¨AÒ» ł QjJ .˚K:—AtF– ıwl ¤žAmylF:TsF¥mŸ…ذكرات...ıAmŁ'r˘bl:XA J… B@ 1...
Transcript of ¨AÒ» ł QjJ .˚K:—AtF– ıwl ¤žAmylF:TsF¥mŸ…ذكرات...ıAmŁ'r˘bl:XA J… B@ 1...
�Am� ©r�bl� :XA
�J�
B@ 1 ��C r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��
�AyRA§C : Am�� ÈAÒ» ø
QjJ. ÊK. :ÐAtF±� �wl� ¨�AmylF:TsF¥m��
Tyb§r�� �wl� T��A��� : Tb`K��¤ «wtsm��
�éKXYªË@
�HAJËA
�J�JÖÏ @ : ¨�r`m�� «wt�m��
.�éKXY«
�éJËA
�J�JÓ Q�
ª
�K èAm.
��' @ úΫ
¬Qª
�JË @ − :T�dhtsm�� ��ºAfk��
�é�mÌ'@ Q�� −
�A\�®� dm�� (Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��
:�®W�³�
X 5
X 10
.�éJ
�AÖÏ @
�éJ�Ë@
�HAJ.�
��ºÒ�K.
Q�»Y
�JË @ :Tysfn�� T·yht�� ?
: T§ d`�� �Ay�Attm�� �w� ry�@�
:�§r`�
u(n) XYªË@ n > n0 ùªJJ.£ XY« ɾK.
��
Q̄�K
�éË @X ù
ë u
�éKXY«
�éJËA
�J�JÓ
. ù¢ªÓ ùªJJ.£ XY« n0 :
�IJk
:T\�®��éJËA
�J�JÒÊË ÐAªË@ YmÌ'@ ùÒ�� ð u(n) áÓ BYK. un : QÓQËAK. u
�éJËA
�J�JÖÏ AK. n
�èPñ�Ë QÓQ
K ?
: T§ d� Ty�Att� dy�w� �rV
. ù¢ªÓ ùªJJ.£ XY« n0 : ©Ó
�éKXY«
�éJËA
�J�JÓ (un)n>n0
�éQ̄ªÓ
�éË @X f �
IJk un = f(n) ɾ�
�Ë@ áÓ�èPAJ.«
�IJ¢«
@ @
X @ •
. [0; +∞[ ÈAj. ÖÏ @ úΫ
n�éËBYK. ÐAªË@ AëYm�'
.�éQ̄ªÓ (un)n>n0
à@
Èñ
�®
K
�éË @X f �
IJk un0�éÒJ
�¯ ð un+1 = f(un) ɾ
��Ë@ áÓ
�èPAJ.«
�IJ¢«
@ @
X @ •
. un0 ∈ D ð D ú
¯ AêÒJ
�¯
Y
g
A�K ð D ÈAm.
× úΫ�éQ̄ªÓ
.�éJªk. @Q
�K
�é�¯CªK.
�éQ̄ªÓ (un)n>n0
à@
Èñ
�®
K
: Tl���
un = 2n + 1 : ÐAªË @ AëYm�'. N úΫ
�éQ̄ªÓ
�éJËA
�J�JÓ (un) ?
: ù�ÊK AÒ»
�éJªk. @Q
�K
�é�¯CªK.
�éQ̄ªÓ
�éJËA
�J�JÓ (un) ?
un+1 = 23un −
12 : n ù
ªJJ.£ XY« É¿ Ég.
@ áÓ ð u0 = 5 Èð
B@ AëYg
:�y¡Afm�� ºAn�
1
�Am� ©r�bl� :XA
�J�
B@ 1 ��C r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��
�A\�®� dm�� (Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��
X 10
X 35
: T§ d� Ty�Att� ry�� £A���
. (un) �éKXYªË@
�éJËA
�J�JÖÏ @ Q�.
�Jª
K n ù
ªJJ.£ XY« É¿ Ég.
@ áÓ
: N áÓ n É¿ Ég.
@ áÓ ú
æªK ( I. �
�KQ
��Ë @ úΫ
�èYK@
Q��Ó ) AÓAÖ
�ß
�èYK@
Q��Ó (un) ?
( I. ��KQ
��Ë @ úΫ un+1 − un ≥ 0 ) , un+1 − un > 0
N áÓ n É¿ Ég.
@ áÓ ú
æªK ( I. �
�KQ
��Ë @ úΫ
�é�
�¯A
J�JÓ ) AÓAÖ
�ß
�é�
�¯A
J�JÓ (un) ?
( I. ��KQ
��Ë @ úΫ un+1 − un ≤ 0 ) , un+1 − un < 0
: n ùªJJ.£ XY« É¿ Ég.
@ áÓ ú
æªK N úΫ
�é�JK. A
�K
�éJËA
�J�JÓ (un) ?
un+1 − un = 0
: áºÖß (un)n∈N�éJËA
�J�JÓ Q�
ª
�K èAm.
��' @
�é�@PYË :Tq§rV
un+1 − un�
�Q®Ë @
�èPA
��@
�é�@PX •
1 XYªËAK.un+1
un
àPA
�®
K AÓAÖ
�ß
�éJ.k. ñÓ
�éJËA
�J�JÖÏ @ XðYg
�I
KA¿ @
X @ •
un = f(n) �éËAg ú
¯ [0; +∞[ úΫ f
�éË @YË@ Q�
ª
�K èAm.
��' @
�é�@PX •
:�éJËA
�JË @
�HAJËA
�J�JÖÏ @ Q�
ª
�K èAm.
��' @ �PX@ : ¨qybW� �§rm�
un = n2 − n : n ùªJJ.£ XY« É¿ Ég.
