A teoria de Sommerfeld para metaistclp/estadosolido/Sommerfeld.pdf · Kittel, capítulo 6. m* ≠m...
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Orientador: Carl Louis Ferdinand von LindemannOrientados: Wolfgang Pauli, Ernst Guillemin, Werner Heisenberg, Hans Bethe, Petrus Josephus Wilhelmus Debye
Arnold Johannes Wilhelm Sommerfeld(Königsberg, 5 de Dezembro de 1868 — Munique, 26 de abril de 1951) foi um físico alemão que introduziu a constante da estrutura fina em 1919.
A teoria de A teoria de SommerfeldSommerfeld para metaispara metais
Drude Sommerfeld
distribuiçãode Maxwell-Boltzmann
distribuição (quântica)de Fermi-Dirac
PROPRIEDADES DO ESTADO FUNDAMENTAL (T=0) DO GÁS DE ELÉTRONS
“gás de elétrons”, gás de elétrons livres e independentes, gás de Fermi de elétrons livres (“free electron Fermi gas”)
N elétrons num volume V
princípio de exclusão de Pauli.
( ) ( )rrm
rrhεψψ =∇
− 22
2elétron confinado no volume V (pela atração dos íons)
condição de contorno
(1) níveis de energia para um elétron no volume V.(2) preencher os níveis de forma consistente com o
cubo : 3
1
VL =
:1D
• • •
L
L
( ) ( )zyxzyLx ,,,, ψψ =+
( ) ( )zyLxzyx ,,,, +=ψψ
( ) ( )zLyxzyx ,,,, +=ψψ
( ) ( )LZyxzyx += ,,,, ψψ
:3D
CONDIÇÃO DE CONTORNO de Born-von Karmanou CONDIÇÃO DE CONTORNO PERIÓDICA
Solução da eq. de Schrödinger :
( ) rki
ke
Vr
rr
rr .1=ψ , ( )
m
kk
2
22hr
=ε
( ) 12
=∫ rdrrr
ψ
operador momentum : ∇=∂∂
=rh
rhr
irip
xipx ∂
∂=h
yipy ∂
∂=h
zipz ∂
∂=h
( ) ( )rkrpkk
rrh
rrrr ψψ =
um elétron no nível tem um valor bem definido para o momentum( )rk
rrψ
kpr
hr=
( )m
kk
2
22hr
=εm
p
2
2
=ε (forma clássica)
k
πλ
2= (comprimento de onda de Broglie)
Condições de contorno :
1=== LikLikLik zyx eee
1=ize ,2 nz π= n inteiro
zyx nnn ,, inteiros
L
nk
L
nk
L
nk z
z
y
yx
x
πππ 2,
2,
2===
2D : área por ponto =
3D : volume por ponto =
( )2/2 Lπ
( )3/2 Lπ
Uma região do espaço de volume conterákr
Ω
( ) 338/2 ππV
L
Ω=
Ωvalores permitidos para k
r
densidade de níveis no espaço = n° de valores permitidos de
por unidade de volume =
kr
38/ πV
kr
ESTADO FUNDAMENTAL PARA UM SISTEMA DE N ELÉTRONS
2310~NPRINCÍPIO DE EXCLUSÃODE PAULI
“ESFERA DE FERMI” raioFk
volume 3
3
4Fkπ=Ω
n° de valores permitidos de dentro da esfera de Fermi ékr
VkVk FF
2
3
3
3
683
4
πππ
=
De modo a acomodar N elétrons devemos ter
2
3
62
πVk
N F=2
3
3πFkn =
spin
A superfície da esfera de Fermi que separa os níveis ocupados dos níveis vazios é chamada de SUPERFÍCIE DE FERMI
FF kp h=
mkE FF 2/22h=
mpv FF /=
: momentum de Fermi
: energia de Fermi
: velocidade de Fermi
elétrons com maior energia
GÁS DE FERMI GÁS CLÁSSICO (DRUDE)
Fv2
1
3
=m
Tkv B
FFF Evk ,, em termos de n ( )[ ]0/ arou s
( )200
8
0
1
/
1.50,/
/
1020.4,
/
A63.3
ar
eVEscm
arv
ark
s
F
s
F
s
F =×
==−&
1A1~ −&Fk scmvF /10~ 8 eVEF 155.1~ −
(~ 1% c = vel. luz vácuo)
Estado Fundamental : (N elétrons num volume V)
22
22 k
