บทที่ 3 คอมพิวเตอร์ส่วนบุคคล คอมพิวเตอร์ส่วนบุคคลหรือพีซี ...บทที่
บทที่ 4 - charnnarong.me.engr.tu.ac.th classes/MN611/… · 55...
Transcript of บทที่ 4 - charnnarong.me.engr.tu.ac.th classes/MN611/… · 55...
52
บทท 4
สมการเชงอนพนธยอย
ส ำหรบปญหำทำงคณตศำสตรซงมตวแปร(variables) มำกกวำหนงตวแปร สมกำรซงใชในกำร
อธบำยปญหำเหลำนถกเรยกวำ สมกำรเชงอนพนธยอย(Partial Differential Equation, PDE) ปญหำ
อยำงงำยอำจประกอบตวแปรเพยงแคสองตวแปร โดยทวไปตวแปรในปญหำมกประกอบดวย พกดต ำแหนง
(spatial coordinates) และ เวลำ (temporal variable) ของระบบทเรำท ำกำรศกษำ รปแบบทวไปของ
สมกำรเชงอนพนธยอยส ำหรบปญหำซงมสองตวแปรสำมำรถเขยนไดดงน
fuDy
uc
y
uC
yx
uB
x
ua
x
uA
2
22
2
2
(4.1)
โดยท u คอฟงกชน(function) ของตวแปรอสระ(independent varialble) x และ y
),( yxuu
ในขณะทสมประสทธ A , a , B , C , c , D อำจไมใชคำคงท(constant) กได อยำงไรกตำมปญหำ
ในบทนจะถกสมมตใหสมประสทธเหลำนเปนคำคงท
4.1 ประเภทของสมการเชงอนพนธยอย
โดยทวไปคณลกษณะของสมกำร(character of equation) จะถกก ำหนดโดยสมประสทธซงแสดง
ขำงตนรวมทงควำมสมพนธของสมประสทธเหลำน โดยเฉพำะสมประสทธของอนพนธในล ำดบสง ( A ,
B , C และ D) สมกำร (4.1) สำมำรถเขยนใหมไดเปน
02
22
2
2
y
uC
yx
uB
x
uA (4.2)
คลำยคลงกบสมกำรโพลโนเมยนก ำลงสอง(quadratic equation) คณลกษณะของสมกำรเชงอนพนธยอย
สำมำรถก ำหนดโดยคำควำมสมพนธระหวำง A , B และ C ไดดงน
53
Discriminant value Character of equation
0)4( 2 ACB Hyperoblic
0)4( 2 ACB Elliptic
0)4( 2 ACB Parabolic
ตนแบบของสมการเชงอนพนธยอยล าดบทสอง
1. สมการการแพร (diffusion equation)
t
u
x
u
2
22 Parabolic(สมมต yt) (4.3)
2. สมการคลน (wave equation)
2
2
2
22
t
u
x
uc
Hyperbolic(สมมต yt) (4.4)
3. สมการลาปลาซ (laplace equation)
02
2
2
2
2
u
y
u
x
u Elliptic (4.5)
4.2 เงอนไขขอบเขตและเรมตน
ในกำรหำผลเฉลยของสมกำรเชงอนพนธยอยนนเรำจ ำเปนตองทรำบเงอนไขขอบเขต ( Boundary
Condition, BC) และเงอนไขเรมตน (Initial Condition, IC) ของปญหำกอน (คลำยคลงกบกำร
แกปญหำสมกำรเชงอนพนธสำมญ (Ordinary Differential Equation, ODE) ซงตองกำรเงอนไขเพอ
ค ำนวณหำคำคงทของกำรอนทเกรท) เพอเขำใจถงกำรก ำหนดเงอนไขส ำหรบสมกำรอนพนธยอยลอง
พจำรณำตวอยำงตอไปน
54
สมการความรอน (Heat’s equation)
เปนตวอยำงของสมกำรทมพฤตกรรมแบบ “parabolic” โดยในทนเรำพจำรณำสมกำรควำมรอนในสองมต
