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A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

NUMA PERSPECTIVA METODOLÓGICA

Prof a.

Marta Burda Schastai1

Profa.

Ms. Sandra Mara Dias Pedroso2

Resumo

O presente artigo é resultado final de um estudo sobre “Resolução de Problemas numa Perspectiva

Metodológica”, realizado durante o Programa de Desenvolvimento Educacional do Estado do Paraná – PDE

2008/2009. Neste trabalho constam as concepções de resolução de problemas: como meta, processo ou

habilidade básica. Em seguida passa à discussão da Metodologia da resolução de Problemas e a Resolução de

Problemas numa Perspectiva Metodológica. Apresenta a descrição da implementação do Projeto de Intervenção:

Números, Operações e Conhecimentos em Ação, realizado com alunos da quinta série do segundo segmento do

Ensino Fundamental no Colégio Estadual Professora Linda Salamuni Bacila, Ponta Grossa – PR, utilizando o

material pedagógico elaborado no segundo semestre de 2008 com o título Cortina de Retalhos. O objetivo

principal deste trabalho foi efetivar a Resolução de Problemas numa Perspectiva Metodológica buscando

desenvolver o pensamento criativo e flexível de modo a despertar no aluno o interesse na busca de novos

instrumentos de pensamento para solucionar os problemas que lhe são propostos. No contexto de uma atividade

prática, a confecção de uma cortina de retalhos para a janela da sala de aula, e utilizando-se da problematização

efetivou-se as ações do projeto com resultados significativos para o ensino de matemática.

Palavras-chave: Problematização, Resolução, Problemas, Metodologia.

Abstract

The present article is a final result of a study on “Resolution of Problems in a Methodological Perspective”,

carried through during the Program of Educational Development of the State of Paraná - PDE 2008/2009. In this

work there are the conceptions of resolution of problems: as goal, process or basic skill. Next it passes to the

discussion of the Methodology of the resolution of Problems and the Resolution of Problems in a

Methodological Perspective. It presents the description of the implementation of the Project of Intervention:

Numbers, Operations and Knowledge in Action, carried out with pupils of the fifth series of the second segment

of the Basic Teaching in the State School Teacher Linda Salamuni Bacila, Ponta Grossa – PR, using the

elaborated pedagogical material in a second semester of 2008 with the heading Curtain of Patchwork. The main

aim of this work it was to accomplish the Resolution of Problems in a Methodological Perspective being

searched to develop the creative and flexible thought in order to awake in the pupil the interest in the search of

new instruments of thought to solve the problems that are considered to do it. In the context of a practical

activity, the production of a curtain of patchwork for the window of the classroom, and making use of the

“problematização “ the actions of the project were brought into effect with significant results for the mathematic

teaching.

Key Words: Problematização, Resolution, Problems, Methodology.

1 Licenciada em Matemática – UEPG. Especialista em Metodologia do Ensino Fundamental e Médio – IBPEX.

Especialista em Metodologia do Ensino de Artes – IBPEX. Professora da Rede Pública Estadual de Ensino –

SEED – PR. Professora da Rede Municipal de Ponta Grossa - PR

E-mail: martaschastai@seed.pr.gov.br 2 Licenciada em Ciências – Habilitação em Matemática – UEPG. Especialista em Ciências – UEPG. Mestre em

Educação - UEPG. Professora da Rede Pública Estadual de Ensino – SEED – PR. Professora da Rede Particular

de Ensino.

E-mail: sandrrinha@seed.pr.gov.br

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1.INTRODUÇÃO

Os resultados dos alunos nas avaliações externas promovidas pelo Ministério da

Educação como a Prova Brasil que acontece a cada dois anos nas séries finais do primeiro e

segundo segmentos do Ensino Fundamental, Sistema de Avaliação da Educação Básica

(SAEB) que acontece a cada dois anos nas séries finais do primeiro e segundo segmentos do

Ensino Fundamental e no final do Ensino Médio e nas Olimpíadas de Matemática que

acontecem anualmente, demonstram o déficit de aprendizagem por parte dos alunos no que se

refere especialmente a interpretação e resolução de situações problemas.

Embora a Resolução de Problemas venha sendo discutida nos últimos anos, não tem

desempenhado o seu verdadeiro papel no ensino, sendo utilizada como forma de aplicação de

conhecimentos adquiridos anteriormente pelos alunos e não como forma de construção do

conhecimento matemático. Uma das práticas mais freqüentes consiste em ensinar um conceito

depois apresentar um problema para empregar o que lhes foi ensinado, dessa forma, para a

maioria dos alunos, resolver problemas significa fazer cálculos com os números em um texto.

Como conseqüência, o saber matemático para o aluno se apresenta como um conjunto de

conceitos e definições, afastando-se muito, da matemática construída pela humanidade,

dotada de significados e, estreitamente, ligada às necessidades de vida.

Essas práticas esvaziam e empobrecem o raciocínio lógico e criativo do aluno,

bloqueando e até mesmo impedindo o desenvolvimento de atitudes inteligentes e necessárias,

como: argumentar, elaborar estratégias para solução de problemas, reconhecer conceitos

matemáticos, entre outras. É fundamental que no ensino da matemática não se parta de

modelos, demonstrações ou regras, pois tais procedimentos limitam todo o conhecimento que

o aluno pode produzir e sua capacidade de pensar, refletir e desenvolver um discurso próprio.

Portanto, em vez de ditarmos regras e modelos a serem seguidos, devemos criar em sala de

aula, situações de aprendizagem em que os alunos cheguem a formular e entender estas

regras.

Diante do apresentado propôs-se o Projeto Números, Operações e Conhecimentos em

Ação com o objetivo de efetivar a Resolução de Problemas como perspectiva metodológica e

não somente metodologia. O termo metodologia foi trabalhado na década de 90, como

conjunto de regras a serem seguidas, já numa Perspectiva Metodológica, ultrapassa a

metodologia e leva em consideração toda uma visão de ensino e aprendizagem, num sentido

sócio interacionista e não como uma transferência de conhecimento para o aluno em um

discurso “bancário”, transferidor do perfil do objeto ou do conteúdo (FREIRE, 1996, p.26).

