บทท 1 หนวย ปรมาณฟสกสและเวกเตอร

การพฒนาทางดานวทยาศาสตรและเทคโนโลยมในปจจบน มการเปลยนแปลงไปอยาง

รวดเรว ซงสงผลท าใหมนษยสามารถคดคน ประดษฐนวตกรรมใหมๆ รวมไปถงการพฒนาความรและความเขาใจเกยวกบปรากฏการณทางธรรมชาตไดดยงขน ทงนเมอพจารณาถงองคความรพนฐาน จะพบวา วชาฟสกสเปนองคความรส าคญทถกน ามาใชในการพฒนาองคความรดงกลาวทงสนไมวา จะเปน การเคลอนท งาน พลงงาน ก าลง ความรอน ปรากฏการณคลน แสง เสยง ไฟฟา และแมเหลกไฟฟา เปนตน นอกจากน การด าเนนชวตประจ าวนยงเกยวของกบฟสกสทงทางตรงและทางออม ทงนการบอกปรมาณทางกายภาพบางอยาง สามารถบอกไดดวยตวเลข (ขนาด) และหนวยกสามารถสอความหมายไดอยางสมบรณ เชน สถานทแหงหนงอากาศมอณหภม 40 0C คนไทยจะรบรไดวาอากาศรอน แตถาอณหภมต ากวา 20 0C คนไทยจะรสกหนาว สสารทมความหนาแนนสมพทธ (relative density) มากกวา 1 จะจมน า เปนตน นอกจากนยงมปรมาณกายภาพบางอยาง บอกเพยงตวเลขและหนวยแตไมสามารถสอความหมายไดอยางสมบรณ ตองบอกพรอมกบก าหนดทศทางจงจะไดความหมายสมบรณ เชน ความเรวซงแสดงการเคลอนทของวตถ นอกจากจะบงบอกถงปรมาณของความเรวแลว จ าเปนตองมทศทางดวย การออกแรงกระท าตอวตถตองบอกขนาดและทศทางของแรง เปนตน 1.1 ฟสกสและพฒนาการเกยวกบฟสกส

ความหมายของฟสกสแตเดมท คอ “การศกษาปรากฏการณทางธรรมชาตทงหลาย” ในศตวรรษท 19 ความรทางฟสกสไดถกแบงออกเปนกลมใหญๆ 3 กลม คอ

1) กลศาสตรแบบดงเดม (Classical mechanics) การศกษาเกยวกบการเคลอนทของอนภาคและวตถทมความเรวต าๆ ซงมความเรวนอยกวาแสงมากๆ โดยอาศยกฎการเคล อนทของ นวตน เปนหลก

2) อณหพลศาสตร (Thermodynamics) ศกษาเกยวกบอณหภม การถายเทความรอน และทฤษฎจลของกาซ

3) แมเหลกและไฟฟา (Magnetic and electricity) ศกษาเกยวกบปรากฏการณทางไฟฟา แมเหลกและการแผรงส

ซงเรยกกลมวชาดงกลาววา “ฟสกสดงเดม (Classical physics)” และในศตวรรษท 20 มปรากฏการณและปญหาทางฟสกสบางประการทไมสามารถใชทฤษฎในฟสกสดงเดมอธบายไดอยางถกตอง เชน การแผรงสของวตถด า (Black body radiation) ปรากฏการณโฟโตอเลกทรกซ (Photoelectric effect) และปรากฏการณคอมปตน (Compton’s scattering) เปนตน จงท าใหเกดวชา “ฟสกสยคใหม (Modern physics)” โดยมทฤษฎทส าคญไดแก ทฤษฎควอนตม (Quantum theory) และ ทฤษฎสมพทธภาพ (Relativity theory) ในปจจบนแนวความคดของวชาฟสกสดงเดมและยคใหมจะถกเรยกรวมเปนวชาเดยวกนวา “ วชาฟสกส ” ซงนยามความหมายของฟสกสโดยสรป

4

ไดวา เปนวชาทเกยวของกบการศกษาองคประกอบของสสาร อนตรกรยา (Interaction) ระหวางอนภาคกบอนภาคหรออนภาคกบสนาม โดยนกฟสกสเชอวาความเขาใจเกยวกบอนตรกรยาตางๆ จะท าใหใจความเปนจรงของธรรมชาต และสามารถอธบายปรากฏการณตางๆในธรรมชาตไดถกตองมากยงขน 1.2 การวดและความคลาดเคลอน

1.2.1 การวด (Measuring)

การศกษาทางดานวทยาศาสตรสงทส าคญยงอยางหนงคอ การวดปรมาณตางๆ ซงเปนทมาของแหลงขอมลใหมๆ การวดปรมาณตางๆ สงทตองระวงเปนพเศษ คอ

เครองมอวด ตองไดมาตรฐานและตองเหมาะสมกบปรมาณทจะวด วธการวด ตองเปนวธทสะดวกปลอดภยและไดคาทละเอยดถกตอง

ก. การแสดงผลของการวด เครองมอวดทใชงานทางดานวทยาศาสตรจะแสดงผล การวด 2 แบบ คอแบบขดสเกลและแบบตวเลข เชนภาพท 1.1 และภาพท 1.2 ตามล าดบ

ภาพท 1.1 ไมโครมเตอรใชวดความหนาของวตถแสดงผลเปนแบบขดสเกลสามารถวดไดละเอยดถง 0.01 มลลเมตร

ภาพท 1.2 นาฬกาบอกเวลาแสดงผลแบบตวเลข

5

ข. การอานผลจากเครองมอวด เนองจากเครองมอวดทางดานวทยาศาสตร แสดงผลการวดแบบขดสเกล และแบบตวเลข ดงนน การอานผลจากเครองมอวดทแสดงผลการวดแบบตางๆ จะมขอพจารณาดงน

1. เครองมอวดแบบแสดงผลดวยขดสเกล คาทอานไดจากเครองมอน เชน ความยาวของไมทวด ดวยไมบรรทด น าหนกของผลไมทชงดวยตาชง เปนตน จะประกอบดวย

คาอานทไดโดยตรง + คาทตองประมาณดวยสายตา

2. เครองมอวดแบบแสดงผลดวยตวเลข คาทอานไดจากเครองมอชนดน เชน

คาความตางศกยไฟฟาทวดดวยเครองมลตมเตอร เปนตน จะประกอบดวย คาความคลาดเคลอนไวไหในคมอการใช

ค. การเลอกใชเครองมอวด ในการเลอกใชเครองมอวด มหลกในการพจารณา คอ ตองเลอกเครองมอวดใหเหมาะสมกบลกษณะของงาน เชน การวดความยาวของกงไมตามทแสดง ในภาพท 1.3 เราใชไมบรรทดทสามารถวดไดละเอยดถง 0.1 มลลเมตร กเพยงพอ โดยไมจ าเปนตองใชไมโครมเตอรซงมความละเอยดในการวดถง 0.01 มลลเมตร เปนตน

ง. สงทมผลกระทบตอความถกตองของการวด การวดปรมาณทางวทยาศาสตร สงท

จะมผลกระทบตอความถกตองของการวด ไดแก เครองมอวด วธการวด ผท าการวด สภาพแวดลอมขณะท าการวด มขอพงระมดระวงเพอไมใหสงเหลานนมผลมากนก ดงตารางท 1.1

1.2.2 คาความคลาดเคลอนและคาความไมแนนอน (Errors and uncertainties)

คาความคลาดเคลอน คอ คาแตกตางระหวางคาทค านวณได หรอคาทไดจากการทดลองกบคาแทจรง (True value) โดยทวไปคาแทจรงของสงตางๆ จะสามารถหาไดจากคาโดยประมาณซงเปนคาทไดจากการคาดคะเนทางทฤษฎ หรอเปนคาทไดจากการทดลองของนกวทยาศาสตรกลมตางๆ ทไดท าการทดลองมากอน คาโดยประมาณจะเปนคาทท าใหเราทราบวาผลการทดลองเปนอยางไร

