర. = 5 PA cm = 60∟APB 0 అయన AB జాద్యా

పడవు కనరగొనరమర.

7) 22 cm చరటరత్తీ కొలత గల వకృతత్తీమర యొకక్క పాదమర వైశాలద్యాతం కనరగొనరమర.

9) 14 cm వాద్యాసారర్థుతం గల ఒక వకృతత్తీతం యొకక్క ఒక చాపమర కేతందదమర వదద

2700 కోణమర చేయరచరనన్నిది. అయన అలర్ప సకాట్టి రర వైశాలద్యాతంనర π

పదమరలలో కనరగొనరమర.

10) ఒక వకృతత్తీమర యొకక్క అలర్పచాపమర పడవు ఆ వకృతత్తీపరిధిలో 29

వతంతర.

అయన ఆ చాపమర వకృతత్తీ కేతందదమర వదద చేయర కోణమర కనరగొనరమర.

11) పప్రకక్క పటతంలో ABCD ఒక ధీరర్ఘ చతరరసస్రమరమరియర ‘ ’ O వకృతత్తీ కేతందదమర ; = 12 ,AB cm

= 5 AD cm అయన షేడ్ చేయబడన పాప్ర తంతమరయొకక్క వైశాలద్యాతం కనరగొనరమర. ( π = 3.14 )

2) పప్రకక్క పటతంలో ∟ =AOB(3 +5)x 0 , = ( +3)∟ACB x 0 ,

' ' x విలరవనర కనరగొనరమర.


13) వాద్యాసారర్థుమర 7 సతం.మీ, సకట్టిరర కోణమర 600 గా గల సకట్టిరర వైశాలద్యాతం కనరగొనరమర.

.III నిరామ్మణాలర ( 4 ) marks

1) 5 సతం.మీ. వాద్యాసారర్థుతం గల వకృతత్తీకేతందదమర నరతండ 12 సతం.మీ. దసూరతంలో గల బాహద్యాబతందరవు నరతండ సర్పరర్శిరేఖలనర నిరిమ్మతంచరమర.2) 5 సతం.మీ. వాద్యాసారర్థుతం గల వకృతత్తీ నిక బాహద్యాబతందరవు నరతండ గీసిన సర్పరర్శిరేఖలమధద్యాకోణమర 600 ఉతండరనటరల్లా సర్పరర్శిరేఖలనర నిరిమ్మతంచరమర.


అధద్యాయమర - 10 ( క్షేతత్రామితి)


1. దీరర్ఘఘనమర :

. a పప్రకక్కతల వైశాలద్యామర = 2 ( + )h l b

. b సతంపూరర్ణుతల వైశాలద్యామర = 2( + + ) lb bh lh

. c ఘనపరిమాణమర = lbh

. d కరర్ణుమర పడవు = √l2+b2+h2

2. సమఘనమర :

. a పప్రకక్కతల వైశాలద్యామర = 4 a2

. b సతంపూరర్ణుతల వైశాలద్యామర = 6 a2

. c ఘనపరిమాణమరVolume = a3

. d కరర్ణుమర పడవు = √3a

3. సరూర్థు పమర : . a వకక్రతల వైశాలద్యామర = 2πrh

. b సతంపూరర్ణుతల వైశాలద్యామర = 2 ( + )πr h r

. c ఘనపరిమాణమర = π r2h


4. శయఖరవు :. a వకక్రతల వైశాలద్యామర = ` π r l

. b సతంపూరర్ణుతల వైశాలద్యామర = ( + )π r l r

.c ఘనపరిమాణమర = 13

πr2h

. d ఏటవాలర ఎతరత్తీ l=√h2+r2

5. గోళమర: . a ఉపరితల వైశాలద్యామర = 4 πr2

. b ఘనపరిమాణమర = 43

πr3

6. అరర్థుగోళమర : .a వకక్రతల వైశాలద్యామర = 2π r2

. b సతంపూరర్ణుతల వైశాలద్యామర = 3π r2

. c ఘనపరిమాణమర = 23

πr3


7.పటట్టికమర :

. a పప్రకక్కతల వైశాలద్యామర = భసూమి చరటరట్టి కొలత x ఎతరత్తీ

. b సతంపూరర్ణుతల వైశాలద్యామర = పప్రకక్కతల వైశాలద్యామర + 2 x భసూవైశాలద్యామర

. c ఘనపరిమాణమర = భసూవైశాలద్యామర x ఎతరత్తీ

8. పిరమిడ్ :( )Pyramid

. a పప్రకక్కతల వైశాలద్యామర = 12

x భసూమి చరటరట్టి కొలత x ఏటవాలర ఎతరత్తీ

. b సతంపూరర్ణుతల వైశాలద్యామర = పప్రకక్కతల వైశాలద్యామర + భసూవైశాలద్యామర

. c ఘనపరిమాణమర = 13

x భసూవైశాలద్యామర x ఎతరత్తీ

:NOTE1) విదద్యారరర్థు లయదరరూ అనిన్న సరూతత్రామరలనర నేరరచ్చేకోవాల, పప్రతీ సరూతత్రామర

లోని పదలనర వివరియచగలగాల.

