บทที่ 5 โปรแกรมเชิงเส นตรงบทที่ 5...

บทท 5

โปรแกรมเชงเสนตรง

วตถประสงค

1) สามารถอธบายลกษณะปญหาของโปรแกรมเชงเสนตรง

2) สามารถอธบายและหาคาตอบปญหาโปรแกรมเชงเสนตรงดวยวธกราฟ

3) สามารถอธบายและหาคาตอบปญหาโปรแกรมเชงเสนตรงดวยวธซมเพลกซ

โปรแกรมเชงเสนตรง (Linear Programming; LP) เปนเครองมอทนยมใชกนมาก

สาหรบการแกปญหา โดยเฉพาะอยางยงในทางเศรษฐศาสตรทพยายามจะจดสรรทรพยากรให

เกดประสทธภาพมากทสด ภายใตทรพยากรทมอยอยางจากด โปรแกรมเชงเสนตรงจงสามารถ

นามาแกปญหาดงกลาวได

5.1 ลกษณะของปญหาโปรแกรมเชงเสนตรง ปญหาโปรแกรมเชงเสนตรงทไดกลาวขางตนกคอ ปญหาเกยวกบการจดสรรทรพยากร

ทมอยอยางจากด เพอใหบรรลเปาหมายอยางมประสทธภาพ เปาหมายจะเปนฟงกชนเชงเสน

ของตวแปร เรยกวา “ฟงกชนเปาหมาย” (Objective function) ซงจะอยในรปการหาคาสงสด

หรอตาสดของฟงกชน โดยมขอจากด (Constraint) เกยวกบการใชทรพยากร ประกอบดวย

แรงงาน เงนทน เครองจกร วสด อปกรณ วตถดบ ตลอดจนทรพยสนตางๆ สามารถเขยนเปน

สมการหรออสมการเชงเสนไดดงน

คาสงสด (หรอคาตาสด) 1 1 2 2 3 3...M c x c x c x� � � �

โดยมขอจากด 11 1 12 2 13 3 1 1... , ,n na x a x a x a x b� � � � � � �

21 1 22 2 23 3 2 2... , ,n na x a x a x a x b� � � � � � �

1 1 2 2 3 3 ... , ,m m m mn n ma x a x a x a x b� � � � � � �

และ ( 1,2,3,..., ) 0jx j n� �

หรอเขยนแบบยอไดดงน

(Linnear Prograammming; LP) เ

พพพาะออยางยงในทางงเเศศรษฐศาาสตรทพพย

ายใใตทรพยากรททมมอยอยางงจากด โโปปร

[80] ดร. นตพงษ สงศรโรจน บทท 5 โปรแกรมเชงเสนตรง

คาสงสด 1

n

j jj

M c x�

��

โดยมขอจากด 1

{ , , } , 1,2,3,...,n

ij j ija x b i m

�

� � � ��

และ 0, 1,2,3,...,jx j n� �

โดยท m คอ จานวนทรพยากรทนามาใช

ija คอ จานวนหนวยทรพยากร i ทใชในกจกรรม j หนงหนวย

ib คอ จานวนหนวยของทรพยากร i ทมหรอตองการใหม

jc คอ ผลตอบแทนหรอคาใชจายจากกจกรรม j หนงหนวย

jx คอ จานวนหนวยของกจกรรม j

ปญหาการกาหนดการเชงเสนหรอโปรแกรมเชงเสนตรงมดงตวอยางตอไปน

ตวอยาง 5.1 หนวยงานวางแผนโฆษณาสนคาใหม โดยใชสอการโฆษณาทางโทรทศน วทย

และหนงสอพมพ และจะทาการโฆษณาทางโทรทศน 2 ชด บรษทมงบประมาณในการโฆษณา

ครงน C บาท และวางแผนเพอเจาะตลาดกลมคนทางาน คาดวาจะดงดดลกคาไดอยางนอย P

คน การทาการโฆษณาทางโทรทศนใชงบประมาณไมเกน A บาท และการโฆษณาชดแรกอยาง

นอยทสด 1t ครง ชดท 2 ทาการโฆษณาอยางนอยทสด 2t ครง สาหรบการโฆษณาทางวทย

และหนงสอพมพไมจากดจานวนครง จากการวจยตลาดหนวยงานทราบผลเฉลยทจะไดแตละ

ครงดงน

แผนการโฆษณาควรจะเปนอยางไร จงจะดงลกคาทกาลงซอสงไดมากทสด