คาโดยประมาณ มความส าคญและเกยวของในการวดทางวทยาศาสตรอยางมาก โดยเฉพาะคาทไดจากการทดลองในหองปฏบตการจะเปนคาโดยประมาณและมคาความคลาดเคลอนเสมอ ในการทดลองใดๆ เมอท าการวดหลายครงจะพบวาคาทไดนนมคาแตกตางกน แสดงวาขอมลทไดมคาไมแนนอน ซงขนอยกบการแปรปรวนของขอมลและทฤษฎทใชอธบายการทดลองดงกลาว คาความไมแนนอนทวดไดสามารถใชคาดคะเนคาความคลาดเคลอนของการวดได โดยคาความคลาดเคลอนดงกลาวจะไดมาจากความกวางของการแจกแจงการวดจ านวนหลายคร งนนเอง แตในความเปนจรงเราไมสามารถหาคาความคลาดเคลอนทแทจรงไดจงจ าเปนทจะตองพฒนาวธการวดและวธคาดคะเนคาความคลาดเคลอน อกทงยงตองเขาใจแบบจ าลองทางทฤษฎทใชหาคาพารามเตอรตางๆ ดวย การวเคราะหคาความคลาดเคลอนไมไดพจารณาถงความแมนย าของการทดลองเทานน โดยทวไปตองสนใจขอมลทมประโยชนอนๆดวย โดยไมจ าเปนตองท าการทดลองซ าดวยเครองมอท

6

ดกวา หรอท าการวดหลายครง แตเราตองท าความเขาใจและศกษาปญหาตางๆ ทพบ นอกจากน การปรบปรง และพฒนาเทคนคส าหรบวเคราะหคาความคลาดเคลอนท าใหสามารถประมาณคาพารามเตอรทเหมาะสมส าหรบอธบายขอมลดงกลาวได

1.2.3 เลขนยส าคญ (Significant figures)

ในการบนทกผลจากการทดลองมกจะพบปญหาในการบนทกคา โดยเฉพาะผลลพธจากเครองค านวณซงใหผลลพธออกมามหลายๆต าแหนง การพจารณาวาคาทไดจะสามารถใชคาทงหมดทปรากฏไดหรอไม หรอจะเลอกบนทกไดตามตองการ ในทางวทยาศาสตรการบนทกผลจะใชกหลกนนตองค านงถงความแมนย าของการทดลองและความละเอยดของเครองมอหรออปกรณทใชใน การทดลองนนๆ โดยพจารณาจากเลขนยส าคญ (Significant number) ของขอมลเรมตน การก าหนดเลขนยส าคญจะนบจ านวนหลกจากซายไปขวามอเมอ

1) หลกทางซายไมเปนศนย ทงเลขจ านวนเตมและทศนยม 2) หลกทางขวามอ กรณเลขจ านวนเตมจะนบเฉพาะหลกทไมเปนศนย สวนเลขทศนยมจะ

นบทกตว การเขยนเลขนยส าคญของผลลพธจากการทดลองหรอการค านวณจะตองไมท าให ความ

แมนย าของการวดเปลยนไป ทงนในการค านวณจะมหลกในการบนทกดงน การบวกและลบของเลขนยส าคญ หลกเกณฑในการหาผลลพธของการบวกและลบของเลขนยส าคญ คอ ผลลพธทไดมตวเลข

หลงจดทศนยมเทากบจ านวนตวเลขหลงจดทศนยมนอยทสดของเลขนยส าคญทน ามาบวกหรอลบกน การคณและหารของเลขนยส าคญ หลกเกณฑในการหาผลลพธของการคณและหารของเลขนยส าคญ คอ ผลลพธทไดมจ านวน

ตวเลขนยส าคญเทากบจ านวนตวเลขนยส าคญนอยทสดของเลขนยส าคญทน ามาคณหรอหารกน 1.3 มาตรฐานและหนวย

การศกษาวชาฟสกสมกจะเกยวของกบการวด จงจ าเปนตองมหนวยมาตรฐานของปรมาณตางๆ เชน มวล ความยาว หรอ เวลา ในทนจะใชระบบนานาชาต (SI = Systems International d' Unites) ซงเปนระบบทพฒนาขนมาโดย General conference on weights and measures โดยระบบหนวยนานาชาตจะประกอบดวย หนวยฐาน หนวยอนพนธ และค าน าหนาหนวยแสดงปรมาณดวยตวเลขซงบางครงเรยกวา “ค าอปสรรค”

ก. หนวยฐาน เปนหนวยหลกของหนวยเอสไอ ม 7 หนวย ดงตารางท 1.1

7

ตารางท 1.1 หนวยพนฐานในการวด

ปรมาณ หนวย สญลกษณ ความยาว เมตร m

มวล กโลกรม kg เวลา วนาท s

กระแสไฟฟา แอมแปร A อณหภมทางอณหพลศาสตร เคลวน K

ปรมาณของสาร โมล mol ความเขมของการสองสวาง แคนเดลา cd

ทมา (Halliday, Resnick, & Walker, 2001, หนา 2) และหนวยพนฐานทง 7 ชนด มนยามดงน

เมตร (Metre) คอ ความยาวท เทากบระยะทางทแสงเดนทางในสญญากาศในชวงเวลา 1/299, 792,458 ของวนาท

กโลกรม (Kilogram) คอ หนวยของมวลทเทากบมวลตนแบบนานาชาต วนาท (Second) คอ ชวงเวลา 9,191,631,770 เทาของคาบการแผรงสทเกดจาก

การเปล ยนระดบพล งงานของอะตอมซ เซยม -133 ระหวางระดบไฮเปอรไฟนสองระดบพลงงานของสถานะพน

แอมแปร (Ampere) คอ กระแสไฟฟาคงททปอนใหกบลวดตวน าตรงสองเสนทมความยาวอนนตและมพนทหนาตดนอยมากๆ เมอลวดตวน าทงสองวางหางจากกน 1 เมตร ในสญญากาศ แลวท าใหเกดแรงขนาด 2 x 10-7 นวตนตอความยาว 1 เมตร

เคลวน (Kelvin) คอ หนวยของอณหภมทางอณหพลศาสตร (Thermodynamics temperature) มคาเทากบ 1/273.16 ของอณหภมทางพลศาสตรทจดน าสามสถานะ (triple point of water)

โมล (Mole) คอ ปรมาณของสารในระบบทประกอบดวยองคประกอบมลฐานทเทยบเทากบจ านวนอะตอมคารบอน 12 ในปรมาณ 0.012 กโลกรม

แคนเดลา (Candela) คอ ความเขมของการสองสวางในทศทก าหนดของแหลงก าเนดแสงความถเดยว 540 x 1012 เฮรตซ และมความเขมของการแผรงสในทศทางดงกลาว เทากบ 1/683 วตตตอสเตอเรเดยน

ข. หนวยอนพนธ เปนหนวยทเกดจากหนวยฐานหลายหนวยรวมกน เชน แรง ความดน

งาน พลงงานก าลง เปนตน

8

ค. ค าน าหนาหนวยแสดงปรมาณดวยตวเลขหรอค าอปสรรค ถาคาในหนวยฐาน หรอ

หนวยอนพนธมคามากหรอนอยเกนไป เพอความสะดวกจะเปลยนเปนตวเลขคณดวยสบยกก าลงบวกหรอลบแทน เชน 0.003 A หรอ 3×10-3 A นนคอสามารถเขยนเปน 3 mA ซง m เรยกวาค าอปสรรค และค าอปสรรคอนๆ ไดแก

ตารางท 1.2 ค าอปสรรค

ตวคณ ชอ สญลกษณ 10-18 อตโต (Atto) a 10-15 เฟมโต (Femto) f 10-12 พโก (Pico) p 10-9 นาโน (Nano) n 10-6 ไมโคร (Micro) 10-3 มลล (Milli) m 10-2 เซนต (Centi) c 10-1 เดซ (Deci) d 10 เดคา (Deca) da 102 เฮกโต (Hecto) h 103 กโล (Kilo) k 106 เมกะ (Mega) M 109 จกะ (Giga) G 1012 เทระ (Tera) T 1015 เพตะ (Peta) P 1018 เอกซะ (Exa) E