@ áÓ ¬
un+1 = un −1
(un)2 : n ùªJJ.£ XY« É¿ Ég.
@ áÓ
�éQ̄ªÓ
�éJËA
�J�JÓ (un)
un = 5× 3n: �K. n ∈ N∗ ù
ªJJ.£ XY« É¿ Ég.
@ áÓ
�éQ̄ªÓ
�éJËA
�J�JÓ (un) ®
un =√
n− 1 : n ∈ N∗ ùªJJ.£ XY« É¿ Ég.
@ áÓ ¯
:�y¡Afm�� ºAn�
�§wq�
......................................................... :TO��� �w� T�A� �A\�®�
2
�Am� ©r�bl� :XA
�J�
B@ 2 ��C r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��
�AyRA§C : Am�� ÈAÒ» ø
QjJ. ÊK. :ÐAtF±� �wl� ¨�AmylF:TsF¥m��
Tyb§r�� �wl� T��A��� : Tb`K��¤ «wtsm��
�éKXYªË@
�HAJËA
�J�JÖÏ @ : ¨�r`m�� «wt�m��
.�éJËA
�J�JÓ
�éKAî
E ð ¼ñÊ�
á�Ò
j�JË ú
GAJJ. Ë @ ÉJ
�JÒ
�JË @ ÈAÒª
�J�@ − :T�dhtsm�� ��ºAfk��
�é�mÌ'@ Q�� −
�A\�®� dm�� (Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��
:�®W�³�
X 15
:Tysfn�� T·yht�� ?
: T§ d� Ty�Attm� ¨�Ayb�� �y�mt��
: �A`�� d��� T�A� ¶
:�§r`�
. n ≥ n0 ùªJJ.£ XY« É¿ Ég.
@ áÓ
�éQ̄ªÓ
�éKXY«
�éJËA
�J�JÓ (un)
ð YÓAª�JÖÏ @ ÕΪÖÏ @ úÍ@
H. ñ�
�ÖÏ @ ø
ñ
�J�ÖÏ @ ú
¯ (un) �
éJËA�J�JÒÊË ú
GAJJ. Ë @ ÉJ
�JÒ
�JË @
n ≥ n0 :�
IJk M(n; un) ¡�®
JË @
�é«ñÒm.
× ñë (O;−→i ,−→j ) �
�Aj.
�JÖÏ @
( �A`�� d��A� T�r`� Ty�Att� �y�m� ) :�A��
un = 12 n2 + 1 : �K. N úΫ
�é
Q̄ªÓ
�éJËA
�J�JÓ (un) ?
úΫ�éQ̄ªÖÏ @ ð (un) �
éJËA�J�JÖÏ AK.
��
Q̄ÖÏ @
�éË @YË @ f
f(x) = 12 x2 + 1 : �K. [0; +∞[
ð YÓAª�JÖÏ @ Ñ�ʪÖÏ @ ù
�¯ ú
GAJJ. Ë @ AêÊJ
�JÒ�
�K (Cf ) ð
(O;−→i ,−→j ) �
�Aj.
�JÖÏ @
: Ty`��r� T�®� T�A� ·
:�§r`�
�éJªk. @Q
��Ë @
�é�¯CªË@ ð u0 Èð
B@ AëYm�'
.�éQ̄ªÖÏ @ (un) �
éJËA�J�JÖÏ @ áº
�JË
R úΫ�éQ̄ªÓ
�éË @X f :
�IJk un+1 = f(un)
úÍ@
H. ñ��ÖÏ @ ø
ñ
�J�ÖÏ @ ú
¯ ú
GAJJ. Ë @ ÉJ
�JÒ
�JË @ ù
ë M(un; un+1) ¡
�®
JË @
�é«ñÒm.
×
.�éJËA
�J�JÒÊË ÕΪÓ
:�y¡Afm�� ºAn�
1
�Am� ©r�bl� :XA
�J�
B@ 2 ��C r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��
�A\�®� dm�� (Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��
X 20
X 25
: AJK AJK. (un) �
éJËA�J�JÖÏ @ ÉJ
�JÒ
�JË � :Tq§rV
Zúæ��JK Õç
�' (un) �
éJËA�J�JÖÏ AK.
��
Q̄ÖÏ @ f
�éË @YÊË ú
GAJJ. Ë @ ÉJ
�JÒ
�JË @ (Cf ) Zú
æ��JK •
y = x�éËXAªÖÏ @ ð
X (∆) Õæ
�®�J�ÖÏ @
M(un; un+1) ¡�®
JË @
�é«ñÒm.
× ñë ú
GAJJ. Ë @ ÉJ
�JÒ
�JË @ •
. AîDÊ« É�m�' �
é¢�®
K Èð
@ ù
ë M0(u0; u1) �
é¢�®
JË @ •
úΫ AîDÊ« É�jÖÏ@�é¢
�®
JË @ ¡
�®�
� Õç
�' (ox) �
�¯ð (∆) úΫ M0 ¡
�®�
� •
M1(u1; u2) �é¢
�®
JË @ úΫ É�m�
' @
YîE. ð (oy) �
�¯ð (Cf )
. èQ
k�@ úÍ@
M3 , M2 úΫ Èñ�jÊË
�éJÊÒªË@ PQº
K •
( Ty`��r� T�®`� T�r`� Ty�Att� �y�m� ) :�A��un+1 = 2un + 1 : n ∈ N É¿ Ég.
@ áÓ ð u0 = 0 : �K.
�éQ̄ªÖÏ @ (un) �
éJËA�J�JÖÏ @ áº
�JË ?
(O;−→i ,−→j ) �
�Aj.