สมมตเรำตองกำรค ำนวณกำรกระจำยของอณหภมบนก ำแพงดงรป อณหภมของก ำแพงภำยนอกเทำกบ 40C
อณหภมของก ำแพงภำยในเทำกบ 25C โดยทอณหภมเรมตน )0( t ของก ำแพงเทำกบ 25C
สมกำรอนพนธยอยซงใชอธบำยพฤตกรรมกำรถำยเทควำมรอนของปญหำสำมำรถแสดงไดโดยสมกำรกำร
แพรดงน
t
txT
x
txT
),(),(2
22
โดยท T(x,y) คอ อณหภมของก ำแพง
x คอ พกดต ำแหนงของผวก ำแพง
t คอ เวลำ
เงอนไขขอบเขต(BC): เนองจำกสมกำรมอนพนธยอยอนดบทสองของตวแปร x ดงนนเรำตองกำรเงอนไข
ขอบเขตสองเงอนไขกลำวคอ CtT 40),0( และ CtT 25),2.0(
เงอนไขเรมตน(IC): เรำตองกำรเงอนไขเรมตนเพยงหนงเงอนไขเนองสมกำรมอนพนธยอยอนดบทหนง
ส ำหรบตวแปร t ดงน CxT 25)0,(
T1=40C T2=25C
q
@t=0 T=25C
x=0.2m x=0
55
สมการคลน (Wave’s equation)
เปนตวอยำงของสมกำรทแสดงพฤตกรรมแบบ “Hyperbolic” พจำรณำกำรสนสะเทอนของเสนลวดทม
ควำมยำวอนนตซงสำมำรถอธบำยโดยสมกำรคลนในหนงมตดงน
2
2
2
2
2
),(),(1
t
txT
x
txu
c
0, tx
โดยท u(x,t) คอ ระยะกำรเคลอนตวของเสนลวด
x คอ พกดต ำแหนงบนเสนลวด
t คอ เวลำ
เงอนไขขอบเขต(BC): ),( tu ),( tu
เงอนไขเรมตน(IC): )()0,( xfxu และ )()0,(
xgt
xu
สมการลาปลาซ (Laplace equation)
เปนตวอยำงของสมกำรทแสดงพฤตกรรมแบบ “Elliptic” พจำรณำสมกำรลำปลำซในสองมตซงสำมำรถ
เขยนไดดงน
0),(),(
2
2
2
2
y
yxT
x
yxT
โดยท T(x,y) คอ ฟงกชนใดๆ
x และ y คอ พกดต ำแหนง
T(x,y)
T=10
T=20
T=0 T=10
x=a
y=b
56
เงอนไขขอบเขต(BC): 10),0( yT 0),( yaT 20)0,( xT และ 10),( bxT
เงอนไขเรมตน(IC): ไมตองกำรเงอนไขเรมตนเนองจำกฟงกชนทไมขนกบตวแปรเวลำ
4.3 วธลกษณะเฉพาะ
สมกำรทแสดงพฤตกรรมแบบ Hyperbolic จะมคณสมบตของกำรแพรของคลนโดยเรำเรยกสมกำร
ประเภทนวำสมกำรคลน คณลกษณะหนงของสมกำรคลนกคอ หำกพจำรณำปญหำบนโดเมน ( tx, ) ผล
เฉลยของปญหำบนโดเมน ณ ต ำแหนงใดๆ จะแผ (propagate) ไปบนเสนทเรยกวำ “เสนลกษณะเฉพำะ”
(Characteristic lines) ซงลากผานบนโดเมนดงกลาว ดงนนหำกเรำทรำบขอมลทต ำแหนงใดต ำแหนง
หนงรวมทงทรำบเสนลกษณะเฉพำะทลำกผำนเรำกสำมำรถทรำบขอมลทอยบนเสนลกษณะเฉพำะทงหมด
ไดลองพจำรณำรปตอไปน
รปท 4.1 แสดงเสนลกษณะเฉพำะของปญหำกำรแพรของคลนในหนงมต
constctx constctx
t
x
constctx constctx constctx constctx
t
x
57
ระเบยบวธของ D’Alembert
ส ำหรบสมกำรคลน
2
2
2
2
2
),(),(1
t
txT
x
txu
c
(4.6)
ซงมเงอนไขขอบเขตและเงอนไขเรมตนดงน
),( tu , ),( tu
และ )()0,( xfxu , )()0,(
xgt
xu
เพอลดควำมสบซอนของสมกำร D’Alembert เสนอกำรแกปญหำดวยกำรเปลยนตวแปรดงตอไปน