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Portanto, a realização do trabalho se deu a partir da proposta de intervenção, como

parte do Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE, da Secretaria de Estado da

Educação do Paraná. A referida proposta foi desenvolvida no Colégio Estadual Professora

Linda Salamuni Bacila – Ensino Fundamental e Médio, em Ponta Grossa – PR, durante o ano

letivo de 2009, com alunos da 5ª série do período noturno, utilizando o Material Didático:

Caderno Pedagógico “Cortina de Retalhos”, confeccionado em 2008, que subsidiou este

trabalho.

2. RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

2.1 Apresentando concepções

O tema Resolução de Problemas tem sido discutido e analisado nas últimas décadas

por professores e pesquisadores. A análise e discussão tiveram início a partir da década de 80,

com a National Council of Teacher of Mathematics (NCTM), reconhecida associação norte-

americana de professores de matemática que dedicou a publicação anual à Resolução de

Problemas.

Para Branca (1997), a publicação do NCTM, coloca-nos a seguinte questão: o que é

Resolução de Problemas? Atualmente, esse tema tão difundido, e até mesmo desgastado por

alguns, adquiriu uma mistura de várias concepções ao longo do tempo, surgindo desde visões

simplistas até sofisticadas teorias, as quais têm gerado diferentes orientações para o ensino, a

organização dos currículos, a elaboração de textos e manuais e as orientações didáticas para

sua abordagem.

Portanto, é importante a discussão das concepções de resolução de problemas para que

possamos ter um olhar mais crítico e entender melhor as escolhas e orientações propostas no

Projeto Resolução de Problemas numa Perspectiva Metodológica. Branca (1980) em seu

artigo, coloca a Resolução de problemas como meta, processo ou habilidade básica.

Na primeira concepção, anterior ao movimento da Educação Matemática, a resolução

de problemas é considerada uma meta. O ensino estrutura-se primeiro em preparar o terreno

para que depois o aluno possa atuar, ou seja, os currículos reforçam a necessidade do aluno

possuir todas as informações e conceitos envolvidos nas situações propostas para depois

estruturar o processo de resolução. A consideração importante é que aprender a resolver

problemas é a razão principal para estudar matemática.

A segunda concepção enfoca a Resolução de Problemas como um processo,

valorizando os métodos, os procedimentos e as estratégias que os alunos usam na resolução

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das situações propostas. Esse movimento nasce com os trabalhos de Polya (1977), onde surge

a classificação dos tipos de problemas, tipos de estratégias de resolução e esquemas de passos

a serem seguidos para melhor resolver problemas. O ensino é centrado em ensinar a resolver

problemas o que, como conseqüência resultaria em aprender matemática.

Como habilidade básica, a Resolução de Problemas deve ser entendida como uma

competência mínima para que o indivíduo possa inserir-se no mundo do conhecimento e do

trabalho. A questão principal é o que essencialmente precisa ser ensinado em relação à

Resolução de Problemas, levando-se em consideração o conteúdo específico, os diversos tipos

de problemas e os métodos de resolução de problemas para que se alcance a aprendizagem

matemática.

Percebe-se que as três concepções descritas não se excluem, mas apresentam

diferentes momentos históricos e conseqüentes reflexos nos currículos, nos materiais

didáticos e nas orientações para o ensino.

Nos anos 90, a Resolução de Problemas passa a ter outra dimensão, sendo descrita

como uma metodologia para o ensino de matemática, passando a ser um conjunto de

estratégias para o ensino e o desenvolvimento da aprendizagem nesta área do conhecimento.

Para Diniz (2001, p. 87).

Essa concepção de Resolução de Problemas pode ser vista através de indicações de

natureza puramente metodológica, como usar um problema detonador ou desafio

que possam desencadear o ensino e a aprendizagem de conhecimentos matemáticos,

trabalhar com problemas abertos, usar a problematização ou a formulação de

problemas em projetos, etc.

Partindo da influência de todas as concepções e da pesquisa em ação, na última

década, Kátia Stocco Smole e Maria Ignez Diniz, junto a professores e alunos, propõem a

Resolução de Problemas numa Perspectiva Metodológica, onde termo “perspectiva” está

sendo utilizado no sentido de “uma certa forma de ver” ou “certo ponto de vista” com o

objetivo de ampliar o conceito de Resolução de problemas. A concepção de Resolução de

problemas numa Perspectiva Metodológica corresponde a uma forma de organizar o ensino

que envolve mais que aspecto metodológico, inclui toda uma postura frente ao que é ensinar e

conseqüentemente ao que é aprender.

Analisar a Resolução de Problemas como uma perspectiva metodológica a serviço do ensino e

da aprendizagem de matemática amplia a visão puramente metodológica e derruba a questão

da grande dificuldade que alunos e professores enfrentam quando se propõe a Resolução de

Problemas nas aulas de matemática. A utilização de recursos da comunicação pode resolver

ou fazer com que não existam essas dificuldades. (DINIZ,2001, p.87)

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Assim, para esta autora a Resolução de Problemas numa Perspectiva Metodológica

baseia-se na proposição e enfrentamento do que chamamos de situação problema, definindo

problema como situação sem solução imediata e que exige que o aluno combine os

conhecimentos adquiridos decidindo assim pela forma de usá-los em busca da solução. Dessa

forma, rompe com a visão limitada de problemas que podem ser chamados de convencionais

e que são os tradicionalmente propostos aos alunos. Problemas convencionais apresentam as

seguintes características:

a) são apresentados por meio de frases, diagramas ou parágrafos curtos;

b) vem sempre após a apresentação de determinado conteúdo;

c) todos os dados de que o resolvedor precisa aparecem explicitamente no texto;

d) podem ser resolvidos pela aplicação direta de um ou mais algoritmos;

e) têm como tarefa básica em sua resolução a identificação de que operações são apropriadas

para mostrar a solução e a transformação das informações do problema em linguagem

matemática;

f) é ponto fundamental a solução numericamente correta, a qual sempre existe e é única.

(DINIZ,2001, p.87)

A característica principal da Resolução de Problemas numa Perspectiva Metodológica

é considerar como problema toda situação que pode ser problematizada. Essas situações

podem ser jogos, atividades planejadas como brincadeiras, busca e seleção de informações,

problemas não convencionais e até mesmo os problemas convencionais desde que permitam o

processo investigativo.

