a tdownload.ssapunjab.org/sub/MathScience/KVYP/KVPY_2010...D d n p q t u v? ^ = x x _ d w > x ~ | z...

40

Transcript of a tdownload.ssapunjab.org/sub/MathScience/KVYP/KVPY_2010...D d n p q t u v? ^ = x x _ d w > x ~ | z...

Page 1: a tdownload.ssapunjab.org/sub/MathScience/KVYP/KVPY_2010...D d n p q t u v? ^ = x x _ d w > x ~ | z z z} | ~ { {( ) 3 , ( 3 ) , B A ( ) , ( , 3) x 3 x E F ( , 3 0) ( ,) ( 5 ,) D a

P�✁✂✄☎

❖✆✝✄✞❛✟✠✡ ✥☛✝✡t☞✌✆

▼✍✎✏✑▼✍✎✒✓✔

✶✕ ▲✖✗ ✘ ✙✖♥✚✗✖ ✗❡✖ ♠✛✗✜✢① ✣✣✤

✦✧✧★

✩✵✐✐✵✱ ✪✫✬✭✬ ✐✷ ✮ ✯✱ ✰✲❞ ✳✬✴ ✸ ❞✬✲✹✴✬ ✴✫✬ ✐❞✬✲✴✐✴✺ ✻✰✴✭✐✼ ✣✣

✤

✦✧✧★

✩✯✵✵✯✽ ✾✫✬✲

✸ ✿ ❀ ✿ ❀✷ ✿ ❷ ✿ ❀✷❁❂❁ ✐❃❄

❅❀❆ ✣✣✤

✦✧✧★

✩✵✵✵✵

❅❇❆ ✣✣✤

✦✧✧★

✩✵✐✐✵

❅❈❆ ✣✣✤

✦✧✧★

✩✯✐✐✯

❅❉❆ ✣✣✤

✦✧✧★

✩❊

❊✯✵✵✯

❋●s✕ ❍■❏

❙❑◆✕ ❀ ✮ ◗❘

❚❯❱

❲✵✐✐✵❳ ❀✷ ✮ ◗

❘

❚❯❱

❲❊

❊✯✵✵✯❳ ❀❨ ✮ ◗

❘

❚❯❱

❲❊❊✵✐✐✵❳ ✸ ✮ ◗

❘

❚❯❱

❲✯✵✵✯

✸ ✿ ❀ ✿ ❀✷ ✿ ❀❨ ✮ ◗❘

❚❯❱

❲✵✵✵✵

❳ ❀❩ ✮ ◗❘

❚❯❱

❲✯✵✵✯✮ ✸

✸ ✿ ❀ ✿ ❀✷ ✿ ❀❨ ✿ ❷✽✽ ❀✷❁❂❁

❅✸ ✿ ❀ ✿ ❀✷ ✿ ❀❨❆ ✿ ❀❩❅✸ ✿ ❀ ✿ ❀✷ ✿ ❀❨❆ ✿ ✽✽✽ ✿ ❀✷❁❁❬❅✸ ✿ ❀ ✿ ❀✷❆

✮ ❭❭❪

❫❴❴❵

❜❝❢❢❝

❣✕ ❤❥❦❦✹❃✬ ✴✫✬ ❃✐❞✬❃ ✹❧ ✰ ✴✭✐✰✲♦✳✬ ❧✹✭✻ ✰ ♦✬✹✻✬✴✭✐♣ ❦✭✹♦✭✬❃❃✐✹✲ ✪✐✴✫ ♣✹✻✻✹✲ ✭✰✴✐✹ ✭✽ ✾✫✬✲ ✭ ✳✐✬❃ ✐✲ ✴✫✬ ✐✲✴✬✭✈✰✳❄

❅❀❆qqr

✉✇✇②

③ ④⑤⑥⑦⑧⑨⑩ ❶❸❹

qqr

✉✇✇②

③ ④④⑥⑦⑥⑨

⑥⑦⑧ ❶❺❹

qqr

✉✇✇②

③ ④④⑤⑥⑦⑧⑨

⑥⑦⑧ ❶❻❹ ❼

❼❽

❾✇✇②

③❿④ ⑨

⑥⑦⑥

❋●s✕ ❍■❏❙❑◆✕

➀ ➀➁

➀➁➂

➃ ➄ ➃➅ ➆ ➃➅✷

➅✷ ➅ ⑧ ➇ ⑩

➅ ➈ ➉➉➊

➋➌➌➍

➎ ➏➐➑➒➓➔

➑➒➓ →➣➓↔

↕➙✷ ➛ ↕➙ ➜ ↕➙✷ ➛ ➙ ➓ ➜ ➝

➙ ➜➞➟➠➡➢ ➤ ➥ ➦

➞➟➠➢➢ ➧➨➩➞➫

➭➥✷ ➯ ➭ ➲ ➭➥ ➳ ➥✷ ➥ ➯ ➠ ➲ ➵ ➭➸➺➭➻➼ ➽➥➾➚➪➶➸➹➘➴➷ ➩➠➫ ➬ ➩➞➫

➥ ➮ ➱➱✃

❐❒❒❮

❰ ➡➢➞➠➟➤

➞➠➟

ÏÏÏÐÑÒÓÔÕÓÖÑÐÖ×Ô

Page 2: a tdownload.ssapunjab.org/sub/MathScience/KVYP/KVPY_2010...D d n p q t u v? ^ = x x _ d w > x ~ | z z z} | ~ { {( ) 3 , ( 3 ) , B A ( ) , ( , 3) x 3 x E F ( , 3 0) ( ,) ( 5 ,) D a

✸� ❚✁✂ ✄✉☎❜✂❡ ♦❢ ❡✂✥✆✝✄✞✟✂✠ ✆✁✝✆ ✥✝✄ ❜✂ ♦❜✆✝❛✄✂✡ ❜☛ ☞♦❛✄❛✄✞ ❢♦✉❡ ♦❢ ✆✁✂ ✆✌✂✟✍✂ ✍✂❡✆❛✥✂✠ ♦❢ ✝ ✎✏✑✠❛✡✂✡ ❡✂✞✉✟✝❡

♣♦✟☛✞♦✄ ❛✠✑

✭❆✮ ✒✒ ✭✓✮ ✔✕ ✭✖✮ ✏✗ ✭❉✮ ✎✘

✙✚s� ✛✜✢

❙✣✤� ◆✉☎❜✂❡ ♦❢ ✡❛✝✞♦✄✝✟✠ ♣✝✠✠❛✄✞ ✆✁❡♦✉✞✁ ✥✂✄✆❡✂ ✦ ✒

✄✉☎❜✂❡ ♦❢ ❡✂✥✆✝✄✞✟✂✠ ✦✻✖✷ ✦ ✎✘

✹� ✧✂✆ ■✱ ★ ✝✄✡ ★✷❜✂ ✆✁✂ ✥✉❜✂ ❡♦♦✆✠ ♦❢ ✉✄❛✆☛✳ ❚✁✂ ✟✂✝✠✆ ♣♦✠✠❛❜✟✂ ✡✂✞❡✂✂ ♦❢ ✝ ♣♦✟☛✄♦☎❛✝✟✱ ✌❛✆✁ ❡✂✝✟ ✥♦✂❢❢❛✥❛✂✄✆✠✱

✁✝✍❛✄✞ ✏★✷✱ ✔ ✩ ✗★✱ ✔ ✩ ✗★

✷✝✄✡ ✘ ★ ★

✷✝✠ ❡♦♦✆✠ ❛✠✑

✭❆✮ ✗ ✭✓✮ ✘ ✭✖✮ ✒ ✭❉✮ ✪

✙✚s� ✛✫✢

❙✣✤� ❡♦♦✆✠ ✬ ✏★✷✱ ✔ ✩ ✗★✱ ✔ ✩ ✗★

✷✱ ✘ ★ ★

✷

✯ ✰ ✲ ✴

✴ ✦ ✘ ✭★ ✩ ★✷✮ ✦ ✘ ✭ ✎✮ ✦ ✒

■❢ ✯ ✦ ✏★✷❛✠ ✝ ❡♦♦✆ ✆✁✂✄ ✏★ ✁✝✠ ✆♦ ❜✂ ✝ ❡♦♦✆ ✆♦♦✳

✆♦✆✝✟ ✬ ☎❛✄✳ ✘ ❡♦♦✆✠✱ ✁✂✄✥✂ ☎❛✄✳ ✡✂✞❡✂✂ ✬ ✘

✺� ❆ ✥❛❡✥✟✂ ✆♦✉✥✁✂✠ ✆✁✂ ♣✝❡✝❜♦✟✝ ☛✷✦ ✗① ✝✆ ✭✎✱ ✏✮ ✝✄✡ ✝✟✠♦ ✆♦✉✥✁✂✠ ❛✆✠ ✡❛❡✂✥✆❡❛①✳ ❚✁✂ ☛✑✥♦♦❡✡❛✄✝✆✂✠ ♦❢ ✆✁✂ ♣♦❛✄✆ ♦❢

✥♦✄✆✝✥✆ ♦❢ ✆✁✂ ✥❛❡✥✟✂ ✝✄✡ ✆✁✂ ✡❛❡✂✥✆❡❛① ❛✠✑

✭❆✮ ✵ ✭✓✮ ✏ ✭✖✮ ✵✵ ✭❉✮ ✗

✙✚s� ✛❈✢

❙✣✤�

✶✼✽✾✿

✶✼✽❀✿

✶ ✼✽❁✿

❂ ❃ ✼

☛✷✦ ✗①

✏☛❞❄

❞❅❇ ❊

❋● ❇②

❍❏

❍

❍❏ ❑

▲▼❖P❧◗ ✬ ❘ ❯ ❱❲ ❏ ❳

❨❩ ❯ ❑❬✷❯ ❨② ✯❬

✷❯ ❱❨❩ ❯ ❑❬ ❏ ❳ ❷❭❨❑❬

❪▼❫❫◗❖◗♥❴▼✐❴◗

❍❨❩ ❯ ❑❬ ❯ ❍❨② ✯❬❪❩

❪②❯ ❱ ❏ ❳

❩ ❏ ❑❵ ② ❏ ❍

❝ ❯ ❍❨❍ ✯❬ ❣● ❯ ❱ ❏ ❳

❱ ❏ ❍✯ ❤ ❷❭❨❍❬

❨❑ ❍❬ ▼ ❫▼ ❨❑❬

❥❥❥❦♠qrt✈r✇♠❦✇③t

Page 3: a tdownload.ssapunjab.org/sub/MathScience/KVYP/KVPY_2010...D d n p q t u v? ^ = x x _ d w > x ~ | z z z} | ~ { {( ) 3 , ( 3 ) , B A ( ) , ( , 3) x 3 x E F ( , 3 0) ( ,) ( 5 ,) D a

✥✷ � ✭✥ ✕✮✷ � ✥✙ ✁ ✂

✕✷

✄✕ � ☎ � ✥✭✥✕ ☎✮ ✁ ✂

✕✷✁ ☎

✕ ✁ ✥✥

✻✆ ▲✝✞ ✟✠✡ ☛✝ ☞✌ ✝❡✍✐✎☞✞✝r☞✎ ✞r✐☞✌♥✎✝✏ ✎✝✞ ✑▲✒✓ ☛✝ ☞ r✝✔✞☞✌♥✎✝ ✇✐✞t ✑✏ ▲ ♦✌ ✠✡✏ ✒ ♦✌ ✟✡ ☞✌❞ ✓ ♦✌ ✟✠❆

❙✍✖✖♦✗✝ ✟✓✘✓✠ ✁ ✥ ☞✌❞ ✞t✝ ☞r✝☞ ♦✚ ✞r✐☞✌♥✎✝ ✠✑✓ ✐✗ ✛❆ ✜t✝ ☞r✝☞ ♦✚ ✞t✝ ✞r✐☞✌♥✎✝ ✟✠✡ ✐✗✢

✭✟✮ ✣✄ ✭✠✮ ✤✂☎

✭✡✮ ✄☎ ✭✦✮ ✌♦✞ ❞✝✞✝r✧✐✌☞☛✎✝ ✇✐✞t ✞t✝ ☞☛♦✈✝ ❞☞✞☞

★✩s✆ ✪✫✬

✯✰✱✆

✲

◆ ▼

❇ ❈

✳✴✵

✳✴✵②

✶✸

✶✸ ✶✸

✸

✹❑

✺ ✁✥

①✼

✽ ✁✥

①

✺✽✥

✤✁ ✛✾ ①✷ ✁

✼

✄☎

✟r✝☞ ♦✚ ✿✟✠✡ ✁ ✛ � ✛ � ✥①✺ �❀

❁❂❀❃❄❂❀❃❄ ❅❉❊ ❋●➸

❍ ❁❀ ■❏

❖P❖❏ ◗ ❏❖✷

❏

P

❘❏ ◗ ❚❯ ❱P

❲❳❨ ❘❩❳

❬✆ ❭❪❫ ❴ ❵❪ ❛❜ ❛❝❵❢❫❝❛❝❣ ❤❥❢❜❫ ❥❜ ❫❦❪ ❪❧❧❢❤♠❪ ❘❵

❣

❛

❖♣

♣

♣

♣q✉ ③ ❛ ④ ❵ ④ ❩⑤ ⑥⑦❤❤❥♠❪ ⑧⑨ ❛❜⑩ ⑧♣ ❛❝❪ ❫❦❪ ❶❥❷❢ ❥❶ ❫❦❪

❪❧❧❢❤♠❪⑤ ❸❦❪ ❧❥❷⑦♠ ❥❶ ❫❦❪ ❷❪❜❫❝❥❢⑩ ❥❶ ❫❦❪ ❫❝❢❛❜❹❧❪ ❴⑧⑨⑧♣ ❛♠ ❴ ❺❥❻❪♠ ❥❜ ❫❦❪ ❪❧❧❢❤♠❪ ❢♠❼

❽❾❿ ❛ ❷❢❝❷❧❪ ❽➀❿ ❛ ❤❛❝❛❵❥❧❛ ❽➁❿ ❛❜ ❪❧❧❢❤♠❪ ❽➂❿ ❛ ❦❣❤❪❝❵❥❧❛

★✩s✆ ✪➃✬

✯✰✱✆ ❴ ➄ ❛ ❷❥♠ ➅③ ❵ ♠❢❜ ➅

➆ ➄ ➇➈

➉➊➋

➌ ➍➍

P

❣③

P

❖ ➎➎

⑧⑨ ➄ ❽❛❪③ ❩❿ ⑧♣ ➄ ❽ ❛❪③ ❩❿

❦ ❨P

❛❪❛❪❷❥♠❛ ➏➐➑➒ ❷❥♠ ➑ ❨

❛

❦P➓➓➓➔→➣↔↕➙↔➛→➔➛➜↕

Page 4: a tdownload.ssapunjab.org/sub/MathScience/KVYP/KVPY_2010...D d n p q t u v? ^ = x x _ d w > x ~ | z z z} | ~ { {( ) 3 , ( 3 ) , B A ( ) , ( , 3) x 3 x E F ( , 3 0) ( ,) ( 5 ,) D a

✥ ❂✸

s�✁❜ ✜❀ s�✁ ✜ ❂

❜

✥✸

✂✄s✷✜ ☎ s�✁✷✜ ❂ ✶

✶❜

✥✾

❛

❤✾✷

✷

✷

✷✣✎ ✚ ✶

✮✾✴❜✭

②

✮✾✴❛✭

①✆

✆

✆

✆✣✎

✭✝✞✞�♣s✟✮

✽✠ ❚❤✟ ✁✉♠❜✟r ✄♦ r✄✄✡s ✄♦ ✡❤✟ ✟❡✉❛✡�✄✁ ✂✄s✼✜ s�✁✹✜ ❂ ✶ ✡❤❛✡ ✞�✟ �✁ ✡❤✟ �✁✡✟rt❛✞ ❬☛✱ ☞✤❪ �s✌

✭❆✮ ☞ ✭✍✮ ✸ ✭✏✮ ✑ ✭❉✮ ✒

✓✔✕✠ ✖✓✗

❙✘✙✠ ✂✄s✼ ✜ ❂ ✶ ☎ s�✁✹ ✜ ✛ ✶ ❜✉✡ ✂✄s✼✜ ✦ ✶

s✄ ✂✄s ✜ ❂ ✶ ❀ s�✁ ✜ ❂ ☛

✜ ❂ ☛✱ ☞✤

✢✠ ❚❤✟ ♣r✄❞✉✂✡ ✭✶ ☎ ✡❛✁ ✶✧✮ ✭✶ ☎ ✡❛✁ ☞✧✮ ✭✶ ☎ ✡❛✁ ✸✧✮ ★✩ ✭✶ ☎ ✡❛✁ ✑✺✧✮ ✟❡✉❛✞s✌

✭❆✮ ☞✆✪

✭✍✮ ☞✆✆ ✭✏✮ ☞✆✫

✭❉✮ ☞✆✬

✓✔✕✠ ✖❈✗

❙✘✙✠ ✭✶ ☎ ✡❛✁✜✮ ✭✶ ☎ ✡❛✁✭✑✺ ✜✮✮ ❂ ✭✶ ☎ ✡❛✁✜✮ ✯✰

✲✳✵

✻

✿❁

✿❃❁

❄❅❇❊

❄❅❇❊❊ ❋ ●

❍❊ ■ ❄❅❇ ❊❏❑❍❊ ■ ❄❅❇ ▲▲❏❑ ❋ ● ▼❄❝

◆❖ P◗❖❘❯❝❄ ❋ ●✆✆ ❍❊ ■ ❄❅❇ ▲♥❏❑ ❋ ●✆✫

❱❲✠ ❳▼❄ ❢ ❨ ❩ ❭ ❩ ❫▼ ❅ ❘❴❢❢▼◗▼❇❄❴❅❫❧▼ ❢❯❇❝❄❴❖❇ ◆❯❝❵ ❄❵❅❄ ❢ ❍❅❑ ❋ ❣ ❋ ❢ ❍❫❑ ❅❇❘ ❢ ✐❍❅❑ ❢ ✐❍❫❑ ❥ ❣ ❢❖◗ ◆❖❦▼ ❅ q ❫✈ ✇❵▼❇

❄❵▼ ❦❴❇❴❦❯❦ ❇❯❦❫▼◗ ❖❢ ◗❖❖❄◆ ❖❢ ❢ ✐❍③ ❋ ❣ ❴❇ ❄❵▼ ❴❇❄▼◗④❅❧ ❍❅⑤ ❫❑ ❴◆⑥

❍⑦❑ ⑧ ❍⑨❑ ● ❍⑩❑ ❊ ❍❶❑ ❣

✓✔✕✠ ✖❷✗

❙✘✙✠ ❢ ✐❍❅❑ ✈ ❢ ✐❍❫❑ ❥ ❣

◆❖ ▼❴❄❵▼◗ ❫❖❄❵ ❅◗▼ P❖◆❴❄❴④▼ ❖◗ ❫❖❄❵ ❅◗▼ ❇▼❸❅❄❴④▼

❢❍❅❑ ❋ ❢❍❫❑ ❋ ❣

❹ ❺❻❼❽ ❾ ❿

➀ ➁

❹ ❺❻❼❽ ❾ ❿

● ◗❖❖❄◆

❱❱✠ ✇❵▼ ◗❖❖❄◆ ❖❢ ❍③ ▲❊❑✹➂■ ❍③ ▲➃❑

✹✪■ ❍③ ●❣❣➃❑

✆➄➄➂ ❋ ❣ ❅◗▼ ⑥

❍⑦❑ ❅❧❧ ❇▼❝▼◆◆❅◗❴❧➅ ◗▼❅❧

❍⑨❑ ❇❖❇⑥◗▼❅❧ ▼③❝▼P❄ ❖❇▼ P❖◆❴❄❴④▼ ◗▼❅❧ ◗❖❖❄

❍⑩❑ ❇❖❇⑥◗▼❅❧ ▼③❝▼P❄ ❄❵◗▼▼ P❖◆❴❄❴④▼ ◗▼❅❧ ◗❖❖❄◆

❍❶❑ ❇❖❇⑥◗▼❅❧ ▼③❝▼P❄ ❢❖◗ ❄❵◗▼▼ ◗▼❅❧ ◗❖❖❄◆ ❖❢ ➆❵❴❝❵ ▼③❅❝❄❧➅ ❖❇▼ ❴◆ P❖◆❴❄❴④▼

✓✔✕✠ ✖❷✗

❙✘✙✠ ❍③ ▲❊❑✹➂■ ❍③ ▲➃❑

✹✪■ ❍③ ●❣❣➃❑

✆➄➄➂ ❋ ❣

❢❍③❑ ❋ ❍③ ▲❊❑✹➂■ ❍③ ▲➃❑✹

✪■ ❍③ ●❣❣➃❑✆

➄➄➂

❢ ✐ ❍③❑ ❋ ▲➃❍③ ▲❊❑✹➇ ■ ▲❊❍③ ▲➃❑✹➄■ ●❣❣➃ ❍③ ●❣❣➃❑✹➇ ❥ ❣

❵▼❇❝▼ ❢❍③❑ ➆❴❧❧ ❝❯❄ ③⑥❅③❴◆ ❖❇❧➅ ❖❇❝▼✈

❊ ❧

➈➈➈➉➊➋➌➍➎➌➏➊➉➏➐➍

Page 5: a tdownload.ssapunjab.org/sub/MathScience/KVYP/KVPY_2010...D d n p q t u v? ^ = x x _ d w > x ~ | z z z} | ~ { {( ) 3 , ( 3 ) , B A ( ) , ( , 3) x 3 x E F ( , 3 0) ( ,) ( 5 ,) D a

✶�✳ ❚✁✂ ❢✐✄☎✆✂ ✝✁✞✟✠ ✥✂❧✞✟ ✐✝ ✡✁✂ ✄✆❛☛✁ ✞❢ ✡✁✂ ❤✂✆✐r❛✡✐r✂ ✞❢ ✝✞♦✂ ❢☎✠❝✡✐✞✠ ☞ ✌ ❢ ✧✭✍✮✎

② ✏ ✑ ✒✓✔✕

✖ ❜ ✗

❚✁✂✠✲

✭❆✮ ❢ ✁❛✝ ❧✞❝❛❧ ♦✐✠✐♦❛ ❛✡ ✍ ✌ ❛① ✥ ❛✠❤ ❛ ❧✞❝❛❧ ♦❛✍✐♦☎♦ ❛✡ ✍ ✌ ❝

✭❇✮ ❢ ✁❛✝ ❧✞❝❛❧ ♦✐✠✐♦❛ ❛✡ ✍ ✌ ✥① ❝ ❛✠❤ ❛ ❧✞❝❛❧ ♦❛✍✐♦☎♦ ❛✡ ✍ ✌ ❛

✭❈✮ ❢ ✁❛✝ ❧✞❝❛❧ ♦✐✠✐♦❛ ❛✡ ✍ ✌ ❝① ❛ ❛✠❤ ❛ ❧✞❝❛❧ ♦❛✍✐♦☎♦ ❛✡ ✍ ✌ ✥

✭❉✮ ✡✁✂ ✄✐r✂✠ ❢✐✄☎✆✂ ✐✝ ✐✠✝☎❢❢✐❝✐✂✠✡ ✡✞ ❝✞✠❝❧☎❤✂ ❛✠☞ ✡✁✐✠✄ ❛✥✞☎✡ ✡✁✂ ❧✞❝❛❧ ♦✐✠✐♦❛ ❛✠❤ ❧✞❝❛❧ ♦❛✍✐♦❛ ✞❢ ❢

✘✙s✳ ✚✛✜

❙✢✣✳ ❢ ✧✭❛✮ ✌ ❢ ✧✭✥✮ ✌ ❢ ✧✭❝✮ ✌ ✤

✦✫★★✩✪✬★✬✪♠✵✯✦✰✱✵✯✦✰✱

✵✯★✰✱✵✯★✰✱✴✷

✸

✹✺✻✺

✹✺✻✺✼✽

✼✽

❢ ✧✭✥❹✮ ✾ ✤ ❢ ✧✭✥

✿✮ ❁ ✤ ❪ ♦❛✍✎ ❛✡ ✥✎

✶❀✳ ❚✁✂ ❢✞❧❧✞✟✐✠✄ ❢✐✄☎✆✂ ✝✁✞✟✝ ✡✁✂ ✄✆❛☛✁ ✞❢ ❛ ❝✞✠✡✐✠☎✞☎✝ ❢☎✠❝✡✐✞✠ ☞ ✌ ❢✭✍✮ ✞✠ ✡✁✂ ✐✠✡✂✆r❛❧ ❬❂① ❃❪✎ ❚✁✂ ☛✞✐✠✡✝ ❆①

❇① ❈ ✁❛r✂ ❝✞✞✆❤✐✠❛✡✂✝ ✭❂① ❂✮① ✭❃① ❄✮① ✭❄① ❃✮ ✆✂✝☛✂❝✡✐r✂❧☞① ❛✠❤ ✡✁✂ ❧✐✠✂✝ ▲❅ ❛✠❤ ▲❊ ❛✆✂ ☛❛✆❛❧❧✂❧① ✟✐✡✁ ▲❅ ✥✂✐✠✄

✡❛✠✄✂✠✡ ✡✞ ✡✁✂ ❝☎✆r✂ ❛✡ ❈✎ ❋❢ ✡✁✂ ❛✆✂❛ ☎✠❤✂✆ ✡✁✂ ✄✆❛☛✁ ✞❢ ☞ ✌ ❢✭✍✮ ❢✆✞♦ ✍ ✌ ❂ ✡✞ ✍ ✌ ❃ ✐✝ ● ✝❍☎❛✆✂ ☎✠✐✡✝① ✡✁✂✠ ✡✁✂

❛✆✂❛ ✞❢ ✡✁✂ ✝✁❛❤✂❤ ✆✂✄✐✞✠ ✐✝✲

■❏❑▼◆❖

❏◆▼❑❖

P

◗❏❘▼❘❖

❯❱

❯❲

❳❨❩❏❭❖

❘ ◆

✭❆✮ ❄ ✭❇✮ ❃ ✭❈✮ ● ✭❉✮ ❫

✘✙s✳ ✚✘✜

❙✢✣✳ ❴❍☎❛✡✐✞✠ ✞❢ ❵❊ ❞ ☞ ❂ ✌ ✮❂✍✭❂❃

❂❄❡

❡

❡

❄☞ ❄ ✌ ✍ ❂

❄☞ ✍ ✌ ❂

❣ ✝❧✞☛✂ ✞❢ ❵❅ ✌ ❂❥❄

❴❍☎❛✡✐✞✠ ✞❢ ❵❅ ✌ ☞ ❃ ✌❄

❂✭✍ ❄✮

❄☞ ❦ ✌ ✍ ❄

❄☞ ✍ ✌ ●

❉❞ ♥♣

qt✉

✈

❄

❫①❂ ① ❴ ❞ ♥

♣

qt✉

✈

❄

✇①❃

③③③④⑤⑥⑦⑧⑨⑦⑩⑤④⑩❶⑧

Page 6: a tdownload.ssapunjab.org/sub/MathScience/KVYP/KVPY_2010...D d n p q t u v? ^ = x x _ d w > x ~ | z z z} | ~ { {( ) 3 , ( 3 ) , B A ( ) , ( , 3) x 3 x E F ( , 3 0) ( ,) ( 5 ,) D a

✭�✱✸✮

✭✸✱�✮❇

❆✭✁✱✁✮

✭✸✱✂✄�✮

①☎✸

①☎✁ ❊

❋✭✸✱✵✮✭✁✱✵✮✆�

✭✁✱✺✄�✮ ❉

❛✝✞❛ ✉✟✠✞✝ ❢✡☛☞ ✥ ✌s✍❛✠✞✠ ❛✝✞❛ ✥ ❛✝✞❛ ♦❢ ✎✝❛♣✞❡✐✉♠ ✏✑✒✓ ❛✝✞❛ ✉✟✠✞✝ ❢✡☛☞

✥ ✔✕✖✗

✘✙ ✚ ✷

✼✷✛

✷✶ ✜ ✷ ✌

✥ ✻ ✌ ✥ ✷

✢✣✳ ✤✞✎ ■♥ ✥ ✪✦

✧★ ❞✩✫✩✬✯✰✲ ✴ ✹✽✾✿✾ ❀ ❁❂ ❃ ❀✰❀❄❀✾✲❃❅❁❈✾ ❁❀❅✾✲✾✿● ❍✽✾❀ ❏❑✧✧✦ ▲▼◆◆ ❏❑✧✦✧ ❁❂ ✾❖P❃✯ ❅✰❄

✬◗✫ ❏✦✧✧✧ ❘ ❙❙❙ ❏❚❚❯ ✬❱✫ ❏❯❚✧ ❘ ❲❙▼ ❏❯❯❚✬❳✫ ❏✦✧✧ ❘ ◆▼▼ ❏❚❚ ✬❨✫ ❏❩❬ ❘ ❭❪ ❏❩❑

❫❴❵✳ ❜❝❣

❤❥❦✳ ❏★ ❧ qr

t ✈✇

✈✈ ②③④③⑤⑥⑦⑧⑨⑩

❶✇ ❷ ⑤⑥⑦⑧ ③④✇ ❸❹❺ q

❻❸

❹

❹❼❽❺❺❾❺

❿❺➀➁➂➃➄

➅❼ ➆ ➇ ➈ ➄ ➅❼➉❹➅❼ ➊ ➄ ➅❼➉❹ ➆ ➇➅➋➌➌❹ ➍ ➋➌❹❹ ➅➋➌❹➌ ➆ ➇➅❹➌➌ ➊ ➎➈➈ ➅➏➏ ➆ ➇

✢➐✳ ➑➂➄➒➓❽➇➔ →➣➇ ➔➇➃➓➂➄➒ ↔ ➆ ↕➀❺➙ ➛❿ ➜ ❺➋ ➊ ➛➋ ➝ ➎➈➈➞ ➟➄❽ ➆ ↕➀❺➙ ➛❿ ➜ ➒➓➄ ➀❺ ➊ ➛❿ ➠ ➈➞ ➓➄ →➣➇ ➡➁➟➄➇❾ ➢➣➇➄ →➣➇ ➟➔➇➟➂➤ →➣➇ ➔➇➃➓➂➄ ↔ ➥ ➦ ➓➒➧➀↔❿ ➎➈ ➨ ➀➦❿ ➎➈➈ ➀➑❿ ➎➈➈ ➨ ➀➩❿ ➫➈ ➨