ctx
ctx
โดยกฏลกโซ(Chain rule) ตวด ำเนนกำร x / และ t / สำมำรถเขยนใหมไดดงน
xxx
cc
ttt
ดงนนสมกำร (2.6) สำมำรถเขยนใหมไดเปน
0222
22
2
2
2
22
2
2
uuuuuu (4.7)
ซงสำมำรถลดรปเปน
02
u (4.8)
อนทเกรทสมกำร (4.8) เทยบกบตวแปร และ ไดผลเฉลยเปน
)()(),( GFu (4.9)
หรอ
)()(),( ctxGctxFtxu (4.10)
58
เงอนไขแรก
)()()()0,( xfxGxFxu (4.11)
เงอนไขทสอง
)()()()0,(
xgxGcxFct
xu
(4.12)
หรอ )(1
)()( xgc
xGxF (4.13)
อนทเกรท (4.13) เทยบกบ x จำก 0x ถง x ได
dxxgc
xGxGxFxF
x
x
0
)(1
)()()()( 00 (4.14)
)()()(1
)()( 00
0
xGxFdxxgc
xGxF
x
x
(4.15)
จำก (4.11) และ (4.15) ฟงกชน )(xF และ )(xG หำไดเปน
)()()(1
)(2
1)( 00
0
xGxFdxxgc
xfxF
x
x
(4.16)
)()()(1
)(2
1)( 00
0
xGxFdxxgc
xfxG
x
x
(4.17)
ดงนนผลเฉลยของ (4.6) สำมำรถเขยนไดดงน
)()(),( ctxGctxFtxu
)()()(1
)(2
100
0
xGxFdxxgc
ctxf
ctx
x
)()()(1
)(2
100
0
xGxFdxxgc
ctxf
ctx
x
ctx
ctx
dxxgc
ctxfctxf )(1
)()(2
1 (4.18)
59
ตวอยางท 4.1 พจำรณำใหเงอนไขเรมตนเปน
)()0,( xfxu และ 0)()0,(
xg
t
xu
จำก (4.18) ผลเฉลยของกำรแผของคลนใน 1 มตตำมเงอนไขเรมตนทก ำหนดสำมำรถเขยนไดเปน
)()(2
1),( ctxfctxftxu
สมมตให 1tt : 01 ctx ถำ 1ctx
01 ctx ถำ 1ctx
ดงนน
รปท 4.2 กำรแผของคลนเมอเวลำ 1tt
x
2
x
x
x
2
x=ct1
x= -ct1
x=ct1x= -ct1
)()(2
1),( 111 ctxfctxftxu
)( 1ctxf
)(xf
)( 1ctxf
x
2
x
x
x
2
x=ct1
x= -ct1
x=ct1x= -ct1
)()(2
1),( 111 ctxfctxftxu
)( 1ctxf
)(xf
)( 1ctxf
60
4.4 วธการแยกตวแปร
กำรหำผลเฉลยของสมกำรเชงอนพนธยอยมหลำยวธ วธกำรแยกตวแปร (Method of seperation
of variables) กเปนวธกำรหำเฉลยในเชงวเครำะห (analyitical solution) ซงสำมำรถน ำไปประยกตใชได
ในหลำยปญหำ แนวคดของวธกำรแยกตวแปรเปนกำรประยกตใชพนฐำนควำมรในกำรแกปญหำสมกำรเชง
อนพนธสำมญ โดยสมมตใหผลเฉลยของสมกำรเชงอนพนธยอยสำมำรถเขยนไดรปของผลคณของฟงกชน
สมมตของตวแปรอสระในปญหำ จำกนนท ำกำรแยกตวแปรใหเปนอสระจำกกน ซงจะกอใหเกดสมกำรเชง
อนพนธสำมญตำมจ ำนวนของตวแปรอสระ โดยผลเฉลยของสมกำรเชงอนพนธสำมญเหลำนสำมำรถ
ค ำนวณไดจำกควำมรดำนแคลคลสเบองตน เพอควำมเขำใจถงหลกกำรของระเบยบวธดงกลำวขำงตน ลอง
พจำรณำปญหำตอไปน
ตวอยางท 4.2 พจำรณำสมกำรลำปลำซในสองมตตอไปน
02
2
2
2
y
u
x
u (4.19)
ขนท 1: สมมตใหผลเฉลยของสมกำรในรปผลคณของฟงกชนสมมตของตวแปรอสระในปญหำ
)()(),( yYxXyxu (4.20)
ขนท 2: แทนฟงกชนของผลเฉลยลงในสมกำรเชงอนพนธ
