A Dissertation Yale University · Deformed nuclei are investigated utilizing this approximation. To...
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A B S T R A C T
R E L A T I V I S T I C M E A N F I E L D M E T H O D S A N D A P P L I C A T I O N
T O A X I A L L Y D E F O R M E D N U C L E I
S u k - J o o n Lee
Y a l e U n i v e r s i t y
1986
B e g i n n i n g w i t h a r e n o r m a l i z a b l e L a g r a n g i a n , w h i c h is c o n s t r u c t e d
f r o m n u c l e o n a n d m e s o n f i e l d s , a r e l a t i v i s t i c H a r t r e e - F o c k a p p r o x i m a
t i o n is d e r i v e d u t i l i z i n g m e a n f i e l d t e c h n i q u e s . T h e g r o u n d s t a t e of
t h e n u c l e u s is t a k e n to be a S l a t e r d e t e r m i n a n t of s i n g l e - n u c l e o n
s t a t e s , a n d the m e s o n f i e l d s a r e t r e a t e d as q u a n t i z e d f i e l d s . N e g l e c
t i n g the e x c h a n g e (Foc k ) term, the r e s u l t s r e d u c e to a r e l a t i v i s t i c
H a r t r e e a p p r o x i m a t i o n in w h i c h the m e s o n f i e l d s a r e t r e a t e d c l a s s i
c a l l y .
D e f o r m e d n u c l e i a r e i n v e s t i g a t e d u t i l i z i n g this a p p r o x i m a t i o n .
T o do t h i s , a m e t h o d for c a r r y i n g o u t r e l a t i v i s t i c H a r t r e e c a l c u l a
t i o n s f o r a x i a l l y s y m m e t r i c n u c l e i is d e v e l o p e d . The v a l i d i t y of the
m e t h o d is c h e c k e d b y c o m p a r i n g c a l c u l a t i o n s w i t h this m e t h o d a n d e x i s
t i n g c a l c u l a t i o n s f o r s p h e r i c a l n u c l e i . T h e a x i a l H a r t r e e c a l c u l a
t i o n s s h o w t h a t b i n d i n g e n e r g i e s a n d b u l k p r o p e r t i e s of d e f o r m e d
n u c l e i c a n n o t b e e x p l a i n e d s i m u l t a n e o u s l y . T h e m o r e d e f o r m e d f r o m the
s p h e r i c a l s h a p e , the l a r g e r the d i s c r e p a n c y . P o s s i b l e r e s o l u t i o n s of
t h i s d i f f i c u l t y a r e d i s c u s s e d .
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R E L A T I V I S T I C M E A N F I E L D M E T H O D S A N D A P P L I C A T I O N
T O A X I A L L Y D E F O R M E D N U C L E I
A D i s s e r t a t i o n
P r e s e n t e d to the F a c u l t y of the G r a d u a t e S c h o o l
of
Y a l e U n i v e r s i t y
i n C a n d i d a c y for the D e g r e e of
D o c t o r of P h i l o s o p h y
b y
S u k - J o o n L e e
D e c e m b e r 1986
-
It is a p l e a s u r e to a c k n o w l e d g e the s u p p o r t , h e l p , c o n t r i b u t i o n s ,
a n d i n s t r u c t i o n of m a n y p e o p l e . F i r s t of all, I a m g r a t e f u l to m y
t h e s i s a d v i s o r , Dr. M i c h a e l R. S t r a y e r , f o r e x c e l l e n t g u i d a n c e , a s s i s
t a n c e , a n d s u p p o r t t h r o u g h o u t t h e s e y e a r s .
I w o u l d e s p e c i a l l y like to t h a n k P r o f e s s o r s F. I a c h e l l o a n d D. A.
B r o m l e y for t h e i r c o n t i n u o u s h e l p a n d f i n a n c i a l a s s i s t a n c e . I a m a l s o
g r a t e f u l to Dr. A. B. B a l a n t e k i n f o r m a n y h e l p f u l d i s c u s s i o n s and
c o l l a b o r a t i o n in d i v e r s e t o p i c s .
Dr. J. B. M c G r o r y and the m e m b e r s of the P h y s i c s D i v i s i o n at O a k
R i d g e N a t i o n a l L a b o r a t o r y d e s e r v e s p e c i a l t h a n k s for t h e i r g e n e r o u s
h o s p i t a l i t y and f i n a n c i a l s u p p o r t . W i t h o u t the u s e of the c o m p u t a
t i o n a l f a c i l i t i e s at O R NL, s o m e of the w o r k in t h i s d i s s e r t a t i o n w o u l d
n o t b e p o s s i b l e .
I w o u l d a l s o l i k e to e x p r e s s m y a p p r e c i a t i o n to A l t h e a T a t e for
h e r e x p e r t t y p i n g , n o t o n l y of t h i s d i s s e r t a t i o n but a l s o of m a n y
o t h e r m a n u s c r i p t s . I a m e s p e c i a l l y g r a t e f u l to S a r a B a t t e r f o r h e r
c o n s t a n t h e l p a n d s u p p o r t o v e r the y e a r s . A l s o , f o r a c r i t i c a l
r e a d i n g a n d c o r r e c t i o n of t h e m a n u s c r i p t , I w o u l d l i k e to t h a n k Prof.
D . E r n s t .
F i n a l l y , I w o u l d l i k e t o e x p r e s s m y g r a t i t u d e to o u r p a r e n t s for
t h e i r s t e a d y e n c o u r a g e m e n t and s u p p o r t . M o s t of all, I w i s h to e x
p r e s s ray a p p r e c i a t i o n to m y w i f e , Y e o n - H w a , a n d c h i l d r e n , D o n g - S e o k
a n d K a - E u n , f o r t h e i r u n d e r s t a n d i n g a n d s a c r i f i c e s d u r i n g t h e s e d i f f i
c u l t t i m e s .
ACKNOWLEDGEMENTS
ii
-
CONTENTS
T a b l e of C o n t e n t s ..............................................................Ill
L i s t of F i g u r e s ................................................................ lv
L i s t of T a b l e s ................................................................. v
I. I N T R O D U C T I O N ..................................................................... 1
II. R E L A T I V I S T I C N U C L E A R S Y S T E M .............................................. 28
A. M E A N F I E L D T H E O R Y ........................................................ 31
B. T H E E Q U A T I O N S OF M O T I O N OF T H E M E A N F I E L D S .......... 37
C. P H Y S I C A L O B S E R V A B L E S .................................................... 43
III. R E L A T I V I S T I C H A R T R E E C A L C U L A T I O N S F O R A X I A L L Y S Y M M E T R I C
N U C L E I ............................................................................. 46
A. E Q U A T I O N S OF M O T I O N F O R A X I A L L Y S Y M M E T R I C
T W O - D I M E N S I O N A L L A T T I C E S .............................................. 47
B. N U M E R I C A L M E T H O D S A N D P H Y S I C A L O B S E R V A B L E S O N T H E G R I D . . . 60
C. R E S U L T S ...................................................................... 64
1. S p h e r i c a l N u c l e i ................................................... 66
2. A x i a l l y D e f o r m e d N u c l e i ........................................... 73
IV. C O N C L U S I O N S ....................................................................... 115
A P P E N D I X . R E L A T I V I S T I C H A R T R E E - F O C K E Q U A T I O N S F O R S P H E R I C A L
S Y S T E M S .............................................................117
R E F E R E N C E S ........................................................................ 122
i l l
Acknowledgements................................................... 11
-
F i g u r e 2. C o m p a r i s o n B e t w e e n R H a n d D D H F for C h a r g e D e n s i t y 13
F i g u r e 3. E f f e c t of V a c u u m F l u c t u a t i o n o n N u c l e a r S y s t e m ............ 15
F i g u r e 4. E x c h a n g e E f f e c t in R e l a t i v i s t i c N u c l e a r S y s t e m ............ 17
F i g u r e 5. C o r r e l a t i o n E f f e c t in R e l a t i v i s t i c C a l c u l a t i o n s ........... 19
F i g u r e 6 . C o m p a r i s o n B e t w e e n S t o c h a s t i c a n d R H C a l c u l a t i o n s 23
F i g u r e 7. D i s p e r s i o n R e l a t i o n s for O n e - D i m e n s i o n a l D i r a c
E q u a t i o n ................................................................. 52
F i g u r e 8 . E n e r g y C o n v e r g e n c y R a t e ............................................. 67
F i g u r e 9. G r i d S i z e D e p e n d e n c e of B i n d i n g E n e r g y ........................ 69
F i g u r e 10. B a r y o n a n d S c a l a r D e n s i t y of 1 2 C ................................ 82
F i g u r e 11. B a r y o n a n d S c a l a r D e n s i t y of 2 0 N e ............................... 84
F i g u r e 12. B a r y o n a n d S c a l a r D e n s i t y of 2i+M g ............................... 86
F i g u r e 13. B a r y o n a n d S c a l a r D e n s i t y of 36A r . . . . . . . . . . . . . . ....... 92
F i g u r e 14. B a r y o n a n d S c a l a r D e n s i t y of 38A r ............................... 94
F i g u r e 15. B a r y o n a n d S c a l a r D e n s i t y of 1+0A r ............................... 96
F i g u r e 16. B a r y o n a n d S c a l a r D e n s i t y of l+0C a ............................... 98
F i g u r e 17. B a r y o n a n d S c a l a r D e n s i t y of 4 2 C a ............................... 100
F i g u r e 18. B a r y o n a n d S c a l a r D e n s i t y of ^ C a ............................... 102
F i g u r e 19. B a r y o n a n d S c a l a r D e n s i t y of “̂ C a ............................... 104
F i g u r e 20. B a r y o n a n d S c a l a r D e n s i t y of l+8C a ............................... 106
F i g u r e 21. B a r y o n a n d S c a l a r D e n s i t y of lt6T i ............................... 108
F i g u r e 22. B a r y o n a n d S c a l a r D e n s i t y of lt8T i ............................... 110
F i g u r e 23. B a r y o n a n d S c a l a r D e n s i t y of 5 0 T i ............................... 112
LIST OF FIGURES
Figure 1. Effect of Rho-Meson on Binding Energy Curves............ 10
iv
-
T a b l e 2. C o u p l i n g C o n s t a n t s of R MF, RH, a n d R H F ...........................26
T a b l e 3. M e s o n F i e l d s I n c l u d e d I n M o d e l L a g r a n g i a n Eq. ( 1 ) . . . . . . . . 3 4
T a b l e 4. T h e Q u a n t i t i e s U s e d in Eq. ( 5 3 ) .....................................56
T a b l e 5. P a r a m e t e r S e t s U s e d in A x i a l C a l c u l a t i o n s ....... 65
T a b l e 6 . B u l k P r o p e r t i e s of 1 6 0 O b t a i n e d b y A x i a l C a l c u l a t i o n s . ...71
T a b l e 7. S i n g l e P a r t i c l e L e v e l s of 1 6 0 ........................ 72
T a b l e 8 . B u l k P r o p e r t i e s of ^ C a a n d ^ C a ................................... 74
T a b l e 9. S i n g l e P a r t i c l e L e v e l s of l+0C a a n d 1+8C a ......................... 75
T a b l e 10. S p i n M i x i n g P r o b a b i l i t i e s of S p h e r i c a l N u c l e i ................. 77
T a b l e 11. B u l k P r o p e r t i e s of A x i a l l y D e f o r m e d N u c l e i ..................... 79
T a b l e 12. S i n g l e P a r t i c l e L e v e l s o f A x i a l l y D e f o r m e d N u c l e i ........... 80
T a b l e 13. C o m p a r i s o n B e t w e e n R e l a t i v i s t i c a n d N o n r e l a t i v i s t i c
C a l c u l a t i o n s for D e f o r m e d N u c l e i ...................................89
LIST OF TABLES
Table 1. Comparison Between RH and RHF................................ 22
v
-
I . INTRODUCTION
A f u n d a m e n t a l p r o b l e m in n u c l e a r p h y s i c s is u n d e r s t a n d i n g the
m a n y - b o d y i n t e r a c t i o n in n u c l e i a n d n u c l e a r c o l l i s i o n s f r o m f i r s t
p r i n c i p l e s . S i n c e the s i z e of a n u c l e o n is s m a l l c o m p a r e d to the m e a n
d i s t a n c e b e t w e e n n u c l e o n s in a n u c l e u s , a n d s i n c e the v e l o c i t y of a
n u c l e o n is a b o u t one q u a r t e r of the s p e e d of light, a n u c l e u s is t r a
d i t i o n a l l y t r e a t e d as a n o n r e l a t i v i s t i c m a n y - n u c l e o n s y s t e m . Q u a n t u m
m e c h a n i c a l m o d e l s for this s y s t e m c a n be c o n s t r u c t e d u s i n g a m a n y - b o d y
S c h r o d i n g e r e q u a t i o n . I n the i n d e p e n d e n t p a r t i c l e a p p r o x i m a t i o n ,
i . e . , c h o o s i n g the g r o u n d s t a t e of the s y s t e m as a S l a t e r d e t e r m i n e n t
of s i n g l e n u c l e o n l e v e l s , t his t h e o r y is r e d u c e d to a H a r t r e e - F o c k
a p p r o x i m a t i o n [1 ,2 ], w h e r e e a c h n u c l e o n m o v e s in a s e l f - c o n s i s t e n t p o
t e n t i a l a r i s i n g f r o m the i n t e r a c t i o n w i t h a l l the o t h e r n u c l e o n s .