วธทา กาหนดวา บรษททาแผนโฆษณาดงน

โฆษณาทางโทรทศน ชดแรก 1x ครง

ชดสอง 2x ครง

โฆษณาทางวทย 3x ครง

โฆษณาทางหนงสอพมพ 4x ครง

โทรทศน วทย หนงสอพมพ

ชดท 1 ชดท 2

คาใชจาย(บาท) 1C 2C 3C 4C

จานวนลกคาทมกาลงซอสง(คน) 1P 2P 3P 4P

ลกคาวยทางาน(คน) 1A 2A 3A 4A

งเเเสสนหหรอโปรแกรมมเชชงเสนตรรงงมดงตวว

ผนโโฆษณาสนคาาใใหหม โดยใใชสอการรโฆ

ฆษษณาทางโทรททศศน 2 ชดด บรษททมงบ


เขยนรปแบบของปญหาไดดงน

คาสงสด 1 1 2 2 3 3 4 4z p x p x p x p x� � � �

โดยมขอจากด 1 1 2 2 3 3 4 4c x c x c x c x M� � � �

1 1 2 2 3 3 4 4

1 1 2 2

1 1

2 2

3

4

00

a x a x a x a x Pc x c x Ax tx txx

� � � ��

��

ตวอยาง 5.2 บรษทแหงหนงผลตสนคา 2 ชนด สนคาทสองใชสวนผสมสองอยางคอ A และ

B ซงมอย 5,000 กโลกรม และ 4,000 กโลกรมตามลาดบ ในการผลตสนคาชนดท 1 หนงหนวย

ตองใชสวนผสม A เปนจานวน 18

กโลกรม และสวนผสม B เปนจานวน 14

กโลกรม ในการ

ผลตสนคาชนดท 2 ตองใชสวนผสม A เปนจานวน 14

กโลกรม และสวนผสม B เปนจานวน 18

กโลกรม และทราบวาสนคาชนดท 2 เปนทนยมของผบรโภคมาก ในขณะสนคาท 1 จะขายได

ยากมากเพยง 10,000 หนวยเทานน และบรษทจะไดกาไรจากสนคาชนดท 1 หนวยละ 40

บาท และกาไรจากสนคาชนดท 2 หนวยละ 15 บาท

สามารถเขยนรปแบบของปญหาการกาหนดเชงเสนไดดงน

คาสงสด 1 240 15x x� � �

ขอจากด 1 21 1 5,0008 4x x� �

1 2

1

2

1 1 4,0004 8

10,0000

x x

xx

� �

��

5.2 เทคนคการหาคาตอบของปญหาการกาหนดเชงเสน ไดดงน 5.2.1 วธกราฟ วธนเหมาะกบปญหาทมตวแปรตดสนใจไมเกน 2 ตวแปร การเขยนกราฟ

ขอจากดของทรพยากร เชน 1 22 5 100x x� � วธการเขยนกราฟใหเขยนกรณสมการ

ผลลลตสนนคา 2 ชนด สสนนคาทสอองใชสวนน

4,,00000 กโลกรมตามมลลาาดบ ในนกการผลตตส18

กโลกรม แลละสสวนผสมม B เปนนจาน

1

00

หาาการกาหนดดเชชงเสน ไไดดงน

1 22 10021 225 2 วธกการเขยนนกราฟใ


1 22 5 100x x� � กอน 1 2, 0x x � และทกจดบนเสนระนาบ 1 22 5 100x x� � จะเปนคาตอบ

ของปญหา โดยให 1x เปนจดแกนตง 2x เปนแกนนอน แสดงดงภาพ 5.1

ภาพ 5.1

เสน AB แสดงสมการ 1 22 5 100x x� � สวนพนทภายในสามเหลยม AOB จะหมายถง

สมการ 1 22 5 100x x� � จะเหนวาทจด C นน 2(10) 5(10) 70� � ซงใชทรพยากรเหลอ จด D

กเชนเดยวกน สวนทจด E นน 2(15) 5(25) 155� � ทรพยากรทมอยไมเพยงพอ การเขยน

ขอจากดกรณอนๆ เชน 1 23 30x x� � ดงภาพ 5.2

ภาพ 5.2

50

40

30

20

10

10 20 30 40 50

C (10, 10) D (25, 5)

C (15, 25)

W

30

20

10

10 20 30

U (5, 15)

T (25, 10)

CCCC (100, 110)(100 110)D (25,, 55))

( )


