ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás:...
Transcript of ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás:...
![Page 1: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/1.jpg)
Algebra1, normál 9. előadás 1 / 28
Algebra1, normálELTE Algebra és Számelmélet Tanszék
Előadó: Kiss [email protected]
9. előadás
![Page 2: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/2.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 2 / 28
Egész számok osztása
Példa
223 : 7 =
![Page 3: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/3.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 2 / 28
Egész számok osztása
Példa
223 : 7 =
![Page 4: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/4.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 2 / 28
Egész számok osztása
Példa
223 : 7 = 3
![Page 5: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/5.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 2 / 28
Egész számok osztása
Példa
223 : 7 = 3
Visszaszorzunk
![Page 6: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/6.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 2 / 28
Egész számok osztása
Példa
223 : 7 = 321
Visszaszorzunk
![Page 7: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/7.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 2 / 28
Egész számok osztása
Példa
223 : 7 = 321
Kivonunk
![Page 8: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/8.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 2 / 28
Egész számok osztása
Példa
223 : 7 = 3− 21
Kivonunk
![Page 9: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/9.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 2 / 28
Egész számok osztása
Példa
223 : 7 = 3− 21
1
Kivonunk
![Page 10: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/10.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 2 / 28
Egész számok osztása
Példa
223 : 7 = 3− 21
13
![Page 11: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/11.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 2 / 28
Egész számok osztása
Példa
223 : 7 = 31− 21
13
![Page 12: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/12.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 2 / 28
Egész számok osztása
Példa
223 : 7 = 31− 21
13
Visszaszorzunk
![Page 13: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/13.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 2 / 28
Egész számok osztása
Példa
223 : 7 = 31− 21
137
Visszaszorzunk
![Page 14: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/14.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 2 / 28
Egész számok osztása
Példa
223 : 7 = 31− 21
137
Kivonunk
![Page 15: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/15.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 2 / 28
Egész számok osztása
Példa
223 : 7 = 31− 21
13− 7
Kivonunk
![Page 16: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/16.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 2 / 28
Egész számok osztása
Példa
223 : 7 = 31− 21
13− 7
6
Kivonunk
![Page 17: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/17.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 2 / 28
Egész számok osztása
Példa
223 : 7 = 31− 21
13− 7
6
223 = 7 · 31 + 6.
![Page 18: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/18.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 2 / 28
Egész számok osztása
Példa
223 : 7 = 31− 21
13− 7
6
223 = 7 · 31 + 6.
Állítás (számelméletből)
Minden a, b ∈ Z esetén, ahol b 6= 0, létezik olyan q, r ∈ Z,
![Page 19: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/19.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 2 / 28
Egész számok osztása
Példa
223 : 7 = 31− 21
13− 7
6
223 = 7 · 31 + 6.
Állítás (számelméletből)
Minden a, b ∈ Z esetén, ahol b 6= 0, létezik olyan q, r ∈ Z,hogy a = bq + r
![Page 20: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/20.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 2 / 28
Egész számok osztása
Példa
223 : 7 = 31− 21
13− 7
6
223 = 7 · 31 + 6.
Állítás (számelméletből)
Minden a, b ∈ Z esetén, ahol b 6= 0, létezik olyan q, r ∈ Z,hogy a = bq + r és |r | < |b|.
![Page 21: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/21.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 3 / 28
Polinomok osztása
Példa
(2x3 + 2x2 + 3x + 2) : (x2 + 1) =
![Page 22: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/22.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 3 / 28
Polinomok osztása
Példa
(2x3 + 2x2 + 3x + 2) : (x2 + 1) =
![Page 23: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/23.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 3 / 28
Polinomok osztása
Példa
(2x3 + 2x2 + 3x + 2) : (x2 + 1) =
(2x3)/x2 = 2x
![Page 24: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/24.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 3 / 28
Polinomok osztása
Példa
(2x3 + 2x2 + 3x + 2) : (x2 + 1) = 2x
(2x3)/x2 = 2x
![Page 25: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/25.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 3 / 28
Polinomok osztása
Példa
(2x3 + 2x2 + 3x + 2) : (x2 + 1) = 2x
Visszaszorzunk: (2x)(x2 + 1) = 2x3 + 2x
![Page 26: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/26.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 3 / 28
Polinomok osztása
Példa
(2x3 + 2x2 + 3x + 2) : (x2 + 1) = 2x
(2x3 + 0 + 2x)
Visszaszorzunk: (2x)(x2 + 1) = 2x3 + 2x
![Page 27: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/27.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 3 / 28
Polinomok osztása
Példa
(2x3 + 2x2 + 3x + 2) : (x2 + 1) = 2x
(2x3 + 0 + 2x)
Kivonunk
![Page 28: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/28.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 3 / 28
Polinomok osztása
Példa
(2x3 + 2x2 + 3x + 2) : (x2 + 1) = 2x
− (2x3 + 0 + 2x)
Kivonunk
![Page 29: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/29.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 3 / 28
Polinomok osztása
Példa
(2x3 + 2x2 + 3x + 2) : (x2 + 1) = 2x
− (2x3 + 0 + 2x)
2x2 + x + 2
Kivonunk
![Page 30: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/30.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 3 / 28
Polinomok osztása
Példa
(2x3 + 2x2 + 3x + 2) : (x2 + 1) = 2x
− (2x3 + 0 + 2x)
2x2 + x + 2
![Page 31: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/31.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 3 / 28
Polinomok osztása
Példa
(2x3 + 2x2 + 3x + 2) : (x2 + 1) = 2x
− (2x3 + 0 + 2x)
2x2 + x + 2
(2x2)/x2 = 2
![Page 32: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/32.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 3 / 28
Polinomok osztása
Példa
(2x3 + 2x2 + 3x + 2) : (x2 + 1) = 2x + 2− (2x3 + 0 + 2x)
2x2 + x + 2
(2x2)/x2 = 2
![Page 33: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/33.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 3 / 28
Polinomok osztása
Példa
(2x3 + 2x2 + 3x + 2) : (x2 + 1) = 2x + 2− (2x3 + 0 + 2x)
2x2 + x + 2
Visszaszorzunk: 2(x2 + 1) = 2x2 + 2
![Page 34: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/34.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 3 / 28
Polinomok osztása
Példa
(2x3 + 2x2 + 3x + 2) : (x2 + 1) = 2x + 2− (2x3 + 0 + 2x)
2x2 + x + 2(2x2 + 0 + 2)
Visszaszorzunk: 2(x2 + 1) = 2x2 + 2
![Page 35: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/35.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 3 / 28
Polinomok osztása
Példa
(2x3 + 2x2 + 3x + 2) : (x2 + 1) = 2x + 2− (2x3 + 0 + 2x)
2x2 + x + 2(2x2 + 0 + 2)
Kivonunk
![Page 36: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/36.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 3 / 28
Polinomok osztása
Példa
(2x3 + 2x2 + 3x + 2) : (x2 + 1) = 2x + 2− (2x3 + 0 + 2x)
2x2 + x + 2− (2x2 + 0 + 2)
Kivonunk
![Page 37: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/37.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 3 / 28
Polinomok osztása
Példa
(2x3 + 2x2 + 3x + 2) : (x2 + 1) = 2x + 2− (2x3 + 0 + 2x)
2x2 + x + 2− (2x2 + 0 + 2)
x
Kivonunk
![Page 38: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/38.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 3 / 28
Polinomok osztása
Példa
(2x3 + 2x2 + 3x + 2) : (x2 + 1) = 2x + 2− (2x3 + 0 + 2x)
2x2 + x + 2− (2x2 + 0 + 2)
x
2x3 + 2x2 + 3x + 2 = (x2 + 1)(2x + 2) + x .
![Page 39: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/39.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 3 / 28
Polinomok osztása
Példa
(2x3 + 2x2 + 3x + 2) : (x2 + 1) = 2x + 2− (2x3 + 0 + 2x)
2x2 + x + 2− (2x2 + 0 + 2)
x
2x3 + 2x2 + 3x + 2 = (x2 + 1)(2x + 2) + x .
Tétel (K3.2.1)
Minden f , g ∈ C[x ] esetén, ahol g 6= 0,
![Page 40: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/40.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 3 / 28
Polinomok osztása
Példa
(2x3 + 2x2 + 3x + 2) : (x2 + 1) = 2x + 2− (2x3 + 0 + 2x)
2x2 + x + 2− (2x2 + 0 + 2)
x
2x3 + 2x2 + 3x + 2 = (x2 + 1)(2x + 2) + x .
Tétel (K3.2.1)
Minden f , g ∈ C[x ] esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan q, r ∈ C[x ],
![Page 41: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/41.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 3 / 28
Polinomok osztása
Példa
(2x3 + 2x2 + 3x + 2) : (x2 + 1) = 2x + 2− (2x3 + 0 + 2x)
2x2 + x + 2− (2x2 + 0 + 2)
x
2x3 + 2x2 + 3x + 2 = (x2 + 1)(2x + 2) + x .
Tétel (K3.2.1)
Minden f , g ∈ C[x ] esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan q, r ∈ C[x ],hogy f = gq + r ,
![Page 42: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/42.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 3 / 28
Polinomok osztása
Példa
(2x3 + 2x2 + 3x + 2) : (x2 + 1) = 2x + 2− (2x3 + 0 + 2x)
2x2 + x + 2− (2x2 + 0 + 2)
x
2x3 + 2x2 + 3x + 2 = (x2 + 1)(2x + 2) + x .
Tétel (K3.2.1)
Minden f , g ∈ C[x ] esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan q, r ∈ C[x ],hogy f = gq + r , és r = 0,
![Page 43: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/43.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 3 / 28
Polinomok osztása
Példa
(2x3 + 2x2 + 3x + 2) : (x2 + 1) = 2x + 2− (2x3 + 0 + 2x)
2x2 + x + 2− (2x2 + 0 + 2)
x
2x3 + 2x2 + 3x + 2 = (x2 + 1)(2x + 2) + x .
Tétel (K3.2.1)
Minden f , g ∈ C[x ] esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan q, r ∈ C[x ],hogy f = gq + r , és r = 0, vagy gr(r) < gr(g).
![Page 44: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/44.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 3 / 28
Polinomok osztása
Példa
(2x3 + 2x2 + 3x + 2) : (x2 + 1) = 2x + 2− (2x3 + 0 + 2x)
2x2 + x + 2− (2x2 + 0 + 2)
x
2x3 + 2x2 + 3x + 2 = (x2 + 1)(2x + 2) + x .
Tétel (K3.2.1)
Minden f , g ∈ C[x ] esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan q, r ∈ C[x ],hogy f = gq + r , és r = 0, vagy gr(r) < gr(g).A q és r egyértelműen meghatározott.
![Page 45: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/45.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28
Maradékos osztás: létezés
Tétel (K3.2.1)
Minden f , g ∈ C[x ] esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan q, r ∈ C[x ],hogy f = gq + r , és r = 0, vagy gr(r) < gr(g).
![Page 46: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/46.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28
Maradékos osztás: létezés
Tétel (K3.2.1)
Minden f , g ∈ C[x ] esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan q, r ∈ C[x ],hogy f = gq + r , és r = 0, vagy gr(r) < gr(g).
Bizonyítás
Indukció gr(f ) szerint.
![Page 47: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/47.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28
Maradékos osztás: létezés
Tétel (K3.2.1)
Minden f , g ∈ C[x ] esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan q, r ∈ C[x ],hogy f = gq + r , és r = 0, vagy gr(r) < gr(g).
Bizonyítás
Indukció gr(f ) szerint. Ha f = 0, vagy gr(f ) < gr(g): f = g ·0+ f .
![Page 48: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/48.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28
Maradékos osztás: létezés
Tétel (K3.2.1)
Minden f , g ∈ C[x ] esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan q, r ∈ C[x ],hogy f = gq + r , és r = 0, vagy gr(r) < gr(g).
Bizonyítás
Indukció gr(f ) szerint. Ha f = 0, vagy gr(f ) < gr(g): f = g ·0+ f .Tegyük föl: gr(f ) = n ≥ gr(g), és az n-nél kisebb fokúakra igaz.
![Page 49: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/49.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28
Maradékos osztás: létezés
Tétel (K3.2.1)
Minden f , g ∈ C[x ] esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan q, r ∈ C[x ],hogy f = gq + r , és r = 0, vagy gr(r) < gr(g).
Bizonyítás
Indukció gr(f ) szerint. Ha f = 0, vagy gr(f ) < gr(g): f = g ·0+ f .Tegyük föl: gr(f ) = n ≥ gr(g), és az n-nél kisebb fokúakra igaz.Legyen f főtagja axn
![Page 50: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/50.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28
Maradékos osztás: létezés
Tétel (K3.2.1)
Minden f , g ∈ C[x ] esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan q, r ∈ C[x ],hogy f = gq + r , és r = 0, vagy gr(r) < gr(g).
Bizonyítás
Indukció gr(f ) szerint. Ha f = 0, vagy gr(f ) < gr(g): f = g ·0+ f .Tegyük föl: gr(f ) = n ≥ gr(g), és az n-nél kisebb fokúakra igaz.Legyen f főtagja axn és g főtagja bxm,
![Page 51: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/51.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28
Maradékos osztás: létezés
Tétel (K3.2.1)
Minden f , g ∈ C[x ] esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan q, r ∈ C[x ],hogy f = gq + r , és r = 0, vagy gr(r) < gr(g).
Bizonyítás
Indukció gr(f ) szerint. Ha f = 0, vagy gr(f ) < gr(g): f = g ·0+ f .Tegyük föl: gr(f ) = n ≥ gr(g), és az n-nél kisebb fokúakra igaz.Legyen f főtagja axn és g főtagja bxm, ahol b 6= 0
![Page 52: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/52.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28
Maradékos osztás: létezés
Tétel (K3.2.1)
Minden f , g ∈ C[x ] esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan q, r ∈ C[x ],hogy f = gq + r , és r = 0, vagy gr(r) < gr(g).
Bizonyítás
Indukció gr(f ) szerint. Ha f = 0, vagy gr(f ) < gr(g): f = g ·0+ f .Tegyük föl: gr(f ) = n ≥ gr(g), és az n-nél kisebb fokúakra igaz.Legyen f főtagja axn és g főtagja bxm, ahol b 6= 0 és m ≤ n.
![Page 53: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/53.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28
Maradékos osztás: létezés
Tétel (K3.2.1)
Minden f , g ∈ C[x ] esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan q, r ∈ C[x ],hogy f = gq + r , és r = 0, vagy gr(r) < gr(g).
Bizonyítás
Indukció gr(f ) szerint. Ha f = 0, vagy gr(f ) < gr(g): f = g ·0+ f .Tegyük föl: gr(f ) = n ≥ gr(g), és az n-nél kisebb fokúakra igaz.Legyen f főtagja axn és g főtagja bxm, ahol b 6= 0 és m ≤ n.Ekkor f0 = f − (a/b)xn−mg -ből kiesik az n-edfokú tag.
![Page 54: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/54.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28
Maradékos osztás: létezés
Tétel (K3.2.1)
Minden f , g ∈ C[x ] esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan q, r ∈ C[x ],hogy f = gq + r , és r = 0, vagy gr(r) < gr(g).
Bizonyítás
Indukció gr(f ) szerint. Ha f = 0, vagy gr(f ) < gr(g): f = g ·0+ f .Tegyük föl: gr(f ) = n ≥ gr(g), és az n-nél kisebb fokúakra igaz.Legyen f főtagja axn és g főtagja bxm, ahol b 6= 0 és m ≤ n.Ekkor f0 = f − (a/b)xn−mg -ből kiesik az n-edfokú tag.Indukciós feltevés: f0 = gq0 + r ,
![Page 55: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/55.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28
Maradékos osztás: létezés
Tétel (K3.2.1)
Minden f , g ∈ C[x ] esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan q, r ∈ C[x ],hogy f = gq + r , és r = 0, vagy gr(r) < gr(g).
Bizonyítás
Indukció gr(f ) szerint. Ha f = 0, vagy gr(f ) < gr(g): f = g ·0+ f .Tegyük föl: gr(f ) = n ≥ gr(g), és az n-nél kisebb fokúakra igaz.Legyen f főtagja axn és g főtagja bxm, ahol b 6= 0 és m ≤ n.Ekkor f0 = f − (a/b)xn−mg -ből kiesik az n-edfokú tag.Indukciós feltevés: f0 = gq0 + r , ahol r = 0, vagy gr(r) < gr(g).
![Page 56: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/56.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28
Maradékos osztás: létezés
Tétel (K3.2.1)
Minden f , g ∈ C[x ] esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan q, r ∈ C[x ],hogy f = gq + r , és r = 0, vagy gr(r) < gr(g).
Bizonyítás
Indukció gr(f ) szerint. Ha f = 0, vagy gr(f ) < gr(g): f = g ·0+ f .Tegyük föl: gr(f ) = n ≥ gr(g), és az n-nél kisebb fokúakra igaz.Legyen f főtagja axn és g főtagja bxm, ahol b 6= 0 és m ≤ n.Ekkor f0 = f − (a/b)xn−mg -ből kiesik az n-edfokú tag.Indukciós feltevés: f0 = gq0 + r , ahol r = 0, vagy gr(r) < gr(g).f = f0 + (a/b)xn−mg
![Page 57: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/57.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28
Maradékos osztás: létezés
Tétel (K3.2.1)
Minden f , g ∈ C[x ] esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan q, r ∈ C[x ],hogy f = gq + r , és r = 0, vagy gr(r) < gr(g).
Bizonyítás
Indukció gr(f ) szerint. Ha f = 0, vagy gr(f ) < gr(g): f = g ·0+ f .Tegyük föl: gr(f ) = n ≥ gr(g), és az n-nél kisebb fokúakra igaz.Legyen f főtagja axn és g főtagja bxm, ahol b 6= 0 és m ≤ n.Ekkor f0 = f − (a/b)xn−mg -ből kiesik az n-edfokú tag.Indukciós feltevés: f0 = gq0 + r , ahol r = 0, vagy gr(r) < gr(g).f = f0 + (a/b)xn−mg = g
(
q0 + (a/b)xn−m)
+ r .
![Page 58: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/58.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28
Maradékos osztás: létezés
Tétel (K3.2.1)
Minden f , g ∈ C[x ] esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan q, r ∈ C[x ],hogy f = gq + r , és r = 0, vagy gr(r) < gr(g).
Bizonyítás
Indukció gr(f ) szerint. Ha f = 0, vagy gr(f ) < gr(g): f = g ·0+ f .Tegyük föl: gr(f ) = n ≥ gr(g), és az n-nél kisebb fokúakra igaz.Legyen f főtagja axn és g főtagja bxm, ahol b 6= 0 és m ≤ n.Ekkor f0 = f − (a/b)xn−mg -ből kiesik az n-edfokú tag.Indukciós feltevés: f0 = gq0 + r , ahol r = 0, vagy gr(r) < gr(g).f = f0 + (a/b)xn−mg = g
(
q0 + (a/b)xn−m)
+ r .Tehát f is elosztható maradékosan g -vel.
![Page 59: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/59.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28
Maradékos osztás: létezés
Tétel (K3.2.1)
Minden f , g ∈ C[x ] esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan q, r ∈ C[x ],hogy f = gq + r , és r = 0, vagy gr(r) < gr(g).
Bizonyítás
Indukció gr(f ) szerint. Ha f = 0, vagy gr(f ) < gr(g): f = g ·0+ f .Tegyük föl: gr(f ) = n ≥ gr(g), és az n-nél kisebb fokúakra igaz.Legyen f főtagja axn és g főtagja bxm, ahol b 6= 0 és m ≤ n.Ekkor f0 = f − (a/b)xn−mg -ből kiesik az n-edfokú tag.Indukciós feltevés: f0 = gq0 + r , ahol r = 0, vagy gr(r) < gr(g).f = f0 + (a/b)xn−mg = g
(
q0 + (a/b)xn−m)
+ r .Tehát f is elosztható maradékosan g -vel.
A q és r együtthatói a négy alapművelettel kaphatók.
![Page 60: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/60.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28
Maradékos osztás: létezés
Tétel (K3.2.1)
Minden f , g ∈ C[x ] esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan q, r ∈ C[x ],hogy f = gq + r , és r = 0, vagy gr(r) < gr(g).
Bizonyítás
Indukció gr(f ) szerint. Ha f = 0, vagy gr(f ) < gr(g): f = g ·0+ f .Tegyük föl: gr(f ) = n ≥ gr(g), és az n-nél kisebb fokúakra igaz.Legyen f főtagja axn és g főtagja bxm, ahol b 6= 0 és m ≤ n.Ekkor f0 = f − (a/b)xn−mg -ből kiesik az n-edfokú tag.Indukciós feltevés: f0 = gq0 + r , ahol r = 0, vagy gr(r) < gr(g).f = f0 + (a/b)xn−mg = g
(
q0 + (a/b)xn−m)
+ r .Tehát f is elosztható maradékosan g -vel.
A q és r együtthatói a négy alapművelettel kaphatók.Az eljárás során csak g főegyütthatójával osztunk.
![Page 61: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/61.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 5 / 28
Maradékos osztás: együtthatók
Tétel (K3.2.1)
Minden f , g ∈ C[x ] esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan q, r ∈ C[x ],hogy f = gq + r , és r = 0, vagy gr(r) < gr(g).
A q és r együtthatói a négy alapművelettel kaphatók.Az eljárás során csak g főegyütthatójával osztunk.
![Page 62: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/62.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 5 / 28
Maradékos osztás: együtthatók
Tétel (K3.2.1)
Minden f , g ∈ C[x ] esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan q, r ∈ C[x ],hogy f = gq + r , és r = 0, vagy gr(r) < gr(g).
A q és r együtthatói a négy alapművelettel kaphatók.Az eljárás során csak g főegyütthatójával osztunk.
Következmény
Lehet maradékosan osztani R[x ]-ben és Q[x ]-ben is.
![Page 63: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/63.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 5 / 28
Maradékos osztás: együtthatók
Tétel (K3.2.1)
Minden f , g ∈ C[x ] esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan q, r ∈ C[x ],hogy f = gq + r , és r = 0, vagy gr(r) < gr(g).
A q és r együtthatói a négy alapművelettel kaphatók.Az eljárás során csak g főegyütthatójával osztunk.
Következmény
Lehet maradékosan osztani R[x ]-ben és Q[x ]-ben is.Oka: R-ben és Q-ban minden nem nulla számmal oszthatunk.
![Page 64: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/64.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 5 / 28
Maradékos osztás: együtthatók
Tétel (K3.2.1)
Minden f , g ∈ C[x ] esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan q, r ∈ C[x ],hogy f = gq + r , és r = 0, vagy gr(r) < gr(g).
A q és r együtthatói a négy alapművelettel kaphatók.Az eljárás során csak g főegyütthatójával osztunk.
Következmény
Lehet maradékosan osztani R[x ]-ben és Q[x ]-ben is.Oka: R-ben és Q-ban minden nem nulla számmal oszthatunk.
Következmény
Z[x ]-ben oszthatunk maradékosan az olyan polinomokkal,
![Page 65: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/65.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 5 / 28
Maradékos osztás: együtthatók
Tétel (K3.2.1)
Minden f , g ∈ C[x ] esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan q, r ∈ C[x ],hogy f = gq + r , és r = 0, vagy gr(r) < gr(g).
A q és r együtthatói a négy alapművelettel kaphatók.Az eljárás során csak g főegyütthatójával osztunk.
Következmény
Lehet maradékosan osztani R[x ]-ben és Q[x ]-ben is.Oka: R-ben és Q-ban minden nem nulla számmal oszthatunk.
Következmény
Z[x ]-ben oszthatunk maradékosan az olyan polinomokkal,amelyek főegyütthatója 1 vagy −1.
![Page 66: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/66.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 5 / 28
Maradékos osztás: együtthatók
Tétel (K3.2.1)
Minden f , g ∈ C[x ] esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan q, r ∈ C[x ],hogy f = gq + r , és r = 0, vagy gr(r) < gr(g).
A q és r együtthatói a négy alapművelettel kaphatók.Az eljárás során csak g főegyütthatójával osztunk.
Következmény
Lehet maradékosan osztani R[x ]-ben és Q[x ]-ben is.Oka: R-ben és Q-ban minden nem nulla számmal oszthatunk.
Következmény
Z[x ]-ben oszthatunk maradékosan az olyan polinomokkal,amelyek főegyütthatója 1 vagy −1.Oka: Z-ben 1-gyel és −1-gyel minden számot eloszthatunk.
![Page 67: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/67.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 6 / 28
Maradékos osztás NINCS Z[x ]-ben
Példa (K3.2.18)
Az x : 2 maradékos osztás nem végezhető el Z[x ]-ben.
![Page 68: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/68.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 6 / 28
Maradékos osztás NINCS Z[x ]-ben
Példa (K3.2.18)
Az x : 2 maradékos osztás nem végezhető el Z[x ]-ben.
Bizonyítás
Indirekt föltevés:
![Page 69: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/69.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 6 / 28
Maradékos osztás NINCS Z[x ]-ben
Példa (K3.2.18)
Az x : 2 maradékos osztás nem végezhető el Z[x ]-ben.
Bizonyítás
Indirekt föltevés:x = 2q + r ,
![Page 70: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/70.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 6 / 28
Maradékos osztás NINCS Z[x ]-ben
Példa (K3.2.18)
Az x : 2 maradékos osztás nem végezhető el Z[x ]-ben.
