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MINICURSO - GRANDEZAS E MEDIDAS

A DIDÁTICA DO ENSINO DO CONCEITO DE ÁREA COMO GRANDEZA NUMA

ABORDAGEM VERGNAUDIANA

JORGE HENRIQUE DUARTE, EDMUNDO SILVA GUERRA (ESPECIALISTA-FACIG),

JOSÉ SEVERINO DE BARROS (MESTRE – UFPE, SEC-PE, SEC-PCR; FACIG),

JAELSON DANTAS DE ALMEIDA (ESPECIALISTA – UFPE, SEC-PE, FACIG)

RESUMO. O conceito de área é considerado um dos mais importantes no ensino aprendizagem

da Matemática e, por isso, torna-se relevante para a formação de todo cidadão que precisa

realizar medições ou estimar medidas de regiões planas – terrenos, pisos, paredes, faces de

objetos, etc.. É também muito rico do ponto de vista da matemática, pois, congrega os eixos

temáticos dos números, da geometria, das grandezas e da álgebra. Este mini-curso se

fundamenta numa pesquisa de mestrado em Educação de Duarte (2002) e no trabalho de

Guerra, E. S.; Silva, M. C. B.da; Duarte, J. H (2016) que se filiam aos trabalhos de Douady & Perrin

Glorian (1989), Lima (1995), Baltar (1996) e Bellemain & Lima (2001). As atividades do minicurso

abordam o conceito de área como grandeza e apresentam como suporte teórico, a teoria dos

campos conceituais de Vergnaud (1993) com destaque para a definição de conceito que permite

identificar noções, procedimentos e invariantes operatórios (os teoremas-em-ação e conceitos-

em-ação) e a classificação de Baltar (1996) para as situações que dão significado ao conceito em

tela: comparação de áreas, medida de área e produção de superfícies.

PALAVRAS-CHAVE: Ensino de Geometria. Conceito de Área. Grandezas Geométricas.

FUNDAMENTOS DO MINI-CURSO. Com base em Duarte (2002), as atividades apresentadas no

mini-curso serão analisadas pelos participantes visando à identificação de noções,

procedimentos, conceitos em ação e teoremas em ação. Para análise das atividades serão

consideradas três tipos principais: o primeiro tipo classificado como comparação de áreas

enfatizará a comparação sem medida de área; o segundo tipo envolverá a medida de área com

destaque para a comparação de áreas com medida, o cálculo da medida de área de figuras e

produção de superfícies que satisfazem a condições que envolvem suas áreas e o terceiro tipo

será classificada como produção de superfícies sem recorrer a medida de área. Destacamos que

durante o desenvolvimento das atividades não serão utilizadas inicialmente as unidades do

sistema métrico decimal do SI.

Apoiados em Vergnaud (1993), podemos considerar que um conceito se constitui por uma tríade

(S, IO e Ę) formada pelos seguintes conjuntos:

• S: conjunto de situações que dão sentido ao conceito (a referência);

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• IO: conjunto de invariantes operatórios, mecanismos utilizados pelo sujeito na resolução do

problema, sobre os quais se apóia a operacionalidade dos esquemas (variável psicológica,

significado);

• Ę: conjunto de representações simbólicas utilizadas e possíveis, tanto para a apresentação

quanto para a resolução do problema (possibilidade de representação simbólica do conceito; o

significante).

No minicurso, considerando a tríade concebida por Vergnaud associamos ao 1º componente, as

situações de comparação, medida e produção de superfícies. Vinculado ao 2º componente do

tripé concebido por Vergnaud, consideramos como invariantes operatórios alguns conceitos em

ação e teoremas em ação, já relacionados por Baltar (1996), como, também, alguns

procedimentos previstos para resolução das atividades.

Quanto às representações que podem ser utilizadas pelos participantes na resolução das

atividades apresentadas no mini-curso, abordando o conceito de área como grandeza, alguns

termos como, por exemplo, “espaço”, “tamanho”, “região” e “superfície” são previstos.