ทมา (ปรบปรงจาก Halliday, Resnick, & Walker, 2001, หนา 2) 1.4 การวเคราะหมต

มต (Dimension) เปนตวก าหนดลกษณะทางธรรมชาตของปรมาณทางฟสกส เชน การวดระยะทางในหนวยของฟต หลา เซนตเมตร หรอเมตร จะมมตเปน “ความยาว (Length)” สญลกษณของมตทใชก าหนดหนวยพนฐานทางฟสกส เชน ความยาว มวล เวลา จะก าหนดเปน L, M และT ตามล าดบ เราจะใชวงเลบ [ ] ในการก าหนดมตของปรมาณทางฟสกส เชน มตของความเรว จะเขยนเปน [v] = L/T และมตของพนทคอ [A] = L2 เปนตน ความส าคญของมต คอ ใชตรวจสอบ

9

ความถกตองของสมการทางฟสกส กลาวคอถาหากเปนสมการทถกตองแลว ทงสองขางของสมการจะตองมมตเดยวกน เชน การเคลอนทของอนภาคในแนวเสนตรงมสมการเปน

X = vt หรอ [x] = [vt]

[Length] = [(Length)/(Time)][Time] L = (L/T)T [Length] = [Length] L = L

ส าหรบสมการทมความซบซอน เชน x = vt + 2

1at2 จะหามตไดดงน

[x] = [vt] + 2

1 [at2]

L = 22

TT

LT

T

L

L = L+L

ซงจะเหนวาทกๆเทอมมมตเปน L ทงหมด แสดงวาสมการถกตองแลวและจะสงเกตเหนวาตวเลข 2

1

นน ไมมมต 1.5 ระบบพกด (Coordinate system)

ในวชาฟสกสมกจะมความเกยวของกบการเคลอนทของวตถ ซงอธบายไดจากต าแหนงของวตถนนๆ โดยพจารณาจากต าแหนงปจจบน ต าแหนงทผานมา หรอต าแหนงทก าลงเคลอนทไป การบอกต าแหนงของวตถจงจ าเปนตองมระบบพกด (Coordinate system) เพอใชในการอางองส าหรบหาระยะและทศทางของวตถในขณะนนๆ ระบบพกดทนยมใชกนมากซงสะดวกและงายต อ การบอกต าแหนง คอ ระบบพกดแบบคารทเซยน (Cartesian coordinate system) ประกอบดวยเสน ตงฉาก 3 เสน เรยกวา แกน (Axis) โดยทวไปก าหนดเปนแกน x (x-Axis) แกน y (y-Axis) และแกน z (z-Axis) โดยแกนทงสามตดกนทจดก าเนด (Origin) ซงเปนจดทระยะในแตละแกนมคาเปนศนย ดงนนการบอกต าแหนงของจดใดๆในของระบบพกดแบบคารทเซยนแสดงไดดงภาพท 1.3 ซงสามารถวดระยะในแตละแกนแลวเขยนพกดเปน ( x , y , z ) เมอพจารณาจด P ใดๆพบวามระยะตามแกน x เทากบ x0 ซงสามารถหาไดจากจดตดของระนาบทขนานกบระนาบ yz ซงผานจด P นนเอง และท านองเดยวกนสามารถหาระยะตามแกน y และแกน z ไดเทากบ y0 และ z0 ตามล าดบ

10

0x

x

0y

0z

y

z

00,0 z,yxP

ภาพท 1.3 ระบบพกดแบบคารทเซยน ทมา (ปรบปรงจาก Serway, 2008, หนา 60)

ปรากฏการณโดยทวไปอาจจะบอกพกดไดดวยแกน 2 แกน คอ แกน x และแกน y ดงภาพท 1.4 โดยคาบวกและคาลบของระยะตามแกน x จะอยทางขวาและทางซายของแกน y ตามล าดบ ส าหรบระยะตามแกน y จะก าหนดใหคาบวกอยเหนอแกน x และคาลบอยใตแกน x ถากลาวถงระยะตามแกน z สามารถพจารณาจากระนาบของแผนกระดาษ โดยคาบวกจะก าหนดให มทศทางพงออกจากหนากระดาษ สวนคาลบจะมทศพงเขาไปในแผนกระดาษ โดยสวนใหญจะเรยกระบบพกดแบบคารทเซยนวา พกดฉาก (Rectangular coordinates)

0x

x

0y

y

0,0 yxP

ภาพท 1.4 ระบบพกด 2 มต ทมา (ปรบปรงจาก Serway, 2008, หนา 60)

โดยทวไปการวดและการสงเกตการณการเคลอนทของวตถ รถยนต รถไฟ หรอเครองบน

จะอางถงจดเรมตนทอยบนพนดน หรอระนาบบนพนดน จงเรยกระนาบพนดนวา กรอบอางอง (Frame of reference) ถากลาวถงโลกเคลอนทจะใชกรอบอางองทตดอยกบดวงอาทตย สวนตวเราเองจะรสกวาโลกหยดนง สวนดวงอาทตยและดาวดวงอนๆตางหากทเคลอนทและโคจรรอบโลกทงนเพราะเราใชตวเองเปนหลกหรอเปนจดอางองของสงอนๆ

11

ระบบพกดอกระบบหนงทนยมใชบอกต าแหนงของวตถ คอ ระบบพกดเชงขว (Polar coordinates system) เปนระบบทบอกพกดของวตถดวยระยะรศม r จากจดก าเนด และมมทท ากบแกน x โดยบอกต าแหนงเปน (r,) ดงภาพท 1.5 ซงมความสมพนธกบพกดฉากดงสมการ x = r cos() และ y = r sin() (1.1) หรอ

22 yxr และ x

ytan θ (1.2)

x

sinry

y

0,0 yxP

cosrx

r

ภาพท 1.5 ระบบพกดเชงขว ทมา (ปรบปรงจาก สมาคมวทยาศาสตรแหงประเทศไทยในพระบรมชปถมภ, 2543, หนา 17)

จากสมการ (1.2) มม ตองเปนมมทท ากบแกน + x เทานน ถาเปนมมทท ากบแกนอนจะตองเปลยนใหเปนมมทท ากบแกน x จงจะสามารถเขยนอยในเทอมของพกดเชงขวได การหาคามมจากสมการ (1.2) ตองระมดระวง เชน จด (-1,2) และ (1,-2) ในพกด ( x , y ) มมทไดจะตางกน

เนองจาก

2

1tan

2

1tan 11 จงจ าเปนตองทราบต าแหนงของวตถและมมหาไดม

ความสมพนธกบแกน x อยางไร ตวอยางท 1.1 บอลลนลกหนงถกยดไวดวยเชอกเสนหนง พบวาต าแหนงของบอลลนอยสง 16 เมตร และอยหางจากจดยดไป 12 เมตร ดงภาพท 1.6 จงหาพกดเชงขวของบอลลนดงกลาว

12

?

?r เมตร 16

เมตร 12

ภาพท 1.6 ภาพประกอบตวอยางท 1.1 วธท า ต าแหนงของลกบอลลนในพกดฉากคอ x = +12.0 เมตร y = +16.0 เมตร สามารถหาต าแหนงในพกดเชงขวได

เมตร 20.0(16)(12)yxr 2222 และ

o11 53.112.0

16.0tan

x

ytan

θ

ไดพกดเชงขวของลกบอลลน คอ (20, 53.1) 1.6 ปรมาณสเกลารและเวกเตอร (Scalars and vectors)

ในทางฟสกสและวศวกรรม การทราบจ านวนและหนวยของปรมาณใดปรมาณหน งอาจไมเพยงพอส าหรบการอธบายปรมาณนนใหสมบรณได เชน การเดนไปทางทศเหนอ 3 กโลเมตร ยอมมต าแหนงแตกตางจากการเดนไปทางทศตะวนออก 3 กโลเมตร การกลาวเพยงสนๆ วาเราไดเดนทางไปแลว 3 กโลเมตร จะไมสามารถบอกต าแหนงสดทายไดถาไมทราบทศทางของการเดน เรยกต าแหนงทเปลยนไปของวตถวา “การกระจด (Displacement)” และเรยกปรมาณทมทงขนาด

13

(Magnitude) และทศทาง วา “ปรมาณเวกเตอร (Vector)” ซงเปนปรมาณทสามารถใชอธบายปรมาณทางฟสกสไดสมบรณมากขน ปรมาณเวกเตอรจะแทนดวยเสนตรงและเลอกสเกลท เหมาะสมโดยความยาวของเสนตรงจะใชแทนขนาดเวกเตอร หรอใชแทนการกระจด หรอขนาดของความเรวหรอขนาดของปรมาณตางๆ โดยหนวยของความยาวของเสนตรงจะไมมความส าคญมากนก สวนลกศรทปลายเสนตรงจะแสดงถงทศทางของเวกเตอร จากภาพท 1.7 แสดงเสนตรงทใชแทนเวกเตอรอนหนงซงวางอย 3 ต าแหนง พบวา เสนตรงแตละเสนจะมทงขนาดและทศทางเหมอนกน จงเปนเสนตรงทใชแทนเวกเตอรเดยวกน

