53. Mathematik-Olympiade3. Stufe (Landesrunde)

Olympiadeklasse 8Aufgaben – 2. Tag

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Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen und Nebenrechnungen soll deutlich erkennbarsein. Du musst also auch erklären, wie du zu Ergebnissen und Teilergebnissen gelangt bist.Stelle deinen Lösungsweg logisch korrekt und in grammatisch einwandfreien Sätzen dar.

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Lehrer Lämpel korrigiert eine Klassenarbeit. Mit der Korrektur ist er fast fertig, es fehlennur noch 3 Arbeiten. Von den korrigierten Arbeiten berechnet er schon einmal den Noten-durchschnitt. Herr Lämpel korrigiert die letzten 3 Arbeiten und stellt überrascht fest: DerNotendurchschnitt dieser 3 Arbeiten ist um 2 kleiner als der Notendurchschnitt der zuerstkorrigierten Arbeiten. Der gesamte Notendurchschnitt hat sich durch die 3 Arbeiten um 0,2verringert.

a) Untersuche, ob sich aus diesen Angaben die Anzahl der insgesamt korrigierten Arbeiteneindeutig ermitteln lässt.

b) Untersuche, ob sich aus diesen Angaben auch der Notendurchschnitt der Klassenarbeiteindeutig ermitteln lässt.

Hinweis: Die Arbeiten werden mit den Noten 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 bewertet.

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Über ein spitzwinkliges Dreieck ABC und Punkte A′,B ′ und C ′ wird vorausgesetzt:

(1) Der Punkt C ′ ist der Bildpunkt von Punkt C bei Spiegelung am Punkt A.(2) Der Punkt A′ ist der Bildpunkt von Punkt A bei Spiegelung am Punkt B .(3) Der Punkt B ′ ist der Bildpunkt von Punkt B bei Spiegelung am Punkt C .

Ermittle das Verhältnis des Flächeninhalts des Dreiecks A′B ′C ′ zum Flächeninhalt des Drei-ecks ABC .

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In der Stadt Nirgendwo gibt es für die Stadtbahnen ein kompliziertes Tarifsystem: Für jedeEinfachfahrt zwischen zwei beliebigen Stationen gibt es jeweils genau ein Ticket, auf demAnfangs- und Endstation und der jeweilige Preis aufgedruckt sind. Es wird also zwischen Hin-und Rückfahrt unterschieden. Beim Entwerten werden Datum und Uhrzeit aufgedruckt.

In den ersten 5 Jahren nach der Eröffnung des Netzes sind mehrere neue Stationen und mitdiesen 60 neue Einfachverbindungen hinzugekommen. Durch die Inbetriebnahme weiterer Sta-tionen sind danach bis jetzt noch weitere 150 neue Einfachverbindungen hinzugekommen.

Untersuche, ob aus diesen Angaben die Anzahl der jetzt vorhandenen Stationen eindeutigermittelt werden kann.