A08

Giovanni Falsone

Meccanica delle strutture

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via Raffaele Garofalo, 133/A–B00173 Roma

(06) 93781065

isbn 978–88–548–6859–5

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con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi.

Non sono assolutamente consentite le fotocopiesenza il permesso scritto dell’Editore.

I edizione: gennaio 2014

Indice

Capitolo 1 Statica e cinematica del corpo rigido libero . . . . . . . . . . p . 9

Capitolo 2 Statica e cinematica dei corpi rigidi vincolati . . . . . . . p . 27

Capitolo 3 Analisi dello stato di tensione nei corpi . . . . . . . . . . p . 49

Capitolo 4 Statica della trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p . 73

Capitolo 5 Sistemi articolati di travi . . . . . . . . . . . . . . . . . p . 99

Capitolo 6 Cinematica dei corpi deformabili . . . . . . . . . . . . . p . 123

Capitolo 7 Il Principio dei Lavori Virtuali per i corpi deformabili . . . p . 141

Capitolo 8 Caratteristiche costitutive dei materiali . . . . . . . . . . p . 151

Capitolo 9 I teoremi sul lavoro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p . 197

Capitolo 10 Problema dell’equilibrio elastico . . . . . . . . . . . . . . p . 221

Capitolo 11Metodi per la soluzione di sistemi di travi iperstatici . . . p . 269

Capitolo 12 Il problema di De Saint-Venant . . . . . . . . . . . . . . p . 305

Capitolo 13 Concetti di base di analisi limite . . . . . . . . . . . . . . p . 359

Capitolo 14 Cenni sulla stabilità dell’equilibrio dei sistemi euleriani . . p . 395

Appendice 1Primi elementi di calcolo variazionale . . . . . . . . . . . p . 445

Appendice 2 Trattazione semplificata delle funzioni generalizzate . . . p . 447

Appendice 3Il metodo dell’analogia di Mohr . . . . . . . . . . . . . . p . 455

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p . 465

Capitolo 1

Statica e cinematica del corpo rigido libero

1.1 Introduzione

La Cinematica è quella parte della Meccanica che si occupa dei possibili movimenti dei corpi indipendentemente dalle cause che li determinano. Tali movimenti vengono considerati a prescindere dal tempo, inteso come variabile delle grandezze che intervengono nei vari problemi; esso, infatti, viene considerato soltanto come parametro ordinatore.

In modo complementare, la Statica studia le condizioni sotto le quali un corpo, sottoposto a determinate condizioni di carico, si trova o meno in una condizione di equilibrio. Anche nella Statica il tempo viene considerato come un semplice parametro ordinatore; di conseguenza, i carichi esterni vengono assimilati a delle grandezze costanti nel tempo, mentre vengono immaginate nulle le forze dipendenti dalla velocità e dall’accelerazione dei corpi, cioè le forze dissipative e quelle inerziali. Queste ultime, invece, vengono prese in considerazione in quella parte della Meccanica che viene definita Dinamica.

La Statica e la Cinematica possono essere considerate indipendentemente l’una dall’altra, salvo poi essere correlate tramite uno degli strumenti fondamentali della Meccanica, cioè il Principio dei Lavori Virtuali.

9

1.2 Cinematica del punto materiale

In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali ( ; , )o x y , la configurazione di un punto materiale P è pienamente definita attraverso la conoscenza delle sue coordinate ( )( ) ( ),P Px y . Il cambiamento di configurazione che porta il punto in una nuova posizione, caratterizzata dalle coordinate ( )( ) ( ),P Px y′ ′ , è definito attraverso la conoscenza dello spostamento che porta il punto da una posizione all’altra, cioè:

( ) ( ) ( )P P P′ = +x x u (1.1)

dove ( )( ) ( ) ( )P T P Px y′ ′ ′=x e ( )( ) ( ) ( )P T P Px y=x , mentre il vettore

( )( ) ( ) ( )P T P Px yu u=u definisce lo spostamento del punto (Fig.1.1).