ภาพท 1.7 เสนตรงใชแทนเวกเตอร ทมา (ปรบปรงจาก Serway, 2008, หนา 56)

นอกจากปรมาณเวกเตอรแลวจะมปรมาณบางปรมาณท ไมมทศทางเขามาเกยวของแต

สามารถอธบายปรมาณทางฟสกสนนๆไดอยางสมบรณดวยตวเลขเพยงอยางเดยวเทานน เรยกปรมาณนวา “สเกลาร (Scalars)” เชน มวล ปรมาตร ความหนาแนน ความดน และอณหภม เปนตน การค านวณทางคณตศาสตรของปรมาณสเกลารจะเหมอนกบการค านวณทวๆ ไป สวนการค านวณปรมาณเวกเตอรจะตองค านงถงทศทางของปรมาณนนๆ ดวย จงเรยกการค านวณแบบนวา “พชคณตเวกเตอร (Vector algebra)”

ส าหรบขนาดของเวกเตอรสามารถหาไดจากความยาวของเสนตรง และบงบอกทศทางดวยหวลกศรทปลายเสนตรงดงกลาว เรยกระยะทไดนวา “การกระจดของเวกเตอร (Displacement vector)” ซงแทนดวย s สวนความเรวแทนดวย v โดยลกศรเหนออกษรใชแสดงวาปรมาณดงกลาวเปนปรมาณเวกเตอร โดยทวไปแทนขนาดของเวกเตอร s และ v ดวย s และ v ตามล าดบ ซงมความสมพนธกบปรมาณเวกเตอรเปน ss และ vv การทราบขนาดจะไดขอมลเพยงบางสวนของเวกเตอรเทานน เราจะสามารอธบายปรมาณดงกลาวไดอยางสมบรณเมอทราบทศทางของปรมาณดงกลาวดวย 1.7 การบวกเวกเตอร (Vector addition)

14

B

BAC

A

ภาพท 1.8 การบวกเวกเตอรโดยบวก A

ดวย B

ทมา (ปรบปรงจาก Serway, 2008, หนา 56)

ABC

B

A

ภาพท 1.9 การบวกเวกเตอรโดยบวก B

ดวย A

ทมา (ปรบปรงจาก Serway, 2008, หนา 56)

การบวกปรมาณเวกเตอรจะแตกตางจากการบวกทางคณตศาสตรทวๆไป จงตองค านงถงทงขนาดและทศทางของเวกเตอรนน วธทสะดวกและงาย คอ การวาดกราฟของเวกเตอรเหลานนดวยสเกลทแนนอนสเกลหนง เชน การบวก A

และ B

โดยก าหนดให 1 เซนตเมตรเทากบการกระจด 1

กโลเมตร จะเรมวาดเสนตรงทลากจากจดเรมตนไปยงปลาย B

ท าให C

มคาดงสมการ BAC

(1.3)

เมอ C

คอ ผลรวมของ A

และ B

โดยสมการ (1.3) จะใชไดกรณทเวกเตอรทงสองมหนวยเหมอนกน

ส าหรบกรณทเวกเตอรมหนวยตางกน เชน การบวกการกระจดกบความเรวจะไมสามารถใชสมการ (1.3) วเคราะหได และการวเคราะหจะยงยากมากกวา จงตองระมดระวงกรณดงกลาวดวย

การบวกเวกเตอรสามารถสลบทกนได (Commutative) ดงสมการ ABBA

(1.4)

จากภาพท 1.8 เปนการบวกเวกเตอรโดยเรมจาก A

แลวบวกดวย B

สวนภาพท 1.9 เปน

การบวก B

ดวย A

ซงจะใหผลลพธเทากบกรณแรก การบวกเวกเตอรมากกวา 2 เวกเตอร สามารถสลบกลมกนได (Associative) เชน การบวก

A

, B

และ C

โดยน า A

และ B

มาบวกกนกอนแลวจงน าผลลพธมาบวกดวย C

ดง ภาพท 1.10

15

(ก) และ (ข) สวนภาพท 1.10 (ค) และ (ง) เปนการบวกเวกเตอรโดยน า B

และ C

มาบวกกนกอนแลวน าผลทไดมาบวกกบ A

ซงจะไดความสมพนธดงน

)()( CBACBA

(1.5)

B

A

C

BA

B

A

C

BA

C

BA

CBAR

C

BA

CBAR

(ก) (ข)

B

A

C

CB

B

A

C

CB

CB

A

CBAR

CB

A

CBAR

(ค) (ง)

ภาพท 1.10 การจดกลมบวกเวกเตอร ทมา (ปรบปรงจาก Serway, 2008, หนา 57)

การลบเวกเตอรกสามารถท าไดเชนเดยวกบการบวกเวกเตอร โดยเวกเตอรทจะน ามาบวก

จะเปนสวนกลบของเวกเตอร หรอมขนาดเทากบเวกเตอรแตมทศทางตรงกนขาม ดงตวอยาง การลบ A

ดวย B

ดงภาพท 1.11 (ก) โดยสวนกลบของ B

แสดงในภาพท 1.11 (ข) จะไดผลลพธ

ของการบวกเวกเตอรดงภาพท 1.11 (ค) ซงมความสมพนธตามสมการ )( BABA

(1.6)

16

B

A

BB

AA

A

B

AA

B

B

A

B

BAC

AA

B

B

BAC

BAC

(ก) (ข) (ค)

ภาพท 1.11 การลบ A

และ B

ทมา (ปรบปรงจาก Serway, 2008, หนา 57)

การคณปรมาณเวกเตอรดวยปรมาณสเกลารจะสามารถหาผลลพธไดจากกฎการบวก

เวกเตอรเชน AAAA3

หรอสามารถเขยนในภาพทวๆไปได A s As

โดยทศทางของผลลพธทไดขนกบเครองหมายของ s เมอ s เปนบวกทศทางของ As

จะมทศทางเดยวกบ

A

ถา s มคาเปนลบผลลพธทไดจะมทศทางตรงขามกบ A

การหารปรมาณเวกเตอรดวยสเกลารสามารถหาผลลพธไดท านองเดยวกบการคณ

ij

kx

y

z

ภาพท 1.12 เวกเตอรหนงหนวยในระบบพกดฉาก ทมา (ปรบปรงจาก Serway, 2008, หนา 60)

เพอเพมความสะดวกและสามารถแบงปรมาณทางฟสกสระหวางปรมาณเวกเตอรและปรมาณสเกลารไดชดเจนยงขน จงก าหนดเทอมเฉพาะขนมาเพอบงบอกทศทางซงมขนาดเทากบหนงและไมมหนวยเรยกวา “เวกเตอรหนงหนวย (Unit vector)” โดยใช สญลกษณ “^” เปนตวก าหนด เชน V

เปนเวกเตอรหนงหนวยของความเรว ส าหรบเวกเตอรหนงหนวยในระบบพกดฉากแสดงดง

ภาพท 1.12 ก าหนดให i , j และ k เปนเวกเตอรหนงหนวยตามแกน x, y และ z ตามล าดบ สามารถเขยน A

ใดๆ ใหอยในเทอมของเวกเตอรหนงหนวยได

kAjAiAA zyx

ˆˆˆ

(1.7)

17

x

y

jAy

jAiAA yx

iAx

ภาพท 1.13 เวกเตอรประกอบของ A

ทมา (ปรบปรงจาก Serway, 2008, หนา 60)

เมอ Ax , Ay และ Az คอเวกเตอรประกอบ (Component vector) A

ตามแกน x , y และ

z ตามล าดบ ถา Ax มคาเปนบวกจะมทศทางตามแกน +x แตถามคาเปนลบจะมทศทางตามแกน -x ในกรณ Ay และ Az สามารถพจารณาไดเชนเดยวกน จากภาพท 1.13 จะไดเวกเตอรประกอบในกรณ 2 มต ดงสมการ Ax = Acos () และ Ay = Asin () (1.8)

x

y

A AsinAy

AcosAx

ภาพท 1.14 เวกเตอรประกอบตามแกน x และ y ทมา (ปรบปรงจาก Serway, 2008, หนา 60)

