1. EKSPONEN

A. RUMUS- RUMUS DASAR EKSPONEN

1. ; disebut bilangan pokok. m, n disebut pangkat

2.

3.

4.

5.

6. ;

7.

8. ; ; ,

1. Jika nilai a = 8 dan b = 27 , maka nilai adalah .....

Penyelesaian :

= ...

2. LOGARITMA

A. RUMUS- RUMUS DASAR LOGARITMA

1

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8. ;

9.

10. ;

1. Niali dari

Penyelesaian :

3. Fungsi kuadrat

A. Bentuk umum1. ; dan 2. , dengan:

Kordinat titik puncak:

Sumbu simetri

3. dengan x1,x2 = titik potong dengan sumbu x

B. Grafik fungsi kuadrat dan ciri-cirinya.

1. Terbuka ke atas , jika

2. Terbuka ke bawah, jika

3. Memotong sumbu x di dua titik yang berbeda , jika:

4. Menyinggung sumbu x di dua titik yang berimpit, :

2

5. Tidak memotong sumbu x , jika

Untuk D<0 dan a>0 disebut definit positif, artinya:

Berapapun harga x, maka fungsi kuadarat selalu

berharga positif.

Untuk D>0 dan a<0 disbut definit negativ artinya: berapapun harga

x maka fungsi kuadarat selalu berharga negatif.

C. Persamaan kuadrat

Bentuk umum : 1. ; dan

2. dengan x1 dan x2 adalah

akar-akar persamaan kuadrat.

Jenis akar-akar persamaan kuadrat

1. Real, berbeda, bila: D>0

2. Real, dan sama, bila: D=0

3. Imajiner (khayal), bila D<0

D. Sifat-sifat akar persamaan kuadrat dan

1. x1+x2=

2.

3. Saling berlawanan tanda : x1=-x2 bila b=0

4. saling berkebalikan tanda: bila

5. Keduanya negatif , bila memenuhi ketiga syarat berikut:

; ;

6. Keduanya positif , bila memenuhi ketiga syarat berikut:

; ;

7. Satunya positif satunya negatif , bila memenuhi kedua syarat berikut: ;

8. Membentuk persamaan kuadrat:

Contoh :

1. Koordinat titik balik dari grafik fungsi adalah ...

Penyelesaian :

3

Koordinat titik balik/ titik puncak =

(x, y)=

2. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat

Penyelesaian :

. 0 .

Kita masukkan nilai x= 0

Himpunan penyelesaiannya adalah

4. TRIGONOMETRI

A. FUNGSI TRIGONOMETRI

B

y

A x C

Sin ; ; ;

;

4

Contoh :

1. Tentukan panjang x pada gambar berikut!

X 13

12

Jawab:a.

2. Diketahui ABC siku-siku di B, dengan AB=4 cm, AC=5 dan BAC =

. Tentukan niali: a. sin

b. cos

c. tan

Jawab:

C

b=5 a=….

Sehingganialiperbandingantrigonometri:

A c=4 B - -

-

B. SUDUT ISTIMEWA

Sin 0

21 1

Cos 1 0

Tan 0 1

5

C. SUDUT – SUDUT BERELASI

Y 90o

Kuadaran II Kuadran I

Sin, positif Sin; cos; tan

Semua positif

180o 360o

00

Kuadran III Kuadran IV x

Tan, positif Cos, positif

270o

Contoh :

1. Tentukan nilai dari:

a. Cos 1500 d. Sin 18600

b. Sin 3150 e. Tan (-4200)

c. Tan 2250

Jawab :

a.

(di kwadran II cos nilanya negatif)

b.

(di kwadran IV sinus nilainya negatif)

c.

6

(di kwadran III tangent nialinya negatif)

d.

D. Koordinat Kutub

Ada dua buah koordinat untuk menentukan sebuah titik pada bidang datar yaitu:

1. Koordinat kartesius

Komponen koordnat kartesius dari titik P(x, y) adalah:

X disebut absis.

Y disebut ordinat.