หากเลอกคาตอบทจด U จะไดคาเทากบ 30 ถาคาตอบอยทจด T จะไดคามากกวา 30

ซงเกนคามาตรฐานขนตา สวนจด W ไมใชคาตอบ เพราะตากวามาตรฐานทกาหนด

กรณมขอจากดมากกวา 1 กใชวธเดยวกน โดยลากเสนสมการขอจากดทกๆสมการ

บรเวณรวมกนของทกขอจากดจะเปนบรเวณคาตอบทเปนไปได ซงเปนคาตอบของทกขอจากด

เชน ภาพ 5.3 คอพนท ABCD

1

1 2

1

2

1 2

2 5 1003 30

255

, 0

x xx xxxx x

� ��

ภาพ 5.3

สมมตวามฟงกชนเปาหมาย 1 220 10Z x x� � เสนตรง Z มความชน 10 1

20 2

� เมอ

คาของ Z เพมขนเสนนจะเลอนออกไปทางขวาทขนานกบเสนเดม เมอคา Z ลดลงเสนตรง Z จะ

เลอนลงไปทางซายทขนานกบเสนเดม การเลอนของเสน Z ถากรณเปาหมายฟงกชนคอ

คาสงสด เสน Z ทเลอนไปทางขวาและสมผสพนทขอจากดตรงจดมมจะเปนคาตอบทดทสด

1100030


สวนกรณฟงกชนเปาหมาย คอ คาตาสด เสน Z ทเลอนไปทางซายและสมผสจดมมทตาสดจะ

เปนคาตอบทดทสด

ตวอยาง 5.3

รานผลตเฟอรนเจอรแหงหนง มไมทจะใชทาโตะและเกาอ 2 ประเภท ไมประเภทท 1 ม

อย 300 แผน-ฟต ไมประเภทท 2 มอย 600 แผน-ฟต และมแรงงานทงหมด 800 คน-ชวโมง

รายละเอยดในการผลตมดงน

การจาหนายโตะไดกาไรตวละ 400 บาท ขายเกาอไดกาไรตวละ 300 บาท เจาของรานวาง

แผนการผลต เพอใหไดกาไรมากทสดสามารถกาหนดปญหาไดดงน

วธทา คาสงสด 1 2400 200P x x� �

โดยมขอจากด

1 1

1 2

1 3

1 1

30 5 30030 10 60020 20 800

, 0

x xx xx x

x x

� ��

สมการวาดขอบเขตของคาตอบได โดยวธกราฟดงน

โตะ1 ตว เกาอ1 ตว

ไมประเภทท 1 (แผน-ฟต) 30 5


แรงงาน (คน-ชวโมง) 20 20

นน--ฟตต และมแรงงานนททงหมด 8800 คน--ช


ดงนน คาตอบทเหมาะสม (Optimal solutions) คอ ผลตโตะจานวน 4 ตว เกาอ 36 ตว

ตวอยาง 5.4 มารดาตองการเลอกอาหารใหกบบตร ระหวางอาหาร 2 ชนด วาควรเลอกชนด

ใดหรอจะตองใชทง 2 ชนดรวมกน ในอาหารแตละชนดมคณคาของอาหาร (สวนประกอบ) ดงน

ในอาหารแตละมอ มารดาตองการใหบตรไดรบโปรตนอยางนอยทสด 1 มลลกรม ไดรบ

ไขมนอยางนอย 5 มลลกรมและพลงงานอยางนอยทสด 660 แคลอร ถาอาหารชนดท 1 ราคา

มลลกรมละ 7.50 บาท อาหารชนดท 2 ราคามลลกรมละ 8.50 บาท มารดาควรจะตดสนใจซอ

อาหารอยางไร

วธทา คาตาสด 1 27.50 8.50P x x� �

ขอจากด

1 2

1 2

1 2

0.10 0.25 10.25 5

100 120 660

x xx xx x

� ��

� �

และ 1 2, 0x x �

โปรตน (มลลกรม) แปง (มลลกรม) พลงงาน (แคลอร)

อาหารชนดท 1 0.10 1.00 100

อาหารชนดท 2 0.25 0.25 120

ลอกกอาหารใหกบบบบตตร ระหววางอาหาาร

น ใในอาหารแตลละชชนดมคณณคาของงอาห


ทราบวาจดหกมม คอ สมการ 1 20.25 5x x� � กบสมการ 1 20.1 0.25 1x x� � เมอแกสมการ

จะได 1 24.44, 2.22x x� � และเสยคาใชจายตาสด 7.50(4.44) 8.50(2.22)P � �

เทากบ 52.17 บาท

แบบฝกหด 5.1

1) บรษท ABC ตงเปาการผลตในสปดาหหนาไววา จะตองผลตใหไดผลตภณฑเกรด A อยาง

นอยทสด 10,000 ชน ผลตภณฑเกรด B อยางนอย 46,000 ชน และผลตภณฑเกรด C อยาง

นอย 40,000 ชน บรษทมเครองจกรทจะใชในการผลต 2 ประเภท ความสามารถในการผลตของ

เครองจกรแตละเครองในแตละประเภทมดงน

ผลตภณฑ(ชน/สปดาห)

เครองจกร

ก

เครองจกร

ข

ผลตภณฑเกรด A 100 150

ผลตภณฑเกรด B 350 250

ผลตภณฑเกรด C 350 450

ระะเเภททมดงน

(ชนน/สปดาห)

