Physics 1 - ฟสิกิส ์1

บทท่ี 10 การหมุนบทที่ผ่านมาจะกล่าวถึงจลศาสตร ์ แรง พลังงาน และโมเมนตัม ซึ่งจะอธบิายเกี่ยวกับกฎ

พื้นฐานของการเคล่ือนที่ และกฎการอนุรกัษ์ ซึ่งจะพจิารณาเฉพาะวตัถทุี่เคล่ือนที่ในแนวเสน้ตรงเท่านัน้ แต่ในนความเป็นจรงิการหมุนก็เป็นการเคล่ือนที่อีกแบบหนึ่ง ซึ่งในบทน้ีและบทต่อไปจะอธบิายเกี่ยวกับการหมุนเน้ือหาประกอบด้วย10.1 นิยามการหมุน 10.2 จลศาสตรก์ารหมุน10.3 กฎการหมุน 10.4 ทฤษฎีแกนตัง้ฉากและทฤษฎีแกนขนาน10.5 รศัมไีจเรชัน่ 10.6 การประยุกต์ใชก้ฎการหมุน10.7 พลังงานจลน์ในการหมุน

10.1 นิยาม การหมุน

ก. ข.

รูปที่ 10.1

เปรยีบเทียบความคล้ายคลึงระหวา่งการเคล่ือนที่เชงิเสน้กับการเคล่ือนที่เชงิมุม โดยพจิารณาดังรูปที่ 10.1 ก. และ ข.

การเคลื่อนท่ีเชงิเสน้ การเคลื่อนท่ีเชงิมุมตำาแหน่ง : จะบอกด้วยระยะทางซึ่งวดัจากแกนอ้างอิงมุมฉากถึงตำาแหน่งที่วตัถอุยู่

มุม : จะบอกด้วยมุมซึ่งวดัจากแกนอ้างอิงมุมฉากถึงตำาแหน่งที่วตัถอุยู่

การกระจดัชงิเสน้ : การเปล่ียนแปลงตำาแหน่ง การกระจดัเชงิมุม : การเปล่ียนแปลงมุมความเรว็ : การกระจดัที่เปล่ียนไป ความเรว็เชงิมุม : การกระจดัเชงิมุมที่เปล่ียนไปความเรง่ : การเปล่ียนแปลงความเรว็ ความเรง่เชงิมุม : การเปล่ียนแปลงความเรว็

เชงิมุม

เปรยีบเทียบความสมัพนัธร์ะหวา่งการเคล่ือนที่เชงิเสน้กับการเคล่ือนที่เชงิมุมในรูปของสมการทางคณิตศาสตร์

การเคลื่อนท่ีเชงิเสน้ การเคลื่อนท่ีเชงิมุม ความสมัพนัธ์ตำาแหน่ง : มุม : การกระจดั : การกระจดัเชงิมุม : ความเรว็ : ความเรว็เชงิมุม :

ความเรง่ : ความเรง่เชงิมุม :

ผศ. เสมา สอนประสม ภาควชิาฟสิกิส ์ คณะวทิยาศาสตร ์ มหาวทิยาลัยรงัสติ

107

Physics 1 - ฟสิกิส ์1

ตัวอยา่งท่ี 10.1 แผ่น CD มเีสน้ผ่าศูนยก์ลาง วางอยูบ่นแป้นหมุนซึ่งอยูน่ิ่ง เมื่อกดให้สวทิซท์ำาใหแ้ผ่น CD หมุนด้วยความเรว็ 200 rpm ภายในเวลา