A segunda característica é complementar a Resolução de problemas tradicional que

está centrada em duas ações: propor situações problema e resolver situações propostas, com

mais duas que são questionar as respostas obtidas e questionar a própria situação inicial.

Portanto, para resolver uma situação problema não é suficiente a compreensão do que

é exigido e a aplicação de técnicas ou fórmulas adequadas para obter a resposta correta, é

necessária uma atitude de “investigação científica” em relação ao que é proposto. A resposta

correta é tão importante quanto o processo de resolução, permitindo o aparecimento de

diferentes soluções, comparando-as e pedindo que os alunos expressem como chegaram ao

resultado.

Ao questionar as soluções e a situação problema em si, exigem muitas vezes uma volta

à atividade realizada, é como se cada nova pergunta exigisse um novo pensar sobre toda a

situação e até mesmo sobre o que o próprio aluno fez, incluindo assim o processo

metacognitivo, ou seja, pensar sobre o que pensou ou fez. Este pensar exige uma forma mais

elaborada de raciocínio e está ligado à idéia de que aprender depende da possibilidade de se

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estabelecer o maior número possível de relações entre o que se sabe e o que se está

aprendendo.

A Resolução de Problemas numa Perspectiva Metodológica apresenta uma postura de

inconformismo frente aos obstáculos e ao que foi estabelecido nos enunciados, é um exercício

de desenvolvimento do senso crítico e da criatividade, que são objetivos do ensino da

Matemática.

Dessa forma atitudes naturais do aluno que não encontra espaço dentro do modelo

tradicional de ensino, como é o caso da curiosidade, da investigação e da confiança em suas

próprias idéias, passam a ser valorizadas dentro do processo investigativo.

Na prática de Resolução de Problemas, o planejamento das atividades e o

encaminhamento dos questionamentos são essenciais, pois não há separação entre conteúdo e

metodologia. Sendo assim, não há método de ensino sem que seja trabalhado um conteúdo e

todo conteúdo está intimamente ligado a uma ou mais maneiras adequadas de abordagem.

As problematizações devem ter como objetivo alcançar um conteúdo e esse conteúdo

deve ser aprendido, sendo considerado aqui, conteúdo como todo conhecimento

historicamente produzido, incluindo as habilidades necessárias para garantir a formação de

pessoas independentes, confiantes em seu saber e capazes de entender e usar os

procedimentos e regras próprias da área do conhecimento proporcionando a formação de um

indivíduo por inteiro.

Ao assumir a Resolução de Problemas numa Perspectiva Metodológica percebe-se a

íntima relação entre a aprendizagem de conteúdos e o recurso à comunicação que torna-se

essencial, pois é o aluno falando, escrevendo ou desenhando, mostra ou fornece indícios de

que habilidades ou atitudes ele está desenvolvendo e que conceitos apresenta dificuldades,

assim os recursos da comunicação são valiosos para interferir nas dificuldades encontradas ou

para permitir que o aluno avance mais, propondo-se outras perguntas ou mudando-se a forma

de abordagem.

Para Diniz, nessa perspectiva, não importa se a situação a ser resolvida é aplicada, se

vai ao encontro das necessidades ou dos interesses do aluno, se é lúdica ou aberta, pois a

motivação do aluno está em sua percepção de estar se aprimorando ativamente dos

conhecimentos, ou seja, a alegria de conquistar o saber, de participar e aprender idéias e

procedimentos que geram a motivação em aprender e continuar aprendendo, conforme

confirma Butts (apud Krulik, 1997, p. 32) : “Para mim, e suspeito que o mesmo valha para

muitas outras pessoas, o verdadeiro prazer em estudar matemática é o sentimento de alegria

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que vem da resolução de um problema, quanto mais difícil o problema, maior a satisfação.”

No entanto, para Polya “(...) ninguém pode ensinar o que não aprendeu. Nenhum professor

pode comunicar a experiência da descoberta, se ele próprio não a adquiriu (...)“. Nenhum

professor pode comunicar a experiência da descoberta, se ele próprio não a adquiriu “...

(1997, p.3).

Nessa perspectiva é relevante a reflexão sobre os diferentes tipos de problemas que

podem ser propostos aos alunos, destacando suas características e funções no ensino e na

aprendizagem da matemática.

Dante (2005, p.16) classifica os problemas em vários tipos: Exercício de

reconhecimento, Exercícios de algoritmos, Problemas-padrão, Problemas-processo ou

heurísticos, Problemas de aplicação, Problemas de quebra-cabeça e Problemas extravagantes.

Os exercícios de reconhecimento têm como objetivo fazer com que o aluno reconheça,

identifique ou lembre um conceito, um fato específico, uma definição, uma propriedade.

Como nos exemplos: Quais são os 7 primeiros números primos? Uma centena é equivalente

a quantas dezenas?

Os exercícios de algoritmos são aqueles que podem ser resolvidos passo a passo.

Geralmente, são exercícios que pedem a execução dos algoritmos da adição, subtração,

multiplicação e divisão de números naturais, e tem como objetivo treinar a habilidade em

executar um algoritmo e reforçar conhecimentos anteriores, como por exemplo, Calcule o

valor de (3 + 3) x 2; Resolva a operação 148 +15.

Problemas-padrão envolvem em sua resolução a aplicação direta de um ou mais algoritmos

anteriormente aprendidos e não exige qualquer estratégia. A solução do problema já está

contida no próprio enunciado, e a tarefa básica é transformar a linguagem usual em linguagem

matemática, identificando as operações ou algoritmos necessários para resolvê-lo.

O objetivo desses problemas é recordar e fixar os fatos básicos através dos algoritmos

das quatro operações fundamentais, além de reforçar o vínculo existente entre essas operações

e seu emprego nas situações do dia-a-dia.

São problemas-padrão simples: Numa classe há 17 meninos e 22 meninas. Quantos

alunos há na classe? E problemas-padrão compostos: Para confeccionar a cortina dispomos de

37 retalhos na cor amarela, 65 na cor cinza, 104 na cor branca, 12 na cor verde. Sabendo que

esses retalhos serão utilizados para confeccionar duas cortinas do mesmo tamanho, quantos

retalhos serão utilizados em cada cortina?

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Já os problemas-processo ou heurísticos são problemas cuja solução envolve

operações que não estão contidas no enunciado. Em geral, não podem ser traduzidos

diretamente para a linguagem matemática, nem resolvidos pela aplicação automática de

algoritmos, pois exigem do aluno um tempo para pensar e arquitetar um plano de ação, uma

estratégia que poderá levá-lo à solução.