เครองจจกร

กก

เเคร


การผลตโดยใชเครองจกร ก ทากาไรใหโดยเฉลยเครองละ 180,000 บาท/เครอง และเครองจกร

ข ทากาไรเฉลย 200,000 บาท/เครอง บรษทจะวางแผนในการใชเครองจกรแตละชนดกเครอง

จงทาใหบรษทไดกาไรสงสด

2) โรงงานแหงหนงตองการควบคมการใหอาหารสตว โดยกาหนดวาอาหารสตวทกๆ 300

กโลกรม ตองมโปรตนอยางนอย 80 กโลกรม ไขมนอยางนอยทสด 11 กโลกรม มเสนใยอาหาร

ไมเกน 5 กโลกรม เกลอแรอยางนอยทสด 20 กโลกรม ความชนอยางมากทสด 20 กโลกรม

โรงงานนใชอาหาร 2 ชนดผสมกน ซงมสวนประกอบดงน

ราคาอาหาร A กโลกรมละ 8 บาท อาหาร B กโลกรมละ 9 บาทตามลาดบ โรงงานควรใช

สวนผสมอาหารแตละชนดอยางไรจงจะเกดผลดทสด

3) กาหนด คาตาสด 1 250 75Z x x� �

ขอจากด

1 2

1 2

1 2

1

2

1 2

3 4 2402 100

301010

, 0

x xx xx xxxx x

� ��

จงหาคาตอบ 1 2,x x

4) กาหนด คาสงสด 1 2300 200Z x x� �

ขอจากด

1 2

1 2

1 2

6 6 4203 6 3004 2 240

x xx xx x

� ��

จงหาคาตอบ 1 2, ,x x Z

อาหาร A อาหาร B

โปรตน 22% 37%

ไขมน 7% 3%

เสนใยอาหาร 1% 2%

เกลอแร 5% 7%

ความชน 7% 5%

อาหหาารร A ออา

2222%%

77%

222440


5) กาหนด คาตาสด 1 240,000 32,000W x x� �

ขอจากด

1 2

1 2

1 2

6 2 122 2 84 12 24

x xx xx x

� ��

จงหาคาตอบ 1 2, ,x x W

5.2.2 วธการซมเพลกซ

วธกราฟเปนวธเขาใจงายแตมขอจากด คอ ใชกบเพยง 2 ตวแปร แตในความ

เปนจรงอาจะมมากกวา 2 ตวแปรได วธทจะหาคาตอบของปญหาโปรแกรมเชงเสนตรงกรณ

มากกวา 2 ตวแปร จะเรยกวา “ซมเพลกซ” (Simplex method) โดยใชวธการคานวณแบบยอน

ซา 3 ขนตอนหลก คอ การตงผลลพธเบองตน การตรวจสอบผลลพธ และการพฒนาผลลพธใหม

ขนท 1 การตงผลลพธเบองตนใหอยในรปแบบมาตรฐาน นนคอ

ก) ฟงกชนเปาหมาย เปนการคาสงสด หรอตาสดอยางใดอยางหนง

ข) เงอนไขบงคบทกขอทมเครองหมายเทากบ

ค) คาทางขวามอของขอจากดทกขอไมเปนลบ

ง) ตวแปรตวมากกวา ศนย

การทาใหขอจากดมเครองหมายเทากบเทาใดโดยใชโปรแกรมเพม ดงน ตวแปรสวน

ขาด (Slack variable) ใชในกรณขอจากดเดมมเครองหมายนอยกวาหรอเทากบ ตวแปรสวนเกน

(Surplus variable) ใชในกรณทขอจากดมเครองหมายมากกวาหรอเทากบ ตวแปรสวนขาดหรอ

สวนเกน ตองมคามากกวาศนย

ตวอยาง 5.5 คาสงสด 1 2250 290P x x� �

ขอจากด

1 2

1 2

1 2

1 2

20 30 3,30010 6 1,0803 3 360

, 0

x xx xx xx x

� ��

เขยนในรปแบบมาตรฐานไดดงน

ลลกซซ

ใ ใชช

องงหหมาายเทากบเทาใใดดโโดยใชโปปรแกรมเ

ณณขขขอจจาากดเดมมเครรองงหมายนนอยกวาหหร

ขอจจาากดมเครองหหมมายมากกกวาหรอเเทา


คาสงสด 1 2 1 2 3250 290 (0) (0) (0)P x x s s s� � � � �

ขอจากด

1 2 1

1 2 2

1 2 3

1 2

1 2 3

20 30 3,30010 6 1,0803 3 360

, 0, , 0

x x sx x sx x sx xs s s

� � ��

การแกปญหาดวยวธซมเพลกซเพอหาผลเฉลยทเหมาะสมมกจะอยทจดยอดของบรเวณ

ผลลพธทเปนไปไดเชนเดยวกบกรณวธแบบกราฟ โดยจะเรมจากจดกาเนดกอน แลวจง

พจารณาจดยอดอนๆ

รปแบบมาตรฐานขางตนมตวแปร 5 ตว มขอจากด 3 ขอ จานวนตวแปร 5 ลบดวย

สมการขอจากด 3 เทากบ 2 จะเรยกวา มตวแปรอมลฐาน (nonbasic variable) อย 2 ตว

สวนตวแปรทเหลอจะมคาไมเทากบศนย ซงจะเรยกวา ตวแปรมลฐาน (basic variable) การตง

ผลลพธเบองตนจะเรมทจดกาเนด ดงนน 1 20, 0x x� � (เปนตวแปรอมลฐาน) เมอแทนคาจะ

ได 1 23,300, 1,080s s� � 3 360s � และ 0z �

ตงผลลพธเบองตน ดงตารางตอไปน

jC คอ สมประสทธของตวแปรในฟงกชนเปาหมาย

แถวตง Basis แสดงตวแปรมลฐาน ไดแก 1 2,s s และ 3s

แถวตง ผลลพธ คอ คาทางขวามอของสมการขอจากด

bC คอ สมประสทธของตวแปรมลฐานในฟงกชนเปาหมาย

แถวตง 1 2

1 2 3

,, ,x xs s s

��

คอ สมประสทธของ 1 2 1 2 3, , , ,x x s s s ในสมการขอจากด

jC 250 290 0 0 0

bC Basis 1x 2x 1s 2s 3s ผลลพธ

0 1s 20 30 1 0 0 3,300

0 2s 10 6 0 1 0 1,080

0 3s 3 3 0 0 1 360

jP 0 0 0 0 0 0

j jC P 250 290 0 0 0

1R

2R

3R

เเพพอหหาผลเฉลยทเหหมมาะสมมกกจะอยททจ

วธแแบบกราฟ โโดยจะเรมมจากจดกกา

6 0 1 0 1,0088

33 0 00 11 3360

0 0 0 0 0

ขอองงตววแปรมลฐานในนฟฟงกชนเปปาหมาย

��

�� คออ สมประสทธธขของ 1 2 1 222 1 22x xx s s s1 2 1 2222 1 222


j jC P คอ กาไรทไดรบจากการเพมคาตวแปร j ขน 1 หนวย เชน 1 250x �

หมายความวา ถาเพม 1x ขน 1 หนวย จะทาใหกาไรรวมเพมขน 250 บาท และถา 1x เพมขน

1 หนวย ทาให 1 2 3, ,s s s ลดลงเปนจานวน 20, 10 และ 3 ตามลาดบ

ขนท 2 การตรวจสอบผลลพธ โดยพจารณาจาก j jC P เทากบศนยหมดทกคา แสดงวา

ผลลพธนนเปนคาทเหมาะสมทสดแลว แต j jC P ของ 1x และ 2x นน มคามากกวา 0 แสดง

วา การผลต 1 2,x x เพม จะทาใหกาไรเพมขน

ขนท 3 การพฒนาผลลพธใหม ม 3 ขนตอน คอ

ก) การเลอกตวแปรเขา

ข) การเลอกตวแปรออก

ค) การเปลยนเบสส (Basis)