�JÖÏ @ ð YÓAª
�JÖÏ @ ÕΪÖÏ @ úÍ@
H. ñ�
�ÖÏ @ ø
ñ
�J�ÖÏ @ ú
¯ (un) �
éJËA�J�JÖÏ @ AJ
K AJK. É
�JÖ
ß ?
:
R úΫ�éQ̄ªÖÏ @ (un) �
éJËA�J�JÖÏ AK.
��
Q̄ÖÏ @ f
�éË @YÊË ú
GAJJ. Ë @ ÉJ
�JÒ�
�JË @ ñë (Cf ) áºJË
. y = x�éËXAªÖÏ @ ð
X Õæ
�®
�J�ÖÏ @ (∆) áºJË ð , f(x) = 2x + 1 : �K.
M0(0; 1) �é¢
�®
K Èð
@ É
�JÖ
ß •
(ox) ��
¯ð (∆) úΫ M0 ¡
�®�
� •
(Cf ) úΫ AîDÊ« É�jÖÏ@�é¢
�®
JË @ ¡
�®�
� Õç
�'
�é¢
�®
JË @ úΫ É�m�
' @
YîE. ð (oy) �
�¯ð
M1(1; 3) : ø
@ M1(u1; u2)
M3 , M2 úΫ Èñ�jÊË�éJÊÒªË@ PQº
K •
. èQ
k�@ ù�Ë @
H. ñ��ÖÏ @ ø
ñ
�J�ÖÏ @ ú
¯ (un) �
éJËA�J�JÖÏ @ AJ
K AJK. É
�JÓ
�éËAg É¿ ú
¯ : ¨qybW� �§rm�
: (O;−→i ,−→j ) �
�Aj.
�JÖÏ @ ð YÓAª
�JÖÏ @ ÕΪÖÏ @ úÍ@
: n ùªJJ.£ XY« É¿ Ég.
@ áÓ ð u0 = 1 : �K.
�éQ̄ªÓ
�éJËA
�J�JÓ (un) ¬
un+1 = 2 + un
un
: n ùªJJ.£ XY« É¿ Ég.
@ áÓ ð u0 = −1 : �K.
�éQ̄ªÓ
�éJËA
�J�JÓ (un)
un+1 =√
1 + un
:�y¡Afm�� ºAn�
�§wq�
......................................................... :TO��� �w� T�A� �A\�®�
2
�Am� ©r�bl� :XA
�J�
B@ 3 ��C r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��
�AyRA§C : Am�� ÈAÒ» ø
QjJ. ÊK. :ÐAtF±� �wl� ¨�AmylF:TsF¥m��
Tyb§r�� �wl� T��A��� : Tb`K��¤ «wtsm��
�éKXYªË@
�HAJËA
�J�JÖÏ @ : ¨�r`m�� «wt�m��
.�éJ�Y
Jë ð
�éJK. A�k
�HAJËA
�J�JÓ
�é�@PX − :T�dhtsm�� ��ºAfk��
�é�mÌ'@ Q�� −
�A\�®� dm�� (Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��
:�®W�³�
X 15
X 10
:Tysfn�� T·yht�� ?
: ( ry�@� ) TyFdnh��¤ Ty�As��� �Ay�Attm��
: «¬» ¨qybW� �§rm�
u7 = 20 ð u3 = 8 :�
IJk r AîD�A� @ ð u0 Èð
B@ AëYg
�éJK. A�k
�éJËA
�J�JÓ (un) ¬
. n�éËBYK. un
�èPAJ.« I.
�J»
@ -
r = 2 AîD�A� @ ð u1 = −4 Èð
B@ AëYg
�éJK. A�k
�éJËA
�J�JÓ (un)
. n�éËBYK. un
�èPAJ.« I.
�J»
@ -
:�y¡Afm�� ºAn�
1
�Am� ©r�bl� :XA
�J�
B@ 3 ��C r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��
�A\�®� dm�� (Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��
X 35
: «» ¨qybW� �§rm�
vn+1 = vn
vn + 1 : n ùªJJ.£ XY« É¿ Ég.
@ áÓ ð v0 = 1 �K.
�éQ̄ªÓ
�éJËA
�J�JÓ (vn)
un = 1vn
: �K. n ùªJJ.£ XY« É¿ Ég.
@ áÓ
�éQ̄ªÓ
�éJËA
�J�JÓ (un) ð
. Èð B@ AëYg ð AîD�A�
@
á�Jª�K I. Ê¢�
�éJK. A�k
�éJËA
�J�JÓ (un)
à @
á�K. ¬
. n�éËBYK. vn i.
�JJ���@ Õç
�' n
�éËBYK. un
�èPAJ.« I.
�J»
@
Sn = u0 + u1 + u2 + ... + un : ¨ñÒj. ÖÏ @ n�éËBYK. I. �k@ ®
: «®» ¨qybW� �§rm�
v5 = 32 ð v2 = 4 :�
IJk q AîD�A� @ ð v0 Èð
B@ AëYg
�éJ�Y
Jë
�éJËA
�J�JÓ (vn) ¬
. n�éËBYK. vn
�èPAJ.« I.
�J»
@ -
r = 13 AîD�A�
@ ð v1 = 3 Èð
B@ AëYg
�éJ�Y
Jë
�éJËA
�J�JÓ (vn)
. n�éËBYK. vn
�èPAJ.« I.
�J»
@ -
: «¯» ¨qybW� �§rm�
un+1 = 4un + 3 : n ùªJJ.£ XY« É¿ Ég.
@ áÓ ð u0 = 14 �K.
�éQ̄ªÓ
�éJËA
�J�JÓ (un)
vn = un + 1 : �K. n ùªJJ.£ XY« É¿ Ég.
