Shin NakamuraShin Nakamura(Center for Quantum (Center for Quantum SpacetimeSpacetime

((CQUeSTCQUeST) , ) , SogangSogang Univ.) Univ.)

Ref.: S. Kinoshita, S. Mukohyama, S.N. and K. Oda. arXiv:0807.3797

A Holographic A Holographic Dual of Dual of BjorkenBjorken FlowFlow

AdS/CFTある種のd次元強結合ゲージ理論の量子論はd+1次元古典重力理論と等価である。　　　　　　　　　　　　　　　　(Maldacena

1998)

5次元の漸近的にAdSな時空

boundary4次元の

AdS5

“Holography”

4d N=4 Super Yang-Millsat large-Nc,λ»1

典型的対応

AdS5×S5 古典SUGRA5d

ゲージ理論プラズマの記述

N=4 SYMのdeconfinement

phaseは5次元AdS

black holeを用いて記述される。

　　　　　　　　　　　　　　　　(Witten

1998)

温度　　　　

：Hawking温度エントロピー：horizonの面積

強結合ゲージ理論プラズマを記述するもう一つの方法。

ゲージ理論プラズマの物理

ブラックホールの物理

AdS/CFTのdictionrary

4次元ゲージ理論の Tμν

に関するsource

重力側の作用 ゲージ理論の有効作用

境界があるので、境界条件の関数

operatorに対するsourceの関数

例えば境界上のgμν

ゲージ理論のstress tensorの期待値を

重力理論を用いて計算できる。

(GKP-Witten

1998)

これで作用を偏微分

流体力学

Stress tensorなど、保存currentの時間発展

を記述する有効理論

重力がstress tensorの期待値を計算

できるのであれば、ゲージ理論プラズマの流体力学をも記述できると期待するのは自然。

ここではN=4 SYMのBjorken

flowを記述するAdS/CFTモデルを提出する。

Bjorken FlowBjorken

flowとはRHIC等加速器実験で生成される

Quark-gluon plasma

(QGP)の最も基本的かつ単純な膨張モデルである。(Bjorken

1983)

• 一次元膨張• boost不変性

特徴：

対称性が高いため、状態方程式が得られれば、プラズマの相対論的流体方程式を解くことができる。

Image

http://www.bnl.gov/RHIC/heavy_ion.htmFor the movie:

Bjorken

flow の local rest frame(LRF)

τ=const.

y=const.22222⊥++−= dxdydds ττ

yxyt sinh,cosh 1 ττ ==

単純化するためここでは

初期条件は 手で与える。

Minkowski

spacetime

x1：衝突軸

t：時間

Rapidity

Proper-time

この座標ではBjorken

flowが

静止して見える。

Boost不変性：y方向の並進不変性

Bjorken

flowをAdS/CFTで

記述できるか？

Bjorken

flow：時間変化する膨張する系

時間変化するblack holeを考える必要があり、non-trivialである。

この仕事では、初めてBjorken

flowのAdS/CFT(“time-dependent”

black hole)による矛盾のない

記述に成功した。

時空を求めるには？

•

5次元Einstein方程式（負の宇宙項）を解く。

•

境界条件としてはBjorken

flowのlocal rest frame 上のmetricを使用。

•

この条件のもとで5次元時空から読み取られる stress tensorが対角的になるように要請。

•

τ-2/3を単位としてEinstein方程式を展開し、order by orderで逐次時空を決定していく。

22222⊥++−= dxdydds ττ

流体力学からの示唆

Penrose diagram

boundaryfuture

even

t hori

zon

past event horizon

singularity

dynamicalapparent

horizon

trapped region

un-trapped region

同一時刻面

Eddingtong-Finkelstein座標で定式化

Cf. Janik-Peschanski

(2005)on the Fefferman-Graham coordinates.