อนพนธของฟงชน ),( yxu ในสมกำรลำปลำซสำมำรถเขยนไดดงน
XYx
u
2
2
และ YXy
u
2
2
ดงนนเรำสำมำรถแยกตวแปรของสมกำรลำปลำซไดเปน
Y
Y
X
X
(4.21)
เมอพจำรณำสมกำรขำงตน จะเหนวำเทอมทำงซำยมอของสมกำรเปนฟงกชนของตวแปร x
ในขณะทเทอมทำงขวำมอเปนฟงกชนของ y ดงนนสมกำรจะเปนจรงไดกตอเมอ เทอมทงสองขำงของ
สมกำรจะตองเปนคำคงท(constant) ดงนน
61
2kY
Y
X
X
(4.22)
หมายเหต: สมมตให k2 เปนคำคงทซงยงไมทรำบคำ อำจเปนจ ำนวนจรง(real number)หรอจ ำนวน
เชงซอน (complex number) กได
ขนท 3: สรำงสมกำรเชงอนพนธสำมญภำยหลงกำรแยกตวแปร
โดยวธกำรแยกตวแปรสมกำรเชงอนพนธยอยสองตวแปรสำมำรถสรำงสมกำรเชงอนพนธสำมญซง
สมพนธกนได 2 สมกำร กลำวคอ
02 XkX (4.23)
02 YkY (4.24)
ขนท 4: แกสมกำรเชงอนพนธสำมญ
ผลเฉลยทวไป(general solution) ของสมกำรเชงอนพนธสำมญล ำดบทสองเขยนไดเปน
)cosh()sinh()( 2121 kxckxcececxX kxkx (4.25)
)cos()sin()( 4343 kyckycececyY kxikxi (4.26)
โดย 1c 2c 3c และ 4c เปนคำสมประสทธเนองจำกกำรอนทรเกรท
ผลเฉลยทวไปสำมำรถเขยนไดเปน
)cos()sin()cosh()sinh(),( 4321 kyckyckxckxcyxu (4.27)
ขนท 5: ผลเฉลยทวไปของสมกำรลำปลำซ
ดงทกลำวไวขำงตน คำของ k ยงไมไดก ำหนดตงแตเรมตน เรำทรำบเพยงแตวำไมวำ k จะมคำเปน
เทำใด ผลเฉลยจำกผลคณของ )(xX และ )(yY จะตองท ำใหสมกำรลำปลำซเปนจรง สมมต k อำจ
ประกอบ ดวยตวเลขชดตอไปน
nkkkkk ,...,,, 321
ดงนนผลเฉลยซงเกดจำกชดตวเลขดงกลำวสำมำรถเขยนไดดงน
)cos()sin()cosh()sinh(),( 1141131121111 ykcykcxkcxkcyxu
62
)cos()sin()cosh()sinh(),( 2242232222212 ykcykcxkcxkcyxu
)cos()sin()cosh()sinh(),( 4321 ykcykcxkcxkcyxu nnnnnnnnn
เนองจำกปญหำทเรำก ำลงศกษำเปนแบบเชงเสน(linear) ดงนนผลเฉลยทไดจำกกำรรวมเอำผล
เฉลยทเปนไปไดทกๆ อนกยงเปนคงเปนผลเฉลยของปญหำอย ดงนน
),(...),(),(),(),( 321 yxuyxuyxuyxuyxu n
)()(...)()()()()()( 332211 yYxXyYxXyYxXyYxX nn
1
4321 )cos()sin()cosh()sinh(n
nnnnnnnn ykcykcxkcxkc (4.28)
คำ nk ในสมกำร (4.28) จะถกก ำหนดโดยเงอนไขขอบเขตของแตละปญหำ ซงโดยทวไปเงอนไขขอบเขต
สำมำรถแบงออกไดเปน 3 ชนดคอ
1. Dirichlet condition ถำคำฟงกชน ),( yxu ถกก ำหนดบนขอบเขต
2. Neumann condition ถำคำอนพนธของฟงกชน x
u
หรอ y
u
ถกก ำหนดบนขอบเขต
3. Mixed condition ถำคำฟงกชนและอนพนธของฟงกชน ถกก ำหนดบนขอบเขต
4.5 การใชอนกรมฟรเยร
ผลเฉลยจำกวธกำรแยกตวแปรจะถกแสดงในรปของอนกรมฟรเยร (Fourier series) แสดงใน