จงหาก . ความเรง่เชงิมุมเฉล่ียข . ถ้าแผ่น CD มคีวามเรว็ลดลงเหลือ 100 rpm จง

หาความเรง่เชงิเสน้

วธิทีำา เปล่ียนความเรว็เชงิมุมจากหน่วย rpm (รอบต่อนาที) ใหเ้ป็นหน่วย rad/s

====

ก. จากสมการ

= = =

==

ข. จากความสมัพนัธร์ะหวา่งความเรง่เชงิมุมกับความเรง่ในแนวเสน้สมัผัส= ==

ค. จากความสมัพนัธร์ะหวา่งความเรว็เชงิมุมกับความเรง่เขา้สูศู่นยก์ลาง= ==

พจิารณารูปที่ 10.2 จะได้ความเรง่เชงิเสน้ของแผ่น CD คือ=

=

=

รูปที่ 10.2

10.2 จลศาสตรก์ารหมุน

ผศ. เสมา สอนประสม ภาควชิาฟสิกิส ์ คณะวทิยาศาสตร ์ มหาวทิยาลัยรงัสติ

108

Physics 1 - ฟสิกิส ์1

การเคล่ือนที่เชงิเสน้ของวตัถดุ้วยความเรง่ คงที่ สมการเหล่าน้ีได้มาจากการ integrate ชุดสมการจลศาสตรด์ังนี้

เมื่อพจิารณาสญัลักษณ์ที่ใชแ้ทนการเคล่ือนที่เชงิเสน้และเชงิมุมเชน่ กับ ; กับ เป็นต้น มาเปรยีบเทียบกับสมการการเคล่ือนที่เชงิเสน้เมื่อ คงที่ เราจะได้สมการการเคล่ือนที่เชงิมุมของวตัถเุมื่อ คงที่ดังนี้

การใชส้มการการเคล่ือนที่เชงิเสน้ใชไ้ด้เมื่อ คงที่ ในทำานองเดียวกับสมการการหมุนใชไ้ด้เมื่อ คงที่

ตัวอยา่งท่ี 10.2 จากตัวอยา่งที่ 10.1 จงหาก. แผ่น CD หมุนได้กี่รอบจงึจะหยุดหมุนข. ระยะทางเชงิเสน้ที่แผ่น CD เคล่ือนที่ได้ก่อนที่จะหยุดหมุน

วธิทีำา ก. จาก =จากตัวอยา่งที่ 10.1 เมื่อ ; ; ; ;

;

====

ข. ==

ผศ. เสมา สอนประสม ภาควชิาฟสิกิส ์ คณะวทิยาศาสตร ์ มหาวทิยาลัยรงัสติ

109

Physics 1 - ฟสิกิส ์1

=

10.3 การหมุนกฎการเคล่ือนที่ของนิวตันใชไ้ด้ดีกับการเคล่ือนที่ของวตัถ ุ ทำานองเดียวกันเราใชก้ฎการ

เคล่ือนที่ของนิวตันกับการหมุนด้วยกฎขอ้ท่ีหน่ึงของนิวตันสำาหรบัการหมุนวตัถทุกุชนิดจะเคล่ือนที่ด้วยความเรว็เชงิมุมคงที่ นอกจากม ีแรง ทอรด์มากระทำาต่อวตัถนัุน้ล้อรถจกัรยานจะไมส่ามารถเคล่ือนที่ได้นอกจากมแีรงภายนอกมากระทำา บางแรงทำาใหล้้อ

หมุนแต่บางแรงไมม่ผีลต่อการหมุนทอรค์คืออะไรและต่างจากแรงอยา่งไร

รูปที่ 10.3 รูปที่ 10.4

พจิารณารูปที่ 10.3 จะสงัเกตเุหน็วา่แนวแรงที่กระทำาต่อไมเ้มตรผ่านจุดหมุน (pivot) กรณีนี้จะไมเ่กิดการหมุน แต่ถ้าแนวแรงที่กระทำาต่อไมเ้มตรไมผ่่านจุดหมุน กรณีนี้จะเกิดการหมุน นอกจากน้ีแรงที่กระทำาต่อไมเ้มตรสามารถแยกออกเป็นองค์ประกอบยอ่ยเป็นแรงที่ตัง้ฉากกับไม้เมตรและแรงที่ชนานกับไมเ้มตรดังรูปที่ 10.4 แรงที่มผีลต่อการหมุนคือแรงที่ตัง้ฉากกับไมเ้มตรเท่านัน้ นัน่คือ