2) రయడర వేరరవేరర ఆకారాలర ఒకదనితో మరొకట అతికయచినపుప్పడర ఆ


సయధరార్భానిక తగన పటానిన్న గీచి, తగన సరూతాత్రా లనర

ఉపయోగయచగలగాల.

ఉద: ఈ కక్రయద ఘనకారపు వసరస్త వుల సయపూరష్ణతల వైశాలద్యామరలర

కనరగొనరటకర సరూతత్రామరలనర వావ్రా యరమర.

(2 4 ) or marks

1) 2)

3) 8 సతం.మీ. వాద్యాసారర్థుమర గల ఘన అరర్థుగోళమరనర కరిగతంచ 6 సతం.మీ.

భసూవాద్యాసారర్థుమర గల శతంఖరవుగా తయారర చేసేత్తీ, శతంఖరవు యొకక్క ఏటవాలర

ఎతరత్తీ కనరగొనరమర.

4) ఒక శతంఖరవు యొకక్క భసూ వాద్యాసారర్థుమర ససూర్థు పమర యొక భసూవాద్యాసారర్థుమరనకర

రతండర రటరల్లా . మరియర శతంఖరవు యొకక్క ఎతరత్తీ , ససూర్థు పమర ఎతరత్తీ నకర 3 రటరల్లా .

అయన వాట ఘనపరిమాణమరల నిషర్పతిత్తీ 4 : 1 అనిచసూపతండ.

5) 42 సతం.మీ. భరజతం గల ఒక చకక్క సమఘనమర నరతండ అతిపదద ససూర్థు పమర

తయారరచేయబడనది. మిగలన చకక్క యొకక్క ఘనపరిమాణమర


6) ఒక ససూర్థు పాకార పాతత్రా నితండా నీరర కలదర. అతందరలోని నీటని నితంపడానిక, ఆ


ససూర్థు పమర యొకక్క భసూవాద్యాసారర్థుమర త సమాన వాద్యాసారర్థుతం కలగ, ససూర్థు పమర

ఎతరత్తీ లో సగమర ఎతరత్తీ కలగ ఉనన్ని శతంఖరవులర ఎనిన్ని అవసరమర.

7) 63 సతం.మీ. 42 x సతం.మీ. 11 x సతం.మీ. ఒక దీరర్ఘఘనమర కరిగతంచ 7

సతం.మీ. వాద్యాసమరగా గల చనన్ని చనన్ని గోళమరలరగా తయరర చేయబడనవి,

అయన ఏరర్పడే గోళమరల సతంఖద్యా ఎతంత?

8) ఒక ససూర్థు పమరలో ఒక గోళమర అతంతరిల్లాఖతంచబడెనర. అయన ఆ ససూర్థు పమర

యొకక్క వకక్రతల వైశాలద్యామర గోళమర యొకక్క ఉపరితల వైశాలద్యామర నకర

సమానమని చసూపమర.

9) 4.2 సతం.మీ. భరజతం గల ఒక ఘనమర నరతండ తయారరచేయబడే అతిపదద

శతంఖరవు యొకక్క ఘనపరిమాణమర కనరగొనరమర.

10) ఒక ససూర్థు పమర, ఒక శతంఖరవు, ఒక అరర్థుగోళమర ఒకే భసూమి మరియర ఒకే ఎతరత్తీ

కలగ ఉనన్నివి. అయన వాట ఘనపరిమానమరల నిషర్పతిత్తీ కనరగొనరమర.

11) 3 సతం.మీ,4 సతం.మీ,5 సతం.మీ భరజమరలర గా గల 3 లోహప ఘనమరలర

కరిగతంచ ఒక పదద ఘనమరగా తయారరచేయబడత దని భరజతం పడవు


12) 66 సతం.మీ. 42 x సతం.మీ. 21 x సతం.మీ కొలతలర గల సీసప దీరర్ఘఘననిన్ని

కరిగతంచ 4.2 సతం.మీ వాద్యాసమర గల సీసప గోళీలనర ఎనిన్నితంటని

తయారరచేయవచరచ.


అధద్యాయమర - 11 ( తిత్రాకోణమితి)


. I లయబకోణ తిత్రాభరజయలోని అలప్పకోణమరయొకస్కూ తిత్రాకోణమితి నిషప్పతరస్త లర:

= Sin θ θ క ఎదటభజమకరర మ = AB

AC

= Cos θ θ క ఆసనన భజమకరర మ = BC

AC

= Tan θ θ క ఎదటభజమθ క ఆసనన భజమ = AB

BC

Cot θ = θ క ఆసనన భజమθ క ఎదటభజమ = AC

AB

Sec θ = కరర మθ క ఆసనన భజమ = AC

BC


= Cosec θ కరర మθ క ఎదటభజమ = BC

AB

2. తిత్రాకోణమితి నిషప్పతరస్త ల మధద్యా సయబయధయ.

