giasuthanhtai.com.vn › uploads › document › toan-lp-9-mt-s-bai... · Web view...

PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9

MỘT SỐ BÀI TẬP CHỌN LỌC TRONG CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI

Câu 1. (Đề thi học sinh giỏi thành phố Hà Nội – 2010)

Cho tam giác có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn . là một điểm bất kỳ thuộc cung nhỏ ( khác và ). Gọi

lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ tới các đường thẳng . Gọi là giao điểm các đường thẳng .

a) Chứng minh và vuông góc với nhau.

b) Đường tròn nội tiếp tam giác . Tính với .

Lời giải:

a) Ta có: . Do đó tứ giác nội tiếp .Mặt khác .Suy ra tứ giác nội tiếp .Vậy .

175

IO

F

E

P

N

M D

HG

CB

A


b) Vẽ đường kính của đường tròn ( là giao điểm của

với đường tròn ). Do là phân giác của nên . Gọi là tiếp điểm của tiếp tuyến với

đường tròn . Ta có:

(1). Do là phân giác của nên cân tại . Từ

(1) suy ra (2). Gọi là giao điểm của đường thẳng với . Tacó:

(3) . Từ (2) và (3) suy ra:

.

Nhận xét: Đường thẳng trong bài toán này thực chất là đường thẳng Sim son của điểm . Vì vậy ta cũng có thể chứng minh bài toán theo cách khác theo cách chứng minh đường thẳng Sim son. (Xem thêm phần các định lý hình học nổi tiếng)

Câu 2. (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Quảng Ngãi).

Cho tam giác vuông cân tại , một đường tròn tiếp xúc với tại . Trên cung nằm trong tam giác lấy một điểm . Gọi lần lượt là hình chiếu của trên và là giao điểm của với là giao điểm của với .

a) Chứng minh rằng tia đối của tia là phân giác của .

b) Chứng minh .

c) Gọi và lần lượt là đường tròn ngoại tiếp và . Chứng minh rằng là tiếp tuyến chung của hai đường tròn và .

176


d) Gọi là trung điểm của là giao điểm thứ hai của , . Chứng minh rằng thẳng hàng.

Lời giải:

a) Vì cân tại nên . Gọi tia đối của tia là . Ta có tứ giác và tứ giác nội tiếp.

. Vậy là tia phân giác của .

b) Do tứ giác và nội tiếp nên .

. Mà (cùng bằng )

. Mặt khác, .Do đó tứ giác nội

tiếp. (cùng bằng ). Mà (cùng bằng

) .

c) Ta có: (cùng bằng ). Mà (cmt)

. Hai tia nằm khác phía đối với .

Suy ra là tiếp tuyến của đường tròn tại tiếp điểm .

177

H

O1

O

D

O2

QP

N

M

I

K

CB

A


Chứng minh tương tự ta có là tiếp tuyến của đường tròn

tại tiếp điểm . Vậy là tiếp tuyến chung của đường tròn

và .

d) Gọi lần lượt là giao điểm của với và . Ta có: (vì ). Suy ra: . Tam

giác có nên . Mà nên

. Vậy thẳng hàng.

Câu 3. (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Gia Lai – 2010)

Cho tam giác vuông tại . Đường tròn tâm nội tiếp tam giác , tiếp xúc với và lần lượt tại và . Đường thẳng cắt đường thẳng tại . Chứng minh rằng vuông.

Lời giải:

Ta có (1).Mặt khác,

(2) . Từ

(1) và (2), suy ra: .

Do đó bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn. Mặt khác , nên là đường kính của đường tròn này .

Câu 4. (Đề thi học sing giỏi tỉnh Hải Dương).178

I

P

N

M

C

BA


Cho đường tròn tâm và dây cố định ( không thuộc ). là điểm di động trên đoạn ( khác ). Qua vẽ

đường tròn tâm tiếp xúc với tại . Qua vẽ đường tròn

tâm tiếp xúc với tại . Hai đường tròn và cắt nhau tại (khác ).

a) Chứng minh .

b) Chứng minh .

c) Chứng minh khi di động thì luôn nằm trên một cung tròn cố định.

Lời giải:

a) Vì và tiếp xúc trong tại nên thẳng hàng. Vì

và tiếp xúc trong tại nên thẳng hàng. Xét có

Tam giác cân tại , tam giác cân tại

nên suy ra:

(1). Tương tự, ta có

(2). Từ (1) và (2) suy ra: .