ก) การเลอกตวแปรเขา ใหเลอกตวแปรทมคา j jC P เปนบวกมากทสด กรณน คอ 2x

ข) การเลอกตวแปรออก พจารณาจากการหาคาสดสวนระหวางคา ib กบสมประสทธของ

ตวแปรเขา 2x จะพบวา 3300 11030

� เครอง 1080 180

6� เครอง

360 1203

�

เครอง ดวยขอจากดของทรพยากร การผลต 2x เพม ไดกาไรเพม กแคผลตไดมาก

ทสดเพยง 110 เครอง ดงนน จดหลก (pivot element) ในทนคอ จดตดระหวางแถวตง

ทเลอกใหเปนตวแปรเขา ( 2x ) กบแถวนอน ทเลอกใหเปนตวแปรออก ( 1s )

ค) การเปลยนเบสส คอ การพฒนาผลลพธใหม ดวยการทาตวเลขทจดหลกใหเทากบ 1

และทาตวเลขทเหลอในแถวตง 2x ใหเปนศนย เพอใหสมประสทธของตวแปรมลฐาน

เรยงประกอบกนเปนรปแบบเมตรกซเอกลกษณ มวธการดงน

1) ในทนจะคานวณแถวนอนท 1 กอน โดยนา 30 มาหารทงแถว เพอใหจดหลกเปน 1

ดงน


1 1 / 30R R� 290 2x 2/3 1 1/30 0 0 110

ไดดดรบจจากการเพมคคาตตวแปร jj ขน 1 หห

นนน 1 หหนวย จะทาใหหกกาไรรวมมเพมขน 25

ลงเปปนจานวน 200, 110 และ 3 ตามลาาดบ

จาาารรณาาจากการหาคคาสสดสวนรระะหวางคาา

าา 33300 11030

� เเคครรอง 108800 1800

66� เ

งทรพยากร การรผลลต 2x เเพพม ไดกกาไร


2) ทาใหสมประสทธ 2x ในแถว 2R เดม 6 ใหเปน 0 โดย 2 2 16R R R�

3) ทาใหสมประสทธ 2x ในแถว 3R เดม 3 ใหเปน 0 โดย 3 3 13( )R R R�

เมอถงขนนใหยอนกลบไป ขนในขอ ก) อกครง จะไดเลอกตวแปรเขา คอ 1x เลอกตว

แปรออกคอ 110 420 30165, 70, 302 / 3 6 1

� � � นนคอ 3 2 230, 110, 420s x s� � � เปนตวแปร

มลฐาน 1 10, 0x s� � เปนตวแปรอมลฐาน เอา 3s ออก เอา 1x เขามาแทนจะได

0j jC P � ของ 1 2 2, , 0x x s � และ 1 3,s s เปนลบหมด

สรปวา 1 230, 90x x� �

1 2 30, 240, 0s s s� � �

33,600P � (กาไรสงสด)