@ áÓ
�éQ̄ªÓ
�éJËA
�J�JÓ (vn) ð
. Èð B@ AëYg ð AîD�A�
@
á�Jª�K I. Ê¢�
�éJ�Y
Jë
�éJËA
�J�JÓ (vn)
à @
á�K. ¬
. n�éËBYK. un i.
�JJ���@ Õç
�' n
�éËBYK. vn
�èPAJ.« I.
�J»
@
:á�«ñÒj. ÖÏ @ n
�éËBYK. I. �k@ ®
S′n = u2
0 + u21 + u2
2 + ... + u2n ð Sn = v0 + v1 + v2 + ... + vn
24T�f} 11¤05�§rmt�� ��27T�f} 51¤49�§rmt�� ��
:�y¡Afm�� ºAn�
�§wq�
......................................................... :TO��� �w� T�A� �A\�®�
2
�Am� ©r�bl� :XA
�J�
B@ 4 ��C r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��
�AyRA§C : Am�� ÈAÒ» ø
QjJ. ÊK. :ÐAtF±� �wl� ¨�AmylF:TsF¥m��
Tyb§r�� �wl� T��A��� : Tb`K��¤ «wtsm��
�éKXYªË@
�HAJËA
�J�JÖÏ @ : ¨�r`m�� «wt�m��
. ©k. @Q��ËAK.
�éJ�A
g
�HAJ.
�K @ − :T�dhtsm�� ��ºAfk��
�é�mÌ'@ Q�� −
�A\�®� dm�� (Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��
:�®W�³�
�é
��
�¯A
JÓ
áÓ A�
��Ë @
¬Q£YJÓC
�JË @
X 20
X 20
:Tysfn�� T·yht�� ?
: ���rt�A� �¯dtF¯�
:ªAK�
( úÍñ
KQK.
�éJKAJ.
�JÓ ) (1 + x)n ≥ 1 + nx :
�éJËA
�JË @
�éJKAJ.
�JÖÏ @ úΫ
àAëQ�. Ë @ YKQ
K
. ÐðYªÓ Q�« ù
ªJJ.£ XY« n ð AÓAÖ
�ß I. k. ñÓ ù
�®J
�®k XY« x :
�IJk
n = 1 Ég.
@ áÓ
��
�®m×
�éJKAJ.
�JÖÏ @
à
@
á�K. ¶
(1 + x)n+1 ≥ 1 + (1 + n)x :à
@ áëQK. ,
�éjJm
�� �é�®K. A�Ë@
�éJKAJ.
�JÖÏ @
à
@
�Q
®
K ·
? i.�JJ���
�� @
XAÓ ¸
: ���rt�A� �¯dtF¯� rk�
AJÒÊ« @
X @
ð úÍð B@
�ék. PYË@ Yª�
�
J» A
JÒÊ« @
X @
, ÕÎ� AJKYË é
K @ ÉJ
j
��JË ?
AJJºÖß é
K AK. AJîEYK. ÉJ.
�®�JK
�éJË @ñÖÏ @
�ék. PYË@ úÍ@
�ék. PX ø
@ áÓ Xñª�Ë@
�éJ
®J»
. AëAKYª� ú
�æË@ úÍð
B@
�ék. PYË@ YªK.
�èXñk. ñÓ
�ék. PX ø
@ úÍ@
Èñ�ñË@
:���rt�A� �¯dtF¯� �db�
XY« n0 , n ùªJJ.¢Ë@ XYªËAK.
��ʪ
�JÓ ( . . .
�éʾ
��Ó ,
�éJ
�
�¯ ) �
éJ�A
g p(n)
. ùªJJ.£
ð @ áÓ Q�.»
@ n ù
ªJJ.£ XY« É¿ Ég.
@ áÓ P (n) �
éJ�AmÌ'@
�ém��
úΫ
àAëQ�. ÊË
: úÎK AÓ ©J.
��K n0 ø
ðA��
n0 ùªJJ.¢Ë@ XYªË@ Ég.
@ áÓ p(n) �
éJ�AmÌ'@
�ém�� áÓ
��
�®j
�JK ¶
n0 ø
ðA�� ð @ áÓ Q�.»
@ n Ég.
@ áÓ
�éjJm
�� p(n) �éJ�A
mÌ'@
à
@
�Q
®
K ·
p(n + 1) ø
@ n + 1 Ég.
@ áÓ
�éJ�A
mÌ'@
�ém�� áëQ�.
K ð
: T\�®��éJ�A
g úΫ
�éJëQ�. Ë @ ú
¯ ÉÒª
�J��
àAëQ�. Ë @ AÖ
ß @ áÓ ¡Ö
ß ñë ©k. @Q
��ËAK.
àAëQ�. Ë @ ?
n ùªJJ.£ XYªK.
��ʪ
�J�K
:�y¡Afm�� ºAn�
1
�Am� ©r�bl� :XA
�J�
B@ 4 ��C r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��
�A\�®� dm�� (Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��
X 30
X 40
:1 �A��: n ù
ªJJ.£ XY« É¿ Ég.
@ áÓ ð u0 = 6 : �K. N úΫ
�éQ̄ªÓ
�éJËA
�J�JÓ (un)
un+1 = 12un + 1
3
un ≥23 : n ù
ªJJ.£ XY« É¿ Ég.
@ áÓ é
K @ ©k. @Q
��ËAK.
áëQK. -
:2 �A��7 XYªÊË
«A
�Ó 23n − 1 : n ù
ªJJ.£ XY« É¿ Ég.
@ áÓ é
K @
�I�.
�K @
:3 �A��
1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)2 : n ù
ªJJ.£ XY« É¿ Ég.
@ áÓ é
K @
�I�.
�K @
: ¨qybW� �§rm�
: n ùªJJ.£ XY« É¿ Ég.
