A theory of thermo-visco-elastic-plastic materials: thermomechanical coupling in simple shear

23
A theory of thermo-visco-elastic-plastic materials: thermomechanical coupling in simple shear J.D. Lee * , Y. Chen Department of Mechanical and Aerospace Engineering, The George Washington University, Washington, DC 20052, USA Abstract The constitutive relations of a theory of thermo-visco-elastic-plastic continuum have been formulated in Lagrangian form. The Lagrangian strains, strain rates, temperature, temperature rate and temperature gradients are considered as the independent constitutive variables. Three internal state variables plastic strain tensor, back strain tensor and a scalar hardening parameter) are also incorporated. The axioms of objectivity and equipresence are followed. The Clausius±Duhem inequality is taken as the second law of thermodynamics. Several special theories are deduced based on material symmetries and/or conventionally adopted assumptions. The applications to the formation of shear bands and dynamic crack propagation are discussed. Ó 2001 Elsevier Science Ltd. All rights reserved. 1. Introduction This work is concerned with a theory of thermo-visco-elastic-plastic materials. Emphasis is on devel- oping the constitutive relations of a rate-type theory with full utilization of thermodynamics. No restrictive assumption has been made to the magnitude of any independent constitutive variables. The results are valid for coupled thermomechanical phenomena. Nowadays, it is popularly assumed that during plastic deformation of metals, about 90% of the work done is converted into heat. Although this assumption is empirical, experimental research works have shown that signi®cant amount of plastic work is indeed converted into heat [1,2]. Study of plasticity should therefore include the thermomechanical eects, i.e., the interaction between heat and deformation. It is well known that the mechanical behavior, such as yield stress, ductility, and strength of materials, will change under dierent strain rates and temperatures [3±5]. An understanding of the deformation be- havior of metals over a wide range of temperatures and strain rates is important. The phenomenon of shear bands has been referred to as a highly localized plastic deformation occurring at high strain rates, and can cause temperature to rise signi®cantly and thus soften the material. The formation of shear bands has been known to be crucial in situations such as machining, metal forming, shock loading, ballistic impact, pen- etration, and crash [6±14], because it may lead to fracture. These processes are obviously strain, strain rate, and temperature dependent. www.elsevier.com/locate/tafmec Theoretical and Applied Fracture Mechanics 35 2001) 187±209 * Corresponding author. Tel.: +1-202-994-5971; fax: +1-202-994-0238. E-mail address: [email protected] J.D. Lee). 0167-8442/01/$ - see front matter Ó 2001 Elsevier Science Ltd. All rights reserved. PII: S 0 1 6 7 - 8 4 4 2 0 1 ) 0 0 0 4 3 - X

Transcript of A theory of thermo-visco-elastic-plastic materials: thermomechanical coupling in simple shear

Page 1: A theory of thermo-visco-elastic-plastic materials: thermomechanical coupling in simple shear

� ������ �� ������� ����� ������ ��� ������� ��������������� �������� �� ���� ����

���� ��� �� �� ����

���������� ��� ������ ��� �������� ������������ � � ����� ��� ����� ����������� ��� ������ �� ������ � �

��������

��� ��� �������� �������� �� � ������ �� ������� ����� ������ ��� �������� ���� ���� �������� �� ����������

���� ��� ���������� ����� � ����� ���� � ����������� ���������� ���� �� ���������� ��� ���� ��� ��� � ��� �

��� �� ���� ��� ��� �������� �������� � ����� �������� ���� �������� !��� ��� ����� ��� ��� ���" ����� ��� �� �� �

����� ��� ����� ��������# ��� �� � ����������� � ��� �$�� �� ��%�������� �� �&����� ���� ��� �����'� � ���

���� �� (���� ���&������ � ��"�� � ��� ���� ��' �� ����� ����� � )������ ������ ������� ��� � ��� �� �

�� ������� ������ �� *�� �������������� � ���� � ������ � ��� ����������� �� ��� �������� �� ���� ���

�� ����� ����" ����������� ��� � �� � � � +,,- .� ����� )������ �� � ��� ����� �� ���� �

� ���� ������

��� '��" � �������� '��� � ������ �� ������� ����� ������ ��� ������� � .��� � � �� ��������� ��� ��� �������� �������� �� � �������� ������ '��� ���� �����/����� �� ����� ����� � 0� �� ��������� ������ �� ���� � � �� ��� ������ � �� ��� �� ���� ��� ��� �������� �������� � ��� �� ��� ��� ���� ��� ������ �������������� ���������

0�'� �� � �� � ��������� � �� ���� ����� ��� ��� ��������� �� ���� � ����� 1,2 �� ��� '��" ��� � �������� ���� ����� �������� ��� � ������ � ��������� �$��������� �� ����� '��" ���� ��'� ���� ����3���� ����� �� ��� ��� '��" � �� �� �������� ���� ���� 4-�+5� )�� � �� ��� ������ ���� ��������� ����� � ��� �������������� �6��� � ����� ��� ����������� ���'��� ���� �� ����������

7� � '��� "��'� ���� ��� ��������� ��������� ��� � ���� ��� � ��������� �� ������� �� ������� �'��� ������ �� �� �6����� ����� ���� �� ���������� 48(95� �� �� �� ��� ��� �� ��� ��������� �������� �� ���� ���� � '� � ����� �� ���������� �� ����� ���� � ��������� ��� ��������� �� ������� �� ���� ������� �� � � ������ ������/� ��� ��� ��������� ��������� �� ���� ����� ���� � �� ������ � ���������� �� �� � ����3������ �� ��� ����� ��� �������� ��� �������� �� ���� ��� �� ����"��'� �� �� ������� �� �������� ��� � ��������� ���� ������� ���" ��� ���� ����� ��� ������ ������������ �� ��� � 4:(-;5� ����� � �� �� ��� �� ��������� ��� � ����� � ��� ������ �� ������ ����� ������� ���������� ���� ����

'''��� ��������*������*�����

����������� �� ������ <������� =������� 89 !+,,-# ->?(+,1

������ ��� ��� ������� ����� @-+,+11;91?-A ��$� @-+,+11;,+8>�

�!���� �������" ���B �� ��'��� � !���� ���#�

,-:?>;;+*,-*C �� ����� ����� � +,,- .� ����� )������ �� � ��� ����� �� ���� �

D77� ) , - : ? > ; ; + ! , - # , , , ; 8 E

Page 2: A theory of thermo-visco-elastic-plastic materials: thermomechanical coupling in simple shear

��� ��������� �$���� ������� ��� ��������� �� ��� '��" �� '���� ��� ���������� ����� �� ��������� ��� �� ����� ���������� �� ���������� ���� ��� �� ���������� ��� ���� ��� � '��� � ����� �������� ���� �������� !��� ��� ��� ����� ��� ���" ����� ��� �� � ����� ��� ����� �������� ## ��� ��"�� � �� ���� ��� ��� �������� �������� � 7� ��� ���������� � �������� �� ��� ��� �������� �������� � ��� ���� ��� ��� �������� �������� !��� F������/ ���� ������� �������� ������ D����(G������6 ��� ��� ����� ���� H�$ ������#� ��� ���� ��������� �� ��� ��������� �������� ��� ��� �������� ���� �������� ���� �� �� �� �������� �� ��� �� ���� ��� ��� �������� �������� � ��� �$�� �� �&����� ���� ���� � 4-95�

7� ��� ���������� �� ��� ������ ��� ������� ����� ������ ��� ������� � ��� ��� ������ ��' ����� �������� �� � �� ������� ������� �� ������ �� ������� ������ �� ��� ���� ��' �� ����� ����� ��� � ���� � =�������� �� ��� '��" ��� ���� �� (���� ���&������ � ������ �� 4-:5 � ��"�� � ��� ���������� � �������� �� ��� ���� ��' �� ����� ����� � 7� � '����'���� �� ���� ������������� '��" �� 4-?5 �� � ������� ������ ��� ��� ������ ��� ��������� �� '���� ��� ����� ��������������� �� 4-:5 '� � ���� �

D��� �� ��� ������� ����� � ��� � ��� �� ���� �� (���� ���&������ � ��� ���� ��' �� ����� ����� � ����� �� ��� �� �� � ������ �� ��� �$� ����� �� ������� � � �������� 3�� �� ��� ���" ����� �������� � �� ��' ��� ������� � �� �� ������� ��� ������� 7� ��� �� ���� ��� ������������ 4->(+-5 ����� ��� �������� �� ��� ������� �������� ���� �� ���� � ��� I����(0��� �J ������ �� ��� ������ 4-?5 �����' �� ����� � � ����� ����� �� � 3��� ���� ������ �� �� �� ��� ��������� �� ������� �� ��� ���������� ��� ��� ����� ��� �� � ����� ����� ��� � � �������� 3�� � � ����� � ��� �$��� ����� ���� '����'��� ������ ��� ����������� �� ��� ��� ��� ����� � '� ��� ������ �� ��� �����$� �� � ������ ��������������� 4++5� ����� ��� �$��� ����� ��� ����� ��� ��� 3� ��� �� ��� ��� ����� '� �$��� � �� ��������$� �� � �������������� ������ 4+-5�

7� ��� ���������� �� ��� �������� �������� �� ��� ������ �� �������� ������� � ��� �$�� �� ��%�������� ��� � �� ������� ��� ������ 4+8�+;5� 7� ��� '��"� ��� �������� �������� ��� ����� �� ������������� �����$� � ���� ��� ������� ��� ���� �� ��� ��%������ ��� �� � �� � ��%������� ��� �$�� ����%�������� � �����'� � 7� ��� ������� �� �� ��� � ������� � � �������� ���� K���J ����� �������� ��������� � ������� �������� 4+9(+>5 '��� �� �����/� �� ������� ������ ��� ��� �������� �������� �

� ������� �����������������������

��� ���������� � �������� �� ��� ��� ������ ��' �� � � ������ ������ ������� ������� ������ �� �� '������ � 4+85�

�� � �,� �-�

��G��"���G � �,�" � �, ��"� �+�

�G� � ��G� �8�

�, �� � �,��� �� � �G� ��G�� �;�'���� � �� �, ��� � �� ���� �� ��� ����� �� �� ������ ���� � �� ���������� � � ��� �������������� �� ��� ��� ���� � � � ��� ���� ������ � � ��� �� � ������ � � ��� ���� H�$ ������� � � ��� ������ D����(G������6 ��� ��� ��� � � ��� ���������� ����� ��� ��� � � ��� ��������� �"� � ��� ��������� ��� ����� $ � ��� �������� �� ��� ��������� ��� ���� �� � �� � G�G�

->> $%�% &��� '% � �� ( � �������� ��� ������� )����*�� ��� ����� +� ,���-. -/01��2

Page 3: A theory of thermo-visco-elastic-plastic materials: thermomechanical coupling in simple shear

�������� �� �� ���� &�� ����� �� ��������� �� �� �� ������� 4->(+,�+15� ��� ���� �� (�������&������ � ��� ���� �� 4-:5 � � � � ��� ���� ��' �� ����� ����� � 7� �� �� �$��� � � 4-?5�

��,� ��� � ��� � � � �� � -

�� � ��� ,� �9�

'���� � � ��� �������� � � ��� �� ����� ����������� �� �� � �� �� ��� ��� F������/ ���� ����������������� ����� ��� �� �� ���������� ��� ���� � �� ���������� �3�� �

� � �� ��� �:�

� � -

+���� � ��� �?�

�� � ����

� �>�

��� � �� ��� �$�� �� �&����� ����� ��� �� �� �� � �� �������� �� �� ��� �� �� �� ��� �����

� � ���� ��� �� ������� �1�

� � ���� ��� �� ������� �-,�

� � ���� ��� �� ������� �--�

� � ���� ��� �� ������� �-+�

)�� �������� .& � !1#(!-+# ���� ��� ���&������ �� .&� !9#� �� �� ���

��,����

��

�� ��

� ���� � ��

����� ��

� ����� ��

���� ��� � ��

�� � � �� � -

�� � ��� ,� �-8�

'���� � �� �� ��� 3� ��� ��� �� ���� ��� ��������� �� ��� ��� ��� ������ �� � ��� )���� �� � ������ �� ��� ��� �� � ��� ��� ���&������ �� .&� !-8# ��� �� ��� 3� �� �� ���� ��

��� ��

� ��

� ��� ��

���� ,� �-;�

��

��,����

�� �

���� �

�� �,

����

�� �� � -

�� � ��� ,� �-9�

.&� !-;# ����� ����

� � ���� ��� �-:������� � � �� � ���� ��� ����� ���� ���� �� ��� ������� ���� ���� �

� � � ����

� � ��� ��� �� ������ � �� � � � �-?�

� � �,����

� � ��� ��� �� ������ � �� � � � �->�

$%�% &��� '% � �� ( � �������� ��� ������� )����*�� ��� ����� +� ,���-. -/01��2 ->1

Page 4: A theory of thermo-visco-elastic-plastic materials: thermomechanical coupling in simple shear

���� ��� ���&������ �� .&� !-9# �����

��,� ��� � � �� � -

�� � ��� ,� �-1�

�� ������ .&� !;# � �� ��� ��

�,� �� � �,�� �,� ��� � � �� �� ��� �+,�7� �� � ������� � �� ���� � � � �� � ��� ��������� �������� �� ��� �� �� ��� �� �����' ��� .&� !-1#����

� ��� ,� �� ,� ,� � � ��� ,� �� ,� ,� � ���� ,� �� ,� ,� � ,� �+-�

� ������� ����� ��������� �� ����������

7� '��� �����' � ����� �������� ���� �������� �� ��� ������ ��� ����� ��� �-� ��� ����� ��� ��� ��� ������ � � ���� �� �� ������ ��� ��A+� ��� �� �� ��� � ��� ���" ������ � � ��� �� !+� �� �� �� ������# �� ��� �� ��� '��" ���

����� �� ��� ��� ��� ��������A8� # � � ����� �� ��� �� ��� '��" ��� ������

7� � � �� ���� ��� � ����� �� �� ��� ��� �� ��� ��� �� ���� ��� ��������� �� �� ��� �� ��� �� ���� �� � ����3� ��������� !����� ��� �� ������� ��� ���# '���� '��� �� �3�� ������ ��� ��� ���������������� ������� �� ��� ������� ������ ���� ��� � 7� ����� '�� � �� � ��� � ��� ���� � ����� ��������� ����� ��� ������� � ���������/� �� � �� �� �������� ���� �������� � ��� �� �� #�

�� ������� ��� ������� �������� ���� �'� � ����� ���� � ������� ����� ��� �� ������� ����� ������ ���� � ���������� ���� �������� � ����� �

� � � ��� ��� �� �������������� �++�<�� � 3$� �� �� ����� ��� ��� �� �� #� � ����� ������� ��� ���� ������� � ������� �� ��� -? ��� ����� ���� ��� �� ��� �� �� �� �� �� ��� �&������

� � � ��� ��� �� ������������� � ,� �+8���� �������� ��� �� ��� �� �� ��� � '�� ���� ��� ������� ����� ��� ������ ����� ��� �� � � ,� � ���� � � � ,� ��� �������� �������� �� ��� ������ '��� ����� ��� ���� �

0�'� � ��� ������� ��� ��� ���� ����� �������� ��� �� �3�� �

� � ����

� �� � ��

� ��� �� � ��

����� ��

� ����� ��

���� � ��� �+;�

'���� � ��� ����� ��� ��� ���'��� ��� ���'�� �����

����

���� ��

�����

���

� ��������

� �

�� ��� ���� ������ �� ��� ������� ������ �� ��� ���%������ �� ��� !�� ��� �� �����# ���������� � ����� �� � ��� �� �3�� �

!7# ��������� ��� �� � � ����������/� ��

� � ,� �+9�

-1, $%�% &��� '% � �� ( � �������� ��� ������� )����*�� ��� ����� +� ,���-. -/01��2

Page 5: A theory of thermo-visco-elastic-plastic materials: thermomechanical coupling in simple shear

!77# 3�*���� ������� ��� �� � � ����������/� ��

� � , �� � � ,� �+:�!777# &������ ��� �� � � ����������/� ��

� � , �� � � ,� �+?���� ��� �������� ���� �������� �� ��� ������ ����� ��� ���� ��� ����� ��� �� ������� ��� ���� �����

��� � ��� � � � ,� �+>�

7� � ������� ����� � �� � � �� ���� ���� ��� �� � ��� �� �$��� � �� �� ��� 3� ��� �� ��������� �� ����� �� � ��� �����

��� � �, � �- � �� � �+ ��� �8 � � ��� �+1�

'���� �� !� � ,� -� +� 8# ��� ��� �������� �� �� ��� �� ��� ��� ��� �� �� #� 7� ��� ��� �������� .& � !+># �� !+1# ��� �� �� ��������� ���������� ��� ���� �� �� ��� �� ��� ��� ���� ��� � � ���� � ��� ������� ��� ���������

��� � �, � �- � �� � �+ ��� �8 � � �� � ,�

'�������

� � ����

� �� � ��

� ��� �� � ��

����� ��

� ����� ��

���� � �� � ,�

F����

�,

�� ��

����

� �� � ������

��

�� �-

�� ��

��� ��

�� �� � �+

�� ��

��

� ��

���� �8

�� ��

�����

�� � �� � ,� �8,�

0��� ���� � � � ������ ��� �� �������� �� � � � ����� �������� �� �� ��� �� ��� ��� ��� �� �� � )������� .&� !8,# ���� ��� ��� ��� ��������� ��������� �� ��� �� �� � ��� �� �� � ������ �� ��� �� �� � ��� ����� ����������� �� ��� �������� � ��� �� ���� ��� �� ��� �� �� � ��� �� � ��� � ��� ����

�, � ������

� �� � ������

��� �8-�

�- � ����� ��

� �8+�

�+ � ����

� ��� �88�

�8 � �������

� �8;�

���������� �� ��� �� � �� ��� ���

��� � ���� �89�7� � �������/� ���� �� ���� ��� ���� �� � ���������� ���������� )�������� ��� �����'��� ��� �� ������� �

��� � ���� �8:�

$%�% &��� '% � �� ( � �������� ��� ������� )����*�� ��� ����� +� ,���-. -/01��2 -1-

Page 6: A theory of thermo-visco-elastic-plastic materials: thermomechanical coupling in simple shear

� � ���� �8?���� ��� � ����� ��� ����� �� ��� ������ ��&���� ����� �� ��� ���� � � , �� � � , ���� ��� �� �� � ,� 7������ '�� � ��� ��� ��� � ������� ����� ������ ��� ���� ��� �� ������� ������� ����� ������ ��� ����� �� ������� ��� ��� � ����� ��� ������ �� ��� ���� �� � ���� ��� ����

�� � ����

� �� � ��

� ��� �� � ��

����� ��

� ����� ��

���� � ��� ��

��� � ��� � ����� � ��� � ��

�� � ,� �8>�

7� ���' �� .& � !+;# �� !89#(!8?#� �� � ���� ����

-� ������ � �

�� ����� � �� ��

��

�� ,� �81�

��� � �� ���� � � �� � �� � ��� ��� ����� ��� �������� �������� � � ��� ��� �� �$��� � �

� � � -��� ���

� ����

� ��� ���

� �� ���

��� �;,�

� ������� ����������

���

� � ��� ��� �� ������� �;-�

� � ��������� �;+�

� ��� �� ��� �;8���� �$�� �� �&����� ���� ����� ���� ��� ��� �������� �������� �� � ������� ����� ������ ��� �������'��� �� �������� �

� � ������ �;;�� � ������ �;9�� � ������ �;:�� � ������ �;?�� � � ����� �;>�� � ����������� �;1�

'���� � � �3�� �

� � � �� � � , �� � � ,�, �����'� ��

��9,�

���� ��� ���� �� (���� ���&������ �����

��,����

� ���

� ��� ��

� �� � ����

��� ��

� ����� ��

���� ��� � ��

�� �,

����� � ���

�� ����� � ��� � ��

���

� � � �� � -

�� � ��� ,� �9-�

-1+ $%�% &��� '% � �� ( � �������� ��� ������� )����*�� ��� ����� +� ,���-. -/01��2

Page 7: A theory of thermo-visco-elastic-plastic materials: thermomechanical coupling in simple shear

��

��,����

� ��� �,���

���� �,� ��� � � �� � -

�� � ��� ,� �9+�

7� ��� �� � �� ����� ��� �� ������� ��� ���� � � ,� �� ��� ���&������ �� .&� !9-# �� �� �� ��� 3� ��� ����� ���� ��� ��������� �� ��� ��� ��� ��� �� �� � ��� ���� ��� ���L����� �� ��� �� �� � �� ��� �� ���� ��� �� ����� �� � ��� .&� !9-# ��� �� ��� 3� �� �� ���� ��

� � ���� ���� �98���

��,� ��� � � �� � -

�� � ��� ,� �9;�

'����

� � � ����

� � ���� � �� � � � �99�

� � �,����

� � ���� � �� � � � �9:�

<�� ��� �� � �� ��� ���� ��� ���� �� (���� ���&������ �� .&� !9-# �����

��,� ��� � � �� � -

�� � ��� �,��

����� � �

�� ����� � �� ��

��

�� ,� �9?�

'����

� � ����

� �� � ,� �9>�

)���� ��� ���&������ ���� �� ���� ��� ��� �� � ���� !-# � � ,� !+# �� � �� � �� � ,� �� ��� !8# ��� ��� � �� ������ /���� �� � �� � ���� ��� ����

������ � �

�� ����� � �� ��

��

�� ,� �91�

)�� �������� .&� !;,# ���� !91#� �� �� ���

� � ����� � �

�� ����� � �� ��

��

������� � �

�� ����� � �� ��

��

�� ,� �:,�

7� ���' �� .& � !89#(!8?# �� !;,#� ���� � � � ,� F����� ��� ���&������ �� .&� !:,# �� �� ������� ��

����� � ��

����� � �� ��

��� ,� �:-�

����� � ��

����� � �� ��

��� ,� �:+�

7� � ������� ����� � � � � �� � �� �� �$��� � � ��������� �� �� ��� 3� � �� �� �� ��� �� �� ��� 7� ��� � ��� ��� ��� ��&������� �� ���������� �� �� � �� � �� � , �� ��� ���&������ �� .&� !9;# ����

� � ��- ��� �+G� ��G� � �8G��G � �:8�

$%�% &��� '% � �� ( � �������� ��� ������� )����*�� ��� ����� +� ,���-. -/01��2 -18

Page 8: A theory of thermo-visco-elastic-plastic materials: thermomechanical coupling in simple shear

� G� � -G� ��� +G�=0

��=0 � 8G�=��= � �:;�

G � ��-G ��� �+G�= ���= � �8G���� � �:9�'���� ��� ���L����� ��� ��� �� !� � -� +� 8# ��� �������� �� �� �� ��� �� �� #� ��� ���&������ �� .&� !9;#��' ����� ����

�,�- �� ��� +G�=0��G�

��=0 � -

��8G���G ��� � �,�+G�

� � -G�

���G�

��� �,�8G

�� -

��-G

���G ��

� 8G�=

�� -

��+=G�

���G���= � ,� �::�

'���� ��� ���� ��� ��� �� !� � -� +� 8# ��� � ���� ����� �3���� ����$ ��� ��������� ��������� �� ��� ������ )���� ��� ��� �� !� � -� +� 8# ��� ��� ���� ���L����� '��� �� ���� �� ��� ��� ��� .&� !::# '��� ��� �� ������� ���� ����� �� ��� ��� ��� ����� �� �� '������ ���� ��� �6���� �� ��� ��� �� ���� 7� ����� ���� �� � �� � �� � ��� �$��� � �� �� �������� �� ��������� � ��� �� ������ ��� ��� �� ������ � F�����.&� !9;# ��� �� �$��� � �� ��� �� � �� ��� ���� ��� ���� �� (���� ���&������ ��� ��' �� ����� ���� ����� ����� ���&������� �� .& � !9;#� !:-# �� !:+#� 7� ��� F������/ ���� ������ � � � �� �� ���� � �6����� ���������� ��� �� ��� ��� ���� ���� �� ����� ��� �� ������� ��� ���� ���� ��� ������ ��� ���� �� �6������ <������ ��������/����� '��� �� ����� ��� ���� �� ��� ��� ��� '��"�

��� ������ .&� !;# ��� ������� ����� ����� ��� ������� ��� ��� ����� � ��' �����

�,� �� � �,�� �,� ��� � � �� �� �� � �,��� �:?�

� ������� �����

��� ��� �������� �������� �� � ��' �������/� ������� ����� ������ ��� ������� '��� �� ����� � ������� '���� ��� � �� �$��� � ���� ��������� �� �� �� ��� �� �� # �� �� ��� ���� �� �� ��� �

� � �, � �-G��G� � �+�� �8

G���G� � �;

G���G� � �9� �:

G�=0�G��=0�+� �?���+

� �>G�=0�

����

�=0�+� �1

G�=0��G��

�=0�+� �-,�+� �--

G��G��� �-+G�=0�G��

�=0

� �-8G�=0�G���

=0 � �-;G��G�� �-9

G����G� � �-:

G����G� � �-?�� �->

G�=0��G��

�=0

� �-1G��

�G�� �+,

G���G�� �:>�

7� �����' ����

�����

G�

� �8G� � �>

G�=0��=0 � �-+

=0G��=0 � �-9G��� �->

G�=0��=0 � �-1

G�� �:1�

�����

G�

� �;G� � �1

G�=0��=0 � �-8

=0G��=0 � �-:G��� �->

=0G���=0 � �+,

G�� �?,�

���

� �9 � �-,� �-;G��G� � �-?�� �-1

����G� � �+,

G���G�� �?-�

'���� �� !� � ,� -� +� � � � � +,# ��� ������� ��� ���� � 0�'� �$��� �� �� � ���� ��������� �� ����� ������� �� �� ��� 3� ��� �� ��� � ��� �� ��� ����

-1; $%�% &��� '% � �� ( � �������� ��� ������� )����*�� ��� ����� +� ,���-. -/01��2

Page 9: A theory of thermo-visco-elastic-plastic materials: thermomechanical coupling in simple shear