5次元時空 (to the order of τ-2/3)

( ) 222212222222 )(12 ⊥−− ++++−= xderdyrerdrddards ccb rττττ

{ }

...)1log(21

)log()log()arctan(31

...1

...3)1(321

3/23

2440

21

21

21

3/21

3/25

40

41

4144

1 +⎟⎠⎞−−−

⎜⎝⎛ +−−+−=

++

−=

+−++

−−=

−−

−

−

−−

τη

τξ

τηξξ

ξ

π

uuw

wuwuuww

c

ub

uuwwuuwagauge 自由度

5次元時空がhorizon近傍でregularとなる唯一の場合：

.31

0 w=η( ) )(regular21

)(3)19(4 3/43/4

2202 −− ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−−−

= ττημνρλ O

wuwuwR

3/1τru ≡ 境界条件のみでは決まらない積分定数

積分定数η0

の意味

Stress tensor

を時空から読み取ってη0の意味を解釈

w31

0 =ηπ

η41

=s

Kovtun-Son-Starinets

(2004)による有名な結果と一致。同様に、任意の次数の輸送係数を決定することが出来る。

η0

は shear viscosity ηに比例する。より具体的には

成果の概観

large-Nc, λ=∞のN=4 SYM プラズマのBjorken

flowを記述する5次元時空を求めた。

5次元重力 流体力学

• 流体方程式

• 状態方程式

• 輸送係数

• 構成方程式漸近的にAdS5となる時間変化

する時空 .....)( +−++= μννμμννμμν ησε uugPuuT

0=∇ μνμT

0=μμT

粘性、緩和時間など

•　Boundary近傍の　

Einstein方程式

•　Horizon近傍の　

時空の正則性

　（宇宙検閲仮説？）

我々の仕事で成し得た事

•

Janikらの既存の仕事ではτ-2/3展開の3次で近似が破綻す る問題があった。→我々のモデルではall orderで近似が破 綻せずにworkすることを証明。

•

時空にapparent horizonが存在すること（すなわちevent horizonが存在すること）を初めて証明。→時空は ”time-

dependent”

black hole。

•

時間変化するAdS/CFTの（恐らく最初の）具体的かつ well-definedな例。

•

Janikらの方法に比べて、近似のより低い次数で輸送係 数を決定する方法を示した。Projected Riemann tensor

AdS/CFTで記述する利点は？

例えば、異常粘性、プラズマ不安定性、乱流など、平衡からより離れた系の現象を記述するための思わぬヒントが重力理論に潜んでいるかも知れない。

Bjorekn

flowの記述はこの方向の第一歩である。

重力理論一般相対性理論

Einstein以来、最も精力的に

研究されている分野の一つ

ゲージ理論

流体力学AdS/CFT

平衡の概念を必要としない

皆さんと議論したいこと

•

Bjorken

flowをする流体が重力の言葉で用意できました。

　　→これを用いて具体的に何を計算すべきでしょうか？

•

時間依存するモデルを作った動機は非平衡系を記述することに あります。

　

→例えば、時間変化するプラズマの不安定性を見るに は何を見たら良いでしょうか？

N=4 SYMのBjorken

flowを記述するsetupは作りました。

Supplement

MotivationRHIC: Relativistic Heavy Ion Collider

(@ Brookhaven National Laboratory)

http://www.bnl.gov/RHIC/inside_1.htm

Heavy ion:e.g. 197Au

~200GeV.

Similar exp. atLHC: ALICE/CMS

NNS

Shear viscosity

Lv

AF η=

L

v

v=0

fluid

Viscosity:　粘性度

Shear:　剪断

Strong interaction Small viscosity

How to obtain the geometry?Solution to the super-gravity equationwith appropriate

boundary conditions

and initial conditions.

• The 4d geometry

where the YM theory lives.• The initial stress tensor

of the YM fluid.

Time-dependent solutions

5d Einstein equation with Λ<0

General relativity as hydrodynamics

5d Geometry

GKP-Witten

prescription(AdS/CFT dictionary)

Described by hydrodynamics.

Time evolution

of (the

long-range modes

of) stress tensor

Hydrodynamics

comes out of the gravity!

time-dependent

4d Stress tensortime-dependent

Hydrodynamics

Summary of our work

• hydrodynamic equation(energy-momentum

conservation)• equation of state　

(conformal invariance)

• transport coefficients

Our model

5d Einstein’s eq. atthe vicinity of theboundary

(viscosity, relaxation time…)

Reguarity

aroundthe horizon

Related to thermal equilibrium

Physical parameters

from Cosmic Censorship.