( ) = I Sin θ 1cosec θ

( ) = ii Cos θ 1secθ

( ) = iii Tan θ 1cotθ

( ) = iv Tan θ sinθcosθ

( ) = v Cot θ cosθsinθ

,

3. తిత్రాకోణమితి విలరవల పటట్టిక

తిత్రాకోణమితి

నిషప్పతిస్త 00 300 450 600 900

Sin θ 0 12

1

√2√32

1

Cos θ 1 √32

1

√212

0

Tan θ 0 1

√31 √3

నిరవ్వచియచ

బడదర

cot θనిరవ్వచియచ

బడదర √3 1 1

√30

sec θ 1 2

√3√2 2

నిరవ్వచియచ

బడదర

cosec θనిరవ్వచియచ

బడదర 2 √2

2

√31


4. పూరక కోణాల తిత్రాకోణమితి నిషప్పతరస్త లర:

( ) ( 90 – ) = I Sin θ Cos θ

( ) ( 90 – ) = ii cos θ sin θ

( ) ( 90 – ) = iii Tan θ Cot θ

( ) ( 90 – ) = iv Cot θ tan θ

( ) ( 90 – ) = v Sec θ Cosec θ

( ) vi Cosec ( 90 – θ ) = Sec θ

: + = NOTE A B 900 అయతే ( ) = I Sin A Cos B మరియర = Cos A Sin B

( ) = ii Tan A Cot B మరియర = Cot A Tan B

( ) = iii Cosec A Sec B మరియర = Sec A Cosec B

5. తిత్రాకోణమితి సరవ్వ సమీకరణాలర:

( ) I sin2θ+cos2θ=1 ( ) ii Sec2θ−tan2θ=1

( ) iii cosec2θ−cot2θ=1


. I తిత్రాకోణమితి నిషప్పతరస్త ల నిరవ్వచనలకర సయబయధియచిన సమసద్యాలర. (1 2 ) or marks

1) = Sin A 513

అయన అనిన్ని తిత్రాకోణమితి నిషర్పతరత్తీ ల విలరవలనర కనరగొనరమర.2) “ ” θ అలర్పకోణమర అయన , Sin θ Cos θ ల విలరవలర ఎలల్లాపర్పడర "1”


కతంటే తకరక్కవగా ఉతండడానిక కారణమర తెలర్పతండ.3) 4 = 3 Cot A అయన sin A+cos A

sin A−cos Aవిలరవనర కనరగొనరమర.

4) = Sin θ ab

,అయన + sec θ tan θ విలరవ కనరగొనరమర. 5) ∆ ABC లో , = 90∟B 0 ; = , = 25 , = 7 ∟ACB θ AC cm BC cmఅయన + sin θ cos θవిలరవ కనరగొనరమర.

. II తిత్రాకోణమితి విలరవల పటట్టికకర సయబయధియచిన సమసద్యాలర.( 2 4 )or marks

1) √3 tan 300 + √2 sin450 + 2

√3sin 600 - 3cot 450 విలరవ కనరగొనరమర.

2) 2cos2 900+4 cos2 450+tan2600+3Cosec2 600

3Sec 600−72Sec2 450+2Cosec300

విలరవనర కనరగొనరమర.

3) 00 < <x 900 మరియర 2 sin2(x /2) = 1 అయన ‘ ’ x విలరవ

కనరగొనరమర .

. III పూరక కోణాల భావనలకర సయబయధియచిన సమసద్యాలర.

( 2 4 )or marks

1) = 3 (Cosec A Sec A 00 < 3 < A 900 ) అయన 2 Tan A విలరవ


2) = Sin P Cos Q అయన Cot P+Q2

విలరవ కనరగొనరమర.

3) Sec200

Cosec700 + tan 530

cot 370 - sin 510

cos390 విలరవనర కనరగొనరమర.


4) cos170

sin 730 + 2 sinθcos(90−θ)

= k2

అయన ‘ ’ k విలరవ కనరగొనరమర

5) θ ఒక అలర్పకోణమర మరియర = sin θ cos θ అయన

3 tan2θ+2 sin2θ−1 విలరవ కనరగొనరమర.

6) sin2 250+sin2650+√3( tan 50 . tan 150. tan 300 . tan 750 . tan 850) విలరవ


. IV తిత్రాకోణమితి సరవ్వ సమీకరణాలకర సయబయధియచిన సమసద్యాలర.