= ===

เมื่อ คือผลคณูระหวา่งระยะทางที่ลากจากจุดหมุนมาตัง้ฉาก (แขนหมุน) กับแนวแรง หรอืผลคณูระหวา่งแรงที่ตัง้ฉากกับแขนหมุน ดังรูปที่ 10.5

ทอรค์เมื่อเขยีนอยูใ่นรูปของเวกเตอร ์ หรอื cross product =

การหาทิศของทอรค์จะกล่าวในบทต่อไป

รูปที่ 10.5

ผศ. เสมา สอนประสม ภาควชิาฟสิกิส ์ คณะวทิยาศาสตร ์ มหาวทิยาลัยรงัสติ

110

Physics 1 - ฟสิกิส ์1

ตัวอยา่งท่ี 10.3 ออกแรงในแนวด่ิง เพื่อเปิดฝากระป๋องสโีดยออกแรงหา่งจากจุดหมุนเป็นระยะ ดังรูปที่ 10.6 จงหา

ก. ขนาดของทอรค์ข. แรง ที่ต้องใชเ้ปิดฝากระป๋องเมื่ออกแรงทำามุม กับแนวดิ่ง

วธิทีำา ก. เนื่องจากแรงที่ออกตัง้ฉากกับแขนหมุนจะได้วา่=

ขนาดของทอรค์ ===

ข.เมื่อแรง ไมต่ัง้ฉากกับแขนหมุน เมื่อแยกองค์ประกอบของแรงจะมเีพยีงแรงเดียวเท่านัน้ที่มีผลต่อการหมุน แรงนัน่คือ จะได้วา่

==

==

กฎขอ้สองของนิวตันสำาหรบัการหมุนความเรง่เชงิมุมของวตัถจุะเปล่ียนแปลงตามค่าทอรค์ แต่ไมข่ึ้นกับโมเมนต์ความเฉ่ือยของ

วตัถุจาก =

= เมื่อ คือโมเมนต์ความเฉ่ือยกฎขอ้สองสำาหรบัการหมุน

=โมเมนต์ความเฉ่ือยคืออะไร ใชท้ำาอะไรมผีลอยา่งไร และจะคำานวณอยา่งไร

วตัถรุูปทรงใด ๆ แขวนอยูด่ังรูปที่ 10.7 โดยมคีวามเรง่เชงิมุม พจิารณามวลก้อนเล็ก ๆ ถกูกระทำาด้วยแรง ซึ่งตัง้ฉากกับแขนหมุนทำาให ้ มคีวามเรง่เชงิมุม ด้วย อาศัยสมการ

= จะได้วา่=

แต่ คือแรงในแนวเสน้สมัผัส แทนด้วย จะได้ความเรง่ในแนวเสน้สมัผัส ด้วย

รูปที่ 10.7= =====

ผศ. เสมา สอนประสม ภาควชิาฟสิกิส ์ คณะวทิยาศาสตร ์ มหาวทิยาลัยรงัสติ

111

Physics 1 - ฟสิกิส ์1

เปรยีบเทียบสมการที่ได้กับกฎขอ้สองของการหมุนเมื่อ ที่ได้คือผลรวมของทอรค์ทัง้หมดที่เกิดจากมวลยอ่ย ๆ จะได้ค่าโมเมนต์ความเฉ่ือยของวตัถรูุปทรงใด ๆ คือ

=ตามปกติความเฉ่ือยต่อการเล่ือนตำาแหน่งของวตัถขุึ้นอยูก่ับมวล แต่ความเฉ่ือยต่อการ

หมุน (โมเมนต์ความเฉ่ือย) จะไมข่ึ้นกับมวลแต่ขึ้นอยูก่ับรูปทรงของวตัถุ

ตัวอยา่งท่ี 10.4 ดรมัเบลประกอบด้วยมวลก้อนละ เชื่อมด้วยมวลเบายาว หมุนรอบแกนซึ่งตัง้ฉากกับระนาบของกระดาษดังรูปที่ 10.8 จงหาขนาดของทอรค์ที่ทำาใหด้รมัเบลหมุนด้วยความเรว็ และหยุดภายในเวลา