Os problemas-processo permitem o despertar da curiosidade do aluno, possibilitando o

desenvolvimento da criatividade, iniciativa e espírito explorador. E, principalmente,

favorecem o desenvolvimento de estratégias e procedimentos para resolver situações-

problema, o que, em muitos casos, é mais importante que encontrar a resposta correta. Por

exemplo: Numa escola têm 6 professores. Se cada um trocar um aperto de mão com todos os

outros, quantos apertos de mão teremos ao todo?

Problemas de aplicação são aqueles que retratam situações reais do dia-a-dia e que

exigem o uso da Matemática para serem resolvidos. São também chamados de situações-

problema.

Através de conceitos, técnicas e procedimentos matemáticos procura-se problematizar

uma situação real, organizando os dados em tabelas, traçando gráficos, fazendo operações,

etc. Em geral, são problemas que exigem pesquisa e levantamento de dados. Cabe nesta

situação o relatório: Para fazer o mapa de merenda, o diretor da escola precisa fazer o controle

de estoque. Vamos ajudá-lo?

Podemos levantar as seguintes questões:

a) Quantos alunos comem a merenda da escola por dia? E por mês?

b) Quais são os alimentos que a escola recebe?

c) Qual o preço atual, por quilo, de cada um desses alimentos?

d) Qual a opção mais vantajosa adquirir os alimentos com embalagens de 1 kg, ou

embalagens de 5 kg? Existe diferença de preços? Qual?

e) Como é organizado o cardápio da escola? Qual é o “prato preferido” dos alunos?

f) Para fazer a merenda, qual é a quantidade de alimento necessário?

g) Quantos quilos de arroz, macarrão, tomate, cebola, etc a escola recebe por mês?

h) Como é a distribuição da merenda escolar?

i) Quanto se gasta de gás?

j) Como se faz o controle da merenda? É feita uma prestação de contas?

k) Quem atende a validade dos produtos? Quando está vencido, qual é o destino dado

para os produtos?

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Os problemas de quebra-cabeça são problemas que envolvem e desafiam grande parte

dos alunos. Geralmente constituem a chamada Matemática recreativa, e sua solução depende,

quase sempre, de sorte ou da facilidade em perceber algum truque, que é chave da solução.

Qual é a metade de dois mais dois?

Os problemas extravagantes são problemas irreais que despertam o interesse

justamente por não estarem relacionados a situações reais e do dia a dia: “Um casal de polvos

e seus três filhos resolveram colocar pés-de-pato para nadar. Quantos pares de pés-de-pato

precisaram comprar?”

Na obra de Diniz (2001) encontramos outros tipos de problemas: os problemas sem

solução, problemas com mais de uma solução, problemas de lógica e problemas com excesso

de dados.

Os problemas sem solução são aqueles que rompem com a concepção de que os dados

apresentados devem ser usados na sua resolução e de que todo problema tem solução,

ajudando o aluno a desenvolver a habilidade de aprender a duvidar, a qual faz parte do

pensamento crítico. “Um menino possui 3 carrinhos com 4 rodas em cada um. Qual a idade

do menino?”

Os problemas com mais de uma solução tendem romper a crença de que todo

problema tem uma única resposta, bem como a crença de que há sempre uma maneira certa de

resolvê-lo e que, mesmo quando há várias soluções, uma delas é correta. Nem todos os

problemas têm solução e, quanto têm, ela pode não ser única.

O trabalho com problemas com duas ou mais soluções faz com que o aluno perceba

que resolvê-los é um processo de investigação do qual ele participa como ser pensante e

produtor de seu próprio conhecimento. Observemos este exemplo: “Eu e você temos juntos 6

reais. Quanto dinheiro eu tenho?

Os problemas de lógica são problemas que fornecem uma proposta de resolução, cuja

base não é numérica, exigindo raciocínio dedutivo e que propiciando uma experiência rica

para o desenvolvimento de operações de pensamento como previsão e checagem,

levantamento de hipóteses, busca de suposições, análise e classificação.

O método de tentativa e erro, o uso de tabelas, diagramas e listas são estratégias

importantes para a resolução de problemas de lógica. Além da exigência de usar uma dessas

estratégias não-convencionais para sua resolução, os problemas de lógica estimulam mais a

análise dos dados e favorecem a leitura e interpretação do texto e, por serem motivadores,

atenuam a pressão para obter-se a resposta correta imediatamente.

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Problemas com excesso de dados são problemas em que nem todas as informações

disponíveis no texto são usadas em sua resolução.

Trabalhar com eles rompe com a crença de que um problema não pode permitir

dúvidas e de que todos os dados do texto são necessários para sua resolução. Além disso,

evidencia ao aluno a importância de ler, fazendo com que aprenda a selecionar dados

relevantes para a resolução de um problema.

Esse tipo de problema aproxima-se de situações mais realistas que o aluno deverá

enfrentar em sua vida, pois, na maioria das vezes, os problemas que se apresentam no

cotidiano não são propostos de forma objetiva e concisa. Nesses casos, o aluno terá pela

frente, em geral, uma situação confusa, cheia de informações que devem ser identificadas e

algumas descartadas. “Caio tinha 2 dúzias de bolinas de gude. No final do jogo com Júnior,

Caio perdeu um quarto de suas bolinhas e Júnior ficou com o triplo de bolinhas de Caio.

Quantas bolinhas Júnior tinha no início do jogo?”

Percebemos que existem vários tipos de problemas, uns são mais favoráveis à

problematização que outros; no entanto, conhecendo-se o potencial de cada atividade ou de

cada problema proposto é possível encaminhar questionamentos de acordo com os objetivos

da aula e o envolvimento do aluno, transformando-os em situações problematizadoras, mesmo

os problemas convencionais.

Diniz (2001, p.100) exemplifica como é possível trabalhar numa perspectiva

metodológica partindo de um problema retirado de um livro tradicional:

Lafaiete comprou duas coleções de livros. Cada coleção contém 36 livros, e Lafaiete quer

distribuir esses livros nas quatro prateleiras de sua estante. Quantos livros ele deve colocar em

cada estante?