( 2 4 )or marks

1) sin 710 .cos190−tan 330 .cot 570 విలరవనర కనరగొనరమర.

2) sin2 A+cos2 A=1 అనిచసూపమర.

3) sin2 230(1+cot2230) విలరవ కనరగొనరమర.

4) √3 tanθ=6 అయన Sec2θ విలరవ కనరగొనరమర.

5) Cos θ నర మిగలన అనిన్ని తిత్రాకోణమితి నిషర్పతరత్తీ లలో వావ్రా యరమర.

6) (Secθ−tanθ)2=1−sinθ1+sinθ


7) tan2θ+cot2θ+2=Cosec 2θ . Sec2θ అనిచసూపమర.

8) = x a sin , = θ y b tanθ అయన a2

x2 −b2

y2 =1 అనిచసూపమర.


9) ( - ) ( - ) = Sinθ cosecθ cosθ secθ 1tanθ+cotθ


10) ∟ , A ∟ , B ∟ C లర ∆ ABC యొకక్క కోణలర అయన ,

cosec2(B+C

2)−tan2

(A2

)=1 అనిచసూపమర.

11) - = tanθ cotθ 2sin2θ−1sinθ .cosθ


12) cosθ1−tanθ

+ sin2θsinθ−cosθ

= + Sinθ cosθ అనిచసూపమర.

13) cot2 A−cot2 B=sin2B−sin2 A

sin2 A .sin2 Bఅనిచసూపమర.


అధద్యాయమర - 12 ( తిత్రాకోణమితి అనరవరకనలర)


దకృషట్టిరేఖ: ‘ ‘ O అనే బతందరవు నరతండ ' ’ P వదద ఉనన్ని వసరత్తీ వునర పరిశీలకరడర

చసూసినపడర, OP రేఖనర దకృషట్టిరేఖ అయటారర.

ఊరరర్ఢ్వకోణమర: పరిశలసరస్త నన్న వసరస్త వు కయట కయటే ఎకరస్కూవ ఎతరస్త లో

ఉనన్నపుప్పడర దకృషట్టిరేఖకర క్షితిజ సమాయతర రేఖకర మధద్యా గల కోణానిన్న

ఊరరర్ఢ్వకోణమర అయటారర.

నిమన్నకోణమర: పరిశలసరస్త నన్న వసరస్త వు కయట కయటే తకరస్కూవ ఎతరస్త లో

ఉనన్నపుప్పడర దకృషట్టిరేఖకర క్షితిజ సమాయతర రేఖకర మధద్యా గల కోణానిన్న

నిమన్నకోణమర అయటారర.


ఊరద్ధర్ధ్వకోణమర నిమన్నికోణమర


1) విదద్యారరర్థు లయదరిచే ఎతరస్త లర - దరూరాలకర సయబయధియచిన సమసద్యాలకర పటమరలర గీయడయ సాధనచేయయచాల. ( 2 మారరస్కూలర)

1) ఒక వద్యాకక " ” ∝ ఊరద్ధర్ధ్వకోణమరత ' ' h మీ. ఎతరత్తీ గల ఒక సల్ టవర పైభాగమరనర చసూచనర. ఈ సతందరార్భునిక తగన పటమర గీయరమర.

2) ఒక భవనతం మొదట అతంతసరత్తీ నరతండ ఒక బాలరడర భసూమిపై గల ఒక పవుద్వానర ' ' β నిమన్నికోణమరత చసూసరత్తీ నన్నిడర. మొదట అతంతసరత్తీ అడరగర భాగమరనకర, భసూమిపై గల పవుద్వాకర మధద్యాగల దసూరమర ' ' x మీ. ఈ సతందరార్భునిక తగన పటమర గీయరమర.

2) ఎతరలర - దరూరాలకర సయబయధియచిన సమసద్యాల సాధన

( 2 లేక 4 మారరస్కూలర)

1) ఒక గాలపటమర భసూమిక 12 మీ. ఎతరత్తీ లో ఎగరరరచరనన్నిది. గాలపటమరనర

కటట్టిబదిన దరమర భసూమిపై ఒక బతందరవు వదద 300 ఊరద్ధర్ధ్వకోణమరనర

చేయరనటరల్లా గా కటట్టివేయబడనది. దరమర యొకక్క పడవు కనరగొనరమర.

2) 20 మీ. పడవు గల ఒక నిచచన నిటారరగా ఉనన్ని గోడ పైకొనకర తకరనటరల్లా గా

ఏటవాలరగా నిలబెటట్టిబడనది. నిచచన నేలత 600 ఊరద్ధర్ధ్వకోణమర

చేయరచరనన్నిటల్లాయత, గోడ ఎతరత్తీ నర కనరగొనరమర.