วธิทีำา ถือวา่มวล ทัง้สองมขีนาดเล็กเมื่อเทียบกับระยะทางระหวา่งมวลทัง้สอง ดังนัน้ค่าโมเมนต์ความเฉ่ือยจากเง่ือนไขการอินทิเกรตก็คือผลรวมของมวลทัง้หมด

= =รูปที่ 10.8 แทนค่าต่าง ๆ ในสมการ

===

แต่ = =

=

=จากกฎขอ้สองของการหมุน

====

ในกรณีที่วตัถมุรีูปทรง รศัมใีนการหมุนวดัจากจุดหมุนไปยงัมวลสว่นเล็ก ๆ มคี่าไมม่ากนักเมื่อเทียบกับขนาดของวตัถ ุ เราสมารถคำานวณหาโมเมนต์ความเฉ่ือยได้โดยการอินทิเกรต

ตัวอยา่งท่ี 10.5 ก. จงหาโมเมนต์ความเฉ่ือยของวงแหวนบางสมำ่าเสมอรศัม ี มวล รอบแกนที่ผ่านจุดศูนยก์ลางมวลดังรูปที่ 10.9 ข. จงหาโมเมนต์ความเฉ่ือยของแผ่นจานบางสมำ่าเสมอรศัม ี มวล รอบแกนที่ผ่านจุดศูนยก์ลางมวลดังรูปที่ 10.10 วธิทีำา ก. แบง่วงแหวนออกเป็นสว่นเล็ก ๆ มมีวล หา่งจากแกนหมุนรศัม ี โมเมนต์ความเฉ่ือยของมวล คือ

==

==

ผศ. เสมา สอนประสม ภาควชิาฟสิกิส ์ คณะวทิยาศาสตร ์ มหาวทิยาลัยรงัสติ

112

Physics 1 - ฟสิกิส ์1

เมื่อผลรวมทัง้หมดของมวล ที่แบง่เป็นสว่นเล็ก ๆ มคี่าเท่ากับ ดังนัน้จะได้วา่โมเมนต์ความเฉ่ือย

ของวงแหวนบางรอบจุดศูนยก์ลางมวลคือ=

รูปที่ 10.10ข. ในกรณีเป็นแผ่นจานเมื่อแบง่แผ่นจานออกเป็นวงแหวนเล็ก ๆ รศัม ี หนา มมีวล

จะสงัเกตเุหน็วา่ ค่าขอบของวงแหวนมค่ีาไมค่งที่จะเปล่ียนตามระยะ ดังนัน้ค่าโมเมนต์ความเฉ่ือยของแผ่นจานเกิดจากโมเมนต์ความเฉ่ือยสว่นเล็ก ๆ ของวงแหวน ดังรูปที่ 10.10

เมื่อนำามวล หนา มาคล่ี

รูปที่ 10.10

=เมื่อรวมวงแหวนสว่นเล็ก ๆ ทัง้หมดก็จะกลายเป็นแผ่นบาง

=

=

แต่มวลสว่นเล็ก ขึ้นอยูร่ศัม ี สมมติเป็นแผ่นจานบางสมำ่าเสมอดังนัน้การกระจายของมวลจะขึ้นอยูก่ับพื้นที่