สมกำร (4.28) โดยอนกรมฟรเยรเปนฟงกชนซงมพฤตกรรมแบบฮำรมอนก (harmonic) และสำมำรถ
เขยนไดในรปของสมกำรผลรวมแบบเชงเสน (linear combination) ของฟงกชน sin และ cosine เพอให
เขำใจถงกำรใชอนกรมฟรเยร ลองศกษำจำกตวอยำงตอไปน
63
ตวอยางท 4.3 พจำรณำปญหำกำรสนสะเทอนในเสนลวด (ดรปท 4.3 ประกอบ) ตอไปน
สมมตใหกำรสนสะเทอนในเสนลวด(elastic string) สำมำรถอธบำยไดโดยสมกำรคลน(wave equation)
ในหนงมตดงน
2
22
2
2
x
uc
t
u
,
Tc 2 (4.29)
โดย ),( txu คอระยะกำรเคลอนทของเสนลวด
T คอคำควำมตงของเสนลวด
คอมวลตอควำมยำว
ก ำหนดใหปลำยของเสนลวดถกยดไมใหเคลอนทตลอดเวลำ
0),0( tu , 0),( tLu (4.30)
รปแบบกำรเคลอนทของเสนลวดจะขนอยกบเงอนไขเรมตนของปญหำ ดงนนเพอใหเขำใจถงหลกกำรของ
กำรประยกต ใชอนกรมฟรเยร เรำก ำหนดเงอนไขเรมตนเพอลดควำมซบซอนของปญหำดงน
)sin()0,( xxu , 00
tt
u (4.31)
รปท 4.3 กำรสนสะเทอนของเสนลวดในหนงมต
x
u(x,t)
x
u(x,t)
x
u(x,t)
64
ขนท 1: สมมตใหผลเฉลยของสมกำรในรปผลคณของฟงกชนสมมตของตวแปรอสระในปญหำ
)()(),( tTxXtxu (4.32)
ขนท 2: แทนฟงกชนของผลเฉลยลงในสมกำรเชงอนพนธ
อนพนธของฟงชน ),( txu ในสมกำรคลนสำมำรถเขยนไดดงน
XTx
u
2
2
และ TXt
u
2
2
ดงนนเรำสำมำรถแยกตวแปรของสมกำรคลนไดเ ปน
2
2
1k
X
X
T
T
c
(4.33)
ขนท 3: สรำงสมกำรเชงอนพนธสำมญภำยหลงกำรแยกตวแปร
โดยวธกำรแยกตวแปรสมกำรเชงอนพนธยอยสองตวแปรสำมำรถสรำงสมกำรเชงอนพนธสำมญซง
สมพนธกนได 2 สมกำร กลำวคอ
02 XkX (4.34)
022 YkcT (4.35)
ขนท 4: แกสมกำรเชงอนพนธสำมญ
ผลเฉลยทวไป(general solution) ของสมกำรเชงอนพนธสำมญล ำดบทสองเขยนไดเปน
)cos()sin()( 2121 kxckxcececxX kxikxi (4.36)
)cos()sin()( 4343 cktccktcecectT cktickti (4.37)
ขนท 5: ผลเฉลยทวไปของสมกำรคลนในหนงมต
1
4321 )cos()sin()cos()sin(),(n
nnnnnnnn tckctckcxkcxkctxu (4.38)
กำรค ำนวณหำคำสมประสทธ nk 1nc 2nc 3nc และ 4nc สำมำรถท ำไดโดยพจำรณำจำกเงอนไขขอบเขต
และเงอนไขเรมตนของปญหำ จะเหนไดวำเงอนไขขอบเขตทก ำหนดใหเปนแบบเอกพนธ (homogeneous)
ดงนนเรำอำจก ำหนดให
0)()0( LXX nn , n 1, 2, 3, … (4.39)
65
เงอนไขในสมกำร (4.30) สำมำรถเปนจรงไดและแสดงไดดงน
1
)()0(),0(n
nn tTXtu
1
)(0n
n tT
0)(0...)(0)(0)(0 321 xTxTxTxT n (4.40)
และในท ำนองเดยวกน
1
)()(),(n
nn tTLXtLu
1
)(0n
n tT
0)(0...)(0)(0)(0 321 xTxTxTxT n (4.41)
ดงนน
0)0cos()0sin()0( 221 nnnn cccX (4.42)
และ
0)sin()( 1 LkcLX nnn
L
nkn
(4.43)
