A005 Tangencias Ovalos Ovoides

8/4/2019 A005 Tangencias Ovalos Ovoides

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TANGENCIA. Conceptos, propiedades y normas.

Circunferencia y recta tangentes slo tienen un punto comn.

La recta tangente y el dimetro que pasa por el punto de tangencia son siempreperpendiculares.

Puntos de tangencia y centros de circunferencias deben sealarse en la resolucin de ejercicios

Circunferencias tangentes.

Dos circunferencias tangentes slo tienen un punto en comn.Existen dos posiciones entre ellas: tangentes exteriores y tangentes interiores.Dos circunferencias tangentes mantienen siempre sus centros y el punto de tangencia alineados.

TANGENTES INTERIORES

La distancia entre centros es igual a la diferenciaentre sus radios.

La lnea que une los extremos del mismo lado dedos dimetros paralelos pasa por el punto detangencia. (Inversin)

TANGENTES EXTERIORES

La distancia entre sus centros es igual a la sumade sus radios.

La lnea que une los extremos opuestos de dosdimetros paralelos pasa por el punto detangencia. (Inversin)

Por dos puntos pasan infinitascircu nferencias secan tesformando un haz.La recta que une los dos

puntos es su eje radical.

Por un punto pasan infinitascircunferencias tangentes.

La recta tangente a ellas pordicho punto es su eje radical.

Por tres puntos no alineadoss l o p ue de p as ar u nacircunferencia.Su centro coincide con elcircuncentro del tringulo.

Rectaycircunferenciatangentes.


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Recta tangente a una circunferencia desde un punto exterior a ella.(Arco capaz)

La recta tangente y el radio trazado por el punto de tangencia sonperpendiculares entre s.El arco capaz de 90, del segmento que une el punto exterior con el centrode la circunferencia, corta a sta en dos puntos por los que pasan lasrectas tangentes.

E

BC A

D

TANGENCIA.Tangencia entre recta y circunferencia.

Recta tangente a una circunferencia en unpuntodeella.Trazar una recta perpendicular por el punto alradio que lo une al centro.

Recta tangente a una circunferencia yparalelaaunadireccin.Trazar un dimetro perpendicular a la direccindada y paralelas a sta por los extremos de aquel.

dB A C

E

ACBD

Recta tangente a un arco de circunferencia enunpunto.(1)Trazar las mediatrices de dos cuerdas del arco

para determinar el centro de la circunferencia ala que pertenece.Construir la recta perpendicular por el punto alradio que lo une a dicho centro.

A

CD

B

Recta tangente a un arco de circunferencia enunpunto.Trazar una cuerda mediante un arco de

circunferencia desde el punto dado.Por dicho punto hallar la perpendicular a lamediatriz de la cuerda para determinar latangente.

DC

A

B

Rectatangenteadoscircunferencias.(Homotecia)Uniendo los extremos de dos radios paralelos obtenemos un punto, tanto en la homotecia directa comoen la inversa, desde el cual se pueden trazar rectas tangentes a una circunferencia.El arco capaz de 90, del segmento que une el punto hallado con el centro de la circunferencia, corta asta en dos puntos por los que pasanlas rectas tangentes.

GJ

DEF

A B

ICH

J

DHC

A EB

IG

F


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TANGENCIA.Tangencia entre recta y circunferencia.1

Circunferencia tangente a tres rectas. Inscrita y exinscritas a los lados de un tringulo.Trazar las bisectrices de los ngulos interiores para determinar el incentro y las bisectrices de losngulos exteriores para determinar los tres exincentros respectivamente.

Circunferencia, radio dado, tangente a unarectaenunpuntodeella.Levantar una perpendicular por el punto de larecta y llevar, a partir de l, la longitud del radio

para determinar el centro de la circunferencia.

Circunferencia que pasa por tres puntos noalineados.Circunscritaaltringulo.Trazar las mediatrices de los segmentos queunen los puntos para determinar el centro en el

punto de corte de todas ellas.

Circunferencia, radio dado, tangente a dos rectas convergentes.ngulo recto.