179

N

P

H I

D

O

CBA


b) Gọi là giao điểm của và ; là giao điểm của và . Theo chứng minh trên ta có . Suy ra tứ giác

là hình bình hành.Do đó , và cắt nhau tại và suy ra (3)

do đó là đường trung bình của tam giác nên hay (4). Từ (3) và (4), suy ra

. c) Theo chứng minh trên ta có: (5). Dễ thấy thuộc nửa mặt phẳng bờ (6).Từ (5) và (6) suy ra điểm thuộc cung tròn của đường tròn ngoại tiếp tam giác . Do

cố định nên thuộc cung tròn cố định. Câu 5. (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ - 2010). Cho đường tròn và dây cung cố định, . Điểm

di động trên dây ( khác và ). Gọi là đường tròn đi

qua và tiếp xúc với đường tròn tại , là đường

tròn đi qua và tiếp xúc với tại . Hai đường tròn

và cắt nhau tại điểm thứ hai .

a) Trong trường hợp không trùng với trung điểm dây , chứng minh và bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh khi di động trên dây thì điểm di động trên đường tròn cố định và đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định .

c) Tìm vị trí của để tích lớn nhất? Diện tích tam giác lớn nhất?

Lời giải:

180

N

A BC

O

D

KH

P

M


a) Nối . Ta có: lần lượt cân tại nên . Do đó (1). Tương tự, ta có

(2) Từ (1) và (2) suuy ra tứ giác là hình bình hành. Gọi là giao điểm của và , là giao điểm của với . Do đó là trung điểm của .

Theo tính chất của hai đường tròn cắt nhau thì là trung điểm của . Do đó . Giả sử . Vì tứ giác là hình bình hành nên nên tứ giác là hình thang cân. Do đó bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.

b) Ta có: .Do đó vuông cân tại . Vì bốn điểm cùng thuộc một đường tròn (kể cả trùng ) nên (1).

Ta có: (cùng bằng của đường tròn ).

(cùng bằng của đường tròn ). Do đó

(g.g.) . Do cố định nên điểm thuộc đường tròn tâm đường kính .

Ta có (góc nội tiếp và

181


góc ở tâm của ) (góc nội tiếp và góc ở tâm

của ).Do đó là phân giác của . Mà

nên thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác .

Giả sử cắt đường tròn tại thì là trung điểm cung không chứa điểm nên cố định.

c) Ta có (góc nội tiếp cùng chắn một cung). Do đó (g.g)

(không đổi).

Vậy lớn nhất là khi hay là trung điểm của

dây . Tam giác vuông tại nên:

. Vậy lớn nhất là

khi hay là trung điểm của dây .

Câu 16. (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Vĩnh Phúc – năm 2010)

Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn . là ba

đường cao . Đường thẳng cắt tại ,

đường thẳng cắt lại đường tròn tại điểm .

a) Chứng minh rằng bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn.

b) Gọi là trung điểm của cạnh và là trực tâm tam giác . Chứng minh rằng .

Lời giải:

182

E

M

D N

HF O

K

G CB

A


a) Nhận xét rằng : Cho tứ giác , là giao điểm của và . Tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi: . Áp dụng

nhận xét trên cho tứ giác nội tiếp, ta được: . Áp dụng cho tứ giác nội tiếp, ta được: . Suy ra

. Do đó tứ giác nội tiếp.

b) Theo kết quả trên, và tứ giác nội tiếp suy ra nằm trên đường tròn đường kính . Do đó . Tia cắt lại đường tròn tại , khi đó nên là đường kính

của . Từ đó suy ra: tứ giác là hình bình hành đi qua điểm . Khi đó

thẳng hàng. Trong tam giác có hai đường cao cắt nhau tại , nên là trực tâm của tam giác

.

Câu 17. (Để thi học sinh giỏi cấp Quận –TPHCM – 2010).

Cho điểm thuộc đường tròn và đường kính ( và ). Tia phân giác của góc cắt tại . Qua ,vẽ đường thẳng vuông góc với cắt các đường thẳng và

lần lượt tại và .

a) Chứng minh hai đường thẳng và cắt nhau tại điểm nằm trên đường tròn .

b) Gọi là hình chiếu của trên tiếp tuyến tại của đường tròn . Chứng minh tứ giác là hình vuông.

c) Gọi là hình chiếu của trên tiếp tuyến tại của đường tròn . Chứng minh bốn điểm thẳng hàng.