S i n c e the n u c l e o n - n u c l e o n i n t e r a c t i o n is s t r o n g , the s e l f -
c o n s i s t e n t H a r t r e e - F o c k p o t e n t i a l c a n n o t be a p p r o x i m a t e d as the free
s p a c e t w o - n u c l e o n i n t e r a c t i o n . H e r e we n e e d to u s e a n e f f e c t i v e i n
t e r a c t i o n w h i c h a l s o i n c l u d e s m a n y - b o d y e f f e c t s . O n e of t h e s e i n t e r
a c t i o n s is the G - m a t r i x , in w h i c h the i n t e r a c t i o n is a d j u s t e d to r e
p r o d u c e the p r o p e r t i e s of t w o - a n d t h r e e - n u c l e o n s y s t e m s [1]. H o w
e v e r , it is d i f f i c u l t in p r a c t i c e to c a l c u l a t e t h e s e a n d to g e t q u a n
t i t a t i v e a g r e e m e n t w i t h e x p e r i m e n t . C o n s e q u e n t l y , p h e n o m e n o l o g i c a l
[3] o r s e m i - p h e n o m e n o l o g i c a l [1] e f f e c t i v e i n t e r a c t i o n s h a v e b e e n
a d o p t e d . S u c h i n t e r a c t i o n s u s u a l l y d e p e n d o n the n u c l e a r d e n s i t y and
h a v e a set of p a r a m e t e r s a d j u s t e d to r e p r o d u c e e x p e r i m e n t a l d a ta.
1
-
2
T h e s e d e n s i t y - d e p e n d e n t H a r t r e e - F o c k (DD H F ) m o d e l s h a v e s u c c e s s f u l l y
d e s c r i b e d the s h e l l s t r u c t u r e of n u c l e i t h r o u g h o u t the p e r i o d i c table.
H o w e v e r , t h e r e are s t i l l d i s c r e p a n c i e s a n d d i f f i c u l t i e s a s s o c i a t e d
w i t h the c h a r g e d e n s i t y a n d the s p i n - o r b i t i n t e r a c t i o n .
To r e m o v e the s h o r t c o m i n g of t h e t r a d i t i o n a l m o d e l s , we n e e d to
r e c o n s i d e r the b a s i c a s s u m p t i o n s . C o n s i d e r i n g the n u c l e o n as a r e l a -
t i v i s t i c D i r a c p a r t i c l e , the s p i n d e g r e e of f r e e d o m is i n c l u d e d in the
r e l a t i v i s t i c t h e o r y n a t u r a l l y . I n t r o d u c i n g m e s o n f i e l d s , the f i n i t e
r a n g e i n t e r a c t i o n s b e t w e e n n u c l e o n s c a n be r e p l a c e d w i t h l o c a l i n t e r
a c t i o n s b e t w e e n the n u c l e o n s a n d m e s o n s , as in the q u a n t u m e l e c t r o
d y n a m i c s (QED ) . T h u s in this w a y , w e c a n r e p l a c e the t r a d i t i o n a l
m o d e l s by a r e l a t i v i s t i c q u a n t u m f i e l d t h e o r y in w h i c h n u c l e o n s and
m e s o n s p l a y a f u n d a m e n t a l role.
F o r i n t e r m e d i a t e e n e r g y c o l l i s i o n s of n u c l e i , w i t h the b o m b a r d i n g
e n e r g y p e r n u c l e o n c o m p a r a b l e to the m a s s of the n u c l e o n , it is n e c e s
s a r y to c o n s i d e r r e l a t i v i s t i c e f f e c t s . B o t h the t a r g e t a n d p r o j e c t i l e
n u c l e i n e e d to be d e s c r i b e d w i t h a r e l a t i v i s t i c w a v e f u n c t i o n . I n this
c a s e , t h e k i n e m a t i c s s h o u l d m a i n t a i n t h e s p e c i a l r e l a t i v i s t i c c o n d i
t i o n s , s u c h as the c o r r e c t r e l a t i o n b e t w e e n e n e r g y a n d m o m e n t u m . A s
t h e c o l l i s i o n e n e r g y i n c r e a s e s , r e l a t i v i s t i c e f f e c t s b e c o m e m o r e i m
p o r t a n t , and i n v e r y e n e r g e t i c h e a v y - i o n c o l l i s i o n s , the d e n s i t i e s
b e c o m e s e v e r a l t i m e s h i g h e r t h a n t h o s e o b s e r v e d in o r d i n a r y n u c l e i .
T h u s , the s t u d y of c o l l i s i o n s b e t w e e n e n e r g e t i c h e a v y i ons p r o b e s the
e q u a t i o n of s t a t e at h i g h d e n s i t i e s a n d t e m p e r a t u r e s [4], A t h i g h
n u c l e a r d e n s i t y , the v e l o c i t y of a n u c l e o n at the f e r m i m o m e n t u m
-
3
a p p r o a c h e s the s p e e d of lig h t . T h e r e f o r e , it is e s s e n t i a l to h a v e a
L o r e n t z c o v a r i a n t t h e o r y for the n u c l e a r m a n y - b o d y p r o b l e m .
It is a l s o r e l e v a n t to s t u d y r e l a t i v i s t i c e f f e c t s in o r d i n a r y
n u c l e i . S i n c e the F e r m i m o m e n t u m of a n u c l e o n at o r d i n a r y n u c l e a r
d e n s i t y is s m a l l ( a b o u t M c / 4 ) , the t r a d i t i o n a l a p p r o a c h a s s u m e s that
r e l a t i v i s t i c e f f e c t s w i l l be s m a l l . H o w e v e r , the e f f e c t i v e m a s s of
n u c l e o n s i n s i d e a n u c l e u s is a p p r o x i m a t e l y h a l f of the f r e e n u c l e o n
m a s s [5]. T h u s , the n u c l e o n v e l o c i t y c a n b e c o m e l a r g e e v e n at n o r m a l
d e n s i t y . F u r t h e r m o r e , t h e r e is g r o w i n g e v i d e n c e that the s m a l l e f f e c
t i v e n u c l e o n p o t e n t i a l a r i s e s f r o m a c a n c e l l a t i o n b e t w e e n l a r g e
a t t r a c t i v e a n d r e p u l s i v e p o t e n t i a l s w h i c h a r e a p p r o x i m a t e l y s e v e r a l
h u n d r e d M e V at o r d i n a r y d e n s i t i e s .
O n e - b o s o n e x c h a n g e p o t e n t i a l ( O B E P ) a n a l y s e s of n u c l e o n - n u c l e o n
s c a t t e r i n g h a v e r e v e a l e d l a r g e a n d c a n c e l l i n g L o r e n t z s c a l a r a n d v e c
t o r p o t e n t i a l s [6,7]. A r e l a t i v i s t i c t r e a t m e n t h a s m a d e it p o s s i b l e
t o u n d e r s t a n d the d e t a i l e d s p i n - d e p e n d e n t e f f e c t s in n u c l e o n - n u c l e u s
s c a t t e r i n g [8 ]. T h e L o r e n t z t r a n s f o r m a t i o n p r o p e r t i e s of t h e s e p o t e n
t i a l s l e a d n a t u r a l l y to v a r i o u s m o m e n t u m , d e n s i t y , a n d s p i n d e p e n d e n
c e s of the e f f e c t i v e n u c l e o n p o t e n t i a l in a n u c l e u s . T h e s t r o n g
s c a l a r a n d v e c t o r p o t e n t i a l s are a d d i t i v e in the s p i n - o r b i t i n t e r a c
t i o n , in o p p o s i t i o n to in the b i n d i n g e n e r g y . T h i s a d d i t i v i t y r e s u l t s
n a t u r a l l y in a n a p p r o x i m a t e l y c o r r e c t s p i n - o r b i t s p l i t t i n g b e t w e e n the
s i n g l e n u c l e o n l e v e l s .
A m i c r o s c o p i c t h e o r y of n u c l e a r m a n y - b o d y s y s t e m s is g e n e r a l l y a
n o n l o c a l t h e o r y If w e c o n s i d e r o n l y the n u c l e o n s as the d e g r e e s of
-
4
f r e e d o m . B y i n t r o d u c i n g i n t e r m e d i a t i n g b o s o n i c p a r t i c l e s for the i n
t e r a c t i o n s b e t w e e n the n u c l e o n s (as a p h o t o n for the c a s e of the e l e c
t r o m a g n e t i c i n t e r a c t i o n ) , t h e s e n o n l o c a l i n t e r a c t i o n s c a n be r e d u c e d
to l o c a l i n t e r a c t i o n s b e t w e e n the n u c l e o n s and t h e s e b o s o n s . F o r the
s h o r t - r a n g e p r o p e r t i e s of the N - N i n t e r a c t i o n , t h e s e i n t e r m e d i a t i n g
b o s o n s m u s t be m a s s i v e , i.e., m e s o n s . H e r e the m i c r o s c o p i c m o d e l s for
a n u c l e a r s y s t e m in the H a r t r e e a p p r o x i m a t i o n b e c o m e l o c a l . F u r t h e r
m o r e , the c a u s a l i t y of s i g n a l s ( r e t a r d a t i o n e f f e c t ) , w h i c h n e e d s to be
m a i n t a i n e d in a r e l a t i v i s t i c t h e o r y , is e a s y to h a n d l e t h r o u g h the
p r o p a g a t i o n of m e s o n s .
E x p e r i m e n t a l l y , s i g n i f i c a n t p i o n p r o d u c t i o n c r o s s s e c t i o n s h a v e
b e e n o b s e r v e d in l i g h t n u c l e u s - n u c l e u s c o l l i s i o n s e v e n at a l a b o r a t o r y
e n e r g y p e r n u c l e o n of 25 M e V [9]. T h i s s u g g e s t s t hat the d y n a m i c a l
p i o n d e g r e e s of f r e e d o m are i m p o r t a n t e v e n in l o w e n e r g y c o l l i s i o n s .
A n a p p r o x i m a t i o n of the r e l a t i v i s t i c n u c l e o n - n u c l e o n s c a t t e r i n g in
t e r m s of m e s o n e x c h a n g e s r e s u l t s in the o n e - b o s o n e x c h a n g e p o t e n t i a l s .
T w o - b o d y a n a l y s e s c a n o b t a i n a v e r y s a t i s f a c t o r y d e s c r i p t i o n of N - N
s c a t t e r i n g p h a s e s h i f t s u p to l a b o r a t o r y e n e r g i e s of 3 5 0 M e V w i t h s e v
e r a l d i f f e r e n t m e s o n s [6,7]. T h e s e a n a l y s e s s h o w that the m o s t i m p o r
t a n t c o n t r i b u t i o n s c o m e f r o m the e x c h a n g e of x, o, w, and p m e s o n s
w i t h r e s p e c t i v e spin, p a r i t y , a n d i s o s p i n q u a n t u m n u m b e r s , (j^j T ) =
(0~,1), (0+ ,0), (l" , 0 ) , a n d ( l ~ , l ) . O t h e r m e s o n s a r e f o u n d to be less
i m p o r t a n t .