❫❴❵✳ ❜➭❣❤❥❦✳ ❺➋ ➊ ➛➋ ➝ ➎➈➈ ➯ ➓➄➒➓❽➇ ➂➤ ➟ ➲➓➔➲➁➇

➒➓➄➀❺ ➊ ➛❿ ➠ ➈❺ ➊ ➛ ➳ ➀➈➙ ➨❿ ➵ ➀➸➨➙ ➺➨❿ ➻❾❾❺ ➊ ➛ ➆ ➲ ➯ ➇➼➽➟→➓➂➄ ➂➤ ➟ ➁➓➄➇

➾➾➾➚➪➶➹➘➴➹➷➪➚➷➬➘

Page 7: a tdownload.ssapunjab.org/sub/MathScience/KVYP/KVPY_2010...D d n p q t u v? ^ = x x _ d w > x ~ | z z z} | ~ { {( ) 3 , ( 3 ) , B A ( ) , ( , 3) x 3 x E F ( , 3 0) ( ,) ( 5 ,) D a

✹✤ ✸✤ ✷✤ ✤ ✤ ✷✤ ✸✤ ✹✤

✶�✶�

�

r❡q✁✐r❡✂ ✄r❡✄ ❂ ☎✆✄✂❡✂ r❡❣✐♦✝ ❂✞

✟✠✭✟✡✮

☛❂ ✥✡ ✠

☞✌✳ ❚✆r❡❡ ✍❡r✎✐✏❡☎ ✄r❡ ✏✆♦☎❡✝ r✄✝✂♦♠✑✒ ✓r♦♠ ✎✆❡ ☎❡✍❡✝ ✍❡r✎✐✏❡☎ ♦✓ ✄ r❡❣✁✑✄r ✔✕☎✐✂❡✂ ♣♦✑✒❣♦✝✖ ❚✆❡ ♣r♦✗✄✗✐✑✐✎✒

✎✆✄✎ ✎✆❡✒ ✓♦r♠ ✎✆❡ ✍❡r✎✐✏❡☎ ♦✓ ✄✝ ✐☎♦☎✏❡✑❡☎ ✎r✐✄✝❣✑❡ ✐☎✕

✭✘✮✔

✟✭✙✮

✚

✟✭✛✮

✔

✚✭✜✮

✥

✚

❆✢s✳ ✣❉✦

❙✧★✳

✩

●

❋

❊ ✪

❈

❇

✫✘✬✙✯ ✫✘✰✛ ✱ ✫✘✲✜ ✄r❡ ✐☎♦☎✏❡✑❡☎

✴ ❂

✵✼✺

✼

✛

✚✛ ✻❂

✽✾

✿❀❁

✾❁

❃

❃❃

❃❄

✿

✾

☞❅✳ ❍■❏ ❦❑❥❑▲❑▼✉ ◆❖P◗

❘ ❦❑▼❥❑❯✈ ◆❖P◗

❱■ ❲■❳❏❨❩❬ ❭❪ ❫✵❴❪❵ ✇

❛❱■ ❴ ❜❪❭❏ ❲■❳❏❨❩ ❭❪ ❏❝■ ❞❢❤❧♥❴❪■t ①❝■❪ ❏❝■ ②❴❞❭②❜②

❧❨❬❬❭❱♥■ ❲❴♥❜■ ❨③ ⑤ ④ ⑥❛⑦ ⑧

❛⑨ t ✇

❛⑤ ❭❬❤

④⑩⑨ ❶ ④❷⑨ ❸✽ ④❹⑨ ❺❯ ④❻⑨ ❺❼

❆✢s✳ ✣❉✦

❙✧★✳ ❽❾❿❿

➀ ➁ ➂➃➄➅➆➄➇➈➂➃➄➆➄➉➄➅➈ ➊➋➀➊➋

➉➄➇➉➄➅➆➄➌➃➄➍ ➊➋➋➋ ➁ ➃➄➍➆➄➌➉➄ ➋➋

➎➏➐ ➑❿

➁ ➆➄➒➉➄➓ ➊ ➓➔→ ➒

➔➁ ➣ ➓ ➁ ↔↕➙ ➛ ➜ ➒ ➁ ➙➉➝➛

➞➟➠➡➢➢➢

➤ ➥ ➦ ➧➨ ➥ ➩➫➭ ➯ ➧ ➭➲➳ ➯

➵➦➸➟ ➠➦➺➡➻ ➥➔➔➼➧➽➾ ➚➪ ➥ ❺❼

➶➶➶➹➘➴➷➬➮➷➱➘➹➱✃➬

Page 8: a tdownload.ssapunjab.org/sub/MathScience/KVYP/KVPY_2010...D d n p q t u v? ^ = x x _ d w > x ~ | z z z} | ~ { {( ) 3 , ( 3 ) , B A ( ) , ( , 3) x 3 x E F ( , 3 0) ( ,) ( 5 ,) D a

✶�✳ ❍✁✂ ♠✄☎✆ ✥✝✞✟❞✝✐✝✠ ☎✡♠❜❡r✥ ✄r❡ ✠t❡r❡ ✝☎ ✂t✝☛t ☎✁ ❞✝✐✝✠ ✝✥ r❡☞❡✄✠❡❞✌ ❡✍❡☎ ❞✝✐✝✠✥ ✄☞☞❡✄r ✄✠ ❡✍❡☎ ☞❧✄☛❡✥✌ ✁❞❞

❞✝✐✝✠✥ ✄☞☞❡✄r ✄✠ ✁❞❞ ☞❧✄☛❡✥ ✄☎❞ ✠t❡ ☎✡♠❜❡r ✝✥ ❞✝✍✝✥✝❜❧❡ ❜✆ ✎ ❄

✭❆✮ ✏✑✵✵ ✭✒✮ ✓✔✵✵ ✭✕✮ ✓✖✑✵ ✭❉✮ ✖✎✎✵

✗✘s✳ ✙✚✛

❙✜✢✳ ✂✄✆✥✓✂✄✆✥✺✂✄✆✥✎✂✄✆✥✎✂✄✆✥✏✂✄✆✥✏

✭✖✌✏✌✺✌✔✌✱✮ ✭✓✌✑✮

✏ ✸ ✏ ✸ ✎ ✸ ✎ ✸ ✺ ✸ ✓ ✷ ✖✎✎✵

✶✣✳ ❚t❡ ☎✡♠❜❡r ✁♦ ☎✄✠✡r✄❧ ☎✡♠❜❡r✥ ☎ ✝☎ ✠t❡ ✝☎✠❡r✍✄❧ ❬✖✵✵✺✌ ✓✵✖✵✤ ♦✁r ✂t✝☛t ✠t❡ ☞✁❧✆☎✁♠✝✄❧ ✖ ✰ ✞ ✰ ✞✦ ✰ ✞✧ ✰ ★✩ ✞♥✪✫

❞✝✍✝❞❡✥ ✠t❡ ☞✁❧✆☎✁♠✝✄❧ ✖ ✰ ✞✦ ✰ ✞✧ ✰ ✞✹ ✰ ★✩ ✰ ✞✦✬✫✬ ✝✥✟

✭❆✮ ✵ ✭✒✮ ✖✵✵ ✭✕✮ ✺✵✏ ✭❉✮ ✖✵✵✑

✗✘s✳ ✙❈✛

❙✜✢✳ ✖ ✰ ✞✦ ✰ ✞✹ ✰ ★✩✩ ✞✦✬✫✬ ✷ ✯

✯✲✴✯

✞✖

✮✞✖✭✖

✻

✻✷

✼①✽✼✾①✽✾

✼①✽✼✾①✽✾ ✿❀❀❁✿❀❀❁

❂❃

❂❃

❅ ❇❇

❊

❋

●●

■

❏

❑

❑❇❇

❊

❋

●●

■

❏

▲

▲❑

▼◆❖P

▼◆❖P

▼◆❖P

▼◆❖P▼◆❖P

◗❘❯◗❘❯❱❘❘❲

❅ ✾✽ ❳ ①❱❘❘❲✼✾✽ ❳ ① ❳ ①❨ ❳ ❩❭ ①◗❘❨✼✾✽ ① ❳ ①❨ ①❯ ❳ ❩❭ ①

◗❘❨✼

❪❫❴❵ ❴❵ ❛❴✈❴❵❴❝❢❣ ❝❤ ✽ ❳ ① ❳ ①❨ ❳ ❩❭❭ ①❥❦❱

❴♣ q ✽ ❅ ✉✇②

q ❅ ✉✇③

④⑤✳ ⑥❣❪ ⑦❘ ❅ ✇ ⑦q❛ ⑦⑧ ❅ ③⑦❥❦❱ ❳ ✽ ♣⑨⑩ q ❶ ✽❭ ❷❫❣q ❪❫❣ ⑩❣❸⑦❴q❛❣⑩ ⑨❝❪⑦❴q❣❛ ❛❴✈❴❛❴q❹ ⑦❨❘❱❘ ❝❤ ✽✽ ❴❵❺

✾❻✼ ✇ ✾❼✼ ❽ ✾❾✼ ③ ✾❿✼ ➀

✗✘s✳ ✙✗✛

❙✜✢✳ ⑦❥ ❅ ③⑦❥❦❱ ❳ ✽

⑦❨❘❱❘ ❅ ③⑦❨❘❘➁ ❳ ✽

❅ ③✾③⑦❨❘❘➂ ❳ ✽✼ ❳ ✽ ❅ ③❨ ⑦❨❘❘➂ ❳ ③ ❳ ✽

❅ ③❯ ⑦❨❘❘➃ ❳ ③ ❳ ③ ❳ ✽

❭

❭

❭

❭

③❨❘❱❘

⑦❘ ❳ ➄➅➄➆➇➈➉➊➋➌➍➎➎➏

➐➑➒➒➒➑➑➓ ➔➔ → ➣

↔ ↕ → ➙↕➛➜ → ➣ ↔ ➙↕➛➝

➞➟➠➡➢➤➥➟➦ ➧➨

➩➫➭

➯

➣➣

➙↕➛➝↔ ↕

➲➲➲➳➵➸➺➻➼➺➽➵➳➽➾➻

Page 9: a tdownload.ssapunjab.org/sub/MathScience/KVYP/KVPY_2010...D d n p q t u v? ^ = x x _ d w > x ~ | z z z} | ~ { {( ) 3 , ( 3 ) , B A ( ) , ( , 3) x 3 x E F ( , 3 0) ( ,) ( 5 ,) D a

P�✁✂✄☎✂

✷✆✳ ❆ ✝✞✟ ✠✡ ♠☛ss ✥♠✥ ✬s ☞✌✬✟✐ ✠✟ ☛ ✝✬✞❡✞ ✠✡ ✝☛✝✞✍ ✠✡ ♠☛ss ✎ ✝☞☛❡✞❛ ✠✟ ☛ ✍✠✉✐✏ t☛✑☞✞✒ ✓✡ t✏✞ ❡✠✞✡✡✬❡✬✞✟t ✠✡✡✍✬❡t✬✠✟ ✑✞t♥✞✞✟ t✏✞ ✝✞✟ ☛✟❛ ✝☛✝✞✍✱ ☛✟❛✱ t✏✞ ✝☛✝✞✍ ☛✟❛ t☛✑☞✞ ☛✍✞ ✔✶ ☛✟❛ ✔✕✱ ✍✞s✝✞❡t✬✖✞☞✌✱ t✏✞✟ t✏✞ ♠✬✟✬♠✉♠✏✠✍✬✗✠✟t☛☞ ✡✠✍❡✞ ♥✬t✏ ♥✏✬❡✏ t✏✞ ✝☛✝✞✍ ✏☛s t✠ ✑✞ ✝✉☞☞✞❛ ✡✠✍ t✏✞ ✝✞✟ t✠ st☛✍t s☞✬✝✝✬✟✐ ✬s ✐✬✖✞✟ ✑✌✲✭❆✮ ✭♠ ✘ ✎✮ ✭✔✶ ✘ ✔✕✮ ✐ ✭✙✮ ✭♠✔✶ ✘ ✎✔✕✮✐✭✚✮ ④♠✔✶ ✘ ✭♠ ✘ ✎✮ ✔✕⑥ ✐ ✭✛✮ ♠✭✔✶ ✘ ✔✕✮ ✐

✜✢✣✳ ✤✜✦

❙✧★✳

✩▼ ❋

➭✪➭✫

✯✠✍ ✝✞✟ t✠ st☛✍t s☞✬✝✝✬✟✐ ♠☛①✬♠✉♠ ✏✠✍✬✗✠✟t☛☞ ✡✠✍❡✞ ✠✟ ✬t ✬s ✡ ✰ ✔✶♠✐✴ ☛ ✰ ✔✶✐ ✬s t✏✞ ♠☛①✬♠✉♠ ❡✠♠♠✠✟ ☛❡❡✞☞✞✍☛t✬✠✟ ✡✠✍ ✑✠t✏ ✝✞✟ ☛✟❛ ✝☛✝✞✍✯✒✙✒✛✒ ✡✠✍ ✑✠t✏ ✝✞✟ ☛✟❛ ✝☛✝✞✍

◆✵✸

❲✵

❢✵ ❢✵ ✹ ✺◆✵ ✻ ◆✵ ✹ ❲✵

✼ ❢✵ ✹ ✺✵ ✸✽

✾

◆✿

❲✵

❢✵

❢✿

❀

❁

✼ ❂❃ ❄ ❂❅ ❇ ❲❅

❁ ❢✵ ❢✿ ✹ ✾❀

❀❈❉❊ ❢✿ ✹ ✺✿◆✿ ✹ ✺✿●✸ ❍ ✾■✽

◆✵

✴ ✯ ✰ ✡✶ ✘ ✡✕ ✘ ✎☛✯ ✰ ✔✶♠✐ ✘ ✔✕✭♠ ✘ ✎✮✐ ✘ ✎✭✔✶✐✮✴ ✯ ✰ ✭♠ ✘ ✎✮✭✔✶ ✘ ✔✕✮ ✐

✷✷✳ ❚♥✠ ♠☛ss✞s ♠✶ ☛✟❛ ♠✕ ❡✠✟✟✞❡t✞❛ ✑✌ ☛ s✝✍✬✟✐ ✠✡ s✝✍✬✟✐ ❡✠✟st☛✟t ❏ ✍✞st ✠✟ ☛ ✡✍✬❡t✬✠✟☞✞ss s✉✍✡☛❡✞✒ ✓✡ t✏✞♠☛ss✞s ☛✍✞ ✝✉☞☞✞❛ ☛✝☛✍t ☛✟❛ ☞✞t ✐✠✱ t✏✞ t✬♠✞ ✝✞✍✬✠❛ ✠✡ ✠s❡✬☞☞☛t✬✠✟ ✬s✲

✭❆✮ ❚ ✰ ❑▲ ❖❖◗

❘❯❯❱

❳❨ ✕✶

✕✶♠♠

♠♠❏❩ ✭✙✮ ❚ ✰ ❑❬ ❖❖

◗

❘❯❯❱

❳ ❨

✕✶✕✶

♠♠♠♠❏

✭✚✮ ❚ ✰ ❑❬ ❭❪❫❴

❵❜

❦❝✶ ✭✛✮ ❚ ✰ ❑❬ ❭

❪❫❴

❵❜

❦❝✕

✜✢✣✳ ✤✜✦

❙✧★✳

❞❣❤ ❣❥❧❥❧❤

♦✞t t✏✞ ♠☛ss✞s ✑✞ s☞✬✐✏t☞✌ ❛✬s✝☞☛❡✞❛ ✑✌ ①✶ ☛✟❛ ①✕ ✡✍✠♠ t✏✬s ✞♣✉✬☞✬✑✍✬✉♠ ✝✠s✬t✬✠✟ ✬✟ ✠✝✝✠s✬t✞ ❛✬✍✞❡t✬✠✟ s✠ ✟✞tst✍✞t❡✏ ✬✟ s✝✍✬✟✐ ✬s ① ✰ ①✶ ✘ ①✕✒ ✙✞❡☛✉s✞ ✠✡ t✏✬s ☛ ✍✞st✠✍✬✟✐ ✡✠✍❡✞ ❏① ♥✬☞☞ ☛❡t ✠✟ ✞☛❡✏ ♠☛ss ☛✟❛ t✏✞✍✞✡✠✍✞✞♣✉☛t✬✠✟ ✡✠✍ ♠✶ q ♠✕ ♥✬☞☞ ✑✞

♠✶ ✕✶

✕

❛t①❛

✰ ❏① ☛✟❛ ♠✕ ✕✕

✕

❛t①❛

✰ ❏①

✑

rrr✈✇②③⑤⑦③⑧✇✈⑧⑨⑤

Page 10: a tdownload.ssapunjab.org/sub/MathScience/KVYP/KVPY_2010...D d n p q t u v? ^ = x x _ d w > x ~ | z z z} | ~ { {( ) 3 , ( 3 ) , B A ( ) , ( , 3) x 3 x E F ( , 3 0) ( ,) ( 5 ,) D a

✮ ✷

✷

❞�

①❞✥ ✷

✷✷

✷✶

✷

❞�

①❞

❞�

①❞✎

r❡♣✁❛✂✄♥☎ ✆❛✁❧❡✝ ✞✟ ✷✶

✷

❞�

①❞❛♥❞ ✷

✷✷

❞�

①❞✟r✞✠ ❛✂✂❡✁❡r❛�✄✞♥ ❡✡❧❛�✄✞♥✝ ✇❡ ☎❡�

✷✷

✷

❞�

①❞✥ ☛

☛☞

✌✍✍✏

✑✒✓

✔✕ ♠

✖

♠

✖✗✘

✙✚✛♦ ✐❢✕♠

✖✜

✔♠

✖✢✣

✤✦❤✧★ ♠ ✐✛ ✦❤✧ ✧❢❢✧✩✦✐✪✧ ♠✙✛✛ ✐★ ✦❤✐✛ ✩✙✛✧ ✦❤✧t✧❢♦t✧

✫

✫

✬✦

✘✬✢ ✭✫✘ ✢

♠

✗✘✓♦t ✭

✫✢♠

✗✙★✬ ✯ ✢

✭

✰✱

✲ ✯ ✢❦

✳✴✵ ✢

✸✹✺✺✻

✺✺✼

✽✾

✽✾

✿❀

❁❂❃ ❆ ❄❅❇❈ ❉❊ ✺❇ss ✺ ❋s ❇●●❇❝❍❅❈ ●❉ ●❍❅ ✺❋❈■❏❉❋❑● ❉❊ ❇ ●❇✉●▲ ▼❅❋❣❍●◆❅ss s●❖❋❑❣ ❉❊ ◆❅❑❣●❍ P ❇❑❈ ❏◆❇❝❅❈ ❉❑ ❇

❊❖❋❝●❋❉❑◆❅ss ❍❉❖❋◗❉❑●❇◆ ●❇❄◆❅❘

❚ ❚

❙

❯

❱❑❈❅❖ ❇ s✺❇◆◆ ●❖❇❑s❲❅❖s❅ ❈❋s❏◆❇❝❅✺❅❑● ❳▲ ❇s s❍❉▼❑▲ ❋❊ ●❍❅ ●❅❑s❋❉❑ ❋❑ ●❍❅ s●❖❋❑❣ ❋s ❨▲ ●❍❅❑ ●❍❅ ❊❖❅❩✉❅❑❝❬ ❉❊

❉s❝❋◆◆❇●❋❉❑ ❋s■

✻❆✹❭✳

❪✴

✴

❫

✵✻❴✹

❭✳

❪❵

✴

❫

✵✻❜✹

✳

❪❵

✴

❫

✵✻❥✹

✳

❪✴

✴

❫

✵

q✈②❃ ③④⑤

⑥⑦⑧❃

⑨ ⑨

⑩

❶❷ ❷

❸❅● ●❍❅ ❇❑❣◆❅ ❉❊ ❨ ▼❋●❍ ●❍❅ ❲❅❖●❋❝❇◆ ❄❅ ❹ ●❍❅❑❺❘❴❘❥❘

❻❼❽❾❿ ❻❼❽❾❿

❻➀➁❼❿❻➀➁❼❿

➂ ✼❨ ❝❉s❹ ➃ ✺❇

❇◆s❉ ❝❉s ❹ ➃➄

➄

✼❳

❳

➅➆

➇➈➉

➊✿

P

❣❋❲❅❑ P ➋ ➋ ❳ ➂➌

➍❳➌

➄➄

➄ PP✿

➎➎➎➏➐➑➒➓➔➒→➐➏→➣➓

Page 11: a tdownload.ssapunjab.org/sub/MathScience/KVYP/KVPY_2010...D d n p q t u v? ^ = x x _ d w > x ~ | z z z} | ~ { {( ) 3 , ( 3 ) , B A ( ) , ( , 3) x 3 x E F ( , 3 0) ( ,) ( 5 ,) D a

✮ ✥ �

✂✄

☎✆✝

✞

✟

✷♠

❚✁✷

✠✡☛☞✌❛✍✎✏☞ ✑✎✌☛ ❢✒r r☞✑✍✒r✎☛✌ ❢✒r❝☞❡

✒r ❛ ♦ ✁♠

❚✹✓✔

✕✖✗

✘✙

✚❛❧✑✒ ✍s✎✑ ✎✑ ✑✎♠✎❧❛r ✍✒ ✍s☞ ☞✛✉❛✍✎✒☛ ✒❢ ✜✢✣ ✎✤☞✤ ❛ ♦ ✦

✧✁

★ ✦ ♦✩✪

✫✬✭ ❢ ♦

✯

✦

✷

★ ❢ ♦✩✪

✫✬

✰

✶

✱

✲✳✴ ❆ ❝✒♠☞✍ ✡❛✑✑✉♠☞❞ ✍✒ ❜☞ ✎☛ ❛☛ ☞❧❧✎✵✍✎❝❛❧ ✒r❜✎✍ ❛r✒✉☛❞ ✍s☞ ✑✉☛❡ ✎✑ ❛✍ ❛ ❞✎✑✍❛☛❝☞ ✒❢ ✸✤✹ ❆✺ ❢r✒♠ ✍s☞ ✑✉☛ ❛✍ ✍s☞✵☞r✎s☞❧✎✒☛✤ ✻❢ ✍s☞ ✍✎♠☞ ✵☞r✎✒❞ ✒❢ ✍s☞ ❝✒♠☞✍ ✎✑ ✐✷✼ ✽☞❛r✑✾ ✇s❛✍ ✎✑ ✍s☞ ❛✵s☞❧✎✒☛ ❞✎✑✍❛☛❝☞ ❄ ❆✺ ✿ ❆✑✍r✒☛✒♠✎❝❛❧✺☛✎✍✤✡❆❡ ✼✸ ❆✺ ✡❀❡ ✷✼ ❆✺ ✡❁❡ ✹❂✤❃ ❆✺ ✡❉❡ ✷✹✤❃ ❆✺

❅❇❈✴ ❊❋●

❙❍■✴

❏❑♥ ▲

②

▼◆❖P❯

★r ♦✷

✽✹✤✸ ◗

❛❧✑✒

❘

❘

❱

❚

❚✓✓✔

✕✖✖✗

✘♦

❲

❘

❱

r

r✓✓✔

✕✖✖✗

✘❜✽ ❳☞✵❧☞r❨✑ ❧❛✇ ✒❢ ✍✎♠☞❩ ✵☞r✎✒❞✑ ✡❚❱✾ r❱ ❛r☞ ✍❛t☞☛ ❢✒r ☞❛r✍s❡

★

❘

✽✐✷✼

✽✐✓✓✔

✕✖✖✗

✘♦

❬

❭❪❫

❴❵❣❤

❭❪❥

❦❦❦❦

♣

q

✈✈✈✈

①

③

❦♣

q✈①

③ ④

⑤⑥⑦⑧⑨⑩❶ ❷❸ ❶❸❹ ❴ ❺ ❵❻❣❼ ❭❪

✲❽✴ ❾❿❸ ➀⑨➁➀➂⑨❹ ⑤❿⑥❷⑩ ➀⑥⑩⑤⑨⑤❹⑤ ⑥➃ ➄ ⑤❷⑨❹➀❿ ➅➆➇➈ ➄ ➉➄❹❹❸➁❴ ➅➊➇ ⑥➃ ❸➋➃ ➌➈ ➄ ➁❸⑤⑨⑤❹➄⑩➀❸ ➍➈ ➄⑩➎ ➄⑩ ⑨⑩➎➂➀❹⑥➁ ➏❣

➐

➑ ➒

➓

❾❿❸ ➀➂➁➁❸⑩❹ ⑨⑩ ❹❿❸ ➀⑨➁➀➂⑨❹ ➄❹ ❹❿❸ ⑨⑩⑤❹➄⑩❹ ❹❿❸ ⑤❷⑨❹➀❿ ⑨⑤ ➀⑦⑥⑤❸➎ ⑨⑤➔

➅❭➇ ➌→➍ ➅➊➇ ➌→➍➅❥ ❸➇ ➅➣➇ ↔ ➅↕➇ ❤

❅❇❈✴ ❊➙●

❙❍■✴ ❪⑤⑨⑩❶ ❹❿❸ ❸➛➂➄❹⑨⑥⑩ ➜ ❺ ➜➝ ➇❸❥➅ ➞➟➟➠

➡

➢➂❹ ❹ ❺ ❤ ❷❸ ❶❸❹ ➜ ❺ ❤➤➂⑤❹ ❷❿❸⑩ ❹❿❸ ➉➄❹❹❸➁❴ ⑨⑤ ➀⑦⑥⑤❸➎ ⑨⑩➎➂➀❹⑥➁ ➥➁⑥⑧⑨➎❸⑤ ⑨⑩➃⑨⑩⑨❹❸ ➁❸⑤⑨⑤❹➄⑩➀❸ ❹⑥ ❹❿❸ ➀➂➁➁❸⑩❹ ➃⑦⑥❷

➦ ➀➂➁➁❸⑩❹ ⑨⑤ ➧❸➁⑥ ⑨⑩⑨❹⑨➄⑦⑦❴❣➨➨➨➩➫➭➯➲➳➯➵➫➩➵➸➲

Page 12: a tdownload.ssapunjab.org/sub/MathScience/KVYP/KVPY_2010...D d n p q t u v? ^ = x x _ d w > x ~ | z z z} | ~ { {( ) 3 , ( 3 ) , B A ( ) , ( , 3) x 3 x E F ( , 3 0) ( ,) ( 5 ,) D a

✷�✳ ❈✁♥s✐✂❡r ❛ ✄♥✐☎✁r♠ s✆✝❡r✐✞❛✟ ✈✁✟✄♠❡ ✞✝❛r✠❡ ✂✐s✡r✐☛✄✡✐✁♥ ✁☎ r❛✂✐✄s ✥☞ ✌✝✐✞✝ ✁☎ ✡✝❡ ☎✁✟✟✁✇✐♥✠ ✠r❛✆✝s

✞✁rr❡✞✡✟❝ r❡✆r❡s❡♥✡s ✡✝❡ ♠❛✠♥✐✡✄✂❡ ✁☎ ✡✝❡ ❡✟❡✞✡r✐✞ ☎✐❡✟✂ ❊ ❛s ❛ ✂✐s✡❛♥✞❡ r ☎r✁♠ ✡✝❡ ✞❡♥✡❡r ✁☎ ✡✝❡ s✆✝❡r❡ ✍

✎✏✮

✑❘

✒

✎✓✮

✑❘

✒

✎❈✮

✑❘

✒

✎✔✮

✑❘

✒

❆✕✖✳ ✭❆✗

❙✘✙✳

✰ ✰ ✰✰✰✰

✰ ✰✰

✰ ✰✰

✚✛ ✜✵✸

✢

✲

✣❢✤✢ ✦ ✧ ✢ ★ ✩

✚✛ ✜ ✪✢

❦✫❢✤✢ ✢ ✬ ✩

✯ ✚ ✴ ✢ ❢✤✢ ✢ ★ ✩ ✱✶✹ ✚ ✴ ✪✢

✺❢✤✢ ✢ ✬ ✩

✯ ✻✼✢✽✾ ✿❀

❁❂

❃❄

✷❅✳ ❇ ✻❉✱✢❣✾ ✰q ✿❀ ❋●✱✻✾✹ ❀✤❍✾■❉✾✢✾ ✿✶❀✿✹✾ t❉✾ ✻✱✽✿t❏ ✤❢ ✱ t❉✿✻❦ ✻✤✶✹✼✻t✿✶❣ ❀❋❉✾✢✿✻✱● ❀❉✾●● ✤❢ ✿✶✶✾✢ ✢✱✹✿✼❀ ✩❑

✱✶✹ ✤✼t✾✢ ✢✱✹✿✼❀ ✩✪▲ ❇ ✻❉✱✢❣✾ ✫ ✿❀ ❋●✱✻✾✹ ✱t ✱ ✹✿❀t✱✶✻✾ ✢ ▼ ✩✪ ❢✢✤❍ t❉✾ ✻✾✶t✢✾ ✤❢ t❉✾ ❀❉✾●●▲ ❚❉✾✶ t❉✾ ✾●✾✻t✢✿✻

