˚Òˆ”Ñ›pioneer.netserv.chula.ac.th/~tmontian/2304101/lec13.article.pdf ·...
Transcript of ˚Òˆ”Ñ›pioneer.netserv.chula.ac.th/~tmontian/2304101/lec13.article.pdf ·...
x0
x
เอกสารประกอบการบรรยาย: วิชา 2304101 ฟิสิกส์ทั่วไป 1 (ชีวภาพ)
ครั้งที่ 13 ภาคการศึกษาต้น พ.ศ. 2551ภาควิชาฟิสิกส์ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัยวันที่ 4 กรกฎาคม พ.ศ. 2551
สารบัญ
1 การเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาโมนิก 11.1 พลังงานเมื่อเกิดการเคลื่อนที่แบบ SHM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 ตัวอย่างการเคลื่อนที่แบบ SHM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 การสั่นแบบหน่วง (Damped Oscillation) 9
3 การสั่นแบบเพิ่มแรงขับและความถี่เรโซแนนซ์ (Driven Oscillation and Resonant Frequen-cy) 9
1 การเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาโมนิก
การเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาโมนิกการเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาโมนิก (Simple harmonic motion, SHM) คือ การเคลื่อนที่ซ้ำรอย
เดิม ซึ่งเป็นการเคลื่อนที่แบบคาบ จากกฎของฮุกค์ จะได้ว่า
Fs = −kx = ma
a = − kmx
ความเร่งขึ้นกับระยะทาง x ทิศของแรงคืนตัวตรงข้ามทิศการเคลื่อนที่ ระยะกระจัดสูงสุด = แอมปลิจูดหรืออำพล (Amplitude, A)
2304101 ฟิสิกส์ทั่วไป 1 (file: lec13.ttx) 1 ดร. มนต์เทียน เทียนประทีป
XO
Y
θ
A
คาบการเคลื่อนที่จากวงกลมอ้างอิง คาบ T คือเวลาที่เคลื่อนที่ครบ 1 รอบ สัมพันธ์กับความถี่ f เป็น
T =1f
ω =2πT
= 2πf
การกระจัด อัตราเร็วของ SHM
พิจารณาเงาของวงกลมอ้างอิงรัศมี A ทำมุม θ
x = A cos θ = A cosωt
เมื่อ ω = θ/t
จาก vc = rω = Aω อัตราเร็วของเงาเป็น
v = −vc sin θ = −Aω sinωt
อัตราเร่งของ SHM
ความเร่งของเงาหาได้เป็น
a = −ac cos θ
ac = −v2c
r= −(Aω)2
A= −Aω2
a = −Aω2 cosωt
การหาความสัมพันธ์ของ x, v, a
2304101 ฟิสิกส์ทั่วไป 1 (file: lec13.ttx) 2 ดร. มนต์เทียน เทียนประทีป
XO
Y
θ
A
A cos θ
θ
vcvc cos θ
−vc sin θ
XO
Y
θ
−ac cos θ
−ac sin θac
2304101 ฟิสิกส์ทั่วไป 1 (file: lec13.ttx) 3 ดร. มนต์เทียน เทียนประทีป
จากการกระจัด x ที่หาได้ตอนต้น เราใช้ความรู้ทางคณิตศาสตร์หา v และ a ได้ดังน้ี
x = A cosωt
v =dx
dt=d
dt(A cosωt)
= Ad
d(ωt)(cosωt) · d
dt(ωt)
= −Aω sinωt
a =dv
dt=d
dt(−Aω sinωt)
= −Aω2 cosωt = −ω2x
SHM ของสปริงการเคลื่อนที่ของสปริง ระยะกระจัดเป็นฟังก์ชันรูปไซน์ขึ้นกับเวลา หรือ
x = A cosωt
จากสมการการเคลื่อนที่ของสปริง
a = − kmx = − k
m(A cosωt)
−Aω2 cosωt = − km
(A cosωt)
ω2 =k
m(2πT
)2 =k
m
T = 2π√m
k
การสั่นของแก้วหูการสั่นของแก้วหูมีความเร็วเท่ากับความเร็วของโมเลกุลอากาศ หาได้จาก
v =P
ρc
เมื่อ P = ความดัน, c = ความเร็วเสียงในอากาศ; ρc ≈ 415 mks
ถ้าอัตราเร็วในการสั่นของแก้วหูเมื่อฟังเสียงเบาที่สุดที่หูรับได้ มีความดันเป็น 2× 10−8 N/m2
ความเร็วของแก้วหูหาได้เป็น
v =2× 10−5
415= 4.8× 10−8m/s
2304101 ฟิสิกส์ทั่วไป 1 (file: lec13.ttx) 4 ดร. มนต์เทียน เทียนประทีป
แอมปลิจูดของแก้วหูหาจาก v = Aω ถ้าเสียงความถี่ 4000 Hz A = 1.9× 10−12 m ซึ่งมีค่าเล็กกว่ารัศมีอะตอม แสดงว่าหูมนุษย์มีความรู้สึกไวมาก
1.1 พลังงานเมื่อเกิดการเคลื่อนที่แบบ SHM
ขณะที่เคลื่อนที่โดยมีอัตราเร็วเป็น v พลังงานเกิดจากการรวมกันของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์
E = K + U =12mv2 +
12kx2
=12mA2ω2 sin2(ωt) +
12kA2 cos2(ωt)
เน่ืองจากที่จุดที่สปริงยืดสูงสุด วัตถุหยุดน่ิง ดังน้ันจึงมีแต่พลังงานศักย์
U =12kx2 =
12kA2 cos2(ωt)
Umax =12kA2
ที่จุดที่สปริงผ่านจุดสมดุล (x = 0) วัตถุเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วสูงสุด ดังน้ันจึงมีแต่พลังงานจลน์
K =12mv2 =
12mA2ω2 sin2(ωt)
Kmax =12mA2ω2 =
12mA2(k/m)
=12kA2 = Umax
กราฟพลังงานศักย์กับการกระจัดของ SHMกราฟระหว่างการกระจัดกับพลังงานจลน์ ?