O processo de investigação pode iniciar após os alunos terem resolvido o problema de uma ou

mais das seguintes formas:

a) Podemos propor a alteração dos dados do problema, questionando:

- Como ficaria o problema se fossem 25 livros em cada coleção comprada?

- E se a estante tivesse cinco prateleiras em vez de quatro?

b) Esse problema contém informações suficientes para que sejam propostas novas perguntas:

- Quantos livros Lafaiete comprou?

- Quantos livros ficaram nas duas primeiras prateleiras?

Cada alteração dos dados ou da pergunta exige que o aluno reflita sobre as mudanças

necessárias para a resolução, compreendendo a relação existente entre a utilização desta ou

daquela operação e o texto do problema

c) Outro desafio está em propor que os alunos descubram outras maneiras de resolver o

problema, perguntando:

- Como resolver o problema ser fazer contas? É possível fazer um desenho?

- Como resolver o problema usando apenas adição e subtração?

Buscar outras maneiras de resolver um problema permite que o aluno possa investigar outras

relações aritméticas e formas de registro.

d) É interessante que os alunos possam formular e resolver suas próprias questões. Por isso,

podemos propor que inventem um problema a partir deste, solicitando:

- Invente um problema com os mesmos dados (mesmos números, Lafaiete, prateleiras).

- Invente um problema com a mesma pergunta.

- Invente um problema com as mesmas contas (adição e divisão)

- Invente um problema com a mesma história, mas que seja resolvido através de uma adição e

de uma subtração.

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Formular problemas exige do aluno uma volta ao problema resolvido o que faz

observar novamente os dados, a história e as relações envolvidas, a pergunta e sua relação

com a resposta e as operações feitas. No processo de formular problemas, o aluno participa

ativamente de um fazer em matemática que desenvolve sua linguagem, garante interesse e

confiança em seu próprio modo de pensar, assim aproximando-se a língua materna e a

matemática, permitem o desenvolvimento da linguagem específica (CHICA apud DINIZ,

2001, p.151).

As primeiras propostas de formulação de problemas devem ser planejadas com muito

cuidado, uma vez que os alunos demonstram dificuldade em realizar tal tarefa por estarem

acostumados somente resolver problemas. Os alunos devem ter contato com diferentes tipos

de problemas para resolver antes de propor que criem seus próprios problemas. Podemos

propor aos alunos que a partir de um início de problema dado, de uma tabela ou de uma

figura, possam criar uma pergunta para ser respondida através da situação inicial.

É a pergunta que evidencia a existência de um problema. Ela direciona o raciocínio a

ser realizado e a operação necessária, buscando uma estratégia a ser elaborada e a tomada de

decisão.

Ao propor uma pergunta a partir de uma situação inicial que pode ser um enunciado,

uma tabela ou uma figura, evidenciamos para a criança o quanto esta é importante para um

problema matemático e as pistas para que ela pode fornecer para a resolução. Exemplificando

temos:

a) André tem 12 figurinhas e eu tenho o triplo de figurinhas que ele tem...

Agora, elabore uma pergunta.

b) Observe a tabela:

Lanches

Cahcorro-quente.........................R$ 1,00

Bauru..........................................R$ 1,50

Hambúrguer................................R$ 2,50

Suco de laranja...........................R$ 1,50

Refrigerantes.............................. R$ 1,50

Sorvete (2 bolas)........................ R$ 1,00

A pergunta é com você, vamos lá ....

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c) Analise a figura abaixo e elabore uma pergunta que pode ser respondida através da

observação.

Pode-se também propor que a partir de uma pergunta o aluno formule um problema:

Quantos dias o mês de março tem a mais que o mês de fevereiro?

O mesmo pode ocorrer a partir de uma palavra. A palavra pode estimular no aluno um

processo imaginativo, uma situação de sua vida cotidiana que ele interpretará e transformará

em um enunciado de problema. É preciso propor diferentes tipos de palavras, aquelas que

tenham maior relação com assuntos matemáticos até outras de apelo à fantasia e à

imaginação.

Quando utilizamos palavras específicas da linguagem matemática, como adição,

produto, dobro, etc, o objetivo é ajudar o aluno a familiarizar-se com termos ou palavras que

aparecem em problemas e que, muitas vezes, possuem significados diferentes dos usados na

matemática, e quando utilizamos palavras de caráter geral, com apelo a fantasia, à

imaginação, ao absurdo, como Cinderela e bruxa despertamos nos alunos o desejo de criar,

favorecendo a autonomia e desenvolvendo a criatividade.

Formular problemas a partir de uma operação é uma atividade significativa. Podemos

realizar essa proposta de duas maneiras diferentes: dando apenas o nome da operação ou a

própria operação, que não precisa ser apenas uma, podem ser várias ou até mesmo expressões

numéricas.

Quando se propõe esse tipo de atividade, a ênfase está em verificar se os alunos

compreendem as idéias matemáticas relacionadas às operações, por exemplo, se a operação

dada é uma adição, o texto do problema deve contemplar idéias de juntar ou de acrescentar

quantidades.

Outra estratégia é formular problemas a partir de um tema. Considera-se por tema o

assunto em que os alunos estejam envolvidos, e que possam utilizar seus conhecimentos na

produção do enunciado do problema. Dessa forma, temos a possibilidade de trabalhar com a

interdisciplinaridade, sendo o tema abordado pelos alunos de vários aspectos e pontos de

vista, como o jogo de futebol.

Formular problemas com determinado tipo de texto é uma forma interessante de

aproximar a produção de problemas da língua materna é propor a criação de problemas que

tenham uma estrutura textual, como poema, charada, conto ou rima. “O que é? O que é?

Tem 4 triângulos e 5 faces. É um sólido geométrico e se parece com uma construção egípcia.

Tem 5 vértices, 8 arestas e um quadrado como base?”

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Em qualquer uma das propostas, os alunos juntamente com o professor deverão

verificar se os problemas estão adequados e de boa qualidade, fazendo-se a reestruturação

quando necessário nos dados e na escrita e tomando cuidado para que o “erro” na sala de aula

seja considerado como uma etapa no processo de aprendizagem.