Y

P(x, y)

O(0, 0) x

2. Koordinat Kutub Atau Koordinat Polar.

Komponen koordinat kutub dari P(r, )

r = jari-jari (jarak titik O ke titik P )

= sudut kutub (sudut yang dibentuk dari garis OP dengan sumbu x )

y

P(r, )

O(0, 0) x

3. Hubungan Koordinat Kutub Dengan Koordinat Kartesius

Perhatiakan gambar disamping.

Koordinat kutub diubah ke dalam koordinat kartesius:

7

Jadi titik P (x, y) jika dinyatakan dalam bentuk koordinat kutub

.

Koordinat kartesius titik P(x, y) di ubah ke dalam koordinat kutub

:

mencari sudutnya

Jadi koordinat kutubnya adalah

Contoh :

1. Diketahui koordinat polar titik A(8, 600). Tentukan koordinat kartesius titik A!

Jawab :

A(r,

Sehingga

Maka koordinat kartesiusnya

2. Ubahlah koordinat katesius dari titik Q (4,4) ke koordinat kutub!

Jawab :

8

Jadi, koordinat kutub titik

3. Diketahui koordinat kartesius maka koordinat kutubnya

adalah ......

Penyelesaian :

( dikuadran II, karena x negatif dan y

positif)

. Jadi koordinat kutubnya adalah

.

D. RUMUS-RUMUS SEGITIGA

Aturan Sinus

B

c a

A b C

; R= jari-jarilingkaran luar

E. RUMUS- RUMUS IDENTITAS TRIGONOMETRI

1. 3.

2. 4.

5. 6.

7. 8.

F. ATURAN COSINUS

9

G. LUAS SEGITIGA ABC

L=luas segitiga

s= =

Contoh :

1. Diketahui dengan panjang sisi a = 7 cm, b = 4 cm, dan

hitung panjang sisi c!

Jawab :

Soal diatas diselesaikan dengan aturan cosinus.

C

600

b = 4 a = 7

A c=… B

2. Diketahui , sisi a= 4 cm dan sisi b = 5 cm. Hitung luas

Jawab :

Luas

10

cm2

H. GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI

1. , mempunyai periode,

2. mempunyai periode,

3. , mempuyai periode,

I. RUMUS-RUMUS PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN DUA

SUDUT

Rumus- rumus Fungsi Trigonometri untuk jumlah dan selisih dua sudut.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Contoh :

1. Dengan menyatakan 750 = 300 + 450, hitunglah :

a. Cos 750 b. sin 150 c. tan 1050

Jawab :

a. Cos 750 = cos (450 + 300) = cos 450. cos 300 – sin 450. sin 300

11

b. Sin 150 = sin (450 – 300) = sin 450.cos300 – cos450. sin 300

c. Tan 1050 = tan (600 + 450) =

J. Rumus- rumus Fungsi Trigonometri Untuk Sudut Rangkap.

1. 3.

2.

Contoh :

1. Apabila diketahui sin ( sudut lancip), tentukan nilai dari:

a. Sin 2 b. c.

Jawab :

a. b.

12

c .

K. Rumus- rumus Perkalian SinusDan Cosinus.

1.

2.

3.

4.

L. Rumus- rumus Jumlah Dan Selisih Sinus Dan Cosinus

1.

2.

3.

4.

M. PERSAMAAN TRIGONOMETRI

Persamaan Trigonometri bentuk sinx = a, cosx = a, tanx = a / pesammaan

biasa.

1.

2.

3.

N. Persamaan Trigonometri Bentuk a.cosx + b.sinx = c

Mengubah bentuk persamaan

13

Dengan dan , dan persamaannya diselesaikan dengan cara biasa.

5. PELUANG

A. Metode Pencacahan.

Bila kejadian pertama terjadi dalam cara , kejadian kedua terjadi dalam cara ,

kejadian ketiga terjadi dalam cara, maka gabungan ketiga hal tersebut terjadi

adalah: cara.

B. Faktorial/ (n!)

0!=1 (kesepakatan international)

14

C. Permutasi

Permutasi adalah cara menyusun unsur-unsur yang ada dalam suatu himpunan untuk

mendapatkan berbagai macam susunan yang berbeda dengan memperhatikan

urutannya.

Susunan dianggap unsur yang berbeda, dihitung dua.