สมการการเคลื่อนที่ SHMถ้าพิสูจน์ได้ว่าการเคลื่อนที่มีสมการดังต่อไปน้ี
a = −kx
α = −kθ
จะได้ว่า
k = ω2
T =2π√k
2304101 ฟิสิกส์ทั่วไป 1 (file: lec13.ttx) 5 ดร. มนต์เทียน เทียนประทีป
รูปที่ 1 กราฟความสัมพันธ์ระหว่าพลังงานศักย์กับการกระจัดของ SHM
`
mg
mg sin θ
θ
x
1.2 ตัวอย่างการเคลื่อนที่แบบ SHM
ลูกตุ้มอย่างง่ายจากสมดุลแรง
F = ma = −mg sin θ
a = −g sin θ = −g`x
T = 2π
√`
g
ลูกตุ้มฟิสิคัล
2304101 ฟิสิกส์ทั่วไป 1 (file: lec13.ttx) 6 ดร. มนต์เทียน เทียนประทีป
c.m.
b
O
θ
mg
รูปที่ 2 ประกอบตัวอย่างการหาคาบของการเดิน 1
ทอร์กรอบจุดหมุนหาได้จาก
Iα = −mgb sin θ
α = −mgbIθ; sin θ ≈ θ
T = 2π
√I
mgb
ตัวอย่างจงหา T ของขา ถ้าขายาว 1 m และมีรูปทรงเป็นแท่งไม้ยาว
2304101 ฟิสิกส์ทั่วไป 1 (file: lec13.ttx) 7 ดร. มนต์เทียน เทียนประทีป
รูปที่ 3 ประกอบตัวอย่างการหาคาบของการเดิน 2
จาก
I =13mL2
b =L
2
T = 2π
√I
mgb
= 2π
√2L3g
ถ้าใช้ L = 1 m จะได้ว่า T = 1.6 s และเมื่อกำหนดให้ขาเคลื่อนที่ทำมุมเพียง 1 rad จะได้ว่าขาเคลื่อนที่ด้วยระยะทาง s = rθ = 1.0 m และเน่ืองจากใช้เวลาเพียงครึ่งรอบ t = T/2 = 0.8 s ดังน้ันอัตราเร็วของการเคลื่อนที่ของคนประมาณได้เป็น
v =s
t
≈1.00.8
≈ 1.3 m/s
เครื่องชั่งโมเลกุล DNAแท่งสี่เหลี่ยมบางถูกดึงออกจากซิลิกอน แบบจำลองของการคำนวณให้แท่งบางน้ันเป็นมวลที่
มีขนาดเพียง 1/3 เท่าของมวลจริงติดกับสปริง (เพราะ I = 1/3ML2) เมื่อแท่งสี่เหลี่ยมมีมวลของDNA ติดที่ปลาย พบว่าค่าคงที่ของสปริงไม่เปลี่ยน แต่ความถี่ของการสั่นเปลี่ยนไป
ตัวอย่างการคำนวณมวลของ DNA ถ้าซิลิกอนมีความหนาแน่น 2300 kg/m3 หรือมีมวลเป็นM = ρg = 3.7×10−16kg ถ้าแท่งดังกล่าวสั่นโดยไม่มีมวล DNA ด้วยความถี่เป็น 12 MHz แต่เมื่อมี
2304101 ฟิสิกส์ทั่วไป 1 (file: lec13.ttx) 8 ดร. มนต์เทียน เทียนประทีป
รูปที่ 4 เครื่องชั่งโมเลกุล DNA
มวล DNA ติดจะสั่นลดลงไป 50 Hz ดังน้ันถ้ากำหนดให้ใช้แบบจำลองเป็นมวลติดสปริง มวลดังกล่าวที่ไม่มี DNA ติดจะสมมติว่ามีค่ามวล m = 1/3M = 1.2 × 10−16kg ส่วนมวลที่มี DNA ติดจะมีค่าเป็น m + mDNA ซึ่งทำให้ความถี่ f0 = 12, 000, 000 Hz ลดลงเป็น f1 = 11, 999, 950 Hz ดังน้ันจากสมการการเคลื่อนที่แบบ SHM ของสปริงจะได้
k = m(2πf0)2 = (m+mDNA)(2πf1)2
m+mDNA
m= 1 +
mDNA
m=(f0
f1
)2
=(
12, 000, 00011, 999, 950
)2
= 1.0000083