No tocante à representação gráfica, as figuras utilizadas e os desenhos feitos pelos participantes,

como também os números naturais e fracionários, seguidos de termos que indicam a unidade de

medida de área não padronizada, são exemplos de significantes previstos.

As atividades selecionadas serão apresentadas com suporte da Teoria Antropológica do Didático

de Chevallard (1993) segundo Rossini (2006).

Nessa abordagem, o conceito de área é (re)construído significativamente através das situações

apresentadas e, reciprocamente, uma situação remete a muitos conceitos e sua formação deve

acontecer ao longo do tempo, por meio de muitas interações, de maneira que os participantes

possam refletir no sentido de que novas situações e novos conceitos lhes sejam significativos,

aplicando e adaptando aos seus conhecimentos antigos.

Será adotado no minicurso outro importante fundamento teórico, uma modelização didática do

conceito de área baseada em Douady (1987), formada por quatro quadros: o geométrico, o das

grandezas, o numérico e o algébrico-funcional. Uma hipótese didática considerada no minicurso

é a de que, no ensino-aprendizagem do conceito de área, deve-se distinguir e articular os

quadros mencionados.

PÚBLICO-ALVO, OBJETIVOS E DESENVOLVIMENTO DO MINI-CURSO.

Este minicurso destina-se a professores da Educação Básica (Ensino Fundamental 1ª a 9ª anos e

Ensino Médio) e tem os seguintes objetivos: (1) Analisar atividades de livros didáticos

consideradas como significativas para a construção do conceito de área e refletir sobre sua

utilização em contextos de ensino na educação básica com apoio da TAD; (2) Identificar nas

atividades selecionadas envolvendo o conceito de área como grandeza, noções, procedimentos,

teoremas-em-ação e conceitos-em-ação relevantes para sua resolução; 3) Refletir sobre o uso de

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material manipulativo (papel quadriculado, geoplano) para auxiliar a resolução de problemas

abordando o conceito de área.

O mini-curso está previsto para ser desenvolvido em quatro momentos;

No primeiro momento será promovida uma discussão acerca da grandeza área destacando: a

abordagem do conceito de área nos livros didáticos, as concepções dos professores, as

orientações dos PCN (1997/1998) e o que orienta os PCPE(2002).

No segundo momento os participantes distribuídos em grupos, farão a análise de atividades

envolvendo o conceito de área em função dos objetivos propostos.

Um terceiro momento privilegiará a apresentação das análises realizadas nos grupos, seguida de

debate coordenado pelo ministrante.

A etapa final do mini-curso será reservada para avaliar o trabalho realizado e refletir sobre sua

viabilidade no contexto do ensino fundamental. O material básico será disponibilizado por email

aos participantes e no minicurso, será entregue um caderno com um texto resumo contendo

atividades envolvendo o conceito de área que serão analisadas e discutidas posteriormente pelos

participantes. Serão disponibilizados outros materiais como papel branco A4, lápis grafite e de

cor, tesoura, papel vegetal, malhas quadriculadas e trianguladas impressas em papel A4.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.

BALTAR, P.M. Enseignement-apprentissage de la notion d’aire de surface plane: une étude de

l’acquisition des relations entre les longueurs et les aires au cóllege, Tese de Doutorado,

Universidade Joseph Fourier, Grenoble, França, 1996.

BALTAR, P. M. & LIMA, P. F., Um estudo da Noção de Grandeza e Implicações no Ensino

Fundamental e Médio, IV Seminário Nacional de História da Matemática, Natal, 2001. Anais do

VIII ENEM – Minicurso GT 9 - Processos Cognitivos e Lingüísticos em Educação Matemática

BELLEMAIN, P. M. B. & LIMA. P, F., Análises prévias à concepção de uma engenharia de formação

continuada para professores de matemática do ensino fundamental. Anais da Reunião Anual da

ANPED – Associação Nacional de Pesquisa e Pós-Graduação em Educação, Caxambu, 2000,

Publicação em CDRom.