Fig.1.1

Si definisce grado di libertà di un ente materiale, e, nella

fattispecie, del punto materiale, il numero di parametri cinematici indipendenti che consentono la piena definizione di un qualunque cambiamento di configurazione dell’ente. Per parametri cinematici indipendenti si intendono quei parametri, definiti anche lagrangiani, tali che il valore arbitrariamente assegnato ad uno di essi non influisce sul valore dell’altro. L’Eq.(1.1) evidenzia che per un punto materiale libero di muoversi nel piano tale numero è pari a due; infatti la componente di spostamento ( )P

yu può assumere qualunque valore,

10 Capitolo 1

1.2 Cinematica del punto materiale

In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali ( ; , )o x y , la configurazione di un punto materiale P è pienamente definita attraverso la conoscenza delle sue coordinate ( )( ) ( ),P Px y . Il cambiamento di configurazione che porta il punto in una nuova posizione, caratterizzata dalle coordinate ( )( ) ( ),P Px y′ ′ , è definito attraverso la conoscenza dello spostamento che porta il punto da una posizione all’altra, cioè:

( ) ( ) ( )P P P′ = +x x u (1.1)

dove ( )( ) ( ) ( )P T P Px y′ ′ ′=x e ( )( ) ( ) ( )P T P Px y=x , mentre il vettore

( )( ) ( ) ( )P T P Px yu u=u definisce lo spostamento del punto (Fig.1.1).

Fig.1.1

Si definisce grado di libertà di un ente materiale, e, nella

fattispecie, del punto materiale, il numero di parametri cinematici indipendenti che consentono la piena definizione di un qualunque cambiamento di configurazione dell’ente. Per parametri cinematici indipendenti si intendono quei parametri, definiti anche lagrangiani, tali che il valore arbitrariamente assegnato ad uno di essi non influisce sul valore dell’altro. L’Eq.(1.1) evidenzia che per un punto materiale libero di muoversi nel piano tale numero è pari a due; infatti la componente di spostamento ( )P

yu può assumere qualunque valore,

indipendentemente dal valore arbitrario assegnato alla componente ( )Pxu .

La posizione di un punto materiale nello spazio tridimensionale, riferito ad una terna cartesiana ortogonale ( ; , , )o x y z è definita, nella configurazione attuale C, dal punto P di coordinate

( )( ) ( ) ( ) ( )P T P P Px y z=x . Un cambiamento di configurazione C C′→ comporta lo spostamento del punto materiale nella nuova posizione P′ di coordinate ( )( ) ( ) ( ) ( )P T P P Px y z′ ′ ′ ′=x , tali che:

( ) ( ) ( )P P P′ = +x x u (1.2)

dove ciascuno dei vettori ha tre componenti e, in particolare ( )( ) ( ) ( ) ( )P T P P P

x y zu u u=u . Appare quindi evidente che il punto libero di muoversi nello spazio presenta tre gradi di libertà.

Può accadere che il punto materiale non possa muoversi comunque nel piano o nello spazio, ma sia costretto ad assumere solo determinate configurazioni. Si dice, in questo caso, che il punto è vincolato, essendo il vincolo un dispositivo che limita le possibilità di movimento dell’ente materiale sul quale è applicato, nella fattispecie il punto materiale, riducendone, quindi, i gradi di libertà. Il numero di gradi di libertà sottratti dal vincolo all’ente materiale è definito grado di molteplicità del vincolo o molteplicità vincolare.

Fig.1.2

Statica e cinematica del corpo rigido libero 11

Ad esempio, se un punto nel piano ( ; , )o x y è vincolato a muoversi lungo una retta r, o una linea curva s, il suo generico cambiamento di configurazione è definito solo dall’ascissa retta, o curvilinea, che caratterizza lo spostamento lungo r, o s (Fig.1.2). Conseguentemente i due gradi di libertà del punto libero si riducono ad uno del punto vincolato e il grado di molteplicità del vincolo è pari ad uno.

Se gli stessi vincoli vengono applicati ad un punto materiale nello spazio tridimensionale, i suoi gradi di libertà passano da tre (punto libero) ad uno (punto vincolato). Ciò implica che la molteplicità di questi vincoli è pari a due.

1.3 Statica del punto materiale

Dato un sistema di forze iF ( 1,2, ,i n= L ) agenti su un punto materiale P, è intuitivo constatare che la condizione di equilibrio del punto è rappresentata dalla circostanza che la risultante del sistema di forze sia nulla, visto che è sicuramente verificata la condizione che tutte le forze passano per lo stesso punto, il ché garantisce che il loro momento risultante sia nullo; quindi deve essere:

1

n

ii=

= =∑R F 0 (1.3)

Questa relazione vettoriale corrisponde, nel caso di forze nello spazio tridimensionale, alle tre seguenti relazioni scalari:

, , ,1 1 1

0; 0; 0;n n n

x x i y y i z z ii i i

R F R F R F= = =

= = = = = =∑ ∑ ∑ (1.4,a-c)

È evidente che nel caso di un sistema di forze agenti tutte nel piano ( ; , )o x y , le Eqq.(1.4) si riducono alle prime due.