Contoh.

1. Tentukan banyaknya permutasi huruf

2. Tentuakan banyaknya permutasi 2 huruf dari huruf

Jawab.

1.

2.

D. Macam-macam Permutasi.

1. Banyaknya permutasi k unsur dari n unsur yang ada, jika terdapat p, q, dan r

unsur yang sama: .

2. Permutasi siklis atau permutasi dalam lingkaran.

Jika terdapat n jumlah orang atau huruf yang duduk dalam kursi melingkar

maka banyaknya seluruh cara duduk tersebut adalah :

E. Kombinasi

Kombinasi adalah cara menyusun unsur - unsur yang ada dalam suatu himpunan,

dengan tanpa memperhatikan urutan letak unsur dalam susunannya.

Susunan AB= BA, dihitung satu. AB sama dengan BA.

15

Banyaknya kombinasi k unsur dari n unsur adalah:

Contoh :

1. Tentukan banyaknya kombinasi 2 huruf dari huruf- huruf

Jawab.

(yaitu: ab, ac, bc)

Perhatikan bahwa ab dengan ba dihitung satu kombinasi, ac dengan ca satu

kombinasi, bc dengan cb dihitung satu kombinasi.

F. PELUANG KEJADIAN

1. Pengertian Peluang Suatu Kejadian.

Jika peluang kejadian himpunan A terjadi dalam k cara dari keseluruhan n cara maka

peluang kejadian A dirumuskan:

2. Frekuensi Relatif

Jika frekuensi kejadian A adalah , maka frekuensi relatif kejadian A dalam n kali

percobaan adalah:

3. Frekuensi Harapan

Jika peluang kejadian A adalah , maka frekuensi harapan kejadian A dalam N

kali percobaan adalah:

4. Kejadian Saling Lepas

Kejadian A dan B disebut kejadian saling lepas, jika himpunan A dan B saling

asing maka dengan

maka rumus peluang kejadian yang saling lepas adalah :

5. Kejadian Saling Bebas

16

Kejadian A dan B disebut dua kejadian saling bebas, jika kejadian B tidak ada

kaitanya dengan kejadian A yang mendahuluinya.

Jika kejadian A dan B saling bebas maka peluang kejadian A dan B dirumuskan

dengan:

6. IRISAN KERUCUT

1. LINGKARAN

1. Persamaan lingakaran dengan pusat (0,0) dengan jari- jari r adalah:

2. Persamaan lingkaran dengan pusat (a, b) dan jari- jari r adalah:

3. Bentuk umum persamaan lingkaran:

Dengan pusat =

Dengan jari- jari =

4. Persamaan garis singgung di titik (x1, y1) pada lingkaran yang

berpusat di titik (0, 0).

17

5. Persamaan garis singgung di titik (x1, y1) pada lingkaran yang berpusat di (a,

b).

Atau dalam bentuk umum:

7. STATISTIKA

A. UKURAN PEMUSATAN UNTUK DATA TUNGGAL

Apabila data pada hasil pengukuran atau observasi dinyatakan dengan , maka ukuran- ukuran pemusatan didefinisikan dengan:

1. Rata- rata / mean

2. Median (Md)= Nilai data yang di tengah Setelah diurutkan.

Apabila n ganjil :

, dengan

Apabila n genap :

, dengan

3. Modus (Mo) = Nilai data yang paling sering muncul.4. Jangkauan = Nialai data terbesar – data terkecil.

B. UKURAN PEMUSATAN PADA DATA YANG BERKELOMPOK

Untuk data yang disusun dalam interval – interval kelas , maka rumus ukuran pemusatannya menjadi:

1. Rata- rata (mean) =

2. Modus =

18

3. Median =

4. Standart deviasi / simpangan baku =

5. Standart deviasi data berkelompok =

KeteranganTb = Tepi bawah kelas modus / kelas mediani = Interval / panjang kelas

Rata- rata sementara.fa = Frekuensi kelas modus – frekuensi kelas sebelumnya.fb = Frekuensi kelas modus – frekuensi kelas sesudahnya.ui = Skala baru dengan . nialainya …….,-3,-2,-1,0, 1,2,3,…di = ui.i