Bizonyítás
Indirekt föltevés:x = 2q + r , ahol q, r ∈ Z[x ],
![Page 71: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/71.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 6 / 28
Maradékos osztás NINCS Z[x ]-ben
Példa (K3.2.18)
Az x : 2 maradékos osztás nem végezhető el Z[x ]-ben.
Bizonyítás
Indirekt föltevés:x = 2q + r , ahol q, r ∈ Z[x ], és r = 0 vagy gr(r) < gr(2).
![Page 72: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/72.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 6 / 28
Maradékos osztás NINCS Z[x ]-ben
Példa (K3.2.18)
Az x : 2 maradékos osztás nem végezhető el Z[x ]-ben.
Bizonyítás
Indirekt föltevés:x = 2q + r , ahol q, r ∈ Z[x ], és r = 0 vagy gr(r) < gr(2).De gr(r) < gr(2) = 0 nem lehet,
![Page 73: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/73.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 6 / 28
Maradékos osztás NINCS Z[x ]-ben
Példa (K3.2.18)
Az x : 2 maradékos osztás nem végezhető el Z[x ]-ben.
Bizonyítás
Indirekt föltevés:x = 2q + r , ahol q, r ∈ Z[x ], és r = 0 vagy gr(r) < gr(2).De gr(r) < gr(2) = 0 nem lehet, tehát r = 0,
![Page 74: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/74.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 6 / 28
Maradékos osztás NINCS Z[x ]-ben
Példa (K3.2.18)
Az x : 2 maradékos osztás nem végezhető el Z[x ]-ben.
Bizonyítás
Indirekt föltevés:x = 2q + r , ahol q, r ∈ Z[x ], és r = 0 vagy gr(r) < gr(2).De gr(r) < gr(2) = 0 nem lehet, tehát r = 0, azaz x = 2q(x).
![Page 75: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/75.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 6 / 28
Maradékos osztás NINCS Z[x ]-ben
Példa (K3.2.18)
Az x : 2 maradékos osztás nem végezhető el Z[x ]-ben.
Bizonyítás
Indirekt föltevés:x = 2q + r , ahol q, r ∈ Z[x ], és r = 0 vagy gr(r) < gr(2).De gr(r) < gr(2) = 0 nem lehet, tehát r = 0, azaz x = 2q(x).Ez lehetetlen, például x = 1-et helyettesítve azt kapjuk,hogy 1 = 2q(1),
![Page 76: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/76.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 6 / 28
Maradékos osztás NINCS Z[x ]-ben
Példa (K3.2.18)
Az x : 2 maradékos osztás nem végezhető el Z[x ]-ben.
Bizonyítás
Indirekt föltevés:x = 2q + r , ahol q, r ∈ Z[x ], és r = 0 vagy gr(r) < gr(2).De gr(r) < gr(2) = 0 nem lehet, tehát r = 0, azaz x = 2q(x).Ez lehetetlen, például x = 1-et helyettesítve azt kapjuk,hogy 1 = 2q(1), azaz 1 páros szám,
![Page 77: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/77.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 6 / 28
Maradékos osztás NINCS Z[x ]-ben
Példa (K3.2.18)
Az x : 2 maradékos osztás nem végezhető el Z[x ]-ben.
Bizonyítás
Indirekt föltevés:x = 2q + r , ahol q, r ∈ Z[x ], és r = 0 vagy gr(r) < gr(2).De gr(r) < gr(2) = 0 nem lehet, tehát r = 0, azaz x = 2q(x).Ez lehetetlen, például x = 1-et helyettesítve azt kapjuk,hogy 1 = 2q(1), azaz 1 páros szám, ami ellentmondás.
![Page 78: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/78.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 6 / 28
Maradékos osztás NINCS Z[x ]-ben
Példa (K3.2.18)
Az x : 2 maradékos osztás nem végezhető el Z[x ]-ben.
Bizonyítás
Indirekt föltevés:x = 2q + r , ahol q, r ∈ Z[x ], és r = 0 vagy gr(r) < gr(2).De gr(r) < gr(2) = 0 nem lehet, tehát r = 0, azaz x = 2q(x).Ez lehetetlen, például x = 1-et helyettesítve azt kapjuk,hogy 1 = 2q(1), azaz 1 páros szám, ami ellentmondás.
Megjegyzés
Q[x ]-ben x : 2-nél
![Page 79: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/79.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 6 / 28
Maradékos osztás NINCS Z[x ]-ben
Példa (K3.2.18)
Az x : 2 maradékos osztás nem végezhető el Z[x ]-ben.
Bizonyítás
Indirekt föltevés:x = 2q + r , ahol q, r ∈ Z[x ], és r = 0 vagy gr(r) < gr(2).De gr(r) < gr(2) = 0 nem lehet, tehát r = 0, azaz x = 2q(x).Ez lehetetlen, például x = 1-et helyettesítve azt kapjuk,hogy 1 = 2q(1), azaz 1 páros szám, ami ellentmondás.
Megjegyzés
Q[x ]-ben x : 2-nél a hányados x/2,
![Page 80: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/80.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 6 / 28
Maradékos osztás NINCS Z[x ]-ben
Példa (K3.2.18)
Az x : 2 maradékos osztás nem végezhető el Z[x ]-ben.
Bizonyítás
Indirekt föltevés:x = 2q + r , ahol q, r ∈ Z[x ], és r = 0 vagy gr(r) < gr(2).De gr(r) < gr(2) = 0 nem lehet, tehát r = 0, azaz x = 2q(x).Ez lehetetlen, például x = 1-et helyettesítve azt kapjuk,hogy 1 = 2q(1), azaz 1 páros szám, ami ellentmondás.
Megjegyzés
Q[x ]-ben x : 2-nél a hányados x/2, a maradék 0.
![Page 81: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/81.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 6 / 28
Maradékos osztás NINCS Z[x ]-ben
Példa (K3.2.18)
Az x : 2 maradékos osztás nem végezhető el Z[x ]-ben.
Bizonyítás
Indirekt föltevés:x = 2q + r , ahol q, r ∈ Z[x ], és r = 0 vagy gr(r) < gr(2).De gr(r) < gr(2) = 0 nem lehet, tehát r = 0, azaz x = 2q(x).Ez lehetetlen, például x = 1-et helyettesítve azt kapjuk,hogy 1 = 2q(1), azaz 1 páros szám, ami ellentmondás.
Megjegyzés
Q[x ]-ben x : 2-nél a hányados x/2, a maradék 0.Így a maradékos osztás egyértelműségéből is látszik, hogyx : 2 nem végezhető el Z[x ]-ben,
![Page 82: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/82.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 6 / 28
Maradékos osztás NINCS Z[x ]-ben
Példa (K3.2.18)
Az x : 2 maradékos osztás nem végezhető el Z[x ]-ben.
Bizonyítás
Indirekt föltevés:x = 2q + r , ahol q, r ∈ Z[x ], és r = 0 vagy gr(r) < gr(2).De gr(r) < gr(2) = 0 nem lehet, tehát r = 0, azaz x = 2q(x).Ez lehetetlen, például x = 1-et helyettesítve azt kapjuk,hogy 1 = 2q(1), azaz 1 páros szám, ami ellentmondás.
Megjegyzés
Q[x ]-ben x : 2-nél a hányados x/2, a maradék 0.Így a maradékos osztás egyértelműségéből is látszik, hogyx : 2 nem végezhető el Z[x ]-ben, hiszen x/2 /∈ Z[x ].
![Page 83: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/83.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 7 / 28
Maradékos osztás: egyértelműség
Tétel (K3.2.1)
Legyen f , g ∈ C[x ], ahol g 6= 0.
![Page 84: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/84.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 7 / 28
Maradékos osztás: egyértelműség
Tétel (K3.2.1)
Legyen f , g ∈ C[x ], ahol g 6= 0.f = gq1 + r1,
![Page 85: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/85.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 7 / 28
Maradékos osztás: egyértelműség
Tétel (K3.2.1)
Legyen f , g ∈ C[x ], ahol g 6= 0.f = gq1 + r1, ahol r1 = 0, vagy gr(r1) < gr(g).
![Page 86: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/86.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 7 / 28
Maradékos osztás: egyértelműség
Tétel (K3.2.1)
Legyen f , g ∈ C[x ], ahol g 6= 0.f = gq1 + r1, ahol r1 = 0, vagy gr(r1) < gr(g).f = gq2 + r2,
![Page 87: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/87.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 7 / 28
Maradékos osztás: egyértelműség
Tétel (K3.2.1)
Legyen f , g ∈ C[x ], ahol g 6= 0.f = gq1 + r1, ahol r1 = 0, vagy gr(r1) < gr(g).f = gq2 + r2, ahol r2 = 0, vagy gr(r2) < gr(g).
![Page 88: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/88.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 7 / 28
Maradékos osztás: egyértelműség
Tétel (K3.2.1)
Legyen f , g ∈ C[x ], ahol g 6= 0.f = gq1 + r1, ahol r1 = 0, vagy gr(r1) < gr(g).f = gq2 + r2, ahol r2 = 0, vagy gr(r2) < gr(g).Ekkor q1 = q2
![Page 89: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/89.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 7 / 28
Maradékos osztás: egyértelműség
Tétel (K3.2.1)
Legyen f , g ∈ C[x ], ahol g 6= 0.f = gq1 + r1, ahol r1 = 0, vagy gr(r1) < gr(g).f = gq2 + r2, ahol r2 = 0, vagy gr(r2) < gr(g).Ekkor q1 = q2 és r1 = r2.
![Page 90: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/90.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 7 / 28
Maradékos osztás: egyértelműség
Tétel (K3.2.1)
Legyen f , g ∈ C[x ], ahol g 6= 0.f = gq1 + r1, ahol r1 = 0, vagy gr(r1) < gr(g).f = gq2 + r2, ahol r2 = 0, vagy gr(r2) < gr(g).Ekkor q1 = q2 és r1 = r2.
Bizonyítás
gq1 + r1 = f = gq2 + r2,
![Page 91: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/91.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 7 / 28
Maradékos osztás: egyértelműség
Tétel (K3.2.1)
Legyen f , g ∈ C[x ], ahol g 6= 0.f = gq1 + r1, ahol r1 = 0, vagy gr(r1) < gr(g).f = gq2 + r2, ahol r2 = 0, vagy gr(r2) < gr(g).Ekkor q1 = q2 és r1 = r2.
Bizonyítás
gq1 + r1 = f = gq2 + r2, átrendezéssel g(q1 − q2) = r2 − r1.
![Page 92: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/92.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 7 / 28
Maradékos osztás: egyértelműség
Tétel (K3.2.1)
Legyen f , g ∈ C[x ], ahol g 6= 0.f = gq1 + r1, ahol r1 = 0, vagy gr(r1) < gr(g).f = gq2 + r2, ahol r2 = 0, vagy gr(r2) < gr(g).Ekkor q1 = q2 és r1 = r2.
Bizonyítás
gq1 + r1 = f = gq2 + r2, átrendezéssel g(q1 − q2) = r2 − r1.Itt r2 − r1 vagy nulla, vagy g -nél kisebb fokú.
![Page 93: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/93.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 7 / 28
Maradékos osztás: egyértelműség
Tétel (K3.2.1)
Legyen f , g ∈ C[x ], ahol g 6= 0.f = gq1 + r1, ahol r1 = 0, vagy gr(r1) < gr(g).f = gq2 + r2, ahol r2 = 0, vagy gr(r2) < gr(g).Ekkor q1 = q2 és r1 = r2.
Bizonyítás
gq1 + r1 = f = gq2 + r2, átrendezéssel g(q1 − q2) = r2 − r1.Itt r2 − r1 vagy nulla, vagy g -nél kisebb fokú.Ha q1 − q2 6= 0, akkorgr(
g(q1 − q2))
= gr(g) + gr(q1 − q2)
![Page 94: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/94.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 7 / 28
Maradékos osztás: egyértelműség
Tétel (K3.2.1)
Legyen f , g ∈ C[x ], ahol g 6= 0.f = gq1 + r1, ahol r1 = 0, vagy gr(r1) < gr(g).f = gq2 + r2, ahol r2 = 0, vagy gr(r2) < gr(g).Ekkor q1 = q2 és r1 = r2.
Bizonyítás
gq1 + r1 = f = gq2 + r2, átrendezéssel g(q1 − q2) = r2 − r1.Itt r2 − r1 vagy nulla, vagy g -nél kisebb fokú.Ha q1 − q2 6= 0, akkorgr(
g(q1 − q2))
= gr(g) + gr(q1 − q2) ≥ gr(g).
![Page 95: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/95.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 7 / 28
Maradékos osztás: egyértelműség
Tétel (K3.2.1)
Legyen f , g ∈ C[x ], ahol g 6= 0.f = gq1 + r1, ahol r1 = 0, vagy gr(r1) < gr(g).f = gq2 + r2, ahol r2 = 0, vagy gr(r2) < gr(g).Ekkor q1 = q2 és r1 = r2.
Bizonyítás
gq1 + r1 = f = gq2 + r2, átrendezéssel g(q1 − q2) = r2 − r1.Itt r2 − r1 vagy nulla, vagy g -nél kisebb fokú.Ha q1 − q2 6= 0, akkorgr(
g(q1 − q2))
= gr(g) + gr(q1 − q2) ≥ gr(g).Tehát a bal oldal foka nagyobb a jobb oldal fokánál: ellentmondás.
![Page 96: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/96.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 7 / 28
Maradékos osztás: egyértelműség
Tétel (K3.2.1)
Legyen f , g ∈ C[x ], ahol g 6= 0.f = gq1 + r1, ahol r1 = 0, vagy gr(r1) < gr(g).f = gq2 + r2, ahol r2 = 0, vagy gr(r2) < gr(g).Ekkor q1 = q2 és r1 = r2.
Bizonyítás
gq1 + r1 = f = gq2 + r2, átrendezéssel g(q1 − q2) = r2 − r1.Itt r2 − r1 vagy nulla, vagy g -nél kisebb fokú.Ha q1 − q2 6= 0, akkorgr(
g(q1 − q2))
= gr(g) + gr(q1 − q2) ≥ gr(g).Tehát a bal oldal foka nagyobb a jobb oldal fokánál: ellentmondás.Ezért q1 − q2 = 0,
![Page 97: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/97.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 7 / 28
Maradékos osztás: egyértelműség
Tétel (K3.2.1)
Legyen f , g ∈ C[x ], ahol g 6= 0.f = gq1 + r1, ahol r1 = 0, vagy gr(r1) < gr(g).f = gq2 + r2, ahol r2 = 0, vagy gr(r2) < gr(g).Ekkor q1 = q2 és r1 = r2.
Bizonyítás
gq1 + r1 = f = gq2 + r2, átrendezéssel g(q1 − q2) = r2 − r1.Itt r2 − r1 vagy nulla, vagy g -nél kisebb fokú.Ha q1 − q2 6= 0, akkorgr(
g(q1 − q2))
= gr(g) + gr(q1 − q2) ≥ gr(g).Tehát a bal oldal foka nagyobb a jobb oldal fokánál: ellentmondás.Ezért q1 − q2 = 0, és így q1 = q2.
![Page 98: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/98.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 7 / 28
Maradékos osztás: egyértelműség
Tétel (K3.2.1)
Legyen f , g ∈ C[x ], ahol g 6= 0.f = gq1 + r1, ahol r1 = 0, vagy gr(r1) < gr(g).f = gq2 + r2, ahol r2 = 0, vagy gr(r2) < gr(g).Ekkor q1 = q2 és r1 = r2.
Bizonyítás
gq1 + r1 = f = gq2 + r2, átrendezéssel g(q1 − q2) = r2 − r1.Itt r2 − r1 vagy nulla, vagy g -nél kisebb fokú.Ha q1 − q2 6= 0, akkorgr(
g(q1 − q2))
= gr(g) + gr(q1 − q2) ≥ gr(g).Tehát a bal oldal foka nagyobb a jobb oldal fokánál: ellentmondás.Ezért q1 − q2 = 0, és így q1 = q2.De akkor r2 − r1 = g · 0 = 0,
![Page 99: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/99.jpg)
A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 7 / 28
Maradékos osztás: egyértelműség
Tétel (K3.2.1)
Legyen f , g ∈ C[x ], ahol g 6= 0.f = gq1 + r1, ahol r1 = 0, vagy gr(r1) < gr(g).f = gq2 + r2, ahol r2 = 0, vagy gr(r2) < gr(g).Ekkor q1 = q2 és r1 = r2.
Bizonyítás
gq1 + r1 = f = gq2 + r2, átrendezéssel g(q1 − q2) = r2 − r1.Itt r2 − r1 vagy nulla, vagy g -nél kisebb fokú.Ha q1 − q2 6= 0, akkorgr(
g(q1 − q2))
= gr(g) + gr(q1 − q2) ≥ gr(g).Tehát a bal oldal foka nagyobb a jobb oldal fokánál: ellentmondás.Ezért q1 − q2 = 0, és így q1 = q2.De akkor r2 − r1 = g · 0 = 0, és így r1 = r2.
![Page 100: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/100.jpg)
Oszthatóság polinomok között Algebra1, normál 9. előadás 8 / 28
Oszthatóság
Definíció (K3.1.3)
Legyen R a C,R,Q,Z egyike.
![Page 101: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/101.jpg)
Oszthatóság polinomok között Algebra1, normál 9. előadás 8 / 28
Oszthatóság
Definíció (K3.1.3)
Legyen R a C,R,Q,Z egyike. Azt mondjuk, hogya g ∈ R[x ] polinom osztója f ∈ R[x ]-nek R[x ]-ben,
![Page 102: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/102.jpg)
Oszthatóság polinomok között Algebra1, normál 9. előadás 8 / 28
Oszthatóság
Definíció (K3.1.3)
Legyen R a C,R,Q,Z egyike. Azt mondjuk, hogya g ∈ R[x ] polinom osztója f ∈ R[x ]-nek R[x ]-ben,ha létezik olyan h ∈ R[x ] polinom, hogy f (x) = g(x)h(x).
![Page 103: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/103.jpg)
Oszthatóság polinomok között Algebra1, normál 9. előadás 8 / 28
Oszthatóság
Definíció (K3.1.3)
Legyen R a C,R,Q,Z egyike. Azt mondjuk, hogya g ∈ R[x ] polinom osztója f ∈ R[x ]-nek R[x ]-ben,ha létezik olyan h ∈ R[x ] polinom, hogy f (x) = g(x)h(x).Jelölés: g | f (vagy néha g |R[x] f ).
![Page 104: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/104.jpg)
Oszthatóság polinomok között Algebra1, normál 9. előadás 8 / 28
Oszthatóság
Definíció (K3.1.3)
Legyen R a C,R,Q,Z egyike. Azt mondjuk, hogya g ∈ R[x ] polinom osztója f ∈ R[x ]-nek R[x ]-ben,ha létezik olyan h ∈ R[x ] polinom, hogy f (x) = g(x)h(x).Jelölés: g | f (vagy néha g |R[x] f ).
Példák
x + 1 osztója x2 − 1-nek
![Page 105: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/105.jpg)
Oszthatóság polinomok között Algebra1, normál 9. előadás 8 / 28
Oszthatóság
Definíció (K3.1.3)
Legyen R a C,R,Q,Z egyike. Azt mondjuk, hogya g ∈ R[x ] polinom osztója f ∈ R[x ]-nek R[x ]-ben,ha létezik olyan h ∈ R[x ] polinom, hogy f (x) = g(x)h(x).Jelölés: g | f (vagy néha g |R[x] f ).
Példák
x + 1 osztója x2 − 1-nek C[x ], R[x ], Q[x ], Z[x ] mindegyikében,
![Page 106: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/106.jpg)
Oszthatóság polinomok között Algebra1, normál 9. előadás 8 / 28
Oszthatóság
Definíció (K3.1.3)
Legyen R a C,R,Q,Z egyike. Azt mondjuk, hogya g ∈ R[x ] polinom osztója f ∈ R[x ]-nek R[x ]-ben,ha létezik olyan h ∈ R[x ] polinom, hogy f (x) = g(x)h(x).Jelölés: g | f (vagy néha g |R[x] f ).
Példák
x + 1 osztója x2 − 1-nek C[x ], R[x ], Q[x ], Z[x ] mindegyikében,mert x2 − 1 = (x + 1)(x − 1),
![Page 107: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/107.jpg)
Oszthatóság polinomok között Algebra1, normál 9. előadás 8 / 28
Oszthatóság
Definíció (K3.1.3)
Legyen R a C,R,Q,Z egyike. Azt mondjuk, hogya g ∈ R[x ] polinom osztója f ∈ R[x ]-nek R[x ]-ben,ha létezik olyan h ∈ R[x ] polinom, hogy f (x) = g(x)h(x).Jelölés: g | f (vagy néha g |R[x] f ).
Példák
x + 1 osztója x2 − 1-nek C[x ], R[x ], Q[x ], Z[x ] mindegyikében,mert x2 − 1 = (x + 1)(x − 1), és x + 1 ∈ Z[x ],Q[x ],R[x ],C[x ].
![Page 108: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/108.jpg)
Oszthatóság polinomok között Algebra1, normál 9. előadás 8 / 28
Oszthatóság
Definíció (K3.1.3)
Legyen R a C,R,Q,Z egyike. Azt mondjuk, hogya g ∈ R[x ] polinom osztója f ∈ R[x ]-nek R[x ]-ben,ha létezik olyan h ∈ R[x ] polinom, hogy f (x) = g(x)h(x).Jelölés: g | f (vagy néha g |R[x] f ).
Példák
x + 1 osztója x2 − 1-nek C[x ], R[x ], Q[x ], Z[x ] mindegyikében,mert x2 − 1 = (x + 1)(x − 1), és x + 1 ∈ Z[x ],Q[x ],R[x ],C[x ].
2 osztója x-nek
![Page 109: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/109.jpg)
Oszthatóság polinomok között Algebra1, normál 9. előadás 8 / 28
Oszthatóság
Definíció (K3.1.3)
Legyen R a C,R,Q,Z egyike. Azt mondjuk, hogya g ∈ R[x ] polinom osztója f ∈ R[x ]-nek R[x ]-ben,ha létezik olyan h ∈ R[x ] polinom, hogy f (x) = g(x)h(x).Jelölés: g | f (vagy néha g |R[x] f ).
Példák
x + 1 osztója x2 − 1-nek C[x ], R[x ], Q[x ], Z[x ] mindegyikében,mert x2 − 1 = (x + 1)(x − 1), és x + 1 ∈ Z[x ],Q[x ],R[x ],C[x ].
2 osztója x-nek C[x ], R[x ], Q[x ] mindegyikében,
![Page 110: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/110.jpg)
Oszthatóság polinomok között Algebra1, normál 9. előadás 8 / 28
Oszthatóság
Definíció (K3.1.3)
Legyen R a C,R,Q,Z egyike. Azt mondjuk, hogya g ∈ R[x ] polinom osztója f ∈ R[x ]-nek R[x ]-ben,ha létezik olyan h ∈ R[x ] polinom, hogy f (x) = g(x)h(x).Jelölés: g | f (vagy néha g |R[x] f ).
Példák
x + 1 osztója x2 − 1-nek C[x ], R[x ], Q[x ], Z[x ] mindegyikében,mert x2 − 1 = (x + 1)(x − 1), és x + 1 ∈ Z[x ],Q[x ],R[x ],C[x ].
2 osztója x-nek C[x ], R[x ], Q[x ] mindegyikében,mert x = 2(x/2),
![Page 111: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/111.jpg)
Oszthatóság polinomok között Algebra1, normál 9. előadás 8 / 28
Oszthatóság
Definíció (K3.1.3)
Legyen R a C,R,Q,Z egyike. Azt mondjuk, hogya g ∈ R[x ] polinom osztója f ∈ R[x ]-nek R[x ]-ben,ha létezik olyan h ∈ R[x ] polinom, hogy f (x) = g(x)h(x).Jelölés: g | f (vagy néha g |R[x] f ).
Példák
x + 1 osztója x2 − 1-nek C[x ], R[x ], Q[x ], Z[x ] mindegyikében,mert x2 − 1 = (x + 1)(x − 1), és x + 1 ∈ Z[x ],Q[x ],R[x ],C[x ].
2 osztója x-nek C[x ], R[x ], Q[x ] mindegyikében,mert x = 2(x/2), és x/2 ∈ Q[x ],R[x ],C[x ].
![Page 112: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/112.jpg)
Oszthatóság polinomok között Algebra1, normál 9. előadás 8 / 28
Oszthatóság
Definíció (K3.1.3)
Legyen R a C,R,Q,Z egyike. Azt mondjuk, hogya g ∈ R[x ] polinom osztója f ∈ R[x ]-nek R[x ]-ben,ha létezik olyan h ∈ R[x ] polinom, hogy f (x) = g(x)h(x).Jelölés: g | f (vagy néha g |R[x] f ).
Példák
x + 1 osztója x2 − 1-nek C[x ], R[x ], Q[x ], Z[x ] mindegyikében,mert x2 − 1 = (x + 1)(x − 1), és x + 1 ∈ Z[x ],Q[x ],R[x ],C[x ].
2 osztója x-nek C[x ], R[x ], Q[x ] mindegyikében,mert x = 2(x/2), és x/2 ∈ Q[x ],R[x ],C[x ].