= เนื่องจาก ขึ้นอยูก่ับพื้นที่

=

หรอืคำานวณหา จาก = =แต่ คือความหนาแน่นต่อพื้นที่จะได้ จากบทที่ 8

===

ผศ. เสมา สอนประสม ภาควชิาฟสิกิส ์ คณะวทิยาศาสตร ์ มหาวทิยาลัยรงัสติ

113

Physics 1 - ฟสิกิส ์1

แทนค่า ลงในสมการ

=

=

=

=โมเมนต์ความเฉ่ือยของแผ่นจานกลมรอบจุดศูนยก์ลางคือ

=จากค่าโมเมนต์ความเฉ่ือยที่ได้ถ้าปล่อยวงแหวนกับแผ่นจานใหก้ลิ้งลงจากพื้นเอียงอันไหน

จะถึงปลายพื้นเอียงก่อนค่าโมเมนต์ความเฉ่ือยของวตัถขุึ้นอยูก่ับรูปรา่งของวตัถแุสดงดังตารางที่ 10.1

ตารางที่ 10.1

ผศ. เสมา สอนประสม ภาควชิาฟสิกิส ์ คณะวทิยาศาสตร ์ มหาวทิยาลัยรงัสติ

114

Physics 1 - ฟสิกิส ์1

10.4 ทฤษฎีแกนตั้งฉากและทฤษฎีแกนขนานในบางกรณีการคำานวณค่าโมเมนต์ความเฉ่ือยมคีวามยุง่ยากซบัซอ้นเราสามารถทำาใหง่้ายขึ้น

โดยใชท้ฤษฎีแกนตัง้ฉาก หรอืทฤษฎีแกนขนานเขา้มาชว่ย

10.4.1 ทฤษฎีแกนตั้งฉาก เป็นทฤษฎีที่ใชใ้นการคำานวณหาค่าโมเมนต์ความเฉ่ือยของวตัถแุขง็เกรง็ที่มลัีกษณะเป็นแผ่นบาง ๆ พจิารณาวตัถหุมุนรอบแกน , และ แสดงดังรูปที่ 10.11

รูปที่ 10.11

จาก =เมื่อ เป็นระยะจาก ถึงแกน และ เน่ืองจากเป็นวตัถแุผ่นบางจะได้

=แต่

===

ตัวอยา่งท่ี 10.6 จงหาค่าโมเมนต์ความเฉ่ือยของแผ่นจานบางสมำ่าเสมอมวล รศัม ี รอบแกน และ ดังรูปที่ 10.12

ผศ. เสมา สอนประสม ภาควชิาฟสิกิส ์ คณะวทิยาศาสตร ์ มหาวทิยาลัยรงัสติ

115

Physics 1 - ฟสิกิส ์1

รูปที่ 10.12

วธิทีำา อาศัยแกน , และ ตามรูป ใหร้ะนาบของวงกลมอยูใ่นระนาบ และจุดศูนยก์ลางอยูท่ี่จุด จะได้

=แต่ และ จะได้

=

=

และ =

นัน่คือ

10.4.2 ทฤษฎีแกนขนาน ค่าโมเมนต์ความเฉ่ือยของวตัถโุดยทัว่ ๆ ไปเราจะทราบค่าโมเมนต์ความเฉ่ือยของวตัถรุอบแกนที่ผ่านจุดศูนยก์ลางของมวลของวตัถ ุ ถ้าต้องการจะหาค่าโมเมนต์ความเฉ่ือยของวตัถนัุน้รอบแกนหมุนใด ๆ ซึ่งขนานกับแกนหมุนที่ผ่านจุดศูนยก์ลางมวล และหา่งออกมาเท่ากับ ดังรูปที่ 10.13

ผศ. เสมา สอนประสม ภาควชิาฟสิกิส ์ คณะวทิยาศาสตร ์ มหาวทิยาลัยรงัสติ

116

Physics 1 - ฟสิกิส ์1

รูปที่ 10.13

=เมื่อ

คือโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนใด ๆ ที่ขนานกับแกนที่ผ่านจุดศูนยก์ลางมวล คือโมเมนต์ความเฉื่อยรอบจุดศูนยก์ลางมวล คือมวลของวตัถนัุน้