T h e q u a d r u p o l e m o m e n t of the d e u t e r o n r e q u i r e s a t e n s o r f o r c e b e
t w e e n the n e u t r o n a n d the p r o t o n . T h e e x i s t e n c e of this f o r c e c a n be
-
5
e x p l a i n e d v i a the o n e - p i o n e x c h a n g e p o t e n t i a l [5]. F u r t h e r m o r e , in
e x p l a i n i n g n u c l e a r s t r u c t u r e i n t e r m s of s t a t i c t w o - n u c l e o n p o t e n
t i a l s , t h e r e a r e d i s c r e p a n c i e s b e t w e e n t h e c a l c u l a t e d a n d e m p i r i c a l
p r o p e r t i e s of t h r e e - n u c l e o n s y s t e m s and n u c l e a r m a t t e r . G e n u i n e
t h r e e - n u c l e o n i n t e r a c t i o n s , w h i c h c a n n o t be o b t a i n e d b y a p a i r w i s e
s u m m a t i o n of the t w o - n u c l e o n i n t e r a c t i o n , h a v e b e e n a d v a n c e d to e x
p l a i n the o b s e r v e d c e n t r a l d e p r e s s i o n in the c h a r g e d e n s i t y of 3H e
[10], I n c l u d i n g the m e s o n - m e s o n I n t e r a c t i o n s b e s i d e the n u c l e o n - m e s o n
i n t e r a c t i o n s , the g e n u i n e m a n y - n u c l e o n i n t e r a c t i o n s a p p e a r n a t u r a l l y
i n the n u c l e a r m e s o n t h e o r y . A pirir i n t e r a c t i o n w i t h the m e s o n s o r i g i
n a t i n g f r o m t h r e e d i f f e r e n t n u c l e o n s in a n u c l e u s is an e x a m p l e of a
g e n u i n e t h r e e - b o d y i n t e r a c t i o n .
It is w e l l k n o w n t h a t n u c l e o n s a n d m e s o n s h a v e a f i n i t e s i ze.
T h u s , t h e s e a r e c o m p o s e d of m o r e f u n d a m e n t a l p a r t i c l e s k n o w n as q u a r k s
w i t h t h r e e c o l o r s . S i n c e h a d r o n s a r e c o l o r l e s s , t h e s e a r e c o n s i d e r e d
a s c o l o r l e s s c o m p o s i t i o n s of q u a r k a n d a n t i q u a r k p a i r s ( m e s o n s ) or of
t h r e e q u a r k s ( b a r y o n s ) . In q u a n t u m c h r o m o d y n a m i c s (QCD), the i n t e r a c
t i o n s b e t w e e n q u a r k s are m e d i a t e d b y t h e n o n a b e l i a n g a u g e f i e l d s w h i c h
a r e e i g h t m a s s l e s s c o l o r e d b o s o n s ( g l u o n s ) [11,12]. S i n c e i s o l a t e d
q u a r k s a n d g l u o n s are not o b s e r v e d in the l a b o r a t o r y , it is a n h y p o t h
e s i s that q u a r k s a n d g l u o n s a r e c o n f i n e d in a s m a l l r e g i o n of spa c e .
F o r this h y p o t h e s i s , it is a s s u m e d t h a t c o l o r i n t e r a c t i o n s a r e v e r y
s t r o n g at l a r g e d i s t a n c e s a n d b e c o m e w e a k at s h o r t d i s t a n c e s ( a s y m p
t o t i c f r e e d o m ) . A s y m p t o t i c f r e e d o m is r e q u i r e d b e c a u s e of the f i n i t e
s i z e of h a d r o n s . Q C D is s i m p l e at s h o r t d i s t a n c e s a n d b e c o m e s v e r y
-
6
c o m p l i c a t e d at l a r g e d i s t a n c e s .
V a r i o u s p h e n o m e n o l o g i c a l m o d e l s , s o - c a l l e d b a g m o d e l s , h a v e b e e n
d e v e l o p e d to d e s c r i b e h a d r o n s as the c o l o r l e s s c o n f i n e m e n t s of q u a r k s
a n d g l u o n s in a r e g i o n of s p a c e [13 , 1 4 ] . D u e to the s t r o n g f o r c e s b e
t w e e n q u a r k s at l a r g e d i s t a n c e s , w e c a n a p p r o x i m a t e a s y s t e m of q u a r k s
h a v i n g a l o w q u a r k d e n s i t y as a s y s t e m of c o l o r l e s s b a gs. F o r this
a p p r o x i m a t i o n , the m e a n s e p a r a t i o n b e t w e e n q u a r k s s h o u l d be the o r d e r
of the h a d r o n s i z e ( c o n f i n e m e n t r e g i o n ) . T h e i n t e r a c t i o n s b e t w e e n
b a g s c a n be i n t e r p r e t e d as the r e s i d u a l c o l o r i n t e r a c t i o n . S i n c e the
m e a n d i s t a n c e s ( ~ 1 . 9 fm) b e t w e e n n u c l e o n s in a n u c l e u s are l a r g e r t h a n
t h e n u c l e o n s i z e ( e l e c t r o m a g n e t i c r a d i u s ~ 0 . 6 6 f m ) , it is h a r d to i n
t e r p r e t t h e n u c l e o n - n u c l e o n i n t e r a c t i o n s as the r e s i d u a l c o l o r i n t e r
a c t i o n s b e t w e e n n u c l e o n b a gs. I n t r o d u c i n g m e s o n s w i t h a r a d i u s of at
l e a s t 0 . 3 fm, the h a d r o n b a g s o v e r l a p , or at l e a s t t o u c h e a c h oth e r .
T h e r e f o r e , t h e r e a r e r e s i d u a l i n t e r a c t i o n s b e t w e e n q u a r k s b e l o n g i n g in
t h e n u c l e o n b a g s a n d the m e s o n b a g s . T h e s e r e s i d u a l c o l o r i n t e r a c
t i o n s c a n be i d e n t i f i e d as the i n t e r a c t i o n s b e t w e e n n u c l e o n s a n d
m e s o n s . F u r t h e r m o r e , t his a r g u m e n t i m p l i e s t h a t o n l y the m e s o n s w h i c h
h a v e m a s s e s up to a b o u t the n u c l e o n m a s s h a v e a n i m p o r t a n t r ole in the
i n t e r p r e t a t i o n of the n u c l e o n - m e s o n i n t e r a c t i o n s as the o r i g i n of the
n u c l e o n - n u c l e o n i n t e r a c t i o n s of n u c l e a r s t r u c t u r e t h e o r y or l o w - e n e r g y
c o l l i s i o n s . S i n c e the s p a t i a l l y s e p e r a t e d b a g s do n o t h a v e a c o l o r
i n t e r a c t i o n b e t w e e n t h em, the n u c l e o n - n u c l e o n i n t e r a c t i o n is a s h o r t -
r a n g e f o r c e . T h e w e a k l o n g r a n g e t a i l of t h e s e i n t e r a c t i o n s c o m e s
t h r o u g h the p r o p a g a t i o n of m e s o n s f r o m o n e n u c l e o n to a n o t h e r . T h us,
-
7
n u c l e a r t h e o r y w i t h n u c l e o n a n d m e s o n d e g r e e s of f r e e d o m m a y p r o v i d e a
c o r r e c t d e s c r i p t i o n of the m a n y - n u c l e o n s y s t e m at l o w n u c l e o n d e n s i
t i e s .
A t e x t r e m e l y h i g h d e n s i t y a n d t e m p e r a t u r e , n u c l e o n s t h e m s e l v e s
o v e r l a p e a c h o t h e r . T h i s m e a n s t hat the n u c l e i d i s s o l v e i n t o a q u a r k -
g l u o n p l a s m a . S i n c e i s o l a t e d q u a r k s a n d g l u o n s a r e not o b s e r v e d in the
l a b o r a t o r y , this s y s t e m m a y be c o n s i d e r e d as a l a r g e c o l o r l e s s b a g or
a s y s t e m c o m p o s e d of l a r g e r b a g s t h a n n u c l e o n or m e s o n s . T h e c o n
d i t i o n s a n d the n a t u r e of this t r a n s i t i o n a r e a n i n t e r e s t i n g p r o b l e m
i n p h y s i c s . T h e r e l a t i v i s t i c s t u d y of the n u c l e a r s y s t e m w i t h the
n u c l e o n a n d m e s o n d e g r e e s of f r e e d o m p e r m i t s a n e x t r a p o l a t i o n f r o m the
o b s e r v e d p r o p e r t i e s of f i n i t e n u c l e i to n u c l e a r m a t t e r u n d e r e x t r e m e
c o n d i t i o n s . T h i s e x t r a p o l a t i o n w o u l d g i v e s o m e i n s i g h t i n t o the a b o v e
t r a n s i t i o n .
W i t h t h e s e a r g u m e n t s , it is r e a s o n a b l e to s t u d y n u c l e a r m a n y - b o d y
s y s t e m s in the f r a m e w o r k of a r e l a t i v i s t i c t h e o r y u s i n g n u c l e o n s and
m e s o n s as d e g r e e s of f r e e d o m . T h i s s t u d y has b e e n c a r r i e d o u t b y m a n y
a u t h o r s [15-45] w i t h v a r i o u s c l a s s e s of a p p r o x i m a t i o n s . A m i c r o s c o p i c
q u a n t u m d e s c r i p t i o n of this s y s t e m m u s t be L o r e n t z c o v a r i a n t a n d
c a u s a l . S i n c e the n u c l e o n - n u c l e o n i n t e r a c t i o n s a r e r e p l a c e d b y the
l o c a l i n t e r a c t i o n s b e t w e e n n u c l e o n s a n d m e s o n s , it s h o u l d be b a s e d on
a l o c a l t h e o r y . A t h e o r y d e s c r i b i n g s u c h m a n y - b o d y s y s t e m s is a r e l a
t i v i s t i c q u a n t u m f i e l d t h e o r y . F u r t h e r m o r e , it s h o u l d be a b l e to be
c h a r a t e r i z e d b y a f i n i t e set of p a r a m e t e r s . T h i s c o n s t r a i n t of r e n o r -
m a l i z a b i l i t y is r e q u i r e d to e n s u r e u n a m b i g u o u s p r e d i c t i o n s for all
-
8
r e m a i n i n g p h y s i c a l q u a n t i t i e s w i t h t h e s e p a r a m e t e r s ( c o u p l i n g c o n
s t a n t s a n d m a s s e s ) d e t e r m i n e d by a n a p p r o p r i a t e l y c h o s e n set of e x p e r
i m e n t a l d a t a . T h e r e f o r e , a r e l a t i v i s t i c q u a n t u m f i e l d t h e o r y for a
m a n y - b o d y n u c l e o n - m e s o n s y s t e m m u s t be b a s e d on a r e n o r m a l i z a b l e l o c a l
L o r e n t z i n v a r i a n t L a g r a n g i a n d e n s i t y .
I n c o n t r a s t to q u a n t u m e l e c t r o d y m a n i c s (QED), s u c h a t h e o r y for a
n u c l e a r s y s t e m m u s t be a s t r o n g c o u p l i n g t h e o r y . T h u s , a p e r t u r b a t i o n
t e c h n i q u e , w h i c h is b a s e d o n the e x p a n s i o n in t e r m s of a s m a l l p a r a m e
t e r as in QED, c a n n o t be d i r e c t l y a p p l i e d . H o w e v e r , s e l f - c o n s i s t e n t
m a n y - b o d y t e c h n i q u e s a n d s e l e c t e d s u m m a t i o n of c l a s s e s of F e y n m a n d i a
g r a m s h a v e b e e n e m p l o y e d in a r e l a t i v i s t i c d e s c r i p t i o n of n u c l e i .
T h e s e r e s u l t in G r e e n ' s f u n c t i o n t e c h n i q u e s u s i n g D y s o n ' s e q u a t i o n for
s u m m i n g s e l e c t e d d i a g r a m s . As d i s c u s s e d l a t e r in t his c h a p t e r , t h e s e
t e c h n i q u e s a r e s u b j e c t to a r b i t r a r y c h o i c e s of the d i a g r a m s . T h e r e
f o r e , we a l s o n e e d to d e v e l o p s ome o t h e r m e c h a n i s m s w h i c h a r e not
b a s e d o n the o r d i n a r y p e r t u r b a t i v e c o n c e p t . O n e of the e x a m p l e s is
t h e r e l a t i v i s t i c m e a n f i e l d t h e o r y of W a l e c k a .