@ áÓ ð u0 = 0 : �K. N úΫ
�éQ̄ªÓ
�éJËA
�J�JÓ (un)
un+1 =√
12 + un
[0; 4[ ÈAj. ÖÏ @ úÍ@
ùÒ�J��K u3 ð u2 , u1 XðYmÌ'@
à
@
��
�®m�
�' ¬
0 ≤ un < 4 : n ùªJJ.£ XY« É¿ Ég.
@ áÓ é
K @ áëQK.
(un) �éJËA
�J�JÖÏ @ Q�
ª
�K èAm.
��' @ �PX
@ ®
25T�f} 19¤15�§rmt�� ��31T�f} 91¤89�§rmt�� ��
:�y¡Afm�� ºAn�
�§wq�
......................................................... :TO��� �w� T�A� �A\�®�
2
�Am� ©r�bl� :XA
�J�
B@ 5 ��C r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��
�AyRA§C : Am�� ÈAÒ» ø
QjJ. ÊK. :ÐAtF±� �wl� ¨�AmylF:TsF¥m��
Tyb§r�� �wl� T��A��� : Tb`K��¤ «wtsm��
�éKXYªË@
�HAJËA
�J�JÖÏ @ : ¨�r`m�� «wt�m��
.�éKXY«
�éJËA
�J�JÓ
�éKAî
E ð ¼ñÊ�
�é�@PX − :T�dhtsm�� ��ºAfk��
�é�mÌ'@ Q�� −
�A\�®� dm�� (Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��
:�®W�³�
X 20
X 15
:Tysfn�� T·yht�� ?
: ¤d�m�� Ty�Attm��
: ¤d�� Ty�Att� - �fF±� �� ¤d�� - Yl�±� �� ¤d�� Ty�Att�
. N úΫ�éQ̄ªÓ
�éKXY«
�éJËA
�J�JÓ (un) :�§r`�
M ù
�®J
�®k XY« Xñk. ð èA
JªÓ úΫ
B@ áÓ
�èXðYm× (un) �
éJËA�J�JÖÏ @
à@
Èñ
�®
K ?
. úΫ B@ áÓ @XAg @Qå�
J« : M ùÒ�� ð un ≤M :
�IJk
m ù
�®J
�®k XY« Xñk. ð èA
JªÓ É
®�
B@ áÓ
�èXðYm× (un) �
éJËA�J�JÖÏ @
à@
Èñ
�®
K ?
. ɮ�
B@ áÓ @XAg @Qå�
J« : m ùÒ�� ð un ≥ m :
�IJk
ɮ�
B@ áÓ
�èXðYm× ð úΫ
B@ áÓ
�èXðYm× Aî
E @ ú
æªK
�èXðYm× (un) �
éJËA�J�JÖÏ @
à@
Èñ
�®
K ?
. N úΫ�éQ̄ªÓ
�éJËA
�J�JÓ (un) :Tq§rV
M ù
�®J
�®k XYªK. úΫ
B@ áÓ
�èXðYm×
�éJËA
�J�JÓ (un)
à @
�HAJ.
�KB
:�éJËA
�JË @
��Q¢Ë@ øYg@
©J.
��K ( m ù
�®J
�®k XYªK. É
®�
B@ áÓ
�èXðYm× ð
@ )
: n ùªJJ.£ XY« É¿ Ég.
@ áÓ é
K @
�HAJ.
�KB
©k. @Q��ËAK. ÈBY
�J�B@ ÈAÒª
�J�@ •
( un ≥ m �HAJ.
�KB
ð @ ) un ≤M
( un −m ð @ ) un −M
�èPA
��@
�é�@PYK. ( m ð un ð
@ ) M ð un
á�K.�éKPA
�®ÖÏ @ •
[0; +∞[ úΫ f�éË @YË@
�H@Q�
ª
�K �PY
K un = f(n) �
IKA¿ @
X @ •
: «¬» ¨qybW� �§rm�
: n ùªJJ.£ XY« É¿ Ég.
@ áÓ ð u0 = 1 Èð
B@ AëYm�'
.�éQ̄ªÓ
�éJËA
�J�JÓ (un)
un+1 =√
2 + un
0 ≤ un ≤ 2 : n ùªJJ.£ XY« É¿ Ég.
@ áÓ é
K @
á�K. -
:�y¡Afm�� ºAn�
1
�Am� ©r�bl� :XA
�J�
B@ 5 ��C r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��
�A\�®� dm�� (Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��
X 25
: «» ¨qybW� �§rm�
un = 2n2 + 1n2 + 4 : �K. N úΫ
�éQ̄ªÓ
�éJËA
�J�JÓ (un)
. úΫ B@ áÓ
�èXðYm× (un) �
éJËA�J�JÖÏ @
à
@ i.
�JJ���@ Õç
�' un − 2 �
�Q®Ë @ I. �k@ -
: «®» ¨qybW� �§rm�
un = n2 + 1n
: �K. N∗úΫ
�éQ̄ªÓ
�éJËA
�J�JÓ (un)
. ɮ�
B@ áÓ
�èXðYm× (un) �
éJËA�J�JÖÏ @
à
@
�I�.
�K @ -
26 T�f}36¤33 �§rmt�� ��36 T�f}130¤129 �§rmt�� ��
:�y¡Afm�� ºAn�
�§wq�
......................................................... :TO��� �w� T�A� �A\�®�
2
�Am� ©r�bl� :XA
�J�
B@ 6 ��C r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��
�AyRA§C : Am�� ÈAÒ» ø
QjJ. ÊK. :ÐAtF±� �wl� ¨�AmylF:TsF¥m��
Tyb§r�� �wl� T��A��� : Tb`K��¤ «wtsm��
�éKXYªË@
�HAJËA
�J�JÖÏ @ : ¨�r`m�� «wt�m��
.�éKXY«
�éJËA
�J�JÓ
�éKAî
E ð ¼ñÊ�
�é�@PX − :T�dhtsm�� ��ºAfk��
�é�mÌ'@ Q�� −
�A\�®� dm�� (Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��
:�®W�³�
X 20
:Tysfn�� T·yht�� ?