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BRASIL, MEC, SEF, Parâmetros Curriculares Nacionais de 1ª a 4ª séries, Matemática, volume 3,

MEC, Brasília, 1997.

BRASIL, MEC, SEF, Parâmetros Curriculares Nacionais de 5ª a 8ª séries, Matemática, MEC,

Brasília, 1998.

DOUADY, R., Jeux de cadres et dialectique outil objet, Recherches en Didactique des

mathématiques, vol 7, nº 02, pp 30-115, 1987. DOUADY, R. & PERRIN-GLORIAN, M-J., Un

Processus d’Apprentissage du Concept d’Aire de Surface Plane”, Educational Studies in

Mathematics, 20, (1989) 387-424.

DUARTE, J. H., Análise de situações didáticas para construção do conceito de área como grandeza

no ensino fundamental, Dissertação de Mestrado em Educação, UFPE, Recife, 2002.

GUERRA, E. S.; SILVA, M. C. B.da; DUARTE, J. H.. Identificação da grandeza área em livro didático

do 9º ano do ensino fundamental numa perspectiva didática-praxeológica. Anais do XI ENEM,

SÃO PAULO, 2016.

LIMA, P. F., Considerações sobre o Ensino Conceito de Área. Anais da I Semana de Estudos em

Psicologia da Educação Matemática, Recife, 1995.

CENTURIÓN, M.; JAKUBOVIC, J. Matemática: teoria e contexto, 9º ano, ensino fundamental: livro

do professor. São Paulo: Saraiva, p.260, 2012.

PEREIRA, H.; CASTRO, J. D. de; SILVA J. F. da; DUARTE, J. H.; Um estudo sobre a compreensão de

problemas de matemática envolvendo grandezas perímetro e área, álgebra e funções no ensino

médio. In: ENEM, IX, 2007, Minas gerais. Disponível em:

<www.sbembrasil.org.br/files/ix_enem/.../CC17227801420R.doc>. Acesso em: 02 mar. 2016.

ROSSINI, R. A contribuição da teoria antropológica do didático para a análise de livros didáticos

de matemática. In: EDUCERE, VI, Paraná, 2006. Disponível em

<http://www.pucpr.br/eventos/educere/educere2006/anaisEvento/docs/CI-155-TC.pdf>. Acesso

em 02 fev. 2016.

VERGNAUD, G., Teoria dos Campos Conceituais, Anais do primeiro Seminário Internacional de

Educação Matemática do Rio de Janeiro, Projeto Fundão, Instituto de Matemática, UFRJ, 1993.

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ATIVIDADES.

RESOLVA AS ATIVIDADES A SEGUIR E ANALISE-AS SEGUNDO OS FUNDAMENTOS TEÓRICOS

APRESENTADOS NO MINI-CURSO.

ATIVIDADE 1.

Fig. 1 - Fonte:

Centurión e Jakubovic (2012, p.

201)

ATIVIDADE 2

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Fig. 2 (pág. 174)

ATIVIDADE 3

Fig. 3 (pág. 159)

ATIVIDADE 4

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Fig. 4 (pág. 172)

ATIVIDADE 5

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Fig. 5 (pág. 175)

Fig. 6 (Atividade da pág. 159).

Fig.7 (Atividade da pág. 160).

ATIVIDADE 6 – O professor de matemática apresentou a um aluno as figuras A, B e C desenhadas a

seguir,

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Figura A Figura B Figura C

Orientando que o aluno poderia obter novas figuras, partindo da combinação de duas delas,

observou como resultado as figuras D, E e F, desenhadas abaixo:

Figura D Figura E Figura F

Explique:

Qual a estratégia foi utilizada pelo aluno para obter a figura D ?

Qual estratégia foi utilizada pelo aluno para construir a figura E ?

Como o aluno fez para obter a figura F ?

Das figuras D ou E, qual a que tem a maior ÁREA? Explique a sua resposta.

Qual das figuras E ou F, tem a maior ÁREA? Explique a sua resposta.

