Gravitação Universal de Newton

Professor: Carlos Alberto Aragão dos Santos

11/02/2014

Nesta aula abordaremos o estudo da gravitação universal de Newton, onde faremos uma introdução histórica vendo os principais cientista da época.

Gravitação UniversalÉ a parte da física que estuda o comportamento e

movimento dos astros, ou seja, estuda a movimentação dos planetas e dos corpos que os cercam.

Gravitação Universal

Desde cedo, na história da humanidade, há registros de observações dos corpos celestes;

Antigos escritos chineses falam de fenômenos astronômicos, como eclipses, surgimento de cometas, etc.;

Os antigos navegantes orientavam-se pelo movimento da Lua e pelas estrelas;

Um Pouco de Historia

Modelos:

Geocêntrico

Heliocêntrico

Modelo GeocêntricoCláudio Ptolomeu de Alexandria Ptolomeu, no século II d.C. formulou o universo com a terra ao

centro. Modelo que duraria até o século XVI, com discussões de Galileu e Corpérnico.

Os planetas giram em órbitas concêntricas, em torno da Terra.

Modelo HeliocêntricoNicolau Copérnico (1473 – 1543)

O Sol é o centro do universo. Galileu Galilei (1564 -1642)

Leis de KeplerA partir das observações feitas por Galileu Galilei, o

alemão Johanes Kepler chegou em três leis básicas do movimento orbital.

1ª : Lei das Órbitas.

2ª : Lei das áreas.

3ª : Lei dos períodos.

• •

Periélio

( V máx )Afélio

( Vmín )

1ª Lei – A Lei das Trajetórias

Todos os planetas se movem em órbitas elípticas, com Sol ocupando um dos focos.

Orbitas Elípticas.

1 2,f f ⇒ Focos

1f2f

1t∆2t∆ 1A2A

Dr

Cr

Dt

Ct

At

Bt

Ar

Br

2ª Lei de Kepler – Lei das Áreas A linha imaginária que liga o Sol a um planeta varre áreas

iguais em intervalos de tempo iguais.

1 1

2 2

A t

A t

∆=∆

( )1 2

1 2

... na

n

AA Acte V velocidade areolar

t t t= = = = =

∆ ∆ ∆

1 2 1 2 ... , então ...n nse t t t A A A∆ = ∆ = = ∆ = =

3ª Lei de Kepler – Lei dos Períodos

Os quadrados dos períodos de revolução de dois planetas são proporcionais aos cubos dos raios médios de suas órbitas.

2 21 2

3 31 2

...T T

cteR R

= = =

Raio Médio da Órbita

mínd máxd

• •1F 2F

2máxmín dd

R+=

• •Periélio Afélio

Os Planetas do Sistema Solar

Observações Gerais:• As três leis de Kepler são válidas para quaisquer

sistemas em que corpos gravitam em torno de um corpo central;

• A lei das órbitas não exclui a possibilidade de a órbita descrita por um planeta ser circular, já que a circunferência é um caso particular de elipse;

• Se considerarmos circular a trajetória descrita por um planeta em torno do Sol, o raio médio de órbita corresponderá ao raio da circunferência e o período do movimento corresponderá ao período do movimento circular uniforme;

• No caso de corpos orbitando ao redor da Terra, o ponto da órbita mais próximo da Terra recebe o nome perigeu e o mais afastado recebe o nome apogeu.

Lei de Kepler

Exemplo: A distância média da Terra ao Sol é aproximadamente RT = 1,5. 1011 m e a distância média de Marte ao Sol é aproximadamente RM = 2,3.1011 m.

Calcule o período de translação do planeta Marte, isto é, o tempo que Marte gasta para dar uma volta em torno do Sol.

Lei de Kepler

• As leis de Kepler descreveram geometricamente os movimentos, mas faltava explicar porque os planetas se moviam daquela maneira.