2 nem osztója x-nek Z[x ]-ben,
![Page 113: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/113.jpg)
Oszthatóság polinomok között Algebra1, normál 9. előadás 8 / 28
Oszthatóság
Definíció (K3.1.3)
Legyen R a C,R,Q,Z egyike. Azt mondjuk, hogya g ∈ R[x ] polinom osztója f ∈ R[x ]-nek R[x ]-ben,ha létezik olyan h ∈ R[x ] polinom, hogy f (x) = g(x)h(x).Jelölés: g | f (vagy néha g |R[x] f ).
Példák
x + 1 osztója x2 − 1-nek C[x ], R[x ], Q[x ], Z[x ] mindegyikében,mert x2 − 1 = (x + 1)(x − 1), és x + 1 ∈ Z[x ],Q[x ],R[x ],C[x ].
2 osztója x-nek C[x ], R[x ], Q[x ] mindegyikében,mert x = 2(x/2), és x/2 ∈ Q[x ],R[x ],C[x ].
2 nem osztója x-nek Z[x ]-ben, mert ha 2h(x) = x lenne,ahol h(x) = c0 + c1x + . . ., és c0, c1, . . . egészek,
![Page 114: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/114.jpg)
Oszthatóság polinomok között Algebra1, normál 9. előadás 8 / 28
Oszthatóság
Definíció (K3.1.3)
Legyen R a C,R,Q,Z egyike. Azt mondjuk, hogya g ∈ R[x ] polinom osztója f ∈ R[x ]-nek R[x ]-ben,ha létezik olyan h ∈ R[x ] polinom, hogy f (x) = g(x)h(x).Jelölés: g | f (vagy néha g |R[x] f ).
Példák
x + 1 osztója x2 − 1-nek C[x ], R[x ], Q[x ], Z[x ] mindegyikében,mert x2 − 1 = (x + 1)(x − 1), és x + 1 ∈ Z[x ],Q[x ],R[x ],C[x ].
2 osztója x-nek C[x ], R[x ], Q[x ] mindegyikében,mert x = 2(x/2), és x/2 ∈ Q[x ],R[x ],C[x ].
2 nem osztója x-nek Z[x ]-ben, mert ha 2h(x) = x lenne,ahol h(x) = c0 + c1x + . . ., és c0, c1, . . . egészek,akkor x együtthatóját véve 2c1 = 1 teljesülne.
![Page 115: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/115.jpg)
Oszthatóság polinomok között Algebra1, normál 9. előadás 9 / 28
A hányados együtthatói
Következmény (K3.2.2)
Tegyük föl, hogy g(x) osztója f (x)-nek C[x ]-ben,és f , g ∈ R[x ].
![Page 116: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/116.jpg)
Oszthatóság polinomok között Algebra1, normál 9. előadás 9 / 28
A hányados együtthatói
Következmény (K3.2.2)
Tegyük föl, hogy g(x) osztója f (x)-nek C[x ]-ben,és f , g ∈ R[x ]. Ekkor g | f teljesül R[x ]-ben is.
![Page 117: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/117.jpg)
Oszthatóság polinomok között Algebra1, normál 9. előadás 9 / 28
A hányados együtthatói
Következmény (K3.2.2)
Tegyük föl, hogy g(x) osztója f (x)-nek C[x ]-ben,és f , g ∈ R[x ]. Ekkor g | f teljesül R[x ]-ben is.
Bizonyítás
A feltevés szerint f (x) = g(x)h(x), ahol h ∈ C[x ].
![Page 118: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/118.jpg)
Oszthatóság polinomok között Algebra1, normál 9. előadás 9 / 28
A hányados együtthatói
Következmény (K3.2.2)
Tegyük föl, hogy g(x) osztója f (x)-nek C[x ]-ben,és f , g ∈ R[x ]. Ekkor g | f teljesül R[x ]-ben is.
Bizonyítás
A feltevés szerint f (x) = g(x)h(x), ahol h ∈ C[x ].Osszuk el maradékosan f -et g -vel R[x ]-ben:
![Page 119: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/119.jpg)
Oszthatóság polinomok között Algebra1, normál 9. előadás 9 / 28
A hányados együtthatói
Következmény (K3.2.2)
Tegyük föl, hogy g(x) osztója f (x)-nek C[x ]-ben,és f , g ∈ R[x ]. Ekkor g | f teljesül R[x ]-ben is.
Bizonyítás
A feltevés szerint f (x) = g(x)h(x), ahol h ∈ C[x ].Osszuk el maradékosan f -et g -vel R[x ]-ben:
f = gq + r ,
![Page 120: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/120.jpg)
Oszthatóság polinomok között Algebra1, normál 9. előadás 9 / 28
A hányados együtthatói
Következmény (K3.2.2)
Tegyük föl, hogy g(x) osztója f (x)-nek C[x ]-ben,és f , g ∈ R[x ]. Ekkor g | f teljesül R[x ]-ben is.
Bizonyítás
A feltevés szerint f (x) = g(x)h(x), ahol h ∈ C[x ].Osszuk el maradékosan f -et g -vel R[x ]-ben:
f = gq + r ,ahol q, r ∈ R[x ]
![Page 121: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/121.jpg)
Oszthatóság polinomok között Algebra1, normál 9. előadás 9 / 28
A hányados együtthatói
Következmény (K3.2.2)
Tegyük föl, hogy g(x) osztója f (x)-nek C[x ]-ben,és f , g ∈ R[x ]. Ekkor g | f teljesül R[x ]-ben is.
Bizonyítás
A feltevés szerint f (x) = g(x)h(x), ahol h ∈ C[x ].Osszuk el maradékosan f -et g -vel R[x ]-ben:
f = gq + r ,ahol q, r ∈ R[x ] és r = 0, vagy gr(r) < gr(g).
![Page 122: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/122.jpg)
Oszthatóság polinomok között Algebra1, normál 9. előadás 9 / 28
A hányados együtthatói
Következmény (K3.2.2)
Tegyük föl, hogy g(x) osztója f (x)-nek C[x ]-ben,és f , g ∈ R[x ]. Ekkor g | f teljesül R[x ]-ben is.
Bizonyítás
A feltevés szerint f (x) = g(x)h(x), ahol h ∈ C[x ].Osszuk el maradékosan f -et g -vel R[x ]-ben:
f = gq + r ,ahol q, r ∈ R[x ] és r = 0, vagy gr(r) < gr(g).Ez C[x ]-ben is egy maradékos osztás.
![Page 123: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/123.jpg)
Oszthatóság polinomok között Algebra1, normál 9. előadás 9 / 28
A hányados együtthatói
Következmény (K3.2.2)
Tegyük föl, hogy g(x) osztója f (x)-nek C[x ]-ben,és f , g ∈ R[x ]. Ekkor g | f teljesül R[x ]-ben is.
Bizonyítás
A feltevés szerint f (x) = g(x)h(x), ahol h ∈ C[x ].Osszuk el maradékosan f -et g -vel R[x ]-ben:
f = gq + r ,ahol q, r ∈ R[x ] és r = 0, vagy gr(r) < gr(g).Ez C[x ]-ben is egy maradékos osztás. De C[x ]-ben
f = gh + 0is egy maradékos osztás.
![Page 124: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/124.jpg)
Oszthatóság polinomok között Algebra1, normál 9. előadás 9 / 28
A hányados együtthatói
Következmény (K3.2.2)
Tegyük föl, hogy g(x) osztója f (x)-nek C[x ]-ben,és f , g ∈ R[x ]. Ekkor g | f teljesül R[x ]-ben is.
Bizonyítás
A feltevés szerint f (x) = g(x)h(x), ahol h ∈ C[x ].Osszuk el maradékosan f -et g -vel R[x ]-ben:
f = gq + r ,ahol q, r ∈ R[x ] és r = 0, vagy gr(r) < gr(g).Ez C[x ]-ben is egy maradékos osztás. De C[x ]-ben
f = gh + 0is egy maradékos osztás. A C[x ]-beli egyértelműség miatt
![Page 125: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/125.jpg)
Oszthatóság polinomok között Algebra1, normál 9. előadás 9 / 28
A hányados együtthatói
Következmény (K3.2.2)
Tegyük föl, hogy g(x) osztója f (x)-nek C[x ]-ben,és f , g ∈ R[x ]. Ekkor g | f teljesül R[x ]-ben is.
Bizonyítás
A feltevés szerint f (x) = g(x)h(x), ahol h ∈ C[x ].Osszuk el maradékosan f -et g -vel R[x ]-ben:
f = gq + r ,ahol q, r ∈ R[x ] és r = 0, vagy gr(r) < gr(g).Ez C[x ]-ben is egy maradékos osztás. De C[x ]-ben
f = gh + 0is egy maradékos osztás. A C[x ]-beli egyértelműség miattq(x) = h(x).
![Page 126: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/126.jpg)
Oszthatóság polinomok között Algebra1, normál 9. előadás 9 / 28
A hányados együtthatói
Következmény (K3.2.2)
Tegyük föl, hogy g(x) osztója f (x)-nek C[x ]-ben,és f , g ∈ R[x ]. Ekkor g | f teljesül R[x ]-ben is.
Bizonyítás
A feltevés szerint f (x) = g(x)h(x), ahol h ∈ C[x ].Osszuk el maradékosan f -et g -vel R[x ]-ben:
f = gq + r ,ahol q, r ∈ R[x ] és r = 0, vagy gr(r) < gr(g).Ez C[x ]-ben is egy maradékos osztás. De C[x ]-ben
f = gh + 0is egy maradékos osztás. A C[x ]-beli egyértelműség miattq(x) = h(x). De q ∈ R[x ],
![Page 127: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/127.jpg)
Oszthatóság polinomok között Algebra1, normál 9. előadás 9 / 28
A hányados együtthatói
Következmény (K3.2.2)
Tegyük föl, hogy g(x) osztója f (x)-nek C[x ]-ben,és f , g ∈ R[x ]. Ekkor g | f teljesül R[x ]-ben is.
Bizonyítás
A feltevés szerint f (x) = g(x)h(x), ahol h ∈ C[x ].Osszuk el maradékosan f -et g -vel R[x ]-ben:
f = gq + r ,ahol q, r ∈ R[x ] és r = 0, vagy gr(r) < gr(g).Ez C[x ]-ben is egy maradékos osztás. De C[x ]-ben
f = gh + 0is egy maradékos osztás. A C[x ]-beli egyértelműség miattq(x) = h(x). De q ∈ R[x ], ezért h ∈ R[x ].
![Page 128: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/128.jpg)
Oszthatóság polinomok között Algebra1, normál 9. előadás 9 / 28
A hányados együtthatói
Következmény (K3.2.2)
Tegyük föl, hogy g(x) osztója f (x)-nek C[x ]-ben,és f , g ∈ R[x ]. Ekkor g | f teljesül R[x ]-ben is.
Bizonyítás
A feltevés szerint f (x) = g(x)h(x), ahol h ∈ C[x ].Osszuk el maradékosan f -et g -vel R[x ]-ben:
f = gq + r ,ahol q, r ∈ R[x ] és r = 0, vagy gr(r) < gr(g).Ez C[x ]-ben is egy maradékos osztás. De C[x ]-ben
f = gh + 0is egy maradékos osztás. A C[x ]-beli egyértelműség miattq(x) = h(x). De q ∈ R[x ], ezért h ∈ R[x ].
Ugyanígy R helyett Q-ra is.
![Page 129: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/129.jpg)
Oszthatóság polinomok között Algebra1, normál 9. előadás 10 / 28
Egységek
Definíció (K3.1.9)
Legyen R a C,R,Q,Z egyike.
![Page 130: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/130.jpg)
Oszthatóság polinomok között Algebra1, normál 9. előadás 10 / 28
Egységek
Definíció (K3.1.9)
Legyen R a C,R,Q,Z egyike. Azt mondjuk, hogya g ∈ R[x ] polinom egység R[x ]-ben,
![Page 131: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/131.jpg)
Oszthatóság polinomok között Algebra1, normál 9. előadás 10 / 28
Egységek
Definíció (K3.1.9)
Legyen R a C,R,Q,Z egyike. Azt mondjuk, hogya g ∈ R[x ] polinom egység R[x ]-ben,ha minden R[x ]-beli polinomnak osztója R[x ]-ben.
![Page 132: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/132.jpg)
Oszthatóság polinomok között Algebra1, normál 9. előadás 10 / 28
Egységek
Definíció (K3.1.9)
Legyen R a C,R,Q,Z egyike. Azt mondjuk, hogya g ∈ R[x ] polinom egység R[x ]-ben,ha minden R[x ]-beli polinomnak osztója R[x ]-ben.
Állítás (K3.1.11)
C[x ], R[x ], Q[x ] egységei a nem nulla konstans polinomok.
![Page 133: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/133.jpg)
Oszthatóság polinomok között Algebra1, normál 9. előadás 10 / 28
Egységek
Definíció (K3.1.9)
Legyen R a C,R,Q,Z egyike. Azt mondjuk, hogya g ∈ R[x ] polinom egység R[x ]-ben,ha minden R[x ]-beli polinomnak osztója R[x ]-ben.
Állítás (K3.1.11)
C[x ], R[x ], Q[x ] egységei a nem nulla konstans polinomok.Z[x ] egységei csak az 1 és a −1.
![Page 134: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/134.jpg)
Oszthatóság polinomok között Algebra1, normál 9. előadás 10 / 28
Egységek
Definíció (K3.1.9)
Legyen R a C,R,Q,Z egyike. Azt mondjuk, hogya g ∈ R[x ] polinom egység R[x ]-ben,ha minden R[x ]-beli polinomnak osztója R[x ]-ben.
Állítás (K3.1.11)
C[x ], R[x ], Q[x ] egységei a nem nulla konstans polinomok.Z[x ] egységei csak az 1 és a −1.
Bizonyítás (vázlat)
Ha g(x) egység, akkor osztója a konstans 1 polinomnak,azaz van reciproka.
![Page 135: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/135.jpg)
Oszthatóság polinomok között Algebra1, normál 9. előadás 10 / 28
Egységek
Definíció (K3.1.9)
Legyen R a C,R,Q,Z egyike. Azt mondjuk, hogya g ∈ R[x ] polinom egység R[x ]-ben,ha minden R[x ]-beli polinomnak osztója R[x ]-ben.
Állítás (K3.1.11)
C[x ], R[x ], Q[x ] egységei a nem nulla konstans polinomok.Z[x ] egységei csak az 1 és a −1.
Bizonyítás (vázlat)
Ha g(x) egység, akkor osztója a konstans 1 polinomnak,azaz van reciproka. Láttuk (fokszámmal), hogy g konstans.
![Page 136: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/136.jpg)
Oszthatóság polinomok között Algebra1, normál 9. előadás 10 / 28
Egységek
Definíció (K3.1.9)
Legyen R a C,R,Q,Z egyike. Azt mondjuk, hogya g ∈ R[x ] polinom egység R[x ]-ben,ha minden R[x ]-beli polinomnak osztója R[x ]-ben.
Állítás (K3.1.11)
C[x ], R[x ], Q[x ] egységei a nem nulla konstans polinomok.Z[x ] egységei csak az 1 és a −1.
Bizonyítás (vázlat)
Ha g(x) egység, akkor osztója a konstans 1 polinomnak,azaz van reciproka. Láttuk (fokszámmal), hogy g konstans.C,R,Q-ban minden nem nulla számmal lehet osztani,
![Page 137: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/137.jpg)
Oszthatóság polinomok között Algebra1, normál 9. előadás 10 / 28
Egységek
Definíció (K3.1.9)
Legyen R a C,R,Q,Z egyike. Azt mondjuk, hogya g ∈ R[x ] polinom egység R[x ]-ben,ha minden R[x ]-beli polinomnak osztója R[x ]-ben.
Állítás (K3.1.11)
C[x ], R[x ], Q[x ] egységei a nem nulla konstans polinomok.Z[x ] egységei csak az 1 és a −1.
Bizonyítás (vázlat)
Ha g(x) egység, akkor osztója a konstans 1 polinomnak,azaz van reciproka. Láttuk (fokszámmal), hogy g konstans.C,R,Q-ban minden nem nulla számmal lehet osztani,Z-ben csak ±1-gyel osztható minden szám.
![Page 138: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/138.jpg)
Oszthatóság polinomok között Algebra1, normál 9. előadás 11 / 28
Kitüntetett közös osztó
Definíció (K3.1.19)
Legyen R a C,R,Q,Z egyike.
![Page 139: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/139.jpg)
Oszthatóság polinomok között Algebra1, normál 9. előadás 11 / 28
Kitüntetett közös osztó
Definíció (K3.1.19)
Legyen R a C,R,Q,Z egyike. Azt mondjuk, hogy h(x)az f , g ∈ R[x ] polinomok kitüntetett közös osztója R[x ]-ben,
![Page 140: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/140.jpg)
Oszthatóság polinomok között Algebra1, normál 9. előadás 11 / 28
Kitüntetett közös osztó
Definíció (K3.1.19)
Legyen R a C,R,Q,Z egyike. Azt mondjuk, hogy h(x)az f , g ∈ R[x ] polinomok kitüntetett közös osztója R[x ]-ben,ha közös osztójuk, azaz h | f és h | g ,
![Page 141: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/141.jpg)
Oszthatóság polinomok között Algebra1, normál 9. előadás 11 / 28
Kitüntetett közös osztó
Definíció (K3.1.19)
Legyen R a C,R,Q,Z egyike. Azt mondjuk, hogy h(x)az f , g ∈ R[x ] polinomok kitüntetett közös osztója R[x ]-ben,ha közös osztójuk, azaz h | f és h | g ,továbbá h az f és g minden közös osztójának többszöröse,
![Page 142: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/142.jpg)
Oszthatóság polinomok között Algebra1, normál 9. előadás 11 / 28
Kitüntetett közös osztó
Definíció (K3.1.19)
Legyen R a C,R,Q,Z egyike. Azt mondjuk, hogy h(x)az f , g ∈ R[x ] polinomok kitüntetett közös osztója R[x ]-ben,ha közös osztójuk, azaz h | f és h | g ,továbbá h az f és g minden közös osztójának többszöröse,azaz tetszőleges k polinomra k | f és k | g esetén k | h.
![Page 143: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/143.jpg)
Oszthatóság polinomok között Algebra1, normál 9. előadás 11 / 28
Kitüntetett közös osztó
Definíció (K3.1.19)
Legyen R a C,R,Q,Z egyike. Azt mondjuk, hogy h(x)az f , g ∈ R[x ] polinomok kitüntetett közös osztója R[x ]-ben,ha közös osztójuk, azaz h | f és h | g ,továbbá h az f és g minden közös osztójának többszöröse,azaz tetszőleges k polinomra k | f és k | g esetén k | h.
Mint számelméletben (K3.1. és K3.2. szakasz)
A kitüntetett közös osztó egységszeres erejéig egyértelműenmeghatározott.
![Page 144: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/144.jpg)
Oszthatóság polinomok között Algebra1, normál 9. előadás 11 / 28
Kitüntetett közös osztó
Definíció (K3.1.19)
Legyen R a C,R,Q,Z egyike. Azt mondjuk, hogy h(x)az f , g ∈ R[x ] polinomok kitüntetett közös osztója R[x ]-ben,ha közös osztójuk, azaz h | f és h | g ,továbbá h az f és g minden közös osztójának többszöröse,azaz tetszőleges k polinomra k | f és k | g esetén k | h.
Mint számelméletben (K3.1. és K3.2. szakasz)
A kitüntetett közös osztó egységszeres erejéig egyértelműenmeghatározott. Azaz ha h1 és h2 is kitüntetett közös osztójaf -nek és g -nek,
![Page 145: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/145.jpg)
Oszthatóság polinomok között Algebra1, normál 9. előadás 11 / 28
Kitüntetett közös osztó
Definíció (K3.1.19)
Legyen R a C,R,Q,Z egyike. Azt mondjuk, hogy h(x)az f , g ∈ R[x ] polinomok kitüntetett közös osztója R[x ]-ben,ha közös osztójuk, azaz h | f és h | g ,továbbá h az f és g minden közös osztójának többszöröse,azaz tetszőleges k polinomra k | f és k | g esetén k | h.
Mint számelméletben (K3.1. és K3.2. szakasz)
A kitüntetett közös osztó egységszeres erejéig egyértelműenmeghatározott. Azaz ha h1 és h2 is kitüntetett közös osztójaf -nek és g -nek, akkor h1 és h2 egymás egységszeresei.
![Page 146: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/146.jpg)
Oszthatóság polinomok között Algebra1, normál 9. előadás 11 / 28
Kitüntetett közös osztó
Definíció (K3.1.19)
Legyen R a C,R,Q,Z egyike. Azt mondjuk, hogy h(x)az f , g ∈ R[x ] polinomok kitüntetett közös osztója R[x ]-ben,ha közös osztójuk, azaz h | f és h | g ,továbbá h az f és g minden közös osztójának többszöröse,azaz tetszőleges k polinomra k | f és k | g esetén k | h.
Mint számelméletben (K3.1. és K3.2. szakasz)
A kitüntetett közös osztó egységszeres erejéig egyértelműenmeghatározott. Azaz ha h1 és h2 is kitüntetett közös osztójaf -nek és g -nek, akkor h1 és h2 egymás egységszeresei.
Az f és g kitüntetett közös osztója C, R, Q fölöttaz euklideszi algoritmussal számítható ki,
![Page 147: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/147.jpg)
Oszthatóság polinomok között Algebra1, normál 9. előadás 11 / 28
Kitüntetett közös osztó
Definíció (K3.1.19)
Legyen R a C,R,Q,Z egyike. Azt mondjuk, hogy h(x)az f , g ∈ R[x ] polinomok kitüntetett közös osztója R[x ]-ben,ha közös osztójuk, azaz h | f és h | g ,továbbá h az f és g minden közös osztójának többszöröse,azaz tetszőleges k polinomra k | f és k | g esetén k | h.
Mint számelméletben (K3.1. és K3.2. szakasz)
A kitüntetett közös osztó egységszeres erejéig egyértelműenmeghatározott. Azaz ha h1 és h2 is kitüntetett közös osztójaf -nek és g -nek, akkor h1 és h2 egymás egységszeresei.
Az f és g kitüntetett közös osztója C, R, Q fölöttaz euklideszi algoritmussal számítható ki, és fölírhatóf (x)u(x) + g(x)v(x) alakban alkalmas u(x), v(x)-re.
![Page 148: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/148.jpg)
Konjugált gyökök Algebra1, normál 9. előadás 12 / 28
Az algebra alaptételének következménye
Beláttuk (K2.5. szakasz)
Minden n-edfokú komplex együtthatós f polinom fölírhatóc(x − b1) . . . (x − bn) alakban, ahol c az f főegyütthatója.
![Page 149: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/149.jpg)
Konjugált gyökök Algebra1, normál 9. előadás 12 / 28
Az algebra alaptételének következménye
Beláttuk (K2.5. szakasz)
Minden n-edfokú komplex együtthatós f polinom fölírhatóc(x − b1) . . . (x − bn) alakban, ahol c az f főegyütthatója.Ez az f polinom gyöktényezős alakja.
![Page 150: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/150.jpg)
Konjugált gyökök Algebra1, normál 9. előadás 12 / 28
Az algebra alaptételének következménye
Beláttuk (K2.5. szakasz)
Minden n-edfokú komplex együtthatós f polinom fölírhatóc(x − b1) . . . (x − bn) alakban, ahol c az f főegyütthatója.Ez az f polinom gyöktényezős alakja.
BeláttukMinden n-edfokú komplex együtthatós polinomnakmultiplicitásokkal számolva n darab gyöke van.
![Page 151: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/151.jpg)
Konjugált gyökök Algebra1, normál 9. előadás 12 / 28
Az algebra alaptételének következménye
Beláttuk (K2.5. szakasz)
Minden n-edfokú komplex együtthatós f polinom fölírhatóc(x − b1) . . . (x − bn) alakban, ahol c az f főegyütthatója.Ez az f polinom gyöktényezős alakja.
BeláttukMinden n-edfokú komplex együtthatós polinomnakmultiplicitásokkal számolva n darab gyöke van.
Állítás (K3.3.9)
Páratlan fokú valós együtthatós polinomnak van valós gyöke.
![Page 152: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/152.jpg)
Konjugált gyökök Algebra1, normál 9. előadás 12 / 28
Az algebra alaptételének következménye
Beláttuk (K2.5. szakasz)
Minden n-edfokú komplex együtthatós f polinom fölírhatóc(x − b1) . . . (x − bn) alakban, ahol c az f főegyütthatója.Ez az f polinom gyöktényezős alakja.
BeláttukMinden n-edfokú komplex együtthatós polinomnakmultiplicitásokkal számolva n darab gyöke van.
Állítás (K3.3.9)
Páratlan fokú valós együtthatós polinomnak van valós gyöke.
Ötlet: párosítsunk minden gyököt a komplex konjugáltjával.
![Page 153: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/153.jpg)
Konjugált gyökök Algebra1, normál 9. előadás 13 / 28
Gyök konjugáltja
Állítás (K3.3.6)
Legyen f = a0 + a1x + . . .+ anxn valós együtthatós polinom.
![Page 154: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/154.jpg)
Konjugált gyökök Algebra1, normál 9. előadás 13 / 28
Gyök konjugáltja
Állítás (K3.3.6)
Legyen f = a0 + a1x + . . .+ anxn valós együtthatós polinom.
Ha c ∈ C gyöke f -nek, akkor c konjugáltja is gyöke f -nek.
![Page 155: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/155.jpg)
Konjugált gyökök Algebra1, normál 9. előadás 13 / 28
Gyök konjugáltja
Állítás (K3.3.6)
Legyen f = a0 + a1x + . . .+ anxn valós együtthatós polinom.