Para valorizar os problemas elaborados pelos alunos podemos propor o sorteio de

alguns problemas para serem resolvidos por todos na classe, trocar problemas entre os alunos

para que um resolva o do outro; montar uma folha com problemas formulados para resolver

durante a semana ou mês; selecionar alguns problemas formulados e fazer correio entre

classes da mesma série, fazer um livro de problemas da classe para ser impresso para todos;

fazer um mural com os problemas mais interessantes escolhidos pela classe.

Stancanelli (apud Smolle, p.119), sugere que é importante a organização de uma

problemoteca, onde será colocada uma coleção de problemas em uma caixa ou fichário, com

fichas numeradas que contêm um problema e que podem trazer a resposta no seu verso,

possibilitando autocorreção e favorecendo o trabalho independente.

Para que os alunos sintam-se desafiados a resolvê-los os problemas devem ser

variados e não-convencionais. A coleção deve ser avaliada mensalmente, excluindo-se

problemas muito difíceis ou fáceis demais que não motivam os alunos. Devemos incluir

alguns problemas novos, inclusive os elaborados pelos alunos.

Um ótimo recurso para ser usado na sala de aula é a problemoteca. Esta deve ficar à

disposição dos alunos que poderão procurar problemas e resolver, ou utilizar os que o

professor indicar, anotando no caderno o número da ficha, os dados do enunciado e a

resolução.

Outra intervenção importante para que os alunos avancem na produção de problemas é

criar uma intenção real e um destinatário para as produções. A qualidade de produção está

relacionada com a sua finalidade, portanto, o contexto de produção e o destino das mesmas

são fatores determinantes para elaboração de um bom texto, fazendo com que o aluno se

preocupe com responsabilidade de se fazer entendido.

Entretanto, não devemos trabalhar os diversos tipos de problemas de uma só vez. A

resolução de problemas e a proposta de formular problemas devem estar presentes ao longo

do ano letivo de maneira diversificada e pertinente. Cada momento deve ser de investigação,

descoberta, prazer e aprendizagem.

Para concretizar esta proposta colocamos a seguir o caminho metodológico adotado

para o desenvolvimento da proposta.

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3. ENCAMINHAMENTO METODOLÓGICO

3.1. Cortina de retalhos

O início do trabalho com a Resolução de Problemas numa Perspectiva Metodológica,

deu-se com a apresentação do Projeto confecção da Cortina de Retalhos para a equipe gestora,

professores, funcionários, pais e alunos, sendo disponibilizado o Caderno Pedagógico

“Cortina de Retalhos” para todos os alunos da 5ª série do período noturno.

O primeiro desafio proposto para os alunos foi o de encontrar as dimensões da janela,

ou seja, o comprimento e altura da janela, utilizando apenas as unidades arbitrárias de

medidas de comprimento como passo, palmo, pé e polegada. As primeiras questões

levantadas pelos alunos foram: Quem vai fazer as medições? Como medir a altura da janela

utilizando o passo ou pé? Podemos medir com um barbante e depois medir o barbante com o

passo e com o pé? Medir o comprimento da janela utilizando a polegada não dá porque dói o

dedo, como se faz essa medição? É melhor utilizar palmo para o comprimento e altura da

janela? Cada um tem um tamanho diferente, medir assim não dá certo temos que usar o metro

“né”? Como vamos fazer a cortina? E o tecido? Quando vamos iniciar a costura? Temos que

utilizar todos os retalhos?

O problema surgiu de uma situação real, não com uma única pergunta e um

enunciado bem elaborado onde não se faz necessário pensar sobre o que está sendo

solicitado, apenas efetuando uma operação. Portanto, percebeu-se que problematizar não é

apenas inserir palavras que se referem ao contexto.

Diante da situação proposta, os alunos estavam inquietos e preocupados de como seria

o processo para a confecção da cortina e como não a intenção não era apenas dar a respostas

aos questionamentos, iniciou-se o trabalho fazendo a leitura no Caderno Cortina de Retalhos

que se refere ao histórico, realizando as atividades propostas, reconstruindo o processo

histórico das medidas para posteriormente chegarem as conclusões quanto a definição de

medir, as medidas arbitrárias, unidades fundamentais de medida, sistema métrico decimal,

múltiplos e submúltiplos.

Para resolver o desafio inicial foi necessária uma série de investigações, possibilitando

o planejamento, organização de dados, elaboração de estratégias, realização de conjecturas

com conhecimentos anteriormente adquiridos.

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Posteriormente os alunos utilizaram a trena e o metro de costureira para obter as

dimensões da janela e os respectivos registros, realizando também uma pesquisa junto aos

familiares mães, tias, avós com experiência em costura para saber “quanto a mais” do

tamanho da janela deveria ser a cortina.

Após discussões, foi tomada a decisão quanto ao tamanho da cortina ideal para a

janela estabelecendo-se 1,5 metros de comprimento e 2,5 m de altura.

O segundo desafio: Quantos retalhos quadrados com 20 cm de lado são necessários

para a confecção da cortina? Desse questionamento surgiram várias estratégias: representar as

medidas no chão e recobrir com os retalhos; sobrepor sobre a janela os retalhos em linha

contando o número total de linhas necessárias para recobrir a superfície; usando a régua e

medindo de 20 em 20 cm representando os quadrados na malha quadriculada e finalmente

com auxílio da calculadora pegando as medidas ideais para o tamanho da cortina em cm e

dividindo pela medida do lado do quadrado (20 cm), obtendo-se quantidades de retalhos não

inteiras. Nesse momento, realizou-se a análise dos processos de resolução do problema

estabelecido, a possibilidade do arredondamento dos números decimais obtidos e a quantidade

de retalhos que seriam necessários no comprimento e altura da cortina, ficando assim definido

8 retalhos no comprimento e 13 retalhos na altura.

O terceiro desafio: Como distribuir os retalhos quadrados de forma a obter uma

estampa bonita?

As quantidades de retalhos disponíveis foram: 19 retalhos na cor amarela, 05 retalhos

na cor roxa, 14 retalhos na cor laranja, 23 retalhos na cor vermelha, 12 retalhos na cor azul, 14

retalhos na cor cinza, 16 retalhos na cor verde escuro, 40 retalhos na cor branca e 28 retalhos

na cor verde claro.

Para a elaboração das estampas os alunos utilizaram lápis de cor e malha quadriculada

(8 quadradinhos de comprimento x 13 quadradinhos na altura) respeitando a quantidade de

retalhos de acordo com as cores disponíveis.