183


d) Gọi là diện tích của tứ giác và . Chứng

minh .

Lời giải:

a) Ta có .Trong tam giác có nên là đường cao thứ nhất. Do đó là đường cao thứ hai, suy ra là trực tâm của tam giác . Suy ra là đường cao thứ ba

tại . thuộc đường tròn đường kính . Vậy và cắt nhau tại điểm nằm trên đường tròn .

b) Ta có . Do đó tứ giác là hình

chữ nhật. Mặt khác: suy ra . Vậy tứ

giác là hình vuông.

c) Do tứ giác là hình vuông nên hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

suy ra là trung tuyến ứng với cạnh huyền của trong tam giác

vuông vuông tại .

Chứng minh tương tự ta có: (2). Xét và có

chung; (c.g.c) .

184

F

H

I

M

N

E

D

OC BA


Mà nên

(3). Từ (1),(2) và (3) suy ra bốn điểm thẳng hàng.

d) Ta có . Do đó . Áp dụng hệ

thứ lượng trong tam giác vuông , ta có: . Áp

dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

.

Do nên dấu “=” trong bất đẳng

thức không thể xảy ra .

Câu 18. (Đề thi học sinh giỏi thành phố Hà Nội – 2009).

Cho đường tròn tâm đường kính và là điểm chính giữa cung . Lấy điểm tùy ý trên cung ( khác ). Gọi

là giao điểm của hai tia và ; lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng ; là giao điểm của các đường thẳng

và .

a) Chứng minh rằng và cùng nằm trên một đường tròn.

b) Xác định vị trí của điểm trên cung ( khác ) sao

cho .

Lời giải:

185

N

KC

H O BA


a) Ta có tam giác cân tại ( là trung trực của ) (1). Lại có (2). Do

là trung điểm của nên là đường trung bình của tam giác . Suy ra (3). Từ (1),(2) và (3) suy ra: . Do đó tứ giác nội tiếp, hay cùng thuộc một

đường tròn. b) Ta có: .

Đặt . Áp dụng định lý

Pitago trong các tam giác vuông và , ta có:

. Mặt khác:

. Vậy khi thì

.

Câu 19. (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa – 2009).

1. Cho tứ giác nội tiếp đường tròn tâm . Gọi I là giao

điểm của và . Biết đường tròn tâm ngoại tiếp tam

186


giác cắt các cạnh của tứ giác lần lượt tại và . Đường thẳng cắt lần lượt tại .

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn.

b) Chứng minh .

2. Cho tam giác cân tại và có góc bằng . Tính tỉ số

.

Lời giải:

1. a) Ta có (cùng chắn cung của ). Xét đường

tròn có

tứ giác

nội tiếp.

b) Ta có: (cùng chắn của ). Mà

(1). Mặt khác (2). Từ (1) và (2) suy ra: (đpcm).

2. Kẻ phân giác , khi đó . Suy ra và cân . Theo tính chất đường phân

giác ta có:

187

O

I

K

N

M

F

E

D

C

B

A


. Mặt khác

.

Câu 20. (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Bình Định – 2009).

Cho đường tròn , đường kính . Trên tia tiếp tuyến với

đường tròn lấy điểm sao cho . Đường thẳng cắt

đường tròn tại , là một điểm thay đổi trên đoạn . Gọi và lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ xuống và

, là chân đường vuông góc hạ từ xuống đường thẳng .

a) Xác định vị trí của để tam giác có diện tích lớn nhất.

b) Chứng minh rằng khi thay đổi, luôn đi qua một điểm cố định.

Lời giải:

188

O

H

E

M

N

P

x

D

C

BA


a) Ta có . Do đó tứ giác nội tiếp. Tứ giác là hình vuông nên cũng nội tiếp. Suy ra năm điểm

cùng thuộc một đường tròn. Do đó . Mà tứ giác nội tiếp nên . Tam giác cân tại

, có vừa là đường cao vừa là đường trung trực nên cân tại (1). Mặt

khác (2). (3). Từ (1),(2) và (3) suy ra:

(4). Tứ giác nội tiếp nên (5). Từ (4) và (5) suy ra: . Do đó thẳng hàng thuộc đường tròn có diện tích lớn nhất lớn nhất . Vậy khi thì đạt giá trị lớn nhất là . Câu 21. (Đề thi học sinh giỏi cấp Quận – TPHCM).