1R 290 2x 2/3 1 1/30 0 0 110

2 2 16R R R� 0 2s 6 0 -1/5 1 0 420


1R 290 2x 2/3 1 1/30 0 0 110

2R 0 2s 6 0 -1/5 1 0 420

3R 0 3s 1 0 -1/10 0 1 30

jP 580/3 290 29/3 0 0 31,900

j jC P 170/3 0 -29/3 0 0


1 1 323

R R R� 290 2x 0 1 1/10 0 -2/3 90

2 2 36R R R� 0 2s 0 0 2/5 1 -6 240

3 3R R� 250 1x 1 0 -1/10 0 1 30

jP 250 290 4 0 170/3 33,600

j jC P 0 0 -4 0 -170/3

0 3s 11 00 -1//

jPj 55880/3 2290 2299/

j jC Pj j 1170/3 0 --29

jPj 250 290 4

j jCCC Pj j 0 0 -4


ตวอยาง 5.6 คาสงสด 1 2400 200P x x� �

ขอจากด

1 2

1 2

1 2

1 2

30 5 30030 10 60020 20 800

, 0

x xx xx x

x x

� ��

ขนท 1 ตงผลลพธเบองตนในรปแบบมาตรฐาน

คาสงสด 1 2 1 2 3400 200 (0) (0) (0)P x x s s s� � � � �

ขอจากด

1 2 1

1 2 2

1 2 3

1 2

1 2 3

30 5 30030 10 60020 20 800

, 0, , 0

x x sx x sx x s

x xs s s

� � ��

ตงผลลพธเบองตน

ขนท 2 ตรวจสอบผลลพธ j jC P จะเหนวามคามากกวา 0 ถา 1 2,x x เพมขนจะทาใหไดกาไร

เพมขน

jC 400 200 0 0 0


0 1s 30 5 1 0 0 300

0 2s 30 10 0 1 0 600

0 3s 20 20 0 0 1 800

jP 0 0 0 0 0 0

j jC P 400 200 0 0 0

1 2 1

1 2 22

1 2 3

30 55 3001

30 100 60022

20 220 80003

1 22

1 22

1 2

55 155 22

1001 22101 22

2200 3200 22

4000 200 0 00


ขนท 3 การพฒนาผลลพธ ม 3 ขนตอน

ก) เลอกตวแปรเขา โดย j jC P เปนบวกมากทสด

ข) เลอกตวแปรออก สดสวน ib กบสมประสทธตวแปรทเขาทสดสวน

ตาทสด

ค) การเปลยน Basis ทาจดหลกเทากบ 1 และเลขแถวตงอนใหเปน

ศนย

ทาขนตอน ก) ถง ค) อกรอบ

jC 400 200 0 0 0


1R 0 1s 30 5 1 0 0 300*

2R 0 2s 30 10 0 1 0 600

3R 0 3s 20 20 0 0 1 800

jP 0 0 0 0 0 0

j jC P 400 200 0 0 0

jC 400 200 0 0 0

bC Basis 1x 2x 1s 2s 3s ผลลพธ 1

1 30RR �

400 1x 1 1/6 1/30 0 0 10

2 2 1R R R� 0 2s 0 5 -1 1 0 300

3 3 123

R R R� 0 3s 0 50/3 -2/3 0 1 600*

jP 400 400/6 0 0 0 4000

j jC P 0 400/3 0 0 0

ศศนนย

400 2200 0

00 5 -1 11

0 50/33 -2//33 0

400 4000/66 00 0


� คาตอบ คอ 1 24, 36x x� �

(หมายเหต: การเลอกแถวมาลบออกเพอใหเปนศนยนนจะเลอกแถวทปรบใหเปน 1 หรอแถวท

เปนจดหลก)

ตวอยาง 5.7 คาสงสด 1 2 33 3 2P x x x� � �

ขอจากด

1 2 3

1 2 3

1 2 3

4 2 2 63 2 4 8

, , 0

x x xx x xx x x

� � ��

�

เนองจากสมประสทธของ 1 2,s s ตองมากกวาหรอเทากบ 0 ตามเงอนไขของโปรแกรมเชง

เสนตรง จงตองมการสรางตวแปรเทยม (Artificial variable) เขามาโดยใชอกษร A และใสไวใน

สมการขอจากด รวมทงใสไวในสมการหรอฟงกชนวตถประสงค โดยใชอกษร M

(-M สาหรบกรณปญหาคาสงสด , +M สาหรบกรณปญหาคาตาสด)

ขนท 1 จดรปแบบมาตรฐาน และสรางตารางผลลพธเบองตน

คาสงสด 1 2 3 1 2 23 3 2 0 0P x x x s s MA� � � � �

ขอจากด

1 2 3 1

1 2 3 2 2

4 2 2 63 2 4 8x x x sx x x s A� � � ��

jC 400 200 0 0 0

bC Basis 1x 2x 1s 2s 3s ผลลพธ 3

1 1 100RR R�

400 1x 1 0 1/25 0 -1/100 4

2 2 33

10R R R� 0 2s 0 0 -4/5 1 -0.3 120

3 33

50R R� 200 2x 0 1 -1/25 0 3/50 36

jP 400 200 8 0 0 8,800

j jC P 0 0 0 0 0

0 0 0

ฟงงกกชนนวตถประสงคค โโดยใชอกกษร M

รรบบกรรณปญหาคาตตาาสสด)

างผลลลพธเบองตนน


ตารางผลลพธเบองตน

jC 3 3 2 0 0 -M

bC Basis 1X 2X 3X 1S 2S 2A ผลลพธ

0 1S 4 2 2 1 0 0 6

-M 2A 3 2 4 0 -1 1 8

jP -3M -2M -4M 0 M -M -8M

j jC P 3+3M 3+2M 2+4M 0 -M 0

ขนท 2 j jC P ยงมคามากกวา 0 ดงนน จงตองพฒนาผลลพธ

ขนท 3 ก) เลอกตวแปรเขา

ข) เลอกตวแปรออก

ค) เปลยนเบสส (จดหลกเปน 1 ตวเลขแถวตงทเหลอเปน 0)

ขนตอนของ ก) และ ข)

