บทที่ 2 - ติวจริง ติว ...€¦ · บทที่ 2. 2...

เลขท่ีเอกสาร MA002

ติวเขม้เฮา้ส ์ Jigsaw of Knowledge

จ านวนจริง

บทท่ี 2

2 ติวเขม้เฮา้ส ์ Jigsaw of Knowledge

จ านวนจรงิ MA002 โดย พ่ีแจค๊

ในโลกปัจจบุนั ระบบจ ำนวนหรือตวัเลขท่ีเรำพบมำกท่ีสดุในชีวิตประจ ำวัน คือจ ำนวนนบั (1, 2, 3, … ) แตจ่ริงๆ แลว้ ตวัเลขท่ีมนษุยท์ัว่ไปใชก้นัอยู่คือ จ ำนวนจริง ซ่ึงจ ำนวนจริงจะประกอบไปดว้ย

คุณสมบติัท่ีควรพิจารณา ถำ้ให ้R เป็นเซต และ a, b, c เป็นสมำชิกใน R ดงัรปู และให ้* เป็นกำรกระท ำ เช่น บวก, ลบ, คณู, หำร หรืออ่ืนๆ

สมบติัปิด หมำยถึง กำรน ำสมำชิก 2 ตวัใดๆ ใน เซต R มำท ำเคร่ืองหมำย * แลว้ผลท่ีไดย้ังคงเป็นสมำชิกใน R แสดงว่ำ เซต R มีคณุสมบตัปิิดของกำรกระท ำแบบ * เช่น ระบบจ ำนวนจริงมีสมบตัปิิดของกำรลบ เพรำะว่ำ ไม่ว่ำเรำจะเอำจ ำนวนจริงใดๆ มำลบกนั ค่ำที่ไดก็้ยงัเป็นสมำชิกของจ ำนวนจริงอยู่ แต ่ระบบจ ำนวนเต็มบวกไม่มีสมบตัปิิดของกำรลบ เพรำะว่ำ ถำ้เรำเอำ 5 – 9 = -4 ซ่ึง – 4 ไม่เป็นสมำชิกของจ ำนวนเต็มบวก

จ านวนจริง

a b c

R

1. ระบบจ านวนจริง

จ านวนจริง, R

จ านวนตรรกยะ, Q จ านวนอตรรกยะ, Q

จ ำนวนเต็ม, I

เศษสว่น

จ ำนวนเต็ม

บวก จ ำนวนเต็มลบ ศูนย์



สมบติัการสลบัท่ี หมำยถึง กำรน ำสมำชิก 2 ตวั มำกระท ำแบบ * แลว้ปรำกฏว่ำ a * b = b * a แสดงว่ำ R มีสมบตักิำรสลบัท่ีของกำรกระท ำแบบ * เช่น ระบบจ ำนวนจริงไม่มีสมบตักิำรสลบัท่ีของกำรลบ เพรำะว่ำ a – b b – a แต ่ระบบจ ำนวนจริงมีสมบตักิำรสลบัท่ีของกำรลบ เพรำะว่ำ a + b = b + a

สมบติัการเปลี่ยนกล ุ่ม หมำยถึง ถำ้มีสมำชิกหลำยๆ จ ำนวนมำกระท ำแบบ (a *b) * c = a* (b * c) แสดงว่ำ เซต R มีสมบตักิำรเปลี่ยนกลุ่มของกำรกระท ำแบบ * เช่น ระบบจ ำนวนจริงไม่มีสมบตักิำรเปลี่ยนกลุ่มของกำรลบ เพรำะว่ำ (a – b) – c a – (b – c) แต ่ระบบจ ำนวนจริงมีสมบตักิำรเปลี่ยนกลุ่มของกำรบวก เพรำะว่ำ (a + b) + c = a + (b + c)

สมบติัการมีเอกลกัษณ์ หมำยถึง เซต R จะมีสมำชิกอยู่ 1 ตวั คือ i ท่ี i * a = a * i = a เรียก i ว่ำ เอกลกัษณ ์(i จะตอ้งเป็นสมำชิกของ R ดว้ย) เช่น ระบบจ ำนวนเต็มลบไม่มีสมบตักิำรมีเอกลกัษณข์องกำรบวก เพรำะว่ำ เรำทรำบว่ำ 0 คือเอกลกัษณข์องกำรบวก แต ่0 ไม่ใช่จ ำนวนเต็มลบ แต ่ระบบจ ำนวนเต็มมีสมบตักิำรมีเอกลกัษณข์องกำรบวก เพรำะว่ำ 0 เป็นสมำชิกของจ ำนวนเต็ม