Cho tam giác nội tiếp đường tròn đường kính . Kẻ

đường cao của . Cho biết .

a) Tính độ dài cạnh và .

b) Đường tròn đường kính cắt đường tròn , lần lượt tại . Đường thẳng cắt đường thẳng tại . Chứng minh ba điểm thẳng hàng.

c) Chứng minh bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn.

Lời giải:

189

K

I

OH

D

FE

N

M

CB

A


a) Xét và có ; chung.

. Mà nên

. Vậy

và . b) Gọi là tâm của đường tròn đường kính . Ta có . Do đó là đường kính của đường tròn . Suy ra thẳng

hàng. Mặt khác và cắt nhau tại và nên là trung trực của (1). Gọi là giao điểm của và . Ta có . Do đó là tam giác cân tại . Suy ra

; cân tại . Mà nên . Ta có

là trực tâm của tam giác nên (2). Từ (1) và (2) suy ra thẳng hàng.

c) Gọi là giao điểm của hai trung trực của và . Ta có:

. Do đó là hình bình

hành. Suy ra . Mà nên Suy ra Mà nên .

Vậy cùng nằm trên đường tròn .

Câu 22. (Đề thi học sinh giỏi TPHCM – 2008) .

Cho tam giác có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn và có trực tâm là .

a) Xác định vị trí của điểm thuộc cung không chứa điểm sao cho tứ giác là hình bình hành.

190


b) Lấy điểm là điểm bất kỳ trên cung không chứa . Gọi và lần lượt là các điểm đối xứng của qua và

. Chứng minh ba điểm thẳng hàng.

Lời giải:

a) Gọi là trực tâm của tam giác . Ta có . Do đó tứ giác là hình bình hành và

là đường kính của

đường tròn là điểm đối xứng của qua . b) Ta có (tính chất đối xứng trục), (cùng chắn cung ). Do đó . Mà . Suy ra

tứ giác nội tiếp . Mặt

khác . Suy ra . Tương tự ta có: và . Suy ra

. Suy ra thẳng hàng.

Nhận xét: Đường thẳng qua trong bài toán này thực chất là đường thẳng Steiner của điểm

Câu 23. (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Hải Dương – 2008).

Cho tam giác có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn và có trực tâm là . Giả sử là một điểm trên cung không chứa

191

M

E

N

OH

CB

A


( khác ). Gọi lần lượt là điểm đối xứng của qua các đường thẳng .

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh ba điểm thẳng hàng.

c) Tìm vị trí của để đoạn thẳng lớn nhất.

Lời giải:

a) Gọi là giao điểm của và , là giao điểm của với

. Dễ thấy (1).

Mặt khác, . Do đó (2). Từ (1) và (2) suy ra: . Vậy tứ giác nội tiếp. b) Do tứ giác nội tiếp nên . Mà nên

. Mặt khác, nên . Mà nên (3). Tương tự, (4) Từ (3) và (4) suy ra: . Vậy thẳng hàng. c) Ta có . Do đó

(không đổi) .Ta có

. Vậy lớn nhất khi và chỉ khi lớn nhất. mà lớn nhất khi và chỉ khi là đường kính của đường tròn . Vậy lớn nhất khi và chỉ khi là điểm đối xứng của qua .

Câu 24. (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Hà Tĩnh – 2008)

192

K

I

M

P

N

OH

CB

A


Cho đường tròn và đường tròn cắt nhau tại và . Trên tia đối của lấy điểm . Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tâm , trong đó là các tiếp điểm và nằm trong đường tròn . Đường thẳng cắt đường tròn lần lượt tại và ( khác ). Tia cắt tại . Chứng minh rằng:

a) .

b) .

Lời giải:

a) Ta có (cùng chắn cung ) (1) do tứ giác nội tiếp nên . Mà nên hay

. Do đó tứ giác nội tiếp hay . Mà nên . Hay (2). Từ (1) và (2) suy ra .

b) Do là tiếp tuyến của đường tròn nên suy ra

(g.g) (3). Tương tự ta có

(4). Mặt khác, (tính chất tiếp tuyến) (5). Từ (3),(4),(5)

suy ra: (6). Theo (1), (7). Mà

. Do tứ giác nội tiếp nên

(8). Mặt khác, theo (1) ta có 193

IO'O

E

N

MD

C

B

A


(9). Từ (8) và (9) suy ra (10). Từ (6),(7) và

(10) suy ra .