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Figura 1. Estampas projetadas para a cortina de acordo com o número de retalhos e cores disponíveis.

Nesta etapa, percebe-se que alguns alunos não conseguem associar duas ordens:

utilizar os retalhos disponíveis em cada cor e a forma como os retalhos deveriam ser

distribuídos de modo a obter uma estampa bonita, formando figuras simétricas, quadrados,

retângulos, objetos da natureza entre outros, sendo uma situação bastante desafiadora, com a

efetiva participação de todos e com o cuidado para satisfazer os dois critérios estabelecidos.

Nota-se que o erro não é considerado como uma punição, os alunos se ajudam entre si

num clima de cooperação e análise do trabalho do outro, sugerindo e propondo alterações.

Atitudes essas, que em situações de aulas expositivas não acontecem. Para a seleção da

estampa a ser confeccionada percebe-se o respeito em relação aos trabalhos dos colegas e a

maturidade em aceitar o trabalho do outro.

O quarto desafio: Como realizar a costura da Cortina de Retalhos?

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Os encontros para a execução da Costura foram planejados junto com a equipe

gestora, contando também com a participação de professores da turma. Organizando-se o

material necessário: agulhas, fio, tesouras, espaço físico e um ambiente acolhedor. No

primeiro encontro, definiram-se as duplas de trabalho distribuindo a tarefa, cada dupla ficaria

com uma para ser alinhavadas.

Registrou-se no quadro o nome da dupla, qual a tira de responsabilidade de cada dupla

e a sequência de cores de cada tira. Em seguida orientou-se quanto aos procedimentos:

colocar o fio na agulha, dar o nó na ponta do fio, como costurar, cuidado com o lado direito e

lado avesso e como se faz para arrematar a costura.

Percebeu-se que vários alunos já tinham contato com a costura anteriormente, o que

chamou a atenção é que eram os meninos que haviam participado de programas em

Instituições não governamentais de ação social. Todos alinhavaram com muita dedicação e

empenho, refazendo algumas vezes, quando por distração emendavam quadrados de tecidos

sem obedecer a ordem das cores, riam e recomeçavam..

Na medida em que os problemas iam aparecendo, discutiram-se as possibilidades de

resolução, e optava-se pela proposta que melhor solucionasse cada situação problema. Uma

dessas situações foi quando o retalho era um pouco maior ou menor que os demais, como

iniciar a costura? Alinhar em uma ponta ou costurar no meio deixando um intervalo igual nas

duas extremidades? O que isso implicaria depois? Como fazer para costurar as tiras com essas

diferenças?

Após a montagem (alinhavo) da cortina de retalhos foi passada uma costura a

máquina, pois acreditamos que ela deve ser utilizada por muito tempo, portanto, será lavada

muitas vezes, descosturar não seria uma boa opção. E o arremate, como ficou? Para o

arremate optou-se por costurar uma tira de tecido em torno da cortina, no entanto foram

levantadas questões como: Se fossemos para comprar um acabamento quantos metros

precisaríamos? Qual é o valor do metro? Todos os arremates são do mesmo preço? Qual o

critério que utilizaríamos para escolher? Qual seria o custo total? Agora a Cortina já está

pronta? O que falta? Temos trilhos ou varões para colocá-la? Quantos ganchinhos são

necessários? E os terminais para que servem? Questões como essas, indicam a viabilização

da Resolução de Problemas numa Perspectiva Metodológica através do Projeto Números,

Operações e Conhecimentos em Ação.

Ressalta-se a importância de momentos diferenciados, fora do contexto de sala de

aula, com um período de tempo bem maior que o tempo de uma ou duas aulas geminadas,

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para uma melhor interação professor-aluno, aluno-aluno, professor-professor, professor-

equipe gestora, aluno-equipe gestora, aluno-professor-equipe gestora, estabelecendo um

clima educacional de respeito mútuo e de interações de ultrapassam os conhecimentos

matemáticos,

Após a confecção da cortina, o trabalho com os conteúdos em sala de aula continua

sendo problematizado valorizando-se as atividades na malha quadriculada e a conceituação.

Os conteúdos trabalhados a partir da construção da cortina de Retalhos foram: medidas

de comprimento, superfície e volume, figuras geométricas planas e espaciais, polígonos,

simetria, frações, potenciação e as 4 operações fundamentais e suas respectivas idéias. Outro

recurso utilizado foi a problemoteca.

3.2 Problemoteca

Organizou-se a problemoteca em um fichário de acrílico, contendo problemas

convencionais e não convencionais em fichas, ordenados de 1 a 30, e suas respectivas

respostas organizadas em outras fichas também ordenadas. Inicialmente cada aluno escolhia

um problema semanalmente para ser, e depois realizava a conferência com a resolução que

estava contida em outra ficha. Na terceira semana, percebemos que o resultado não estava

sendo satisfatório, pois na ficha resposta continha uma única resposta, um único jeito de

resolver, sem questionamentos, então optou-se em utilizar a problemoteca fazendo o sorteio

de um único problema para ser resolvido por todos, ora em grupos, duplas, ora

individualmente e depois a socialização das respostas no coletivo.

No decorrer do semestre percebemos que, os alunos, estão desenvolvendo o hábito da

leitura dos enunciados, buscando a compreensão do que está sendo solicitado. Inicialmente

era comum ouvir a expressão “não entendi nada, o que devo fazer”, agora, a expressão foi

substituída por “dá para resolver desse jeito, porque .....” o que significa um grande avanço,

pois os alunos tem demonstrado iniciativa, argumentação e estratégias de resolução de

problemas.

4. AVALIAÇÃO

Na avaliação do processo de efetivação da resolução de problemas numa perspectiva

metodológica com o Projeto Números, Operações e Conhecimentos em Ação levou-se em

consideração o processo de ensino e aprendizagem. Em relação ao processo de ensino alguns

questionamentos foram levantados: O problema proposto estava adequado as possibilidades

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dos alunos? Foi significativo para os alunos? Eles se mostram motivados? Foi possível

acompanhar o momento da resolução? As intervenções foram adequadas, possibilitando que o

aluno desenvolvesse a criativa e autonomia? O objetivo proposto foi alcançado? Surgiram

questionamentos a respeito dos conteúdos matemáticos trabalhados?