❢✿✾●✹ ✿✶ t❉✾ ❉✤●●✤■ ✻✱✽✿t❏◆

❖❇P ✹✾❋✾✶✹❀ ✤✶ ◗✤t❉ ✰q ✱✶✹ ✫ ❖❯P ✿❀ ❱✾✢✤

❖❲P ✿❀ ✤✶●❏ t❉✱t ✹✼✾ t✤ ✫ ❖❳P ✿❀ ✤✶●❏ t❉✱t ✹✼✾ t✤ ✰q

❆✕✖✳ ✭❨✗

❙✘✙✳

❩❬

❭

❪❫❪❴

❵✤✢ ✱ ✻✤✶✹✼✻t✤✢ ✾●✾✻t✢✿✻ ❢✿✾●✹ ✿✶❀✿✹✾ ✿t❀ ✻✱✽✿t❏ ✿❀ ✤✶●❏ ✹✼✾ t✤ ✿✶❀✿✹✾ ✻❉✱✢❣✾ ✱✶✹ ✶✤t ✹✼✾ t✤ ✤✼t❀✿✹✾ ✻❉✱✢❣✾▲

✷❜✳ ❚❉✾ ❢✤●●✤■✿✶❣ t✢✱✽✾●●✿✶❣ ✾●✾✻t✢✤❍✱❣✶✾t✿✻ ■✱✽✾

✚① ✜ ✦❞ ✚② ✜ ✚❤❀✿✶❖❦❥ ✰ ❧tP❞ ✚③ ✜ ♦✚❤❀✿✶❖❦❥ ❧tP ✿❀◆

❖❇P ✾●●✿❋t✿✻✱●●❏ ❋✤●✱✢✿❱✾✹ ❖❯P ✻✿✢✻✼●✱✢●❏ ❋✤●✱✢✿❱✾✹

❖❲P ●✿✶✾✱✢●❏ ❋✤●✱✢✿❱✾✹ ❖❳P ✼✶❋✤●✱✢✿❱✾✹

❆✕✖✳ ✭♣✗

❙✘✙✳ ❵✢✤❍ t❉✾ ✾q✼✱t✿✤✶ ✤❢ ✚② ✉ ✚③ ✿t ✿❀ ✾✽✿✹✾✶t t❉✱t ■✱✽✾ ✿❀ ✻✿✢✻✼●✱✢●❏ ❋✤●✱✢✿❱✾✹▲④④④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑧❶⑥⑤❶❷⑨

Page 13: a tdownload.ssapunjab.org/sub/MathScience/KVYP/KVPY_2010...D d n p q t u v? ^ = x x _ d w > x ~ | z z z} | ~ { {( ) 3 , ( 3 ) , B A ( ) , ( , 3) x 3 x E F ( , 3 0) ( ,) ( 5 ,) D a

✷�✳ ❆ ♣✁✐♥t s✁✉✂✄☎ ✁♦ ❧✐✆✝t ✐s ♣❧✞✄☎✟ ✞t t✝☎ ❜✁tt✁♠ ✁♦ ✞ ✥☎ss☎❧ ✠✝✐✄✝ ✐s ♦✐❧❧☎✟ ✠✐t✝ ✠✞t☎✂ ✁♦ ✂☎♦✂✞✄t✐✥☎ ✐♥✟☎① ➭ t✁ ✞

✝☎✐✆✝t ✝❤ ✡♦ ✞ ♦❧✁✞t✐♥✆ ✁♣✞☛✉☎ ✟✐s✄ ✝✞s t✁ ❜☎ ♣❧✞✄☎✟ ☎①✞✄t❧② ✞❜✁✥☎ ✐t s✁ t✝✞t t✝☎ s✁✉✂✄☎ ✐s ✐♥✥✐s✐❜❧☎ ♦✂✁♠ ✞❜✁✥☎❡

t✝☎ ✂✞✟✐✉s ✁♦ t✝☎ ✟✐s✄ s✝✁✉❧✟ ❜☎☞

✌❆✮✶✍

✎

✏✌✑✮

✒➭

✝

✓✔

✌✕✮✒➭

✝

✓✔

✌✖✮

✒➭

➭✝

✓✔

✗✘✙✳ ✭✚✛

❙✜✢✳

r

✣

✤

✦

✧★✩r❝✪

❞✫✧❝

✤

✂ s✝✁✉❧✟ ❜☎ s✉✄✝ t✝✞t ✂✞②s ❜☎②✁♥✟ ✐t ✆✁t t✁t✞❧❧② ✐♥t☎✂♥✞❧❧② ✂☎♦❧☎✄t☎✟

❋✁✂ t✝✐s ✬ ✯ ✕ ✁✂ s✐♥ ✬ ✯ s✐♥ ✕

✞❧s✁ ➭ ✰✕s✐♥

✒✱

✲✲✴✎

✴

✵

✯➭

✒

✡♥ ❧✐♠✐t✐♥✆ ✄✞s☎✸✸✴✎

✴

✵

✰➭

✒

s✁❧✥✐♥✆ ✠☎ ✆☎t ✂ ✰

✒➭

✝

✸✔

✹✺✳ ❚✝✂☎☎ t✂✞♥s♣✞✂☎♥t ♠☎✟✐✞ ✁♦ ✂☎♦✂✞✄t✐✥☎ ✐♥✟✐✄☎s ➭✻❡ ➭✸❡ ➭✼ ✂☎s♣☎✄t✐✥☎❧②❡ ✞✂☎ st✞✄❦☎✟ ✞s s✝✁✠♥❤ ❆ ✂✞② ✁♦ ❧✐✆✝t

♦✁❧❧✁✠s t✝☎ ♣✞t✝ s✝✁✠♥❤ ✽✁ ❧✐✆✝t ☎♥t☎✂s t✝☎ t✝✐✂✟ ♠☎✟✐✉♠❤

✾✿

✾❀

✾❁

❚✝☎♥☞

✌❆✮ ➭✻ ❂ ➭✸ ❂ ➭✼ ✌✑✮ ➭✸ ❂ ➭✻ ❂ ➭✼ ✌✕✮ ➭✻ ❂ ➭✼ ❂ ➭✸ ✌✖✮ ➭✼ ❂ ➭✻ ❂ ➭✸

✗✘✙✳ ✭❉✛

❙✜✢✳ ❆t ♦✐✂st ✐♥✄✐✟☎♥✄☎ ❧✐✆✝t ✐s ✟☎✥✐✞t☎✟ t✁✠✞✂✟s t✝☎ ♥✁✂♠✞❧ t✝☎✂☎♦✁✂☎ ➭✸ ✯ ➭✻❤ ❆❧s✁ ✞t s☎✄✁♥✟ ✐♥✄✐✟☎♥✄☎ ❚✡❃ t✞❦☎s

♣❧✞✄☎ t✝☎✂☎♦✁✂☎ ➭✸ ✯ ➭✼❡ ✞❧s✁ ➭✻ ✯ ➭✼ ❜☎✄✞✉s☎ ♦✁✂ t✝☎ s✞♠☎ ✞♥✆❧☎ ✐♥ ♠☎✟✐✉♠ ➭✸❡ ✞♥✆❧☎ ✐♥ ➭✻ ♠☎✟✐✉♠ ✐s ❧☎ss❤

❄❅

❄❇

❄❈

✱ ➭✼ ❂ ➭✻ ❂ ➭✸ ❊❊❊●❍■❏❑▲❏▼❍●▼◆❑

Page 14: a tdownload.ssapunjab.org/sub/MathScience/KVYP/KVPY_2010...D d n p q t u v? ^ = x x _ d w > x ~ | z z z} | ~ { {( ) 3 , ( 3 ) , B A ( ) , ( , 3) x 3 x E F ( , 3 0) ( ,) ( 5 ,) D a

✸�✳ ❆ ♥✁✂✄☎✁✆ ❤❛✆ ❛ ❤❛✄✝✞✄❧✝☎ ✟✝ ✠✡ ☛❧♥✁☞☎✆✌ ❆☞ ✠ ✥✍ ❧☞✆ ❞☎✂❛✎ r❛☞☎ ✏❛✆ ☛☎❛✆✁r☎❞ ❛✆ ✶✷✡✵✡✡✡ ✂✟✁♥☞✆✴✆☎✂✌ ❲❤❛☞

✏❧✄✄ ❜☎ ☞❤☎ ❞☎✂❛✎ r❛☞☎ ❛☞ ✑ ✥✍ ❄

✭❆✮ ✶✷✡✵✡✡✡ ✂✟✁♥☞✆✴✆☎✂ ✭✒✮ ✓✡✵✡✡✡ ✂✟✁♥☞✆✴✆☎✂

✭❈✮ ✠✡✵✡✡✡ ✂✟✁♥☞✆✴✆☎✂ ✭✔✮ ✕✵✑✡✡ ✂✟✁♥☞✆✴✆☎✂

✖✗s✳ ✘❉✙

❙✚✛✳ ●❧✈☎♥ ✜ ✢ ✠✡ ☛❧♥✁☞☎✆✌❞☞

❞✣✢ ✶✷✡ ✤

✆☎✂

✂✟✁♥☞✆

❆✝☞☎r ☎❛✂❤ ❤❛✄✝ ✄❧✝☎✵ ❛✂☞❧✈❧☞✎ ❧✆ r☎❞✁✂☎❞ ☞✟ ❤❛✄✝ ☞❤☎r☎✝✟r☎ ❛✝☞☎r ♥ ❤❛✄✝ ✄❧✈☎✆ ❛✂☞❧✈❧☞✎ r☎❞✁✂☎✆ ☞✟

✦

✷

✶✧★

✩✪✫

✬✌

❆✄✆✟❞☞

❞✣✯ ✣

❞☞

❞✣❛☞ ✑ ✥✌✍✌ ✏❧✄✄ ❜☎ ☎✰✁❛✄ ☞✟ ❛✂☞❧✈❧☞✎ r☎☛❛❧♥❧♥✱ ❛✝☞☎r ✝✟✁r ❤❛✄✝ ✄❧✈☎✆✌

❧✌☎✌

✹

✲

✺✻✼

✽✾✿

❀❁ ✻

✼

✽✾✿

❀t❂

✺❃

✺❅❇ t❂❡ ❊❋❊t❊❍■ ❍❏t❊❑❊t▲

▼◆▼P❖◗❘❚t

❚❯✻✼

✽✾✿

❀❁ ✻

✼

✽✾✿

❀t❂

✺❃

✺❅❇ t❂❡ ❊❋❊t❊❍■ ❍❏t❊❑❊t▲

◆▼P❖❚t

❚❯✻✼

✽✾✿

❀❁

▼◆▼P❱❚t

❚❯

✺❃

✺✻✼

✽✾✿

❀✻✼

✽✾✿

❀

▼◆▼P❖❚t

❚❯✻✼

✽✾✿

❀❁ ❳❨❩❩ ❏❅❝❋t❬❭❬❡❏

✸❪✳ ❫ ❴❅❅♦ ❊❬ ❵❡❬t❊❋❣ ❅❋ ❬❂❡■❇ t❂❍t ❊❬ ❝❋❚❡❵❣❅❊❋❣ ❑❡❵t❊❏❍■ ❬❊♠♣■❡ ❂❍❵♠❅❋❊❏ ❅❬❏❊■■❍t❊❅❋❬ ❢❊t❂ ❍❋ ❍♠♣■❊t❝❚❡ ❅❇

✲✐❨ ❏♠✐ ❥❂❍t ❊❬ t❂❡ ♠❊❋❊♠❝♠ ❇❵❡✉❝❡❋❏▲ ❅❇ ❅❬❏❊■■❍t❊❅❋ ❅❇ t❂❡ ❬❂❡■■ ❇❅❵ ❢❂❊❏❂ t❂❡ ❴❅❅♦ ❢❊■■ ■❅❬❡ ❏❅❋t❍❏t ❢❊t❂

t❂❡ ❬❂❡■❇ ❦ q❫❬❬❝♠❡ t❂❍t ❣ ❁ ✺❩ ♠❭❬✇①

q❫① ✲❩ ②③ q④① ⑤✐✺⑥ ②③ q⑦① ✺✲❨✐❃ ②③ q⑧① ✺❩ ②③

✖✗s✳ ✘⑨✙

❙✚✛✳ ④❅❅♦ ❢❊■■ ■❅❅❬❡ ❏❅❋t❍❏t ❢❊t❂ t❂❡ ❬❂❡■❇ ❢❂❡❋ ❍ ❁ ❣

❯❅❢ ⑩ ❍ ⑩ ❁ ❶✇❷ ❸ ❣ ❁ ❶

✇❫ q❫ ❹ ❫♠♣■❊t❝❚❡①

❶✇❁❫

❣❍■❬❅ ❇ ❁

❺

❶

✲

❸ ❇ ❁❫

❣

✲

✺

❺

❵❡♣■❍❏❊❋❣ ❣ ❁ ✺❩ ♠❭❬✇ ❍❋❚ ❫ ❁ ✲✐❨ ❻ ✺❩❼

✇♠

❥❡ ❣❡t ❇ ❁ ⑤✐✺⑥ ②③

✸✸✳ ❫ ❑❍❋ ❚❡❵ ❥❍❍■❽❬ ❣❍❬ ❅❴❡▲❬ t❂❡ ❡✉❝❍t❊❅❋ ❅❇ ❬t❍t❡ ❋❾❿①❋❴➀q➀

❍❋➁ ✇

✇➂➃✻

✻

✼

✽

✾✾

✿

❀➄ ✐ ➅t❬ ❊❋t❡❵❋❍■ ❡❋❡❵❣▲ ❊❬ ❣❊❑❡❋ ❴▲

➆ ❁ ⑦❿➀

❍❋✇✐ ❿❂❡ ❡✉❝❍t❊❅❋ ❅❇ ❍ ✉❝❍❬❊❬t❍t❊❏ ❍❚❊❍❴❍t ❇❅❵ t❂❊❬ ❣❍❬ ❊❬ ❣❊❑❡❋ ❴▲➇

q❫① ❿➈➉➊➋➀ ❁ ❏❅❋❬t❍❋t q④① ❿➌➈➍➊➋➎➉➊➋➀ ❁ ❏❅❋❬t❍❋t

➏➏➏➐➑➒➓➔→➓➣➑➐➣↔➔

Page 15: a tdownload.ssapunjab.org/sub/MathScience/KVYP/KVPY_2010...D d n p q t u v? ^ = x x _ d w > x ~ | z z z} | ~ { {( ) 3 , ( 3 ) , B A ( ) , ( , 3) x 3 x E F ( , 3 0) ( ,) ( 5 ,) D a

❆�s✳ ✭❈✮

❙✁✂✳ ✥♦r ❛✄☎❛❜❛t☎✆ ♣r♦✆❡✝✝

✄❞ ✞ ✟ ❛✠✄ ✄❯ ✞ ✄❲ ✚ ✠♥❱ ✛❚ ✞ ✡✛☛ ♦r ✠♥❱✄❚ ✞ ✡✄☛

✇☞❡✠ ✆☞❛✠✌❡ ☎✝ ✐❡r✍ ✝♠❛✎✎

✠♦✇ ✌☎✐❡✠ ❯ ✞☛

❛✠♥❚

✷✏ ✑ ✄❯ ✞ ♥✄❚ ✒ ✄☛

☛

❛✠✷

✷

♣✓t t☞☎✝ ✐❛✎✓❡ ♦✔ ✄❯ ☎✠ ✄❯ ✞ ✄❲

✑✕✕

✖

✗

✘✘

✙

✜✢ ✣✤✤

✦✧★✣✩ ✷

✷✞ ✡✄☛ ✪✪✪✪✫✬✯

❛✎✝♦ ✡ ✞ ✷

✷

✤

✦✧

✧✰✤

✧✱✩✲✕

✖

✗✘✙

✜

✲r❡♣✎❛✆❡ ☎t ☎✠ ✫✬✯

✕✕

✖

✗

✘✘

✙

✜✢✲ ✣✤✤

✦✧★✣✩ ✷

✷✞ ✣✤

✤

✦✧

✧✰✤

✧✱✩✷

✷

✕✕

✖

✗

✘✘

✙

✜✲✕

✖

✗✘✙

✜

✲

✑ ♥✄❚ ✞ ✄☛✠❜☛

✠✴❚✵✶

✸✹✺

✻

✏

✑❚

✄❚

✠✴

♥✏ ✞

✠❜☛

✄☛

✏

■✠t❡✌r❛t☎✠✌ ✇❡ ✌❡t

✼✠ ❚✽✾✿❀ ✞ ✼✠ ✫☛ ✠❜✯ ✒ ❁ ✫❁ ❂ ✆♦✠✝t❛✠t ♦✔ ☎✠t❡✌r❛t☎♦✠✯

✑ ✼✠ ✫❚✽✾✿❀✯✫☛ ✠❜✯ ✞ ❁

♦r ✫❚✽✾✿❀✯✫☛ ✠❜✯ ✞ ✆♦✠✝t❛✠t

❃❄✳ ❅✠ ☎✄❡❛✎ ✌❛✝ ☎✝ ♠❛✄❡ t♦ ✓✠✄❡r✌♦ ❛ ✆✍✆✎❡ ✄❡♣☎✆t❡✄ ❜✍ t☞❡ ✡☛ ✄☎❛✌r❛♠ ❛✎♦✠✌✝☎✄❡✪ ❚☞❡ ✆✓r✐❡✄ ✎☎✠❡ ✔r♦♠ ❅ t♦ ❇

☎✝ ❛✠ ❛✄☎❛❜❛t✪

❉

❊

❋

P

❚☞❡✠●

✫❅✯ ❚☞❡ ❡✔✔☎✆☎❡✠✆✍ ♦✔ t☞☎✝ ✆✍✆✎❡ ☎✝ ✌☎✐❡✠ ❜✍ ✓✠☎t✍ ❛✝ ✠♦ ☞❡❛t ☎✝ r❡✎❡❛✝❡✄ ✄✓r☎✠✌ t☞❡ ✆✍✆✎❡

✫❇✯ ❍❡❛t ☎✝ ❛❜✝♦r❜❡✄ ☎✠ t☞❡ ✓♣♣❡r ♣❛rt ♦✔ t☞❡ ✝tr❛☎✌☞t ✎☎✠❡ ♣❛t☞ ❛✠✄ r❡✎❡❛✝❡✄ ☎✠ t☞❡ ✎♦✇❡r ♣❛rt

✫♥✯ ■✔ ❚❏ ❛✠✄ ❚✷ ❛r❡ t☞❡ ♠❛①☎♠✓♠ ❛✠✄ ♠☎✠☎♠✓♠ t❡♠♣❡r❛t✓r❡✝ r❡❛✆☞❡✄ ✄✓r☎✠✌ t☞❡ ✆✍✆✎❡❝ t☞❡✠ t☞❡ ❡✔✔☎✆☎❡✠✆✍ ☎✝

✌☎✐❡✠ ❜✍ ✬❏

✷

❚

❚

✫❑✯ ❚☞❡ ✆✍✆✎❡ ✆❛✠ ♦✠✎✍ ❜❡ ✆❛rr☎❡✄ ♦✓t ☎✠ t☞❡ r❡✐❡r✝❡ ♦✔ t☞❡ ✄☎r❡✆t☎♦✠ ✝☞♦✇✠ ☎✠ ✔☎✌✓r❡

❆�s✳ ✭▲✮

❙✁✂✳ ✥r♦♠ t☞❡ ❛✠❛✎✍✝☎✝ ♦✔ ✡●☛ ✄☎❛✌r❛♠ ✇❡ ✆❛✠ ❡❛✝☎✎✍ ✝❛✍ t☞❛t ❇ ☎✝ t☞❡ ✆♦rr❡✆t ♦♣t☎♦✠✪

▼▼▼◆❖◗❘❳❨❘❩❖◆❩❬❳

Page 16: a tdownload.ssapunjab.org/sub/MathScience/KVYP/KVPY_2010...D d n p q t u v? ^ = x x _ d w > x ~ | z z z} | ~ { {( ) 3 , ( 3 ) , B A ( ) , ( , 3) x 3 x E F ( , 3 0) ( ,) ( 5 ,) D a

✸�✳ ❆ ❜✉s ❞r✐✈✐✁✂ ❛✄☎✁✂ ❛✆ ✥✝✞✟ ❦♠♣❤ ✐s ❛♣♣r☎❛♦❤✐✁✂ ❛ ♣❡rs☎✁ ✇❤☎ ✐s s✆❛✁❞✐✁✂ ❛✆ ✆❤❡ ❜✉s s✆☎♣✱ ✇❤✐✄❡ ❤☎✁❦✐✁✂

r❡♣❡❛✆❡❞✄✠ ❛✆ ❛✁ ✐✁✆❡r✈❛✄ ☎❢ ✥✡ s❡♦☎✁❞s✞ ■❢ ✆❤❡ s♣❡❡❞ ☎❢ ✆❤❡ s☎✉✁❞ ✐s ✥✥✡ ♠✴s✱ ❛✆ ✇❤❛✆ ✐✁✆❡r✈❛✄ ✇✐✄✄ ✆❤❡ ♣❡rs☎✁

❤❡❛r ✆❤❡ ❤☎r✁ ❄

✭❆✮ ✥☛ s❡♦☎✁❞s

✭☞✮ ✌✝ s❡♦☎✁❞s

✭✍✮ ✥✡ s❡♦☎✁❞s

✭❉✮ ✆❤❡ ✐✁✆❡r✈❛✄ ✇✐✄✄ ❞❡♣❡✁❞ ☎✁ ✆❤❡ ❞✐s✆❛✁♦❡ ☎❢ ✆❤❡ ❜✉s ❢r☎♠ ✆❤❡ ♣❛ss❡✁✂❡r

✎♥✏✳ ✑✒✓

❙✔✕✳

✖

❇✗✘

✙✚✛✜

✢ ✣ ✤✢

✈ ✦ ✥✝✞✟ ❦♠✴❤r ✦ ☛☛ ♠✴s✱ ✆✶ ✦✥✥✡

❞❛✁❞ ✆✷ ✦

✥✥✡

✥✡☛☛❞ ✧★

✩☎✇ ✪✆ ✦ ✆✶ ✆✷ ✦ ☛

✁☎✇ ✆✶ ✦ ✥✡ s❡♦ ✫ ✆✷ ✦ ✌✝ s❡♦✞

✸✬✳ ❱❡✄☎♦✐✆✠ ☎❢ s☎✉✁❞ ♠❡❛s✉r❡❞ ❛✆ ❛ ✂✐✈❡✁ ✆❡♠♣❡r❛✆✉r❡ ✐✁ ☎✯✠✂❡✁ ❛✁❞ ❤✠❞r☎✂❡✁ ✐s ✐✁ ✆❤❡ r❛✆✐☎ ✲

✭❆✮ ☛ ✰ ✵ ✭☞✮ ✵ ✰ ☛ ✭✍✮ ☛ ✰ ☛ ✭❉✮ ✥✌ ✰ ☛

✎♥✏✳ ✑✎✓

❙✔✕✳ ✈ ✦▼

❘✹✺✫ ✈ ✻

▼

☛

❍

✼

❱

❱✦

✼

❍

▼

▼✦

✽✾

✾✦

✿❀

✿

❍

✼

❱

❱✦

✵

☛

✸❁✳ ■✁ ❂☎✉✁✂❣s ❞☎✉❜✄❡ s✄✐✆ ❡✯♣❡r✐♠❡✁✆✱ ✆❤❡ ❞✐s✆❛✁♦❡ ❜❡✆✇❡❡✁ ✆❤❡ ✆✇☎ s✄✐✆s ✐s ✡✞☛ ♠♠✱ ✆❤❡ ❞✐s✆❛✁♦❡ ❜❡✆✇❡❡✁ ✆❤❡ s✄✐✆s

❛✁❞ ✆❤❡ s♦r❡❡✁ ✐s ☛ ♠ ❛✁❞ ✆❤❡ ✇❛✈❡✄❡✁✂✆❤ ☎❢ ✆❤❡ ✄✐✂❤✆ ✉s❡❞ ✐s ✟✡✡ ✁♠✞ ✹❤❡ ✐✁✆❡✁s✐✆✠ ❛✆ ❛ ♣☎✐✁✆ ☎✁ ✆❤❡ s♦r❡❡✁ ✐s

❃❅❈ ☎❢ ✆❤❡ ♠❛✯✐♠✉♠ ✐✁✆❡✁s✐✆✠✞ ❲❤❛✆ ✐s ✆❤❡ s♠❛✄✄❡s✆ ❞✐s✆❛✁♦❡ ☎❢ ✆❤✐s ♣☎✐✁✆ ❢r☎♠ ✆❤❡ ♦❡✁✆r❛✄ ❢r✐✁✂❡ ❄

✭❆✮ ☛✞✡ ♠♠ ✭☞✮ ✌✞✡ ♠♠ ✭✍✮ ✡✞❅ ♠♠ ✭❉✮ ☛✞❅ ♠♠

✎♥✏✳ ✑✎✓

❙✔✕✳ ❞ ✦ ✡✞☛ ♠♠✱ ❉ ✦ ☛ ♠✱ ❊ ✦ ✟✡✡ ✁♠

■P ✦ ❃❅ ❈ ☎❢ ♠❛✯✐♠✉♠ ☎r ■P ✦ ✥■✼

❲❤❡r❡ ■✼ ✐s ✆❤❡ ✐✁✆❡✁s✐✆✠ ☎❢ ❛ s✐✁✂✄❡ ✇❛✈❡

✁☎✇ ■P ✦ ✥■✼ ✦ ❋●❏❏ ❝❑▲◆◆❖◗◆❚◗◆❚ ❯❯❳

❯❳

❯

❨ ❝❑▲ ❋ ❩❬

❝❑▲❭❪ ❫❴▲❑ ❵① ❩

❥

②❧

q❑t ❵① ❩❬❖

❭●

❭

③❩

④

③❨ ② ❩

❧④

❥③❩

⑤

⑥

⑦⑧⑦⑨⑧④

⑦⑦⑧④⑧⑧

⑩

⑩

●●

●●❑❶ ② ❩ ⑦❷

❸❸❸❹❺❻❼❽❾❼❿❺❹❿➀❽

Page 17: a tdownload.ssapunjab.org/sub/MathScience/KVYP/KVPY_2010...D d n p q t u v? ^ = x x _ d w > x ~ | z z z} | ~ { {( ) 3 , ( 3 ) , B A ( ) , ( , 3) x 3 x E F ( , 3 0) ( ,) ( 5 ,) D a

✸�✳ ❚✁✂ ✥❛ss✄s ✥✶ ❛☎✆ ✥✷ ❛✝✄ ✞✂☎☎✄✞✟✄✆ ❡✠ ❛ ✥❛ss✡✄ss s♣✝✐☎❣ ✂❢ s♣✝✐☎❣ ✞✂☎s✟❛☎✟ ❦ ❛☎✆ ✉☎s✟✝✄✞☛✄✆ ✡✄☎❣✟☛ ☞✌ ❚☛✄✥❛ss✄s ❛✝✄ ♣✡❛✞✄✆ ✂☎ ❛ ❢✝✐✞✟✐✂☎✡✄ss s✟✝❛✐❣☛✟ ✞☛❛☎☎✄✡ ✁☛✐✞☛ ✁✄ ✞✂☎s✐✆✄✝ ✂✉✝ ♦✍❛♦✐s✌ ❚☛✄✠ ❛✝✄ ✐☎✐✟✐❛✡✡✠ ❛✟ ✝✄s✟

❛✟ ♦ ① ✵ ❛☎✆ ♦ ① ☞✱ ✝✄s♣✄✞✟✐✈✄✡✠✌ ✎✟ ✟ ① ✵✱ ❛ ✈✄✡✂✞✐✟✠ ✂❢ ✈✏ ✐s s✉✆✆✄☎✡✠ ✐✥♣❛✝✟✄✆ ✟✂ ✟☛✄ ❢✐✝s✟ ♣❛✝✟✐✞✡✄✌ ✎✟ ❛ ✡❛✟✄✝✟✐✥✄ ✟✏✱ ✟☛✄ ✞✄☎✟✝✄ ✂❢ ✥❛ss ✂❢ ✟☛✄ ✟✁✂ ✥❛ss✄s ✐s ❛✟✍

✭✎✮ ♦ ①✷✶

✷✥✥

✥

✑

☞✭✒✮ ♦ ①

✷✶

✏✷

✷✶

✶✥✥

✟✈✥

✥✥

✥

✑✑

✑

☞

✭✓✮ ♦ ①✷✶

✏✷

✷✶

✷

✥✥

✟✈✥

✥✥

✥

✑✑

✑

✔✭✕✮ ♦ ①

✷✶

✏✶

✷✶

✷

✥✥

✟✈✥

✥✥

✥

✑✑

✑

✔

❆✖✗✳ ✘❉✙

❙✚✛✳ ♠✜♠✢

✣✤

✈❈✦▼ ①✷✶

✏✶

✥✥

✵✈✥

✑

✑✱ ♦✧❈✦▼ ①

✷✶

✷✶✥✥

✮✭✥✮✵✭✥

✑

✑ ✔

❛✡s✂ ♦❈✦▼ ① ♦✧❈✦▼ ★ ✈❈✦▼✟

✩ ♦❈✦▼ ①✷✶

✏✶

✷✶

✷✥✥

✟✈✥

✥✥

✥

✑✑✪✪✫

✬✯✯✰

✲

✑

✴

✸✹✳ ✎ ✞☛❛✝❣✄✆ ♣❛✝✟✐✞✡✄ ✂❢ ✞☛❛✝❣✄ q ❛☎✆ ✥❛ss ✥✱ ❣✄✟s ✆✄❢✡✄✞✟✄✆ ✟☛✝✂✉❣☛ ❛☎ ❛☎❣✡✄ ✺ ✉♣✂☎ ♣❛ss✐☎❣ ✟☛✝✂✉❣☛ ❛ sq✉❛✝✄✝✄❣✐✂☎ ✂❢ s✐✆✄ ✻❛✻ ✁☛✐✞☛ ✞✂☎✟❛✐☎s ❛ ✉☎✐❢✂✝✥ ✥❛❣☎✄✟✐✞ ❢✐✄✡✆ ✒ ☎✂✝✥❛✡ ✟✂ ✐✟s ♣✡❛☎✄✌ ✎ss✉✥✐☎❣ ✟☛❛✟ ✟☛✄ ♣❛✝✟✐✞✡✄✄☎✟✄✝✄✆ ✟☛✄ sq✉❛✝✄ ❛✟ ✝✐❣☛✟ ❛☎❣✡✄s ✟✂ ✂☎✄ s✐✆✄✱ ✁☛❛✟ ✐s ✟☛✄ s♣✄✄✆ ✂❢ ✟☛✄ ♣❛✝✟✐✞✡✄ ❝