C. UKURAN LETAK / KUARTIL (Q)

Untuk menentukan data yang belum dikelompokkan langkah- langkahmya sebagai berikut:

1. Susun data secara urut / diurutkan.2. Bagi data dalam empat bagian.

Q1 = Kuartil bawah adalah data pada

Q2 = Kuartil tengah adalah data pada

Q3 = Kuartil atas adalah data pada

Apabila datanya sudah tersusun dalam interval, maka kuartil ke- p adalah:

Jika p = 1 disebut kuartil bawahJika p = 2 disebut kuartil tengahJika p = 2 disebut kuartil atas.fk = frekuensi komulatif sampai dengan kelas sebelum kelas kuartil ke – pfp = frekuensi kelas kuartil ke- p

D. JANGKAUAN SEMI INTER KUARTIL

19

Q3= Kuartil AtasQ1 = Kuartil bawahQd = Simpangan kuartil atau jangkauan semi inter kuartil

8. LOGIKA

A. KONJUNGSI DAN DISJUNGSI

Konjungsi adalah kalimat matematika yang memakai tanda hubung”dan”.

Disjungsi adalah kalimat matematika dengan tanda hubung “atau”.

1. Tabel Kebenaran Konjungsi

p q

B

B

S

S

B

S

B

S

B

S

S

S

2. Tabel kebenaran Disjungsi

p q

B

B

S

S

B

S

B

S

B

B

B

S

B. IMPLIKASI

3. Konvers, Invers, dan Kontraposisi

P q ~p ~q Implikasi Kontraposisi Konvers Invers

B B S S B B B B

20

B

S

S

S

B

S

S

B

B

B

S

B

S

B

B

S

B

B

B

S

B

B

S

B

Dari tabel di atas terlihat bahwa:

Implikasi = Kontraposisi

Konvers =Invers

2. Kuantor Universal dan Kuantor Eksistensial

Contoh: p = Semua murid rajin = setiap murid rajin

~p = Tidak semua murid rajin, atau

= Beberapa murid rajin, atau

= Ada murid, tidak rajin.

- Pernyatan p yang mengunakan kata: “semua” , disebut perntaan “

“Berkuantor Universal (umum)” sedangkan kata: ”semua” dilambangkan

dengan ( baca: untuk setiap atau semua)

- Negasi pernyatan p ( ditulis ~p) yang mengandung kata: “ tidak semua” atau

“ beberapa” atau “ ada” , disebut pernyataan berkuantor eksistensial.

Sedangkan kata: “ tidak semua” atau “ beberapa”, atau “ada”, dilambangkan

dengan (baca: beberapa, ada).

- Hukum De Morgan

Contoh :

1. Negasi dari pernyataan “ Ani memakai seragam atau memakai topi.” Adalah ...

Penyelesaian :

Negasinya adalah “ Ani tidak memakai seragam dan tidak memakai topi.”

2. Pernyataan “ jika 5 x 8= 40 maka 5 +8 =13.” Kontraposisinya adalah ...

Penyelesaian :

Kontraposisinya adalah “ Jika 5+8 maka 5 x 8

D. PENARIKAN KESIMPULAN

1. Modus Ponens

Premis 1 :

Premis 2 : p

Kesimpulannya: q

21

2. Modus Tollens

Premis 1 :

Premis 2 :

Kesimpulannya:

3. Silogisme

Premis 1 :

Premis 2 :

Kesimpulannya:

9. VEKTOR

1. Panjang Vektor

Panjang vektor =

1. Jika vektor maka panjang vektor adalah .......

Penyelesaian :

Panjang vektor =

2. Vektor Posisi

Vektor posisi adalah vektor yang titik ujungnya titik O (0, 0).

2. Jika titik A (1, 2, 4) maka vektor posisi dari vektor adalah ......

Penyelesaian :

3. Vektor Satuan

Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu.

Vektor satuan dari vektor

3. Jika vektor maka vektor satuan dari a adalah ....

Penyelesaian :

Vektor satuan dari vektor

=

Maka Vektor satuan dari vektor

22

=

4. Operasi Vektor

Operasi vektor adalah operasi penjumlahan, perkalian, pembagian dan

pengurangan pada vektor.