Ha c ∈ C gyöke f -nek, akkor c konjugáltja is gyöke f -nek.
Bizonyítása0 + a1c + . . .+ anc
n = 0,
![Page 156: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/156.jpg)
Konjugált gyökök Algebra1, normál 9. előadás 13 / 28
Gyök konjugáltja
Állítás (K3.3.6)
Legyen f = a0 + a1x + . . .+ anxn valós együtthatós polinom.
Ha c ∈ C gyöke f -nek, akkor c konjugáltja is gyöke f -nek.
Bizonyítása0 + a1c + . . .+ anc
n = 0,vegyük mindkét oldal konjugáltját.
![Page 157: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/157.jpg)
Konjugált gyökök Algebra1, normál 9. előadás 13 / 28
Gyök konjugáltja
Állítás (K3.3.6)
Legyen f = a0 + a1x + . . .+ anxn valós együtthatós polinom.
Ha c ∈ C gyöke f -nek, akkor c konjugáltja is gyöke f -nek.
Bizonyítása0 + a1c + . . .+ anc
n = 0,vegyük mindkét oldal konjugáltját.A konjugálás összeg- és szorzattartó:
![Page 158: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/158.jpg)
Konjugált gyökök Algebra1, normál 9. előadás 13 / 28
Gyök konjugáltja
Állítás (K3.3.6)
Legyen f = a0 + a1x + . . .+ anxn valós együtthatós polinom.
Ha c ∈ C gyöke f -nek, akkor c konjugáltja is gyöke f -nek.
Bizonyítása0 + a1c + . . .+ anc
n = 0,vegyük mindkét oldal konjugáltját.A konjugálás összeg- és szorzattartó:
z + w = z + w
![Page 159: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/159.jpg)
Konjugált gyökök Algebra1, normál 9. előadás 13 / 28
Gyök konjugáltja
Állítás (K3.3.6)
Legyen f = a0 + a1x + . . .+ anxn valós együtthatós polinom.
Ha c ∈ C gyöke f -nek, akkor c konjugáltja is gyöke f -nek.
Bizonyítása0 + a1c + . . .+ anc
n = 0,vegyük mindkét oldal konjugáltját.A konjugálás összeg- és szorzattartó:
z + w = z + w és zw = z w .
![Page 160: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/160.jpg)
Konjugált gyökök Algebra1, normál 9. előadás 13 / 28
Gyök konjugáltja
Állítás (K3.3.6)
Legyen f = a0 + a1x + . . .+ anxn valós együtthatós polinom.
Ha c ∈ C gyöke f -nek, akkor c konjugáltja is gyöke f -nek.
Bizonyítása0 + a1c + . . .+ anc
n = 0,vegyük mindkét oldal konjugáltját.A konjugálás összeg- és szorzattartó:
z + w = z + w és zw = z w .Így ezt kapjuk:
a0
![Page 161: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/161.jpg)
Konjugált gyökök Algebra1, normál 9. előadás 13 / 28
Gyök konjugáltja
Állítás (K3.3.6)
Legyen f = a0 + a1x + . . .+ anxn valós együtthatós polinom.
Ha c ∈ C gyöke f -nek, akkor c konjugáltja is gyöke f -nek.
Bizonyítása0 + a1c + . . .+ anc
n = 0,vegyük mindkét oldal konjugáltját.A konjugálás összeg- és szorzattartó:
z + w = z + w és zw = z w .Így ezt kapjuk:
a0 + a1 c
![Page 162: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/162.jpg)
Konjugált gyökök Algebra1, normál 9. előadás 13 / 28
Gyök konjugáltja
Állítás (K3.3.6)
Legyen f = a0 + a1x + . . .+ anxn valós együtthatós polinom.
Ha c ∈ C gyöke f -nek, akkor c konjugáltja is gyöke f -nek.
Bizonyítása0 + a1c + . . .+ anc
n = 0,vegyük mindkét oldal konjugáltját.A konjugálás összeg- és szorzattartó:
z + w = z + w és zw = z w .Így ezt kapjuk:
a0 + a1 c + . . .+ an cn
![Page 163: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/163.jpg)
Konjugált gyökök Algebra1, normál 9. előadás 13 / 28
Gyök konjugáltja
Állítás (K3.3.6)
Legyen f = a0 + a1x + . . .+ anxn valós együtthatós polinom.
Ha c ∈ C gyöke f -nek, akkor c konjugáltja is gyöke f -nek.
Bizonyítása0 + a1c + . . .+ anc
n = 0,vegyük mindkét oldal konjugáltját.A konjugálás összeg- és szorzattartó:
z + w = z + w és zw = z w .Így ezt kapjuk:
a0 + a1 c + . . .+ an cn = 0
![Page 164: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/164.jpg)
Konjugált gyökök Algebra1, normál 9. előadás 13 / 28
Gyök konjugáltja
Állítás (K3.3.6)
Legyen f = a0 + a1x + . . .+ anxn valós együtthatós polinom.
Ha c ∈ C gyöke f -nek, akkor c konjugáltja is gyöke f -nek.
Bizonyítása0 + a1c + . . .+ anc
n = 0,vegyük mindkét oldal konjugáltját.A konjugálás összeg- és szorzattartó:
z + w = z + w és zw = z w .Így ezt kapjuk:
a0 + a1 c + . . .+ an cn = 0Valós szám konjugáltja önmaga,
![Page 165: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/165.jpg)
Konjugált gyökök Algebra1, normál 9. előadás 13 / 28
Gyök konjugáltja
Állítás (K3.3.6)
Legyen f = a0 + a1x + . . .+ anxn valós együtthatós polinom.
Ha c ∈ C gyöke f -nek, akkor c konjugáltja is gyöke f -nek.
Bizonyítása0 + a1c + . . .+ anc
n = 0,vegyük mindkét oldal konjugáltját.A konjugálás összeg- és szorzattartó:
z + w = z + w és zw = z w .Így ezt kapjuk:
a0 + a1 c + . . .+ an cn = 0Valós szám konjugáltja önmaga, tehát 0 = 0
![Page 166: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/166.jpg)
Konjugált gyökök Algebra1, normál 9. előadás 13 / 28
Gyök konjugáltja
Állítás (K3.3.6)
Legyen f = a0 + a1x + . . .+ anxn valós együtthatós polinom.
Ha c ∈ C gyöke f -nek, akkor c konjugáltja is gyöke f -nek.
Bizonyítása0 + a1c + . . .+ anc
n = 0,vegyük mindkét oldal konjugáltját.A konjugálás összeg- és szorzattartó:
z + w = z + w és zw = z w .Így ezt kapjuk:
a0 + a1 c + . . .+ an cn = 0Valós szám konjugáltja önmaga, tehát 0 = 0 és aj = aj .
![Page 167: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/167.jpg)
Konjugált gyökök Algebra1, normál 9. előadás 13 / 28
Gyök konjugáltja
Állítás (K3.3.6)
Legyen f = a0 + a1x + . . .+ anxn valós együtthatós polinom.
Ha c ∈ C gyöke f -nek, akkor c konjugáltja is gyöke f -nek.
Bizonyítása0 + a1c + . . .+ anc
n = 0,vegyük mindkét oldal konjugáltját.A konjugálás összeg- és szorzattartó:
z + w = z + w és zw = z w .Így ezt kapjuk:
f(
c)
= a0 + a1 c + . . .+ an cn = 0Valós szám konjugáltja önmaga, tehát 0 = 0 és aj = aj .Így a bal oldalon f
(
c)
áll,
![Page 168: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/168.jpg)
Konjugált gyökök Algebra1, normál 9. előadás 13 / 28
Gyök konjugáltja
Állítás (K3.3.6)
Legyen f = a0 + a1x + . . .+ anxn valós együtthatós polinom.
Ha c ∈ C gyöke f -nek, akkor c konjugáltja is gyöke f -nek.
Bizonyítása0 + a1c + . . .+ anc
n = 0,vegyük mindkét oldal konjugáltját.A konjugálás összeg- és szorzattartó:
z + w = z + w és zw = z w .Így ezt kapjuk:
f(
c)
= a0 + a1 c + . . .+ an cn = 0 = 0.Valós szám konjugáltja önmaga, tehát 0 = 0 és aj = aj .Így a bal oldalon f
(
c)
áll, a jobb oldalon 0,
![Page 169: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/169.jpg)
Konjugált gyökök Algebra1, normál 9. előadás 13 / 28
Gyök konjugáltja
Állítás (K3.3.6)
Legyen f = a0 + a1x + . . .+ anxn valós együtthatós polinom.
Ha c ∈ C gyöke f -nek, akkor c konjugáltja is gyöke f -nek.
Bizonyítása0 + a1c + . . .+ anc
n = 0,vegyük mindkét oldal konjugáltját.A konjugálás összeg- és szorzattartó:
z + w = z + w és zw = z w .Így ezt kapjuk:
f(
c)
= a0 + a1 c + . . .+ an cn = 0 = 0.Valós szám konjugáltja önmaga, tehát 0 = 0 és aj = aj .Így a bal oldalon f
(
c)
áll, a jobb oldalon 0,tehát c gyöke f -nek.
![Page 170: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/170.jpg)
Konjugált gyökök Algebra1, normál 9. előadás 14 / 28
A konjugált multiplicitása
Állítás (K3.3.6)
A c és a c ugyanannyiszoros gyöke f -nek.
![Page 171: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/171.jpg)
Konjugált gyökök Algebra1, normál 9. előadás 14 / 28
A konjugált multiplicitása
Állítás (K3.3.6)
A c és a c ugyanannyiszoros gyöke f -nek.
Bizonyítás
f foka szerinti indukcióval.
![Page 172: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/172.jpg)
Konjugált gyökök Algebra1, normál 9. előadás 14 / 28
A konjugált multiplicitása
Állítás (K3.3.6)
A c és a c ugyanannyiszoros gyöke f -nek.
Bizonyítás
f foka szerinti indukcióval. Ha c valós: nyilvánvaló.
![Page 173: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/173.jpg)
Konjugált gyökök Algebra1, normál 9. előadás 14 / 28
A konjugált multiplicitása
Állítás (K3.3.6)
A c és a c ugyanannyiszoros gyöke f -nek.
Bizonyítás
f foka szerinti indukcióval. Ha c valós: nyilvánvaló.Legyen c = a + bi ,
![Page 174: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/174.jpg)
Konjugált gyökök Algebra1, normál 9. előadás 14 / 28
A konjugált multiplicitása
Állítás (K3.3.6)
A c és a c ugyanannyiszoros gyöke f -nek.
Bizonyítás
f foka szerinti indukcióval. Ha c valós: nyilvánvaló.Legyen c = a + bi , ekkor c = a − bi .
![Page 175: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/175.jpg)
Konjugált gyökök Algebra1, normál 9. előadás 14 / 28
A konjugált multiplicitása
Állítás (K3.3.6)
A c és a c ugyanannyiszoros gyöke f -nek.
Bizonyítás
f foka szerinti indukcióval. Ha c valós: nyilvánvaló.Legyen c = a + bi , ekkor c = a − bi . Ha c nem valós,akkor c 6= c,
![Page 176: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/176.jpg)
Konjugált gyökök Algebra1, normál 9. előadás 14 / 28
A konjugált multiplicitása
Állítás (K3.3.6)
A c és a c ugyanannyiszoros gyöke f -nek.
Bizonyítás
f foka szerinti indukcióval. Ha c valós: nyilvánvaló.Legyen c = a + bi , ekkor c = a − bi . Ha c nem valós,akkor c 6= c, így x − c és x − c egyszerre kiemelhetők.
![Page 177: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/177.jpg)
Konjugált gyökök Algebra1, normál 9. előadás 14 / 28
A konjugált multiplicitása
Állítás (K3.3.6)
A c és a c ugyanannyiszoros gyöke f -nek.
Bizonyítás
f foka szerinti indukcióval. Ha c valós: nyilvánvaló.Legyen c = a + bi , ekkor c = a − bi . Ha c nem valós,akkor c 6= c, így x − c és x − c egyszerre kiemelhetők.Tehát f (x) = (x − c)(x − c)h(x),
![Page 178: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/178.jpg)
Konjugált gyökök Algebra1, normál 9. előadás 14 / 28
A konjugált multiplicitása
Állítás (K3.3.6)
A c és a c ugyanannyiszoros gyöke f -nek.
Bizonyítás
f foka szerinti indukcióval. Ha c valós: nyilvánvaló.Legyen c = a + bi , ekkor c = a − bi . Ha c nem valós,akkor c 6= c, így x − c és x − c egyszerre kiemelhetők.Tehát f (x) = (x − c)(x − c)h(x), ahol h ∈ C[x ].
![Page 179: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/179.jpg)
Konjugált gyökök Algebra1, normál 9. előadás 14 / 28
A konjugált multiplicitása
Állítás (K3.3.6)
A c és a c ugyanannyiszoros gyöke f -nek.
Bizonyítás
f foka szerinti indukcióval. Ha c valós: nyilvánvaló.Legyen c = a + bi , ekkor c = a − bi . Ha c nem valós,akkor c 6= c, így x − c és x − c egyszerre kiemelhetők.Tehát f (x) = (x − c)(x − c)h(x), ahol h ∈ C[x ].(x − c)(x − c) =
![Page 180: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/180.jpg)
Konjugált gyökök Algebra1, normál 9. előadás 14 / 28
A konjugált multiplicitása
Állítás (K3.3.6)
A c és a c ugyanannyiszoros gyöke f -nek.
Bizonyítás
f foka szerinti indukcióval. Ha c valós: nyilvánvaló.Legyen c = a + bi , ekkor c = a − bi . Ha c nem valós,akkor c 6= c, így x − c és x − c egyszerre kiemelhetők.Tehát f (x) = (x − c)(x − c)h(x), ahol h ∈ C[x ].(x − c)(x − c) = x2 − (c + c)x + cc =
![Page 181: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/181.jpg)
Konjugált gyökök Algebra1, normál 9. előadás 14 / 28
A konjugált multiplicitása
Állítás (K3.3.6)
A c és a c ugyanannyiszoros gyöke f -nek.
Bizonyítás
f foka szerinti indukcióval. Ha c valós: nyilvánvaló.Legyen c = a + bi , ekkor c = a − bi . Ha c nem valós,akkor c 6= c, így x − c és x − c egyszerre kiemelhetők.Tehát f (x) = (x − c)(x − c)h(x), ahol h ∈ C[x ].(x − c)(x − c) = x2 − (c + c)x + cc = x2 − 2ax +(a2 + b2)
![Page 182: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/182.jpg)
Konjugált gyökök Algebra1, normál 9. előadás 14 / 28
A konjugált multiplicitása
Állítás (K3.3.6)
A c és a c ugyanannyiszoros gyöke f -nek.
Bizonyítás
f foka szerinti indukcióval. Ha c valós: nyilvánvaló.Legyen c = a + bi , ekkor c = a − bi . Ha c nem valós,akkor c 6= c, így x − c és x − c egyszerre kiemelhetők.Tehát f (x) = (x − c)(x − c)h(x), ahol h ∈ C[x ].(x − c)(x − c) = x2 − (c + c)x + cc = x2 − 2ax +(a2 + b2) ∈ R[x ].
![Page 183: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/183.jpg)
Konjugált gyökök Algebra1, normál 9. előadás 14 / 28
A konjugált multiplicitása
Állítás (K3.3.6)
A c és a c ugyanannyiszoros gyöke f -nek.
Bizonyítás
f foka szerinti indukcióval. Ha c valós: nyilvánvaló.Legyen c = a + bi , ekkor c = a − bi . Ha c nem valós,akkor c 6= c, így x − c és x − c egyszerre kiemelhetők.Tehát f (x) = (x − c)(x − c)h(x), ahol h ∈ C[x ].(x − c)(x − c) = x2 − (c + c)x + cc = x2 − 2ax +(a2 + b2) ∈ R[x ].A korábbi Következmény (K3.2.2) miatt h(x) is valós együtthatós.
![Page 184: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/184.jpg)
Konjugált gyökök Algebra1, normál 9. előadás 14 / 28
A konjugált multiplicitása
Állítás (K3.3.6)
A c és a c ugyanannyiszoros gyöke f -nek.
Bizonyítás
f foka szerinti indukcióval. Ha c valós: nyilvánvaló.Legyen c = a + bi , ekkor c = a − bi . Ha c nem valós,akkor c 6= c, így x − c és x − c egyszerre kiemelhetők.Tehát f (x) = (x − c)(x − c)h(x), ahol h ∈ C[x ].(x − c)(x − c) = x2 − (c + c)x + cc = x2 − 2ax +(a2 + b2) ∈ R[x ].A korábbi Következmény (K3.2.2) miatt h(x) is valós együtthatós.Az indukciós feltevés miatt c és c ugyanannyiszoros,mondjuk k-szoros gyökei h(x)-nek
![Page 185: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/185.jpg)
Konjugált gyökök Algebra1, normál 9. előadás 14 / 28
A konjugált multiplicitása
Állítás (K3.3.6)
A c és a c ugyanannyiszoros gyöke f -nek.
Bizonyítás
f foka szerinti indukcióval. Ha c valós: nyilvánvaló.Legyen c = a + bi , ekkor c = a − bi . Ha c nem valós,akkor c 6= c, így x − c és x − c egyszerre kiemelhetők.Tehát f (x) = (x − c)(x − c)h(x), ahol h ∈ C[x ].(x − c)(x − c) = x2 − (c + c)x + cc = x2 − 2ax +(a2 + b2) ∈ R[x ].A korábbi Következmény (K3.2.2) miatt h(x) is valós együtthatós.Az indukciós feltevés miatt c és c ugyanannyiszoros,mondjuk k-szoros gyökei h(x)-nek (k = 0 is lehet!).
![Page 186: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/186.jpg)
Konjugált gyökök Algebra1, normál 9. előadás 14 / 28
A konjugált multiplicitása
Állítás (K3.3.6)
A c és a c ugyanannyiszoros gyöke f -nek.
Bizonyítás
f foka szerinti indukcióval. Ha c valós: nyilvánvaló.Legyen c = a + bi , ekkor c = a − bi . Ha c nem valós,akkor c 6= c, így x − c és x − c egyszerre kiemelhetők.Tehát f (x) = (x − c)(x − c)h(x), ahol h ∈ C[x ].(x − c)(x − c) = x2 − (c + c)x + cc = x2 − 2ax +(a2 + b2) ∈ R[x ].A korábbi Következmény (K3.2.2) miatt h(x) is valós együtthatós.Az indukciós feltevés miatt c és c ugyanannyiszoros,mondjuk k-szoros gyökei h(x)-nek (k = 0 is lehet!).Így f (x)-nek c és c is k + 1-szeres gyöke.
![Page 187: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/187.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 15 / 28
Polinomok szorzatra bontása
CélPolinomok szorzatra bontása, ameddig csak lehetséges.
![Page 188: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/188.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 15 / 28
Polinomok szorzatra bontása
CélPolinomok szorzatra bontása, ameddig csak lehetséges.Hasonlít a számok szorzatra bontásához:
![Page 189: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/189.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 15 / 28
Polinomok szorzatra bontása
CélPolinomok szorzatra bontása, ameddig csak lehetséges.Hasonlít a számok szorzatra bontásához: 12 = 2 · 2 · 3.
![Page 190: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/190.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 15 / 28
Polinomok szorzatra bontása
CélPolinomok szorzatra bontása, ameddig csak lehetséges.Hasonlít a számok szorzatra bontásához: 12 = 2 · 2 · 3.Itt 2 és 3 felbonthatatlan, azaz irreducibilis számok.
![Page 191: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/191.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 15 / 28
Polinomok szorzatra bontása
CélPolinomok szorzatra bontása, ameddig csak lehetséges.Hasonlít a számok szorzatra bontásához: 12 = 2 · 2 · 3.Itt 2 és 3 felbonthatatlan, azaz irreducibilis számok.
Definíció-kísérletEgy polinomot nevezzünk irreducibilisnek (felbonthatatlannak),
![Page 192: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/192.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 15 / 28
Polinomok szorzatra bontása
CélPolinomok szorzatra bontása, ameddig csak lehetséges.Hasonlít a számok szorzatra bontásához: 12 = 2 · 2 · 3.Itt 2 és 3 felbonthatatlan, azaz irreducibilis számok.
Definíció-kísérletEgy polinomot nevezzünk irreducibilisnek (felbonthatatlannak),ha nem lehet szorzatra bontani.
![Page 193: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/193.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 15 / 28
Polinomok szorzatra bontása
CélPolinomok szorzatra bontása, ameddig csak lehetséges.Hasonlít a számok szorzatra bontásához: 12 = 2 · 2 · 3.Itt 2 és 3 felbonthatatlan, azaz irreducibilis számok.
Definíció-kísérletEgy polinomot nevezzünk irreducibilisnek (felbonthatatlannak),ha nem lehet szorzatra bontani.
Problémák(1) Az x irreducibilis?
![Page 194: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/194.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 15 / 28
Polinomok szorzatra bontása
CélPolinomok szorzatra bontása, ameddig csak lehetséges.Hasonlít a számok szorzatra bontásához: 12 = 2 · 2 · 3.Itt 2 és 3 felbonthatatlan, azaz irreducibilis számok.
Definíció-kísérletEgy polinomot nevezzünk irreducibilisnek (felbonthatatlannak),ha nem lehet szorzatra bontani.
Problémák(1) Az x irreducibilis? x = 1 · x
![Page 195: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/195.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 15 / 28
Polinomok szorzatra bontása
CélPolinomok szorzatra bontása, ameddig csak lehetséges.Hasonlít a számok szorzatra bontásához: 12 = 2 · 2 · 3.Itt 2 és 3 felbonthatatlan, azaz irreducibilis számok.
Definíció-kísérletEgy polinomot nevezzünk irreducibilisnek (felbonthatatlannak),ha nem lehet szorzatra bontani.
Problémák(1) Az x irreducibilis? x = 1 · x = (−1)(−x)
![Page 196: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/196.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 15 / 28
Polinomok szorzatra bontása
CélPolinomok szorzatra bontása, ameddig csak lehetséges.Hasonlít a számok szorzatra bontásához: 12 = 2 · 2 · 3.Itt 2 és 3 felbonthatatlan, azaz irreducibilis számok.
Definíció-kísérletEgy polinomot nevezzünk irreducibilisnek (felbonthatatlannak),ha nem lehet szorzatra bontani.
Problémák(1) Az x irreducibilis? x = 1 · x = (−1)(−x) = (1/2)(2x).
![Page 197: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/197.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 15 / 28
Polinomok szorzatra bontása
CélPolinomok szorzatra bontása, ameddig csak lehetséges.Hasonlít a számok szorzatra bontásához: 12 = 2 · 2 · 3.Itt 2 és 3 felbonthatatlan, azaz irreducibilis számok.
Definíció-kísérletEgy polinomot nevezzünk irreducibilisnek (felbonthatatlannak),ha nem lehet szorzatra bontani.
Problémák(1) Az x irreducibilis? x = 1 · x = (−1)(−x) = (1/2)(2x).
Ugyanígy 2 = 1 · 2,
![Page 198: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/198.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 15 / 28
Polinomok szorzatra bontása
CélPolinomok szorzatra bontása, ameddig csak lehetséges.Hasonlít a számok szorzatra bontásához: 12 = 2 · 2 · 3.Itt 2 és 3 felbonthatatlan, azaz irreducibilis számok.
Definíció-kísérletEgy polinomot nevezzünk irreducibilisnek (felbonthatatlannak),ha nem lehet szorzatra bontani.
Problémák(1) Az x irreducibilis? x = 1 · x = (−1)(−x) = (1/2)(2x).
Ugyanígy 2 = 1 · 2, de a 2 mégis felbonthatatlan szám.
![Page 199: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/199.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 15 / 28
Polinomok szorzatra bontása
CélPolinomok szorzatra bontása, ameddig csak lehetséges.Hasonlít a számok szorzatra bontásához: 12 = 2 · 2 · 3.Itt 2 és 3 felbonthatatlan, azaz irreducibilis számok.
Definíció-kísérletEgy polinomot nevezzünk irreducibilisnek (felbonthatatlannak),ha nem lehet szorzatra bontani.
Problémák(1) Az x irreducibilis? x = 1 · x = (−1)(−x) = (1/2)(2x).
Ugyanígy 2 = 1 · 2, de a 2 mégis felbonthatatlan szám.
(2) x2 + 1 = (x + i)(x − i) valós fölött nem bontható föl.
![Page 200: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/200.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 15 / 28
Polinomok szorzatra bontása
CélPolinomok szorzatra bontása, ameddig csak lehetséges.Hasonlít a számok szorzatra bontásához: 12 = 2 · 2 · 3.Itt 2 és 3 felbonthatatlan, azaz irreducibilis számok.
Definíció-kísérletEgy polinomot nevezzünk irreducibilisnek (felbonthatatlannak),ha nem lehet szorzatra bontani.
Problémák(1) Az x irreducibilis? x = 1 · x = (−1)(−x) = (1/2)(2x).
Ugyanígy 2 = 1 · 2, de a 2 mégis felbonthatatlan szám.
(2) x2 + 1 = (x + i)(x − i) valós fölött nem bontható föl.Akkor most x2 + 1 irreducibilis-e, vagy sem?
![Page 201: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/201.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 16 / 28
Felbonthatatlan számok
Emlékeztető számelméletbőlAz egész számok között az egységek: 1 és −1.