สมบติัการมีอินเวอรส์ ถำ้ a R แลว้ อินเวอรส์ของ a (a-1) ซ่ึง a-1 * a = a * a-1 = i (เอกลกัษณ)์ ( a-1 ตอ้งเป็นสมำชิกของ R ดว้ย) เช่น ระบบจ ำนวนเต็มไม่มีสมบตักิำรมีอินเวอรส์ของกำรคณู

เพรำะว่ำ 151

5 ซ่ึง 1 คือเอกลกัษณข์องกำรคณู แต ่51

ไม่เป็นสมำชิกของจ ำนวนเต็ม

แต ่ระบบจ ำนวนจริงมีสมบตักิำรมีอินเวอรส์ของกำรคณู

เพรำะว่ำ 151

5 ซ่ึง 1 คือเอกลกัษณข์องกำรคณู และ 51

เป็นสมำชิกของจ ำนวนจริง



ฝึกทกัษะ 1 1. จงพิจำรณำขอ้ควำมตอ่ไปนี ้ว่ำถกู หรือผิด

.......1.1 จ ำนวนจริงมีสมบตัปิิดของกำรบวก .......1.2 จ ำนวนจริงมีสมบตัปิิดของกำรหำร

.......1.3 จ ำนวนเต็มลบมีสมบตัปิิดของกำรลบ .......1.4 จ ำนวนอตรรกยะมีสมบตัปิิดของกำรคณู

.......1.5 จ ำนวนจริงมีสมบตักิำรสลบัท่ีของกำรลบ .......1.6 จ ำนวนจริงมีสมบตักิำรสลบัท่ีของกำรคณู

....... 1.7 จ ำนวนตรรกยะมีสมบตักิำรสลบัท่ีกำรบวก .......1.8 จ ำนวนนบัมีสมบตักิำรสลบัท่ีของกำรหำร

.......1.9 จ ำนวนจริงมีสมบตักิำรเปลี่ยนกลุ่มกำรลบ .......1.10 จ ำนวนจริงมีสมบตัเิปลี่ยนกลุ่มกำรหำร

2. ก ำหนดเซต A = {-1, 0, 1} ขอ้ควำมตอ่ไปนีถ้กูหรือผิด .......2.1 เซต A มีสมบตัปิิดของกำรบวก .......2.2 เซต A มีคณุสมบตัปิิดของกำรคณู .......2.3 เซต A มีสมบตัสิลบัท่ีกำรบวกและกำรคณู .......2.4 เซต A มีสมบตัเิปลี่ยนกลุ่มกำรบวก .......2.5 เซต A มีสมบตักิำรมีเอกลกัษณข์องกำรบวก .......2.6 เซต A มีสมบตักิำรมีเอกลกัษณข์องกำรคณู .......2.7 เซต A มีสมบตักิำรมีอินเวอรส์ของกำรบวก .......2.8 เซต A มีสมบตักิำรมีอินเวอรส์ของกำรคณู

3. ก ำหนดให ้A = {x R / x หำรดว้ย 3 ลงตวั} ขอ้ควำมตอ่ไปนีถ้กูหรือผิด .......3.1 เซต A มีสมบตัปิิดของกำรบวก .......3.2 เซต A มีสมบตัปิิดของกำรคณู .......3.3 เซต A มีสมบตักิำรสลบัท่ีของกำรบวก .......3.4 เซต A มีสมบตักิำรสลบัท่ีของกำรคณู .......3.5 เซต A มีสมบตักิำรมีเอกลกัษณข์องกำรบวก .......3.6 เซต A มีสมบตักิำรมีเอกลกัษณข์องกำรคณู .......3.7 เซต A มีสมบตักิำรมีอินเวอรส์ของกำรบวก .......3.8 เซต A มีสมบตักิำรมีอินเวอรส์ของกำรคณู