jC 3 3 2 0 0 -M

1R bC Basis 1X 2X 3X 1S 2S 2A ผลลพธ

2R 0 1S 4 2 2 1 0 0 6

3R -M 2A 3 2 4 0 -1 1 8 *

jP -3M -2M -4M 0 M -M -8M

j jC P 3+3M 3+2M 2+4M * 0 -M 0

� เลอก 3X เขา และเอา 1S ออก

jC 3 3 2 0 0 -M

bC Basis 1X 2X 3X 1S 2S 2A ผลลพธ 2

1 1 2RR R� 0 1S 5/2 1 0 1 ½ -1/2 2 *

12 4RR � 2 3X ¾ ½ 1 0 -1/4 ¼ 2

jP 3/2 1 2 0 -1/2 ½ 4

j jC P 3/2 2 * 0 0 ½ -M-1/2

พธธธเเบองงตน

3 3 2 0

X X X S

3 3 2 0

5//222 1 00 1 ½½

¾¾ ½ 1 00 -11/4

3/2 1 22 0 --1/2


ตรวจสอบ j jC P ยงมากกวา 0 หาจดหลกอกครง ตวแปรเขา คอ 2X ตวแปรออก คอ 1S

jC 3 3 2 0 0 -M

bC Basis 1X 2X 3X 1S 2S 2A ผลลพธ

1 1R R� 3 2X 5/2 1 0 1 ½ -1/2 2 1

2 2 2RR R� 2 3X -1/2 0 1 -1/2 -1/2 ½ 1

jP 13/2 3 2 2 ½ -1/2 8

j jC P -1/2 0 0 -2 -1/2 -M+1/2

j jC P คาเปน 0 และเปนลบทกคา ดงนน หยดการคานวณ

� 1 2 30, 2, 1X X X� � �

ตวอยาง 5.8 คาตาสด 1 25 6P X X� �

ขอจากด

1 2

1

2

1 2

1,000300150

, 0

X XXXX X

� ��

�

ขนท 1 จดรปแบบมาตรฐาน และสรางตารางผลลพธเบองตน

คาตาสด 1 2 1 2 1 25 6 0 0P X X S S MA MA� � � � � �

ขอจากด

1 2 1

1 1

2 2 2

1 2 1 2 1 2

1,000300

150, , , , , 0

X X AX SX S AX X S S A A

� � ��

�

วาาา 0 หหาจดหลกอกคครรง ตวแปปรเขา คออ

3 3 2 0

X XX X S


ตารางผลลพธเบองตน

jC 5 6 0 0 M M

bC Basis 1X 2X 1S 2S 1A 2A ผลลพธ

M 1A 1 1 0 0 1 0 1000

0 1S 1 0 1 0 0 0 300

M 2A 0 1 0 -1 0 1 150

jP M 2M 0 -M M M

j jC P 5-M 6-2M 0 M 0 0

ขนท 2 ตรวจสอบผลลพธ พบวา ยงมคาเปนลบ ตองพฒนาผลลพธตอ

ขนท 3 พฒนาผลลพธ

เลอกตวแปรเขาและออก และเปลยนเบสส

jC 5 6 0 0 M M


1R M 1A 1 1 0 0 1 0 1000

2R 0 1S 1 0 1 0 0 0 300

3R M 2A 0 1 0 -1 0 1 150 *

jP M 2M 0 -M M M

j jC P 5-M 6-2M * 0 M 0 0

เลอก 2X เปนตวแปรเขา และ 2A เปนตวแปรออก เนองจาก 2X ใหคา j jC P เปนลบมาก

ทสด และ 2A เปนตวแปรออก เพราะมสดสวนตาทสด คอ 150 พฒนาผลลพธไดดงน

jC 5 6 0 0 M M


1 1 3R R R� M 1A 0 0 -1 1 1 -1 550

2R 0 1S 1 0 1 0 0 0 300 *

3R 6 2X 0 1 0 -1 0 1 150

jP M 6 0 M-6 M -M+6 850+900

j jC P 5-M * 0 0 -M+6 0 2M-6

6 0 0 M

1X1 2X 11S 2S 1A

1XX1 2X 1S 2S

1 1 0 0

1 0 1 0


พฒนาผลลพธตอ เนองจาก j jC P ยงมคาเปนลบ โดยตวแปรเขา คอ 1X ตวแปรออกคอ 1S

jC 5 6 0 0 M M


1 1 2R R R� M 1A 0 0 -1 1 1 -1 550 *

5 1X 1 0 1 0 0 0 300

6 2X 0 1 0 -1 0 1 150

jP 5 6 -M+5 M-6 M -M+6 550M+2400

j jC P 0 0 M-5 -M+6 * 0 2M-6

เนองจาก j jC P ยงมคาลบ ตองพฒนาผลลพธตอ เอา 2S เขา เอา M ออก

jC 5 6 0 0 M M


0 2S 0 0 -1 1 1 -1 550

5 1X 1 0 1 0 0 0 300

6 2X 0 1 -1 0 1 0 700

jP 5 6 -1 0 6 0 5700

j jC P 0 0 1 0 M-6 M

j jC P เปนบวกหมดหรอเปนศนยหมด ดงนนหยดการพฒนาผลลพธ ดงนน

1 2 2300, 700, 550X X S� � � ( 2 550S � คอ ทรพยากรสวนเกนมากกวาทตองการ 2 150X � )

66 0 0 MM

2XX 1S 2SS 1A A

0 -1 1 1

00 1 0 0


แบบฝกหด 5.2

1. รปแบบปญหาตอไปน จงหาผลลพธ โดยวธ Simplex

คาตาสด

ขอจากด 2. ผผลตรายหนงตองการผลตโตะ ( ) และเกาอ ( ) โตะแตละตวตองการใชเวลาประกอบ 2.5

ชวโมง ใชเวลาขดไม 3 ชวโมง ใชเวลาทาส 1 ชวโมง สวนเกาอใชเวลาประกอบ 1 ชวโมง ใช

เวลาขด 3 ชวโมง และทาส 2 ชวโมง โดยผผลตมเวลาทใชประกอบไมเกน 20 ชวโมง เวลาใน

การขดไมเกน 30 ชวโมง และทาสไมเกน 16 ชวโมงในแตละสปดาห ถากาไรตอหนวยของโตะ

เทากบ 3 ดอลลาร และกาไรตอหนวยของเกาอ เทากบ 4 ดอลลาร จงหาวาผผลตนตองผลตโตะ

และเกาอกตวตอสปดาหจงจะไดกาไรสงสด และกาไรสงสดเทากบเทาใด จงสรางตวแบบ

โปรแกรมเชงเสนและแกปญหาโดยวธ Simplex

3. รปแบบปญหาตอไปน จงหาผลลพธ ( ) โดยวธ Simplex

คาสงสด ขอจากด

4. รปแบบปญหาตอไปน จงหาผลลพธ ( ) โดยวธ Simplex

คาตาสด ขอจากด


5. รานขายขนมปงแหงหนงมขนมปงทตองทาประจาทกวนคอ ขนมปง เคก คกก และขนมปย

ฝาย เจาของรานตองการพจารณาวาจะทาขนมแตละชนดเปนปรมาณเทาใดจงจะไดกาไรสงสด

จงสรางตวแบบโปรแกรมเชงเสนและแกปญหาโดยวธ Simplex รายละเอยดการทาขนมแสดงใน

ตารางดงตอไปน

วตถดบ ขนมปง เคก คกก ปยฝาย ปรมาณทม

แปง (ถวย)

