a7a16»Pseudopresion

5/26/2018 a7a16Pseudopresion

1/9

Pg 1 de 9

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERA

FACULTAD DE PETROLEO, PETROQUMICAy GAS NATURAL.

SEPARATA: INTEGRAL DE KIRCHOFF - PSEUDOPRESIN

Lima Octubre, 2007


2/9

Universidad Nacional de Ingeniera - Facultad de Petrleo y Petroqumica.

Pg 2 de 9

Pseudopresin de un gas.

Fundamento terico - Matemtico.

Por ingeniera de Reservorios, sabemos que la forma bsica de la ecuacin diferencial de la ley deDarcy para el flujo de gas radial viscoso horizontal a travs de un medio poroso es:

( )q

rh k p

rgr=

11271 2

1000

. )

,

En donde:

qgr= tasa de produccin de gas al radio r, en barriles res. /da.r = la distancia radial, en pies.h = el espesor de la zona, en pies. = la viscosidad de gas, en cp,k = la permeabilidad de la formacin, en md,p = la presin, en psi,1.1271 = Factor de conversin para pasar de las unidades de Darcy a unidades de Campo.

Tratndose de gases, lo pasamos a condiciones standard con la ecuacin siguiente que se fundamentaen la ecuacin general de los gases reales:

q qpT Z

p TZbr gr b b

b

= 5615.

Se obtiene la siguiente ecuacin:

3 9764 10 2. x khT

q P TzPdP

dr

r

b

br b

=

Integramos sta ecuacin desde las condiciones del wellbore o fondo de pozo hasta un puntordeterminado en el reservorio, que tendra una presin p y obtendramos:

3 9764 10 2. x khT b

qb

Pb

T

P

ZP

pw

p r

rrw

r =

Si tomamos la temperatura base de 520R, la presin base de 14.7 y el factor de desviacin del gasz= 1.0, se obtendr la siguiente ecuacin:

07032

. kh

q Tx

p

zp Ln

r

rb p

p

ww

=


3/9


Pg 3 de 9

Si expandimos la integral mostrada del siguiente modo:

2 2 2

0 0

p

zdp

p

zdp

p

zdp

pw

p

P

P

p

pw

=

El segundo trmino, que est resaltada, es decir la integral que va de p0a p, es una transformacinde la integral de Kirchoff, el cul es definido como real potencial del gas o simplemente comoPseudopresindel gas. Comnmente se lo simboliza como m(p) y tambin con la letra griega .

m pp

zdp

p

p

( )= 20

En donde p0es una presin de referencia; para consideraciones prcticas se utiliza presin promediaatmosfrica de 14.73 Psia. Que es el mismo que se utiliza en los clculos de Ingeniera deReservorios de gas.

Determinacin de la Pseudopresin.

Tener en consideracin lo siguiente:

1. El valor de la Pseudopresin solamente es vlido para la temperatura indicada, generalmente

la temperatura del reservorio, que puede ser cualquier otra que previamente se defina.2. Asimismo se considera que la composicin del gas es constante y homognea en el reservorio

y en los pozos.

3. A presiones altas se considera la igualdad: , siendo el subndice iP zP

z Ctei

i i = = .

relativo a las condiciones iniciales.4. Se aplica por igual a gases cidos y no cidos.

5. Definimos:P

zP

=

=0

0

La Pseudopresin se determina de un modo directo, esto quiere decir que se obtiene una muestrarepresentativa de gas y se determina los valores de viscosidad y el factor de desviacin del gas za diferentes presiones en un laboratorio de PVT, considerando que los incrementos de presionessean manejables; ni muchos que dificulten los clculos ni pocos que distorsionen los resultadosobtenidos; generalmente recomendamos de 15 a 20 puntos.

Con stos valores determinados, se genera una tabla para integrarlo y obtener de ste modo laPseudopresin, el mismo que se puede presentar de modo tabulado o en modo grfico.


4/9


1

Mtodos numricos y programacin Fortran; D.D. McCracken, Limusa, 1977.