4. ในเซต R ถำ้นยิำมกำรด ำเนนิกำร * ดงันี ้a * b = a + b + ab ถำ้ a R, b R ขอ้ควำมตอ่ไปนีถ้กูหรือผิด .......4.1 3 * 2 = 12 .......4.2 2 * 3 = 12 .......4.3 (1 * 2) * 3 = 23 .......4.4 เซต R มีคณุสมบตัปิิดของกำร * .......4.5 เซต R มีสมบตักิำรสลบัท่ีของกำร * .......4.6 เซต R มีสมบตักิำรเปลี่ยนกลุ่มของกำร * .......4.7 เซต R มีสมบตักิำรมีเอกลกัษณข์องกำร * .......4.8 เซต R มีสมบตักิำรมีอินเวอรส์ของกำร *

5. ขอ้ใดตอ่ไปนีผ้ิด 1. เซตของจ ำนวนเต็มมีสมบตักิำรสลบัท่ีของกำรลบ 2. เซตของจ ำนวนเต็มมีสมบตักิำรเปลี่ยนกลุ่มของกำรบวก 3. ยเูนยีนของเซตของจ ำนวนนบั กบัเซตของจ ำนวนเต็มลบไม่เท่ำกบัเซตของจ ำนวนเต็ม 4. จ ำนวนเต็มทกุจ ำนวนเป็นจ ำนวนตรรกยะ



2.1 ทฤษฎีบทเศษเหลือ

ขอ้ดี สำมำรถหำเศษเหลือไดไ้ว โดยไม่ตอ้งจบัมำตัง้หำรใหเ้สียเวลำ ขอ้เสยี ไม่สำมำรถหำค่ำดบิท่ีไดจ้ำกกำรหำรได ้

เช่น จงหำเศษจำกกำรหำร 6x3xx 23 ดว้ย 2x วิธีท่ี 1 ใชท้ฤษฎีบทเศษเหลือ วิธีท่ี 2 ใชก้ำรตัง้หำรสงัเครำะห์ วิธีท่ี 3 ใชก้ำรตัง้หำรยำว

2.2 ทฤษฎีบทตวัประกอบ

จำก n2n

21n

1n

0 a....xaxaxa)x(p เรำสำมำรถเขยีนใหอ้ยู่ในรปูกำรแยกตวัประกอบ

ได ้คือ )cx)...(cx)(cx(a)x(p n210

2. ทฤษฎีการแยกตวัประกอบพหนุามในระบบจ านวนจริง

ก ำหนดให ้ คือจ ำนวนจริงใดๆ และ n คือจ ำนวนเต็ม

และ ถกูหำรดว้ย x – c แลว้จะเหลือเศษเท่ำกบั p(c) เมื่อ p(c) คือกำรแทนค่ำ x ดว้ยค่ำ c ใน p(x)

ถำ้ใชท้ฤษฎีเศษเหลือแลว้ (แทนค่ำ x ดว้ยค่ำ c ท ำใหค้่ำเท่ำกบั 0) แสดงว่ำ จะเป็นตวัประกอบตวัหนึง่ของ p(x)



2.3 การแกส้มการท่ีมีดีกรีสงูกว่า 1 เมื่อ n10 a,...,a,a คือจ ำนวนจริงใดๆ และ n คือจ ำนวนเตม็

ให ้ 0a....xaxaxa n2n

21n

1n

0 เรำสำมำรถใชท้ฤษฎีทั้ง 2 ทฤษฎีขำ้งตน้แยกตวัประกอบได ้ดงันี ้ )cx)...(cx)(cx(a n210 = 0 จะไดค้ ำตอบคือ n21 c,...,c,cx

ฝึกทกัษะ 2

1. จงหำเศษและผลหำรท่ีไดจ้ำกกำรหำร p(x) = 5x3 – 11x2 – 14x – 10 ดว้ย x-3 2. จงแยกตวัประกอบของ 2x3 – 3x2 – 11x + 6 3. จงแยกตวัประกอบของ x3 – x2 – 4x + 4 4. จงหำจ ำนวนจริง k ท่ีท ำให ้x + 2 เป็นตวัประกอบของ 3x3 + 2kx2 – 4x – 8 5. จงหำจ ำนวนจริง k ท่ีท ำให ้x – 3 หำร x3 – k2x2 – kx – 4 แลว้เหลือเศษ 17 6. จงแกส้มกำร x4 – 5x3 – 3x2 + 17x – 10 = 0

