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VUELT S CON L CU RT

DIMENSION

RICARDO BARTOLOME RAMIREZ

Sabido es que las imgenes, modelos, recreaciones, etc., resultan tanto ms

ilustrativos y claros cuanto ms sencillos son, pero en las regiones fronterizas

del pensamiento, hacia una de las cuales nos dirigimos en esta exposicin, a

veces se pierden las ideas, en unos casos temporalmente y en otros para

siempre.

Por el ao 300 a. de J. C., vivi en Alejandra, en la corte del rey Ptolomeo

Lago, el sabio griego Euclides, el padre de la geometra, en cuyo famoso

tratado estableca los fundamentos geomtricos de todo el saber

actual. En dicha obra se deca que el punto es lo que no tiene partes, es una

imagen. Hoy podemos aadir que es adimensional y no es ms que un lugar,

de modo que no requiere espacio alguno. Le llamaremos dimensin cero

(0D). Segn esto, la recta ofrece dimensin nica y la designaremos por tanto

por (1D). El plano con sus dos dimensiones posibles podremos representarlo

por (2D). Y a nuestro espacio usual, que es tridimensional, habr que

designarlo por (3D). Nuestro espacio, por tanto, se encuentra entre el inmediato

inferior (2D) y el inmediato superior (4D), el de la cuarta dimensin.

Una hoja de papel extendida constituye un modelo de espacio plano euclidiano:

modelo que ser tanto ms perfecto, cuanto mejor podamos imaginar que el

grueso del papel, siempre tangible, ha desaparecido. y en base a esto y

usando la fantasa, admitamos la existencia de seres planos, tales como los

ideados por el matemtico italiano Se trata por tanto de

seres bidimensionales, que no conocen mas que superficies planas, que

constituyen el nico ambiente donde se encuentran sus condiciones de vida y

muerte. Seres que no tienen ni la menor idea de que existen espacios

superiores y que por tanto no conocen nuestra tercera dimensin. No es

necesario decir que es del todo indiferente la figura que podamos atribuir a

estos habitantes del plano, pero podemos comprender que solo pueden

moverse a la derecha o a la izquierda o ir hacia adelante o hacia atas, no

pudiendo subir o bajar ni cambiar de postura sobre si mismos.

Colocamos a nuestro ser bidimensionalsobre una esfera. Al principio enferma

seriamente, no le sent bien la salida del (2D) para ser trasportado al espacio

(3D). Cuando llega a acostumbrarse y empieza a explorarlo y medirlo

comprueba que ese mundo es ilimitado en todas las direcciones, y a pesar de

ello ha de volver a pasar, tarde o temprano, por lugares ya antes conocidos.

Cuando se esfuerza por hacer geometra, no encuentra modo de trazar

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paralelas. Al fin se convence de que en aquel mundo las paralelas no son

rectas y se cortan en dos puntos!. Los primeros clculos relativos a los

tringulos, le confunden, hasta que establece con certeza que la suma de sus

ngulos, que en su antiguo mundo era siempre de 180, tiene ahora mayor

valor. Tambin pudo comprobar, entre otras cosas, que al trazar sobre la nueva

superficie circunferencias, al aumentar el radio, aumentaba el permetro, para

despus ir disminuyendo hasta llegar a tener permetro nulo.

Cuando nuestro amigo vuelva al modelo de espacio plano le ser muy difcil

hacer comprender sus experiencias

La fantasa creada alrededor del (2D) hemos de adaptarla al (3D), es decir a

nuestro propio espacio, pero para ello es necesario que se establezcan

relaciones con el espacio (4D), el de la cuarta dimensin, ya que nicamente

desde l podremos visionar ese mundo en el que nos encontramos.

Todos hemos odo hablar de la cuarta dimensin, pero casi nunca refirindose

a ella desde un enfoque puramente geomtrico. Qu sabemos con certeza

acerca de ella?. Si los espacios inferiores se encuentran incluidos en el (3D),

puede ser posible, la inclusin de ste en su inmediato superior, el (4D)?. La

Matemtica y la Geometra, hace ya tiempo consideran esa posibilidad, no en

vano la palabra imposible segn prueban incontables ejemplos tomados de la

historia de la humanidad, tiene tan solo un valor relativo, y aun quizs

temporalmente limitado. Con verdad, hasta el presente, nadie ha visto jams unespacio tetradimensional ni un cuerpo con cuatro dimensiones mensurables,

pero tampoco se ha podido ver nunca un punto verdadero, ni una verdadera

recta, puesto que ambos son imperceptibles para nuestra vista, adaptada

exclusivamente al espacio tridimensional.

Si comenzamos considerando las estructuras ms simples correspondientes a

cada una de las dimensiones, estructuras que reciben el nombre de simplex de

su dimensin respectiva, vemos que en la dimensin cero, del punto, es el

propio punto la estructura ms simple. No es muy distinto lo que ocurre en la

recta, esto es, en la primera dimensin. Mayor inters ofrece el simplex del

espacio bidimensional, constituido por el menor nmero de elementos iguales

de la dimensin inferior, el tringulo equiltero. Y entrando en nuestro espacio

tridimensional, encontramos como cuerpo ms sencillo, el limitado por el menor

nmero posible del simplex de la dimensin inferior, el tetraedro. Nos podemos

preguntar ahora como puede ser el simplex del espacio tetradimensional.