Pg 4 de 9

Visc.ZPresNVisc.ZPresNVisc.ZPresN

0.01390.88321400290.01230.8000700150.01071.000001

0.01400.90001450300.01240.7966750160.01080.9763502

0.01410.91821500310.01250.7945800170.01090.95411003

0.01420.93791550320.01260.7940850180.01110.93331504

0.01430.95901600330.01280.7949900190.01120.91402005

0.01450.98161650340.01290.7972950200.01130.89612506

0.01461.00561700350.01300.80101000210.01140.87963007

0.01471.03111750360.01310.80621050220.01150.86463508

0.01481.05801800370.01320.81291100230.01160.85104009

0.01491.08631850380.01330.82101150240.01170.838945010

0.01501.11611900390.01340.83051200250.01190.828250011

0.01511.14731950400.01360.84161250260.01200.819055012

0.01531.18002000410.01370.85401300270.01210.811260013

0.01380.86791350280.01220.804965014

Para usos computacionales, se determina la ecuacin que lo determina, mediante regresinmatemtica obteniendose una ecuacin de potencias.

El siguiente ejemplo grfica el modo de determinacin de la misma.

Ejemplo prctico.

Se descubri el reservorio Lagunas, y a lo largo de las operaciones de perforacin confirmatoria,se obtuvo una muestra representativa del gas, a condiciones del reservorio, que fue enviado alaboratorio, sometindosele a determinacin de la viscosidad y valores del factor de desviacin delgas (z) desde las condiciones estndar (14.73 Psia) hasta 2,000 psia a intervalos de 50 psi,considerando la temperatura a la del reservorio que es de 640F; cuyos resultados son lossiguientes:

Determinacin de la Pseudopresin.Se aplica la integracin mediante el mtodo de la regla deSimpson, la misma que da mayor precisin y por ello se la recomienda, pero se puede utilizar tambinel mtodo de la regla trapezoidal que es mas simple, y se procede del siguiente modo (Tomando comoreferencia la determinacin de la Pseudopresin a 800 Psia):

1. Mtodo de la regla de Simpson.

Se procede con el desarrollo de la ecuacin siguiente:1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]P

zP

hf f f f f f f

a

b

a n n n b = + + + + + + + 3 4 2 4 2 41 2 3 2 1......

Por la tcnica que se emplea para la resolucin de la ecuacin mencionada, el nmero de puntos se


5/9


Pg 5 de 9

Pseudp (MM)Visc.ZPres.N0.950.01090.9541001

3.860.01120.9142002

8.800.01140.8803003

15.840.01160.8514004

24.990.01190.8285005

36.180.01210.8116006

49.420.01230.8007007

64.600.01250.795800881.560.01280.7959009

100.030.01300.801100010

119.900.01320.813110011

140.950.01340.831120012162.810.01370.854130013

185.350.01390.883140014

208.350.01410.918150015

231.620.01430.959160016

254.830.01461.006170017

277.910.01481.058180018

300.770.01501.116190019

323.250.01531.180200020

0

50

100

150

200

250

300

350

Pseudopressure

Psia/cp(xMM)

0 500 1000 1500 2000 2500

Pressure

Metodo de SimpsonIntegral de Kirchoff

reduce a la mitad, por lo que los 41 puntos darn un total de 20 puntos calculados para laPseudopresin, los mismos que se muestran en la siguiente tabla:

Si graficamos stos resultados, se obtendr el siguiente grfico:


6/9


Pg 6 de 9

( )m p x xP= 1126 10 4 1 9611. .

( )m p x xP= 12604 10 4 1 95765. .

Se ha determinado mediante mnimos cuadrados la ecuacin de potencia que sirve para calcular elvalor de la Pseudopresin a cualquier presin en el intervalo de presiones: [50-2000] y es lasiguiente:

2. Mtodo de la regla Piramidal.

Los datos del gas, se presentan en la tabla de la pgina siguiente.