7. ให ้b, c เป็นจ ำนวนจริง ถำ้รำกของสมกำร 3x2 + bx + c = 0 เป็นจ ำนวนเต็มบวก โดยท่ีผลตำ่งของรำกเท่ำกบั 1 และผลคณูของรำกเท่ำกบั 2 แลว้ cb เท่ำกบัเท่ำใด

8. ถำ้ a เป็นจ ำนวนเต็มบวก ซ่ึง x – a หำร x2 – x – 17 เหลือเศษ 3 แลว้ x + a2 จะเหลือเศษเท่ำกบัเท่ำใด

อสมกำร คือสญัลกัษณอ์ย่ำงหนึง่ท่ีกระท ำพจนซ์ำ้ยและพจนข์วำ ในรปูของกำรไม่เท่ำกนั ซ่ึงมีอยู่ 4 ลกัษณะคือ หมำยถึง นอ้ยกว่ำ

หมำยถึง มำกกว่ำ หมำยถึง นอ้ยกว่ำ หรือ เท่ำกบั หมำยถึง มำกกว่ำ หรือ เท่ำกบั

คุณสมบติัท่ีส าคัญของอสมการ 1. ถำ้ a 0 แลว้ ac < bc

ถำ้ a bc ถำ้ a bd > 0

3. อสมการ

8. ถำ้ 0 < a < b และ 0 < c < d แลว้ c

b

d

a0

9. ถำ้ a < b < 0 และ c < d < 0 แลว้ 0c

b

d

a

10. ถำ้ 0 < a < b แลว้ b

1

a

1

11. ถำ้ a < b < 0 แลว้ b

1

a

1


1. ขอ้ใดตอ่ไปนีถ้กู เมื่อ a และ b เป็นจ ำนวนจริงบวก 1. ถำ้ a < b แลว้ a < b2 2. ถำ้ a < b แลว้ a2 < b 3. ถำ้ a < b แลว้ a < ab 4. ถำ้ a c – b 4. ถำ้ a bc

4.1 ช่วงจ ากดั พิจำรณำที่ a a} [a, ) = {x / x a} (-, a) = {x / x < a} (-, a] = {x / x a}

ใชส้ญัลกัษณ ์a a เมื่อ a > 0 a = 0 เมื่อ a = 0 -a เมื่อ a < 0

คุณสมบติั ให ้a, b เป็นจ ำนวนจริงใด ๆ 1. a 0 2. a a 3. a = -a 4. ab = ab

5.

6. a + b a + b 7. a - b a - b

4. ช่วง

5. ค่าสมับรูณ ์

a b

a b

a b

a b

a

a

a

a

1. ก ำหนดให ้a, b, c และ d เป็นจ ำนวนจริง ขอ้ตอ่ไปนีถ้กูหรือผิด

.......1.1 ถำ้ 0a แลว้ 0a .......1.2 ถำ้ 0a แลว้ 0a 1

.......1.3 ถำ้ ba แลว้ ba .......1.4 ถำ้ 0ba แลว้ 0a และ 0b

.......1.5ถำ้ bdac แลว้ ba และ dc .......1.6 ถำ้ 10a5 แลว้ 100a25 2

2. ก ำหนดให ้A = [-8, 6] B = [-6 , 9] C = (-9, 1] D = (0, 5) จงหำเซตในขอ้ตอ่ไปนี ้2.1 BA 2.2 AB 2.3 )BA(D 2.4 )DC()BA(