Trazar un arco, de centro el vrtice y radio el dado, que corte ambos ladosdel ngulo obteniendo los puntos de tangencia. Con idntico radio y centroen los cortes anteriores trazar otros dos arcos que determinan el centro de lacircunferencia en su punto de corte.

DB

C A

Circunferencia, radio dado, tangente a dosrectas convergentes. Vrtice propio.El centro de la circunferencia se encontrar en la

bisectriz. Trazar, a la distancia del radio dado,una paralela a uno de los lados del ngulo hasta

que corte a la bisectriz y determine el centro.

Circunferencia, radio dado, tangente a dosrectas convergente. Vrtice inaccesible.Las paralelas trazadas, a la distancia del radiodado, a ambos lados del ngulo se cortan en un

punto que es el centro de la circunferencia

tangente.

abc

C

B

A

C

DE A

B

C

B

D

A

r

C

B

D Ar

C

A

B

r

C

G

ED

A FB


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Circunferencia, radio dado, tangente exterior einterioraotra.

Prolongar el radio que pasa por el punto de tangencia yaadir, a partir de ste, el radio dado para determinar el

centro de la circunferencia tangente exterior; para lainterior restar el radio, tambin a partir del punto detangencia.

En forma intercalada. Tangente exterior con una einteriorconlaotra.

Al radio de las dos circunferencias dadas, aadirle yrestarle el de la que va a ser tangente a ellas y trazar

c o nc nt r ic a s c o n l o s s e gm e nt o s o bt e ni d osrespectivamente. Los puntos de corte de stas son loscentros de las soluciones.

Circunferencia,radiodado,tangenteaotrasdos:Tangente a circunferencia y que pase porun punto(circunferencia radio 0) dentro o fuera de ella.

Aadir o disminuir, el radio dado, al de la circunferencia y trazar concntricas con los segmentosobtenidos. Con centro en el punto y tambin el radio dado, describir otra circunferencia que corte a lasconcntricas determinando los centros de las soluciones posibles.

TANGENCIA.Tangencia entrecircunferencias.

DC A E B

En forma cncava. Tangentes exteriores / En forma convexa. Tangentes interiores.

Al radio de las dos circunferencias dadas, aadirle el de la que va a ser tangente exterior a ellas y trazarconcntricas, respectivamente, con los segmentos obtenidos. Los puntos de corte de stas son loscentros de las soluciones. Para las interiores, repetir las mismas operaciones pero restar el radio.

C

GF

rrA B

EH

D

F

D

A B

C

E

DF

BA

EC

C

rrA B

HE

FG

D

r

r

D

EFA

HG

C

B


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Circunferencia tangente, interiory exterior, aotrayaunarectaenunpuntodeella.Levantar una perpendicular por el punto a larecta y trazar un dimetro paralelo a ella. Unirlos extremos del dimetro con rectas que cortenla circunferencia para obtener los puntos detangencia. Las uniones de los puntos de cortecon el centro de la circunferencia dan en la

perpendicular los centros de las soluciones.

Tangente a una recta y que pase por un punto(circunferenciaradio=0).

Trazar, a la distancia del radio dado, paralelas a larecta. Con centro en el punto describir una

circunferencia, de radio el dado, que corte las paralelasdeterminando los centros de las soluciones.

Circunferencia tangente a una recta en un punto de ella y que pasa porotro puntoexterior.

Hallar la mediatriz del segmento (cuerda de la circunferencia) que une elpunto dado y el de la recta. Levantar, por este ltimo, una perpendicular a la

recta que corte a la mediatriz determinando el centro y radio de lacircunferencia solucin.

Circunferencia tangente, interiory exterior, aotraenunpuntoyaunarecta.Trazar la recta que une el centro con el punto detangencia y una perpendicular a ella, por dicho

punto, hasta cortar la recta dada obteniendo dosngulos. Las bisectrices de estos ngulos cortanla recta que une centro y punto de tangenciadeterminando los centros y radios de lascircunferencias solucin.