G� � ,G� � -G�=0�=0 � +G��� 8G�=0��=0 � ;G�=0�

�=0 � 9G�� :G�=0

��=0 � ?G� ��

� >G�=��= � �?+�

G� � ,G� � -G�=0�=0 � +G��� 8G�=0��=0 � ;G�=0�

�=0 � 9G�� :G�=0

��=0 � ?G���

� >G�=��= � �?8�

� � �, � �-=0�=0 � �+�� �8=0��=0 � �;=0�

�=0 � �9� �:=0

��=0 � �? ��� �>=��= �?;�

'���� ��� ��� �� !� � ,� -� � � � � ># ��� ������� ��� ���� � )���� ��� ���&������ �� .&� !:-# ���� ��� ������������ ��������� �� M��N� ����� ������ �� ��� �� �� ��� ��� ���� '�� ��� .&� !:-# �� ��� �

�� � �� � �� � , �� � :� ?� >�� �?9�

7� ����� '�� � �� �� � ��� �� ���� ��� �� ��� �� �� ���� �� ���� ��� ���� ������ !� � ,# � �L������� ���� � ���� ��� ���� �������� ��� �� ����� ����

�� � ��������� �� M��N� �� �� ��� ���� ������ � � �� � ��� � ������ !�� ���������� ����� ������# ������� �� ������ ��� �� � ������ � ��� ������� ����� ��� ���� ��� ��� ������� ����� ������ ��� ������� ��� ����� ��� ���� � ��� � �� �����$ ���� ������� �$��� ��� ���� �������� �� �� � ���� �� ����������� �� M��N� )���� �� �� � ��� �� ���� ��� �� ��� �� �� ��� .&� !:+# ����� ������ �� ��� �� �� ����� ��� ��� ���&������� ��

��� ������ �

��� ���� �� �� ���� ��� �� ��� �� �� ��� F����� ��� ��' �� ����� �

���� �'� ���� �

� � � -��� ��������� � � +� ��� ������� �?:�

'���� � - �� � + ��� ��������� �� �� ���� �� �� �� ����� ������� � 7� �� �� � '��� �$��� � ������������ �� ��������� �� ����� ������� � ���� ��� ������ ��� '��� �� �6������

7� '� ����� � �� 4-?5 ���� ��� ��� � �� ������� ��� ��� ����������� ��� ������� ��� ������������ �� ���������� �� ��� ��� ���������� ����� ��� ����� ��� �� ������� ��� ���� ��� ��� ������������� ����� ��� �� �� � �3�� �

�� � � � ��� �??�

7� ��� ��� ��� ���� �� ��� ��� � �� ������� ��� ����� ��� �� ������� ��� ��� ��� ���� �������� �� � �� ��� ���� .&� !98# ��� �� ����� � �

� � ���� � ��� �� � � �������� � ������ �� � � ��������� �?>�

7� �����' ����

�� � � ����

� � ���

��� ������ ��� �?1�

�� � �,����

� �,���

��� � ������ ��� �>,�

7� � ����������'�� �� ��' ����

����� �

���

��� ���

��� � � ���

��� ���

��� � �>-�

$%�% &��� '% � �� ( � �������� ��� ������� )����*�� ��� ����� +� ,���-. -/01��2 -19

Page 10: A theory of thermo-visco-elastic-plastic materials: thermomechanical coupling in simple shear

K���� .&� !:-# �� �� �$��� � �

��

�� �,

��

���

�� �� �,

��

��� � �� �,��

��� ,� �>+�

<������ ����������� �� ��� ��� �������� �&������ ��� � ������ �� ������� ����� ������ ��� ������� ����� � �� � �� ���� ��� ������� ���� �� ������� ��� � ��������� ��������� �� �� � ���� �� �� � �� ���� ���� ���������� �, �� ������� �,� ��� � �� � ����� ��� �6������ �� ��� ���������� �� ���������� �, �� �,� �� ���������� �����

� � �� �,� �>8�

� � �� �,� �>;�.$��� ��� � � � -� � + ���� ��������� �

�� � �, � �,�� �-G�=0�

�G��

�=0�+� �+� ��+� �8

G���G�� � �>9�

� � �-G�=0�

�G��

�=0�+� �+

G�=0��G��

�=0�+� �8�+� �;

G�=0��G��

�=0 � �9

G���G�

� �:G��

�G�� �>:�

� - � �-G�=0

��G���=0�+� �+� ��+� �8

G���G�� � �+� �>?�

� + � �-G�=0

��G���=0�+� �+ �� ���+� �8

G���G ��� �+� �;G�

��G���� �9

G�=��G���= ��:

�����G �>>�

'����

��G� � ��G� � ��

G� � �G� � ��G� � ��

G�� �>1�<�� .& � !9:#� !:;#� !>,#� �� !>9#� �� � ���� ����

�G� � �,��-G�=0�

�=0 � �8

G�� � � -G� ��� +G�=0��=0 � 8G�=��= � �1,�

��� ������� �������� � ��� �� ������� �

� � �+� � �8G��

�G� � �- ��� �+G� ���� � �8���G � �1-�

��� ���&������� !:+# �� !>+# ��� ��' �� '������ �

�, �-G�=0�

�=0

� � �8G�� � �-

G�=0��=0 � �;

G�=0��=0 � �9

G�G�

��, �+G�=0�

�=0

� � �;=0G��

�=0 � �:

G�G� � �, �8

� � �9G��

�G� � �:

G���G�

�� ,� �1+�

��-G�=0

��=0 � �8G�� ��G� � G�� � �� ,� �18�

'���� ���� ���� !-# ,� , �� �, �� .& � !?+#(!?;# ���� ���� � �� !+# ����� � � � �� �� ���&������� ���� ��� 3� �� ��� ��� ���L����� -� 8� �� !� � -� +� � � � � :#� �-� �8� ��� ��� �� !� � -� +� � � � � 9#�

�������� ���������

� �� ���� !-# ��� �� �� �� !� � -� +� 8# �� .& � !:8#(!:9# ��� ������� ��� ���� � �� !+# ��� ������� �� �� ��� � ������� ���� ����� ����� ����� ��� �(� � � (�� �� �(� ����� � ���� ��� � �� ��

-1: $%�% &��� '% � �� ( � �������� ��� ������� )����*�� ��� ����� +� ,���-. -/01��2

Page 11: A theory of thermo-visco-elastic-plastic materials: thermomechanical coupling in simple shear

������� �������� ������ ���� �� � � ��� �&������ ��� ��� �������� �������� �� ���&������� ��� �� ��� ��

�G� � �,��-G�=0�

�=0 � �8

G�� � � -G� ��� +G�=0��=0� �1;�

� � �+� � �8G��

�G� � �- ��� �+G� ��G�� �19�

� � ��8G���� � �1:�

G� � -G�=0�=0 � +G�� � 8G�=0��=0 � ;G�=0�

�=0 � 9G�� �1?�

G� � -G�=0�=0 � +G�� � 8G�=0��=0 � ;G�=0�

�=0 � 9G�� �1>�

� � �-=0�=0 � �+� � �8=0��=0 � �;=0�

�=0 � �9� �11�

� � �, � �,�� �-G�=0�

�G��

�=0�+� �+�� �+� �8

G���G�� � �-

G�=0��G��

�=0�+

� �+G�=0�

�G��

�=0�+� �8�+� �;

G�=0��G��

�=0 � �9

G���G�� �:

G���G�� �-,,�

� � �-G�=0

��G���=0�+� �+���+� �8

G������ � �+� �-

G�=0��G�

��=0�+� �+ �� ���+

� �8G���G ��� �+� �;

G���G�

��� �-,-�

�,�- �� ��� +G�=0��G�

��=0 � ��,�+G� � -G�� ��G���� ,� �-,+�

-

��8G���G ��� � ,� �-,8�

�, �-G�=0�=0

� � �8G�� � ��-

G�=0 � �-G�=0���

=0 � �;G�=0�

�=0 � �9

G�G�

� �, �+G�=0�

�=0

� � �;=0G��

�=0 � �:

G�G� � �, �8

� � �9G��

�G� � �:

G���G�

�� ,� �-,;�

�-G�=0��=0

� � ��G� � ��

G�� � �8G��

�G� � G�� � �� ,� �-,9�

��� ��� ��� ���� � �$�������� �$��� � �

� � ��-G�=0

��=0 � �8G�� � ��G� � ��+� � �8

G���G�� ��� ��-

G�=0��=0 � �;

G������G�

� ��+ ��� �;G�

��G����� �8G����

��� � �-,:�

7� ��� ������� � � �������� ��� ��� ������ ������� �� ��� ������� ��� �������� �������� �����' K���J ����� �������� ������ 4+9(+>5 �� �� � ����������'�� �� ��' 4+85�

� � �,� �89��-

��� �� �-,?�

� � ,� �89��-

�� �� �-,>�

$%�% &��� '% � �� ( � �������� ��� ������� )����*�� ��� ����� +� ,���-. -/01��2 -1?