Our system: Bjorken flow

•

(Almost) one-dimensional expansion.•

We have boost symmetry

in the CRR.

Relativistically

accelerated heavy nuclei

After collision

Velocity of light

Central Rapidity Region

(CRR)

Time dependence of the physical quantities are written by the proper time.

Velocity of light

(Bjorken

1983)

A standard modelof QGP fluid

Stress tensor on LRFThe stress tensor becomes diagonal:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

++

−=

τη

τη

τη

μν

τε

32

32

342

00000000)(0000

pp

pT

energy density

shear viscositypressure

If the stress tensor is diagonalyou are on the flow.

Our dual geometry

( ) 222212222222 )(12 ⊥−− ++++−= xderdyrerdrddards ccb rττττ

• Parametrization

(Eddington-Finkelstein

type):

• r

is the radial (5th) direction, the boundary is at r = ∞.

• the boundary condition (LRF): a→1, b→0, c→0, at r= ∞.

The Einstein’s equation

Differential equations for a, b, c.Difficult to get the exact solution.

Approximation:Hydrodynamics:τ-2/3

expansion works for Bjorken

flow.

Gravity dual:τ-2/3

expansion, with r fixed?

We found that τ-2/3

expansion

with u=rτ1/3

fixed

works well.

Expansion around equilibrium.

( ) 222212222222 )(12 ⊥−− ++++−= xderdyrerdrddards ccb rττττ

......)()()( 3/42

3/210 +++= −− ττ uauauaa

Similar for b and c.Solve the equation order by order.

The zeroth-order solution (at the leading order)

)(2)(

1 2222243/1

422

⊥+++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= xddyrdrdd

rwrds rττττ

• This reproduces the correct

zeroth-order stress tensor of the Bjorken

flow.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +== K3/40

1τ

εεττT

• We have an apparent horizon.

( )44129 wueF −

−+ −−=θθ trapped region

if u<w.

The location of the apparent horizon: u=w+O(τ-2/3

)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 2

2

04

83π

ε cNwThis is u

Normalized product of expansions

The (event) horizon is necessary

( ) )(958 3/28

82 −+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= τμνρλ O

uwR

We have a physical singularity

at the origin.

However, this is hidden

by the apparent horizonat u=w

hence the event horizon

(outside it).

Not

a naked singularity.

HIgher-order results:• From the regularity of the 2nd-order geometry, “relaxation time”

is uniquely determined.

consistent

with Heller-Janik, Baier

et. al., and Bhattacharyya et. al.

Furthermore, we can show by using

induction that the same mechanism

holds to

arbitrary higher order.

No

un-removable singularity

likeBenincasa-Buchel-heller-Janik, arXiv:0712.2025.

Our model is totally well-defined.

Non-staticity

of the loal

geometryProjected Weyl

tensor

....334

....34

3/24

40

5

4

4

4

3/25

4

4

4

1

1

21

21

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

+−=

−

−

τη

τ

uw

uw

uwC

uw

uwC

yxyx

xxxx

An-isotropy

evolves

in time.

The dual geometry is not static, if we includedissipation.

Area of the apparent hrizon

....2

3 3/203

3 +−= −τηwwAap

Consistent

with the time evolution of theentropy density to the first order.

entropy creation due to disspation

What we have done•

Gravity dual of the Bjorken

flow on an Eddington-

Finkelstein

type coordinates.

•

Presence

of the apparent horizon

and the event horizon: a dynamical black hole.

•

Transport coefficients

from the absence of naked singularity.

•

Our late-time expansion

is consistent

and the geometry can be regular for all orders.

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•

Our model provides the first consistent gravity dual

of the Bjorken

flow.

(cf. Heller-Loganayagam-Spalinski-Surowka-Vazquez, arXiv:0805.3774)

•

Our model is a concrete well-defined example

of time-dependent AdS/CFT

based on a well-controled

approximation.

I hope thatI hope

that the gravity dual provides a computational

method beyond

what we already know.

I hope that:

Einstein　+　Penrose 　> 　Kubo　+　Landau?

Challenging problems:Description of phenomena that appear only in time-dependent systems, such as

• anomalous viscosty• turbulence• ………

For the details

•

Please take a look at our paper arXiv:0807.3797.

•

Please feel free to make a contact with me.