La condizione di equilibrio sopra considerata può avere una rappresentazione grafica se ciascuna delle forze viene schematizzata come un vettore caratterizzato da una retta d’azione, da un modulo

12 Capitolo 1

Ad esempio, se un punto nel piano ( ; , )o x y è vincolato a muoversi lungo una retta r, o una linea curva s, il suo generico cambiamento di configurazione è definito solo dall’ascissa retta, o curvilinea, che caratterizza lo spostamento lungo r, o s (Fig.1.2). Conseguentemente i due gradi di libertà del punto libero si riducono ad uno del punto vincolato e il grado di molteplicità del vincolo è pari ad uno.

Se gli stessi vincoli vengono applicati ad un punto materiale nello spazio tridimensionale, i suoi gradi di libertà passano da tre (punto libero) ad uno (punto vincolato). Ciò implica che la molteplicità di questi vincoli è pari a due.

1.3 Statica del punto materiale

Dato un sistema di forze iF ( 1,2, ,i n= L ) agenti su un punto materiale P, è intuitivo constatare che la condizione di equilibrio del punto è rappresentata dalla circostanza che la risultante del sistema di forze sia nulla, visto che è sicuramente verificata la condizione che tutte le forze passano per lo stesso punto, il ché garantisce che il loro momento risultante sia nullo; quindi deve essere:

1

n

ii=

= =∑R F 0 (1.3)

Questa relazione vettoriale corrisponde, nel caso di forze nello spazio tridimensionale, alle tre seguenti relazioni scalari:

, , ,1 1 1

0; 0; 0;n n n

x x i y y i z z ii i i

R F R F R F= = =

= = = = = =∑ ∑ ∑ (1.4,a-c)

È evidente che nel caso di un sistema di forze agenti tutte nel piano ( ; , )o x y , le Eqq.(1.4) si riducono alle prime due.

La condizione di equilibrio sopra considerata può avere una rappresentazione grafica se ciascuna delle forze viene schematizzata come un vettore caratterizzato da una retta d’azione, da un modulo

(definito dalla lunghezza del vettore riferita ad un’opportuna scala) e da un verso. In tal modo, la condizione che la risultante delle forze agenti sia nulla si esplica graficamente attraverso la condizione che i vettori rappresentanti le forze, disposti uno di seguito all’altro, in modo tale che l’estremo superiore di uno coincida con l’estremo inferiore del successivo, formino una linea spezzata chiusa, cioè un poligono. In Fig.1.3 tale condizione è rappresentata nel caso di un sistema di forze piano. Se le forze agenti sul punto sono soltanto due, la condizione di equilibrio si riduce alla circostanza che le forze abbiano la stessa retta d’azione, lo stesso modulo e verso opposto. Tale condizione è l’esplicazione del famoso principio della forza contro forza, noto fin dagli albori della civiltà umana (Fig.1.4).

Fig.1.3

Se le forze sul punto materiale sono tre, la condizione di equilibrio impone che esse debbano appartenere allo stesso piano e che i loro vettori rappresentanti formino un triangolo con i versi dei vettori che si inseguono (Fig.1.5).

Fig.1.4

Statica e cinematica del corpo rigido libero 13

Fig.1.5

1.4 Il Principio dei Lavori Virtuali per il punto materiale

Le condizioni di equilibrio precedentemente ottenute tramite considerazioni di carattere intuitivo possono essere rigorosamente ricavate attraverso l’applicazione del Principio dei Lavori Virtuali (PLV), che viene enunciato come segue:

Condizione necessaria e sufficiente affinché un ente materiale sia in equilibrio sotto l’azione di un sistema di forze è che il lavoro compiuto da queste forze sia nullo per qualunque spostamento virtuale dell’ente.

Per spostamenti virtuali sono da intendersi spostamenti che siano infinitesimi e compatibili con i vincoli che, a loro volta, si assumono lisci, perfetti e bilateri. Più avanti, nel Cap.2, verranno trattati nel dettaglio i significati di questi aggettivi.

Per un punto materiale non vincolato uno spostamento virtuale può essere un qualunque spostamento infinitesimo ( )Pδu , senza alcuna restrizione sulle sue componenti. La condizione imposta dal PLV si esprime analiticamente come segue:

δ L = Fi

Tδu( P )

i=1

n

∑ = 0 ∀δu( P ) (1.5)

che implica:

14 Capitolo 1

Fig.1.5

1.4 Il Principio dei Lavori Virtuali per il punto materiale

Le condizioni di equilibrio precedentemente ottenute tramite considerazioni di carattere intuitivo possono essere rigorosamente ricavate attraverso l’applicazione del Principio dei Lavori Virtuali (PLV), che viene enunciato come segue:

Condizione necessaria e sufficiente affinché un ente materiale sia in equilibrio sotto l’azione di un sistema di forze è che il lavoro compiuto da queste forze sia nullo per qualunque spostamento virtuale dell’ente.

