How much we know about U? A incomplete investigation of “first­

principles” determination of the Hubbard U 

Hong Jiang 

VB CBEF

ULDA+U

VB CB

LDA

EF

Outline• LDA+U method

• First­principles determination of U

• Constrained DFT calculations of U in WIEN2k

• Linear­response approach for U in WIEN2k and PWscf

3

Failure of LDA for fractional charge systems

Perdew et al. (1982); Mori Sanchez, Cohen and Yang, PRL 77, 115123(2008)

Convex (e.g. LDA/GGA)

Concave (HF)

exact

More localized states have more severe  self­interaction (delocalization)  error

Open­shell d­ or f­electron systems: fractional occupation appears even at integer number 

of electrons

    4

Challenge of  d or f­electron systems

The error due to fractional charges is more severe for localized d­or f­states

    5

LDA+U : a correction from Hubbard Model

Anisimov et al. (1993); Dudarev et al. (1998)

Hubbard model for local interaction:

Hartree­Fock approximation:

For integer occupation

    6

Assumptions within LDA+U 

Anisimov, Aryasetiawan and Lichtenstein, JPCM (1997)

Identification of a local subsystem for which a correction is made

mean­field approximation for the Hubbard model is adequate to describe 

many­body interaction in the local subsystem 

For the double­counting correction, the LDA interaction energy for the 

local subsystem can be described by the same parameters U and J  

    7

U : local screened  Coulomb interaction

Ce atom

F0(Ce, LDA)=24.7 eV

Where are screening from? Screening of itinerant states Relaxation of d­wave functions due to changing N

    8

Direct approaches: Constrained RPA

Aryasetiawan et al.  PRB74, 115106 (2006); Miyake and Aryasetiawan, PRB 77, 085122 (2008)

LMTO  Localized Wannier func. 

    9

cRPA: How to separate localized states from others

Aryasetiawan et al.  PRB74, 115106 (2006); Miyake and Aryasetiawan, PRB 77, 085122 (2008)

(from Aryasetiawan's talk)

sp­CB

sp­VB

d­states

    10

Super­cell constrained DFT approaches

dndn­1 dn+1

U and J consistent with double­counting corrections

(spin­polarized)

(spin­unpolarized)

By second order derivative:

By second order difference

    11

“Hard” c­DFT method

dndn­1 dn+1

U=E(dn+1) + E(dn­1)­2E(dn)  Anisimov and Gunnarsson (1991)

Recipe( NiO as an example)

A supercell of NiO is built and one Ni atom is treated as an ``impurity'', on which the 

occupation of the 3d orbital is constrained to nd 

Hopping integrals connecting the impurity 3d orbitals and others orbitals are put zero (In 

WIEN2k: the 3d orbital on the impurity atom is  removed from LAPW basis)

U is calculated from the total energy difference with respect to changing nd

As nd varies,  the system is kept neutral

    12

c­DFT in WIEN2k: charge neutralizationVBN:  neutralization by changing VB electron numbers

BCN:  neutralization by constant background charges

Fe 

    13

“Hard” c­DFT method: main features 

Local orbital occupation is well defined, easy to implement in augmentation­based (LMTO, 

LAPW etc.) approaches 

By removing 3d orbital on the impurity from the LAPW basis, the basis set becomes 

incomplete 

Inconsistency between the determination of U and the use of U in LDA+U: Local occupation 

is defined differently

Not universally applicable

    14

C­DFT: Inter­site interaction 

Applying LDA+U correction to non­impurity target atoms to reduce 

inter­site interaction 

    15

C­DFT: Dependence on spin­configuration

Ln2O3 

    16

“Soft” c­DFT method: internally consistent? 

dndn­1 dn+1

Nakamura et al. Phys. Rev. B 74, 235113 (2006)

    17

“Soft” c­DFT: linear­response approach

Cococcioni and de Gironcoli (2005)

 U is defined here as 2nd partial derivative of E with occupation on all 

other­sites fixed A non­interacting (free­electron) contribution is subtracted 

    18

“Soft” c­DFT: linear­response approach

Cococcioni and de Gironcoli (2005)

Back­ground contributions

    19

Comparison of different c­DFT approaches

    20

Ongoing or “to do”......

What is the cause for the difference between LAPW and LMTO­ASA c­DFT 

results?

Systematic comparison of direct (cRPA), “hard” and “soft” c­DFT within the 

same methodology 

“soft”­cDFT approaches are internally consistent and generally applicable, 

but how strongly does it depends on the definition of the local projector operator  (atomic, orthogonalized atomic, Wannier ... ) 

Is it possible to get rid of such dependence by consistently using same local 

projector for cDFT and LDA+U calculations? ......

    21

Peking University