Page 12: A theory of thermo-visco-elastic-plastic materials: thermomechanical coupling in simple shear

� � ,� �89��-

�� �� �-,1�

� � � �,�

��-;��-

��� �

�� ��� �--,�

� � � ��-� �+� � � � � �99� �� ����� �---�

� � � ��-� �+� � � � � �99� �� ����� �--+�

� � ���-� �+� � � � � �99� �� ����� �--8�

� � ���-� �+� � � � � �8+� �� ����� �--;�

'���� � � ��� � ������ ����$� ��� �$��� ��� ��� �-� �+� � � � � � 89A �-� �+� � � � � �-; �� �-� �+� � � � � �89 ��� ������ �� ��� ����� �$ �� 0��� ���� �,� ,� ,� �,� ��� �� � !� � -� +� � � � � 89� �� �� !� � -� +� � � � � -;# ����������� �� �� ��� �� ��� ��������� �� !� � -� +� � � � � 99#A ��

� � ���� � �G���� � �--9�

��� �G� � ��G=��� ���=��G ���= � �--:�

�������G� � ��G ��� � �--?�

�� � �� � �G���G ��� � �-->�

7� .& � !--9#� !--:# �� !-->#� ��� ��� ��� ���� �� �� ������ ��� ���<�� ��� �� � ���� � � �� � ��� ������ �������� �� ��� �� ��� ��������� �� !� � -� +� � � � � 99#� ��� ���

������ � � !� � -� +� � � � � 89# �� � � !� � -� +� � � � � -;#� ��� ����3� ��� �������� �&������ ��� ���� ������� �

� � �,� � �-� � �+�� � �8�

� � �; ��� �--1�

� � ��,��� �-+,�

� � �, � �-�- � �+�; � �8�? � �;�88 � �9�� �: ��� �?� �-+-�

�, � �,, � �,-�- � �,+�; � �,8�? � �,;�88 � �,9�� �,: ��� �,?� �-++�'���� �� !� � -� +� 8� ;#� �,� �,� �,,� ��� �,� !� � -� +� � � � � ?# ��� ������� ��� ���� � 7� ��� ��&������� ��� � � ��� �� �� ��������� �� �� � �� � �� � , � ������� � ���� .& � !--1# �� !-+-# ��� �� ��� ��

� � �,: ��� � �,;��� ���� � �; ��� �-+8�

� � �: ��� �;�� ��� �-+;�<�� � ������� ������� � ��� ������� �������� ������ ��������� �� .& � !:8#(!:9# ��� �� �� ��� �

�- � ��:� �+G� � ��;�G�� �8G � ,� �-+9�

-1> $%�% &��� '% � �� ( � �������� ��� ������� )����*�� ��� ����� +� ,���-. -/01��2

Page 13: A theory of thermo-visco-elastic-plastic materials: thermomechanical coupling in simple shear

-G� � �,:�G��

+G�=0 � �,;�G��=0 � �;�G=��0�

8G�= � ,�

�-+:�

�-G � ,� �+G�= � ,� �8G� � �,�G�� �-+?�7� � ��� ���� .& � !:8#(!:9# ��� �� ��� �� .& � !-+,#� !-+8# �� !-+;#� �� ����������

)�������� �� ������ � � ������� �� � �� ����� �� � � &�� ����� �� ��� �� ����� �� ���� ��� ��� �������� �������� � ���� �� � ���� ����

� � �-�+ � �+�9 � �8�> � �;�-, � �9�-; � �:�-> � �?�8- � ���-� �;� �?� ���� �-+>�

� � �-�+ � �+�9 � �8�> � �;�-, � �9�-; � �:�-> � �?�8- � �>�8; � �1�8: � �-,�;, � �--�;;

� � ��-� �;� �?� �88� �� ����� �-+1�

'���� �� !� � -� +� � � � � ?# �� �� !� � -� +� � � � � --# ��� ������� ��� ���� A � �� � ��� ��������� �� �� ��� ���� �� �� ��� �� ����� ������� �

7� �� � �� � ��� �$��� � � ��������� �� �� ��� 3� ��� �� ��� �� ��� �� ���� ��� ��� ���������������� � �� ��� �� ��'� ���� .& � !:-# �� !:+# '��� ��� ��

� � �, � -�� �+� �8��� � �;���� � �9���

��� � :� � ?�� � >�

�� �-8,�

� � �, � -�� +� 8��� � ;���� � 9���

��� � :� � ?�� � >�

�� �-8-�

� � �, � �-�� �+� �8��� � �;���� � �9���

�� �-8+�

� � �-�+ � �+�9 � �8�> � �;�-, � �9�-; � �:�-> � �?�8- � �>�8; � �1 �� ��� � ��-� �;� �?� ���� �-88�

'���� �� �� !� � ,� -� +� � � � � >#� �� !� � ,� -� � � � � 9#� �� !� � -� +� � � � � ?# �� �� !� � -� +� � � � � 1# ��� ���������� ���� ��%���� �� ��� ��� ������ �

+�+��

�� �;� � �:�

� � ����;

�� �� +�8�

�� �9� � �:�

� � ����?

�� �� ��

��� ,� �-8;�

+�+��

�� �;� � �:�

� � ����;

�� �� +�8�

�� �9� � �:�

� � ����?

�� �� ��

��� ,� �-89�

! �� �"�����# ������ �����

<�� �� ���� ������� ����� �� � ���� ���� ������ � ���� �� ��� ����� ��� ����������������������� ��� �6��� �� ���������� ���� �� ����� ����� � ��� ��� � �������� �� ���������� 3�� ����� ���� ���� ������ !<��� -# �� �$��� � �

�- � �- � ���+�� � �+ � �+� �8 � �8� �-8:�

� � � ���� �-8?�

$%�% &��� '% � �� ( � �������� ��� ������� )����*�� ��� ����� +� ,���-. -/01��2 -11

Page 14: A theory of thermo-visco-elastic-plastic materials: thermomechanical coupling in simple shear

��� ���������� ����� ��� �� �� �� 3� � �� ���� �� �� ���� ��� ������� �

� �, ���+� ,

���+� +����+��+ ,, , ,

� �-8>�

�� �, ��+� ,

��+� �+�� + ,, , ,

� �-81�

�� �, , ,, �+�� + ,, , ,

� �-;,�

7� � ��� ����� �� ��� �� ���� �� �� � ����� �� ���� ������ ��� ��' �� ��� �������� �� � �� ������� ������� ��� � ��������� ��� 3� A ��� ������ �&������ !:?# � �� ��� �� ��� �����'��� �� ����� �6���������&������

�,��, � � � �� � ��,� �� � � � �� � �,��� �-;-�

)�� �������� .& � !1;#� !19# �� !-,-# ���� .&� !-;-#� ��� ������ ��� ������ �&������ �� ��� �� � �� ��� ���� �����' �

� �,��,�

� � ��- � �,����

��� � ��,��, � � ��+ �� � �8

G�� ��G� � ���G�� � �+G���G��

� �,��- �� � �+G� ��G�� �� � � -G� �� � +G�=0��=0� ��G� � �,�

����G�

��G�

�� ��

���� � ��

� ��G�

��G�

�� �-;+�

'���� ������� �� ����� ���� �� � � ���� �� �� ��������� �� ����� �6�������� �&������ �� ��� ��� ������������� 3�� � ���� 7� ��� �� � �� ����� ��� �� ������� ��� ���� .&� !-;+# � �� ��� ��

��,��, � � ��-�� � � �,��, � � ��+ �� � �8G�

��G� � �+G���G�� � �,��- �� � �+G���G�� ��

� � -G� �� � +G�=0��=0� ��G�� �-;8�

Normalized coordinate x /H1

No

rmal

ized

co

ord

inat

e x

/H 2

<��� -� ��� ����� �� �� ����� ���� �� � ���� ���� �������

+,, $%�% &��� '% � �� ( � �������� ��� ������� )����*�� ��� ����� +� ,���-. -/01��2

Page 15: A theory of thermo-visco-elastic-plastic materials: thermomechanical coupling in simple shear

)������ .&� !-;8# � ����������'�� ����� � ����� ��� ������� � ����� ���� ��� ���������� �� �� ���������� � ����� ������ � � ��� ���� �� � � �������� �� ���� O� ��� ����� ��� � .&� !-;+# ������� ��� �� � �$��� � �� .& � !89# �� !:,#� �� ���������� 7� � ������ ����� �������� ��� ���������� ����� ��� �� � ���� ���� �$���� �-+ �� �++ � ��� �� .&� !-89#� ��� ��� ��� ����� ��� �� �� �� ��� ���" ����� ��� �� ��

�� �� ����� �������� � 7� ��� �� � �� ������� � ������� ��� ������� ���� �������� �� �� �� �� �����-+��

�++��

�-- � ��

88 �� ��-+��

�++��

�-- � ��

88� 7� ����� '�� � ��� ���� ���� ������ ������� ��� ������ �� � � �� �� ���� ��������� 3� ��� �� �� ����� �6�������� �&������ �� ��� ��� � � �� ���

-+���++��

�--��

�-+��

�++��

�--

�� #���� �������� �� ��� � ������� �� ����"��� ��� P����(G���� ���� � ��� ��'� �� <�� � + �� 8� ���

������/� ���������� � ��, � ��'� � � �������� �� ������/� ��� ��� !� � ���# �� <��� 8� ���������/� D����(G������6 ��� � � � -+ � �-+�� �� � ++ � �++�� !� � ��� �6������ �����J � ��� #� ��������� � �������� �� ��� ���������� ���� ����� �-+� 7� � ��� ����� ��� <��� +� ��� ����� ��� ��� ���� ��� � -+ �� ��� ����� ��� � ++ ��' ��� �6��� �� ����� ��� ����� �� ������ �������� ����� ���� ����)���� �-+ ������ � �������� '��� �� ���� �� ���� ��-+ � � ��� ���� �� ���� �� � -+ � ��� ������ �� � ����������� ��� ����� �� ���� �������� �� � -+ ��' ��� �6��� �� ��� ��� ����� ������� �� ���������� �� �������� O� ��� ����� ��� � �++ ������ � � �+ �� ��++ ������ � �������� �� ���� ��� ��� ����� �� ���� �������� �� � ++ � ������� ������ �� ��� ��� ����� �� �����������

$ ������ ��������

P����� ���� ��� �� � �� �� ���� ��� ��� �������� �������� � ������� �� ��� �� �� �� ��� )����3� �������� ��� ������ ��� �� ������� �� � � �� ��� �� � ������ �� �� ��� ��� �������� �������� �� � ��' ����������� �� ��� ������ '��� �� ������

x10–2

<��� +� 0�����/� ��� � � ���� ����� ����� �

<��� 8� 0�����/� ���������� � ������/� ����

$%�% &��� '% � �� ( � �������� ��� ������� )����*�� ��� ����� +� ,���-. -/01��2 +,-

Page 16: A theory of thermo-visco-elastic-plastic materials: thermomechanical coupling in simple shear

/%-% ����� � ��� -" � � �� ��� �����

7� ��� ���������� ���� �� � �$��� � ��� ��� �� ���� ��� ��� �������� �������� � ����� �� ���

� � � ����

� �-;;�

� � �� � -

�� � ��� ,� �-;9�

�,� �� � �,�� � � �� �� �� � �,��� �-;:�

'���� ��� �6����� ��� ����� ����� ��� ��� ����������� �� .& � !99#� !9;# �� !:?#� ��� ��� ���� !-#��� ������� �������� � �������� ��� ��� F������/ ���� ������ ��������� ����� I���J �&������ ��� ����������� !+# ��� ���� �� �� ��� ��������� �� ���������� � ������ ��� ��� ������ �&������ '��������� � �6� ��� �&������ �� ��� �� ��� �3� � ��������� �� ��� ������� �����

��� ���� �������� ����� ����� �� ��� �� ����� � �� �

� � � -��������� ��� � � +� ������� �-;?�

��� ���� ������ ����� � ����� ������ �� ��� -: ��� ����� ���� �� ����� � ����� ���� � ������������ ���������� ��� ���� � ���������/� �� ��� �������� ���� �������� � ��� �� �� #� F�'����� �� � �� ���� ��� �� ��� ���������� �����

/%�% ����� � ��� �" � � �� ��� ��

<������ ����3������ ��� �� ��� �� �$��� ��� ���������� ��� ���� ��� ��� �� ���� ��� ��� ���������������� � F�����

� � ,� �-;>�

� � ��� ,� �-;1�

�,� �� � �,�� � � �� � �,��� �-9,�

Q� �$��� ��� �� ��� �� ��� ������� ����� ���������� ������� 7� ��� �$�� �� �&����� ���� � ��������'� � �� ����� '�� � ��� �� �� ������� � ��� �� ���� ��� ��� �������� �������� ���� ��� ��� ���� H�$������ �� ���� .& � !-;>#(!-9,# �����

" � ��8G�������� � �-9-�

G��G � ,� � G�

��G� � ,� �-9+�

�,� �� � �,�� � � �� �� �� � �,��� �-98�

��� ���� ������ � �� ��� �� � ����� ������ �� ��� -8 ��� ����� ���� �� ����� � ����� ���� �� ����������� ��� ���� �������� �� �� '������ �

� � � -��������� ��� � � +� ���� �-9;�

+,+ $%�% &��� '% � �� ( � �������� ��� ������� )����*�� ��� ����� +� ,���-. -/01��2

Page 17: A theory of thermo-visco-elastic-plastic materials: thermomechanical coupling in simple shear

.��� �� � + � � �� �� ���� �� ��� D����(G�������� ��� ��� �� � ���� �$��� ���� �

� � �,����

� � � � ���������� ��� � � ��������� ��� ���� �-99�

��� ��� ���� '��� ��� ���� ������ � �� ��� �� � ����� ������ �� ��� ���� ��� ����� ���� �� � �� �� ���� �� ����� �� ��� �� ����� �� ���������� ��� '��� &���� �6����� ��� � �� �� ��� ����������6����

/%+% ����� � ��� +" � � �� ��

��� ����3������ ��� �� ��� �����'��� ��� �������� �������� �

� � ������ �-9:�

� � � ����

� �-9?�

� � �,����

� �-9>�

� � ,� �-91�

����� � ����� �

����� � ����� �

���

������ ,� �-:,�

� � � ����� �-:-�

����� � ����� �

����� � ����� �

���

������ ,� �-:+�

� � ����

� ��� �-:8�

��� � �������� �-:;�

��� � �������� �-:9�

� � �������� �-::�

��� ������ �&������ � ��' �� ��� ��

�,� �� � �,�� �,��� �-:?�

7� ��� ���� .&� !-:?# �� �� � �� '������ �

�,� �� � �,�� �,����� � ���

�� ����� � ��� � ��

���� �-:>�

$%�% &��� '% � �� ( � �������� ��� ������� )����*�� ��� ����� +� ,���-. -/01��2 +,8

Page 18: A theory of thermo-visco-elastic-plastic materials: thermomechanical coupling in simple shear

7� �� � � �� ����

� � ������ �� � � ����� �-:1�

���� .&� !-:1# � �� ��� ��

�,� �� � �,�� �

�� �,

��

���

�� ���� �-?,�

7� �� � ������� � �� ����

� � ,� �-?-�

� � ��� � ��� �� � ����� ��� �-?+����� ��� ������ �&������ ���

�,� �� � �,�� � � ���� �-?8�

�� ��� ���� �� (���� ���&������ ��&���� ����

� � ��� � ,� �-?;���� ��� ��� ����� ��� ��� �� ��� ��� � �� ��� ��� ����� ���� � ��'�� �� ������ �� ��� � /���� �� '����"� ��� ���������� �� �� �� ���� ������ � ������ ��� ���� ��� ��� ���� ������� ��� � ��������������� �� �������� �������

% &����������

7� ��� �� ���� ��� ��� �������� �������� � ��� � ��� � �� .& � !1#(!-+#� � ��� ������� ��� ��������������� ���� �� � ����������'�� �� ������ � ����

� � ,� � � �� � � ����

� �-?9�

'���� ��� I���J �&������ ��� ��� �������� 7� ��� F������/ ���� ������ �������� � ������� �$��� � ���� ��������� �

� � �, � �,�� �G��G���, � G��G���� �,���, � ���� �,�+�+� G�=0�G��=0�+�

,� �-?:�

���� �� ��� ��

� � �, � G��G���, � ���� �,�� �-??�

� �G� � �G� � G���� �,� � G�=0�=0� �-?>�

7� � ��� ����-� �� ��� ��������� ����� � � , �� � � �,� � �� �� ��� �� ��� �� �, �� �� ��� ������� ����� �� �������

�� ��� � � �� ���������A+� �� � �� � ��� ������� ��� ���� ������ �� ��� ���L����� �� ����3� ����� ������ �$��� ��� �� ���

������� �� ����������

+,; $%�% &��� '% � �� ( � �������� ��� ������� )����*�� ��� ����� +� ,���-. -/01��2

Page 19: A theory of thermo-visco-elastic-plastic materials: thermomechanical coupling in simple shear

���� ��� ������ �&������ !+,# �� ��� ���� �� (���� ���&������ !-1# �����

�,�� �� � ��� � �� � � � �� �� �� � �,�� �-?1�

� � �� � -

��� � ��� ,� �->,�

0��� ���� ��� 3� � ��� �� ��� �������� � � �� .&� !-?1# �� ��� � ��� ���������� �� H�������� �� �� �'� ���� ��� �� ��� ��� �� ��� ����� ���� �� ��� ������ �$��� ��� ���L����� � '���� ��� ���� ��� � � ��� �� ���' �� ��� ���&������ �� .&� !->,#� � � ����� �� ����� �� '��� ��� � ��� ���������� �� �� ��

7� � '����'���� �� � �� �� �� ��� "�� ���������� ��� �� ��� ��������� �� ��� ������ �� ��� �������P����� ��� ���&������ �� .&� !9;# '���� � ��� ��� �&����� �� � ������ ��� ���� �� (���� ���&������� 7���� �� � ��� ���� � � �� � ��� ���� ����� �� ���� /���� 7� ����� '�� � ���� �� H�' ��� � ��'���������� ������ �� �� ����������� �������������� ������ ����� � ���� ��� ����� ���� �� ���������� ���� ��� ��� ��� ���� ����� .��� �� ��� �$��� � � � � � � � 3� ��� �� ��������� �� ��� ��� ��� � ��.& � !:8#(!:9#� ��� �� ������ .&� !::# ���� ���� � ��� �� ������� �� RR����� � ���� H�'JJ� F�'����� �� ���������� � �� ����-� ��� � ���L����� ��� ��� �� !� � -� +� 8# �� .& � !:8#(!:9# ��� ��� ���� ������ �� ������� ��������� A+� ��� ������� �� &�� ���� �� � � ����� ������ ����� ����� ������� ������ ������ ����� !�����

�����#� ���� �� ��� �� ��'� ���� ��� ����� � ���� H�' ��������� '��� ��� �$� �� 7� �������� � � ������� � ���� ��� � ��� "�� �� 3������������ ���� ��� ������� �� ��&�� ��� ��� � �� � �� ������� ����������� �� ��� �������� �� ������ 7� '��� �� �� ������ � �� ������� ��� �$� ����� �� ����� ����� H�' ��������� �$����������� ��� '�� �� ��� ������=� � �� �� �� ���� ��� ��� ���� � �� ��� � ������� ����� � ��� ��������� � ���� �� �� ���� �����

���� ����� � �� �L����� ��� �� ��� ��� ��� ���� �'�� ������ ������ �������� ��"� ������ ��� � ������ ��� �� ��� ��� �������� �� ��� ������ ������/� ���� ��� � 7� �����' ���� ��� ���� ��� ������ ���� �� '� ����� � �� ��� ������ �&������ � �� ��� �� �� �� ����� �6�������� �&������ ��� �������������� ���� �� ��� � ��� � �� �������� ���� ��������� �� � RR�� ���� ��������JJ � ��� �� �)��0� 48,5�

=�������� ���� �� ��� ���� ���� �� ��� ���� �������� �� ��� �� �� �� � �������� ��� ��������� ��� ��� � ��� ���� ������� ������ �� ��� � �� .& � !;-#� !;+# �� !9:#� ��� �6��� �� ������ ����� ���� ������������ ���������� ���� �� ���� ���������� ��� ���� ���� �$� � �� ��H����� ��� ���� ������� ����� �� ��� � � )���� ��� �6��� �� �� �� ��� � ����� � � ��� ������ �� ��� ���������� �� ���� ������ ����� ��� ���������� ���� �� ��� ��������������� ���� ��� �� ������ �� �������� �

<����'��� ��� ��������� �� ��� )���� ������ -� �� ��� F������/ ���� ������ � � �� �� ��

� � ��� � ��� ��� �->-����� ��� ������ �&������ � �� ��� ��

�,� �� � �� � ��� � �� � �� �� �� � �,�� �->+�7� � ��� ���� ��� � �������� '���� '��� ��� � ��� ������� �� ����� ��� ���������� �� �� �� �� �'� ���� ���� �� �� ��� �� �� ��� � � �� �� ��� ����� �� �� ��� ������ �� � ���� ��� � �� ��� �� � �� ����� ����"������������ 7� ��� '�"� �� ��� � ������� ����" ���� ��� ������� � ����� ��� �� ����� ��� ��� ��� ��������� � ���� ���� ! ��� � ,#� ��� ��������� �� ���������� �� ��� ������ � �� �� � � �� '���� ����� ��� ��� ����� ���� �6���� 7� ��� ������ ���� �� ��� ����������� ����" ���� ��� ������� � �� ��� ��� ��� ���� �� ���� ��� ��� � �� ��� ��� ����� ��� ����� �� ������ ���� ��� ��������� �� ���������� �� ��� ������ � ����� �� �� ��� �6��� �� ��� ������ ����� ���� �� ��� ��� �� � ���� ��� ������ � �� ����� ����� ���� �� �� � ��� ������ �� ��� ������ ����� ���� ���� ���� �� ��� � ������� ����" ����

$%�% &��� '% � �� ( � �������� ��� ������� )����*�� ��� ����� +� ,���-. -/01��2 +,9

Page 20: A theory of thermo-visco-elastic-plastic materials: thermomechanical coupling in simple shear

O���� ��������� ��������� ����&�������� �6��� ���� ���� ��� � ��� � ���� ��� ��� ���� ������� �� ��� ������ 48-�8+5� ��� ����� ��� ���� ��� ������ 4885 �� ��� �������� ��� ������ 48;5�. ��������� �� � '����'���� �� ������ ��� '��" �� 48-�8+5 ���� ������� '��� ��� � ������� �� ��������� '���� � ������ ������� �� ������� �$� ��� �%�� ���������� ��� �� ��� � ������� �� ���������� � �������� ��� � '���� ��� ��� �������� ��� ��� ��� ���� ��������� � �� �� ����H� � ����� � �-� ��� ������ �� ����� ������ �� ���� ��� �3�� �� � �� �� �� �$���������� '������ ������� ���

������ �� ����� '��� �� ���� �� ��� ������ ���� �� ���� � �� ��� ���� � �� ��� ��� ���� 3�� ������� ���� ��� �� ��� ������� �� � ������� ������ �� ��� ����� �� ��� �$� ����� �� ��� � ������� �� ������������

+� =��������� ������ �� ������ ������ ��� ��� � ��� ��� ���� �� �� ����� ���� ��� ��� ����� ������������ � � �� ��������/� � ��� ������� �� ���� � �� � �'�� �� ��� ���������� � ��� �3�� � � �������� 3�� ��� � ��� ��������� �� ��� ��������� ������ �� ��� '��� �� ���� �� � �� ��� �� � �� ���

8� 0� � ������ � ������ ��� �� �� � � �� ��� ��� �������� �������� '���� ��� �� ���� ����� ��� ����� ������� ������ �� ���� ��� ���� ���� ��� ������� ���� �� ��� ��������� ������� �� ��� ��� �� ������� �� �� ����3� �

;� ������� ������������ �� ������� ������� ��� ����������� �� ��� � ������� ������ ��� ���� � �������� ����� ��� ���� ���'��� ��� ����$��� ��� �� ���� ��� ����� ���� ��� �� � ����� �� '�������� �� �����������

9� ��� ������ ���� ��� ���� ��� ������� ��������� � ���� ��� ������ ��� �� � � �� �����/� ����� �������� � �� �� ���� ����� Q� � �� ��� � ������� �� ��� ������� ������ ����� �������� ������ �� �6����� ���� ���� ���� ���� � ��� � ����� � ���� �� ����$��� ��� ��� �� ����� ��� ������ 4895� ��������� ��� �� ����� �� ����� � �� � H�� * ��� ������� �� ���������� �������*��������� ����$��� ������ 48:5� �� ����������� ���� �� ���%������*������ � �� 48?5�

����� �" �

�- � �� �+ � ��� �8 � ��� �; � ���

�9 � ��� �: � ����� �? � ����� �> � �� ���

�1 � ��� � ���� �-, � ��� � ����

�-- � � �� � ���� �-+ � ���� � �����

�-8 � �� �� � ����� �-; � �� �� � �����

�-9 � ���� � ����� �-: � ����� � ������

�-? � ���� � ����� �-> � ����� � ������

�-1 � �� �� � ����� �+, � �� ��� � � �� ���

�+- � ������ � ������� �++ � ������ � �������

+,: $%�% &��� '% � �� ( � �������� ��� ������� )����*�� ��� ����� +� ,���-. -/01��2

Page 21: A theory of thermo-visco-elastic-plastic materials: thermomechanical coupling in simple shear

�+8 � ���� �� � ������� � +; � �� ���� � �� �� ���

�+9 � ���� �� � ������� �+: � �� �� ��� � �� �� ���

�+? � ���� �� �+> � ����� �� �+1 � ����� ��

�8, � ������� �� �8- � ����� �� �8+ � ������� ��

�88 � ��� ���� �8; � ��� �� ��� �

� �89 � ������

�- � �� �+ � ��� �8 � ��� �; � ���

�9 � ��� �: � ����� �? � ����� �> � �� ���

�1 � ��� � ���� �-, � ��� � ����

�-- � � �� � ���� �-+ � ���� � �����

�-8 � �� �� � ����� �-; � �� �� � �����

�- � ���� �+ � ����� �8 � ������ �; � �����

�9 � ������� �: � ��������� �? � ����� �> � �������

�1 � ��������� �-, � ������ "-- � ������� �-+ � ��������

�-8 � ��������� �-; � ������ �-9 � ������� �-: � ��������

�-? � ��������� �-> � ������� "-1 � ��������� �+, � ���������

�+- � �����������

�++ � �� � ���� �+8 � �� � ����� �+; � �� � �����

�+9 � �� � ������� �+: � �� � ����� �+? � �� � �������

�+> � �� � ������ �+1 � �� � ������ �8, � �� � �������

�8- � �� � ��� �8+ � �������� �88 � �� ���

�8; � �� �� ��� �89 � �� �� �� ��� �8: � �� ����

�8? � �� �� ���� �8> � �� ����� �81 � �� �� �����

�;, � �� ����� �;- � �� �� ����� �;+ � �� �������

$%�% &��� '% � �� ( � �������� ��� ������� )����*�� ��� ����� +� ,���-. -/01��2 +,?