Per spostamenti virtuali sono da intendersi spostamenti che siano infinitesimi e compatibili con i vincoli che, a loro volta, si assumono lisci, perfetti e bilateri. Più avanti, nel Cap.2, verranno trattati nel dettaglio i significati di questi aggettivi.

Per un punto materiale non vincolato uno spostamento virtuale può essere un qualunque spostamento infinitesimo ( )Pδu , senza alcuna restrizione sulle sue componenti. La condizione imposta dal PLV si esprime analiticamente come segue:

δ L = Fi

Tδu( P )

i=1

n

∑ = 0 ∀δu( P ) (1.5)

che implica:

Fi

i=1

n

∑ = R = 0 (1.6)

che, ovviamente, coincide col risultato illustrato nel Par.1.3.

1.4 Cinematica del corpo rigido libero

Si definisce corpo rigido un ente materiale che occupa un certo dominio dello spazio ed è tale che in un suo qualunque cambiamento di configurazione la distanza fra due suoi generici punti rimane invariata. Alternativamente, si può dire che il corpo è indeformabile. È evidente l’astrazione fisica di tale definizione, che ha senso solo da un punto di vista matematico, in quanto, qualunque sia il materiale con cui è realizzato il corpo, esso, se sottoposto ad una qualunque condizione di carico, sicuramente subisce delle deformazioni più o meno evidenti. Tuttavia, se il corpo non è sufficientemente vincolato, l’entità delle deformazioni è talmente limitata da potere essere considerata trascurabile rispetto ai cambiamenti di configurazione dovuti alla labilità del corpo che, pertanto, può essere considerato come rigido.

Se il corpo viene considerato come costituito da un insieme di infiniti punti e se non viene imposta alcuna condizione di vincolo, nemmeno quella di rigidità, appare evidente che esso è caratterizzato da (3 )⋅∞ gradi di libertà nello spazio tridimensionale, ovvero (2 )⋅∞ in quello bidimensionale. La condizione di rigidità ovviamente riduce i gradi di libertà del corpo e, in tal senso, può essere considerato come un vincolo interno, il cosiddetto vincolo di rigidità.

Ad esempio, se si considera un sistema costituito da due punti materiali liberi nello spazio tridimensionale, esso è caratterizzato da 2 3 6× = gradi di libertà. Se si applica il vincolo di rigidità ai due punti, i sei parametri che individuano i loro cambiamenti di configurazione non sono più indipendenti, in quanto sono fra loro correlati dalla condizione di invarianza della distanza fra i due punti. Quindi, il sistema, in tal modo vincolato, presenta cinque gradi di

Statica e cinematica del corpo rigido libero 15

libertà. Analogamente, un sistema costituito da tre punti materiali sui quali è applicato il vincolo di rigidità presenta un numero di gradi di libertà pari a 3 3 3 6× − = , essendo tre le condizioni analitiche imposte dal vincolo (l’invarianza delle tre distanze mutue dei punti). Procedendo in modo analogo per un sistema di più punti materiali, si può facilmente verificare che, imponendo loro il vincolo di rigidità, il numero dei gradi di libertà risulta sempre pari a sei e che tale numero rimane invariato qualunque sia il numero di punti materiali appartenenti al sistema. Ciò implica che il corpo rigido, libero di muoversi nello spazio, presenta sei gradi di libertà. Analogamente, si può dimostrare che nel piano il corpo rigido presenta tre gradi di libertà.

Poiché il numero di gradi di libertà di un ente materiale coincide col numero di parametri indipendenti atti a definirne un cambiamento di configurazione, si pone il problema di individuare quali siano tali parametri cinematici nel caso del corpo rigido. Con riferimento, ad esempio, a quanto accade nel piano, è conveniente utilizzare come parametri cinematici indipendenti le due componenti di traslazione di un generico punto P del corpo, che assume il significato di polo del corpo, e la componente di rotazione del corpo attorno a questo polo (Fig.1.6).

Fig.1.6

Infatti, il cambiamento di configurazione di un qualunque punto Q del corpo, distinto da P e definito da ( )( ) ( ) ( )Q T Q Q

x yu u=u , può essere espresso in funzione dei tre parametri suddetti come segue:

16 Capitolo 1

libertà. Analogamente, un sistema costituito da tre punti materiali sui quali è applicato il vincolo di rigidità presenta un numero di gradi di libertà pari a 3 3 3 6× − = , essendo tre le condizioni analitiche imposte dal vincolo (l’invarianza delle tre distanze mutue dei punti). Procedendo in modo analogo per un sistema di più punti materiali, si può facilmente verificare che, imponendo loro il vincolo di rigidità, il numero dei gradi di libertà risulta sempre pari a sei e che tale numero rimane invariato qualunque sia il numero di punti materiali appartenenti al sistema. Ciò implica che il corpo rigido, libero di muoversi nello spazio, presenta sei gradi di libertà. Analogamente, si può dimostrare che nel piano il corpo rigido presenta tre gradi di libertà.