✭✎✮ ✺✞✂✟❛✥

q✒✭✒✮ ✺✟❛☎❛

✥

q✒✭✓✮ ✺✼✞✂✟❛

✥

q✒✭✕✮ ✺✼✟❛☎❛

✥

q✒

❆✖✗✳ ✘❆✙❙✚✛✳

❘

✽

✾

✿

✿

✾

✽

❖

❀✂✁ s✐☎ ✺ ①❁

❛✱ ❁ ①

q✒

✥✈

✩ ✈ ①✥

✞✂✟q✒❛ ✺

❂❃✳ ✎ ♣✐✄✞✄ ✂❢ ☛✂✟ ✞✂♣♣✄✝ ❛✟ ❄✵✵➸✓ ✐s ♣✡✉☎❣✄✆ ✐☎✟✂ ❛ ♣✂☎✆ ❛✟ ❅✵➸✓✌ ❚☛✄ ✞✂♣♣✄✝ ✞✂✂✡s ✆✂✁☎ ✟✂ ❅✵➸✓✱ ✁☛✐✡✄ ✟☛✄♣✂☎✆✱ ❡✄✐☎❣ ☛✉❣✄✱ s✟❛✠s ❛✟ ✐✟s ✐☎✐✟✐❛✡ ✟✄✥♣✄✝❛✟✉✝✄✌ ❚☛✄☎✍✭✎✮ ✞✂♣♣✄✝ ✡✂s✄s s✂✥✄ ✄☎✟✝✂♣✠✱ ✟☛✄ ♣✂☎✆ s✟❛✠s ❛✟ ✟☛✄ s❛✥✄ ✄☎✟✝✂♣✠✭✒✮ ✞✂♣♣✄✝ ✡✂s✄s s✂✥✄ ✄☎✟✝✂♣✠✱ ❛☎✆ ✟☛✄ ♣✂☎✆ ❣❛✐☎s ✄♦❛✞✟✡✠ ✟☛✄ s❛✥✄ ❛✥✂✉☎✟ ✂❢ ✄☎✟✝✂♣✠✭✓✮ ✞✂♣♣✄✝ ✡✂s✄s ✄☎✟✝✂♣✠✱ ❛☎✆ ✟☛✄ ♣✂☎✆ ❣❛✐☎s ✥✂✝✄ ✟☛❛☎ ✟☛✐s ❛✥✂✉☎✟ ✂❢ ✄☎✟✝✂♣✠

✭✕✮ ❡✂✟☛ ✞✂♣♣✄✝ ❛☎✆ ✟☛✄ ♣✂☎✆ ❣❛✐☎ ✐☎ ✄☎✟✝✂♣✠

❆✖✗✳ ✘❇✙

❙✚✛✳ ❯s✐☎❣ ✟☛✄✂✝✠ ✂❢ ✄☎✟✝✂♣✠ ✐✟ ✐s ✄✈✐✆✄☎✟ ✟☛❛✟ ❛☎s✁✄✝ ✐s ✭✓✮✌

❊❊❊❋●❍■❏❑■▲●❋▲◆❏

Page 18: a tdownload.ssapunjab.org/sub/MathScience/KVYP/KVPY_2010...D d n p q t u v? ^ = x x _ d w > x ~ | z z z} | ~ { {( ) 3 , ( 3 ) , B A ( ) , ( , 3) x 3 x E F ( , 3 0) ( ,) ( 5 ,) D a

❈�✁✂✄☎✆✝✞

✹✟✳ ❚❤❡ ♥✠✡❜❡r ☛❢ ✐s☛✡❡rs ☛❢ ✥☛ ☞✌✐❡t❤②❧❡♥❡ tr✐❛✡✐♥❡✮ ✥❧✸ ✐s✍☞❆✮ ✎ ☞✭✮ ✏ ☞✥✮ ✑ ☞❉✮ ✒

✓✔✕✳ ✖✓✗❙✘✙✳ ■s☛✡❡rs ☛❢ ✚✥☛ ☞✌✐❡♥✮ ✥❧✸❪ ✐s ✡❛✸❜✸ t②♣❡ ✛☛✡♣❧❡① t❤❡r❡❢☛r❡ ✐t s❤☛✇s t✇☛ ✛✐s ✫ tr❛♥s ✐s☛✡❡rs

♠

✜

✜ ✢

✢✢

✜ ❝✣✤

▼

✜

✜ ✜

✢✢

✢ ✦✧✜★✤

✹✩✳ ❆✡☛♥♦ t❤❡ ❢☛❧❧☛✇✐♥♦❣ t❤❡ ✪✍❛✛✐✌ ❧✐♦❛♥✌ ✐s✍☞❆✮ ❋ ☞✭✮ ◆✬✸ ☞✥✮ ✥◆❹ ☞❉✮ ■❹

✓✔✕✳ ✖✯✗❙✘✙✳ ✥◆❹ ❛✛✛❡♣t ❡❧❡✛tr☛♥s ❢r☛✡ ✡❡t❛❧ ✐☛♥ ✐♥ ✐ts ✰❛✛❛♥t ✪✱ ❆✭✲✴✵

✹✶✳ ❚❤❡ ❜☛♥✌ ☛r✌❡r ✐♥ ✴✷✷❹ ✐s✍☞❆✮ ✎ ☞✭✮ ✏ ☞✥✮ ✺✵✒ ☞❉✮ ✺

✓✔✕✳ ✖✻✗❙✘✙✳ ✭☛♥✌ ☛r✌❡r ☛❢ ✴✷✷❹

❚☛t❛❧ ❡❧❡✛tr☛♥ ✼ ✺✽✥☛♥❢✐♦✠r❛t✐☛♥ ✼ ✾✾ ✿ ☞✎s✮✷ ✿❀ ☞✎s✮✷ ✿ ☞✎♣③✮✷ ✪☞✎♣❁✮✷ ✪☞✎♣❂✮✷ ✪❀ ☞✎♣❁✮✷ ✪❀☞✎♣❂✮✷

✭☛♥✌ ☛r✌❡r ✼✎❃✽

✎◆◆ ❄❅ ❇ ✼ ✺✵❊

✹✹✳ ❚❤❡ ❡♥❡r♦② ☛❢ ❛ ♣❤☛t☛♥ ☛❢ ✇❛✰❡❧❡♥♦t❤ ● ✼ ✺ ✡❡t❡r ✐s ☞❍❧❛♥✛●❏s ✛☛♥st❛♥t ✼ ❃✵❃✎✒ ❑ ✺❊❹✸▲ ❖s❣ s♣❡❡✌ ☛❢ ❧✐♦❤t ✼✏ ❑ ✺❊P ✡◗s✮☞❆✮ ✺✵❘✽✽ ❑ ✺❊❹✷✸ ❖ ☞✭✮ ✺✵❘✽✽ ❑ ✺❊❹✷P ❖ ☞✥✮ ✺✵❘✽✽ ❑ ✺❊❹✸❯ ❖ ☞❉✮ ✺✵❘✽✽ ❑ ✺❊❹✷❱ ❖

✓✔✕✳ ✖✓✗

❙✘✙✳ ❲ ✼✺

✺❊✏✺❊❊✎✵❃❤✛ P✸▲❹ ❳❳❳❇❨

❲ ✼ ✺✵❘✽✽ ❑ ✺❊❹✷✸ ❖

✹❩✳ ❚❤❡ ✛☛♥✛❡♥tr❛t✐☛♥ ☛❢ ❛ s✠❜st❛♥✛❡ ✠♥✌❡r♦☛✐♥♦ ❛ ✛❤❡✡✐✛❛❧ r❡❛✛t✐☛♥ ❜❡✛☛✡❡s ☛♥❡✍❤❛❧❢ ☛❢ ✐ts ☛r✐♦✐♥❛❧ ✰❛❧✠❡ ❛❢t❡rt✐✡❡ t r❡♦❛r✌❧❡ss ☛❢ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ ✛☛♥✛❡♥tr❛t✐☛♥✵ ❚❤❡ r❡❛✛t✐☛♥ ✐s ❛♥ ❡①❛✡♣❧❡ ☛❢ ❛✍☞❆✮ ❬❡r☛ ☛r✌❡r r❡❛✛t✐☛♥ ☞✭✮ ❢✐rst ☛r✌❡r r❡❛✛t✐☛♥☞✥✮ s❡✛☛♥✌ ☛r✌❡r r❡❛✛t✐☛♥ ☞❉✮ t❤✐r✌ ☛r✌❡r r❡❛✛t✐☛♥

✓✔✕✳ ✖❭✗❙✘✙✳ ■♥❢☛r✡❛t✐✰❡

✹❫✳ ❚❤❡ s❤❛♣❡ ☛❢ t❤❡ ✡☛❧❡✛✠❧❡ ✥❧❋✸ ✐s✍☞❆✮ tr✐♦☛♥❛❧ ♣❧❛♥❛r ☞✭✮ ♣②r❛✡✐✌❛❧ ☞✥✮ ❚✍s❤❛♣❡✌ ☞❉✮ ❴✍s❤❛♣❡✌

✓✔✕ ✖✯✗

❵❵❵❞❥❦q✉✈q④❥❞④⑤✉

Page 19: a tdownload.ssapunjab.org/sub/MathScience/KVYP/KVPY_2010...D d n p q t u v? ^ = x x _ d w > x ~ | z z z} | ~ { {( ) 3 , ( 3 ) , B A ( ) , ( , 3) x 3 x E F ( , 3 0) ( ,) ( 5 ,) D a

❙�✁✳ ❚✂✄☎☎ ✆✝✞❞ ✥✟✠✄ ✡ ☛☞✝ ♦✝✞☎ ✥✟✠✄ ✥✄☎s☎✞☛ ✠✞ ✌♦❋✸ ✍✝♦☎❧✎♦☎✏

✑

❈✒

✑

✑

✿

✿

✓✔✕❤✖♣❡

✹✗✳ ❋✄✠☎❞☎♦✘✌✄✟✙☛s ✟❧✚♦✟☛✠✝✞ ✠s✘

✛✜✮ ✢✘✟❧✚♦✟☛✠✝✞ ✝✙ ✟ ❧✟✄✆✝✞✚♦ ❧✝✍✥✝✎✞❞ ✛✭✮ ✟❧✚♦✟☛✠✝✞ ✝✙ ✥✂☎✞✝♦s ☛✝ ❣☎✞☎✄✟☛☎ ☎s☛☎✄s

✛✌✮ ✟❧✚♦✟☛✠✝✞ ✝✙ ✟♦✠✥✂✟☛✠❧ ✝♦☎✙✠✞s ✛❉✮ ✟❧✚♦✟☛✠✝✞ ✝✙ ✟✄✝✍✟☛✠❧ ✞✎❧♦☎✎s

❆✣✤✳ ✦✧★

❙�✁✳ ❋✄✠☎❞☎♦ ❧✄✟✙☛ ✄☎✟❧☛✠✝✞ ✎s☎❞ ✙✝✄ ✠✞☛✄✝❞✎❧✠✞❣ ✟✞ ✟♦❛✚♦ ✝✄ ✟❧✚♦ ❣✄✝✎✥ ✠✞ ✆☎✞♥☎✞☎ ✞✎❧♦☎✎s ✆✚ ✟✞ ✟♦❛✚♦✟☛✠✞❣ ✝✄

✟❧✚♦✟☛✠✞❣ ✟❣☎✞☛ ✠✞ ✥✄☎s☎✞❧☎ ✝✙ ✟ s✎✠☛✟✆♦☎ ❧✟☛✟♦✚s☛✏

✹✩✳ ❚✂☎ ✝✄❞☎✄ ✝✙ ✟❧✠❞✠☛✚ ✝✙ ❧✝✍✥✝✎✞❞s ✉✘✉■✪ ✠s✘

✫✬✷❖✬

✯✰✱

✫❖✷✬

✯✰✰✱

❖✬

✯✰✰✰✱

✬✲✫

✯✰❱✱

✴❖✲✬

✛✜✮ ✉ ❁ ✉✉✉ ❁ ✉✉ ❁ ✉■ ✛✭✮ ✉■ ❁ ✉ ❁ ✉✉ ❁ ✉✉✉ ✛✌✮ ✉✉✉ ❁ ✉ ❁ ✉✉ ❁ ✉■ ✛❉✮ ✉✉ ❁ ✉■ ❁ ✉✉✉ ❁ ✉

❆✣✤✳ ✦❆★

❙�✁✳

✵✶✺ ✻ ✵✶✼ ✻ ✵ ✻

✻

✽ ✻

✻

✻

◆✾❀ ❂❃❄✾❅❇❅❊❃

●❃❄❄ ❄t❇❜●❃

●❃❄❄ ❇❊❍❏❍❊ ❅❇t❑❂❃

▼✾❂❃ ❄t❇❜●❃

♠✾❂❃ ❇❊❍❏❍t②

✹▲✳ ❚✂☎ ✍✝s☛ s☛✟✆♦☎ ❧✝✞✙✝✄✍✟☛✠✝✞ ✙✝✄ ✞✘✆✎☛✟✞☎ ✠s✘

✛✜✮

P◗❘

◗◗

◗

P◗❘

◗

✛✭✮

❯❲❘

❲❲

❯❲❘

❲

❲

✛✌✮

❳❨❩

❨❨❳❨❩❨

❨

✛❉✮

❬❭❪

❭❭

❬❭❪

❭ ❭

❆✣✤✳ ✦❆★

❙�✁✳ ❫✝s☛ s☛✟✆♦☎ ❧✝✞✙✝✄✍☎✄ ✝✙ ✞✘✆✎☛✟✞☎ ✠s

❴❵❝

❴❵❝

❵❵

❵❵

✆☎❧✟✎s☎ ❞✠✂☎❞✄✟♦ ✟✞❣♦☎ ✆☎☛☞☎☎✞ ✌❢✸ ❣✄✝✎✥ ✠s ✐❥❦➦

qqqr✈✇①③④①⑤✈r⑤⑥③

Page 20: a tdownload.ssapunjab.org/sub/MathScience/KVYP/KVPY_2010...D d n p q t u v? ^ = x x _ d w > x ~ | z z z} | ~ { {( ) 3 , ( 3 ) , B A ( ) , ( , 3) x 3 x E F ( , 3 0) ( ,) ( 5 ,) D a

✺�✳ ■♥ ✥✁✂ ♥✄❝☎✂❡✆ ✆✂❡❝✥✐✝♥ ❳P❡❚✁✷✞✟✾✠

✷✞✟✾✡ ✎✔ ☛ ❳ ✐s✲

☞✌✮ ✍✵✶✏ ☞✑✮ ✍

✵✶ ☞✒✮ ❍ ☞❉✮ ✓

✕✶

❆✖✗✳ ✭❆✘

❙✙✚✳✵

✶❹ ✂P❡✛✜

✢✣✤❚✁

✛✦

✢✣✤✎✹✔

✺✧✳ ✌ ❝✝♥❝✂♥✥✆❡✥✂❛ s✝☎✄✥✐✝♥ ✝❢ ❝✝★★✂✆ s✄☎★✁❡✥✂❧ ✇✁✐❝✁ ✐s ❛❡✆r ❜☎✄✂ ✐♥ ❝✝☎✝✄✆❧ ❡ ✩✐①✂❛ ❡✥ ✆✝✝✩ ✥✂✩★✂✆❡✥✄✆✂ ✇✐✥✁ ❡

❛✐☎✄✥✂ s✝☎✄✥✐✝♥ ✝❢ ❝✝★★✂✆ s✄☎★✁❡✥✂❧ ✇✁✐❝✁ ✐s ☎✐✪✁✥ ❜☎✄✂☛ ✫✝✆ ✥✁✐s ★✆✝❝✂ss✲

☞✌✮ ✬♥✥✆✝★② ❝✁❡♥✪✂ ✐s ★✝s✐✥✐t✂❧ ❜✄✥ ✂♥✥✁❡☎★② ❝✁❡♥✪✂ ✐s ♥✂✪❡✥✐t✂

☞✑✮ ✬♥✥✆✝★② ❡♥❛ ✂♥✥✁❡☎★② ❝✁❡♥✪✂s ❡✆✂ ❜✝✥✁ ★✝s✐✥✐t✂

☞✒✮ ✬♥✥✆✝★② ❝✁❡♥✪✂ ✐s ★✝s✐✥✐t✂ ❡♥❛ ✂♥✥✁❡☎★② ❛✝✂s ♥✝✥ ❝✁❡♥✪✂

☞❉✮ ✬♥✥✆✝★② ❝✁❡♥✪✂ ✐s ♥✂✪❡✥✐t✂ ❡♥❛ ✂♥✥✁❡☎★② ❝✁❡♥✪✂ ✐s ★✝s✐✥✐t✂

❆✖✗✳ ✭❈✘

❙✙✚✳ ■♥❢✝✆✩❡✥✐t✂

✺✯✳ ■♥❝✆✂❡s✐♥✪ ✥✁✂ ✥✂✩★✂✆❡✥✄✆✂ ✐♥❝✆✂❡s✂s ✥✁✂ ✆❡✥✂ ✝❢ ✆✂❡❝✥✐✝♥ ❜✄✥ ❛✝✂s ♥✝✥ ✐♥❝✆✂❡s✂ ✥✁✂✲

☞✌✮ ♥✄✩❜✂✆ ✝❢ ❝✝☎☎✐s✐✝♥s ☞✑✮ ❡❝✥✐t❡✥✐✝♥ ✂♥✂✆✪②

☞✒✮ ❡t✂✆❡✪✂ ✂♥✂✆✪② ✝❢ ❝✝☎☎✐s✐✝♥s ☞❉✮ ❡t✂✆❡✪✂ t✂☎✝❝✐✥② ✝❢ ✥✁✂ ✆✂❡❝✥❡♥✥ ✩✝☎✂❝✄☎✂s

❆✖✗✳ ✭✰✘

❙✙✚✳ ■♥❢✝✆✩❡✥✐t✂

✺✱✳ ■♥ ✩✂✥❡☎☎✐❝ s✝☎✐❛s❧ ✥✁✂ ♥✄✩❜✂✆ ✝❢ ❡✥✝✩s ❢✝✆ ✥✁✂ ❢❡❝✂✲❝✂♥✥✂✆✂❛ ❡♥❛ ✥✁✂ ❜✝❛②✲❝✂♥✥✂✆✂❛ ❝✄❜✐❝ ✄♥✐✥ ❝✂☎☎s❧ ❡✆✂❧

✆✂s★✂❝✥✐t✂☎②✲

☞✌✮ ✢❧ ✤ ☞✑✮ ✢❧ ✢ ☞✒✮ ✤❧ ✢ ☞❉✮ ✤❧ ✤

❆✖✗✳ ✭❈✘

❙✙✚✳ ✫❝❝ ❋ ✴ ×✴

✜✸ ✻ ×

✢

✜❋ ✤

✑❝❝ ❋ ✴ ×✴

✜✸ ✜ × ✜ ❋ ✢

✺✼✳ ✫✆✝✩ ✂q✄❡✥✐✝♥s ✜ ❡♥❛ ✢❧

✒✽✕ ✒✽ ✸ ✜✿✢ ✽✕ ❀❁❂❃ ❋ ✛☛✜ × ✜✦❹✶❄

❡✥ ✜✦✦✦➸✒❪ ☞✂q☛ ✜✮

❍✕✽ ❍✕ ✸ ✜✿✢ ✽✕ ❀❁❂❃ ❋ ❅☛✜ × ✜✦❹✶✕

❡✥ ✜✦✦✦➸✒❪ ☞✂q☛ ✢✮

✥✁✂ ✂q✄✐☎✐❜✆✐✄✩ ❝✝♥s✥❡♥✥ ❢✝✆ ✥✁✂ ✆✂❡❝✥✐✝♥ ✒✽✕ ✸ ❍✕ ✒✽ ✸ ❍✕✽ ❡✥ ✥✁✂ s❡✩✂ ✥✂✩★✂✆❡✥✄✆✂❧ ✐s✲

☞✌✮ ✦☛❅✴ ☞✑✮ ✢☛✦ ☞✒✮ ✜✻☛✢ ☞❉✮ ✜☛✢✴

❆✖✗✳ ✭❇✘

❙✙✚✳ ☞✐✮ ✒✽✕ ✒✽ ✸✢

✜✽✕ ❁✶ ❋ ✛☛✜ × ✜✦

❹✶❄

☞✐✐✮ ❍✕✽ ❍✕ ✸✢

✜✽✕ ❁✕ ❋ ❅☛✜ × ✜✦

❹✶✕

✽❜❖✂❝✥ ✒✽✕ ✸ ❍✕ ✒✽ ✸ ❍✕✽ ❊❊❊●❏❑▲▼◆▲◗❏●◗❘▼

Page 21: a tdownload.ssapunjab.org/sub/MathScience/KVYP/KVPY_2010...D d n p q t u v? ^ = x x _ d w > x ~ | z z z} | ~ { {( ) 3 , ( 3 ) , B A ( ) , ( , 3) x 3 x E F ( , 3 0) ( ,) ( 5 ,) D a

❡q✉�✁✂✄☎ ✆✂✝ ✆✂✂✝

✮ ✥✶✞

✷

✶

✥

✥✞ ✟✠✡☛

❈t ✞ ❈✵ ❡❹☞t

✮ ✌ ✞ ✌✵ ❡❹☞t

✺✺✳ ❋✄✍ � ✎✂✍✏✁ ✄✍❞❡✍ ✍❡�✑✁✂✄☎ ✌ ✔ P✱ ✁✒❡ ✍�✁❡ ✑✄☎✏✁�☎✁ ✂✏ ✓✠ ✕✎ ✁✒❡ ✂☎✂✁✂�❧ ✑✄☎✑❡☎✁✍�✁✂✄☎ ✄✎ ✌ ✂✏ ❬✌✵❪✱ ✁✒❡

✑✄☎✑❡☎✁✍�✁✂✄☎ ✄✎ ✌ �✁ �☎❛ ✁✂♠❡ ✖✁✖ ✂✏ ✗✂✘❡☎ ❜❛ ✁✒❡ ❡✙✚✍❡✏✏✂✄☎♥

✆✛✝ ❬✌✵❪ ❡☞t

✆✜✝ ❬✌✵❪✆✟ ❡❹☞t❪ ✆❈✝ ❬✌✵❪ ❡

❹☞t✆✢✝ ❬✌✵❪ ✆✟ ❡

☞t✝

❆✣s✳ ✭✤✦

❙✧★✳

✺✩✳ ❚✒❡ ✑✄✍✍❡✑✁ ✏✁✍✉✑✁✉✍❡ ✄✎ P❈❧✸❋✷ ✂✏♥

✆✛✝

✪

✫

✪

✬✯

✬✯

✬✯

✆✜✝

✰

✲✰

✴✹✴✹

✴✹✆❈✝

✻

✼✽✾

✻

✽✾

✽✾

✆✢✝ ✿

❀

✿

✿

❁❂

❁❂

❆✣s✳ ✭❆✦

❙✧★✳ ❈✄✍✍❡✑✁ ✏✁✍✉✑✁✉✍❡ ✄✎ P❈❧✸❋✷ ✂✏

❃

❄

❃❅❇

❅❇

❅❇ ❉❊✐❣♦●❍■ ❏✐♣❊②❑✐▲❍■

✎✄✍ ♠✂☎✂♠✉♠ ✍❡✚✉❧✏✂✄☎ ❜❡✁▼❡❡☎ �✁✄♠✏✠

✺◆✳ ❚✒❡ ❡☎✄☎✁✂✄♠❡✍✂✑ ✚�✂✍ �♠✄☎✗ ✁✒❡ ✎✄❧❧✄▼✂☎✗ ✎✄✉✍ ✏✁✍✉✑✁✉✍❡✏♥

✕✠

❖◗ ❖

✕✕✠

❘

❯❘

❘

✕✕✕✠

❱

❱❲

❱

✕❳✠

❨❩ ❨

✆✛✝ ✕ ❭ ✕✕ ✆✜✝ ✕ ❭ ✕❳ ✆❈✝ ✕✕ ❭ ✕✕✕ ✆✢✝ ✕✕ ❭ ✕❳

❆✣s✳ ✭✤✦

❙✧★✳

❫❴❵

❴❝ ❫ ❴

❴ ❫ ❴

❴ ❫ ❴

❫❴❵

❫❴❵

❴ ❫ ❝❴

❴ ❫ ❴

❴ ❫ ❴

❫❴❵

❢ ❢

❤✂✍✍✄✍ ✂♠�✗❡ ❭ ☎✄✁ ✏✉✚❡✍✂♠✚✄✏�❜❧❡ ✄☎ ❡�✑✒ ✄✁✒❡✍✠ ❥✒✂❧❡ ✑✒✂✍�❧ ✑❡☎✁❡✍ �❜✏❡☎✁ ✂☎ ✕✕ �☎❞ ✕✕✕✠❦❦❦r✈✇①③④①⑤✈r⑤⑥③

Page 22: a tdownload.ssapunjab.org/sub/MathScience/KVYP/KVPY_2010...D d n p q t u v? ^ = x x _ d w > x ~ | z z z} | ~ { {( ) 3 , ( 3 ) , B A ( ) , ( , 3) x 3 x E F ( , 3 0) ( ,) ( 5 ,) D a

✺�✳ ❈✁♥✂✐❞❡✄ ✥❤❡ ✄❡❛❝✥✐✁♥ ✿ ☎ ✆❖✷✭✝✞ ✔ ☎ ✆❖✭✝✞ ✮ ❖✷ ✭✝✞✟ ■♥ ✥❤❡ ❢✐✝✠✄❡ ❜❡❧✁✡✱ ✐❞❡♥✥✐❢☛ ✥❤❡ ❝✠✄r❡✂ ☞✱ ✌ ❛♥❞ ❩

❛✂✂✁❝✐❛✥❡❞ ✡✐✥❤ ✥❤❡ ✥❤✄❡❡ ✂♣❡❝✐❡✂ ✐♥ ✥❤❡ ✄❡❛❝✥✐✁♥♦

❳

❨

✍

❚✎♠✏

✑✒✓✕✖✓✗✘✙✗✚✒✓

✭❆✞ ☞ ❂ ✆❖✱ ✌ ❂ ❖✷✱ ❩ ❂ ✆❖✷ ✭✛✞ ☞ ❂ ❖✷✱ ✌ ❂ ✆❖✱ ❩ ❂ ✆❖✷

✭❈✞ ☞ ❂ ✆❖✸✱ ✌ ❂ ✆❖✱ ❩ ❂ ❖✷ ✭✜✞ ☞ ❂ ❖✷✱ ✌ ❂ ✆❖✷✱ ❩ ❂ ✆❖

✢✣s✳ ✤✢✦

❙✧★✳ ✄ ❂❞✥

❪❖❬❞

❞✥

❪✆❖❬❞

☎

✶

❞✥

❪✆❖❬❞

☎

✶ ✷✷✩✪✩✪

✫ ✆❖✷ ✐✂ ✄❡❛❝✥❛♥✥ ✂✁ ✭❩✞

✄❛✥❡ ✁❢ ❞✐✂ ❛♣♣❡❛✄❛♥❝❡ ✁❢ ✆❖✷ ❂ ✄❛✥❡ ✁❢ ❢✁✄✬❛✥✐✁♥ ✁❢ ✁❢ ✆❖

✯✁ ✆❖ ✐✂ ✭☞✞

✺✰✳ ✲❤❡ ❛✄✁✬❛✥✐❝ ❝❛✄❜✁❝❛✥✐✁♥ ❛✬✁♥✝ ✥❤❡ ❢✁❧❧✁✡✐♥✝ ✐✂♦

✭❆✞ ✴ ✭✛✞

✵

✭❈✞ ✴ ✭✜✞

✹

✢✣s✳ ✤✻✦

❙✧★✳

✼

◆✽✾ ❀✽❁❁✽❃

❍❄❅❦❇❁ ❉❄❁❇

✼

❊❋●❏❑❏

❋❉❇❊❇▲✾

▼▲✽▲❋❁P▲❇❉◗

✼

❘ ❯ ❇❹

❱ ❋❁P▲❇❉

❲✽❁❇❅❄❁❇

▼❭❉✽❲P✾❫❅◗

✼

❊❋●❏❑❏

❋❉❇❊❇▲✾

▼▲✽▲❴❋❁P▲❇❉◗

❵❣✳ ❈☛❝❧✁❤❡❥❡♥❡ ✐✂ ✄❡❛❝✥❡❞ ✡✐✥❤ ❜✄✁✬✐♥❡ ✐♥ ❈❈❧q ✐♥ ✥❤❡ ❞❛✄t✟ ✲❤❡ ♣✄✁❞✠❝✥ ✁❢ ✥❤❡ ✄❡❛❝✥✐✁♥ ✐✂♦