3. ก ำหนดให ้a, b, c และ d เป็นจ ำนวนจริง ขอ้ตอ่ไปนีถ้กูหรือผิด

.......3.1 ถำ้ a R และ a 0 แลว้ aa

.......3.2 ถำ้ a 0 และ b 0 แลว้ abab

.......3.3 ถำ้ a 0 และ b 0 แลว้ abab

.......3.4 ถำ้ a = b แลว้ ba

.......3.5 ถำ้ a < 0, b < 0 และ a < x 0, b > 0 แลว้ baba

4. ถำ้ 21

x แลว้ 1x2x มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดตอ่ไปนี ้

1. x – 1 2. –x + 1 3. 3x – 1 4. –3x + 1

มีขัน้ตอนในกำรแกอ้สมกำรดงัตอ่ไปนี้

1. ท ำอสมกำรทำงดำ้นขวำมือใหม้ีค่ำเป็น 0 โดยยำ้ยพจนท์ำงขวำมือมำ บวกหรือลบ

(, , , ) 0 หมายเหต ุ 1. หำ้มยำ้ยพจนท่ี์ตดิตวัแปรไปคณู หรือหำรอีกฝัง่หนึง่เด็ดขำด 2. ถำ้ยำ้ยคำ่ที่ตดิลบไปคณู หรือหำรอีกฝัง่หนึง่ ใหก้ลบัเคร่ืองหมำยของอสมกำร

2. ซำ้ยมือตอ้งท ำใหอ้ยูใ่นรปูผลคณูของตวัประกอบก ำลงัหนึง่ และสมัประสิทธ์ิหนำ้ตวัแปรตอ้งเป็นบวก

เสมอ เช่น (3x – 8)(x + 3) < 0 หมายเหต ุ 1. ถำ้สมัประสิทธ์ิหนำ้ตวัแปรเป็นลบ

2. ถำ้แยกตวัประกอบไม่ได ้ 3. หำเซตค ำตอบของสมกำร โดยใชเ้สน้จ ำนวน

หมายเหต ุ ถำ้มีตวัประกอบมีเลขยกก ำลงัเป็นจ ำนวนคู่ หรือมีเลขยกก ำลงัเป็นจ ำนวนคี่

6. การแกอ้สมการท่ีไมมี่ค่าสมับรูณ ์




1. จงแกอ้สมกำรตอ่ไปนี ้

1.1 3x + 3 -2x – 4 1.2 3

3xx3

1.3 83

x2510

1.4 0

4x)x31)(1x2( 3

2. ก ำหนดให ้[a, b] เป็นค ำตอบของอสมกำร 2x2 – 5x + 2 0 แลว้จดุกึง่กลำงของ [a ,b] มีค่ำเท่ำใด

3. ขอ้ใดตอ่ไปนีค้ือ เซตค ำตอบของอสมกำร 0x9

x

1. [-3, 0) [3, ) 2. (-, -3] [31

, 3]

3. [-, -3] [0, 3] 4. [-, -3] (0, 3]

4. ค ำตอบของอสมกำร 10xx2 2 คือขอ้ใดตอ่ไปนี ้

1. [-2, 5] 2. [-2, 25

]

3. ),25

[]2,( 4. (-, -2] [5, )

5. ให ้R คือเซตของจ ำนวนจริง เซตของค ำตอบของอสมกำร 1x1x

x 22

4

คือขอ้ใดตอ่ไปนี ้

1. R 2. R – {-1, 1} 3. (-1, 1) 4. (-,-1)(1,)

6. ก ำหนดให ้a, b, c เป็นจ ำนวนเต็ม ซ่ึง 1 < a < 7 ถำ้ค ำตอบของสมกำร ax2 + bx + c = 0 คือ r1, r2 โดยท่ี r1 + r2 = 0 และ 1rr 21 แลว้ เซตค ำตอบของอสมกำร (x – a)(x – b)(x – c) < 0 คือช่วงในขอ้ใดตอ่ไปนี้ 1. (-, -1) (0, 4) 2. (-, 0) (1, 4) 3. (-, -2) (0, 5) 4. (-, 0) (2, 5)

7. ให ้A เป็นเซตค ำตอบของอสมกำร x2x1x4

และ B = { x / x เป็นจ ำนวนเต็ม และ 20x20 } จ ำนวน

สมำชิกของเซต BA เท่ำกบัเท่ำใด

การแกส้มการในรปูค่าสมับูรณ ์มีวิธีในกำรแกส้มกำร 2 วิธีคือ 1. ใชห้ลกักำร

a เมื่อ a > 0 a = 0 เมื่อ a = 0 -a เมื่อ a < 0 แลว้วิเครำะหเ์ป็นกรณีไป 2. พยำยำมจดัใหอ้ยู่ในรปู แลว้ยกก ำลงัสองทัง้สองขำ้งจะได ้