Qual das figuras D ou F, tem a maior ÁREA? Explique a sua resposta

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Escreva as figuras D,E e F, em ordem crescente de ÁREA?

Atividade 7 - TRABALHO COLETIVO (em trios)

Classifique as situações a seguir, segundo Baltar(1996).

SITUAÇÃO 1

Construir uma figura D com o triplo da ÁREA da figura A.

Explique os procedimentos utilizados na resolução.

Figura A

SITUAÇÃO 2

Considere a figura B desenhada abaixo. Construir uma figura C, diferente de B, que tem

a mesma ÁREA da figura B. Explique os procedimentos utilizados na resolução.

Figura B

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SITUAÇÃO 3

Considere as figuras J, L,T, U e F, no quadriculado abaixo.

Responda as perguntas seguintes, justificando-as.

Qual das figuras tem A MAIOR ÁREA?

Existem figuras com A MESMA ÁREA?

ATIVIDADE 8 – QUESTÕES PARA REFLEXÃO E RESOLUÇÃO INDIVIDUAL.

1. Sendo indagado por um aluno sobre o significado da palavra ÁREA, qual seria

sua resposta ?

Resposta:

2. Para construir o conceito de ÁREA é necessário que o aluno possua outros

conceitos já desenvolvidos ? Explique a sua resposta.

Figura J Figura L

Figura T

Figura F Figura U

Considere esse

quadradinho como

unidade de medida de

área

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Resposta:

3. Com base em sua experiência como professor de matemática o conceito de

ÁREA é um conceito difícil ou fácil de desenvolver ?

Resposta:

4. Em linhas gerais, como você inicia a construção do conceito de ÁREA ?

Resposta:

5. Considerando sua experiência profissional, em qual série/ano pode ser iniciada a

construção do conceito de ÁREA ?

Explique a sua resposta.

Resposta:

6. Desenhe outra figura que possui o dobro da ÁREA

da figura desenhada ao lado.

7. Observe as figuras A e B desenhadas a seguir.

Qual figura possui A MAIOR ÁREA ?

Qual figura possui A MENOR ÁREA ?

Explique a sua resposta.

Figura A Figura B

8. RESOLVA AS QUESTÕES A SEGUIR DESTACANDO TEOREMAS NECESSÁRIOS PARA A

RESOLUÇÃO.

– CALCULE A ÁREA DE UM TRIÂNGULO EQUILÁTERO CUJO LADO MEDE 5CM.

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– CALCULE A ÁREA DE UM QUADRADO CUJO LADO MEDE 5CM.

– CALCULE A ÁREA DE UM RETÂNGULO COM OS LADOS MEDINDO 5CM E 6 CM.

– CALCULE A ÁREA DE UM PENTÁGONO REGULAR CUJO LADO MEDE 5CM.

– CALCULE A ÁREA DE UMA CIRCUNFERÊNCIA COM RAIO IGUAL A 5CM.

ATIVIDADE 9 – RETÂNGULOS EQUITATIVOS

Dividir os retângulos abaixo, em quatro partes com a mesma área.

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ATIVIDADE 9 -

Duas figuras A e B são apresentadas abaixo.

Figura A Figura B

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Observando as figuras A e B, o que podemos concluir sobre elas? Explique a sua resposta

A área da figura A é maior do que a área da figura B

A área da figura A é menor do que a área da figura B

A área da figura A é igual a área da figura B

A seguir você encontra figuras que reproduzem as figuras A, B e C, UTILIZADAS NA ATIVIDADE 6.

Explicação

Explicação

Explicação

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Recorte-as e escolhendo duas delas obtenha:

Uma figura G diferente da figura D, e que tem a mesma ÁREA desta.

Uma figura H diferente da figura E, e que tem a mesma ÁREA desta.

Uma figura I diferente da figura F, e que tem a mesma ÁREA desta.

Uma figura J que tem ÁREA menor que a figura D.

Uma figura L que tem ÁREA maior que a figura F.

Explique como você fez para obter cada uma das figuras G, H, I, J e L..

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