T o i n v e s t i g a t e the p r o p e r t i e s of h i g h - d e n s i t y n u c l e a r m a t t e r , a
m o d e l r e l a t i v i s t i c m a n y - b o d y q u a n t u m f i e l d t h e o r y has b e e n p r o p o s e d by
W a l e c k a [ 1 5 , 1 6 ] . T h i s m o d e l c o n s i s t s of a n u c l e o n f i e l d c o u p l e d to a
s c a l a r i s o s c a l a r fie l d , a, a n d a v e c t o r i s o s c a l a r f i e l d , u>. At h i g h
n u c l e o n d e n s i t y , the s o u r c e s of the s c a l a r a n d v e c t o r f i e l d s b e c o m e
l a r g e . T h u s , h e a s s u m e d t hat the s c a l a r a n d m e s o n f i e l d o p e r a t o r s c a n
b e r e p l a c e d b y t h e i r e x p e c t a t i o n v a l u e s w h i c h c a n s e r v e as c l a s s i c a l
f i e l d s in w h i c h t h e n u c l e o n s m o v e . F u r t h e r m o r e , he a l s o a s s u m e d that
-
9
t h e g r o u n d s t a t e of the n u c l e a r m a t t e r c a n be a p p r o x i m a t e d as a S l a t e r
d e t e r m i n a n t of o c c u p i e d n u c l e o n s t a t e s u p to F e r m i l e v e l w i t h o u t a n t i
n u c l e o n a n d m e s o n s . T h i s r e l a t i v i s t i c m e a n f i e l d t h e o r y (RMF) r e s u l t s
i n a set of c o u p l e d s e l f - c o n s i s t e n t e q u a t i o n s of n u c l e o n a n d m e s o n
f i e l d s , a n d c a n be s o l v e d e x a c t l y . S i n c e this R M F t h e o r y is b a s e d on
c l a s s i c a l m e s o n f i e l d s , it i n c l u d e s o n l y the d i r e c t i n t e r a c t i o n s in
t h e e f f e c t i v e e q u a t i o n of m o t i o n of the n u c l e o n f i e l d , i . e., the
H a r t r e e e q u a t i o n for the n u c l e o n f i e l d . S e r o t [18] u s e d this RMF
t h e o r y for a r e n o r m a l i z a b l e S U ( 2 ) x U ( l ) L a g r a n g i a n in w h i c h t h e r e are
a l s o a p s e u d o s c a l a r i s o v e c t o r f i e l d , it, a n d a v e c t o r i s o v e c t o r f i e l d ,
p. T h i s c a l c u l a t i o n s h o w s t hat the p m e s o n s h o u l d be i n c l u d e d in the
r e l a t i v i s t i c s t u d y of n u c l e a r m a t t e r (see Fig. 1), a n d that the p i o n
f i e l d h a s no e f f e c t on this R M F a p p r o x i m a t i o n s i n c e the s o u r c e of the
p i o n f i e l d is z e r o by t i m e - r e v e r s a l i n v a r i a n c e .
A r e l a t i v i s t i c H a r t r e e a p p r o x i m a t i o n for f i n i t e n u c l e i w i t h a
r e n o r m a l i z a b l e S U ( 2 ) x U ( l ) L a g r a n g i a n d e n s i t y as in Ref. [18] w a s d e
v e l o p e d b y H o r o w i t z a n d S e r o t [36] u s i n g G r e e n ' s f u n c t i o n t e c h n i q u e s .
B y n e g l e c t i n g t h e a n t i n u c l e o n in the t h e o r y , w h i c h n a t u r a l l y c o mes
t h r o u g h the G r e e n ' s f u n c t i o n , t his t h e o r y f o r f i n i t e n u c l e i is e s s e n
t i a l l y the s a m e as the R M F t h e o r y of W a l e c k a f o r n u c l e a r m a t t e r . B y
d e t e r m i n i n g the m o d e l p a r a m e t e r s f r o m the b u l k p r o p e r t i e s of n u c l e i ,
t h e y e x a m i n e d the p r e d i c t i o n s of t his r e l a t i v i s t i c H a r t r e e a p p r o x i m a
t i o n for c l o s e d - s h e l l n u c l e i . T h e s e c a l c u l a t i o n s s h o w t h a t t h e r e l a
t i v i s t i c d e s c r i p t i o n of n u c l e i c o n t a i n s n a t u r a l l y a s p i n - o r b i t i n t e r
a c t i o n of a p p r o p r i a t e s t r e n g t h a n d the i m p o r t a n t n o n c e n t r a l , n o n l o c a l ,
-
10
F i g u r e 1 B i n d i n g e n e r g y c u r v e s f o r i n f i n i t e n e u t r o n m a t t e r w i t h
( d o t t e d l i ne, g p = 6.07) a n d w i t h o u t ( s o l i d l i n e ) t h e p
m e s o n f i e l d [18].
-
Binding Energy (MeV/A)
9?
IT
Effect of
Rho Meson
-
12
a n d d e n s i t y - d e p e n d e n t e f f e c t s i n c o r p o r a t e d in n o n r e l a t i v i s t i c c a l c u l a
t i o n s . H o w e v e r , the c a l c u l a t i o n s for n u c l e i s t i l l y i e l d u n p h y s i c a l
o s c i l l a t i n g s t r u c t u r e in the i n t e r i o r of the n u c l e a r c h a r g e d i s t r i b u
t i o n (Fig. 2).
S e v e r a l c l a s s e s of c o r r e c t i o n s to t h e s e r e l a t i v i s t i c t h e o r i e s
h a v e b e e n c a l c u l a t e d for b o t h n u c l e a r m a t t e r a n d f i n i t e n u c l e i . T h e
e f f e c t s of v a c u u m f l u c t u a t i o n s a n d e x c h a n g e t e r m s for n u c l e a r m a t t e r
w e r e s t u d i e d b y C h i n [21,22] u s i n g the G r e e n ' s f u n c t i o n t e c h n i q u e .
T h e b i n d i n g e n e r g y c u r v e s for n u c l e a r a n d n e u t r o n m a t t e r s h o w l a r g e
e f f e c t s d u e to v a c u u m f l u c t u a t i o n s a n d e x c h a n g e t e r m s as s h o w n in
F i g s . 3 and 4. A l s o o t h e r c o r r e l a t i o n e f f e c t s h a v e b e e n s h o w n to be
l a r g e In n u c l e a r m a t t e r by B r i t t a n [23] as is s h o w n i n F i g . 5.
U s i n g the o n e - b o s o n e x c h a n g e p o t e n t i a l s ( O B E P ) f o r the n u c l e o n -
n u c l e o n i n t e r a c t i o n , i n s t e a d of u s i n g the m e s o n d e g r e e s of f r e e d o m
e x p l i c i t l y , the r e l a t i v i s t i c H a r t r e e a n d H a r t r e e - F o c k a p p r o x i m a t i o n s
f o r f i n i t e n u c l e i h a v e b e e n d e r i v e d b y M i l l e r a n d G r e e n [37-39] a n d
B r o c k m a n n [40]. T h i s O B E P m e t h o d c o r r e s p o n d s to the r e l a t i v i s t i c
t h e o r y of a n u c l e a r s y s t e m w h i c h h a s o n l y the n u c l e o n d e g r e e s of f r e e
d o m I n t e r a c t i n g t h e m s e l v e s t h r o u g h the O B E P . T h e s e c a l c u l a t i o n s for
s p h e r i c a l n u c l e i h a v e e s t a b l i s h e d t h a t a r e l a t i v i s t i c O B E P fit to the
N - N s c a t t e r i n g c o u l d p r o v i d e a r e a s o n a b l e d e s c r i p t i o n of t h e s e n u c l e i ,
d e p e n d i n g o n w h i c h m e s o n s w e r e i n c l u d e d a n d o n p r e c i s e l y h o w the
c o u p l i n g s w e r e c h o s e n . T h e y a l s o s h o w e d t hat t h e s t r o n g s p l n - o r b i t
f o r c e r e s u l t s f r o m the a d d i t i v e c o n t r i b u t i o n s of s c a l a r a n d v e c t o r p o
t e n t i a l s , i n c o n t r a s t to t h e c a n c e l l a t i o n of t h e s e w h e n c o n t r i b u t i n g
-
13
F i g u r e 2. C h a r g e d e n s i t y d i s t r i b u t i o n s for 2 0 8 P b [36]. T h e d a s h e d
l i n e is the r e l a t i v i s t i c H a r t r e e r e s u l t . T h e d o t t e d l ine
is the n o n r e l a t i v i s t i c d e n s i t y - d e p e n d e n t H a r t r e e - F o c k
r e s u l t s . S o l i d line is the e m p i r i c a l d i s t r i b u t i o n .
-
Charge Density
r (fm )
-
15
F i g u r e 3. B i n d i n g e n e r g y c u r v e s for n u c l e a r m a t t e r w i t h ( d o t t e d
l i n e ) a n d w i t h o u t ( s o l i d l i n e ) v a c u u m f l u c t u a t i o n e f f e c t s
[22] .
-
Binding Energy (MeV/A)
K
91
Nuclear
Matter
-
17
F i g u r e 4. B i n d i n g e n e r g y c u r v e s for n e u t r o n m a t t e r w i t h a n d w i t h o u t
v a c u u m f l u c t u a t i o n a n d e x c h a n g e e f f e c t s [22] . T h e s o l i d
c u r v e is w i t h o u t the e x c h a n g e t e r m a n d t h e d o t t e d c u r v e is
w i t h e x c h a n g e e f f e c t s f o r r e l a t i v i s t i c m e a n f i e l d t h e o r y
(no v a c u u m f l u c t u a t i o n s ) . T h e d a s h e d l i n e is w i t h o u t
e x c h a n g e e f f e c t s a n d t h e d o t - d a s h e d l i n e is w i t h e x c h a n g e
f o r the r e l a t i v i s t i c H a r t r e e a p p r o x i m a t i o n w h i c h i n c l u d e s
t h e v a c u u m f l u c t u a t i o n e f f e c t s .
-
1
Binding Energy (MeV/A)
81
Neutron
Matter
-
19
F i g u r e 5. B i n d i n g e n e r g y c u r v e s of n u c l e a r m a t t e r w i t h ( d a s h e d lin e )
a n d w i t h o u t ( o t h e r s ) c o r r e l a t i o n e f f e c t s [23]. T h e s o l i d
l i n e is the m e a n f i e l d r e s u l t s w i t h o u t e x c h a n g e e f f e c t s
a n d t h e d o t t e d l ine is w i t h e x c h a n g e e f f e c t s . I n e a c h
c a s e , the c o u p l i n g c o n s t a n t s are d e t e r m i n e d so t hat the
m i n i m u m i n the c u r v e r e p r o d u c e s the s a t u r a t i o n p r o p e r t i e s
o f n u c l e a r m a t t e r .
-
Binding Energy (MeV/A)
oz
Correlation
Effect
-
21
to the b i n d i n g e n e r g y . T h e e x c h a n g e c o n t r i b u t i o n to the b i n d i n g
e n e r g y is a b o u t 1.5 M e V p e r p a r t i c l e ( T a b l e 1) w h i c h is m o r e t h a n
a b o u t 15 p e r c e n t .