mE
Fkk
∑<
=h
volume por ponto no espaço kr
kr
Vk /8: 3π=∆r
( ) kdkFV
kFk
V
rrr
r ∫∑ =∞→ 38
)(limπ
desde que não varieapreciavelmente em distânciasno espaço-k da ordemde
)(kFr
∫<
=Fkk
m
kkd
VE
282
22
3
hr
π m
kdkk
V
E Fk
24
4
1 22
0
2
3
h
∫= ππ
L/2π
52
2 10
1Fk
mV
E h
π= : densidade de energia do gás de elétrons
( ) ( ) kkFV
kFkk
rrr
rr∆= ∑∑ 38π
3
231
FkV
E
nV
E
N
V
V
E
N
E π=== F
F Em
k
N
E
5
3
10
3 22
==h
energia por elétron no estadofundamental
gás clássico de Drude :
Temperatura de Fermi :
TkEN
EBc
2
3==
FBF TkE = KKTF
54 10,10≈
FBTkN
E
5
3=
PRESSÃO E “BULK MODULUS”
V
Nnnk
m
kENEE
V
EP F
FFF
N
====
∂∂
−= ,3,2
,5
3, 23
22
πh
V
EP
3
2=
compressibilidade : K
Bulk modulus : V
PV
KB
∂∂
−==1
FnEV
EPB
3
2
9
10
3
5===
3
5
3
2
~~−−
⇒ VPVE
PROPRIEDADES TPROPRIEDADES TÉÉRMICAS DO GRMICAS DO GÁÁS DE ELS DE ELÉÉTRONS LIVRESTRONS LIVRESA DISTRIBUIA DISTRIBUIÇÇÃO DE FERMIÃO DE FERMI--DIRAC E APLICADIRAC E APLICAÇÇÕESÕES
( )1
1/ +
= − Tk
N
iBie
f µε
=µ potencial químico
:N
if probabilidade de se encontrar um elétron no nível monoeletrônico i quando o sistema de N elétrons estáem equilíbrio.
(gás de elétrons , spin)kir
:
Princípio da Exclusão de Pauli :cada nível pode conter ou 0 ou 1 elétron
f iiii : número médio de elétrons no nível monoeletrônico iiii
(desprezando spin)
gás elétrons no estado fundamental (T=0)
( )m
kk
2
22hr
=ε ( ) FEk <r
ε,1
( ) FEk >r
ε,0
FE=µlim
0→T
=kf r
)]([)(2 kfkUk
rr
rεε∑=
∑=k
kfNr
r)]([2 ε
)]([)(4 3
kfkkd
V
Uu
rrr
εεπ∫==
)]([4 3
kfkd
nr
r
επ∫=
( ) ( )1
1/ +
= − TkBef µεε
cálculo de integrais da forma
)]([4 3
kFdk r
επ∫∑
sk
kFV ,
)]([1
r
rε
gás de elétrons : )()(2/22 kkmk εεε ==r
h
( ) ( )εεεεπ
επ
FgdkFdkk
kFkd
∫∫∫∞
∞−
∞
== )]([)]([4
0
2
2
3
rrr
com ( )=εg0,
2222
>εε
π hh
mm
0,0 <ε
( ) ( )εεεε FgdkFV sk
∫∑∞
∞−
↔,
)]([1
r
r
×=V
dg1
)( εε [[[[ nº de níveis monoeletrônicos com energiaentre e ]]]]ε εε d+
:)(εg densidade de níveis por unidade de volume(ou densidade de estados)
=)(εg0,
2
3 2
1
>
ε
ε
FF EE
n
0,0 <ε
( )F
FF
E
nmkEg
2
322==
πh
~ εεεε1/2
EF
)(εg
εεεε
( ) ( )εεεε fgdu ∫∞
∞−
=
( ) ( )εεε fgdn ∫∞
∞−
=
µTkBexpansão de Sommerfeld :
( ) ( ) +
+−+= ∫ )´(6
)()(2
2
0
FBFFF
E
EgTkEgEEdguF π
µεεε
( ) ( ) ( )422
6TOEgTk FB +
π
( ) ( ) ( ) ( )422
0
)´(6
)( TOEgTkEgEdgn FBFF
EF
+
+−+= ∫π
µεε
( )n
VT
uceT
∂∂
== µµ
(1)
(2)
−=
2
23
11
F
BF
E
TkE
πµ
( ) B
F
BFBV kn
E
TkEgTkc
==
23
22
2 ππ
[ver tb Kittel (1976), cap. 6]
B
Drudeclassico
V nkc2
3)( =−
F
B
E
Tk
3
2πé menor por fator
gás elétrons Fermi-Dirac
( )ambientetempá .10~ 2−
DiracFermigas
Vc−)(
clássico-Drude
2TT
cV βγ +=
elétrons fonons
o termo eletrônico é dominante a temperaturas baixas
3TTcV βγ +=
T2
cV/T
γ
mm ≠*
mkF
2
3
3h=γ
( ) TEgTkc FBV γπ
== 22
3( )
F
FF
E
nmkEg
2
322==
πh
Massa efetiva
onde
temos
oexperimentteoria γγ ≠
Lembrando que
(1) Interação dos elétrons de condução com o potencial periódicoda rede cristalina rígida.