TANGENCIA.Tangenciasentre circunferenciasy rectas.

Circunferencia,radiodado,tangenteaotrayaunarecta:

r

r

DEa

BC

A

Tangente a una recta y a otra circunferencia.Exteriore interior.

Trazar, a la distancia del radio dado, paralelas a larecta.Aadir o disminuir la longitud del radio dado al de lacircunferencia y describir concntricas con lossegmentos suma y diferencia obtenidos. Los cortes de

paralelas y concntricas son los centros de lassoluciones.

A a

C

B

r

r

r

r Ea

BFC

A

G

D

aFBD

C

E

HA G

E

B

A D

GCFa


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Enlace de dosrectas paralelasmediante dosarcosde circunferencia:

TANGENCIA.Tangenciasentrecircunferenciasyrectas.1

Cuadrantes de circunferencia.(Diferente radio)Trazar una perpendiculares a una recta por un punto deella. Situar la primera circunferencia tangente y trazar

una recta paralela por su centroa las dadas.Con radio, la distancia a la otra paralela desde el centrode la trazada, determinar los de las circunferencias,interior y exterior, a partir de uno de los cortes de la

paralela y la circunferencia trazadas anteriormente.

Enformadegola.Arcosiguales.

Dividir por la mitad el segmento que une los puntos de

tangencia y trazar las mediatrices de los segmentosobtenidos.Las perpendiculares a las rectas paralelas por los

puntos de tangencia determinan los centros y radios alcortar dichas mediatrices.

Arcosdediferenteradio.

Trazar perpendiculares por los puntos de tangencia ysituar la circunferencia dada.Unir los extremos del dimetro, de la circunferencia

trazada, con el punto de tangencia de la otra paralela para obtener los puntos de tangencia de lascircunferencias exterior e interior.La unin del centro, de la primera circunferencia, conl os p un to s d e t an ge nc ia d et er mi na e n l as

perpendiculares los centros y radios de las soluciones.

aA

FHCE

DG

bB

A a

CED

bB

A a

FBCE

bHDG


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TANGENCIA. Circunferenciastangentes inscritasen polgonos y en la circunferencia.

Ejemplos grficos de circunferencias tangentes entre s e inscritas en polgonos.


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TANGENCIA. Circunferenciastangentes inscritasen polgonos y en la circunferencia. 1

Ejemplos grficos de circunferencias tangentes entre s e inscritas en polgonos.

Ejemplos grficos de circunferencias tangentes entre s e inscritas en otra.


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valo.Curva cerrada y plana, formada por dos arcos iguales tangentes, enforma convexa, a otros dos, tambin iguales pero radio diferente alde los anteriores.

Tiene dos ejes perpendiculares que se cortan en el centro,dividindolo simtricamente. Los centros de los arcos estnsituados en dichos ejes.Su aspecto de elipse permite sustituirlo por ella en la perspectivaisomtrica.

Construccindel VALO.

valo.Ejemayor.3partes.

Dividir el eje en tres partes iguales.Desde los puntos hallados y radio una tercera parte del eje,trazar dos circunferencias que contienen dos arcos del valo.Los puntos de interseccin entre s de stas son los otros doscentros de las que cierran el valo.

valoisomtrico.

En perspectiva isomtrica el cuadrado circunscrito a una

circunferencia es un rombo de ngulos 120 y 60respectivamente.La circunferencia es tangente en los puntos medios de loslados del cuadrado, puntos de enlace de las circunferencias

tangentes que forman el valo. Estos puntos, unidos con losvrtices de los ngulos de 120 y centros de doscircunferencias, determinan los centros de las otras dossobre el eje mayor.

O O

O

valo.Ejemenor.

Trazar una circunferencia de dimetro el eje menor.Los extremos del eje menor son dos de los centros de las

circunferencias que forman el valo, la recta que contiene eleje mayor corta a la circunferencia anterior en dos puntosque son los centros de las otras.

VALO.

Z

yx

valo.Ejes.Circunscritoaunrombo.