เมอ Ax และ Ay คอเวกเตอรประกอบของ A

ตามแกน x และ y ตามล าดบ หรอเขยนความสมพนธไดดงภาพท 1.14 ถาวตถเคลอนทตามแกน x ท = 0 ดงนน Ax = A ในขณะท Ay = 0 ถาทราบคา Ax และ Ay สามารถหาขนาดและทศทางของ A

ได

โดยมขนาดเทากบ

18

2y

2x AAA

และ

x

y1

A

Atanθ (1.9)

การบวก A

และ B

ไดผลลพธเปน C

และเวกเตอรประกอบของ BA

มคาเทากนนนคอ

Cx i + Cy j = (Ax i + Ay j ) + (Bx i + By j ) = (Ax + Bx) i + (Ay + By) j (1.10) พบวา Cx = Ax + Bx และ Cy = Ay + By (1.11) ส าหรบการบวกเวกเตอรในสามมตจะได A

+ B

= (Ax i + Ay j + Az k ) + (Bx i + By j + Bz k )

= (Ax + Bx) i + (Ay + By) j + (Az + Bz) k (1.12) ตวอยางท 1.2 รถยนตคนหน งเรมเคลอนทท ามม 30 กบทศตะวนออกไปทาง ทศตะวนออกเฉยงเหนอเปนระยะทาง 8 กโลเมตร และวงตอไปทางทศตะวนตก โดยท ามม 70 กบทศเหนอ เปนระยะทาง 4 กโลเมตร จงหาการกระจดทรถยนตคนดงกลาววงได วธท า ก าหนดใหแกน + x คอ ทศตะวนออกและ + y คอทศเหนอ และแทนการกระจดทรถยนตวงดวย A

และ B

ดงภาพประกอบตวอยางท 1.2 (ก) โดย A

แทนการวงชวงแรก และ B

แทนการวงชวงทสอง พบวา B

จะท ามมกบแกน x เทากบ 160 จากภาพท 1.15 (ข) และ (ค) สามารถหาเวกเตอรประกอบได

19

Ax = Acos() = 8.0cos (30) = 6.93 km Ay = Asin() = 8.0sin (30) = 4.0 km Bx = Bcos() = 4.0cos (160) = 3.76 km By = Bsin() = 4.0sin (160) = 1.37 km และไดเวกเตอรประกอบของเวกเตอรลพธคอ Cx = Ax + Bx = 6.93 - 3.76 = 3.17 km Cy = Ay + By = 4.00 + 1.37 = 5.37 km นนคอ C = 3.17 i + 5.37 j

030

θC

0160

070

km 4B

km 8A

y

x030

km 8A 0

y 30 AsinA

0x 30 AcosA

y

x

C

θ

km 37.5Cy

km 3.17Cx

y

x

0y 160 sin BB

0x 160 cosBB

km 4B

y

x

) ก ( ) ข (

) ค ( ) ง (

ภาพท 1.15 ภาพประกอบตวอยางท 1.2

ซงมขนาดเทากบ

mk 6.23)5.37()3.17(CCC 222y

2x

20

และ

59.4

3.17

5.37tan

C

Ctan 1

x

y1θ

จะไดการกระจดของรถยนตเทากบ 6.23 km ท ามม 59.4 กบทศตะวนออก ตวอยางท 1.3 จงหาผลบวกของเวกเตอรตอไปน

) ก ( ) ข (

m 6C

m 9A

m 4B

y

xo60 o20

o40-

y

x

D

m 52.8Dx

m 71.3Dy

ภาพท 1.16 ภาพประกอบตวอยางท 1.3 A

= 9 m ท ามม 20 กบแกน + x

B

= 4 m ท ามม -40 กบแกน + x และ C

= 6 m ท ามม 60 กบแกน – x

วธท า สามารถวาดเวกเตอรไดดงภาพท 1.16 (ก) และจะไดเวกเตอรประกอบดงน Ax = Acos() = 9.0cos(20) = 8.46 m Ay = Asin() = 9.0sin(20) = 3.08 m Bx = Bcos() = 4.0cos(-40) = 3.06 m By = Bsin() = 4.0sin(-40) = -2.57 m Cx = Ccos() = 6.0cos(60) = -3.0 m Cy = Csin() = 6.0sin(60) = 5.2 m

และเวกเตอรประกอบของเวกเตอรลพธดงภาพท 1.16 (ข) คอ

Dx = Ax + Bx + Cx = (8.46 + 3.06 - 3.0) = 8.52 m Dy = Ay + By + Cy = (3.08 – 2.57 + 5.2) = 5.71 m

21

ดงนนขนาดของเวกเตอรลพธ

m 5.718.52DDD 222y

2x 26.10)()(

และ

83.33

52.8

71.51-

x

y1- tanD

Dtanθ

ตวอยางท 1.4 จงหาผลรวมของเวกเตอรตอไปน A

= (-4.0 km) i + (1.0 km) j B

= (2.0 km) i + (2.0 km) j และ C

= (1.0 km) i วธท า ผลรวมเวกเตอรคอ CBAD

= (-4.0 i + 1.0 j ) + (2.0 i + 2.0 j ) + (1.0 i ) = (-4.0 + 2.0 + 1.0) i + (1.0 + 2.0) j = -1.0 i + 3.0 j ขนาดของ D

คอ

222y

2x (31DDD ))(

= 3.16 กโลเมตร และ

x

y1-

D

Dtanθ

726.71 --

1-

3tan 1

หรอเวกเตอรท ามม 180 - 72 = 108 กบแกน x ดงภาพท 1.17

22

y

xo108

o72) km 1 km, 4- ( A

km) 3 km, 1- ( D

km) 2 km, 2 ( B

) km 0 km, 1 ( C

ภาพท 1.17 ภาพประกอบตวอยางท 1.4 1.8 การคณเวกเตอร (Vector multiplication)

การคณเวกเตอรจ านวน 2 จ านวน มผลลพธเปนไดทงปรมาณเวกเตอรและสเกลาร ซงขนอยกบวธการคณ กลาวคอ

1.8.1 ผลคณเชงสเกลาร (Scalar Product)

A

θ cosA

θ

A

B

A

θ

θ cos B

A

B

) ก ( ) ข (

ภาพท 1.18 แสดงการคณเวกเตอร ทมา (ปรบปรงจาก สมพงษ ใจด, 2548, หนา 12)

จากภาพท 1.18 A

และ B

มจดเรมตนทจดเดยวกน และท ามมระหวางกนเทากบ ผล

คณเชงสเกลาร (Scalar product) หรอ BA ( A

dot B

) คอ

BA

= ABcos() (1.13)

23

เรยกผลลพธนวา ผลคณแบบจด (Dot product) เมอ A และ B เปนขนาดของเวกเตอร A

และ B

ตามล าดบ และพบวาการคณเชงสเกลาร สามารถสลบทกนได (Commutative) นนคอ ABBA

(1.14)

การคณเชงสเกลารจะเทากบผลคณขององคประกอบของเวกเตอรซงอยในทศทางเดยวกน

ดงตวอยางในภาพท 1.18 (ก) ผลคณเชงสเกลารของ BA เกดจากการคณขององคประกอบของ A

กบ B

นนคอ

)ABcosB)[AcosBA θθ (](

สวนภาพท 1.18 (ข) AB เกดจากผลคณขององคประกอบของ B

กบ A

ดงนน

)ABcos A)BcosAB θθ (]([

ถา A

ตงฉากกบ B

จะท าให BA

= 0

1.8.2 ผลคณเชงเวกเตอร (Vector Product)

ส าหรบการคณเชงเวกเตอร (Vector product) ของ A

และ B

( A

cross B

) บางครงจะเรยกผลคณนวา ผลคณไขว (Cross product) จะได )ABsin(BAC

(1.15)

A

B

θ

BAC

A

B

θ

BAC

) ก ( ) ข (

ภาพท 1.19 แสดงทศทางของเวกเตอรลพธของการคณไขว ทมา (ปรบปรงจาก Halliday, Resnick & Walker, 2007, หนา 50)