Nhận xét: Ta có thể giải câu b theo cách khác: Áp dụng định lý Menelauyt cho tam giác và đường thẳng qua ta có:

.Như vậy để chứng minh là trung điểm của

ta sẽ chứng minh (*) , mặt khác theo tính chất quen

thuộc của cát tuyến và tiếp tuyến ta có: ( Xem phần

chùm bài tập cát tuyến và tiếp tuyến) thay vào (*) ta quy về

chứng minh: nhưng điều

này là hiển nhiên do (cùng chắn cung và do tứ giác nội tiếp.

Câu 25. (Báo toán học tuổi trẻ)

Cho tam giác nhọn, tia phân giác trong của góc cắt tại . Gọi thứ tự là hình chiếu vuông góc của trên và

, là giao của và , là giao điểm của với đường tròn ngoại tiếp tam giác . Chứng minh rằng .

Lời giải:

Kẻ vuông góc với , suy ra các tứ giác và nội tiếp, từ đó

(do ).

194

F

N D

E KH

CB

A


Theo định lý Ceva đảo ta có đồng quy tại , hay tại . Từ đó nên tứ giác nội

tiếp, suy ra . Do đó (đpcm).

Câu 26. (Báo toán học tuổi trẻ số tháng 3 -2012)

Cho tam giác vuông tại . là một điểm nằm trong tam giác đó sao cho là một điểm nằm trên cạnh sao

cho là giao điểm của và đường cao của

tam giác . Chứng minh rằng .

Lời giải:

Vẽ đường tròn cắt đường thẳng tại , khi đó là tiếp tuyến của đường tròn. Ta có (do

), (hệ thức lượng trong tam giác vuông

). Suy ra (c.g.c)

và tứ giác nội tiếp. Mà nên

tương ứng là phân giác trong và ngoài của . Do đó nếu là

giao điểm của và thì: (*). Theo giả thiết, ta

có nên .Do đó . Kết

hợp với (*) ta có .


195

E

I

N

H

D

M

CB

A


Cho lục giác đều . Gọi là trung điểm của . Lấy điểm trên cạnh sao cho , điểm trên cạnh sao cho

, điểm nằm trên đoạn . Sao cho , điểm trên cạnh sao cho . Chứng minh rằng tam giác là tam giác đều.

Cách 1: Từ giả thiết là lục giác đều, suy ra . Từ đó,

. Vậy là phân giác của

góc . Kết hợp với là phân giác của góc (do vuông cân nên ), suy ra là phân giác của góc ; do đó thẳng hàng ( là tâm của lục giác đều).

Hai tam giác và có , nên chúng bằng nhau (g.c.g), suy ra .

Lại có . Vậy đều. Cách 2: Vì nên , do đó tứ giác

nội tiếp, suy ra nên tam giác vuông cân cùng thuộc trung trực của đoạn

. Suy ra tứ giác nội tiếp

, . Vậy tam giác đều.


196

K

O

IHG

F

E D

C

BA


Cho đoạn thẳng . là điểm trong mặt phẳng sao cho tam giác là tam giác nhọn. Gọi là trực tâm của tam giác , là trung điểm cạnh và là hình chiếu của trên .

Chứng minh rằng tích không phụ thuộc vào vị trí của điểm .

Lời giải:

Kéo dài và lần lượt cắt và tại . Dễ thấy các tứ giác và nội tiếp, suy ra , do đó tứ giác

nội tiếp. từ đó (1). Lại có là trung tuyến của tam giác vuông nên tam giác cân tại (2).

Từ (1) và (2) suy ra , do đó (g.g) .

Suy ra . Vậy không phụ thuộc vào vị trí của

.


Cho tam giác nội tiếp đường tròn . Đường tròn tiếp xúc với hai cạnh theo thứ tự tại và tiếp xúc với đường tròn tại . Hai đường thẳng cắt lại đường tròn theo thứ tự tại . Gọi theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của trên các đường thẳng . Chứng minh rằng

.