3) ఒక టవర కర ఇరరవైపన ఉనన్ని ఇదదరర వద్యాకరక లర, ఆ టవర పైభాగమరనర 300 ,

450 ఊరద్ధర్ధ్వకోణమరలత చసూచనరర. ఇదదరర వద్యాకరక ల మధద్యాదసూరమర 100

మీ. అయన ఆ టవర ఎతరత్తీ నర కనరగొనరమర.

4)

పప్రకక్క పటమరలో ఇచచన కొలతలనర

ఉపయోగతంచ తిత్రాభరజమర యొకక్క

వైశాలద్యామర కనరగొనరమర.

5) ABCD దీరర్ఘచతరరసస్రమర లో , = 20 , = 60AB cm ∟BAC 0 అయన

AD పడవు కనరగొనరమర.

6) ∆ ABC లో , = 45∟B 0 = 45∟c 0, = 5 AB సతం.మీ. మిగలన రతండర

భరజాల పడవులర కనరగొనరమర

7) ఒక ఎతెత్తైన చటరట్టి గాలక విరిగ దని అడరగరభాగతం నరతండ 10 మీ. దసూరతంలో

నేలనర 600 కోణతంత తకతంది. విరగక మరతందర చటరట్టి ఎతరత్తీ కనరగొనరమర.


అధద్యాయమర - 13 ( సయభావద్యాత)


1) “ ” E అనరనద ఒక ఘటన అయతే దని సయభావద్యాత

( ) = P E అనకల పరర వసనమల ససఖరమతతస పరర వసనమల ససఖర

ఎలల్లాపర్పడసూ 0 ≤ ( ) P E 1 ≤ అవుతరయద.

2) సమసతంభవ ఘటనలర: ఒక యాధకృచచక పప్రయోగతంలో పప్రతి

పరద్యావసానమరనకర సమాన సతంభావద్యాత ఉనన్నిచో వాటని సమసతంభవ ఘటనలర


3) అధిక సతంభవ ఘటన: ఒక యాధకృచచక పప్రయోగతంలో ఏదైన

పరద్యావసానమరనకర అధిక సతంభావద్యాత ఉనన్నిచో వాటని అధికసతంభవ ఘటన


4) అలర్పసతంభవ ఘటన: ఒక యాధకృచచక పప్రయోగతంలో ఏదైన పరద్యావసానమరనకర

తకరక్కవ సతంభావద్యాత ఉనన్నిచో వాటని అలర్పసతంభవ ఘటన అతంటారర.

5) ఖచచత ఘటన: ఒక యాధకృచచక పప్రయోగతంలో ఏదైన ఒక పరద్యావసానమర

యొకక్క సతంభావద్యాత '1' అయత దనిని ఖచచతఘటన అతంటారర.


6) అసాధద్యా ఘటన: ఒక యాధకృచచక పప్రయోగతంలో ఏదైన ఒక పరద్యావసానమర

యొకక్క సతంభావద్యాత '0' అయత దనిని అసాధద్యాఘటన అతంటారర.

7) పూరక ఘటన: E అనరనది ఒక ఘటన అయత " E కానిది" అనరనది

దనియొకక్క పూరక ఘటన అవుతరతంది.

P(E) = 1 – ( ) P E లేద ( )+P E P(E) = 1

8) ఒక నణెమరనర ఎగరరవేసినపర్పడర ఏరర్పడర పరద్యావసానమరలర= 2 ( , )H T

9) రతండర నణెమరలనర ఎగరరవేసినపర్పడర ఏరర్పడర పరద్యావసానమరలర= 4

( , , , )HH HT TH TT

10) మసూడర నణెమరలనర ఎగరరవేసినపర్పడర ఏరర్పడర పరద్యావసానమరలర = 8

, , , ,HHH HHT HTH HTT

, , ,THH THT TTH TTT

11) ఒక పాచకనర విసిరినపర్పడర ఏరర్పడర పరద్యావసానమరలర 1,2,3,4,5,6 = 6

12) రతండర పాచకలనర విసిరినపర్పడర ఏరర్పడర పరద్యావసానమరలర = 36

(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)

(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)


పప్రశన్నిలర:-

1) పూరక ఘటనలనర రతండర ఉదహరణలర ఇవద్వాతండ.

2) ఒక పాచకనర దొరిల్లాతంచనపర్పడర ఒక మరఖతంపైన 7 ఉతండరటకర సతంభావద్యాత

ఎతంత?

3) ఒక పాచకనర దొరిల్లాతంచనపర్పడర ఒక మరఖతంపైన 6 లేద అతంతకనన్ని

తకరక్కవ సతంఖద్యా ఉతండరటకర సతంభావద్యాత ఎతంత?

4) ఒక పాచకనర దొరిల్లాతంచనపర్పడర ఒక మరఖతంపైన పప్రధనసతంఖద్యా ఉతండరటకర

సతంభావద్యాత ఎతంత? మరఖతంపైన పప్రధన సతంఖద్యా కాకపవడానిక

సతంభావద్యాత ఎతంత?