✭❆✞ ✉✈✉✈

✭✛✞✇①

✇①

✭❈✞

②③

✭✜✞

④⑤

✢✣s✳ ✤✢✦

❙✧★✳ ⑥ ⑦⑧⑨⑩⑩❶❷

❸❺⑧❻

⑦⑧

⑦⑧

✛✄✷ ✬✁❧❡❝✠❧❡ ✐✁♥✐❼❡✂ ✁♥ ✐♥✥❡✄❛❝✥✐✁♥ ✡✐✥❤ ❽ ❜✁♥❞

✛✄✷ ❾✔ ✛✄❿

✮ ✿ ✛✄➀

➁❧ ✥ ❤✐❧ ✆ ❧ ❤✐❧

➂➂➂➃➄➅➆➇➈➆➉➄➃➉➊➇

Page 23: a tdownload.ssapunjab.org/sub/MathScience/KVYP/KVPY_2010...D d n p q t u v? ^ = x x _ d w > x ~ | z z z} | ~ { {( ) 3 , ( 3 ) , B A ( ) , ( , 3) x 3 x E F ( , 3 0) ( ,) ( 5 ,) D a

❇�✁✂✁✄☎✻✆✳ ❘✝❜✞♥✟❝❧❡✝❝ ❆❝✝✐✠ ✡❘☛❆☞ ✌✍✎✌ ❝✎✌✎❧t③❡ ❡♥③t♠✎✌✝❝ ✏❡✎❝✌✝✞♥✠ ✎✏❡ ❝✎❧❧❡✐ ✏✝❜✞③t♠❡✠s ❲✍✝❝✍ ✞♥❡ ✞❤ ✌✍❡

❤✞❧❧✞✑✝♥✒ ✎❝✌✠ ✎✠ ✎ ✏✝❜✞③t♠❡ ❄✡❆☞ ❘✝❜✞✠✞♠❡ ✡✭☞ ❆♠t❧✎✠❡ ✡✓☞ ✌❘☛❆ ✡❉☞ ❘✝❜✞❤❧✎❢✝♥

✔✕✖✳ ✗✔✮

✻✘✳ ■♥ ✥✙✼✚✱ ❘✞❜❡✏✌ ✭✞t❧❡ ❝✞♥✐✟❝✌❡✐ ✎♥ ❡✛♣❡✏✝♠❡♥✌ ✑✍❡✏❡ ✝♥ ✍❡ ♣❧✎❝❡✐ ✎ ❢✝♣❡✏ ✡✎ ♣✞✝✠✞♥✞✟✠ ✠♥✎❛❡☞ ✝♥ ✎ ❝✍✎♠❜❡✏✎♥✐ ✏✎♣✝✐❧t ✏❡✐✟❝❡✐ ✌✍❡ ♣✏❡✠✠✟✏❡ ✝♥ ✌✍✎✌ ❝✍✎♠❜❡✏s ❲✍✝❝✍ ✞❤ ✌✍❡ ❤✞❧❧✞✑✝♥✒ ✑✞✟❧✐ ❜❡ ✌✏✟❡ ❄✡❆☞ ✜✎✠ ❜✟❜❜❧❡✠ ✐❡❢❡❧✞♣❡✐ ✝♥ ✌✍❡ ✌✝✠✠✟❡✠ ✞❤ ✌✍❡ ✠♥✎❛❡✡✭☞ ✢✍❡ ❜✎✠✎❧ ♠❡✌✎❜✞❧✝❝ ✏✎✌❡ ✞❤ ✌✍❡ ✠♥✎❛❡ ✝♥❝✏❡✎✠❡✐ ✌✏❡♠❡♥✐✞✟✠❧t✡✓☞ ✢✍❡ ❢❡♥✞♠ ✞❤ ✌✍❡ ✠♥✎❛❡ ✑✎✠ ❤✞✟♥✐ ✌✞ ✐❡❝✏❡✎✠❡ ✝♥ ♣✞✌❡♥❝t✡❉☞ ✢✍❡ ❢❡♥✞♠ ✞❤ ✌✍❡ ✠♥✎❛❡ ✑✎✠ ❤✞✟♥✐ ✌✞ ✝♥❝✏❡✎✠❡ ✝♥ ♣✞✌❡♥❝t

✔✕✖✳ ✗✔✮

✻✣ ✭✎❝✌❡✏✝✎ ❝✎♥ ✠✟✏❢✝❢❡ ❜t ✎❜✠✞✏❜✝♥✒ ✠✞❧✟❜❧❡ ♥✟✌✏✝❡♥✌✠ ❢✝✎ ✌✍❡✝✏ ✞✟✌❡✏ ❜✞✐t ✠✟✏❤✎❝❡✱ ❜✟✌ ✎♥✝♠✎❧✠ ❝✎♥♥✞✌✱ ❜❡❝✎✟✠❡✡❆☞ ✭✎❝✌❡✏✝✎ ❝✎♥♥✞✌ ✝♥✒❡✠✌ ♣✎✏✌✝❝❧❡✠ ❜✟✌ ✎♥✝♠✎❧✠ ❝✎♥✡✭☞ ✭✎❝✌❡✏✝✎ ✍✎❢❡ ❝❡❧❧ ✑✎❧❧✠ ✎♥✐ ✎♥✝♠✎❧✠ ✐✞ ♥✞✌✡✓☞ ❆♥✝♠✎❧✠ ✍✎❢❡ ✌✞✞ ✠♠✎❧❧ ✎ ✠✟✏❤✎❝❡ ✎✏❡✎ ♣❡✏ ✟♥✝✌ ❢✞❧✟♠❡ ✎✠ ❝✞♠♣✎✏❡✐ ✌✞ ❜✎❝✌❡✏✝✎✡❉☞ ❆♥✝♠✎❧✠ ❝✎♥♥✞✌ ♠❡✌✎❜✞❧✝③❡ ✠✞❧✟❜❧❡ ♥✟✌✏✝❡♥✌✠

✔✕✖✳ ✗❈✮

✻✤✳ ❆ ✍✞✏✠❡ ✍✎✠ ✙✦ ❝✍✏✞♠✞✠✞♠❡✠ ✎♥✐ ✎ ✐✞♥❛❡t ✍✎✠ ✙✷s ▼✟❧❡✠ ✏❡✠✟❧✌ ❤✏✞♠ ❝✏✞✠✠✝♥✒ ✎ ✍✞✏✠❡ ✎♥✐ ✎ ✐✞♥❛❡ts ✧✌✎✌❡✑✍✝❝✍ ✞❤ ✌✍❡ ❤✞❧❧✞✑✝♥✒ ✝✠ ■☛✓❖❘❘❊✓✢ ❄✡❆☞ ▼✟❧❡✠ ❝✎♥ ✍✎❢❡ ❡✝✌✍❡✏ ✙✦✱ ✙★ ✞✏ ✙✷ ❝✍✏✞♠✞✠✞♠❡✠✡✭☞ ▼✟❧❡✠ ✎✏❡ ✝♥❤❡✏✌✝❧❡✡✓☞ ▼✟❧❡✠ ✍✎❢❡ ✑❡❧❧ ✐❡❤✝♥❡✐ ✒❡♥✐❡✏ ✡♠✎❧❡✩❤❡♠✎❧❡☞✡❉☞ ▼✟❧❡✠ ✍✎❢❡ ✙★ ❝✍✏✞♠✞✠✞♠❡✠

✔✕✖✳ ✗✔✮

✻✪✳ ■❤ ✌✍❡ ✌✞✌✎❧ ♥✟♠❜❡✏ ✞❤ ♣✍✞✌✞♥✠ ❤✎❧❧✝♥✒ ♣❡✏ ✟♥✝✌ ✎✏❡✎ ✞❤ ✎ ❧❡✎❤ ♣❡✏ ♠✝♥✟✌❡ ✝✠ ❛❡♣✌ ❝✞♥✠✌✎♥✌✱ ✌✍❡♥ ✑✍✝❝✍ ✞❤ ✌✍❡❤✞❧❧✞✑✝♥✒ ✑✝❧❧ ✏❡✠✟❧✌ ✝♥ ♠✎✛✝♠✟♠ ♣✍✞✌✞✠t♥✌✍❡✠✝✠ ❄✡❆☞ ✧✍✝♥✝♥✒ ✒✏❡❡♥ ❧✝✒✍✌ ✡✭☞ ✧✍✝♥✝♥✒ ✠✟♥❧✝✒✍✌✡✓☞ ✧✍✝♥✝♥✒ ❜❧✟❡ ❧✝✒✍✌ ✡❉☞ ✧✍✝♥✝♥✒ ✟❧✌✏✎❢✝✞❧❡✌ ❧✝✒✍✌

✔✕✖✳ ✗❈✮

✻✻✳ P✎✌✍✫❤✝♥✐✝♥✒ ❜t ✎♥✌✠ ✝✠ ❜t ♠❡✎♥✠ ✞❤✫✡❆☞ ✬✝✠✟✎❧❧t ✞❜✠❡✏❢✝♥✒ ❧✎♥✐♠✎✏❛✠ ✡✭☞ ✬✝✠✟✎❧❧t ✞❜✠❡✏❢✝♥✒ ✞✌✍❡✏ ✎♥✌✠✡✓☞ ✓✍❡♠✝❝✎❧ ✠✝✒♥✎❧✠ ❜❡✌✑❡❡♥ ✎♥✌✠ ✡❉☞ ✯✠✝♥✒ ✌✍❡ ❡✎✏✌✍✰✠ ♠✎✒♥❡✌✝❝ ❤✝❡❧✐

✔✕✖✳ ✗❈✮

✻✲✳ ✧✞♠❡✌✝♠❡✠ ✟✏❡✎ ✝✠ ❤❡✐ ✌✞ ✏✟♠✝♥✎♥✌✠ ✌✞ ✝♠♣✏✞❢❡ ✌✍❡✝✏ ✍❡✎❧✌✍s ■✌ ✑✞✏❛✠ ❜t✫✡❆☞ ❍❡❧♣✝♥✒ ✒✏✞✑✌✍ ✞❤ ✒✟✌ ♠✝❝✏✞❜❡✠ ✌✍✎✌ ❜✏❡✎❛ ✐✞✑♥ ❝❡❧❧✟❧✞✠❡✡✭☞ ❑✝❧❧✝♥✒ ✍✎✏♠❤✟❧ ♠✝❝✏✞✞✏✒✎♥✝✠♠✠ ✝♥ ✌✍❡✝✏ ✒✟✌✡✓☞ ■♥❝✏❡✎✠✝♥✒ ✠✎❧✌ ❝✞♥✌❡♥✌ ✝♥ ✌✍❡ ✒✟✌✡❉☞ ❉✝✏❡❝✌❧t ✠✌✝♠✟❧✎✌✝♥✒ ❜❧✞✞✐ ❝❡❧❧ ♣✏✞❧✝❤❡✏✎✌✝✞♥

✴✴✴✵✶✸✹✺✽✹✾✶✵✾✿✺

Page 24: a tdownload.ssapunjab.org/sub/MathScience/KVYP/KVPY_2010...D d n p q t u v? ^ = x x _ d w > x ~ | z z z} | ~ { {( ) 3 , ( 3 ) , B A ( ) , ( , 3) x 3 x E F ( , 3 0) ( ,) ( 5 ,) D a

✻�✳ ■❢ ②♦✉ ✁♦♠♣❛✂❡ ❛✄✉☎✆✝ ♦❢ ✆t♦ ❤❡✂❜✐✈♦✂❡ ✝♣❡✁✐❡✝ ♦❢ ✄✐❢❢❡✂❡✞✆ ✝✐③❡✝✟ ❜✉✆ ❢✂♦♠ ✆❤❡ ✝❛♠❡ ✥❡♦✥✂❛♣❤✐✁❛☎ ❛✂❡❛✟ ✆❤❡

❛♠♦✉✞✆ ♦❢ ❢❛❡✁❡✝ ♣✂♦✄✉✁❡✄ ♣❡✂ ✠✥ ❜♦✄② t❡✐✥❤✆ t♦✉☎✄ ❜❡✡

✭❆✮ ☛♦✂❡ ✐✞ ✆❤❡ ✝♠❛☎☎❡✂ ♦✞❡ ✆❤❛✞ ✆❤❡ ☎❛✂✥❡✂ ♦✞❡

✭❇✮ ☛♦✂❡ ✐✞ ✆❤❡ ☎❛✂✥❡✂ ♦✞❡ ✆❤❛✞ ✆❤❡ ✝♠❛☎☎❡✂ ♦✞❡

✭❈✮ ☞♦✉✥❤☎② ✆❤❡ ✝❛♠❡ ❛♠♦✉✞✆ ✐✞ ❜♦✆❤

✭❉✮ ✌♦✆ ♣♦✝✝✐❜☎❡ ✆♦ ♣✂❡✄✐✁✆ t❤✐✁❤ t♦✉☎✄ ❜❡ ♠♦✂❡

✍✎s✳ ✏✍✑

✻✒✳ ❋✂✉✐✆ t✂❛♣♣❡✄ ✐✞ ♣❛♣❡✂ ✂✐♣❡✞✝ ❢❛✝✆❡✂ ✆❤❛✞ t❤❡✞ ✠❡♣✆ ✐✞ ♦♣❡✞ ❛✐✂ ❜❡✁❛✉✝❡✡

✭❆✮ ✓❡❛✆ ♦❢ ✂❡✝♣✐✂❛✆✐♦✞ ✐✝ ✂❡✆❛✐✞❡✄ ❜❡✆✆❡✂

✭❇✮ ❆ ✁❤❡♠✐✁❛☎ ✐✞ ✆❤❡ ♣❛♣❡✂ ❤❡☎♣✝ ❢✂✉✐✆ ✂✐♣❡✞✐✞✥

✭❈✮ ❆ ✈♦☎❛✆✐☎❡ ✝✉❜✝✆❛✞✁❡ ♣✂♦✄✉✁❡✄ ❜② ✆❤❡ ❢✂✉✐✆ ✐✝ ✂❡✆❛✐✞❡✄ ❜❡✆✆❡✂ ❛✞✄ ❤❡☎♣✝ ✐✞ ✂✐♣❡✞✐✞✥

✭❉✮ ✔❤❡ ❢✂✉✐✆ ✐✝ ✁✉✆ ♦❢❢ ❢✂♦♠ ✆❤❡ ❛♠❜✐❡✞✆ ♦①②✥❡✞ t❤✐✁❤ ✐✝ ❛✞ ✐✞❤✐❜✐✆♦✂ ✆♦ ❢✂✉✐✆ ✂❡♣❡✞✐✞✥

✍✎s✳ ✏✕✑

✼✖✳ ❲❤❡✞ ❛ ♣❡✂✝♦✞ ✐✝ ✝✉❢❢❡✂✐✞✥ ❢✂♦♠ ❤✐✥❤ ❢❡✈❡✂✟ ✐✆ ✐✝ ✝♦♠❡✆✐♠❡✝ ♦❜✝❡✂✈❡✄ ✆❤❛✆ ✆❤❡ ✝✠✐✞ ❤❛✝ ❛ ✂❡✄✄✐✝❤ ✆✐✞✥❡✗ ❲❤②

✄♦❡✝ ✆❤✐✝ ❤❛♣♣❡✞ ♥

✭❆✮ ☞❡✄ ✁♦☎♦✉✂ ♦❢ ✆❤❡ ✝✠✐✞ ✂❛✄✐❛✆❡✝ ♠♦✂❡ ❤❡❛✆

✭❇✮ ❋❡✈❡✂ ✁❛✉✝❡✝ ✆❤❡ ✂❡☎❡❛✝❡ ♦❢ ❛ ✂❡✄ ♣✐✥♠❡✞✆ ✐✞ ✆❤❡ ✝✠✐✞

✭❈✮ ✔❤❡✂❡ ✐✝ ♠♦✂❡ ❜☎♦♦✄ ✁✐✂✁✉☎❛✆✐♦✞ ✆♦ ✆❤❡ ✝✠✐✞ ✆♦ ✠❡❡♣ ✆❤❡ ❜♦✄② t❛✂♠

✭❉✮ ✔❤❡✂❡ ✐✝ ♠♦✂❡ ❜☎♦♦✄ ✁✐✂✁✉☎❛✆✐♦✞ ✆♦ ✆❤❡ ✝✠✐✞ ✆♦ ✂❡☎❡❛✝❡ ❤❡❛✆ ❢✂♦♠ ✆❤❡ ❜♦✄②

✍✎s✳ ✏✘✑

✼✙✳ ❇❛✁✆❡✂✐♦✁❤☎♦✂♦♣❤②☎☎✝ ❛✂❡ ♣❤♦✆♦✝②✞✆❤❡✆✐✁ ♣✐✥♠❡✞✆✝ ❢♦✉✞✄ ✐✞ ♣❤♦✆♦✆✂♦♣❤✐✁ ❜❛✁✆❡✂✐❛✗ ✔❤❡✐✂ ❢✉✞✁✆✐♦✞ ✐✝ ✄✐✝✆✐✞✁✆

❢✂♦♠ ✆❤❡ ♣☎❛✞✆ ✁❤☎♦✂♦♣❤②☎☎✝ ✐✞ ✆❤❛✆ ✆❤❡②✡

✭❆✮ ✄♦ ✞♦✆ ♣✂♦✄✉✁❡ ♦①②✥❡✞ ✭❇✮ ✄♦ ✞♦✆ ✁♦✞✄✉✁✆ ♣❤♦✆♦✝②✞✆❤❡✝✐✝

✭❈✮ ❛❜✝♦✂❜ ♦✞☎② ❜☎✉❡ ☎✐✥❤✆ ✭❉✮ ❢✉✞✁✆✐♦✞ t✐✆❤♦✉✆ ❛ ☎✐✥❤✆ ✝♦✉✂✁❡

✍✎s✳ ✏✍✑

✼✚✳ ❆✆❤☎❡✆❡✝ ♦❢✆❡✞ ❡①♣❡✂✐❡✞✁❡ ♠✉✝✁☎❡ ✁✂❛♠♣✝✗ ❲❤✐✁❤ ♦❢ ✆❤❡ ❢♦☎☎♦t✐✞✥ ✝✆❛✆❡♠❡✞✆✝ ✐✝ ✆✂✉❡ ♠✉✝✁☎❡ ✁✂❛♠♣✝ ♥

✭❆✮ ☛✉✝✁☎❡ ✁✂❛♠♣ ✐✝ ✁❛✉✝❡✄ ✄✉❡ ✆♦ ✁♦✞✈❡✂✝✐♦✞ ♦❢ ♣②✂✉✈✐✁ ❛✁✐✄ ✐✞✆♦ ☎❛✁✆✐✁ ❛✁✐✄ ✐✞ ✆❤❡ ✁②✆♦♣☎❛✝♠

✭❇✮ ☛✉✝✁☎❡ ✁✂❛♠♣ ✐✝ ✁❛✉✝❡✄ ✄✉❡ ✆♦ ✁♦✞✈❡✂✝✐♦✞ ♦❢ ♣②✂✉✈✐✁ ❛✁✐✄ ✐✞✆♦ ☎❛✁✆✐✁ ❛✁✐✄ ✐✞ ✆❤❡ ♠✐✆♦✁❤♦✞✄✂✐❛

✭❈✮ ☛✉✝✁☎❡ ✁✂❛♠♣ ✐✝ ✁❛✉✝❡✄ ✄✉❡ ✆♦ ✞♦✞✁♦✞✈❡✂✝✐♦✞ ♦❢ ✥☎✉✁♦✝❡ ✆♦ ♣②✂✉✈❛✆❡ ✐✞ ✆❤❡ ✁②✆♦♣☎❛✝♠

✭❉✮ ☛✉✝✁☎❡ ✁✂❛♠♣ ✐✝ ✁❛✉✝❡✄ ✄✉❡ ✆♦ ✁♦✞✈❡✂✝✐♦✞ ♦❢ ♣②✂✉✈✐✁ ❛✁✐✄ ✐✞✆♦ ❡✆❤❛✞♦☎ ✐✞ ✆❤❡ ✁②✆♦♣☎❛✝♠

✍✎s✳ ✏✍✑

✼✛✳ ❆ ✁♦✉♣☎❡ t❡✞✆ ✆♦ ❛ ✄♦✁✆♦✂ ❛✞✄ ✂❡♣♦✂✆❡✄ ✆❤❛✆ ❜♦✆❤ ♦❢ ✆❤❡♠ ❛✂❡ ✧✁❛✂✂✐❡✂✝✧ ❢♦✂ ❛ ♣❛✂✆✐✁✉☎❛✂ ✄✐✝♦✂✄❡✂✟ ✆❤❡✐✂ ❢✐✂✝✆

✁❤✐☎✄ ✐✝ ✝✉❢❢❡✂✐✞✥ ❢✂♦♠ ✆❤❛✆ ✄✐✝♦✂✄❡✂ ❛✞✄ ✆❤❛✆ ✆❤❡② ❛✂❡ ❡①♣❡✁✆✐✞✥ ✆❤❡✐✂ ✝❡✁♦✞✄ ✁❤✐☎✄✗ ❲❤❛✆ ✐✝ ✆❤❡ ♣✂♦❜❛❜✐☎✐✆②

✆❤❛✆ ✆❤❡ ✞❡t ✁❤✐☎✄ t♦✉☎✄ ❜❡ ❛❢❢❡✁✆❡✄ ❜② ✆❤❡ ✝❛♠❡ ✄✐✝♦✂✄❡✂ ♥

✭❆✮ ✜✢✢ ✵ ✭❇✮ ✣✢ ✵ ✭❈✮ ✤✣ ✵ ✭❉✮ ✦✣ ✵

✍✎s✳ ✏✕✑

✼★✳ ❖❢ ✆❤❡ ❢♦☎☎♦t✐✞✥ ✁♦♠❜✐✞❛✆✐♦✞✝ ♦❢ ✁❡☎☎ ❜✐♦☎♦✥✐✁❛☎ ♣✂♦✁❡✝✝❡✝ t❤✐✁❤ ♦✞❡ ✐✝ ❛✝✝♦✁✐❛✆❡✄ t✐✆❤ ❡♠❜✂②♦✥❡✞❡✝✐✝ ♥

✭❆✮ ☛✐✆♦✝✐✝ ❛✞✄ ☛❡✐♦✝✐✝ ✭❇✮ ☛✐✆♦✝✐✝ ❛✞✄ ❉✐❢❢❡✂❡✞✆✐❛✆✐♦✞

✭❈✮ ☛❡✐♦✝✐✝ ❛✞✄ ❉✐❢❢❡✂❡✞✆✐❛✆✐♦✞ ✭❉✮ ❉✐❢❢❡✂❡✞✆✐❛✆✐♦✞ ❛✞✄ ☞❡♣✂♦✥✂❛♠♠✐✞✥

✍✎s✳ ✏✩✑✪✪✪✫✬✯✰✱✲✰✴✬✫✴✶✱

Page 25: a tdownload.ssapunjab.org/sub/MathScience/KVYP/KVPY_2010...D d n p q t u v? ^ = x x _ d w > x ~ | z z z} | ~ { {( ) 3 , ( 3 ) , B A ( ) , ( , 3) x 3 x E F ( , 3 0) ( ,) ( 5 ,) D a

✼�✳ ❈✁♥✈❡✂✄☎✁♥ ✁✆ t✝❡ ✞t ♣✂✁t✁①☎♥ ♣✂✁✥✟✠❡✥ ✡② ❇☛❝☞❧❧✉✌ ✍❤✉✎☞✏❣☞✑✏✌☞✌ t✁ ☎t✄ ❛✠t☎✈❡ ✆✁✂♠ ☎♥ t✝❡ ✒✟t ✁✆ t✝❡ ☎♥✄❡✠t✄ ☎✄

♠❡✥☎❛t❡✥ ✡②✓

✭❆✮ ❛✠☎✥☎✠ ♣❍ ✁✆ t✝❡ ✒✟t ✭✞✮ ❛✔✕❛✔☎♥❡ ♣❍ ✁✆ t✝❡ ✒✟t

✭❈✮ ✔☎♣☎✥ ♠✁✥☎✆☎✠❛t☎✁♥ ✁✆ t✝❡ ♣✂✁t❡☎♥ ✭✖✮ ✠✔❡❛✈❛✒❡ ✡② ✠✝②♠✁t✂②♣✄☎♥

✗✘s✳ ✙✚✛

✼✜✳ ■✆ ②✁✟ ✥☎♣ ❛ ✄❛✠✕ ✆✟✔✔ ✁✆ ♣❛✥✥② ✄❡❡✥✄ ☎♥ ✢❛t❡✂ ✁✈❡✂♥☎✒✝t ❛♥✥ t✝❡♥ ✕❡❡♣ ☎t ✁✟t ✆✁✂ ❛ ✠✁✟♣✔❡ ✁✆ ✥❛②✄✱ ☎t ✆❡❡✔✄

✢❛✂♠✣ ✤✝❛t ✒❡♥❡✂❛t❡✄ t✝☎✄ ✝❡❛t ✦

✭❆✮ ■♠✡☎✡❛t☎✁♥

✭✞✮ ✧①✁t✝❡✂♠☎✠ ✂❡❛✠t☎✁♥ ✡❡t✢❡❡♥ ✢❛t❡✂ ❛♥✥ ✄❡❡✥ ✠✁❛t✄

✭❈✮ ❋✂☎✠t☎✁♥ ❛♠✁♥✒ ✄❡❡✥✄ ✥✟❡ t✁ ✄✢❡✔✔☎♥✒

✭✖✮ ★❡✄♣☎✂❛t☎✁♥

✗✘s✳ ✙❉✛

✼✼✳ ★❡✄t✂☎✠t☎✁♥ ❡♥✥✁♥✟✠✔❡❛✄❡✄ ❛✂❡ ❡♥✩②♠❡✄ t✝❛t ✠✔❡❛✈❡ ✖✪❆ ♠✁✔❡✠✟✔❡✄ ☎♥t✁ ✄♠❛✔✔❡✂ ✆✂❛✒♠❡♥t✄✣ ✤✝☎✠✝ t②♣❡ ✁✆

✡✁♥✥ ✥✁ t✝❡② ❛✠t ✁♥ ✦

✭❆✮ ✪✓✒✔②✠✁✄☎✥☎✠ ✞✁♥✥ ✭✞✮ ❍②✥✂✁✒❡♥ ✡✁♥✥

✭❈✮ P✝✁✄♣✝✁✥☎❡✄t❡✂ ✡✁♥✥ ✭✖✮ ✖☎✄✟✔✆☎✥❡ ✡✁♥✥

✗✘s✳ ✙✫✛

✼✬✳ ❚✝❡ ✆✔✟☎✥ ♣❛✂t ✁✆ ✡✔✁✁✥ ✆✔✁✢✄ ☎♥ ❛♥✥ ✁✟t ✁✆ ✠❛♣☎✔✔❛✂☎❡✄ ☎♥ t☎✄✄✟❡ t✁ ❡①✠✝❛♥✒❡ ♥✟t✂☎❡♥t✄ ❛♥✥ ✢❛✄t❡ ♠❛t❡✂☎❛✔✄✣

❯♥✥❡✂ ✢✝☎✠✝ ✁✆ t✝❡ ✆✁✔✔✁✢☎♥✒ ✠✁♥✥☎t☎✁♥✄ ✢☎✔✔ ✆✔✟☎✥ ✆✔✁✢ ✁✟t ✆✂✁♠ t✝❡ ✠❛♣☎✔✔❛✂☎❡✄ ☎♥t✁ t✝❡ ✄✟✂✂✁✟♥✥☎♥✒ t☎✄✄✟❡ ✦

✭❆✮ ✤✝❡♥ ❛✂t❡✂☎❛✔ ✡✔✁✁✥ ♣✂❡✄✄✟✂❡ ❡①✠❡❡✥✄ ✡✔✁✁✥ ✁✄♠✁t☎✠ ♣✂❡✄✄✟✂❡

✭✞✮ ✤✝❡♥ ❛✂t❡✂☎❛✔ ✡✔✁✁✥ ♣✂❡✄✄✟✂❡ ☎✄ ✔❡✄✄ t✝❛♥ ✡✔✁✁✥ ✁✄♠✁t☎✠ ♣✂❡✄✄✟✂❡

✭❈✮ ✤✝❡♥ ❛✂t❡✂☎❛✔ ✡✔✁✁✥ ♣✂❡✄✄✟✂❡ ☎✄ ❡✯✟❛✔ t✁ ✡✔✁✁✥ ✁✄♠✁t☎✠ ♣✂❡✄✄✟✂❡

✭✖✮ ❆✂t❡✂☎❛✔ ✡✔✁✁✥ ♣✂❡✄✄✟✂❡ ❛♥✥ ✡✔✁✁✥ ✁✄♠✁t☎✠ ♣✂❡✄✄✟✂❡ ✝❛✈❡ ♥✁t✝☎♥✒ t✁ ✥✁ ✢☎t✝ t✝❡ ✁✟t✆✔✁✢ ✁✆ ✆✔✟☎✥ ✆✂✁♠

✠❛♣☎✔✔❡✂☎❡✄

✗✘s✳ ✙✗✛

✼✰✳ ❚✝❡ ✥☎✄t❛♥✠❡ ✡❡t✢❡❡♥ t✢✁ ✠✁♥✄❡✠✟t☎✈❡ ✖✪❆ ✡❛✄❡ ♣❛☎✂✄ ☎✄ ✵✣✸✹ ♥♠✣ ■✆ t✝❡ ✔❡♥✒t✝ ✁✆ ❛ ✠✝✂✁♠✁✄✁♠❡ ☎✄ ✐ ♠♠✱

t✝❡ ♥✟♠✡❡✂ ✁✆ ✡❛✄❡ ♣❛☎✂✄ ☎♥ t✝❡ ✠✝✂✁♠✁✄✁♠❡ ☎✄ ❛♣♣✂✁①☎♠❛t❡✔②✓

✭❆✮ ✸ ♠☎✔✔☎✁♥ ✭✞✮ ✸✵ ♠☎✔✔☎✁♥ ✭❈✮ ✐✣✲ ♠☎✔✔☎✁♥ ✭✖✮ ✴ ♠☎✔✔☎✁♥

✗✘s✳ ✙✗✛

✬✽✳ ✧✄t☎♠❛t❡ t✝❡ ✁✂✥❡✂ ✁✆ t✝❡ ✄♣❡❡✥ ✁✆ ♣✂✁♣❛✒❛t☎✁♥ ✁✆ ❛♥ ❛✠t☎✁♥ ♣✁t❡♥t☎❛✔ ✁✂ ♥❡✂✈❡ ☎♠♣✟✔✄❡ ✓