Poiché il numero di gradi di libertà di un ente materiale coincide col numero di parametri indipendenti atti a definirne un cambiamento di configurazione, si pone il problema di individuare quali siano tali parametri cinematici nel caso del corpo rigido. Con riferimento, ad esempio, a quanto accade nel piano, è conveniente utilizzare come parametri cinematici indipendenti le due componenti di traslazione di un generico punto P del corpo, che assume il significato di polo del corpo, e la componente di rotazione del corpo attorno a questo polo (Fig.1.6).

Fig.1.6

Infatti, il cambiamento di configurazione di un qualunque punto Q del corpo, distinto da P e definito da ( )( ) ( ) ( )Q T Q Q

x yu u=u , può essere espresso in funzione dei tre parametri suddetti come segue:

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

;Q P Q P Px x z

Q P Q P Py y z

u u x x

u u y y

ϕ

ϕ

= − −

= + − (1.7,a-b)

Queste equazioni scalari possono essere riscritte nella seguente forma matriciale:

( ) ( ) ( ),

Q P PQ P zϕ= +u u W (1.8)

dove ,Q PW è un vettore colonna che definisce la posizione relativa del punto Q rispetto al punto P avente la seguente forma:

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ),T Q P Q PQ P x x y y= − − −W (1.9)

Analogamente, nello spazio tridimensionale lo spostamento di un

qualunque punto Q del corpo rigido può essere espresso in funzione dei sei parametri cinematici indipendenti che possono essere rappresentati dalle tre componenti di traslazione del polo e dalle tre rotazioni, rispetto a tre assi paralleli agli assi cartesiani e passanti per P; queste ultime possono essere raggruppate nel vettore

( )( ) ( ) ( ) ( )P T P P Px y zϕ ϕ ϕϕ = . Infatti, è facile verificare che vale la

seguente relazione cinematica: ( ) ( ) ( )

,Q P P

Q P= +u u W ϕ (1.10)

dove:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ),

( ) ( ) ( ) ( )

0

0

0

Q P Q P

Q P Q PQ P

Q P Q P

z z y y

z z x x

y y x x

⎛ ⎞− − −⎜ ⎟

= − − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− − −⎝ ⎠

W (1.11)

Statica e cinematica del corpo rigido libero 17

Anche in questo caso, la matrice ,Q PW dipende dalla posizione relativa di Q rispetto al polo P.

Le Eqq.(1.8) e (1.10) rappresentano le cosiddette equazioni di compatibilità del corpo rigido non vincolato, rispettivamente nel piano e nello spazio. Esse, infatti, esprimono le componenti di spostamento di un qualunque punto del corpo rigido in funzione degli spostamenti del polo, compatibilmente ai vincoli agenti sul corpo che, in questo caso, si riducono al solo vincolo di rigidità.

1.5 Statica del corpo rigido libero

È facilmente verificabile che la condizione di equilibrio introdotta per il punto materiale, e cioè che la risultante delle forze agenti sull’ente materiale sia nulla, è una condizione necessaria ma non sufficiente quando si considera un corpo rigido. Un classico esempio che evidenzia questa circostanza è quello relativo al principio della leva, enunciato da Archimede e che fu commentato dallo stesso con la celebre frase “Datemi un fulcro e solleverò il mondo” (Fig.1.7).

Fig.1.7

Tale principio impone che l’equilibrio è garantito se è verificata, oltre che la condizione necessaria sopra ricordata, anche la seguente condizione:

11 2

2

F b Fa F bF a

= → = (1.12,a-b)

18 Capitolo 1

Anche in questo caso, la matrice ,Q PW dipende dalla posizione relativa di Q rispetto al polo P.

Le Eqq.(1.8) e (1.10) rappresentano le cosiddette equazioni di compatibilità del corpo rigido non vincolato, rispettivamente nel piano e nello spazio. Esse, infatti, esprimono le componenti di spostamento di un qualunque punto del corpo rigido in funzione degli spostamenti del polo, compatibilmente ai vincoli agenti sul corpo che, in questo caso, si riducono al solo vincolo di rigidità.