4. Jika vektor a= 3i-4j dan vektor maka berapakah ....

Penyelesaian :

5. Perkalian skalar Antara Dua Skalar

Perkalian skalar antara vektor dan vektor .

atau

5. jika vektor dan

maka nilai p adalah .....

Penyelesaian :

= 2- 2p- 6 = 0

= -2p= 4

6. Sudut Antara Dua Vektor

Sudut antara dua vektor dirumuskan sebagai berikut :

6. Jika vektor cosinus sudut antara vektor

Penyelesaian :

dan panjang vektor

=

10. BANGUN RUANG

23

1. KUBUS

Volume Kubus = = Luas selimut =

Luas selimut adalah luas bidang sisi tegak

Luas permukaan kubus =

2. PRISMA

Volume Prisma =

Luas selimut = L. ABED + L. BCFE + L. ACFD

Luas permukaan = L. selimut + 2. L. ABC

3. TABUNG / SILINDER

Volume Tabung = Luas alas . tinggi

Luas selimut =

Luas permukaan =

4. KERUCUT

24

Volume kerucut =

=

Luas selimut = Luas permukaan =

5. BOLA

Volume Bola =

Luas Permukaan =

6. LIMAS

Volume Limas =

Luas selimut = L. TAB+L. TBC +L. TCD + L. TDA

Luas Permukaan = L. selimut + L. ABCD

11. BARISAN DAN DERET

25

A. Barisan Aritmatika/ Hitung

Suku ke- n a = suku awal

b = beda =

Contoh 1.

1. Pada barisan aritmatika 3, 7, 11, 15,.........

Tentukan : a. Besar beda barisan tersebut

b. Besar suku ke 10 dan ke 15

c. Bentuk suku ke n

Penyelesaian :

a. b=

b.

c.

2. Pada barisan Aritmatika diketahui

Tentukan :

a. Beda dan suku pertama barisan tersebut

b. Besar suku ke 12

c. 10 suku pertama barisan tersebut

Penyelesaian

a.

-7.b= -28

b= 4

Maka untuk b = 4

a + 28=18

a= 18-28=-10

b.

c. -10, -6, -2, 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26,..............

26

B. Deret Aritmatika / Jumlah n Suku Pertama Deret Aritmatika

keterangan: a = U1= suku awal

b = beda =

n = banyaknya suku.

.

Contoh :

1. Diketahui deret aritmatika : (-8)+(-6)+(-4)+(-2)+0+.............. tentukan

a. Besar beda dan

b. Besar Sn jika n= 15

Penyelesaian

a. a= -8, b=-6-(-8)=2

Maka

=

b.

2. Pada suatu deret Aritmatika berlaku dan

a. Tentukan suku ke 15

b. Jumlah deret 15 suku pertama.

Penyelesaian :

a.

.............. (1)

2a+9b=67................ (2)

Dari persamaan 1 dan 2 dieliminasikan.

2a+9b=67

-a = -2

Maka

27

Jadi

b.

3. Apabila suatu deret Aritmatika 2+7+12+17+...........

Tentukan : a. Besar beda dan besar suku ke 15

b. Besar suku tengah jika banyaknya suku 15

c. Jumlah 15 suku pertama

a. Beda = 7-2 = 5

b. Indeks suku tengah

Maka suku tengahnya adalah

c.

C. Barisan Geometri/ Barisan Ukur

Suku ke – n :

Contoh :

1. Barisan 1, 3, 9, 27,........... membentuk barisan geometri .

Tentukan : a. Rasio

b. suku ke 8 dan suku ke 10

Penyelesaian :

a. Rasio: 3:1 = 3

28

b.

2. Diketahui barisan geometri Tulislah barisan geometri sampai 4 suku

pertamanya.

Penyelesaian :

barisan geometri : 6, 18, 54, 162,...........

D. Deret Geometri

Jumlah n suku pertama deret Geometri dirumuskan dengan :

Contoh :

1. Suatu deret Geometri : 1, 2, 4, 8,......... hitunglah:......

a.Rasio dan suku ke 10

b. Besar suku

c.jumlah deret geometri untuk n= 11

Penyelesaian :

a.

b.

c.