5) రతండర పాచకలనర ఒకేసారి దొరిల్లాతంచనపర్పడర

➔ వాట మరఖాలపైన గల సతంఖద్యాల లబదతం 12 కావడానిక సతంభావద్యాత

ఎతంత?

➔వాట మరఖతంపైన గల సతంఖద్యాల మొతత్తీతం 8 కావడానిక సతంభావద్యాత ఎతంత?

➔వాట మరఖతంపైన గల సతంఖద్యాల మొతత్తీతం 10 కనన్ని తకరక్కవ కావడానిక


➔ వాట మరఖతంపైన గల సతంఖద్యాల మొతత్తీతం 12 కనన్ని ఎకరక్కవ కావడానిక


➔ వాట మరఖతంపైన గల సతంఖద్యాల లబదతం 4 యొకక్క గరణిజతం కావడానిక



➔ వాట మరఖతంపైన గల సతంఖద్యాల మొతత్తీతం పప్రధనసతంఖద్యా కావడానిక


6) రతండర నణెమరలనర ఒకేసారి ఎగరరవేసినపర్పడర ఈ కక్రతంది ఘటనల

సతంభావద్యాత కనరగొనతండ.

➢ కనీసతం ఒక బొమమ్మ పడరట

➢ కనీసతం ఒక బొరరసర పడరట

➢ ఒకేఒక బొమమ్మ పడరట

➢ రతండర బొమమ్మలర పడరట

7) మసూడర నణెమరలనర ఒకేసారి ఎగరరవేసినపర్పడర ఈ కక్రతంది ఘటనల

సతంభావద్యాత కనరగొనతండ.

➢ కనీసతం రతండర బొమమ్మలర పడరట

➢ బొమమ్మ మాతత్రామే పడరట

➢ బొరరసర మాతత్రామే పడరట

8) బాగరగా కలపబడన పేకమరకక్కల కటట్టి నరతండ ఒక పేకమరకక్కనర

యాధకృచచకతంగా తసినపర్పడర

➢ అది 2 యొకక్క గరణిజమరనర ససూచతంచర సతంఖద్యా కావడానిక


➢ అది డైమతండ్ రతంగరలో గల బొమమ్మనర ససూచతంచడానిక



➢ అది జాక ని ససూచతంచడానిక సతంభావద్యాత ఎతంత?

9) రతండతంకెల సతంఖద్యా నరతండ ఒక సతంఖద్యానర ఎనరన్నికొనన్నిపర్పడర అది 12 యొకక్క

గరణిజమర కావడానిక సతంభావద్యాత ఎతంత?

10) ఒక సతంచీలో నలరప రతంగర, తెలరప రతంగర, పసరప రతంగర బతంతరలర

మొతత్తీతం 54 కలవు. అతందరలో నలరప రతంగర బతంతరలర 18,

మరియర తెలరప, పసరప రతంగర బతంతరలర సమాన సతంఖద్యాలో ఉనన్నియ.

యాధకృచచకతంగా ఒక బతంతిని తసేత్తీ అది

➢ నలరప రతంగర బతంతి కావడానిక సతంభావద్యాత ఎతంత?

➢ తెలరప లేద పసరప రతంగర బతంతి కావడానిక సతంభావద్యాత ఎతంత?

11) ఒక పటట్టిలో 1 నరతండ 100 వరకర సతంఖద్యాలర వావ్రా యబడ ఉనన్ని కారరర్డి లర

కలవు. వాట నరతండ యాధకృచచకతంగా ఒక కారరర్డి నర తసేత్తీ అది

➔ 9 చే భాగతంచబడే సతంఖద్యా కావడానిక సతంభావద్యాత ఎతంత?

➔ పప్రధన సతంఖద్యా కావడానిక సతంభావద్యాత ఎతంత?

➔ పప్రధన సతంఖద్యా కాకపవవడానిక సతంభావద్యాత ఎతంత?

➔ రతండతంకెల సతంఖద్యా కావడనిక సతంభావద్యాత ఎతంత?

➔ 7 యొకక్క గరణిజమర కావడానిక సతంభావద్యాత ఎతంత?

12) ఒక ఘటన యొకక్క సతంభావద్యాత 53

కాగలద? కారణలర తెలపతండ.

13) ( ) = 0.47 P E అయన (P E ) విలరవ ఎతంత?

14) ఒక ఘటన ' ' E యొకక్క సతంభావద్యాత ( ) P E అయన 0 ≤ ( ) P E ≤1

అవుతరతంది. ఎతందరకర? కారణలర వావ్రా యతండ.