เป็นระยะหา่งระหวา่งแกนทัง้สอง

ตัวอยา่งท่ี 10.7 จงใชท้ฤษฎีแกนขนานหาค่าโมเมนต์ความเฉ่ือยของลวดเสน้เล็ก มวล ยาว ซึ่งหมุนรอบจุด ที่อยูป่ลายลวดดังรูปที่ 10.4

รูปที่ 10.4

วธิทีำา =

=

=

=

=

10.5 รศัมไีจเรชัน่จากตัวอยา่งที่ผ่านมา เราจะพบวา่วตัถทุี่มรูีปรา่งต่างๆ กันยอ่มมสีมการโมเมนต์ความเฉ่ือย

ต่างกัน ดังนัน้เพื่อความสะดวกในการคำานวณ จงึได้มกีารกำาหนดสมการทัว่ไปสำาหรบัโมเมนต์ของความเฉ่ือยของวตัถทุกุรูปรา่งขึ้นมาเมื่อ

=เมื่อ คือโมเมนต์ความเฉื่อยของวตัถทุกุรูปรา่ง

ผศ. เสมา สอนประสม ภาควชิาฟสิกิส ์ คณะวทิยาศาสตร ์ มหาวทิยาลัยรงัสติ

117

Physics 1 - ฟสิกิส ์1

คือมวลของวตัถนัุน่ คือรศัมไีจเรชัน่

10.6 การประยุกต์ใชก้ฎการหมุนตัวอยา่งท่ี 10.8 แขวนมวล = ที่ปลายเชอืกเบาโดยปลายอีกขา้งหน่ึงคล้องผ่านรอกมวล = มเีสน้ผ่าศูนยก์ลาง แสดงดังรูปที่ จงหาความเรง่ของมวลที่แขวน

รูปที่ 10.14

วธิทีำา เพื่อความสะดวกในการคำานวณใหแ้ยกคิดที่ละสว่นดังนี้พจิารณาแรงที่กระทำาบนมวลที่แขวน เมื่อมวลเคล่ือนที่ในแนวเสน้ตรง อาศัยกฎการ

เคล่ือนที่ขอ้สองของนิวตัน ตามรูปที่ 10.15=== (1)

กำาหนดใหท้ิศลงมเีครื่องหมายเป็นบวก

รูปที่ 10.15 พจิารณาแรงที่กระทำาต่อรอก ซึ่งประกอบด้วยแรง ; และ ดังรูปที่ 10.16 แรงที่ทำาใหเ้กิดทอรค์และทำาใหร้อกหมุนคือแรง เท่านัน้ กำาหนดใหท้ิศหมุนตามเขม็นาฬิกาเป็นบวก

จากกฎขอ้สองของการหมุน==

=แทนค่า ลงในสมการที่ 1 จะได้

= (2) รูปที่ 10.16

ผศ. เสมา สอนประสม ภาควชิาฟสิกิส ์ คณะวทิยาศาสตร ์ มหาวทิยาลัยรงัสติ

118

Physics 1 - ฟสิกิส ์1

เมื่อ คือโมเมนต์ความเฉ่ือยของแผ่นจานกลมกลมรอบจุดศูนยก์ลางมวลจะได้

เมื่อความเรง่ คือความเรง่ที่เกิดเนื่องจากจากแรง เป็นความเรง่ที่ขอบ

ที่ขอบของแผ่นจานกลมดังนัน้ แต่ แทนค่าต่างๆ ลงในสมการที่ (2)

=

=

=

=

แทนค่าต่าง ๆ เพื่อหาค่า

=

=

ตัวอยา่งท่ี 10.9 วตัถทุรงกลมมวล รศัม ี มโีมเมนต์ความเฉื่อย กล้ิงลงมาตามพื้นเอียงสงู จงหาความเรง่และความเรว็เชงิเสน้ที่ปลายพื้นเอียงวธิทีำา