2. Suatu deret geometri dengan rumus suku ke n ; tentukan :

a.

b.

Penyelesaian :

a.

29

maka rasio

b.

E. Jumlah Deret Geometri Tak Hingga:

keterangan: r = ratio/ pembanding

Contoh :

1. Suatu deret geometri turun tak hingga :

a.Tentukan rasio

b. Tentukan jumlah deret geometri tersebut.

Penyelesaian :

=

2. Suatu deret geometri tak hingga dengan S = 21 , a= 15, tentukan

a.Rasio (r)

b. Jumlah 4 suku pertama deret geometri tersebut.

Penyelesaian :

21 =

30

3. Diketahui jumlah deret takhingga = sedangakan suku pertamanya = 125

maka rasionya=.....

Penyelesaian :

maka

.

12. APROKSIMASI KESALAHAN

1. Salah Mutlak

31

Salah mutlak =

Pengukuran 15 cm mempunyai satuan pengukuran terkecil 1 cm

Maka salah mutlaknya = .

Pengukuran 12,3 cm mempunyai satuan pengukuran terkecil 0,1 cm

Maka salah mutlaknya=

2. Salah Relatif

Salah relatif =

Hasil pengukuran panjang 2,5 cm

Satuan pengukuaran terkacil 0,1 cm

Salah mutlaknya =

Salah relatifnya =

3. Persentase Kesalahan

Persentase kesalahan = salah relatif . 100%

4. Ukuran maksimum dan Ukuran Minimum

Ukuran Maksimum = hasil pengukuran + salah mutlak

Ukuran minimum = hasil pengukuran – salah mutlak

Hasil pengukuran panjang 2,5 cm

Salah mutlaknya =

Ukuran maksimum = 2,5 + 0,05 = 2,55

Ukuran minimum = 2,5 – 0,05 = 1,45

5. Toleransi

Toleransi = ukuran terbesar – ukuran terkecil

1. Tentukan toleransi kesalahan dari hasil pengukuran yang dinyatakan

( 84,2 mm.

Penyelesaian :

Ukuran terbesar = 84,2 + 0,02= 84,22 mm

Ukuran terkecil = 84,2 – 0,02 = 84,18 mm

Toleransi = 84,22 – 84,18 = 0,04 mm.

32

6. Jumlah dan Selisih Pengukuran

Jumlah maksimum = uk. Maks I + uk. Maks II

Jumlah minimum = uk. Min I – uk. Min II

Selisih maksimum = uk. Maks I – uk. Min II

Selisih minimum = uk. Min I – uk. Maks II

7. Perkalian Maksimum dan Perkalian Minimum

Perkalian maksimum = uk. Maks I x uk. Maks II

Perkalian minimum = uk. Min I x uk. Min II

Luas maksimum = panjang maksimum x lebar maksimum

Keliling maksimum = 2. panjang maksimum x 2. lebar maksimum

13. MATRIK

1. Operasi Matrik

33

Operasi matrik adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian matrik dengan

skalar.

1. Jika matrik dan matrik maka 2A – 3B adalah .....

Penyelesaian :

2A – 3B =

2. Tranpose Matrik

Suatu matrik ditranpose maka elemen baris matrik tersebut menjadi kolom

dan elemen kolom menjadi baris.

2. Jika matrik maka matik

Penyelesaian :

3. Perkalian Dua Matrik

Syarat Perkalian dua matrik adalah jumlah kolom matrik 1 sama jumlahnya

dengan jumlah baris matrik kedua.

Perkaliannya adalah baris x kolom dijumlahkan.