A l l of t h e s e c a l c u l a t i o n s s h o w t hat the r e l a t i v i s t i c t h e o r y d e
s c r i b e s the b u l k p r o p e r t i e s of n u c l e a r m a t t e r a n d f i n i t e s p h e r i c a l
n u c l e i m o d e r a t e l y w e l l . T h e y a l s o s h o w t hat the e f f e c t s of v a c u u m
f l u c t u a t i o n s a n d e x c h a n g e t e r m s a r e of the s a m e o r d e r of m a g n i t u d e and
a r e q u i t e l a r g e . F u r t h e r m o r e , it a l s o h a s b e e n s h o w n t hat the c o r r e
l a t i o n e f f e c t s of a h i g h e r o r d e r t h a n v a c u u m f l u c t u a t i o n a n d e x c h a n g e
t e r m s a r e e v e n l a r g e r t h a n t h e l a t t e r t e r m s . T h i s m e a n s that the p r e
s c r i p t i o n s f o r s e l e c t e d s u m m a t i o n s of F e y n m a n d i a g r a m s to g i v e r e l a t i
v i s t i c H a r t r e e , H a r t e e - F o c k , a n d B r u e c k n e r - H a r t r e e - F o c k a p p r o x i m a t i o n s
a r e s u b j e c t to a r b i t r a r y c h o i c e s . T h i s a r b i t r a r i n e s s l e a d s to s u b
s t a n t i a l u n c e r t a i n t i e s in t h e n u c l e a r m a t t e r s a t u r a t i o n c u r v e s as
p o i n t e d o u t by N e g e l e [46 , 4 7 ] . S e r o t , R o o n i n , a n d N e g e l e [31] s h o w e d
t h a t the n u c l e a r m a t t e r s a t u r a t i o n c u r v e s of r e l a t i v i s t i c m e a n f i e l d
c a l c u l a t i o n s d i f f e r s u b s t a n t i a l l y f r o m t h o s e of s t o c h a s t i c s o l u t i o n s
u s i n g p a t h i n t e g r a l s (Fig. 6 ). T h e y c o n s i d e r a s y s t e m w h i c h c o n s i s t s
of n o n r e l a t i v i s t i c n u c l e o n s c o u p l e d to s c a l a r a n d v e c t o r m e s o n s in one
s p a t i a l d i m e n s i o n . S i n c e t h e y u s e d a n o n r e l a t i v i s t i c n u c l e o n f i e l d ,
t h e r e s u l t s a r e q u i t e s i m i l a r to t h o s e o b t a i n e d in the H a r t r e e - F o c k
a p p r o x i m a t i o n . T h i s m e a n s t h a t w e n e e d to s t u d y the f ull q u a n t u m
f i e l d t h e o r y m o r e c a r e f u l l y in the a s - y e t - t o - b e - d e t e r m i n e d c o r r e c t
h i e r a c h y of a p p r o x i m a t i o n s c h e m e s b a s e d o n a q u a n t i t a t i v e e v a l u a t i o n
o f t h e a b o v e e f f e c t s . S i n c e t h e H a r t r e e - F o c k c a l c u l a t i o n is q u i t e
-
22
T a b l e 1. C o m p a r i s o n b e t w e e n r e l a t i v i s t i c H a r t r e e and
H a r t r e e - F o c k c a l c u l a t i o n s [38]
B i n d i n g E n e r g y ( M e V / A ) r m s C h a r g e R a d i i (fm)R H R H F R H R H F
16 q
^ C a
1+8Ca
7 . 3 5 8 . 9 0
8 . 2 5 9 . 6 8
8 . 5 5 1 0 .29
2 . 7 0 2.67
3 . 4 9 3 .47
3 . 4 9 3.46
-
23
F i g u r e 6 N u c l e a r m a t t e r s a t u r a t i o n c u r v e s c o m p a r i n g s t o c h a s t i c
( d a s h e d l i n e ) [31], r e l a t i v i s t i c m e a n f i e l d t h e o r y ( s o l i d
l i n e ) , a n d H a r t r e e - F o c k ( d o t t e d l i n e ) c a l c u l a t i o n s .
-
Stochastic vs. Mean Field
P (fm *)N>4>
-
25
s i m i l a r to the s t o c h a s t i c s o l u t i o n , w e s h o u l d be a b l e to e m p l o y the
H a r t r e e - F o c k a p p r o x i m a t i o n w i t h o u t u s i n g the p e r t u r b a t i v e c o n c e p t .
T h i s d e r i v a t i o n has not b e e n g i v e n . T h e a i m of C h a p t e r II is the s y s
t e m a t i c d e r i v a t i o n of a r e l a t i v i s t i c H a r t r e e - F o c k a p p r o x i m a t i o n b a s e d
o n the m e a n f i e l d t h e o r y w i t h q u a n t i z e d n u c l e o n a n d m e s o n f i e l d s .
O n the o t h e r h a n d , m o s t of the r e l a t i v i s t i c c a l c u l a t i o n s for
f i n i t e n u c l e i h a v e b e e n c a r r i e d out for s p h e r i c a l s y s t e m s . I n s u c h
c a l c u l a t i o n s , p a r t of the q u a n t u m e f f e c t s a r e i n c l u d e d i n d i r e c t l y by
f i t t i n g the L a g r a n g i a n p a r a m e t e r s to the e m p i r i c a l p r o p e r t i e s of
s p h e r i c a l n u c l e i or i n f i n i t e n u c l e a r m a t t e r . T h e s e c a l c u l a t i o n s e x
p l a i n m o s t of the b u l k p r o p e r t i e s of s p h e r i c a l n u c l e i w e l l . As w e can
s e e in T a b l e 2, the p a r a m e t e r v a l u e s d i f f e r b y m o r e t h a n 10 p e r c e n t
b e t w e e n r e l a t i v i s t i c m e a n f i e l d , H a r t r e e , or H a r t r e e - F o c k c a l c u l a
t i o n s , a l l r e s u l t i n g in t h e s a m e b u l k p r o p e r t i e s of n u c l e a r m a t t e r .
H o w e v e r , the d e t a i l e d s t r u c t u r e of d e f o r m e d n u c l e i p r o v i d e s a
m u c h w i d e r r a n g e of e x p e r i m e n t a l d a t a to t e s t r e l a t i v i s t i c n u c l e a r
s h e l l m o d e l s . F u r t h e r m o r e , t h e s e c a n t e s t if the q u a n t u m e f f e c t s in
a l l the b u l k p r o p e r t i e s of d e f o r m e d n u c l e i c a n be i n c l u d e d i n d i r e c t l y
t h r o u g h a p p r o p r i a t e l y f i t t i n g p a r a m e t e r s in the s a m e w a y as for s p h e r
i c a l n u c l e i . T h e d e f o r m e d n u c l e a r s h e l l m o d e l r e q u i r e s a r e p r e s e n t a
t i o n i n at l e a s t two s p a t i a l d i m e n s i o n s . F o r a x i a l s y m m e t r y , w e c a n
e l i m i n a t e the a z i m u t h a l a n g l e d e p e n d e n c e i n t h e f i e l d e q u a t i o n s and
t h e r e f o r e o n l y n e e d to c o n s i d e r two s p a t i a l d i m e n s i o n s , n a m e l y the
a x i a l c o o r d i n a t e a n d the c o o r d i n a t e of the s y m m e t r y a x i s of the s y s
t e m . D e v e l o p i n g the r e l a t i v i s t i c m e t h o d for t w o - d i m e n s i o n a l a x i a l l y
-
26
T a b l e 2. M o d e l p a r a m e t e r s to fit the b i n d i n g e n e r g y a n d d e n s i t y
( k 8 = 1.42 f m - 1 ) f o r n u c l e a r m a t t e r . T h e n u c l e o n m a s s is 939 M e V ,
v e c t o r m e s o n mass is 783 M eV, and s c a l a r m e s o n m a s s is 550 M eV. The
m o d e l s a r e r e l a t i v i s t i c m e a n f i e l d t h e o r y (RM F T ) , r e l a t i v i s t i c H a r t r e e
( R H ) w h i c h i n c l u d e v a c u u m f l u c t u a t i o n s , a n d r e l a t i v i s t i c H a r t r e e - F o c k
( R H F ) a p p r o x i m a t i o n s . g
-
27
s y m m e t r i c n u c l e i is the a i m of this d i s s e r t a t i o n . A r e l a t i v i s t i c
H a r t r e e d e s c r i p t i o n of d e f o r m e d n u c l e i w i l l t est if q u a n t i t i e s s u c h as
t o t a l e n e r g y , r a d i u s , and i n t r i n s i c q u a d r u p o l e m o m e n t s c a n be r e p r o
d u c e d w i t h t his m o d e l . If it is the c a se, the m a n y - b o d y e f f e c t s can
b e i n c l u d e d i n d i r e c t l y by f i t t i n g t h e p a r a m e t e r s to e m p i r i c a l v a l u e s
as in the c a s e for s p h e r i c a l n u c l e i , a n d t hus w e m a y n o t n e e d to use
t h e c o m p l e x i t y of the f u l l q u a n t u m f i e l d t h e o r y .
I n C h a p t e r II, a m e a n f i e l d t h e o r y w i l l be a p p l i e d to the n u c l e a r
s y s t e m s t a r t i n g w i t h a r e n o r m a l i z a b l e r e l a t i v i s t i c L a g r a n g i a n c o n
s t r u c t e d w i t h n u c l e o n a n d m e s o n f i e l d s . C o n s i d e r i n g the n u c l e o n and
m e s o n f i e l d s as q u a n t u m f i e l d s , a r e l a t i v i s t i c H a r t r e e - F o c k a p p r o x i m a
t i o n w i l l be d e r i v e d . T o f a c i l i t a t e the d i s c u s s i o n i n this c h a p t e r ,
t h e s e l f - c o n s i s t e n t r e l a t i v i s t i c H a r t r e e - F o c k s i n g l e - n u c l e o n e q u a t i o n s
a r e d e r i v e d f o r s p h e r i c a l n u c l e i in the A p p e n d i x . T h e r e l a t i v i s t i c
H a r t r e e a p p r o x i m a t i o n f o r d e f o r m e d n u c l e i w i l l be d i s c u s s e d in C h a p t e r
III. C a l c u l a t i o n s u s i n g t h i s a p p r o a c h f o r d e f o r m e d n u c l e i w i l l be
p r e s e n t e d . I n t h e f i r s t s e c t i o n of t h i s c h a p t e r , the r e l a t i v i s t i c e x
p r e s s i o n s f o r the a x i a l l y d e f o r m e d n u c l e i a r e d e r i v e d o n a t w o -
d i m e n s i o n a l s p a c e l a t t i c e . A n o u t l i n e of the n u m e r i c a l s o l u t i o n is
p r e s e n t e d in t h e s e c o n d s e c t i o n . I n the t h i r d s e c t i o n , the r e s u l t s of
c a l c u l a t i o n s for s p h e r i c a l a n d a x i a l l y d e f o r m e d n u c l e i w i l l be g i v e n .
F i n a l l y , C h a p t e r IV c o n t a i n s a b r i e f d i s c u s s i o n a n d s u g g e s t i o n s for
t h e p o s s i b l e i m p r o v e m e n t s of the p r e s e n t w o r k .
-
II. R E L A T I V I S T I C N U C L E A R S Y S T E M
W e s t a r t f r o m a r e n o r m a l i z a b l e r e l a t i v i s t i c L a g r a n g i a n d e n s i t y
c o n s t i t u t e d of a n u c l e o n f i e l d , a n d a set of m e s o n f i e l d s w h i c h
w i l l s e r v e as the s o u r c e of the n u c l e o n - n u c l e o n i n t e r a c t i o n . F o r the
l o n g - r a n g e a t t r a c t i v e a n d s h o r t - r a n g e r e p u l s i v e p r o p e r t i e s of this
f o r c e , w e n e e d b o t h s c a l a r , , a n d v e c t o r , , m e s o n f i e l d s . T h e s e
m a y be a s s o c i a t e d w i t h the i s o s c a l a r s i g m a a n d o m e g a m e s o n s [15]. F o r
a m o r e r e a l i s t i c d e s c r i p t i o n of m e s o n i c d e g r e e s of f r e e d o m i n n u c l e a r
s y s t e m s , w e m u s t i n c l u d e t h e i s o v e c t o r p i o n , ir, a n d r h o m e s o n , ,
f i e l d s [ 1 8 , 3 6 , 4 0 ] . T h e s i m p l e s t L a g r a n g i a n d e n s i t y that c a n be c o n
s t r u c t e d f r o m t h e s e f i e l d s t o g e t h e r w i t h a n e l e c t r o m a g n e t i c f i e l d , A ^ ,
is
+ - k 9 * 3 M(I> ~ m 2 2 ) + g ' W4 |i S a
- ^ G GyV + ^ m 2 V VU - g, f r VU4 pv 2 v y ® v y
- I f FyV - ejy i(l + T3)AUip ^ y V y 2 V o J r
1/'. -► ^y-+ o ■* -*\ , *7“+ — [ 3 i t • 3 n - m i t « i t J - i g \ bYKT*i r \b 2 v y n J it
1 £ ify v .1 ? +p — + +y,- — B *B + — m z b * b - g vpY t * b 4 yv 2 p y P U
( 1)
w i t h
G = 3 Vy v y v
F 3 Ay v y v-»■ +B 3 by v y v
v y
) A ,v y*
J b ,v y
28
( 2 )(3)
(4)
-
29
and with the gauge conditions
3 V U = o,y3 A P = o,y
3 b U = 0.y
(5)
T h e f i r s t l i n e is the L a g r a n g i a n f o r a f r e e n u c l e o n f i e l d . T h e l a s t
t e r m s in t h e o t h e r l i n e s a r e t h e n u c l e o n - b o s o n c o u p l i n g t e r m s , w h i c h
a r e r e s p o n s i b l e for g e n e r a t i n g the n u c l e o n - n u c l e o n i n t e r a c t i o n . H e r e
" b o s o n f i e l d s " i n c l u d e s b o t h the m e s o n f i e l d s a n d the e l e c t r o m a g n e t i c
f i e l d i n the a b o v e L a g r a n g i a n . T h e o t h e r t e r m s a r e t h e free
L a g r a n g i a n t e r m s for the b o s o n f i e l d s .