22 หลงัจำกนัน้ท ำกำรแกส้มกำร ระวงั! หลงัจำกแกส้มกำรหำค่ำ x ไดแ้ลว้ตอ้งตรวจค ำตอบว่ำค่ำ x เป็นจริงหรือไม่ ทกุครัง้


1. จงแกส้มกำรตอ่ไปนี้ 1.1 7x52 1.2 3x23x2

1.3 3x25x4 1.4 41x5x 2. ให ้A เป็นเซตค ำตอบของสมกำร 1031x4 ขอ้ใดตอ่ไปนีถ้กู

1. ]27,1[A 2. ]2,2[A 3. ]

23

,3[A 4. ]0,4[A

7. การแกส้มการและอสมการท่ีอย ูใ่นรปูค่าสมับรูณ ์

3. ก ำหนดให ้ }21x2x1x2xx{A 22 ถำ้ ]b,a[]5,5[A แลว้ a + b เท่ำกบัขอ้ใด

ตอ่ไปนี ้1. –6 2. –3 3. 3 4. 6

การแกอ้สมการในรปูค่าสมับูรณ ์มี 2 ลกัษณะ คือ 1. กรณีมีค่าสมับรูณเ์ดียว หรือ สามารถยบุใหมี้ค่าสมับรูณเ์ดียวได ้เราใชค้ณุสมบติัดงัต่อไปน้ี

1. x < a ก็ตอ่เมื่อ -a < x < a 2. x a ก็ตอ่เมื่อ -a x a 3. x > a ก็ตอ่เมื่อ x < -a หรือ x > a 4. x a ก็ตอ่เมื่อ x -a หรือ x a

โดยท่ีกำรพิจำรณำ a > 0 หลงัจำกนัน้ ใชวิ้ธีกำรแกส้มกำรในกรณีไม่มีค่ำสมับรูณไ์ด ้ ตวัอยา่ง จงแกอ้สมกำร 8x37

2. กรณีมีหลายค่าสมับรูณ ์ และไม่สามารถยบุใหเ้หลือค่าสมับรูณเ์ดียวได ้ เราใชห้ลกัการดงัตวัอยา่ง

ต่อไปน้ี ตวัอยา่ง จงหำเซตค ำตอบของอสมกำร 2x - 1 + 2 < x + 2


1. จงแกอ้สมกำรตอ่ไปนี ้1.1 6x243 1.2 3x21x

1.3 101x25 1.4 3x21x

1.5 x1xx13

1.6 14x2



2. ถำ้ 12x แลว้ 4x 2 นอ้ยกว่ำเลขจ ำนวนในขอ้ใดตอ่ไปนี ้

1. 1 2. 2 3. 4 4. 5 3. ค ำตอบของอสมกำร 1x4x คือขอ้ใดตอ่ไปนี ้

1. 23

x 2. 23

x 3. 23

x 4. 23

x

4. ก ำหนดใหเ้อกภพสมัพทัธค์ือ เซตของจ านวนเต็ม ถำ้ }23xx{A และ }0)x3)(x1(x{B แลว้ BA คือขอ้ใดตอ่ไปนี ้1. {2} 2. {2, 3} 3. {3, 4} 4. {4}

5. ให ้ }x24xx{A และ B = [-10, 10] ขอ้ใดตอ่ไปนีถ้กู

1. ),10(BA 2. )10,34(BA

3. ),10(BA 4. )10,34

(AB

6. ให ้ A เป็นเซตค ำตอบของอสมกำร 1x21x

และ R เป็นเซตของจ ำนวนจริง แลว้ R – A คือเซตในขอ้ใด

ตอ่ไปนี ้

1. ]32,0[ 2. )

32,0[ 3. ]

31,0[ 4. )

31,0[



1. ก ำหนดให ้A และ B เป็นเซตค ำตอบของอสมกำร 02x

x3 2

และ 2x2 2 ตำมล ำดบั เซตในขอ้ใดเป็น

สบัเซตของ B – A 1) {-1.6, 1.6} 2) {–1.7, 1.7} 3) {-1.8. 1.8} 4) {-1.8, 1.7}

2. ก ำหนด bxaxx)x(p 36 โดยท่ี a และ b เป็นจ ำนวนจริง ถำ้ x – 1 หำร p(x) เหลือเศษ –1 และ x + 1 หำร )x(p เหลือเศษ 1 แลว้ x หำร )x(p เหลือเศษเท่ำไร