3. Jika matrik dan matrik maka

Penyelesaian :

maka

=

=

4. Determinan Matrik

Determinan matrik

Jika matrik

34

5. Invers Matrik Ordo 2x2

Jika matrik maka invers matrik A =

5. Jika matrik

Penyelesaian :

maka inver matrik B adalah

14. LINGKARAN

1. LUAS DAN KELILING LINGKARAN

Luas lingkaran =

Keliling lingkaran =

2. LUAS JURING DAN PANJANG BUSUR

35

Panjang busur =

Luas juring =

3. GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN DALAM DAN LUAR

Keterangan :

XQ = garis singgung persekutuan luar

PQ = garis singgung persekutuan dalam

AB = jarak dua titik pusat lingkaran

R = jari – jari lingkaran besar

R = jari – jari lingkaran kecil

Maka rumus garis singgung persekutuan dalam dan luar adalah :

4. SUDUT PUSAT DAN SUDUT KELILING

36

1. Lingkaran dengan pusat O dan berjari-jari 21 cm. Besar sudut AOB=

Panjang busur kecil AB adalah .....

Penyelesaian :

Panjang busur = =

2. Lingkran dengan pusat P dan Q. masing-masing berjari-jari 8 cm dan 4 cm. jarak PQ= 15 cm. Panjang garis singgung persekutuan dalam (RS) adalah ....Penyelesaian :

=

15. LIMIT

A. LIMIT FUNGSI ALJABAR

1. Pengertian Limit

Pengertian limit dalam bahasa sehari-hari adalah terbatas, namun pengertian dalam

matematika sedikit lain, dalam pengertian matematika limit adalah nilai pendekatan

suatu titik dari sebuah fungsi.

2. Definisi Limit

berarti , jika x mendekati a, maka fungsi f(x) mendekati K.

37

3. Limit Fungsi Aljabar:

Untuk limit fungsi aljabar berlaku kaidah-kaidah sebagai berikut:

a. Jika

b. Jika

c. Jika

d. Jika

1. Untuk maka penyelesaian difaktorkan .

2. Untuk maka penyelesaian dibagi dengan pangkat tertinggi.

3. Untuk maka penyelesaian dikalikan fungsi sekawannya.

Contoh :

1.

2.

3.

maka diselesaikan dengan cara difaktorkan / disederhanakan.

4. =

=

c. .

Untuk mencari dengan cara membagi f(x) dengan xn dengan n

pangkat tertinggi dari f(x).

1. Jika pangkat tertinggi pembilang = pangkat tertinggi penyebut

38

Contoh:

1.

2. Jika pangkat tretinggi pembilang < pangkat tertinggi penyebut.

Maka

3. Jika pangkat tertinggi pembilang > pangkat tertinggi penyebut

Maka

Contoh :

16. TURUNAN

A. Pengertian Turunan

Telah kita ketahui turunan dari fungsi f(x) pada x = a ditentukan dengan rumus.

Jika fungsi f(x) dideferensial untuk semua x maka turunan dari fungsi f(x) untuk

sembarang nilai x ditentukan dengan rumus:

dibaca f aksen x disebut turunan dari fungsi f(x).

diperoleh dari dengan x diganti dengan a.

sering ditulis

39

B. Tafsiran Geometri Dari Turunan

h

Arti fisis turunan adalah gradien garis lurus pada titik

gradiennya adalah atau maka

. Maka dapat disimpulkan bahwa gradien garis lurus

sama dengan turunan pertama suatu fungsi pada 2 titik.

Untuk menentukan turunan fungsi dapat dituliskan dengan salah satu lambang

sebagai berikut:

Rumus garis singgung kurva di suatu titik dirumuskan:

Contoh:

1. Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi di bawah ini!

a.

b.

Penyelesaian :

a. maka

=

Jadi turunan pertama 3x-1 adalah 3.

b. maka

40

=

Jadi kesimpulannya turunan pertama dari adalah 2x+2.

B. Rumus-Rumus Turunan

1. f(x) = c maka = 0

2. f(x) = ax maka = a

3. f(x) = axn maka = a.nxn-1

4. f(x) = u.v maka =

5. f(x) =

Contoh :

1. Tentukan turunan dari fungsi dibawah ini dengan rumus fungsi turunan!

a. y = 12

b. y = 3x2+x-5

c. y =

d. y = 4x3+4x-

jawab :

a. y = 12 c. y =

= 0

=

b. y = 3x2+x-5 d. y = 4x3+4x-

= 6x + 1

2. Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut ini!

a. y = (2x + 5).(x2 +6x)