Page 22: A theory of thermo-visco-elastic-plastic materials: thermomechanical coupling in simple shear

�;8 � �� �� ������� �;; � �� ����� �;9 � �� �� ����� �;: � �� �������

�;? � �� �� ������� �;> � �� � ����� �;1 � � � � �� �����

�9, � �� � ������ �9- � �� � ������� �9+ � �� � �������

�98 � �� ������ �9; � �� ������ �99 � �� �������

'���������

4-5 ��<� Q���� ��� .$��������� <��� ����� �� )��� =������� � F�� ���� �� D�� �"� S7�*7� )�������� Q������ -1?8�

4+5 ���� Q����� =� ����� ���������� �� ����� ���� ���� ��� ����� ��������� �� ���� � ����� =���� P��� ;8 !-11,# 8-+(

8-1�

485 D�.� )�� ��� �� ��6�� P�F� F�'���� .$������� �� ����� ���� �� ���� �� ���������� �6��� ����� ��� ��� ��� ��������� ��

��� � ���"� ���� � �� ����� =���� ;9 !-1?># :,(::�

4;5 )��� )������� ��F� F������"� 7 ������� ��� ��� H�' �������� �� 8,;� ������ ����� Q�������� ���������� P������ )0;-9:D,1+

1;8+� -1>+�

495 P� ������ ��)� G���� � �������� �����' �� �$������� �� ��� �� ��� �������� � �� ��� Q�� �� <�� ���� ���� � '� � �����

�� ����� ���� �� ���������� � 7��� �� D�� ������ -9 !-111# 1:8(1>,�

4:5 �� T����� ��F� F������� .6��� �� ����� ���� ���� ��� ��� H�' �� ����� �� ����� D�� � -9 !-1;;# ++(8+�

4?5 �� 0�� ����� S� �������� � <����� ������ ����� � �� ������/����� �� ��� ������� ��� ���� O ��� I�<� ����� !. �#� ��� <�����

.����� � )������ D����� �� )��� =������� � D�������F���� .����'�� ���6 � 0�� -1>;�

4>5 �� �������� �� ��6�� )����� ���� �6��� �� ���������� �� ���� �6��� ��� ����� �6����� ����� �� ;8;, S�P ����� 7��� ��

D�� ������ + !-1>:# +-(89�

415 )�D� ������� ��� �������� �� � ������� ���� ��� �� ���� � � �������� �����'� ���� =������ 89 !-1>?# 8,-(8,:�

4-,5 ��K� K������ )��� � ������� �� � �� ����� ��� ��� � �� =���� D�� � )��� 89 !-1>?# +:1(+>+�

4--5 P��� Q����� G�7� G�� ����� � �� ���� ��� �� ����� �$� ������ ����� ��� �� � ������� ����� ��� ����� ��� 7��� �� .���

)��� 8- !-118# 9+1(9;?�

4-+5 P��� Q����� E��� T����� ��K� K������ �������� ����� ���"��� �� �'���� ������� �� ��������� ��������� � ������� ������� �

�� ����� =���� :+ !-119# +9+(+99�

4-85 P��� Q����� T� D���� ���������� �� ���� ��� �� ����� ����� ����� ����� ��� �� ������ ������ �� ���� ��� ����" �

7��� �� 7���� .��� -: !-119# 8?9(819�

4-;5 P��� Q����� ��Q� )����� � � ������� ���� ��� ���$� ������ ����� �� ����������� ������ � ������ =���� ����� =����

.��� -9- !-11># 8+9(8;+�

4-95 �� ���� ���� P� ������� D�������� �� ��� ���� =������� �� <��� ������� F�� ���" �� D�� �"� ���� 777*-� )�������� Q������

-1:,�

4-:5 Q��� ������� K� 0���� ��� ����� ����� �� ��� ��� ������� '��� ���� ��� ������� ����� P���� =���� ����� -8 !-1:8# -:?�

4-?5 ��.� I����� D�=� 0��� �� � ������� ������ �� �� ��� ������ ��� ��������� ����� P���� =���� ����� -> !-1:9# +9-(+>-�

4->5 P�)� P������ ����� �� �� ������ �� ������ �� ����� ����� � P����� � �� .��� )��� > !-1?8# -(+8�

4-15 P�)� P������ ��� ����� ����� �� ������� '��� �� ��� ����� ��� ��<� F������ ��P��� D��� ��� G� K����� !. �#� ���

����������� P�������� K����� 0�' ���"� -1?9� ��� >8(-,8�

4+,5 P�)� P������ P�H������ �� ������� � ���� �� ����� ����� � ��� I�7� Q���������� ���� �� ��� !. �#� �������� D���� �� P�)�

P������� )�������� Q������ -1??� ��� ;8,(;:8�

4+-5 �� �� ��� O� ��� ����������� ��� ������� �� 3���� ��������� � 7��� �� D�� ������ -; !-11># -?8(-1-�

4++5 �� �� ��� D�=� 0��� �� � ��� �������� ��� ��� � ����3������ �� 3���� ��� ��� ������ 7��� �� .��� )��� 8, !-11+# -+9?(-+?>�

4+85 ���� .������� =������� �� ��������� G������� =������� <�� -1>,�

4+;5 �� ���� ���� K� 0���� ��� 0�������� <��� ������� �� =������� � F�� ���� �� D�� �"� ���� 777*8� )�������� Q������ -1:9�

4+95 ���� K���� � ��' ����� �������� ������ ��� � ������� �������� � D��� 7 �� 77� ����� P���� =���� ����� 8: !-1?,# -::(++8�

4+:5 ���� K���� �������� � �� ����� �������� ��� � ������� �������� � ����� P���� =���� ����� ;8 !-1?-# 81+(819�

4+?5 I�<� )���� O� � ������� �������� �� ������ ��� �� � "�' ������ ��� �� �� ������ � 7��� �� .��� )��� 1 !-1?-# >11(1-:�

4+>5 ��D� Q������� O� ���� ������ ����� �������� ��� � ������� ����� �������� � T�== 9? !-1??# 8+8(8+?�

4+15 ��.� I����� D�=� 0��� �� O� ����� ����� �� ��� ������ �� ��� ���� ��'� D���� P��� )��� ��� �� � 89? !-1??# +98(+?,�

48,5 ��O� F���&�� �� �)��0� ����������� =������ �������� )���'��� ���������� ������������ -11>�

+,> $%�% &��� '% � �� ( � �������� ��� ������� )����*�� ��� ����� +� ,���-. -/01��2

Page 23: A theory of thermo-visco-elastic-plastic materials: thermomechanical coupling in simple shear

48-5 I��� )��� =������� �� ��� �� �� ������ �� ��� ������� ������ ����� <������� =���� ; !-1>9# -9?(-?8�

48+5 I��� )��� ������������ �� ��� � ����&�������� �� ������� �������� ������ ����� <������� =���� 1 !-1>># -?9(-1>�

4885 ��K� F������ ��� D�� ������ �� ��� ����� ����� 7��� �� )��� )������ 8? !+,,,# ++9(+8>�

48;5 ���� .������� ������� �� �������� ��� ������� 7��� �� .��� )��� +- !-1>8# ?;-(?9-�

4895 I��� )��� ��G� ����� )������ �� �/�*���*���������� ( D��� -� D����� ��� ���� �� ����$��� ��� ��� ������� D��� +�

D����� ��� ���� �� ����$��� ����� ��� ������� ������ ����� <������� =���� -+ !-1>1# 18(--1�

48:5 I��� )��� )�� ������ �� ����&�������� ������������ � ��� )� )��������/� D� )����� !. �#� � ����� �� ����� �

���� � ���� :� <��'� ��6� ��� �� P��� D���� � � ������ �� <����� � 0�' ���"� -11+� ��� +->(+;?�

48?5 I��� )��� ������*��������� ����������� ���� �� ;8;, ���� ������ �� ���� ��� ���%������� �=����� -?-� ��� .�D� �����

S�P� ��" !. �#� � ����� �� 0������� )�������� ������&�� ��� D���������� �� D���������� �� )��� � �)=.� -118� ��� -88(

-;;�

$%�% &��� '% � �� ( � �������� ��� ������� )����*�� ��� ����� +� ,���-. -/01��2 +,1