![Page 202: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/202.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 16 / 28
Felbonthatatlan számok
Emlékeztető számelméletbőlAz egész számok között az egységek: 1 és −1.Az n szám triviális felbontása n = ab,
![Page 203: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/203.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 16 / 28
Felbonthatatlan számok
Emlékeztető számelméletbőlAz egész számok között az egységek: 1 és −1.Az n szám triviális felbontása n = ab, ha a vagy b egység.
![Page 204: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/204.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 16 / 28
Felbonthatatlan számok
Emlékeztető számelméletbőlAz egész számok között az egységek: 1 és −1.Az n szám triviális felbontása n = ab, ha a vagy b egység.Vagyis n = 1 · n
![Page 205: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/205.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 16 / 28
Felbonthatatlan számok
Emlékeztető számelméletbőlAz egész számok között az egységek: 1 és −1.Az n szám triviális felbontása n = ab, ha a vagy b egység.Vagyis n = 1 · n = n · 1
![Page 206: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/206.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 16 / 28
Felbonthatatlan számok
Emlékeztető számelméletbőlAz egész számok között az egységek: 1 és −1.Az n szám triviális felbontása n = ab, ha a vagy b egység.Vagyis n = 1 · n = n · 1 = (−1)(−n)
![Page 207: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/207.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 16 / 28
Felbonthatatlan számok
Emlékeztető számelméletbőlAz egész számok között az egységek: 1 és −1.Az n szám triviális felbontása n = ab, ha a vagy b egység.Vagyis n = 1 · n = n · 1 = (−1)(−n) = (−n)(−1).
![Page 208: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/208.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 16 / 28
Felbonthatatlan számok
Emlékeztető számelméletbőlAz egész számok között az egységek: 1 és −1.Az n szám triviális felbontása n = ab, ha a vagy b egység.Vagyis n = 1 · n = n · 1 = (−1)(−n) = (−n)(−1).Az n szám felbonthatatlan, ha nincs nemtriviális felbontása.
![Page 209: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/209.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 16 / 28
Felbonthatatlan számok
Emlékeztető számelméletbőlAz egész számok között az egységek: 1 és −1.Az n szám triviális felbontása n = ab, ha a vagy b egység.Vagyis n = 1 · n = n · 1 = (−1)(−n) = (−n)(−1).Az n szám felbonthatatlan, ha nincs nemtriviális felbontása.A felbonthatatlanok közül kizárjuk az egységeket.
![Page 210: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/210.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 16 / 28
Felbonthatatlan számok
Emlékeztető számelméletbőlAz egész számok között az egységek: 1 és −1.Az n szám triviális felbontása n = ab, ha a vagy b egység.Vagyis n = 1 · n = n · 1 = (−1)(−n) = (−n)(−1).Az n szám felbonthatatlan, ha nincs nemtriviális felbontása.A felbonthatatlanok közül kizárjuk az egységeket.
Példa: A 6 = 2 · 3 nemtriviális felbontás,
![Page 211: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/211.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 16 / 28
Felbonthatatlan számok
Emlékeztető számelméletbőlAz egész számok között az egységek: 1 és −1.Az n szám triviális felbontása n = ab, ha a vagy b egység.Vagyis n = 1 · n = n · 1 = (−1)(−n) = (−n)(−1).Az n szám felbonthatatlan, ha nincs nemtriviális felbontása.A felbonthatatlanok közül kizárjuk az egységeket.
Példa: A 6 = 2 · 3 nemtriviális felbontás, mert 2 és 3nem egység.
![Page 212: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/212.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 16 / 28
Felbonthatatlan számok
Emlékeztető számelméletbőlAz egész számok között az egységek: 1 és −1.Az n szám triviális felbontása n = ab, ha a vagy b egység.Vagyis n = 1 · n = n · 1 = (−1)(−n) = (−n)(−1).Az n szám felbonthatatlan, ha nincs nemtriviális felbontása.A felbonthatatlanok közül kizárjuk az egységeket.
Példa: A 6 = 2 · 3 nemtriviális felbontás, mert 2 és 3nem egység. Ezért a 6 nem felbonthatatlan.
![Page 213: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/213.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 16 / 28
Felbonthatatlan számok
Emlékeztető számelméletbőlAz egész számok között az egységek: 1 és −1.Az n szám triviális felbontása n = ab, ha a vagy b egység.Vagyis n = 1 · n = n · 1 = (−1)(−n) = (−n)(−1).Az n szám felbonthatatlan, ha nincs nemtriviális felbontása.A felbonthatatlanok közül kizárjuk az egységeket.
Példa: A 6 = 2 · 3 nemtriviális felbontás, mert 2 és 3nem egység. Ezért a 6 nem felbonthatatlan.Példa: A 2 számnak csak triviális felbontásai vannak.
![Page 214: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/214.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 16 / 28
Felbonthatatlan számok
Emlékeztető számelméletbőlAz egész számok között az egységek: 1 és −1.Az n szám triviális felbontása n = ab, ha a vagy b egység.Vagyis n = 1 · n = n · 1 = (−1)(−n) = (−n)(−1).Az n szám felbonthatatlan, ha nincs nemtriviális felbontása.A felbonthatatlanok közül kizárjuk az egységeket.
Példa: A 6 = 2 · 3 nemtriviális felbontás, mert 2 és 3nem egység. Ezért a 6 nem felbonthatatlan.Példa: A 2 számnak csak triviális felbontásai vannak.Mivel 2 nem egység, ezért a 2 felbonthatatlan.
![Page 215: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/215.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 16 / 28
Felbonthatatlan számok
Emlékeztető számelméletbőlAz egész számok között az egységek: 1 és −1.Az n szám triviális felbontása n = ab, ha a vagy b egység.Vagyis n = 1 · n = n · 1 = (−1)(−n) = (−n)(−1).Az n szám felbonthatatlan, ha nincs nemtriviális felbontása.A felbonthatatlanok közül kizárjuk az egységeket.
Példa: A 6 = 2 · 3 nemtriviális felbontás, mert 2 és 3nem egység. Ezért a 6 nem felbonthatatlan.Példa: A 2 számnak csak triviális felbontásai vannak.Mivel 2 nem egység, ezért a 2 felbonthatatlan.
A számelmélet alaptétele: minden nullától és egységtőlkülönböző szám felírható felbonthatatlanok szorzataként.
![Page 216: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/216.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 16 / 28
Felbonthatatlan számok
Emlékeztető számelméletbőlAz egész számok között az egységek: 1 és −1.Az n szám triviális felbontása n = ab, ha a vagy b egység.Vagyis n = 1 · n = n · 1 = (−1)(−n) = (−n)(−1).Az n szám felbonthatatlan, ha nincs nemtriviális felbontása.A felbonthatatlanok közül kizárjuk az egységeket.
Példa: A 6 = 2 · 3 nemtriviális felbontás, mert 2 és 3nem egység. Ezért a 6 nem felbonthatatlan.Példa: A 2 számnak csak triviális felbontásai vannak.Mivel 2 nem egység, ezért a 2 felbonthatatlan.
A számelmélet alaptétele: minden nullától és egységtőlkülönböző szám felírható felbonthatatlanok szorzataként.Ez egyértelmű, ha eltekintünk.
![Page 217: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/217.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 16 / 28
Felbonthatatlan számok
Emlékeztető számelméletbőlAz egész számok között az egységek: 1 és −1.Az n szám triviális felbontása n = ab, ha a vagy b egység.Vagyis n = 1 · n = n · 1 = (−1)(−n) = (−n)(−1).Az n szám felbonthatatlan, ha nincs nemtriviális felbontása.A felbonthatatlanok közül kizárjuk az egységeket.
Példa: A 6 = 2 · 3 nemtriviális felbontás, mert 2 és 3nem egység. Ezért a 6 nem felbonthatatlan.Példa: A 2 számnak csak triviális felbontásai vannak.Mivel 2 nem egység, ezért a 2 felbonthatatlan.
A számelmélet alaptétele: minden nullától és egységtőlkülönböző szám felírható felbonthatatlanok szorzataként.Ez egyértelmű, ha a sorrendtől eltekintünk.
![Page 218: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/218.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 16 / 28
Felbonthatatlan számok
Emlékeztető számelméletbőlAz egész számok között az egységek: 1 és −1.Az n szám triviális felbontása n = ab, ha a vagy b egység.Vagyis n = 1 · n = n · 1 = (−1)(−n) = (−n)(−1).Az n szám felbonthatatlan, ha nincs nemtriviális felbontása.A felbonthatatlanok közül kizárjuk az egységeket.
Példa: A 6 = 2 · 3 nemtriviális felbontás, mert 2 és 3nem egység. Ezért a 6 nem felbonthatatlan.Példa: A 2 számnak csak triviális felbontásai vannak.Mivel 2 nem egység, ezért a 2 felbonthatatlan.
A számelmélet alaptétele: minden nullától és egységtőlkülönböző szám felírható felbonthatatlanok szorzataként.Ez egyértelmű, ha a sorrendtől és egységszerestől eltekintünk.
![Page 219: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/219.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 16 / 28
Felbonthatatlan számok
Emlékeztető számelméletbőlAz egész számok között az egységek: 1 és −1.Az n szám triviális felbontása n = ab, ha a vagy b egység.Vagyis n = 1 · n = n · 1 = (−1)(−n) = (−n)(−1).Az n szám felbonthatatlan, ha nincs nemtriviális felbontása.A felbonthatatlanok közül kizárjuk az egységeket.
Példa: A 6 = 2 · 3 nemtriviális felbontás, mert 2 és 3nem egység. Ezért a 6 nem felbonthatatlan.Példa: A 2 számnak csak triviális felbontásai vannak.Mivel 2 nem egység, ezért a 2 felbonthatatlan.
A számelmélet alaptétele: minden nullától és egységtőlkülönböző szám felírható felbonthatatlanok szorzataként.Ez egyértelmű, ha a sorrendtől és egységszerestől eltekintünk.A bizonyítás fő eszköze:
![Page 220: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/220.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 16 / 28
Felbonthatatlan számok
Emlékeztető számelméletbőlAz egész számok között az egységek: 1 és −1.Az n szám triviális felbontása n = ab, ha a vagy b egység.Vagyis n = 1 · n = n · 1 = (−1)(−n) = (−n)(−1).Az n szám felbonthatatlan, ha nincs nemtriviális felbontása.A felbonthatatlanok közül kizárjuk az egységeket.
Példa: A 6 = 2 · 3 nemtriviális felbontás, mert 2 és 3nem egység. Ezért a 6 nem felbonthatatlan.Példa: A 2 számnak csak triviális felbontásai vannak.Mivel 2 nem egység, ezért a 2 felbonthatatlan.
A számelmélet alaptétele: minden nullától és egységtőlkülönböző szám felírható felbonthatatlanok szorzataként.Ez egyértelmű, ha a sorrendtől és egységszerestől eltekintünk.A bizonyítás fő eszköze: a kitüntetett közös osztó.
![Page 221: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/221.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 17 / 28
Irreducibilis polinomok
Definíció (K3.1.12, K3.1.13)
Legyen R a C,R,Q,Z egyike.
![Page 222: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/222.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 17 / 28
Irreducibilis polinomok
Definíció (K3.1.12, K3.1.13)
Legyen R a C,R,Q,Z egyike. Azt mondjuk, hogyaz f ∈ R[x ] polinom f = gh felbontása triviális
![Page 223: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/223.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 17 / 28
Irreducibilis polinomok
Definíció (K3.1.12, K3.1.13)
Legyen R a C,R,Q,Z egyike. Azt mondjuk, hogyaz f ∈ R[x ] polinom f = gh felbontása triviális (g , h ∈ R[x ]),
![Page 224: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/224.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 17 / 28
Irreducibilis polinomok
Definíció (K3.1.12, K3.1.13)
Legyen R a C,R,Q,Z egyike. Azt mondjuk, hogyaz f ∈ R[x ] polinom f = gh felbontása triviális (g , h ∈ R[x ]),ha g és h valamelyike egység R[x ]-ben.
![Page 225: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/225.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 17 / 28
Irreducibilis polinomok
Definíció (K3.1.12, K3.1.13)
Legyen R a C,R,Q,Z egyike. Azt mondjuk, hogyaz f ∈ R[x ] polinom f = gh felbontása triviális (g , h ∈ R[x ]),ha g és h valamelyike egység R[x ]-ben.Az f ∈ R[x ] polinom irreducibilis R[x ]-ben
![Page 226: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/226.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 17 / 28
Irreducibilis polinomok
Definíció (K3.1.12, K3.1.13)
Legyen R a C,R,Q,Z egyike. Azt mondjuk, hogyaz f ∈ R[x ] polinom f = gh felbontása triviális (g , h ∈ R[x ]),ha g és h valamelyike egység R[x ]-ben.Az f ∈ R[x ] polinom irreducibilis R[x ]-ben (R fölött),
![Page 227: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/227.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 17 / 28
Irreducibilis polinomok
Definíció (K3.1.12, K3.1.13)
Legyen R a C,R,Q,Z egyike. Azt mondjuk, hogyaz f ∈ R[x ] polinom f = gh felbontása triviális (g , h ∈ R[x ]),ha g és h valamelyike egység R[x ]-ben.Az f ∈ R[x ] polinom irreducibilis R[x ]-ben (R fölött),ha nincs nemtriviális felbontása,
![Page 228: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/228.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 17 / 28
Irreducibilis polinomok
Definíció (K3.1.12, K3.1.13)
Legyen R a C,R,Q,Z egyike. Azt mondjuk, hogyaz f ∈ R[x ] polinom f = gh felbontása triviális (g , h ∈ R[x ]),ha g és h valamelyike egység R[x ]-ben.Az f ∈ R[x ] polinom irreducibilis R[x ]-ben (R fölött),ha nincs nemtriviális felbontása, és nem egység.
![Page 229: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/229.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 17 / 28
Irreducibilis polinomok
Definíció (K3.1.12, K3.1.13)
Legyen R a C,R,Q,Z egyike. Azt mondjuk, hogyaz f ∈ R[x ] polinom f = gh felbontása triviális (g , h ∈ R[x ]),ha g és h valamelyike egység R[x ]-ben.Az f ∈ R[x ] polinom irreducibilis R[x ]-ben (R fölött),ha nincs nemtriviális felbontása, és nem egység.Reducibilis azt jelenti: nem egység és nem irreducibilis.
![Page 230: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/230.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 17 / 28
Irreducibilis polinomok
Definíció (K3.1.12, K3.1.13)
Legyen R a C,R,Q,Z egyike. Azt mondjuk, hogyaz f ∈ R[x ] polinom f = gh felbontása triviális (g , h ∈ R[x ]),ha g és h valamelyike egység R[x ]-ben.Az f ∈ R[x ] polinom irreducibilis R[x ]-ben (R fölött),ha nincs nemtriviális felbontása, és nem egység.Reducibilis azt jelenti: nem egység és nem irreducibilis.
A számelmélet alaptétele polinomokra (K3.2.12, K3.4.10)
Legyen R a C,R,Q,Z egyike.
![Page 231: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/231.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 17 / 28
Irreducibilis polinomok
Definíció (K3.1.12, K3.1.13)
Legyen R a C,R,Q,Z egyike. Azt mondjuk, hogyaz f ∈ R[x ] polinom f = gh felbontása triviális (g , h ∈ R[x ]),ha g és h valamelyike egység R[x ]-ben.Az f ∈ R[x ] polinom irreducibilis R[x ]-ben (R fölött),ha nincs nemtriviális felbontása, és nem egység.Reducibilis azt jelenti: nem egység és nem irreducibilis.
A számelmélet alaptétele polinomokra (K3.2.12, K3.4.10)
Legyen R a C,R,Q,Z egyike.Minden nullától és egységtől különböző R[x ]-beli polinomfelírható R[x ]-beli irreducibilisek szorzataként.
![Page 232: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/232.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 17 / 28
Irreducibilis polinomok
Definíció (K3.1.12, K3.1.13)
Legyen R a C,R,Q,Z egyike. Azt mondjuk, hogyaz f ∈ R[x ] polinom f = gh felbontása triviális (g , h ∈ R[x ]),ha g és h valamelyike egység R[x ]-ben.Az f ∈ R[x ] polinom irreducibilis R[x ]-ben (R fölött),ha nincs nemtriviális felbontása, és nem egység.Reducibilis azt jelenti: nem egység és nem irreducibilis.
A számelmélet alaptétele polinomokra (K3.2.12, K3.4.10)
Legyen R a C,R,Q,Z egyike.Minden nullától és egységtől különböző R[x ]-beli polinomfelírható R[x ]-beli irreducibilisek szorzataként.Ez egyértelmű, ha a sorrendtől és egységszerestől eltekintünk.
![Page 233: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/233.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 17 / 28
Irreducibilis polinomok
Definíció (K3.1.12, K3.1.13)
Legyen R a C,R,Q,Z egyike. Azt mondjuk, hogyaz f ∈ R[x ] polinom f = gh felbontása triviális (g , h ∈ R[x ]),ha g és h valamelyike egység R[x ]-ben.Az f ∈ R[x ] polinom irreducibilis R[x ]-ben (R fölött),ha nincs nemtriviális felbontása, és nem egység.Reducibilis azt jelenti: nem egység és nem irreducibilis.
A számelmélet alaptétele polinomokra (K3.2.12, K3.4.10)
Legyen R a C,R,Q,Z egyike.Minden nullától és egységtől különböző R[x ]-beli polinomfelírható R[x ]-beli irreducibilisek szorzataként.Ez egyértelmű, ha a sorrendtől és egységszerestől eltekintünk.
Bizonyítás: C,R,Q-ra mint számelméletből,
![Page 234: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/234.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 17 / 28
Irreducibilis polinomok
Definíció (K3.1.12, K3.1.13)
Legyen R a C,R,Q,Z egyike. Azt mondjuk, hogyaz f ∈ R[x ] polinom f = gh felbontása triviális (g , h ∈ R[x ]),ha g és h valamelyike egység R[x ]-ben.Az f ∈ R[x ] polinom irreducibilis R[x ]-ben (R fölött),ha nincs nemtriviális felbontása, és nem egység.Reducibilis azt jelenti: nem egység és nem irreducibilis.
A számelmélet alaptétele polinomokra (K3.2.12, K3.4.10)
Legyen R a C,R,Q,Z egyike.Minden nullától és egységtől különböző R[x ]-beli polinomfelírható R[x ]-beli irreducibilisek szorzataként.Ez egyértelmű, ha a sorrendtől és egységszerestől eltekintünk.
Bizonyítás: C,R,Q-ra mint számelméletből, Z[x ]-re később.
![Page 235: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/235.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 18 / 28
Példák felbontásra
Példa (K3.3.14)
Az f (x) = 6(x2 − 2)(x2 + 1) ∈ Z[x ] alaptétel szerinti felbontásai:
![Page 236: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/236.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 18 / 28
Példák felbontásra
Példa (K3.3.14)
Az f (x) = 6(x2 − 2)(x2 + 1) ∈ Z[x ] alaptétel szerinti felbontásai:C[x ]-ben 4 tényező:
![Page 237: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/237.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 18 / 28
Példák felbontásra
Példa (K3.3.14)
Az f (x) = 6(x2 − 2)(x2 + 1) ∈ Z[x ] alaptétel szerinti felbontásai:C[x ]-ben 4 tényező:
(6x − 6√
2) · (x +√
2) · (x + i) · (x − i)
![Page 238: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/238.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 18 / 28
Példák felbontásra
Példa (K3.3.14)
Az f (x) = 6(x2 − 2)(x2 + 1) ∈ Z[x ] alaptétel szerinti felbontásai:C[x ]-ben 4 tényező:
(6x − 6√
2) · (x +√
2) · (x + i) · (x − i)
Tanulság
A 6 nem lehet külön tényező C, R, Q fölött,
![Page 239: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/239.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 18 / 28
Példák felbontásra
Példa (K3.3.14)
Az f (x) = 6(x2 − 2)(x2 + 1) ∈ Z[x ] alaptétel szerinti felbontásai:C[x ]-ben 4 tényező:
(6x − 6√
2) · (x +√
2) · (x + i) · (x − i)
Tanulság
A 6 nem lehet külön tényező C, R, Q fölött, mert egység.
![Page 240: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/240.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 18 / 28
Példák felbontásra
Példa (K3.3.14)
Az f (x) = 6(x2 − 2)(x2 + 1) ∈ Z[x ] alaptétel szerinti felbontásai:C[x ]-ben 4 tényező:
(6x − 6√
2) · (x +√
2) · (x + i) · (x − i)R[x ]-ben 3 tényező:
Tanulság
A 6 nem lehet külön tényező C, R, Q fölött, mert egység.
![Page 241: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/241.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 18 / 28
Példák felbontásra
Példa (K3.3.14)
Az f (x) = 6(x2 − 2)(x2 + 1) ∈ Z[x ] alaptétel szerinti felbontásai:C[x ]-ben 4 tényező:
(6x − 6√
2) · (x +√
2) · (x + i) · (x − i)R[x ]-ben 3 tényező:
(6x − 6√
2) · (x +√
2) · (x2 + 1)
Tanulság
A 6 nem lehet külön tényező C, R, Q fölött, mert egység.
![Page 242: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/242.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 18 / 28
Példák felbontásra
Példa (K3.3.14)
Az f (x) = 6(x2 − 2)(x2 + 1) ∈ Z[x ] alaptétel szerinti felbontásai:C[x ]-ben 4 tényező:
(6x − 6√
2) · (x +√
2) · (x + i) · (x − i)R[x ]-ben 3 tényező:
(6x − 6√
2) · (x +√
2) · (x2 + 1)Q[x ]-ben 2 tényező:
Tanulság
A 6 nem lehet külön tényező C, R, Q fölött, mert egység.
![Page 243: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/243.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 18 / 28
Példák felbontásra
Példa (K3.3.14)
Az f (x) = 6(x2 − 2)(x2 + 1) ∈ Z[x ] alaptétel szerinti felbontásai:C[x ]-ben 4 tényező:
(6x − 6√
2) · (x +√
2) · (x + i) · (x − i)R[x ]-ben 3 tényező:
(6x − 6√
2) · (x +√
2) · (x2 + 1)Q[x ]-ben 2 tényező:
(6x2 − 12) · (x2 + 1)
Tanulság
A 6 nem lehet külön tényező C, R, Q fölött, mert egység.
![Page 244: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/244.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 18 / 28
Példák felbontásra
Példa (K3.3.14)
Az f (x) = 6(x2 − 2)(x2 + 1) ∈ Z[x ] alaptétel szerinti felbontásai:C[x ]-ben 4 tényező:
(6x − 6√
2) · (x +√
2) · (x + i) · (x − i)R[x ]-ben 3 tényező:
(6x − 6√
2) · (x +√
2) · (x2 + 1)Q[x ]-ben 2 tényező:
(6x2 − 12) · (x2 + 1)Z[x ]-ben 4 tényező:
Tanulság
A 6 nem lehet külön tényező C, R, Q fölött, mert egység.
![Page 245: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/245.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 18 / 28
Példák felbontásra
Példa (K3.3.14)
Az f (x) = 6(x2 − 2)(x2 + 1) ∈ Z[x ] alaptétel szerinti felbontásai:C[x ]-ben 4 tényező:
(6x − 6√
2) · (x +√
2) · (x + i) · (x − i)R[x ]-ben 3 tényező:
(6x − 6√
2) · (x +√
2) · (x2 + 1)Q[x ]-ben 2 tényező:
(6x2 − 12) · (x2 + 1)Z[x ]-ben 4 tényező:
2 · 3 · (x2 − 2) · (x2 + 1)
Tanulság
A 6 nem lehet külön tényező C, R, Q fölött, mert egység.
![Page 246: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/246.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 18 / 28
Példák felbontásra
Példa (K3.3.14)
Az f (x) = 6(x2 − 2)(x2 + 1) ∈ Z[x ] alaptétel szerinti felbontásai:C[x ]-ben 4 tényező:
(6x − 6√
2) · (x +√
2) · (x + i) · (x − i)R[x ]-ben 3 tényező:
(6x − 6√
2) · (x +√
2) · (x2 + 1)Q[x ]-ben 2 tényező:
(6x2 − 12) · (x2 + 1)Z[x ]-ben 4 tényező:
2 · 3 · (x2 − 2) · (x2 + 1)
Tanulság
A 6 nem lehet külön tényező C, R, Q fölött, mert egység.A Z[x ]-ben 6 nem egység,
![Page 247: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/247.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 18 / 28
Példák felbontásra
Példa (K3.3.14)
Az f (x) = 6(x2 − 2)(x2 + 1) ∈ Z[x ] alaptétel szerinti felbontásai:C[x ]-ben 4 tényező:
(6x − 6√
2) · (x +√
2) · (x + i) · (x − i)R[x ]-ben 3 tényező:
(6x − 6√
2) · (x +√
2) · (x2 + 1)Q[x ]-ben 2 tényező:
(6x2 − 12) · (x2 + 1)Z[x ]-ben 4 tényező:
2 · 3 · (x2 − 2) · (x2 + 1)
Tanulság
A 6 nem lehet külön tényező C, R, Q fölött, mert egység.A Z[x ]-ben 6 nem egység, sőt 2, 3 itt irreducibilis polinomok.