✭❆✮ ♥♠✶✄ ✭✞✮ ♠☎✠✂✁♥✶✄ ✭❈✮ ✠♠✶✄ ✭✖✮ ♠✶✄

✗✘s✳ ✙❉✛

✷✷✷✺✻✾✿❀❁✿❂✻✺❂❃❀

Page 26: a tdownload.ssapunjab.org/sub/MathScience/KVYP/KVPY_2010...D d n p q t u v? ^ = x x _ d w > x ~ | z z z} | ~ { {( ) 3 , ( 3 ) , B A ( ) , ( , 3) x 3 x E F ( , 3 0) ( ,) ( 5 ,) D a

P�✁✂✄☎

✂❚✆✄✝✞✟✠✡ ☛☞✌✡t✍✆♦

▼✎✏✑✒▼✎✏✓✔✕

✽✖✳ ✥✗✗✘✙✚✛ ✜❤✛ ✛❡✢✘✙✣✐✤✙ ✤✦♥

✹✴✶✷✴✶

❡✧★❡ ✩

✪✫✬

✭✮ ✯ ✐✙ ✰✛✱✗✛✘✣✐✙✚ ✢✤✲✛✗✣ ✤✦ ❡✵ ❙✸✢✢✤✣✛ ✜❤✛ ✱✤✛✦✦✐✱✐✛✙✜ ✤✦ ✜❤✛ ✦✐✗✣✜

✜❤✗✛✛ ✜✛✗♠✣ ✦✤✗♠ ✘✙ ✘✗✐✜❤♠✛✜✐✱ ✢✗✤✚✗✛✣✣✐✤✙✵ ✺❤✛✙ ✜❤✛ ✙✸♠✻✛✗ ✤✦ ✜✛✗♠✣ ✐✙ ✜❤✛ ✛❡✢✘✙✣✐✤✙ ❤✘✈✐✙✚ ✐✙✜✛✚✛✗✢✤✲✛✗✣ ✤✦ ❡ ✐✣✼✾✥✿ ★ ✾❀✿ ✧ ✾❁✿ ❂ ✾❉✿ ♠✤✗✛ ✜❤✘✙ ❂

❆❃s✳ ❄❈❅

❇❊❋✳ ✺r●✶ ❍ ♥❁♥ ✾❡✶✴✷✿♥■r ❏❑▲◆ ✿❡✧✾★ ❍ ❑

❏❖◗❘

❏❏

◗❡

✧❁ ❯

✺◆❱ ✺❘❱ ✺❖ ❲ ✥❳

✧❁✧ ◆◗

❍ ◗❁❨ ❩ ❘❘

◗

✧❁

✙ ★ ❍❬

✿★✙✾✙ ❭ ❪ ✙ ❍ ❬

❫✗❂★❴ ❭ ❍ ❵✙✜✛✚✛✗✣ ✗ ❍ ❛❱ ❫❱ ❬

✽❜✳ ❝✛✜ ✗ ✻✛ ✘ ✗✛✘❞ ✙✸♠✻✛✗ ✘✙✰ ✙ ❢ ❣ ✻✛ ✣✸✱❤ ✜❤✘✜ ✜❤✛ ✢✤❞❥✙✤♠✐✘❞ ✧❡❘ ❩ ✧❡ ❩ ★ ✰✐✈✐✰✛✣ ✜❤✛ ✢✤❞❥✙✤♠✐✘❞ ✾❡ ❩ ★✿◗ ✗✵✺❤✛✙ ✾✙❱ ✗✿ ✱✘✙ ✻✛✼

✾✥✿ ✾❫❛❛❛❱ ❫◆❨❨❨✿ ✾❀ ✩✪✫✬

✭✮

◆❨❨❨❫★❱❫❛❛❛ ✾❁✿ ✩

✪✫✬

✭✮

◆❨❨❨◆❨❨❨

❫★❱❫ ✾❉✿ ✩

✪✫✬

✭✮

❫❛❛❛★❱❫❛❛❛

❆❃s✳ ❄❦❅❇❊❋✳ ✧❡❘ ❩ ✧❡ ❩ ★ ❍ ❛

❡ ❍✧✐★✯❭ ❱

✧✐★❭❭

❡ ✣✘✜✐✣✦✐✛✣ ✾❡ ❩ ★✿◗ ✗ ❍ ❛◗

★✧✐★

✩✪✫✬

✭✮ ✯❧❭ ✗ ❍ ❛

◗

✧✐★✩✪✫✬

✭✮ ❧ ✗ ❍ ❛

◗◗

✧✐★

✧★

✩✩✪

✫✬✬✭

✮ ✯✩✩✪

✫✬✬✭

✮ ❍ ✗

♣q✉♣

✇①②

③③④

⑤⑥⑥⑦

⑧③③④

⑤⑥⑥⑦

⑧ ⑨⑩❶ ❷

❸❹❺ ❶ ❷✇❻❼❽❹❺ ❶ ❷✇❻❼ ❾❿❼➀ ➁➂✇❿ ❿ ❶ ➃➄❼➅➆➇❼➀ ❾➈ ➉❿ ❶ ➉➊➊➊

❷ ❶q➋➋➋

①②③③④

⑤⑥⑥⑦

⑧❶ ➌➋➋➋➉

② ➍➍➍➎➏➐➑➒➓➑➔➏➎➔→➒

Page 27: a tdownload.ssapunjab.org/sub/MathScience/KVYP/KVPY_2010...D d n p q t u v? ^ = x x _ d w > x ~ | z z z} | ~ { {( ) 3 , ( 3 ) , B A ( ) , ( , 3) x 3 x E F ( , 3 0) ( ,) ( 5 ,) D a

✽�✳ ❙✁✂✂✄☎❡ ✆✝ ✞ ✆✟❡ ✟❡✆✠ ♥✁♠✞❡✟☎ ☎✁❝✡ ✥✡✆✥ ✆✞ ✼ ☛☞ ✌✡✐❝✡ ✄✍ ✥✡❡ ✍✄✠✠✄♦✐♥✎ ✍✄✁✟ ✍✐✎✁✟❡☎ ✟❡✂✟❡☎❡♥✥☎ ✥✡❡ ❝✁✟✈❡

✭✏ ✆① ✞✑✭✞①✷

✒ ✆✏✷

✆✞✑ ✓ ☛ ✵

✭✔✑ ✭✕✑

✭✖✑ ✭✗✑

❆✘s✳ ✙✚✮

✛✜✢✳ ✏ ✓ ✆① ✒ ✞ ✆♥❛ ✶✞

✏

✆

①✷✷

✣✤

☎✠✄✂❡ ✓ ✆

✍✄✟ ✥✡❡ ✠✐♥❡✝ ✏ ✐♥✥❡✟❝❡✂✥ ✓ ✞

✦✐✎☞✶ ✍✄✟ ✠✐♥❡ ✧ ✆ ★ ☛ ✝ ✞ ❃ ☛ ✡❡♥❝❡ ✥✡❡ ✄✥✡❡✟ ✍✐✎☞ ❝✆♥♥✄✥ ✞❡ ✆♥ ❡✠✠✐✂☎❡

✦✐✎☞❋ ✆ ❃ ☛ ✝ ✞ ★ ☛ ✡❡♥❝❡ ✥✡❡ ✍✐✎☞ ✐☎ ✆ ✡✏✂❡✟✞✄✠✆

❙✐♠✐✠✆✟✠✏ ✏✄✁ ❝✆♥ ❝✡❡❝✩ ✟❡☎✥ ❋ ✄✂✥✐✄♥☎

✽✪✳ ✔♠✄♥✎ ✆✠✠ ❝✏❝✠✐❝ ✫✁✆❛✟✐✠✆✥❡✟✆✠☎ ✐♥☎❝✟✐✞❡❛ ✐♥ ✆ ❝✐✟❝✠❡ ✄✍ ✟✆❛✐✁☎ ❘ ♦✐✥✡ ✄♥❡ ✄✍ ✐✥☎ ✆♥✎✠❡☎ ❡✫✁✆✠ ✥✄ ✶❋☛✬☞

✖✄♥☎✐❛❡✟ ✥✡❡ ✄♥❡ ♦✐✥✡ ♠✆①✐♠✁♠ ✂✄☎☎✐✞✠❡ ✆✟❡✆☞ ✯✥☎ ✆✟❡✆ ✐☎✰

✭✔✑ ❋ ❘✷

✭✕✑ ✸ ❘✷

✭✖✑ ❋ ❘✷

✭✗✑ ✸✱ ❘✷

❆✘s✳ ✙✚✮

✛✜✢✳

✲

✲ ✲

✴✹➸ ✻✹➸

✻✹➸✴✹➸

✔ ✓ ❋ ✺❋

✶✺ ✾ ❘ ✺ ❘ ✓ ✾ ❘

✷

✽✿✳ ❚✡❡ ✍✄✠✠✄♦✐♥✎ ✍✐✎✁✟❡ ☎✡✄♦☎ ✥✡❡ ✎✟✆✂✡ ✄✍ ✆ ❛✐✍✍❡✟❡♥✥✐✆✞✠❡ ✍✁♥❝✥✐✄♥ ✏ ✓ ✍✭①✑ ✄♥ ✥✡❡ ✐♥✥❡✟✈✆✠ ❀✆✝ ✞❁

✭♥✄✥ ❝✄♥✥✆✐♥✐♥✎ ☛✑☞

❂ ❜

② ❄ ❢❅❇❈

▲❡✥ ✎✭①✑ ✓ ✍✭①✑ ❉ ① ♦✡✐❝✡ ✄✍ ✥✡❡ ✍✄✠✠✄♦✐♥✎ ✐☎ ✆ ✂✄☎☎✐✞✠❡ ✎✟✆✂✡ ✄✍ ✏ ✓ ✎✭①✑ ✵❊❊❊●❍■❏❑▼❏◆❍●◆❖❑

Page 28: a tdownload.ssapunjab.org/sub/MathScience/KVYP/KVPY_2010...D d n p q t u v? ^ = x x _ d w > x ~ | z z z} | ~ { {( ) 3 , ( 3 ) , B A ( ) , ( , 3) x 3 x E F ( , 3 0) ( ,) ( 5 ,) D a

❛ ❜❋�✁✳✶

✂ ✄☎✆❣✝✷

✂ ✄☎✆❣✝✸

✂ ✄☎✆❣✝✹

✭❆✮ ✞✐✟✠ ✡ ✭☛✮ ✞✐✟✠ ☞ ✭✌✮ ✞✐✟✠ ✍ ✭❉✮ ✞✐✟✠ ✎

✏♥s✑ ✒✓✔

❙✕✖✑

✗ ✘❝

❢ ✧✭✙✮ ✚ ✥ ❢ ✧✭✙❹✮ ✛ ✥ ❢ ✧✭✙✰✮ ✜ ✥

✟✭✢✮ ✚✢

✮✢✭❢✟✧✭✢✮ ✚ ✣✢

✡✮✢✭✢❢ ✤✧

✟✧✭✙✰✮ ✚ ✥✮❤✙✭

✡✮❤✙✭❢✮❤✙✭❧✐✦ ✣✵★

✩✪

✤✪✧✪

✫✭❢ ✧✭✙ ✬ ❤✮ ✜ ✥✮

❤✯✱✙✯ ❢✐✟✠✭☞✮

✽✲✑ ✴✯✺ ❱✻ ✼✯ ✺❤✯ ❡✾❧✿✦✯ ✾❢ ♦ ✟✐❡✯✱ ❀✐✟❤✺ ✙✐❀✙✿❧♦❀ ✙✾✱✯ ❁✐✺❤ ❖ ♦❂ ✺❤✯ ✙✯✱✺❀✯ ✾❢ ✺❤✯ ✼♦❂✯ ♦✱❃ ❆ ♦❂ ✐✺❂ ♦❄✯✢✠ ✴✯✺ ❱✣

✼✯ ✺❤✯ ✦♦✢✐✦✿✦ ❡✾❧✿✦✯ ✾❢ ✺❤✯ ❀✐✟❤✺ ✙✐❀✙✿❧♦❀ ✙✾✱✯ ✐✱❂✙❀✐✼✯❃ ✐✱ ✺❤✯ ✟✐❡✯✱ ✙✾✱✯ ❁❤✾❂✯ ♦❄✯✢ ✐❂ ❖ ♦✱❃ ❁❤✾❂✯

✼♦❂✯ ✐❂ ❄♦❀♦❧❧✯❧ ✺✾ ✺❤✯ ✼♦❂✯ ✾❢ ✺❤✯ ✟✐❡✯✱ ✙✾✱✯✠ ❅❤✯✱ ✺❤✯ ❀♦✺✐✾ ❱✣❇❱✻ ✐❂❈

✭❆✮☞❊

✍✭☛✮

●

✎✭✌✮

☞❍

✎✭❉✮

☞❍

■

✏♥s✑ ✒❏✔

❙✕✖✑

❑

▲

r

▼ ❘ P

◆

◗ ❚

❯❆☛✌ ♦✱❃ ❯❆❖❲ ♦❀✯ ❂✐✦✐❧♦❀

❀

❤✚

❳

❨❩ ❤ ✚

❳

❀❨

❱✣ ✚✍

✡❬❀✣✭❨ ❤✮ ✚ ❭

❪

❫❴❵

❞✤

❬

❳

❀✡❨❀

✍

✣ ✚ ❥❥

❦

♠

♣♣

q

t✉

✈

✇

①①

②

③ ④④

❃❀

❃❱✣ ✚ ☞❀❳

❀✍ ✣✚ ✥ ❀ ✚

✍

❳☞

❱✣⑤⑥⑦ ✚■

❨❳✎ ✣❬

⑧⑧⑧⑨⑩❶❷❸❺❷❻⑩⑨❻❼❸

Page 29: a tdownload.ssapunjab.org/sub/MathScience/KVYP/KVPY_2010...D d n p q t u v? ^ = x x _ d w > x ~ | z z z} | ~ { {( ) 3 , ( 3 ) , B A ( ) , ( , 3) x 3 x E F ( , 3 0) ( ,) ( 5 ,) D a

✥✶ � ✸❍❘✷✤

✮✶✷✥✥ � ✁✂

✹

✽✄✳ ▲☎✆ ❢ ✝ ❘ ✔ ❘ ❜☎ ✞ ✟✠♥✆✐♥✡✠✡☛ ❢✡♥✟✆✐✠♥ ☛✞✆✐☛❢②✐♥☞ ❢✌①✍ � ① ✎ ✪✏

✵❞✆✍✆✌❢ ✱ ❢✠r ✞✑✑ ① ✒ ❘✓ ❚✕☎♥ ✆✕☎ ♥✡❡❜☎r ✠❢

☎✑☎❡☎♥✆☛ ✐♥ ✆✕☎ ☛☎✆ ✖ � ④① ✒ ❘ ❀ ❢✌①✍ � ✗✘ ✐☛✙✌❆✍ ✚ ✌✭✍ ✁ ✌✛✍ ✸ ✌❉✍ ✹

✜✢s✳ ✣✜✦❙✧★✳ ❢ ✩ ✌①✍ � ✚ ✎ ❢✌①✍ ✫ ❢✌①✍ � ☎✏ ✚

❢ ✌①✍ � ✗ ✫ ☎✏ � ✚ ✗① ✬ ✯♥☎ ☛✠✑✡✆✐✠♥

✽✽✳ ❚✕☎ ✈✞✑✡☎ ✠❢ ✰✲

✴✤✺✷

✵✶ ❞①✍✘①✌✟✠☛✟✠☛⑤✱①⑤❡✐♥④ ✐☛✙

✌❆✍✹✷✤ ✌✭✍

✁✷✤ ✌✛✍

✻✷✤ ✌❉✍ ✤✷

✜✢s✳ ✣✼✦

❙✧★✳ ■ � ✰✰✰✰✲

✲

✲

✲

✲

✲

✲✺✤✾✤✺✾✺✤✾

✷

✷✿❁

✷✿❁

✷✿

✷✿

✵❞①①✁❞①✍①✌❞①✍①✌❞①①

✻✻✻✻✷✷✷✷ ✤✾✤✾✤✾✤ � ✁

✷✤

✽❂✳ ▲☎✆ ❆✭✛ ❜☎ ✞ ✆r✐✞♥☞✑☎ ✞♥❞ P ❜☎ ✞ ❃✠✐♥✆ ✐♥☛✐❞☎ ❆✭✛ ☛✡✟✕ ✆✕✞✆ ✗P✛✸P✭✁P❆❄

✬✾✾ ✓ ❚✕☎ r✞✆✐✠ ✠❢ ✆✕☎ ✞r☎✞ ✠❢✆r✐✞♥☞✑☎ ❆✭✛ ✆✠ ✆✕✞✆ ✠❢ ❆P✛ ✐☛✙

✌❆✍ ✁ ✌✭✍✁✸ ✌✛✍

✸❅ ✌❉✍ ✸

✜✢s✳ ✣❇✦❙✧★✳

❈❛❊❋ ●

❈❏❊❑▼ ❈❝❊◆ ▼

❈♣❊❖ ▼

◗❯❱◗❲❳◗❨ ❩❩ ❬ ❭❪❫❴❵❱❪❫❣❵❳❪❫❤❵ ❥❥❥❥❥❥ ❦❩❦❩❦ ❬ ❭

❧❝♠❏♦❛♣▼▼▼▼ ✾✾✬

qqqt✉✇③⑥⑦③⑧✉t⑧⑨⑥

Page 30: a tdownload.ssapunjab.org/sub/MathScience/KVYP/KVPY_2010...D d n p q t u v? ^ = x x _ d w > x ~ | z z z} | ~ { {( ) 3 , ( 3 ) , B A ( ) , ( , 3) x 3 x E F ( , 3 0) ( ,) ( 5 ,) D a

❆�✁❆✂✄☎❆✆✁❆✂✄☎

✛✛ ✥

⑤❛❝❝♣♣❛⑤✷✶

⑤❛❝❝❜❜❛⑤✷✶

✝✝✝✝✝✝

✝✝✝✝✝✝

✭✎✭✎✭

✭✎✭✎✭

✞✟✠✻

✡✸☛☞☎✞✌✌✌✌ ✍✍✣

✂☎✠✐♦ ✥ ✸

✾✏✳ ❙✟✞✞♦✑✄ ♠✱ ✒ ☎✂✄ ✞♦✑✐✠✐✈✄ ✐✒✠✄❣✄✂✑ ✑✟✡✓ ✠✓☎✠ ✻✔ ✕ ☞✔✖♥ ✸✇ ✕ ☞♥ ✥ ✸✸☞✗ ❚✓✄ ✈☎❡✟✄ ♦✉ ✠✓✄ ✄✘✞✂✄✑✑✐♦✒♠✙ ✕ ♠✒ ✕ ✒✙ ✐✑✚✜❆✮ ✢ ✜✆✮ ✤✸ ✜✁✮ ✤✦ ✜❉✮ ☞✤

✧★s✳ ✩❈✪✫✬✯✳ ✻✔ ✕ ☞✔✖♥ ✸✇ ✕ ☞♥ ✥ ✸✸☞

♠☎✘✐♠✟♠ ✞♦✑✑✐☛❡✄ ✈☎❡✟✄ ♦✉ ♠ ✐✑ ✸✡✓✄✡✰✐✒❣ ✉♦✂ ♠ ✥ ✸✱ ☞ ☎✒✲ ✤✴✄ ❣✄✠ ♠ ✥ ☞✱ ✒ ✥ ✸✱ ✴ ✥ ☞♠✙ ✕ ♠✒ ✕ ✒✙ ✥ ✵ ✕ ✻ ✕ ✦ ✥ ✤✦

P✹✺✼✽✿✼

✾❀✳ ❆ ☛☎❡❡ ✐✑ ✲✂♦✞✞✄✲ ✈✄✂✠✐✡☎❡❡❁ ✉✂♦♠ ☎ ✓✄✐❣✓✠ ♦✉ ❤ ♦✒✠♦ ☎ ✓☎✂✲ ✑✟✂✉☎✡✄✗ ■✉ ✠✓✄ ☛☎❡❡ ✂✄☛♦✟✒✲✑ ✉✂♦♠ ✠✓✄ ✑✟✂✉☎✡✄ ✴✐✠✓☎ ✉✂☎✡✠✐♦✒ r ♦✉ ✠✓✄ ✑✞✄✄✲ ✴✐✠✓ ✴✓✐✡✓ ✐✠ ✑✠✂✐✰✄✑ ✠✓✄ ❡☎✠✠✄✂ ♦✒ ✄☎✡✓ ✐♠✞☎✡✠✱ ✴✓☎✠ ✐✑ ✠✓✄ ✒✄✠ ✲✐✑✠☎✒✡✄ ✠✂☎✈✄❡✄✲ ☛❁✠✓✄ ☛☎❡❡ ✟✞ ✠♦ ✠✓✄ ✤❧t❂ ✐♠✞☎✡✠ ❃

✜❆✮✂✤✂✤✓☞❄❅

❇❇ ✜✆✮ ✙

✙❅

✂✤✂✤✓

❇❇ ✜✁✮ ✓

✂✤✂✤✓☞ ✙✙✙❇

❇❇ ✜❉✮ ✓

✂✤✂✤✓☞ ✙✙❅❇

❇❇

✧★s✳ ✩❊✪

✫✬✯✳ ❚♦✠☎❡ ✲✐✑✠☎✒✡✄ ✥ ✓✠✄✂♠✑✤❧✟✞✠♦✗✗✗❣✈

✂❣✈✂

❣✈ t❂

✙❅❋✙

❅✙✙❅ ❇●●❍

❏❑❑▲

▼✍✍✍ ✥ ◆❖◗❘❯❱✶❲❳❳❳❳❯❯✶❨

❩❬ t❂❋✙✙❅ ❭✎✎✎✎

☎❡✑♦ ✈❅ ✥ ❣✓☞

❪ ❚♦✠☎❡ ✲✐✑✠☎✒✡✄ ✥ ☞✓ ●●❍

❏❑❑▲

▼❇

❇✙❄❅✙

✂✤✮✂✜✤ ✓

♦✂ ✠♦✠☎❡ ✲✐✑✠☎✒✡✄ ✥✮✂✤✜✮✂✤✜✓☞

✙✙❅

❇❇ ✓

✾❫✳ ❆ ✡✄✂✠☎✐✒ ✞❡☎✒✄✠ ✡♦♠✞❡✄✠✄✑ ♦✒✄ ✂♦✠☎✠✐♦✒ ☎☛♦✟✠ ✐✠✑ ☎✘✐✑ ✐✒ ✠✐♠✄ ❚✗ ❚✓✄ ✴✄✐❣✓✠ ♦✉ ☎✒ ♦☛❥✄✡✠ ✞❡☎✡✄✲ ☎✠ ✠✓✄ ✄q✟☎✠♦✂♦✒ ✠✓✄ ✞❡☎✒✄✠❴✑ ✑✟✂✉☎✡✄ ✐✑ ☎ ✉✂☎✡✠✐♦✒ ✉ ✜✉ ✐✑ ✡❡♦✑✄ ✠♦ ✟✒✐✠❁✮ ♦✉ ✐✠✑ ✴✄✐❣✓✠ ✂✄✡♦✂✲✄✲ ☎✠ ☎ ❡☎✠✐✠✟✲✄ ♦✉ ✻❧➸✗ ❚✓✄✲✄✒✑✐✠❁ ♦✉ ✠✓✄ ✞❡☎✒✄✠ ✜☎✑✑✟♠✄✲ ✠♦ ☛✄ ☎ ✟✒✐✉♦✂♠ ✞✄✂✉✄✡✠ ✑✞✓✄✂✄ ✐✑ ❣✐✈✄✒ ☛❁✚

✜❆✮ ✙❵❚✵✸

✉✤✉✵ ❞

❇❇ ✜✆✮ ✙❵❚✵

✸✉✤✉✵ ❞

✍❇ ✜✁✮ ✙❵❚✵

✸✉✤✉✸✵ ❞

❇❇ ✜❉✮ ✙❵❚✵

✸✉✤✉☞✵ ❞

❇❇

✧★s✳ ✩✧✪ ❢❢❢❦①②③④⑥③⑦①❦⑦⑧④

Page 31: a tdownload.ssapunjab.org/sub/MathScience/KVYP/KVPY_2010...D d n p q t u v? ^ = x x _ d w > x ~ | z z z} | ~ { {( ) 3 , ( 3 ) , B A ( ) , ( , 3) x 3 x E F ( , 3 0) ( ,) ( 5 ,) D a

❙�✁✳ ✈ ✂r

●✄✥☎✆✝ ✞ ✂

✈

✟✷✤✝✟ ✞ ✂

✠✡

✟✷

✸✤ ☛❤❡☞ ✈ ✌✆ ✟❡♣☎✥❝❡❞ ✍②

r

●✄

☞✝☛ ❣✎✏✏ ✂ ❣ ✓✑✒✎ ❝✝✆

✑✔

☞✝☛ ✇ ✂➸✻✕❝✝✆✒❣

➸✕❝✝✆✒❣

✎✑

✎✑

✓✖

✓✖

✆✝☎✈✌☞❣ ☛❡ ❣❡t ✒✎ ✂✮✹✇✭

✮✶✇✭❣✹✑ ✖✓

✖✝✟ ✑

✎✒

✠✡✭✇ ✶✮ ✂ ✮✹✇✭

✹

✒ ✎✑

✖✓

✒✎✸ ✂

✮✹✇✭

✮✶✇✭✠✡✹✑ ✖

✖

✓

☞✝☛ ✗ ✂✘✙✒

✚

✹

✡

✤

✂✮✶✇✭

✮✹✇✭

✠✶✻

✚ ✛

✖

✖

✤

✓

✥☎✆✝ ✞ ✂✓

✤✷✜ ✗ ✂

✮✶✇✭✠✞✹

✮✹✇✭✚✛ ✖

✖✤

✾✢✳ ✞❤✟❡❡ ❡q✉✥☎ ❝❤✥✟❣❡✆ ✰q ✥✟❡ ♣☎✥❝❡❞ ✥t t❤❡ t❤✟❡❡ ✈❡✟t✌❝❡✆ ✝✇ ✥☞ ❡q✉✌☎✥t❡✟✥☎ t✟✌✥☞❣☎❡ ❝❡☞t❡✟❡❞ ✥t t❤❡ ✝✟✌❣✌☞♦ ✞❤❡②

✥✟❡ ❤❡☎❞ ✌☞ ❡q✉✌☎✌✍✟✌✉✐ ✍② ✥ ✟❡✆t✝✟✌☞❣ ✇✝✟❝❡ ✝✇ ✐✥❣☞✌t✉❞❡ ✣✭✟✮ ✂ ✦✟ ❞✌✟❡❝t❡❞ t✝☛✥✟❞✆ t❤❡ ✝✟✌❣✌☞✧ ☛❤❡✟❡ ✦ ✌✆ ✥

❝✝☞✆t✥☞t♦ ★❤✥t ✌✆ t❤❡ ❞✌✆t✥☞❝❡ ✝✇ t❤❡ t❤✟❡❡ ❝❤✥✟❣❡✆ ✇✟✝✐ t❤❡ ✝✟✌❣✌☞ ✩

✭✪✮

✫✴✬✫

✵ ❦

✯

✱

✲✺✼

✽✿❀

❁

❂❃❄❅❆

❇✴✬✫

✵ ❦

✯

✲❈

❉

✺✺✼

✽

✿✿❀

❁

❂❃❄❊❆

❇✴✫✫

✵ ❦

✯

✱

✲✺✼

✽✿❀

❁

❂❃❄❋❆

❇✴✫✫

✵ ❦

✯

❍

❉

✺✺✼

✽

✿✿❀

❁

❂❃

■♥s✳ ❏❑▲

❙�✁✳

▼◆❖P◗

❘❚❯

❱❲❛

❱❲

▼◆

▼❳❨❩ ❬❭▼◆❪❫❴❖P◗

❵

❱❲

❜❄❢❆ ❥ ❦❢❧♠① ❜③④⑤ ♠❧ ⑥ ⑦⑥❢⑧⑨⑩❶❷ ⑨❸ ❈❜❹ ⑩♠❸ ❉❺❻ ❼❽❷ ⑧♠ ⑧❾❷ ♠⑧❾❷❢ ⑧①♠ ⑩❾⑥❢❿❷❸

❜③④⑤ ❥❈

❉

⑥

❦✯❈✫

✫➀

⑥❶❸♠ ❢ ❥➁➁

➂

➃

➄➄

➅

➆⑥

❈

❉

❉

❈

➇ ⑥ ❥ ➈ ❢ ❢❷⑦❶⑥⑩⑨❧❿ ⑨⑧ ⑨❧ ❜③④⑤ ①❷ ❿❷⑧

➉➉➉➊➋➌➍➎➏➍➐➋➊➐➑➎

Page 32: a tdownload.ssapunjab.org/sub/MathScience/KVYP/KVPY_2010...D d n p q t u v? ^ = x x _ d w > x ~ | z z z} | ~ { {( ) 3 , ( 3 ) , B A ( ) , ( , 3) x 3 x E F ( , 3 0) ( ,) ( 5 ,) D a