รูปที่ 10.17

เขยีน free body diagram แสดงแรงที่กระทำากับวตัถแุสดงดังรูปที่ 10.17 จะสงัเกตเหน็วา่แรงที่ทำาใหห้มุนคือแรงเสยีดทาน จากกฎการเคล่ือนที่ขอ้ 2 ของนิวตัน เมื่อแยกพจิารณาในแต่ละสว่นพจิาณาการเลื่อนตำาแหน่งแกน

=== (1)

(เมื่อแรง เป็นแรงที่ทำาใหว้ตัถทุรงกลมหมุนหมุน)แกน =

== (2)

ผศ. เสมา สอนประสม ภาควชิาฟสิกิส ์ คณะวทิยาศาสตร ์ มหาวทิยาลัยรงัสติ

119

Physics 1 - ฟสิกิส ์1

พจิารณาการหมุน=== (3)

แทนสมการที่ (3) ลงในสมการที่ (1)=

แต่ คือความเรง่ในแนวเสน้สมัผัส อาศัยความสมัพนัธร์ะหวา่งความเรง่เชงิเสน้ในแนวเสน้สมัผัสกับความเรง่เชงิมุมจะได้

พจิารณาการเล่ือนตำาแหน่งของวตัถทุรงกลมอยา่งเดียวแสดงดังรูปที่ 10.17 ก. และการหมุนอยา่งเดียวแสดงดังรูปที่ 10.17 ข. เพื่อใชป้ระกอบการรพจิารณาการเคล่ือนที่ของวตัถุวา่เป็นการเคล่ือนที่ลักษณะใด ถ้าเคล่ือนที่แบบกลิ้งเป็นการเคล่ือนรวมกันทัง้สองแบบ

ก. วตัถเุล่ือนตำาแหน่งอยา่งเดียว ข. วตัถหุมุนอยา่งเดียว

รูปที่ 10.17 แสดงการเคล่ือนที่ของทรงกลม

=

==

=

จากสมการที่ได้ถ้าวตัถไุมม่กีารหมุน จะได้คำาตอบของความเรง่คือ ซึ่งกล่าวมาแล้วจากขา้งต้น

เนื่องจากความเรง่ ที่ได้เป็นค่าคงที่ ดังนัน้เราสามารถคำานวณหาค่าความเรว็ของวตัถุทรงกลม จากโจทยค่์าต่าง ๆ ที่กำาหนดใหม้ดัีงน้ี

; ; ; (ต้องการหา)

;

จากค่าที่กำาหนดใหส้มการการเล่ือนตำาแหน่งที่ไมต่ิดตัวแปรเวลา คือ

ผศ. เสมา สอนประสม ภาควชิาฟสิกิส ์ คณะวทิยาศาสตร ์ มหาวทิยาลัยรงัสติ

120

Physics 1 - ฟสิกิส ์1

=

=

=

=

นัน่คือถ้าวตัภไุมม่กีารหมุน คำาตอบของความเรว็คือ ตามที่ได้กล่าวมาแล้ว

สรุป ทอรค์จะอธบิายถึงการหมุนของวตัถ ุ สว่นแรงจะอธบิายถึงการเล่ือนตำาแหน่งของวตัถุ

10.7 พลังงานจลน์ในการหมุนจากบทที่ผ่าน ๆ มา หวัขอ้สดุท้ายที่จะกล่าวถึงคือกฎการอนุรกัษ์พลังงาน เน่ืองจากเมื่อใช้

พลังงานคำานวณจะทำาใหง่้ายและสะดวกกวา่การคำานวณเมื่อใชแ้รงและทอรค์ แต่ปัญหาที่เกิดขึ้นคือพลังงานจนล์มผีลต่อการหมุนอยา่งไร พจิารณาดังรูปที่ 10.18 เมื่อแบง่มวลออกเป็นสว่นเล็ก ๆ มคีวามเรว็ และอยูห่า่งจากจุดหมุน จากนิยามของพลังงานจลน์เชงิเสน้ของมวลเล็ก ๆ