1.5 Statica del corpo rigido libero

È facilmente verificabile che la condizione di equilibrio introdotta per il punto materiale, e cioè che la risultante delle forze agenti sull’ente materiale sia nulla, è una condizione necessaria ma non sufficiente quando si considera un corpo rigido. Un classico esempio che evidenzia questa circostanza è quello relativo al principio della leva, enunciato da Archimede e che fu commentato dallo stesso con la celebre frase “Datemi un fulcro e solleverò il mondo” (Fig.1.7).

Fig.1.7

Tale principio impone che l’equilibrio è garantito se è verificata, oltre che la condizione necessaria sopra ricordata, anche la seguente condizione:

11 2

2

F b Fa F bF a

= → = (1.12,a-b)

In questo esempio la condizione necessaria che la risultante delle forze agenti sul corpo sia nulla si esplica nella circostanza che la reazione ( )CR del fulcro in C sia una forza verticale, rivolta verso l’alto e di modulo pari alla somma di 1F e 2F .

La condizione di equilibrio espressa analiticamente dalla Eq.(1.12,b) esprime il verificarsi dell’uguaglianza di due enti matematici, aventi ciascuno le dimensioni fisiche del prodotto, [ ]L F⋅ ,

di una lunghezza ([ ]L ) per una forza ([ ]F ). Ciascuno di questi enti rappresenta il cosiddetto momento di ciascuna delle forze 1F e 2F rispetto al punto C. Quindi, per il problema della leva, le equazioni che ne garantiscono l’equilibrio sono:

( )

1 2 1 2; CR F F Fa F b= + = (1.13,a-b) di cui la prima rappresenta la condizione di equilibrio alla traslazione verticale e la seconda la condizione di equilibrio alla rotazione.

Fig.1.8

Si può facilmente mostrare che la condizione di equilibrio dei momenti definita dall’Eq.(1.13,b) assume sempre la stessa espressione indipendentemente dal punto rispetto al quale si calcolano i momenti delle forze. Infatti, facendo riferimento alla Fig.1.8, la condizione di equilibrio rispetto ad un generico punto D si scrive:

( ) ( )( )2 1 0CF d F a b d R b d+ + + − + = (1.14)

che, tenendo conto dell’Eq.(1.13,a), conduce a:

Statica e cinematica del corpo rigido libero 19

( ) ( )( )2 1 1 2 1 2 0F d F a b d F F b d Fa Fb+ + + − + + = − = (1.15)

Si può quindi concludere che, nel piano, le condizioni di equilibrio di un corpo sul quale agisce un sistema di n forze sono espresse analiticamente da tre equazioni, due delle quali rappresentative dell’equilibrio alla traslazione rispetto alle direzioni definite dagli assi del sistema di riferimento, ed una relativa alla rotazione rispetto ad un asse parallelo all’asse z e passante per un punto qualunque del piano (Fig.1.9).

Fig.1.9

Tali equazioni hanno la seguente forma:

( ), ,

1 1 10; 0; 0

n n nC

x i y i ii i iF F M

= = == = =∑ ∑ ∑ (1.16,a-c)

essendo ( )C

iM il momento dell’i-esima forza rispetto al punto C; per esempio, con riferimento alla Fig. 1.9, ( ) ( )C C

i i iM Fd= − . È importante notare che il numero ed il tipo di condizioni di

equilibrio corrispondono al numero ed alla tipologia dei parametri cinematici che definiscono i gradi di libertà del corpo rigido. Tale considerazione consente di affermare che, nel caso del corpo rigido nello spazio, le condizioni di equilibrio sono sei, tre alla traslazione e tre alla rotazione rispetto a tre assi paralleli a quelli di riferimento e passanti per un generico punto C, cioè:

20 Capitolo 1

( ) ( )( )2 1 1 2 1 2 0F d F a b d F F b d Fa Fb+ + + − + + = − = (1.15)

Si può quindi concludere che, nel piano, le condizioni di equilibrio di un corpo sul quale agisce un sistema di n forze sono espresse analiticamente da tre equazioni, due delle quali rappresentative dell’equilibrio alla traslazione rispetto alle direzioni definite dagli assi del sistema di riferimento, ed una relativa alla rotazione rispetto ad un asse parallelo all’asse z e passante per un punto qualunque del piano (Fig.1.9).