1) -1 2) 0 3) 1 4) 2 3. เซตค ำตอบของอสมกำร 4x3x2 คือ

1) ]1,23

[ 2) 1, 3) 4) ]1,1[

4. ก ำหนดให ้ 5ba และ 4ca ตอ่ไปนีข้อ้ใดถกูตอ้ง

1) 20bcabaca2 2) 45

caba

3) 1cb 4) 9cba2

5. ก ำหนดให ้ 5x7 และ 4y3 ตอ่ไปนีข้อ้ใดถกูตอ้ง 1) 25x0 2 2) 1yx10

3) 20xy28 4) 45

yx

37

6. ให ้ 4AxAxx)x(p 34 และ x – 2 หำร p(x) เหลือเศษ 6 ค.ร.น. ของ P(-2) กบั 51 คือขอ้ใด 1) 102 2) 95 3) 83 4) 80

ประลองก าลงักบัโจทยพ์ลิกแพลง

7. ให ้p เป็นจ ำนวนเฉพำะบวก และ m, n เป็นจ ำนวนเต็ม ถำ้ x + 3 หำร pnxmxx 23 ลงตวั และ x – 1

หำร pnxmxx 23 เหลือเศษ 4 แลว้ m และ n มีค่ำเท่ำกบัขอ้ใดตอ่ไปนี ้ 1) m = 4, n = -4 2) m = 2, n = -2 3) m = -4, n = 4 4) m = -2, n = 2

8. จ ำนวนจริง x ท่ีมำกท่ีสดุท่ีสอดคลอ้งกบัอสมกำร 22

x23

4x2

เป็นสมำชิกของเซตใดตอ่ไปนี ้

1) [-1, 0.5] 2) [0.5, 1] 3) [1, 1.5] 4) [1.5, 2]

9. เซตค ำตอบของ 511x

2x3

คือ

1) )41

,0()2,6( 2) )41

,1()2,6(

3) )41

,0()1,6( 4) ),1()1,6(

10. ก ำหนด 32x และ 34y ขอ้ใดตอ่ไปนีถ้กูตอ้ง

1) 14y2x

และ 04y2x

2) 0yx12 และ 1yx

5

3) 0yx12 และ 1yx

75

4) 12yx และ 75

yx

11. ค่ำของ x ท่ีสอดคลอ้งกบัอสมกำร x1xx13

คือ

1) x < 3 หรือ x < 1 2) –3 < x < 1 3) x < 1 4) x < -3

1. (ปี 52) ก ำหนดให ้a, b และ x เป็นจ ำนวนจริง และ n เป็นจ ำนวนเต็มบวก ขอ้ใดตอ่ไปนี้ผิด 1. √

2. ab ≤

(a2 + b2)

3. a - b ≤ a + b ≤ a + b 4. ถำ้ x - a <

โดยท่ี a > 0 แลว้ a < 2x < 3a

2. (ปี 52) ก ำหนดสมกำร √

√

ผลคณูของค ำตอบของสมกำรมีค่ำตรงกบัขอ้ใด

1. 2/5 2. 4/5 3. 1 4. 2

3. (ปี 51) ก ำหนดให ้

ค่ำ x อยู่ในช่วงใด

1. x (4, 5) 2. x (2, 3) 3. x (

, 1) 4. x (0,

)

4. (ปี 51) ขอ้ใดตอ่ไปนีถ้กูตอ้ง 1. ผลคณูของจ ำนวนอตรรกยะสองจ ำนวน เป็นจ ำนวนอตรรกยะ 2. x2 + y2 4xy ทกุจ ำนวนจริง x, y ใดๆ 3. √ √ ก็ตอ่เมื่อ x -1 และ x ≤ 1 4. 2x - 3 > 5 ก็ตอ่เมื่อ x < -1 หรือ x > 4

จบครบั

ขอ้สอบเกา่

บทที่ 2 - ติวจริง ติว ...€¦ · บทที่ 2. 2...

Documents

Transcript of บทที่ 2 - ติวจริง ติว ...€¦ · บทที่ 2. 2...