massa efetiva na rede
(2) Interação dos elétrons de condução com fônons.
(3) Interação elétron-elétron.
( )?1*
≠m
m
A TEORIA DE SOMMERFELD PARA CONDUÇÃO EM METAIS
Drude Sommerfeld
Maxwell-Boltzmann Fermi-Dirac
Tkmv
B2
3
2
2
=
( )21
/3 mTkv Bcláss = Fquant vv =
temp. ambiente : scmvclass /10~ 7 scmvquant /10~ 8
(independente de T)
livre caminho médio τFv=l
temp. ambiente A100~ &l
Condutividade térmica (k)
Tkjq ∇−=rr
Vcvk τ23
1=
( ) BclássV nkc2
3= ( ) B
F
B
quantV nkE
Tkc
=
2
2π
( ) mTkv Bcláss /32 = ( )m
Evv FFgás
Fermi222 ==
2
2
3
=
e
k
T
k B
clássσ
22
3
=
e
k
T
k B
gásFermi
πσ
excelente acordo com expt
THERMOPOWER (Q)
TQE ∇=rr
0<Q
ne
cQ V
3
−=
( ) BclásV nkc2
3.= ( ) B
F
B
Fermidegás
V nkE
Tkc
=
2
2π
e
kQ B
Drude2
−=
−=
F
BB
Fermidegás
E
Tk
e
kQ
6
2π
~ expt.
Condutividade DC
Condutividade AC
Coeficiente de Hall
Magnetoresistencia
Plasmon
forma da velocidade eletronica
não desempenha nenhum papel;
resultados iguais
ao do gás clássico de Drude
FALHAS DO MODELO DE GFALHAS DO MODELO DE GÁÁS DE ELS DE ELÉÉTRONSTRONS
gás de elétrons : concordância razoável com a experiência para uma variedade de propriedades dos metais
muitas questões fundamentais sem resposta
PORÉM
PRINCIPAIS DIFICULDADES COM O MODELO DE GÁS DE ELÉTRONS
(1) Coeficientes de Transporte
necRH /1−=( )HTRR HH ,= sinal
(b) Magnetoresistência
gás de elétrons independe de
expt:
( ) xx jEH /=ρ
( )Hρ Hr
( )Hρρ =
(a) coeficiente de Hall
(c) Thermopower
resultado do gás de elétrons tem ordem de grandeza correta para vários metais sinal
)0( <Q
(d) Wiedemann-Franz tecT
k=
σ
( )TfT
k=
σ
(e) Condutividade Elétrica DC
somente via
dependência direcional de
mne /2
0 τσ =
( )Tσσ = τσ
(f) Condutividade elétrica AC
( )ωτ
σωσ
i−=
1
0( ) ( )ω
ωσπωε
i41+=
dependência em ωωωω é mais complicada
(2) Predições Termodinâmicas
( )?1/* ≠mm
vide Fe, Mn, Bi, Sb
(b) Termo cúbico no calor específico
Fônons
(c) compressibilidade de metais
contribuição dos íons e interação elétron-elétron
(a) Termo Linear no calor específico
(a) O que é que determina o n° de elétrons de condução?elementos com mais de uma valência química (?)
(Fe)
(b) Por que alguns elementos são não-metais?
carbono diamante isolantegrafite condutor
(3) Questões Fundamentais
Boro isolanteAl metal