Fig.1.9

Tali equazioni hanno la seguente forma:

( ), ,

1 1 10; 0; 0

n n nC

x i y i ii i iF F M

= = == = =∑ ∑ ∑ (1.16,a-c)

essendo ( )C

iM il momento dell’i-esima forza rispetto al punto C; per esempio, con riferimento alla Fig. 1.9, ( ) ( )C C

i i iM Fd= − . È importante notare che il numero ed il tipo di condizioni di

equilibrio corrispondono al numero ed alla tipologia dei parametri cinematici che definiscono i gradi di libertà del corpo rigido. Tale considerazione consente di affermare che, nel caso del corpo rigido nello spazio, le condizioni di equilibrio sono sei, tre alla traslazione e tre alla rotazione rispetto a tre assi paralleli a quelli di riferimento e passanti per un generico punto C, cioè:

, , ,1 1 1

( ) ( ) ( ), , ,

1 1 1

0; 0; 0;

0; 0; 0

n n n

x i y i z ii i i

n n nC C Cx i y i z i

i i i

F F F

M M M

= = =

= = =

= = =∑ ∑ ∑

= = =∑ ∑ ∑ (1.17,a-f)

Le Eqq.(1.16) e (1.17) rappresentano le cosiddette equazioni cardinali della statica per il corpo rigido, rispettivamente nel piano e nello spazio.

1.7 Il PLV per il corpo rigido libero

Le equazioni cardinali della statica descritte nel paragrafo precedente possono essere anche ottenute attraverso l’applicazione del PLV. Infatti, lo spostamento virtuale di un generico punto del corpo rigido libero, tenendo conto dell’Eq.(1.8), può esprimersi come segue:

δu(Q ) = δu( P ) + WQ ,Pδϕ

( P ) (1.18)

Se sul corpo agisce un sistema di forze Fi , applicate nei punti iQ , la condizione di equilibrio imposta dal PLV si esprime analiticamente come segue:

δ L = Fi

Tδu(Qi )

i=1

n

∑ = FiT δu( P ) + WQ ,Pδϕ

( P )( )i=1

n

∑ = 0 ∀δu( P ) ,δϕ ( P )

(1.19) che implica:

,1 1

; = =

= =∑ ∑F 0 W F 0n n

Ti Q P i

i i (1.20,a-b)

L’Eq.(1.20,a) definisce le condizioni di equilibrio alla traslazione, mentre si può facilmente mostrare che l’Eq.(1.20,b) definisce la

Statica e cinematica del corpo rigido libero 21

condizione di equilibrio alla rotazione rispetto al polo P. Infatti, esplicitando il termine generico presente nella sommatoria, si ha:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

,( ) ( )( ) ( )

, ,

( ) ( )( ) ( ),

( ) ( )( ) ( ), ,

( ) ( )( ) ( ), ,

( ) ( ), ,

0

0

0

⎛ ⎞− − − ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= − − − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− − − ⎝ ⎠⎝ ⎠

− − −

= − − −

− −

W F

i i

i i

i i

i i

i i

i

Q QP P

x iQ QT P P

Q P i y i

Q QP Pz i

Q QP Py i z i

Q QP Pz i x i

Q Px i y i

z z y y Fz z x x F

Fy y x x

F z z F y y

F x x F z z

F y y F x( )

( ),

( ) ( ),

( )( ) ( ),

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ≡⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎝ ⎠

Mi

Px iP Py i iPQ Pz i

MMMx

(1.21) Per cui, in definitiva, la (1.20,b) corrisponde a:

( )

1==∑M 0

nPi

i (1.22)

che dimostra quanto prima affermato.

1.8 Condizioni di equilibrio grafiche

In questo paragrafo si vuole evidenziare come le condizioni di equilibrio analitiche definite dalle equazioni cardinali della statica abbiano delle semplici corrispondenze di tipo grafico quando sul corpo rigido agisce un numero limitato di azioni.

Facendo riferimento, per semplicità di rappresentazione grafica, al caso del corpo nel piano, si considerano di seguito alcune di queste semplici condizioni:

a) Sistema di due forze: l’equilibrio è garantito solo se le due forze hanno la stessa retta d’azione, lo stesso modulo e verso opposto, o, come si dice impropriamente, se sono uguali e opposte (Fig.1.10).

22 Capitolo 1

condizione di equilibrio alla rotazione rispetto al polo P. Infatti, esplicitando il termine generico presente nella sommatoria, si ha:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

,( ) ( )( ) ( )

, ,

( ) ( )( ) ( ),

( ) ( )( ) ( ), ,

( ) ( )( ) ( ), ,

( ) ( ), ,

0

0

0

⎛ ⎞− − − ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= − − − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− − − ⎝ ⎠⎝ ⎠

− − −

= − − −

− −

W F

i i

i i

i i

i i

i i

i

Q QP P

x iQ QT P P

Q P i y i

Q QP Pz i

Q QP Py i z i

Q QP Pz i x i

Q Px i y i

z z y y Fz z x x F

Fy y x x

F z z F y y

F x x F z z

F y y F x( )

( ),

( ) ( ),

( )( ) ( ),

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ≡⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎝ ⎠

Mi

Px iP Py i iPQ Pz i

MMMx

(1.21) Per cui, in definitiva, la (1.20,b) corrisponde a:

( )

1==∑M 0

nPi

i (1.22)

che dimostra quanto prima affermato.