ในลกษณะเดยวกนส ำหรบเงอนไขเรมตนทสอง ซงเปนเงอนไขอนพนธแบบเอกพนธ เรำสำมำรถก ำหนดให
0)0( T
ดงนน
0)0sin()0cos()0( 343 nnnn cccT
ผลเฉลยซงสอดคลองกบเงอนไขแบบเอกพนธทงสำมสำมำรถเขยนไดเปน
1
)cos()sin(),(n
n tL
nc
L
xnAtxu
(4.44)
66
ส ำหรบเงอนไขสดทำยซงเปนเงอนไขแบบไมเอกพนธ (non-homogeneous) หรออกนยหนง
0)sin()0,( xxu จ ำเปนจะตองค ำนวณโดยอำศยพนฐำนคณสมบตเชงตงฉำก (orthogonality) ของ
ฟงกชน sin และ cosine ดงน
)sin()0cos()sin()0,(1
xL
xnAxu
n
n
โดยท
L
n dxL
xnx
LA
0
)sin()sin(2
1
)sin()1(
2
22
L
n
Lnn
(4.45)
หมำยเหต: ผลเฉลยในสมกำร (4.44) สำมำรถเขยนใหมโดยอำศยคณสมบตทำงตรโกณมต
)sin()sin(2
1cossin BABABA
ดงนน
1
sinsin),(n
n ctxL
nctx
L
nAtxu
(4.46)
ซงมรปแบบของสมกำรสอดคลองกบ (4.18) ซงเปนผลเฉลยของสมกำรคลนในหนงมตโดยวธคณลกษณะ
โดยผลเฉลยทไดจะแสดงกำรเคลอนทแบบฮำรมอนกเนองจำกกำรสนสะเทอนของเสนลวดซงอธบำยโดย
ฟงกชนแบบรปคลนซำยน (sin wave) ซงมคำควำมถของกำรเคลอนท Lcnf / และแตโหมด
(mode) ของกำรเคลอนทจะเรยกวำ “โหมดตงฉำกล ำดบท n ” (the nth normal mode) โดยโหมดกำร
เคลอนทล ำดบทหนง )1( n จะถกเรยกวำ “fundamental mode”
67
4.6 Eigenfunction Expansions
ตวด ำเนนกำรเชงเสน (linear operator) ในสมกำรเชงอนพนธยอยอนดบทสองในพกดฉำก
(Cartesian coordinates) สำมำรถแสดงไดโดยสญกรณ (notation) ตอไปน
2
2
2
2
2
2
zyx
(4.47)
ฟงกชน )(xf n ใดๆ ซงท ำใหสมกำร
(4.48)
เปนจรงเรำจะเรยกฟงกชนชนดนวำ “eigenfunction” และ คำสมประสทธ 2
nk คอ “eigenvalue” ซง
สมพนธกบ eigenfunction และมคำเปนลบ ซงจะเปนกำรกำรนตวำ eigenfunction จะเปนฟงกชนฮำร
มอนก (sin/cos) ซงมคณสมบตของฟงกชนแบบคำบ (periodic function) ซงท ำให eigenfunction
สำมำรถท ำใหเงอนไขแบบเอกพนธ(ทงแบบ Dirichlet, Neumann หรอ mixed)เปนจรงได
ลองพจำรณำฟงกชน sin ซงเปน eigenfunction ของตวด ำเนนกำร (4.48) และ eigenvalue, nk
มคำเทำกบ L
n โดยท L คอควำมยำวของขอบเขตในปญหำ เนองจำก sin เปนฟงกชนแบบคำบซง
เรมตนจำกศนยเมอระยะเรมตนเทำกบศนย และคำของฟงกชนจะมคำเปนศนยทกๆ ระยะ n ดงนนคำ
eigenvalue, L
nkn
จะกำรนตคำของ eigenfunction ทระยะ 0x และ Lx มคำเปนศนยตำม
เงอนไขแบบเอกพนธ(homogeneous conditions) แสดงดงรป 4.4
)()(2
2
2
xfkxfdx
dnnn
eigenfunctions
eigenvalues
68
รปท 4.4 พลอตของฟงกชน )sin(L
xn ในควำมยำว Lx 0
L
L
L
)sin(L
x
)2
sin(L
x
)3
sin(L
x
L
)sin(L
xn
69
ตวอยางท 4.4 พจำรณำแผนโลหะรปทรงสเหลยมดงรปท 4.5