I n the a b o v e L a g r a n g i a n , the a r r o w o v e r the m e s o n f i e l d s d e n o t e s
t h a t t h e s e f i e l d s a r e v e c t o r in i s o s p i n s p a c e and a r e the a s s o
c i a t e d 2 x 2 i s o s p i n m a t r i c e s . T h e n u c l e o n f i e l d ^ is a f o u r - c o m p o n e n t
D i r a c s p i n o r m u l t i p l i e d w i t h the t w o - c o m p o n e n t i s o s p i n o r of w h i c h the
u p - c o m p o n e n t is p r o t o n a n d the d o w n - c o m p o n e n t is n e u t r o n . T h e L o r e n t z
f o u r - v e c t o r s a n d t h e v a r i o u s m a t r i c e s a r e d e f i n e d as i n Ref. [6 8 ],
t h a t is
V U = (v ,V ,V ,V ) - g y V V v t x y zJ & vw i t h
u v’y v
1 0 0 0
0 -1 0 0
0 0 -1 0
,0 0 0 -1
(stJ)
i
-
w h e r e a 8 = j ® ) is the 2x2 u n i t m a t r i x a n d the 2x2 P a uli m a t r i c e s a 1 \ 0 1 .
a r e
' 0 1 \ / 0 - i \ /I ONj, cr2 = ( J, a 3 = (
, 1 0/ V i 0 / \ 0 -ly
3 is the t i m e d e r i v a t i v e a n d ^ is t h e u s u a l t h r e e - d i m e n s i o n a l
g r a d i e n t .
F o r a m o r e r e a l i s t i c t h e o r y , w e m a y a l s o n e e d to c o n s i d e r m e s o n -
m e s o n i n t e r a t i o n s s u c h as t h e S U ( 2 ) x U ( l ) L a g r a n g i a n of R ef. [18], In
a r e l a t i v i s t i c H a r t r e e a p p r o x i m a t i o n w i t h o u t a n y m e s o n - m e s o n i n t e r a c
t i o n , t h e m e a n p i o n f i e l d is z e r o . H e r e t h e s o u r c e t e rm, w h i c h is an
i s o s c a l a r d e n s i t y of the n u c l e o n f i e l d , is z e r o b y t i m e r e v e r s a l i n
v a r i a n c e . H o w e v e r , a p i o n f i e l d c a n e x i s t in a r e l a t i v i s t i c H a r t r e e -
F o c k a p p r o x i m a t i o n s i n c e t h e s o u r c e is n o n - z e r o t h r o u g h the o f f -
d i a g o n a l t e r m s of the i s o s c a l a r d e n s i t y m a t r i x . In a o n e - b o s o n e x
c h a n g e p o t e n t i a l a p p r o x i m a t i o n , w h i c h h a s n o m e s o n - m e s o n i n t e r a c t i o n s ,
n u m e r i c a l i n s t a b i l i t y p r o b l e m s a r i s e i n r e l a t i v i s t i c H a r t r e e - F o c k c a l
c u l a t i o n s [38] d u e to a l a r g e e f f e c t of the p i o n f i e l d i n d u c e d b y the
p i o n - n u c l e o n c o u p l i n g s . I n t h i s c a l c u l a t i o n , the l o w e r c o m p o n e n t s of
t h e s i n g l e - n u c l e o n w a v e f u n c t i o n b e c o m e l a r g e r a n d l a r g e r d u r i n g the
-
31
H a r t r e e - F o c k i t e r a t i o n s . T o r e m o v e this p r o b l e m , w e m a y n e e d s o m e
m e c h a n i s m w h i c h can r e d u c e the e f f e c t of the p i o n f i e l d . O n e p o s s i b l e
m e c h a n i s m w o u l d be i n c l u d i n g o t h e r i n t e r a c t i o n s s u c h as m e s o n - m e s o n
i n t e r a c t i o n s a n d d e r i v a t i v e c o u p l i n g s . T h e s e a l s o h a v e p r o b l e m s s u c h
a s p i o n c o n d e n s a t i o n . T e z u k a [19] has p o i n t e d out that p i o n s , w h i c h
a r e the l e a s t m a s s i v e m e s o n s w i t h a m a s s of a b o u t 140 M e V , c o n d e n s e at
n o r m a l n u c l e a r d e n s i t y in a s i g m a m o d e l w h i c h has a s i g m a - p i o n i n t e r
a c t i o n . H o w e v e r , for s i m p l i c i t y i n d e r i v i n g r e l a t i v i s t i c H a r t r e e - F o c k
e q u a t i o n s , w e s h a l l f o l l o w the c o n v e n t i o n a l w o r k in w h i c h t h e s e m e s o n -
m e s o n i n t e r a c t i o n s a r e i g n o r e d .
In s e c t i o n A, a b r i e f r e v i e w of m e a n f i e l d t h e o r y is p r e s e n t e d .
I n t r o d u c i n g t h e c r e a t i o n a n d a n n i h i l a t i o n o p e r a t o r s , a r e p r e s e n t a t i o n
f o r the f i e l d o p e r a t o r s is e s t a b l i s h e d . T h e g r o u n d s t a t e of a n u c l e u s
is d e f i n e d i n t h i s r e p r e s e n t a t i o n . I n s e c t i o n B, a s e m i - c l a s s i c a l
a c t i o n is c o n s t r u c t e d as the e x p e c t a t i o n of the L a g r a n g i a n , Eq. (1),
i n t his g r o u n d s t a t e . U s i n g the v a r i a t i o n a l m e t h o d , the e q u a t i o n s of
m o t i o n f o r e a c h m e a n f i e l d a r e d e r i v e d in t h e m e a n f i e l d a p p r o x i m a t i o n
i n s e c t i o n B. F i n a l l y , i n s e c t i o n C, e x p r e s s i o n s are d e r i v e d f o r p h y
s i c a l o b s e r v a b l e s i n t e r m s of t h e s e m e a n f i e l d s .
A. M E A N F I E L D T H E O R Y
F o r a n u c l e a r s y s t e m w h i c h is d e s c r i b e d b y the L a g r a n g i a n d e n s i t y
o f Eq. (1), w e c a n n o t e v a l u a t e t h e e x a c t s o l u t i o n . If w e u s e t h e p a t h
i n t e g r a l m e t h o d [4 8 - 6 6 ] , the e f f e c t i v e a c t i o n b e c o m e s f o u r t h o r d e r in
t h e n u c l e o n f i e l d a f t e r i n t e g r a t i n g o v e r the m e s o n f i e l d s . T h i s
-
32
r e s u l t i n g i n t e g r a l c a n n o t be e v a l u a t e d e x a c t l y . F u r t h e r m o r e , w e c a n
n o t u s e a n o r d i n a r y p e r t u r b a t i o n m e t h o d e i t h e r s i n c e the d i m e n s i o n l e s s
c o u p l i n g c o n s t a n t s in Eq. (1) a r e of the o r d e r of 10 (see T a b l e s 2 and
5 [ 1 5 - 4 5 ] ) . T h e r e f o r e , w e n e e d to u s e a n a p p r o x i m a t i o n w h i c h c a n
m a n a g e the s t r o n g c o u p l i n g a s p e c t s of t h e p r o b l e m . A p o s s i b l e a p p r o x
i m a t i o n is m e a n f i e l d t h e o r y [1,15].
I n the m e a n f i e l d t h e o r y , a s e m i - c l a s s i c a l a c t i o n is d e f i n e d b y a
m a t r i x e l e m e n t of the L a g r a n g i a n b e t w e e n the c h o s e n s t a t e s of the
m a n y - b o d y s y s t e m . T h r o u g h t his m a t r i x e l e m e n t c a l c u l a t i o n , the f i e l d
o p e r a t o r s are r e p l a c e d w i t h the c o r r e s p o n d i n g s e m i c l a s s i c a l f i e l d s .
A p p l y i n g a v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e o n t h i s a c t i o n , we get the s e l f -
c o n s i s t e n t e q u a t i o n s of m o t i o n for e a c h of t h e s e s e m i - c l a s s i c a l
f i e l d s . P h y s i c a l o b s e r v a b l e s m a y t h e n be e x p r e s s e d in t e r m s of t h e s e
f i e l d s . T h u s , t h e c o m p l e x i t y of the f u l l q u a n t u m f i e l d t h e o r y is
g r e a t l y r e d u c e d i n the m e a n f i e l d t h e o r y . U s i n g n o r m a l o r d e r i n g , the
v a c u u m e x p e c t a t i o n v a l u e s a r e r e m o v e d . S i n c e s e l f - c o n s i s t e n t i n t e r
a c t i n g f i e l d s a r e u s e d i n s t e a d of f r e e f i e l d s , t h e r e a r e n o d i v e r g e n c e
p r o b l e m s . F u r t h e r m o r e , r e n o r m a l i z a t i o n is c a r r i e d o u t by s i m p l y a d
j u s t i n g the p a r a m e t e r s , the m a s s e s a n d t h e c o u p l i n g c o n s t a n t s , to
y i e l d t h e e x p e r i m e n t a l v a l u e s of t y p i c a l p h y s i c a l q u a n t i t i e s .
G i v e n t h e L a g r a n g i a n of Eq. (1), w e w i l l d e r i v e a r e l a t i v i s t i c
H a r t r e e - F o c k a p p r o x i m a t i o n , of w h i c h t h e F o c k t e r m w i l l p r o v i d e t h e
n e x t o r d e r c o r r e c t i o n to a r e l a t i v i s t i c H a r t r e e a p p r o x i m a t i o n . T o
e v a l u a t e t h e m a t r i x e l e m e n t of the L a g r a n g i a n , w e n e e d to e x p r e s s the
f i e l d o p e r a t o r s in t e r m s of the s i n g l e - p a r t i c l e o p e r a t o r s .
1
-
33
C o n v e n t i o n a l l y , the n u c l e o n f i e l d is c o n s i d e r e d as a q u a n t i z e d f i e l d ,
a n d the b o s o n f i e l d s as c l a s s i c a l . T h e n u c l e o n f i e l d o p e r a t o r is d e
c o m p o s e d i n t o c r e a t i o n a n d a n n i h i l a t i o n o p e r a t o r s in d e f i n i t e s t a t e s .