15) పప్రకక్కనరనన్ని పటతంలో ' ' O కేతందదతంగా రతండర వకృతత్తీ లర

కలవు. చనన్ని వకృతత్తీ వాద్యాసారర్థుమర 7 సతం.మీ, పదద వకృతత్తీ

వాద్యాసారర్థుమర 10.5 సతం.మీ. ఈ వకృతత్తీ లపైక ఒక

బాణమర విసిరిత అది వకృతత్తీ ల మధద్యా షేడ్ చేయబడని పాప్ర తంతతంలో

తకడానిక సతంభావద్యాత కనరగొనతండ.

16) పప్రకక్కనరనన్ని పటతంలో దీరర్ఘచతరరసాస్ర కార

తట కలదర. దీని పడవు 15 మీ. , వెడలరర్ప

12 మీ. తట నలరగర మసూలలోల్లా 2 మీ.

భరజతంగల చతరరసాస్ర కారప నీట తొటరల్లా

కటట్టిబడెనర. తటలోక ఒక రాయని విసరగా అది నీటతొటట్టిలో పడకరతండా

ఉతండరటకర సతంభావద్యాత కనరగొనరమర.

17) ఒక సతంచీలో ఉనన్ని 40 బతంతరలలో కొనిన్ని ఎరరప రతంగర, కొనిన్ని నీలమర రతంగర

మిగలనవి నలరప రతంగరలో కలవు. యాధకృచచకతంగా ఒక బతంతిని

తసినపడర అది ఎరరప రతంగరది కావడానిక సతంభావద్యాత 1120

మరియర


నీలమర రతంగర బతంతి సతంభావద్యాత 15

అయన నలరప రతంగర బతంతి

రావడానిక సతంభావద్యాత కనరగొనరమర.

18) 2 నరతండ 101 వరకర సతంఖద్యాలర వావ్రా యబడన కారరర్డి లర కలవు. వీటని బాగరగా

కలపి ఒక డబాబ్బాలో ఉతంచనరర. యాధకృచచకతంగా ఒక కారరర్డి నర డబాబ్బా

నరతండ తసినపడర ఆ కారరర్డి పై గల సతంఖద్యా

➢ సరిసతంఖద్యా కావడానిక

➢ పరిపూరర్ణు వరర్గసతంఖద్యా కావడానిక

➢ 3 మరియర 5 లత భాగతంచబడే సతంఖద్యా కావడానిక సతంభావద్యాత


19) 10 కారరర్డి లపై 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4 సతంఖద్యాలర వావ్రా సి, వాటని ఒక

డబాబ్బాలో ఉతంచనరర. యాధకృచచకతంగా ఒక కారరర్డి నర తసినపడర దనిపై గల

సతంఖద్యా ఆ కారరర్డి లనిన్నితంటపై గల సతంఖద్యాల సరాసరి కావడానిక సతంభావద్యాత



అధద్యాయమర - 14 ( సాయఖద్యాక శాసస్త్రమర)


. I వరీర్గకకృత దతాస్త యశమర యొకస్కూ అయకగణిత సగటర

( ) I పప్రతద్యాక్ష పదద్దేతి :

సగటర ( x̄ ) = ∑ f i xi

∑ f i

( ) ii విచలన పదద్దేతి :

సగటర ( x̄ ) = + a ∑ f id i

∑ f i

ఇకస్కూడ , = a ఊహితంచన సగటర

f i = పౌన:పనద్యామరలర

d i = x i - = a విచలనలర

x i = తరగతి మధద్యావిలరవలర

( ) iii సోపాన విచలన పదద్దేతి :

సగటర x̄ = + a ∑ f iui

∑ f i

x h

ఇకస్కూడ , = a ఊహితంచన సగటర


ui = x i−a

h

x i = తరగతి మధద్యావిలరవలర

f i = పౌన:పనద్యామరలర

= h తరగతి పడవు

. II వరీర్గకకృత దతాస్త యశమర యొకస్కూ బాహహుళకమర :

బాహహుళకమర = + l( f 1−f 0)

(2 f 1−f 0−f 2) x h

ఇకస్కూడ , = l బాహహుళకప తరగతి యొకక్క దిగరవహదరద

f i = బాహహుళకప తరగతి యొకక్క పౌన:పనద్యామర

f 0 = బాహహుళకప తరగతికర వెతంటనే మరతందరనన్ని తరగతి

సతంచత పౌన:పనద్యామర

f 2 = బాహహుళకప తరగతికర వెతంటనే తరరవాత ఉనన్ని తరగతి

సతంచత పౌన:పనద్యామర

= h తరగతి పడవు

. III వరీర్గకకృత దతాస్త యశమర యొకస్కూ మధద్యాగతమర:

మధద్యాగతమర = + l(n2−cf )

f x h

= l మధద్యాగత తరగతి యొకక్క దిగరవహదరద

= n పౌన:పనద్యాల మొతత్తీమర


= cf మధద్యాగత తరగతిక వెతంటనే మరతందరనన్ని తరగతి యొకక్క సతంచత

పౌన:పనద్యామర యొకక్క దిగరవహదరద

= f మధద్యాగత తరగతి యొకక్క పౌన;పనద్యామర

= h తరగతి పడవు.