รปท 4.5
กำรกระจำยของอณหภมเมอระบบอยในสภำวะคงตว (steady state) จะเปนไปตำมสมกำรลำปลำซ
02
2
2
2
y
u
x
u (4.49)
ขนท 1: สมมตใหผลเฉลยของสมกำรในรปผลคณของฟงกชนสมมตของตวแปรอสระในปญหำ
)()(),( yYxXyxu nn (4.50)
ขนท 2: แทนฟงกชนของผลเฉลยลงในสมกำรเชงอนพนธและท ำกำรแยกตวแปรของสมกำรลำปลำซได
เปน
2
n
n
n
n
n kY
Y
X
X
(4.51a)
หรอ
2
n
n
n
n
n kY
Y
X
X
(4.51b)
อยำงไรกตำมเนองจำกเงอนไขขอบเขตแบบเอกพนธก ำหนดบน 0x และ ax ดงนนเรำตองกำร
สมกำร (4.52b) เพอใหได eigenfunction ส ำหรบตวด ำเนนกำรของตวแปร x รวมทงท ำใหเงอนไข
ขอบเขตเปนจรง
0
x
T 0T
0T
0TT
y
x ax
by
70
ขนท 3: สมกำรเชงอนพนธสำมญภำยหลงกำรแยกตวแปรสำมำรถเขยนไดดงน
02 nnn XkX (4.53)
02 nnn YkY (4.54)
ขนท 4: แกสมกำรเชงอนพนธสำมญไดเปน
)cos()sin()( 2121 kxckxcececxX kxikxi (4.55)
)cosh()sinh()( 4343 ykcykcececyY nn
xkxk
nnn
(4.56)
ขนท 5: ค ำนวณคำสมประสทธไมทรำบคำจำกเงอนไขขอบเขต
เรมตนดวยกำรหำคำสมประสทธไมทรำบคำจำกเงอนไขขอบเขตแบบเอกพนธ
เมอ 0x
0)0(0)0()(0
nnn
x
XXyYx
T
00)0sin()0cos()0( 121 ckckcX nnn (4.57)
เมอ ax
0)(0)()(),( aXaXyYyaT nnn
a
nkakcaX nnn
)
2
1(0)cos()( 2 (4.58)
เมอ by
0)(0)()(),( bYbYxXbxT nnn
0)cosh()sinh()( 43 bkcbkcbY nnn (4.59)
ผลเฉลยของสมกำรลำปลำซและเปนไปตำมเงอนไขขอบเขตขำงตนทงสำมสำมำรถเขยนไดเปน
1
])[sinh()cos(),(n
nnn ybkxkAyxT (4.60)
ส ำหรบเงอนไขแบบไมเอกพนธ เมอ 0y
1
0)sinh()cos()0,(n
nnn TbkxkAxT
71
โดยท
a
nn dxxka
TA
0
0 )cos(2
)2/1(
)1(2 0
n
T n
(4.61)
4.7 เทคนค superposition
ปญหำสม กำรเชงอนพนธยอยแบบเชงเสน (Linear partial differential equation) นน
superposition ถอวำเปนเทคนคทสงส ำคญและท ำใหเรำสำมำรถแกปญหำแบบเชงเสนทซบซอนได เทคนค
superposition นนอำศยหลกกำรทวำผลเฉลยของปญหำทมรปรำงทำงกำรภำพและสมกำรเชงอนพนธแบบ
เดยวกน แตมเงอนไขขอบเขตหรอเงอนไขเรมตนตำงกน สำมำรถน ำมำรวมกนไดโดยผลเฉลยทไดกยงเปน
ค ำตอบของปญหำทมเงอนไขรวมกนดงตวอยำงตอไปน
รปท 4.6 ตวอยำงเทคนคกำร superposition ส ำหรบปญหำในสองมต
01 T BTT 1
kA
q
y
T
1
01 T
ATT 2 02 T
02
y
T
02 T
kA
q
y
T
ATT BTT
0T
21 TTT + =
1TT
2TT
72
ตวอยางท 4.5 ค ำนวณหำอณหภม 1T ในสภำวะคงตวของปญหำแสดงในดงรปท 4.6
เทคนคทแสดงดงตวอยำงท 4.2-4.4 เปนกำรประยกตใชวธกำรแยกตวแปรและ eigenfunction
expansion ในปญหำทมเงอนไขแบบไมเอกพนธเพยงแคหนงเงอนไข โดยเงอนไขทเหลอจะตองเปนแบบ