41

b. y =

c. Diketahui fungsi f(x) = x2 -10x +3 tentukan nilai x jika = 0

Jawab :

a. y = (2x + 5).(x2 +6x)

f(x) = u.v maka =

Misal u= 2x +5 maka

V = x2 + 6x maka

= = 2.(x2 +6x) + (2x + 6). (2x + 5)

= 2x2 + 12x + 4x2 + 10x + 12x +30

= 6x2 + 34x + 30

b. y =

f(x) =

Misal u = 4x +1 maka

V = x2 +3x -1 maka

c. Diketahui fungsi f(x) = x2 -10x +3 tentukan nilai x jika = 0

C. Turunan Fungsi Trigonometri

Rumus-rumus Turunan Trigonometri

1.

2.

3.

4.

42

Contoh :

1. Tentukan turunan pertama fungsi-fungsi trigonometri berikut !

a.

b.

c.

Penyelesaian :

a. maka turunan pertamanya adalah

.

b. maka turunannya adalah

c. maka turunannya adalah

D. Penerapan Turunan/ Persamaan garis singgung kurva pada suatu titik.

Rumus garis singgung kurva di suatu titik dirumuskan:

Contoh :

1. Tentukan garis singgung kurva di titik (2. -3) pada kurva

Jawab:

adalah garis singgung pada

kurva pada titik (2. -3).

C. Penerapan Turunan/ Fungsi Naik, Fungsi Turun, Nilai Stasioner dan

Nilai Maksimum/ Nilai Minimum

1. Fungsi f(x) dikatakan sebagai fungsi naik jika .

2. Fungsi f(x) dikatakan sebagai fungsi turun jika

3. Fungsi f(x) dikatakan stasioner jika

4. Fungsi f(x) dikatakan mencapai nilai maksimum jika:

5. Fungsi f(x) dikatakan mencapai nilai minimum jika:

43

Contoh:

1. Diketahui fungsi . Tentukan interval funsi naik dan

interval fungsi turun.

Jawab:

a. Untuk yang fungsi naik

(:6)

maka

(x+ 4).(x - 1)= 0

X=-4 atau x = 1

.-6 .-5 .-4 .1 .2

Jika f(-5)= Jika

= 25 – 15 -4 = 4 +6 -4

= 6 > 0 berarti benar = 6 > 0 Benar

Maka penyelesaiannya: x < -4 atau x > 1.

b. untuk yang fungsi turun .

(:6)

maka

(x+ 4).(x - 1)= 0

X=-4 atau x = 1

.-6 .-5 .-4 .1 .2

Maka penyelesaiannya adalah -4< x < 1.

2. Tentukan nilai dan jenis stasioner fungsi

Jawab :

y =

mempunyai nilai stasioner minimum. Di titik (1, -

44

17. INTEGRAL

Integral merupakan operasi balikan atau invers dari deferensial atau turunan. Jika

turunan dari fungsi F(x) adalah , maka anti turunan atau integral dari fungsi f(x)

ditulis :

Karena turunan dari F(x) + c = F1(x) = f(x).

Rumus-rumus integral tak tentu :

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

1. Carilah integral dari f(x)= 3x2

Pembahasan :

+ c karena jika diturunkan hasilnya .

2. Hasil dari

Jawab :

3. Hasil dari

Jawab :

45

4. Integral dari

Jawab :

=...

=

5. Jika dan f(1) = 0 maka f(x)=........

Jawab :

C= jadi

B. LUAS DAERAH

Salah satu dari penerapan integral dalam untuk menentukan luas daerah yang

diarsir di bawah suatu grafik atau kurva.

1. Rumus Luas Daerah di Bawah kurva Terhadap Fungsi y.

2. Rumus Luas Daerah di Bawah kurvaTerhadap Fungsi x.

C. VOLUME BENDA PUTAR

Penerapan Integral dalam masalah kejuruan selain untuk mencari luas daerah di

bawah kurva adalah untuk mencari volume benda putar, yang diputar terhadap

sumbu x, atau sumbu y.

1. Rumus Volume Benda Putar Terhadap Sumbu x.

2. Rumus Volume Benda Putar Terhadap Sumbu y.

46

47