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BCC204 - Teoria dos Grafos
Marco Antonio M. Carvalho
(baseado nas notas de aula do prof. Haroldo Gambini Santos)Departamento de Computação
Instituto de Ciências Exatas e BiológicasUniversidade Federal de Ouro Preto
12 de agosto de 2019
Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 12 de agosto de 2019 1 / 41
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Avisos
Site da disciplina:I http://www.decom.ufop.br/marco/
Lista de e-mails:I [email protected]
Para solicitar acesso:I http://groups.google.com/group/bcc204
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Na aula de hoje
1 Introdução
2 Exemplos
3 Terminologia
4 Representação
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Grafos
Facebook em 2018: ≈ 2,234 bilhões de usuários ativos.
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Grafos
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Grafos
Facebook Graph Search.
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Grafos
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Grafos
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Grafos
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Grafos
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Histórico
Edsger Dijkstra:“A Ciência da computação tem tanto a ver com o computador como aAstronomia com o telescópio, a Biologia com o microscópio, ou a Químicacom os tubos de ensaio. A Ciência não estuda ferramentas, mas o quefazemos e o que descobrimos com elas.”
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Grafos
HistóricoUm grafo é uma estrutura de abstração muito útil na representação esolução de problemas computacionais, por representarem relações deinterdependência entre elementos de um conjunto.
O primeiro registro de uso data de 1736, por Euler.
O problema era encontrar um caminho circular por Königsberg (atualKaliningrado) usando cada uma das pontes sobre o rio Pregel (ou Pregolya,Pregola) exatamente uma vez.
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Histórico
1736: Euler e as Pontes de Königsberg
Pergunta:Partindo de uma das margens, pode-se encontrar um percurso que passesomente uma vez em cada ponte e retorne ao ponto de partida?
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Pontes de Königsberg - O Grafo
m1
i1
m2
i2
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Grafos
Definição FormalGrafo G = (V ,A)
I Conjunto V com n vértices (também chamados nós){v1, v2, . . . , vn}
I Conjunto A com m arestas ou arcos{a1, a2, . . . , am}
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Grafos
Definição FormalGrafo G = (V ,A)
I Conjunto V com n vértices (também chamados nós){v1, v2, . . . , vn}
I Conjunto A com m arestas ou arcos{a1, a2, . . . , am}
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Grafos
Definição FormalGrafo G = (V ,A)
I Conjunto V com n vértices (também chamados nós){v1, v2, . . . , vn}
I Conjunto A com m arestas ou arcos{a1, a2, . . . , am}
Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 12 de agosto de 2019 16 / 41
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GND - Grafo Não Direcionado
v1
v2
v3
v4
v5
I Ligações expressas em ArestasI Se o vértice a está ligado a b, a recíproca é verdadeira;I Cada aresta é representada por um conjunto {v1, v2}, indicando os
dois vértices envolvidos.
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GD - Grafo Direcionado
v1
v2
v3
v4
v5
I Ligações expressas em Arcos →I Cada arco é representada por um par ordenado (v1, v2), indicando os
dois vértices envolvidos.
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Exemplos: Redes Sociais Analógicas
Chains of AffectionPeter Bearman, James Moody, and Katherine Stovel. Chains of affection:The structure of adolescent romantic and sexual networks. AmericanJournal of Sociology, 110(1):44- 99, 2004.
Pesquisa com 800 estudantes de uma escola secundária americana.
A estrutura das relações românticas e sexuais da Jefferson High School.
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Exemplos: Redes Sociais Analógicas
MachoFêmea
12 9
63
2
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Exemplos: Projeto VLSI
O Problema de Steiner em Grafos
Dado um conjunto de pontos, ligue-os por uma rede de menor tamanhopossível (em número de ligações): eventualmente, outros pontos e ligaçõespodem ser adicionados.
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Terminologia
LaçoUma aresta cujas duas extremidades incidem em um mesmo vértice.
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Terminologia
Arestas ParalelasMais de uma aresta associada ao mesmo par de vértices.
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Terminologia
Grafo simplesGrafo que não possui laços e nem arestas paralelas.
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Terminologia
Vértices AdjacentesVértices que são os pontos finais de uma mesma aresta.A função Γ(i) retorna o conjunto de vértices adjacentes ao vértice i .