: T§ d� Ty�Att� CAq�
: T§ d� Ty�Att� T§Ah�
. ù
�®J
�®k XY« l ð
�éKXY«
�éJËA
�J�JÓ (un) :�§r`�
AêË�éKAî
E l ÉJ.
�®�K Aî
E @
ð @ l ù
�®J
�®mÌ'@ XYªË@ ñm�
' �
éK. PA�®�JÓ (un) �
éJËA�J�JÖÏ @
à@
Èñ
�®
K
ÉÒ�
�� l ÉÒ�
�� hñ�J®Ó ÈAm.
× É¿àA¿ @
X @
¡�®
¯ ð @
X @
+∞ úÍ@ n Èð
AK AÓY
J«
.�éJJªÓ
�éJ.
�KP áÓ Z@Y
�JK. @ (un) �
éJËA�J�JÖÏ @ XðYg É¿ A
��
@
limn→+∞
un = l : I.�Jº
K ð
:�A\�®��éKXY«
�éJËA
�J�JÓ
�éKAî
E H. A�mÌ
�éjJj��
�éKXY«
�éË @X
�éKAî
E H. A�mÌ
�éJËð
B@
�HA
JëQ�. ÖÏ @ ù
�®J.
�K ?
+∞ YJ«
.�èYJkð Aî
�DKAî
E
àA
¯
�éK. PA
�®�JÓ
�éJËA
�J�JÓ (un) �
IKA¿ @
X @ ?
( �èXñk. ñÓ Q�
« ð
@
�éJî
�DJÓ Q�
« Aî
�DKAî
E ) �
èY«AJ.�JÓ ú
æê
¯
�éK. PA
�®�JÓ Q�
«
�éJËA
�J�JÓ (un) �
IKA¿ @
X @ ?
:ry�@�
áÓ ÈAm.× úΫ
�éQ̄ªÓ
�éË @X f :
�IJk un = f(n) : �K.
�éQ̄ªÓ
�éKXY«
�éJËA
�J�JÓ (un)
. ù
�®J
�®k XY« α : ©Ó [α; +∞[ ɾ
��Ë@
limn→+∞
un = l :
àA
¯ lim
x→+∞f(x) = l �
IKA¿ @
X @ •
limn→+∞
un = −∞ :àA
¯ lim
x→+∞f(x) = −∞ �
IKA¿ @
X @ •
limn→+∞
un = +∞ :àA
¯ lim
x→+∞f(x) = +∞ �
IKA¿ @
X @ •
: �A��
un = 2nn+ 1 : �K. N úΫ
�éQ̄ªÓ
�éJËA
�J�JÓ (un) ?
[0; +∞[ úΫ�éQ̄ªÓ
�éË @X f �
IJk un = f(n) ɾ�
�Ë@ áÓ (un) �éJËA
�J�JÖÏ @
f(x) = 2xx+ 1 : ù
�ÊK AÒ»
limn→+∞
un = 2 :à
X@
limx→+∞
f(x) = 2 : AJKYË
:�y¡Afm�� ºAn�
1
�Am� ©r�bl� :XA
�J�
B@ 6 ��C r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��
�A\�®� dm�� (Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��
X 20
X 20
A¡r� ¤d� �bq� :Tn¡rb�
.�éK. PA
�®�JÓ Aî
EA
¯ úΫ
B@ áÓ
�èXðYm× ð
�èYK@
Q��Ó
�éJËA
�J�JÓ (un) �
IKA¿ @
X @ ?
.�éK. PA
�®�JÓ Aî
EA
¯ É
®�
B@ áÓ
�èXðYm× ð
�é�
�¯A
J�JÓ
�éJËA
�J�JÓ (un) �
IKA¿ @
X @ ?
: ¨qybW� �§rm�
: n ùªJJ.£ XY« É¿ Ég.
@ áÓ ð u0 = 1 Èð
B@ AëYm�'
.�éQ̄ªÓ
�éJËA
�J�JÓ (un)
un+1 = un
2 + u2n
un > 0 : n ùªJJ.£ XY« É¿ Ég.
@ áÓ é
K @ ©k. @Q
��ËAK.
áëQK. ¬
. (un) �éJËA
�J�JÖÏ @ Q�
ª
�K èAm.
��' @ i.
�JJ���@
. PQK. ?�éK. PA
�®�JÓ (un) �
éJËA�J�JÖÏ @ Éë ®
: Ty`��r� T�®`� T�r`� Ty�Att� T§Ah�
un+1 = f(un) ð un0 Èð B@ AëYm�'
.�éQ̄ªÓ
�éJËA
�J�JÓ (un)
n ùªJJ.£ XY« É¿ Ég.
@ áÓ
. un0 ∈ I ð I ú
¯ AêÒJ
�¯
Y
g
A�K ð I ÈAm.
× úΫ�éQ̄ªÓ
�éË @X f �
IJk
�èQÒ
�J�Ó
�éË @X f �
IKA¿ ð l ù
�®J
�®mÌ'@ XYªË@ ñm�
' �
éK. PA�®�JÓ (un) �
IKA¿ @
X @ •
f(l) = l�
��®m�
�' l Aî
�DKAî
E :
àA
¯
: ¨qybW� �§rm�
: n ùªJJ.£ XY« É¿ Ég.
@ áÓ ð u0 = 1
2 Èð B@ AëYm�'
.�éQ̄ªÓ
�éJËA
�J�JÓ (un)
un+1 = 12(u2
n + 1)
un ≤ 1 : n ùªJJ.£ XY« É¿ Ég.