D u e to the c l a s s i c a l t r e a t m e n t , b o s o n f i e l d s a r e c - n u m b e r f u n c t i o n s
a n d the m e a n f i e l d t h e o r y r e d u c e s to a r e l a t i v i s t i c H a r t r e e a p p r o x i m a
t i o n . T o go b e y o n d this l e v e l of a p p r o x i m a t i o n , w e n e e d to c o n s i d e r
t h e m e s o n f i e l d s as q u a n t i z e d f i e l d s . H o w e v e r , t h i s is m o r e c o m p l i
c a t e d t h a n the c l a s s i c a l t r e a t m e n t s i n c e the m e s o n f i e l d o p e r a t o r s d e
p e n d o n t h e n u c l e o n f i e l d o p e r a t o r s as s o u r c e s . T o s o l v e for the
m e s o n f i e l d s in t e r m s of the n u c l e o n f i e l d , we c o n s i d e r the e q u a t i o n s
of m o t i o n for the b o s o n f i e l d o p e r a t o r s . U s i n g t h e H e i s e n b e r g ’s
e q u a t i o n of m o t i o n or e q u i v a l e n t l y the E u l e r - L a g r a n g e e q u a t i o n f o r theA
L a g r a n g i a n d e n s i t y o p e r a t o r i ? ( x ) , w e g e t
[ □ + m 1 2 ]i (x) = g 1 K x ) r i ij)(x). (6 )
T h e i n d e x i l a b e l s d i f f e r e n t b o s o n f i e l d s , a n d t h e r e l a t e d q u a n t i t i e s
a r e d e f i n e d i n T a b l e 3. S i n c e the L a p l a c e f a c t o r [ □ + m ^ 2 ] ^ as n o d e
p e n d e n c e o n t h e f i e l d o p e r a t o r s , w e f i n d t h e g e n e r a l s o l u t i o n of this
o p e r a t o r e q u a t i o n as
^ ( x ) = o(x) ~ / d 1* x ' D ( x - x ' , m ^ ) g ^ ^ ( x ’ )T^iji(x’ ) , (7)
w h e r e q is the s o l u t i o n of the h o m o g e n e o u s p a r t of Eq. (6 ), a n d c a n
b e i n t e r p r e t e d as f r e e b o s o n f i e l d s for o u r L a g r a n g i a n . T h e s e c o n d
t e r m is a s o u r c e d e p e n d e n t p a r t of the e q u a t i o n s i n c e it d e p e n d s on
t h e n u c l e o n f i e l d . T h r o u g h Eq. (7), w e c a n s e p a r a t e the b o s o n f i e l d
o p e r a t o r s i n t o a n u c l e o n f i e l d d e p e n d e n t p a r t a n d t h e f r e e b o s o n f i e l d
-
34
T a b l e 3. M e s o n f i e l d s w h i c h a r e i n c l u d e d in the m o d e l
L a g r a n g i a n of Eq. (1)
i (x) g i S i m i r i
s c a l a r f i e l d (x) g S 1 ms 1
v e c t o r f i e l d y X) g V - 1 mv Y P
E . M . f i e l d A y (x) e - 1 0 ^ 1 + T s)
p i o n f i e l d ir(x) “ l g * 1 m IT Vr h o m e s o n V x) g P - 1
mP V
-
35
p a r t . T h e G r e e n ' s f u n c t i o n D is d e f i n e d as
[ 0 +- m ± 2 ]D (x—x r ,m i ) = - i n w h i c h a l l the p a r t i c l e
a n d a n t i p a r t i c l e l e v e l s a r e e m p t y . T h e a n n i h i l a t i o n o p e r a t o r s of the
n u c l e o n (ba ) a n t i n u c l e o n (da )> a n * b o s o n (a1 ) f i e l d s are d e f i n e d as
t h e o p e r a t o r s w h i c h a n n i h i l a t e t h e v a c u u m . T h a t is, | 0> = 0,
d ^ | 0> = 0 , a n d a 1 | 0> = 0 w h e r e a is the s i n g l e - p a r t i c l e l e v e l i n d e x
of e a c h s t a t e . T h e i n d e x i w h i c h l a b e l s d i f f e r e n t b o s o n f i e l d s is
i
-
d e f i n e d i n T a b l e 3. T h e c r e a t i o n o p e r a t o r s (b^, d^, a ^ l o f t h e s ev a ’ a a J
f i e l d s a r e d e f i n e d as the h e r m i t i a n c o n j u g a t e of the c o r r e s p o n d i n g
a n n i h i l a t i o n o p e r a t o r s . T h e c r e a t i o n a n d a n n i h i l a t i o n o p e r a t o r s of
b o s o n f i e l d s c o m m u t e w i t h a l l the c r e a t i o n a n d a n n i h i l a t i o n o p e r a t o r s
e x c e p t [ad , a ^ 7 ] = 6^ 6^,.. T h e c r e a t i o n a n d a n n i h i l a t i o n o p e r a t o r s of
t h e n u c l e o n a n d a n t i n u c l e o n a n t i c o m m u t e w i t h e a c h o t h e r e x c e p t for
fb ,b = 5 . a n d {d , d „ 7 } = 5 .. T h e f i e l d o p e r a t o r s c a n be d e c o m - 1 a 6 1 o 8 1 a 6 1 a$ r
p o s e d u s i n g the s i n g l e - p a r t i c l e c r e a t i o n a n d a n n i h i l a t i o n o p e r a t o r s as
4»(x) = I [i|> ^+ \ x ) b + \p J' \ x ) d * ] , ( 1 2 )
36
a a
l£(x) = #t(x)y0 = I'•]
\ x ) b ^ + \ x ) d j , (13)
f o r t h e n u c l e o n f i e l d , a n d for t h e b o s o n f i e l d s (J)1 , w h i c h a r e d e f i n e d
i n T a b l e 3,
^ ( x ) = + I ♦ a g < x >>a ,8
" I + f a i * ( x ) a o i t ^ (15)a
* o 8(x) = ” f X , D (X - X ' ’m i ) g i[',,a ( + ) ( x l ) b a t + ) ( x ')da
* ri j ^ Q ( + ) (x ' ) b Q + ipQ (" ) (x')d, f(16)
K8 v 6 r 8
T h e f i r s t t e r m of Eq. (14) is the f r e e b o s o n f i e l d and t h e s e c o n d t e r m
is the v i r t u a l b o s o n i n d u c e d t h r o u g h t h e b o s o n - n u c l e o n i n t e r a c t i o n .
T h e f u n c t i o n s f ^ ( x ) , i|i ^+ ^(x), a n d ip ^ \ x ) are the o r t h o n o r m a l i z e d a a a
w a v e f u n c t i o n s for e a c h s i n g l e - p a r t i c l e leve l .
I n t h e r e l a t i v i s t i c c a l c u l a t i o n s , t h e s i m p l e s t g r o u n d s t a t e of a
I A t In u c l e u s c a n be c h o s e n as a S l a t e r d e t e r m i n a n t = H b 0 > of1 u i o 1a=lt h e l o w e s t A o c c u p i e d s i n g l e - n u c l e o n l e v e l s . H e r e t h e r e are no
L
-
37
a n t i n u c l e o n s a n d f r e e b o s o n s . U s u a l l y , the v i r t u a l b o s o n f i e l d s , i n
d u c e d t h r o u g h the b o s o n - n u c l e o n i n t e r a c t i o n s , a r e t r e a t e d as c l a s s i c a l
f i e l d s . I n this t r e a t m e n t , the i n d u c e d b o s o n f i e l d s a r e c o n s i d e r e d as
i n d e p e n d e n t f i e l d s . T h u s the i n d u c e d b o s o n f i e l d d o e s not c a r r y the
i n f o r m a t i o n a b o u t w h i c h n u c l e o n s a r e i n v o l v e d in the i n t e r a c t i o n
t h r o u g h a p a r t i c u l a r b o s o n e x c h a n g e . T o c o n s i d e r t his i n f o r m a t i o n , w e
n e e d to t r e a t the i n d u c e d b o s o n f i e l d s as q u a n t i z e d f i e l d s as in Eq.
( 1 6 ) .I n t h i s s e c t i o n , w e h a v e e x p r e s s e d the f i e l d o p e r a t o r s a n d the
g r o u n d s t a t e of a n u c l e u s i n t e r m s of the c r e a t i o n a n d a n n i h i l a t i o n
o p e r a t o r s of t h e i n t e r a c t i n g n u c l e o n f i e l d a n d t h e f r e e m e s o n f i e l d s .
T h e c r e a t i o n a n d a n n i h i l a t i o n o p e r a t o r s n e e d y e t to be d e f i n e d s e l f -
c o n s i s t e n t l y t h r o u g h the e q u a t i o n s of m o t i o n , w h i c h w i l l be d e r i v e d i n
t h e n e x t s e c t i o n .
B. T H E E Q U A T I O N S OF M O T I O N OF T H E M E A N F I E L D S
S i n c e the f i e l d o p e r a t o r s a n d the g r o u n d s t a t e a r e e x p r e s s e d in
t e r m s of t h e s i n g l e - p a r t i c l e o p e r a t o r s , w e c a n e v a l u a t e the s e m i -
c l a s s i c a l a c t i o n for the L a g r a n g i a n of Eq. (1). A p p l y i n g a v a r i a
t i o n a l p r i n c i p l e o n t h i s a c t i o n , t h e e q u a t i o n s of m o t i o n of e a c h f i e l d
w i l l be d e r i v e d i n t his s e c t i o n . E m p l o y i n g q u a n t i z e d m e s o n f i e l d s ,
t h e s e r e s u l t s w i l l y i e l d the n e x t o r d e r c o r r e c t i o n to t h e r e l a t i v i s t i c
H a r t r e e a p p r o x i m a t i o n .
T h e s e m i - c l a s s i c a l a c t i o n S is t h e e x p e c t a t i o n , f o r the g r o u n dA
s t a t e | $ 0>» t*ie n ° r m a l o r d e r e d o p e r a t o r J d 1* x t 2 X x ) : . N o r m a l
-
38
o r d e r i n g is d e f i n e d w i t h r e s p e c t to the v a c u u m s t a t e | 0>. F o r the
f r e e n u c l e o n p a r t of the L a g r a n g i a n , w e n e e d to f i n d the e x p e c t a t i o nA A
of :iKx)iJ>(x): b e t w e e n the A - n u c l e o n S l a t e r d e t e r m i n a n t ,A t
| = J b I 0>. F r o m E qs. (12) a n d (13),Y=1 ^
:0 ( x ) 0( x ) :
■ £[♦■a , 8 L
■ a , 0 L
( + ) ( x ) b * + i|» ( _ ) ( x ) d a a a i|>g ( + ) ( x ) b g + itig ( _ ) ( x ) d g t
^ W ^ d l b / b , - ♦ a (- ) ( x ) * 6 Q ^+ \ x ) d b a a 8 a 8 a 8 a 8
S i n c e | $ o > c o n s t r u c t e d o n l y w i t h A - n u c l e o n l e v e l s i n o u r case,
8 cx I = 9 a n d d a I = 9 ^ ° r a n u n o c c u P le “ * | * 0~ a >* w h e r e t h e n e w s t a t e | ^ o -01^
is the S l a t e r d e t e r m i n a n t of A - l l e v e l s w i t h o u t the l e v e l a a n d the ±
s i g n is d e t e r m i n e d t h r o u g h the a n t i c o m m u t a t i o n of w i t h b 7 to c o m e
n e x t to b T h e r e f o r e a
< $ 0 | : $ ( x ) t ( x ) : | $ 0 > A _ < 0 O | 0 O >---------------- I V x ) V x ) * (17)
w h e r e ^ ( x ) h a s b e e n u s e d for i|>a ^+ ^(x) to s i m p l i f y the n o t a t i o n b e
c a u s e the a n t i n u c l e o n s no l o n g e r a p p e a r i n this e x p e c t a t i o n . T h e A
o v e r the s u m m a t i o n s i g n h a s b e e n u s e d to i n d i c a t e t h a t t h e s u m a is
l i m i t e d to the A o c c u p i e d l e v e l s of the n u c l e o n f i e l d .
S i n c e t h e r e a r e n o f r e e b o s o n s in t h e g r o u n d s t a t e , the f r e e
b o s o n f i e l d p a r t of Eq. (7) o r (14) m a k e s no c o n t r i b u t i o n to the
e x p e c t a t i o n of t h e L a g r a n g i a n . T h u s f o r the b o s o n f i e l d d e p e n d e n t
-
39
terms of the Lagrangian, we need to evaluate an expectation of the
w h e r e t h e s u m s o n a a n d 0 a r e r e s t r i c t e d to the o c c u p i e d l e v e l s .