![Page 248: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/248.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 19 / 28
Az alaptétel bizonyítása
Az alaptétel bizonyítása
C,R,Q fölött ugyanúgy, mint egész számokra (K3.2.13, K3.2.14):
![Page 249: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/249.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 19 / 28
Az alaptétel bizonyítása
Az alaptétel bizonyítása
C,R,Q fölött ugyanúgy, mint egész számokra (K3.2.13, K3.2.14):
(1) Az euklideszi algoritmus miatt bármely két polinomnak vankitüntetett közös osztója.
![Page 250: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/250.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 19 / 28
Az alaptétel bizonyítása
Az alaptétel bizonyítása
C,R,Q fölött ugyanúgy, mint egész számokra (K3.2.13, K3.2.14):
(1) Az euklideszi algoritmus miatt bármely két polinomnak vankitüntetett közös osztója.
(2) Erre teljesül a kiemelési tulajdonság:
![Page 251: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/251.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 19 / 28
Az alaptétel bizonyítása
Az alaptétel bizonyítása
C,R,Q fölött ugyanúgy, mint egész számokra (K3.2.13, K3.2.14):
(1) Az euklideszi algoritmus miatt bármely két polinomnak vankitüntetett közös osztója.
(2) Erre teljesül a kiemelési tulajdonság:(fg , fh) = f (g , h)
![Page 252: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/252.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 19 / 28
Az alaptétel bizonyítása
Az alaptétel bizonyítása
C,R,Q fölött ugyanúgy, mint egész számokra (K3.2.13, K3.2.14):
(1) Az euklideszi algoritmus miatt bármely két polinomnak vankitüntetett közös osztója.
(2) Erre teljesül a kiemelési tulajdonság:(fg , fh) = f (g , h) (lásd K3.1.23.)
![Page 253: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/253.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 19 / 28
Az alaptétel bizonyítása
Az alaptétel bizonyítása
C,R,Q fölött ugyanúgy, mint egész számokra (K3.2.13, K3.2.14):
(1) Az euklideszi algoritmus miatt bármely két polinomnak vankitüntetett közös osztója.
(2) Erre teljesül a kiemelési tulajdonság:(fg , fh) = f (g , h) (lásd K3.1.23.)
(3) Emiatt minden irreducibilis f polinom prímtulajdonságú:
![Page 254: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/254.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 19 / 28
Az alaptétel bizonyítása
Az alaptétel bizonyítása
C,R,Q fölött ugyanúgy, mint egész számokra (K3.2.13, K3.2.14):
(1) Az euklideszi algoritmus miatt bármely két polinomnak vankitüntetett közös osztója.
(2) Erre teljesül a kiemelési tulajdonság:(fg , fh) = f (g , h) (lásd K3.1.23.)
(3) Emiatt minden irreducibilis f polinom prímtulajdonságú:ha f | gh,
![Page 255: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/255.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 19 / 28
Az alaptétel bizonyítása
Az alaptétel bizonyítása
C,R,Q fölött ugyanúgy, mint egész számokra (K3.2.13, K3.2.14):
(1) Az euklideszi algoritmus miatt bármely két polinomnak vankitüntetett közös osztója.
(2) Erre teljesül a kiemelési tulajdonság:(fg , fh) = f (g , h) (lásd K3.1.23.)
(3) Emiatt minden irreducibilis f polinom prímtulajdonságú:ha f | gh, akkor f | g
![Page 256: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/256.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 19 / 28
Az alaptétel bizonyítása
Az alaptétel bizonyítása
C,R,Q fölött ugyanúgy, mint egész számokra (K3.2.13, K3.2.14):
(1) Az euklideszi algoritmus miatt bármely két polinomnak vankitüntetett közös osztója.
(2) Erre teljesül a kiemelési tulajdonság:(fg , fh) = f (g , h) (lásd K3.1.23.)
(3) Emiatt minden irreducibilis f polinom prímtulajdonságú:ha f | gh, akkor f | g vagy f | h. (lásd K3.1.25.)
![Page 257: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/257.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 19 / 28
Az alaptétel bizonyítása
Az alaptétel bizonyítása
C,R,Q fölött ugyanúgy, mint egész számokra (K3.2.13, K3.2.14):
(1) Az euklideszi algoritmus miatt bármely két polinomnak vankitüntetett közös osztója.
(2) Erre teljesül a kiemelési tulajdonság:(fg , fh) = f (g , h) (lásd K3.1.23.)
(3) Emiatt minden irreducibilis f polinom prímtulajdonságú:ha f | gh, akkor f | g vagy f | h. (lásd K3.1.25.)
(4) Ebből következik az alaptétel egyértelműségi állítása(ugyanúgy, mint egész számokra).
![Page 258: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/258.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 19 / 28
Az alaptétel bizonyítása
Az alaptétel bizonyítása
C,R,Q fölött ugyanúgy, mint egész számokra (K3.2.13, K3.2.14):
(1) Az euklideszi algoritmus miatt bármely két polinomnak vankitüntetett közös osztója.
(2) Erre teljesül a kiemelési tulajdonság:(fg , fh) = f (g , h) (lásd K3.1.23.)
(3) Emiatt minden irreducibilis f polinom prímtulajdonságú:ha f | gh, akkor f | g vagy f | h. (lásd K3.1.25.)
(4) Ebből következik az alaptétel egyértelműségi állítása(ugyanúgy, mint egész számokra).
(5) A felbontás létezése fokszám szerinti indukcióval.
![Page 259: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/259.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 19 / 28
Az alaptétel bizonyítása
Az alaptétel bizonyítása
C,R,Q fölött ugyanúgy, mint egész számokra (K3.2.13, K3.2.14):
(1) Az euklideszi algoritmus miatt bármely két polinomnak vankitüntetett közös osztója.
(2) Erre teljesül a kiemelési tulajdonság:(fg , fh) = f (g , h) (lásd K3.1.23.)
(3) Emiatt minden irreducibilis f polinom prímtulajdonságú:ha f | gh, akkor f | g vagy f | h. (lásd K3.1.25.)
(4) Ebből következik az alaptétel egyértelműségi állítása(ugyanúgy, mint egész számokra).
(5) A felbontás létezése fokszám szerinti indukcióval.
A Z[x ]-beli alaptételt a Q[x ]-beli alaptételre vezetjük vissza
![Page 260: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/260.jpg)
Polinomok számelmélete Algebra1, normál 9. előadás 19 / 28
Az alaptétel bizonyítása
Az alaptétel bizonyítása
C,R,Q fölött ugyanúgy, mint egész számokra (K3.2.13, K3.2.14):
(1) Az euklideszi algoritmus miatt bármely két polinomnak vankitüntetett közös osztója.
(2) Erre teljesül a kiemelési tulajdonság:(fg , fh) = f (g , h) (lásd K3.1.23.)
(3) Emiatt minden irreducibilis f polinom prímtulajdonságú:ha f | gh, akkor f | g vagy f | h. (lásd K3.1.25.)
(4) Ebből következik az alaptétel egyértelműségi állítása(ugyanúgy, mint egész számokra).
(5) A felbontás létezése fokszám szerinti indukcióval.
A Z[x ]-beli alaptételt a Q[x ]-beli alaptételre vezetjük vissza(K3.4. szakasz).
![Page 261: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/261.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 20 / 28
Gyökök és irreducibilitás
Tétel (K3.3. Szakasz)
Legyen T a C,R,Q egyike.
![Page 262: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/262.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 20 / 28
Gyökök és irreducibilitás
Tétel (K3.3. Szakasz)
Legyen T a C,R,Q egyike.
(1) Az f ∈ T [x ] akkor és csak akkor irreducibilis T fölött,
![Page 263: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/263.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 20 / 28
Gyökök és irreducibilitás
Tétel (K3.3. Szakasz)
Legyen T a C,R,Q egyike.
(1) Az f ∈ T [x ] akkor és csak akkor irreducibilis T fölött,ha nem konstans,
![Page 264: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/264.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 20 / 28
Gyökök és irreducibilitás
Tétel (K3.3. Szakasz)
Legyen T a C,R,Q egyike.
(1) Az f ∈ T [x ] akkor és csak akkor irreducibilis T fölött,ha nem konstans, és nem bontható T [x ]-benalacsonyabb fokú polinomok szorzatára.
![Page 265: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/265.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 20 / 28
Gyökök és irreducibilitás
Tétel (K3.3. Szakasz)
Legyen T a C,R,Q egyike.
(1) Az f ∈ T [x ] akkor és csak akkor irreducibilis T fölött,ha nem konstans, és nem bontható T [x ]-benalacsonyabb fokú polinomok szorzatára.
(2) Elsőfokú polinom mindig irreducibilis T [x ]-ben.
![Page 266: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/266.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 20 / 28
Gyökök és irreducibilitás
Tétel (K3.3. Szakasz)
Legyen T a C,R,Q egyike.
(1) Az f ∈ T [x ] akkor és csak akkor irreducibilis T fölött,ha nem konstans, és nem bontható T [x ]-benalacsonyabb fokú polinomok szorzatára.
(2) Elsőfokú polinom mindig irreducibilis T [x ]-ben.
(3) Másod- és harmadfokú polinom akkor és csak akkorirreducibilis T [x ]-ben,
![Page 267: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/267.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 20 / 28
Gyökök és irreducibilitás
Tétel (K3.3. Szakasz)
Legyen T a C,R,Q egyike.
(1) Az f ∈ T [x ] akkor és csak akkor irreducibilis T fölött,ha nem konstans, és nem bontható T [x ]-benalacsonyabb fokú polinomok szorzatára.
(2) Elsőfokú polinom mindig irreducibilis T [x ]-ben.
(3) Másod- és harmadfokú polinom akkor és csak akkorirreducibilis T [x ]-ben, ha nincs gyöke T -ben.
![Page 268: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/268.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 20 / 28
Gyökök és irreducibilitás
Tétel (K3.3. Szakasz)
Legyen T a C,R,Q egyike.
(1) Az f ∈ T [x ] akkor és csak akkor irreducibilis T fölött,ha nem konstans, és nem bontható T [x ]-benalacsonyabb fokú polinomok szorzatára.
(2) Elsőfokú polinom mindig irreducibilis T [x ]-ben.
(3) Másod- és harmadfokú polinom akkor és csak akkorirreducibilis T [x ]-ben, ha nincs gyöke T -ben.
(4) Legalább negyedfokú polinom,
![Page 269: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/269.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 20 / 28
Gyökök és irreducibilitás
Tétel (K3.3. Szakasz)
Legyen T a C,R,Q egyike.
(1) Az f ∈ T [x ] akkor és csak akkor irreducibilis T fölött,ha nem konstans, és nem bontható T [x ]-benalacsonyabb fokú polinomok szorzatára.
(2) Elsőfokú polinom mindig irreducibilis T [x ]-ben.
(3) Másod- és harmadfokú polinom akkor és csak akkorirreducibilis T [x ]-ben, ha nincs gyöke T -ben.
(4) Legalább negyedfokú polinom, HA van gyöke T -ben,
![Page 270: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/270.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 20 / 28
Gyökök és irreducibilitás
Tétel (K3.3. Szakasz)
Legyen T a C,R,Q egyike.
(1) Az f ∈ T [x ] akkor és csak akkor irreducibilis T fölött,ha nem konstans, és nem bontható T [x ]-benalacsonyabb fokú polinomok szorzatára.
(2) Elsőfokú polinom mindig irreducibilis T [x ]-ben.
(3) Másod- és harmadfokú polinom akkor és csak akkorirreducibilis T [x ]-ben, ha nincs gyöke T -ben.
(4) Legalább negyedfokú polinom, HA van gyöke T -ben,akkor biztosan NEM irreducibilis T [x ]-ben.
![Page 271: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/271.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 20 / 28
Gyökök és irreducibilitás
Tétel (K3.3. Szakasz)
Legyen T a C,R,Q egyike.
(1) Az f ∈ T [x ] akkor és csak akkor irreducibilis T fölött,ha nem konstans, és nem bontható T [x ]-benalacsonyabb fokú polinomok szorzatára.
(2) Elsőfokú polinom mindig irreducibilis T [x ]-ben.
(3) Másod- és harmadfokú polinom akkor és csak akkorirreducibilis T [x ]-ben, ha nincs gyöke T -ben.
(4) Legalább negyedfokú polinom, HA van gyöke T -ben,akkor biztosan NEM irreducibilis T [x ]-ben. Ha nincs gyöke,attól még lehet reducibilis!
![Page 272: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/272.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 20 / 28
Gyökök és irreducibilitás
Tétel (K3.3. Szakasz)
Legyen T a C,R,Q egyike.
(1) Az f ∈ T [x ] akkor és csak akkor irreducibilis T fölött,ha nem konstans, és nem bontható T [x ]-benalacsonyabb fokú polinomok szorzatára.
(2) Elsőfokú polinom mindig irreducibilis T [x ]-ben.
(3) Másod- és harmadfokú polinom akkor és csak akkorirreducibilis T [x ]-ben, ha nincs gyöke T -ben.
(4) Legalább negyedfokú polinom, HA van gyöke T -ben,akkor biztosan NEM irreducibilis T [x ]-ben. Ha nincs gyöke,attól még lehet reducibilis! Példa: Q[x ]-ben (x2 + 1)2.
![Page 273: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/273.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 20 / 28
Gyökök és irreducibilitás
Tétel (K3.3. Szakasz)
Legyen T a C,R,Q egyike.
(1) Az f ∈ T [x ] akkor és csak akkor irreducibilis T fölött,ha nem konstans, és nem bontható T [x ]-benalacsonyabb fokú polinomok szorzatára.
(2) Elsőfokú polinom mindig irreducibilis T [x ]-ben.
(3) Másod- és harmadfokú polinom akkor és csak akkorirreducibilis T [x ]-ben, ha nincs gyöke T -ben.
(4) Legalább negyedfokú polinom, HA van gyöke T -ben,akkor biztosan NEM irreducibilis T [x ]-ben. Ha nincs gyöke,attól még lehet reducibilis! Példa: Q[x ]-ben (x2 + 1)2.
(5) Gyök létezése elsőfokú irreducibilis tényezőnek felel meg.
![Page 274: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/274.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 20 / 28
Gyökök és irreducibilitás
Tétel (K3.3. Szakasz)
Legyen T a C,R,Q egyike.
(1) Az f ∈ T [x ] akkor és csak akkor irreducibilis T fölött,ha nem konstans, és nem bontható T [x ]-benalacsonyabb fokú polinomok szorzatára.
(2) Elsőfokú polinom mindig irreducibilis T [x ]-ben.
(3) Másod- és harmadfokú polinom akkor és csak akkorirreducibilis T [x ]-ben, ha nincs gyöke T -ben.
(4) Legalább negyedfokú polinom, HA van gyöke T -ben,akkor biztosan NEM irreducibilis T [x ]-ben. Ha nincs gyöke,attól még lehet reducibilis! Példa: Q[x ]-ben (x2 + 1)2.
(5) Gyök létezése elsőfokú irreducibilis tényezőnek felel meg.
Ezek közül csak (4) igaz Z[x ]-ben!
![Page 275: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/275.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 21 / 28
Irreducibilitás C[x ]-ben
Tétel (K3.3.5)
A C[x ] irreducibilis polinomjai pontosan az elsőfokúak.
![Page 276: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/276.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 21 / 28
Irreducibilitás C[x ]-ben
Tétel (K3.3.5)
A C[x ] irreducibilis polinomjai pontosan az elsőfokúak.
Bizonyítás
Ha f elsőfokú, és f = gh, akkor
![Page 277: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/277.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 21 / 28
Irreducibilitás C[x ]-ben
Tétel (K3.3.5)
A C[x ] irreducibilis polinomjai pontosan az elsőfokúak.
Bizonyítás
Ha f elsőfokú, és f = gh, akkor gr(f ) = gr(g) + gr(h).
![Page 278: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/278.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 21 / 28
Irreducibilitás C[x ]-ben
Tétel (K3.3.5)
A C[x ] irreducibilis polinomjai pontosan az elsőfokúak.
Bizonyítás
Ha f elsőfokú, és f = gh, akkor 1 = gr(f ) = gr(g) + gr(h).
![Page 279: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/279.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 21 / 28
Irreducibilitás C[x ]-ben
Tétel (K3.3.5)
A C[x ] irreducibilis polinomjai pontosan az elsőfokúak.
Bizonyítás
Ha f elsőfokú, és f = gh, akkor 1 = gr(f ) = gr(g) + gr(h).Ezért g és h egyike nulladfokú,
![Page 280: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/280.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 21 / 28
Irreducibilitás C[x ]-ben
Tétel (K3.3.5)
A C[x ] irreducibilis polinomjai pontosan az elsőfokúak.
Bizonyítás
Ha f elsőfokú, és f = gh, akkor 1 = gr(f ) = gr(g) + gr(h).Ezért g és h egyike nulladfokú, és így egység.
![Page 281: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/281.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 21 / 28
Irreducibilitás C[x ]-ben
Tétel (K3.3.5)
A C[x ] irreducibilis polinomjai pontosan az elsőfokúak.
Bizonyítás
Ha f elsőfokú, és f = gh, akkor 1 = gr(f ) = gr(g) + gr(h).Ezért g és h egyike nulladfokú, és így egység.Megfordítva: Ha f irreducibilis, akkor legalább elsőfokú.
![Page 282: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/282.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 21 / 28
Irreducibilitás C[x ]-ben
Tétel (K3.3.5)
A C[x ] irreducibilis polinomjai pontosan az elsőfokúak.
Bizonyítás
Ha f elsőfokú, és f = gh, akkor 1 = gr(f ) = gr(g) + gr(h).Ezért g és h egyike nulladfokú, és így egység.Megfordítva: Ha f irreducibilis, akkor legalább elsőfokú.Az algebra alaptétele miatt van f -nek egy c ∈ C gyöke.
![Page 283: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/283.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 21 / 28
Irreducibilitás C[x ]-ben
Tétel (K3.3.5)
A C[x ] irreducibilis polinomjai pontosan az elsőfokúak.
Bizonyítás
Ha f elsőfokú, és f = gh, akkor 1 = gr(f ) = gr(g) + gr(h).Ezért g és h egyike nulladfokú, és így egység.Megfordítva: Ha f irreducibilis, akkor legalább elsőfokú.Az algebra alaptétele miatt van f -nek egy c ∈ C gyöke.Ekkor f (x) = (x − c)h(x) alkalmas h ∈ C[x ]-re.
![Page 284: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/284.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 21 / 28
Irreducibilitás C[x ]-ben
Tétel (K3.3.5)
A C[x ] irreducibilis polinomjai pontosan az elsőfokúak.
Bizonyítás
Ha f elsőfokú, és f = gh, akkor 1 = gr(f ) = gr(g) + gr(h).Ezért g és h egyike nulladfokú, és így egység.Megfordítva: Ha f irreducibilis, akkor legalább elsőfokú.Az algebra alaptétele miatt van f -nek egy c ∈ C gyöke.Ekkor f (x) = (x − c)h(x) alkalmas h ∈ C[x ]-re.Ez a felbontás triviális kell legyen,
![Page 285: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/285.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 21 / 28
Irreducibilitás C[x ]-ben
Tétel (K3.3.5)
A C[x ] irreducibilis polinomjai pontosan az elsőfokúak.
Bizonyítás
Ha f elsőfokú, és f = gh, akkor 1 = gr(f ) = gr(g) + gr(h).Ezért g és h egyike nulladfokú, és így egység.Megfordítva: Ha f irreducibilis, akkor legalább elsőfokú.Az algebra alaptétele miatt van f -nek egy c ∈ C gyöke.Ekkor f (x) = (x − c)h(x) alkalmas h ∈ C[x ]-re.Ez a felbontás triviális kell legyen, és ezért h egység.
![Page 286: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/286.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 21 / 28
Irreducibilitás C[x ]-ben
Tétel (K3.3.5)
A C[x ] irreducibilis polinomjai pontosan az elsőfokúak.
Bizonyítás
Ha f elsőfokú, és f = gh, akkor 1 = gr(f ) = gr(g) + gr(h).Ezért g és h egyike nulladfokú, és így egység.Megfordítva: Ha f irreducibilis, akkor legalább elsőfokú.Az algebra alaptétele miatt van f -nek egy c ∈ C gyöke.Ekkor f (x) = (x − c)h(x) alkalmas h ∈ C[x ]-re.Ez a felbontás triviális kell legyen, és ezért h egység.Tehát f tényleg elsőfokú.
![Page 287: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/287.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 21 / 28
Irreducibilitás C[x ]-ben
Tétel (K3.3.5)
A C[x ] irreducibilis polinomjai pontosan az elsőfokúak.
Bizonyítás
Ha f elsőfokú, és f = gh, akkor 1 = gr(f ) = gr(g) + gr(h).Ezért g és h egyike nulladfokú, és így egység.Megfordítva: Ha f irreducibilis, akkor legalább elsőfokú.Az algebra alaptétele miatt van f -nek egy c ∈ C gyöke.Ekkor f (x) = (x − c)h(x) alkalmas h ∈ C[x ]-re.Ez a felbontás triviális kell legyen, és ezért h egység.Tehát f tényleg elsőfokú.
Egy komplex együtthatós polinom irreducibilisekre valófelbontását úgy kapjuk,
![Page 288: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/288.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 21 / 28
Irreducibilitás C[x ]-ben
Tétel (K3.3.5)
A C[x ] irreducibilis polinomjai pontosan az elsőfokúak.
Bizonyítás
Ha f elsőfokú, és f = gh, akkor 1 = gr(f ) = gr(g) + gr(h).Ezért g és h egyike nulladfokú, és így egység.Megfordítva: Ha f irreducibilis, akkor legalább elsőfokú.Az algebra alaptétele miatt van f -nek egy c ∈ C gyöke.Ekkor f (x) = (x − c)h(x) alkalmas h ∈ C[x ]-re.Ez a felbontás triviális kell legyen, és ezért h egység.Tehát f tényleg elsőfokú.
Egy komplex együtthatós polinom irreducibilisekre valófelbontását úgy kapjuk, hogy gyöktényezőkre bontjuk,
![Page 289: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/289.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 21 / 28
Irreducibilitás C[x ]-ben
Tétel (K3.3.5)
A C[x ] irreducibilis polinomjai pontosan az elsőfokúak.
Bizonyítás
Ha f elsőfokú, és f = gh, akkor 1 = gr(f ) = gr(g) + gr(h).Ezért g és h egyike nulladfokú, és így egység.Megfordítva: Ha f irreducibilis, akkor legalább elsőfokú.Az algebra alaptétele miatt van f -nek egy c ∈ C gyöke.Ekkor f (x) = (x − c)h(x) alkalmas h ∈ C[x ]-re.Ez a felbontás triviális kell legyen, és ezért h egység.Tehát f tényleg elsőfokú.
Egy komplex együtthatós polinom irreducibilisekre valófelbontását úgy kapjuk, hogy gyöktényezőkre bontjuk,és a főegyütthatót valamelyik tényezőhöz hozzácsapjuk.
![Page 290: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/290.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 22 / 28
Irreducibilitás R[x ]-ben
Tétel (K3.3.8)
Az R[x ] irreducibilis polinomjai pontosan az elsőfokúak,
![Page 291: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/291.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 22 / 28
Irreducibilitás R[x ]-ben
Tétel (K3.3.8)
Az R[x ] irreducibilis polinomjai pontosan az elsőfokúak,továbbá azok a másodfokúak, melyeknek nincs valós gyöke.
![Page 292: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/292.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 22 / 28
Irreducibilitás R[x ]-ben
Tétel (K3.3.8)
Az R[x ] irreducibilis polinomjai pontosan az elsőfokúak,továbbá azok a másodfokúak, melyeknek nincs valós gyöke.
Bizonyítás (vázlat)
Ha f ∈ R[x ] legalább elsőfokú,
![Page 293: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/293.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 22 / 28
Irreducibilitás R[x ]-ben
Tétel (K3.3.8)
Az R[x ] irreducibilis polinomjai pontosan az elsőfokúak,továbbá azok a másodfokúak, melyeknek nincs valós gyöke.
Bizonyítás (vázlat)
Ha f ∈ R[x ] legalább elsőfokú, akkor az algebra alaptétele miattvan c komplex gyöke.
![Page 294: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/294.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 22 / 28
Irreducibilitás R[x ]-ben
Tétel (K3.3.8)
Az R[x ] irreducibilis polinomjai pontosan az elsőfokúak,továbbá azok a másodfokúak, melyeknek nincs valós gyöke.
Bizonyítás (vázlat)
Ha f ∈ R[x ] legalább elsőfokú, akkor az algebra alaptétele miattvan c komplex gyöke. Ha c valós, x − c kiemelhető R fölött.
![Page 295: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/295.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 22 / 28
Irreducibilitás R[x ]-ben
Tétel (K3.3.8)
Az R[x ] irreducibilis polinomjai pontosan az elsőfokúak,továbbá azok a másodfokúak, melyeknek nincs valós gyöke.
Bizonyítás (vázlat)
Ha f ∈ R[x ] legalább elsőfokú, akkor az algebra alaptétele miattvan c komplex gyöke. Ha c valós, x − c kiemelhető R fölött.Ha nem, láttuk korábban: (x − c)(x − c) valós együtthatós,
![Page 296: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/296.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 22 / 28
Irreducibilitás R[x ]-ben
Tétel (K3.3.8)
Az R[x ] irreducibilis polinomjai pontosan az elsőfokúak,továbbá azok a másodfokúak, melyeknek nincs valós gyöke.