@ áÓ é
K @
á�K. ¬
.�èYK@
Q��Ó (un) �
éJËA�J�JÖÏ @
à
@
�I�.
�K @
. Aî�DKAî
E I. �k@ Õç
�' ,
�éK. PA
�®�JÓ
�éJËA
�J�JÓ (un)
à @ i.
�JJ���@ ®
25 T�f}29¤28 �§rmt�� ��35 T�f}124¤123 �§rmt�� ��
:�y¡Afm�� ºAn�
�§wq�
......................................................... :TO��� �w� T�A� �A\�®�
2
�Am� ©r�bl� :XA
�J�
B@ 7 ��C r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��
�AyRA§C : Am�� ÈAÒ» ø
QjJ. ÊK. :ÐAtF±� �wl� ¨�AmylF:TsF¥m��
Tyb§r�� �wl� T��A��� : Tb`K��¤ «wtsm��
�éKXYªË@
�HAJËA
�J�JÖÏ @ : ¨�r`m�� «wt�m��
.á�
�KPðAj.
�JÓ
á��JJËA
�J�JÓ Ðñê
®Ó ÈAÒª
�J�@ ð
�éQ̄ªÓ − :T�dhtsm�� ��ºAfk��
�é�mÌ'@ Q�� −
�A\�®� dm�� (Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��
:�®W�³�
X 20
X 40
:Tysfn�� T·yht�� ?
: A�C¤A�tm�� Aty�Attm��
:�§r`�
ð�èYK@
Q��Ó AÒë@Yg@
�
IKA¿ @
X @
¡�®
¯ ð @
X @
á��KPðAj.
�JÓ
àA
�JKXY«
àA
�JJËA
�J�JÓ
àñº
�K
. Q®�Ë@ úÍ@
Èð
AK AÒî
DJK.
��Q
®Ë @ ð ,
�é�
�¯A
J�JÓ øQ
k
B@
:Ty}A�
.�éKAî
DË @ �
®
K AÒêË ð
àA
�JK. PA
�®�JÓ AÒî
EA
¯
á��KPðAj.
�JÓ
àA
�JJËA
�J�JÓ
�I
KA¿ @
X @
: �A��
: �K. N úΫàA
�JQ̄ªÓ
àA
�JJËA
�J�JÓ (vn) ð (un)
vn = 1n + 1 ð un = −1
2n + 4.
�é»Q�
��
�ÖÏ @ AÒî�DKAî
E I. �k@ Õç
�'
àA
�KPðAj.
�JÓ (vn) ð (un) á�
�JJËA
�J�JÖÏ @
à
@
�I�.
�K @ -
: ¨qybW� �§rm�
: úÎK AÒ»
á��JQ̄ªÓ
á��JJËA
�J�JÓ (vn) ð (un) áº
�JË
v0 = 1
vn+1 = un + 3vn
4''' ð '''
u0 = 12
un+1 = un + 2vn
3tn = 3un + 8vn ð wn = un − vn : n ù
ªJJ.£ XY« É¿ Ég.
@ áÓ ©
�
�
. Èð B@ AëYg ð AîD�A�
@
á�Jª�K I. Ê¢�
�éJ�Y
Jë (wn) �
éJËA�J�JÖÏ @
à
@
�I�.
�K @ ¬
? Aî�DKAî
E ù
ëAÓ . n
�éËBYK. wn I.
�J»
@ -
? Aî�DKAî
E ù
ë AÓ .
�é�JK. A
�K
�éJËA
�J�JÓ (tn) �
éJËA�J�JÖÏ @
à
@
�I�.
�K @
.àA
�KPðAj.
�JÓ (vn) ð (un) á�
�JJËA
�J�JÖÏ @
à
@
�I�.
�K @ ®
vn�éKAî
E ð un
�éKAî
E i.
�JJ���@ ¯
26 T�f}40¤39 �§rmt�� ��37 T�f}137¤135 �§rmt�� ��
:�y¡Afm�� ºAn�
�§wq�
......................................................... :TO��� �w� T�A� �A\�®�
1
�Am� ©r�bl� :XA
�J�
B@ 8 ��C r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��
�AyRA§C : Am�� ÈAÒ» ø
QjJ. ÊK. :ÐAtF±� �wl� ¨�AmylF:TsF¥m��
Tyb§r�� �wl� T��A��� : Tb`K��¤ «wtsm��
�éKXYªË@
�HAJËA
�J�JÖÏ @ : ¨�r`m�� «wt�m��
.�éKXYªË@
�HAJËA
�J�JÖÏ @ ú
¯ É
KA�Ó Ég − :T�dhtsm�� ��ºAfk��
�é�mÌ'@ Q�� −
�A\�®� dm�� (Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��
:�®W�³�
X 60
:Tysfn�� T·yht�� ?
: �AqybW�
(�� 2015 A§Cw�Ak� ): ¨qybW� �§rm�
f(x) = 4x+1x+1 : �K. [0; +∞[ úΫ
�éQ̄ªÖÏ @
�éË @YË @ f I
. (o;~i,~j) ��Aj.
�JÓ ð YÓAª
�JÓ ÕÎªÓ úÍ@
H. ñ�
�ÖÏ @ ø
ñ
�J�ÖÏ @ ú
¯ ú
GAJJ. Ë @ AêÊJ
�JÖ
�ß (Cf )
[0; +∞[ úΫ f�éË @YË@ Q�
ª
�K èAm.