Tomando como referencia la lnea N 17 correspondiente a la presin de 800 Psia., se procede delmodo siguiente:

a. Las primeras cuatro columnas corresponde a los datos que se obtienen en el laboratoriomediante determinacin directa, la cuarta columna de Productose determina = 2*P/z,lo que es igual a 2*800/(0.9686*0.0123) = 133.78 M.

b. La siguiente columna, se determina como el promedio de los valores Producto, esto es:(128.55 M +133.78 M)/2 = 131.163M

c. La columna h es el intervalo h correspondientes a presiones que se est utilizando, y tieneel valor de 50.

d. Luego se determina la columna de rea, multiplicando el promedio por la Altura, lo que eslo mismo: 131.163 M * 50 = 6.558 MM.

e. Finalmente se calcula la Pseudopresin que es realmente el acumulado, es decir 6.558 MM

+ 49.655 MM = 56.213 MM, que es el valor de la Pseudopresin a 800 Psia. Ver la tablamencionada.f. Asimismo se ha determinado mediante mnimos cuadrados la ecuacin de potencia que sirve

para calcular el valor de la Pseudopresin en el intervalo [50-200] con bastante precisiny es la siguiente:


7/9


Pg 7 de 9

N Pres Z Visc. Producto Prom. h Area Pseudopress(MM)

1 0 1.0000 0.0111 0.00 0.00 0 0.00 0.00

2 50 1.0194 0.0104 9.46 4.73 50 0.24 0.24

3 100 1.0446 0.0105 18.26 13.86 50 0.69 0.93

4 150 1.0398 0.0106 27.22 22.74 50 1.14 2.07

5 200 0.9759 0.0117 34.98 31.10 50 1.55 3.62

6 250 1.0107 0.0108 45.68 40.33 50 2.02 5.64

7 300 0.9572 0.0117 53.38 49.53 50 2.48 8.12

8 350 0.9527 0.0118 62.53 57.96 50 2.90 11.01

9 400 0.9193 0.0120 72.59 67.56 50 3.38 14.39

10 450 1.0016 0.0112 80.43 76.51 50 3.83 18.22

11 500 0.9106 0.0120 91.52 85.97 50 4.30 22.51

12 550 0.9826 0.0119 94.23 92.87 50 4.64 27.16

13 600 0.9685 0.0120 103.27 98.75 50 4.94 32.10

14 650 0.8977 0.0125 115.99 109.63 50 5.48 37.5815 700 0.9592 0.0122 119.28 117.64 50 5.88 43.46

16 750 0.9078 0.0129 128.55 123.91 50 6.20 49.65

17 800 0.9686 0.0123 133.78 131.16 50 6.56 56.21

18 850 0.8990 0.0128 147.19 140.49 50 7.02 63.24

19 900 0.9591 0.0126 149.14 148.17 50 7.41 70.65

20 950 0.9544 0.0124 160.01 154.58 50 7.73 78.37

21 1000 0.8766 0.0135 169.34 164.68 50 8.23 86.61

22 1050 0.8814 0.0133 178.72 174.03 50 8.70 95.31

23 1100 0.8770 0.0139 181.09 179.91 50 9.00 104.31

24 1150 0.9175 0.0130 192.28 186.69 50 9.33 113.64

25 1200 0.9129 0.0129 204.08 198.18 50 9.91 123.5526 1250 0.9083 0.0133 207.43 205.75 50 10.29 133.84

27 1300 0.8505 0.0141 217.18 212.30 50 10.62 144.45

28 1350 0.8461 0.0146 218.32 217.75 50 10.89 155.34

29 1400 0.8856 0.0135 234.57 226.45 50 11.32 166.66

30 1450 0.8985 0.0135 239.94 237.26 50 11.86 178.52

31 1500 0.8764 0.0141 242.12 241.03 50 12.05 190.58

32 1550 0.8373 0.0145 254.55 248.34 50 12.42 202.99

33 1600 0.9016 0.0144 246.90 250.73 50 12.54 215.53

34 1650 0.8798 0.0143 261.44 254.17 50 12.71 228.24

35 1700 0.8921 0.0143 266.20 263.82 50 13.19 241.43

36 1750 0.8704 0.0144 278.59 272.39 50 13.62 255.05

37 1800 0.8321 0.0153 282.76 280.67 50 14.03 269.0838 1850 0.8778 0.0150 281.59 282.18 50 14.11 283.19