A partir da análise dessas respostas foi possível detectar as falhas e redirecionar o

trabalho, fato este que aconteceu várias vezes durante o desenvolvimento do Projeto

Números, Operações em conhecimentos em ação, tanto no Caderno Cortina de Retalhos

quanto com os problemas propostos inicialmente com a Problemoteca.

A avaliação em relação à aprendizagem deu-se em relação as reações dos alunos

quanto ao problema proposto, as situações pelos alunos abordadas, as dificuldades

apresentadas, as estratégias utilizadas para resolver os problemas, aos registros realizados

pelos alunos, a explicação quantos aos procedimentos realizados para a resolução dos

problemas, a exposição oral de dúvidas e a argumentação quanto aos encaminhamentos

realizados, o respeito em relação as idéias e argumentos dos colegas, o trabalho coletivo de

forma cooperativa, a iniciativa para análise dos resultados obtidos, entre outros. As

observações foram anotadas em um diário de bordo, analisadas e o trabalho com os alunos foi

redimensionado e / ou confirmado.

Portanto, a partir da análise dos resultados da avaliação houve a decisão sobre os tipos

de encaminhamentos e intervenções pedagógicas a serem efetivadas para que os alunos

superassem suas dificuldades, ou seja, realizou-se uma análise sobre o que o aluno não

conseguia fazer e sobre aquilo que já sabia fazer sozinho, e a partir disso, houve um

planejamento para as atividades seguintes.

Uma situação que exigiu muito cuidado e atenção foi o algoritmo da subtração e da

divisão, que em determinado momento teve que ser trabalhado, pois os alunos ainda não

dominavam essas operações com segurança. Para tanto, foi retomando o sistema de

numeração decimal reforçando o significado da representação posicional decimal.

O Quadro Valor Lugar (QVL) também foi utilizado. Trabalhando com o exercício do

algoritmo da divisão foi possível problematizar com questões do tipo: É possível dividir 1

centena por 2? O resultado dá centenas? Em uma centena temos quantas dezenas? Somando-

se as 3 dezenas do dividendo obtemos quantas dezenas? Agora 13 dezenas podem ser

divididas por 2? Quantas dezenas podem ser igualmente distribuídas para cada um? Quantas

dezenas sobram? Podemos transformar dezenas em unidades? Quantas? Somando as 10

unidades com 4 unidades do dividendo quantas unidades temos? Agora temos 14 unidades, é

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possível dividir por 2? Quantas unidades podem ser igualmente distribuídas? Sobraram

unidades? É possível sobrar duas ou mais unidades? Por que? A partir das respostas os alunos

em relação aos questionamentos acima foi possível fazer numa avaliação do que os alunos

não compreendiam, fazer as intervenções necessárias e dar sentido ao algoritmo da divisão, o

mesmo ocorreu com o algoritmo da subtração.

Assim a avaliação do processo de ensino e aprendizagem não termina com o

diagnóstico, e sim com a aprendizagem, sendo mediada pelas intervenções acertadas, para

que se chegue ao objetivo proposto, ou seja, um conteúdo a ser aprendido.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

O Projeto Números, Operações e Conhecimentos em Ação teve como objetivo

principal superar o pensamento rígido que só consegue solucionar um problema dentro de um

esquema aprendido, ação essa, que acontece normalmente nas aulas tradicionais, quando se

trabalha primeiramente com as operações e depois com problemas, como exercícios para

aplicar o conteúdo aprendido.

No decorrer dos estudos percebe-se que é possível efetivar um trabalho em sala de

aula com uma matemática viva, capaz de superar esse pensamento inicial e desenvolver

habilidades de resolução de problemas incentivando o pensamento criativo e flexível,

despertando no aluno uma atitude de resolvedor de problemas buscando instrumentos novos

de pensamento para solucionar os problemas que lhe são postos e interagindo com os colegas

na busca da melhor solução.

Pode-se afirmar que é possível efetivar a Resolução de Problemas numa Perspectiva

Metodológica que considera como problema toda situação que possa ser problematizada. A

situação pode emergir de diversas fontes: interesse de um ou mais alunos, a partir de um

acontecimento, com situações presentes no cotidiano da escola associados a jogos e

brincadeiras, a partir de um projeto, por uma necessidade dos alunos ou da escola. O

importante é que os alunos tenham interesse e estejam envolvidos com a situação em busca de

uma solução.

Ressalta-se a necessidade do aluno vivenciar problemas que realmente o coloquem no

movimento da aprendizagem, como foi possível verificar com os problemas desencadeados a

partir de uma atividade prática, ou seja, da Confecção da Cortina de Retalhos.

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Ao propor problemas precisa o professor atentar para alguns pontos, como: deixar que

os alunos pensem por si mesmos, evitando dar pistas; valorizar o processo de resolução de

problemas como um todo, não apenas a resposta correta; incentivar os alunos a descreverem

os processos que utilizaram para resolverem o problema; evitar problemas muito “fáceis” ou

muito “difíceis” para os alunos, pois esses problemas podem gerar desinteresse; oportunizar

momentos de resolução de problemas individualmente e em pequenos grupos, enfim, em todo

o processo priorizar a qualidade, ao invés da quantidade;

É fundamental que o professor seja sensível aos questionamentos e interesses dos

alunos, a notícias, jogos e brincadeiras do momento, e possa criar um ambiente agradável em

sala para que os interesses possam ser explicitados e explorados, e também, problematize

exercícios a fim de promover a compreensão dos alunos em relação aos algoritmos adotados.

Não se discute a pertinência das colocações anteriores, mas merece destaque neste

contexto a avaliação. Esta realmente foi ponto de referência para o re-planejamento das ações

com o objetivo de melhorar o processo ensino/aprendizagem, revelando suas funções reais

funções: contribuir para melhorar a processo de aprendizagem e informar ao professor sobre

as condições que se dá essa aprendizagem, estando incorporada no próprio ato de ensino.

REFERÊNCIAS

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PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Superintendência da Educação. Diretrizes

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KRULIK, S. e REYS, R. E. Resolução de Problemas na Matemática Escolar. Trad. Higino

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POLYA, J. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 2006.

________ Sobre a resolução de problemas de matemática na high school. In: A Resolução de

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SMOLE K. S. e DINIZ. M. I. Ler, escrever e resolver problemas. Porto Alegre. Artmed,

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