197

I

D

F

E

H

CB

A


Lời giải:

Từ , suy ra .Lại vì nên , nghĩa là là điểm chính giữa của không chứa

điểm . Tương tự, là điểm chính giữa của không chứa điểm . Từ đó , dẫn đến (g.g)

. Lập luận tương tự ta có , mà nên

(1). Bốn điểm cùng nằm trên đường tròn

đường kính , suy ra . Từ đây, áp dụng định lý sin cho tam giác ta có. . Tương tự

. Vậy (2). Từ (1) và (2) suy ra

(áp dụng định lý sin cho tam giác ). Do

đó (đpcm).


Cho tam giác vuông tại có đường cao . Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho . Gọi là điểm đối xứng của qua ; là trung điểm của ; và cắt lần lượt tại và . Chứng minh rằng .

Lời giải: 198

O'

O

F

E

D

N

MQ

P

S

CB

A


Gọi thứ tự là trung điểm của và Dễ thấy (tính chất đường trung bình của ), nên . Xét tam

giác vuông , ta có .

Vì nên . Do đó , dẫn

tới .

Do đó tứ giác nội tiếp và đối xứng với qua , nên . Suy ra (g.g), ta có

. Do là trung điểm và

nên , suy ra , hay , do đó

(c.g.c), dẫn đến . (đpcm).

Câu 31. (Báo toán học tuổi trẻ) Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn tâm với các đường cao . Chứng minh rằng các đường thẳng

chia tam giác thành ba cặp tam giác có diện tích bằng nhau.

Lời giải:

199

I

P

KNM

H

ED

C

B

A

O

FEN

M D CB

A


Gọi lần lượt là trung điểm của cạnh và . Khi đó

. Theo giả thiết

nên (g.g), suy ra (1). Tương

tự có , suy ra (2). Từ (1) và (2) ta có

. Do đó . Chứng minh tương

tự ta có và . Suy ra điều cần chứng minh.


Cho tứ giác nội tiếp một đường tròn . Điểm nằm trên tia đối của tia sao cho là hai tiếp tuyến của đường tròn . Tiếp tuyến tại của đường tròn cắt tại và

cắt tại , cắt đường tròn tại . Chứng minh rằng ba điểm thẳng hàng.

Lời giải:

200

(w)

(Q)

M

NP

E

D

C

B

A


Do là tiếp tuyến của đường tròn nên

(g.g). Suy ra . Do là tiếp

tuyến của đường tròn nên tương tự có (g.g).

Suy ra . Do suy ra .

Áp dụng định lý Ptolemy với tứ giác nội tiếp ta có :

(1). Do

là tiếp tuyến của đường tròn nên và

(g.g), suy ra . Kết hợp với

suy ra . Lại áp dụng định lý

Ptolemy với tứ giác nội tiếp ta được:

(2). Vì là tiếp tuyến của

đường tròn nên (g.g)

. Mặt khác

, Kết hợp với (2) ta có:

(3). Giả sử cắt đường thẳng tại

thì: (g.g) . Từ

đó Kết hợp với (1),(2) ta được:

201


(4). Từ (3)và (4) suy ra

. Do đó ba điểm thẳng hàng.

Câu 33. Cho tam giác cân . Kẻ đường cao

. Gọi và theo thứ tự là trung điểm của các đoạn

thẳng . Tia cắt cạnh tại . Chứng minh rằng :

a) Các tứ giác và nội tiếp.

b) .

Giải:

a) Do tam giác cân tại nên . Mặt khác , do đó tứ giác nội tiếp đường tròn tâm là trung điểm ,

bán kính bằng (theo dấu hiệu 1). Lại có, từ giả thiết đề bài

là đường trung bình của tam giác , nên . Do đó . Hơn nữa, (vì tứ giác nội tiếp). Suy

ra (1). Từ đó ta thấy tứ giác nội tiếp trong một đường tròn (theo dấu hiệu 2). b) Theo trên, tứ giác nội tiếp, suy ra . Kết hợp với (1) ta

có . Mặt khác ta thấy . Do đó

, hay (đpcm).

202

giasuthanhtai.com.vn › uploads › document › toan-lp-9-mt-s-bai... · Web view...

Documents

Transcript of giasuthanhtai.com.vn › uploads › document › toan-lp-9-mt-s-bai... · Web view...