Lei da Gravitação Universal de Newton Dois corpos atraem-se gravitacionalmente com forças de

intensidades diretamente proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância que separa seus centros de gravidade.

1 22

.m mF G

d=

G⇒ É a constante de gravitação universal:

211

2

.6,67.10

N mG

kg−≅

Lei da Gravitação Universal de NewtonObservação

mA

mB

⋅ ⋅d

ABF

BAF

São forças de ação e reação:

AB BAF F F= =u u

e AB BAF Fu u

Intensidade do Campo Gravitacional

R

h

Caso o corpo esteja a uma altura h em relação à superfície teremos:

( ) 21

hR

mGg

+=

PF =

gmR

mmG .

.22

21 =

21

R

mGg =

m1

m2

m2

Lei da Gravitação Universal de Newton

Lei da Gravitação Universal de Newton

Lei da Gravitação Universal de Newton Exemplo: A figura abaixo, ilustra duas pessoas paradas,

de pé, separadas por uma distância de aproximadamente 3 metros. Qual é o valor aproximado da intensidade da força de atração gravitacional entre elas?

70Am kg= 60Bm kg=

Comprovação das Leis de Kepler Combinando as três leis do movimento e a lei da gravitação

universal, Newton demonstra a 3ª Lei de Kepler (Lei dos períodos). Supondo que um planeta tenha órbita circular (permitida pela 1ª Lei de Kepler, a força gravitacional torna-se uma força centrípeta, então:

2

. onde R c

vF m a a a

R= = =

uu

Assim

2

2

2 .. , e F=G.R

v R M mF m v

R T d

π= =

Substituindo as equações2 2

3

4TK

R GM

π= = (comprovação da 3ª Lei de Kepler)

Lei da Gravitação Universal de Newton

FFcp =

2

2 .

r

mMG

r

vm =

r

MGv

.=

v

rd =

FFcp =

• Corpos em Órbita

Lei da Gravitação Universal de Newton

Exemplo: Suponhamos que a Terra seja um corpo esférico, homogêneo, de massa M = 5,98. 1024 kg, raio R = 6,37.106 m e que não tenha movimento de rotação.

a) Calcule a aceleração da gravidade num ponto próximo á superfície da terra.

b) Calcule a aceleração da gravidade num ponto situado a 130 km de altitude.

Lei da Gravitação Universal de Newton

2e

GMv

R=

Para Terra 11,2 Km/sev⇒ =

Se 8 Km/s: ele retorna à Terrav <Se 11, 2 Km/s: ele não retorna à Terrav ≥

Se 8 Km/s 11,2 Km/s: ele entra em órbita elíptica da Terrav< <

• Quando lançamos um corpo a partir da superfície de um planeta, com velocidade inicial v0, é possível que esse corpo não mais retorne ao planeta, desde que o valor de v0 seja igual ou maior que uma velocidade ve

denominada velocidade de escape.

Satélite Estacionário

• Recebem este nome pelo fato de se apresentarem “parados” em relação a um referencial solidário à superfície do planeta.

Condições para que um satélite fique em órbita geo-estacionária

Sua órbita deve ser circular e contida no plano equatorial da Terra.

Seu período de translação deve coincidir com o período de rotação da Terra ao redor de seu eixo, isto é, 24 horas.

Seu raio de órbita deverá ser de 6,7 raios terrestres, aproximadamente.

Efeito da Marés

Os navegantes sempre souberam que havia conexão entre as marés e a Lua, mas nem um deles foi capaz de formular uma teoria satisfatória para explicar as duas marés altas que ocorrem diariamente;

Newton mostrou que as marés eram causadas pelas diferenças na atração gravitacional entre a Lua e a Terra sobre os lados opostos desta;

A força gravitacional entre a Lua e a Terra é a mais forte sobre o lado da Terra que está mais próximo da Lua e mais fraca o lado oposto, que está mais afastado da Lua;

Muito obrigado!!!

FIM!!

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