เอกพนธ ดงนนในตวอยำงน ซงเปนปญหำทประกอบดวยเงอนไขแบบไมเอกพนธสองเงอนไข เรำจะใช
เทคนค superposition ในกำรหำผลเฉลยของปญหำไดดงตอไปน
ขนท 1: ปญหำสำมำรถแบงออกไดเปนสองปญหำยอยกลำวคอ
2,11,11 TTT
ขนท 2: ค ำนวณหำอณหภม 1,1T และ 2,1T
1,1T เนองจำกเงอนไขขอบเขตแบบเอกพนธก ำหนดบน 0x และ ax ดงนนเรำตองกำร
eigenfunction ส ำหรบตวด ำเนนกำรของตวแปร x ผลเฉลยซงสองคลองกบเงอนไขขอบเขตแบบเอก
พนธของปญหำสำมำรถเขยนไดดงน
1
1,1 )sinh()sin(n
nnn ybkxkAT , eigenvaluea
nkn
(4.62)
kA
q
y
T
1
01 T BTT 1
01 T
2,11,11 TTT =
01,1 T 01,1 T
kA
q
y
T
1,1
01,1 T
+
1,1T
02,1 T BTT 2,1
02,1
y
T
02,1 T
2,1T
ax
by ax
by
ax
by
73
2,1T เนองจำกเงอนไขขอบเขตแบบเอกพนธก ำหนดบน 0y และ by ดงนนเรำตองกำร
eigenfunction ส ำหรบตวด ำเนนกำรของตวแปร y ผลเฉลยซงสองคลองกบเงอนไขขอบเขตแบบเอก
พนธของปญหำสำมำรถเขยนไดดงน
0
2,1 )sinh()cos(m
mmm xkykBT , eigenvalueb
mkm
2
1 (4.63)
ขนท 3: หำคำสมประสทธไมทรำบคำจำกเงอนไขขอบเขตแบบไมเอกพนธ
nA หำอนพนธของฟงกชน 1,1T
0
1,1)cosh()sin(
n
nnnn ybkxkAky
T
เมอ 0y :
00
1,1)cosh()sin(
n
nnnn
ykA
qbkxkAk
y
T
ดงนนจำกคณสมบตเชงตงฉำกของฟงกชนฮำรมอนคของผลเฉลยขำงตนเรำสำมำรถค ำนวณหำคำ
สมประสทธไดเปน
a
n
nn
n dxxkabkkAk
qA
0
)sin(2
)cosh(
1
)cosh(
)cos(122 bk
n
akAk
q
nn
)cosh(
)1(122 bkakAk
q
n
n
n
(4.64)
mB เมอ ax :
B
m
mmm TakykByaT
0
2,1 )sinh()cos(),(
จำกคณสมบตเชงตงฉำกของฟงกชน cosine เรำสำมำรถค ำนวณหำคำสมประสทธไดเปน
b
m
m
Bm dyyk
bak
TB
0
)cos(2
)sinh(
b
m
mm
B ykbkak
T0
)sin(2
)sinh(
74
)sin()sinh(
2bk
akbk
Tm
mm
B )sinh(
)1(2
akbk
T
mm
m
B (4.65)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
1
2
3
4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
xy
T1
,1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
1
2
3
4
0
2
4
6
8
10
12
xy
T1
,2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
1
2
3
4
0
2
4
6
8
10
12
xy
T1
รปท 4.7 อณหภม T1 ในสภำวะคงตว(สมมต 1a 4b 10BT 5.12
kA
q)
75
แบบฝกหด 4.1
1. จงหำผลเฉลยทวไปของสมกำรลำปลำซในสำมมตโดยวธกำรแยกตวแปร(แนะน ำ:ใชหลกกำรเดยวกบ
สมกำรในสองมตในตวอยำงท 4.2)
02
2
2
2
2
22
z
u
y
u
x
uu
2. ค ำนวณหำผลเฉลยของสมกำรลำปลำซในสองมตโดยเงอนไขขอบเขตดงน
300),0( yT , 400),( yaT , 450)0,( xT และ 0
byy
T