Bizonyítás (vázlat)
Ha f ∈ R[x ] legalább elsőfokú, akkor az algebra alaptétele miattvan c komplex gyöke. Ha c valós, x − c kiemelhető R fölött.Ha nem, láttuk korábban: (x − c)(x − c) valós együtthatós,és f (x)-ből kiemelhető,
![Page 297: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/297.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 22 / 28
Irreducibilitás R[x ]-ben
Tétel (K3.3.8)
Az R[x ] irreducibilis polinomjai pontosan az elsőfokúak,továbbá azok a másodfokúak, melyeknek nincs valós gyöke.
Bizonyítás (vázlat)
Ha f ∈ R[x ] legalább elsőfokú, akkor az algebra alaptétele miattvan c komplex gyöke. Ha c valós, x − c kiemelhető R fölött.Ha nem, láttuk korábban: (x − c)(x − c) valós együtthatós,és f (x)-ből kiemelhető, ami R fölötti felbontást ad.
![Page 298: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/298.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 22 / 28
Irreducibilitás R[x ]-ben
Tétel (K3.3.8)
Az R[x ] irreducibilis polinomjai pontosan az elsőfokúak,továbbá azok a másodfokúak, melyeknek nincs valós gyöke.
Bizonyítás (vázlat)
Ha f ∈ R[x ] legalább elsőfokú, akkor az algebra alaptétele miattvan c komplex gyöke. Ha c valós, x − c kiemelhető R fölött.Ha nem, láttuk korábban: (x − c)(x − c) valós együtthatós,és f (x)-ből kiemelhető, ami R fölötti felbontást ad.Ezért ha f irreducibilis R fölött,
![Page 299: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/299.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 22 / 28
Irreducibilitás R[x ]-ben
Tétel (K3.3.8)
Az R[x ] irreducibilis polinomjai pontosan az elsőfokúak,továbbá azok a másodfokúak, melyeknek nincs valós gyöke.
Bizonyítás (vázlat)
Ha f ∈ R[x ] legalább elsőfokú, akkor az algebra alaptétele miattvan c komplex gyöke. Ha c valós, x − c kiemelhető R fölött.Ha nem, láttuk korábban: (x − c)(x − c) valós együtthatós,és f (x)-ből kiemelhető, ami R fölötti felbontást ad.Ezért ha f irreducibilis R fölött, akkor legfeljebb másodfokú.
![Page 300: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/300.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 22 / 28
Irreducibilitás R[x ]-ben
Tétel (K3.3.8)
Az R[x ] irreducibilis polinomjai pontosan az elsőfokúak,továbbá azok a másodfokúak, melyeknek nincs valós gyöke.
Bizonyítás (vázlat)
Ha f ∈ R[x ] legalább elsőfokú, akkor az algebra alaptétele miattvan c komplex gyöke. Ha c valós, x − c kiemelhető R fölött.Ha nem, láttuk korábban: (x − c)(x − c) valós együtthatós,és f (x)-ből kiemelhető, ami R fölötti felbontást ad.Ezért ha f irreducibilis R fölött, akkor legfeljebb másodfokú.
Egy valós együtthatós polinom irreducibilisekre való felbontásátúgy kapjuk,
![Page 301: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/301.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 22 / 28
Irreducibilitás R[x ]-ben
Tétel (K3.3.8)
Az R[x ] irreducibilis polinomjai pontosan az elsőfokúak,továbbá azok a másodfokúak, melyeknek nincs valós gyöke.
Bizonyítás (vázlat)
Ha f ∈ R[x ] legalább elsőfokú, akkor az algebra alaptétele miattvan c komplex gyöke. Ha c valós, x − c kiemelhető R fölött.Ha nem, láttuk korábban: (x − c)(x − c) valós együtthatós,és f (x)-ből kiemelhető, ami R fölötti felbontást ad.Ezért ha f irreducibilis R fölött, akkor legfeljebb másodfokú.
Egy valós együtthatós polinom irreducibilisekre való felbontásátúgy kapjuk, hogy gyöktényezőkre bontjuk C fölött,
![Page 302: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/302.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 22 / 28
Irreducibilitás R[x ]-ben
Tétel (K3.3.8)
Az R[x ] irreducibilis polinomjai pontosan az elsőfokúak,továbbá azok a másodfokúak, melyeknek nincs valós gyöke.
Bizonyítás (vázlat)
Ha f ∈ R[x ] legalább elsőfokú, akkor az algebra alaptétele miattvan c komplex gyöke. Ha c valós, x − c kiemelhető R fölött.Ha nem, láttuk korábban: (x − c)(x − c) valós együtthatós,és f (x)-ből kiemelhető, ami R fölötti felbontást ad.Ezért ha f irreducibilis R fölött, akkor legfeljebb másodfokú.
Egy valós együtthatós polinom irreducibilisekre való felbontásátúgy kapjuk, hogy gyöktényezőkre bontjuk C fölött, és mindegyiknem valós gyököt párosítjuk a komplex konjugáltjával.
![Page 303: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/303.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 22 / 28
Irreducibilitás R[x ]-ben
Tétel (K3.3.8)
Az R[x ] irreducibilis polinomjai pontosan az elsőfokúak,továbbá azok a másodfokúak, melyeknek nincs valós gyöke.
Bizonyítás (vázlat)
Ha f ∈ R[x ] legalább elsőfokú, akkor az algebra alaptétele miattvan c komplex gyöke. Ha c valós, x − c kiemelhető R fölött.Ha nem, láttuk korábban: (x − c)(x − c) valós együtthatós,és f (x)-ből kiemelhető, ami R fölötti felbontást ad.Ezért ha f irreducibilis R fölött, akkor legfeljebb másodfokú.
Egy valós együtthatós polinom irreducibilisekre való felbontásátúgy kapjuk, hogy gyöktényezőkre bontjuk C fölött, és mindegyiknem valós gyököt párosítjuk a komplex konjugáltjával.Példa: x4 + 4 = (x2 + 2x + 2)(x2 − 2x + 2) (K2.5.10. Gyakorlat).
![Page 304: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/304.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 23 / 28
Irreducibilitás Q[x ]-ben (K3.5. szakasz)
A Q[x ] legfeljebb harmadfokú polinomjainak irreducibilitásáteldönthetjük
![Page 305: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/305.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 23 / 28
Irreducibilitás Q[x ]-ben (K3.5. szakasz)
A Q[x ] legfeljebb harmadfokú polinomjainak irreducibilitásáteldönthetjük a racionális gyökteszt segítségével.
![Page 306: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/306.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 23 / 28
Irreducibilitás Q[x ]-ben (K3.5. szakasz)
A Q[x ] legfeljebb harmadfokú polinomjainak irreducibilitásáteldönthetjük a racionális gyökteszt segítségével.
Általános módszert nem tanulunk, az alábbi néha működik.
![Page 307: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/307.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 23 / 28
Irreducibilitás Q[x ]-ben (K3.5. szakasz)
A Q[x ] legfeljebb harmadfokú polinomjainak irreducibilitásáteldönthetjük a racionális gyökteszt segítségével.
Általános módszert nem tanulunk, az alábbi néha működik.
Schönemann–Eisenstein-kritérium (K3.5.2)
![Page 308: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/308.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 23 / 28
Irreducibilitás Q[x ]-ben (K3.5. szakasz)
A Q[x ] legfeljebb harmadfokú polinomjainak irreducibilitásáteldönthetjük a racionális gyökteszt segítségével.
Általános módszert nem tanulunk, az alábbi néha működik.
Schönemann–Eisenstein-kritérium (K3.5.2)
Legyen f egész együtthatós, nem konstans polinom.
![Page 309: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/309.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 23 / 28
Irreducibilitás Q[x ]-ben (K3.5. szakasz)
A Q[x ] legfeljebb harmadfokú polinomjainak irreducibilitásáteldönthetjük a racionális gyökteszt segítségével.
Általános módszert nem tanulunk, az alábbi néha működik.
Schönemann–Eisenstein-kritérium (K3.5.2)
Legyen f egész együtthatós, nem konstans polinom.HA van olyan p prímszám, amelyre
![Page 310: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/310.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 23 / 28
Irreducibilitás Q[x ]-ben (K3.5. szakasz)
A Q[x ] legfeljebb harmadfokú polinomjainak irreducibilitásáteldönthetjük a racionális gyökteszt segítségével.
Általános módszert nem tanulunk, az alábbi néha működik.
Schönemann–Eisenstein-kritérium (K3.5.2)
Legyen f egész együtthatós, nem konstans polinom.HA van olyan p prímszám, amelyre
(1) p nem osztja f főegyütthatóját;
![Page 311: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/311.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 23 / 28
Irreducibilitás Q[x ]-ben (K3.5. szakasz)
A Q[x ] legfeljebb harmadfokú polinomjainak irreducibilitásáteldönthetjük a racionális gyökteszt segítségével.
Általános módszert nem tanulunk, az alábbi néha működik.
Schönemann–Eisenstein-kritérium (K3.5.2)
Legyen f egész együtthatós, nem konstans polinom.HA van olyan p prímszám, amelyre
(1) p nem osztja f főegyütthatóját;
(2) p osztja f összes többi együtthatóját;
![Page 312: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/312.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 23 / 28
Irreducibilitás Q[x ]-ben (K3.5. szakasz)
A Q[x ] legfeljebb harmadfokú polinomjainak irreducibilitásáteldönthetjük a racionális gyökteszt segítségével.
Általános módszert nem tanulunk, az alábbi néha működik.
Schönemann–Eisenstein-kritérium (K3.5.2)
Legyen f egész együtthatós, nem konstans polinom.HA van olyan p prímszám, amelyre
(1) p nem osztja f főegyütthatóját;
(2) p osztja f összes többi együtthatóját;
(3) p2 nem osztja f konstans tagját,
![Page 313: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/313.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 23 / 28
Irreducibilitás Q[x ]-ben (K3.5. szakasz)
A Q[x ] legfeljebb harmadfokú polinomjainak irreducibilitásáteldönthetjük a racionális gyökteszt segítségével.
Általános módszert nem tanulunk, az alábbi néha működik.
Schönemann–Eisenstein-kritérium (K3.5.2)
Legyen f egész együtthatós, nem konstans polinom.HA van olyan p prímszám, amelyre
(1) p nem osztja f főegyütthatóját;
(2) p osztja f összes többi együtthatóját;
(3) p2 nem osztja f konstans tagját,
AKKOR f irreducibilis
![Page 314: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/314.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 23 / 28
Irreducibilitás Q[x ]-ben (K3.5. szakasz)
A Q[x ] legfeljebb harmadfokú polinomjainak irreducibilitásáteldönthetjük a racionális gyökteszt segítségével.
Általános módszert nem tanulunk, az alábbi néha működik.
Schönemann–Eisenstein-kritérium (K3.5.2)
Legyen f egész együtthatós, nem konstans polinom.HA van olyan p prímszám, amelyre
(1) p nem osztja f főegyütthatóját;
(2) p osztja f összes többi együtthatóját;
(3) p2 nem osztja f konstans tagját,
AKKOR f irreducibilis Q fölött.
![Page 315: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/315.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 23 / 28
Irreducibilitás Q[x ]-ben (K3.5. szakasz)
A Q[x ] legfeljebb harmadfokú polinomjainak irreducibilitásáteldönthetjük a racionális gyökteszt segítségével.
Általános módszert nem tanulunk, az alábbi néha működik.
Schönemann–Eisenstein-kritérium (K3.5.2)
Legyen f egész együtthatós, nem konstans polinom.HA van olyan p prímszám, amelyre
(1) p nem osztja f főegyütthatóját;
(2) p osztja f összes többi együtthatóját;
(3) p2 nem osztja f konstans tagját,
AKKOR f irreducibilis Q fölött.
Példa: 21x4 + 60x − 150 irreducibilis Q fölött
![Page 316: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/316.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 23 / 28
Irreducibilitás Q[x ]-ben (K3.5. szakasz)
A Q[x ] legfeljebb harmadfokú polinomjainak irreducibilitásáteldönthetjük a racionális gyökteszt segítségével.
Általános módszert nem tanulunk, az alábbi néha működik.
Schönemann–Eisenstein-kritérium (K3.5.2)
Legyen f egész együtthatós, nem konstans polinom.HA van olyan p prímszám, amelyre
(1) p nem osztja f főegyütthatóját;
(2) p osztja f összes többi együtthatóját;
(3) p2 nem osztja f konstans tagját,
AKKOR f irreducibilis Q fölött.
Példa: 21x4 + 60x − 150 irreducibilis Q fölött (p = 2 jó).
![Page 317: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/317.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 23 / 28
Irreducibilitás Q[x ]-ben (K3.5. szakasz)
A Q[x ] legfeljebb harmadfokú polinomjainak irreducibilitásáteldönthetjük a racionális gyökteszt segítségével.
Általános módszert nem tanulunk, az alábbi néha működik.
Schönemann–Eisenstein-kritérium (K3.5.2)
Legyen f egész együtthatós, nem konstans polinom.HA van olyan p prímszám, amelyre
(1) p nem osztja f főegyütthatóját;
(2) p osztja f összes többi együtthatóját;
(3) p2 nem osztja f konstans tagját,
AKKOR f irreducibilis Q fölött.
Példa: 21x4 + 60x − 150 irreducibilis Q fölött (p = 2 jó).A p = 3 nem jó:
![Page 318: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/318.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 23 / 28
Irreducibilitás Q[x ]-ben (K3.5. szakasz)
A Q[x ] legfeljebb harmadfokú polinomjainak irreducibilitásáteldönthetjük a racionális gyökteszt segítségével.
Általános módszert nem tanulunk, az alábbi néha működik.
Schönemann–Eisenstein-kritérium (K3.5.2)
Legyen f egész együtthatós, nem konstans polinom.HA van olyan p prímszám, amelyre
(1) p nem osztja f főegyütthatóját;
(2) p osztja f összes többi együtthatóját;
(3) p2 nem osztja f konstans tagját,
AKKOR f irreducibilis Q fölött.
Példa: 21x4 + 60x − 150 irreducibilis Q fölött (p = 2 jó).A p = 3 nem jó: 3 | 21.
![Page 319: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/319.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 23 / 28
Irreducibilitás Q[x ]-ben (K3.5. szakasz)
A Q[x ] legfeljebb harmadfokú polinomjainak irreducibilitásáteldönthetjük a racionális gyökteszt segítségével.
Általános módszert nem tanulunk, az alábbi néha működik.
Schönemann–Eisenstein-kritérium (K3.5.2)
Legyen f egész együtthatós, nem konstans polinom.HA van olyan p prímszám, amelyre
(1) p nem osztja f főegyütthatóját;
(2) p osztja f összes többi együtthatóját;
(3) p2 nem osztja f konstans tagját,
AKKOR f irreducibilis Q fölött.
Példa: 21x4 + 60x − 150 irreducibilis Q fölött (p = 2 jó).A p = 3 nem jó: 3 | 21. A p = 5 nem jó:
![Page 320: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/320.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 23 / 28
Irreducibilitás Q[x ]-ben (K3.5. szakasz)
A Q[x ] legfeljebb harmadfokú polinomjainak irreducibilitásáteldönthetjük a racionális gyökteszt segítségével.
Általános módszert nem tanulunk, az alábbi néha működik.
Schönemann–Eisenstein-kritérium (K3.5.2)
Legyen f egész együtthatós, nem konstans polinom.HA van olyan p prímszám, amelyre
(1) p nem osztja f főegyütthatóját;
(2) p osztja f összes többi együtthatóját;
(3) p2 nem osztja f konstans tagját,
AKKOR f irreducibilis Q fölött.
Példa: 21x4 + 60x − 150 irreducibilis Q fölött (p = 2 jó).A p = 3 nem jó: 3 | 21. A p = 5 nem jó: 52 | 150.
![Page 321: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/321.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 24 / 28
A Schönemann–Eisenstein-kritérium tanulságai
Tanulságok
(1) Nem igaz a megfordítása.
![Page 322: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/322.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 24 / 28
A Schönemann–Eisenstein-kritérium tanulságai
Tanulságok
(1) Nem igaz a megfordítása. Példa: x + 1 irreducibilisQ fölött,
![Page 323: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/323.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 24 / 28
A Schönemann–Eisenstein-kritérium tanulságai
Tanulságok
(1) Nem igaz a megfordítása. Példa: x + 1 irreducibilisQ fölött, de nem alkalmazható rá a kritérium.
![Page 324: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/324.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 24 / 28
A Schönemann–Eisenstein-kritérium tanulságai
Tanulságok
(1) Nem igaz a megfordítása. Példa: x + 1 irreducibilisQ fölött, de nem alkalmazható rá a kritérium.
(2) A nevezőkkel felszorozva racionális együtthatós polinomokra isalkalmazható lehet.
![Page 325: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/325.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 24 / 28
A Schönemann–Eisenstein-kritérium tanulságai
Tanulságok
(1) Nem igaz a megfordítása. Példa: x + 1 irreducibilisQ fölött, de nem alkalmazható rá a kritérium.
(2) A nevezőkkel felszorozva racionális együtthatós polinomokra isalkalmazható lehet. Példa: x7 + (2/3).
![Page 326: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/326.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 24 / 28
A Schönemann–Eisenstein-kritérium tanulságai
Tanulságok
(1) Nem igaz a megfordítása. Példa: x + 1 irreducibilisQ fölött, de nem alkalmazható rá a kritérium.
(2) A nevezőkkel felszorozva racionális együtthatós polinomokra isalkalmazható lehet. Példa: x7 + (2/3).
(3) Csak Q fölötti, és nem Z fölötti irreducibilitást biztosít.
![Page 327: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/327.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 24 / 28
A Schönemann–Eisenstein-kritérium tanulságai
Tanulságok
(1) Nem igaz a megfordítása. Példa: x + 1 irreducibilisQ fölött, de nem alkalmazható rá a kritérium.
(2) A nevezőkkel felszorozva racionális együtthatós polinomokra isalkalmazható lehet. Példa: x7 + (2/3).
(3) Csak Q fölötti, és nem Z fölötti irreducibilitást biztosít.Példa: 9x + 18 irreducibilis Q fölött,
![Page 328: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/328.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 24 / 28
A Schönemann–Eisenstein-kritérium tanulságai
Tanulságok
(1) Nem igaz a megfordítása. Példa: x + 1 irreducibilisQ fölött, de nem alkalmazható rá a kritérium.
(2) A nevezőkkel felszorozva racionális együtthatós polinomokra isalkalmazható lehet. Példa: x7 + (2/3).
(3) Csak Q fölötti, és nem Z fölötti irreducibilitást biztosít.Példa: 9x + 18 irreducibilis Q fölött, de Z fölött nem.
![Page 329: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/329.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 24 / 28
A Schönemann–Eisenstein-kritérium tanulságai
Tanulságok
(1) Nem igaz a megfordítása. Példa: x + 1 irreducibilisQ fölött, de nem alkalmazható rá a kritérium.
(2) A nevezőkkel felszorozva racionális együtthatós polinomokra isalkalmazható lehet. Példa: x7 + (2/3).
(3) Csak Q fölötti, és nem Z fölötti irreducibilitást biztosít.Példa: 9x + 18 irreducibilis Q fölött, de Z fölött nem.
(4) A kritérium miatt xn − 2 irreducibilis minden n ≥ 1-re.
![Page 330: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/330.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 24 / 28
A Schönemann–Eisenstein-kritérium tanulságai
Tanulságok
(1) Nem igaz a megfordítása. Példa: x + 1 irreducibilisQ fölött, de nem alkalmazható rá a kritérium.
(2) A nevezőkkel felszorozva racionális együtthatós polinomokra isalkalmazható lehet. Példa: x7 + (2/3).
(3) Csak Q fölötti, és nem Z fölötti irreducibilitást biztosít.Példa: 9x + 18 irreducibilis Q fölött, de Z fölött nem.
(4) A kritérium miatt xn − 2 irreducibilis minden n ≥ 1-re.Azaz létezik Q fölött akárhányadfokú irreducibilis polinom.
![Page 331: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/331.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 24 / 28
A Schönemann–Eisenstein-kritérium tanulságai
Tanulságok
(1) Nem igaz a megfordítása. Példa: x + 1 irreducibilisQ fölött, de nem alkalmazható rá a kritérium.
(2) A nevezőkkel felszorozva racionális együtthatós polinomokra isalkalmazható lehet. Példa: x7 + (2/3).
(3) Csak Q fölötti, és nem Z fölötti irreducibilitást biztosít.Példa: 9x + 18 irreducibilis Q fölött, de Z fölött nem.
(4) A kritérium miatt xn − 2 irreducibilis minden n ≥ 1-re.Azaz létezik Q fölött akárhányadfokú irreducibilis polinom.
(5) Fordított Schönemann–Eisenstein-kritérium:
![Page 332: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/332.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 24 / 28
A Schönemann–Eisenstein-kritérium tanulságai
Tanulságok
(1) Nem igaz a megfordítása. Példa: x + 1 irreducibilisQ fölött, de nem alkalmazható rá a kritérium.
(2) A nevezőkkel felszorozva racionális együtthatós polinomokra isalkalmazható lehet. Példa: x7 + (2/3).
(3) Csak Q fölötti, és nem Z fölötti irreducibilitást biztosít.Példa: 9x + 18 irreducibilis Q fölött, de Z fölött nem.
(4) A kritérium miatt xn − 2 irreducibilis minden n ≥ 1-re.Azaz létezik Q fölött akárhányadfokú irreducibilis polinom.
(5) Fordított Schönemann–Eisenstein-kritérium:Ha a p prím osztja a polinom minden együtthatóját akonstans tag kivételével,
![Page 333: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/333.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 24 / 28
A Schönemann–Eisenstein-kritérium tanulságai
Tanulságok
(1) Nem igaz a megfordítása. Példa: x + 1 irreducibilisQ fölött, de nem alkalmazható rá a kritérium.
(2) A nevezőkkel felszorozva racionális együtthatós polinomokra isalkalmazható lehet. Példa: x7 + (2/3).
(3) Csak Q fölötti, és nem Z fölötti irreducibilitást biztosít.Példa: 9x + 18 irreducibilis Q fölött, de Z fölött nem.
(4) A kritérium miatt xn − 2 irreducibilis minden n ≥ 1-re.Azaz létezik Q fölött akárhányadfokú irreducibilis polinom.
(5) Fordított Schönemann–Eisenstein-kritérium:Ha a p prím osztja a polinom minden együtthatóját akonstans tag kivételével, és p2 nem osztja a főegyütthatót,
![Page 334: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/334.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 24 / 28
A Schönemann–Eisenstein-kritérium tanulságai
Tanulságok
(1) Nem igaz a megfordítása. Példa: x + 1 irreducibilisQ fölött, de nem alkalmazható rá a kritérium.
(2) A nevezőkkel felszorozva racionális együtthatós polinomokra isalkalmazható lehet. Példa: x7 + (2/3).
(3) Csak Q fölötti, és nem Z fölötti irreducibilitást biztosít.Példa: 9x + 18 irreducibilis Q fölött, de Z fölött nem.
(4) A kritérium miatt xn − 2 irreducibilis minden n ≥ 1-re.Azaz létezik Q fölött akárhányadfokú irreducibilis polinom.
(5) Fordított Schönemann–Eisenstein-kritérium:Ha a p prím osztja a polinom minden együtthatóját akonstans tag kivételével, és p2 nem osztja a főegyütthatót,a polinom akkor is irreducibilis Q fölött (K3.5.7).
![Page 335: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/335.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 25 / 28
További módszerek Q fölött
Állítás (K3.5.5)
f ∈ Q[x ] irreducibilis Q fölött, ha alkalmas eltoltja,
![Page 336: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/336.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 25 / 28
További módszerek Q fölött
Állítás (K3.5.5)
f ∈ Q[x ] irreducibilis Q fölött, ha alkalmas eltoltja,vagyis az f (x + c) polinom irreducibilis Q fölött (c ∈ Q).
![Page 337: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/337.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 25 / 28
További módszerek Q fölött
Állítás (K3.5.5)
f ∈ Q[x ] irreducibilis Q fölött, ha alkalmas eltoltja,vagyis az f (x + c) polinom irreducibilis Q fölött (c ∈ Q).
Példa
x4 + 1-re nem alkalmazható a Schönemann–Eisenstein.
![Page 338: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/338.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 25 / 28
További módszerek Q fölött
Állítás (K3.5.5)
f ∈ Q[x ] irreducibilis Q fölött, ha alkalmas eltoltja,vagyis az f (x + c) polinom irreducibilis Q fölött (c ∈ Q).
Példa
x4 + 1-re nem alkalmazható a Schönemann–Eisenstein.(x + 1)4 + 1 = x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 2,
![Page 339: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/339.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 25 / 28
További módszerek Q fölött
Állítás (K3.5.5)
f ∈ Q[x ] irreducibilis Q fölött, ha alkalmas eltoltja,vagyis az f (x + c) polinom irreducibilis Q fölött (c ∈ Q).
Példa
x4 + 1-re nem alkalmazható a Schönemann–Eisenstein.(x + 1)4 + 1 = x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 2, erre már igen, p = 2-vel.
![Page 340: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/340.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 25 / 28
További módszerek Q fölött
Állítás (K3.5.5)
f ∈ Q[x ] irreducibilis Q fölött, ha alkalmas eltoltja,vagyis az f (x + c) polinom irreducibilis Q fölött (c ∈ Q).
Példa
x4 + 1-re nem alkalmazható a Schönemann–Eisenstein.(x + 1)4 + 1 = x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 2, erre már igen, p = 2-vel.Tehát x4 + 1 is irreducibilis Q fölött.