✥♥�t ✁ ✂✂

✄

☎

✆✆

✝

✞✭

✷

✸

✮r✸✟

❦✠✷✡

✡✁ ✡

✡

r✸

❦✠

☛☞✌✍ ✌✍ ❜✎✏✎❛✑✒✓ ❜✔ ✥✟r✮

✕ ✥✟r✮ ✁ ✥♥�t ✚ ❦r ✁ ✡✵

✡

r✸✹

✠✶

✭✤✖

✭

✕ r ✁

✗✴✘

✙

✛

✜✢✣

q✦✧✧

★

✩

✪✪

✫

✬

✯✰

✾✱✳ ❈✲❛✍✌✓✒r ☛☞✒ ✌❛❤✌❛✌☛✒ ✏✎✓✓✒r ✑✌r✑❝✌☛ ✍☞✲✺❛ ❜✒✏✲✺✇

▲ ▲ ▲ ▲

✻ ✻ ✻ ✻

✥✲r ✺☞✌✑☞ ✎❛❣❝✏✎r ❤r✒✠❝✒❛✑✔ ✼ ✺✌✏✏ ☛☞✒ ✑✌r✑❝✌☛ ❜✒☞✎✈✒ ✏✌❦✒ ✎ ✽❝r✒ ✌❛✓❝✑☛✎❛✑✒ ❡

✟✿✮✷

❀❈✟❁✮

❀❈

✶✟❈✮

❀❈

✷✟❂✮

❈

❀✷

❆❃s✳ ❄❅❇

❙❉❊✳ ❀✒☛ ☛☞✒ ✒✠❝✌✈✎✏✒❛☛ ✌❋✽✒✓✎❛✑✒ ✲❤ ☛☞✒ ✑✌r✑❝✌☛ ❜✒ ❩

●✲ ❩ ✁ ✼❀ ❍ ❩■

❛✲✺ ❩■ ✁❏

❏

❳❩

❩❳

❑

✕ ❩ ✁ ✼❀ ❍

✂✂✂✂

✄

☎

✆✆✆✆

✝

✞

✼❑

✼✭

❈

✶❩

❈

✶❩

✲❛ ✍✲✏✈✌❛❣ ✺✒ ❣✒☛ ❩ ✁▼✣

◆▼❖P◆▼◗◆▼ ❘ ❚❯❱❯

❤✲r ❩ ☛✲ ❜✒ ✽❝r✒✏✔ ✌❛✓❝✑☛✌✈✒

✼❘❀❘❈❘ ✹❀❈ ✁ ❲ ✲r ✼ ✁

❀❈

✷

✾❨✳ ✿ ❛✎rr✲✺ ✽✎r✎✏✏✒✏ ❜✒✎❋ ✲❤ ✏✌❣☞☛ ❤✎✏✏✍ ✲❛ ✎ ❣✏✎✍✍ ✍✽☞✒r✒ ✲❤ r✎✓✌❝✍ ❬ ✎❛✓ r✒❤r✎✑☛✌✈✒ ✌❛✓✒❭ ❪ ✎☛ ❛✲r❋✎✏ ✌❛✑✌✓✒❛✑✒✇❫☞✒ ✓✌✍☛✎❛✑✒ ✲❤ ☛☞✒ ✌❋✎❣✒ ❤r✲❋ ☛☞✒ ✲❝☛✒r ✒✓❣✒ ✌✍ ❣✌✈✒❛ ❜✔❴

✟✿✮✮✶❪✟✷

✮❪✷✟❬

❵

❵✟❁✮

✮✶❪✟✷

✮❪✷✟❬

❵

❑✟❈✮

✮✶❪✟✷

✮❪✷✟❬

❑

❵✟❂✮

✮✶❪✟✷

✮❪✷✟❬

❑

❑

❆❃s✳ ❄❆❇❙❉❊✳

❞

➭

❢❢❢✐❥❧♠♦♣♠✉❥✐✉①♦

Page 33: a tdownload.ssapunjab.org/sub/MathScience/KVYP/KVPY_2010...D d n p q t u v? ^ = x x _ d w > x ~ | z z z} | ~ { {( ) 3 , ( 3 ) , B A ( ) , ( , 3) x 3 x E F ( , 3 0) ( ,) ( 5 ,) D a

✥�✇✏

✟✶

❱

➭

✁✂

❘

✶➭ ✟✚ ❱✁ ✂

✶➭

➭❘

✟

✥�✇❢❱

✶

✮❱❘✷✭

➭

✁✟✟✂

❘

➭✶

✟

✟

✄❡♣☎❛✆❡ ❱✁ ✝✞✶➭

➭❘

✟❛✥♥ s�☎✠✐✥✡ ☛�✄ ❱❢

✇❡ ✡❡❣ ❱❢ ✂✮✶➭✭✷

✮✷➭✭❘

✟

✟

❋✐✄s❣ ✐♠❛✡❡ ✐s ✄❡❛☎ ❛✥♥ s❡✆�✥♥ ✐s ✠✐✄❣✉❛☎❧

✾☞✳ ❆ ♣❛✄❣✐✆☎❡ �☛ ♠❛ss ♠ ✉✥♥❡✄✡�❡s �s✆✐☎☎❛❣✐�✥s ❛✝�✉❣ ✌ ✂ ❂ ✐✥ ❛ ♣�❣❡✥❣✐❛☎ ✡✐✠❡✥ ✝✞ ❱✭✌✮ ✂✷

✶❦✌✍ ❱✵✆�s ✎

✑

✒✓✔

✕

❛

✌✱

✇✖❡✄❡ ❱✵✱ ❦✱ ❛ ❛✄❡ ✆�✥s❣❛✥❣s❧ ■☛ ❣✖❡ ❛♠♣☎✐❣✉♥❡ �☛ �s✆✐☎☎❛❣✐�✥ ✐s ♠✉✆✖ s♠❛☎☎❡✄ ❣✖❛✥ ❛✱ ❣✖❡ ❣✐♠❡ ♣❡✄✐�♥ ✐s ✡✐✠❡✥

✝✞❜

✭❆✮✵

✍

✍

❱❦❛

♠❛✷

✗✤ ✭✘✮

✙

✛✜✢ ✭✣✮

✵

✍

❱

♠❛✷✤ ✭✦✮

✵✍

✍

❱❦❛

♠❛✷

✧✤

★✩✪✳ ✫★✬

❙✯✰✳ ❱✭✌✮ ✂ ✲✴

✸✹✺

✻✧

❛

✌✆�s❱❦✌

✷

✶✵

✍

❊ ✂♥✌

♥❱✧ ✂ ✭❦✌ ✼ ❱✵ s✐✥ ✲

✴

✸✹✺

✻

❛

✌✽

❛

✶✮

s✐✥✆❡ ✌ ❁ ❁ ❛

✿❛

✌⑦

❛

✌s✐✥ ✲

✴

✸✹✺

✻�✄ ❊ ✂ ✌

❛

❱❦ ✍

✵ ✲✴

✸✹✺

✻✗✧

❚✖✐s ✄❡s❡♠✝☎❡s ❋ ✂ ❦✌

✿ ❚ ✂ ✷✤❦

♠✂ ✷✤

✵✍

✍

✠❦❛

♠❛

✗

❚ ✂ ✷✤✵

✍

✍

✠❦❛

❛❧♠

✗

✾❀✳ ❆✥ ✐♥❡❛☎ ✡❛s ✇✐❣✖ ✖❡❛❣ ✆❛♣❛✆✐❣✞ ❛❣ ✆�✥s❣❛✥❣ ✠�☎✉♠❡ ✣❃ ✉✥♥❡✄✡�❡s ❛ q✉❛s✐s❣❛❣✐✆ ♣✄�✆❡ss ♥❡s✆✄✐✝❡♥ ✝✞ P❱❄ ✐✥ ❛

P❜❱ ♥✐❛✡✄❛♠✱ ✇✖❡✄❡ ❅ ✐s ❛ ✆�✥s❣❛✥❣❧ ❚✖❡ ✖❡❛❣ ✆❛♣❛✆✐❣✞ �☛ ❣✖❡ ✡❛s ♥✉✄✐✥✡ ❣✖✐s ♣✄�✆❡ss ✐s ✡✐✠❡✥ ✝✞❜

✭❆✮ ✣❃ ✭✘✮ ✣❃ ✼ ✥❘

✭✣✮ ✣❃ ✼❅✧✶

✥❘✭✦✮ ✣❃ ✼ ❇❈

❉●

❍❏

★✩✪✳ ✫❑✬

❙✯✰✳ ✦✐✄❡✆❣ ☛�✄♠✉☎❛ ✐s ❣� ✝❡ ✉s❡♥

✣ ✂ ✣❃ ✼❅✧✶

✥❘

▲▲▲▼◆❖◗❯❲◗❳◆▼❳❨❯

Page 34: a tdownload.ssapunjab.org/sub/MathScience/KVYP/KVPY_2010...D d n p q t u v? ^ = x x _ d w > x ~ | z z z} | ~ { {( ) 3 , ( 3 ) , B A ( ) , ( , 3) x 3 x E F ( , 3 0) ( ,) ( 5 ,) D a

✾�✳ ❆✁ ✂✄☎✆✝ ❣✆✞ ✟✂t✠ ✡☛✁✞t✆✁t ✠☎✆t ✡✆❝✆✡✂t☞ ❈❱ ✥✷

✸✁♥ ✂✞ ✐✆✄☎ t☛ ✡✆❛❛☞ ☛♦t ✆ ✡☞✡✝☎ t✠✆t ✂✞ ✄☎❝✂✡t☎✄ ❞☞ ✆ t❛✂✆✁❣✝☎

✂✁ t✠☎ ✌✂❣♦❛☎ ❣✂✈☎✁ ❞☎✝☛✟❧

P

P✍

P✶

✎✶ ✎✍ ✎

❇

✏

✑

❚✠☎ ✌☛✝✝☛✟✂✁❣ ✞t✆t☎✐☎✁t ✂✞ t❛♦☎ ✆❞☛♦t t✠☎ ✡☞✡✝☎✒

✭❆✮ ❚✠☎ ☎✌✌✂✡✂☎✁✡☞ ✂✞ ❣✂✈☎✁ ✓✔✔

✕✕✖✗

✖✗

✭✘✮ ❚✠☎ ☎✌✌✂✡✂☎✁✡☞ ✂✞ ❣✂✈☎✁ ❞☞ ✓✔✔

✕✕

✖✗

✖✗

✷

✓

✭❈✮ ✙☎t ✠☎✆t ✆❞✞☛❛❞☎✄ ✂✁ t✠☎ ✡☞✡✝☎ ✂✞ ✭✗✔ ✗✕✮✭✖✔ ✖✕✮

✭❉✮ ✚☎✆t ✆❞✞☛❛❞☎✄ ✂✁ ❝✆❛t ❆❈ ✂✞ ❣✂✈☎✁ ❞☞ ✷✭✗✔✖✔ ✗✕✖✕✮ ✛✷

✓✭✗✕✖✔ ✗✔✖✕✮

✜✢s✳ ✣✤✦

❙✧★✳ ❈❱ ✥✷

✸♥❘ ❈✩ ✥ ❈❱ ✛ ♥ ✥

✷

♥✺

✌ ✥ ✸

✪ ✥✷

✓✭✖✔ ✖✕✮✭✗✔ ✗✕✮

❋☛❛ ✘❆ ✫ ✥ ✁❈✩✬❚ ✥ ❚♥✷

✺✁ ✬✯

✰

✱✲✴

✵✥✷

✺✭✗✕✖✕ ✗✔✖✔✮

❋☛❛ ❆❈ ✫✹✻ ✥✷

✓✭✗✕ ✛ ✗✔✮✭✖✔ ✖✕✮ ✛ ✁❈❱✬❚

✁☛✟ ✁❈❱✬❚ ✥✷

✸✭✗✔✖✔ ✗✕✖✕✮

✁☛✟ ✽ ✥✫

✪✥

✼✿❀✿❀❁❂

❃✼✿✿✼❁❀❀❁

❂

❄

✼❀❀✼❁✿✿❁❂

❄

❅❅❊❊❅❊❊❅

❅❊❅❊

●❍●❍■

●●

✉❏❑▲▼ ◆❖◗♠✉❯❲ ◆❖◗ ❳❨❲❩ ❬❨ ❭❲▲ ❭❲❯❭✉❯❲❩❨ ❳❨❲❩ ❲❪❏❖◗❪❨❫ ❑▲ ❴❵❜

✾✾✳ ❡❬❖ ❑❫❨▲❩❑❭❲❯ ♣❲◗❩❑❭❯❨❏ ❖◆ ♠❲❏❏ ❢♠❢ ❲▲❫ ❭❳❲◗▼❨ ❤ ❲◗❨ ❏❳❖❩ ❲❩ ❨❲❭❳ ❖❩❳❨◗ ◆◗❖♠ ❲ ❥❨◗❦ ▼◗❨❲❩ ❫❑❏❩❲▲❭❨ ❬❑❩❳ ❲▲❑▲❑❩❑❲❯ ❏♣❨❨❫ ❥❜ ❡❳❨ ❫❑❏❩❲▲❭❨ ❖◆ ❭❯❖❏❨❏❩ ❲♣♣◗❖❲❭❳ ❖◆ ❩❳❨❏❨ ❭❳❲◗▼❨❏ ❑❏q

❁❴✼ ❊r

❊

♠❥✇

❤

①②❁③✼ ❊

r

❊

♠❥④

❤

①②❁❵✼ ❊

r

❊

♠❥❂

❤

①②❁⑤✼ ⑥

✜✢s✳ ✣✤✦❙✧★✳ ⑦❏❑▲▼ ❯❲❬ ❖◆ ❭❖▲❏❨◗❥❲❩❑❖▲ ❖◆ ♠❨❭❳❲▲❑❭❲❯ ❨▲❨◗▼❦

⑧▲❑❩❑❲❯ ⑨❜⑩❜ ❶ ❷❑▲❲❯ ❀❜⑩❜

❄♠❥

❊ ❸❄♠❥

❊❶❹❤❊

❺ ◗ ❶❊❤

❻❻❻❼❽❾❿➀➁❿➂❽❼➂➃➀

Page 35: a tdownload.ssapunjab.org/sub/MathScience/KVYP/KVPY_2010...D d n p q t u v? ^ = x x _ d w > x ~ | z z z} | ~ { {( ) 3 , ( 3 ) , B A ( ) , ( , 3) x 3 x E F ( , 3 0) ( ,) ( 5 ,) D a

✶��✵ ❆✁ ✁✥✂✄ ✁ ☎ ✆✝ ❛ ✞✟♥✁❛✥♥✄r ✠❛✡ ◆☛ r❛☞✥✟❛✞✁✥✈✄ ❛✁✟✂✡ ♦✥✁✠ ❛ ☞✄✞❛❞ ✞✟♥✡✁❛♥✁ ✙✳ ✌♥ ❛☞☞✥✁✥✟♥✝ ✞ ♥t✂♠✄r✡ ✟❡ ❛✁✟✂✡✟❡ ✁✠✄ ✡❛✂✄ ✁❞♣✄ ❛r✄ ♠✄✥♥❜ ❛☞☞✄☞ ✁✟ ✁✠✄ ✞✟♥✁❛✥♥✄r ♣✄r t♥✥✁ ✁✥✂✄✳ ❍✟♦ ✂❛♥❞ ❛✁✟✂✡ ✟❡ ✁✠✥✡ ✁❞♣✄ ❛r✄ ✁✠✄r✄ ❛✁✁ ☎ ✍ ❄✎❆✮ ✙

✞ ✄✏♣✎ ✙✍✮ ◆☛ ✄✏♣✎ ✙✍✮ ✎❚✮ ✙✞ ✄✏♣✎ ✙✍✮ ✑ ◆☛ ✄✏♣✎ ✙✍✮

✎✒✮✙✞ ④✓ ✄✏♣✎ ✙✍✮✔ ✑ ◆☛ ✄✏♣✎ ✙✍✮ ✎✕✮

✙✞ ④✓ ✑ ✄✏♣✎ ✙✍✮✔ ✑ ◆☛ ✄✏♣✎ ✙✍✮

✖✗s✵ ✭❈✘❙✚✛✵ ◆☛ ✥♥✥✁✥❛✐ ♥t✞✐✄✟♥

❛✁ ✁ ☎ ✆✝ ◆☛❆☞☞✥✁✥✟♥ ✥✡ ❛✁ ❛ ✞✟♥✡✁❛♥✁ r❛✁✄✎✙◆ ✒✮ ☎ ☞✁

☞◆✜

✪❦

☛☞✁ ☎ ✢ ✣✤

✦

✦✧ ★✩✫✩

■✬✯✰✱✲✴✯✷✬✱ ✸✰ ✱✰✯

✩ ❂ ✹★✩✺✰★✻

✼✣✤✤✽✤

✾✿

❀ ✩ ❂ ✤★ ✺❁ ✰❹✾✼✹ ❃ ✩✻✰❹✾✼

❅❇❉❊❋●❏❑▲✶�✶✵ ▼❖P▼ ✱ ◗❘ ◗❯✴❱✷❝ ✴❝✷✫ ❲❳❤❨❲❩❬❭❳ ✸✴❪ ✫✷❪❪◗❱❫✰✫ ✷✬ ❁❴❴ ❵❱ ◗❘ ✸✴✯✰✲❢ ❁❴ ❵❣ ◗❘ ✯❥✷❪ ❪◗❱❧✯✷◗✬ ✸✴❪ ✫✷❱❧✯✰✫ ✯◗ P❴❴

❵❣❖ q❥✰ ✬◗✲❵✴❱✷✯② ◗❘ ✯❥✰ ❘✷✬✴❱ ❪◗❱❧✯✷◗✬ ✴✬✫ ✯❥✰ ✴❵◗❧✬✯ ◗❘ ◗❯✴❱✷❝ ✴❝✷✫ ✺❵✱✉❵❣✹ ✷✬ ✯❥✰ ❪◗❱❧✯✷◗✬ ✴✲✰✲✰❪✇✰❝✯✷❫✰❱②①✺③✹ ❴❖❁⑤ ✩❢ P❖❴⑥ ✺⑦✹ ❴❖❴⑧ ✩❢ ⑨❖⑤❴ ✺★✹ ❴❖❴⑥ ✩❢ ⑨❖⑤❴ ✺⑩✹ ❴❖❴▼ ✩❢ ❁❴❖❴⑧

✖✗s✵ ✭❈✘

❙✚✛✵ ■✬✷✯✷✴❱ ✩◗✲❵✴❱✷✯② ✩ ❂ ❁❴❴⑤⑨❁❴❴❴P▼❖▼

❶❶ ❂ ❴❖⑥

❷❸❸❺❷❸❸❺

❻ ❼ ❺❽❸

❀ ✩❾❿❾ ❂ ✩➀❿➀❴❖⑥ ➁ ❁❴ ❂ ✩➀ ➁ P❴❴

✩➀ ❂ P❴⑥❖❴ ❂ ❴❖❴⑧ ✩

q❥✰✬ ❘✷✬✴❱ ✸✰✷✱❥✯ ✩ ❂➂➃❿➄

❁❴❴❴✸❶❶

❴❖❴⑧ ❂ P❴❴⑤⑨❁❴❴❴✸

❶❶

➅➅➅➆➇➈➉➊➋➉➌➇➆➌➍➊

Page 36: a tdownload.ssapunjab.org/sub/MathScience/KVYP/KVPY_2010...D d n p q t u v? ^ = x x _ d w > x ~ | z z z} | ~ { {( ) 3 , ( 3 ) , B A ( ) , ( , 3) x 3 x E F ( , 3 0) ( ,) ( 5 ,) D a

✶�✷✁ ❚✂✄ ✥☎✄♠❡✆✥✝ ✝✄♠♣✄♦✞✟☎ ✠ ✡✞✟ ✠✠ ✡✆❡ ❤❡✡☛❡✟ ✂✥☛❤ ☞❇✆

❖✌

❈✌✍❖✌

✭■✮

❖✌

❖❈✌✸

✭■■✮

❚❤❡ ♣✆✄✟♦✝☛☎ ✄✎☛✡✥✞❡✟ ✡✆❡❛

✏✑✒

✓❍

✔❍✕✖✗

✓❍

✓❍

✏❇✒

✘✙

✚✛✜✢✛

✘✙

✢✚✛✣

✏✤✒

✘✙

✚✛✜✘✙

✘✙

✘✙

✏✦✒

✧★

✩★✪✧★

✧★

✧✩★✫

✬✯

✬✯

❆✰s✁ ✱❆✲

❙✳✴✁

✵ ✹r

✺✵✻ ✼✵✽

✼✵✾

✺✵✻ ✹r

✼✵

✽ ✵✻✼✿

✼✺✵❀

✼✵

✾

✵ ✹r✾

✿

✼✵

✼✵

✽✺✵❀ ✹r

✶�❁✁ ❚❤❡ ✞♦♠✎❡✆ ✄❂ ♣✄☎☎✥✎❧❡ ❡✞✡☛✥✄♠❡✆✥✝ ♣✡✥✆✏☎✒ ♣✆✄✟♦✝❡✟ ❂✆✄♠ ☛❤❡ ✎✆✄♠✥✞✡☛✥✄✞ ✄❂ ✠ ✡✞✟ ✠✠❃ ✆❡☎♣❡✝☛✥✈❡❧❄❃ ✡✆❡

❅❉❊

❅❉❊

❉❊❅

❉❊❅

❋

❉❊❅

❉❊❅

❋❋

❅❉●

✏✑✒ ❏❃ ❑ ✏❇✒ ❑❃ ❏ ✏✤✒ ❏❃ ▲ ✏✦✒ ❑❃ ❑

❆✰s✁ ✱❆✲

❙✳✴✁

▼◆P

▼◆P ▼ ◗❘

▼◆P ▼ ◗❘

▼◆P

▼◆P

◗❘ ▼ ▼◆P

◗❘ ▼ ▼◆P

▼◆P

❯

◗❘❱▼◆P

▼◆P

▼◆P

▼◆P

❲❳❨❩

❬❭❩t ❳❪❫❪t✐❩❴❳❘❵❨❜

▼◆P

▼◆P ▼◆❱

▼◆❱

◗❘❱

▼◆P

◗❘ ▼ ▼◆❱ ◗❘

▼◆❱

▼◆P

❝

❞❞❞❢❣❥❦♥q❦✉❣❢✉✇♥

Page 37: a tdownload.ssapunjab.org/sub/MathScience/KVYP/KVPY_2010...D d n p q t u v? ^ = x x _ d w > x ~ | z z z} | ~ { {( ) 3 , ( 3 ) , B A ( ) , ( , 3) x 3 x E F ( , 3 0) ( ,) ( 5 ,) D a

✶�✹✁ ❋✂✄ t☎❡ ✄❡❛✆t✝✂♥ ✞ ✔ ✥✟ ✛❍✠ ✡ ✼☛☞ ♠✂❧❹✌❛♥✍ ✛❙✠ ✡ ✎☛☞ ✏ ♠✂❧

❹✌☛ ✑☎❡ ✒❛❧✓❡ ✂❢ ✛●✠ ❛♥✍ t☎❡ t❡♠✕❡✄❛t✓✄❡ ❛t

✇☎✝✆☎ t☎❡ ✄❡❛✆t✝✂♥ ✄❡❛✆☎❡✖ ❡✗✓✝❧✝✐✄✝✓♠ ❛✄❡✟ ✄❡✖✕❡✆t✝✒❡❧✘✟

✭✞✮ ✙ ✚✏ ♠✂❧❹✌❛♥✍ ✜✙✙ ✢ ✭✥✮ ✎☛☞ ✚✏ ♠✂❧

❹✌❛♥✍ ✜✙✙ ✢

✭✣✮ ✎☛☞ ✚✏ ♠✂❧❹✌❛♥✍ ✎✙✙ ✢ ✭✤✮ ✙ ✚✏ ♠✂❧

❹✌❛♥✍ ✸✙✙ ✢

❆✦s✁ ✧❉★

✩✪✫✁ ✞t ❡✗✓❛t✝✂♥ ✛●✬ ✡ ✙

✯ ✑ ✡✎☞

✰✙✙✙☞☛✼

❙

❍ ✱✲

✛

✛✡ ✸✙✙ ✢

✶�✺✁ ✑☎❡ ✖✂❧✓✐✝❧✝t✘ ✕✄✂✍✓✆t ✂❢ ♦✳✭✴❍✮✷ ✝✖ ✰☛✙ ✵ ✰✙❹✌✷☛ ✣✂♥✆❡♥t✄❛t❡✍ ❛✗✓❡✂✓✖ ✻❛✴❍ ✖✂❧✓t✝✂♥ ✝✖ ❛✍✍❡✍ t✂ ❛ ✙☛✙✰ ♦

❛✗✓❡✂✓✖ ✖✂❧✓t✝✂♥ ✂❢ ♦✳✣❧✷☛ ✑☎❡ ✕❍ ❛t ✇☎✝✆☎ ✕✄❡✆✝✕✝t❛t✝✂♥ ✂✆✆✓✄ ✝✖❝✭✞✮ ✼☛✎ ✭✥✮ ✼☛✽ ✭✣✮ ✽☛✙ ✭✤✮ ✾☛✙

❆✦s✁ ✧❉★

✩✪✫✁ ♦✳✣❧✷ ✿✔ ♦✳❀✷❁ ✎✣❧

❹

❄

✙☛✙✰ ♦

✢❂❃ ✡ ❅ ✡ ❬♦✳❀✷❪ ❬✴❍

❹❪✷

✰✙❹✌✷✡ ❬✙☛✙✰❪ ❬✴❍

❹❪✷

❬✴❍❹❪✷✡ ✰✙

❹✌❇

❬✴❍❹❪ ✡ ✰✙

❹❈

✕✴❍ ✡ ☞ ✯ ✕❍ ✡ ✾

✶�❊✁ ✞ ♠❡t❛❧ ✇✝t☎ ❛♥ ❛t✂♠✝✆ ✄❛✍✝✓✖ ✂❢ ✰✜✰☛✜ ✕♠ ✆✄✘✖t❛❧❧✝■❡✖ ✝♥ t☎❡ ❢❛✆❡ ✆❡♥t✄❡✍ ✆✓✐✝✆ ✖t✄✓✆t✓✄❡☛ ✑☎❡ ✒✂❧✓♠❡ ✂❢ t☎❡✓♥✝t ✆❡❧❧ ✝♥ ✕♠ ✝✖❝✭✞✮ ✎☛✼✜ ✵ ✰✙

❏✭✥✮ ✎☛✰✾ ✵ ✰✙

❏✭✣✮ ❑☛✜✙ ✵ ✰✙

❏✭✤✮ ✾☛✎✙ ✵ ✰✙

❏

❆✦s✁ ✧▲★

✩✪✫✁ ✄ ✡✎✎

❛✡ ✰✜✰☛✜ ✕♠

❛ ✡ ✎ ✵ ✜☛✰✜✰✎ ✱

✯ ▼ ✡ ❛◆✡ ✭✎ ✵ ✜☛✰✜✰✎ ✱ ✮◆

✶�❖✁ P✍❡♥t✝❢✘ t☎❡ ✆✘✆❧✝✆ ✖✝❧✝✆❛t❡ ✝✂♥ ✳✝✒❡♥ ✝♥ t☎❡ ❢✝✳✓✄❡ ✐❡❧✂✇

◗❘

❚❯❱❲❱

❳ ❨❩❳ ❭

✭✞✮ ❬❙✝❫✴✷❈❪✷❫❹

✭✥✮ ❬❙✝❴✴✌❵❪✌❵❹

✭✣✮ ❬❙✝❫✴✌✷❪✌✷

✭✤✮ ❬❙✝❴✴✷❫❪✌✷❹

❆✦s✁ ✧❜★

✩✪✫✁ ✣✘✆❧✝✆ ✂✄ ✄✝♥✳ ✖✝❧✝✆❛t❡✖ ☎❛✒❡ ✳❡♥❡✄❛❧ ❢✂✄♠✓❧❛

✭❙✝❞✴◆✷❹✮❣ ✂✄ ✭❙✝❞✴◆✮❣

✷❣❹

❤ ❤

❙✝◆✴❥❴❹

❙✝❴✴ ❵✌✷❹

❦❦❦♣qr✉✈①✉②q♣②③✈

Page 38: a tdownload.ssapunjab.org/sub/MathScience/KVYP/KVPY_2010...D d n p q t u v? ^ = x x _ d w > x ~ | z z z} | ~ { {( ) 3 , ( 3 ) , B A ( ) , ( , 3) x 3 x E F ( , 3 0) ( ,) ( 5 ,) D a

✶�✽✁ ❉✂✄♦☎❛✆✝ ✂s ✥♦☎♠✝❞ ✞✟✝ ✝❡✝♠✝✆✞s ❛s s✟♦❤✆ ✂✆ ✝✠✉❛✞✂♦✆ ✭✡✮

✷☛✭s✮ ☞ ✸✌✍✭✎✮ ✔ ☛✍✌✻ ✭✎✮ ✏✑✭✡✮

✒✂✈✝✆ ✞✟❛✞

✌✍❖✭❧✮ ✔ ✌✍❖ ✭✎✮ ✛✌✓➸ ✕ ✖✖ ✗✘

✷☛✭s✮ ☞ ✸✙✷❖✍✭✎✮ ✔ ☛✍❖✚✭s✮ ✛✌✍➸ ✕ ✡✷✜✸ ✗✘

☛✍✌✻✭✎✮ ☞ ✸❖✍✭✎✮ ✔ ☛✍❖✚✭s✮ ☞ ✸✌✍❖ ✭✎✮ ✛✌✚➸ ✕ ✷✢✸✣ ✗✘

✌✍✭✎✮ ☞ ✡✙✷ ❖✍✭✎✮ ✔ ✌✍❖✭❧✮ ✛✌✹➸ ✕ ✷✤✦ ✗✘

✞✟✝ ✛✌➸ ✥♦☎ ✞✟✝ ☎✝❛✧✞✂♦✆ ✭✡✮ ✂s✲

✭❆✮ ✸✦ ✗✘ ✭☛✮ ✣✢✾ ✗✘ ✭★✮ ✣✷✢ ✗✘ ✭❉✮ ✸✣✣✢ ✗✘

✩✪✫✁ ✬✩✯

❙✰✱✁ ✭✡✮ ✌✍❖ ✳✔ ✌✍❖ ✛✌ ✕ ✖✖ ✗✘

✭✴✮ ✭✎✮

✭✷✮ ✷☛ ☞✵

✺❖✍ ✔ ☛✍❖✚ ✛✌ ✕ ✡✷✜✸ ✗✘

✭✸✮ ☛✍✌✻ ☞ ✸❖✍ ✔ ☛✍❖✚ ☞ ✸✌✍❖

✭✎✮

✛✌ ✕ ✷✢✸✣ ✗✘

✭✖✮ ✌✍ ☞ ✡✙✷ ❖✍ ✔ ✌✍❖ ✛✌ ✕ ✷✤✦ ✗✘

✭✴✮

✝✠✉❛✞✂♦✆ ✭✷✮ ☞ ✭✖✮ × ✸ ☞ ✭✡✮ × ✸ ✭✸✮

✛✌ ✕ ✭ ✡✷✜✸✮ ☞ ✭ ✷✤✦✮ × ✸ ☞ ✭✖✖✮ × ✸ ✭ ✷✢✸✣✮ ✕ ✸✦ ✗✘

✶�✼✁ ❚✟✝ ★☎②s✞❛❡ ✿✂✝❡❞ ❀✞❛✄✂❡✂✐❛✞✂♦✆ ❊✆✝☎✎② ✭★❁❀❊✮ ❛✆❞ ✞✟✝ s❂✂✆✲♦✆❡② ♠❛✎✆✝✞✂✧ ♠♦♠✝✆✞ ✂✆ ☛♦✟☎ ▼❛✎✆✝✞♦✆ ✭☛▼✮