1.8 Condizioni di equilibrio grafiche

In questo paragrafo si vuole evidenziare come le condizioni di equilibrio analitiche definite dalle equazioni cardinali della statica abbiano delle semplici corrispondenze di tipo grafico quando sul corpo rigido agisce un numero limitato di azioni.

Facendo riferimento, per semplicità di rappresentazione grafica, al caso del corpo nel piano, si considerano di seguito alcune di queste semplici condizioni:

a) Sistema di due forze: l’equilibrio è garantito solo se le due forze hanno la stessa retta d’azione, lo stesso modulo e verso opposto, o, come si dice impropriamente, se sono uguali e opposte (Fig.1.10).

Fig.1.10

b) Sistema di tre forze:

la condizione di equilibrio alla rotazione impone che le rette d’azione delle tre forze passino per lo stesso punto; mentre, quella di equilibrio alla traslazione impone che i tre vettori rappresentativi delle forze, posti uno di seguito all’altro, formino un triangolo con i versi che si rincorrono (Fig.1.11).

Fig.1.11

Se le tre forze sono parallele, il punto d’intersezione delle loro rette d’azione è all’infinito; la condizione di equilibrio alla rotazione impone che le forze di estremità debbano avere verso opposto rispetto a quella centrale che, inoltre, per l’equilibrio alla traslazione, deve avere un modulo pari alla somma delle altre due; infine queste, per il principio della leva, e, quindi, sempre per la condizione di equilibrio alla rotazione, devono avere moduli inversamente proporzionali alle rispettive distanze dalla forza centrale (Fig.1.12).

Statica e cinematica del corpo rigido libero 23

Fig.1.12

c) Sistema di due forze ed un momento:

le due forze devono formare una coppia (cioè un sistema di due forze parallele con uguale modulo e verso opposto) avente lo stesso modulo del momento e verso opposto (Fig.1.13).

Fig.1.13

Per sistemi di forze agenti costituiti da un numero maggiore di

elementi le condizioni di equilibrio grafiche diventano più complesse. Tuttavia, mediante delle semplici operazioni di somma e composizione di forze, è sempre possibile ricondursi ad uno dei semplici casi considerati in precedenza. Come esempio, si considera il caso di un corpo sul quale agiscono quattro forze. A tale proposito, si nota che la condizione di equilibrio alla rotazione non implica necessariamente la convergenza delle rette d’azione di tali forze in un punto, come accade nel caso di tre forze. Facendo riferimento alla Fig.1.14, si nota come ci si può ricondurre al caso del sistema di tre forze, effettuando semplicemente la somma della terza e della quarta forza.

24 Capitolo 1

Fig.1.12

c) Sistema di due forze ed un momento:

le due forze devono formare una coppia (cioè un sistema di due forze parallele con uguale modulo e verso opposto) avente lo stesso modulo del momento e verso opposto (Fig.1.13).

Fig.1.13

Per sistemi di forze agenti costituiti da un numero maggiore di

elementi le condizioni di equilibrio grafiche diventano più complesse. Tuttavia, mediante delle semplici operazioni di somma e composizione di forze, è sempre possibile ricondursi ad uno dei semplici casi considerati in precedenza. Come esempio, si considera il caso di un corpo sul quale agiscono quattro forze. A tale proposito, si nota che la condizione di equilibrio alla rotazione non implica necessariamente la convergenza delle rette d’azione di tali forze in un punto, come accade nel caso di tre forze. Facendo riferimento alla Fig.1.14, si nota come ci si può ricondurre al caso del sistema di tre forze, effettuando semplicemente la somma della terza e della quarta forza.

Fig.1.14

La Fig.1.15 rappresenta la condizione di equilibrio di un corpo sul quale agisce un sistema costituito da tre forze ed un momento. Nella Fig.1.15,a si è scelto di ricondursi al caso di un sistema di due forze ed un momento, sommando due delle tre forze. Alternativamente, nella Fig.1.15,b si è scelto di comporre una delle forze con un momento, ottenendo una forza avente la stessa direzione, lo stesso modulo e lo stesso verso di quella componente, ma la cui retta d’azione dista da quella della componente di una quantità pari al rapporto tra i moduli del momento e della forza componenti. In tal modo, ci si è ricondotti al caso di un sistema di tre forze.

Fig.1.15

Statica e cinematica del corpo rigido libero 25