24

เมอ มคานอยๆ และทศทางของเวกเตอรลพธ BAC

จะตงฉากกบระนาบของ A

และ B

ซงสามารถหาทศทางของเวกเตอรลพธไดจากกฎมอขวา (Right - Hand rule) ดงภาพท 1.19 (ก) เมอ A

และ B

มจดรวมกน เมอใหนวทงสชตามทศทางของ A

แลวกวาดไปยงทศทางของ

B

จะไดทศทางของ C

มทศทางตามทศของนวหวแมมอ แตถาหมนในลกษณะตรงกนขามโดยหมนจากทศทางของ B

ไปยงทศทางของ A

การหมนแบบนจะขดกบความรสก ( AB

) คอไมสามารถ

ก ามอไดจงตองจดวางมอใหมโดยใหนวหวแมมอชลงดงภาพท 1.19 (ข) ชนวทงสตามทศทางของ B

แลวกวาดไปยงทศทางของ A

ซงจะได C

ทมทศทางตรงกนขามกบกรณแรก ดงนน

BA-AB

(1.16)

ถาคณปรมาณสเกลาร s กบเวกเตอรใดเวกเตอรหนงจะไดผลคณไขวดงสมการ )BAs.BAsBsA

()()( (1.17)

ถา A

และ B

มทศทางตงฉากกนจะไดผลคณไขวคอ ABBA

เมอ BA

(1.18ก)

ถา A

ขนานกบ B

จะได 0BA

เมอ ( A

B

) (1.18ข) การคณเวกเตอรจะเปนไปตามกฎของการกระจาย (Distribution law) ดงนน )()()( CABACBA

(1.19)

ตวอยางท 1.5 เมอ A

และ B

อยบนระนาบ xy โดย A

มขนาด 2 เมตร และท ามม 35 กบแกน

+ x ขณะท B

มขนาด 3 เมตร ท ามม 120 กบ แกน +x จงหา ก) BA

ข) BA

และ AB

วธท า ก) A

และ B

แสดงดงภาพท 1.20 มมระหวางเวกเตอรทงสองเทากบ

= 120 - 35 = 85 จากสมการ (1.13) จะได BA

= ABcos() = (2)(3)cos(85) = 0.52 m

25

A

θ

BA

B

0 120

0 35

y

x

z

ภาพท 1.20 ภาพประกอบตวอยางท 1.5

ข) ผลของการคณไขวหาไดจากสมการ (1.15) BA

= ABsin() = (2)(3)sin(85) = 5.98 m

ทศทางของ BA

จะตงฉากกบระนาบ xy นนคอมทศทางตามแกน + z ดงนน k 5.98BA ˆ

สวนขนาดของ AB

จะเทากบขนาดของ BA

แตมทศทางตรงกนขาม

ดงนนทศทางของ AB

จะอยในแนวแกน – z ถาพจารณาการคณ A

และ B

ในเทอมของเวกเตอรหนงหนวย i , j และ k จาก

การศกษาทผานมาจะไดผลคณเวกเตอรดวยปรมาณสเกลาร คอ )ksAjsAi(kAjAi( zyzy xx sA)A sAs

(1.20)

ส าหรบการคณแบบจดจะได 1kkjjii (1.21ก) 0ikkjji (1.21ข) และผลคณแบบจดของ A

และ B

จะได

zzyyzyzy BABAkBjBi(kAjAi( xxxx B A)B)A BA

(1.22)

ถา A

และ B

เทากน จะได

26

2z

2y

2x AAA 2AA.A

(1.23)

ดงนน

2z

2y

2x AAAA.A AA

(1.24)

ส าหรบผลคณไขวของเวกเตอรหนงหนวยคอ 0kkjjii ˆˆˆˆˆˆ (1.25ก) kijji ˆˆˆˆˆ (1.25ข) ijkkj ˆˆˆˆˆ (1.25ค) jkiik ˆˆˆˆˆ (1.25ง) และผลคณไขวของเวกเตอร A

และ B

คอ

k)j)(i)( xyyxzxxzyzzy BAB(ABABABABABA

(1.26)

จากสมการ (1.26) สามารถเขยนในภาพของดเทอรมแนนตได

k B B

A A j

B B

A A

B B

A ABA

yx

yx

xz

xz

zy

zy ˆˆi

หรอเขยนในภาพผลคณของเมทรกซได

zyx

zyx

B B B

A A A

k j i

BA

ˆˆˆ

(1.27)

ตวอยางท 1.6 เมอ j2-iA ˆˆ

และ j6i2B ˆˆ

จงค านวณหาผลคณแบบจดและผลคณไขว

วธท า จากสมการ (1.22) จะได BA

= AxBx + AyBy = (1)(2) + (-2)(6) = -10

27

และจากสมการ (1.23) จะได

0 6 2

0 2- 1

k j i

BA

ˆˆˆ

k 6 2

2- 1 j

0 2

0 1

0 6

0 2- ˆˆi

k][j][i][ (-2)(2) - (1)(6) (2)(0) - (1)(0) (0)(6) - (-2)(0) k10 k-10BA-AB ˆ

ตวอยางท 1.7 ก าหนดให k3j2i4A ˆˆˆ

, k6j3iB ˆˆˆ5

และ k2j3i C ˆˆˆ

จงค านวณ 1) BA

2) BA

3) BA

4) BA

5) )( CBA

6) )( ABC

7) )( CBA

8) CBA

)(

วธท า 1) )ˆˆˆ5()ˆˆˆ( k6j3ik3j2i4BA

k63j3i5 4 ˆ)(ˆ))2((ˆ))(( k9ji ˆˆˆ 2) )ˆˆˆ5()ˆˆˆ( k6j3ik3j2i4BA

k6(3j32)(i5 4 ˆ)ˆ)(ˆ))(( k3ji ˆˆ5ˆ9 3) )ˆˆˆ5()ˆˆˆ( k6j3ik3j2i4BA

))ˆ(ˆ())ˆ()ˆ(())ˆ(ˆ( k6)k3( j3j2i5 )i4( )18()()( 620 8 4) )ˆˆˆ()ˆˆˆ( k6j3i5k3j2i4BA

28

3 5-

2- 4

j i

6 3 5-

3 2- 4

k j i ˆˆˆˆˆ

]ˆ)2)(5(ˆ)4)(ˆ3[(]ˆ)4)(ˆ)3)(5(ˆ6[( kj(6i)(3)k(3ji)(-2) ]ˆ10ˆ24ˆ]ˆ12ˆ15ˆ[ kji[9kji12 kji21 ˆ2ˆ39ˆ 5) )( CBA

เรมหาจาก CB

)ˆˆˆ()ˆˆˆ( k2j3ik6j3i5CB

3 1

3 5-

j i

2- 3 1

6 3 5-

k j i ˆˆˆˆˆ

]ˆ)3)(ˆ)2)(5(ˆ6[(]ˆ)5)(3(ˆ)6)(ˆ3[( k(1ji)(3)kj(1i)(-2) ]ˆ3ˆ10ˆ]ˆˆˆ[ kji[18k15j6i6 kji24 ˆ18ˆ4ˆ )ˆˆˆ2()ˆˆˆ()( k18j4i4k3j2i4CBA

))ˆ(ˆ())ˆ()ˆ(())ˆ()ˆ(( k18)k3( j4j2 i24 i4 )54()8()96( 142 6) )( ABC

เรมหาจาก AB

)ˆˆˆ)ˆˆˆ k 3j 2i (4k 6j 3i 5(A B

2- 4

3 5-

j i

3 2- 4

6 3 5-

k j i ˆˆˆˆˆ

]ˆ)3)(4(ˆ)3)(5(ˆ6[(]ˆ)5)(2(ˆ)6)(ˆ3[( kji)(-2)kj(4i)(3) ]ˆˆˆ[]ˆˆˆ k12j15i12 k10j24i[9 k2j9i1 ˆˆ3ˆ2 )ˆˆ3ˆ2()ˆˆˆ)( k2j9i1k2j3i(ABC

k2k2j)j( i1 i( ))ˆ()ˆ(())ˆ39(ˆ3())ˆ2()ˆ( )))21( (4(117 142

29

7) )( CBA

เรมหาจาก CB

)ˆˆˆ()ˆˆˆ( k2j3ik6j3i5CB

3 1

3 5-

j i

2- 3 1

6 3 5-

k j i ˆˆˆˆˆ

]ˆ)3)(ˆ)2)(5(ˆ6[(]ˆ)5)(3(ˆ)6)(ˆ3[( k(1ji)(3)kj(1i)(-2) ]ˆ3ˆ10ˆ]ˆˆˆ[ kji[18k15j6i6 kji24 ˆ18ˆ4ˆ )ˆˆˆ2()ˆˆˆ()( k18j4i4k3j2i4CBA