S i n c e t h e t e r m s w i t h a = 0 c a n c e l e a c h o t h e r , w e do n o t n e e d the c o n
d i t i o n of a * 0 w h i c h is d e m a n d e d b y the P a u l i p r i n c i p l e . If we
r e l a t e t h i s r e s u l t to t h e e f f e c t i v e n u c l e o n - n u c l e o n i n t e r a c t i o n , the
f i r s t t e r m is the H a r t r e e ( d i r e c t ) t e r m , a n d the s e c o n d t e r m is the
F o c k ( e x c h a n g e ) t e rm. B e c a u s e of Eq. (7) or (16), w e c a n d e f i n e the
m e a n b o s o n f i e l d s in the g r o u n d s t a t e as
w h e r e the d e n s i t y m a t r i c e s f o r e a c h b o s o n f i e l d are d e f i n e d as
U s i n g Eqs. ( 1 8 ) - ( 2 0 ) , in t e r m s of t h e m e a n f i e l d s of n u c l e o n s and
b o s o n s , w e get
f o r m \|>(x)r i|i(x,) r ^ i K x ,)'K x ) w i t h n o r m a l o r d e r i n g . T h i s b e c o m e s ,
< $ 0 I : t ( x ) r ^ \ | > ( x 1 ) T ^ i ( x * ) i p ( x ) : I $o>
-
< $ 0 I :ip(x)r i± ( x ) i ( x ) : | $ 0 > A _------------- , I * (x)r ♦ (x)* (x)
< $ 0 | $ 0> a 1 “ (23)
- I *o(x)r1̂ ga(* )1'g(x)a , g
= ^ L (x)rit V x)6a0 “ +F8a(x)1V x)* a, g
W e s h o u l d n o t i c e t h a t the m e a n b o s o n f i e l d s a l s o d e p e n d o n the n u c l e o n
l e v e l i n d i c e s a a n d 8 .
U s i n g E qs. (17), (22), a n d (23), w e g e t the e x p e c t a t i o n of the
L a g r a n g i a n , Eq. (1), as
A. _< : £ ? : > - I + a ( i 8 - M ) + a
a
40
+ I *i [ 7 ( Sy*H 4 - " i 2 +Hl 2 ) + g , I \ q 4 * J
A_ y s y f_L r 3 A* 3W A- ~ m 2 d)1 A* ) + j T r / a 1 ,
L ^ L L2 ̂ y f y a g F g a i f y a g T g a j 8i V i ? F g c T g J ’ i p
w h e r e s^ is d e f i n e d in T a b l e 3. H e r e t h e c o n d i t i o n s of E qs. ( 2 ) — (5)
h a v e b e e n u s e d to s i m p l i f y the e q u a t i o n . If w e e l i m i n a t e the b o s o n
f i e l d s u s i n g E qs. (19) a n d (20), t h i s s e m i - c l a s s i c a l L a g r a n g i a n b e
c o m e s a n e f f e c t i v e L a g r a n g i a n i n t e r m s of n u c l e o n m e a n f i e l d s . B y the
v a r i a t i o n of the a c t i o n S = / d 1* x < : ^ ( x ) : > w i t h r e s p e c t to e a c h of
t h e f i e l d s , t h e e q u a t i o n s of m o t i o n a r e
A iI [ ( i S - M ) 5 + I s g T R ( x ) ] + (x) - 0, (24)
a, 8 u p ± j . j . j. p p
. A
[ □ + ® 1 2 ] V x ) " g i ^ pa a ( x ) ’ (25)a
-
w i t h
+ S o (x) ' + i < x ) 6o,6 ‘ * F S a ( x ) ' C27)
T h e d e n s i t y m a t r i c e s are d e f i n e d b y Eq. (21). The s u m a a n d 0 a r e
l i m i t e d to the l e v e l s in the g r o u n d s t a t e | w h i c h are o c c u p i e d by
n u c l e o n s .
S i n c e Eqs. (25) a n d (26) a r e l i n e a r e q u a t i o n s for the m e s o n
f i e l d s , t h e i r s o l u t i o n m a y be e x p r e s s e d b y
1 A * y x ) = - j dk x ' D ( x - x ' , m i )gi I Pa a (x ')» (19)
a
pa g(x) = - / d 1* x ' D ( x - x ' ( 2 0 >
I n s e r t i n g E q s . (19) a n d (20) i n t o Eq. (24), w e get a n o n l i n e a r e q u a
t i o n for a s i n g l e n u c l e o n s t a t e
A _[(18T-M) + l f d 4 x ,D 1 ( x - x ' , m ) I y x ' (x' K j t a (x)
i 0(28)
A _- I J d1* x ' D 1 (x-x' . m ) ^ I y x ^ g t x ’ J I ^ y x ' ) = 0,
i 0
w h e r e
D 1 ( x - x ' , m ) = - s i (g 1 ) 2 D ( x - x ' , m 1 ). (29)
E q u a t i o n (28) is t h e D i r a c e q u a t i o n f o r s i n g l e n u c l e o n s t a t e s in the
H a r t r e e - F o c k a p p r o x i m a t i o n .
F o r s t a t e s i n a n u c l e u s , ^ ( x ) b e c o m e s e x p ( - i i d ^ t j i y x ) , a n d the
t i m e i n t e g r a l i n Eq. (28) g i v e s a n e n e r g y c o n s e r v i n g d e l t a f u n c t i o n .
E q u a t i o n (28) r e d u c e s to a n e i g e n v a l u e p r o b l e m f o r a t i m e - i n d e p e n d e n t
H a r t r e e - F o c k D i r a c e q u a t i o n f o r s i n g l e n u c l e o n s t a t e s
41
[ □ + m1 2 ]
-
i D ^ C x ) = / d 3 x ' h C x . x ' H ^ x ' ) ,
h ( x , x ' ) = 5 ( x - x ’) [ + Y o M )
A _ (30)- Yo I I / d 3 x" D ( x - x " ,m)i|ifi(x" )T tyR ( x ” )T ]
1 6 1 8 i B i
A _+ Yo I I [ D i ( x - ^ , ,a)a -u)g ) r i i|ig (x)i|;g ( x , )ri ] ,
i 3+ +
w h e r e a = Y o Y a n d t h e d e p e n d e n c e of c o m e s f r o m the t i m e
i n t e g r a l t' in Eq. (28). T h i s d e p e n d e n c e s h o w s t h a t the m e s o n p r o p a
g a t o r for t h e F o c k t e rm, w h i c h is n o n l o c a l , m u s t be r e t a r d e d . T h i s is
t h e u s u a l H a r t r e e - F o c k s i n g l e - p a r t i c l e e q u a t i o n w i t h g e n e r a l r e t a r d e d
n o n l o c a l p o t e n t i a l s . We c a n f i n d t h e s i n g l e - p a r t i c l e w a v e f u n c t i o n
\pa (x) b y s o l v i n g Eq. (30) s e l f - c o n s i s t e n t l y u s i n g the t e c h n i q u e s d i s
c u s s e d in the A p p e n d i x f o r s p h e r i c a l n u c l e i or in C h a p t e r I I I for
a x i a l l y d e f o r m e d n u c l e i . W e a s s u m e d at the b e g i n n i n g a b a s i s f o r the
d e c o m p o s i t i o n of f i e l d o p e r a t o r s a n d the c o n s t r u c t i o n of the g r o u n d
s t a t e ) $ 0^* T h e s i n g l e - p a r t i c l e l e v e l s of the s e l f - c o n s i s t e n t s o l u
t i o n d e t e r m i n e t h i s b a s i s .
W e h a v e o b t a i n e d a r e l a t i v i s t i c H a r t r e e - F o c k a p p r o x i m a t i o n f r o m
t h e r e l a t i v i s t i c L a g r a n g i a n d e f i n e d i n Eq. (1). T h e m e a n f i e l d
a p p r o x i m a t i o n h a s b e e n u s e d f o r the n u c l e o n f i e l d , a n d the m e s o n
f i e l d s h a v e b e e n i n t e r p r e t e d e x a c t l y in t e r m s of the m e a n n u c l e o n
f i e l d . H o w e v e r , f o r t h e l o w e s t o r d e r a p p r o x i m a t i o n , the m e s o n f i e l d s
m a y b e c o n s i d e r e d as c l a s s i c a l f i e l d s [15]. F o r c l a s s i c a l m e s o n
f i e l d s , the e x p e c t a t i o n of the m e s o n - n u c l e o n i n t e r a c t i o n t e r m s in the
42
-
L a g r a n g i a n b e c o m e ^ ( x ) £ (x). F u r t h e r m o r e , * in Eq. (24)a
h a s n o d e p e n d e n c e o n the n u c l e o n l e v e l i n d e x a. I n this l o w e s t o r d e r
a p p r o x i m a t i o n , the e x c h a n g e (Fo c k ) t e rm, Eq. (20), d o e s not a p p e a r i n
E q s . (22) a n d (23). D u e to the a b s e n c e of the F o c k t e rm, the e q u a t i o n
o f m o t i o n f o r the n u c l e o n s b e c o m e s a r e l a t i v i s t i c H a r t r e e D i r a c e q u a
t i o n i n s t e a d of a H a r t r e e - F o c k e q u a t i o n . T h e c l a s s i c a l m e s o n f i e l d s
a r e t h e n g i v e n b y
i A (x) = -gjL / d1* x ,D(x-x',m1) I Paa(x').a
T h e s e a p p r o x i m a t i o n s r e s u l t in the r e l a t i v i s t i c m e a n f i e l d t h e o r y of
W a l e c k a [15].
C . P H Y S I C A L O B S E R V A B L E S
W e can c a l c u l a t e t h e v a l u e of p h y s i c a l q u a n t i t i e s in the r e l a t i
v i s t i c H a r t r e e - F o c k d e s c r i p t i o n of a n u c l e u s , u s i n g Eqs. (19), (20),
a n d (30). T h e b a r y o n d e n s i t y in a n u c l e u s b e c o m e s
A _P(x) - I * (i)Y0+a(*)' (31)a
T h e r o o t m e a n s q u a r e r a d i u s a n d t h e m u l t i p o l e m o m e n t s of the n u c l e a r
d e n s i t y c a n be c a l c u l a t e d f r o m
1 / 2R - [/ d 3 x | x | 2 p ( x ) / A ] , (32)
= / d 3 x | x | 1 Y ^ ( x ) p ( x ) , (33)
w h e r e A is the n u m b e r of n u c l e o n s in a n u c l e u s .
T o f i n d t h e t o t a l e n e r g y , let u s c o n s i d e r the H a m i l t o n i a n of the
43
-
44
s y s t e m d e f i n e d b y Eq. (1). S i n c e t h i s L a g r a n g i a n has n o v e l o c i t y -
d e p e n d e n t i n t e r a c t i o n s , t h e c o n j u g a t e m o m e n t u m of the n u c l e o n a n d
b o s o n f i e l d s are i\|/ a n d s^3 (j)1 . T h e r e f o r e the H a m i l t o n i a n of this
s y s t e m is
H = / d 3 x [ i K x ) y 0 i 9 t '[»(x) + I s ± 3 t )2 i a , 8 3 1 8 (36)
- Ta(x)ri ^e(x)Di (x-x' ,0)a-u)g)'iirg(x , )ri i()a(xf )]
+ I s± I ( v U8̂ 2 f d3 X
-
45
In this c h a p t e r , w e h a v e e x p l i c i t l y d e r i v e d the r e l a t i v i s t i c
H a r t r e e - F o c k d e s c r i p t i o n of n u c l e a r s y s t e m s d e f i n e d w i t h the
L a g r a n g i a n of Eq. (1). U s u a l l y , m e s o n f i e l d s a r e t r e a t e d as c l a s s i c a l
f i e l d s i n a p p l y i n g a m e a n f i e l d t h e o r y to this L a g r a n g i a n . T h i s m e a n
f i e l d a p p r o x i m a t i o n r e d u c e s to a r e l a t i v i s t i c H a r t r e e a p p r o x i m a t i o n .
I n t r o d u c i n g q u a n t i z e d m e s o n f i e l d s , w e h a v e s h o w n t h a t the e x c h a n g e
( F o c k ) t e r m s are n a t u r a l l y i n c l u d e d in a m e a n f i e l d a p p r o x i m a t i o n of
t h e L a g r a n g i a n of Eq. (1). S i n c e m e s o n f i e l d o p e r a t o r s a r e e x a c t l y
e x p r e s s e d i n t e r m s of s i n g l e n u c l e o n o p e r a t o r s , this H a r t r e e - F o c k
a p p r o x i m a t i o n is the h i g h e s t o r d e r a p p r o x i m a t i o n w h i c h w e can o b t a i n
i n a m e a n f i e l d a p p r o a c h . T o go b e y o n d t h i s a p p r o x i m a t i o n , w e w o u l d
n e e d t