వరీర్గకకృత దతాస్త యశమరనకర సయబయధియచిన సమసద్యాలర

. I అయకగణిత సగటర కనరగొనరట( పప్రతద్యాక్ష పదద్దేతి,విచలన పదద్దేతి,

సోపాన విచలన పదద్దేతి) , మధద్యాగతమర, బాహహుళకమర లనర కనరగొనరట.

. II ఆరోహణ, అవరోహణ సయచిత పౌన:పునద్యా వకక్రమరలనర గీయరట,

మరియర వాట దవ్వరా మధద్యాగతమరనర కనరగొనరట.

. III ఒజీవ్ వకక్రమర నరయడి మధద్యాగతమరనర కనరగొనరపదద్దేతిని

వివరియచరట

*1) సోపాన విచలన పదద్దేతి దవ్వరా కక్రయద దతాస్త యశమరనకర సగటర


Classinterval

0 – 20 20 – 40 40 – 60 60 – 80 80 –100

100 –120

Frequency

7 8 12 10 8 5

*2) కక్రయద దతాస్త యశమరనకర మధద్యాగతమర కనరగొనరమర.

Classinterva

10 –20

20 – 30 30 – 40 40 – 50 50 – 60 60 – 70 70 – 80


l

Frequency

12 30 34 65 46 25 18

*3)కక్రయద దతాస్త యశమరనకర బాహహుళకమర కనరగొనరమర.

Classinterva

l

5 – 15 15 – 25 25 – 35 35 – 45 45 – 55 55 – 65 65 – 75

Frequency

6 11 21 13 14 5 10

4) కక్రతంది దతత్తీ తంశమర యొకక్క సగటర 32.5 అయన , x y విలరవలనర కనరగొనరమర

Classinterva

l

0 –10

10 –20

20 –30

30 –40

40 –50

50 –60

60 –70

Total

Frequency

x 5 9 12 y 3 2 40

*5) ఆరోహణ, అవరోహణ సయచిత పౌన:పునద్యా వకక్రమరలనర గీయరమర .

Classinterval

0 –10

10 – 20 20 – 30 30 – 40 40 – 50 50 – 60 60 – 70

Frequency

4 12 9 15 5 3 2


అవరీర్గకకృత దతాస్త యశమర నకర సయబయధియచిన సమసద్యాలర

1) మొదట 5 సతంయరకకసతంఖద్యాల యొకక్క సగటర కనరగొనరమర.

2) , , , a b c d ల సగటర 10 అయన 2 -1,2 -1,2 -1,2 -1 a b c d ల సగటర


3) 5, 8 , 3 +4, 5 -9, 6, 10 x x ల సగటర 8 అయన x విలరవనర


4) అవరీర్గకకృత దతత్తీ తంశతంలో n రాశరలర ఇవద్వాబడనపర్పడర మదద్యాగతమరనర

ఏవిధతంగా కనరగొతంటారో వివరితంపమర.

5) 20 మతంది విదద్యారరర్థు ల సగటర వయసరత్సా 14 సతం॥లర.

➢ తరగతిలోక ఒక విదద్యారిర్థు నసూతనతంగా చేరగా సగటర 1 సతం॥

పరిగనది. కొక్ర తత్తీగా చేరిన విదద్యారిర్థు వయసరత్సా కనరగొనతండ.

➢ తరగతి నరతండ ఒక విదద్యారిర్థు వెళిళ్ళూపగా సగటర మారలేదర.

వెళిళ్ళూపయన విదద్యారిర్థు వయసరత్సా కనరగొనతండ.

➢ ఒక విదద్యారిర్థు వయసరత్సా పరపాటరగా 12 సతం॥ బదరలరగా 21 సతం॥

అని నమోదర చేయబడెనర. సరియైన సగటర కనరగొనతండ.

6) 5x

, 1x

, 4x

, 3x

, 2x

, 6x

ల మదద్యాగతమర 17

అయన x

విలరవనర కనరగొనరమర.

వరీకకకృత దతాస్త యశమర యొకస్కూ అయకగణిత సగటర ( పప్రతద్యాక్ష పదద్దేతి, విచలన

పదద్దేతి, సోపాన విచలన పదద్దేతి), మదద్యాగతమర, బాహహుళకమర లనర

కనరగొనరటకర గల సరూతత్రామరలనర వావ్రా స అయదరలోని పదలనర వివరియచరట.


అనరబయధయ - DEO Nizamabadమరయదర మాట గణితతం అతంటే...

Documents

Transcript of అనరబయధయ - DEO Nizamabadమరయదర మాట గణితతం అతంటే...