Vista la tendencia seguida en las dimensiones analizadas tendremos que

suponer que los cuerpos tetradimensionales solo podrn estar limitados por

espacios tridimensionales (celdas). Segn esto, encontramos como cuerpomas simple del espacio tetradimensional a un cuerpo pentacelular, que

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llamaremos pentaclula y cuya estructura constar de cinco vrtices, diez

aristas, diez tringulos equilteros y cinco tetraedros laterales como envolvente

lmite. Para su representacin tomaramos un punto exterior al tetraedro, y

suponiendo a dicho punto como perteneciente a la cuarta dimensin, es decir

definido por la cuarta coordenada, lo uniramos con los cuatro vrtices del

tetraedro. Operacin semejante a la realizada cuando representamos los

simplex inferiores.

En las fronteras del (3D) al tratar de imaginar lo tetradimensional, nuestra

inteligencia se resquebraja, el pensador alemn ms eminente,

atribuye nuestra incapacidad de imaginar espacios de ms de tres dimensiones

a nuestra especial organizacin psquica, y consideraba las tres

dimensiones del espacio como una caracterstica especfica del alma,

Si representramos sobre el plano el pentaclula, su imagen no lograr

trasmitirnos su contenido tetradimensional, pero si reflexionamos sobre esta

circunstancia tendremos que tener en consideracin que se han intentado

representar cuatro dimensiones en un modelo de espacio plano, por lo que se

ha producido una reduccin bidimensional. Si se produce el mismo grado de

reduccin cuando representamos el tetraedro, vemos que su imagen se reduce

a una recta.

Queda, por lo dicho, sin resolver el problema que se nos plantea si pensamos

en la posible existencia de un mundo 4D. Podamos buscar la solucin en elespacio universal, pero por mucho que difieran las opiniones y por muy

discutido que sea todava el alcance de la cuestin, hay una cosa innegable y

es que resulta ms verosmil la hiptesis de que a nuestro alrededor se

extienda una dimensin superior al mundo 3D en la cual nos hallaramos

alojados, que la suposicin de que estamos dentro de un espacio

tridimensional infinito.

Existen teoras diferentes sobre el espacio universal, algunas de ellas acentan

an ms los tonos sombros con los que hemos tratado aqu la cuarta

dimensin. Ninguna de ellas es demostrable ni absolutamente rebatibles. As

por ejemplo se atribuye al espacio configuracin curvo-elptica, en la que se

realizara, gracias a la inversin lateral, lo mismo que ocurre a dimensin

inferior en la conocida . Otras teoras hablan de los

mundos del espacio-tiempo, del espacio vuelto sobre si mismo, de la curvatura

del tiempo, etc.

Apenas hemos iniciado el vuelo de la fantasa en torno al espacio 4D y en

cierto modo nuestras propias concepciones se precipitan sobre nosotros. En

vista de los hechos no nos queda otro remedio que resignarnos en silencio y

contemporizar para evitar el atropello.

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Ampliaciones.

(1)-Este tratado consta de trece libros a los que suelen unirse otros dos atribuidos a Hipsicles,

matemtico de Alejandra, que vivi probablemente en el siglo II a, de J. C.. Los cuatro

primeros libros tratan sobre la geometra del plano y estudian solo las figuras poligonales o

circulares, los dos siguientes se dedican a la semejanza y estudian las razones y las

proporciones. La teora de los nmeros enteros es el objeto de los libros VII, VIII y IX. El libro X,

el ms extenso de todos, est dedicado al estudio de las irracionales algebraicas ms simples.

La ltima parte trata de la geometra del espacio.

(2)-Beltrami (1835-1900). Profesor de anlisis en la Universidad de Bolonia (1862). Generaliz

los teoremas de Feuerbach y de Steiner sobre la cnica de los nueve puntos. Generaliz los

resultados del estudio de una variable compleja en el plano, aplicndolos a una superficie con

curvatura. Por otra parte demostr que las superficies de curvatura negativa (pseudoesferas)

gozan de propiedades aproximadamente idnticas a las de la geometra euclidiana. Fue

profesor tambin en las universidades de Pisa (1863) en la que imparti geodesia, mecnica en

Bolonia (1866) y Roma (1873) y fsica matemtica en Pavia (1876). Logr dar un importante

progreso a las teoras de la elasticidad, de la electricidad y de la hidrodinmica.

(3)-Immanuel Kant (1724-1804). Profesor de lgica y metafsica. Su pensamiento influy

decisivamente en toda la filosofa posterior, de tal modo que la crtica kantiana inspira los

principales movimientos filosficos contemporneos.

(4)-Carl Friedrich Gauss (1777-1855) Astrnomo, matemtico y fsico alemn. Su inteligencia y

aptitudes pronto quedaron patentes, a los diecisis aos ide un mtodo para deducir, de

medidas hechas a partir de un punto terrestre, los elementos de la rbita de un planeta.

Estudi las congruencias, las formas cuadrticas, la convergencia de las series, efectu

numerosas investigaciones de mecnica celeste. Investig sobre la representacin conforme,

que lleva su nombre, sobre la curvatura de las superficies, ide su heliotropo para el envo de

seales luminosas en las operaciones geodsicas, cre la teora general de los sistemas

centrados para los rayos paraxiales, se ocup de la electricidad y el magnetismo, del clculo de

probabilidades y de la estadstica.

(5)-August Ferdinand Moebius (1790-1868). Gemetra alemn, en cuya obra ms importante

Der baricentrische calcul, introdujo las coordenadas baricntricas, el concepto de colineacin

como correspondencia biunvoca entre los puntos de dos planos o de dos espacioshomnimos. Otras notables aportaciones son las de la red y la superficie que llevan su nombre,

y a l se debe la primera invencin del problema topolgico de los cuatro colores.

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