=

รูปที่ 10.18

แต่ คือความเรว็ในแนวเสน้สมัผัส จะได้

=คิดทัง้หมด

=เมื่อสมการทางซา้ยมอืคือพลังงานจลน์ในการหมุนของวตัถทุัง้ก้อน สว่นสมการทางขวามอื

คือโมเมนต์ความเฉื่อยพลังงานจลน์ในการหมุน

=

จะสงัเกตเุหน็วา่พลังงานจลน์เชงิเสน้จะมคี่าเท่ากับครึง่หน่ึงของผลคณูระหวา่งความเฉ่ือย (มวล) กับความเรว็กำาลังสอง ในทำานองเดียวกันพลังงานจลน์ในการหมุนจะมค่ีาเท่ากับครึง่หนึ่งของผลคณูระหวา่งโมเมนต์ความเฉ่ือยและความเรว็เชงิมุมยกกำาลังสอง

ตัวอยา่งท่ี 10.10 จากตัวอยา่งที่ 10.9 จงหาความเรง่และความเรว็เชงิเสน้เมื่อใชก้ฎการอนุรกัษ์พลังงาน

ผศ. เสมา สอนประสม ภาควชิาฟสิกิส ์ คณะวทิยาศาสตร ์ มหาวทิยาลัยรงัสติ

121

Physics 1 - ฟสิกิส ์1

วธิทีำา

รูปที่ 10.19พจิารณารูปที่ 10.19 เมื่อวตัถกุล้ิงพลังงานจลน์ที่เกี่ยวขอ้งได้แก่พลังงานจลน์เชงิเสน้

(การเคล่ือนที่ของจุด cm) กับพลังงานจลน์ในการหมุน (วตัถหุมุนรอบจุด cm) จากกฎการอนุรกัษ์พลังงาน

==

=เมื่อวตัถกุล้ิงโดยไมม่กีารไถลความเรว็เชงิเสน้จะสมัพนัธก์ับความเรว็เชงิมุมดังน้ี

=

=

=

เมื่อคำานวณโดยการใชก้ฎการอนุรกัษ์พลังงานจะง่ายกวา่การคำานวณโดยใชแ้รงและทอรค์ทราบหรอืไม ่? ทำาไมความเรง่และความเรว็ไมข่ึ้นอยูก่ับมวล ใหนั้กศึกษาพจิารณาที่ค่า

โมเมนต์ความเฉ่ือย ถ้ากำาหนดให ้ เมื่อ คือแรงเสยีดทานแทนลงในสมการขา้งบนจะได้

=

=

จากสมการที่ได้ค่า และ จะไมป่รากฎ นัน่คือความเรว็จะไมข่ึ้นกับมวลแต่ขึ้นอยูก่ับรูปรา่ง เน่ืองจากในสมการมคี่า ปรากฎอยู่

นักศึกษาตอบได้หรอืไมว่า่ เมื่อปล่อยวงแหวนกับแผ่นจานกลมจากปลายพื้นเอียงพรอ้มกันอันไหนจะถึงปลายพื้นเอียงก่อน

สรุป

นิยามการหมุนมุม : การกระจดัเชงิมุม :

ผศ. เสมา สอนประสม ภาควชิาฟสิกิส ์ คณะวทิยาศาสตร ์ มหาวทิยาลัยรงัสติ

122

Physics 1 - ฟสิกิส ์1

ความเรว็เชงิมุม : ความเรง่เชงิมุม :

ความสมัพนัธร์ะหวา่งเชงิเสน้กับเชงิมุม

สมการการหมุนจะใชไ้ด้เมื่อความเรง่เชงิมุม คงที่ นิยามของทอรค์ :กฎขอ้สองของการหมุน :นิยามของโมเมนต์ความเฉ่ือย :ทฤษฎีแกนตัง้ฉาก :ทฤษฎีแกนขนาน :พลังงานจลน์ในการหมุน :

ผศ. เสมา สอนประสม ภาควชิาฟสิกิส ์ คณะวทิยาศาสตร ์ มหาวทิยาลัยรงัสติ

123