��' @
� 1y = x
�éËXAªÖÏ @ ø
X (D) Õæ
�®
�J�ÖÏ @ úÍ@
�éJ.�
�ËAK. (Cf ) �
éJª
�ð �PX@ 2[0; 6] ÈAj. ÖÏ @ úΫ (D) ð (Cf ) É
�JÓ 3
: �K. N úΫá�
�JQ̄ªÖÏ @ (Vn) ð (un) á�
�JJËA
�J�JÖÏ @ Q�.
�Jª
K II{
u0 = 2un+1 = f(un) ð
{V0 = 5Vn+1 = f(Vn)
u3 ð u2 , u1 , u0 : XðYmÌ'@ É�@ñ®Ë @ Pñm× ÉÓAg úΫ Zú
�� @ a.1
AîE. A�kàðX V3 ð V2 , V1 , V0 XðYmÌ'@ ð
(Vn) ð (un) á��JJËA
�J�JÖÏ @ áÓ É¿ H. PA
�®
�K ð Q�
ª
�K èAm.
��' @ áÔ
g b
α = 3+√
132 :
�IJk α < Vn ≤ 5 ð 2 ≤ un < α : N áÓ n É¿ Ég.
@ áÓ é
K @
�I�.
�K @ a.2
(Vn) ð (un) á��JJËA
�J�JÖÏ @ áÓ É¿ Q�
ª
�K èAm.
��' @ i.
�JJ���@ b
: N áÓ n É¿ Ég.
@ áÓ é
K @
�I�.
�K @ a.3
Vn+1 − un+1 ≤13(Vn − un)
0 < Vn − un ≤ ( 13 )n−1
: N áÓ n É¿ Ég.
@ áÓ é
K @
á�K. b
(Vn) ð (un) áÓ É¿�éKAî
E XYg Õç
�' , lim
n→+∞(Vn − un) = 0 :
à
@ i.
�JJ���@ c
:�y¡Afm�� ºAn�
1
�Am� ©r�bl� :XA
�J�
B@ 8 ��C r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��
�A\�®� dm�� (Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��
X 60
: rOt�� ��
I
: f Q�ª
�K èAm.
��' @
á�Jª�K ¬
f ′(x) = 3(x+ 1)2 : [0; +∞[ úΫ
��A
�®�J
��CË
�éÊK. A
�¯ f
. [0; +∞[ úΫ AÓAÖ�ß
�èYK@
Q��Ó f : é
JÓ ð
: (D) ð (Cf ) �éJª
�ð
. ¡��. Ë @�èPA
��@
�PY
K ð f(x)− x = −x
2 + 3x+ 1(x+ 1)2
II
. É�@ñ®Ë @ Pñm× úΫ XðYmÌ'@ ZA
��
� @
¬
( AÓAÖ�ß
�èYK@
Q��Ó f
àñ» ÉÒª�J�
� ) ©k. @Q
��ËAK.
àAëQ�. Ë @
: (vn) ð (un) Q�ª
�K èAm.
��' @ h. A
�JJ���@ ®
Ég.
@ áÓ é
K @ AÖß. ð f(x)− x > 0 : [0;α[ áÓ x ù
�®J
�®k XY« É¿ Ég.
@ áÓ A
JKYË ?
. un+1 − un > 0 ø
@ f(un)− un > 0 :
àA
¯ 2 ≤ un < α : n ù
ªJJ.£ XY« É¿
.�èYK@
Q��Ó (un) �
éJËA�J�JÖÏ @ : éJÊ« ð
áÓ éK @ AÖß. ð f(x)− x < 0 : ]α; +∞[ áÓ x ù
�®J
�®k XY« É¿ Ég.
@ áÓ A
JKYË ?
vn+1 − vn < 0 ø
@ f(vn)− vn < 0 :
àA
¯ α < vn ≤ 5 : n ù
ªJJ.£ XY« É¿ Ég.
@
.�é�
�¯A
J�JÓ (vn) �
éJËA�J�JÖÏ @ : éJÊ« ð
¯
vn+1 − un+1 ≤ 13(vn − un) :
à
@
àAJ�.
�K - a
vn+1 − un+1 = 3(vn − un)(vn + 1)(un + 1)
un + 1 ≥ 3 : éJÓ ð un ≥ 2 : n ù
ªJJ.£ XY« É¿ Ég.
@ áÓ A
JKYË
vn + 1 ≥ 3 : éJÓ ð ( α < vn ≤ 5 ) vn ≥ 2 ð
3(vn + 1)(un + 1) ≤
13 : é
JÓ ð (vn + 1)(un + 1) ≥ 9 :
à
X@
vn > un : n ùªJJ.£ XY« É¿ Ég.
@ áÓ
à
@ A�Üß.
.3(vn − un)
(vn + 1)(un + 1) ≤13(vn − un) :
àA
¯
: 0 < vn − un ≤ (13)n−1
à @
àAJ�.
�K - b
( ��K. A�Ë@ È@
ñ�Ë@
£ñ
K ) ©k. @Q
��ËAK.
àAëQ�. Ë @ ÉÒª
�J�
�
limn→+∞
(vn − un) = 0 : Qå�mÌ'@�éJëQ�.Ó I. �k lim
n→+∞(1
3)n−1 = 0 :à
@ AÖß. - c
ùë ð
�éKAî
DË @ �
®
K AÒêË ð
àA
�JK. PA
�®�JÓ AÒê
¯
à
X@
àA
�KPðAj.
�JÓ (vn) ð (un)
àA�JJËA
�J�JÖÏ @ •
limn→+∞
un = limn→+∞
vn = α : ø
@ f(x) = x
�éËXAªÖÏ @ Ég
¨�A��� �wRwm�� � � 2016 A§Cw�Ak� ��As�� �§rmt�� ��
:�y¡Afm�� ºAn�
�§wq�
......................................................... :TO��� �w� T�A� �A\�®�
2