นาตาล (ถวย)

นมสด (ถวย)

เนยสด (ถวย)

ไขไก (ฟอง)

ผงฟ (ชอนชา)

10

1

½

¾

2

-

3

1½

½

1

5

3

3/2

1

-

1

1

-

2

1

1/3

-

2

1

50

40

30

40

40

25

กาไร (บาท) 20 10 5 5

6. รานผลตเครองเฟอรนเจอรแหงหนง มไมทจะใชทาโตะ และเกาอ 2 ประเภท ไมประเภทท 1

มอย 600 แผน-ฟต ไมประเภทท 2 มอย 660 แผน-ฟต และมแรงงานทงหมด 675 คน-ชวโมง

โดยรายละเอยดของการผลตเปนไปดงน

โตะ 1 ตว เกาอ 1 ตว



แรงงาน (คน-ชวโมง) 15 10

ในการจาหนายโตะขายไดกาไรตวละ 600 บาท และ เกาอขายไดกาไรตวละ 320 บาท จงหาตว

แบบปญหาโปรแกรมเชงเสนในการขายโตะและเกาอทใหกาไรสงสด จงสรางตวแบบโปรแกรม

เชงเสนและแกปญหาโดยวธ Simplex

7. หมอสงควบคมอาหารทมวตามน A B และ D แกคนไข โดยกาหนดวาในแตละวนคนไขตอง

ไดรบวตามน A อยางนอยทสด 1 mg ตองไดรบวตามน B อยางนอยทสด 50 mg และ ตอง

ไดรบวตามน D อยางนอยทสด 10 mg ถาอาหารทคนไขรบประทานไดคอ เนอ นม และไข ซงม

สวนประกอบของวตามนดงน

คคคกกก ปยฝายย ปปรมาณณทท

3/22

11

2

1

500

4400


วตามน เนอ (100 g) นม (ลตร) ไข (ฟอง)

A

B

D

0.2

2.2

20.5

0.2

25

2.5

0.8

0.8

0.8

ถาเนอราคา 60 บาท/Kg นมราคา 20 บาท/ลตร และไขราคา 18 บาท/โหล จงสรางตวแบบ

โปรแกรมเชงเสนของสวนผสมของอาหารใหไดวตามนตามกาหนด จงสรางตวแบบโปรแกรมเชง

เสนและแกปญหาโดยวธ Simplex

8. บรษทแหงหงมโรงงานผลตสนคาในเขต ก และ เขต ข ซงสามารถผลตสนคาไดสปดาหละ

8, 000 และ 12,000 ตามลาดบ และบรษทมคลงสนคาอยในเขต A B และ C สามารถเกบสนคา

ได 6,000 7,000 และ 7,000 หนวย ตามลาดบ บรษทตองสงสนคาทผลตไดทงหมดเขาคลงไวใน

แตละสปดาห โดยใชเสยคาจายในการขนสงตาสด จงสรางตวแบบโปรแกรมเชงเสนและ

แกปญหาโดยวธ Simplex โดยคาการขนสงจากโรงงานในเขตตางๆไปยงคลงสนคาในเขตตางๆ

เปนไปดงน

คลงสนคา

โรงงาน

A B C

ก

ข

3

4

5

1

2

6

9. บรษททมวางแผนจดสงสนคาจากคลง ก ข และ ค ไปจาหนายทตลาด A B C และ D โดย

บรษททราบถงอปสงคของสนคาในเขตการคาแตละเขตวาเปนอยางไร บรษทตองการสงสนคา

ไปจาหนายใหเพยงพอ และใชจายใหนอยทสด ถาอตราการขนสงของสนคา (บาทตอกลอง) และ

อปสงคของสนคาในแตละเขตการคากาหนดดงน จงสรางตวแบบโปรแกรมเชงเสนและแกปญหา

โดยวธ Simplex

คลงสนคา คาขนสง (บาท/กลอง) จานวนสนคาทมอย

(กลอง) A B C D

ก

ข

ค

8

10

13

7

6

14

9

12

5

4

15

9

800

900

600

อปสงค(กลอง) 500 600 650 480

แลลละไขขราคา 18 บบาาทท/โหล จจงสรางตต

มมมนตตาามกาหนด จงงสสรางตวแแบบบโปรแแก


10. บรษท ABC รบสงสนคาจากตวแทนจาหนายในเขต ก ข ค และ ง ใหสงตเยนไปใหเปน

จานวน 6, 5, 7 และ 7 ตตามลาดบ บรษทมตเยนอยในสตอกทโรงงาน A B และ C เปน

จานวน 10, 10 และ 8 ตามลาดบ คาขนสงเปนไปตามตารางน

เขต

ก

เขต

ข

เขต

ค

เขต

ง

โรงงาน A

โรงงาน B

โรงงาน C

120

75

105

80

90

60

95

110

150

100

82

134

จงเขยนตวแบบการโปรแกรมเชงเสน เมอบรษทตองการจดสงตเยนใหครบตามจานวนท

ตวแทนตองการ แตใหเสยคาใชจายนอยทสด

จาาากตววแทนจาหนายยใในเขต กก ข ค แลละ

ตตตามลลาดบ บรษทมมตตเยนอยใในสตอกททโ

ามลลาดบ คาขนสสงเเปปนไปตาามตารางงน

บทที่ 5 โปรแกรมเชิงเส นตรงบทที่ 5...

Documents

Transcript of บทที่ 5 โปรแกรมเชิงเส นตรงบทที่ 5...