4- 24-

2- 4

j i

18- 4- 24-

3 2- 4

k j i ˆˆˆˆˆ

]ˆ)2)(24(ˆ)4)(18(ˆ4[(

]ˆ)4)(4(ˆ)24)(3(ˆ18[(

kji)(3)

kji)(-2)

]ˆ48ˆ72ˆ]ˆˆˆ3[ kji12[k16j72i6 ki ˆ64ˆ48 8) CBA

)( เรมหาจาก BA

)ˆˆˆ()ˆˆˆ( k6j3i5k3j2i4BA

3 5-

2- 4

j i

6 3 5-

3 2- 4

k j i ˆˆˆˆˆ

]ˆ)2)(5(ˆ)4)(ˆ3[(]ˆ)4)(ˆ)3)(5(ˆ6[( kj(6i)(3)k(3ji)(-2) ]ˆ10ˆ24ˆ]ˆ12ˆ15ˆ[ kji[9kji12 kji21 ˆ2ˆ39ˆ )ˆˆˆ()ˆˆˆ()( k2j3ik2j39i21CBA

3 1

39 - 21-

j i

2- 3 1

2 39 - 21-

k j i ˆˆˆˆˆ

]ˆ)39)(1(ˆ)2)(21(ˆ2[(]ˆ)3)(21(ˆ)2)(ˆ39[( kji)(3)kj(1i)(-2) ]ˆ39ˆ42ˆ]ˆ3ˆˆ8[ kji[6k6j2i7

30

kji ˆ24ˆ40ˆ72

ตวอยางท 1.8 ก าหนดให k4xj3yi2xyA 22 ˆˆˆ

จงค านวณหา

1) x

A

2) y

A

3) 2x

A

4) 2y

A

5) yx

A2

6) หาปรพนธของ A

จาก 0 ถง x

วธท า 1) x

k4xj3yi2xy

x

A 22

]ˆˆˆ[

x

k4x

x

j3y

x

i2xy 22

]ˆ[]ˆ[]ˆ[

k8xi2y ˆˆ

2) y

k4xj3yi2xy

y

A 22

]ˆˆˆ[

y

k4x

y

j3y

y

i2xy 22

]ˆ[]ˆ[]ˆ[

j6yi2x ˆˆ

3) 2

22

2 x

k4xj3yi2xy

x

A

]ˆˆˆ[

2

2

2

2

2 x

k4x

x

j3y

x

i2xy

]ˆ[]ˆ[]ˆ[

k4 ˆ

4) 2

22

2 y

k4xj3yi2xy

y

A

]ˆˆˆ[

2

2

2

2

2 y

k4x

y

j3y

y

i2xy

]ˆ[]ˆ[]ˆ[

j3

31

5) yx

k4xj3yi2xy

yx

A 22

]ˆˆˆ[

yx

k4x

yx

j3y

yx

i2xy 22

]ˆ[]ˆ[]ˆ[

i2ˆ 6) หาปรพนธของ A

จาก 0 ถง x

dx ]k4xj3yi[2xydxAx

0

22x

0 ˆˆˆ

k dx 4xj dx 3yi dx 2xyx

0

2x

0

2x

0

ˆˆˆ

k dx x4j dx3yi dx x2yx

0

2x

0

2x

0

ˆˆˆ

k 4j ]3yi 2y 2 ˆ3

xˆx[ˆ2

x 32

k3

x4j3xyiyx

322 ˆˆˆ

ตวอยางท 1.9 ถา kzxjyi2xyA 2 ˆzˆ

จงหา A และ A

วธท า ]kzxjyi2xy k z

j y

i x

A 2 ˆzˆ[ˆˆˆ

)kk()zx(

)jk()yz(

)ik()xy2(

)kj()zx(

)jj()yz(

)ij()xy2(

)ki()zx(

)ji()yz(

)ii()xy2(

2

2

2

xxx

xxx

xxx

2x000z0002y

z2y x 2

32

]ˆzˆ[ˆˆˆ kzxjyi2xy k z

j y

i x

A 2

yz- 2xy

y

x

j i

z xyz- 2xy

z

y

x

k j i

2

ˆˆˆˆˆ

k y

2xyj

x

zxi

z

yz

k x

yzj

z

2xyi

y

zx

2

2

ˆ)(ˆ)(ˆ)(

ˆ)(ˆ)(ˆ)(

]ˆˆˆ][ k2xj2xziy[000 k2xj2xziy ˆˆˆ

ตวอยางท 1.10 จงค านวณเกรเดยนดของฟงกชนตอไปน 1) 423 zyxz)y,x,f ( 2) 22- zxyz)y,x,f (

วธท า 1) หา ]ˆˆˆ 423 zy[x k z

j y

i x

f

kz

zyxj

y

zyxi

x

zyx 423423423ˆ)(ˆ)(ˆ)(

kzy4xjyz2xizy3x 32343422 ˆˆˆ

2) หา ]zxy k z

j y

i x

f 22-[ˆˆˆ

kz

zxyj

y

zxyi

x

zxy 22-22-22-ˆ)(ˆ)(ˆ)(

kzxyjzxyizy 2-2-122- ˆ2ˆ2ˆ

33

ตวอยางท 1.11 จงค านวณลาปลาสเซยนของ

1) y4xF 2 2) kyxjx3y-i2xF 222 ˆˆˆ

วธท า 1) หา y]4x z

y

x

f 2222

[222

2

2

2

2

2

2

2

z

y4x

y

y4x

x

y4x

)()()( 222

00 8y 8y 2) หา

]kyxjx3y-i2x zy

x

f 222222

ˆˆˆ[222

2

z

kyxjx3y-i2x

y

kyxjx3y-i2x

x

kyxjx3y-i2x

2

222

2

222

2

222

)ˆˆˆ(

)ˆˆˆ()ˆˆˆ(

2

22

)()ˆ2ˆ()ˆ2( 000kxj6x0ky00 22

k)y(xj6x 22 ˆ2ˆ

34

สรป 1. เวกเตอรลพธ C

ของสองเวกเตอร BA

มมระหวางเวกเตอรเปน หาไดโดยสรางสเหลยม

ดานขนานหรอกฎของโคไซน คอ

cosAB2BAC 22

2. เวกเตอร A

สามารถเขยนเปนเวกเตอรองคประกอบในระบบพกดฉาก

yx AAA

โดยท cosAA x

sinAAy

2y

2x AAA

x

y1

A

Atan

3. ผลคณสเกลารนยามวา

cosABBA

4. ผลคณสเกลารของสองเวกเตอรในระบบพกดฉากเขยนเปน

zzyyxx BABABABA

5. ผลคณเวกเตอรของ A

และ B

แทนดวยสญลกษณ BA

อานวา “ A

ครอส B

” นนคอถา

BAC

แลว sinABC

35

แบบฝกหด 1. ก าหนดให x เปนระยะทาง v เปนความเรว a เปนความเรง และ t เปนเวลา จงใชการวเคราะห

มตตรวจสอบความถกตองของสมการตอไปน

(ก) v2 = 20v + 2a(x – x0)

(ข) x – x0 = vt (ค) v = v0 + at

(ง) x – x0 = v0t + 2

1at2

2. รศมเฉลยของโลกคอ 6.37 106 m และของดวงอาทตยคอ 6.96 108 m จงค านวณหา

ก) อตราสวนของพนทผวของโลกกบดวงอาทตย ข) อตราสวนของปรมาตรของโลกกบดวงอาทตย

ตอบ ก) 0.85 10-4, ข) 0.61 10-6

3. ถาจนตนาการวาโปรตอนมลกษณะเปนทรงกลมทมเสนผานศนยกลางเทากบ 3 10-13 cm และมมวลเทากบ 1.67 10-24 kg จงหาความหนาแนนของโปรตอนในหนวย SI