Situar los ejes perpendiculares entre s y cortndose en elcentro. Desde ste y mediante un arco, llevar el semiejemayor hasta coincidir con el menor y hallar su diferencia.Desde el extremo del eje menor llevar la diferencia entresemiejes hasta la recta que une los extremos de stos.

Hallar la mediatriz del segmento restante para determinar loscentros de las circunferencia en su interseccin con los ejes.

A B

HEG

CD

IFJ

AFG

IHB

CD

EJ

F

A B

H

KL DN

GI

L CM


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Construccindel VALO.

valoptimo.

Construir un rectngulo de lados los semiejes mayor y menor y trazarla diagonal que une los extremos de los ejes.Hallar el incentro del tringulo rectngulo obtenido al trazar ladiagonal.

La perpendicular trazada desde el incentro a la hipotenusa deltringulo rectngulo, determina en los ejes los centros de los arcos queforman el valo.

valo. Ejes. 1. (Descartes)

Llevar igual longitud sobre el eje menor desde el centrodel valo.Unir el punto hallado con el vrtice del tringulo y trazar una paralelaa este segmento por el extremo del eje menor.Por el punto de corte obtenido en el lado del tringulo trazar una

paralela al otro lado y determinar los centros de los arcos decircunferencia que forman el valo.

Construir un tringulo equiltero de lado el semieje mayor.

valo.Ejes.2

Llevar una distancia cualquiera, inferior al semieje menor, a partir deun extremo de los ejes.Unir los puntos obtenidos y hallar su mediatriz prolongndola hastacortar al eje menor determinando los centros de los arcos que formanel valo.

valo.Inscritoenunrombo.

Trazar las mediatrices de los lados del rombo.Las intersecciones de stas son los centros de los arcos que forman elvalo, siendo los puntos medios de los lados los de tangencia.

En el caso de que el rombo tenga dos ngulos de 60 su construccin secorresponde con la del valo isomtrico.

o

valo.Ejemayor.4partes.

Dividir el eje mayor en cuatro partes iguales.Desde los puntos hallados y radio un cuarta parte, trazar trescircunferencias. Las que pasan por los extremos contienen dos arcos

del valo.Unir los puntos de interseccin que produce la circunferencia trazadadesde el centro en las otras con los centros de stas mediante una rectay prolongarla por ambos extremos para determinar los centros y los

puntos de tangencia.

A

CD

B

A B

A

CD

B

A

CD

B


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Ovoide.Curva cerrada y plana, formada por dos arcos iguales de circunferenciatangentes,en forma convexa, a otros dos de diferentes radios.

Tiene dos ejes perpendiculares, el mayor lo divide simtricamente.

Su aspecto recuerda la seccin plana de un huevo por el eje mayor.

ConstruccindelOVOIDE.

Ovoide. Eje menor.

Trazar el primer arco del ovoide, de dimetro el eje

menor, y la mediatriz de ste que contiene al eje mayor.

Los extremos del eje menor son centros de los arcosiguales y el cuarto es el punto de corte del eje mayor con lacircunferencia del primero.

Ovoide. Eje mayor.

Dividir el eje mayor en seis partes iguales.

El centro del primer arco, de radio dos divisiones, es la

segunda de stas.

Desde el mismo punto y radio cuatro divisiones, hallar loscentros de los arcos iguales en la perpendicular al ejemayor trazada por dicho punto.

El centro del cuarto arco se encuentra en el punto nmerocinco.

Ovoide. Ejes.

Trazar una semicircunferencia, primer arco del ovoide,de dimetro el eje menor.

Hallar la mediatriz del eje menor y llevar sobre ella lalongitud del eje mayor.

En el otro extremo de este eje tomar una longitud, menorque el radio del primero, para el segundo arco y restarlatambin a partir de los extremos del ejemenor.

Las mediatrices de los segmentos que unen los puntosobtenidos cortan las prolongaciones del eje menordeterminando los centros de los arcos iguales.

A

CD

B

OVOIDE.

A

HGFIC

D

JEK

B

A

G

C

D

FB

E

A005 Tangencias Ovalos Ovoides

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