![Page 341: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/341.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 25 / 28
További módszerek Q fölött
Állítás (K3.5.5)
f ∈ Q[x ] irreducibilis Q fölött, ha alkalmas eltoltja,vagyis az f (x + c) polinom irreducibilis Q fölött (c ∈ Q).
Példa
x4 + 1-re nem alkalmazható a Schönemann–Eisenstein.(x + 1)4 + 1 = x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 2, erre már igen, p = 2-vel.Tehát x4 + 1 is irreducibilis Q fölött.
TételLétezik algoritmus az irreducibilitás eldöntésére Q fölött,
![Page 342: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/342.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 25 / 28
További módszerek Q fölött
Állítás (K3.5.5)
f ∈ Q[x ] irreducibilis Q fölött, ha alkalmas eltoltja,vagyis az f (x + c) polinom irreducibilis Q fölött (c ∈ Q).
Példa
x4 + 1-re nem alkalmazható a Schönemann–Eisenstein.(x + 1)4 + 1 = x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 2, erre már igen, p = 2-vel.Tehát x4 + 1 is irreducibilis Q fölött.
TételLétezik algoritmus az irreducibilitás eldöntésére Q fölött,például interpoláció segítségével.
![Page 343: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/343.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 25 / 28
További módszerek Q fölött
Állítás (K3.5.5)
f ∈ Q[x ] irreducibilis Q fölött, ha alkalmas eltoltja,vagyis az f (x + c) polinom irreducibilis Q fölött (c ∈ Q).
Példa
x4 + 1-re nem alkalmazható a Schönemann–Eisenstein.(x + 1)4 + 1 = x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 2, erre már igen, p = 2-vel.Tehát x4 + 1 is irreducibilis Q fölött.
TételLétezik algoritmus az irreducibilitás eldöntésére Q fölött,például interpoláció segítségével. Van hatékony algoritmus is.
![Page 344: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/344.jpg)
Az irreducibilitás eldöntése Algebra1, normál 9. előadás 25 / 28
További módszerek Q fölött
Állítás (K3.5.5)
f ∈ Q[x ] irreducibilis Q fölött, ha alkalmas eltoltja,vagyis az f (x + c) polinom irreducibilis Q fölött (c ∈ Q).
Példa
x4 + 1-re nem alkalmazható a Schönemann–Eisenstein.(x + 1)4 + 1 = x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 2, erre már igen, p = 2-vel.Tehát x4 + 1 is irreducibilis Q fölött.
TételLétezik algoritmus az irreducibilitás eldöntésére Q fölött,például interpoláció segítségével. Van hatékony algoritmus is.
A módszerek összefoglalása: a Kiss-könyv 111. oldalán.
![Page 345: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/345.jpg)
Egész együtthatós polinomok Algebra1, normál 9. előadás 26 / 28
Primitív polinomok
Emlékeztető
Az f (x) = 6(x2 − 2)(x2 + 1) ∈ Z[x ] alaptétel szerinti felbontásaZ[x ]-ben 4 tényezős:
![Page 346: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/346.jpg)
Egész együtthatós polinomok Algebra1, normál 9. előadás 26 / 28
Primitív polinomok
Emlékeztető
Az f (x) = 6(x2 − 2)(x2 + 1) ∈ Z[x ] alaptétel szerinti felbontásaZ[x ]-ben 4 tényezős: 2 · 3 · (x2 − 2) · (x2 + 1).
![Page 347: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/347.jpg)
Egész együtthatós polinomok Algebra1, normál 9. előadás 26 / 28
Primitív polinomok
Emlékeztető
Az f (x) = 6(x2 − 2)(x2 + 1) ∈ Z[x ] alaptétel szerinti felbontásaZ[x ]-ben 4 tényezős: 2 · 3 · (x2 − 2) · (x2 + 1).
Kiemeltük az együtthatók legnagyobb közös osztóját.
![Page 348: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/348.jpg)
Egész együtthatós polinomok Algebra1, normál 9. előadás 26 / 28
Primitív polinomok
Emlékeztető
Az f (x) = 6(x2 − 2)(x2 + 1) ∈ Z[x ] alaptétel szerinti felbontásaZ[x ]-ben 4 tényezős: 2 · 3 · (x2 − 2) · (x2 + 1).
Kiemeltük az együtthatók legnagyobb közös osztóját.
Definíció (K3.4.1)
Primitív polinom: együtthatóinak legnagyobb közös osztója 1.
![Page 349: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/349.jpg)
Egész együtthatós polinomok Algebra1, normál 9. előadás 26 / 28
Primitív polinomok
Emlékeztető
Az f (x) = 6(x2 − 2)(x2 + 1) ∈ Z[x ] alaptétel szerinti felbontásaZ[x ]-ben 4 tényezős: 2 · 3 · (x2 − 2) · (x2 + 1).
Kiemeltük az együtthatók legnagyobb közös osztóját.
Definíció (K3.4.1)
Primitív polinom: együtthatóinak legnagyobb közös osztója 1.
ÁllításMinden egész együtthatós polinom egyértelműen fölírható egyprimitív polinom,
![Page 350: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/350.jpg)
Egész együtthatós polinomok Algebra1, normál 9. előadás 26 / 28
Primitív polinomok
Emlékeztető
Az f (x) = 6(x2 − 2)(x2 + 1) ∈ Z[x ] alaptétel szerinti felbontásaZ[x ]-ben 4 tényezős: 2 · 3 · (x2 − 2) · (x2 + 1).
Kiemeltük az együtthatók legnagyobb közös osztóját.
Definíció (K3.4.1)
Primitív polinom: együtthatóinak legnagyobb közös osztója 1.
ÁllításMinden egész együtthatós polinom egyértelműen fölírható egyprimitív polinom, és egy egész szám szorzataként.
![Page 351: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/351.jpg)
Egész együtthatós polinomok Algebra1, normál 9. előadás 26 / 28
Primitív polinomok
Emlékeztető
Az f (x) = 6(x2 − 2)(x2 + 1) ∈ Z[x ] alaptétel szerinti felbontásaZ[x ]-ben 4 tényezős: 2 · 3 · (x2 − 2) · (x2 + 1).
Kiemeltük az együtthatók legnagyobb közös osztóját.
Definíció (K3.4.1)
Primitív polinom: együtthatóinak legnagyobb közös osztója 1.
ÁllításMinden egész együtthatós polinom egyértelműen fölírható egyprimitív polinom, és egy egész szám szorzataként.
Példa: 60x6 + 36x4 + 90 =
![Page 352: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/352.jpg)
Egész együtthatós polinomok Algebra1, normál 9. előadás 26 / 28
Primitív polinomok
Emlékeztető
Az f (x) = 6(x2 − 2)(x2 + 1) ∈ Z[x ] alaptétel szerinti felbontásaZ[x ]-ben 4 tényezős: 2 · 3 · (x2 − 2) · (x2 + 1).
Kiemeltük az együtthatók legnagyobb közös osztóját.
Definíció (K3.4.1)
Primitív polinom: együtthatóinak legnagyobb közös osztója 1.
ÁllításMinden egész együtthatós polinom egyértelműen fölírható egyprimitív polinom, és egy egész szám szorzataként.
Példa: 60x6 + 36x4 + 90 = 6(10x6 + 6x4 + 15).
![Page 353: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/353.jpg)
Egész együtthatós polinomok Algebra1, normál 9. előadás 26 / 28
Primitív polinomok
Emlékeztető
Az f (x) = 6(x2 − 2)(x2 + 1) ∈ Z[x ] alaptétel szerinti felbontásaZ[x ]-ben 4 tényezős: 2 · 3 · (x2 − 2) · (x2 + 1).
Kiemeltük az együtthatók legnagyobb közös osztóját.
Definíció (K3.4.1)
Primitív polinom: együtthatóinak legnagyobb közös osztója 1.
ÁllításMinden egész együtthatós polinom egyértelműen fölírható egyprimitív polinom, és egy egész szám szorzataként.
Példa: 60x6 + 36x4 + 90 = 6(10x6 + 6x4 + 15).Nyilván (10, 6, 15) = 1
![Page 354: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/354.jpg)
Egész együtthatós polinomok Algebra1, normál 9. előadás 26 / 28
Primitív polinomok
Emlékeztető
Az f (x) = 6(x2 − 2)(x2 + 1) ∈ Z[x ] alaptétel szerinti felbontásaZ[x ]-ben 4 tényezős: 2 · 3 · (x2 − 2) · (x2 + 1).
Kiemeltük az együtthatók legnagyobb közös osztóját.
Definíció (K3.4.1)
Primitív polinom: együtthatóinak legnagyobb közös osztója 1.
ÁllításMinden egész együtthatós polinom egyértelműen fölírható egyprimitív polinom, és egy egész szám szorzataként.
Példa: 60x6 + 36x4 + 90 = 6(10x6 + 6x4 + 15).Nyilván (10, 6, 15) = 1 (de nem páronként relatív prímek).
![Page 355: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/355.jpg)
Egész együtthatós polinomok Algebra1, normál 9. előadás 27 / 28
Irreducibilitás Z[x ]-ben
Tétel (K3.4.8)
Egy f ∈ Z[x ] polinom pontosan akkor irreducibilis Z fölött, ha
![Page 356: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/356.jpg)
Egész együtthatós polinomok Algebra1, normál 9. előadás 27 / 28
Irreducibilitás Z[x ]-ben
Tétel (K3.4.8)
Egy f ∈ Z[x ] polinom pontosan akkor irreducibilis Z fölött, ha
(1) vagy egy Z-beli prímszám (mint konstans polinom),
![Page 357: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/357.jpg)
Egész együtthatós polinomok Algebra1, normál 9. előadás 27 / 28
Irreducibilitás Z[x ]-ben
Tétel (K3.4.8)
Egy f ∈ Z[x ] polinom pontosan akkor irreducibilis Z fölött, ha
(1) vagy egy Z-beli prímszám (mint konstans polinom),
(2) vagy egy primitív polinom, amely Q fölött irreducibilis.
![Page 358: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/358.jpg)
Egész együtthatós polinomok Algebra1, normál 9. előadás 27 / 28
Irreducibilitás Z[x ]-ben
Tétel (K3.4.8)
Egy f ∈ Z[x ] polinom pontosan akkor irreducibilis Z fölött, ha
(1) vagy egy Z-beli prímszám (mint konstans polinom),
(2) vagy egy primitív polinom, amely Q fölött irreducibilis.
Az f ∈ Z[x ] polinomot a következőképpen bonthatjuk Z fölöttirreducibilisek szorzatára:
![Page 359: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/359.jpg)
Egész együtthatós polinomok Algebra1, normál 9. előadás 27 / 28
Irreducibilitás Z[x ]-ben
Tétel (K3.4.8)
Egy f ∈ Z[x ] polinom pontosan akkor irreducibilis Z fölött, ha
(1) vagy egy Z-beli prímszám (mint konstans polinom),
(2) vagy egy primitív polinom, amely Q fölött irreducibilis.
Az f ∈ Z[x ] polinomot a következőképpen bonthatjuk Z fölöttirreducibilisek szorzatára:
(1) Kiemeljük az együtthatóinak a legnagyobb közös osztóját:
![Page 360: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/360.jpg)
Egész együtthatós polinomok Algebra1, normál 9. előadás 27 / 28
Irreducibilitás Z[x ]-ben
Tétel (K3.4.8)
Egy f ∈ Z[x ] polinom pontosan akkor irreducibilis Z fölött, ha
(1) vagy egy Z-beli prímszám (mint konstans polinom),
(2) vagy egy primitív polinom, amely Q fölött irreducibilis.
Az f ∈ Z[x ] polinomot a következőképpen bonthatjuk Z fölöttirreducibilisek szorzatára:
(1) Kiemeljük az együtthatóinak a legnagyobb közös osztóját:f (x) = ng(x),
![Page 361: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/361.jpg)
Egész együtthatós polinomok Algebra1, normál 9. előadás 27 / 28
Irreducibilitás Z[x ]-ben
Tétel (K3.4.8)
Egy f ∈ Z[x ] polinom pontosan akkor irreducibilis Z fölött, ha
(1) vagy egy Z-beli prímszám (mint konstans polinom),
(2) vagy egy primitív polinom, amely Q fölött irreducibilis.
Az f ∈ Z[x ] polinomot a következőképpen bonthatjuk Z fölöttirreducibilisek szorzatára:
(1) Kiemeljük az együtthatóinak a legnagyobb közös osztóját:f (x) = ng(x), ahol g már primitív polinom;
![Page 362: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/362.jpg)
Egész együtthatós polinomok Algebra1, normál 9. előadás 27 / 28
Irreducibilitás Z[x ]-ben
Tétel (K3.4.8)
Egy f ∈ Z[x ] polinom pontosan akkor irreducibilis Z fölött, ha
(1) vagy egy Z-beli prímszám (mint konstans polinom),
(2) vagy egy primitív polinom, amely Q fölött irreducibilis.
Az f ∈ Z[x ] polinomot a következőképpen bonthatjuk Z fölöttirreducibilisek szorzatára:
(1) Kiemeljük az együtthatóinak a legnagyobb közös osztóját:f (x) = ng(x), ahol g már primitív polinom;
(2) Az n számot Z-ben prímek szorzatára bontjuk;
![Page 363: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/363.jpg)
Egész együtthatós polinomok Algebra1, normál 9. előadás 27 / 28
Irreducibilitás Z[x ]-ben
Tétel (K3.4.8)
Egy f ∈ Z[x ] polinom pontosan akkor irreducibilis Z fölött, ha
(1) vagy egy Z-beli prímszám (mint konstans polinom),
(2) vagy egy primitív polinom, amely Q fölött irreducibilis.
Az f ∈ Z[x ] polinomot a következőképpen bonthatjuk Z fölöttirreducibilisek szorzatára:
(1) Kiemeljük az együtthatóinak a legnagyobb közös osztóját:f (x) = ng(x), ahol g már primitív polinom;
(2) Az n számot Z-ben prímek szorzatára bontjuk;
(3) A g polinomot Q[x ]-ben bontjuk irreducibilisek szorzatára.
![Page 364: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/364.jpg)
Egész együtthatós polinomok Algebra1, normál 9. előadás 27 / 28
Irreducibilitás Z[x ]-ben
Tétel (K3.4.8)
Egy f ∈ Z[x ] polinom pontosan akkor irreducibilis Z fölött, ha
(1) vagy egy Z-beli prímszám (mint konstans polinom),
(2) vagy egy primitív polinom, amely Q fölött irreducibilis.
Az f ∈ Z[x ] polinomot a következőképpen bonthatjuk Z fölöttirreducibilisek szorzatára:
(1) Kiemeljük az együtthatóinak a legnagyobb közös osztóját:f (x) = ng(x), ahol g már primitív polinom;
(2) Az n számot Z-ben prímek szorzatára bontjuk;
(3) A g polinomot Q[x ]-ben bontjuk irreducibilisek szorzatára.
Meg lehet mutatni, hogy g felbontása is „lényegében” egészegyütthatós polinomokra történik (II. Gauss-lemma, K3.4.7).
![Page 365: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/365.jpg)
Összefoglaló Algebra1, normál 9. előadás 28 / 28
A 9. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
Oszthatóság,
![Page 366: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/366.jpg)
Összefoglaló Algebra1, normál 9. előadás 28 / 28
A 9. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
Oszthatóság, egység,
![Page 367: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/367.jpg)
Összefoglaló Algebra1, normál 9. előadás 28 / 28
A 9. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
Oszthatóság, egység, triviális felbontás,
![Page 368: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/368.jpg)
Összefoglaló Algebra1, normál 9. előadás 28 / 28
A 9. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
Oszthatóság, egység, triviális felbontás, irreducibilis polinom.
![Page 369: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/369.jpg)
Összefoglaló Algebra1, normál 9. előadás 28 / 28
A 9. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
Oszthatóság, egység, triviális felbontás, irreducibilis polinom.Kitüntetett közös osztó.
![Page 370: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/370.jpg)
Összefoglaló Algebra1, normál 9. előadás 28 / 28
A 9. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
Oszthatóság, egység, triviális felbontás, irreducibilis polinom.Kitüntetett közös osztó. Primitív polinom.
![Page 371: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/371.jpg)
Összefoglaló Algebra1, normál 9. előadás 28 / 28
A 9. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
Oszthatóság, egység, triviális felbontás, irreducibilis polinom.Kitüntetett közös osztó. Primitív polinom.
TételekMaradékos osztás polinomokra: létezés és egyértelműség.
![Page 372: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/372.jpg)
Összefoglaló Algebra1, normál 9. előadás 28 / 28
A 9. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
Oszthatóság, egység, triviális felbontás, irreducibilis polinom.Kitüntetett közös osztó. Primitív polinom.
TételekMaradékos osztás polinomokra: létezés és egyértelműség.A hányados és a maradék együtthatói összeadás, kivonás, szorzás,és az osztó főegyütthatójával való osztás segítségével kaphatók.
![Page 373: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/373.jpg)
Összefoglaló Algebra1, normál 9. előadás 28 / 28
A 9. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
Oszthatóság, egység, triviális felbontás, irreducibilis polinom.Kitüntetett közös osztó. Primitív polinom.
TételekMaradékos osztás polinomokra: létezés és egyértelműség.A hányados és a maradék együtthatói összeadás, kivonás, szorzás,és az osztó főegyütthatójával való osztás segítségével kaphatók.Az egységek leírása a polinomok között.
![Page 374: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/374.jpg)
Összefoglaló Algebra1, normál 9. előadás 28 / 28
A 9. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
Oszthatóság, egység, triviális felbontás, irreducibilis polinom.Kitüntetett közös osztó. Primitív polinom.
TételekMaradékos osztás polinomokra: létezés és egyértelműség.A hányados és a maradék együtthatói összeadás, kivonás, szorzás,és az osztó főegyütthatójával való osztás segítségével kaphatók.Az egységek leírása a polinomok között.A kitüntetett közös osztó létezése,
![Page 375: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/375.jpg)
Összefoglaló Algebra1, normál 9. előadás 28 / 28
A 9. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
Oszthatóság, egység, triviális felbontás, irreducibilis polinom.Kitüntetett közös osztó. Primitív polinom.
TételekMaradékos osztás polinomokra: létezés és egyértelműség.A hányados és a maradék együtthatói összeadás, kivonás, szorzás,és az osztó főegyütthatójával való osztás segítségével kaphatók.Az egységek leírása a polinomok között.A kitüntetett közös osztó létezése, C[x ], R[x ], Q[x ] alaptételes.
![Page 376: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/376.jpg)
Összefoglaló Algebra1, normál 9. előadás 28 / 28
A 9. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
Oszthatóság, egység, triviális felbontás, irreducibilis polinom.Kitüntetett közös osztó. Primitív polinom.
TételekMaradékos osztás polinomokra: létezés és egyértelműség.A hányados és a maradék együtthatói összeadás, kivonás, szorzás,és az osztó főegyütthatójával való osztás segítségével kaphatók.Az egységek leírása a polinomok között.A kitüntetett közös osztó létezése, C[x ], R[x ], Q[x ] alaptételes.Páratlan fokú valós együtthatós polinomnak van valós gyöke.
![Page 377: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/377.jpg)
Összefoglaló Algebra1, normál 9. előadás 28 / 28
A 9. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
Oszthatóság, egység, triviális felbontás, irreducibilis polinom.Kitüntetett közös osztó. Primitív polinom.
TételekMaradékos osztás polinomokra: létezés és egyértelműség.A hányados és a maradék együtthatói összeadás, kivonás, szorzás,és az osztó főegyütthatójával való osztás segítségével kaphatók.Az egységek leírása a polinomok között.A kitüntetett közös osztó létezése, C[x ], R[x ], Q[x ] alaptételes.Páratlan fokú valós együtthatós polinomnak van valós gyöke.Konjugált gyök multiplicitása valós együtthatós polinomra.
![Page 378: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/378.jpg)
Összefoglaló Algebra1, normál 9. előadás 28 / 28
A 9. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
Oszthatóság, egység, triviális felbontás, irreducibilis polinom.Kitüntetett közös osztó. Primitív polinom.
TételekMaradékos osztás polinomokra: létezés és egyértelműség.A hányados és a maradék együtthatói összeadás, kivonás, szorzás,és az osztó főegyütthatójával való osztás segítségével kaphatók.Az egységek leírása a polinomok között.A kitüntetett közös osztó létezése, C[x ], R[x ], Q[x ] alaptételes.Páratlan fokú valós együtthatós polinomnak van valós gyöke.Konjugált gyök multiplicitása valós együtthatós polinomra.Gyökök és irreducibilitás kapcsolata.
![Page 379: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/379.jpg)
Összefoglaló Algebra1, normál 9. előadás 28 / 28
A 9. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
Oszthatóság, egység, triviális felbontás, irreducibilis polinom.Kitüntetett közös osztó. Primitív polinom.
TételekMaradékos osztás polinomokra: létezés és egyértelműség.A hányados és a maradék együtthatói összeadás, kivonás, szorzás,és az osztó főegyütthatójával való osztás segítségével kaphatók.Az egységek leírása a polinomok között.A kitüntetett közös osztó létezése, C[x ], R[x ], Q[x ] alaptételes.Páratlan fokú valós együtthatós polinomnak van valós gyöke.Konjugált gyök multiplicitása valós együtthatós polinomra.Gyökök és irreducibilitás kapcsolata. A C[x ] és R[x ] irreducibilisei.
![Page 380: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/380.jpg)
Összefoglaló Algebra1, normál 9. előadás 28 / 28
A 9. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
Oszthatóság, egység, triviális felbontás, irreducibilis polinom.Kitüntetett közös osztó. Primitív polinom.
TételekMaradékos osztás polinomokra: létezés és egyértelműség.A hányados és a maradék együtthatói összeadás, kivonás, szorzás,és az osztó főegyütthatójával való osztás segítségével kaphatók.Az egységek leírása a polinomok között.A kitüntetett közös osztó létezése, C[x ], R[x ], Q[x ] alaptételes.Páratlan fokú valós együtthatós polinomnak van valós gyöke.Konjugált gyök multiplicitása valós együtthatós polinomra.Gyökök és irreducibilitás kapcsolata. A C[x ] és R[x ] irreducibilisei.A Schönemann–Eisenstein-kritérium.
![Page 381: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/381.jpg)
Összefoglaló Algebra1, normál 9. előadás 28 / 28
A 9. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
Oszthatóság, egység, triviális felbontás, irreducibilis polinom.Kitüntetett közös osztó. Primitív polinom.
TételekMaradékos osztás polinomokra: létezés és egyértelműség.A hányados és a maradék együtthatói összeadás, kivonás, szorzás,és az osztó főegyütthatójával való osztás segítségével kaphatók.Az egységek leírása a polinomok között.A kitüntetett közös osztó létezése, C[x ], R[x ], Q[x ] alaptételes.Páratlan fokú valós együtthatós polinomnak van valós gyöke.Konjugált gyök multiplicitása valós együtthatós polinomra.Gyökök és irreducibilitás kapcsolata. A C[x ] és R[x ] irreducibilisei.A Schönemann–Eisenstein-kritérium. Az eltolt irreducibilitása.
![Page 382: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/382.jpg)
Összefoglaló Algebra1, normál 9. előadás 28 / 28
A 9. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
Oszthatóság, egység, triviális felbontás, irreducibilis polinom.Kitüntetett közös osztó. Primitív polinom.
TételekMaradékos osztás polinomokra: létezés és egyértelműség.A hányados és a maradék együtthatói összeadás, kivonás, szorzás,és az osztó főegyütthatójával való osztás segítségével kaphatók.Az egységek leírása a polinomok között.A kitüntetett közös osztó létezése, C[x ], R[x ], Q[x ] alaptételes.Páratlan fokú valós együtthatós polinomnak van valós gyöke.Konjugált gyök multiplicitása valós együtthatós polinomra.Gyökök és irreducibilitás kapcsolata. A C[x ] és R[x ] irreducibilisei.A Schönemann–Eisenstein-kritérium. Az eltolt irreducibilitása.A Z[x ] irreducibiliseinek visszavezetése Q[x ]-re,
![Page 383: ewkiss.web.elte.hu · A maradékos osztás Algebra1, normál 9. előadás 4 / 28 Marakos osztás: létezés Tétel (K3.2.1) Minden f,g ∈ C[x]esetén, ahol g 6= 0, létezik olyan](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081406/5f0d37527e708231d4393e99/html5/thumbnails/383.jpg)
Összefoglaló Algebra1, normál 9. előadás 28 / 28
A 9. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
Oszthatóság, egység, triviális felbontás, irreducibilis polinom.Kitüntetett közös osztó. Primitív polinom.
TételekMaradékos osztás polinomokra: létezés és egyértelműség.A hányados és a maradék együtthatói összeadás, kivonás, szorzás,és az osztó főegyütthatójával való osztás segítségével kaphatók.Az egységek leírása a polinomok között.A kitüntetett közös osztó létezése, C[x ], R[x ], Q[x ] alaptételes.Páratlan fokú valós együtthatós polinomnak van valós gyöke.Konjugált gyök multiplicitása valós együtthatós polinomra.Gyökök és irreducibilitás kapcsolata. A C[x ] és R[x ] irreducibilisei.A Schönemann–Eisenstein-kritérium. Az eltolt irreducibilitása.A Z[x ] irreducibiliseinek visszavezetése Q[x ]-re, Z[x ] alaptételes.