ตอบ 1.18 1020 kg/m2

4. จงค านวณหา (แสดงผลลพธทไดวาควรจะมจ านวนเลขนยส าคญเทาไร) ก) ผลรวมของตวเลขตอไปน 3.64, 62.1, 0.15, และ 1.6 ข) ผลคณของ 4.8 กบ 2.175 ค) ผลคณของ 2.8 กบ

ตอบ ก) 67.5, ข) 10, ค) 8.8

5. จงหาต าแหนงบนพกดต าแหนงแบบขว ( Polar Coordinates) จากจดบนระนาบ xy ตามพกดฉากดงน ก) (2.0 m, 3.5 m) ข) (-1.0 m, 2.50 m) ค) (-1.0 m, -2.0 m) ง) (2.5 m, -3.0 m)

ตอบ ก) (4.03, 60.3) ข) (2.69, -68.2) ค) (2.24, 63.4) ง) (3.91, -50.2)

6. จงหาต าแหนงบนพกดฉากจากต าแหนงบนพกดแบบขวตอไปน ก) ( 5.0 m, 30 ) ข) ( 10.0 m, 150 ) ค) ( 6.0 m, 210 )

ตอบ ก)

m

2

5 , m

2

35, ข) (-8.7 m, 5 m), ค) (-5.22 m, -3 m)

36

7. จงหาต าแหนงบนพกดต าแหนงแบบขว จากจดบนพกดฉาก ( 1.0 m , 5.0 m ) และมจดศนยกลางอยท ( -2.0 m, 2.0 m )

ตอบ (2.83 m , -45)

8. จงหาต าแหนงบนพกดฉาก และระยะกระจดของจด 2 จด ซงอยบนระนาบพกดขวดงน (1.0 m, 60) และ (5 m, 160)

ตอบ (-4.7 m, 1.7 m)

9. จงหาเวกเตอรประกอบของเวกเตอรอนหนงทมขนาด 10 m/s และท ามม 120 กบแกน +x ตอบ j 8i A ˆ66.ˆ5

10. ถาเวกเตอรประกอบของเวกเตอรหนงมคาตามแกน x = 2.0 m และแกน y = -3.0 m

จงค านวณหาขนาดและทศทางของเวกเตอรดงกลาว ตอบ ขนาด 3.61 m มทศทางอยใตแกน +x เปนมม 56.31

11. เวกเตอรประกอบของ A

คอ Ax และ Ay เทากบ 9 cm และ -2 cm ตามล าดบ สวนเวกเตอร

ประกอบของ B

คอ Bx= -6 cm และ By = 3 cm จงหาขนาดและทศทางของเวกเตอรลพธ C

เมอ A

+ B

- 2 C

= 0 ตอบ ขนาด 1.58 cm มทศทางอยเหนอแกน +x เปนมม 18.43

12. ถาเวกเตอรประกอบของ A

คอ Ax = -10 cm และ Ay = 20 cm และ B

คอ Bx= 20 cm

และ By = -10 cm จงหาเวกเตอรประกอบของ ก) A

+ B

ข) A

- B

ค) 2 A

+ B

ตอบ ก) jcm) 10icm) 10 ˆ(ˆ( ข) jcm 30icm) 30( ˆ)(ˆ ค) jcm) (30 ˆ

13. ถา A

มขนาด 5 m ท ามม 30 กบแกน + x และ B

ขนาด 2 cm ท ามม 160 กบแกน + x

จงหา ก) เวกเตอรประกอบของ A

และ B

ตอบ jm) 2.5 im .33A ˆ(ˆ)4(

และ jcm) (0.68 icm (B ˆˆ)88.1

ข) เวกเตอรประกอบ ขนาดและทศทางของ A

+ B

ตอบ jcm (249.32icm (431.12B A ˆ)ˆ)

มขนาด 4.98 m มทศทางอยเหนอแกน

+x เปนมม 30.02

37

14. ถา A

= (2 m) i + (1.0 m) j และ B

= (-5 m) i - (1.0 m) j จงหาเวกเตอรประกอบขนาดและทศทางของ ก) 3 A

+ B

ตอบ j)m (2im) (1 มขนาด 2.24 m มทศทางอยเหนอแกน +x เปนมม 63.43

ข) A

- 3 B

ตอบ j)m (4im) (17 มขนาด 17.46 m มทศทางอยเหนอแกน +x เปนมม 13.24

ค) - A

+ 2 B

ตอบ jm (3im) ( ˆ)ˆ12 มขนาด 12.37 m มทศทางอยเหนอแกน +x เปนมม 14.04

15. ก าหนดให k 3j 2iA ˆˆˆ

, k iB ˆˆ

และ j 3iC ˆˆ

จงค านวณ ก) BA

ข) AB

ค) BA

ง) BA

จ) BA

ฉ) AB

ช) )( ABC

ซ) )( ABC

ฌ) ABC

)( ฎ) ABC(

)

ตอบ ก) k 4j 2 ˆˆ ข) k 4j 2 ˆˆ ค) k 2j 2i 2 ˆˆˆ ง) 2 จ) k j i 2 ˆ2ˆ4ˆ ฉ) k j i 2 ˆ2ˆ4ˆ ช) 14 ซ) k 2j 2i 6 ˆˆˆ ฌ) k j i ˆ5ˆ6ˆ3 ฎ) 14

16. ถา k 3j ti tA 2 ˆˆˆ

และ k cos(t)i sin(t)B ˆˆ

จงหาคาของ

ก) t

A

ข) t

B

ค) t

BA

)(

ตอบ ก) j i2t ˆˆ ข) ksin(t)icos(t) ˆˆ ค) sin(t)32tcos(t)t2 )(

17. ถา k jyi2xs 2 ˆˆˆ และ kxyj2xixyv 22 ˆˆˆ จงหา ก) s ข) v ค) )( vs

ตอบ ก) 4x-1 ข) k3xjyi2xy 2 ˆˆˆ ค) -3x – y3 – 4x3y

18. จงหาปรพนธของ k4jtitA 2 ˆˆ3ˆ2

เมอ t = 0 ถง 4

ตอบ kji3

128 ˆ16ˆ24ˆ

38

19. จงหาเกรเดยนดของฟงกชนตอไปน

ก) 32z2xyz)y,x,f (

ตอบ kz6xyj4xyziz2y 22332 ˆˆˆ

ข) ysin(z)xz)y,f(x, 2

ตอบ kycos(z)xjsin(z)xi2xysin(z) 22 ˆˆˆ

20. จงค านวณลาปลาสเซยนของ ก) )zxysinz)y,x,F 22((

ตอบ )z)xcos(xyz(y 2222 ข) kz4yj3yi2xF 222 ˆˆˆ

ตอบ k)z4(yi2 22 ˆˆ

39

เอกสารอางอง

สมพงษ ใจด. (2548). ฟสกส มหาวทยาลย 1 (พมพครงท 6). กรงเทพฯ: ส านกพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย.

สมาคมวทยาศาสตรแหงประเทศไทยในพระบรมชปถมภ. (2543). ฟสกส เลม 1 (พมพครงท 2 ฉบบปรบปรงแกไข). กรงเทพฯ

Beiser, A. (1983). Applied physics. Schaum’s outline series. New York: McGraw-Hill. Dare, W. A. & Harold, S. S. (1983). Physics for engineering and science. Schaum’s outline series in engineering. New York: McGraw-Hill. Frederick, K. J. , Edward, G. W. , & Malcolm, S. J. (1993). Physics. New York: McGraw-Hill. Halliday, D. , Resnick, R. , & Walker, J. (1997). Fundamental of physics (5th ed.). New York: John Wiley & Sons. . (2001). Fundamental of physics (6th ed.). New York: John Willey & Sons. . (2007). Fundamental of physics (8th ed.). New York: John Willey & Sons. Knight, R. D. (1997). Physics. New York: Addison Wesley Longman. Serway, R. A. (1996). Physics for scientists & engineers with modern physics

(4th ed.). Philadelphia: Saunders College. . (2008). Physics for scientists & engineers with modern physics (7th ed.).

Philadelphia: Saunders College. Young, H. D. & Freedman, R. A. (1996). University physics (9th ed.). San Francisco:

Addison-Wesley. . (2000). University physics (10th ed.). San Francisco: Addison-Wesley.