mDNA = 1.0× 10−18 g
2 การสั่นแบบหน่วง (Damped Oscillation)
การสั่นแบบหน่วง (Damped Oscillation) คือ ระบบการเคลื่อนที่ที่คล้ายกับการเคลื่อนที่แบบ SHMแต่มีแรงเสียดทาน เช่น แรงต้านอากาศที่กระทำกับระบบในทิศตรงข้ามกับการเคลื่อนที่ และขนาดของแรงดังกล่าวแปรผันกับความเร็ว
⇀
f = −b⇀v
จากกฎการเคลื่อนที่ของนิวตันจะได้ว่า
F = ma = −bv − kx
ma+ bv + kx = 0
2304101 ฟิสิกส์ทั่วไป 1 (file: lec13.ttx) 9 ดร. มนต์เทียน เทียนประทีป
รูปที่ 5 การกระจัดของระบบที่มีการหน่วงเพียงเล็กน้อย (Underdamped Oscillation)
รูปที่ 6 การกระจัดของระบบที่มีการหน่วงเพียงเล็กน้อย (Underdamped Oscillation)
การหน่วงเล็กน้อยกรณีที่มีการหน่วงเพียงเล็กน้อย (Underdamped) การเคลื่อนที่ของมวลติดสปริงก็ยังคงมีการ
เคลื่อนที่เป็นคาบอยู่ แต่แอมปริจูดจะค่อยๆ ลดลง
การหน่วงมากกรณีที่มีการหน่วงมาก (Overdamped) กว่าการหน่วงวิกฤติ (Critically damped) การเคลื่อนที่
ของมวลติดสปริงจะไม่มีการเคลื่อนที่เป็นคาบ และการเคลื่อนที่จะค่อยๆ หยุด
2304101 ฟิสิกส์ทั่วไป 1 (file: lec13.ttx) 10 ดร. มนต์เทียน เทียนประทีป
รูปที่ 7 กราฟเรโซแนนซ์ (Resonance curve)
3 การสั่นแบบเพิ่มแรงขับและความถี่เรโซแนนซ์ (Driven Oscillation andResonance)
การสั่นแบบเพิ่มแรงขับ (Driven Oscillation) คือ การเพิ่มแรงให้กับระบบการสั่้นแบบหน่วง เพื่อทำให้ระบบมีการเคลื่อนที่ต่อไปได้ มักนิยมพิจารณากรณีที่มีการเพิ่มแรงแบบซ้ำรอบ
⇀
Fext = +F0 cosω0t̂i
จากกฎการเคลื่อนที่ของนิวตันจะได้ว่า
F = ma = −bv − kx+ F0 cosω0t
ma+ bv + kx− F0 cosω0t = 0
กราฟเรโซแนนซ์พิจารณากราฟระหว่างแอมปลิจูดการเคลื่อนที่กับความถี่ของแรงที่เพิ่มเข้าไป พบว่าที่ความถี่
ของแรงที่เพิ่ม f0 เท่ากับ ความถี่ของการสั่นเมื่อมีการหน่วง fSHM จะทำให้แอมปลิจูดการเคลื่อนที่มีค่าสูงที่สุด เราเรียก f0 ค่าน้ีว่า ความถี่เรโซแนนซ์ หรือ ความถี่ธรรมชาติ (resonance or naturalfrequency)
ตัวอย่างของเรโซแนนซ์การพังของสะพาน Tacoma (วีดีโอคลิป)
2304101 ฟิสิกส์ทั่วไป 1 (file: lec13.ttx) 11 ดร. มนต์เทียน เทียนประทีป
รูปที่ 8 ส่วนประกอบของหู
รูปที่ 9 cochlea ที่ตำแหน่งต่างๆ กันไวต่อเสียงที่ความถี่ต่างกัน เพราะความถี่ธรรมชาติไม่เท่ากันเน่ืองจากมันมีความหนาไม่เท่ากัน
2304101 ฟิสิกส์ทั่วไป 1 (file: lec13.ttx) 12 ดร. มนต์เทียน เทียนประทีป