39 1900 0.8730 0.0146 297.51 289.55 50 14.48 297.67

40 1950 0.8435 0.0152 304.07 300.79 50 15.04 312.71

41 2000 0.8553 0.0152 308.29 306.18 50 15.31 328.02


8/9


2Ver: Mtodos Numricos y programacin Fortran; Daniel D. McCracken y William S. Dorn, editorial

Limusa, 1977.:

Pg 8 de 9

0

50

100

150

200

250

300

350

Pseudo

presion(MMPsia2/cp).

0 200 400 600 800 1,000 1,200 1,400 1,600 1,800 2,000Presion (Psia)

PseudopresionMtodo Trapezoidal

Grficamente se tendra:

Procedimiento para ajuste de curvas - Potencias.

El siguiente es el procedimiento para ajustar los valores de la tabla de pseudopresion a una

ecuacin de potencia, de la forma: = 10a bxP

Procedimiento:

1. Proceder a completar la tabla calculada de seudo presiones calculando el logaritmo tanto

de la presin como de la Pseudopresin (Columnas x e y de la tabla 1), asimismo el

cuadrado y producto de ambos.2. Obtener los valores de las sumatorias indicadas2para poder aplicar el mtodo de ajuste

de curvas por mnimos cuadrados.

3. Determinar las constantes a y b aplicando las ecuaciones 1 y 2 de ajuste de curvas.


9/9


Pg 9 de 9

LogLogPseupPres.

Dif.Verifica.xyx2yxPseup (MM)Pres.N

-0.081.0-0.0424.000-0.0212.0000.951001-0.174.01.3485.2950.5862.3013.862002-0.118.92.3396.1360.9442.4778.8030030.1915.63.1226.7711.2002.60215.8440040.7724.23.7737.2841.3982.69924.9950051.5734.64.3307.7181.5582.77836.1860062.6246.84.8198.0951.6942.84549.4270073.8260.85.2558.4281.8102.90364.6080085.0276.55.6478.7281.9112.95481.5690095.9594.16.0009.0002.0003.000100.031000106.53113.46.3239.2502.0793.041119.901100116.53134.46.6179.4812.1493.079140.951200125.58157.26.8879.6972.2123.114162.811300133.57181.87.1359.8982.2683.146185.35140014

0.29208.17.36510.0882.3193.176208.35150015-4.46236.17.57710.2662.3653.204231.62160016-11.00265.87.77310.4362.4063.230254.83170017-19.39297.37.95610.5972.4443.255277.91180018-29.73330.58.12610.7502.4783.279300.77190019-42.16365.48.28410.8972.5103.301323.25200020

110.634172.81436.31058.386SumatoriasH:\Uni\Clase-01-Pseudopress\Pseudopresion\Pseudopresion.wb3

( )( ) ( )( )( ) ( )a

y x x xy

n x x=

2

2 2

Ecu.1( ) ( )( )( ) ( )

bn xy x y

n x x=

2

2

Ecu. 2

Realizando los clculos, se procedera:

( )a

x x

x=

=

36 31 172 814 58 386 110 634

20 172 814 58 386389952

. . . .

. ..

( )b

x x

x=

=

20 0 110 634 58 386 36 310

20 172 814 58 386 195762

. . . .

. . .

En consecuencia la ecuacin buscada para la tabla con los datos presentada sera:

= 1 2604 10 4 1 9576. .x P

A modo de verificacin de la validez de la ecuacin obtenida, se ha calculado la columna

Verifica para comparar con los valores originales y tambin la diferencia existente entre ambos

valores.

a7a16»Pseudopresion

Documents

Transcript of a7a16»Pseudopresion