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Terminologia
Grau de um VérticeO grau (d(i)) de um vértice i em um grafo não direcionado é igual onúmero de arestas incidentes a i .O grau de entrada (d−(i)) de um vértice i em um grafo direcionado é igualo número de arestas que entram em i .O grau de saída (d+(i)) de um vértice i em um grafo direcionado é igual onúmero de arestas que saem de i .
Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 12 de agosto de 2019 26 / 41
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Conceito
Teorema do Aperto de Mãos HandshakingA soma dos graus de todos os vértices de um GND G é duas vezes onúmero de arestas de G .
n∑i=1
d(i) = 2m
CorolárioO número de vértices de grau ímpar em um GND é par.
Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 12 de agosto de 2019 27 / 41
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Conceito
Teorema do Aperto de Mãos HandshakingA soma dos graus de todos os vértices de um GND G é duas vezes onúmero de arestas de G .
n∑i=1
d(i) = 2m
CorolárioO número de vértices de grau ímpar em um GND é par.
Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 12 de agosto de 2019 27 / 41
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Terminologia
Grafo CompletoUm grafo completo com n vértices, denominado Kn é um grafo simplescontendo exatamente uma aresta para cada par de vértices distintos.
Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 12 de agosto de 2019 28 / 41
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Terminologia
Grafo RegularGrafo no qual todos os vértices possuem o mesmo grau.Obs: qualquer grafo completo é regular.
Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 12 de agosto de 2019 29 / 41
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Terminologia
Vértice IsoladoVértice com nenhuma aresta incidente.
Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 12 de agosto de 2019 30 / 41
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Terminologia
Grafo ConexoPara todo par de vértices i e j de G existe pelo menos um caminho entre ie j .
Grafo DesconexoConsiste de 2 ou mais grafos conexos, chamados de componentes.
Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 12 de agosto de 2019 31 / 41
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Grafo Complemento
DefiniçãoSeja G = (V ,E ) um grafo simples não direcionado, o complemento de G ,G (ou C (G )), é um grafo formado da seguinte maneira:I Os vértices de G são todos os vértices de G ;I As arestas de G são exatamente as arestas que faltam em G para
formarmos um grafo completo.
Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 12 de agosto de 2019 32 / 41
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Grafo Bipartido
DefiniçãoUm grafo é bipartido se o conjunto de vértices V pode ser particionado em2 subconjuntos V1 e V2 tal que todas as arestas do grafo são incidentes aum vértice de V1 e a um vértice de V2.
Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 12 de agosto de 2019 33 / 41
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Grafo Bipartido Completo
DefiniçãoUm grafo bipartido é completo (K|V1|,|V2|) se cada vértice do subconjuntoV1 é adjacente a todos os vértices do subconjunto V2 e vice-versa.
Exemplo de grafos completos (1) e bipartidos completos (2 e 3).
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Grafos - Representação Computacional
Matriz de AdjacênciasMatriz An×n, sendo que:
aij =
{1 se existe a aresta/arco (vi , vj)0 caso contrário
Propriedades:I Simétrica para grafos não direcionados;I Consulta existência de uma aresta/arco com um acesso à memória:
O(1);I Ocupa Θ(n2) de espaço mesmo para grafos esparsos.
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Matriz de Adjacências - Grafo Não Direcionado
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Matriz de Adjacências - Grafo Direcionado
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Grafos - Representação Computacional
Lista de AdjacênciasI Usa n listas, uma para cada vértice;I Lista de vi (o i-ésimo vértice) contém todos os vértices adjacentes a
ele.
Propriedades:I Ocupa menos memória: O(m);I No entanto, a complexidade da operação de determinar uma
adjacência é limitada por O(n).
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Lista de Adjacências - Grafo Não Direcionado
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Exercícios
1 Determine o número de vértices para os seguintes grafos:I G tem 9 arestas e todos os vértices têm grau 3;I G é regular com 15 arestas;I G tem 10 arestas com 2 vértices de grau 4 e todos os outros de grau 3.
2 Dê exemplo de um grafo sem arestas paralelas com 8 vértices com osseguintes graus: 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, e 7
3 Dê exemplo de um grafo conexo sem loops com 7 vértices com osseguintes graus: 1, 1, 2, 3, 4, 5, e 7
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Dúvidas?
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