✥♦☎ ✞✟✝ ✧♦♠❂❡✝① ❃✚❬✿✝✭★◆✮✻❪ ❛☎✝❄ ☎✝s❂✝✧✞✂✈✝❡②✲

✭❆✮ ✢✑✢ ✛❅ ❛✆❞ ❇❈ ☛▼

✭☛✮ ✷✑✢ ✛❅ ❛✆❞ ❇ ☛▼

✭★✮ ✢✑✖ ✛❅ ❛✆❞ ❋● ☛▼

✭❉✮ ✷✑✖ ✛❅ ❛✆❞ ✢☛▼

✩✪✫✁ ✬❍✯

❙✰✱✁ ■✆✥♦☎♠❛✞✂✈✝

✶✶�✁ ❆ s♦❡✉✞✂♦✆ ✧♦✆✞❛✂✆✂✆✎ ✤✑✢ ✎ ♦✥ ✆✂✧♦✞✂✆✝ ✂✆ ✾✷ ✎ ♦✥ ❤❛✞✝☎ ✥☎✝✝✐✝s ✢✑✾✷✣ ❞✝✎☎✝✝s ✄✝❡♦❤ ✞✟✝ ✆♦☎♠❛❡ ✥☎✝✝✐✂✆✎

❂♦✂✆✞ ♦✥ ❤❛✞✝☎✑ ■✥ ✞✟✝ ♠♦❡❛❡ ✥☎✝✝✐✂✆✎ ❂♦✂✆✞ ❞✝❂☎✝ss✂♦✆ ✧♦✆s✞❛✆✞ ❃❢ ✕ ✡✑✤✣➸★ ♠♦❡❹✓

✞✟✝✆ ✞✟✝ ♠♦❡❛☎ ♠❛ss ♦✥

✆✂✧♦✞✂✆✝ ✂s✲

✭❆✮ ✡✦ ✭☛✮ ✤✢ ✭★✮ ✸✷✢ ✭❉✮ ✡✦✢

✩✪✫✁ ✬❏✯

❑❑❑▲P◗❘❯❱❘❲P▲❲❳❯

Page 39: a tdownload.ssapunjab.org/sub/MathScience/KVYP/KVPY_2010...D d n p q t u v? ^ = x x _ d w > x ~ | z z z} | ~ { {( ) 3 , ( 3 ) , B A ( ) , ( , 3) x 3 x E F ( , 3 0) ( ,) ( 5 ,) D a

❇�✁✂✁✄☎

✶✶✶✆ ❆ ❜✝✞t ❝✟✠✠ ✡❛✞ ✐☛tr❛❝✟✠✠✝✠❛r ❜❛❝t✟r✐❛ ✞☞♠❜✐✌☛t✞♥ ✥✍ t✡✟ ❣r✌♦t✡ r❛t✟ ✌✍ t✡✟ ❜❛❝t✟r✐❛✠ ✞☞♠❜✐✌☛t ✐✞ ❛✠♦❛☞✞ s✎✏✡✐❣✡✟r t✡❛☛ t✡❛t ✌✍ t✡✟ ✡✌✞t ❝✟✠✠✑ ❛✍t✟r s✎ ❣✟☛✟r❛t✐✌☛✞ ✌✍ t✡✟ ✡✌✞t ❝✟✠✠ t✡✟ ❞✟☛✞✐t☞ ✌✍ ❜❛❝t✟r✐❛ ✐☛ ✡✌✞t ❝✟✠✠✞ ♦✐✠✠✐☛❝r✟❛✞✟ ✒✭❆✮ ❜☞ s✎ ✏ ✭✓✮ t♦✌✒✍✌✠❞ ✭✔✮ t✟☛✒✍✌✠❞ ✭❉✮ ✡✝☛❞r✟❞✒✍✌✠❞

✕✖✗✆ ✘✙✚

✶✶✷✆ ✥☛ ❛ ❞✐✛✠✌✐❞ ✌r❣❛☛✐✞♠✑ t✡✟r✟ ❛r✟ t✡r✟✟ ❞✐✍✍✟r✟☛t ❛✠✠✟✠✟✞ ✍✌r ❛ ✛❛rt✐❝✝✠❛r ❣✟☛✟♥ ✜✍ t✡✟✞✟ t✡r✟✟ ❛✠✠✟✠✟✞ ✌☛✟ ✐✞r✟❝✟✞✞✐✈✟ ❛☛❞ t✡✟ ✌t✡✟r t♦✌ ❛✠✠✟✠✟✞ ✟❡✡✐❜✐t ❝✌✒❞✌♠✐☛❛☛❝✟♥ ❍✌♦ ♠❛☛☞ ✛✡✟☛✌t☞✛✟✞ ❛r✟ ✛✌✞✞✐❜✠✟ ♦✐t✡ t✡✐✞ ✞✟t ✌✍❛✠✠✟✠✟✞ ✢✭❆✮ ✣ ✭✓✮ ✤ ✭✔✮ ✦ ✭❉✮ ✧

✕✖✗✆ ✘❈✚

✶✶✸✆ ❚♦✌ ✞t✝❞✟☛t✞ ❛r✟ ❣✐✈✟☛ t♦✌ ❞✐✍✍✟r✟☛t ❞✌✝❜✠✟ ✞tr❛☛❞✟❞ ❉★❆ ♠✌✠✟❝✝✠✟✞ ✌✍ ✟q✝❛✠ ✠✟☛❣t✡♥ ❚✡✟☞ ❛r✟ ❛✞✩✟❞ t✌❞✟☛❛t✝r✟ t✡✟ ❉★❆ ♠✌✠✟❝✝✠✟✞ ❜☞ ✡✟❛t✐☛❣♥ ❚✡✟ ❉★❆ ❣✐✈✟☛ t✌ ✞t✝❞✟☛t ❆ ✡❛✞ t✡✟ ✍✌✠✠✌♦✐☛❣ ❝✌♠✛✌✞✐t✐✌☛ ✌✍❜❛✞✟✞ ✭❆✿✪✿❚✿✔✿✣✺✿s✺✿✣✺✿s✺✮ ♦✡✐✠✟ t✡❛t ❣✐✈✟☛ t✌ ✞t✝❞✟☛t ✓ ✐✞ ✭❆✿✪✿❚✿✔✿✿s✧✿✣✫✿s✧✿✣✫✮♥ ✬✡✐❝✡ ✌✍ t✡✟✍✌✠✠✌♦✐☛❣ ✞t❛t✟♠✟☛t✞ ✐✞ tr✝✟ ✢✭❆✮ ✓✌t✡ t✡✟ ❉★❆ ♠✌✠✟❝✝✠✟✞ ♦✌✝✠❞ ❞✟☛❛t✝r✟ ❛t t✡✟ ✞❛♠✟ r❛t✟✭✓✮ ❚✡✟ ✐☛✍✌r♠❛t✐✌☛ ❣✐✈✟☛ ✐✞ ✐☛✞✝✍✍✐❝✐✟☛t t✌ ❞r❛♦ ❛☛☞ ❝✌☛❝✠✝✞✐✌☛✭✔✮ ❉★❆ ♠✌✠✟❝✝✠✟ ❣✐✈✟☛ t✌ ✞t✝❞✟☛t ✓ ♦✌✝✠❞ ❞✟☛❛t✝r✟ ✍❛✞t✟r t✡❛☛ t✡❛t ✌✍ ✞t✝❞✟☛t ❆✭❉✮ ❉★❆ ♠✌✠✟❝✝✠✟ ❣✐✈✟☛ t✌ ✞t✝❞✟☛t ❆ ♦✌✝✠❞ ❞✟☛❛t✝r✟ ✍❛✞t✟r t✡❛☛ t✡❛t ❣✐✈✟☛ t✌ ✞t✝❞✟☛t ✓

✕✖✗✆ ✘✯✚

✶✶✹✆ ❚✡✟ ❛♠✐☛✌ ❛❝✐❞ ✞✟q✝✟☛❝✟✞ ✌✍ ❛ ❜❛❝t✟r✐❛✠ ✛r✌t✟✐☛ ❛☛❞ ❛ ✡✝♠❛☛ ✛r✌t✟✐☛ ❝❛rr☞✐☛❣ ✌✝t ✞✐♠✐✠❛r ✍✝☛❝t✐✌☛ ❛r✟ ✍✌✝☛❞t✌ ❜✟ ✤✎✏ ✐❞✟☛t✐❝❛✠♥ ❍✌♦✟✈✟r t✡✟ ❉★❆ ✞✟q✝✟☛❝✟✞ ✌✍ t✡✟ ❣✟☛✟✞ ❝✌❞✐☛❣ ✍✌r t✡✟✞✟ ✛r✌t✟✐☛✞ ❛r✟ ✌☛✠☞ ✦✺✏✐❞✟☛t✐❝❛✠♥ ❚✡✐✞ ✐✞ ✛✌✞✞✐❜✠✟ ❜✟❝❛✝✞✟✒✭❆✮ Pr✌t✟✐☛ ✞✟q✝✟☛❝✟ ❞✌✟✞ ☛✌t ❞✟✛✟☛❞ ✌☛ ❉★❆ ✞✟q✝✟☛❝✟✭✓✮ ❉★❆ ❝✌❞✌☛✞ ✡❛✈✐☛❣ ❞✐✍✍✟r✟☛t ☛✝❝✠✟✌t✐❞✟✞ ✐☛ t✡✟ t✡✐r❞ ✛✌✞✐t✐✌☛ ❝❛☛ ❝✌❞✟ ✍✌r t✡✟ ✞❛♠✟ ❛♠✐☛✌ ❛❝✐❞✞✭✔✮ ❉★❆ ❝✌❞✌☛✞ ✡❛✈✐☛❣ ❞✐✍✍✟r✟☛t ☛✝❝✠✟✌t✐❞✟✞ ✐☛ t✡✟ ✞✟❝✌☛❞ ✛✌✞✐t✐✌☛ ❝❛☛ ❝✌❞✟ ✍✌r t✡✟ ✞❛♠✟ ❛♠✐☛✌ ❛❝✐❞✞✭❉✮ ❙❛♠✟ ❉★❆ ❝✌❞✌☛✞ ❝❛☛ ❝✌❞✟ ✍✌r ♠✝✠t✐✛✠✟ ❛♠✐☛✌ ❛❝✐❞✞

✕✖✗✆ ✘✙✚

✶✶✰✆ ❚✡✟ ✍✌✠✠✌♦✐☛❣ ❉★❆ ✞✟q✝✟☛❝✟ ✭✺✱ ✲ ✣✱✮ ✞✛✟❝✐✍✐✟✞ ✛❛rt ✌✍ ❛ ✛r✌t✟✐☛ ❝✌❞✐☛❣ ✞✟q✝✟☛❝✟✑ ✞t❛rt✐☛❣ ✍r✌♠ ✛✌✞✐t✐✌☛ ✥♥✬✡✐❝✡ ✌✍ t✡✟ ✍✌✠✠✌♦✐☛❣ ♠✝t❛t✐✌☛✞ ♦✐✠✠ ❣✐✈✟ r✐✞✟ t✌ ❛ ✛r✌t✟✐☛ t✡❛t ✐✞ ✞✡✌rt✟r t✡❛☛ t✡✟ ✍✝✠✠✒✠✟☛❣t✡ ✛r✌t✟✐☛ ✢

❚✔✪❆❚❆❚❆✪❆❆✔✪❚❆s✺s✦s✣s✧sss✎✾✫✼✤✺✦✣✧s

✭❆✮ ❉✟✠✟t✐✌☛ ✌✍ ☛✝❝✠✟✌t✐❞✟ s✣✭✓✮ ❉✟✠✟t✐✌☛ ✌✍ ☛✝❝✠✟✌t✐❞✟ ✫✭✔✮ ✥☛✞✟rt✐✌☛ ✌✍ ❛ ✞✐☛❣✠✟ ☛✝❝✠✟✌t✐❞✟ ❜✟t♦✟✟☛ ✣ ❛☛❞ ✦✭❉✮ ✥☛✞✟rt✐✌☛ ✌✍ ❛ ✞✐☛❣✠✟ ☛✝❝✠✟✌t✐❞✟ ❜✟t♦✟✟☛ s✎ ❛☛❞ ss

✕✖✗✆ ✘✙✚

✶✶✻✆ ✬✡✐❝✡ ✌✍ t✡✟ ✍✌✠✠✌♦✐☛❣ ❝✌rr✟❝t✠☞ r✟✛r✟✞✟☛t✞ t✡✟ r✟✞✝✠t✞ ✌✍ ❛☛ ✟☛③☞♠❛t✐❝ r✟❛❝t✐✌☛ ✢ ✳☛③☞♠✟ ✐✞ ✳✑ ✞✝❜✞tr❛t✟ ✐✞❙ ❛☛❞ ✛r✌❞✝❝t✞ ❛r✟ Ps ✴ P✧♥✭❆✮ Ps ✵ ❙ ❀ P✧ ✵ ✳ ✭✓✮ ✳ ✵ ❙ ❀ Ps ✵ P✧✭✔✮ Ps ✵ P✧ ✵ ✳ ❀ ❙ ✭❉✮ ✳ ✵ ❙ ❀ Ps ✵ P✧ ✵ ✳

✕ ✘✯✚

✽✽✽❁❂❃❄❅❊❄❋❂❁❋●❅

Page 40: a tdownload.ssapunjab.org/sub/MathScience/KVYP/KVPY_2010...D d n p q t u v? ^ = x x _ d w > x ~ | z z z} | ~ { {( ) 3 , ( 3 ) , B A ( ) , ( , 3) x 3 x E F ( , 3 0) ( ,) ( 5 ,) D a

✶✶✼� ❋✁✂✄ ☎✆✝✞✟✝☎ ✁❢ ✥✟✄✠☎ ❤✡☛✝ ✠✟❢❢✝✄✝☞✌ ✝✍✍ ✞✁✎✁✄☎ ✏ ❬✑❪ ✒❤✟✌✝ ✒✟✌❤ ☞✁ ♠✡✄r✟☞✍☎✓ ❬✷❪ ✆✡✎✝ ✥✄✁✒☞ ✒✟✌❤ ☞✁

♠✡✄r✟☞✍☎✳ ❬✔❪ ✍✄✝②✲✥✄✁✒☞ ✒✟✌❤ ✠✡✄r ☎✌✄✝✡r☎ ✡☞✠ ☎✆✁✌☎✓ ❬✕❪ ✆✡✎✝ ✥✎✂✝ ✒✟✌❤ ✠✡✄r ✥✎✂✝✲✍✄✝✝☞ ☎✆✁✌☎✳ ❇✡☎✝✠ ✁☞

✝✍✍ ✞✁✎✁✄✓ ✒❤✟✞❤ ☎✆✝✞✟✝☎ ✟☎ ♠✁☎✌ ✎✟r✝✎② ✌✁ ☞✝☎✌ ✟☞ ✡ ✠✝✝✆ ✌✄✝✝ ❤✁✎✝ ✖

✭❆✮ ✑ ✭❇✮ ✷ ✭✗✮ ✔ ✭❉✮ ✕

✘✙s� ✚✘✛

✶✶✽� ✗✁☞☎✟✠✝✄ ✡ ✎✁✞✂☎ ✒✟✌❤ ✌✒✁ ✡✎✎✝✎✝☎✓ ❆ ✡☞✠ ✡✳ ■❢ ✌❤✝ ❢✄✝✜✂✝☞✞② ✁❢ ❆❆ ✟☎ ✵✳✷✢✓ ✒❤✡✌ ✟☎ ✌❤✝ ❢✄✝✜✂✝☞✞② ✁❢ ❆ ✂☞✠✝✄

❍✡✄✠②✲❲✝✟☞✥✝✄✍ ✝✜✂✟✎✟✥✄✟✂♠ ✖

✭❆✮ ✑ ✭❇✮ ✵✳✷✢ ✭✗✮ ✵✳✢ ✭❉✮ ✵

✘✙s� ✚❈✛

✶✶✾� ❲❤✟✞❤ ✁❢ ✌❤✝ ❢✁✎✎✁✒✟☞✍ ✍✄✡✆❤☎ ✡✞✞✂✄✡✌✝✎② ✄✝✆✄✝☎✝☞✌☎ ✌❤✝ ✟☞☎✂✎✟☞ ✎✝☛✝✎☎ ✭❧✲✡✣✟☎✮ ✟☞ ✌❤✝ ✥✁✠② ✡☎ ✡ ❢✂☞✞✌✟✁☞ ✁❢

✌✟♠✝ ✭❳✲✡✣✟☎✮ ✡❢✌✝✄ ✝✡✌✟☞✍ ☎✂✍✡✄ ✡☞✠ ✥✄✝✡✠✴✄✁✌✟ ✖

✭❆✮

❙✤❣❡✦ ❘✧t✐

✭❇✮

❙✤❣❡✦❘✧t✐

✭✗✮

❙✤❣❡✦

❘✧t✐

★

✭❉✮

❙✤❣❡✦

❘✧t✐

✩

✘✙s� ✚✘✛

✶✪✫� ❧✁✂ ♠✡✄r✝✠ ✌✒✁ ✟☞r✲☎✆✁✌☎ ✡✎✁☞✍ ✌❤✝ ❤✝✟✍❤✌ ✡✌ ✌❤✝ ✥✡☎✝ ✁❢ ✡ ✞✁✞✁☞✂✌ ✌✄✝✝ ✡☞✠ ✡✎☎✁ ✡✌ ✌❤✝ ✌✁✆ ✁❢ ✌❤✝ ✌✄✝✝✳ ❲❤✝☞

②✁✂ ✝✣✡♠✟☞✝ ✌❤✝ ☎✆✁✌☎ ☞✝✣✌ ②✝✡✄ ✒❤✝☞ ✌❤✝ ✌✄✝✝ ❤✡☎ ✍✄✁✒☞ ✌✡✎✎✝✄✓ ②✁✂✄ ✒✟✎✎ ☎✝✝✲

✭❆✮ ✌❤✝ ✌✒✁ ☎✆✁✌☎ ✡✌ ✌❤✝ ✌✁✆ ❤✡☛✝ ✍✄✁✒☞ ♠✁✄✝ ✡✆✡✄✌ ✌❤✡☞ ✌❤✝ ✌✒✁ ☎✆✁✌☎ ✡✌ ✌❤✝ ✥✁✌✌✁♠

✭❇✮ ✌❤✝ ✌✁✆ ✌✒✁ ☎✆✁✌☎ ❤✡☛✝ ✍✄✁✒☞ ✎✝☎☎ ✡✆✡✄✌ ✌❤✝☞ ✌❤✝ ✥✁✌✌✁♠ ✌✒✁ ☎✆✁✌☎

✭✗✮ ✥✁✌❤ ☎✝✌☎ ✁❢ ☎✆✁✌☎ ❤✡☛✝ ✍✄✁✒☞ ✡✆✡✄✌ ✌✁ ✌❤✝ ☎✡♠✝ ✝✣✌✝☞✌

✭❉✮ ✥✁✌❤ ☎✝✌☎ ✁❢ ☎✆✁✌☎ ✄✝♠✡✟☞ ✂☞✲✡✎✌✝✄✝✠

✘✙s� ✚✘✛

✬✬✬✯✰✱✸✹✺✸✻✰✯✻✿✹


K µ } } } ( ( d o W o v...ã Z \ ` a ^ : ^ F ] ä X X F [ X ä X X Z \ ^ ] Z : Y F [ ä X X F [ ä X X ã [ Z 9 ] : Z a ó Z \

K µ } } } ( ( d o W o v...ã Z \ ` a ^ : ^ F ] ä X X F [ X ä X X Z \ ^ ] Z : Y F [ ä X X F [ ä X X ã [ Z 9 ] : Z a ó Z \

^ o E } X ^dKZ zE D Z ^^ í W/E K ^dKZ z /dz ^dKZ z^d d...^ o E } X ^dKZ zE D Z ^^ í W/E K ^dKZ z /dz ^dKZ z^d d í > > D z/ hdKDK /> ^ WZ/s d >/D/d ^ Zs z EK ó î õ

^ o E } X ^dKZ zE D Z ^^ í W/E K ^dKZ z /dz ^dKZ z^d d...^ o E } X ^dKZ zE D Z ^^ í W/E K ^dKZ z /dz ^dKZ z^d d í > > D z/ hdKDK /> ^ WZ/s d >/D/d ^ Zs z EK ó î õ

DZW ZW '^d d } o W ] } E u } µ µ ^ E } X } } µ µ E u ~Z X...} E u } µ µ ^ E } X } } µ µ E u DZW ~Z X ZW ~Z X '^d ~Z X d } o W ]

DZW ZW '^d d } o W ] } E u } µ µ ^ E } X } } µ µ E u ~Z X...} E u } µ µ ^ E } X } } µ µ E u DZW ~Z X ZW ~Z X '^d ~Z X d } o W ]

WZK& ^^/KE/^d/ /DWZ ^ s Z^K EhKs/ D Z d/ · ^ D/E Z/K r õ EKs D Z î ì í ò , Z & > Zh /E U W X X í î ñ ZK dZ d U E t zKZ< U E Xz X í ì ì ì ð Z

WZK& ^^/KE/^d/ /DWZ ^ s Z^K EhKs/ D Z d/ · ^ D/E Z/K r õ EKs D Z î ì í ò , Z & > Zh /E U W X X í î ñ ZK dZ d U E t zKZ< U E Xz X í ì ì ì ð Z

Z 'h> D EdK K WZK'Z D Z > /KE D EdK K E K K Z ^/> ^ X X t ... · z 'h> d edk k wzk'z d z > /ke d edk k e k k z ^/> ^ x x t wkedk wz sk ^ µ u ] } / x /^wk^/ o ^ ' z /^ î // x w z

Z 'h> D EdK K WZK'Z D Z > /KE D EdK K E K K Z ^/> ^ X X t ... · z 'h> d edk k wzk'z d z > /ke d edk k e k k z ^/> ^ x x t wkedk wz sk ^ µ u ] } / x /^wk^/ o ^ ' z /^ î // x w z

E D Z/d z Ed E Z/ ^ h > EKZD > > ^d K ^ E >h/^ WKdK^1 X

E D Z/d z Ed E Z/ ^ h > EKZD > > ^d K ^ E >h/^ WKdK^1 X

Merit List AIAPGET AYU - maninfoservices.com · ^ x e } z p xe } ww> x ek^d> ek d x d z/d e } d ] v } ] Ç d ] e } w, d ] e } e u / w' d d z

Merit List AIAPGET AYU - maninfoservices.com · ^ x e } z p xe } ww> x ek^d> ek d x d z/d e } d ] v } ] Ç d ] e } w, d ] e } e u / w' d d z

Z/' Ed/ / E ^ E/d Z/ WZKs/E / > / 'Z/' EdK K'EKD EKD ^ Z X ....../Z/' Ed/ / E ^ E/d Z/ WZKs/E / > / 'Z/' EdK K'EKD EKD ^ Z X ZhK>K ^ Z X Yh > X KE X ^ Z X X / K^dK /sKE W K> ZhK>K

Z/' Ed/ / E ^ E/d Z/ WZKs/E / > / 'Z/' EdK K'EKD EKD ^ Z X ....../Z/' Ed/ / E ^ E/d Z/ WZKs/E / > / 'Z/' EdK K'EKD EKD ^ Z X ZhK>K ^ Z X Yh > X KE X ^ Z X X / K^dK /sKE W K> ZhK>K

E D W z z z z z z z z z z z z s Q t r s { t r · ð X d ^KD &Zh/d ñ X Zh^, zKhZ d d, t r s { t r ^ , Z ^D >> dKh , d ^d õ Ñ ] o Z v ] u o Z À Á ] Z o µ Ç } v v Z } v Z ] v

E D W z z z z z z z z z z z z s Q t r s { t r · ð X d ^KD &Zh/d ñ X Zh^, zKhZ d d, t r s { t r ^ , Z ^D >> dKh , d ^d õ Ñ ] o Z v ] u o Z À Á ] Z o µ Ç } v v Z } v Z ] v

^dZ/ d , >d, W> EE/E' E DKE/dKZ/E' &Z D tKZ< µ P µ î ì í ó · w p ñ } ( ó ñ } v v &kz tkz z d, /z dkz r' e z > x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

^dZ/ d , >d, W> EE/E' E DKE/dKZ/E' &Z D tKZ< µ P µ î ì í ó · w p ñ } ( ó ñ } v v &kz tkz z d, /z dkz r' e z > x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

Æ ] u v ( } X d Z X í z W Z Ç ] > } } Ç

Æ ] u v ( } X d Z X í z W Z Ç ] > } } Ç

RI /HQW 0DUFK · ô W ï ì X u X : } Z v U Z o d Z } } & µ u v l : v / o Z í ì W ï ì X u X d } u v d Z W

RI /HQW 0DUFK · ô W ï ì X u X : } Z v U Z o d Z } } & µ u v l : v / o Z í ì W ï ì X u X d } u v d Z W

D d D d/ W l WK>1 / D/>/d Z K W Z W } ( } Z µ > ] u · d d d d/ w l wk>1 / d/>/d z k w z w } ( } z µ > ] u w } ( x z µ > ] u Á Á Á x p ] } v µ } x } u x ï (txdomr gr judx

D d D d/ W l WK>1 / D/>/d Z K W Z W } ( } Z µ > ] u · d d d d/ w l wk>1 / d/>/d z k w z w } ( } z µ > ] u w } ( x z µ > ] u Á Á Á x p ] } v µ } x } u x ï (txdomr gr judx

E Z > ^ > ^ Zs/ /K /Ed ZE d ^ d >/d / /Z /KE > - Movistar · ð X ô X r ^ À ] ] } v ] v o >/ Ed X

E Z > ^ > ^ Zs/ /K /Ed ZE d ^ d >/d / /Z /KE > - Movistar · ð X ô X r ^ À ] ] } v ] v o >/ Ed X

>/d ^dZKD r m Z^W EEhE'^ > /d Z >/',dE/E' hZZ Ed r ^hZ ... · >/d ^dZKD r m Z^W EEhE'^ > /d Z >/',dE/E' hZZ Ed r ^hZ' WZKd d/s s/ d ,E/^ , d E l d ,E/ > d X v X l X v } X Ì ] Z v

>/d ^dZKD r m Z^W EEhE'^ > /d Z >/',dE/E' hZZ Ed r ^hZ ... · >/d ^dZKD r m Z^W EEhE'^ > /d Z >/',dE/E' hZZ Ed r ^hZ' WZKd d/s s/ d ,E/^ , d E l d ,E/ > d X v X l X v } X Ì ] Z v

! 50!2 -2!3 ! * + , 2 3 !,% 2017 - marla.pt§os.pdf · d } x ó ì õ r & b @c z ( x d z ( x d w í ì î òw ì í õ í õ ì z ( x d z ( x d w í ì î òw ì ì ó d Ç z } í

! 50!2 -2!3 ! * + , 2 3 !,% 2017 - marla.pt§os.pdf · d } x ó ì õ r & b @c z ( x d z ( x d w í ì î òw ì í õ í õ ì z ( x d z ( x d w í ì î òw ì ì ó d Ç z } í

Z ^hD K ^d d1^d/ tWK>1 / & Z > · Z ^hD K ^d d1^d/ tWK>1 / & Z > ... x ...

Z ^hD K ^d d1^d/ tWK>1 / & Z > · Z ^hD K ^d d1^d/ tWK>1 / & Z > ... x ...

当 R 3 ， 有 X =( x , y , z ) , d = d v

当 R 3 ， 有 X =( x , y , z ) , d = d v

Z E >7D E d ^7^7 d ,>7< >7 D Z , Z7 · 5hyl]\rq 1r

Z E >7D E d ^7^7 d ,>7< >7 D Z , Z7 · 5hyl]\rq 1r

VLV ²/HYHO , &ULPH ,QWHOOLJHQFHX(1)S(xiq1ikkmpoucjbywnxdtycae))//files... · x Z/D D WW/E' x />z d ^ WW>/ d/KE x WZK h d s >KWD Ed x y > &hE

VLV ²/HYHO , &ULPH ,QWHOOLJHQFHX(1)S(xiq1ikkmpoucjbywnxdtycae))//files... · x Z/D D WW/E' x />z d ^ WW>/ d/KE x WZK h d s >KWD Ed x y > &hE